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etep estabilidade estrutural
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2-1
Estabilidade de Estruturas Aeronuticas I
Prof.: Domingos Svio R. Jr.
Seo 5
5 Flambagem inelstica _________________________ 2
5.1 Equao do Mdulo Tangente __________________________________________ 2
5.2 Representao de Ramberg e Osgood ____________________________________ 4
5.2.1 Exerccio __________________________________________________________ 7
5.3 Curvas para cargas crticas de colunas ___________________________________ 9
5.4 Equao de Johnson-Euler ____________________________________________ 11
5.4.1 Exerccio _________________________________________________________ 13
5.5 Referncias ________________________________________________________ 13
2-2
5 Flambagem inelstica
5.1 Equao do Mdulo Tangente
Na prtica da engenharia, em geral as colunas so classificadas de acordo com o tipo de
tenso desenvolvida em seu interior no momento da falha. Colunas compridas e esbeltas se tornaro
instveis quando a tenso de compresso permanecer elstica. A falha que ocorre denominada
instabilidade elstica. Colunas intermedirias falham devido a instabilidade inelstica, o que significa que
a tenso de compresso na falha maior do que o limite de proporcionalidade do material. E as colunas
curtas, no se tornam instveis; mais exatamente, o material simplesmente escoa ou sofre ruptura. A
aplicao da equao de Euler exige que a tenso na coluna permanea abaixo do limite de escoamento
do material (na verdade, o limite de proporcionalidade) quando a coluna sofre flambagem e, por isso, a
equao aplica-se somente s colunas compridas. Todavia, na prtica, a maioria das colunas
selecionadas tem comprimento intermedirio. O comportamento dessas colunas pode ser estudado
modificando-se a equao de Euler de modo que ela possa ser aplicada fiambagem inelstica. Para
mostrar como isso pode ser feito, considere que o material tem diagrama tenso-deformao como o
mostrado na Figura 5.1-1. Aqui, o limite de proporcionalidade lp e o mdulo de elasticidade, ou
inclinao da reta AB, E. Uma representao grfica da hiprbole de Euler, mostrada na Figura
5.1-1b. Essa equao vlida para uma coluna que tenha um ndice de esbeltez to pequeno quanto
(KL/r)lp, visto que, nesse ponto, a tenso axial na coluna torna-se cr = lp.
2-3
Figura 5.1-1: Flambagem inelstica.
Se a coluna tiver um ndice de esbeltez menor do que (KL/r)lp, a tenso crtica na coluna deve
ser maior do que lp. Por exemplo, suponha que uma coluna tenha um ndice de esbeltez (KL/r)1 <
(KL/r)lp, com tenso crtica correspondente D > lp necessria para causar instabilidade. Quando a
coluna est na iminncia de sofrer flambagem, a mudana na deformao que ocorre nela est dentro
de uma pequena faixa e, por isso, o mdulo de elasticidade ou a rigidez do material pode ser
considerado como o mdulo tangente, Et, definido como a inclinao do diagrama - no ponto D (Figura
5.1-1a). Em outras palavras, no momento da falha, a coluna comporta-se como se fosse feita de um
material que tivesse rigidez menor que quando comporta-se elasticamente, Et < E. Portanto, em geral,
medida que o ndice de esbeltez diminui, a tenso crtica de uma coluna continua a aumentar; e, pelo
diagrama - , o mdulo tangente para o material diminui. Usando essa idia, podemos modificar a
equao de Euler para incluir esses casos de flambagem inelstica substituindo o mdulo tangente do
material Et em vez de E, de modo que:
2-4
2
2
L
IEP t
Eq. 5.1-1
Essa a equao do mdulo tangente ou equao de Engesser, proposto por E. Engesser em
1889. A Figura 5.1-1b mostra uma representao grfica dessa equao para colunas intermedirias e
curtas de um material definido pelo diagrama -e na Figura 5.1-1a. Testes experimentais realizados em
um grande nmero de colunas, cada qual com uma aproximao da coluna ideal, mostraram que a
Figura 5.1-1 prev a tenso crtica da coluna com razovel preciso. Alm do mais, a abordagem do
mdulo tangente para o comportamento da coluna inelstica relativamente fcil de aplicar.
5.2 Representao de Ramberg e Osgood
H vrias equaes que propoem representar o comportamento no-linear do material. Muitas
dessas equaes so baseadas na coincidncia da equao com as curvas obtidas experimentalmente
em 3 pontos.
W. Ramberg e W. R. Osgood desenvolveram uma equao e a publicaram em 1943, no NACA
Tech. Note. Sendo muita aplicada para representao de materiais aeronuticos. Neste mtodo, os
pontos so escolhidos de forma a que as curvas coincidam nos mdulos secantes Es = F0.7 / = 0.7 E e
Es = F0.85 / = 0.85 E , como mostrado na Figura 5.2-1. Para a maioria dos materiais aeronuticos foi
observado que o ponto com mdulo secante de 0.7E est prximo da tenso de escoamento com offset
igual a 0.2%. A tenso de referncia FRef = F0.7 . As equaes relevantes podem ser facilmente
deduzidas em funo dos parmetros E, F0.7 e n:
Figura 5.2-1: Idealizao de Ramberg & Osgood
2-5
1
7.07.07.0 7
31
n
F
f
F
f
F
E Eq. 5.2-1
85.07.0ln
717ln1
FFn Eq. 5.2-2
1
7.0731nt
Ffn
EE Eq. 5.2-3
1
7.0731ns
Ff
EE Eq. 5.2-4
Figura 5.2-2: Curvas Adimensionalizadas de Ramberg-Osgood
2-6
Figura 5.2-3: Curvas tenso-deformao e mdulo tangente para chapa AL 2024-T3.
Figura 5.2-4: Curvas tenso-deformao e mdulo tangente para placas AL 7475-T7351.
Fixando n e assumindo valores de
7.0
c
F
F, pode-se calcular '
1 7.0 LE
FB . A Fig. (2-41)
mostra os grficos de Fc/F0.7 em funo de B para diversos valores de n.
2-7
Figura 5.2-5: Curvas de coluna adimensionalizadas Parmetros de Ramberg-Osgood.
5.2.1 Exerccio
A figura mostra uma seo extrudada, cujas as medidas esto listadas abaixo:
A = 12.7mm ; B = 45 mm ; T = 3mm
Uma coluna de liga Al 7075-T6 com esta seo tem 400mm de comprimento e est
simplesmente apoiado em ambas as extremidades. O membro suportado lateralmente na
direo x, de modo que a falha se dar por flexo em torno do eixo x-x.
2-8
Calcule a tenso crtica utilizando os parmetros de Ramberg-Osgood da Liga Al
7075-T6 a temperatura ambiente:
E = 72,4GPa, F0.7 = 500MPa, n = 16.6, Fcy = 482Mpa
2-9
5.3 Curvas para cargas crticas de colunas
2-10