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E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosEjercicios Tema 2
Aproximación e interpolaciónCurso 2005/06
1. Queremos aproximar el valor1 de sin(0.1)
(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 y calcula p4(0.1)
(b) Calcula una cota superior de error absoluto y relativo que seproduce cuando aproximamos sin(0.1) mediante p4(0.1).
(c) Verifica el resultado comparando con el valor de sin(0.1) que pro-porciona la calculadora o Maple. Realiza los cálculos con 10 dec-imales.
2. Consideramos la función sin(x).
(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 usando Maple.
(b) Representa conjuntamente la función seno y el polinomio en elintervalo [−2, 2].
(c) Construye la expresión del error absoluto
e4(x) = |R4(x)| = |sin(x)− p4(x)|y represéntala en [−2, 2]. A partir del gráfico, determina una cotasuperior de error absoluto.
(d) Construye la función de error relativo
r4(x) =sin(x)− p4(x)
sin(x)
represéntala en [−1, 1]. A partir del gráfico, determina una cotasuperior de error relativo.
3. Consideramos la función cos(x),
(a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 6.
(b) Determina una cota superior del error absoluto que se comentecuando aproximamos cos(x) mediante el p6(x) en el intervalo[0, π4 ].
1En los sucesivo, los ángulos están en radianes
1
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 2
4. Queremos aproximar e0.5.
(a) Calcula el polinomio de McLaurin de orden 5.
(b) Calcula un cota superior del error absoluto y del error relativoque se produce cuando aproximamos e0.5 mediante p5(0.5). Veri-fica los resultados comparando los valores que se obtienen con lacalculador o Maple.
5. Consideramos la función ex.
(a) Construye los polinomios de McLaurin de orden 3,4 y 5 usandoMaple.
(b) Representa conjuntamente la función ex y los polinomios obtenidosen el intervalo [0, 1].
(c) Construye las función de error absoluto
ej(x) = |Rj(x)| = |exp(x)− pj(x)| , j = 3, 4, 5
y represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cadacaso, una cota superior de error absoluto.
(d) Construye las función de error relativo
rj(x) =exp(x)− pjexp(x)
, j = 3, 4, 5
represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cadacaso, una cota superior de error relativo.
(e) Amplía el cálculo de cotas de error al intervalo [−2, 2] ¿Siguesiendo bueno el comportamiento de los polinomios como aproxi-mantes de ex?
6. Consideramos la siguiente tabla de datos
x 0 1 2
y −1 1 3
(a) Plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar el poli-nomio interpolador de la tabla
(b) Escribe la matriz de Vandermonde correspondiente
(c) Resuelve el sistema y determina el polinomio interpolador
(d) Verifica los resultados con Maple
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 3
7. Consideremos la tabla de datos
x x0 x1 x2y y0 y1 y2
Puede demostrarse que el polinomio interpolador de la tabla p(x)queda determinado por la siguiente expresión
1 x x2 p(x)1 x0 x20 y01 x1 x21 y11 x2 x22 y2
= 0
(a) Usando la fórmula anterior, determina el interpolador de la tabla
x 0 1 2
y −1 1 3
(b) Resuelve el apartado (b) con Maple
8. Consideramos la siguiente tabla de datos
x 0 1 2 −1y 0 1 3 0
(a) Determina un polinomio p(x) de grado menor o igual que 3 queinterpole los valores de la tabla
(b) ¿Hay algún polinomio de grado 3 que pase por los puntos de latabla? ¿Y de grado 4?
(c) Calcula el polinomio interpolador de la tabla con Maple
9. Calcula los polinomios de grado 2 que para x = 1 y x = −1 toman elvalor 1.
10. Aproxima2 log(4)
(a) Mediante interpolación lineal a partir de los valores
log(3) = 0. 47712 12, log(5) = 0. 69897 00
(b) Mediante interpolación parabólica usando los valores del apartadoanterior y, además, log(4.5) = 0.6532125
2 log(x) representa el logaritmo decimal. Recuerda que
d
dxlog(x) =
1
x ln(10)
donde ln(x) representa el logaritmo neperiano.
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 4
(c) Determina cotas superiores para el error absoluto y relativo.
(d) Compara los valores obtenidos con el valor de log(4) que propor-ciona la calculadora. Calcula el error absoluto y relativo corres-pondientes a cada caso y verifica la corrección de las cotas supe-riores de error.
11. Consideramos la siguiente tabla de datos
x −2 −1 0 1 2
y 1 4 11 16 a
(a) Calcula el polinomio p(x) que interpola los cuatro primeros pun-tos de la tabla
(b) ¿Qué valor debe tener a para que el polinomio que interpola loscinco puntos coincida con el del apartado anterior?
(c) Determina con Maple el polinomio que interpola los 4 primerospuntos de la tabla.
(d) Determina con Maple todos los polinomios de grado 4 que inter-polan los valores de la tabla.
12. Consideramos las siguientes tablas de datos
x 0 1 2
y 1 −2 −3x 0 1 2 −1y 1 −2 −3 6
(a) Calcula los polinomios que interpolan las tablas.
(b) ¿Qué relación hay entre ellos? ¿A qué se debe esta relación?
(c) Calcula los polinomios con Maple.
13. Consideramos la siguiente tabla de datos
x 1 2 3 5 6
y 4.75 4 5.25 19.75 36
Calcula valores aproximados para f(3.5) usando polinomios de Newtonde orden 1,2,3,4, escogiendo, en cada caso, los puntos más adecuados.
14. Para una función f(x), conocemos los siguientes valores
x 1 2 4 5 6
f(x) 0 2 12 21 32
(a) ¿Cual es la mejor elección de nodos para aproximar f(3.5)median-te interpolación cuadrática?
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 5
(b) Aproxima f(3) mediante interpolación cuadrática usando unaelección de nodos distinta a la del apartado anterior.
(c) Aproxima f(3) usando el polinomio interpolador de grado máx-imo.
15. Consideramos la integral
v =1
0e−x
2dx
Es bien sabido que la función f(x) = e−x2 no tiene primitivas quepuedan expresarse como combinación sencilla de funciones elementales.Para aproximar el valor de la integral, podemos construir un polinomiointerpolador y calcular su integral
(a) Calcula el polinomio p2(x) que interpola a f(x) en los nodos
x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1.
(b) Construye con Maple una representación conjunta de f(x) y p2(x)
(c) Calcula el valor
v̄ =1
0p2(x) dx
(d) Calcula con Maple un valor aproximado de v. Determina el er-ror absoluto que se produce cuando aproximamos v mediante laintegral del polinomio interpolador.
(e) Repite todo el ejercicio tomando ahora 5 puntos igualmente repar-tidos en el intervalo y un polinomio de grado 4. Para obtener 5nodos igualmente espaciados en [a, b], hacemos
xj = a+ jh, j = 0, 1, 2, 3, 4. h =b− a4
En nuestro caso es, h = 0.25 y resulta
x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1
16. Consideramos los valores
x 0 1
y 1 2
y 1 −1
(a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar el poli-nomio de grado ≤ 3 que interpola los valores de la tabla
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 6
(b) Resuelve el sistema y verifica que, efectivamente, el polinomiocumple las condiciones exigidas
17. Calcula el interpolador de Hermite de la tabla
x 0 1
y 1 3
y 0 −1usando diferencias divididas. Verifica que el polinomio obtenido tomalos valores adecuados.
18. Consideramos los valores
x x0 x1y y0 y1y y0 y1
puede demostrarse que el polinomio de Hermite que interpola la tablaanterior queda determinado por la expresión
1 x x2 x3 p(x)1 x0 x20 x30 y00 1 2x0 3x20 y01 x1 x21 x31 y10 1 2x1 3x21 y1
= 0
Usando la expresión anterior, determina el interpolador de Hermitepara la tabla
x 0 1
y 1 2
y 1 −119. Para un objeto móvil, conocemos la posición (en metros) y la velocidad
(enm/s) en los instantes t = 4s y t = 5s. Estima el valor de la posicióny la velocidad para t = 4.5s
t 4. 5.
e(t) 40 65
v(t) 1 −1
20. Demuestra que el máximo absoluto de la función
h(x) = (x− x0)2 (x− x1)2
sobre el intervalo [x0, x1] se produce en
xM =x0 + x12
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 7
y que el valor del máximo es
M = maxx∈[x0,x1]
h(x) =(x1 − x0)4
16
21. (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola la función sin(x)en x0 = 0 y x1 = π/4.(b) Aproxima el valor de sin(0.5), calcula una cota superior de errorabsoluto.(c) Calcula una cota superior de error absoluto válida para todo x ∈[0,π/4].
22. (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola la función ex enlos nodos x0 = 0 y x1 = 0.5.(b) Aproxima el valor de e0.25, calcula una cota superior de error ab-soluto.(c) Determina cotas superiores para el error absoluto válidas paracualquier x ∈ [0, 0.5].
23. Para un objeto móvil, conocemos los siguientes datos
Tiempo (s) 0 2 3 4 5 6
Posición (m) 0 8 34 67 115 146
Velocidad (m/s) 1 1.5 3 1.5 −1 0
(a) Construye un función a trozos que modelice la distancia recorridaen la forma
e(t) =
p1(t) 0 ≤ t < 2p2(t) 2 ≤ t < 4p3(t) 4 ≤ t ≤ 6
donde pj(t) es el polinomio de Hermite que interpola la tabla enlos extremos del intervalo correspondiente.
(b) Calcula el error absoluto y relativo que se produce cuando aprox-imamos la posición y la velocidad en t = 3 y t = 5 usando e(t).
Soluciones
1. (a) El polinomio de McLaurin de orden 4 es p4 = x− x3
6 . Valor aprox-imado
p4(0.1) = 0.0998333333.
(b) Cota superior de error absoluto
|R4(0.1)| ≤ f (5)(ξ)
5!(0.1)5 ≤ 0.1
5
5!= 0.8 33333×10−7 (ξ entre 0 y 0.1).
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 8
Tenemos, por lo tanto, al menos 6 decimales exactos en la aproxi-mación. Cota superior de error relativo
δ|R4(0.1)||p4(0.1)| = 0.8 34724 2073× 10
−6.
Tenemos 6 dígitos significativos.(c) Error absoluto
e = |sin(0.1)− p4(0.1)| = 0.833135× 10−7
Error relativo
r =|sin(0.1)− p4(0.1)|
sin(0.1)= 0.834525× 10−6.
Vemos que los errores reales son, en efecto, inferiores a las cotas deerror obtenidas.
2. (a) El polinomio de McLaurin de orden 4 se construye con las órdenes
> s4:=series(sin(x),x,5);p4:=convert(s4,polynom);
(b) La representación conjunta de sin(x) y p4(x) puede hacerse con
> plot([sin(x),p4],x=-2..2);
(c) La definición de e4(x) y su representación puede hacerse con lasórdenes
> e4:=abs(sin(x)-p4);plot(e4,x=-2..2);
Una cota gráfica de error es e4(x) ≤ 0.25(d) Una cota gráfica de error relativo es δ4(x) ≤ 0.0097
3. (a) Polinomio de McLaurin
p6(x) = 1− x2
2+x4
24− x6
720
(b) Cota de error en [0,π/4]
e6(x) = |R6(x)| ≤ sin (π/4)7!
π
4
7= 0.2 586× 10−4
Cota mejorada. En el caso de f(x) = cos(x) se cumple
f (7)(0) = sin(0) = 0
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 9
y, por lo tanto,p6(x) = p7(x)
Podemos tomar la cota de error
e6(x) = |cos(x)− p6(x)| = |cos(x)− p7(x)|
= |R7(x)| = f (8)(t)
8!x8 =
cos(t)
8!x8
≤ (π/4)8
8!= 0.3 591× 10−6
El polinomio de McLaurin de orden 6 para cos(x) proporciona 5 deci-males exactos en el intervalo [0, π4 ].
4. (a) Polinomio de McLaurin
p5(x) = 1 + x+1
2x2 +
1
6x3 +
1
24x4 +
1
120x5
Valor de la aproximación
p5(0.5) = 1. 64869 792
(b) Cotas de error
e5(0.5) = |R5(0.5)| = f (6)(t)
6!(0.5)6 ≤ e
0.5
6!(0.5)6
usamos la aproximación obtenida y tomamos
e0.5 1.7
e5(0.5) ≤ 1.76!(0.5)6 = 0.3 689× 10−4
Tenemos 4 decimales exactos, el valor de la aproximación es
e0.5 = 1. 6487
La cota de error relativo es
r5(0.5) ≤e0.5
6! (0.5)6
e0.5=(0.5)6
6!= 2. 1701× 10−5
Tenemos 5 dígitos significativos.Los errores exactos son: error absoluto
e5(0.5) = e0.5 − p5(0.5) = 0. 23354× 10−4
Error relativo
r5(x) =e0.5 − p5(0.5)
e0.5= 1. 4165× 10−5
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 10
5. Cotas de error estimadas gráficamente en el intervalo [0, 1]
n = 3 n = 4 n = 5
cota en(x) 0.06 0.01 0.0017cota rn(x) 0.019 0.0037 0.00063
6. (a) El polinomio interpolador es de la forma
p2(x) = a0 + a1x+ a2x2
el sistema es a0 = −1a0 + a1 + a2 = 1a0 + 2a1 + 4a2 = 3
(1)
(b) La matriz de Vandermonde de las abscisas x0, x1, x2 es
V (x0, x1, x2) =
1 x0 x201 x1 x211 x2 x22
En nuestro caso, se obtiene
V (x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2) =
1 0 01 1 11 2 4
Observa que la matriz de Vandermonde es la matriz de coeficientes delsistema de ecuaciones (1) que determina el polinomio interpolador.(c) El sistema tiene solución
a0 = −1, a2 = 0, a1 = 2
El polinomio esp2(x) = 2x− 1
(d) Puedes construir el interpolador con las órdenes > xx:=[0,1,2];yy:=[-1,1,3];p2:=interp(xx,yy,t)
obtendrás como resultado un polinomio en la variable t. La orden paraobtener el polinomio con la variable x es
> p2:=interp(xx,yy,x)
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 11
7. (a)1 x x2 p(x)1 0 0 −11 1 1 11 2 4 3
= 0
calculando el determinante, resulta
−2 + 4x− 2p(x) = 0
y despejandop(x) = −1 + 2x
(b) Solución con MapleCargamos la librería de álgebra lineal lianlg
> with(linalg);
Construimos la matriz
> m:=matrix([[1,x,x^2,p],[1,0,0,-1],[1,1,1,1],[1,2,4,3]]);
Calculamos el determinante
> d:=det(m);
Resolvemos en p> solve(d=0,p);
8. (a) Si calculamos las diferencias divididas, resulta
x0 = 0 f [x0] = 0x1 = 1 f [x1] = 1 f [x0, x1] = 1
x2 = 2 f [x2] = 3 f [x1, x2] = 2 f [x0, x1, x2]=12
x3 = −1 f [x3] = 0 f [x2, x3] = 1 f [x1, x2, x3]=12 f [x0, x1, x2, x3] = 0
El polinomio interpolador es
p2(x) = x+1
2x (x− 1)
si operamos (no es necesario) obtenemos
p2(x) =1
2x+
1
2x2
(b) No hay ningún polinomio de grado 3 que pase por los cuatro puntos,los puntos están sobre una parábola. Hay infinitos polinomios de grado
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 12
4 que interpolan los puntos de la tabla.(c) Las órdenes son > xx:=[0,1,2,-1];
yy:=[0,1,3,0];p2:=interp(xx,yy,x);
9. Interpolamos con los datos, donde hemos añadido un nodo y le hemosdado el valor arbitrario a
x 1 −1 0
y 1 1 a
Diferencias
x0 = 1 f [x0] = 1x1 = −1 f [x1] = 1 f [x0, x1] = 0
x2 = 0 f [x2] = a f [x1, x2] = a− 1 f [x0, x1, x2]=a−1−1 = 1− a
Interpolador
p2(x) = 1 + (1− a)(x− 1)(x+ 1)= (1− a)x2 + a
10. (a) Interpolación lineal p1(4) = 0.5880456(b) Interpolación cuadrática p2(4) = 0.6009852(c) Cotas error interpolación lineal
e1(4) ≤ 0.2413× 10−1, r1(4) ≤ 4.103× 10−2
Cotas error interpolación cuadrática
e2(4) ≤ 0.268× 10−2, r2(4) ≤ 4.461× 10−3
(d) Errores interpolación lineal
e1(4) = 0.14014× 10−1, r1(4) = 2.328× 10−2
Errores interpolación cuadrática
e2(4) = 0.10748× 10−2, r2(4) = 1.785× 10−3
11. (a) En forma de Newton
p3(x) = 1 + 3 (x+ 2) + 2 (x+ 2) (x+ 1)− (x+ 2) (x+ 1)xsi operamos (no es imprescindible), resulta
p3(x) = 11 + 7x− x2 − x3
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 13
(b) Debe cumplirse a = p3(2)⇒ a = 13(c) Podemos obtener el interpolador con las siguientes órdenes > xx:=[-2,-1,0,1];
yy:=[1,4,11,16];p3:=interp(xx,yy,x);
(d) Añadimos un punto con una nodo x4 que no esté en la tabla, porejemplo, x4 = 2 y un valor arbitrario y4 = a > xx:=[-2,-1,0,1,2];
yy:=[1,4,11,16,a];p4:=interp(xx,yy,x);
12. (a) Para la primera tabla, obtenemos las diferencias
x0 = 0 f [x0] = 1x1 = 1 f [x1] = −2 f [x0, x1] = −3x2 = 2 f [x2] = −3 f [x1, x2] = −1 f [x0, x1, x2]= 1
el interpolador es
p2(x) = 1− 3x+ x (x− 1)= 1− 4x+ x2
Si añadimos x3 = −1 y f [x3] = 6 y completamos la tabla de diferencias,resulta
f [x0, x1, x2, x3] = 0
por lo tantop3(x) = p2(x)
(b) Los polinomios son iguales, esto se debe a que el polinomio p2(x)pasa por el punto adicional (x4, y4).(c) Ordenes Maple > xx:=[0,1,2];
yy:=[1,-2,-3];p2:=interp(xx,yy,x);
13. Debemos tomar, en cada caso, los nodos que mejor encajan el valorx = 3.5.— Interpolación lineal, x0 = 3, x1 = 5— Interpolación cuadrática, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2— Interpolación cúbica, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 14
— Interpolación orden 4, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6, x4 = 1Si construimos la tabla de diferencias con ese orden de nodos, resulta
f [x0] = 5.25, f [x0, x1] = 7.25, f [x0, x1, x2] = 2
f [x0, x1, x2, x3] = 0.25, f [x0, x1, x2, x3, x4] = 0
Los resultados son— Interpolación lineal, x0 = 3, x1 = 5
p1(x) = 5.25 + 7.25 (x− 3)p1(3.5) = 5.25 + 7.25 (3.5− 3) = 8.875
— Interpolación cuadrática, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2
p2(x) = p1(x) + 2 (x− 3) (x− 5)p2(3.5) = p1(3.5) + 2 (3.5− 3) (3.5− 5) = 7.375
— Interpolación cúbica, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6
p3(x) = p2(x) + 0.25 (x− 3) (x− 5) (x− 2)p3(3.5) = p2(3.5) + 2.25 (3.5− 3) (3.5− 5) (3.5− 2) = 7.09375
— Interpolación orden 4, x0 = 3, x1 = 5, x2 = 2, x3 = 6, x4 = 1. Como
f [x0, x1, x2, x3, x4] = 0
p4(x) = p3(x), p4(3.5) = p3(3.5)
14. (a) Los dos primeros nodo son x0 = 2 y x1 = 4. Como tercer nodo,podemos tomar x2 = 1, o bien, x2 = 5 pues
d(3, 1) = d(3, 5) = 2
En este primer apartado, tomamos x0 = 2, x1 = 4, x2 = 1
x0 = 2 f [x0] = 2x1 = 4 f [x1] = 12 f [x0, x1] = 5
x2 = 1 f [x2] = 0 f [x1, x2] = 4 f [x0, x1, x2]= 1
p2(x) = 2 + 5 (x− 2) + (x− 2) (x− 4)p2(3) = 2 + 5− 1 = 6
Si operamos esp2(x) = x
2 − x
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 15
(b) Con la elección de nodos x0 = 2, x1 = 4, x̄2 = 5, resulta
x0 = 2 f [x0] = 2x1 = 4 f [x1] = 12 f [x0, x1] = 5
x̄2 = 5 f [x̄2] = 21 f [x1, x̄2] = 9 f [x0, x1, x̄2]=43
p̄2(x) = 2 + 5 (x− 2) + 43(x− 2) (x− 4)
p̄2(3) = 2 + 5− 43=17
3= 5. 6667
Si operamos, resulta
p̄2(x) =8
3− 3x+ 4
3x2
(c) Si tomamos los nodos
x0 = 1, x1 = 2, x2 = 4, x3 = 5, x4 = 6
y formamos la tabla de diferencias, resulta
f [x0] = 0, f [x0, x1] = 2, f [x0, x1, x2] = 1
f [x0, x1, x2, x3] =1
12, f [x0, x1, x2, x3, x4] = − 1
30
resulta
p4(x) = 2 (x− 1) + (x− 1) (x− 2) + 1
12(x− 1) (x− 2) (x− 4)
− 130(x− 1) (x− 2) (x− 4) (x− 5)
p4(3) = 4 + 2− 1
12− 4
30= 5.7
15. (a) Usamos la función f(x) = e−x2 para calcular los valores
x 0 0.5 1
y 1 0.77880 0.36788
La tabla de diferencias es
x0 = 0 f [x0] = 1x1 = 0.5 f [x1] = 0.77880 f [x0, x1] = −0. 44240x2 = 1 f [x2] = 0.36788 f [x1, x2] = −0. 82184 f [x0, x1, x2]= −0. 37944Interpolador
p2(x) = 1− 0. 44240x− 0. 37944x (x− 0.5)
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 16
(b) La representación conjunta se puede construir como sigue
> f:=x->exp(-x^2);xx:=[0,0.5,1];yy:=map(f,xx);yy:=map(evalf,yy);p2:=interp(xx,yy,x);plot([f(x),p2],x=0..1,colour=[black,red]);
La orden yy:=map(evalf,yy); aplica evalf sobre la lista de valores yla guarda con el mismo nombre. La opción colour=[black,red]asignaordenadamente colores a las gráficas.(c) Para integrar, escribimos el polinomio en la forma
p2(x) = 1− 0. 25268x− 0. 37944x2
v̄ =1
0p2(x)dx = 1− 0. 25268
2− 0. 37944
3= 0. 74718
(d) Si tenemos definida f(x) = e−x2 como función con la orden
> f:=x->exp(-x^2);
calculamos la integral con
> v:=int(f(x),x=0..1);vf:=evalf(v);
El resultado esvf := 0.74682
Error
e2 =1
0e−x
2dx−
1
0p2(x)dx = |0.74682− 0. 74718| = 0.000 36
(e) Con los nodos
x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.50, x3 = 0.75, x4 = 1
se obtiene el interpolador
p4(x) = 0.0416063x4 + 0.4882003x3 − 1.1845557x2 + 0.0226286x+ 1
la aproximación con p4(x) es
v̄4 =1
0p4(x)dx = 0. 7468337
e4 =1
0e−x
2dx−
1
0p4(x)dx = |0. 7468241− 0. 7468337| = 0.9 6×10−5
Tenemos 4 decimales exactos.
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 17
16. Es un polinomio de grado ≤ 3H3(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x3
la derivada esH3(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x
2
Condiciones de interpolaciónH3(0) = 1H3(0) = 1H3(1) = 2H3(1) = −1
⇒
a0 = 1a1 = 1a0 + a1 + a2 + a3 = 2a1 + 2a2 + 3a3 = −1
⇒
a0 = 1a1 = 1a2 + a3 = 02a2 + 3a3 = −2
Obtenemos a0 = 1a1 = 1a2 = 2a3 = −2
El polinomio esH3(x) = 1 + x+ 2x
2 − 2x3
17. La tabla de diferencias divididas es, inicialmente
x0 = 0 f [x0] = 1x0 = 0 f [x0] = 1 f [x0, x0] = 0
x1 = 1 f [x1] = 3 f [x0, x1] = f [x0, x0, x1]
x1 = 1 f [x1] = 3 f [x1, x1] = −1 f [x0, x1, x1] f [x0, x0, x1, x1]
de donde obtenemos
x0 = 0 f [x0] = 1x0 = 0 f [x0] = 1 f [x0, x0] = 0
x1 = 1 f [x1] = 3 f [x0, x1] = 2 f [x0, x0, x1]= 2
x1 = 1 f [x1] = 3 f [x1, x1] = −1 f [x0, x1, x1] = −3 f [x0, x0, x1, x1] = −5El polinomio de Hermite es
H3(x) = 1 + 0x+ 2x2 − 5x2 (x− 1)= 1 + 7x2 − 5x3
18. Obtenemos el determinante
1 x x2 x3 p(x)1 0 0 0 10 1 0 0 11 1 1 1 20 1 2 3 −1
= 0
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 18
como se trata de un determinante de orden 5, es preferible operar conlas filas y columnas para simplificarlo
(1a − 2a)
(4a − 2a)
0 x x2 x3 p(x)− 11 0 0 0 10 1 0 0 10 1 1 1 10 1 2 3 −1
= 0
Desarrollamos por la primera fila, y obtenemos.
x x2 x3 p(x)− 11 0 0 11 1 1 11 2 3 −1
= 0
Operamos ahora por columnas, restando la primera a la cuarta columna
x x2 x3 p(x)− 1− x1 0 0 01 1 1 01 2 3 −2
= 0
desarrollamos por 2a fila
x2 x3 p(x)− 1− x1 1 02 3 −2
= 0
restamos la primera columna a la segunda
x2 x3 − x2 p(x)− 1− x1 0 02 1 −2
= 0
y desarrollamos por 2a fila
x3 − x2 p(x)− 1− x1 −2 = 0
finalmente−2x3 + 2x2 − p(x) + 1 + x = 0
de donde obtenemos
p(x) = −2x3 + 2x2 + 1 + x
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 19
19. La tabla de diferencias divididas es
t0 = 4 f [t0] = 40t0 = 4 f [t0] = 40 f [t0, t0] = 1
t1 = 5 f [t1] = 65 f [t0, t1] = 25 f [t0, t0, t1]= 24
t1 = 5 f [t1] = 65 f [t1, t1] = −1 f [t0, t1, t1] = −26 f [t0, t0, t1, t1] = −50Polinomio interpolador
H3(t) = 40 + (t− 4) + 24 (t− 4)2 − 50 (t− 4)2 (t− 5)Estimación de la posición
e(4.5) H3(4.5) = 52. 75
Derivada
H3(t) = (t− 4) + 48 (t− 4)− 100 (t− 4) (t− 5)− 50 (t− 4)2
Estimación de la velocidad
v(4.5) H3(4.5) = 37. 5
20. La función objetivo es
h(x) = (x− x0)2 (x− x1)2
Queremos obtener el máximo absoluto sobre [x0, x1]. Se trata de unproblema de extremos absolutos sobre intervalos cerrados. Observe-mos que h(x) es continua en todo R. Los posibles extremos se puedenproducir en x = x0, x = x1 y en los puntos críticos interiores.
h (x) = 2 (x− x0) (x− x1)2 + 2 (x− x0)2 (x− x1)= 2 (x− x0) (x− x1) (x− x1 + x− x0)= 2 (x− x0) (x− x1) (2x− x1 − x0)
El único punto crítico interior es
xc =x1 + x02
El valor en xc es
h(xc) =x1 + x02
− x02 x1 + x0
2− x1
2
=x1 − x02
2 x0 − x12
2
=(x1 − x0)4
16
Como h(x0) = h(x1) = 0 y h(xc) > 0, h(x) toma el máximo absolutosobre [x0, x1] en xc.
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 20
21. Tenemosf(x) = sinx, f (x) = cosx
La tabla de valores es
x x0 = 0 x1 = 0. 78539 82
y 0 0. 70710 68
y 1 0. 70710 68
la tabla inicial de diferencias es
x0 = 0 f [x0] = 0
x0 = 0 f [x0] = 0 f [x0, x0] = 1
x1 = 0. 78539 82 f [x1] = 0. 70710 68 f [x0, x1] =
x1 = 0. 78539 82 f [x1] = 0. 70710 68 f [x1, x1] = 0. 70710 68
de donde obtenemos
f [x0] = 0, f [x0, x0] = 1, f [x0, x0, x1] = −0.1269212,
f [x0, x0, x1, x1] = − 0.1516184El interpolador es
H3(x) = x− 0.1269212x2 − 0.1516184x2 (x− 0. 78539 82)= x− 0.007 8404x2 − 0.15161 84x3
(b) Aproximación de sin(0.5)
H3(0.5) = 0. 47908 76
Cota superior de error
e3(0.5) =f (4)(t)
4!(0.5− 0)2 0.5− π
4
2, t ∈ 0,
π
4
≤ sin(π4 )
24(0.5)2 (−0. 28539 82)2 = 0.0005 9995
tenemos 2 decimales exactos. El error exacto es
e3(0.5) = |sin(0.5)−H3(0.5)| = 0.000 33793 4
(c) Cota superior de error en todo el intervalo [0, π4 ].
e3(x) =f (4)(t)
4!(x− x0)2 (x− x1)2 , t ∈ 0,
π
4
≤ sin t
24(x− x0)2 (x− x1)2
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 21
según el ejercicio anterior se cumple
(x− x0)2 (x− x1)2 ≤ (x1 − x0)4
16
entonces
e3(x) ≤sin π
4
24
π44
16= 0.7007× 10−3
tenemos 2 decimales exactos en todo el intervalo.
22. Tenemosf(x) = ex, f (x) = ex
La tabla de valores es
x x0 = 0 x1 = 0. 5
y 1 1. 64872 1
y 1 1. 64872 1
la tabla inicial de diferencias es
x0 = 0 f [x0] = 1
x0 = 0 f [x0] = 1 f [x0, x0] = 1
x1 = 0.5 f [x1] = 1. 64872 1 f [x0, x1] =
x1 = 0.5 f [x1] = 1. 64872 1 f [x1, x1] = 1. 64872 1
de donde obtenemos
f [x0] = 1, f [x0, x0] = 1, f [x0, x0, x1] = 0.5948851,
f [x0, x0, x1, x1] = 0.2153448
El interpolador es
H3(x) = 1 + x+ 0.5948851x2 + 0.2153448x2 (x− 0.5)= 1 + x+ 0. 48721 27x2 + 0. 21534 48x3
(b) Aproximación de e0.25
H3(0.25) = 1. 2838156
Cota superior de error
e3(0.25) =f (4)(t)
4!(0.25− 0)2 (0.25− 0.5)2 , t ∈ (0, 0.5)
≤ e0.5
24(0.25)2 (0.25)2 = 0.2 6834× 10−3
Ejercicios: Aproximación e Interpolación 22
tenemos 3 decimales exactos. El error exacto es
e3(0.25) = e0.25 −H3(0.25) = 0.20986× 10−3
(c) Cota superior de error en todo el intervalo [0, 0.5].
e3(x) =f (4)(t)
4!(x− x0)2 (x− x1)2 , t ∈ (0, 0.5)
≤ e0.5
24
(0.5)4
16= 0.2 683× 10−3
Obtenemos 3 decimales exactos en todo el intervalo.