Etude mathématique et numérique de la propagation des ondes

COLE DOCTORALE DE LCOLE POLYTECHNIQUE

Thse prsente en vue de lobtention du gradede Docteur de lcole Polytechnique

Spcialit Mathmatiques Appliques

Etude mathmatique et numrique de lapropagation des ondes dans des milieux

priodiques localement perturbs.

Sonia FLISS

soutenue publiquement le mardi 12 mai 2009 devant un jury compos de :

Jean Claude NDLEC PrsidentEric CANCS RapporteurThorsten HOHAGE RapporteurIsabelle TERRASSE ExaminateurToufic ABBOUD ExaminateurGrgoire ALLAIRE ExaminateurEric BONNETIER ExaminateurPatrick JOLY Directeur de thse

REMERCIEMENTS

Un seul tre vous manque, et tout est dpeupl

Alphonse de Lamartine Lisolement

Jaimerais tout dabord remercier Patrick Joly, cest un vritable honneur de commencer sa viede chercheur avec une personne aussi brillante. Je le remercie profondment davoir essay deme transmettre, sa rigueur, sa pdagogie et un peu de sa crativit mais aussi de mavoir soutenuet encourag pendant ces annes. Cest une vraie chance davoir eu un directeur de thse aussidisponible et attentif scientifiquement comme humainement. Je ne suis malheureusement pasautant admirative de ses gots footballistiques trs prononcs pour le Paris Saint Germain. Notreambiance de travail a souvent vcu au rythme du championnat de foot : inutile donc de prciserce quelle tait juste avant une rencontre PSG-OM! Cette thse a scell une profonde amiti etjespre que nous allons continuer travailler ensemble et cultiver notre amiti.

Jaimerais exprimer de profonds remerciements mes 2 rapporteurs, Eric Cancs et ThorstenHohage, qui mont fait lhonneur de relire avec beaucoup dattention ce trs long manuscrit.Au fil de plusieurs confrences, Thorsten a manifest beaucoup dintrt dans mon travail et jelen remercie trs chaleureusement. Jai beaucoup apprci mes diffrentes rencontres avec EricCancs et ai beaucoup appris de la confrontation entre nos deux approches. Merci galement Jean Claude Ndlec, qui ds notre premire rencontre lors dune confrence s est montr tresattentif mes rsultats et a accept de prsider mon jury, Eric Bonnetier, Benoit Perthame quina pas pu assister pour des questions demploi du temps mais qui sest montr trs disponiblepour rpondre mes questions, Grgoire Allaire qui avec ses cours lX ma donn le got desMathmatiques Appliques et enfin Toufic Abboud et Isabelle Terrasse que je connais depuis mabelle exprience de stage chez EADS et qui nont cess de me soutenir humainement et scien-tifiquement depuis. Je nai jamais connu de discussions scientifiques autour de ma thse plussportives quavec eux : leur capacit dcouvrir le dernier transparent partir du tout premierma toujours beaucoup impressionne. Jai une pense particulire pour Isabelle qui a rapide-ment cru en moi.

Ma thse ma permis de dvelopper deux facettes de ma personnalit scientifique : la facetteacadmique et lindustrielle. Ma fibre acadmique sest rvle il y a quelques annes au coursdun stage Harvard avec Jim Rice et Renata Dmowska, cest dfinitivement cette exprience

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qui ma convaincu de continuer dans la recherche et je les en remercie normment car ilsmen ont donn une formidable image. La rencontre avec Patrick Joly et Anne-Sophie Bonnet-BenDhia ma instantanment donn envie de travailler avec eux. Anne-Sophie ma trs vite mon-tr lexemple autant par sa rigueur et sa dtermination que par sa douceur et son attention. Trsvite, jai donc appris connatre tous les Poets du labo. Jai rencontr Christophe Hazard avecqui jai partag souvent sans transition, sances de thorie spectrale, distributions aux restos ducoeur, dbroussaillage de GASON, discussions spirituelles et surtout tellement de cafs! MaisPOems cest galement Eric Lunville, Eliane Bcache, Jronimo Rodriguez, Christine Poirier,Jean Franois Mercier, Laurent Bourgeois, Marc Lenoir, Patrick Ciarlet, Gary Cohen, Jing RebeccaLi, Francis Collino mais aussi Jrme Le Rousseau (merci pour le gentil surnom gros bb),Houssem Haddar parti trop tt lX, qui mont apport tout autant que les autres. Un grandmerci galement Nathalie Bonte qui a fait un travail extraordinaire pour faire en sorte que mathse se passe au mieux et qui ma aid organiser ma soutenance. Une des grandes forces delUMR POems rside, mon avis, dans lapport des doctorants. En arrivant, il y avait SbastienTordeux, Jeronimo Rodriguez et Julien Diaz qui terminaient leur thse et qui par leurs nombreuxconseils mont beaucoup motiv. Et puis il y a eu Pascal Grob qui ma rapidement montr quependant une thse on pouvait quand mme bien se marrer. Jai vcu ces 3 ans ct de Xavier eton a russi se soutenir et sentraider pendant toutes les tapes de la thse. Et puis plus tard, unpeu trop tard mon got, un groupe important de doctorants et post doctorants est arriv, pleinde dynamisme, de fracheur, de gentillesse et de disponibilit : Morgane, Alexandre, Brangre,Adrien, Jrmi, Benjamin et Lauris puis sont arrivs Julien, Sebastien, Edouard et Juliette. Jepense quils ont une grande chance de vivre cette exprience tous ensemble et je regrette justequils soient arrivs trop tard. Une petite pense pour Julien qui va travailler sur les milieux pri-odiques pendant sa thse et qui malgr ses doutes va russir vraiment brillamment. Avec POems,jai russi dcouvrir lUMA de lEnsta avec Frdric Jean, Pierre Carpentier, Jrome Prez, Has-naa Zidani, Christophe Mathulik et Maurice Diamantini... que jai crois et dcouvert entre deuxcours lEnsta, deux cafs ou pendant un des fameux psaume. Je pense que je ne pouvais rvermieux comme cadre de travail quentour de tous ces nouveaux collgues. En travaillant au bti-ment 13 de lInria, jai ctoy nos amis de chez Estime, Jrome Jaffre, Jean Roberts, Jean CharlesGilbert et Franois Clment. Jai tout de mme russi voyager au sein de lInria et pour desraisons qui nchapperont personne, jai beaucoup parcouru les couloirs du btiment 16 poursaluer Jean Frdric Gerbeau, Miguel Fernandez, Marie Doumic, Cline Grandmont pour allerprendre un caf, et surtout retrouver mes amis de chez MACS, Marina Vidrascu toujours motivepour passer sa pause djeuner avec moi faire les magasins, Patrick Letallec, Jacques SainteMarie et Dominique Chapelle. Je remercie Dominique dtre pass dun potentiel directeur dethse qui mimpressionnait beaucoup celui de formidable ami qui mimpressionne toujoursautant mais qui en plus me fait beaucoup rire. Jai beaucoup apprci, le temps d une pausecaf, tous ces dbats passionns autour des films et sries que lon a vu ou dont on a juste en-tendu parler, tout ceci ponctu par des "Le week end fut bon?" ou des "Haou aie met ya mozeh!",mais je suis surtout trs fire de lui avoir prouv quon pouvait sendormir mme devant un StarWars!

Ma dcouverte de la recherche industrielle sest faite autour de lquipe de Fabien Mangeanto Pierre, Jayant, Vincent, Vassili, Stphane, Youness, Franois, Anabelle, Guillaume, Nolwenn,Michel, Jrme, Arnaud, Nabil et surtout Fabien et Eric Duceau ont fait en sorte mme si je ne

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les voyais mon got finalement pas assez, de mintgrer dans leur quipe chaleureuse et demenseigner comment sarticulait la recherche industrielle au sein dEADS IW. Je remercie gale-ment Guillaume Inquit pour nos discussions autour de nos 2 thses et plus particulirementau sujet des matriaux composites. Cette thse a galement bnfici dune collaboration aveclInsitut dlectronique Fondamental dOrsay dans le cadre de lANR Simnanophot, je remerciedonc chaleureusement toute lquipe du laboratoire et plus particulirement Suzanne Laval, EricCassan et Damien Bernier.

Enfin, sans doute le plus important mes yeux, jaimerais remercier toutes les personnes quimont entour et soutenu pendant ces quelques annes. Tous mes amis tout dabord. Pour avoirtent plusieurs reprises de comprendre pour certains en quoi consistait mon travail au jourle jour, pour les autres mon sujet de thse et pour tous davoir subi toutes mes tentatives pourrendre tout ceci le plus sexy possible. Je remercie donc Sarah pour son oreille attentive, Marc,Delphine, Quentin, Cline, Manu, Sophie, Pasca, Sam, Florian, Sandrine, Thomas, Roro, Marine,rel et Vro, Christophe et Brangre, galement Thierry, JC, Cline, Manon, Victor, Florenceet Paul mais aussi mes petites championnettes, 2G, Rolk et Laetitia. Je les remercie tous pourleur disponibilit et je ne leur dirai jamais assez quel point jai trouv mon quilibre auprsdeux. Un merci tout particulier Ophlie pour avoir consacr du temps pour relire une partiede ma thse et pour avoir essay tant bien que mal la raccourcir mais aussi Sophie pour notrecomplicit de tous les instants, tous ses chats dencouragement et pour avoir longtemps tentdouvrir le pdf de ma thse, en vain. Je noublie pas Jean et Hlne Picard qui nont jamais ratune occasion pour me rendre service et Franoise Moireau pour son fameux tiramisu aux fruitsrouges qui me requinquait pour la semaine et surtout pour toutes ces dlicates attentions et cesdoux conseils. Et surtout Philippe. Philippe qui sest intress comme personne mon travail,qui a relu, malgr peu de contreparties, tout mon manuscrit, avec qui, la surprise de tout lemonde, je parlerais de maths jusquau bout de la nuit et jusquau bout du monde, et surtout quia eu confiance en moi pour deux, qui a mis de ct ses propres doutes pour maider affronterles miens et qui ma redonn le sourire toutes les fois o je le perdais. Philippe sans qui je nauraispeut tre pas commenc, sans qui je ny serais srement jamais arrive. Je ne te remercierai ja-mais assez pour tout, mais jai toute la vie pour le faire!

Jai une pense pour mes parents. Je sais quel point cela a t difficile pour eux de me laisser etme voir voluer dans un milieu qui leur tait inconnu. Et pourtant ils ont toujours su trouver lesmots pour que jarrive trouver ma place et pour que je mpanouisse. Je pense aussi beaucoup ma soeur Sophia, avec qui jtais insparable avant de partir pour ma grande aventure Paris,notre sparation na t vidente ni pour moi ni pour elle, il a fallu quon apprenne voluerindpendamment lune de lautre et pourtant je sais que son affection ma toujours accompa-gne et quon a su mme de loin, veiller lune sur lautre, se soutenir et continuer partagercette intimit et cette complicit quaucune distance ne pourra altrer. Et puis il y a Samir, mongrand frre, qui ne cesse de me montrer depuis trs longtemps quel point il est fier de moi et jepense que je noublierai jamais son enthousiasme et son bonheur ma soutenance. Mes beauxfrres, Jilani et Zoubaier, mont galement beaucoup soutenue et jespre quils comprennentmaintenant pourquoi jai t si peu disponible ces dernires annes pour leur faire ce caf turcqui nest, daprs eux, jamais aussi bon que quand cest moi qui leur fais! Je remercie galementKhadra ma grande allie parisienne dans la famille! Larrive pendant ma thse de ma toute belle

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nice Rim puis un an plus tard de mes jumeaux prfrs Rim et Mohamed Fares a t un vrai pe-tit bonheur, je me rjouis davance de tous les cours de maths que je vais leur donner. Jaimeraisremercier galement Hafedh, Salma et leurs enfants Ahmed, Elyes et Farah qui sont venus dItaliepour assister ma soutenance. Jtais trs heureuse de les avoir auprs de moi. Je noublie pastoute ma famille en Tunisie qui na pas arrt de mencourager pendant cette priode. Je pensenotamment grand mre Arroussia, la premire mencourager faire le plus dtudes possiblepour devenir une femme indpendante, mon oncle Tahar, malheureusement parti trop vite, qui,lui aussi, ma donn le got de faire des tudes. Merci aussi Nejoua, Tata Saloua, Wahib, Rim,Nesrine, Amti Zohra, Lotfi, Tonton Fethi et Tata Souad, Tonton Mohamed et Issam et tous mesoncles, tantes, cousins, cousines que je noublie videmment pas et qui, chacun leur faon,mont beaucoup apport pendant cette priode.

Et enfin, je nai pas arrt de penser pendant ces quelques annes ma petite soeur Rim. Jauraistant aim pouvoir la remercier davoir russi me soutenir et mencourager malgr toutes lespreuves quelle traversait, jaurais tant aim tre plus disponible pour pouvoir la soutenir beau-coup plus, jaurais aim quelle soit prsente pour quon partage ce moment mais aussi tous lesautres. Jai essay de minspirer de son dynamisme et sa force pour finir a bien ma thse. Je nepeux donc que lui ddier ce travail, aussi modeste cela soit-il. Jessaie sans cesse dapprendrede sa dlicatesse, de sa gnrosit, de sa prvenance et son attention, de son enthousiasme et sacombativit. Avec toutes ces armes, je vais essayer de vivre pour deux et cette thse nest quundbut.

RSUM

Les milieux priodiques prsentent des proprits intressantes dans un grand nombre dappli-cations (les cristaux photoniques en optique, les matriaux composites en mcanique,...). Dansces applications, on rencontre souvent ces milieux prsentant des dfauts localiss, cest--diredes milieux qui diffrent de milieux priodiques dans des rgions bornes. Il nous semble in-tressant de proposer des mthodes mathmatiques et numriques nouvelles spcifiques autraitement des structures priodiques de grande taille, pouvant prsenter des dfauts localiss.

Les caractristiques du problme rendant trs souvent les mthodes dhomognisation inap-plicables, lide est dexploiter la structure particulire des milieux priodiques pour restreindreles calculs au voisinage du dfaut. Nous avons donc approfondi la question de trouver des con-ditions aux bords parfaitement transparentes. Cest pourquoi nous avons cherch gnraliserles techniques de conditions transparentes non locales, de type Neumann-to-Dirichlet, bientablies pour les milieux homognes lextrieur de la perturbation. La difficult est que lorsquele milieu extrieur est homogne, on ne dispose plus dune reprsentation explicite de la solu-tion.

Nous traitons successivement trois situations de difficult croissante : le cas monodimension-nel qui est un cas classique mais dont ltude a des vertus pdagogiques, le problme du guidepriodique localement perturb et le problme plus complexe du milieu priodique dans lesdeux dimensions. Pour chaque situation, la dmarche est la mme : elle consiste tout dabord rsoudre le problme pour un milieu absorbant puis pour un milieu non absorbant par absorp-tion limite. Nous pouvons alors montrer que les oprateurs DtN peuvent tre caractriss enutilisant la solution de problmes de cellule locaux, lutilisation doutils mathmatiques tels quela Transforme de Floquet-Bloch et la solution dquations quadratiques et linaires valeurs etinconnus oprateurs.

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ABSTRACT

Periodic media play a major role in many applications, in particular in optics for micro and nano-technology or in mechanics with composite materials. One of the main interesting features is thepossibility offered by such media to select ranges of frequencies for which waves can or cannotpropagate. In real applications, the media are not really periodic but differ from periodic mediaonly in bounded regions (small with respect to the total size of the propagation domain). In suchapplications, there is a need for efficient numerical methods for computing the propagation ofwaves inside such structures.

To reach this goal, the classical idea is to reduce the pure numerical computations to these re-gions and to try to take advantage of the periodic structure of the outside problem to constructartificial (but exact) boundary conditions. That is why we investigate the generalization to pe-riodic media of the Neumann-to-Dirichlet approach which has already been well developed inhomogeneous media. The new difficulty is that this NtD operator can no longer be determinedexplicitly and has to be computed numerically.

We consider successively three specific situations of increasing complexity : the one-dimensionalcase, the case of a locally perturbed periodic waveguide and the more complicated case of a lo-cally perturbed periodic 2D plane. For each situation, the approach is the same : first, we lookfor the solution of the problem in absorbing media and second we try to solve the problem innon absorbing media using the limiting absorption principle. We show then that the DtN oper-ator can be characterized through the solution of local PDE cell problems, the use of analyticaltools such as the Floquet-Bloch transform and the solution of operator-valued quadratic or linearequations.

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TABLE DES MATIRES

Introduction 1

CHAPITRE 1 Le cas monodimensionnel 13

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2 Rappel : le cas du milieu homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.3 Retour au cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Construction des conditions NtD dans le cas avec absorption . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.1 Une premire caractrisation de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2 Rsolution du problme de demi-droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.3 Calcul de r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.4 Retour au cas du milieu homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.5 Le Problme pos en domaine born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Applications numriques dans le cas avec absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.1 Dtermination des conditions NtD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.2 Calcul de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.3 Validations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4 Le cas sans absorption par absorption limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.1 Spectre de loprateur coefficients priodiques 1D et Proprits . . . . . . 34

1.4.2 Dfinition de la bonne solution des problmes de demi-droite . . . . . . . . 40

1.4.3 Solution du problme de Helmholtz quand 2 / (A) . . . . . . . . . . . . . 461.4.4 Solution du problme de Helmholtz quand 2 (A) . . . . . . . . . . . . . 51

1.5 Applications numriques dans le cas sans absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.5.1 Cas o 2 / (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.5.2 Cas o 2 (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.5.3 Validations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.5.4 Problme de rflexion-transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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xiv Table des matires

CHAPITRE 2 Le guide priodique localement perturb : Problme avec absorption 83

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


2.1.2 Rappel : le cas du guide droit homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


2.2 Construction des oprateurs NtD dans le cas avec absorption . . . . . . . . . . . . . 88


2.2.2 Rsolution du problme de demi-guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.2.3 Caractrisation de loprateur R et dtermination de . . . . . . . . . . . 93

2.2.4 Problme pos en domaine born avec conditions de NtD . . . . . . . . . . 100

2.2.5 A propos de lquation caractristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.2.6 Proprits de loprateur NtD + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.3 Rsolution numrique dans le cas avec absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.3.1 Approximation des oprateurs NtD locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.3.2 Approximation numrique de loprateur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.3.3 Approximation de loprateur NtD + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

2.3.4 Approximation de la solution intrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.3.5 Approximation de la solution du problme de dpart (P) . . . . . . . . . . . 1452.3.6 Validations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

CHAPITRE 3 Le guide priodique localement perturb : Principe dabsorption limite 151

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153


3.1.2 Rappel : le cas du guide droit homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154


3.2 Construction des oprateurs NtD dans le cas sans absorption . . . . . . . . . . . . . 157

3.2.1 Vers le passage la limite dans lquation (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.2.2 Existence et caractrisation de la limite de R et + . . . . . . . . . . . . . . 166

3.2.3 A propos de lquation caractristique limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

3.2.4 Rduction un domaine born quand 2 / (A) . . . . . . . . . . . . . . . . 1963.2.5 Rduction un domaine born quand 2 (A) . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3.3 Rsolution numrique dans le cas sans absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

3.3.1 Cas o 2 / (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233.3.2 Cas o 2 (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263.3.3 Validations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

3.3.4 Problme de transmission-rflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

CHAPITRE 4 Le cas des milieux priodiques dans deux dimensions 247

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

4.1.1 Problme modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Table des matires xv

4.2 Construction de loprateur NtD dans le cas avec absorption . . . . . . . . . . . . . 253


4.2.2 Notion de double symtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4.2.3 Dcomposition de loprateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

4.2.4 Factorisation de chaque oprateur DtN (i,j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

4.2.5 Oprateur NtD de demi-espace H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

4.2.6 Caractrisation des oprateurs NtN N (i,j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

4.2.7 Problme pos en domaine born avec conditions de NtD . . . . . . . . . . 286

4.2.8 A propos de la rsolution de lquation affine (E(i,j)) . . . . . . . . . . . . . . 2884.2.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

4.3 Rsolution numrique dans le cas avec absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

4.3.1 Discrtisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

4.3.2 Discrtisation des variables de Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

4.3.3 Rsultats numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

4.3.4 Applications numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

4.4 Principe dabsorption limite : quelques lments danalyse . . . . . . . . . . . . . . 321

4.4.1 Spectre de loprateur priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4.4.2 Vers le passage la limite dans lquation (Pe ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3294.4.3 Principe dabsorption limite pour le plan priodique . . . . . . . . . . . . . . 340

4.4.4 Liens entre les deux dmarches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

4.5 Principe dabsorption limite numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

4.5.1 Discrtisation de lquationQ(i,j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3464.5.2 Calcul de la solution de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3524.5.3 Perspectives damliorations de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

Conclusion et perspectives 357

ANNEXE A Variantes et extensions 361

A.1 Constante Robin-to-Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

A.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

A.1.2 Cas monodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

A.1.3 Cas du guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

A.2 Le cas des milieux priodiques 2D avec un dfaut de grande taille . . . . . . . . . . 376

A.2.1 Gnralisation des rsultats thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

A.2.2 Gnralisation de la rsolution numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

A.3 Milieu sans symtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

A.3.1 Quatre problmes de demi espace auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

A.3.2 Dtermination de loprateur NtD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

xvi Table des matires

A.4 Problme de transmission-rflexion entre deux demi-espace priodiques . . . . . . 392

A.4.1 Prsentation de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

A.4.2 Rsolution numrique du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

A.4.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

ANNEXE B Outils mathmatiques 419

B.1 Transforme de Floquet Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

B.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

B.1.2 Quelques proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

B.1.3 Image des espacesHr(R) par la TFB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

B.1.4 Images des espaces L2,s(R) par la TFB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

B.2 Quelques lments de thorie spectrale des oprateurs non autoadjoints . . . . . . 434

B.2.1 Spectre dun oprateur linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

B.2.2 Oprateurs compacts et Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

B.2.3 Compltude des v.p. gnraliss doprateurs compacts non auto-adjoints . 437

BIBLIOGRAPHIE 439

INTRODUCTION

Motivations et contexte

Ce que lon entend classiquement par problme physique pos en milieu priodique signifieconcrtement que la gomtrie et les caractristiques physiques de ce problme (typiquementles coefficients lastiques pour une structure mcanique ou la permittivit dilectrique ou la per-mabilit magntique pour une structure optique) sont des fonctions priodiques dune ou plu-sieurs variables despace. Les milieux priodiques apparaissent dans un grand nombre dappli-cations. Tout dabord, le matriau fibre ou composite (dont un exemple est prsent Figure 1)est un assemblage priodique dau moins deux matriaux (voir par exemple [Christensen (1979) ;Aboudi (1991) ; Kaw (2005)] pour leur modlisation). Le nouveau matriau ainsi constitu pos-sde des proprits que les lments seuls ne possdent pas. Ce phnomne permet damlio-rer la qualit de la matire pour des utilisation spcifiques (lgret, rsistance particulires certains efforts, ...), ce qui explique lutilisation croissante de ces matriaux dans diffrents sec-teurs industriels, et notamment an aronautique et arospatial. Cependant, la modlisation descomposites reste complexe du point de vue mcanique et constitue un des objectifs de ce tra-vail. Les milieux priodiques prsentent galement des proprits trs intressantes en optique,

FIGURE 1: Un matriau composite

en particulier en microtechnologie et nanotechnologie [Kuchment (2001) ; Joannopoulos et al.(1995) ; Johnson & Joannopoulos (2002) ; Sakoda (2001)]. En effet, un des rcents sujets por-teurs en optique concerne les matriaux bandes interdites de photons connus sous le nomde cristaux photoniques (voir Figure 2 pour des exemples). Ces derniers sont des structures p-riodiques composes de matriaux dilectriques et sont soumis des excitations de longueursdonde comparables aux dimensions caractristiques du matriau (typiquement la priode) etqui prsentent un fort contraste dindice. En particulier de telles structures permettent de slec-

1

2 Introduction

tionner les bandes de frquences pour lesquelles les ondes peuvent ou non se propager dans lemilieu en question. Du point de vue mathmatique, cette proprit sexplique par la structureen bandes du spectre de loprateur diffrentiel intervenant dans la modlisation (pour une pr-sentation mathmatique complte dune telle proprit, nous renvoyons le lecteur [Kuchment(2004, 2001)]). Mme si les conditions ncessaires pour lexistence de bandes interdites ne sontpas connues (sauf pour le cas monodimensionnel [Borg (1946)]), Figotin et Kuchment ont donnun exemple de milieux priodiques fort contraste dindice o les bandes interdites existent etpeuvent tre caractrises [Figotin & Kuchment (1996a,b)]. De plus dautres structures bandesinterdites ont t caractrises travers des approches numriques [Figotin & Godin (1997)]. Ilsemble donc quun choix adquat de la structure du cristal et des matriaux dilectriques lecomposant permettent de crer des bandes interdites particulires et donc dun point de vuepratique, bannir du cristal certaines ondes lectromagntiques. De ce fait, les milieux bandesinterdites ont plusieurs applications potentielles, par exemple, dans la ralisation de filtres, dan-tennes et de diffrents composants utiliss en tlcommunications. On comprend donc lintrtde calculer la solution de lquation des ondes dans de telles structures.

FIGURE 2: Exemples de cristaux photoniques 1D, 2D et 3D

Dans ces applications, les milieux priodiques peuvent prsenter des dfauts, cest--dire desperturbations locales de leur gomtrie ou de leurs caractristiques. On trouve notamment desdfauts de structure, des ruptures gomtriques ou des fissures, lis une fabrication dfec-tueuse du matriau ou la fatigue durant son utilisation. Afin de dtecter ces dfauts on peutenvisager de faire du contrle non destructif (CND), cest--dire dmettre des ondes dans lematriau et den mesurer les ondes diffractes afin de conclure lexistence ou non de tels d-fauts (dont la taille est suprieure une longueur critique) voir mme den dduire des informa-tions supplmentaires relatifs leur nature, taille, forme, etc.... Du point de vue mathmatique,cette dtection constitue alors un problme inverse. Pour pouvoir traiter le problme inverse ilest important davoir une trs bonne connaissance du problme direct et une mthode num-rique adapte au calcul de la solution du problme de lquation des ondes sous-jacente dansun milieu priodique localement perturb partir dune source dtermine (typiquement pourle CND, cest la source mise par un transducteur). Cest exactement lobjectif de cette thse.

Ces dfauts peuvent galement tre introduits volontairement dans le milieu pour en changerles proprits. Ainsi, en optique, dans le but de raliser des lasers, des filtres, des fibres ou desguides dondes, il est ncessaire davoir des modes autoriss dans les gaps. Ces modes sont ob-tenus en introduisant des dfauts localiss de la priodicit et correspondent, dun point de vuemathmatique, des valeurs propres isoles de multiplicit finie lintrieur des gaps. Figotinet Klein ont prouv rigoureusement que lintroduction de dfaut dans la structure priodique,

Introduction 3

cest--dire une perturbation support compact, peut crer des modes de dfaut, qui sont desondes stationnaires dcroissance exponentielle loin de la perturbation dont la frquence sesitue dans le gap [Figotin & Klein (1997, 1998) ; Figotin & Godin (1997)]. Dans la littrature ma-thmatique existante, les tudes concernant les milieux priodiques prsentant des dfauts loca-liss ont donc surtout trait des problmes spectraux et lexistence de ces modes particuliers.Dans cette thse, nous allons nous intresser une autre classe de problme qui porte sur lesproprits des solutions et leurs simulations numriques. Nous cherchons donc calculer la so-lution de lquation des ondes dans un milieu priodique prsentant un dfaut avec un termesource qui est une donne du problme.

Il est donc important de disposer de mthodes numriques efficaces pour calculer la propa-gation dondes dans des milieux qui ne diffrent de milieux priodiques que dans des rgionsbornes, en tirant avantage de la structure priodique du problme en dehors de ces rgions.Ceci est particulirement pertinent lorsque la taille de la cellule de priodicit est petite devantla taille du milieu de propagation, ce qui est souvent le cas dans les applications. En effet, dansce cas, il peut devenir trs coteux de vouloir faire les calculs sur tout le domaine tout en voulanttenir compte de la priodicit. Nous allons donc tenter de dfinir une mthode adapte au caso la taille du milieu est trs grande devant la taille de la cellule de priodicit. Ainsi la pre-mire hypothse de notre tude sera de considrer un milieu infini. Il existe un certain nombredtudes qui envisage le calcul de la solution de lquation des ondes que le milieu priodiquenest compos que de quelques cellules de priodicit lintrieur dun domaine homogne nonborn[Yuan & Lu (2006, 2007) ; Ehrhardt et al. (2008) ; Ehrhardt & Zheng (2008)]. En ce sens, nousnous distinguons de ces travaux, mme si il existe quelques similitudes entre les deux mthodes.

De plus lorsque la taille de la cellule le permet (dimensions petites devant les longueurs dondestudies), on fait traditionnellement appel la thorie de lhomognisation [Bensoussan et al.(1978) ; Allaire (2002, 1992)] qui permet de remplacer le milieu priodique par un milieu ho-mogne quivalent dont les caractristiques physiques sont dtermines en rsolvant des pro-blmes auxiliaires sur la cellule de base (problmes cellulaires). Cette thorie est maintenantbien connue et largement exploite des fins numriques (en particulier pour la modlisationdes matriaux composites dans le CND [Potel & De Belleval (1993b,a) ; Potel et al. (2001)]). Onpeut par exemple concevoir des couplages entre des mthodes de type lments finis au voisi-nage de lhtrognit locale et des formules de reprsentation intgrales exploitant la connais-sance explicite des fonctions de Green de loprateur de propagation dans un milieu homogne.Les matriaux composites sont ce jour presque exclusivement traits par cette approche et lesmthodes numriques qui en dcoulent. Pour notre part, une des hypothses fondamentales denotre tude est que la longueur donde est de lordre de la taille de la cellule de priodicit. Ainsilhomognisation ne saurait sappliquer. Il est toutefois clair, ne serait-ce quintuitivement, quetirer parti de la structure priodique dun milieu doit pouvoir se traduire en conomie substan-tielle de calculs, en particulier en passant - comme en homognisation - par la rsolution deproblmes cellulaires comme outil de calcul intermdiaire.Etant donnes les deux hypothses fondamentales de notre tude (milieu infini et longueurdonde de lordre de la taille de la cellule de priodicit), lide naturelle est donc dexploiter la

4 Introduction

structure particulire des milieux priodiques pour restreindre les calculs numriques un voisi-nage du dfaut. Dans loptique de formuler une thorie pertinente pour les milieux priodiques,il est primordial davoir en tte le cas particulier du milieu homogne (cest en quelque sorteun milieu priodique de priode arbitraire) pour lequel la problmatique de la simulation nu-mrique de la propagation des ondes en domaine non born est trs ancienne. De nombreusesmthodes peuvent tre utilises pour restreindre les calculs dans un domaine born. La premireapproche consistent appliquer une condition aux bords artificiels qui est transparente ou ap-proximativement transparente. Citons par exemple

(i) la condition de radiation locale distance finie [Engquist & Majda (1979), Bayliss & Turkel(1980)],

(ii) le couplage entre des mthodes volumiques et une reprsentation intgrale ou la techniquedquation intgrale [Johnson & Ndlec (1980) ; Levillain (1990) ; Hazard & Lenoir (1996) ;Jami & Lenoir (1977)],

(iii) lapproche DtN qui consiste calculer exactement loprateur Dirichlet-to-Neumann asso-ci au milieu extrieur, condition que la gomtrie du bord soit convenablement choisie(typiquement un cercle en 2D).

Les mthodes (ii) et (iii) sont exactes ( une approximation numrique de discrtisation prs). Lamthode (i) est une mthode approche mais sa prcision samliore quand lordre de la condi-tion augmente ou que le bord artificiel est de plus en plus loign. Cependant, aucune de cesmthodes ne peut tre appliques ou tendue directement un milieu priodique gnral carelles sont fondes sur la nature homogne du milieu extrieur. En effet, des formules explicitessont utilises pour la solution du problme extrieur dans les trois mthodes, la connaissance dela fonction de Green est utilise dans la mthode (ii) et la technique de sparation des variablesest utilise dans la (iii).

La seconde approche consiste entourer le domaine de calcul par une couche absorbante danslaquelle la technique des PML (Perfectly matched layers) [Berenger (1994)] est applique. Dupoint de vue physique, cette mthode peut tre interprte comme permettant une onde ve-nant du domaine de calcul dentrer sans rflexion dans la couche et de labsorber pour lemp-cher de revenir dans le domaine de calcul. Ce principe nest pas adapt a priori pour les milieuxpriodiques pour lesquels une onde quittant le domaine de calcul interagit avec les htrog-nits du milieu jusqu linfini. Cest la raison pour laquelle la technique des PML standardsne sappliquent pas en ltat. Cependant, lespoir dutiliser ce genre dapproche aux milieux p-riodiques rside dans les techniques de Pole condition [Hohage et al. (2003a,b)], qui peuventtre vues en quelque sorte comme une gnralisation de la mthode PML. Des travaux rcentsde Frank Schmidt vont dailleurs dans ce sens.

Il semble y avoir trs peu dtudes de mthodes de troncature de domaine dans la littrature ma-thmatique pour traiter le cas des milieux priodiques. Toutefois, un problme qui prsente despoints communs avec celui que nous considrons est le calcul numrique des modes localiss(solution non triviale de lquation tudie en labsence de terme source) qui consiste rsoudre

Introduction 5

un problme de valeurs propres en milieu non born. La mthode de supercell, justifie math-matiquement dans [Soussi (2005)], a des similitudes avec la condition de radiation distance fi-nie (mthode (i)) : elle consiste effectuer les calculs des modes localiss dans un domaine bornde grande taille, les solutions trouves convergent vers la solution recherche quand la taille de lacellule tend vers linfini. Comme les modes localiss sont exponentiellement dcroissants, cetteconvergence est mme exponentielle. La mthode de superposition des sources fictives (FSSM)[Botten et al. (2006)],...) permet de calculer le mode de dfaut en utilisant un principe de sourcesfictives. Cette mthode utilise la dcroissance exponentielle des modes de dfauts : elle ne per-met donc pas la rsolution dun problme de propagation des ondes dans le cas o il existeraitdes ondes propagatives.

Au vu de toutes les mthodes dj existantes et des arguments quelles utilisent, nous avonschoisi dapprofondir la question de trouver des conditions aux bords transparentes non locales,de type Dirichlet-to-Neumann pour rduire les calculs numriques un voisinage de cette per-turbation. La notion doprateurs DtN apparat dj par exemple dans les travaux de Toufic Ab-boud [Abboud (1993)] pour le problme de diffraction par des rseaux priodiques, par J. Tausch[Tausch & Butler (2000)] pour les guides dondes priodiques ouverts ou encore dans la commu-naut physicienne par Y.Y. Lu [Yuan & Lu (2006, 2007)] pour ltude des structures priodiquesde taille finie. Cependant, dans les deux premiers cas, loprateur DtN est utilis pour traiter lecaractre non born du milieu de propagation dans la ou les direction(s) transverses la direc-tion de priodicit. Ce nest donc pas un oprateur DtN de milieu priodique. Dans le troisimecas, le caractre fini du milieu priodique est primordial dans la dtermination de loprateurDtN. Nous proposons, ici, une approche nouvelle des techniques doprateurs DtN : il ne sagitplus den dterminer une expression explicite mais plutt une caractrisation via la rsolutiondquations dont les inconnues sont des oprateurs. Lapproximation numrique de ces qua-tions permet alors de raliser une approximation de loprateur DtN exact, laquelle peut alorstre utilise pour la rsolution du problme global. Alors que tous nos articles ont trait de lacaractrisation, la construction et le calcul doprateur DtN, nous avons choisi dans ce mmoirede passer par loprateur de Neumann-to-Dirichlet. En effet, cet oprateur va nous placer dansun cadre fonctionnel plus simple et permet dviter un certain nombre de difficults techniquesdans la discrtisation et lanalyse numrique. Signalons toutefois

la mthode peut tre tendue la construction des oprateurs DtN (comme le prouventnos articles [Joly et al. (2006) ; Fliss & Joly (2008)]) moyennant quelques difficults suppl-mentaires (notamment au niveau du cadre fonctionnel et de lapproximation numrique) ;

la construction des oprateurs NtD ou DtN amne exclure un ensemble dnombrablede frquences artificielles dans le cas des milieux non absorbants, on peut alors prfrerlemploi de conditions Robin-to-Robin (dont lutilisation est dtaille Annexe A.1)

Pour des raisons de clart et pour simplifier la prsentation de la mthode, nous avons prfrprsenter la mthode pour des oprateurs NtD dans le corps du manuscrit.

6 Introduction

Prsentation succincte de la thse

Nous tudions dans cette thse le problme de propagation des ondes dans un milieu prio-dique prsentant un dfaut. Le dfaut sera modlis par un obstacle gomtrique, une pertur-bation locale des caractristiques du milieu ou encore une source support compact. Nous nousintresserons exclusivement aux problmes harmoniques en temps, cest--dire que la solutionest recherche sous la forme uet o la frquence est alors une donne du problme. On peutvoir cette tude comme un premier pas vers la rsolution de problmes temporels. Nous utili-sons un modle unidimensionnel ou bidimensionnel permettant de dvelopper simplement lesprincipes de la mthode et rsolvons un problme scalaire o linconnue du problme pourratre indiffremment la pression dans un milieu acoustique, une composante du champ lectro-magntique dans un milieu dilectrique ou une composante du champ de dplacement pourun milieu lastique. Toutefois, notre mthode stend conceptuellement des milieux 3D et auxquations de Maxwell et de llasticit linaire. La thse prsente la mthode de constructionde loprateur NtD dans trois situations de difficult croissante : le cas monodimensionnel,le cas dun guide donde bidimensionnel (domaine born dans une direction et infini et prio-dique dans lautre) et le cas de lespace entier en dimension 2. Pour chacune de ces situations,la dmarche gnrale consiste considrer tout dabord le problme dans le cas dun milieu ab-sorbant puis de considrer celui dans le cas dun milieu non absorbant par absorption limite.

Le chapitre 1 est consacr au cas monodimensionnel. Ce chapitre a surtout une vocation p-dagogique : les ides, les outils et les notations peuvent tre exposes simplement et la mthodeest entirement justifie du point de vue thorique. Dans ce cas, la mthode peut tre vue commeune alternative la technique des matrices de transfert, classiquement utilise pour la rsolutionde problmes de Cauchy associes des quations diffrentielles ordinaires coefficients prio-diques. Cette alternative est pertinente car, contrairement la technique des matrices de trans-fert, notre mthode de construction doprateurs (en loccurrence ici de simples coefficients)NtD se gnralise en dimension suprieure.

Le chapitre 2 traite du cas des guides dondes en milieu absorbant. Loprateur NtD recherch,not est dfini sur une section transverse du guide (en loccurrence une interface fictive entredeux cellules de priodicit). Sa construction repose sur celle dun oprateur de propagation Rqui permet de dcrire comment la solution du problme extrieur se propage dune interface la suivante. On montre que cet oprateur est solution dune quation quadratique de type Ric-cati stationnaire, avec contrainte, dont les coefficients sont eux-mmes des oprateurs de typeNtD associs des problmes de cellule locaux, faciles rsoudre numriquement. La discrti-sation des problmes cellulaires seffectue par lments finis mixtes et nous en menons ltudederreur. En consquence, loprateur R est approch en dimension finie par la solution dunequation de Riccati discrte avec contrainte. La nature de lquation et la contrainte rendent larsolution de cette quation de Riccati non standard : deux techniques numriques pour sa r-solution sont utilises et valides. Lune passe par une mthode de diagonalisation, lautre parun algorithme de Newton modifi .

Le chapitre 3 aborde le cas des guides dondes sans absorption par une technique dabsorp-tion limite. Le passage la limite formel dans les diverses tapes du Chapitre 2 est assez simple :

Introduction 7

on peut alors tablir une quation de Riccati limite dont la limite formelle R des oprateurs depropagation avec absorption est solution. Deux difficults nouvelles apparaissent toutefois. Toutdabord, la justification rigoureuse du passage la limite est dlicate, lextension de la techniqueutilise dans le cas 1D ne semblant pas pouvoir se faire aisment. On est alors amen adapteret amliorer certains rsultats de la littrature pour dmontrer le principe dabsorption limitedans les guides dondes priodiques par une mthode issue de [Agmon (1982)]. La deuxime dif-ficult est que, aprs le passage la limite, on perd lunicit de la solution de lquation de Riccatiavec contrainte. Il faut alors travailler plus finement sur le passage la limite pour dfinir le cri-tre supplmentaire qui va permettre de slectionner la bonne solution. Ce critre sinterprtecomme une condition donde sortante linfini, notion dfinie partir de la vitesse de groupe.Une procdure numrique est mise en place pour appliquer ce critre lquation de Riccati endimension finie obtenue aprs discrtisation du problme.

Le chapitre 4 traite du cas des milieux priodiques dans les deux dimensions dans le cas oon fait une hypothse de double symtrie sur le milieu priodique, ce qui permet de simplifierla prsentation de la mthode. La frontire artificielle est un carr, suppos dans ce chapitrede la taille de celle de la cellule de priodicit. Loprateur NtD se caractrise partir de cinqoprateurs. Le premier est un oprateur NtD de demi-espace. Pour caractriser et calculer cetoprateur, on utilise la transformation de Floquet Bloch permettant de ramener la dtermina-tion de loprateur NtD de demi-espace celle dune famille doprateurs de guide donde etdonc de se ramener la mthode introduite au chapitre 2. Les quatre autres oprateurs sont desoprateurs dextension qui sont, chacun, solutions de quatre quations affines indpendantes.Les coefficients qui interviennent dans ces quations sont nouveau calculables via la trans-forme de Floquet Bloch et les outils dvelopp au Chapitre 2. En pratique, la rsolution de cesquations affines se ramne la rsolution dquations intgrales non-standard. Pour le passage la limite au cas des milieux non-absorbants, un certain nombre de conjectures sont effectueset sont valides par une procdure de principe dabsorption limite numrique qui est dduitede ces conjectures. En effet, de nombreuses expriences numriques sont ralises et donnentconfiance quant la validit de ces conjectures et de la dmarche.

Enfin le manuscrit sachve par deux annexes consquentes. LAnnexe A est consacre la pr-sentation de diverses gnralisations et variantes des mthodes tudies dans les quatre cha-pitres : prsentation de la mthode pour la construction de conditions de type RtR (A.1), la g-nralisation du Chapitre 4 au cas o la frontire artificielle est de taille plus grande que la cellulede priodicit(A.2), lextension de la mthode du Chapitre 4 au cas des milieux ne prsentantaucune symtrie (A.3) et enfin le problme de transmission-rfxion dun milieu priodique un autre dans lequel intervient seulement loprateur NtD de demi-espace (A.4). Lannexe B est,elle, consacre lnonc de quelques rsultats danalyse dont le rappel nous a sembl importantpour la comprhension globale de ce document.

8 Introduction

Introduction la dmarche suivie

Pour chacune des situations tudies, le problme modle est globalement le mme. En effet,nous tudierons le problme de la propagation des ondes dans un milieu priodique dans uneou deux directions et prsentant une perturbation locale. Le domaine de propagation est doncinfini au moins dans une direction et la gomtrie et les proprits du matriaux sont prio-diques dans 1 ou 2 directions despace, sauf dans un domaine born not i.

Nous nous intressons donc lquation des ondes scalaire

(x)2U(x, t)

t2U(x, t) = F (x, t), x , t 0.

o nous supposons que la source est harmonique avec une frquence > 0 : F (x, t) = f(x)et.

REMARQUE 0.0.1Ce modle apparat en lectromagntisme dans le cas dun milieu 2D quand il est une sectiondun milieu 3D, invariant dans la direction z. En lectromagntisme, dans le cas dune polarisa-tion transverse lectrique, la solution U du problme prcdent reprsente la composante z duchamp lectrique et (x) L est la permittivit dilectrique relative du milieu si la permabilitmagntique est suppose constante gale 1.

Nous recherchons une solution harmonique U(x, t) = u(x)et o la solution u satisfait lqua-tion de Helmholtz :

u (x) 2 u = f, x , (P)

dans le cas o les hypothses suivantes sont satisfaites.

1. Le domaine de propagation est infini au moins dans une direction et priodique dans cetteou ces directions en dehors dun domaine born i (i pour domaine intrieur). Le domaineque nous qualifierons dextrieur et qui a des proprits de priodicit est dfini par

e = \i.

2. Lindice de rfraction est une fonction strictement positive et une perturbation compactedun indice priodique (dans une ou deux directions), la perturbation tant support in-clus dans i.

3. Le support du terme source f est inclus dans i.

Tant du point de vue mathmatique (existence et unicit de la solution) que numrique (calculeffectif de la solution), afin de caractriser et calculer la solution de ce problme pos sur , lideest donc de restreindre le problme dans un domaine born, typiquement i en imposant desconditions aux bords transparentes en i = i telles que la solution de (P) restreinte i soitalors solution du problme suivant dans i

ui (x) 2 ui = f dans i,

ui + ui

ni= 0 sur i,

(Pi)

Introduction 9

o ni est la normale extrieure de i. La dernire quation, conditions aux limites absorbantesou encore condition de type Neumann-to-Dirichlet (not NtD), dcoule de la rsolution dunproblme dans e, cest--dire pos dans un domaine infini. La dtermination de cette condi-tion, cest--dire de loprateur est un problme en soi pour lequel il sera essentiel dexploiterla priodicit du milieu extrieur.

La difficult spcifique pose par lquation de Helmholtz est de dfinir la bonne solution duproblme (P) (et donc le bon ) pour toutes les frquences . Cette difficult est lie lqui-valent de la condition de radiation en milieu homogne et au comportement asymptotique de lasolution linfini qui ne se rsume pas une dcroissance vers 0 comme ce serait le cas pour unproblme elliptique (cas de lquation de Helmholtz avec un 2 < 0 par exemple). Nous appr-hendons donc le problme comme suit : loprateur

A = 1

dfini surD(A) = {u H1(), u L2()}

est autoadjoint et positif dans lespace L2(, dx) et rsoudre (P) peut tre vu comme inverserA2I. Or le spectre de cet oprateur est continu et inclus dans R+ (voir [Kuchment (1993, 2001,2004)] pour des rsultats gnraux sur le spectre des oprateurs coefficients priodiques), dansle cas homogne le spectre est mme gal R+. En dautres termes, nous ne pouvons inverserdans L2() loprateur (A 2Id) pour tout 2 Sp(A) (et donc dfinir directement une so-lution du problme dnergie finie). Nanmoins pour z appartenant lensemble rsolvant deloprateur A, cest--dire le plan complexe priv du spectre de A, (A zId) est inversible deD(A) dans L2(). En dautres termes, la rsolvante de loprateur A, Rz(A) = (A zId)1 aun ensemble de dfinition prsentant une coupure (le spectre de A). On peut trs bien se de-mander si Rz(A) = (A zId)1 a une limite dans un espace plus grand que L2 quand z tendvers sa coupure : cest le principe dabsorption limite. La difficult, prsente de manire gnralepour les coupures des fonctions variables complexes, est que la limite est diffrente suivant lafaon dont z approche la coupure : dans notre cas, suivant que z lapproche par le demi-plan(Im(z) > 0) ou par le demi-plan (Im(z) < 0).

Ici, nous allons chercher la solution u de (P) comme la limite, si elle existe de (u), quand tendvers 0 (dans une norme plus faible que la norme L2 et qui reste dterminer) :

u = lim0

u

o u1 est lunique solution H1 de :

u (x) (2 + ) u = f. (P)

Nous pouvons crire galement

u = lim0

R(2+)(A) f.

1Dans ce cas, le comportement linfini ne fait pas de mystre et est contenu dans le fait que lon cherche lasolution dans H1.

10 Introduction

Cest le bon point de vue mathmatique pour caractriser la solution physique . Pour com-prendre la raison pour laquelle la solution que nous cherchons est celle que nous considronscomme physique , cest--dire celle qui peut tre observe en ralit, il faut voir que cette der-nire quation dcoule de lquation des ondes en rgime temporel

(x)2Ut2

+ (x)UtU = F (x, t), x , t 0, (1)

o on a pos U = u et. Typiquement, est un paramtre typiquement petit par rapport lafrquence et reprsente une petite absorption dans le milieu. Labsorption est toujours positive,soit > 0. La solution physique est donc dfinie comme la limite des solutions des problmesavec absorption lorsque celle ci tend vers 0. Comme nous lavons signal plus haut, la limite, sielle existe, est diffrente suivant le choix > 0 ou < 0.

Les problmes (P) et (Pi) tant en quelque sorte quivalents, la dfinition correcte de l op-rateur est lie la faon de dfinir de manire unique la solution physique de (P). En effet,nous allons dterminer pour tout > 0, loprateur NtD, L(H1/2

(i),H1/2(i)

), tels que

la restriction i de u, solution de (P), que nous notons ui soit lunique solution du problme

ui (x) (2 + ) ui = f dans i

ui + uini

= 0 sur i,(Pi)

o ni est la normale extrieure de i. Loprateur NtD est alors dfini pour toute donne H1/2(i) partir de ue() lunique solution H

1 du problme

ue p(x) (2 + ) ue = 0 dans e

uene

= sur i(Pe )

o ne est la normale extrieure de e comme

ue()i

= (2)

Dans chacune des situations tudies, lide est alors, dans un premier temps, de montrer que lafamille {+ , > 0} a bien une limite, dans un sens que nous prciserons, note ,

= lim0

et de trouver une mthode pour la dtermination numrique de . Dans un deuxime temps, ilest question dtudier le caractre bien pos du problme (Pi) avec la condition de NtD qui endcoule. La solution, si elle existe, de ce problme est la restriction i de la "solution" physiquede (P) que nous cherchons.

Pour chacune des situations tudies, on suit la mme dmarche consistant dans un premiertemps rsoudre le problme dans le cas dun milieu absorbant puis dans un second temps, dersoudre le cas non absorbant par absorption limite. Cest souvent la justification rigoureuse decette deuxime tape qui soulve le plus de difficults mathmatiques : alors que lanalyse estcomplte en 1D et satisfaisante dans le cas du guide, de nombreuses questions restent ouvertesdans le cas de lespace entier.

Introduction 11

REMARQUE 0.0.2La mthode de construction doprateurs NtD peut aisment tre tendue des oprateurs el-liptiques plus gnraux

u 7 1 (u)

o et sont des perturbations compactes de fonctions priodiques. Ce modle apparat enlectromagntisme et en mcanique quand ce milieu 2D est une section dun milieu 3D, inva-riant dans la direction z. En lectromagntisme, dans le cas dune polarisation transverse magn-tique, la solution u du problme reprsente la composante z du champ magntique et (x) Lest linverse de la permittivit dilectrique relative du milieu si la permabilit magntique estsuppose constante gale 1 et (x) est gale 1. En mcanique, si le milieu est isotrope et dansle cas dune rsultante de efforts parallle la direction z, la solution u du problme prcdentreprsente la composante z du champ de dplacement et = E/(1 + ) o E est le module deYoung et le coefficient de Poisson et (x) est la masse volumique.

Le domaine peut aussi tre plus complexe et contenir par exemple un ensemble priodiquedobstacles ou trous . Dan ce cas, il faut seulement sassurer que les conditions aux bords deces trous sont compatibles avec la priodicit du problme.

Pour finir, cette introduction, je me permets de rsumer quelques lments bibliographiquesme concernant et lis cette tude.

Articles publis

FLISS S., JOLY P. & LI J.R., Exact boundary conditions for periodic waveguides with a local per-turbation, Communications in Computational Physics, 1(6) :945-973, 2006.

FLISS S.& JOLY P., Exact boundary conditions for time-harmonic wave propagation in locallyperturbed periodic media, Applied Numerical Mathematics,doi :10.1016/j.apnum.2008.12.013.

Articles en cours de rdaction

FLISS S., CASSAN E. & BERNIER D., A new approach to the theoretical study of light refrac-tion at the surface of a photonic crystal, probablement soumis Phys. Rev. (B) ou JOSA.

FLISS S.& JOLY P., Wave propagation in locally perturbed periodic media : Numerical analy-sis, probablement soumis SIAM..

12 Introduction

Chapitre de livre en prparation

Nous avons t sollicit par Matthias Ehrhardt pour rdiger un chapitre dun ouvrage collectifconsacr aux ondes dans les milieux priodiques :

JOLY P., FLISS S. & LI J.R., Exact boundary conditions for wave propagation problems in per-iodic media including a local perturbation, Wave propagation in periodic media. Analysis, Nu-merical Techniques and practical Applications, E-Book Series Progress in Computational Physics

(PiCP), Volume 1, Bentham Science Publishers, to appear fall 2009.

Actes de confrence

FLISS S., JOLY P. & LI J.R., Exact boundary conditions for periodic waveguides. in WAVES, Pro-vidence, 2005.2

FLISS S., JOLY P. & LI J.R., Computation of harmonic wave propagation in infinite periodic me-dia. Report No.5/2007 of Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach "Computaional Elec-tromagnetism and Acoustics, Oberwolfach, 2007.

FLISS S., JOLY P. & LI J.R., Exact boundary conditions for locally perturbed 2d-periodic plane.in WAVES, Reading, 2007.

Communications orales

Communications au groupe de travail "Thorie spectrale" - ENSTA (Paris) - Juin 2005.Confrence MathmOndes - lUniversit de Manchester - Juin 2006 .Sminaire du LAMSIN - ENIT (Tunis) - Aout 2006.Sminaire de lInstitut dAlgbre et Gomtrie - Universit de Karlsruhe - Novembre 2006.Confrence WONAPDE 2007 - Concepcion (Chili) - Janvier 2007.Oberwolfach Conference on Computational Electromagnetism and Acoustics - Oberwolfach(Ger) - Fvrier 2007.Confrence Waves 2007 - lUniversit de Reading (UK) - Juin 2007Workshop "Mthodes pour les problmes de diffraction" - Universit de Pau - Dcembre 2007Confrence "EDP et applications 2008" - Hammamet (Tunisie) - Mars 2008Sminaire du Cermics - ENPC - Avril 2008.

2correspondant un travail effectu pendant un stage de DEA

CHAPITRE

1LE CAS MONODIMENSIONNEL

RSUM : Dans ce premier chapitre qui a une vocation pdagogique, nous exposons lesides, les outils et les notations de la mthode. Dans un premier temps, lquation deHelmholtz (P) avec absorption est tudie. Dans la section 1.2, nous montrons que lesconditions NtD sont caractrises grce la rsolution de deux familles de problmesaux limites elliptiques linaires (1.8) et (1.9) poss sur une cellule de priodicit du milieuet de la rsolution dune quation caractristique (Er ) qui est scalaire, du second degret dont les coefficients dpendent des solutions des problmes aux limites en question.Cest lunique racine r de module strictement infrieur 1 qui donne les coefficients NtDet lunique solution H1.Avant daborder le cas sans absorption, au paragraphe 1.4.1, nous rappelons brivementles proprits spectrales des oprateurs coefficients priodiques et plus particulire-ment des courbes de dispersion (voir Figure 1.7). La construction des conditions NtDest moins immdiate dans le cas sans absorption. Elle seffectue en utilisant les mmesprincipes. Cependant ltude de lquation caractristique distingue deux situations dif-frentes : le cas o la frquence est telle que 2 nest pas dans le spectre de loprateurpriodique (section 1.4.3) et celui o 2 est dans le spectre (Section 1.4.4). Ltude du pre-mier cas tant similaire celle du cas avec absorption, nous nous intressons plus particu-lirement au second cas pour lequel les deux racines de lquation du second degr sontde module 1. Le principe dabsorption limite permet la slection de la bonne racine : nousproposons au paragraphe 1.4.4.2 plusieurs techniques de slection. Aprs avoir introduit la Dfinition 1.4.34 la notion de vitesse de groupe pour les modes de Floquet, nous ta-blissons un lien entre la slection par le principe dabsorption limite et la vitesse de groupede londe sortante. Enfin le problme intrieur avec conditions NtD ainsi construites estmontr bien pos au Thorme 1.4.47 sauf pour une quantit dnombrable de frquencesque nous explicitons laide du spectre de loprateur.Des simulations numriques illustrent la pertinence de la mthode en Section 1.5.

13

14 Chapitre 1. Le cas monodimensionnel

Sommaire du chapitre1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2 Rappel : le cas du milieu homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.3 Retour au cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Construction des conditions NtD dans le cas avec absorption . . . . . . . . . . . 19

1.2.1 Une premire caractrisation de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2 Rsolution du problme de demi-droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.3 Calcul de r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.4 Retour au cas du milieu homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.5 Le Problme pos en domaine born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Applications numriques dans le cas avec absorption . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.1 Dtermination des conditions NtD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.2 Calcul de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.3 Validations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.3.1 Comparaison avec lexpression explicite du cas constant . . . . . 32

1.3.3.2 Invariance par rapport aux priodes et au domaine i choisis . . 32

1.4 Le cas sans absorption par absorption limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.1 Spectre de loprateur coefficients priodiques 1D et Proprits . . . . . 34

1.4.1.1 Proprits gnrales du spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.1.2 Analyse prcise des bandes spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.2 Dfinition de la bonne solution des problmes de demi-droite . . . . . . . 40

1.4.2.1 Frquences propres du problme de Neumann . . . . . . . . . . 42

1.4.2.2 Passage la limite des problmes de cellule . . . . . . . . . . . . 43

1.4.2.3 Equation caractristique et Discussions . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4.3 Solution du problme de Helmholtz quand 2 / (A) . . . . . . . . . . . . 461.4.4 Solution du problme de Helmholtz quand 2 (A) . . . . . . . . . . . . 51

1.4.4.1 Le cas particulier du milieu constant . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.4.4.2 Slection de la bonne racine de (Er) dans le cas gnral . . . . . . 521.4.4.3 Rinterprtation du critre en terme de vitesse de groupe . . . . 56

1.4.4.4 Caractrisation de la bonne solution de (P+) . . . . . . . . . . . . 621.4.4.5 Caractrisation de la bonne solution de (P) . . . . . . . . . . . . . 62

1.5 Applications numriques dans le cas sans absorption . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.5.1 Cas o 2 / (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.5.2 Cas o 2 (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.5.3 Validations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.5.3.1 Comparaison avec lexpression explicite du cas constant . . . . . 75

1.5.3.2 Invariance par rapport aux priodes et au domaine i choisis . . 75

1.5.3.3 Principe damplitude limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.5.4 Problme de rflexion-transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.1 Introduction 15

1.1 Introduction

1.1.1 Position du problme

ON considre lquation des ondes scalaire 1D sur R en rgime harmonique coefficientsvariables

2u

x2 (x) 2 u = f. (P)

Nous rappelons les hypothses de ltude :

1. 0 < (x) +,

2. le milieu est une perturbation compacte dun milieu priodique p(x) :

L > 0, p(x L) = p(x), x R

supp ( p) i = [a, a+],

3. le terme source f a un support inclus dans i

La dmarche est de chercher la solution u de (P) comme la limite, si elle existe de (u), quand tend vers 0 (dans une norme plus faible que la norme L2 et qui reste dterminer) :

u = lim0

u

o u est lunique solution H2 de

2ux2

(x) (2 + ) u = f. (P)

et de dterminer pour tout > 0, les deux coefficients de NtD, , tels que la restriction i de

u, solution de (P), que nous notons ui soit lunique solution du problme :

2uix2

(x) (2 + ) ui = f sur i

ui uix

= 0 en x = a

ui + +

uix

= 0 en x = a+

(Pi)

Les coefficients de NtD sont dfinis de la faon suivante. Soit u lunique solution H2 du pro-

blme :

2ux2

p(x) (2 + ) u = 0 sur = (a,)

u

x(a) = 1

(P )

alorsu (a

) = (1.1)


Lide est alors de montrer que les suites (+ ) et ( ) ont bien une limite que nous notons

+ et,

= lim0

et dtudier le caractre bien pos du problme (Pi) avec les conditions de NtD qui en dcoulent :

2ui

x2 (x) 2 ui = f sur i

ui ui

x= 0 en x = a

ui + +ui

x= 0 en x = a+.

(Pi)

La solution de ce problme, si elle existe est la restriction i de la "solution" physique de (P)que nous cherchons. La limite, si elle existe, est diffrente suivant le choix > 0 et < 0 (voir lasection 1.1.2 pour un exemple simple).

1.1.2 Rappel : le cas du milieu homogne

Fixons nous quelques ides avec le cas du milieu homogne, qui est un cas trs particulier demilieu priodique et pour lequel nous pouvons effectuer des calculs explicites.

Considrons donc le cas o p est une constante :

p(x) = 2, ( > 0)

On cherche dans ce cas la solution "physique" du problme (P). Nous nous ramenons donc labonne dfinition des coefficients .

La seule solution de H2([a+,+[), u+ du problme dfini par :

2u+x2

2 (2 + ) u+ = 0, pour x > a+

u+

x(a+) = 1

est de la forme :

u(x) =1

e (xa

+)

o est la solution de partie relle positive de lquation :

2 + 2(2 + ) = 0.

cest--dire :

= 2 + , avec Im(

2 + ) > 0,

+ est donc dfini par :

+ =1

.

1.1 Introduction 17

La famille (+ ) a une limite quand tend vers 0, que nous appelons + :

+ =1

0= 1

.

De mme, la famille (u+ ) a une limite dans L2loc quand tend vers 0 dfinie par :

u+(x) = 1

e(xa+)

qui correspond une onde se propageant vers les x croissants, avec la convention u(x, t) =u(x)et.

Les solutions gnrales de lquation de Helmholtz dans +

2u

x2 2 2u = f, (x > a+)

sont toutes des combinaisons linaires des fonctions :

u(x) = ex et u(x) = ex

Le principe dabsorption nous permet donc de slectionner la solution physique, cest--direcelle qui se propage dans le sens des x croissants. Si nous considrons la limite en remplaant > 0 par , nous aurions slectionn londe qui se propageait dans le sens des x dcroissants,cest--dire celle qui "vient de linfini".

Dans le problme (Pi), nous imposons donc la condition de NtD suivante :

ui + +ui

x= 0, en x = a+,

et de la mme faon :

ui ui

x= 0, en x = a,

avec = + = 1

.

Nous pouvons montrer facilement (sauf pour le cas limite = 0) que le problme (Pi) est bienpos, que son unique solution ui est bien limite dansH2 de la suite ui solution du problme int-rieur avec absorption et enfin que la solution physique du problme (P), limite des solutions(u) des problmes (P), est caractrise par :

u(x) = ui(x), x i,

u(x) = +1

ui

x(a+) e(xa

+), x a+,

u(x) = 1

ui

x(a) e(xa

), x a.


REMARQUE 1.1.1 (CAS DE LA FRQUENCE NULLE)Pour le cas limite = 0, les calculs prcdents montrent que le principe dabsorption limite nestpas possible. Pour sen persuader, il faut remplacer labsorption par une absorption indpen-dante de que nous appelons . Dans ce cas, les solutions u+ des problmes de demi-droite frquence nulle avec absorption vrifient

u = O( 1

).

Elles nont donc pas de limite. On montre de mme que les coefficients de NtD nont pasde limite dans ce cas. Nous verrons que dans le cas gnral, ce genre de situation arrive et passeulement pour la frquence nulle.

1.1.3 Retour au cas gnral

Dans le cas gnral priodique, la notion de solution se propageant vers linfini ou encore "ondesortante" est plus difficile dfinir puisquil faut imaginer que londe "sortante" se propage glo-balement vers linfini (ce que nous dfinirons plus loin (voir Section 1.4.4.3) avec la notion devitesse de groupe positive) mais subit localement des rflexions chaque variation de lindice (lavitesse de phase peut devenir ngative).

La question a t trs controverse dans la communaut des physiciens : elle tait de savoir silfallait sappuyer sur la vitesse de groupe ou la vitesse de phase pour dfinir londe "sortante"(voir [Braga (1992) ; Potel et al. (2001)]). Ce qui est trompeur dans le cas constant, cest que lavitesse de groupe et la vitesse de phase sont gales (dans le cas simple que nous avons tudiprcdemment, elles sont gales 1/). Comme la vitesse de phase est plus facile calculer quela vitesse de groupe, il suffit de regarder le signe de la vitesse de phase pour en dduire celui dela vitesse de groupe et slectionner enfin londe "sortante". Certains physiciens ont donc, tort,gard cet automatisme pour les milieux priodiques [Braga (1992)].

Ces notions de vitesse de phase et de groupe seront dfinies dans la suite. Nous voulons illus-trer, ici, la difficult de prvoir a priori la solution "sortante" par la simulation de la solution delquation des ondes en rgime temporel dans un cas priodique mais simple. On sintressedonc la rsolution numrique de lquation suivante :

(x)2U

t2

2U

x2= 0, x R, t 0,

U(x, t = 0) = U0(x)

U

t(x, t = 0) = 0

(1.2)

o vrifie :(x) = , x < 0

(x+ L) = (x), x > 0, et(x) = + x [0,

L

2]

(x) = x [L

2, L]

1.2 Construction des conditions NtD dans le cas avec absorption 19

Les simulations sont effectues en utilisant un -schma avec = 1/2, les paramtres de la dis-crtisation sont choisis de faon optimale. Sans entrer dans le dtail de la discrtisation, il fautsignaler le choix dun domaine de calcul assez grand [M,M ] et des conditions de Dirichlet arti-ficielles aux bords. Ces conditions ne sont pas physiques mais nous pouvons admettre que tantque londe na pas atteint les bords (t < M

), elle correspond une bonne approximation

de la solution exacte. A la Figure 1.1, est reprsente la solution diffrents instants et nous re-marquons que la structure de la solution est assez complexe du fait des rflexions chaque sautdindice (reprsents dans les figures par les lignes verticales rouges). En regardant lvolutiondans le temps de londe se propageant dans le milieu priodique, nous avons limpression que lasolution se propage globalement dans le sens des x croissants dans le milieu priodique (vitessede groupe positive) et pourtant localement chaque saut dindice, il y a une rflexion qui nousdonne limpression que londe repart dans le sens des x dcroissants (vitesse de phase ngative).

La solution sortante a donc a priori un comportement qui reste difficile prvoir : il paratmoins vident que dans le cas homogne de dfinir une condition de radiation ou de montrer leprincipe dabsorption limite.

Nous proposons une mthode qui permet de caractriser cette solution physique . Nous al-lons dvelopper tout dabord Section 1.2 le principe de la mthode dans le cas de lquation deHelmholtz avec absorption, le cas limite sans absorption sera dvelopp Section 1.4. Lanalysenumrique de la mthode sera tudie Section 1.3 pour le cas avec absorption et Section 1.5pour le cas sans absorption.

1.2 Construction des conditions NtD dans le cas avec absorption

1.2.1 Une premire caractrisation de la solution

On cherche rsoudre dans cette section, le problme suivant :

2ux2

(x) (2 + ) u = f, x R. (P)

Daprs le lemme de Lax-Milgram, le problme (P) admet une unique solution u H2(R), pourtout > 0.

Pour rsoudre numriquement (P), la mthode que nous allons prsenter repose sur la pro-position (triviale) suivante :

PROPOSITION 1.2.1Le problme (P) est quivalent au problme :

2uix2

(x) (2 + ) ui = f sur i =]a, a+[

ui uix

= 0 en x = a

ui + +

uix

= 0 en x = a+

(Pi)


FIGURE 1.1: Reprsentation de la solutionU(x, t) de (1.2) diffrents instants.


ds que + et sont dfinies par :

= u (a

) (1.3)

o u est lunique solution dans H2(R) du problme aux limites :

2ux2

p(x) (2 + ) u = 0 sur = (a,)

u

x(a) = 1

(P )

Plus prcisment si u est solution de (P) alors la restriction de u i est solution de (Pi).Rciproquement, si ui est solution de (Pi), on construit u par :

u(x) = ui(x), x i

u(x) = uix

(a+) u+ (x), x a+

u(x) = +uix

(a) u (x), x a

(1.4)

la fonction u ainsi construite est une fonction H2(R) et est solution de (P).

Nous avons donc ramen la rsolution du problme (P) la rsolution dun problme posen domaine born, condition davoir dtermin les coefficients dits de Neumann-to-Dirichlet(NtD). Le calcul de ces coefficients ncessite la rsolution de problmes poss sur des demi-droites et o la donne est gale p priodique. Nous renvoyons le lecteur aux hypothsesfaites au dbut de ce chapitre. A ce niveau, il est difficile de comprendre lintrt que pourraitavoir lutilisation de ce lemme puisque les problmes (P ) restent dfinis en domaine non born.Nous allons cependant exploiter lhypothse de priodicit de la fonction p dans ces milieuxpour la caractrisation de + et

.

Si nous voulons seulement caractriser la restriction de solution u au domaine born i alors laseule connaissance des coefficients de NtD suffit. Par contre, si nous voulons en plus reconstruirela solution dans R laide de (1.4) alors il faut pouvoir caractriser les solutions u galement.Nous allons montrer que la mthode prsente ci dessous permet sans "cot" supplmentaire lacaractrisation des coefficients de NtD et des solutions u .

REMARQUE 1.2.2Il est vident que la rsolution des problmes (P ) poss dans les domaines + et de partet dautre du domaine i sont indpendants : ils peuvent donc tre traits de manire indpen-dante. Cest la raison pour laquelle notre mthode sapplique notamment aux milieux prio-diques prsentant un dfaut local mais aussi aux milieux qui prsentent des priodicits diff-rentes de part et dautre dun domaine born

(x) = p (x), x > a

o p sont des fonctions priodiques diffrentes (de priode L). Nous ferons cependant toutes

les dmonstrations avec les hypothses de dpart et nous montrerons des applications num-riques du cas gnral.

Nous allons dvelopper dans la suite la mthode de caractrisation du coefficient + et de lasolution u+ . Il va de soi que la mthode est la mme pour dterminer le coefficient

.


1.2.2 Rsolution du problme de demi-droite

Par souci de clart et pour simplifier les expressions des quations et des solutions, nous allonssupposer que L = 1 et a+ = 0.

Nous rappelons que la caractrisation de + passe par ltude du problme :

2u+x2

p(x) (2 + ) u+ = 0 sur + = R+

u+

x(0) = 1

(P+ )

On rappelle que :p(x+ 1) = p(x), x > 0

Dans le cas o la fonction p est constante, lquation (P+ ) est une simple EDO coefficientsconstants : il est facile de trouver une expression explicite de la seule solution H2 de lquation.Dans le cas gnral, on ne peut plus faire de calcul explicite. Nanmoins, la priodicit de p nousdonne le rsultat fondamental suivant :

LEMME 1.2.3Il existe un unique nombre complexe r 6= 0 tel que |r| < 1 et :

x +, u+ (x+ 1) = r u+ (x) (1.5)

Nous donnons une premire implication immdiate de ce lemme :

COROLLAIRE 1.2.4Pour tout n N et tout x [0, 1], on a :

u+ (x+ n) = rn u

+ (x)

PREUVE: Si on drive en x = 0 la relation (1.5) par rapport x, on obtient comme condition ncessaire :

r = u+x

(1).

Posons donc r gal cette valeur.

Nous pouvons noter tout dabord que r 6= 0. En effet, la restriction de u+ ]1,+[ est solution de :

2u+x2

p(x) (2 + ) u+ = 0, x 1

u+

x(1) = r

Si r = 0, par le lemme de Lax-Milgram, on en dduirait que u+ = 0 dans ]1,+[. La restriction de u+ [0, 1] serait solution de lquation de Helmholtz avec pour condition :

u+ (1) = 0 etu+x

(1) = 0

donc en utilisant le Thorme de Cauchy Lispchitz on aurait u+ = 0 sur R+, ce qui contredirait la condition

au bord :

u+

x(0) = 1.


Introduisons maintenant la fonction v dfinie par :

v(x) =u+ (x+ 1)

r, x 0

Notons que :

x > 0,(

2vx2

p (2 + ) v)(x) =

1

r

(

2u+x2

p (2 + ) u+)(x+ 1) = 0

du fait de la priodicit de p.

Comme par construction :

vx

(0) = 1,

on en dduit que v est solution H1 de (P+ ) et par consquent que v = u+ , ce qui dmontre la formule(1.5). Le corollaire 1.2.4 est une consquence immdiate de la formule (1.5).

Du corollaire, nous en dduisons que :

u+ L2(n,n+1) = |r|n u+ L2(0,1)

Par consquent :

u+ L2(R) +

n=0

|r|n < + |r| < 1.

REMARQUE 1.2.5Remarquons que pour dmontrer que r ne peut pas tre nul, nous avons utilis le Thorme deCauchy Lipschitz. Dans les dimensions suprieures, cette ide sera gnralise par largumentde prolongement unique.

REMARQUE 1.2.6Une ide classique pour rsoudre le problme (P+ ) est dutiliser la mthode de transfert (voirpar exemple [Eastham (1973) ; Reed & Simon (1972-1978) ; Weidmann (1987)] pour des rsul-tats gnraux ou [Griffiths & Steinke (2001) ; Figotin & Gorentsveig (1998)] pour ltude dun mi-lieu priodique 1D localement perturbs) et nous verrons dans la suite que dans le cas mono-dimensionnel, on peut passer facilement dune mthode lautre. La mthode de transfert sebase sur un problme de type Cauchy en la variable spatiale x alors que notre mthode sur unproblme aux deux bouts avec un des bout qui est linfini. Linconvnient de la premire estquelle ne se gnralise pas aux problmes en dimensions suprieures, ce que nous ferons ult-rieurement avec la mthode dveloppe ici.

Ce lemme est fondamental puisque la dtermination de cette constante r permet la caract-risation de + et la construction de u

+ . En effet, supposons connatre r. Pour dterminer de

manire unique u+ sur R+, le corollaire 1.2.4 nous garantit quil suffit de le dterminer sur la p-

riode [0, 1] pour pouvoir le reconstruire sur chaque priode [n, n + 1]. De plus, on voit aisment


que la restriction de u+ [0, 1], note ur, est lunique solution du problme

2urx2

p(x) (2 + ) ur = 0, x ]0, 1[,

ur

x(0) = 1, et u

r

x(1) = r.

(1.6)

ur est donc la solution dun problme pos en domaine born. La dtermination de ur permet

de plus la caractrisation de + puisque

+ = ur(0). (1.7)

Tout repose dsormais sur la caractrisation de cette valeur r.

1.2.3 Calcul de r

Nous allons montrer dans cette section que la caractrisation de r ne ncessite que la rsolutionde problmes de cellule. Lintroduction de ces problmes de cellule est trs naturelle et lie laremarque que nous venons de faire pour le calcul de + (voir expressions (1.6) et (1.7)). Introdui-sons tout dabord le problme local gnral, (, ) tant donns,

2v

x2 p(x) (2 + ) v = 0, x ]0, 1[

vx

(0) = , etv

x(1) = .

(P)

Pour rsoudre (P), pour tout (, ), il suffit de connatre e0 et e1 , les solutions des problmesde cellule suivants :

2e0x2

p(x) (2 + ) e0 = 0, x ]0, 1[

e0

x(0) = 1, et

e0x

(1) = 0,

(1.8)

2e1x2

p(x) (2 + ) e1 = 0, x ]0, 1[

e1

x(0) = 0, et

e1x

(1) = 1.

(1.9)

On a alors par linarit :

v = e0 + e1

et en particulier pour ur solution de (1.6)

ur = e0 r e1. (1.10)

On peut mme plus gnralement dterminer u+ cellule par cellule, en utilisant le Corollaire1.2.4 :

n N, x [0, 1], u+ (x+ n) = (r)n e0(x) (r)n+1 e1(x). (1.11)

Ces dernires relations rsument le fait que u+ est solution de lquation de Helmholtz cellule parcellule et que sa drive est continue en chaque point x = n. Il nous reste imposer la continuit


de u+ en chaque point n et cest cette relation qui va permettre de dterminer r. En effet, u+ est

continu sur R, en particulier au point x = 1 :

u+

[0,1]

(1) = u+

[1,2]

(1),

r est donc solution de lquation suivante :

(r)2 e1(0) r(e0(0) + e1(1)) + e0(1) = 0.

On pose :t00 = e

0(0), t

01 = e

0(1),

t10 = e1(0), t

11 = e

1(1),

(1.12)

En gnral, ces constantes que nous appellerons constantes de NtD locales ne peuvent tre cal-cules explicitement. Elles prsentent tout de mme des proprits importantes (nous verronsdans le chapitre suivant comment ces proprits stendent en dimension suprieure).

PROPOSITION 1.2.7 (PROPRITS DES CONSTANTES DE NTD LOCALES)Les constantes (t00 , t

01 , t

10 , t

11 ) vrifient les proprits suivantes quelque soient la frquence

et la donne p :

t10 = t01 , (i, j) {0, 1}, tij 6= 0, t00 + t11 6= 0

PREUVE: Pour montrer que t10 = t01 , on utilise le wronskien de lODE

w =e1x

e0 e0x

e1

qui est constant. En particulier, w(0) = w(1), ce qui entrane : t01 = t10 .

Pour montrer que t00 6= 0, il suffit de remarquer que, dans le cas contraire, e0 serait solution du problmesuivant :

2e0x2

p(x) (2 + ) e0 = 0, x ]0, 1[

e0(0) = 0, ete0x

(1) = 0,

(1.13)

La fonction e0 serait donc nulle sur [0, 1] ce qui contredit la condition au bord :

e0

x(0) = 1.

On montre de la mme faon que ncessairement t11 6= 0.

Pour montrer que t10 = t01 6= 0, il suffit de remarquer que dans le cas contraire e1 serait solution du

problme suivant :

2e1x2

p(x) (2 + ) e1 = 0, x ]0, 1[

e1

x(0) = 0, et e1(0) = 0.

(1.14)

Daprs le thorme de Cauchy-Lipschitz, la fonction e1 serait donc nulle sur [0, 1] ce qui contredit sacondition au bord x = 1.


Enfin pour montrer que t00 + t11 6= 0, il suffit dutiliser les formulations variationnelles des EDO (1.8)

et (1.9) en prenant comme fonctions test des fonctions particulires, respectivement e0 et e1 :

e0(0) =

1

0

e0x

2

dx (2 + ) 1

0

p(x)|e0|2 dx

e1(1) =

1

0

e1x

2

dx (2 + ) 1

0

p(x)|e1|2 dx

La somme de ces 2 deux expressions est ncessairement non nulle.

Ces quelques proprits des constantes NtD locales impliquent des proprits sur lquationvrifie par r et nous obtenons le rsultat suivant :

THORME 1.2.8 (EQUATION CARACTRISTIQUE DE r)r est lunique solution de module strictement infrieur 1 de lquation caractristique :

t10 r2 (t11 + t00 ) r + t01 = 0. (Er )

PREUVE: Nous avons montr que r (|r| < 1) est bien une solution de lquation caractristique. Il nousreste juste montrer quil existe seulement une racine de cette quation de module strictement infrieur

1.

Les proprits donnes Proposition 1.2.7 impliquent que cette quation est strictement de degr 2, pos-

sdant deux racines dont le produit vaut 1 et dont une est de module strictement infrieur 1. r est donc

lunique racine de module strictement infrieur 1.

Pour dterminer r, il suffit donc de rsoudre les problmes de cellules (1.8) et (1.9), de dter-miner les constantes de NtD locales (t00 , t

01 , t

10 , t

11 ) et enfin de slectionner lunique racine de

module strictement infrieur 1 de lquation caractristique (Er ).

Finalement, en utilisant les relations (1.11), (1.7), (1.10) et (1.12), la solution du problme dedemi-droite (P+ ) et la constante NtD recherche sont alors dfinies de manire unique par :

PROPOSITION 1.2.9 (PROBLME DE DEMI-DROITE AVEC ABSORPTION)La solution u+ du problme de demi-droite (P+ ) est caractrise par :

n N, x [0, 1], u+ (x+ n) = (r)n e0(x) (r)n+1 e1(x), (1.15)

et la constante NtD + lest par :

+ = ur(0) = t

00 t10 r (1.16)

1.2.4 Retour au cas du milieu homogne

Reprenons le cas particulier o le milieu est homogne pour illustrer notre caractrisation. Onconsidre de nouveau le cas o p est constant :

p(x) = 2, ( > 0)


Il est facile de voir que :

e0(x) =cosh ((1 x))

sinh et e1(x) =

cosh (x)

sinh

o on rappelle que est la solution de partie relle positive de lquation :

2 + 2 (2 + ) = 0.

On en dduit les constantes NtD :

t10 = t01 =

1

sinh et t11 = t

00 =

cosh sinh

lquation caractristique (Er ) scrit donc1

sinh

[r2 + 1 2r cosh

].

Les deux solutions de cette quation sont r = exp(), celle de module infrieur 1 tant doncr = exp().

Enfin, comme

n N, x [0, 1], u+ (x+ n) = (r)n e0(x) (r)n+1 e1(x).

on retrouve

x R+, u+ (x) =exp(x)

et la constante de NtD :+ = t

00 t10 r =

1

.

1.2.5 Le Problme pos en domaine born

Soit + dtermin par la relation (1.16) et dtermin en utilisant la mthode dans le demi-

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Etude mathématique et numérique de la propagation des ondes