1 Bac SM F La sphère ; étude analytique A.KARMIM

1

LA SPHERE

Etude analytique

I) DEFINITION ET EQUATION D’UNE SPHERE 1) Définition d’une sphère.

Dans tout ce qui va suivre, l’espace euclidien (ℰ) est muni d’un repère ℛ(𝑂, 𝑖, 𝑗, �⃗⃗�) orthonormé.

Définition :

Soit Ω un point dans l’espace (ℰ), et 𝑟 un réel positif. La sphère de centre Ω et de rayon 𝑟 est l’ensemble des

points 𝑀 dans (ℰ), tels que Ω𝑀 = 𝑟 ; On la note par : 𝑆(Ω,𝑟).

𝑆(Ω,𝑟) = {𝑀 ∈ ℰ / Ω𝑀 = 𝑟}

2) Equation d’une sphère.

2.1 Equation d’une sphère définie par son centre et son rayon. Soit Ω(𝑎, 𝑏, 𝑐) un point dans l’espace et 𝑟 ≥ 0

𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆(Ω,𝑟) ⟺ Ω𝑀 = 𝑟

⟺ Ω𝑀2 = 𝑟²

⟺ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑟²

Propriété :

Soit Ω(𝑎, 𝑏, 𝑐) un point dans l’espace et 𝑟 ≥ 0, la sphère 𝑆(Ω,𝑟) à une équation cartésienne de la forme :

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑟² (1)

Exercice

Déterminer l’équation cartésienne de la sphère de centre Ω(1, −2,0) et qui passe par 𝐴(2,1, −1).

2.2 Ensemble des points. En développant l’équation (1), on obtient :

𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆(Ω,𝑟) ⟺ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑐𝑧 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑟2 = 0

⟺ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧 + 𝛿 = 0

(où 𝛼 = −2𝑎; 𝛽 = −2𝑏 ; 𝛾 = −2𝑐 et 𝛿 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑟2)

Propriété :

Chaque sphère dans l’espace à une équation de la forme : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧 + 𝛿 = 0

Inversement :

Soit (Γ) = {𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ (ℰ)/𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧 + 𝛿 = 0 } où 𝛼, 𝛽 , 𝛾 et 𝛿 sont des réels donnés

Exercice : déterminer suivant les valeurs de 𝛼, 𝛽 , 𝛾 et 𝛿 la nature de l’ensemble (Γ).

Applications : Déterminer les ensembles suivants :

1 Bac SM F La sphère ; étude analytique A.KARMIM

2

(Γ1) = {𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ (ℰ)/𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 1 = 0 }

(Γ2) = {𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ (ℰ)/𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑥 − 𝑧 + 10 = 0 }

2.3 La sphère définie par son diamètre. Exercice :

Soient 𝐴 et 𝐵 deux points distincts dans l’espace (ℰ). et 𝑆𝑘 = {𝑀 ∈ (ℰ)/ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 𝐵𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑘} où 𝑘 est un réel donné.

1- Déterminer suivant les valeurs de 𝑘 la nature de l’ensemble 𝑆𝑘

2- Etudier le cas 𝑘 = 0.

Propriété :

Soient 𝐴 et 𝐵 deux points distincts dans l’espace (ℰ). la sphère de diamètre [𝐴𝐵] est l’ensemble des points 𝑀

dans l’espace qui vérifient : 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 𝐵𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0.

Exercice :

Soient 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) et 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) déterminer une équation de la sphère de diamètre [𝐴𝐵]

Propriété :

Soient 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) et 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵) deux points distincts dans l’espace. la sphère de diamètre [𝐴𝐵] a une

équation de la forme : (𝑥 − 𝑥𝐴)(𝑥 − 𝑥𝐵) + (𝑦 − 𝑦𝐴)(𝑦 − 𝑦𝐵) + (𝑧 − 𝑧𝐴)(𝑧 − 𝑧𝐵) = 0

2.4 La sphère circonscrit un tétraèdre. 2.4.1 L’axe d’un cercle.

Définition :

Soit (𝒞) un cercle dans l’espace de centre 𝐼 et contenu

dans le plan (𝑃). La droite (Δ) qui passe par 𝐼 et

perpendiculaire à (𝑃) s’appelle l’axe du cercle (𝒞)

Exercice :

Soit (𝒞) un cercle de centre 𝐼 et d’axe (Δ), 𝐴 et 𝐵 deux points

distincts du cercle (𝒞). Montrer que 𝑀 ∈ (Δ) ⇒ 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵

2.4.2 Le plan médiateur d’un segment.

Définition :

Soit [𝐴𝐵] un segment de milieu 𝐼 ; le plan (𝑃) qui passe par 𝐼 et

perpendiculaire à (𝐴𝐵) s’appelle le plan médiateur du segment [𝐴𝐵]

Propriété :

Si (𝑃) est le plan médiateur du segment [𝐴𝐵] alors : 𝑀 ∈ (𝑃) ⟺ 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵

1 Bac SM F La sphère ; étude analytique A.KARMIM

3

2.4.3 La sphère circonscrit au tétraèdre.

Exercice :

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un tétraèdre dans l’espace (ℰ) ; (Γ) le cercle circonscrit

le triangle 𝐵𝐶𝐷 et (Δ) l’axe du cercle (Γ), Soit (𝜋) le plan médiateur

du segment [𝐵𝐶].

1-Montrer que (Δ) coupe (𝜋) en un point Ω

2- Montrer que Ω𝐴 = Ω𝐵 = Ω𝐶 = Ω𝐷.

Propriété :

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un tétraèdre dans l’espace (ℰ) ; il existe un seule sphère circonscrit le tétraèdre 𝐴𝐵𝐶𝐷 de centre Ω

intersection du plan (𝜋) médiateur du segment [𝐴𝐵] et de (Δ) axe du cercle circonscrit le triangle 𝐵𝐶𝐷

Application :

Soient 𝐴(3,0,0), 𝐵(0,2,0) et 𝐶(0,0,3) déterminer l’équation de la sphère circonscrit le tétraèdre 𝑂𝐴𝐵𝐶.

II) POSITIONS RELATIVES D’UNE SPHERE ET D’UN PLAN. 1) Etude des positions relatives d’une sphère et un plan.

Définition :

Soit 𝑆(Ω,𝑟) une sphère dans l’espace.

o L’ensemble des points 𝑀 dans l’espace qui vérifient : Ω𝑀 ≤ 𝑟 s’appelle la boule fermée de centre Ω et

de rayon 𝑟 et on la note par ℬ(Ω,𝑟)

o L’ensemble des points 𝑀 dans l’espace qui vérifient : Ω𝑀 > 𝑟 s’appelle l’extérieur de la sphère 𝑆(Ω,𝑟)

Pour étudier les positions relatives d’une sphère 𝑆(Ω,𝑟) et d’un plan (𝑃) on étudie la distance de Ω à (𝑃).

Si 𝒅(𝛀, (𝑷)) = 𝒅 = 𝛀𝑯 > 𝑹

Si on considère un point 𝑀 quelconque sur le plan (𝑃) alors :

Ω𝑀 ≥ Ω𝐻 > 𝑅 Donc,tous les point du plan (𝑃) sont à l’extérieure de la sphère D’où : 𝑺 ∩ (𝑷) = ∅

Si 𝒅(𝛀, (𝑷)) = 𝒅 = 𝛀𝑯 = 𝑹

On a 𝐻 ∈ 𝑆 et 𝐻 ∈ (𝑃) d’où ; 𝐻 ∈ 𝑆 ∩ (𝑃) Si on considère un point 𝑀 quelconque sur le plan (𝑃) différent de 𝐻 alors :

Ω𝑀 > Ω𝐻 = 𝑅 Et alors tous les point du plan (𝑃) à l’exception de 𝐻sont à l’extérieure de la sphère . Finalement :

𝑺 ∩ (𝑷) = {𝑯}

Si 𝒅(𝛀, (𝑷)) = 𝒅 = 𝛀𝑯 < 𝑹

On a : 𝑆 ∩ (𝑃) ≠ ∅ Soit 𝑀 un point de cet intersection on a : le triangle Ω𝐻𝑀 est rectangle en 𝐻 donc (Pythagore) 𝐻𝑀2 = Ω𝑀2 − Ω𝐻² = 𝑅2 − 𝑑² (constante)

D’où : 𝐻𝑀 = √𝑅2 − 𝑑2 𝑺 ∩ (𝑷) = (𝚪) le cercle de centre 𝑯

et de rayon 𝝆 = √𝑹𝟐 − 𝒅𝟐 et qui est dans le plan (𝑃)

Exercice :

Soit 𝑆 la sphère de centre Ω(−1,1) et de rayon 3, et (𝑃): 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0

1- Ecrire une équation cartésienne de la sphère (𝑆).

2- Montrer que la sphère (𝑆) coupe le plan (𝑃) suivant un cercle (Γ).

3- a) Déterminer le rayon de (Γ)

1 Bac SM F La sphère ; étude analytique A.KARMIM

4

b) Déterminer les coordonnées du centre de (Γ)

c) Ecrire une équation cartésienne de (Γ).

2) Le plan tangent à une sphère.

Définition :

Un plan est tangent à une sphère s’il la coupe en un seul point

Propriété :

Un plan est tangent à une sphère 𝑆(Ω,𝑅) si et seulement si 𝑑(Ω, (𝑃)) = 𝑅, et leur point tangent est le point 𝐻 la

projection orthogonale du point Ω sur le plan (𝑃).

Preuve :

Voir le deuxième cas dans l’étude précédente.

Exercice :

Soit 𝑆 la sphère de centre Ω(0,1) et de rayon 2, et (𝑃𝑚): 𝑥 − 𝑚𝑦 + 𝑧 + 𝑚 = 0 ;

1- Déterminer 𝑚 pour que le plan (𝑃𝑚) soit tangent à la sphère 𝑆.

2- Déterminer le point tangent du plan (𝑃𝑚) et de la sphère 𝑆.

3) L’équation du plan tangent à l’un de ses points.

Soit la sphère 𝑆(Ω,𝑅) et 𝐴 un de ses points ; si (𝑃) est le plan tangent à 𝑆 en 𝐴 alors (d’après l’étude précédente) 𝐴 est la

projection orthogonale de Ω sur (𝑃), et donc Ω𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ est normal sur (𝑃) par suite 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ (𝑃) ⟺ A𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗. AΩ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 0

Propriété :

Soit la sphère 𝑆(Ω,𝑅) et 𝐴 un de ses points, l’équation du plan tangent à 𝑆 en 𝐴 s’obtient par l’équivalence :

𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ (𝑃) ⟺ A𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗. AΩ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 0

Exercice :

Soit 𝑆 la sphère de centre Ω(0,1) et de rayon 𝑅 = 3 ;

1- Ecrire une équation cartésienne de 𝑆.

2- Considérons le plan (𝑃): 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

a) Etudier la position relative de (𝑃) et 𝑆

b) Déterminer les coordonnées de 𝐻 la projection de Ω sur la sphère 𝑆.

c) Déterminer une équation de (Γ) l’intersection de (𝑃) et 𝑆

3- a) Vérifier que 𝐴(3,1,3) est un point de 𝑆

b) Ecrire l’équation cartésienne du (𝑄) plan tangent à 𝑆 en 𝐴

c) Etudier la position relative de (𝑄) et (𝑃).

1 Bac SM F La sphère ; étude analytique A.KARMIM

5

II) POSITIONS RELATIVES D’UNE SPHERE ET D’UNE DROITE. 1) Etude des positions relatives d’une sphère et d’une droite.

Pour étudier les positions relatives d’une sphère 𝑆(Ω,𝑟) et d’une droite (𝐷) on étudie la distance de Ω à (𝐷).

Si 𝒅(𝛀, (𝑷)) = 𝒅 = 𝛀𝑯 > 𝑹

Si on considère un point 𝑀 quelconque sur la droite (𝐷) alors :

Ω𝑀 ≥ Ω𝐻 > 𝑅 Donc, tous les point de la droite (𝐷) sont à l’extérieure de la sphère D’où : 𝑺 ∩ (𝑫) = ∅

Si 𝒅(𝛀, (𝑷)) = 𝒅 = 𝛀𝑯 = 𝑹

On a 𝐻 ∈ 𝑆 et 𝐻 ∈ (𝐷) d’où ; 𝐻 ∈ 𝑆 ∩ (𝐷) Si on considère un point 𝑀 quelconque sur la droite (𝐷) différent de 𝐻 on a alors :

Ω𝑀 > Ω𝐻 = 𝑅 Et alors tous les point de la droite (𝐷) à l’exception de 𝐻sont à l’extérieure de la sphère, finalement :

𝑺 ∩ (𝑫) = {𝑯}

Si 𝒅(𝛀, (𝑷)) = 𝒅 = 𝛀𝑯 < 𝑹

(𝐷) et 𝑆 se coupe en deux points distincts 𝐴 et 𝐵 dont le milieu est 𝐻 la rojection orthogonale de Ω sur la droite (𝐷).

𝑺 ∩ (𝑫) = {𝑨, 𝑩}

Définition :

On dit que la droite (𝐷) est tangente à la sphère 𝑆 si elles se coupent en un point.

Propriété :

Une droite (𝐷) est tangente à une sphère 𝑆(Ω,𝑅) si et seulement si 𝑑(Ω, (𝐷)) = 𝑅

Remarque :

L’ensemble des droites tangentes à une sphère 𝑆 en l’un de ses points, est le plan tangent à la sphère 𝑆 en ce point.

REPRESENTATION PARAMETRIQUE D’UNE SPHERE On a : 𝑐𝑜𝑠𝛼 =

𝑋

Ω𝑁 d’où 𝑋 = Ω𝑁𝑐𝑜𝑠𝛼

et 𝑠𝑖𝑛𝜑 =Ω𝑁

Ω𝑀 , or : Ω𝑀 = 𝑅 et donc Ω𝑁 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑

Finalement : 𝑋 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑐𝑜𝑠𝛼

Et d’autre part : 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝛼) =

𝑌

Ω𝑁=

𝑌

𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑

D’où : 𝑌 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝛼

Et on a : 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝜑) =

𝑍

𝑅 donc 𝑍 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑

On utilisant la relation de Chasles on aura :

𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂Ω⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + Ω𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

Donc : {

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑎𝑦 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑏𝑧 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑐

Où Ω(𝑎, 𝑏, 𝑐)