ESTUDO DE TRIGONOMETRIA COM O USO DO

SOFTWARE GEOGEBRA

Por um ponto situado fora de uma reta se pode traçar uma e somente uma reta paralela a reta

dada.

Ricardo Augusto de Oliveira.

2

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

RICARDO AUGUSTO DE OLIVEIRA

ESTUDO DE TRIGONOMETRIA COM O USO DO

SOFTWARE GEOGEBRA

1° edição

Barra do Bugres

Edição do autor

2012

3

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

RICARDO AUGUSTO DE OLIVEIRA

ESTUDO DE TRIGONOMETRIA COM O USO DO

SOFTWARE GEOGEBRA

OLIVEIRA, R A d. Estudo de trigonometria com o uso do software geogebra, 2012, Barra do Bugres –MT editora Perse,

edição do autor.

4

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

1°. Edição Editor: Ricardo Augusto de Oliveira Revisão: Ricardo Augusto de Oliveira Diagramação: Ricardo Augusto de Oliveira Capa: Ricardo Augusto de Oliveira Impressão: Gráfica Perse Imagem da capa: Ricardo Augusto de Oliveira Imagens: Ricardo Augusto de Oliveira

Dados internacionais de Catalogação na Publicação ( CIP ) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Oliveira, Ricardo Augusto de Estudo de Estudo de trigonometria o uso do software geogebra / Ricardo Augusto de Oliveira, 1° ed -- Barra do Bugres: Editora Perse, Edição do autor, 2012-09-04 Obra em 1 v. V. 1 1° ed. Bibliografia.

1. Matemática 2. Matemática – Educação 2. 1. Titulo

ISBN N° 978-85-8196-075-3 CDD 510

5

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

DEDICATORIA

Em primeiro lugar a Deus.

O ser superior, que nos proporcionou anos de saúde e paz interior para superar as dificuldades

encontradas no decorrer do curso.

Agradecemos ainda a nossas famílias, que nos momentos difíceis nos apoiaram e nos tranquilizaram na

harmonia de nossos lares.

Ao Professor Ms° Doutorando William Vieira que muito influenciou como orientador parceiro de todas

as horas.

Aos colegas de pesquisa Tatiane Andrade e Ana Márcia, que estiveram unidos durante todo este trabalho

de estudos na UNEMAT dando idéias e informações preciosas que me valeram na construção desta

coleção.

A minha maravilhosa esposa que muito me auxiliou, deu força e se esforçou para que eu não desistisse

deste projeto que nada mais é do que uma realização pessoal.

Enfim a todas as pessoas, que de maneira direta ou indiretamente, contribuíram para a conclusão do curso

de Licenciatura Plena em Matemática dos autores, antes um sonho e agora com a conclusão desse

trabalho se torna uma realidade em nossas vidas.

6

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

7

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

Conteúdo

INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 8

TRIGONOMETRIA: .................................................................................................... 10

Triângulo retângulo: ..................................................................................................... 10

Exercícios: .................................................................................................................... 21

Propriedades do triangulo retângulo: ............................................................................ 22

Exercícios: .................................................................................................................... 41

ARCO CURVA NO PLANO OU CIRCUNFERÊNCIA?: .......................................... 42

Exercícios: ................................................................................................................... 56

CIRCULO TRIGONOMÉTRICO: ....................................................................................... 57

Exercícios: ..................................................................................................................... 72

Diferentes Arcos ........................................................................................................... 72

Exercícios: ..................................................................................................................... 80

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: .................................................................................... 81

Exercícios: ..................................................................................................................... 97

PRIMEIRA RELAÇÃO FUNDAMENTAL TRIGONOMETRIA .............................................. 98

Exercícios: ................................................................................................................... 102

SEGUNDA RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA e A F(X) COTANGENTE .. 103

Exercícios: ....................................................................................................... 110

ESTUDOS DOS SINAIS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. ........................................ 111

8

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

INTRODUÇÃO

Este livro diz a uma coleção que ainda não está totalizada e que trata de trigonometria, geometria plana,

analítica, vetorial, calculo álgebra, e outros temas do curso de matemática, diz respeita ainda ao objetivo

do autor em publicar materiais que ajude professores e alunos a perceber de maneira mais simples

possível que o uso de softwares como o geogebra muito podem ajudar no ensino e no estudo da

matemática, de aplicar suas experiência apreendidas durante o projeto de iniciação científica vivenciada

na UNEMAT de Barra do Bugres, onde se discutia o uso do software GEOGEBRA e do Ambiente

TELEDUC para a formação continuada de professores.

Neste contexto surge em meio das discussões referentes à qualidade do material, a possibilidade de se

aplicar cursos de geometria plana, analítica, vetorial e de trigonometria com o uso do software

GEOGEBBRA por meio da plataforma de ensino TELEDUC, tanto a professores de matemática

(enfatizando o uso deste recurso que é o software)quanto para alunos de ensino fundamental e médio

(enfatizando a construção de conceitos geométricos), em fim.

Este livro propõe em linguajar misto (matemático cientifico e popular) por meio da transposição didática,

alcançar tanto a professores quanto a alunos para os objetivos acima especificados, dando maior ênfase ao

segundo, de modo que não fique simples de mais para professores ou complicado de mais para alunos

sem muita experiência.

9

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

Esta coleção ainda, da mais ênfase as demonstrações dos conceitos geométricos e na forma de como as

construir com os recursos do GEOGEBRA, e por isso se justifica a quantidade de passo a passo

exemplificados neste material.

No entanto é importantíssimo que o leitor antes de se aventurar neste fascículo, passear nos manuais do

software geogebra, fazer pequenas atividades de reconhecimento do software, e estar em acesso a bons

materiais (impressos ou virtuais) de trigonometria para que possa acompanhar cada detalhe deste material

que não é nem fácil de mais e nem mesmo muito complicado, servindo assim para o estudo de alunos e

professores sem grande distanciamento de público.

Esperamos que o mesmo fosse de muita utilidade tanto para os que gostam da disciplina e buscam formas

de estudá-las ou transpor seus conceitos fundamentais, quanto para iniciantes em cursos de matemática,

seja no ensino fundamental, médio graduação ou continuada.

Estaremos sempre dispostos a receber correções criticas e opiniões de nossos leitores.

Que Deus lhe abençoe com esta leitura.

algustoricardo@hotmail.com

10

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

TRIGONOMETRIA:

Trigonometria, esta área do conhecimento matemática possui uma infinidade de aplicações práticas.

Como já se sabe, desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis (para

a época) de serem calculadas por métodos comuns, como por exemplo: determinar a altura de uma

pirâmide, medida da distancia da terra a lua, o volume de uma esfera ou um cilindro, dentre outras

atividades, a largura de um riu, e outras atividades.

Desta forma, propõe neste fascículo uma abordagem geral quanto aos conteúdos estudados em

trigonometria tanto do ensino fundamental quanto do ensino médio, embasados em materiais pesquisados

e selecionados nos mais diversos sites seguros e reconhecidos e livros conceituados como, por exemplo:

site SÓMATEMÁTICA. MATEMÁTICA ESSESSIAL, livros coleção FUNDAMENTOS DA

MATEMÁTICA ELEMENTAR, e outros, tratando-os de maneira a geometrizar seus conceitos e aplicá-

los no software geogebra, não como aplicação de modelagem e sim na tentativa de conceituar seu estudo.

Triângulo retângulo:

Um triângulo retângulo é um triângulo que contem um de seus ângulos internos tenha medida de 90° ou

ângulo reto (ângulo de noventa graus), sendo que uma de suas características é que dado um triângulo

retângulo qualquer dois de seus ângulos são complementares, pois independente de seus valores, eles

somados sempre formarão um ângulo reto.

11

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

Perceba isto em sua construção: abra o software geogebra excluindo-se a janela de álgebra e os eixos de

fundo.

Com a ferramenta “reta definida por dois pontos” crie uma reta AB qualquer depois com a ferramenta

“reta perpendicular” clique no ponto A da reta criada e na reta AB para que se gere uma reta

perpendicular a reta AB passando por B, em seguida com a ferramenta “novo ponto” clique na reta

perpendicular gerada e na reta AB de modo que se gere o ponto C pertencente a esta reta e não pertinente

12

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

a reta AB e por fim, novamente com a ferramenta “reta definida por dois pontos” clique no ponto C e no

Ponto A criando assim a reta CA.

13

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

Perceba que a reta BC criada passando por B não é uma reta qualquer, é uma reta (perpendicular) ou seja,

dada duas retas (a) e (b), seja (a) perpendicular a (b), essas retas Forman juntas um 90° graus e um

externo de 270°, sendo assim, a reta BC passando em B da reta AB é perpendicular a reta AB, formando

assim o ângulo reto do triângulo retângulo ABC.

Para ver isto no software, use a ferramenta “ângulo” e clique seguidamente nos pontos CBA e depois nos

pontos ABC, encontrando assim os ângulos de 270° e 90° respectivamente.

14

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO

Caso os valores não estejam aparecendo clique com o botão direito do mouse no objeto e escolha a opção

exibir rótulo,ou ainda em propriedades e escolha a opção “básica”, “exibir rótulo”, e escolha “nome e

valo”, então é só clicar em “fechar” opção logo abaixo da janela de propriedades que você acaba de abrir.

15

ISBN 978-85-8196-075-3 IMPRESSO