Estudio socioepistemológico de la tangente como objeto

Instituto Politécnico Nacional

Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del

IPN

Estudio socioepistemológico de la tangente como objeto

escolar

Tesis que para obtener el grado de Doctorado en Matemática Educativa

presenta:

Luis Arturo Serna Martínez

Director y Directora de la tesis:

Dr. Apolo Castañeda Alonso

Dra. Gisela Montiel Espinosa

México, D.F., abril de 2015

Autorización,de,uso,de,obra,,

Instituto,Politécnico,Nacional,P,r,e,s,e,n,t,e,!Bajo!protesta!de!decir!verdad!el!que!suscribe!Luis%Arturo%Serna%Martínez!(se!anexa!copia!simple!de!identificación!oficial),!manifiesto!ser!autor!y!titular!de!los!derechos!morales! y! patrimoniales! de! la! obra! titulada! Estudio% socioepistemológico% de% la%tangente%como%objeto%escolar,!en!adelante!“La!Tesis”!y!de!la!cual!se!adjunta!copia,!por!lo!que!por!medio!del!presente!y!con!fundamento!en!el!artículo!27!fracción!II,!inciso!b)!de! la!Ley!Federal!del!Derecho!de!Autor,!otorgo!a!el! Instituto!Politécnico!Nacional,! en! adelante! El! IPN,! autorización! no! exclusiva! para! comunicar! y! exhibir!públicamente!total!o!parcialmente!en!medios!digitales!televisión,!prensa,!internet!“La!Tesis”!por!un!periodo!de!10%años! contado!a!partir!de! la! fecha!de! la!presente!autorización,!dicho!periodo!se!renovará!automáticamente!en!caso!de!no!dar!aviso!a!“El!IPN”!de!su!terminación.!!En!virtud!de!lo!anterior,!“El!IPN”!deberá!reconocer!en!todo!momento!mi!calidad!de!autor!de!“La!Tesis”.!!Adicionalmente,! y! en! mi! calidad! de! autor! y! titular! de! los! derechos! morales! y!patrimoniales!de!“La!Tesis”,!manifiesto!que!la!misma!es!original!y!que!la!presente!autorización! no! contraviene! ninguna! otorgada! por! el! suscrito! respecto! de! “La!Tesis”,! por! lo! que! deslindo! de! toda! responsabilidad! a! El! IPN! en! caso! de! que! el!contenido! de! “La! Tesis”! o! la! autorización! concedida! afecte! o! viole! derechos!autorales,! industriales,! secretos! industriales,! convenios! o! contratos! de!confidencialidad! o! en! general! cualquier! derecho! de! propiedad! intelectual! de!terceros!y!asumo!las!consecuencias!legales!y!económicas!de!cualquier!demanda!o!reclamación!que!puedan!derivarse!del!caso.!!

México,!D.F.,!!!1!!de!!abril!!de!2015.!!

Atentamente!!!

Luis!Arturo!Serna!Martínez!____________________________!

Índice Página

Resumen I

Abstract III

Glosario V

Introducción IX

Capítulo 1

Antecedentes 1

1.1 Problemática del estudio del Cálculo Diferencial 1

1.1.1 Enseñanza basada en algoritmos 2

1.1.1.1 Como un procedimiento más formal 3

1.1.1.2 El algoritmo como lo más sencillo de usar 4

1.1.2 El uso de las reglas algebraicas 5

1.1.3 Derivada 6

1.1.3.1 Dificultad en problemas de aplicación 7

1.1.3.2 Minimizar el significado geométrico de la derivada. 8

1.1.4 Libros de texto 9

1.1.5 Los Profesores 10

1.1.5.1 El Profesor sus concepciones y creencias 10

1.1.5.2 El modelo de enseñanza 12

1.2 Estado Actual de la Recta Tangente en La Escuela 14

1.2.1 Programa de Estudio de Pensamiento del Cálculo Diferencial 14

1.2.1.1 El nuevo Plan de Estudios 22

1.2.2 Tratamiento de la recta tangente en un libro de texto 27

1.2.3 Entrevista a Profesores 29

Capítulo II

Estado del Arte 36

2.1 Introducción 36

2.2 Elementos de tipo histórico usados en el aula de matemáticas 38

2.3 La historia y los usos del conocimiento en la Socioepistemología 41

2.4 Propósito del Estado del Arte 42

2.5 Constructos asociados a la recta tangente desde un punto de vista variacional 42

2.6 Estudios Histórico-Epistemológicos 45

2.6.1 Diferencias 45

2.6.2 Magnitudes 48

2.6.3 Máximos y mínimos 56

2.6.4 Recta Tangente 64

2.7 Diseños didácticos basados en productos de investigación 83

2.8 Resumen de características relevantes de las fuentes epistemológicas 91

Capítulo III

Problema de Investigación 98


3.2 El Modelo de Conocimiento 100

3.4 La institucionalización escolar 105

3.5 Una construcción a partir de la actividad humana 111

3.6 Problema de investigación 114

3.7 Propósito de la investigación 117

Capítulo IV

Marco Teórico 119


4.2 El uso de la historia 121

4.3 La herramienta matemática como una construcción social 123

4.4 Modelo: Usos-Herramienta-Actividad, Práctica de referencia- 125

Resignificación-Funcionalidad y Práctica Social

4.4.1 Una mirada al escenario histórico 130

4.4.2 Una mirada al aula 134

4.5 Usos de conocimiento 138

4.5.1 Desarrollo de usos de conocimiento 141

4.6 La Funcionalidad 142

4.7 A manera de Conclusión 144

Capítulo V

El Método 147


5.2 La Historia 148

5.2.1 Las herramientas 151

5.3 El modelo a utilizar para la construcción de conocimiento 152

5.4 Usos de conocimiento 154

5.5 Creación de las secuencias 155

5.5.1 Categorías de las preguntas realizadas en las secuencias 156

5.5.2 Secuencia didáctica 1. Curva-segmento 167

5.5.3 Secuencia didáctica 2. Inclinación de la recta tangente 170

5.5.4 Secuencia didáctica 3. Recta tangente variable 174

5.5.5 Secuencia didáctica 4. Recta tangente-Función 179

5.5.6 Secuencia didáctica 5. Recta tangente-Gráfica-Derivada 184

5.6 El ambiente de trabajo 186

5.7 A manera de cierre 188

Capítulo VI

Análisis de los datos 190


6.1 Secuencia didáctica 1 191

6.1.1 Uso-Herramienta-Actividad 191

6.1.1.1 Evidencia empírica, Uso-Herramienta-Actividad 192

6.1.1.2 Elementos del modelo puesto en juego 198

6.1.1.3 Análisis de los datos 199

6.1.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad 201

6.1.2.1 Evidencia empírica, Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad

202









6.2.2.1 Evidencia empírica, Práctica-Resignificación-Funcionalidad 216










236










258










275



6.6 La Práctica Social 286

6.6.1 La predicción 386

6.7 A manera de cierre 291

Capítulo VII

Conclusiones finales 293

7.1 Con respecto a las preguntas de investigación 293

7.2 Con respecto al método utilizado. El diseño de las secuencias 304

7.3 La puesta en escena 307

Bibliografía 311

Anexo 317

Secuencia didáctica 1 318





Índice de figuras y tablas Página

Figura i.1 XIII

Figura 1.1 28

Figura 1.2 29

Figura 1.3 30

Figura 2.1 50

Figura 2.2 52

Figura 2.3 54

Figura 2.4 55

Figura 2.5 57

Figura 2.6 58

Figura 2.7 59

Figura 2.8 61

Figura 2.9 65

Figura 2.10 68

Figura 2.11 69

Figura 2.12 70

Figura 2.13 72

Figura 2.14 78

Figura 2.15 78

Figura 2.16 83

Figura 2.17 85

Figura 2.18 86

Figura 2.19 89

Figura 2.20 89

Tabla 2.21 93

Tabla 2.22 94

Tabla 2.23 95

Tabla 2.24 96

Tabla 2.25 97

Figura 4.1 128

Figura 4.2 128

Figura 4.3 130

Figura 4.4 139

Figura 4.5 145

Figura 5.1 152

Figura 5.2 157

Figura 5.3 158

Figura 5.4 163

Figura 5.5 167

Figura 5.6 167

Tabla 5.7 170

Figura 5.8 171

Tabla 5.9 172

Figura 5.10 175

Figura 5.11 176

Tabla 5.12 178

Tabla 5.13 179

Figura 5.14 180

Tabla 5.15 182

Tabla 5.16 183

Tabla 5.17 186

Figura 6.1 194

Figura 6.2 195

Figura 6.3 196

Figura 6.4 196

Figura 6.5 197

Figura 6.6 198

Figura 6.7 198

Figura 6.8 203

Figura 6.9 205

Figura 6.10 207

Figura 6.11 208

Figura 6.12 211

Figura 6.13 216

Figura 6.14 218

Figura 6.15 218

Figura 6.16 220

Figura 6.17 220

Figura 6.18 228

Figura 6.19 229

Figura 6.20 229

Figura 6.21 230

Figura 6.22 232

Figura 6.23 237

Figura 6.24 237

Figura 6.25 238

Figura 6.26 240

Figura 6.27 240

Figura 6.28 242

Figura 6.29 243

Figura 6.30 243

Figura 6.31 245

Figura 6.32 247

Figura 6.33 250

Figura 6.34 252

Figura 6.35 253

Figura 6.36 253

Figura 6.37 254

Figura 6.38 255

Figura 6.39 256

Figura 6.40 256

Figura 6.41 259

Figura 6.42 259

Figura 6.43 260

Figura 6.44 260

Figura 6.45 261

Figura 6.46 262

Figura 6.47 262

Figura 6.48 265

Figura 6.49 266

Figura 6.50 268

Figura 6.51 269

Figura 6.52 270

Figura 6.53 271

Figura 6.54 273

Figura 6.55 276

Figura 6.56 279

Figura 6.57 280

Figura 6.58 281

Figura 6.59 281

Figura 6.60 283

Figura 6.61 287

Figura 6.62 287

Figura 6.63 288

Figura 6.64 289

Figura 6.65 289

Figura 7.1 298

Figura 7.2 299

Figura 7.3 303

I

Resumen El presente trabajo de investigación muestra evidencias de diferentes problemáticas existentes en la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo Diferencial, estas son producto de una forma de concebir las matemáticas lo cual se ve reflejado en los modelos de enseñanza que asumen los profesores, así como también en los estudiantes, libros de texto y programas de estudio; como si todo estuviera concordante para perpetuar un circulo vicioso que ha dado muestras de ser ineficiente.

Una de las dificultades presentes en la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo Diferencial se encuentra al abordar el tema de recta tangente a una curva, la forma en cómo es tratado ha sido reportado como una fuente de dificultad entre los estudiantes. Nuestra propuesta es diferente al enfoque tradicional el cual toma al objeto matemático como el principal objeto de estudio, en nuestro caso usamos la teoría Socioepistemológica quien sostiene necesario considerar a la actividad humana como la fuente de donde se pueden retomar elementos para el quehacer en el aula, esto debido a que es el ser humano quien construye el conocimiento matemático, por lo tanto tiene sentido no sólo considerar solamente a la estructura final hecha por éste (Cordero y Silva-Crocci, 2012).

Por lo que se hizo necesario considerar aquellos elementos presentes en los orígenes del Cálculo, en donde las matemáticas nacen para responder a problemáticas presentes en una comunidad inserta en un escenario sociocultural el cual caracteriza al conocimiento. Se retomaron productos de investigación en donde se identificaron los orígenes del Cálculo como una herramienta para resolver problemas de cambio y variación propios de la época, todo con el fin de generar un diseño didáctico cuya intención es que los estudiantes puedan construir la recta tangente desde un punto de vista variacional, por lo que va a servir como herramienta para determinar el cambio y variación de una función, lo cual implica describir el comportamiento de la misma. Para lograr esto se identificó cuál fue la práctica de referencia en donde tuvo su origen y desarrollo, una propuesta de este tipo también conlleva a un rediseño del discurso Matemático Escolar.

En nuestro marco teórico propusimos un modelo de construcción social del conocimiento que tomó en cuenta las actividades que se llevan en un escenario histórico y culturalmente situado, de tal forma que los usos de herramientas matemáticas para llevar acabo tales actividades se encontraban contextualizadas dentro de una práctica de referencia, en nuestro caso la práctica de la tangente variacional, a partir de la interacción herramienta-actividad surgen nuevos significados, es decir hay una resignificación del conocimiento, lo cual quiere decir que éste se enriquece progresivamente, considerando las ideas iniciales pero robusteciéndolas con el fin de tener una matemática funcional que responda y tenga sentido en el contexto en donde es utilizada y que permita analizar la realidad e intervenir sobre ella para transformarla, la generación de nuevos significados retroalimenta a la práctica misma la cual es normada por una práctica social , que en el caso que nos ocupa es la predicción.

Para el diseño se retomaron aportes de las investigaciones de nuestro estado del arte, así como los resultados hallados en Serna (2007) y nuestro modelo de construcción social del conocimiento, el diseño consistió en cinco secuencias didácticas las cuales tuvieron un orden. El orden de las secuencias refleja la historicidad de la práctica de la tangente variacional, ésta nos permite reconocer que una práctica tiene un origen y desarrollo, por lo

II

que fuimos a indagar los orígenes de la práctica, donde se encontraban sus primeras nociones y a partir de ahí otros momentos en la historia en donde de acuerdo a nuestros análisis había una resignificación del conocimiento, volviéndose éste cada vez más funcional.

Con base en la historicidad de la práctica de la tangente variacional se identificaron momentos históricos en donde en cada uno de ellos se iban construyendo diferentes elementos característicos de la práctica de la tangente variacional, por lo que el orden de las secuencias no obedeció a el establecido por el de un programa de Cálculo Diferencial tradicional sino más bien en base a la historicidad de la práctica.

En las secuencias se presentaron actividades similares a las de los usos de conocimientos de antaño, pero adecuándolas a un contexto matemático familiar a los estudiantes, en el desarrollo de las secuencias se implementaron preguntas que tenían la intención de que con sus respuestas los estudiantes argumentaran con elementos de cambio y variación y con base en ello se fueran construyendo cada una de las nociones matemáticas características de la práctica de la tangente variacional.

La puesta en escena de las secuencias con los estudiantes dio evidencias para contrastar lo dicho por la teoría Socioepistemológica con base en el análisis de los datos obtenidos. De acuerdo a los resultados obtenidos decimos que los estudiantes construyeron la recta tangente desde un punto de vista variacional, no al considerar a ésta como el principal objeto de estudio, sino más bien a la práctica que le dio origen y desarrollo. Nuestro trabajo de investigación también dio cuenta de un método que nos permitió observar la construcción de conocimiento en base a la articulación de diferentes constructos de la Socioepistemología, creemos que este método puede ser usado en otros trabajos de investigación, donde haya que hacer un análisis de los usos de conocimiento, también para el diseño de secuencias didácticas, así como para el análisis de las mismas. En él podemos ver como al usar una noción matemática como herramienta, da evidencia de la apropiación de un conocimiento, en donde se puede ver manifestada una matemática funcional, una que permita ver y analizar la realidad, lo cual promueve el desarrollo del pensamiento matemático en los estudiantes y coadyuva a la formación de seres pensantes que podrán contribuir al desarrollo de la sociedad al insertarse activamente en la misma.

III

Abstract The present research shows evidence of different problems that exist in the teaching and learning of Differential Calculus, these are the product of a way of conceiving mathematics which is reflected in the teaching models that assume teachers, as well as students, textbooks and curricula, as if all were concordant for perpetuating a vicious cycle that has shown to be inefficient.

One of the difficulties in teaching and learning of differential calculus is to address the issue of line tangent to a curve, the way how it is treated has been reported as a source of difficulty for students. Our proposal is different to the traditional focus which takes the mathematical object as the main object of study, in our case we use the theory socioepistemological who maintains necessary to consider human activity as the source where you can pick up items for the work in the classroom, because it is the human being who builds mathematical knowledge, therefore makes sense not only consider the final structure only made by this (Cordero & Silva-Crocci, 2012).

So it became necessary to consider those elements in the origins of calculus, where mathematics born to address this problem in a community inserted in a scenario which characterizes socio-cultural knowledge. It resumed research products which identified the origins of calculus as a tool to solve problems of change and variation typical of the time, all in order to generate a didactic design is intended that students can construct the tangent from variational point of view, so it will serve as a tool to determine the change and variation of a function, which implies describe the behavior of the same. To achieve this we identified what was the reference practice where originated and development, a proposal of this type also leads to a redesign of school mathematical discourse.

In our theoretical framework we proposed a model of social construction of knowledge that took into account the activities that are carried in a historic setting and culturally situated, so that the use of mathematical tools to carry out such activities were contextualized within a reference practice in our case the practice of variational tangent, from tool-activity interaction arise new meanings, is to say there is a redefinition of knowledge, which means that it is enriched progressively consider but by enriching the initial ideas to have a mathematical function that responds and makes sense in the context in which it is used and to analyze the reality and act on it to transform it, creating new meanings feedback to the practice itself which is ruled by a social practice that the present case is the prediction.

For the design of the research took contributions from our state of the art and the results found in Serna (2007) and our model of social construction of knowledge, the design consisted of five didactic sequences which had a order. The order of the sequences reflects the historicity of the tangent variational practice, this allows us to recognize that a practice has an origin and development, so we went to investigate the origins of the practice, where their first notions and from there other times in history where according to our analysis was a redefinition of knowledge, turning it increasingly functional.

Based on the historicity of the practice of the variational tangent, identified historical moments where in each of them were building different elements characteristic of the practice of the variational tangent, so that the order of sequences didn´t obey the established

IV

by a traditional Differential Calculus program but rather based on the historicity of the practice.

In the sequences were submitted similar activities of the uses of knowledge of the past, but adapting them to a mathematical context familiar to students, in the development of the sequences were implemented intended questions whose answers in the students was that argued with elements of change and variation, based on this it was constructing were each mathematical notions of the practice characteristics of variational tangent.

The staging of the sequences with the students gave evidence to contrast what was said by Socioepistemology theory based analysis of the data obtained. In concordance with the results say that the students built the tangent from a variational point of view, not to consider it as the main object of study, but rather a practice that originated and development.

Our research also reported on a method that allowed us to observe the construction of knowledge based on the articulation of different constructs of the Socioepistemology, we believe that this method can be used in other research, which has to do an analysis of knowledge uses, also for the design of didactic sequences and for analysis thereof. In it we can see how to use a mathematical notion as a tool, gives evidence of ownership of knowledge, where you can see manifested a functional mathematics, one that can view and analyze reality, which promotes the development of mathematical thinking in students and contributes to the formation of thinking people who can contribute to the development of society to become actively involved in it.

V

Glosario Actividades: Conjunto de acciones supeditadas a una necesidad de orden mayor, en nuestro

caso sería la práctica, la cual es llevada a cabo por personas insertas en una comunidad

para resolver problemas propios de su contexto sociocultural.

Discurso Matemático Escolar: Es el conjunto de normas y restricciones que se

manifiestan en las diferentes formas de representar las matemáticas y su enseñanza-

aprendizaje en el sistema escolar. Se manifiesta a través de lo que manifiesta el profesor en

el aula, lo que es prioritario para él y que comunica a los estudiantes a partir de sus

explicaciones, diseños didácticos. Se presenta en los libros de texto, programas de estudio,

guías, formularios, exámenes u otros materiales didácticos.

Enseñanza Tradicional: En ella se concibe a las matemáticas como algo ya dado de

antemano e inmutable, bajo este esquema de pensamiento el profesor da una definición para

posteriormente resolver un ejemplo y que después los alumnos hagan ejercicios similares,

es decir se pretenden transmitir habilidades por la repetición de ejercicios; las matemáticas

son presentadas como una colección de hechos y procedimientos los cuales son

transmitidos del Profesor a los alumnos.

Herramienta matemática: Es un artefacto intelectual creado y consensado por un

colectivo el cual permite amplificar sus capacidades para llevar a cabo sus tareas cotidianas

así como resolver los problemas de su entorno.

Historicidad: Es una red de relaciones en donde surgen significados, estas tienen que ver

con el contexto en donde nacen las nociones, en nuestro caso nociones matemáticas en

donde se considera a los significados como algo dinámico, cambiante, no sólo como un

producto de lo anteriormente acumulado en el pasado sino también como algo producente y

con potencial de producir nuevas nociones matemáticas.

Matemática Funcional: Se refiere a aquellas matemáticas utilizadas que adquieren uso y

significación en un contexto específico, lo funcional considera una lógica humana, (la cual

no necesariamente es igual a una lógica formal) es decir aquello que ha servido y/o sirve

para el progreso del ser humano, en su intento por resolver sus problemas y se ve

manifestado en su conocimiento puesto en uso. Una matemática funcional le permite al ser

humano hacer un análisis de su realidad para que en caso de ser necesario, transformarla.

VI

Práctica de referencia: Se manifiesta como un conjunto de actividades organizadas en un

contexto situacional con la intención de resolver un problema, cada una de las acciones que

son llevadas a cabo son normadas por la una necesidad de orden mayor que es la práctica

social.

Práctica Social: Se encuentra en la base de construcción del conocimiento matemático ya

que es la regula cada una de las actividades de los individuos que forman parte de una

comunidad o un colectivo se va a presentar por generaciones ya que es permanente más no

estática, puesto que tiene un carácter dinámico, esto debido a que la construcción de los

saberes que va normando se van resignificando, volviéndose cada más funcionales.

Resignificación: Ésta se lleva a cabo en un colectivo en donde a partir de las interacciones

entre sus miembros y haciendo uso de herramientas matemáticas para ejecutar actividades

surgen significados, estos retoman como base a los ya existentes pero robusteciéndoles, por

lo que podemos decir que se da la resignificación cuando hay una apropiación progresiva

del saber.

Secuencia didáctica:

Es un diseño que se lleva a cabo a partir de un análisis de los usos del conocimiento. Para tal efecto se llevan actividades en el sentido de Montiel (2005, 2011)1. La herramienta matemática2

Para dos arcos que parten de un punto común, también se pueden establecer las subtensas envueltas por dichos arcos de acuerdo a la siguiente figura:

es aquella que se encarga de llevar a cabo las actividades, para lo cual se hace necesario, considerar el contexto situacional. Por ejemplo ante la situación de querer predecir las posiciones de los cuerpos celestes, Copérnico en su libro Sobre las revoluciones de las orbes celestes, se plantea la siguiente situación:

De tal forma que la razón entre los dos arcos es mayor que la razón entre la mayor y la menor de las rectas subtendidas. Para lo cual se hace uso de la herramienta matemática:

1 Es aquella normada por una necesidad de orden mayor cuyo origen, práctico o teórico, depende del contexto o circunstancia que lo envuelve. Reflejan necesidades sociales, de origen pragmático o reflexivo, según sea el caso, de un momento y lugar determinados. 2 Un objeto matemático como la recta tangente puede ser considerado como herramienta, cuando es usado por un colectivo y permite amplificar sus capacidades cotidianas, así como para resolver problemas.

A

C B

VII

𝐴𝐵�𝐴𝐶� > 𝐴𝐵��

𝐴𝐶��

Considerar lo que está pasando cuando los puntos B y C se acercan cada vez más y más al punto A no necesariamente es algo exclusivamente matemático, más bien obedece a un contexto sociocultural propio de la época en donde lo que se deseaba era poder predecir las posiciones de los cuerpos celestes. De manera intencional se les pide a los estudiantes que lleven a cabo las actividades de calcular, comparar e inferir, por medio del uso de la herramienta matemática planteada. A partir de esta interacción herramienta-actividad situada dentro de un contexto, se pretende que los estudiantes puedan concluir que la curva se comporta como una recta siempre y cuando los puntos B y C se encuentren lo suficientemente cerca del punto A. El profesor-investigador organiza de manera intencional las tareas a llevar a cabo, tomando en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes. De tal forma que en el ejercicio de la práctica de la tangente variacional se pretende que se enlacen las ideas previas de los estudiantes con los nuevos significados que se desea construir. En la organización del grupo humano (las tareas llevadas a cabo por los estudiantes) se construyen nuevos significados, esto es a lo que vamos a llamar resignificación y los significados así construidos son funcionales ya que tienen sentido en el contexto que se están utilizando y permiten hacer un análisis de la realidad. El contexto situacional ahora es más amplio con los significados construidos previamente y

ahora se puede diseñar una nueva secuencia en donde se considera lo construido de

antemano y se puede volver a repetir el proceso, la organización de las nuevas secuencias a

construir no tiene que ver necesariamente con la secuenciación de los temas en el programa

de Cálculo Diferencial el orden de los temas tiene que ver más bien con la actividad

humana, en donde la historicidad de la práctica de la tangente variacional se hace presente

y es lo que es tomado en cuenta en el diseño de las nuevas secuencias.

Segmento infinitesimal: Es la representación gráfica de dos puntos que se encuentran

infinitamente cercanos entre sí, aunque estrictamente hablando no se les debería

representar, pero esto permite construir argumentos para dar explicaciones sobre el cambio

y variación de una función entre dos variables.

Tangente variacional: Es aquella recta que toca (o corta) a la curva en un punto de la

misma, pudiendo volver a tocarla (o cortarla) en otro punto (pero no cercano en la zona de

contacto) la recta tangente tiene la misma dirección que la curva en la zona de contacto y su

pendiente es igual a la de la razón de cambio instantánea, esto se deduce con base a la

consideración de que un punto es un segmento infinitesimal, por lo que éste y la recta son

uno mismo en la zona de contacto, lo que justifica que tengan la misma pendiente. Al hacer

la consideración de que la curva está formada por una cantidad infinita de puntos, en cada

VIII

punto de la curva la recta tangente a un punto de la misma tendrá una diferente posición, de

ahí su carácter variacional.

Uso: Es la forma en que es empleada la herramienta matemática que sirve para ejecutar

actividades propias de un contexto específico.

IX

Introducción La educación es un medio para la formación de los individuos, por medio de ella se

transmiten conocimientos, valores, costumbres y normas de conducta. Permite que las

personas aprendan a socializar y vivir de forma adecuada, se puede impartir a través de los

sistemas educativos y posibilita la formación de personas que al insertarse en la sociedad

sean partícipes en su desarrollo; lo cual se puede lograr generando las estrategias

adecuadas, y con base en los recursos tanto humanos como materiales se puedan tener cada

vez mejores sistemas educativos que permitan a los individuos reconocer su realidad y

transformarla en su beneficio. La enseñanza-aprendizaje de las ciencias puede ser una vía

para conseguirlo; éstas pueden ser promotoras que generen instrumentos de crecimiento y

avance, por lo que el interés de la educación con respectos a las ciencias debería ser un

tema importante a tratar. Las matemáticas como parte de las ciencias ocupan un lugar

fundamental en los sistemas educativos ya que éstas son una herramienta que se usa en

diferentes campos de la ciencia contribuyendo a su desarrollo.

Las matemáticas y consecuentemente el cómo se percibe la educación de las mismas es de

vital importancia para su enseñanza-aprendizaje para la formación de cuadros que al

incluirse en la sociedad sean capaces de responder a las necesidades de las mismas

(Cordero, 2007). Por lo que es necesario reflexionar en cómo se concibe el modelo de

enseñanza-aprendizaje en general, así como el de las matemáticas en particular. Si se

concibe a los conocimientos como algo ya dado de antemano, preexistente en donde el

objeto de estudio es importante por sí mismo, entonces probablemente el fruto de este

enfoque promoverá docentes que tengan la intención explícita de ser buenos transmisores

del conocimiento, el cual si es bien enseñado se debe “absorber” por los estudiantes. Esta

forma de entender a la enseñanza inhibe la capacidad crítica de los estudiantes ya que al ser

el conocimiento importante por sí mismo entonces carece de importancia pensar en darle

sentido a lo que se sabe (Saavedra, 2005).

Aunque aparentemente parece claro que el desarrollo de una nación depende en gran

medida de la educación en general así como de las matemáticas en particular, parecería que

esto en realidad no es tomado en cuenta, prueba de ellos son los diversos estudios que se

han llevado a cabo por investigadores en matemática educativa. En nuestro trabajo de

investigación mostramos evidencia, con base a resultados de productos de investigación, de

X

problemáticas existentes en los sistemas escolares específicamente en cálculo diferencial,

tal es el caso de la recta tangente, el cual es un tema al que no se le da la debida

importancia.

En el primer capítulo de nuestro trabajo de investigación se abordan diversas problemáticas

sobre la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas pero enfocada en el Cálculo Diferencial,

en él se muestran diversos factores que contribuyen a una forma de enseñanza-aprendizaje

que promueve que los estudiantes se mantengan acríticos, sin que puedan percibir de qué

forma las matemáticas podrían llegar a ser herramientas con las que puedan percibir la

realidad y transformarla; por el contrario los diversos factores existentes en el sistema

didáctico como son los programas, los docentes, los mismos alumno y los libros de texto

contribuyen a permanecer en un mismo círculo vicioso del cual pareciera ser que la

sociedad no se da cuenta ya que inclusive lo legitima. Las problemáticas existentes en

Cálculo Diferencial se van a manifestar en la forma en cómo es abordado el tema de recta

tangente, el cuál es visto como de paso cuándo se estudia la interpretación geométrica de la

derivada.

Nuestra propuesta parte del hecho de no considerar solamente el conocimiento sino con el

uso del mismo. Esto se hace ya que a lo largo de la historia el conocimiento puesto en uso

para resolver problemas existentes en las sociedades nos dan cuenta de una matemática

funcional, que permite resolver problemas de la realidad y dar explicaciones de la misma.

Emplear las matemáticas como herramientas puestas en uso para resolver problemáticas

existentes en una comunidad, en donde la matemática tiene un sentido en el contexto donde

se está utilizando, nos ha llevado a buscar en sus orígenes en donde surgió, no como un

objeto perteneciente a un sistema conceptual, sino como producto de la actividad humana.

Por lo tanto tiene sentido pensar en indagar en aquellos elementos que se encontraron y

estuvieron presentes en el desarrollo del Cálculo.

Las raíces históricas del Cálculo Diferencial dan evidencia de que los problemas de cambio

y variación son aquellos que generaron las ideas clave del Cálculo (Dolores, 2007). Por lo

que en el segundo capítulo llevamos a cabo una revisión de productos de investigación en

donde se ha analizado cómo surgieron las ideas del cálculo, específicamente aquellos en

donde se encuentra presente el uso de los infinitesimales. Estos son constructos que

permitieron hacer un análisis del cambio y variación, a través de ellos se hizo posible la

XI

consolidación de métodos generales de resolución de problemas existentes en la época,

entre ellos el problema de las tangentes. La intención de hacer una revisión de este tipo es

rescatar elementos teóricos que puedan ser usados posteriormente con una intención

didáctica, al final del mismo se hace una recopilación de usos de conocimiento en donde se

muestran elementos de tipo variacional que podrían ser utilizados en el aula.

En el tercer capítulo mostramos que en la enseñanza-aprendizaje del cálculo diferencial se

aborda un tema que al igual que muchos se presenta como una problemática más. Este tema

es el de la recta tangente a un punto de una curva, el cual es visto como la interpretación

geométrica de la derivada. La forma tradicional de plantear el tema es mediante una familia

de rectas secantes con un punto común y que devienen en la recta tangente. Esta forma de

tratar el tema ha sido demostrado por diversas investigaciones es fuente de dificultades

entre los estudiantes (Artigue, 1998; Biza, Christou y Zachariades, 2008; Biza y

Zachariades, 2010; Cantoral, 2001; Dolores, 2007, Cordero, 2005; Kajander y Lovric,

2009; Kendal y Stacey, 2003; Pinto y Moreira, 2008; Serna, 2007). En la tesis se da

evidencia que este es un fenómeno didáctico más dentro de las problemáticas del cálculo,

producto de una forma de ver y tratar las matemáticas no sólo por los docentes, sino

también por alumnos, libros de texto y programas de estudio.

Pareciera ser que el tema de la recta tangente es visto sólo porque así lo establece el

programa pero sin tener importancia ya que posteriormente prácticamente no se le vuelve a

abordar. Sin embargo al tratar el tema de la recta tangente con otro enfoque, aquel en donde

consideramos no al objeto de estudio por sí mismo sino considerando a la práctica

producto de la actividad humana, en donde surgió, se hace necesario retomar los elementos

que se encontraron y estuvieron presentes en sus orígenes. Esta forma de ver el

conocimiento nos va a dar cuenta que la recta tangente puede ser tratada también como una

herramienta que permite construir otros conceptos del Cálculo como: la derivada, los

máximos y mínimos y el punto de inflexión; en nuestro caso particular nos enfocamos en la

construcción de la derivada gráficamente desde un punto de vista introductorio.

Nuestro propósito es que los estudiantes puedan construir la recta tangente desde un punto

de vista variacional, considerando para ello los usos del conocimiento que se encontraron

presentes en los orígenes del Cálculo, en donde las matemáticas son una herramienta que

permiten resolver problemas. Desde este enfoque la recta tangente se convertirá en una

XII

herramienta matemática que permite analizar el cambio y variación. Elaboramos una

pregunta de investigación principal, así como preguntas secundarias que auxilian a

contestar la pregunta principal. Las respuestas a nuestras preguntas han guiado nuestro

trabajo de investigación para poder reconocer aquellos elementos productos de un contexto

sociocultural y que fueron base para la construcción social del conocimiento matemático.

Nuestra pregunta de investigación principal es: ¿Cuáles fueron los usos de herramientas

matemáticas para llevar a cabo actividades pertenecientes a una práctica de referencia,

normada por una práctica social, los cuales permitieron la construcción de la recta tangente

desde un punto de variacional y como puede ser empleado ese conocimiento en una

didáctica actual?, las preguntas secundarias son: ¿Cuáles fueron los usos del conocimiento

y cómo favorecieron a la construcción de la recta tangente variacional?, ¿cuál fue la

práctica social que le dio origen y cómo normó esta su construcción?, ¿se puede construir la

tangente variacional a partir de identificar su origen y diferentes etapas de desarrollo como

producto de la construcción social del conocimiento y cómo se puede emplear esto para

llevar a cabo una intervención en el aula? desde este punto de vista de construcción social

del conocimiento, ¿cuáles son los elementos asociados a su construcción y cómo se pueden

emplear estos para una intervención didáctica?.

En el cuarto capítulo de nuestro trabajo de investigación mostramos los elementos teóricos

a través de un modelo de construcción social del conocimiento matemático el cual es el

siguiente:

XIII

Modelo de Construcción Social del Conocimiento Matemático

Fig. i.1

Fig. i.1

Para el diseño de este modelo se tomó como base el propuesto por Montiel (2005, 2011).

En él se muestra el constructo teórico de práctica.

La práctica es un conjunto de actividades organizadas intencionalmente con la intención

explícita de resolver un problema. Para tal efecto se hace uso de las experiencias pasadas

por medio de las cuales y en base a la acción se construyen nuevos significados. Con los

análisis llevados a cabo en nuestro estado del arte visto en el capítulo II, así como los

resultados de (Serna, 2007); evidenciamos que mediante los usos de conocimiento se

construyen significados, esto a partir de actividades llevadas a cabo por medio de

herramientas matemáticas. Esta interacción herramienta-actividad es llevada a cabo en un

contexto, el cual se encuentra presente en la práctica de referencia, en nuestro caso la

práctica de la tangente variacional.

Los significados se construyen sobre la base de significados anteriores que se ven

enriquecidos provocándose así una resignificación, la cual le da sentido a la puesta en uso

del conocimiento ya que permite analizar la realidad, e intervenir sobre ella, es decir se

manifiesta una matemática funcional la cual retroalimenta a la práctica de referencia con

Práctica Social

Práctica de referencia

Usos

Herramienta Actividad

Resignificación

Significado

Funcionalidad

XIV

los nuevos significados construidos. La práctica de referencia es normada por la práctica

social, ella es la base de los significados construidos y nos ayuda a contestar preguntas

concernientes a cómo se fue normando el conocimiento, por ejemplo: ¿qué los hace

resolver el problema de la tangentes como lo hacen? o ¿por qué resuelven como lo hacen?,

es decir ¿qué es lo que les hace hacer lo que hacen?. La práctica social que normó a la

práctica de la tangente variacional fue la predicción. Se hace evidente por lo tanto un

cambio de epistemología la cual ya no se centra principalmente en el objeto matemático

sino en las prácticas que le dieron origen lo cual conlleva a un cambio en el discurso

Matemático Escolar.

En nuestro capítulo V se llevó a cabo un diseño que tiene la intención de que los

estudiantes puedan construir la recta tangente desde un punto de vista variacional. Para

llevar a cabo esto se consideró los elementos teóricos de la Socioepistemología y se

diseñaron cinco secuencias didácticas por medio de las cuales se puede dar cuenta un

enfoque diferente. Este no está centrado en el objeto matemático sino en las prácticas, de tal

forma que el ejercicio de la práctica de la tangente variacional se lleve por medio de la

implementación de las secuencias didácticas. Para tal efecto se consideraron los usos de

conocimiento matemático de ciertas etapas de la práctica de referencia, ya que ésta tiene

una vida producto de su historicidad. En cada etapa se llevó a cabo un análisis de los usos

para determinar el tipo de actividades en el contexto situado, las secuencias se adecuaron

con un lenguaje matemático familiar para los estudiantes, y se elaboraron diferentes

preguntas cuyas respuestas guiaban a los estudiantes a llevar a cabo actividades como:

comparar, inferir, aproximar, calcular, etc.

En el capítulo VI se muestra la puesta en escena de las secuencias didácticas, el análisis de

los resultados evidenció que los estudiantes pudieron construir, en la mayoría de los casos,

lo que se pretendía e inclusive en el ejercicio mismo de la práctica y por medio del uso de

la gráfica se pudo constatar como un equipo emitió argumentos que le permitieron construir

de manera correcta la gráfica de la función derivada de una función cúbica. Nos pudimos

percatar que las nociones que se van construyendo pueden servir de herramientas para

construir nuevas nociones matemática, de tal forma que las ideas se van robusteciendo. El

orden de las secuencias no es con base en el análisis matemático, como en la mayoría de los

programas de cálculo sino con base a la historicidad de la práctica de referencia.

XV

Finalmente nuestras conclusiones muestran los resultados alcanzados, los cuales dan cuenta

de la aplicación de la teoría Socioepistemológica por medio de diseños didácticos que

fueron llevados a cabo en el aula y para tal efecto se hizo uso de un modelo de construcción

social del conocimiento el cual además de servirnos para hacer un análisis

socioepistemológico de la construcción del conocimiento también nos permitió diseñar

secuencias didácticas y hacer un análisis de los resultados obtenidos. Con lo anterior

podemos constatar que la matemática puede ser vista y abordada de una forma diferente,

una que toma en cuenta a los seres humanos haciendo matemáticas, lo cual la hace

funcional y contribuye a la formación de seres humanos.

1

Capítulo I

Antecedentes

1.1 Problemática del estudio del Cálculo Diferencial

El estudio del Cálculo Diferencial se lleva acabo regularmente en los últimos semestres del

bachillerato, es una asignatura importante por la relación que guarda con la matemática

elemental vista en cursos anteriores y la matemática avanzada la cual será estudiada por los

alumnos en la Universidad. Podemos decir que la matemática básica se refiere a aquella

que estudia procesos finitos de cuantificación y en la matemática avanzada se estudian

además procesos infinitos de cuantificación (Dolores, 2007).

El estudio del Cálculo es fundamental puesto que posibilita que el estudiante se apropie de

los elementos básicos con los cuales se pueda crear una conexión entre la matemática

básica y la matemática superior que se ve en la universidad, principalmente en carreras

como las ingenierías, economía, contabilidad y ciencias, por lo tanto es trascendental que

sea comprendido en el bachillerato. Sin embargo según investigaciones realizadas los

estudiantes llegan con serias deficiencias de los temas tratados en cálculo a la universidad

(Artigue, 1998; Biza, Christou y Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Dolores,

2007).

En Serna (2007, 2008) se identificó que existe un fenómeno didáctico en la enseñanza-

aprendizaje de la interpretación geométrica de la derivada, en donde se estudia el tema de

recta tangente. El cual es tratado como de paso ya que no se le da la debida importancia y

prácticamente no se le vuelve a utilizar en el curso. La forma tradicional de tratar el tema es

2

a través de la explicación de que una familia de rectas secantes que giran alrededor de un

punto que tiene como límite a la recta tangente en dicho punto. Esta forma de abordar el

tema ha sido causa de grandes dificultades entre los estudiantes (Biza, Christou y

Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Cantoral, 2000; Dolores, 2007; Kajander y

Lovric, 2009; Kendal y Stacey, 2003; Pinto y Moreira, 2008; Serna, 2007, 2008, 2010;

Serna, Castañeda y Montiel, 2009, 2011, 2012).

Desde nuestro punto de vista lo anterior obedece a una problemática más amplia. No es más

que el resultado de una serie de problemas que se encuentran presentes en la enseñanza-

aprendizaje del Cálculo y que ha sido reportado por diferentes investigadores. De tal forma

que tratar de ver el problema de forma aislada es insuficiente, ya que se encuentra dentro de

un contexto, una forma de enseñanza-aprendizaje en donde se encuentran presentes varios

actores: Los estudiantes, profesores, programas de estudio, libros de texto e inclusive se

podría decir que hasta la misma sociedad.

Nuestro problema de investigación no toma en cuenta sólo el objeto matemático recta

tangente, bajo nuestra perspectiva teórica es indispensable considerar a la actividad humana

que acompañó y estuvo presente en la construcción de la recta tangente. Nosotros la hemos

denominado la práctica de la tangente variacional. La Socioepistemología es una teoría

que nos permite detectar que al poner en primer plano a los conceptos matemáticos como lo

principal a considerar en la construcción del conocimiento hace que surjan diversas

problemáticas en los procesos de enseñanza-aprendizaje en los sistemas escolares. A

continuación mostraremos problemáticas que se encuentran presentes en la enseñanza-

aprendizaje del cálculo, con la intención de contextualizar y explicar lo que ocurre con el

fenómeno didáctico enunciado anteriormente.

1.1.1 Enseñanza basada en Algoritmo

Uno de los problemas que se encuentran presentes en la enseñanza del cálculo es que se

privilegia el uso de los algoritmos, dejando de lado otro tipo de recursos como por ejemplo

el visual por no considerarlo matemático (Biza, Nardi y Zachariades, 2009; Biza y

Zachariades, 2010; Cantoral, 2000). Haciendo uso de manera preponderante de recursos

algorítmicos se les enseña a los estudiantes a evaluar funciones, calcular límites, derivar y

3

optimizar variables tal como es reportado en Cantoral y Reséndiz (2003). El algoritmo es

una serie de pasos a seguir para resolver un problema, sin embargo el seguir estos pasos no

es garantía de que los alumnos hayan construido conocimiento, ya que pueden estar

haciendo las cosas mecánicamente sin hacer análisis alguno.

Se puede decir que algoritmo de acuerdo a Wikipedia “es un conjunto preescrito de

instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad

mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad”

(Disponible en red, ver Http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo). Aplicar un algoritmo

ahorra tiempo ya que permite llegar rápidamente a la solución de un problema, pero cuando

es utilizado en las matemáticas escolares sin conocer el porqué de cada uno de los pasos

que se llevan a cabo, se cae en el riesgo de que los estudiantes no construyan conocimiento,

que es lo que comúnmente ocurre en las clases de Cálculo (Cantoral y Reséndiz, 2003). Por

ejemplo al querer encontrar los máximos y mínimos de una función los alumnos

regularmente siguen los pasos, pero sin reflexionar en ellos; es común que los alumnos

encuentren los puntos críticos y sepan que al evaluar el signo de la pendiente con valores un

poco menor y un poco mayor, si hay un cambio de signos, se trata entonces de un máximo

(o mínimo) pero no saben el porqué de esta situación.

1.1.1.1 Como un procedimiento más formal

Uno de los recursos esenciales para el profesor de matemáticas en general y el de cálculo en

particular es el libro de texto, se podría decir que este es una herramienta indispensable. Si

además el programa sugiere cierta bibliografía este apoyo se vuelve necesario. Por otro lado

los programas de estudio de cálculo diferencial tienen una marcada tendencia hacia el uso

de procedimientos formales ya que la organización de los contenidos está influenciada por

la estructura formal del análisis matemático (Dolores, 2007; Santi 2011), de tal manera que

se sigue una secuencia lógica de principios tales como: axiomas, postulados y teoremas, así

como un cierto rigor matemático. Por ejemplo al querer determinar la continuidad de una

función como: 𝑥2−9𝑥−3 regularmente se habla de las interrupciones del límite, de la

continuidad; no se tratan aspectos de fenómenos de variación, se trata el problema desde la

matemática misma.

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

4

Al ser el libro de texto una herramienta importante a utilizar por los profesores de cálculo

diferencial, es lógico pensar que éste influye notablemente en su discurso, el cual es

presentado a los estudiantes (Kajander y Lovric, 2009). Por lo tanto es marcada la tendencia

entre los profesores de cálculo diferencial a presentar los temas de una manera rigurosa,

bajo un orden sustentado en ideas lógicamente coherentes por medio de reglas,

definiciones, axiomas, postulados y teoremas, así como demostraciones rigurosas. En

ocasiones por la falta de un entendimiento total de los conceptos se recurre sólo al uso de

los algoritmos como uno de los elementos formales que se presentan en las clases. De tal

forma que este tipo de enseñanza ha propiciado que se entienda al cálculo diferencial como

el desarrollo de algoritmos de naturaleza algebraica, lo cual también ha influido en que los

estudiantes aprendan de manera mecánica a derivar, integrar, calcular límites (Cantoral y

Resendiz, 2003; Cordero, 2005). Con este enfoque se han dejado de lado las ideas clave que

dieron origen al cálculo diferencial, por lo tanto en los cursos parecería que las ideas

tratadas son solamente utilizadas dentro del mismo cálculo u otras materias de Matemáticas

y no se les relaciona con otras áreas de conocimiento como las ciencias, economía u

administración, entre otras.

1.1.1.2 El algoritmo como lo más sencillos a usar

El profesor hace uso del recurso algorítmico ya que es lo más sencillo de utilizar, sólo hay

que seguir los pasos para resolver el problema y llegar a el resultado, esto claro no conlleva

a que los estudiantes le den un significado a los conceptos. En el caso de la materia de

cálculo se ha demostrado que ha sido causa de dificultades (Biza, Christou y Zachariades,

2008; Dolores, 2007; Marcolini y Perales, 2005; Sánchez-Matamoros, García y Llinares,

2008; Zúñiga, 2007) y hay problemas con la construcción de los conceptos tanto de los

alumnos como inclusive de los mismos profesores (Castañeda, 2004; Biza y Zachariades,

2010). Al existir dificultades de este tipo y si los alumnos no construyen los conceptos, así

como tampoco saben utilizarlos en la resolución de problemas en donde se pone en juego

las ideas clave del cálculo, se corre el riesgo de que la clase entre en crisis. Sin embargo

utilizar lo algorítmico “sirve” como un recurso legitimador del profesor ya que gracias a

esto puede dar la clase y enseñar a sus alumnos a aplicar una fórmula o seguir una serie de

pasos, de esta forma la clase no entra crisis (Cantoral, 2000). Otro de los “beneficios” que

5

se puede obtener al usar este recurso es disminuir considerablemente el número de alumnos

reprobados.

Consideramos que en la enseñanza-aprendizaje del cálculo diferencial se presenta una

especie de efecto Jourdain (Brousseeau, 1986) que consiste en que el profesor evita un

debate con los alumnos sobre el conocimiento científico esto es con la intención de que no

se reconozca falla en los procesos de enseñanza aprendizaje. Brosseau (1986) menciona

que en este efecto Jourdain, el profesor dice reconocer conocimiento en los alumnos a pesar

de que lo que comenten sean situaciones con significados ordinarios, de tal forma que se

sustituye el conocimiento por actividades más familiares a los alumnos a pesar de que esto

no de un significado claro del concepto que se está aprendiendo; con el tiempo este tipo de

actividades son reconocidas como algo respetable e ineludible. Algo parecido ocurre con el

uso de los algoritmos ya que se convierten en una costumbre y muchas veces sustituyen a

las ideas conceptuales, por tener éstas un alto grado de complejidad. El profesor dice

reconocer ideas científicas en sus alumnos con el simple hecho de que ellos sepan utilizar

algoritmos para cierto tipo de problemas y da la impresión de que hay cierto lenguaje

científico al usar los algoritmos, con el tiempo esto se convierte en una costumbre

didáctica, la cual puede ser repetida por generaciones.

1.1.2 El uso de las reglas algebraicas

Existen dificultades en los estudiantes que se manifiesta al querer usar siempre

mecánicamente pasos para resolver problemas, ocurre frecuentemente que los estudiantes

quieren “la receta”. En nuestra experiencia hemos escuchado a muchos alumnos comentar

cuando se les muestra algún ejemplo el cual se resuelve mediante un proceso algebraico: “y

todos los problemas se resuelven de la misma forma” es decir quieren ver en el ejemplo una

totalidad y aunque el docente es consciente de que se trata de una manifestación de un caso

más general, no se percata de que el alumno no lo ve así, pareciera que para el docente esto

es algo transparente (Papini, 2003).

Otra de las dificultades en la enseñanza aprendizaje del cálculo diferencial tal y como es

reportado por Zúñiga (2007) es que hay una muy marcada tendencia a transmitir

conocimientos haciendo mucho énfasis en el desarrollo de habilidades algebraicas

6

desatendiendo el discernimiento intelectual para la comprensión de ideas nociones y

conceptos. En nuestra experiencia como docente en cálculo diferencial hemos escuchado en

varias ocasiones a profesores expresar ideas como: “En cálculo todo es trabajo algebraico”,

“Todo es cuestión de saber álgebra para entender cálculo”, “El cálculo no es difícil, sólo es

cuestión de saber álgebra” y comentarios similares; por otro lado ha sido reportado en

(Cantoral, 2000; Cantoral y Reséndiz, 2003; Dolores, 2007; Zúñiga, 2007; Biza y

Zachariades, 2010) que en los cursos de cálculo diferencial hay una marcada tendencia a

privilegiar el uso de los recursos algebraicos.

El tipo de habilidades algebraicas a las que hacemos referencia y que son muy

frecuentemente utilizadas en Cálculo Diferencial son aquellas que se refieren al uso de

estrategias, técnicas y reglas para manipular expresiones algebraicas y transformarlas en

otras. No hablamos de habilidades algebraicas en un sentido rico y profundo de lo que

significa el empleo del álgebra, por mencionar algunas características del álgebra podemos

decir que un buen uso de ella daría como resultado el poder interpretar correctamente

expresiones algebraicas como 𝑦 = 2𝑥 − 1 en la que el estudiante debería de poder

mencionar que se trata de una línea recta en la que por cada unidad de cambio en el eje de

las x hay dos unidades de aumento en el eje y, además que la recta se intercepta con el eje y

en las coordenadas (0,-1).

El buen uso del álgebra permite hacer generalizaciones, es decir no sólo ver casos

particulares sino brindar las herramientas para que se pueda generalizar, es decir se podrá

reconocer en qué casos podrá ser usado un patrón o generalización producto de un proceso

algebraico. Otra característica importante en el uso del algebra es la construcción de

modelos por medio de los cuales se pueden interpretar fenómenos, esta es otra de las

situaciones que no se presentan en los cursos de cálculo en donde el álgebra podría ocupar

un lugar importante si no fuera utilizada sólo como una estrategia que permite la

manipulación de reglas.

1.1.3 Derivada

A partir de lo expuesto en los apartados anteriores, la enseñanza basada en algoritmos y el

uso de reglas algebraicas están presentes en muchas instituciones del sistema escolar

7

mexicano, según lo reportado en (Cantoral, 2000; Castañeda, 2004; Dolores, 2007;

González, 1999). En las clases de cálculo diferencial el tema de la derivada es parte

importante de los contenidos de esta asignatura. Veremos que el uso de los algoritmos, así

como el empleo estrategias de manipulación algebraica se verán reflejados al impartirse

este tema, esto ocasiona, desde nuestro punto de vista, dificultad en los estudiantes para

construir las nociones de derivada así como el reconocer la derivada en problemas donde

se presenta. Consideramos que se encuentran dos problemáticas: dificultades por parte de

los estudiantes al enfrentarse a problemas de aplicación y la tendencia de minimizar el

significado geométrico de la derivada.

1.1.3.1 Dificultad en problemas de aplicación.

Se ha reportado por diversos investigadores (Biza y Zachariades, 2010; Cantoral, 2000;

Castañeda, 2004; Dolores, 2007; González, 1999) acerca de la enseñanza del cálculo

diferencial en donde se ha privilegiado el uso de algoritmos de naturaleza algebraica lo cual

es utilizado en la enseñanza de la derivada. Los estudiantes aprenden a derivar, ya sea

utilizando el método de los cuatro pasos o haciendo uso de las reglas de derivación,

regularmente los estudiantes saben manipular expresiones algebraicas haciendo uso de las

reglas del álgebra llevando a cabo desarrollos para transformarlas, para hacer

simplificaciones u obtener otras expresiones que permitan llegar al resultado. Esta forma de

proceder de alguna manera propiciada por los mismos profesores hace que el derivar se

convierte en algo mecánico.

El proceder en las aulas de una manera en que sólo se pretenda encontrar la derivada es

insuficiente, “tal parece que importa saber quiénes de ellos pueden calcular más derivadas,

pero no interesa mostrarles los procesos variacionales que se esconden detrás de ese cálculo

de derivadas” (González, 1999, p. 17), de tal forma que también pareciera que hay una

rápida urgencia por parte de los profesores para pasar a los procedimientos algebraicos.

Se ha reportado en (Dolores, 2007; González, 1999; Kendal y Stacey, 2003) que cuando los

estudiantes se enfrentan a problemas en donde se debe de utilizar la derivada no identifican

el uso de la misma puesto que no han construido las ideas claves de la derivada. Esta forma

de enseñanza tradicional tampoco le da importancia a utilizar ideas o temas relacionados

8

con física como son velocidad promedio, velocidad instantánea o hablando en un sentido

más general la razón de cambio promedio y razón de cambio instantánea. Según lo

reportado en Dolores (2007) los profesores de cálculo diferencial regularmente utilizan

libros de texto, inclusive dándole mayor prioridad que a los mismos programas. La mayoría

de los textos de cálculo utilizados en México le dan un mayor énfasis a el contenido

matemático en donde es relevante el desarrollo de procesos algebraicos, vemos que aún los

mismos textos contribuyen a este tipo de enseñanza.

1.1.3.2 Minimizar el significado geométrico de la derivada.

El problema de las tangentes fue enfrentado por varios matemáticos del siglo XVII y

aunque hubo varios métodos de solución, el descubrimiento de la derivada proporciono un

método general para su solución. En la actualidad en nuestros sistemas escolares se

encuentra presente este problema cuando se le da una interpretación geométrica a la

derivada. La forma tradicional en que se presenta este tema es mostrándoles a los

estudiantes que la pendiente de la recta tangente a la curva es el límite de una familia de

rectas secantes que deviene en la recta tangente a la curva, aunque esta forma de enseñanza-

aprendizaje ha sido de gran dificultad para los estudiantes ya que como lo muestran

algunas investigaciones los estudiantes no construyen esta idea firmemente (Biza, Christou

y Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Cantoral, 2000; Dolores, 2007; Kajander y

Lovric, 2009; Kendal y Stacey, 2003; Pinto y Moreira, 2008). Por la forma en cómo se

presenta esta da la impresión de que la recta tangente a la curva es algo estático (Dolores,

2007; Serna, 2007, 2008) que toca a la curva en un punto sin volver a cortarla, tal y como

es reportado por investigaciones como una forma inadecuada de presentar el tema de recta

tangente en Cálculo (Biza, Christou y Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010;

Kajander y Lovric, 2009); aunque como se sabe la recta tangente a la curva es tangente sólo

en una región cercana a la zona de contacto, pudiendo volver a cortar a la curva en otro

punto, además la recta tangente es algo dinámico.

En algunos sistemas escolares de otros países se ha utilizado a la interpretación geométrica

de la derivada, así como algunas ideas más intuitivas para la introducción del concepto de

derivada. Sin embargo en muchos otros países aún se encuentra presente la estructura

lógico formal en los programas sin que se permita introducir otros elementos para darle

9

significado a la tangente. En Dolores (2007) se comenta acerca de la interpretación

geométrica de la derivada y los enfoques que toman en cuenta a la razón de cambio, como

formas diferentes de abordar el concepto de derivada y que casi no son utilizados y en caso

de serlo se les ve como algo que es utilizado de manera momentánea sin volver a hacer

énfasis en ellos en otras partes del curso.

1.1.4 Libros de texto

El presente apartado no pretende hacer un análisis de textos del cálculo diferencial. Nuestro

objetivo como se ha señalado en los apartados precedentes es mostrar una problemática que

se presenta en la enseñanza aprendizaje de esta materia en nuestros sistemas escolares, una

problemática que va a ser manifestada también en la enseñanza aprendizaje de la noción

recta tangente, la cual forma parte de los conceptos que son importantes. Desde nuestro

punto de vista, es mediante la noción de recta tangente que se puede arribar a la

construcción de otros conceptos y/o ideas, además históricamente hablando, la recta

tangente es de las ideas germinales del cálculo diferencial (Cantoral, 1988). Es importante

por lo tanto mostrar que los libros de texto que usualmente son utilizados han contribuido

de alguna forma en la problemática a la que intentamos dar evidencia (Kajander y Lovric,

2009).

El libro de texto escolar juega un papel importante en los procesos de enseñanza

aprendizaje en el aula. Es un medio de transmisión de conocimientos el cual es reconocido

y validado por la sociedad y puede ser utilizado para organizar los contenidos de un curso,

preparar exámenes, guías formularios o actividades didácticas; también sirve para que los

alumnos estudien:

Con una mirada más profunda, se puede advertir una doble naturaleza en las

obras de texto: como una obra de texto, referida a los elementos de estructura y

organización, y a aquellos tocantes a su contenido, es decir, al discurso que

contiene (Castañeda, 2006, p. 254).

Podemos decir que la construcción de las ideas del Cálculo Diferencial que la sociedad se

forma y en particular los estudiantes y profesores, así como los actores situados en la

10

noosfera en gran medida tiene que ver con los textos escolares utilizados en nuestros

sistemas escolares.

Hablaremos de los textos tradicionales de Cálculo Diferencial e Integral como aquellos que

usualmente son estudiados en el sistema escolar mexicano y de los cuales vamos a

caracterizar algunos aspectos puntuales como son la secuenciación y enfoque de los temas

abordados, así como la forma en cómo se pretende que se aborden los conceptos por parte

de los estudiantes.

Con respecto a la secuenciación, los textos tradicionales de Cálculo siguen una secuencia

como la del análisis matemático, tal vez hay algunas diferencias pero el orden de los temas

según lo reportado en Dolores (2007) es: funciones numéricas (algebraicas y

trascendentes), límites, continuidad, otros temas relacionados a funciones, concepto de

derivada, formulas de derivación y aplicaciones de la derivada al análisis de funciones y la

obtención de máximos y mínimos. Con respecto al enfoque podemos decir que se le da un

mayor peso al tratamiento riguroso de las ideas en donde estas son tratadas dentro de la

matemática misma ya que en los textos tradicionales, prácticamente no se revisan temas de

variación o los relacionados a Física.

1.1.5 Los Profesores

En este apartado pretendemos mostrar que los profesores juegan un papel protagónico en

los sistemas de enseñanza y por lo tanto de alguna forma han tenido que ver en la

problemática que tratamos de evidenciar. Mencionaremos a continuación dos ideas con las

cuales se observa la problemática planteada.

1.1.5.1 El Profesor sus concepciones y creencias

Desde nuestro punto de vista las concepciones y creencias que tienen los profesores acerca

de las matemáticas y su enseñanza influyen grandemente en el sistema escolar.

Específicamente haremos alusión a los profesores de cálculo diferencial en el nivel medio

superior, aunque muchas de las situaciones mostradas son también aplicables a profesores

de otras asignaturas y en otros niveles.

11

Es muy frecuente que los profesores de matemáticas conciban a las mismas como un

sistema lógico y coherente de axiomas, postulados, teoremas, definiciones y conceptos, en

donde no hay falla alguna (Biza, Nardi y Zachariades 2009; Parra, 2005), es decir las

consideran como un sistema de reglas asociadas lógicamente en donde no hay

contradicciones. Este es un enfoque predominantemente formalista en donde el rigor

matemático se considera como de suma importancia (Salina y Alanís 2009). Al mirar a las

matemáticas de esta forma prácticamente no se relaciona a los conceptos vistos en cálculo

diferencial con otras ciencias ni con problemas de variación o en problemas de aplicación

que tengan que ver con la realidad, inclusive en el nivel superior aunque se considere a las

matemáticas como una herramienta en el auxilio de otras ciencias como la economía o

ingeniería, predomina en los profesores el darle un mayor peso al contexto matemático que

a su relación con otras ciencias (García, Azcarate y Moreno, 2006; Zuñiga, 2007).

Por parte de los profesores también hay falta de conocimiento de la aplicación de las

matemáticas en otros ámbitos (Zuñiga, 2007). Si a lo anterior le añadimos que los

profesores de matemáticas consideran que el objeto de conocimiento es algo ya hecho y

acabado, de tal forma que es incuestionable y por lo tanto el alumno se tiene que adaptar a

él sin tener la oportunidad de poder construir los conceptos, podemos entonces ver que los

profesores y los alumnos aprenden a decir qué es la derivada y la integral y “representarlas

geométricamente, sin tener una comprensión que les permita estudiar fenómenos de

variación continua” (Cordero, 2005, p. 209). Tampoco se resuelven problemas relacionados

con otras ciencias o se sabe identificar el uso de los conceptos vistos en Cálculo Diferencial

en problemas que se les presenten a los estudiantes a no ser que sean problemas parecidos a

los que los profesores les han mostrado en sus cursos.

Es frecuente que los profesores enseñen a que los alumnos aprendan a encontrar de manera

más o menos mecánica las derivadas, límites o algunos otros conceptos vistos en la materia,

así como algunos problemas de aplicación como los que regularmente son expuestos en los

libros de cálculo diferencial. Esto puede obedecer en parte a que los profesores consideran

que aprender cálculo es equivalente a aprender a derivar, encontrar un límite, los puntos

máximos y/o mínimos es decir a mecanizar destrezas básicas (Parra, 2005) y también en

parte a que de esta forma se obtienen mayores calificaciones ya que se les evalúa a los

12

alumnos lo que estos saben hacer mejor y su vez estos le dan mayor importancia a esta

situación puesto que es lo que se les evalúa cayéndose de esta manera en un círculo vicioso

(Artigue, 1995, citado en Zuñiga, 2007).

Otra creencia bastante arraigada se refiere a el método de enseñanza en que la acción del

profesor es la que predomina en la clase, siendo él quien expone, aclara dudas, ilustra pone

énfasis en algunos puntos da instrucciones acerca de los métodos o procedimiento para

llegar a los resultados correctos y determina cuáles serán las tareas (Andrade, Perry,

Guacaneme y Fernández, 2003; Santi, 2011). Con este esquema de trabajo en el aula

también se da el hecho de considerar que la autoridad fundamental en la clase es el profesor

o el libro de texto, ya que a ellos no se les cuestiona y tienen la última palabra, por lo tanto

no se toma en cuenta el hecho de que los estudiantes hagan, análisis, inferencias y el uso de

sus razonamientos como un método para determinar lo que es correcto o no a partir de la

argumentación en clase, de tal forma que no se explora en los errores de los alumnos para

poder indagar en sus ideas y de esta forma ir construyendo conocimiento. El profesor se

limita a decir si los procedimientos son correctos o no, o hasta donde ha hecho su

procedimiento correctamente. Los alumnos se acostumbran a este esquema de trabajo y se

vuelven dependientes del profesor teniendo que consultarlo muy frecuentemente para saber

si están en lo correcto o no.

1.1.5.2 El modelo de enseñanza

Un modelo de enseñanza bastante utilizado en las clases de cálculo es aquel en el cual el

profesor da una definición, posteriormente resuelve algún ejemplo para que después los

alumnos hagan ejercicios similares (Santi, 2011). Mediante esta forma de enseñanza se

pretende transmitir habilidades por la repetición de ejercicios y las matemáticas son

presentadas como una colección de hechos y procedimientos los cuales son transmitidos del

profesor a los alumnos. Un recurso muy utilizado por los profesores son los algoritmos para

llegar a resultados a pesar de que esto no necesariamente implique la construcción de

conceptos por parte de los estudiantes, ya que frecuentemente no hay una justificación del

porqué de los pasos a seguir por lo tanto se da un conocimiento procedimental que en la

mayoría de las ocasiones no se justifica y por lo tanto no establece una conexión con los

elementos conceptuales que los sustentan (Andrade et al., 2003), esto hace que los alumnos

13

sólo aprendan el nombre del concepto y el procedimiento. Una justificación por parte de

los profesores es que hay una gran cantidad de temas que se pretende abordar en los

programas de estudio y los tiempos para que estos sean vistos en un ciclo escolar es muy

corto.

Se conjuntan varios elementos que dan cuenta de la problemática de la enseñanza

aprendizaje en cálculo diferencial. Por un lado están los tiempos escolares y por otro las

costumbres didácticas que tienen que ver con el esquema de dar la teoría por parte del

profesor después ejemplos y posteriormente los alumnos resuelven ejercicios similares. Si a

esto se la añade la costumbre de dar un mayor énfasis en la enseñanza de los algoritmos en

donde no se justifican claramente el porqué de los pasos a seguir, puesto que lo que se

pretende es que mediante estos los alumnos adquieran destrezas, todo esto ha contribuido

de alguna forma a esta problemática. Esta forma de proceder es algo que el mismo sistema

escolar reproduce, se repiten las rutinas y creencias, los profesores contribuyen a esto, sin

embargo todos los actores involucrados hacen que el sistema siga funcionando igual, desde

los alumnos, las autoridades escolares e inclusive los libros de texto.

Los problemas que implementan los profesores para que se resuelvan en las clases de

cálculo diferencial son de los que usualmente se les considera como de aplicación y que

vienen en los libros de texto, aunque estos problemas casi nunca tienen que ver con

problemas reales puesto que no relacionan al cálculo con otras ciencias ni con problemas de

tipo variacional (Cordero, 2005; Dolores, 2007).

Se ha reportado que en los cursos de cálculo los profesores pretenden ver que sus

estudiantes pueden seguir instrucciones procedimentales para obtener respuestas correctas

(Andrade et al., 2003). Sin embargo cuando los estudiantes se enfrentan a problemas

diferentes a los vistos en clase, no saben identificar el uso de los elementos conceptuales,

regularmente no reconocen por ejemplo cuando es que hay que utilizar la derivada o algún

otro concepto (Kendal y Stacey, 2003), las ideas sobre cambio y variación que son aquellas

con que históricamente se formalizó el nacimiento del cálculo diferencial, no son

vislumbradas por los alumnos, de tal forma que las destrezas que adquirieron en sus cursos

no son suficientes para resolver problemas en donde se requiere el uso de elementos

conceptuales (Dolores, 2007).

14

Con base en base a lo anterior observamos que los elementos conceptuales pasan a segundo

término (Andrade et al. 2003) ya que las estrategias sugeridas para solucionar problemas se

limita a la aplicación de algoritmos. No existe por lo tanto una justificación matemática,

además al trabajar bajo este modelo de enseñanza no se requiere puesto que quien

determina lo que es matemáticamente correcto o no es el profesor, lo cual propicia que no

haya oportunidades por parte de los estudiantes para expresar sus argumentos. Podemos

decir entonces que lo que predomina en la clase es la autoridad del profesor (o el libro de

texto) ya que esta no recae en la racionalidad producto de la interacción entre los actores

que se encuentran en el aula por medio de la argumentación.

1.2 Estado Actual de la Recta Tangente en la escuela

1.2.1 Programa de Estudio de Pensamiento del Cálculo Diferencial

El programa que vamos a analizar es el correspondiente al Plan y Programas de Estudio de

Bachillerato Tecnológico del Estado de México de quinto semestre, en donde está incluida

la reforma educativa que se puso en vigencia a partir de agosto de 2008.

La materia de Pensamiento del Cálculo Diferencial se encuentra ubicada dentro de la

asignatura de Pensamiento Matemático Avanzado y esta a su vez pertenece al Campo

disciplinar de Matemáticas y Razonamiento Complejo, el cual, de acuerdo a este plan tiene

que ver con la capacidad que tienen los estudiantes para analizar, razonar y transmitir ideas

al plantear, resolver e interpretar problemas y situaciones reales en diferentes contextos. Por

“diferentes contextos” entienden aquellas situaciones de tipo personal, profesional, públicas

y científicas, se propone que el estudiante pueda utilizar su metacognición para poder

resolver problemas con el fin de ir dejando la memorización.

El Plan establece que la materia sirve de base para llevar posteriormente cursos superiores

de Matemáticas, su enfoque es operacional e intuitivo y no pretende justificar

rigurosamente la fundamentación lógico axiomática ya que los conceptos fundamentales se

introducen en la medida de lo posible en un contexto que sea familiar al estudiante. En el

curso se analiza el cambio que sufren las cantidades que varían en todas aquellas funciones

que sirven de modelos teóricos experimentales que resultan de la investigación. Se

establece como uno de los propósitos que, con el estudio de esta materia el estudiante

15

adquirirá la habilidad en el manejo de técnicas para resolver problemas prácticos. Por otro

lado también se menciona que en la materia se desarrollan habilidades como pensar crítica

y reflexivamente, así como expresarse y comunicarse, las cuales forman parte de los seis

ejes genéricos que se pretende sean desarrollados en el Plan por los diferentes campos

disciplinares que lo conforman. Los ejes genéricos, son:

1. Se autodetermina y cuida de sí.

2. Se expresa y comunica.

3. Piensa crítica y reflexivamente.

4. Aprende de forma autónoma.

5. Trabaja en forma colaborativa.

6. Participa con responsabilidad en la sociedad.

Los diferentes campos disciplinares que se encuentran en el Plan son: comunicación y

lenguaje, ciencias sociales y humanidades, matemáticas y razonamiento complejo, ciencias

naturales y experimentales, componentes cognitivos y habilidades del pensamiento, así

como campos profesionales. Los apartados en los que se encuentra dividido el programa

son: funciones, límites y continuidad, la derivada y aplicaciones de la derivada. El plan

sugiere implementar como estrategias didácticas: mapas conceptuales, técnica V, debate,

lluvia de ideas entre otras. Con respecto a la evaluación propone que los estudiantes sean

evaluados a través de situaciones problematizadas. Se utilizaran dos elementos de

evaluación que son: Los exámenes (60 % de la calificación) y un control de rúbricas (40 %

de la calificación).

Están también las competencias disciplinares básicas las cuales consisten en lo siguiente:

• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la

comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.

• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos

y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

16

• Argumenta la solución obtenida de un problema métodos numéricos, gráficos,

analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las

tecnologías de la información y comunicación.

Se encuentran también las competencias disciplinares extendidas dentro de las cuales se

encuentran las siguientes:

Para el campo disciplinar de matemáticas y razonamiento complejo:

Interpreta fenómenos de su entorno sobre cantidades conmensurables e inconmensurables

tratadas con los principios del cálculo.

Con respecto al contenido programático se tiene que las competencias disciplinares

extendidas son:

Unidad 1. Los números reales:

• Ordena la información con los números reales de acuerdo a categorías jerarquías y

relaciones.

• Sigue instrucciones y procedimiento con los números reales e interpreta las

operaciones con funciones de manera reflexiva.

Unidad II. Límites y continuidad:

• Identifica los sistemas y reglas de los límites algebraicos modulares que subyacen a

una serie de fenómenos.

• Construye hipótesis sobre la continuidad de las funciones para probar su validez.

Unidad III. Derivadas.

• Expresa ideas y conceptos mediante la representación gráfica de la derivada.

• Propone maneras de solucionar un problema de pendientes, velocidad o económico

definiendo un curso de acción con pasos específicos.

Unidad IV. Aplicaciones de la derivada:

17

• Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades

con los que cuenta para interpretar situaciones científicas en equipos de trabajo.

• Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética con un

pensamiento matemático.

Finalmente el Programa queda estructurado como sigue:

1. Los números reales y funciones

1.1 Los números reales.

1.1.1 Propiedades de los números.

1.1.2 Intervalos.

1.1.3 Desigualdades.

1.2 Clasificación de las funciones.

1.2.1 Noción preliminar de funciones.

1.2.2 Tipos de funciones.

1.3 Gráfica de funciones.

1.3.1 Método para graficar funciones.

1.4 Operaciones con funciones.

1.4.1 Suma, resta, multiplicación y división.

1.4.2 Composición de funciones.

2. Límites y continuidad.

2.1 Límites de una función.

2.1.1 Límite de una sucesión.

2.1.2 Límite de una función.

2.1.3 Proposiciones para calcular límites.

2.1.4 Límites indeterminados.

2.2 Continuidad de una función.

2.2.1 Continuidad y discontinuidad del intervalo.

2.2.2 Gráfica de funciones continuas y discontinuas.

3. La derivada.

3.1 La derivada.

18

3.1.1 Interpretación geométrica de la derivada.

3.1.2 Definición de la derivada.

3.1.3 La función derivada y su notación.

3.2 Teoremas de derive.

3.2.1 Derivada de una constante de la variable independiente.

3.2.2 Derivadas de sumas y productos de funciones.

3.3 Derive de funciones.

3.3.1 Derivada del producto de funciones.

3.3.2 Derivada del cociente de funciones.

3.3.3 Derivada de la función potencial.

3.4 Derivada de funciones trascendentes.

3.4.1 Derivada de funciones trigonométricas.

3.4.2 Derivada de trigonométricas inversas.

3.4.3 Derivada de la función exponencial y logarítmica.

4. Aplicaciones de la derivada.

4.1 Teoremas de aplicación de derive.

4.1.1 Teorema del extremo inferior.

4.1.2 Teorema de Rolle.

4.1.3 Teorema del valor medio.

4.2 Aplicación de la derivada.

4.2.1 La recta tangente y normal.

4.2.2 Función creciente y decreciente.

4.2.3 Máximos y mínimos.

4.2.4 Diferenciales.

4.3 Aplicaciones físicas de la derivada.

4.3.1 Problemas de velocidad, aceleración y de velocidades relacionadas entre sí.

Posteriormente hay recomendaciones para que los docentes propongan actividades en el

aula para el aprendizaje colaborativo, mencionaremos sólo algunos ejemplos como:

• Interpretar las desigualdades como el límite de un número.

• Comprender los conjuntos numéricos que integran el conjunto de los números reales

19

• Inferir los teoremas básicos para el derive de las funciones algebraicas a través de

una técnica de discusión.

• Resolver derivada de funciones algebraicas y de función de funciones de una

diversidad de ejemplos.

• Comprobar la condición de perpendicularidad de la recta normal y tangente de un

graficador.

• Diseñar problemas contextuales donde el estudiante aplique la derivada.

Se observa que en este tipo de recomendaciones se utilizan verbos como: Comprender,

interpretar, analizar y construir; a pesar de ello, nos parece que sólo es en el uso del

lenguaje. Se está haciendo referencia a los mismos objetivos (temas o subtemas) de los

programas tradicionales de cálculo, el uso de estos verbos es congruente con el lenguaje

utilizado en las competencias disciplinares extendidas y el de las competencias

disciplinares básicas en donde se mencionan palabras como construye, explica y

argumenta. Se emplea este lenguaje con respecto a los objetivos, aunque en realidad

reiteramos que en la estructura del programa se tiene los mismos temas que los de

cualquier curso tradicional de cálculo diferencial, además no hay una referencia

explícita de cómo utilizarlos; inferimos que lo que se pretende es que se le quede esta

tarea al profesor.

Al platicar con algunos profesores de nivel medio superior 3

3 Profesores del CBT 1 de Nezahualcóyotl en el Edo. De México

y tomando también como

referente lo reportado por Andrade et al. (2003) hemos notado que el cambio en el lenguaje

no necesariamente provoca un cambio en las actividades en el aula. Consideramos que es

necesario que se explique el “como” tal y como es sugerido por investigadores del

Programa de IBERCIMA quienes realizaron un estudio a 22 países de Iberoamérica,

incluido México, sobre el currículo de Matemáticas del nivel medio y que dice “Hemos

constatado que la mayoría de los currículos están concebidos de manera restringida. Frente

a la concepción amplia del currículo como proyecto que indica de modo coherente qué,

cómo y cuándo enseñar…” IBERCIMA (1992, citado en Dolores, 2007, p. 2).

20

En el Plan analizado se observa que se describe de manera detallada la resolución de

problemas referentes a el cálculo diferencial, no se da una orientación metodológica a los

profesores en cuanto el “como” se implementarán las actividades en el salón de clase con

las cuales los alumnos puedan construir los conceptos de cálculo diferencial utilizando

ideas básicas del mismo como son el cambio y la variación.

El mismo Plan propone en su presentación trabajar con ideas de cambio y variación,

aunque en el desarrollo del plan no se lleva a cabo tal sugerencia. Sin embargo, se podrían

proponer actividades que los alumnos pueden llevar a cabo en donde se manifiesten

desplazamientos en un determinado tiempo; con base a esto, pedirles que identifiquen las

variables y que hagan las gráficas correspondientes, que se reconozcan las variables

presentes en enunciados que investiguen ellos o que lo proporcione el profesor y que se

pueda comprender la relación de dependencia funcional entre ellas. Es conveniente que

dentro de las actividades propuestas para los alumnos se haga el análisis de las funciones,

por ejemplo la forma de la gráfica (recta, par, impar), intervalos en los que es negativa,

intervalos en los que es positiva, sus raíces, intervalos en donde es creciente, intervalos en

donde es decreciente, si es continua o no, dominio y rango.

Es importante que el profesor proponga actividades en las cuales los alumnos puedan

observar los cambios presentados conforme transcurre el tiempo, además de que se puedan

evidenciar tales cambios numérica, gráfica y algebraicamente usando la notación

correspondiente, así como el tipo de cambios que se pueden presentar como son: igual a

cero, constante, positivo, negativo, grande, pequeño, etc. Por mencionar algún ejemplo

más, es considerable que se implementen actividades que tengan por objetivo que el

alumno pueda construir nociones como los conceptos de rapidez y velocidad media en

donde se debe reconocer si hay cambios grandes, pequeños, positivos, negativos, iguales a

cero y en qué parte se presentan cada uno de ellos. Todo esto puede hacerse a partir de una

tabla de valores, una gráfica o la expresión matemática de una función.

En el programa de pensamiento del cálculo diferencial se hace la propuesta de trabajar con

problemas contextuales. Sugiere que el docente formule preguntas que estén muy bien

estructuradas y que sirvan para motivar a los alumnos, la respuesta de ellas va a llevar a los

alumnos a la búsqueda de información en medios bibliográficos, así como en fuentes

21

cibergráficas, la información encontrada la van a organizar y extraer lo que sirva para dar

una respuesta correcta a la pregunta planteada. Consideramos conveniente que los

problemas planteados sean hechos con bases teóricas, por ejemplo la teoría de las

situaciones didácticas o la aproximación teórica de la Socioepistemología trabajada por

investigadores en Matemática Educativa del CLAME por citar algunas. Las secuencias que

se propongan a los estudiantes deberían de estar diseñadas de tal forma que permitan a los

alumnos llevarlas a cabo para que construyan conocimiento.

Al revisar el tratamiento que se le da a la tangente observamos que, es el mismo dado en

cualquier curso tradicional de cálculo diferencial y también expuesto por libros de texto

tradicionales de la misma asignatura, el cual consiste en considerar que una familia de

rectas secantes a una curva deviene en la recta tangente de la misma. Como hemos

documentado anteriormente esta forma de enseñanza ha ocasionado grandes dificultades

entre los estudiantes para entender el concepto de derivada.

Por otro lado también observamos que en los casos mostrados que se exponen en el

programa se da por entendido que los alumnos comprenden el carácter variacional que tiene

la recta tangente a la curva. Lo anterior lo podemos ver en los ejemplos expuestos como

cuando se pide determinar los máximos y mínimos en donde se dibujan las rectas tangentes

antes, en y después de los puntos críticos y se da por entendido que los alumnos

comprenden claramente que la recta tangente está cambiando en cada punto. En Serna

(2007, 2008) se ha reportado que esto es algo que no le queda claro a los estudiantes y

resulta tan obvio para los profesores, que no se le da ningún tratamiento didáctico,

ocasionando dificultades en los procesos de enseñanza aprendizaje.

Por último vemos que el programa sugiere textos elaborados por investigadores en

Matemática Educativa con resultados de sus productos de investigación, sin embargo, a

pesar de estas recomendaciones bibliográficas no vemos reflejadas sus ideas en la

construcción de los conceptos del cálculo diferencial, sólo se hace mención de algunas de

ellas en la introducción del programa y en el lenguaje utilizado al enunciar las

competencias básicas y disciplinares. Esto no concuerda con el desarrollo de los problemas

contextualizados y la estructura del programa, lo que da pie a la ambigüedad ya que hay

dos tipos de ideas plasmadas en el programa; por un lado algunas ideas en donde se plantea

22

el uso del razonamiento crítico y por otro lado las mismas ideas que se han venido

manejando en los cursos tradicionales de cálculo diferencial tanto por parte de los

programas como por libros de texto. Consideramos que ante esta disyuntiva los profesores

finalmente optan por hacer lo que están acostumbrados y aunque cambien su manera de

expresarse producto de la lectura del nuevo programa finalmente terminan haciendo lo

mismo de siempre.

1.2.1.1 El nuevo Plan de Estudios

Durante el transcurso de nuestra investigación se implementó un nuevo programa de

Pensamiento del cálculo diferencial a finales del año 2009, aunque nos lo dieron a conocer

posteriormente. Este programa sigue considerando como el anterior el trabajo a través de

competencias como son: las competencias genéricas, las competencias disciplinares básicas

y las competencias disciplinares extendidas. En la presentación del nuevo programa se

anexan algunos párrafos a lo ya existente, en los agregados se hace mención de la

matemática educativa se dice explícitamente que las matemáticas tienen una pedagogía y

una didáctica, así como también se reconoce que la matemática educativa posibilita la

actualización constante de los docentes. En otro párrafo de la presentación se menciona

que “se sabe que no basta que el profesor “sepa” de la materia, pues es necesario

convertirse en arquitectos de la didáctica y que tengamos clara, de manera explícita cuales

son los principios que fundamenta nuestra práctica” (Departamento de Bachillerato

Tecnológico, 2009, p.7). Un arquitecto es un diseñador que utiliza un conjunto de

conocimientos propios de su disciplina para el diseño, en ese sentido lo que a nuestro

parecer quiere decir la frase es que un profesor a partir de los conocimientos de su

disciplina que es la matemática educativa, llevará a cabo diseños haciendo uso de los

conocimientos propios de su disciplina.

A pesar de lo mencionado en la presentación, en el programa de Pensamiento del Cálculo

Diferencial se implementó un método de enseñanza aprendizaje basado en un modelo

didáctico global el cual consta de seis cuadrantes didácticos y que es usado en todas las

materias. A nuestro parecer esto es una contradicción ya que primero se promueve a la

matemática educativa como la disciplina que proporcionará los elementos de formación y

actualización en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, reconociendo que las

23

matemáticas tienen su propia didáctica, pero esto se contradice con el hecho de

implementar un método que se usa en todas las materias como si todas se pudieran tratar

por igual.

En Arévalo (2012) se hace una propuesta de trabajo para el modelo didáctico global, ésta

es validada por las propias autoridades de educación a nivel estatal ya que él es invitado a

exponer las ideas propuestas en su libro a diversas zonas en donde se encuentran diferentes

escuelas en el Estado de México. A muy groso modo la propuesta de trabajar con seis

cuadrantes didácticos se hace de la siguiente manera:

1) Cuadrante didáctico uno: En donde se genera un ambiente de motivación mediante

la creación de un escenario didáctico y el planteamiento de una pregunta generadora

y varias secundarias.

2) Cuadrante didáctico dos: Se refiere a la búsqueda y evaluación de información

electrónica, de Internet, documentación bibliográfica, y construcción de una

estrategia (plan) de indagación.

3) Cuadrante didáctico tres: Acceso a las fuentes de información y jerarquización de

los datos, mediante organizadores mentales para responder a la temática planteada.

4) Cuadrante didáctico cuatro: Construcción de estrategias de resolución de problemas

de a cuerdo a la organización establecida en los referentes teóricos y metodológicos

respectivos.

5) Cuadrante didáctico cinco: Solucionar el problema acudiendo a procedimientos

propios de la disciplina con el apoyo del docente.

6) Cuadrante didáctico seis: Formular la respuesta y generar el reporte o exposición

oral o escrita.

El nuevo programa de Pensamiento del Cálculo Diferencial considera que a través del

trabajo de un escenario didáctico el cual consiste en el planteamiento de un problema que

va a servir para generar un ambiente de motivación y que junto con una pregunta

detonadora y varias secundarias los estudiantes van a construir el conocimiento a través del

desarrollo de los otros cinco cuadrantes didácticos. En ellos se establece un plan de

búsqueda de información la cual posteriormente se jerarquiza y sirve para construir

estrategias de resolución del problema planteado y con toda la información encontrada y

24

jerarquizada y el apoyo del docente se podrá resolver el problema, finalmente se presenta la

solución dando respuesta al problema propuesto generando un reporte y/o una exposición

oral o escrita. Cada unidad se desarrolla a partir del desarrollo del escenario didáctico

planteado en un tiempo de 25 horas (sugerido por el programa de estudio). Todos los

subtemas de la unidad se van revisando por los estudiantes al ir contestando la pregunta

detonadora y las secundarias.

Hay algunos elementos de la propuesta que pueden ser usados en la enseñanza-aprendizaje

de los contenidos matemáticos no sólo de Pensamiento del Cálculo Diferencial, sino de

todas la materias correspondientes al campo disciplinar de Matemáticas y Razonamiento

Complejo; sin embargo consideramos que la fuente principal de formación y actualización

es la matemática educativa. En esta disciplina científica existen diversas teorías en donde se

ubica al acto de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas dentro de un contexto en donde

dependiendo de la teoría a utilizar se pueden tomar en cuenta por lo menos tres elementos

que actuando de manera sistémica se presentan en las aulas, estos son: el estudiante, el

profesor y el conocimiento; estos tres actores son fundamentales en el acto educativo.

Algunas teorías de la matemática educativa pueden poner mayor atención en alguno de los

aspectos antes mencionados por ejemplo la teoría APOE considera los aspectos cognitivos

del estudiante como algo fundamental en la apropiación del conocimiento. Hay otras teorías

como es el caso de la Socioepistemología que además de los elementos mencionados

anteriormente toma en cuenta otra dimensión más, que es la social, considerando que el

conocimiento se construye en comunidad, donde el objeto matemático no es lo principal a

retomar sino la actividad humana, es decir a el hombre haciendo matemáticas y todos los

elementos que se encuentran presentes y acompañan a la construcción social del

conocimiento matemático; esta forma de abordar la génesis del conocimiento lleva a los

investigadores a reconocer que hay componentes que se encuentran presentes en la

construcción del conocimiento (que no es tomado en cuenta por otras teorías) que pueden

ser usados en la creación de diseños didácticos.

El programa que se presenta tiene innovaciones respecto al anterior, a continuación lo

presentamos:

25

UNIDAD I.

Problemas de Optimización sin Cálculo

1.1. Representación y Solución Numérica

1.2 .Representación y Solución Gráfica

1.2.1. Tipos de Funciones

1.3. Representación y Solución simbólica o algebraica.

1.3.1. Intervalo de validez

1.3.2. Modelo Matemático (Regla de Correspondencia)

1.4. Análisis de la Gráfica de la Función

1.4.1. Características de la Gráfica

1.4.2. Función creciente y decreciente

1.4.3. Función continua y discontinua

1.4.4. Dominio e imagen de la función

1.4.5. Noción de Variación a partir de un comportamiento de casos contextuales

UNIDAD II.

Límite de Fermat

2.1. Movimiento de la secante en una curva

2.2. Cálculo de pendiente de la secante

2.3. Límite de Fermat

2.4. Límites indeterminados

2.4.1. Cálculo de límites de Funciones

26

Algebraicas Contextualizadas

UNIDAD III.

Reglas de Derivación para

Predecir Pendientes

3.1. Reglas para derivar funciones algebraicas

Regla de las Potencias (Derivación de una variable elevada a una constante)

3.1.2. Derivada de la Suma

3.1.3. Derivada del producto

3.1.3. Derivada del cociente

3.1.4. Derivada de la potencia

UNIDAD IV.

Problemas de Optimización y Aplicación Con

Cálculo

4.1. Máximos y Mínimos

4.1.1 Máximos en contexto

4.1.2 Mínimos en Contexto

4.2 Velocidad y Aceleración

4.2.1 Velocidad en Contexto

4.2.2 Aceleración en Contexto

4.3. Modelación y Simulación

4.4 Matemáticas para la universidad

27

4.4.1 Modelos de exámenes UNAM

4.4.2 Modelos de exámenes IPN

4.4.3 Modelos de exámenes UNAM

Como vemos el programa tiene cambios respecto al anterior, sobre todo en las unidades I,

II y IV y esto lo hacen con base al modelo didáctico global. Desde nuestro punto de vista

los diseños didácticos a implementar deberían estar sustentados en alguna teoría de

enseñanza-aprendizaje de matemática educativa. Por otro lado también sería importante que

los docentes conozcan de estas teorías y las usen puesto que de acuerdo a las comunidades

científicas tanto internacionales como nacionales son la fuente que permitirá influir

benéficamente en los sistemas escolares propiciando que los estudiantes usen las

matemáticas como herramientas en la solución de problemas tanto de otras áreas de

conocimiento como en la vida cotidiana, usando las matemáticas de forma crítica ya que les

permitirán tener elementos que los ayuden a analizar su realidad y transformarla.

1.2.2 Tratamiento de la recta tangente en un libro de texto

El libro de texto que se analizara sólo en la parte en la que se menciona a la recta tangente a

la curva y con la cual se auxilia para definir a la derivada es el libro de: Cálculo con

geometría analítica de Earl W. Swokowski. Se ha seleccionado este libro puesto que es uno

de los recomendados en la bibliografía y por tener un enfoque similar al tratamiento de la

recta tangente en la estructura del programa. A continuación mostramos el siguiente

apartado del libro capítulo 2 que tiene por título Límites y continuidad de Funciones en

donde se ve el uso de la noción recta tangente:

Consideremos ahora una ilustración matemática (2.1). En geometría plana la

recta tangente l tangente a un punto P sobre un círculo a veces se define como

la recta que tiene solamente al punto P en común con el círculo como se

muestra en la parte ( i ) de la figura 2.1 Esta definición no puede extenderse a

gráficas arbitrarias, ya que una recta tangente puede intersecar a una gráfica

varias veces como se muestra en la parte ( ii ) de la figura 1.1.

28

Fig. 1.1

Para definir la recta tangente l en un punto P sobre la gráfica de una ecuación,

es suficiente dar la pendiente m de l, ya que ésta determina completamente a la

recta. Para obtener m escogemos cualquier otro punto Q sobre la gráfica y

consideramos la recta que pasa por P y Q, como en ( i ) de la figura 2.2. Una

recta que corta a una gráfica de este modo se llama una recta secante a la

gráfica. Después estudiamos la variación de la secante cuando Q se acerca cada

vez más a P, como se ilustra con las líneas punteadas en ( ii ) de la figura 2.2.

Se ve que si Q esta cerca de P, entonces la pendiente 𝑚𝑃𝑄 de la recta que pasa

por P y Q debe estar cerca de la pendiente de l. Por esta razón, si 𝑚𝑃𝑄 tiene un

valor límite m cuando Q se aproxima a P, definimos la pendiente de l como este

valor m si a es la abscisa de P y x es la abscisa de Q (vea ( i ) de la figura 1.2),

entonces para muchas gráficas la frase “Q se acerca a P” puede sustituirse por

“x se acerca a a” y tenemos

y y

x P

l (i) (ii)

29

𝑚 = lim𝑥→𝑎

𝑚𝑃𝑄

Una vez más es importante observar que 𝑥 ≠ 𝑎 a lo largo de este proceso. En

efecto, si hacemos 𝑥 = 𝑎, entonces 𝑃 = 𝑄 y 𝑚𝑃𝑄 no existe.

(Swokowski, 1982, pp. 51-52)

Fig. 1.2

El autor hace la aclaración de que una recta tangente puede intersecar varias veces a una

curva, también vemos que él maneja la idea de que la recta tangente a la curva se obtiene a

partir del límite de la familia de rectas secantes que devienen en una recta tangente en el

punto P, sin embargo consideramos hace falta aclarar que la recta tangente a la curva, toca a

la misma en un solo punto sin volver a tocarla en la región cercana a la zona de contacto, ya

que si no fuera así ¿cómo se podría distinguir entre una recta secante y una tangente?. Esta

idea es manejada en muchos libros de texto de Cálculo y también en los programas

escolares tal y como lo vimos en el apartado anterior sobre el programa de Cálculo del

Estado de México.

1.2.3 Entrevista a Profesores

Se entrevistó a tres profesores de bachillerato y se les preguntó ¿para qué se estudia la

tangente en Cálculo Diferencial? a lo cual respondieron:

Profesor A:

y

x

P

Q

a x

y

x

P

a x

l

30

Podemos empezar con la definición de tangente. Tangente: Toda recta que toca a la

circunferencia en un solo punto, a este punto se le conoce como punto de tangencia. Al

derivar una función como la que se muestra en la figura. (Esquema entregado por el

profesor)

secante

y2 tangente

f(x)

y1

∆x

x1 x2

Fig. 1.3

Al hacer tender ∆x a cero la secante (línea azul) se acerca a la tangente (línea roja)

confundiéndose con ella.

Por lo tanto la derivada de una función en el punto x1 no es otra cosa que la pendiente de la

tangente a la curva.

Profesor B:

El concepto fundamental para el estudio del Calculo Diferencial es precisamente “ LA

DERIVADA ” y esta tiene varias definiciones, pero en la mayoría de las escuelas de nivel

BACHILLERATO el concepto que más se llega a manejar es desde un punto de vista

meramente geométrico, a la cual la define como: La pendiente de la recta tangente en un

punto determinado de la curva. De esta forma dependiendo de la recta tangente en un punto

de la curva podemos predecir características de suma importancia en la curva, por esta

razón el estudio de la recta tangente se vuelve indispensable para la compresión de la

derivada y del cálculo diferencial.

31

Profesor C:

Desde mi punto de vista creo que es fundamental que se vea la tangente ya que esta es una

herramienta que nos permite dar una explicación geométrica de lo que es la derivada, es

decir el cambio en la variable "y" cuando la variable "x" experimenta un cambio

infinitesimal (pendiente de la tangente).

Se hizo una segunda pregunta a los profesores que es: ¿Consideras fundamental el

estudio de la tangente en cálculo? Si o no. Favor de justificar la respuesta.

Esta última pregunta sólo la respondieron los dos primeros profesores:

Profesor A:

Si

Justificación: considero que en todo fenómeno donde haya una razón de cambio, existen

curvas en las funciones, donde siempre existirán tangentes a dichas curvas donde la gráfica

expuesta anteriormente lo justifica.

Profesor B:

En la forma que vienen plateados los programas de nivel bachillerato para el estudio del

cálculo diferencial y también porque no decirlo, mucho tiene que ver la formación

académica que recibimos en nuestra época de estudiantes y él como nosotros mismos

(profesores) definimos el concepto de la derivada. Definitivamente creo que sí es

fundamental el estudio de la recta tangente. Al alumno se le enseña a manejar las razones

de cambio promedio, con apoyo de rectas secantes se logra determinar una aproximación

del comportamiento de la curva, posteriormente se manejan razones de cambio

instantáneas con el apoyo de una sucesión de rectas secantes hasta encontrar la rectas

tangente y de esta forma se llega explicación de la derivada de una función. Por otro lado,

creo de una forma muy personal que no es esencial el estudio de la recta tangente pero para

ello deberíamos romper ciertos paradigmas de la forma de enseñar actualmente el cálculo

diferencial, deberíamos conocer los orígenes del cálculo diferencial, el mismo Newton,

32

hasta donde he leído, no se basaba en un manejo geométrico (y por ende de la recta

tangente) para el desarrollo de la derivada de una función.

1.2.3.1 Breve análisis de las respuestas de los profesores

Primer pregunta

Los tres profesores relacionan a la tangente con una explicación geométrica. El profesor A

menciona que la recta tangente toca a la curva en un solo punto, como sabemos esto no es

necesariamente cierto, sin embargo es una idea que se encuentra presente en los estudiantes

y en algunos profesores también tal y como es reportado en Cantoral (2000, citado en

Serna, 2007). El profesor da una respuesta en función de una definición, no explica el

motivo por el cual se estudia la recta tangente en Cálculo Diferencial. Desde nuestro punto

de vista es de esperarse una respuesta así, ya que de acuerdo a Gascón (2001) y con lo cual

coincidimos es que hay profesores entre los cuales se manifiesta un modelo clásico docente

que él denomina teoricismo consiste en que el profesor enseña (en el sentido de mostrar)

una teoría cristalizada, la cual se manifiesta a través de los conceptos. Es decir se le da gran

importancia al momento en que los alumnos se encuentran por primera vez ante los objetos

matemáticos que les presenta el profesor y si estos son “bien presentados” entonces

consecuente el proceso de enseñanza-aprendizaje se llevará a buen término.

Con respecto al profesor B dice que la tangente se estudia en las escuelas de nivel

bachillerato y da una explicación geométrica sobre el tratamiento de la derivada, la

pregunta fue abierta y él solo hizo alusión a una justificación digamos dentro del mismo

ámbito de las matemáticas. En el caso de este profesor menciona la parte conceptual, pero

su respuesta va más allá, ya que menciona que se pueden predecir características

importantes de la curva.

El profesor C como en el caso de los profesores anteriores menciona que la justificación del

estudio de la recta tangente es porque permite dar explicaciones de tipo geométricas, y

relaciona la parte geométrica con una explicación que tiene que ver con la razón instantánea

de cambio, se podría interpretar de su respuesta que se concibe a la recta tangente a una

33

curva como algo estático ya que fija su atención en el cociente ∆𝑦∆𝑥 el cual se va a manifestar

a partir de la pendiente de la tangente.

Segunda pregunta

Con respecto a la respuesta del profesor A, su justificación es que en la curvas hay rectas

tangentes. No hay explicaciones de cómo la recta tangente ayuda a interpretar fenómenos

de cambio al indicarnos las características de los mismos o que la recta tangente ayude a la

interpretación de otros conceptos como son máximos y mínimos y punto de inflexión.

Con respecto a la respuesta del profesor B, inicialmente comenta que es fundamental el

estudio de la recta tangente lo cual tiene que ver con los programas de estudio y la forma en

cómo se aprendió la derivada, después dice que no es esencial y sugiere que es conveniente

hacer un estudio de los orígenes del cálculo diferencial. Sin embargo su aseveración con

respecto a Newton es incorrecta, Los Principios Matemáticos son escritos utilizando

argumentos geométricos ya que un paradigma existente en su época era escribir utilizando

la base axiomática de los principios de la geometría. También podemos ver un método para

trazar tangentes escrito en un libro basado en sus apuntes que fue escrito después de su

muerte cuyo título es: Tratado de métodos y series de fluxiones. El profesor tiene una idea

correcta de revisar obras antiguas con el fin de conocer sobre los fundamentos del cálculo

diferencial, sin embargo sus conocimientos sobre la historia del cálculo no son correctos.

Los profesores tienen un manejo de la recta tangente parecido al que se encuentra en libros

de texto tradicionales, el cual también corresponde con lo establecido por la mayoría de

programas escolares de cálculo diferencial. Este consiste en definir a la recta tangente como

el límite de una familia de rectas secantes, además de que se da por hecho que los alumnos

comprenden que la recta tangente a una curva es variacional.

1.3 A manera de cierre

En diferentes partes del mundo se llevan a cabo reuniones con matemáticos educativos en

donde se muestran resultados de la aplicación de diseños didácticos que son el resultado de

productos de investigación, por ejemplo la Reunión Latinoamericana de Matemática

Educativa (Relme) se lleva cada año en algún país latinoamericano incluyendo a México,

34

otra reunión anual es la Escuela de Invierno que se celebra año con año en algún punto de

nuestro país en diciembre. En este tipo de reuniones se muestran los resultados obtenidos al

aplicar los constructos teóricos no sólo de la Socioepistemología sino también de otras

teorías de matemática educativa. Otra forma más de probar los beneficios que se pueden

tener de utilizar teorías de enseñanza-aprendizaje para la implementación de las clases de

matemáticas se encuentra en la revista Relime, ésta cuenta con reconocimiento a nivel

internacional entre la comunidad científica, en ella se muestran resultados de trabajos de

investigación de la Matemática Educativa.

El uso de alguna teoría de la Matemática Educativa permitiría tomar en cuenta elementos

como la cognición en donde los docentes tendrían herramienta para poder saber (con base

en la teoría utilizada) cómo construye conocimiento matemático un estudiante, así como las

diferentes estrategias para la presentación de los diversos contenidos. Por otro lado las

teorías también brindan herramientas que les permiten a sus usuarios saber que la actividad

de enseñanza, no es algo trivial, ya que las propuestas de los planes de estudio han

mostrado lo contrario de acuerdo a investigaciones hechas al respecto (Dolores, 2007;

Marcolini y Perales, 2005); una teoría proporciona elementos para saber quién, qué, cómo,

cuándo, cómo y para que enseñar, como se menciona inclusive en el libro del modelo

didáctico global (Arévalo, 2012), sin embargo y a pesar de que esto se menciona en el libro

citado, no promueve el uso de ninguna teoría de Matemática Educativa y a nuestro parecer

tampoco se hace explícito en el desarrollo del método del modelo didáctico global el uso de

constructos de teorías de enseñanza-aprendizaje propios de otras áreas de conocimiento, en

lugar de ello se proporciona una serie de pasos que el docente tendrá que seguir casi al pie

de la letra sin conocer elementos teóricos que le permitan hacer sus propios diseños.

Existen diferentes grupos de trabajo de matemáticos educativos en nuestro país y otros

como Francia por ejemplo en donde se ha comenzado a trabajar con la Socioepistemología;

(teoría desarrollada en México y Latinoamérica), hay otras teorías de Matemática Educativa

que se trabajan en diversas partes del mundo con muy buenos resultados, esto lo

mencionamos como una muestra de que existe una comunidad científica nacional e

internacional que reconoce a la Matemática Educativa como la disciplina científica que

sirve tanto a investigadores como a docentes, beneficiando a los diferentes sistemas

35

escolares, pero al parecer todo esto no es tomada en cuenta a nivel institucional por la

Secretaría de Educación del Gobierno del Estado de México. En el año 2004 se promovió

un diplomado llamado “Desarrollo del Pensamiento Matemático” a nivel Estado de México

con investigadores de CICATA y Cinvestav del IPN, sobre Matemática Educativa, el curso

se veía muy prometedor, se desarrolló pero no se le dio seguimiento, aun así, consideramos

que este tipo de cursos beneficiaría a los profesores de matemáticas y en consecuencia a los

estudiantes, viéndose esto reflejado en su rendimiento académico, en la prueba enlace, en

sus exámenes para ingresar a las diferentes Universidades, etc.

36

Capítulo II

Estado del Arte

2.1 Introducción

En el capítulo anterior se han reportado diversas problemáticas con respecto a la enseñanza

aprendizaje del Cálculo Diferencial en general y la recta tangente en particular, las cuales

como se ha documentado se presentan en las escuelas de nuestros sistemas escolares e

inclusive en sistemas de otros países. Uno de los problemas enunciados se refiere a el rigor

matemático con que son tratados los temas vistos en tal materia, es muy frecuente que los

programas tengan una estructura parecida a la del análisis matemático (Dolores, 2007), este

formalismo se encuentra presente en los libros de Cálculo, los cuales son una fuente

importante de consulta para alumnos, profesores y la sociedad en general ya que sirven para

elaborar temarios, guías de estudio, estructurar programas, preparar exámenes, estudiar y

también influyen de acuerdo a su contenido en el discurso que es manejado en las aulas

(Castañeda, 2006).

El tratamiento de los temas en los libros de texto de Cálculo es de acuerdo a una estructura

lógica y coherente con el formalismo correspondiente, esto contribuye a que se oculten las

ideas intuitivas con las que nació el Cálculo. Se ha observado que los temas tratados no

hacen alusión a problemas de variación de física, ni con otras ciencias en donde el Cálculo

puede intervenir. Los problemas planteados en los libros de texto son de carácter

intramatemático, y los resultados obtenidos en la enseñanza aprendizaje de esta asignatura

demuestran que los estudiantes después de cursarla regularmente sólo saben manejar de

manera más o menos mecánica los algoritmos vistos en la clase (Dolores,2007; González,

1999; Serna, 2007; Serna, Castañeda y Montiel, 2011, 2012), lo cual no implica que sepan

reconocer las ideas básicas de sus conceptos fundamentales ni los problemas en donde se

37

aplican los conceptos vistos en Cálculo ya que estos no fueron construidos en su momento,

lo cual conlleva a que en la Universidad prácticamente vuelven a ser repetidos en los

mismos términos que en el nivel medio superior (Dolores, 2007). Lo cual implica que no se

puede comenzar los estudios en la Universidad como si todo hubiera sido comprendido

cabalmente por los estudiantes o en su defecto comenzar cómo si no se hubiera aprendido

nada teniendo que redefinir todo de nuevo, en este caso Biza y Zachariades (2010) sugieren

que haya una reconstrucción del tema de la recta tangente.

Uno de los temas en Cálculo Diferencial es el de la recta tangente a la curva. Este es

tratado en los cursos como una aplicación de la derivada y no se reconoce el papel

importante que podría tener en cuanto a la construcción de otros conceptos del Cálculo

Diferencial como son la derivada, los máximos y mínimos y el punto de inflexión. Al

respecto en Cantoral (1988) se reporta acerca del papel histórico que tuvo la recta tangente

en la construcción de la derivada.

La interpretación geométrica de la derivada presenta dificultades en los estudiantes,

(Artigue, 1998; Biza, Christou y Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Cantoral,

2000; Dolores, 2007; Serna 2007, 2008; Serna, Castañeda y Montiel, 2009, 2011, 2012). La

forma en cómo es tratado este tema en cursos anteriores al de Cálculo es de acuerdo a la

geometría Euclidiana como un lugar geométrico con su carácter estático; se concibe a la

tangente como aquella recta que toca a la curva en un solo punto sin volver a tocarla (Biza,

Christou y Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Kajander y Lovric, 2009), lo cual

como sabemos es cierto para el caso de las cónicas, pero no así para todas las funciones

como por ejemplo la función cúbica. Además en Geometría Analítica se le concibe como

un lugar geométrico, por lo tanto estática, lo cual de acuerdo a lo reportado en Dolores

(2007) puede dificultar el paso de una concepción global (propia de la geometría

Euclidiana) a una concepción local (propiedad fundamental del Cálculo), y dificulta la

aceptación de que la recta tangente (además de tocar) puede cortar a la curva y ser tangente

en la zona de corte (Biza, Christou y Zachariades, 2008; Biza, Nardi y Zachariades, 2009;

Biza y Zachariades, 2010; Canul, 2009).

Reconocemos entonces que existe un fenómeno didáctico con respecto a el estudio de la

recta tangente en las clases de Cálculo Diferencial, este consiste en que los estudiantes no

38

construyen a la recta tangente con su carácter dinámico, además de que los profesores

tampoco ven esto como un problema (Serna, 2007, 2010; Serna, Castañeda y Montiel,

2011, 2012).

La Matemática Educativa aborda como objeto de estudio los fenómenos de enseñanza

aprendizaje y uno de sus fines es afectar benéficamente a los sistemas escolares. Existen

diversos paradigmas teóricos para abordar el objeto de estudio de la Matemática Educativa,

uno de ellos es la Socioepistemología, la cual toma en cuenta al estudiante (polo cognitivo),

el profesor (polo didáctico), el conocimiento (polo epistemológico) y asimismo, toma en

cuenta la componente social, la cual está vinculada con las demás en una relación sistémica.

Esta componente considera, las condiciones sociales en las que se construye el

conocimiento matemático. Desde este punto de vista y retomando el polo epistemológico,

vemos que este queda afectado por la componente social, es decir no se estudia al objeto

matemático en sí mismo, sino que ahora se hace el planteamiento de los escenarios

socioculturales en donde nace el conocimiento. El conocimiento nace situado por las

circunstancias sociales, las necesidades, los consensos, la forma en cómo se transmite, los

paradigmas vigentes en la época, las problemáticas que son resueltas a partir de los usos del

conocimiento. En este trabajo de investigación abordaremos nuestro objeto de estudio a

partir de esta perspectiva.

Bajo esta perspectiva socioepistemológica pretendemos rescatar elementos del pasado en

donde nacen las ideas matemáticas. Nos interesa reconocer cuáles son las circunstancias

que dan origen a el conocimiento matemático (Salinas y Alanís, 2009; Cantoral, 2001),

todo esto con el fin de que puedan ser utilizados en una didáctica actual.

2.2 Elementos de tipo histórico usados en el aula de matemáticas

El estudio de los problemas de variación es lo que históricamente generó las ideas clave del

Cálculo (Dolores, 2007). En nuestro estado del arte revisaremos investigaciones que nos

den cuenta acerca de estas ideas clave sobre la variación y el cambio, que son aquellas que

de alguna manera contribuyeron al nacimiento del Cálculo Diferencial, teniendo presente

que el siglo XVII es un período donde se concretizan métodos generales de resolución de

problemas como el de las tangentes, cuadratura de curvas y máximos y mínimos entre

39

otros. La reflexión acerca de esas investigaciones nos proporcionaran elementos que nos

van a permitir ubicar un punto de partida para nuestra investigación, así como retomar

elementos teóricos que serán utilizados posteriormente, todo esto con la intención de que

pueda ser utilizado desde un punto de vista didáctico y que permita rediseñar el Discurso


Tomaremos en cuenta para nuestro trabajo los productos de investigación que han

analizado cómo surgieron ideas del Cálculo Diferencial las cuales lo llevaron a una etapa de

formalización y que permitieron generalizar un método para la resolución del problema de

las tangentes. Este problema surgió desde la antigua Grecia, sin embargo los

procedimientos utilizados eran exclusivamente geométricos. Con la caída del feudalismo y

el nacimiento del capitalismo en los siglos XVI y XVII varios científicos empezaron a

descubrir leyes de la naturaleza, en Dolores (2007, p. 10) se reporta:

…, las ideas de variación y cambio como abstracciones obtenidas de la realidad,

se van desarrollando y son introducidas por Descartes en su Geometría como

magnitudes variables definiéndolas en forma dual: como coordenada variable

de un punto que se mueve a lo largo de una curva y en la forma de un elemento

variable del conjunto de números. Sobre esta base las cónicas de Apolonio son

interpretadas por medio de ecuaciones algebraicas las cuales expresan, a su vez

relaciones entre las variables x y las y (la noción de función), trascendiendo así

la idea de incógnita propia del Álgebra y poniendo en su lugar la idea de

variable propia del Análisis Matemático.

El auge que habían cobrado las Ciencias Naturales, la introducción de la

Geometría Analítica y las propias exigencias de la mecánica en el siglo XVII

propiciaron nuevas soluciones que relacionaron al problema de las tangentes

con los fenómenos de la variación.

La matemática de la variación desarrolló ideas que permitieron el nacimiento y

formalización del Cálculo Diferencial, como es reportado en Dolores (2007, p. 9):

Con la transición de la Matemática de las constantes a la Matemática de las

variables (Aleksandrov, et al 1985), el desarrollo de la matemática da un salto

40

cualitativamente superior, pues el movimiento como propiedad esencial de la

materia es incorporado a la matemática en forma de variables trascendiéndose

así concepciones estáticas acerca de la naturaleza y del universo. Este viraje en

el desarrollo de la matemática posibilitó soluciones más generales al problema

de las tangentes.

Consideramos que el análisis y reflexión de estos productos de investigación nos pueden

permitir contestar preguntas como: ¿hubo circunstancias fuera del ámbito de lo

exclusivamente matemático que propiciaron que se encontrara un método general de

resolución del problema de las tangentes?, ¿qué métodos se utilizaron?, ¿cómo era la forma

de la transmisión de las ideas?. Las respuestas a estas preguntas nos van a dar cuenta no

sólo del objeto matemático a estudiar, sino también las estrategias, los escenarios, propios

de la época, en donde nacen estas ideas (las cuales en ese entonces no tenían la formalidad

con la que ahora se enseña), y que se fueron perdiendo con el transcurso de los siglos en

donde se fueron formalizando los conceptos hasta llegar a la forma actual en la que son

presentados los contenidos del Cálculo Diferencial.

Al reflexionar detenidamente acerca de estas ideas se puede observar que hay elementos en

la historia de las matemáticas que pueden ser utilizados en la didáctica actual, como

reporta Dolores (2007, p. 17)

Así pues, el desarrollo histórico de las ideas matemáticas sugiere un camino que

pudiera ser explorado en la enseñanza, para que una persona alcance el nivel de

pensamiento que alcanzaron varias de sus generaciones precedentes es

necesario que pase aproximadamente por las mismas experiencias de sus

antepasados.

La matemática de la variación y el cambio proporciona nuevos argumentos los cuales

constituyen elementos para construir el concepto de recta tangente. Por ejemplo por medio

de los infinitesimales, se puede argumentar con ideas sobre la variación y cambio,

utilizando razonamientos geométricos-visuales, para expresar las múltiples

caracterizaciones que se tenían de la recta tangente, máximos y mínimos, así como el punto

de inflexión

41

2.3 La historia y los usos del conocimiento en la Socioepistemología

En la matemática desarrollada en el siglo XVII específicamente aquella orientada por

medio de la física y que trataba con problemas de cambio y variación concerniente al

Cálculo infinitesimal, se encontraba presente una forma de resolver los problemas por una

comunidad. La resolución de estos problemas se ven concretizados en la etapa de

formalización del Cálculo en donde se determinan métodos generales de resolución de

problemas, la solución a estos problemas se puede llevar a cabo por el uso de los nuevos

paradigmas científicos de la época. La revisión que se llevará a cabo nos permitirá

reflexionar sobre los hallazgos encontrado, los cuales como se ha comentado anteriormente

nos sirven como punto de partida para ubicar a partir de donde vamos a iniciar con nuestro

análisis.

Estos nuevos argumentos constituyen los elementos con los cuales se puede construir el

concepto de recta tangente, utilizando para ello a los infinitesimales o ideas cercanas a

ellos. Estos usos del conocimiento permiten argumentar sobre la variación y cambio,

utilizando razonamientos geométricos-visuales, para expresar las múltiples

caracterizaciones que se tenían de la recta tangente, máximos y mínimos, así como el punto

de inflexión.

El viraje que se presenta más enfáticamente en los siglos XVI, XVII y XVIII con respecto

al Cálculo en donde los fenómenos de la naturaleza sobre la variación y el cambio modifica

la forma en como eran vistas las matemáticas. En ese periodo queremos ubicar nuestra

investigación, puesto que consideramos que esas nociones con las que nace el Cálculo son

menos formales y conserva ideas intuitivas las cuales ser rescatadas y utilizadas en una

didáctica actual. Gracias a esas nuevas formas de ver las matemáticas se consolidan

métodos generales de resolución de problemas, sin embargo en estos inicios de la

formalización del Cálculo las ideas con las que nace son menos formales que las que

actualmente existen, los argumentos físicos, así como los esquemas geométricos

posibilitaron el arribo a estas ideas, la formalización vino en los siglos posteriores. De tal

forma que vemos que un elemento clave fueron los fenómenos físicos de variación y

cambio de la naturaleza

42

2.4 Propósito del Estado del Arte

El propósito de nuestro estado del arte al analizar los hallazgos obtenidos de los trabajos de

investigación es reconocer cuales fueron los elementos en el nuevo paradigma del siglo

XVII en donde con los infinitesimales se podía argumentar acerca de elementos de

variación y cambio, gracias a los cuales se lograron nuevas formas de resolver el problema

de las tangentes hasta llegar a un método general de resolución de este problema con

Newton y Leibniz. En esta época se desarrolla el Cálculo infinitesimal con ideas más

intuitivas que formales como es comentado en Dolores (2007, p. 17) quien cita a Kline

(1984, p. 47)

… en gran parte se debieron a que los matemáticos pensaron intuitivamente, a

que usaron frecuentemente los argumentos físicos. … los esquemas

geométricos y las generalizaciones a las que llegaron fueron apoyados en casos

particulares conocidos que les permitieron llegar a conclusiones correctas. …

durante los siglos en que se edificó el cálculo no había aún un desarrollo lógico

que hiciera consistente sus fundamentos, aparentemente la intuición de los

matemáticos de esa época fue más poderosa que su lógica.

La revisión nos proporcionará elementos que se encontraron presentes en el desarrollo del

Cálculo Diferencial en lo general, pero también de manera particular en la solución al

problema de las tangentes, sobre todo aquellas que usaron argumentos de cambio y

variación, todo esto para implementarlos intencionalmente en el diseño de secuencias

didácticas.

2.5 Constructos asociados a la recta tangente desde un punto de vista variacional

En Castañeda (2004) se hace un análisis socioepistemológico al proceso de formulación del

discurso didáctico del punto de inflexión. En este trabajo de investigación entre otras cosas,

se aborda el análisis de obras de difusión del Cálculo infinitesimal de L´Hospital y Agnesi.

Podemos encontrar en esta obra una forma de revisión que contempla el análisis de los

escenarios a partir de los cuales se construye el conocimiento. En este trabajo de

investigación se pone la mirada en los diferentes usos que se tiene de los objetos

matemáticos que se encontraban vigentes, por ejemplo las magnitudes infinitesimales, las

43

diferencias, la recta tangente, el uso de diferentes estrategias geométrico-visuales las cuales

permitían argumentar sobre los diferentes conceptos que se trataban de demostrar, o

problemas que se resolvían a partir de estos nuevos enfoques. Estos son tratados bajo una

perspectiva diferente, en donde se involucraba un nuevo paradigma el de los

infinitesimales, el cual era distinto al paradigma anterior sobre las matemáticas, digámosle

a este paradigma anterior como lo hace Dolores (2007), el de las matemáticas de las

constantes.

En Serna (2007) se llevó a cabo un análisis socioepistemológico que nos permite ver la

evolución que tuvo la recta tangente. Para ello se revisaron obras antiguas eruditas y obras

de difusión del Cálculo, así como un libro de texto que es usado actualmente en nuestros

sistemas escolares. En este trabajo de investigación se puede observar cómo se pierden las

ideas que originalmente dan pie a que se resuelva el problema de las tangentes que se

encontraba vigente en el siglo XVII y en donde la forma de la transmisión de las ideas eran

más intuitivas que formales, utilizando argumentos geométricos-visuales. Sin embargo los

infinitesimales y su representación se fueron abandonando por ideas más formales en los

siglos venideros y con ello la recta tangente se expresa como la aplicación geométrica de la

derivada, es decir sólo como una aplicación de la derivada y no como un argumento que

permite la construcción del concepto derivada.

En la tesis de Sarmiento (2008) en donde se hace un análisis epistemológico que tiene un

carácter descriptivo del origen y evolución del Cálculo infinitesimal se hace énfasis en las

estrategias utilizadas para la construcción de la derivada. Él parte de los griegos en su

análisis y continua con algunos matemáticos modernos como son: Cavalieri, Jonh Wallis,

Isaac Barrow, Isaac Newton y por último a W. Leibniz. También tenemos el libro de

Dolores (1999) el cual es escrito con base en sus investigaciones realizadas bajo la línea de

investigación del Pensamiento y Lenguaje Variacional. Otro trabajo de investigación que

revisamos es el de Cardona (2009) el cual es un diseño didáctico para la resignificación de

la noción de derivada y se encuentra situado dentro de la línea de investigación de

Pensamiento y Lenguaje Variacional.

El trabajo de tesis de Canul (2009) retoma trabajos de investigación sobre estudios

epistemológicos, sobre la propuestas para la construcción de recta tangente y estudios

44

exploratorios o experimentales, todos ellos relacionados a la recta tangente y lleva a cabo

una situación didáctica con la que se pretende que los alumnos transiten de la concepción

euclidiana a la concepción leibniaza de tangente.

Los problemas de variación y cambio son relevantes en el desarrollo histórico de los

conceptos fundamentales de Cálculo Diferencial (Dolores, 2007). La línea de investigación

del Pensamiento y Lenguaje variacional retoma esta situación ya que se ocupa de de las

estructuras variacionales específicas desde un punto de vista matemático y epistemológico,

en (Cardona, 2009) y (Dolores, 1999) se aborda la recta tangente bajo el enfoque de esta

línea de investigación.

Al revisar todos los trabajos mencionados con anterioridad se pretende mirarlos

reconociendo los elementos esenciales a partir de los cuales se puede construir a la recta

tangente, cuáles son los usos que se les da a estos elementos, así como también reflexionar

sobre cómo están presentes los procesos de variación y cambio. Es importante también

observar a partir de estos productos de investigación cuáles son los contextos en los que se

desarrollan las ideas matemáticas. Todo esto nos permitirá tener elementos que nos

posibilitarán ver la epistemología de las matemáticas analizadas. Todo lo anterior con el fin

de rescatar ideas con las cuales podamos llegar a nuestro objetivo que es el construir la

recta tangente a la curva desde un punto de vista variacional.

El problema de las tangentes que se refería a encontrar la recta tangente a una curva, fue

abordado por diversos matemáticos en el siglo XVII y principios del XVIII. De acuerdo a el

análisis llevado a cabo en Serna (2007) se pudo observar que la recta tangente a una curva

eran una misma con la curva en una región infinitesimal, de tal forma que se podía

establecer una relación de semejanza de triángulos, entre uno de dimensiones finitas con

respecto a otro de dimensiones infinitesimales. Se podía establecer por lo tanto un cociente

entre dos fluxiones desde la perspectiva de Newton la cual tenía que ver con la descripción

matemática de los fenómenos físicos, o entre dos diferenciales de acuerdo a la perspectiva

de Leibniz, el cual llega a sus resultados explorando la vía geométrica (Dolores, 2007).

La idea de un cociente entre dos cantidades infinitamente pequeñas es muy cercana a la de

la derivada tal y como es conceptualizada actualmente. Consideramos que esta idea es

45

valiosa ya que nos permite ver que hay una forma diferente de abordar el tema de recta

tangente en donde se utilizan nociones como la semejanza de triángulos y la idea de rapidez

de cambio de una variable con respecto a la otra en un instante. De acuerdo a lo revisado en

la investigación señalada se puede observar que finalmente esta idea fue precursora de la

derivada. Cuando posteriormente revisemos este enfoque en este mismo capítulo

pretendemos demostrar que se puede construir la recta tangente a la curva a partir de los

infinitesimales en un contexto geométrico-visual, utilizando ideas menos rigurosas a las que

actualmente se presentan en el Cálculo Diferencial como es el caso del límite y que se

pueden utilizar en situaciones de enseñanza – aprendizaje del Cálculo Diferencial.

Con respecto a los trabajos de investigación analizados en este estado del arte tenemos dos

tipos: los de tipo histórico epistemológico que se encargan de hacer un análisis de fuentes

históricas, en donde son tomados en cuenta los contextos en los que nace el conocimiento.

Se tienen también trabajos de investigación de tipo didáctico, los cuales proponen métodos

didácticos que son productos de investigación en matemática educativa y que se encuentran

bajo la línea de investigación del Pensamiento y Lenguaje Variacional.

Iniciaremos analizando los trabajos de investigación de tipo histórico epistemológico, y

comenzaremos por la noción de diferencia. Con respecto a esta idea se desprenden o

podemos asociar otras ideas tales como: las magnitudes, la variación y lo gráfico-visual,

todos y cada uno de estos aspectos se encuentran vinculados entre sí. Es a partir de ellos

que se puede construir la noción de recta tangente. Es a partir de la diferencia como se

pueden concebir las magnitudes infinitesimales, las cuales nos permiten ver como esta

variando las cantidades variables. A partir de la razón de cambio entre magnitudes

infinitesimales se puede obtener a la recta tangente a la curva.

2.6 Estudios Histórico-Epistemológicos

2.6.1 Diferencias

En la tesis de Castañeda (2004) se da un amplia explicación con respecto a la definición de

diferencia. Concepto clave en la obra de L´Hospital puesto que contribuye de manera muy

importante en la construcción de todos los demás conceptos matemáticos que surgen a

través de la obra. La forma en cómo se enuncia a la diferencia en la obra citada le permite

46

al lector observar de manera muy sencilla una distinción entre lo que es una variable y una

constante, el análisis exhaustivo de las diferencias permite caracterizar a una curva. Se

puede establecer a cada punto de la curva una ordenada y la diferencia surge cuando se

lleva a cabo una comparación entre dos ordenadas de la misma curva las cuales se

encuentran infinitamente cercanas. Cuando se hace esto consecutivamente y al observar

estas diferencias se pueden definir características importantes de la misma, por ejemplo al ir

comparando los diferentes estados y si estos van siendo cada vez más grandes podemos

establecer que en esa región la curva es creciente, se puede ser más exhaustivo al

determinar si es un crecimiento “rápido” o “lento”, o incluso si es un crecimiento constante

al tratarse de una recta, de manera análoga se podría caracterizar una región de la curva

decreciente. La comparación entre dos puntos a partir de la diferencia permite asignarle un

signo a la misma, este nos indica si el estado vecino es mayor o menor al estado actual.

Encontramos entonces que la diferencia puede caracterizar a dos magnitudes que se

encuentran infinitamente cercanas ya que estas por sí solas no nos dan mucha información,

pero cuando son comparadas por medio de la diferencia y si esta comparación se hace

consecutivamente entre los diferentes estados de la curva se puede obtener información

sobre la variación de la misma.

En Castañeda (2004) se reporta con respecto al Cálculo de Leibniz que él hace alusión a los

estados, es decir a un comportamiento discreto que se extrapola a un contexto continúo a

diferencia de L´Hospital que lo hace a través de la variación continua. Al observar esta idea

de los estados, podemos decir que para situar un estado “es detenerse” en un punto de la

curva, en un instante y cuantificar la ordenada en ese momento, posteriormente se puede

uno “detener” en otro estado y hacer comparaciones entre los dos, a través de la diferencia.

Al hablar de estados de la curva se puede pensar que se está haciendo referencia a una

variable física, sin embargo esto es algo que no podemos afirmar con certeza dado el

tratamiento geométrico que hace Leibniz de su Cálculo.

El reflexionar acerca de la diferencia nos permite determinar por ejemplo si una diferencia

se mantiene constante, entonces se trata de una línea recta, evidentemente cuando las

diferencias consecutivas no son constantes, se trata de una curva. En el análisis hecho por

Castañeda (2004) sobre las obras de L´Hospital y Agnesi nos dan muestra que las

47

diferencias se pueden asociar con magnitudes infinitesimales y estas nos permiten encontrar

por medio de semejanza de triángulos y haciendo uso de argumentos geométricos visuales

la recta tangente a la curva, así mismo a partir de las magnitudes infinitesimales se

posibilita la determinación de los máximos y mínimos, así como del punto de inflexión,

también mediante las diferencias es asequible ver si se trata de una función creciente o

decreciente, por otro lado permiten determinar si el punto sobre la curva se encuentra en

una región cercana a un máximo o un mínimo.

Hasta ahora se ha reflexionado acerca del uso de la diferencia en ambientes geométrico-

visuales, sin embargo como se ha comentado en otro apartado de este mismo capítulo los

fenómenos de la naturaleza de las ciencias físicas estuvieron estrechamente relacionados

con las matemáticas. Se considera que “el movimiento como propiedad esencial de la

materia es incorporado a la matemática en forma de variables” (Dolores, 2007, p. 9). Este

estrecho vinculo se manifiesta en una relación dialéctica entra la física y las matemáticas

del siglo XVII se reconoce que la física “dirige” la construcción de conocimiento

matemático como es reportado en Cantoral (2001). Él busca extraer los procesos de

construcción de conocimiento matemático cuando este se orienta por el pensamiento físico.

Reporta en base a su análisis acerca de los fenómenos de cambio, semejante a los de flujo

de agua, acerca de la diferencia, la cual para él es un elemento sumamente importante, ya

que la diferencia fundamental 𝜌(𝑎 + 𝑑𝑎) − 𝜌(𝑎) sirve para el estudio de la naturaleza de

la variación local, con la cual basta cuando se pretende extraer el comportamiento global de

los fenómenos de flujo ya que:

La idea básica a la que nos referimos consiste en la asunción de que con la

predicción de los fenómenos de flujo continuo en la naturaleza, es posible

anunciar, anticipar su estado ulterior. Pues conociendo ciertos valores iniciales

de un sistema en evolución, sabremos la forma en que este progresa.

(Cantoral, 2000, p. 195)

La diferencia fundamental: 𝜌(𝑎 + 𝑑𝑎) − 𝜌(𝑎) “mide el desequilibrio en la naturaleza, su

reconocimiento permite anunciar la presencia de flujos, así como también da cuenta de los

procesos de acumulación de lo que fluye…” (Cantoral, 2001, p. 348). Observamos entonces

48

la importancia de la diferencia ya que es la noción con la que se pueden medir cambios, ya

sean estos manifestados en una curva o en los fenómenos de la naturaleza. Estos cambios y

su variación y la variación de la variación y así sucesivamente permiten determinar

completamente la evolución de un sistema. De tal forma que hay una necesidad de la

observación de la variación infinitesimal pues se podrá predecir el estado ulterior en un

sistema de fenómenos de flujo. Se puede ver a partir de esta investigación cómo el

acercamiento a las matemáticas vía la orientación de los fenómenos físicos condujo a

resultados que nos muestran la construcción de los conceptos matemáticos de Cálculo. De

esta manera se podría retomar en una didáctica actual. Esto da pie a una reorientación del

discurso matemático escolar, Cantoral (2001) sostiene que la matemática educativa no

debería estar enfocada solamente en el cómo enseñar, sino también en el qué enseñar.

Producto de esta investigación también se reporta que al llevar a cabo una estrategia

didáctica con profesores se observó que hay una identidad de mecanismos funcionales entre

las producciones de los profesores y la historia.

2.6.2 Magnitudes

Un aspecto muy importante en el análisis llevado a cabo en Castañeda (2004) es la

descripción de los comportamientos de las curvas a partir de elementos gráfico-visuales. En

base a lo que se manejaba en el siglo XVII y XVIII, que cada punto de una curva tiene

asociado una abscisa y ordenada, de tal forma que al tomar un punto de la misma y dejarlo

fluir durante un instante se tendrá otro punto y al comparar las magnitudes de las ordenadas

de estos dos puntos (los cuales están infinitamente cercanos) por medio de una diferencia se

obtendrán los infinitesimales, los cuales son magnitudes infinitamente pequeñas y

estrictamente hablando no se deberían de poder ver, sin embargo el uso de las gráficas

permite ilustrarlos ya que estas magnitudes son representadas por medio de pequeños

segmentos. Gracias a estas representaciones se presentan explicaciones de los

comportamientos infinitesimales.

El trabajo hecho por Castañeda (2004) nos muestra los usos de las gráficas en la obra de

L´Hospital. En ella se explica que a partir de las magnitudes infinitesimales se pueden

determinar los comportamientos variacionales en una curva. Podemos destacar que en el

análisis hecho se muestra acerca de la variación y el cambio a través de ordenadas

49

infinitamente cercanas de una curva y es a partir de una gráfica en donde el lector puede

observar la variación. Para poder percibirla se menciona sobre los pequeños cambios o

diferencias las cuales son representadas por dx y dy que a su vez representan magnitudes

infinitamente pequeñas. A través de las obras analizadas en Castañeda (2004), él nos va

presentando diferentes formas que encontró fueron utilizadas por L´Hospital y Agnesi. Para

ello se hace uso de la visualización entendida como un acto en el cual un individuo

establece una fuerte conexión entre un constructo interno y algo que obtiene a través de los

sentidos (Zazkis, Dubinsky y Dautermann, 1996 citado en Borba y Villareal, 2005). El uso

de las gráficas nos permite argumentar con respecto a las magnitudes infinitesimales, o

diferencias como también son llamadas, por ejemplo la comparación entre una magnitud

pequeña con un arco pequeño. Se puede considerar que un punto de la curva es un

segmento infinitamente pequeño y consecuentemente toda la curva puede ser considerada

como el ensamblaje de un conjunto infinito de pequeños segmentos infinitesimales. Esta

idea es importante para nuestro trabajo de investigación ya que a partir de ella se puede

construir el concepto de recta tangente. Como posteriormente es mencionado en la obra de

L´Hospital la extensión en ambos sentidos de uno de estos pequeños segmentos

infinitesimales es la recta tangente a la curva. Desde nuestro punto de vista el retomar esta

idea en la didáctica les puede servir a los alumnos ya que este ensamblaje de segmentos

infinitesimales hace accesible la idea de que la recta tangente va cambiando en cada

instante, además habrá puntos en donde la recta tangente corte a un punto y no sólo lo

toque.

Queremos resaltar una observación hecha acerca del método analítico, para inspeccionar las

partes:

La forma en la que L´Hospital concibe una curva, sin importar su grado, tiene

una estrecha relación con aquellas estrategias que se desarrollaron desde la edad

media, para el estudio de los fenómenos complejos o que presentaban cierto

grado de dificultad. Usando el método analítico, para inspeccionar las partes, es

posible reducir la dificultad a través de simplificar el problema hasta sus

primeras manifestaciones.

(Castañeda, 2004, pp. 122-123)

50

Desde nuestro punto de vista este método puede aportar ideas a utilizar en el terreno

didáctico, ya que al pensar en la curva como un ensamblaje de segmentos infinitesimales,

se puede hacer el análisis de una de esas pequeñas partes, reconociendo el comportamiento

de la curva en ese pequeño instante.

Algo similar a este método analítico o una idea intuitiva acerca de él es utilizado por otros

matemáticos. Por ejemplo Leibniz hace uso del triángulo característico como es reportado

en Pulido (1998, p. 5)

Si c es una curva asociada a una ecuación con variables x, y, entonces ds

(diferencial de curva) se relaciona con dx y dy formando el llamado triángulo

característico; véase la figura siguiente:

Fig. 2.1

Según Pulido (1998) el hecho de que se pueda aplicar a cualquier curva el triángulo

característico es una de las ideas que condujeron a Leibniz a la construcción de su Cálculo.

Con respecto a la gráfica anterior se explica que ds es el diferencial de la curva el cual se

encuentra representado matemáticamente por 𝑑𝑠 = 𝑑𝑦𝑑𝑥 con lo cual se observa que aparece la

recta tangente como resultado de la razón entre las diferencias dy y dx. Mediante este

razonamiento se le puede atribuir a la curva características de la recta tangente en la región

infinitesimal correspondiente a el segmento ds el cual de manera implícita se ve que es

igual al pequeño diferencial de curva.

51

Sarmiento (2008) hace un análisis epistemológico para comprender los diversos

tratamientos y enfoques que se le dio al Cálculo Diferencial en diversas épocas. Se observa

una forma de razonar parecida en Cavalieri (1598-1647), cuando considera la suma de los

indivisibles para encontrar un área o la suma de pequeñas áreas para encontrar un volumen.

En Serna (2007, 2008, 2010) también reporta cómo el uso de los infinitesimales fue

retomado por los matemáticos del siglo XVII para resolver los viejos problemas

geométricos de la antigua Grecia, entre ellos el problema de las tangentes. A su vez el

análisis del elemento puntual para obtener información en el estado de facto, mediante la

cual se podría obtener información del estado ulterior es reportado en Cantoral (2001) en

base a estas evidencias se muestra lo que cotidianamente se llevaba a cabo por una

comunidad y servía para dar explicaciones o construir argumentos para solucionar

problemas, para el caso que mencionamos los viejos problemas geométricos de la antigua

Grecia y que estaban siendo retomados con las nuevas herramientas del Cálculo naciente.

Retomando los usos que se le dieron a los segmentos infinitesimales, en la investigación

hecha por Castañeda (2004) en donde se reporta sobre Agnesi. Ella llega por medio de

argumentos geométricos a través de la semejanza de triángulos entre dos triángulos uno de

dimensiones finitas y otro de dimensiones infinitamente pequeñas a la idea de recta

tangente. Para llegar a esta noción se hace necesario las magnitudes infinitamente pequeñas

las cuales por sí mismas representan variaciones de un punto de la curva tanto en las

abscisas como en las ordenadas. Al comparar estas dos magnitudes por medio de una razón

es como aparece la recta tangente. Se reporta:

Utilizando este mismo acercamiento dinámico, explica la naturaleza de las

cantidades infinitamente pequeñas; dada la abscisa AP, al dejarla fluir por un

instante produce una porción infinitesimal Pp, el cual es llamado diferencia o

fluxión de AP.

Esta explicación se parece a las argumentaciones de Newton para fundamentar

su cálculo;… respecto a los momentos dice que son principios nacientes de

cantidades finitas. Estos momentos son magnitudes infinitesimales y

corresponden a nuestros diferenciales actuales. [En (Cantoral, 1983)].

52

Fig. 2.2

Para determinar una diferencia infinitesimal, Agnesi emplea una representación

gráfica usando la ya conocida relación establecida entre dos triángulos, uno de

dimensiones finitas y otro de dimensiones infinitesimales. Dice que una vez

determinada la variación de P, es decir el punto p, es posible trazar las paralelas

PM y pm, si se traza la cuerda mM se determina el punto B, por otro lado, si se

traza la recta MR paralela a AP, se observan dos triángulos, el BPM y el MRm

cuya relación está dada por BP:PM::MR:Rm. En esta relación geométrica la

cuerda Mm no se distingue del arco infinitesimal y pueden tomarse

indistintamente uno por el otro.

(Castañeda, 2004, p. 148)

En la gráfica se ilustran los infinitesimales. Este tipo de argumentos permiten la

construcción de la recta tangente a la curva. Usando argumentos geométrico-visuales se

puede observar de manera más intuitiva una construcción de la recta tangente, en

comparación con la forma tradicional de presentarla en los libros de Cálculo, así como en

los programas de estudio en donde se conceptualiza a la recta tangente como el límite de

53

una familia de rectas secantes que devienen en la recta tangente. Consideramos que el

utilizar las magnitudes infinitesimales en conjunción con conceptos como semejanza de

triángulos y el de razón de cambio son ideas que pueden ser utilizadas en la didáctica

actual.

En Castañeda (2004) se menciona que al llevar a cabo una diferencia entre dos segmentos

que se encuentran infinitamente próximos se obtiene una magnitud infinitesimal la cual es

representada gráficamente por un pequeño segmento denotado por dx o dy. Por medio de la

diferencia se le puede asignar a los segmentos ciertos atributos, pueden ser: positivos,

negativos, cero o infinitos y es a través del análisis, de los signos, de los cambios de signos,

y recordando que estos pequeñas magnitudes infinitesimales al ser extendidas en ambos

sentidos se convierten en la recta tangente a la curva. Entonces se tiene una recta tangente

dinámica.

Vemos cómo el análisis de los cambios que tienen las magnitudes infinitesimales, nos va a

permitir ir determinando ciertas propiedades de la curva. Como se mencionó con

anterioridad se puede considerar a una curva como el ensamblaje de un conjunto de

segmentos infinitesimales en donde la recta tangente en un punto sería la extensión en

ambos sentidos de uno de estos pequeños segmentos. Al conceptualizar a la curva de esta

manera se puede decir que la recta tangente tiene propiedades idénticas a una curva en la

región infinitesimal en donde hace contacto con ella. Se puede caracterizar también al

máximo o mínimo como aquel punto en donde la recta tangente a la curva es horizontal o

vertical. Consideramos que desde un punto de vista didáctico se pueden retomar estas

aportaciones con los alumnos, ya que pueden permitir que mediante secuencias didácticas

los alumnos puedan construir la noción de máximos y mínimos. Considerar el máximo (o

mínimo) que es un punto de la curva como un segmento infinitesimal es más accesible la

idea de que en este punto la curva no es creciente ni decreciente.

Por medio de la representación visual en una gráfica es posible observar por medio de las

magnitudes infinitesimales. Las diferencias de las diferencias o como también son llamadas

las diferencias de segundo orden. De acuerdo a lo reportado en Castañeda (2004) en la obra

de L´Hospital el lector podrá visualizar las diferencias de segundo orden e inclusive las de

orden mayor. Para lograr tal construcción, son necesarias la descripción verbal y la gráfica.

54

El punto de inflexión surge ahora utilizando como argumento a las magnitudes

infinitesimales.

En la figura 2 se observa una forma de caracterizar al punto de inflexión a partir del uso de

las diferencias. En el caso mostrado, Hn es un pequeño segmento que representa a la

segunda diferencia de PM, se vuelve cero en donde se encuentra localizado el punto de

inflexión. A nuestro parecer este acercamiento podría tener un uso didáctico ya que el

punto de inflexión se puede ver en la gráfica a partir de la propiedad mencionada y también

se observa que en ese punto se encuentra el cambio de concavidad.

(Castañeda, p. 137, 2004)

Fig. 2.3

En Castañeda (2004) y Cantoral (2000) se reporta el uso que se le daba a la subtangente (la

subtangente es el segmento sobre el eje x que une el pie del punto de tangencia con el punto

en el que la tangente corta a el eje x). Para determinar el punto de inflexión, la subtangente

toma su valor máximo o mínimo en el punto de inflexión:

En su modelo explica que cuando AP crezca continuamente, AT lo hará

también, hasta que P llegue a caer en E, después del cual, AT irá disminuyendo.

Esto supone que el punto L es un punto <<extremo>> o máximo en el momento

en que P cae sobre E.

55

Fig. 2.4

Así, el punto de inflexión se calcula a través de observar la variación de la

subtangente en relación con la tangente e identificar dónde éste logra la

magnitud extrema o máxima sobre el eje.

(Castañeda, 2004, pp. 138-139)

En Castañeda (2004) se comenta sobre este modelo para calcular el punto de inflexión. Se

basa en el uso del concepto subtangente a partir de reconocerla como un segmento que en el

punto de inflexión adquiere su magnitud máxima o mínima. Una vez más notamos que a

partir de elementos geométricos y gráfico-visuales se puede definir otro punto característico

de una curva. También podemos observar como aquí se nota claramente que la recta

tangente corta a la curva y no sólo la toca. Esta idea de que la recta tangente sólo toca a la

curva en el punto de tangencia y no la puede cortar es la concepción Euclidiana que se tenía

sobre la recta tangente a la curva, sin embargo

…con el desarrollo de la geometría analítica, se clarificó la relación entre las

curvas y las ecuaciones, y el hecho de que toda ecuación en dos variables

determinara una curva en el plano, produjo una verdadera explosión de nuevas

curvas con algunas de las cuales resultaba inadecuado el concepto griego de

tangente,…

(Canul, 2009, p. 21)

A partir del análisis del comportamiento de las magnitudes infinitesimales se puede conocer

características importantes de una curva. Por ejemplo al hacer una comparación entre dos

56

puntos de una curva se puede conocer si la curva creció o decreció y si en un cierto

intervalo la curva es creciente o decreciente. Podemos ver entonces que efectivamente esta

asociación entre fenómenos de la naturaleza con las matemáticas hace que se construyan

significados entre la comunidad que los está utilizando, ya que la curva podía representar

fenómenos de flujo continuo de tal forma que era necesario el conocer cómo se estaba

comportando el fenómeno, y cuánto crece o decrece en un instante una curva por cada

unidad de cambio en el eje x. Este conocimiento se puede obtener a partir de la localización

de la recta tangente en un punto dado. Consideramos que los elementos analizados nos

puede permitir elementos que puedan ser retomados en una didáctica actual, por ejemplo el

hecho de que la recta tangente a la curva se pueda construir a partir de elementos que el

alumno conoce de sus cursos anteriores. En el caso de los alumnos de nivel medio superior

han llevado hasta antes de Cálculo los cursos de: álgebra, geometría euclidiana y geometría

analítica. Es viable que los argumentos gráfico-visuales se pueden utilizar para poder dar

explicaciones acerca de las magnitudes infinitesimales de una manera intuitiva y por medio

de los cuales posteriormente se puede construir a la noción de recta tangente. Bajo estos

razonamientos, ahora puede la noción de recta tangente servir a su vez de argumento en la

introducción de la derivada.

2.6.3 Máximos y mínimos

Con base a lo reportado en Castañeda (2004, 2006) se pueden enunciar tres

aproximaciones para los máximos y mínimos. Son argumentos novedosos basados en

conocimientos antiguos y que utilizan argumentos intuitivos a partir de explicaciones

geométrico-visuales y no solamente se trata de la aplicación de un algoritmo.

1. En donde la figura permite hacer una comparación de los tamaños. Visualmente se puede

discriminar entre un conjunto de ordenadas aquella que tiene la ordenada más grande o la

más pequeña. También en base a las explicaciones de L´Hospital se detecta una de las

características de una parábola; esta consiste en poder atribuirle a la gráfica un

comportamiento en donde hay cambios, al hacer la precisión de las ordenadas que van

creciendo hasta un cierto punto después del cual disminuyen.

57

2. Al considerar las diferencias infinitamente pequeñas se considera que hay un máximo o

mínimo cuando al examinarlas antes y después del mismo las diferencias cambian de signo.

3. Se puede decir que hay un máximo o un mínimo cuando al analizar los puntos de una

curva el máximo se alcanza en el instante en que la tangente se vuelve horizontal y paralela

a la subtangente, y análogamente para el mínimo.

Al revisar la primera aproximación dada por L´Hospital y reportada en la tesis de

Castañeda (2004):

Sea MDM una línea curva cuyas ordenadas PM, ED y PM sean paralelas entre

sí, tal que al incrementarse continuamente la abscisa AP, la ordenada PM

crece también hasta cierto punto E después del cual disminuye... Supuesto eso:

la línea ED será denominada la mayor o la menor ordenada.

(L’Hospital, 1696)

Fig. 2.5

Con la anterior explicación, podemos ver que se habla de un incremento de la abscisa AP y

también de la ordenada PM, hasta cierto punto E, después del cual disminuye, se está

haciendo mención de crecimientos y disminuciones no hay necesidad de alguna otra

operación, por la mente del lector se pueden formar imágenes de un conjunto de ordenadas

que van creciendo poco a poco hasta llegar a una máxima y posteriormente un conjunto de

ordenadas que van disminuyendo y todas ellas inferiores a la máxima encontrada. La figura

caracteriza y posibilita dar argumentaciones sobre la información. Permite conceptualizar

lo que es el máximo a partir de la misma ya que se puede comprender un concepto a partir

58

del análisis de la gráfica. Este enfoque puede configurar un acercamiento didáctico

novedoso a partir de argumentos antiguos.

Veamos ahora la segunda aproximación:

Fig. 2.6

Si al crecer AP, PM también crece es evidente que su diferencia Rm será

positiva con relación a la de AP, y que por lo contrario, cuando PM disminuya

al crecer la abscisa AP, su diferencia será negativa.

(L’Hospital, 1696)

Nuevamente está presente la idea de crecimiento y decrecimiento sólo que ahora se está

asociando el signo de las diferencias ya que estas cambian de positiva a negativas. Hay otra

característica importante asociada con los cambios que se encuentran presentes antes de un

máximo y esta es que las diferencias son positivas y cada vez menores a medida que AP se

acerca más a E. Se hace evidente que en el punto E tal diferencia será cero, y

posteriormente las diferencias serán negativas y con un valor absoluto pequeño, el cual se

va a ir haciendo más grande a medida que AP se aleja de E. Al estar acompañadas las

explicaciones de una gráfica permite establecer una conexión entre el concepto a través de

la imagen con la mente del lector. La figura permite también observar que en la región

creciente de la gráfica las diferencias son positivas y en la región decreciente de la misma

las diferencias son negativas. Todas estas observaciones no se encuentran presentes en la

obra citada sin embargo queremos destacar que pueden ser hechas gracias a la

interpretación gráfica de la misma ya que como se menciona en Borba y Villareal (2005)

uno de los procesos de la visualización es la interpretación de la información visual. La

figura mostrada permite tal propósito ya que el lector puede asociar el resultado de una

59

operación, que en este caso es una resta para establecer las diferencias con la idea de

máximo y a partir de la misma se hace evidente el signo que deben de tener las diferencias

antes del máximo y el cambio del signo después del máximo o el mínimo.

Con respecto a la tercera aproximación

Se muestra la siguiente gráfica:

Fig. 2.7

La explicación que nos da el autor tiene que ver con la posición relativa y el cambio de

posición de la subtangente ya que a medida que M y P se acercan a los puntos D y E la

subtangente crece hacia la izquierda, de tal forma que cuando AP rebasa AE, la subtangente

PT se vuelve negativa. Se nota que crece a medida que M y P se acercan a E y D. Al

observar la figura 6 se puede decir que este crecimiento de PT al principio es pequeño sin

embargo al irse acercando más y más a los puntos E y D estos crecimientos se vuelven cada

vez más y más grandes, hasta que la subtangente se vuelve infinita. Posteriormente una vez

que se ha pasado el punto máximo la subtangente cambia de signo de positiva que era (o

negativa). Inicialmente se tendrá un valor absoluto muy grande el cual va a ir decreciendo

conforme AP se vaya alejando de AE. Al igual que en la aproximación anterior se observa

un cambio de signo que se hace evidente a partir de la posición de la subtangente. Al

analizar lo que ocurre con la tangente en la figura 6 se ve que la tangente va a ir cambiando

de posición. En la figura se ve un pequeño triángulo MRm que es un triángulo

infinitesimal el cual es semejante al triángulo TPM. Podemos decir que el ángulo en el

vértice M se vuelve cada más y más pequeño conforme la tangente se va acercando al

máximo. El segmento infinitesimal Rm se va a volver cero en el máximo cuando la

60

posición de la tangente sea horizontal. La figura mostrada conduce al lector a establecer

relaciones geométricas del triángulo formado con la caracterización del máximo.

En la primera aproximación mostrada no se habla propiamente de la recta tangente aunque,

se encuentran presentes los elementos que la constituyen. Estos elementos son la ordenada

y la abscisa. El autor hace mención de los crecimientos y decrecimientos de las ordenadas

con respecto a los crecimientos de las abscisas. Estos crecimientos y decrecimientos de las

ordenadas nos llevan al análisis de los signos lo cual es mencionado en la segunda

aproximación y que tiene que ver con las diferencias que pueden ser positivas o negativas

dependiendo de si se está analizando un punto antes del máximo o mínimo. Posteriormente

en la tercera aproximación podremos decir que se conjuntan elementos de las dos anteriores

aproximaciones. Los tamaños de las ordenadas con respecto a el crecimiento de las abscisas

y los signos los cuales cambian al pasar el punto máximo o mínimo y las posiciones de la

recta tangente. Todas las explicaciones tienen elementos constitutivos de la recta tangente

los cuales permiten construir la idea de recta tangente dinámica. En cada una de las

aproximaciones se va haciendo un análisis por separado de cada uno de ellos y finalmente

se conjuntan los elementos de análisis en la tercera aproximación en donde se observa una

recta tangente cambiante. El cambio en su posición está vinculado con cada uno de los

cambios de sus elementos constitutivos.

En Cantoral y Farfán (2004) se reporta cómo es que Fermat calculaba el máximo. En el

libro se menciona que Fermat utiliza a un rectángulo para dar sus explicaciones, el

problema consiste en: Dado un segmento, hallar el punto sobre él de tal suerte que el

rectángulo que tiene por lados los dos segmentos que el punto determina sea de área

máxima. Se vale de la geometría para implementar en su Método para hallar máximos y

mínimos sus argumentaciones, veamos lo que se dice:

Dado un segmento, hallar el punto sobre él de tal suerte que el rectángulo que

tiene por lados los dos segmentos que el punto determina sea de área máxima.

Sea AC el segmento dado en la figura 4.10, de longitud b, y sea B un punto

dado sobre AC . Tomemos como x a la longitud del segmento AB , así que el

61

segmento BC tiene por longitud b-x. De lo anterior el rectángulo formado (ver

rectángulo construido sobre AB ) tiene área x(b-x).

Fig. 2.8

Luego entonces se debe maximizar la expresión anterior. Para ello considera

un punto adicional B´ sobre AC de forma que la longitud AB sea un poco

distinta de x, es decir ε+x , y por lo tanto el segmento CB′ tendrá una

longitud εε −−=+− xbxb )(

(Cantoral y Farfán, 2004, pp. 69 – 70)

En las explicaciones anteriores se manifiestan ideas implícitas como: la de cambio en la

variable x y la representación del cambio por un 𝜀, el cual en nuestra simbología actual

seria ∆x. También se encuentra presente la idea de cuantificación del cambio ya que en las

explicaciones presentadas se muestra como parte de una expresión matemática a 𝑓(𝑥 −𝜀)− 𝑓(𝑥) para cuantificar un cambio. Esta notación no es empleada por Fermat, sin

A B C

x b-x

A B

C

x

x(b-

b-x

62

embargo en la investigación se hace una analogía con nuestra notación actual. También en

Serna (2007) se enuncia lo siguiente:

Posteriormente se desarrolla la expresión εε −−=+−≈− xbxbxbx )()(

para explicarla en términos actuales y obtenerse una expresión del tipo:

0)()(=

−+εε xfxf

Esta expresión involucra ideas como son:

� Que 0→ε

� La comparación de f∆ con respecto a ε ( x∆ )

� La f∆ no está cambiando en el punto donde el área es máxima

Pensamos que la idea de máximos (y mínimos) lleva implícita la idea de

tangente dinámica ya que al decir que en esos puntos la tangente adquiere un

valor de cero esto implica que antes y después de los puntos críticos. En una

función la tangente tiene valores diferentes a cero y para poder tomar el valor

de cero tuvo que haber estado cambiando.

(p. 79)

La expresión 𝑥(𝑏 − 𝑥) ≈ 𝑏 − (𝑥 + 𝜀) es una adigualdad. En donde los miembros van a

llegar a ser iguales cuando se tiene un máximo, es decir el máximo se va a encontrar donde

la variación sea mínima, lo cual también se puede observar cuando al graficar la expresión

𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑏 − 𝑥) que representa una parábola que abre hacia abajo y como se sabe la

variación es menor en la cúspide o equivalentemente si se lanzará un objeto verticalmente

hacia arriba en su punto de mayor altura la velocidad valdría cero (Cantoral, 2011).

63

Existen ideas de predicción y variación implícitas en el Método de Fermat para hallar el

máximo de una función en una época en donde todavía no se hablaba de derivadas o de

límites. Estas ideas son producto de una cultura de una actividad humana. El poder detectar

esto nos permite utilizarlo en la creación de secuencias didácticas.

De acuerdo a lo anterior y con base a los apartados ya revisados consideramos que el

tratamiento que se le dé a los máximos y mínimos puede permitir construir la idea de recta

tangente desde un punto de vista variacional, para lo cual vamos a enunciar algunas ideas

ya presentadas en este capítulo.

a) De a cuerdo a L´Hospital un punto puede ser considerado un pequeño segmento

infinitesimal.

b) Una curva está constituida por el ensamblaje de un número infinito de segmentos

infinitesimales.

c) Al extender un punto de la curva (segmento infinitesimal) en ambos sentidos se

tiene la recta tangente en ese punto de la curva.

d) La pendiente de la recta tangente a la curva, es la misma que la pendiente de ese

pequeño segmento infinitesimal, ya que la recta tangente y el punto son uno mismo

en el punto de tangencia.

e) A partir de estas ideas se puede percibir que la recta tangente está cambiando y por

lo tanto también su pendiente.

f) Con base a las ideas mencionadas se puede caracterizar a un máximo o mínimo

pidiéndole al alumno que observe como es la posición de la recta tangente (así como

los signos de sus pendientes) antes, después y en los puntos críticos.

La representación visual con una figura geométrica a partir de las gráficas es algo que se

ve en las obras matemáticas del siglo XVII permite al autor enunciar sus explicaciones, hay

por lo tanto un vínculo entre la figura mostrada con los conceptos enunciados, lo cual

podría tener una utilidad en la escuela actual.

64

Con respecto a las obras revisadas anteriormente hemos visto que las explicaciones a partir

de contextos geométricos-visuales se encuentran presentes en prácticamente todas las

explicaciones, se utilizan las gráficas y se generan argumentos a partir de las mismas, los

infinitesimales son representados en las gráficas y son usados para encontrar la recta

tangente a la curva, máximos y mínimos y punto de inflexión. Es a partir de los segmentos

infinitesimales, la semejanza de triángulos, la consideración de que un punto de la curva es

un segmento infinitesimal, y la razón de 𝑑𝑦𝑑𝑥 donde surge la recta tangente como aquella

recta que tiene características idénticas a la curva en una región infinitesimal a la zona de

contacto. Con el paso de los años surgieron fuertes críticas con respecto a los

infinitesimales, ya que no estaban rigurosamente definidos y hubo la necesidad por parte de

los matemáticos de ir formalizando los conceptos matemáticos del Cálculo, fue así como

con el paso del tiempo fueron desapareciendo los infinitesimales. Las ideas que

históricamente hablando dan origen a el Cálculo tienen que ver con la variación y el cambio

(Dolores, 2007). El Pensamiento y el Lenguaje Variacional retoma ideas acerca de la

variación y el cambio tal y como ya fue mencionado en otro apartado de este capítulo. Hoy

en día hay investigaciones que son llevadas a cabo a partir de esta línea de investigación. A

continuación analizaremos una de ellas que toca el tema de máximos y mínimos.

2.6.4 Recta Tangente

Para plantear el problema de investigación en Serna (2007) se utilizó como marco de

referencia a la aproximación teórica de la Socioepistemología, la cual como se ha

comentado en otra parte de este capítulo es una aproximación teórica que aborda la

construcción del conocimiento matemático tomando en cuenta cuatro componentes de

análisis, las cuales son la cognitiva, la epistemológica, la didáctica y la social, esta última

afecta sustancialmente a las otras tres. En Serna (2007) se llevó a cabo un análisis en donde

son tomados en cuenta los escenarios en donde nace el conocimiento matemático, se

consideraron los paradigmas vigentes en comunidades de matemáticos y cómo estos

paradigmas influyeron en el nacimiento de la ideas, específicamente la noción de recta

tangente dinámica, se hizo un análisis epistemológico tomando en cuenta la componente

social, en donde apareció la noción tangente y cómo se hizo uso de ella, se investigaron

personajes como: Copérnico, Galileo, Fermat, Descartes, Barrow, Newton, Leibniz,

65

L´Hospital, Agnesi, Euler, Lagrange, Cauchy y también se analizó el libro de texto

Granville que aunque se editó por primera vez en 1904 se ha seguido editando y sigue

siendo de uso en los sistemas escolares. Al hacer este recorrido se observó cómo la tangente

fue un problema de suma importancia en el siglo XVII ya que permitía conocer la

variación instantánea de una variable con respecto de otra. Había diversos métodos para

resolver el problema, prácticamente todos ellos utilizaban a la geometría tanto para plantear

el problema, así como también se utilizaban herramientas geométricas en la resolución del

mismo. Se observó en el análisis de los matemáticos del siglo XVII que hacían uso de un

modelo que es el de “dejar fluir” la variable independiente el cual aporta elementos que se

encuentran ausentes del discurso matemático escolar actual, por ejemplo permite ver a las

variables de forma similar a los fenómenos de flujo. Con esta idea de “dejar fluir” se puede

enfocar la atención en la manera de variar la cual puede ser utilizada en la didáctica actual

ya que orienta la atención a cómo está cambiando la variable dependiente con respecto a la

variable independiente en un instante, al conocer la manera de variar se puede predecir un

estado futuro. En Serna (2007) se muestra la siguiente figura que indica una forma en

donde se puede utilizar la noción de recta tangente con respecto a la predicción de corto

alcance:

Fig. 2.9

x x + h

A

? θ

BAC +=

C

htgAC θ+=h

tg?

=θ

hxfxfhxf )´()()( +≈+

B=?

66

(Serna, 2007, p.26)

Los matemáticos del siglo XVII retoman varios problemas que se encontraban presentes en

la Grecia clásica, considerando que en esa época el Álgebra había tenido ciertos avances,

así como la Geometría Analítica. Por otro lado la matematización de la naturaleza

impulsaba el desarrollo de las matemáticas. Uno de los problemas importantes de la época

consistía en localizar la recta tangente a una curva, había diferentes métodos; en Castañeda

(2004) y Serna (2007) se hace un análisis epistemológico. Con sus resultados obtenidos

vemos que la recta tangente se puede construir a partir de elementos diferentes a los que se

presentan en nuestro discurso matemático escolar actual, de tal forma que se pueden

retomar elementos de conocimientos antiguos para darle un nuevo significado a la

enseñanza del Cálculo Diferencial.

A partir del análisis epistemológico llevado a cabo en (Canul, 2009; Castañeda, 2004;

Sarmiento, 2008; Serna, 2007, 2008; Serna, Castañeda y Montiel, 2009) se puede decir que,

la recta tangente se puede construir al considerar que una curva es una poligonal que está

formada por un conjunto infinito de segmentos infinitesimales, uno a partir del otro, de tal

forma que si se toma uno de estos pequeños segmentos infinitesimales y se extiende en

ambos lados la recta así formada, es la recta tangente a la curva en ese punto. En realidad

serían dos puntos infinitamente cercanos, sin embargo al estar tan cercanos, se puede

considerar a uno como si fuera el otro, es decir son considerados indistintamente como el

mismo punto. Esta es una forma natural, “dado que una curva está compuesta por un

número infinito de lados, basta entonces con prolongar el segmento infinitesimal en ambas

direcciones para que se obtenga la recta tangente” (Castañeda, 2004, p. 122) de considerar a

la recta tangente y la curva como indistinguibles en una vecindad infinitesimal.

En Serna (2007, 2008) y Serna, Castañeda y Montiel (2009) se reporta la forma en cómo

Fermat propone un método para trazar la recta tangente a la curva a partir de obtener la

subtangente. Con su método se encuentran argumentos parecidos a los infinitesimales,

aunque no propiamente son infinitesimales. Para encontrar a la subtangente llega a una

expresión:

67

PQQP

PQTQ

−′′•

≈ε

En donde aunque no dice que ε se haga cero o se aproxime a cero, pero menciona que el

término que contenga a ε debe de ser eliminado.

En Serna (2007, 2008) y Serna, Castañeda y Montiel (2009) se reporta con respecto a la

forma de Newton de solucionar el problema de la tangente:

PROBLEMA 4

TRAZAR LAS TANGENTES DE LAS CURVAS

MÉTODO 1

Las tangentes se trazan de varias formas, según las relaciones de las curvas

con las líneas rectas. En primer lugar sea la línea recta BD de modo que forme

un ángulo con otra línea recta AB, tomada como base, y que sea ordenada en

la curva ED. Muévase esta ordenada un espacio infinitamente pequeño hacia

la posición bd, de modo que ésta incrementa con el momento cd mientras AB

incrementa por el momento de Bb, que es igual Dc. Ahora prolónguese Dd

hasta que encuentre a AB en T; ésta cortará a la curva en D o en d, y los

triángulos dcD y DBT serán semejantes, por lo que TB: BD = Dc: cd.

Cuando la relación de BD a AB es exhibida a través de una ecuación que

determine a la curva, se busca, por el problema 1, la relación entre las

fluxiones, y se toma TB a BD en la misma razón de la fluxión de AB a la fluxión

de BD; entonces TD tocará a la curva en D.

68

Fig. 2. 10

Ejemplo1. Si se llama x a AB y y a BD, sea su relación

0323 =−+− yaxyaxx

La relación entre las fluxiones será

0323 32 =+−+− xyayyyxaxxaxx ��

Y así

BDaxyayaxxxy =−+−= 22 3:23: �� (o y):BT.

Por lo tanto

ayaxx

axyyBT

+−−

=23

32

3

Por consiguiente, dado el punto D, y entonces DB y AB, o y y x, estará dada la

longitud BT por la cual está determinada la tangente TD.

Isaac Newton, 1671, Traducción de Iztaccíhuatl VargasEdición en español, 2001, p. 121

Observamos de acuerdo a lo reportado por Serna (2007) que la tangente es un problema en

sí mismo, se utiliza las magnitudes infinitesimales las cuales Newton enuncia como

momentos (Sarmiento, 2008). Se utiliza la semejanza de triángulos, se encuentra la razón

69

de cambio de una fluxión con respecto de la otra, en donde para Newton la fluente son

cantidades generadas por movimientos continuos, y las fluxiones es la velocidad con la que

cambia cada una de las fluentes con respecto al tiempo, 𝑇𝐵𝐵𝐷 = 𝐷𝑐

𝑐𝑑 a partir de esta expresión

se puede observar cómo varía una cantidad con respecto de la otra, en un instante ya que los

momentos Dc y cd son magnitudes infinitesimales, y el cociente nos da según Newton la

razón última de las cantidades evanescentes, la rapidez de cambio de una variable respecto

de la otra. La expresión que se obtiene nos permite observar que la tangente es cambiante

dependiendo de los valores que pueda ir tomando las fluentes en la ecuación, pero de la

gráfica también se puede ver que la recta tangente va a ir cambiando de posición

dependiendo del valor de AB que para el caso citado se trata de la abscisa, aunque en la

obra citada de Newton no se dice que la recta tangente es cambiante. Esto lo podemos

deducir por los argumentos mencionados anteriormente.

En los análisis que hace Newton con respecto a la recta tangente, hay otra peculiaridad que

no demostraron otros matemáticos, entre ellas encontramos en los Principios Matemáticos

lo siguiente:

Sección I, Lema VI:

Fig. 2.11

Si cualquier arco ACB, en una posición dada, es subtendido por su cuerda AB, y

en cualquier punto A situado en medio de la curvatura continua es tocado por una

recta AD prolongada en ambos sentidos, si los puntos A y B se acercan el uno al

C c

70

otro y se encuentran, afirmo que al ángulo BAD contenido entre la cuerda y la

tangente disminuirá hasta lo infinito, desapareciendo en última instancia.

Porque si ese ángulo no desapareciese, el arco ACB contendría con la tangente

AD un ángulo igual a algún ángulo rectilíneo y, por tanto, la curvatura en el

punto A no será continua, cosa contraria a la hipótesis.

Isaac Newton, 1713, p. 64

Newton nos muestra que en cuanto más se acerque la recta tangente a la curva el ángulo

entre la recta tangente y la curva se va a ir haciendo cero, dicho de otra forma el ángulo

entre ambas se va a ir cerrando. Tal característica es un elemento más que nos menciona el

parecido que debe de existir entre una curva y una recta tangente a la misma en el punto de

tangencia. La otra forma de definir a la tangente por L´Hospital es la siguiente, se tiene una

curva cuya existencia está dada por una relación explícita entre la variable y y la variable x

de la forma y=f(x). Se requiere trazar la tangente MT por el punto M dado sobre esta curva.

La tangente a la curva se va a encontrar a partir de conocer la subtangente con la

expresión:𝑃𝑇 = 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

Veamos la siguiente figura de L´Hospital (1696):

Fig. 2.12

71

En Castañeda (2004) y Serna (2007) se analiza también el método para el cálculo de la

tangente de Agnesi, ella utiliza argumentos de tipo infinitesimal, y geométrico, ya que se

emplea la semejanza entre dos triángulos uno de dimensiones finitas y otro de dimensiones

infinitesimales, se puede observar de manera implícita el carácter variacional de la recta

tangente. En su terminología ocupa a los diferenciales, pero también menciona a las

fluxiones. La expresión a la que llega para determinar a la tangente en función de la

subtangente, es la siguiente:

dy

ydxBT =

Que es prácticamente lo mismo que utilizo Newton, sólo que con la notación de Leibniz de

los diferenciales.

En términos generales y con base a el análisis epistemológico llevado a cabo en las obras

citadas, dependiendo de los autores investigados pueden cambiar las literales mostradas en

la figura 2.12, sin embargo la idea es la misma y esta se refiere a trazar la recta tangente

que pasa por el punto de tangencia4

En Serna (2007) se reporta acerca del tratamiento que le dio Euler a la recta tangente. Al

analizar la forma en cómo maneja a la recta tangente se observa un cierto abandono del

carácter geométrico (con respecto a los matemáticos anteriores a él, que vivieron en el siglo

XVII) con el que eran tratados los aspectos matemáticos del Cálculo Infinitesimal.

Anteriormente se utilizaban argumentos geométrico-visuales mediante las gráficas

presentadas se daban descripciones detalladas. A pesar de que Euler también utiliza una

gráfica para explicar la construcción de la recta tangente, centra también su atención en los

cambios, los cuales son representados por un polinomio al cual le da un tratamiento

, encontrando la subtangente PT y haciendo la

consideración de que se forman dos triángulos semejantes. Uno es el triángulo TPM y el

otro triángulo se forma al considerar que el arco Mm es tan pequeño que se convierte en un

pequeño segmento que es la hipotenusa del triángulo MRm. L´Hospital le define a la curva

como el ensamblaje de líneas rectas, cada una infinitamente pequeña o bien como una

poligonal de un número infinito de lados.

4 Le llamamos punto de tangencia al punto donde la recta toca a la curva

72

algebraico utilizando argumentos infinitesimales, con lo que se obtiene una expresión

matemática. Con esta expresión se puede también justificar que la hipotenusa del pequeño

triángulo infinitesimal formado (y que se ve en su gráfica mostrada) es una línea recta. Se

enuncian características de tipo geométrico de la recta tangente a partir de una gráfica en

donde se utilizan argumentos como son la semejanza de triángulos, uno de dimensiones

finitas y otro de dimensiones infinitesimales, pero como hemos comentado anteriormente

hay un acercamiento algebraico ya que le asigna a los cambios de la curva un polinomio

que los representa, el cual está dado por: 0 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑢 + 𝐶𝑡2 + 𝐷𝑡𝑢 + 𝐸𝑢2𝐹𝑡3𝐺𝑡2𝑢 +𝐻𝑡𝑢2 + &𝑐. Posteriormente se desprecian los cambios que son muy pequeños (este es un

argumento infinitesimal), finalmente se obtiene una expresión como: 0 = 𝐴𝑡+ 𝐵𝑢, el cual

es un polinomio que representa una recta y “es precisamente con esta expresión matemática

la cual al relacionarla con la figura se detecta que se refiere a la hipotenusa de un pequeño

triángulo 𝑀𝑞𝜇” (Serna, 2007, p. 120)

Fig. 2.13

Euler es quien enuncia de manera explícita el carácter variacional de la tangente:

La tangente de la courbe étant donc connue de cette manière, on connaît en

même temps la direction que suit la courbe au point M. Car on peut très-bien

regarder une ligne courbe, comme la trace qu’un point en mouvement

formerait en changeant continuellement de direction, & par conséquent le

point qui par son mouvement décrit la courbe, fera dirigé en M suivant la

tangente M µ ; &, s’il conservait cette direction, il décrirait la droite M µ :

73

mais il s’en écarte à chaque instant, puisqu’il décrit une courbe. Ainsi, pour

connaître le cours d’une ligne courbe, il suffirait de déterminer pour chaque

point de la tangente …

En donde se describe que la recta tangente a la curva es algo cambiante ya que:

…concibe a la recta tangente a una curva como algo cambiante ya que dice que

la recta tangente a una curva se descarta a cada momento, puesto que describe a

una curva, por lo tanto sigue diciendo que para conocer el curso de una línea

curva bastaría con determinar para cada punto de la curva la tangente…

(Serna, 2007, p. 124)

Desde nuestro punto de vista consideramos que con el tratamiento que le da Euler a la recta

tangente comienza una transición entre el tratamiento anterior en donde el contexto

geométrico-visual era necesario para las explicaciones que se daban ya que la mayoría de

ellas se apoyaban en la representación gráfica. Euler comienza a centrar su atención en la

representación algebraica de los cambios ya que como observamos se le da un tratamiento

con argumentos infinitesimales pero ahora en un contexto algebraico.

En Serna (2007) se analiza el tratamiento que le da Lagrange a las funciones, vamos a

revisar para identificar ideas de tipo variacional. En sus tratamientos de las funciones “sus

contribuciones al Cálculo son con base a el tratamiento que le da a las funciones ya que

consideraba que toda función podía ser expresada como una serie de Taylor, además

consideraba a la derivada como una función” (Serna, 2007, p. 126). El punto de partida de

Lagrange es que cualquier función de una variable f(x) admite un desarrollo de la serie de

Taylor. En Serna (2007) se considera con respecto a Lagrange que la idea de tangente

aunque no es mencionada como tal se encuentra presente de manera implícita ya que la

expresión que utiliza en sus desarrollos 𝑃 = 𝑓(𝑥+𝑖)−𝑓(𝑥)𝑖 corresponde a una razón de cambio,

en donde 𝑓(𝑥 + 𝑖)− 𝑓(𝑥) corresponde a lo que varia la variable dependiente. Por otro lado

i representa el cambio de la abscisa, aunque no es mencionado precisamente de esta forma,

más bien Lagrange introduce el término i que se va a hacer muy pequeño de tal forma que:

74

…hace una descripción de cómo va a obtener la expresión analítica que

representara a la función, … se menciona que se va a buscar en la expresión de

)( ixf + , aquello que es independiente de i, es decir aquello que permanece

cuando i = 0…

(Serna, 2007, p. 127)

Euler desprecia los términos por ser muy pequeños a diferencia de Lagrange que lo que

hace es ir separando los términos en donde se encuentra i, de tal forma que va a manipular

la expresión algebraica de manera que va obteniendo nuevos términos que corresponden a

la derivada de un término anterior, así que se van obteniendo una serie de términos. Para

encontrar cada uno de estos términos de su serie se utilizan expresiones como:

𝑄 = 𝑃−𝑝𝑖 ,𝑅 = 𝑄−𝑞

𝑖 , 𝑆 = 𝑅−𝑟𝑖 en donde se emplean los términos de un desarrollo anterior

para finalmente obtener: 𝑓(𝑥 + 𝑖) = 𝑓𝑥 + 𝑖𝑃 = 𝑓𝑥 + 𝑖𝑝 + 𝑖2𝑄 = 𝑓𝑥 + 𝑖𝑝 + 𝑖2𝑞 + 𝑖3𝑅 =&𝑐

Los diferentes coeficientes que se van obteniendo se calculan con la expresión que en un

contexto geométrico correspondería a la recta tangente, además variable ya que las

expresiones en el numerador son funciones de x. Las ideas de Lagrange las desarrolla sin

usar gráficas, finalmente obtiene una expresión como la siguiente: 𝑓(𝑥 + 𝑖) = 𝑓𝑥 + 𝑓′𝑥𝑖 +𝑓′′𝑥2 𝑖2 + 𝑓′′′𝑥

2∙3 𝑖3 + 𝑓𝐼𝑉2∙3∙4 𝑖

4 + &𝑐, en donde los coeficientes de la serie corresponden con las

derivadas de la función. En esta expresión se encuentra la predicción, ya que la “la serie nos

muestra como al conocer el valor de la función en un punto y sus derivadas consecutivas, se

puede predecir un estado futuro” (Serna, 2007, p. 134). Si nos detenemos a observar la

serie, sólo para los dos primeros términos: 𝑓(𝑥 + 𝑖) = 𝑓𝑥 + 𝑓′𝑥𝑖, podemos observar como

una posible estimación de el valor futuro de 𝑓(𝑥), es decir 𝑓(𝑥 + 𝑖)se puede obtener a

partir de conocer la primera derivada. Esta es una situación que podría ser aprovechada en

la creación de secuencias de aprendizaje para la construcción de la recta tangente desde un

punto de vista variacional, ya que de la expresión anterior podemos decir que el valor de

𝑓(𝑥 + 𝑖) depende del valor de 𝑓(𝑥) más el valor de 𝑓′(𝑥), y este último valor puede ser

grande o pequeño, positivo o negativo.

75

En Serna (2007) se reporta sobre el tratamiento de Cauchy para obtener la derivada de la

función en donde se encuentra implícitamente la idea de recta tangente. Al hacer la revisión

sobre lo reportado ubicaremos si existen elementos sobre la variación y el cambio.

Cuando la función )(xfy = permanece continua, entre dos límites dados de la

variable x y si se asigna a esta variable un valor comprendido entre esos dos

límites, un incremento infinitamente pequeño atribuido a la variable produce

un incremento infinitamente pequeño de la función. En consecuencia, si se hace

ix =∆ , los dos términos de la razón de las diferencias

(1) i

xfixf

x

y )()( −+=

∆∆

serán cantidades infinitamente pequeñas. Pero mientras que estos dos términos

se aproximan indefinidamente y de manera simultánea al límite cero, la razón

misma podrá converger a un límite, ya sea positivo o negativo. Este límite,

cuando existe, tiene un valor determinado para cada valor particular de x.

Cauchy 1823, p. 235

Con respecto a lo que reporta Serna (2007) se observa que el discurso involucra los

incrementos, a diferencia de Newton y Leibniz que hablaban de puntos infinitamente

cercanos. Cauchy utiliza en sus argumentos la noción de función, límites y continuidad, él

menciona que la razón misma podrá converger a un límite, y que cuando este existe tiene

un valor determinado para cada valor de la x. En esta parte se está hablando de la razón de

cambio instantánea, es decir cuánto cambia una variable con respecto a otra en un instante.

Sin embargo consideramos que al no mostrarse gráficas que auxilien el discurso esto hace

que se pierdan argumentos (geométrico-visuales) que podrían ser benéficos desde un punto

de vista didáctico. En el análisis hecho por Castañeda (2004) nos muestra que en

L´Hospital se considera que un punto es un segmento infinitesimal y se puede saber cuánto

cambia una variable con respecto a otra en un instante con la recta tangente, la cual va a ir

76

cambiando en cada punto de la curva ya que es considerada una poligonal compuesta por

lados infinitamente pequeños, y cada lado infinitamente pequeño prolongado en ambos

lados representa a la recta tangente. En Cauchy se habla de que la razón podrá converger a

un límite. Aunque se está hablando de lo mismo, consideramos que la forma en cómo lo

hace L´Hospital es una idea más intuitiva. Se puede mostrar mediante una gráfica, por

medio de ella y utilizando la semejanza de triángulos se puede argumentar sobre cuánto

cambia una variable con respecto de otra en un instante. Sin embargo esta misma idea

tratada desde un punto de vista de límite, se muestra más rigurosa a pesar de que se dice

que este límite cuando existe es diferente para cada valor de x.

La idea de diferencia no es tratada en el discurso de Cauchy, idea utilizada en los

argumentos de los matemáticos del siglo XVII y también por Euler con la cual se podía

argumentar acerca del comportamiento de una curva para establecer el cambio. En base a

ello también se hablaba de las magnitudes infinitesimales por medio de las cuales se podían

resolver diferentes problemas como el de la recta tangente, máximos y mínimos y punto de

inflexión entre otros. Ahora la diferencia ya no es utilizada en el discurso de Cauchy. A

pesar de que se encuentra presente en la expresión: ∆𝑦∆𝑥 = 𝑓(𝑥+𝑖)−𝑓(𝑥)

𝑖 no se menciona, más

bien se habla del límite al que llegará la razón mostrada. De a cuerdo a Serna (2007) en

base a el análisis hecho con respecto a Cauchy, él no muestra tampoco gráficamente una

región en donde la función sea creciente o decreciente, en lugar de ello, se dice que el

límite puede ser positivo o negativo, no es mencionada la recta tangente, sin embargo esta

se encuentra presente implícitamente en la expresión matemática sobre la razón de las

diferencias mostrada anteriormente, Cauchy utiliza desde nuestro punto de vista

argumentos variacionales en sus explicaciones, por ejemplo:

Problema I. La función )(xfy = se supone continua respecto a x en la

vecindad del valor particular 0xx = . Se pregunta si a partir de este valor, la

función crece o disminuye mientras que se hace crecer o disminuir a la

variable.

77

Solución. Sean yx ∆∆ , los incrementos infinitamente pequeños y simultáneos de

las variables x, y. La razón x

y

∆∆

tendrá por límite ydx

dy ′= . Se debe concluir

que, para los valore numéricos muy pequeños de x∆ y para un valor particular

0x de la variable x, la razón x

y

∆∆

será positiva si el correspondiente valor de y′

es una cantidad positiva y finita, y negativo si este valor de y′ es una cantidad

finita pero negativa. En el primer caso, al ser del mismo signo las diferencias

infinitamente pequeñas yx ∆∆ , la función y crecerá o disminuirá, a partir de

0xx = , al mismo tiempo que la variable x. En el segundo caso al ser de signos

contrarios las diferencias infinitamente pequeñas, la función y crecerá si la

variable x disminuye y decrecerá si la variable aumenta.

Al admitir estos principios, y al concebir que la función )(xfy = permanece

continúa entre dos límites dados 0xx = , Xx = , si se hace crecer a la variable

x por grados insensibles desde el primer límite hasta el segundo, la función y

crecerá siempre que su derivada, al ser finita, tenga un valor positivo; y será

decreciente siempre que esta misma derivada tenga un valor negativo. Así la

función y no podrá dejar de crecer para disminuir, o de disminuir para crecer

mientras que la derivada y′ pase de positivo a negativo o recíprocamente. Es

importante observar que, en este caso, la función derivada deberá anularse si

no deja de ser continua.

(Cauchy, 1823, p. 250)

Notamos que las explicaciones anteriores nos muestran cuándo una función es creciente,

cuándo decreciente y relaciona esto con los signos de la derivada. En lugar de mostrar en

una gráfica la región donde la función es creciente dice que cuando ∆𝑦∆𝑥 es positiva el

correspondiente valor de 𝑦′es una cantidad positiva y finita, y negativo si este valor de 𝑦′ es

una cantidad finita pero negativa. También se menciona que cuando las diferencias

infinitamente pequeñas son del mismo signo la función crecerá y decrecerá, cuando la

función y crecerá si la variable x disminuye, así también si la variable x aumenta la función

78

decrecerá. Las anteriores son argumentaciones de tipo variacional, aunque como hemos

mencionado hasta el momento se carece de apoyos gráfico-visuales. Por ejemplo en el caso

de Agnesi ella establece cuando una curva es creciente y cuando decreciente utilizando

apoyos visuales como los siguientes:

Fig. 2.14

(Agnesi, 1748 citado en Castañeda, 2004, p. 148)

En donde auxiliándose de la figura se observa claramente que el segmento infinitesimal Rm

es positivo ya que pm es mayor PM, y la curva es creciente, sin embargo también se

muestra el caso cuando la curva es decreciente, por ejemplo:

Fig. 2.15

79

(Agnesi, 1748 citado en Castañeda, 2004, p. 150)

En Castañeda (2004) con respecto a esta figura dice “De este modo asigna AB=x, BF=dx,

BC=y, y será DC=-dy” (p. 150). Consideramos que existe una diferencia entre presentar a

la curva creciente o decreciente entre la forma de Agnesi y la de Cauchy. Aunque Cauchy

emplea argumentos variacionales, en sus explicaciones se puede rescatar de lo expresado

por Agnesi el uso de las gráficas y las argumentaciones que surgen con respecto a ellas.

También notamos que Agnesi expone en sus argumentaciones el uso de las diferencias por

medio de las cuales se pueden representar las magnitudes infinitesimales. En Cauchy

también se menciona el signo de las diferencias infinitamente pequeñas, sin embargo no

apoya su explicación con el uso de una gráfica.

Por último vemos que para determinar la inclinación de curva en un punto dado se utiliza la

noción de recta tangente, aunque no se enuncia de esta manera en su discurso:

Problema III. Determinar la inclinación de una curva en un punto dado.

Solución. Consideremos a la curva que tiene por ecuación, en coordenadas

rectangulares, )(xfy = . En esta curva, la cuerda trazada desde el punto (x, y) hasta el

punto ),( yyxx ∆+∆+ forma, con el eje de las x prolongado en el sentido positivo, dos

ángulos, uno agudo y el otro obtuso. De estos ángulos el primero mide la inclinación de

la cuerda con respecto al eje de las x. Si el segundo punto se aproxima a una distancia

infinitamente pequeña del primero, la cuerda se confundirá sensiblemente con la

tangente de la curva trazada en ese punto; y la inclinación de la cuerda, respecto al eje

de las x, deviene la inclinación de la tangente o bien la inclinación de la curva respecto

a el mismo eje. Dicho esto, ya que la inclinación de la cuerda tendrá por tangente

trigonométrica al valor numérico de la razón x

y

∆∆

, es claro que la inclinación de la

curva tendrá por tangente trigonométrica el valor numérico del límite hacia el cual

converge esta razón; es decir, el valor numérico de la función derivada dx

dyy =′ .

80

Si el valor de y′ es cero o infinito, la tangente a la curva será paralela o perpendicular

al eje de las x. Y esto es ordinariamente lo que sucede cuando la ordenada y deviene un

máximo o un mínimo.

(Cauchy, 1823, pp. 253 – 254)

Esta forma de argumentar es muy parecida a la actual forma de la interpretación geométrica

de la derivada, de hecho consideramos que es prácticamente la misma. La diferencia con

respecto a el discurso actual, es que este utiliza una gráfica para ilustrar su explicación, en

el caso de Agnesi, Newton y Euler utilizaban expresiones y/o ideas como “el dejar fluir”,

para analizar el cambio y en base a esto determinar la naturaleza del comportamiento de la

curva. Con esta forma de argumentar es claro que la curva está cambiando y que hay que

medir este cambio de manera instantánea lo cual es posible con el uso de la recta tangente.

Sin embargo con el discurso de Cauchy se tiene que pensar en un punto que se aproxima a

una distancia infinitamente pequeña del primero, es decir hay que pensar en un “retroceso”

de la x, hasta que la cuerda se confunda sensiblemente con la tangente de la curva trazada

en ese punto. No es como en las explicaciones mencionadas por L´Hospital que un punto de

la curva es considerado un segmento infinitesimal, con Cauchy hay que pensar en un límite.

En Serna (2007) se hace un análisis del tratamiento que se hace de la recta tangente a la

curva en un libro de texto contemporáneo, la recta tangente a la curva sirve para dar una

interpretación geométrica a la derivada. El libro es Cálculo Diferencial e Integral de

Granville, la definición de derivada que se da en Granville (2000) es la siguiente:

2.4 Derivada de una función de una variable. La definición fundamental del

Cálculo Diferencial es la siguiente:

La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función

al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.

Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que

tiene derivada.

La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente:

81

Dada la función

(1) )(xfy = ,

Consideremos un valor inicial fijo de x.

Demos a x un incremento x∆ ; entonces obtenemos para la función y un

incremento y∆ , siendo el valor final de la función

(2) )( xxfyy ∆+=∆+ .

Para hallar el incremento de la función, restamos (1) de (2); se obtiene

(3) )()( xfxxfy −∆+=∆

Dividiendo los dos miembros por x∆ , incremento de la variable independiente,

resulta:

x

xfxxf

x

y

∆−∆+

=∆∆ )()(

El límite del segundo miembro cuando 0→∆x es, por definición, la derivada

de f(x), o sea, según (1), de y, y se representa por el símbolo dx

dy. Luego, la

igualdad

(A) x

y

dx

dylím

x ∆∆

=→∆ 0

(Granville, 2000, pp. 27 – 28)

En esta definición observamos que no se hace explícito lo comentado por Cauchy en su

obra que es “Este límite, cuando existe, tiene un valor determinado para cada valor

particular de x” Se podría argumentar que al hablar de funciones esto último queda

sobreentendido, sin embargo no es así. Experiencias como las reportadas en Castañeda

(2004) en donde un profesor en una entrevista dice que la derivada es la recta tangente a un

punto, demuestran lo contrario. Hay varias cosas que se dejan de lado y que desde un punto

82

de vista didáctico podrían ser benéficas, por ejemplo: se fija la atención en la razón

incremental:

x

xfxxf

x

y

∆−∆+

=∆∆ )()(

Se ha perdido del discurso los diferenciales, con lo cual se podía observar gráficamente que

la recta tangente (que representa a la derivada evaluada en un punto) representa a la

hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal cuya hipotenusa y la curva son la misma

en una región infinitesimal. Esta relación entre x∆ y y∆ es del tipo de una función lineal,

tal y como es mostrado en la obra de Euler, además él también relaciona el resultado de su

análisis algebraico con una figura geométrica. Euler también menciona que esta recta

tangente es diferente en cada punto de la curva. Cuando se explican los pasos a seguir para

obtener la derivada por el método de los cuatro pasos, regularmente hay términos que se

desprecian por que la regla dice que 0→∆x . Esto también es un cambio en el discurso con

respecto a los diferenciales ya que con ellos Euler daba explicaciones del porque se

despreciaban los diferenciales que tenían exponente 2 o mayor, ya que son infinitamente

mucho más pequeños que aquellos cuyo exponente es uno. Sin embargo esto último se

pierde del discurso al explicarse una serie de pasos a seguir y tratar con el límite del

cociente de los incrementos. El Discurso Matemático Escolar se encuentra presente en las

diversas formas de representar el conocimiento a través de discursos. Estos se pueden ver

manifestados en los libros de texto, programas, en el discurso del profesor, en fin en todo

aquel medio que se encuentre presente la naturaleza, condiciones y características del

sistema didáctico.

En el Discurso Matemático Escolar se han perdido ideas como que la recta y la curva son

una misma en una región muy pequeña de la misma, idea que se encontraba presente y era

enunciada explícitamente en obras revisadas anteriormente como son las de Newton,

L´Hospital, Agnesi y Euler. Abordaremos con más detalle en el siguiente capítulo la forma

en cómo el Discurso Matemático Escolar influye en la problemática de enseñanza-

aprendizaje del tema de la recta tangente visto en Cálculo Diferencial.

83

2.7. Diseños didácticos basados en productos de investigación.

Al revisar a Cardona (2009) observamos que él reporta en su tesis un análisis gráfico en

donde utiliza elementos del Pensamiento y Lenguaje Variacional para el análisis. En su

tesis de maestría enuncia lo siguiente:

Cabe mencionar que en un contexto gráfico, existen puntos clave (como los

máximos, mínimos y de inflexión) que son útiles en la determinación de las

relaciones entre la función y sus derivadas. Presentaré un ejemplo gráfico para

ilustrar lo anterior:

Fig. 2.16

La función en color azul de la figura 3.3 es la función f, mientras que la gráfica

en color rosa corresponde a su primera derivada f´. Véase como

aproximadamente en x = 0.75 hay un mínimo en f y corresponde a un cero o

una raíz de la primera derivada. Más a la izquierda se encuentra un punto de

inflexión en x = -0.40 correspondiente a un máximo local de la primera

derivada, luego en x igual a cero (hay un máximo que corresponde con otro

cero de la derivada). Mientras avanzamos a la derecha en aproximadamente x =

0.40 hay otra inflexión sólo que ahora corresponde a un mínimo local de la

primera derivada.

84

Este tipo de información más la información de los crecimientos /

decrecimientos relacionados a la función con los signos de la derivada, pueden

aplicarse para la determinación de las derivadas de orden superior.

Vemos que se utiliza a los máximos y mínimos como puntos clave, puesto que ellos se

encuentran presentes al finaliza el comportamiento creciente (o decreciente) y al inicio del

comportamiento decreciente (o creciente). Son puntos en donde la primera derivada de la

función que se encuentra analizando es igual a cero. Notamos también una cuestión

interesante y esta se refiere al hecho de que el punto de inflexión de la función f, le

corresponde un máximo local de la primera derivada. De lo anterior decimos que los

máximos y mínimos son puntos relevantes para el análisis de la función desde un punto de

vista del Pensamiento y Lenguaje Variacional puesto que muestran puntos de transición de

regiones en donde la función es creciente y pasa a ser decreciente o viceversa. Son puntos

en donde hay cambios de signos en la derivada subsecuente de la función que se está

analizando. Además el autor emplea elementos gráfico-visuales pues alusión a la gráfica y

esta es una pieza clave en las explicaciones que se encuentran presentes. El lector puede

establecer vínculos entre los conceptos que hemos mencionado como son función creciente,

decreciente, máximos, mínimos y punto de inflexión a través de la representación visual de

la función y su derivada que se encuentra bajo análisis.

La recta tangente no es mencionada, sin embargo en otra parte de su trabajo de

investigación se dice que es probable que un estudiante que acaba de cursar el curso de

Cálculo la interprete como una tangente a una curva en un punto, como la pendiente de esa

recta tangente. A pesar de que el autor no considera (al menos de manera explícita) a la

recta tangente en sus explicaciones gráficas, se podría utilizar a la recta tangente como

elemento de apoyo didáctico, por ejemplo si quisiera saber cómo es el signo de la segunda

derivada bastaría con conocer si la primera derivada es creciente, decreciente o vale cero.

Para dar tal explicación nos podemos auxiliar de la siguiente figura:

85

Fig. 2.17

La recta tangente sirve como apoyo gráfico-visual en la determinación del signo de la

segunda derivada. Como se sabe el signo de la pendiente de una recta es positivo cuando se

trata de una función creciente, negativo cuando se trata de una función decreciente y la

pendiente es igual a cero cuando la función es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑒. Al revisar estos

valores en la gráfica anterior vemos que antes del punto crítico el signo es positivo,

posteriormente la pendiente vale cero en el punto crítico para cambiar a tener un signo

negativo. Estos signos corresponden con los de la primera derivada y de una función

decreciente, de aquí se concluye que la segunda derivada es negativa en la región en que se

tenga ese comportamiento, puesto que los valores de la primera derivada son: positivos,

cero y negativos, un análisis similar con rectas tangentes se puede verificar cuando la

segunda derivada es positiva.

Veamos ahora como Dolores (1999) trabaja el concepto de máximos y mínimos, él explica

el concepto a través de ejemplos. En el primero de ellos se hace referencia a la velocidad

que tiene un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba, se hace un análisis por

intervalos, el primero antes de llegar a la altura máxima, en la altura máxima y después de

alcanzar la máxima altura. Se observa que antes de alcanzar la altura máxima del objeto la

función es creciente y por lo tanto la derivada es positiva, en la altura máxima la derivada

es igual a cero y después de la altura máxima la función es decreciente y por lo tanto su

derivada es negativa, para hacer tal análisis se apoya de una gráfica la cual ilustra sus

explicaciones. Posteriormente se da otro ejemplo en donde se encuentra ahora un máximo y

un mínimo. En el se puede notar que la recta tangente es un argumento importante para las

explicaciones que se dan con respecto al tema tratado, para las explicaciones se hace

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

86

necesario los elementos gráfico-visuales, veamos a continuación una de las gráficas que

utiliza:

Fig. 2.18

(Dolores, 1999, p.120)

En el texto se explica que la pendiente de la recta tangente a la curva antes de 𝑥 = −1 es

positiva, lo cual está relacionado con los ángulos de inclinación menores a 90°, en 𝑥 = −1

la recta tangente es horizontal y por lo tanto su pendiente es igual a cero, después de

𝑥 = −1, en el intervalo −1 < 𝑥 < 1 la pendiente de la recta tangente es negativa, para

volver a tomar el valor de cero en 𝑥 = 1, después de 𝑥 = 1 la pendiente de la recta tangente

vuelve nuevamente a ser positiva. Se hace mención también de que cuando la pendiente de

la recta tangente es positiva es cuando la función es creciente, cuando es negativa es cuando

la función es decreciente y cuando vale cero hay un punto estacionario y se menciona que

un punto estacionario es cuando la velocidad de la variación no cambia.

Para poder dar este tipo de explicaciones se ha asumido que el estudiante ha construido a la

recta tangente a la curva desde un punto de vista variacional. Al revisar los apartados

anteriores del cuaderno didáctico se ha observado que se ha llevado a los alumnos a que

construyan el concepto de derivada a partir de un análisis numérico en donde se ha hecho

que el incremento se haga infinitamente pequeño. El método lleva a construir el concepto

de velocidad instantánea, el cual generalizándose posteriormente se le pude decir razón de

cambio instantánea. En otro apartado se estudia la interpretación geométrica de la velocidad

instantánea. Este método da explicaciones de tipo geométrico de cómo una recta secante en

dos puntos a una curva pasa a convertirse en recta tangente a una curva, sin embargo se

87

difiere de los textos tradicionales de Cálculo en que se específica que la recta no toca a la

curva en un solo punto, más bien toca a la curva en dos puntos infinitamente cercanos entre

sí. Nosotros consideramos que la explicación, junto con el análisis numérico ponen mucho

hincapié en la razón de cambio instantánea la cual puede propiciar a que los alumnos

construyan la idea de que la derivada es ese único valor que se está encontrando, ya sea por

métodos numéricos o por métodos geométricos lo cual lleva a la idea errónea concebida por

muchos estudiantes y hasta con profesores de que la derivada es la pendiente de la recta

tangente en un punto (Castañeda, 2004). También se dan explicaciones ausentes en textos

tradicionales de Cálculo Diferencial, como por ejemplo que la curva y la recta tangente son

muy parecidas en una región infinitesimal, así como la idea de que la curva está formada

por un conjunto de segmentos infinitesimales y la recta tangente se podría obtener al

prolongar en ambos sentidos uno de estos pequeños segmentos, a pesar de esto creemos que

si estas ideas fueran tratadas con mayor profundidad, contribuirían a la construcción de la

noción de recta tangente desde un punto de vista variacional, lo cual forma parte de

nuestro objetivo de investigación, con lo qué también se estaría contribuyendo a la

construcción de la derivada con un sentido más robusto, es decir la derivada como una idea

de una razón de cambio instantánea que está cambiando en cada instante (dependiendo de

la curva bajo análisis). Hacemos estas observaciones ya que es frecuente que los profesores

asuman que cuando se está tratando el tema de máximos y mínimos para el alumno queda

perfectamente claro que la recta tangente es cambiante y esa es una idea que

frecuentemente no ha quedado estabilizada entre los estudiantes en ese momento del curso

(Serna, 2007). Esta idea es un antecedente importante para nuestro trabajo de investigación.

Según lo reportado en Canul (2009) existe un fenómeno en la enseñanza-aprendizaje del

estudio de la recta tangente. Este fenómeno se debe a que los estudiantes (e incluso

profesores), presenten inconsistencias al trazar la recta tangente a cualquier curva, ya que

utilizan la definición euclidiana (global) de recta tangente, sin percatarse de que es

insuficiente:

Para superar estas inconsistencias ocasionadas por la mencionada contradicción

se requiere utilizar una definición de tangente más general, como la concepción

leibniziana, en la que se trasciende la concepción global poniendo en su lugar a

88

una concepción local, donde se acepta que la tangente eventualmente puede

“cortar” a la curva y no sólo “tocarla”, estableciendo como marco una nueva

definición de curva considerándola como poligonal de lados infinitesimales. La

tangente en este contexto es la prolongación de un lado de la poligonal.

(Canul, 2009, p. iii)

En Canul (2009) se propone una situación didáctica en la que se pretende asistir a los

estudiantes en la compresión de la derivada en el contexto geométrico al coadyuvar en la

transición entre la concepción global y local de tangencia en el trazo de tangentes a curvas.

La estrategia que los alumnos usarán es la de búsqueda de consensos, “en donde se asume

como hipótesis que el establecimiento de una convención matemática, será un mecanismo

de construcción de conocimiento que permita articular ambas concepciones de tangencia”

(Canul, 2009, p. 16).

En Canul (2009) se reporta en base al análisis que hace sobre antecedentes epistemológicos

de la construcción de la tangente por el método de Fermat, que la recta tangente es la mejor

aproximación lineal a la curva en el punto de tangencia y sus “proximidades”. En el trabajo

de Fermat se pasa de la concepción global de la recta tangente a la concepción local, con lo

anterior se quiere decir que para ser tangente no se requiere que la recta cruce una y sólo

una vez a la curva en toda su extensión sino que ello ocurra en las proximidades

infinitesimales del punto. La investigación llevada a cabo por Canul (2009) no está en

contraposición por las hechas por otros investigadores que hacen uso de la tecnología. Por

ejemplo, haciendo uso de herramientas tecnológicas una persona se puede acercar mucho a

una curva, al hacer esto y centrarse sólo en punto, entonces en ese pequeño espacio la

gráfica parece ser una recta. Lo anterior le facilita al estudiante poder transitar entre una

concepción global a una concepción local (Kendal y Stacey, 2003; Maschietto, 2008; Biza,

2011).

Al pensar en la curva como una poligonal de lados infinitesimales, considerando que cada

punto es un segmento infinitesimal, y al extenderse este en ambos sentidos (formándose así

la recta tangente en un punto) entonces de manera implícita se está reconociendo el carácter

89

variacional de la recta tangente ya que cada punto corresponde a uno de los lados de la

poligonal y esta tiene infinitos puntos.

Por lo que cada punto de la curva el cual es un pequeño segmento infinitesimal tiene una

pendiente que es la misma que la pendiente de la recta tangente en ese punto, esta pendiente

va a representar la razón de cambio instantánea, la cual está cambiando a cada instante.

En Canul se presentan varias curvas las cuales van a servir para que los alumnos tracen la

recta tangente en el punto indicado, en la etapa de acción la cual se llevará acabo de manera

individual, posteriormente en equipo se llevaran a cabo la etapa de formulación y

validación en donde se pretende la búsqueda de consensos. A continuación mostramos dos

de las curvas que presentó Canul (2009) en su situación didáctica:

En la espiral de Arquímedes coloco un punto P en un lugar de la curva en donde al trazar la

recta tangente en ese punto P la recta tangente tendría que cortar a otros puntos de la curva.

En el caso de la función cúbica colocó al punto P en el punto de inflexión, de tal forma que

al trazar la recta tangente en ese punto cortara a la curva. Pensamos que una forma

alternativa de presentar esta secuencia didáctica es comentando que el punto P de la curva

se mueve sobre ella, iniciando por lugares en donde la recta tangente no corta a otros

puntos de la curva, pero conforme se va moviendo el punto de tangencia necesariamente la

recta tangente tendrá que cortar a la curva en otros puntos.

En el análisis de los resultados de la secuencia didáctica en Canul (2009) dice “En este

diálogo, el grupo estableció la convención de que es necesario que la recta tangente siga la

Fig. 2.19 Fig. 2.20

90

forma de la curva. De no ser así, podrían pasar infinidad de rectas por un punto de

tangencia.” (p. 77). En la secuencia didáctica se establecieron las condiciones obtenidas de

la discusión grupal, las condiciones fueron las siguientes:

Condiciones:

� Función continua, no saltos en la gráfica

� La recta sólo es tangente en el punto donde (toca o corta) a la curva,

siguiendo la forma de la curva.

� Es tangente en el punto, no importando lo que pase al prolongarse.

� Las rectas tangentes forman la curva

� El punto de tangencia no sea un vértice

Notamos que hay una semejanza entre decir que una curva es una poligonal compuesta de

pequeños lados infinitesimales (puntos) en donde si se prolonga uno de esos lados en

ambos sentidos, se tiene a la recta tangente a la curva en ese punto (L´Hospital, 1696), con

la condición establecida en la discusión grupal referente a que la recta sólo es tangente en el

punto donde (toca o corta) a la curva. Si hacemos una comparación con lo dicho por Euler y

que es reportado en Serna (2007): “por lo tanto sigue diciendo que para conocer el curso de

una línea curva bastaría con determinar para cada punto de la curva la tangente” (p. 124)

con la condición enunciada anteriormente de que las rectas tangentes forman la curva,

vemos que hay gran similitud entre los dos enunciados citados anteriormente y también

notamos que el hecho de decir que las rectas tangentes forman la curva es una forma

intuitiva de establecer el carácter variacional de la recta tangente, lo cual es logrado por

medio de las representaciones gráficas establecidas en la secuencia didáctica de Canul

(2009).

En cuanto a los diseños didácticos revisados, vemos que los elementos gráfico-visuales son

esenciales para dar las explicaciones y argumentaciones. Se establece una relación entre la

función creciente, decreciente y cuando es estacionaria, con respecto a los máximos y

mínimos. El punto de inflexión, los máximos y mínimos son puntos de transición entre una

región en donde la función es creciente (o decreciente) para pasar a ser decreciente (o

creciente), además en los máximos y mínimos la derivada vale cero, ya que en ese punto la

91

función no es creciente ni decreciente. Utilizando el argumento de que un punto es un

segmento infinitesimal, tal segmento en un máximo o mínimo es horizontal. También el

punto de inflexión nos muestra puntos de transición entre el cambio de concavidades ya que

en ese punto una curva pasa de ser cóncava (o convexa) a ser convexa (o cóncava).

Al relacionar a los puntos de inflexión con la primera derivada se observa que donde la

primera derivada tiene un máximo o mínimo corresponde a un punto de inflexión, la recta

tangente no es tocada, aunque como mencionamos se podría retomar como elemento que

permite clarificar otros conceptos como son los máximos y mínimos, así como el punto de

inflexión. La forma en cómo se construye el concepto de recta tangente en Dolores (1999)

podría contribuir a que los alumnos construyan el concepto de recta tangente como la

pendiente de la recta en un punto, en donde se apoya con la idea de que la curva puede ser

considerada como una poligonal conformada por segmentos infinitesimales. Con respecto a

Canul (2009) es un trabajo en donde los aspectos gráfico-visuales son esenciales para las

argumentaciones en cuanto si la recta tangente toca (corta) a la curva en más de un punto y

de los resultados obtenidos en su trabajo de investigación rescatamos el hecho de que la

recta tangente a la curva sigue la forma de la curva definición muy parecida a la de

L´Hospital (1696). Decir que las rectas tangentes forman la curva es una definición muy

parecida a la de Euler (1835 citado en Serna, 2007), lo cual de alguna manera nos muestra

que las ideas intuitivas obtenidas por los estudiantes en el proceso de institucionalización

de la secuencia didáctica de Canul (2009) son semejantes a aquellas con las que nace el

Cálculo Infinitesimal y que pueden ser retomadas en una didáctica actual.

2.8 Resumen de características relevantes de las fuentes epistemológicas

En nuestro proyecto de investigación pretendemos hacer un estudio detallado que nos

permita percatarnos de cómo nace la idea de tangente variable y cómo es que contribuyen

los contextos socioculturales en la construcción de la noción de recta tangente.

Consideramos que es la mecánica quien da un fuerte impulso en la creación de tal noción.

Al hacer este estudio creemos que se podrán rescatar elementos importantes que se han

perdido en el transcurso del tiempo y que pueden servir en la creación de secuencias

didácticas que permitan a los estudiantes construir la noción tangente variable en un

92

contexto variacional. Consideramos también que los productos de nuestra investigación

contribuirán al rediseño del discurso matemático escolar.

En este estado del arte se han mostrado formas diferentes de la noción de recta tangente,

esta constituyó un elemento importante en el nacimiento del Cálculo Diferencial. Sin

embargo una vez que se hubo resuelto el problema de las tangentes con el uso de la

derivada, la noción de tangente variable pierde importancia,

Desde los trabajos de Lacroix y de Cauchy, no se encuentran referencias, como

en L´Hospital, del significado original del concepto, sino ya el concepto es el

objeto de estudio. Esta idea se conserva hasta los textos de hoy en día, de tal

suerte que el concepto de tangente viene como una aplicación del concepto de

derivada y no como la idea que origina el concepto.

(Cantoral, 1988, p.385)

En las siguientes tablas se muestra a manera de resumen, algunas características relevantes

en cada etapa analizada de las fuentes epistemológicas, en donde se pueden rescatar

elementos importantes para una didáctica actual.

93

Tabla 2.21

Etapa Figura

Argumentos y/o palabras o

frases relevantes que

permiten observar elementos

clave en las argumentaciones

Expresión

Matemática

Contextos /Elementos de

conocimiento antiguo que

pueden ser rescatado para

una didáctica actual

Antes de la

formalización del

Cálculo

Semejanza de triángulos, se utiliza

la subtangente para poder

determinar la tangente.

El término que contenga 𝜺, debe de

ser eliminado.

Si 𝜀 es pequeño se tiene que:

𝑆𝑅 ≈ 𝑃′𝑅

De lo anterior se puede deducir

que: La hipotenusa del pequeño

triángulo formado va a coincidir

con el pequeño arco.

Se encuentran presentes las ideas

germinales de los infinitesimales.

PQQP

PQTQ

−′′•

≈ε

.

La igualdad se obtiene

cuando 𝜀 = 0

Las explicaciones se dan en un

contexto geométrico-visual, la

gráfica se utiliza para generar

argumentos.

La construcción de la tangente

a partir de la semejanza de

triángulos, uno de dimensiones

muy pequeñas y otro de

dimensiones finitas.

En la expresión matemática hay

elementos variacionales, ya que

conforme 𝜀 se hace más y más

pequeño también 𝑃′𝑄′− 𝑃𝑄 de

tal forma que se puede llegar a

cumplir la igualdad 𝑆𝑅 = 𝑃′𝑅

T O Q Q´

P

S

R

P´

94

Etapa Figura



permiten observar

elementos clave en las

argumentaciones

Expresión

Matemática





Formalización del Cálculo

Semejanza de triángulos

Triángulo formado con

dimensiones finitas y triángulo

formado con dimensiones

infinitesimales.

Fluxiones

Fluentes

Subtangente

Razón de cambio instantánea

𝑇𝐵𝐵𝐷 = 𝐷𝑐

𝑐𝑑 ; x

y�

�

ayaxx

axyyBT

+−−

=23

32

3

Explicaciones en un contexto

geométrico-visual

Por medio de la gráfica se ilustran

las magnitudes infinitesimales, se

muestra la semejanza entre dos

triángulos uno de dimensiones

finitas con respecto a otro de

dimensiones infinitesimales.

Al estar la expresión matemática

obtenida en función de x, esto

permite deducir que la recta

tangente es cambiante.

En la gráfica se observa que la

recta tangente va a ir cambiando de

posición de pendiendo del valor de

AB.

La gráfica se utiliza para generar

argumentos.

Tabla 2.22

95

Etapa Figura

Argumentos y/o palabras

o frases relevantes que

permiten observar


argumentaciones

Expresión

Matemática


conocimiento antiguo

que pueden ser

rescatado para una

didáctica actual

Difusión del Cálculo

Diferencia.

Magnitudes

infinitesimales.

Semejanza de

triángulos,.

Subtangente.

Razón de cambio en un

instante.

Curva considerada como

el ensamblaje de

segmentos

infinitesimales.

Recta tangente variable.

. 𝑃𝑇 = 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

Un punto del plano es

considerado un segmento

infinitamente pequeño.

Al prolongarse uno de los

pequeños lados Mn de la

poligonal que compone a una

línea curva, este pequeño lado

así prolongado, será llamado la

tangente de la curva, de aquí se

puede observar el carácter

variacional de la tangente, para

cada lado del polígono se puede

calcular la tangente.

Las explicaciones se dan en un

contexto geométrico-visual, la

gráfica se utiliza para

argumentar

La construcción de la tangente a

partir de la semejanza de

triángulos, uno de dimensiones

muy pequeñas y otro de

dimensiones finitas.

Tabla 2.23

96

Etapa Figura

Argumentos y/o

palabras o frases

relevantes que permiten

observar elementos

clave en las

argumentaciones

Expresión

Matemática



pueden ser rescatado para una

didáctica actual

Difusión del

Cálculo

Utilizar a los máximos y

mínimos como pretexto

para argumentar sobre el

carácter variacional de la

recta tangente.

Diferencia.

Magnitudes

infinitesimales.

Semejanza de triángulos,.

Subtangente.

Razón de cambio en un

instante.

Recta tangente positiva.

Recta tangente horizontal

Recta tangente negativa.

𝑑𝑦 = 0

Mediante una inspección visual determinar

la mayor (o menor) de las ordenadas para

localizar el máximo (o mínimo).

El cambio de signo en las diferencias antes

y después del punto máximo.

Ángulo en el vértice M se vuelve cada vez

más y más pequeño conforme la tangente se

va acercando al máximo, el segmento

infinitesimal mR se va a volver cero en el

máximo.

A partir de la gráfica se observa el carácter

variacional que tiene la tangente al ir

examinando los cambios de posición que va

teniendo antes, durante y después del

máximo.

Las explicaciones se dan en un contexto

geométrico-visual, la gráfica se utiliza para

argumentar

Tabla 2.24

97

Etapa Figura



permiten observar


argumentaciones

Expresión

Matemática





Posterior a la

difusión del

Cálculo

Semejanza de triángulos

Subtangente

La tangente se confunde con la

curva en un espacio muy pequeño

ya que el arco se desvanece.

La tangente tiene con la curva

por lo menos dos puntos comunes.

Representación por medio de un

polinomio de los cambios.

Análisis del comportamiento de la

curva dejando que x, y se

incrementen.

Infinitesimales

La recta tangente a una curva se

descarta a cada momento.

Para conocer el curso de una

línea curva, bastaría con

determinar para cada punto de la

curva la tangente.

𝟎 = 𝑨𝒕 +𝑩𝒖 + 𝑪𝒕𝟐+𝑫𝒕𝒖+ 𝑬𝒖𝟐

+ 𝑭𝒕𝟑

+ 𝑮𝒕𝟐𝒖+𝑯𝒕𝒖𝟐+ &𝑐

𝟎 = 𝑨𝒕 + 𝑩𝒖

𝑷𝑻 = −𝑩𝒒𝑨

Argumentos geométrico-visuales

Contexto algebraico

Encontrar una expresión

algebraica que represente los

cambios, haciendo énfasis en que

al despreciarse los términos muy

pequeños, la expresión que

representa a los cambios va a ser

representada por la ecuación de

una línea recta-

Relación entre argumentos

geométricos, infinitesimales y

algebraicos al representar a la

hipotenusa del pequeño

triángulo infinitesimal por medio

de la ecuación de una recta, la

cual es obtenida mediante

argumentos infinitesimales.

Uso de la gráfica que sirve para

generar argumentos.

Tabla 2.25

98

Capítulo III

Problema de Investigación

3.1 Introducción

La matemática educativa es una disciplina científica que se encarga de estudiar los

fenómenos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Su estudio no se trata solamente

en un sentido simple de proponer mejores formas de enseñar, la disciplina va más allá, ya

que se ocupa de establecer y poner en marcha elementos teóricos que permitan modelar los

diferentes actos que se encuentran presentes en los escenarios donde hay actividades de

enseñanza-aprendizaje de matemáticas, uno de estos es el aula de clase. En ella se

encuentran presentes tres actores fundamentales que son: el estudiante, el profesor y el

conocimiento, estos conforman una unidad mínima de análisis la cual en matemática

educativa se le conoce como sistema didáctico.

En el sistema didáctico se pueden presentar diferentes problemas, los cuales forman parte

de nuestro objeto de estudio, los vamos a nombrar como fenómenos didácticos. Estos

pueden ser más notorios en los docentes (polo didáctico), en los estudiantes (polo

cognitivo) o en el conocimiento (polo epistemológico) sin embargo, es claro que los tres

están actuando de manera sistémica ya que no se pueden separar aislándose uno de otro.

Desde esta perspectiva no se podría abordar sólo uno de los tres polos antes mencionados

considerando que las otras dos componentes del sistema no están interactuando.

La teoría de la Socioepistemología además de las componentes anteriormente mencionadas

toma en cuenta la componente social en donde los escenarios socioculturales deben ser

tomados en cuenta en la construcción del conocimiento matemático.

99

De acuerdo a Cantoral y Farfán (2003) si desde el punto de vista del profesor, pusiera en

marcha nuevas formas de transmitir el conocimiento, esto no garantizaría que los

estudiantes construyeran conocimiento ya que el hecho de que el profesor haga propuestas

innovadoras no necesariamente implica que los alumnos y las alumnas vayan a construir el

conocimiento, hacer propuestas de este tipo sería como considerar una didáctica sin

alumnos. Al tomarse en cuenta la componente cognitiva, pero sin examinar de qué manera

la escuela influye en el actuar de los y las estudiantes se estaría dejando de lado la escuela,

es decir cuando un individuo se encuentra inmerso en la institución escolar tiene una forma

de actuar que se encuentra influenciada por su entorno y va a responder de acuerdo a lo que

considera se espera de él, de tal forma que considerar la componente cognitiva de manera

aislada tampoco es suficiente, se tendría una didáctica sin escuela. Han surgido

aproximaciones sistémicas en donde se consideran el saber, aquel de quién enseña y el de

quién aprende en un medio determinado interactuando sistémicamente. Sin lugar a dudas

esto ha permitido grandes avances en la matemática educativa, aunque el tratar de recrear

en una didáctica actual la forma en que nació el conocimiento no siempre es optimo ya que

hay ocasiones en que el hacer esto, es más complejo que el mismo concepto que se desea

introducir en el aula; esto llevó a la necesidad de poner la atención en la componente social

que se encuentra presente en la construcción del conocimiento matemático. Esta

componente considera los escenarios en los que nace el conocimiento, a diferencia de otras

investigaciones en matemática educativa en donde el elemento central es el conocimiento

matemático, la Socioepistemología establece el tratar con las prácticas que producen o

favorecen el conocimiento de esta manera la centración estará puesta en las prácticas más

que en los conceptos.

La intervención de la matemática educativa es con un fin benéfico ya que pretende a partir

de los constructos teóricos establecidos en la disciplina, remediar (cuando el caso lo

amerite), predecir, caracterizar, propiciar y controlar los diferentes actos que se encuentran

presentes en los procesos escolares o aquellos en donde se encuentre presente la

transmisión y apropiación de conocimiento matemático; todo con el fin de que se pueda

construir conocimiento matemático y que los y las estudiantes así como las personas en

general puedan integrar a su vida estos conocimientos en un sentido funcional.

100

3.2 El Modelo de Conocimiento

En el capítulo I de éste trabajo de investigación se han mostrado diversas problemáticas en

la enseñanza-aprendizaje del Cálculo. Lo anterior se ve reflejado en un tema de la

matemática escolar que es de nuestro interés, la recta tangente a una curva, el cual es visto

en Cálculo Diferencial. Las problemáticas mostradas son recurrentes y no es aleatorio que

ocurra así. Desde nuestra perspectiva existe una explicación al respecto, ésta tiene que ver

con el modelo de construcción de enseñanza-aprendizaje que se encuentra presente en

nuestra sociedad. Tal modelo de conocimiento se manifiesta en la matemática escolar

(Gascón, 2001; Cordero, 2007; Salinas y Alanís, 2009).

De acuerdo a Cordero (2007) el modelo de conocimiento que explica la construcción de

conocimiento matemático, toma como eje principal a los conceptos. Lo cual quiere decir

que realmente se habla sobre la construcción de los conceptos. Estos son considerados

como algo preexistente, en función de ellos los programas escolares son elaborados como

secuenciaciones lógicas para la construcción de los mismos.

Cordero (2007) menciona que a pesar de la evolución de la matemática educativa en donde

las tesis constructivistas se encuentran presentes, sigue existiendo centración en los

conceptos. Sin dejar de reconocer los grandes avances obtenidos por la matemática

educativa en base a dos grandes programas que han evolucionado: uno que considera la

construcción de conocimiento matemático del individuo ante problemas matemáticos

específicos y otro que da sus explicaciones de construcción de conocimiento matemático de

los individuos en los escenarios socioculturales. En ambos programas lo que importa es la

construcción de los conceptos.

Consideramos que la problemática que se presenta en las clases de Cálculo Diferencial es

reflejo de un sistema en donde se manifiesta una visión platónica de los objetos que

manifiesta la preexistencia de los objetos con respecto a la experiencia humana y por lo

tanto deben de ser descubiertos. Bajo esta postura filosófica las personas tienen que darse a

la tarea de descubrir las relaciones preexistentes que conecta a estos objetos. Esta

concepción afecta la forma de enseñanza y a todo el estado del sistema educativo.

101

Concebir a la enseñanza de las matemáticas bajo esta perspectiva tiene repercusiones en la

sociedad. Por ejemplo, si el rigor y formalismo matemático crea dificultades en la

compresión de los conceptos, entonces se puede optar por usar la técnica para encontrar

resultados, a pesar de que esto no implica la construcción de conocimiento matemático.

Desde nuestra perspectiva bajo esta forma de enseñanza-aprendizaje una de las

consecuencias que se tiene en la sociedad es el concebir a las matemáticas con un carácter

utilitario, en este sentido los estudiantes consideran que en la escuela sólo deberían de

revisar temas que les sirvan para llevar a cabo sus actividades rutinarias como: al comprar,

saber contar el dinero para pagar y saber cuánto cambio recibirán, tomar algunas medidas;

es frecuente escuchar entre los mismos profesores decir, “para que enseñamos Cálculo

Diferencial yo soy ingeniero y prácticamente nunca lo he utilizado”, las demandas de la

sociedad tienen que ver con este carácter utilitario (Cordero, 2007).

Cordero (2007) reporta que las demandas de los profesores hacia la matemática educativa

son: mejores formas de enseñar, mejores estrategias o métodos de enseñanza-aprendizaje,

estas demandas de los profesores aunadas con las que la sociedad tiene con respecto a los

sistemas educativos favorecen el nivel utilitario del conocimiento matemático de tal forma

que las matemáticas quedan relegadas a actividades de servicio; no se piensa en ellas como

algo que va a pasar a ser parte del ser humano y que gracias a esto va a poder transformar la

vida.

El modelo matemático actual por la forma en cómo se ha constituido en la sociedad soslaya

a lo humano, a las prácticas de referencia en donde se resignifica las matemáticas en otros

dominios científicos de los cuales la matemática se encuentra a su servicio, los y las

estudiantes que se encuentran en la institución escolar que se rige bajo la perspectiva

tradicionalista no le encuentran sentido a las matemáticas, como reporta Pulido (2007):

No puede existir una comprensión cabal por parte de los estudiantes del

contenido matemático que se intenta comunicar en los libros tradicionales, en

tanto que la presentación que ofrecen representa el estado final de un

conocimiento que en la mente del estudiante no tiene una razón de ser. La

apropiación del discurso supone que el estudiante mismo debería haber

construido aproximaciones iniciales a ese conocimiento, y avanzado con sus

102

propios intentos de solución, entre otras habilidades. Sin embargo, no siendo

propiciado esto por los libros de texto, el contenido resulta ajeno al proceso

cognitivo del estudiante. Podrá forzarse (como lo hace) a estudiarlo, porque el

contrato escolar lo obliga a ello, pero será incapaz de aprenderlo.

(p. 115)

El modelo de conocimiento del que venimos hablando se encuentra fuertemente arraigado

en la sociedad. Gascón (2001) da una explicación teórica al respecto. Él explica que existe

un modelo epistemológico de las matemáticas el cual estructura los modelos docentes.

Gascón (2001) nos muestra que el Programa Euclídeo intentó dar una base firme al

conocimiento.

Para ello, propone que todo conocimiento matemático puede deducirse de un

conjunto finito de proposiciones trivialmente verdaderas (axiomas) que constan

de términos perfectamente conocidos (términos primitivos). La verdad de los

axiomas fluye entonces desde los axiomas hasta los teoremas por los canales

deductivos o transmisión de verdad (pruebas).

(pp. 131-132)

Bajo esta forma de concebir el conocimiento matemático los principios están lógicamente

estructurados y a las matemáticas se les considera como algo ya dado acabado e inmutable,

sus leyes y/o verdades tienen sentido prácticamente sólo dentro de la matemática misma.

En base a este modelo epistemológico surgen dos modelos docentes: uno de ellos se le

conoce como el teoricismo y al otro el tecnicismo.5

5 Gascón (2001) Aclara que ninguno de los modelos docentes que él propone son formas ideales, “que nunca han existido en estado puro en las prácticas docentes reales” (p. 133)

En ambos modelos se trivializa el

proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. En el teoricismo lo que tiene

primordial importancia es el enseñar (en el sentido de mostrar) las teorías cristalizadas.

Evidentemente la resolución de problemas no tiene un peso de importancia y por lo tanto

surgen problemáticas como las ya mencionadas en el capítulo I de esta tesis.

103

El tecnicismo surge en respuesta al teoricismo, en donde hay grandes dificultades con la

comprensión de los conceptos lo cual se ve manifestado en el fracaso escolar. En el

tecnicismo, el uso de las técnicas simples es lo más importante sobre todo las de naturaleza

algebraica. Pareciera ser que es como una forma de no querer perderlo todo y mostrar por

lo menos algún tipo de conocimiento, el cual se podrá mejorar en función de la repetición

de las técnicas. De este modelo docente también se derivan problemáticas como son el uso

de algoritmos de naturaleza algebraica ya mencionados en otro momento, así como la

presentación por parte del profesor de problemas descontextualizados de carácter

intramatemático los cuales pueden ser aprendidos en función de la reiteración.

En nuestra institución educativa consideramos permean los dos modelos docentes

anteriores a los cuales Salinas y Alanís (2009) los llaman modelos docentes clásicos y

constituyen un paradigma tradicional en la enseñanza del Cálculo en donde de acuerdo a

estos autores:

El contenido matemático se presenta de manera formal y rigurosa. Por formal

entendemos una ausencia de significados reales asociados con las nociones y

procedimientos de esta rama de las matemáticas. Por riguroso entendemos una

secuencia de definiciones, teoremas y demostraciones lógicamente validadas,

todo organizado de tal forma que las nociones y procedimientos anteriores dan

sentido a las subsecuentes. Esta presentación formal y rigurosa (resultado de la

fundamentación) culmina con aplicaciones del contenido matemático que dejan

la impresión de que son consecuencia natural del dominio de la teoría. El índice

de libros de texto tradicionales muestra ese tipo de estructura en el contenido;

números reales, funciones, límites, continuidad, derivada, aplicaciones de la

derivada, integral y aplicaciones de la integral.

(pp. 361-362)

Dentro de este contexto se encuentra presente la interpretación geométrica de la derivada en

donde se toca al tema la recta tangente a una curva. Este contenido es visto como de paso y

no se le da la importancia que debería. Sin embargo, la historia nos muestra como es

mediante la resolución del problema de las tangentes que se generaliza un método de

104

solución del mismo. Es mediante esta solución que surge la noción de derivada. De tal

forma que históricamente hablando la construcción de la recta tangente permite arribar a la

noción de derivada.

Aunque existe evidencia de los problemas ocasionados por la manifestación del paradigma

tradicional del Cálculo, se siguen implementando métodos similares en donde se le da alta

prioridad a los conceptos. A pesar de que aparentemente el discurso enunciado por ejemplo

en el Programa de Pensamiento del Cálculo Diferencial del Estado de México declara el

proponer trabajar con un pensamiento crítico en el desarrollo de sus temas. No obstante, se

siguen priorizando secuencias parecidas a las de los programas tradicionales. El caso de la

recta tangente se sigue viendo prácticamente en los mismos términos a como regularmente

se había venido haciendo desde años atrás.

Aunque aparentemente hay preocupación por el desempeño de los estudiantes, en donde los

resultados en matemáticas no han sido favorables, las propuestas de mejora no han

mostrado beneficios en los sistemas escolares. Desde nuestro punto de vista, lo anterior no

es casual, corresponde con una política educativa de los grupos que se encuentran en el

poder, la cual se ve reflejada en los programas de estudio, así como en todo aquello

concerniente al sistema público escolar mexicano.

De acuerdo al análisis que hacen Molfino y Buendía (2011) el discurso de un grupo

dominante se manifiesta por diferentes medios; uno de ellos es la educación y tiene la

intención de que el grupo dominado se forme una opinión en la medida de que no puede ver

otra.

En otras palabras, es un problema que se relaciona directamente con la

educación, porque se define en los siguientes términos: el Estado, el poder, no

persuade; no le interesa convencer a nadie. El Estado convence impidiendo que

la gente vea cosas diferentes de las que existen. Por eso es bloqueo, porque la

gente acepta la realidad que ve en la medida en que no ve una diferente.

(Zemelman, 2005, p. 5)

105

Esto se observa a partir de la institucionalización de los diferentes temas tratados en la

matemática escolar.

3.3 La institucionalización escolar

La escuela como una institución controlada por el Estado se ha encargado de perpetuar los

modos de enseñanza-aprendizaje a partir de la institucionalización que es una vía para que a

partir de lo ya instituido por las generaciones más antiguas, se siga repitiendo en las

generaciones más jóvenes. De hecho estas formas de enseñanza-aprendizaje son validadas

por la misma sociedad. Puesto que este fenómeno no es observado claramente por la

misma, en Azevedo (2004) se dice con respecto a la educación:

…es tradicionalista por naturaleza: siendo una función social ejercida por las

generaciones más viejas y teniendo como fin la transmisión de los valores

establecidos y de las pautas culturales del grupo, más que determinar las

transformaciones colectivas, las refleja y sirve para perpetuar, más que para

producir el progreso social.

(p. 186)

Es tarea por lo tanto de la sociedad reconocer esta situación, hacer algo por cambiarla y

permitir que la innovación y el cambio benéfico sea también una constante en la forma de

pensar y actuar de los alumnos, una parte de nuestra cultura.

El progreso es, pues, organización, reconstrucción, dirección inteligente y

racional, e implica necesariamente, no sólo un sentido más profundo de las

transformaciones sociales y de las fuerzas colectivas que las determinan, sino

también la intervención deliberada del saber humano en las diversas partes del

movimiento social, para dirigirlo…

(Azevedo, 2004, pp. 177-178)

En Molfino y Buendía (2011) se explica cómo es que la institucionalización del concepto

de límite tiene que ver con el discurso transmitido por los grupos que se encuentran en el

106

poder. En el caso de la matemática escolar éste se ve manifestado en el Discurso


Desde la visión socioepistemológica que hemos adoptado se entiende el

Discurso Matemático Escolar (DME) como la manifestación del conocimiento

matemático normada por las creencias del profesor y los estudiantes sobre lo

que es la enseñanza y lo que es la matemática, por lo que dicta el currículo y

por las necesidades e intereses de todos los actores de la noosfera…

En este sentido el discurso favorece que un determinado conocimiento - y no

otro- se vuelva institucional.

(p. 128)

Las problemáticas expuestas en el presente trabajo de investigación, nos muestran como el

discurso Matemático Escolar (dME) privilegia el uso predominantemente algorítmico y

formal del abordaje de los temas del Cálculo de manera similar a como ocurre en el sistema

educativo uruguayo (Molfino y Buendía, 2011).

En Molfino y Buendía (2011) se hace un análisis del dME entendiéndose el discurso como

una acción social. Las investigadoras optan por la visión que propone Van Dijk, “según la

cual el discurso debe ser analizado como un fenómeno social y cultural, con el fin de

comprender las relaciones entre el discurso y la sociedad” (p. 129). En su trabajo de

investigación reportan que los usuarios del lenguaje ya sea oral o escrito son miembros de

un contexto sociocultural el cual es moldeado por éste. También citan a Fairclough y

Wodak (2001) que dicen sobre el discurso: “constituye lo social: constituye las situaciones,

los objetos de conocimiento, la identidad social de las personas y las relaciones de éstas y

de los grupos entre sí”. (p. 367).

De tal forma que el discurso como acción social tiene la intención de establecer o normar

las acciones de sus usuarios controlando el contexto y las estructuras del discurso; lo cual

se puede llevar a cabo a partir de un discurso institucional, por medio del cual se puede

reproducir o desafiar la estructura social (Molfino y Buendía, 2011).

107

Podemos decir que existe una forma a partir de la cual un grupo dominante puede ejercer

influencia en otro grupo dominado, esto se puede hacer a partir de un discurso, por ejemplo

en el caso de los profesores de matemáticas a partir de un discurso institucional.

El discurso es tal que hace que las personas de un grupo tengan las creencias

del grupo poderoso; puede ser a través de la educación, campañas, publicidad o

medios, por ejemplo, lo que sólo es posible cuando no existen otras fuentes de

información y opinión, para que los dominados no puedan formarse una

opinión propia, diferente a la del grupo dominante. En el caso de la educación,

este poder lo ejercen padres y profesores, autoridades educativas, diseñadores

del currículo y de los libros de texto, editoriales, políticos, organismos

internacionales, entre otros.

(Molfino y Buendía, 2011, pp. 130-131)

En el caso de los programas de estudio el discurso se ve reflejado en el currículum. De

acuerdo a Saavedra (2005) el currículum es una invención de la pedagogía estadounidense.

Tuvo como objetivo responder a las necesidades del proceso de industrialización,

equiparando el funcionamiento de la institución escolar con el funcionamiento de la

empresa capitalista y de este modo se pretendía que el currículum adquiriera un estatus

científico. El mismo autor dice:

En el proceso de enseñanza-aprendizaje el maestro controla los contenidos a

través de los medios, que son los soportes; las técnicas que son los recursos, y

la evaluación que es el control, apareciendo de este modo la didáctica en su

carácter técnico-instrumental que pretende hacer del modo didáctico el proceder

“científico” para organizar los componentes del proceso.

El currículum se convierte así en un artefacto que anticipa y define un tipo de

prácticas que son usadas como inversión y como consumo para un tipo de

educando que se desea formar y para un saber que se desea adquirir; soslaya la

reflexión crítica sobre la realidad, la cual concibe como estructuralmente dada,

propiciando con ello el desarrollo de un pensamiento unidimensional donde la

razón deviene en razón pragmática (Marcusse, 1969).

108

El modelo del currículum tecnologista privilegia una sola óptica analítica.

Ignora la problemática teórico-epistemológica del campo educativo en general,

abstrae las teorías científicas de su contexto social y presenta las ideas

científicas como leyes inmutables, en lugar de tentativas, es decir teorías vivas,

sin explicitar los razonamientos que subyacen a ellas.

Las formas lógico-hipotético-deductivas y las estructuras conceptuales

dominantes y generalizadas de una disciplina son reconstrucciones

confeccionadas como análisis posfacto que ignora los conflictos, el dialogo, la

crítica y la multiplicidad de perspectivas para la interpretación; terminan por

presentar en los textos que utilizan los alumnos las ideas científicas como

estáticas, en una lógica disciplinaria e instructiva que oculta los procesos

mediante los cuales los sujetos construyen los objetos de conocimiento.

(pp. 38-39)

Lo anterior nos da una muestra más de como el discurso como acción social se pone de

manifiesto en la educación. Por ejemplo, en Dolores (2007) se evidencia que los programas

de estudio de matemáticas en México y otros países también están constituidos en base a la

estructura formal del Análisis Matemático, la cual toma como base a los conceptos

matemáticos, en donde se encuentra presenta una lógica formal y rigurosa.

Al reflexionar sobre los problemas latentes con los programas de estudio y en general con

todos los actores inmersos en la matemática escolar, uno se podría preguntar, ¿por qué no

se hacen cambios de fondo, destinados a contribuir en mejoras para el sistema escolar

mexicano?, una respuesta probable es que a lo mejor no se quiere cambiar, ya que la

educación forma parte de una política de un grupo que se encuentra en el poder; es decir no

es más que una expresión de algo mayor; el modelo neoliberal de la economía mundial.

De acuerdo a Zemelman (2005) el modelo neoliberal actualmente se vive mediante un

proceso acelerado de concentración financiera y económica en el mundo. Él explica que

nos encontramos ante la transnacionalización de la economía, lo cual se manifiesta a partir

de la integración de los focos económicos mundiales y también por medio de la

transnacionalización de los medios de comunicación, lo cual consiste en la homogenización

109

de la gente. “Se pretende que todos piensen lo mismo e igual, que todos alberguen las

mismas expectativas, que todos tengan el mismo mundo de necesidades y, por

consiguiente, las mismas exigencias de satisfactores.” (p. 3).

Zemelman (2005) propone una alternativa, esta consiste en que la gente pueda tener una

lectura diferente de la realidad; para ello primero tendría que ser consciente de la misma, es

decir, de esa realidad impuesta por el modelo neoliberal. El poder tener una lectura

diferente es a lo que Zemelman le llama una utopía. Se requiere para lograrla, la conciencia

de la realidad histórica. En donde se hace importante también, “identificar el concepto de

construcción de la realidad” (p. 6).

La historia y la realidad se puede construir desde los micro (Zemelman, 2005). El momento

histórico no es algo que se pueda explicar simplemente a partir de teorías cristalizadas,

sobre todo aquellas que consideran a el conocimiento como algo ya acabado e inmutable y

que se puede expresar mediante verdades absolutas, producto de un proceso lógico-formal.

Existen múltiples miradas que permiten explicar el momento histórico como algo que se

está dando y con un futuro potencial en donde las personas, y en particular los docentes de

matemáticas podemos contribuir a la construcción de una realidad distinta a la que el

sistema nos ha impuesto a ver.

El uso del conocimiento es una alternativa para poder ser conscientes de la realidad. “El

conocimiento cumple la función de ayudar a discernir las condiciones de viabilidad, es

decir, ayuda a apropiarse de la conciencia necesaria para construir la realidad” (Saavedra,

2005, p. 50). Es importante que el conocimiento no sólo tenga la función de ser descriptivo

o explicativo de la realidad, éste debería impulsar una conciencia de la necesidad de acción.

Hemos constatado diversas problemáticas, las cuales son producto de un modelo de

conocimiento en el que se ha privilegiado la construcción de los conceptos. Tal modelo se

ha institucionalizado en el sistema escolar y su puesta en escena en nuestra sociedad no es

casual, es producto de un modelo neoliberal más global, de orden mundial. Este modelo

repercute en las políticas educativas de los países y afecta por lo tanto a México y sus

diferentes estados.

110

El fenómeno didáctico que se encuentra presente tocante al tema de la recta tangente a una

curva es una manifestación de un problema de orden mayor, el cual no sólo abarca aspectos

específicos de la enseñanza-aprendizaje de la matemática escolar o de la educación. En este

apartado hemos pretendido dar una explicación mediante lo reportado por las

investigaciones mencionadas acerca del proceso de institucionalización de la enseñanza-

aprendizaje del Cálculo Diferencial, nuestra intención no ha sido la de hacer un análisis

detallado del proceso de institucionalización, pero sí dar una posible respuesta a la

inquietud que surge del porque se siguen perpetuando las mismas prácticas que propician

los problemas mencionadas en el capítulo I del presente trabajo de investigación. Una

posible conclusión del capítulo citado es que en cuanto a la enseñanza-aprendizaje del

Cálculo diferencial al parecer hay una especie de círculo vicioso en donde todas las

problemáticas presentadas parecen apuntar a que se siga perpetuando siempre lo mismo, ya

que todos los actores inmersos en la matemática escolar de alguna manera contribuyen a

que todo siga igual.

En Cordero (2007) se enuncia que uno de los objetivos de todo sistema educativo es la

formación de cuadros capaces de responder a las demandas de la sociedad. Esto depende de

la cultura y prácticas sociales, así como de la historia de las instituciones en base a los

recursos que tiene cada sociedad debe trazar estrategias que le permitan avanzar. Para esto

es necesario formular acciones y teorizar (hacer conocimiento). Sin embargo para lograr tal

objetivo la sociedad y las autoridades deberían concordar en, el sentido de la educación, o

sea reflexionar en el para qué de la educación. Landázuri (2005) propone. “Pensar en un

mundo en el que destaque el deseo del desarrollo humano en armonía con la naturaleza, en

el que la ciencia y la tecnología estén al servicio de una sociedad no marginadora” (p. 70).

Nuestra propuesta considera revisar la historia para que mediante el análisis de la actividad

humana contextualizada en donde se llevó a cabo el uso de conocimiento matemático con el

fin de percibir la realidad y transformarla, nos va a proveer de elementos que puedan ser

encaminados a una didáctica actual en donde se tiene la intención de que los estudiantes

puedan construir significados. Esto mediante herramientas matemáticas para llevar a cabo

actividades. La idea de reconocer a la actividad humana como una fuente productora de

conocimiento matemático nos invita a revisar los orígenes del conocimiento matemático.

111

Esto se puede lograr al analizar obras antiguas para identificar los usos que tuvieron las

ideas y con ello determinar también los significados existentes, es decir al poder mirar la

forma en cómo lo hicieron los matemáticos eruditos pertenecientes a una comunidad que

tenía la intención de resolver problemas propios de su contexto; nos puede permitir

determinar cómo las herramientas matemáticas surgieron como una matemática funcional.

La matemática funcional permite transformar el entorno, la vida, cuando ésta forma parte

de un individuo y se convierte en parte de él, entonces la persona la puede utilizar para

transformar su vida no sólo en un sentido utilitario (Cordero, 2003).

La institución escolar como promotora de un agente de cambio tendría que fomentar que el

uso del conocimiento tuviera como intención no solamente utilizarlo para interpretar el

mundo, sino utilizarlo activamente para transformarlo.

3.5 Una construcción a partir de la actividad humana

Considerar el uso de conocimiento permite tomar en cuenta a la actividad humana en la

construcción de éste. Al recurrir a la historia para indagar sobre los usos del conocimiento y

tomando en cuenta la variable social, se rompe con el paradigma tradicional que considera

a los conceptos como eje principal. Usar el conocimiento permite pensar en los elementos

que lo constituyen como son el escenario sociocultural donde nace el mismo, lo cual le da

sentido a las actividades que lleva a cabo el hombre para resolver problemas, es decir el uso

de conocimiento es pertinente para el problema que se está resolviendo, es funcional.

Reflexionar sobre el uso del conocimiento permite tomar en cuenta a la historia del mismo;

en donde coincidimos con Espinoza (2009) quien dice que no se puede omitir la historia del

conocimiento, en donde el mismo variara de acuerdo a la variable temporal y en función del

contexto. La construcción de significados debe considerar la “forma de mirar” el

conocimiento en donde hay una manera de ver, entender y/o construir el significado. “Lo

sociocultural influye en la manera de pensar y actuar de las personas, moldeando de cierta

manera y condicionando sustancialmente sus acciones y pensamientos.” (Espinoza, 2009, p.

21).

112

Nuestra propuesta toma en cuenta la variable social, la cual se encuentra articulada con

otras tres componentes que son la cognitiva, la didáctica y la epistemológica. Al hacer esto

se tiene que atender aquellos elementos propios de la actividad humana, como es el uso del

conocimiento en un escenario situado. Bajo esta perspectiva se reconoce a las matemáticas

como un constructo social, con lo cual la mirada centra la atención en “las prácticas

sociales que hacen emerger el conocimiento matemático y no, en cómo los objetos y

procesos matemáticos son adquiridos o aprendidos por el individuo” (Soto, 2010, p. 48).

La Teoría Socioepistemológica plantea a diferencia de otras teorías de la matemática

educativa que centran su atención en la construcción de los conceptos, que son las prácticas

las que están relacionadas con la construcción de los objetos matemáticos (Buendía, 2011).

En esta teoría se postula que el nacimiento del conocimiento matemático está íntimamente

relacionado con la época, lugar y situación en donde surge. Los usos que se les da a los

objetos matemáticos tienen que ver con el significado que se le da a los mismos y esto

depende de cada cultura y sociedad, de tal forma que podemos hablar de un conocimiento

situado. El mismo que tiene que ver con una forma de mirar y construir significados, “la

visión que proponemos tiene que ver con aquellos elementos que permitieron pensar el

concepto en su estado original, aquellos que lo plantee circunstancialmente como natural,

estos elementos son justamente los constructos asociados al concepto” (Cantoral, 2001, p.

xxiv).

El conocimiento no es preexistente, depende de cada escenario en donde aparece y es ahí

donde adquiere significado, de tal forma que el conocimiento tiene un carácter funcional ya

que sirve para transforma la vida. El análisis hecho por Cantoral (2001), así lo demuestra,

como en el caso de la predicción, la cual es una práctica social que se encontraba presente

en los siglos XVI, XVII y XVIII y que normó la construcción de conocimiento matemático.

Esto se puede evidenciar con el binomio de Newton y que posteriormente se fue

desarrollando hasta llegar a la serie de Taylor, el cual es un instrumento matemático que

permite la predicción.

La revisión hecha en (Serna, 2007) tuvo como intención el poder ver cuáles fueron los

elementos que permitieron la construcción de la tangente desde un punto de variacional,

Podemos notar a partir de una revisión de obras antiguas la riqueza de ideas por medio de

113

las cuales adquiere significado la idea de recta tangente, observar los diferentes usos que la

actividad humana tuvo y que por medio de los cuales se pudo llegar gradualmente a la

construcción de un salto conceptual de la recta tangente a la noción de derivada. Este salto

le tomó años a la humanidad llevarlo a cabo, sin embargo en los libros de texto

tradicionales ni siquiera es tomado en consideración.

En Serna (2007, 2008) se comenta que las ideas que dieron origen al concepto de derivada

fueron ideas de tipo variacional. La forma en cómo se difundían las ideas con lo que

respecta a el Cálculo Infinitesimal en el siglo XVII es a partir de elementos gráfico-

geométricos y es a partir del análisis de los cambios de una curva por medio de los

infinitamente pequeños (los infinitesimales) los cuales eran representados gráficamente

como magnitudes infinitesimales y gracias a esas representaciones se pudo determinar la

razón de cambio instantánea. En la época analizada no fue llamada así, pero que por medio

de la recta tangente y las expresiones matemáticas que se requerían para representarla en el

plano nos permiten inferir que era eso precisamente lo que estaban encontrando y que

además por el mismo análisis de la curva que se podía llevar a cabo por medio de los

infinitesimales se podía deducir que la recta tangente era variable. De manera explícita lo

decía Euler quien es citado en Serna (2007):

Con lo anteriormente expuesto por Euler nos damos cuenta que concibe a la

recta tangente a una curva como algo cambiante ya que dice que la recta

tangente a una curva se descarta a cada momento, puesto que describe a una

curva, por lo tanto sigue diciendo que para conocer el curso de una línea curva

bastaría con determinar para cada punto de la curva la tangente.

(p. 124)

Sin embargo la idea de tangente variacional se fue perdiendo con el transcurso de los años

conforme el Cálculo Diferencial iba adquiriendo un mayor rigor matemático.

De acuerdo a el análisis que hemos llevado, consideramos resulta evidente que este la

interpretación geométrica de la derivada sea tratado así; esto lo sostenemos ya que por un

lado los aspectos gráfico-visuales no resultan ser relevantes en nuestros sistemas escolares

(Biza, Nardi y Zachariades, 2009; Biza y Zachariades; 2010; Cantoral 2000), por otro se le

114

da mayor énfasis a encontrar derivadas utilizando algoritmos de naturaleza algebraica (Biza

y Zachariades, 2010). No se vincula a los conceptos matemáticos con otros ámbitos en

donde la matemática tiene sentido como otras áreas de conocimiento así como fenómenos

de variación y cambio.

En Cantoral (2001) se plantea que existe un vínculo entre los procesos cognitivos como la

abstracción reflexiva, la generalización, el razonamiento bajo hipótesis y la memoria

voluntaria con las prácticas sociales que dieron origen al conocimiento matemático.

Bajo la perspectiva socioepistemológica consideramos la importancia que tiene el recuperar

el significado, puesto que este nos permitirá reconocer el vínculo existente entre el contexto

sociocultural en donde surge un problema por resolver y el objeto matemático que nace

como una herramienta para resolverlo. De esta forma pretendemos recontextualizar,

recuperando significados de origen, los cuales eran más intuitivos que formales (Dolores,

2007) y utilizar esas ideas en una didáctica actual. La forma de recuperar esos significados

es a partir del análisis de los usos, ya que como dice D´Amore (2005) “No se puede hacer

otra cosa que examinar los diferentes “usos”: el conjunto de los “usos”, en efecto,

determina el significado de los objetos” (p. 5). En nuestro caso consideramos que todo esto

nos puede permitir el resignificar el conocimiento, en donde:

Resignificación no es establecer un significado en un contexto, para que

posteriormente se busque otro en otro contexto, y de esta manera se resignifique

lo ya significado. Si no es la construcción del conocimiento mismo en la

organización del grupo humano.

(Cordero, 2007, p. 268)

3.6 Problema de investigación

Existe un fenómeno didáctico el cual es reportado por diversas investigaciones. Éste se

observa cuando en la materia de Cálculo Diferencial se ve la interpretación geométrica de

la derivada. La forma tradicional de mostrar este tema es considerando que el límite de una

familia de rectas secantes que giran alrededor de un punto deviene en la recta tangente en el

mismo. Esta forma de abordar la interpretación geométrica de la derivada ha sido

115

demostrado es causa de grandes dificultades entre los estudiantes (Biza, Christou y

Zachariades, 2008; Biza y Zachariades, 2010; Cantoral, 2000; Dolores 2007; Serna, 2007,

2008; Serna, Castañeda y Montiel, 2009). El tema es visto como de paso ya que

posteriormente no se le da gran importancia en los programas, ni tiene un tratamiento

didáctico adecuado en múltiples libros de texto (Kajander y Lovric, 2009).

Esta forma de abordar el tema de la recta tangente ocasiona diversas dificultades. Por

ejemplo, el considerar que la derivada está representado por una recta que toca un solo

punto de la curva (Castañeda, 2004; Kendal y Stacey, 2003), lo cual también se ve reflejado

en una incorrecta interpretación del significado de la deriva al no saberla utilizar como

herramienta en la solución de problemas que así lo requieran (Dolores, 2007; Kendal y

Stacey, 2003).

Los estudiantes tienen una idea de recta tangente proveniente de sus cursos de Geometría y

esta consiste en considerar que una recta tangente toca sólo un punto de un círculo, sin

cruzarlo, dejando a un lado de la recta todo el círculo. Esto funciona con las cónicas pero

no para otro tipo de curvas, como las cúbicas, lo cual marca una diferencia epistemológica

de recta tangente en Geometría y Cálculo Diferencial. (Biza, Christou y Zachariades, 2008;

Biza y Zachariades, 2010; Biza, 2011; Cantoral 2000; Serna, 2007, 2008). Esta forma de

entender a la recta tangente dificulta el paso de una concepción estática a una concepción

dinámica tal y como es requerido en Cálculo Diferencial (Cantoral, 2000).

Una forma de poder concebir a la recta tangente de una curva tiene que ver con centrar la

atención en una pequeña porción de la curva y comprender que en esa pequeña región la

curva se comporta como una recta. Algunos investigadores le llaman a esto micro rectitud o

rectitud local. Una forma de poder visualizar esto es con el uso de tecnología (Biza, 2011;

Kendal y Stacey, 2003; Maschietto, 2008). Esta forma de entender a la recta tangente ayuda

a poder tener una concepción local, es decir centrar la atención en la zona de contacto (Biza

y Zachariades, 2010; Maschietto, 2008).

Nuestra investigación no se contrapone con estas ideas, al contrario la idea de rectitud local

es una de las primeras que se pretende construyan los estudiantes. Posteriormente esta idea

se va resignificando, robusteciéndose hasta construirse la recta tangente desde un punto de

116

vista variacional. Esto se lleva a cabo haciendo uso de la historia en donde se reconoce a la

actividad humana en la construcción social del conocimiento. Se llevó a cabo un análisis de

los usos de conocimiento de antaño en donde se gestaron las primeras ideas del Cálculo

Diferencial. Bajo nuestro enfoque teórico vamos a emplear el análisis de obras eruditas

llevado a cabo en (Serna, 2007) en donde se reconocía que en los siglos XVII y XVIII

existía un problema entre algunos matemáticos eruditos de la época, el cual consistía en

encontrar las coordenadas del punto de tangencia de la recta tangente a la curva. A partir de

dicho análisis consideramos rescatar los significados situacionales, es decir, reconocer las

ideas productos del contexto de la actividad humana que permitieron la construcción de la

noción de recta tangente, ya que planteamos esas ideas permitieron que los sujetos pudieran

construir esa noción de una manera natural y por lo tanto podemos utilizarlo en una

didáctica actual.

Con base a lo anterior y tomando en cuenta nuestro enfoque teórico que es la

Socioepistemología surgen la siguiente pregunta de investigación: ¿Cuáles fueron los usos

de herramientas matemáticas para llevar a cabo actividades pertenecientes a una práctica de

referencia, normada por una práctica social, los cuales permitieron la construcción de la

recta tangente desde un punto de variacional y como puede ser empleado ese conocimiento

en una didáctica actual?, a partir de dicha pregunta principal se pueden derivar las

siguientes preguntas secundarias cuyas respuestas guíen para responderla:

¿Cuáles fueron los usos antiguos del conocimiento y cómo favorecieron estos a la

construcción de la recta tangente variacional?, ¿cuál fue la práctica social que le dio origen

y cómo normó esta su construcción?, ¿se puede construir la tangente variacional a partir de

identificar su origen y diferentes etapas de desarrollo como producto de la construcción

social del conocimiento y cómo se puede emplear esto para llevar a cabo una intervención

en el aula?, desde este punto de vista de construcción social del conocimiento, ¿cuáles son

los elementos asociados a su construcción y cómo se pueden emplear estos para una

intervención didáctica?

117

3.7 Propósito de la investigación

En nuestro caso nos proponemos trabajar con estudiantes de quinto semestre de nivel medio

superior y pretendemos que ellos puedan construir la noción de recta tangente desde un

punto de vista variacional, la cual pueda servir como herramienta en la introducción de la

derivada desde un punto de vista gráfico.

Para lograr tal cometido haremos uso de la historia, específicamente empleando elementos

que hemos detectado en nuestro estado del arte. En el mismo hemos tomado en cuenta

aquellas investigaciones que haciendo uso de la historia han considerado elementos de tipo

variacional en la construcción de las nociones matemáticas concernientes al Cálculo

Diferencial.

En el caso de las obras antiguas hemos encontrado que existen nociones que tienen un

significado propio de la época y por medio del cual se fueron constituyendo las ideas que

fueron consolidando a la recta tangente desde una perspectiva variacional. Por ejemplo la

idea de punto tratada por L´Hospital y enunciada por Castañeda (2004) es distinta a la

definición hecha por la geometría Euclidiana. Se pretende usar entonces argumentos como

son: Diferencia, magnitudes infinitesimales, variación, semejanza de triángulos (haciendo

alusión a la razón de cambio), la consideración de punto como segmento infinitesimal,

análisis de los cambios a partir de la idea de dejar fluir. Todo esto a partir de un contexto

geométrico visual; así como algunos otros elementos de tipo contextual que puedan ser

considerados para la construcción de la recta tangente desde un punto de vista variacional.

Usar los argumentos anteriormente mencionados tiene la intención de que los estudiantes,

utilicen elementos de aritmética y geometría que ya conocen de las asignaturas estudiadas

anteriormente al Cálculo Diferencial y que pueden emplear para ir construyendo la noción

de recta tangente variacional. Esa es la forma en que históricamente y en un escenario

socioculturalmente situado hablando fue construida la recta tangente variacional.

Pensar en la tangente variacional como una práctica es algo que permite concebirla como

una herramienta, la cual es un medio para determinar el comportamiento de una función,

para caracterizarla y no necesariamente es un fin en sí mismo. Al indagar acerca de los usos

del conocimiento a partir del Estado del Arte nos ha facultado para reconocer a las

118

herramientas matemáticas que sirvieron para llevar a cabo actividades situadas dentro de un

contexto. Todo lo cual ha tenido la intención de hacer un diseño de secuencias didácticas

que considera no como eje principal al objeto matemático, sino más bien a las prácticas

que socialmente compartidas permitieron, hicieron posible, estuvieron presentes y por lo

tanto se encuentran asociadas en la construcción del objeto matemático, (Buendía, 2011).

Se diseño un modelo de construcción social del conocimiento basado en el modelo de

Montiel (2005, 2011) el cual considera a la función normativa de la práctica social en la

construcción de conocimiento. El modelo tiene la intención de articular nociones de la

Socioepistemología, como son herramienta matemática, actividad, usos, práctica de

referencia, significado, resignificación, funcionalidad y Práctica Social. Nuestro modelo

propuesto tuvo la intención de dar, no la explicación, sino una explicación de cómo se

construye socialmente conocimiento tomando como base a la práctica social.

El modelo propuesto también sirvió para diseñar cinco secuencias didácticas, así como

servir de unidad de análisis una vez que las mismas fueron puestas en escena con los

estudiantes. El análisis de lo dicho y hecho por los estudiantes a partir del modelo al

contestar las secuencias nos ha proporcionado un medio para ponderar o evaluar de manera

cualitativa hasta donde se consiguió lo esperado por ellos en cada secuencia.

Específicamente la secuencia didáctica 5 tuvo la intención de que los estudiantes hicieran

uso de lo construido en las cuatro secuencias anteriores, para que a partir de ello pudieran

proponer la gráfica de la derivada de una función cúbica, en donde la noción de recta

tangente variacional se uso como una herramienta en la construcción de la gráfica

solicitada.

119

Capítulo IV

Marco Teórico

4.1 Introducción

La Socioepistemología es una teoría ubicada al seno de la matemática educativa que estudia

la construcción de conocimiento matemático problematizando el saber desde sus cuatro

dimensiones: la epistemológica, que da cuenta de lo que le es propio a dicho saber,

teniendo en cuenta que el origen y la naturaleza de las ideas están ligadas a el contexto en

donde nace el conocimiento; la didáctica, que reconoce los procesos institucionales por

medio de los cuales se busca su transmisión; la cognitiva, en donde se plantean los procesos

de apropiación, dando explicaciones acerca del asunto de conocer como un mecanismo de

construcción social que nos permite reconocer que hay una forma de “ver”, tratar el

conocimiento, que es común a un conjunto de individuos pertenecientes a una misma

comunidad; y, finalmente, la social, que acentúa el uso y la resignificación del

conocimiento normado por prácticas sociales, las cuales se infieren a partir de la actividad

humana situada. Sin embargo, la pertinencia de considerar estas componentes se da siempre

que se articulen de forma sistémica en la explicación del fenómeno, es decir, en la

explicación del cómo construimos conocimiento socialmente.

En la presente investigación profundizaremos en la problematización del saber desde las

dimensiones didáctica y cognitiva, tomando en consideración los resultados de corte

120

socioepistemológico obtenidos en (Serna, 2007), donde centramos nuestra atención en la

problematización del saber desde las dimensiones social y epistemológica. En esta

investigación se realizó un estudio, ubicado en un escenario histórico, sobre la noción de

recta tangente. El estudio se llevó a cabo analizando la forma de resolver el problema de las

tangentes por algunos matemáticos ubicados en Europa durante los siglos XVI, XVII,

XVIII y XIX. Uno de los objetivos fue reconocer en la historia los procesos de construcción

de la noción de recta tangente desde una perspectiva variacional, es decir, situados en el

estudio del movimiento y el cambio.

En esta investigación nos interesamos por la forma en cómo trataron el problema de las

tangentes, con el propósito de reconocer aquello que caracteriza su uso en actividad

matemática, vista ésta como una actividad humana y social. Un resultado de este estudio, la

caracterización de lo que denominamos la tangente variacional, da al presente trabajo una

primera base de significados al conocimiento que buscamos se construya en el aula.

Serna (2007) identifica tres diferentes momentos de la forma en como se trató a la recta

tangente. El primer momento es aquel en donde la tangente es considerada como algo

estático y global, es decir, se reconoce que (toda ella) puede tocar más no cortar a la curva.

Bajo este enfoque la recta tangente no puede ser ubicada en cada punto de la curva, ya que

de serlo así, habría momentos en que tocaría en más de una ocasión a la curva. Este

momento abarcó desde la antigua Grecia hasta antes de los trabajos de Newton y Leibniz.

En el segundo momento, denominado “etapa de formulación del Cálculo”, se usa una

herramienta matemática fundamental, los infinitesimales, lo cual permite concretar un

método general de resolución del problema del cálculo de la tangente que se distingue por

el carácter variacional que se le da a ésta. Los trabajos más ilustrativos del nuevo uso que se

le da a la recta tangente son los de Newton y Leibniz.

Finalmente, un tercer momento en donde se abandona el uso de nociones como los

infinitesimales, lo que se pretendía era adquirir un mayor rigor matemático. El propósito de

esta transición fue la formalización del Cálculo, rigor y formalismo que comienza con los

trabajos de Euler y se ven concretizados con los trabajos de Cauchy. En este momento la

recta tangente ya no es un objeto de estudio en sí misma y aunque no se encuentra presente

en el discurso matemático de manera explícita se podía manifestar su presencia como se

121

reporta en (Serna, 2007). Considerar, actualmente, la recta tangente a una curva como un

problema de aplicación de la derivada es, según esta investigación, influencia del trabajo de

Cauchy.

Los momentos mencionados no se dan abruptamente ya que antes de Newton y Leibniz

hubo matemáticos en cuyos trabajos manifestaban ideas cercanas a los infinitesimales. El

análisis socioepistemológico nos permitió reconocer el uso de herramientas matemáticas

que permitían resolver problemáticas propias de un contexto sociocultural, esta interacción

herramienta-persona es el resultado de la actividad humana presente en una comunidad de

matemáticos.

Con este antecedente de investigación, teniendo siempre en consideración las dimensiones,

didáctica y cognitiva, profundizamos con más énfasis en las dimensiones epistemológica y

social del saber, muy en particular, estudiando su construcción en un escenario histórico.

Tal como señala Lerman (2001) de la investigación sociocultural, nuestro antecedente es un

momento del estudio, el enfoque particular de una lente, tan consciente de lo que va a ser

visto, como de lo que no (p. 90). Pretendemos ahora ubicarnos en otro escenario, con el

objetivo de conocer, entender y comprender otro momento de construcción de

conocimiento, uno que demandará de analizar la actividad en el aula y, en consecuencia,

detallar más la funcionalidad del saber en sus dimensiones de transmisión y apropiación del

saber.

4.2 El uso de la historia

En el presente trabajo se retoman los resultados de (Serna, 2007) en donde hicimos un

estudio del tratamiento del problema de la recta tangente en ciertas fuentes originales.

Producto del análisis de las obras Sobre las revoluciones de las orbes celestes de

Copérnico, Methodus de Fermat, Principios Matemáticos de Newton, Análisis de los

infinitamente pequeños de L´Hospital y la Introduction a l’ analyse infinitesimale de Euler,

se reconoció el problema de la tangente como una práctica de referencia de los

matemáticos de los siglos XVI, XVII y XVIII. Identificar los usos de este conocimiento

matemático en la historia nos permitió reconocer significados que le son propios y que

están ausentes en el discurso Matemático Escolar (dME) actual. Esto, defendemos, se debe

122

a que los seres humanos construyen conocimiento en respuesta a los problemas y/o

necesidades que se encuentran presentes en su comunidad.

Las investigaciones en Matemática Educativa frecuentemente asumen como objeto de

estudio los procesos de enseñanza-aprendizaje asociados a los conceptos matemáticos

escolares y sus estructuraciones institucionales, lo que en socioepistemología referimos

como “objetos matemáticos”. Sin embargo, la historia nos permite reconocer otras facetas

del conocimiento que puedan ser consideradas para el aprendizaje de dichos conceptos y

que, de hecho, formen parte de su propia naturaleza y razón de ser. Existen significados

asociados a los objetos matemáticos que no se encuentran presentes en los sistemas

escolares, esto se debe a que cuando los objetos matemáticos son introducidos a la escuela

se manifiesta una transposición que hace que el conocimiento pierda sus significados de

origen, por ejemplo, como señala Dolores (2007), la forma en cómo es tratada la derivada

en el dME oculta sus significaciones iniciales, como es el caso del estudio de la variación y

el cambio, contexto en el que emerge la noción de derivada.

Podemos decir que los conceptos no reflejan el punto de arranque de cómo estos se

construyeron y, en ese sentido, la historia sirve como marco para reconocer en ellos

significaciones distintas.

También, el uso de la historia nos permite reconocer la historicidad de un concepto, es

decir, reconocer el conocimiento como algo dinámico, cambiante, y que su construcción

depende de múltiples factores que se encuentran en la comunidad donde nace el

conocimiento (Zemelman, 2011).

Hacer un estudio en distintas etapas del escenario histórico y la forma como tratamos con el

conocimiento nos permitió identificar ideas germinales, desarrollos científicos y

tecnológicos, procesos de transmisión de conocimiento en algunas obras de difusión, y

procesos de formalización. Como resultado de identificar y analizar este proceso se plantea

el problema de las tangentes como una práctica socialmente compartida por matemáticos

de ese largo periodo.

El mirar a la historia nos permitió reconocer los usos del conocimiento y reconocer los

significados existentes los cuales fueron cambiando por esta historicidad que tiene una

123

noción matemática. En este sentido no pretendemos reproducir la historia, sino reconstruir,

en situaciones de aprendizaje, el desarrollo de usos identificado en la historicidad de los

conceptos.

4.3 La herramienta matemática como una construcción social

Sabemos que las matemáticas han intervenido en la humanidad probablemente casi desde

sus inicios ya que los historiadores de la ciencia han dado muestras de ello al estudiar las

civilizaciones más antiguas. Las matemáticas han servido como una herramienta que le ha

permitido a los grupos humanos solucionar problemas y es precisamente en esa

intervención donde hay un vínculo que nos permite reconocer una matemática no aislada de

su entorno sociocultural, sino por el contrario que se encuentra en estrecha asociación con

diferentes problemas que resuelve y de los cuales adquiere significado. La

Socioepistemología reconoce la construcción social del conocimiento situado, ya que se

encuentra íntimamente ligado al contexto sociocultural del cual emerge y en donde el uso

de las matemáticas permite resolver problemas de la vida, los cuales se encuentran en cada

época, cultura o sociedad. Es en este sentido que reconocemos que la construcción de los

conocimientos matemáticos tiene que ver precisamente con el contexto sociocultural en

donde las personan tiene problemas comunes y que resuelven a partir de la herramienta

matemática.

A lo largo de la historia el ser humano se ha valido de herramientas para su supervivencia,

así como para el desarrollo y evolución de la sociedad. Con el paso del tiempo el hombre se

ha distinguido por el uso de las mismas, en donde ha construido desde aquellas más

elementales en su vida (hoy en día se siguen empleando algunas muy elementales) hasta

algunas muy sofisticadas, las hay como artefactos tangibles y también existen instrumentos,

digamos del orden intelectual que le han permitido resolver problemas y convertirse en

parte de su vida cotidiana. El concepto mismo de herramienta tiene una connotación social

ya que para que pueda ser considerada como tal es necesario que sea compartida por una

comunidad con intereses comunes:

La importancia de la herramienta no radica en las herramientas en sí, sino en el

programa que orienta su uso. En este sentido más amplio es cuando las

124

herramientas adquieren un sentido propio como amplificadoras de las

capacidades humanas e instrumentos de la actividad del hombre.

(Arrieta, 2003, p.35)

Podríamos decir que una de las características del hombre ha sido emplear herramientas

para llevar a cabo sus tareas de manera más eficiente, su uso ha cambiado al hombre y a su

vez él sigue cambiando y cambiando la herramienta, transformándose y mejorando sus

herramientas, como en una relación dialéctica hombre-herramienta. Cuando los seres

humanos organizados constituyen un grupo y cuando este colectivo ha acordado utilizar

algo para lograr un fin, es entonces cuando “ese algo” adquiere el estatus de herramienta y

por lo tanto decimos que tiene un carácter social, hablamos entonces de la creación y uso de

herramientas matemáticas como artefactos intelectuales creados por el hombre organizado

en colectivos que le han permitido amplificar sus capacidades y llevar a cabo sus tareas

cotidianas, así como para resolver problemas. La importancia de lo mencionado radica en

que el hombre ha construido herramientas matemáticas al estar organizado como grupo

humano con una intención específica validada social y culturalmente. Esta intencionalidad

que puede ser la de resolver un problema, hace que surjan mecanismos de carácter social

los cuales, desde nuestro enfoque, permiten la construcción de conocimiento. Por ejemplo

al afrontar un nuevo problema la comunidad puede llevar a cabo una serie de actividades de

manera organizada, que son producto del cúmulo de sus experiencias pasadas y cuya

intención específica es resolver un problema que es reconocido como tal y que atañe a una

comunidad (Cantoral, Farfán, Lezama y Matínez-Sierra, 2006).

Cuando un colectivo tiene como objetivo resolver un problema hace uso de los

conocimientos que tiene a la mano y estos pueden estar constituidos por usos y/o ideas

provenientes de diversas áreas de conocimiento, incluyendo conocimientos matemáticos,

sin embargo, estos se encuentran por así decirlo “amalgamados” con otros conocimientos

provenientes de dichas áreas; los significados de los conocimientos matemáticos tienen

sentido en el contexto en donde son usados por la actividad humana y es ahí en donde surge

un conocimiento situado, histórica, social y culturalmente (Arrieta, 2003; Cantoral, 2001;

Montiel, 2005, 2011). Es entonces aquí que consideramos la importancia de construir

125

conocimiento socialmente, ya que asumimos que el ser humano así lo construye, por el

hecho de constituir y vivir en sociedad.

La Socioepistemología se caracteriza por reconocer en la componente social un elemento

fundamental en la construcción del conocimiento. Lo social se puede manifestar como

aquello que surge de un colectivo o comunidad cuando desea llevar a cabo una tarea y/o

intenta resolver un problema, es decir hay un conjunto de actividades organizadas y con

intencionalidad; en el grupo nacen ideas que surgen a partir de la interacción entre sus

miembros y que son características de la cultura y tienen que ver con el contexto en el que

viven.

De acuerdo con Espinoza-Ramírez (2009) existe una manera de “ver” el conocimiento que

guarda relación con el contexto en el que se sitúa, y la denomina “racionalidad

contextualizada”. A partir del análisis realizado en (Serna, 2007, 2008; Serna, Castañeda y

Montiel 2009) reconocemos que había una forma de trabajar con las ideas matemáticas, lo

cual tiene que ver con una visión compartida por los matemáticos europeos de los siglos

XVI, XVII y XVIII. Ellos usaban argumentos geométricos para dar sus explicaciones en

cuanto a las ideas matemáticas lo cual coincide con lo reportado por Castañeda (2004): “En

el caso del cálculo, las raíces conceptuales provienen de problemas relacionados con el

estudio de curvas geométricas.” (p. 105)

En este sentido reconocemos que la resolución de problemas como el de cálculo de

máximos y mínimos, la cuadratura de una curva, determinar el punto de inflexión y el

problema de las tangentes, entre otros permitió caracterizar a las curvas. En el caso del

problema del cálculo de las tangentes inferimos subyace el propósito de determinar la razón

de cambio instantánea, ya que esto permitía conocer el valor de un estado futuro,

conociendo el valor del estado actual.

4.4 Modelo: Usos-Herramienta-Actividad, Práctica de Referencia-Resignificación-

Funcionalidad y Práctica Social

El escenario histórico que fue analizado en (Serna, 2007), nos ha permitido proponer un

modelo de construcción social del conocimiento matemático, para su elaboración se ha

tomado como base el propuesto por Montiel (2005, 2011). En cada etapa de la historia del

126

ser humano existe una visión del mundo, con diferentes problemáticas por resolver para lo

cual se utilizan enfoques, puntos de vista que se construyen socialmente, es por tanto que la

construcción del conocimiento tiene un carácter social. En la Socioepistemología se dan

explicaciones de esta construcción normada por Prácticas Sociales (PS), por ejemplo,

Tuyub (2008) señala que:

La función normativa de la PS es un constructo que se caracterizará como

aquello que articula y norma un conjunto de prácticas asociadas a un saber y se

caracteriza porque nace de una necesidad, determinando “lo que hace hacer lo

que se hace”.

(p.12)

La práctica social se encuentra en la base de la construcción del conocimiento matemático

ya que es la que regula cada una de las actividades que son llevadas a cabo por los

individuos que forman parte de una comunidad. Esta se va a manifestar a través de

generaciones, es decir es permanente más no estática, de aquí se desprende una de las

características de la práctica social, que es la historicidad, la cual se ve reflejada también

en la práctica de referencia que norma.

La práctica social como normativa de las acciones de los individuos determina la

organización de los grupos humanos, regulando sus comportamientos, lo cual se manifiesta

a partir de la construcción de argumentos y dota de una identidad a un grupo social o

colectivo (Cantoral, 2011; Reyes, 2011; Soto, 2012).

En el modelo se puede observar a la práctica social, como reguladora de un conjunto de

actividades a través de una práctica de referencia y que son llevadas a cabo por medio del

uso de herramientas matemáticas, que tienen una intencionalidad específica que es la de

resolver un problema producto de una necesidad y que se encuentra presente en una

comunidad.

En la práctica de referencia se organizan un conjunto de actividades llevadas a cabo por

los grupos humanos, los cuales tienen una forma de proceder que no es arbitraria sino más

bien producto de un contexto situado en un escenario sociocultural, es decir hay una

127

racionalidad contextualizada. En ésta surgen significados compartidos por el colectivo y

que se ve manifestada por los saberes. Le vamos a llamar saber al conocimiento puesto en

uso de las herramientas matemáticas.

El significado que se pueda construir depende del uso que se le dé a la herramienta

matemática que se vaya a utilizar para ejecutar ciertas actividades, el uso por tanto

“depende de las formas en que es empleada o adoptada cierta noción en un contexto

específico” (Cabañas, 2011, p. 75); en nuestro caso la noción adoptada o empleada adquiere

el estatus de herramienta matemática.

La práctica surge cuando en una comunidad organizada como grupo humano existe la

intencionalidad de resolver un problema, para tal efecto se organizan actividades producto

del cúmulo de sus experiencias. Tal intencionalidad imprime un significado al conjunto de

acciones realizadas, en palabras de Buendía (2004, p. 70): “en particular, estamos tratando

con grupos humanos organizados que realizan acciones que tienen que ver con la intención

de hacer, reproducir y comunicar el conocimiento matemático.” Al ser la práctica un

producto de la sociedad inferimos que no surgen ni desaparece espontáneamente, ya que

como es reportado por García-Torres (2008) el conocimiento no surge individualmente,

sino que emerge como “organizaciones de grupos humanos que reconocen útil al

conocimiento, y por ende, hacen que se transmita por generaciones, de esta forma se

transforma en un material continuo” (p. 4).

Para llevar a cabo las actividades que han sido organizadas intencionalmente por la

práctica de referencia, se hace uso de herramientas matemáticas y es a través de la relación

dialéctica actividad-herramienta que surgen significados que enriquecen a los ya existentes,

es decir hay una resignificación, esta se da en la organización del grupo humano y tiene un

carácter funcional, lo cual retroalimenta a la práctica de referencia. Por ejemplo cuando

Copérnico necesitaba poder predecir las posiciones de los cuerpos celestes hizo uso de la

herramienta matemática:


𝐴𝐶��

128

Ya que decía que la razón entre dos arcos, siendo uno mayor que otro y que parten de un

punto común, es mayor con respecto a la razón de las subtensas que se generan con los

mismos puntos, lo cual se ilustra en la figura:

Fig. 4.1

Sin embargo él comenzó a hacer comparaciones a partir de sus cálculos (actividades:

calcular y comparar) pudo inferir (actividad) que cuando los puntos B y C se encuentran

muy cercanos a el punto A la curva se comporta como una recta (Serna, 2007). Surge un

significado a partir del uso de la herramienta matemática con la cual se está llevando a

cabo actividades, todo esto en un contexto situado que tiene que ver con querer conocer las

posiciones de los cuerpos celestes (para lo cual se fueron acercando cada vez más y más los

puntos B y C al A) y con una forma de transmitir las matemáticas que es a partir de

propiedades geométricas que son representadas visualmente.

Fig. 4.2

A

C B

Herramientas Actividad

Significados

Usos

129

De tal forma que para que las actividades organizadas por la práctica de referencia puedan

ser llevadas a cabo y se puedan construir nuevos significados se hace necesario del uso de

herramientas matemáticas.

Una forma de caracterizar a la resignificación es reconociéndola como una apropiación

progresiva del saber, es decir, en los grupos organizados socialmente se van a construir

nuevos significados, tomando como base los ya existentes y enriqueciéndolos de tal forma

que progresivamente se van a tener cada vez métodos más generales y eficaces.

Se plantea por lo tanto una forma diferente de construcción de conocimiento a aquella en

donde se toma como base a los objetos matemáticos y mediante una secuenciación de temas

influenciados principalmente por la estructura formal del Análisis Matemático, en donde las

secuenciaciones de los conceptos obedece a una lógica racional que soslaya a lo humano

como parte de la construcción del conocimiento (Cordero, 2007; Dolores, 2007). La

resignificación va a obedecer al desarrollo de los usos del conocimiento en donde este es

funcional en el colectivo en donde se está resignificando el saber y por lo tanto se considera

a la actividad humana como fuente de reorganización de la Matemática Escolar. Es por eso

que la historicidad permite revisar la historia de una práctica de referencia con sus

primeras ideas y el desarrollo de las mismas a partir de la resignificación progresiva.

Tomar como base a la actividad humana para el rediseño del dME proporciona marcos de

referencias en donde el saber es funcional. “Con esto no nos referimos a como se aplican

los objetos matemáticos, sino que funcionan en contextos y situaciones específicas con una

significación propia, la cual se resignifica constantemente.” (Soto, 2012, p. 52). Lo

funcional considera una “lógica humana” es decir aquello que ha servido y/o sirve para el

progreso del ser humano, en su intento por resolver sus problemas y se ve manifestado en

su conocimiento puesto en uso.

130

Modelo de construcción social del conocimiento matemático

Fig. 4.3

4.4.1 Una mirada al escenario histórico

En la investigación llevada a cabo en Serna (2007) se menciona acerca de las problemáticas

y necesidades existentes en un escenario sociocultural. Se dice que un paradigma existente

entre algunos matemáticos era el trabajo que se estaba realizando con respecto a los

problemas concernientes en un contexto de cambio y variación6

6 Vamos a entender el cambio como una modificación o alteración de un estado, condición de un cuerpo o de un sistema; a la cuantificación del cambio se le va a entender como variación (Cantoral, Molina y Sánchez, 2005). Hablar de un contexto de cambio y variación tiene que ver con el esquema mental y/o significados que se construyen en comunidad (ubicada en un tiempo y lugar), en situaciones de cambio y variación.

. Este tipo de trabajos se vio

manifestado en los fenómenos de flujo y movimiento de los cuerpos; existían problemas en

donde la física jugaba un papel importante, como enuncia Cantoral (2001):

De acuerdo a Van Dijk (2001) el contexto es dinámico ya que cambia permanentemente durante la comunicación debido a los cambios en la situación social; los significados contextuales se van enriqueciendo, por lo cual se dice que va existir resignificación, esta se da a partir de la ejecución de actividades (para el caso que tratamos, relativas al cambio y variación) que se llevan a cabo con el uso de herramientas matemáticas. En nuestro caso implementaremos situaciones en donde se encuentran presentes elementos de cambio y variación.

Práctica Social

Práctica de Referencia

Usos


Resignificación

Significado

Funcionalidad

131

Haciendo un breve recuento de los elementos generales, diremos a grandes

rasgos que las imágenes conceptuales propias del siglo diecisiete se

caracterizaron por dos aspectos centrales: primeramente, uno centrado en el

reconocimiento de las imágenes de la serie en el desarrollo de algoritmos y

patrones numérico–algebraico y otro por la sistematicidad del estudio puntual

de los fenómenos de movimiento de cuerpos rígidos y de las curvas

(p. xx)

La sociedad demandaba de la ciencia, el poder resolver estos problemas, conocer leyes

bajo las cuales se rige el movimiento de los cuerpos, lo cual implicaba poder predecir el

valor que adquiriría en un estado futuro la variable de interés.

Una forma de resolver los problemas planteados por la física era a partir de su

matematización y la forma en cómo se hacía esto era a partir del uso de la geometría, por

ejemplo Copérnico (1543 citado en Serna, 2007) decía lo siguiente:

Pues es propio del astrónomo calcular la historia de los movimientos celestes

con una labor diligente y diestra. Y además concebir y configurar las causas de

estos movimientos, o sus hipótesis, cuando por medio de ningún proceso

racional, puede averiguar las verdaderas causas de ellos. Y con tales supuestos

pueden calcularse correctamente dichos movimientos a partir de la geometría,

tanto mirando hacia el futuro como hacia el pasado.

(p. 17)

En el caso de Copérnico utilizaba la geometría para poder conocer las posiciones de los

cuerpos celestes, en el caso de Galileo (1638, citado en Cantoral, 2001, p. 13) enuncia lo

siguiente:

La filosofía está escrita en ese grandioso libro que está continuamente abierto

ante nuestros ojos (lo llamo universo). Pero no se puede descifrar si antes no se

comprende el lenguaje y se conocen los caracteres en que está escrito. Está

escrito en el lenguaje matemático, siendo sus caracteres triángulos, círculos y

132

figuras geométricas. Sin estos medios es humanamente imposible comprender

una palabra; sin ellos, deambulamos vanamente por un oscuro laberinto.

Lo anterior es sólo una muestra del pensar de los matemáticos de los siglos XVI y XVII,

quienes utilizaban a las matemáticas como herramientas en la solución de los problemas y

es precisamente en ese uso, producto de la actividad humana con las herramientas

matemáticas, donde surgen significados que le son propios al conocimiento matemático que

se estaba construyendo.

El problema de las tangentes surge en la antigua Grecia y se desarrolla en Europa en los

siglos XVII y XVIII, fue una práctica de referencia. De acuerdo a lo reportado en (Serna,

2007, 2008) hubo diferentes formas de resolverlo; sin embargo aquellas que emplearon

elementos de cambio y variación como es el caso de los infinitesimales (o ideas cercanas a

ellos) como herramientas matemáticas, son las que llegaron a concretar un método general

de resolución el cual se vio cristalizado con Newton y Leibniz, esta es la práctica de

referencia de nuestro interés y que vamos a llamar en este trabajo; práctica de la tangente

variacional.

En nuestro caso el grupo humano o grupo social que identificamos es el formado por una

comunidad de matemáticos eruditos que vivieron en los siglos XVI, XVII y XVIII, que

usaron a los infinitesimales como la herramienta con la cual pudieron resolver el problema

de la recta tangente, retomando aquellas ideas germinales de la herramienta empleada y su

desarrollo en esta relación dialéctica hombre-herramienta. Al estudiar la actividad de esta

comunidad, con la lente de la Socioepistemología, se pudo hacer un análisis de los usos de

herramientas como los infinitesimales, por medio de los cuales se fue consolidando un

método de solución en la práctica de la tangente variacional. Las actividades organizadas

intencionalmente a través de la práctica de referencia fueron normadas por la práctica

social de la predicción.

Parafraseando a Covián (2005) podríamos decir si resuelven el problema de las tangentes

de cierta manera y se reconoce cómo lo hacen, entonces ¿qué los hace resolver el problema

como lo hacen? o ¿por qué resuelven como lo hacen?, es decir ¿qué es lo que les hace hacer

lo que hacen?

133

En el trabajo hecho por Cantoral (2001) se muestra como el pensamiento matemático es

orientado vía el pensamiento físico, propio de una época en donde los problemas a tratar

eran de astronomía y física. Cuando observamos a lo largo de ciertos periodos de la historia

el nacimiento de una idea y su desarrollo identificamos que se encuentran presentes

mecanismos sociales que hacen posible que esto suceda, por ejemplo la comunicación de

ideas entre colegas, los debates y consensos en un periodo histórico, pero también las ideas

que se van transmitiendo de generación en generación.

El hacer una investigación de tipo socioepistemológico marca una diferencia respecto de las

investigaciones en donde la atención está puesta, principalmente, en los aprendizajes y la

enseñanza de los conceptos matemáticos y sus estructuraciones formales. De aquí que las

investigaciones socioepistemológicas, frecuentemente, hablen de transitar de los objetos a

las prácticas. Por ejemplo, al analizar un texto desde este enfoque teórico se pueden

detectar los usos de los conocimientos y, en esos usos, reconocer elementos que forman

parte, condicionan y orientan la construcción de los conceptos matemáticos, de tal suerte

que cuando logramos identificar estos elementos podemos reconocer mejor la naturaleza

del conocimiento matemático.

Para efectos de nuestra investigación, si se estudiara la recta tangente desde un punto de

vista epistemológico tradicional, se recurriría a la historia para observar cómo nace este

objeto matemático poniendo la atención en el objeto matemático recta tangente, se

observarían diferentes contribuciones hechas por matemáticos del siglo XVII y XVIII en

donde existían diferentes métodos de resolver el problema de las tangentes y se podría

utilizar este conocimiento como una herramienta en el sentido de (Jankvist, 2009) para el

diseño de secuencias didácticas. Sin embargo, cuando la mirada se desvía del objeto

matemático y el investigador se pregunta ¿qué es lo que hizo que los matemáticos hicieran

lo que hicieron?, entonces la respuesta estaría dada con base en mecanismos sociales de

construcción del conocimiento. Cantoral (2000, 2001) evidenció cómo las ideas de

predicción acerca de los fenómenos de flujo normaron la construcción de conocimiento

matemático del Cálculo en nuestro caso específico la práctica de la tangente variacional, a

través del uso de herramientas como los infinitesimales. La comunidad de matemáticos

eruditos en Europa en los siglos XVI, XVII y XVIII logró consolidar un método general.

134

Este cambio de centración (del objeto a las prácticas) da sentido, como lo enuncia Cantoral

(2001), a poner atención en la manera de variar de la variable, cambio que permite al

investigador explorar distintos caminos en su búsqueda. Pero, ¿qué es mirar una práctica en

un contexto histórico-sociocultural? Es poder ver una comunidad llevando a cabo

actividades en donde se usan herramientas reconociendo el dinamismo del uso del

conocimiento a partir del desarrollo de los mismos, así como su funcionalidad, en oposición

a lo utilitario.

4.4.2 Una mirada al aula

El ejercicio de la práctica en el aula se propone que se lleve a cabo a partir de un diseño en

donde a la manera de como reportan Buendía y Ordoñez (2009) de manera intencional se

lleven a cabo actividades que consideren a la actividad que rodeó, estuvo presente, y dio

significado a la práctica de la tangente variacional, de tal forma que no se centra la

atención en la recta tangente como un objeto matemático a tratar como tradicionalmente se

hace en las aulas. En vez de eso se llevarán a cabo actividades como son: comparar,

calcular, aproximar, inferir, analizar en situaciones de variación, en donde se pretende que

los estudiantes hagan uso de herramientas matemáticas, así como las vayan construyendo

para la resolución y explicación de las situaciones que se les van a ir planteando.

El uso de las gráficas en las situaciones planteadas es un elemento importante ya que

permitirá una forma de argumentación propicia para la construcción de la tangente

variacional, como es reportado en Suárez (2008, citado en Buendía y Ordoñez, 2009) quien

“propone el uso de las gráficas para resignificar especialmente las situaciones que tengan

que ver con la variación y el cambio” (p. 16).

Las gráficas fueron un medio que permitieron la construcción de conocimiento matemático

por un grupo humano y nos permiten recuperar andamios que posibilitan la construcción de

conocimiento matemático en el aula, como es reportado por Farfán (1983, citado en

Cantoral, 2001):

Pudiera pensarse, razonablemente, que al recuperar los significados de un

concepto y su génesis histórica es suficiente para emprender el trabajo de la

reconstrucción del contenido matemático a enseñar. Empero, existen elementos

135

que permiten, e históricamente hicieron posible la construcción de un concepto,

todos estos andamios de los que se vale el sujeto en su acción (usos, actividad

humana) sobre el objeto para acceder al concepto, andamiajes con vida efímera

que circunstancialmente son las herramientas con las que se captan los primeros

elementos del concepto…

(p. XXV)

Se utilizarán entonces a las gráficas no como una representación de una función o una

curva sino como un medio que permita argumentar y desarrollar razonamiento.

Desde la perspectiva socioepistemológica asumimos que una práctica posee como

característica que es una acción o conjunto de acciones que enlaza ideas previas

(experiencias pasadas o cumulo de ideas) con la construcción de una o más ideas

(conocimientos). Estas acciones deben de estar organizadas con la intencionalidad

específica de resolver un problema. Desde un punto de vista didáctico esta forma de

caracterizar a la práctica nos sirve ya que nos permite diseñar secuencias didácticas en

donde se lleve a cabo el ejercicio de la práctica a la cual hemos llamado tangente

variacional; en ella, los saberes son funcionales es decir adquieren uso y significación. Los

problemas que se resuelven tienen significados que le son propios a una determinada

herramienta matemática que se pretende que el estudiante ponga en juego y al resolverla

robustecerá el conjunto de ideas que se tenía sobre cierta noción matemática, lo cual a su

vez se puede volver a convertir en una nueva herramienta matemática con la cual se pueden

resolver nuevos problemas.

Reconocemos en la práctica las siguientes características:

9 Intencionalidad:

No se llevan actividades al azar, tampoco se trata de actividades propias de la

naturaleza humana y que podríamos llamar involuntarias como: comer, dormir,

caerse como lo enuncia Buendía (2004). Se trata de actividades organizadas con una

intención especifica y que tienen sentido en el contexto organizacional en que se

136

están llevando a cabo, por lo tanto hay significados explícitos e implícitos que se

están poniendo en juego.

9 Experiencias pasadas y/o usos del conocimiento:

Las sociedades y/o comunidades poseen un background, no empiezan su quehacer

de la nada, esa es una de las características de vivir en sociedad. Por otro lado la

gente también tienen un cúmulo de experiencias asimiladas de sus actividades

pasadas, existen tareas que han llevado a cabo con éxito en donde han empleado

herramientas y aprendido a sistematizar métodos. Estos usos del conocimiento se

pueden utilizar en la solución de nuevos problemas.

9 Acción

Es en el hacer, en la actividad humana, en donde el hombre valiéndose de

herramientas resuelve sus problemas. Es un hacer en donde se va a establecer un

enlace entre los conocimientos previos de las personas producto de los usos del

conocimiento con la construcción de nuevas ideas o conocimiento que permite

resolver el problema en cuestión.

9 Significado

Las actividades llevadas a cabo no es cualquier actividad, la intencionalidad del

grupo social que está ejerciendo las prácticas le imprime significado a los usos de

las herramientas matemáticas. Estos significados son característicos de cada

contexto y por lo tanto tienen un carácter dinámico ya que dependiendo del

escenario en donde se manifiesten van a poseer diferentes significados. Es por eso

que Espinoza-Ramírez (2009) le ha llamado significación. Los significados no

tienen que ver necesariamente con verdades absolutas y terminadas sino más bien

con el conocimiento en uso en una comunidad. Los significados que le son propios a

una noción, concepto o definición, pueden no estar presentes en el escenario escolar

debido al proceso de transposición didáctica o a las modificaciones que sufre el

discurso escolar en el transcurso del tiempo.

137

La práctica de la tangente variacional requiere poner en juego acciones, como son: Inferir,

calcular, comparar, aproximar y concluir; así como caracterizar varios elementos, como

son:

9 El infinitesimal.

9 El punto como un segmento infinitesimal.

9 Que la curva se comporta como un segmento en una región infinitesimal.

9 Concebir a la curva como el ensamblaje de un conjunto de segmentos

infinitesimales.

9 Que un segmento infinitesimal (como parte de una curva) se puede

prolongar en ambos sentidos formándose así la recta tangente.

9 La recta tangente tiene una posición en un punto y esta va cambiando en

cada instante.

9 El comportamiento de la curva (su razón de cambio) es el mismo que el de la

recta tangente en ese punto.

9 La curva puede ser la representación gráfica de una función entre dos

variables de tal forma que se puede conocer la razón de cambio instantánea a

partir de la pendiente de la recta tangente.

9 Caracterizar a un punto de la curva como una razón de cambio instantánea.

9 La recta tangente variacional como una herramienta que permita conocer y

caracterizar a la curva, así como puntos importantes de ella como son los

máximos y mínimos de una función, así como para observar el cambio de

signos de la pendiente antes y después de los puntos críticos de una función.

9 Como una herramienta que permita construir gráficamente la función

derivada a partir de sólo la gráfica de una función polinomial.

9 Los elementos anteriores son retomados de un escenario histórico en donde

se hicieron consideraciones de índole socioepistemológica y se puede

observar como cada noción se va resignificando en el sentido de que

comienza siendo una idea que poco a poco va robusteciéndose sin perder las

nociones iniciales. Se utilizan herramientas matemáticas que permiten

resolver problemas o dar explicaciones a las situaciones planteadas para

construir conocimiento el cual posteriormente se convertirá en herramienta

138

para resolver otras problemáticas. Se pretende de esta forma que el

estudiante se haga usuario de las herramientas matemáticas y que a partir de

esta interacción se vaya apropiando de los significados existentes a la recta

tangente variacional las cuales se encuentran ausentes en el currículo

escolar. Esta forma de construir la recta tangente variacional asumimos es

una forma de introducir a la noción de derivada desde un punto de vista

gráfico.

4.5 Usos de conocimiento

La Práctica de referencia tiene un carácter dinámico se va transformando conforme va

pasando el tiempo, tiene una historicidad ya que los grupos humanos organizados que

utilizan herramientas matemáticas se vuelven cada vez más expertos en el uso de las

mismas. Al hacer un análisis histórico de textos originales evidentemente no podemos

observar su actividad, sin embargo sí se puede hacer un análisis de los usos, es decir

podemos ver un momento de la historia en donde las actividades que llevaron a cabo

quedan registradas. Por ejemplo inferimos que las actividades de medir, comparar, calcular,

etc. se llevan a cabo haciendo uso de herramientas matemáticas para resolver un problema,

quedan “retratadas” en un momento del proceso histórico en los textos originales

analizados. Reconocer lo anterior nos proporciona elementos para evidenciar su existencia

a partir de un análisis de los usos del conocimiento.

De acuerdo a García, E. (2008) la noción de uso de conocimiento se caracteriza por la

cuarteta: Conocimiento Matemático (que para nuestro caso toma el carácter de

herramienta), Situación, Forma y Funcionamiento. También dice: “para hablar de uso se

debe hacer referencia a un conocimiento matemático (CM) en una situación específica (S).

El uso en esa situación específica se evidencia a través de la forma del conocimiento (Fo) y

el funcionamiento del conocimiento (F)” (p. 16).

En nuestro caso consideraremos una caracterización más, las actividades propuestas por

Montiel (2005, 2011) como por ejemplo: medir, comparar, aproximar, modelar, calcular y

comprobar (reguladas dependiendo del momento histórico por diferentes Prácticas

139

Sociales) se van a llevar a cabo con el uso de herramientas matemáticas, evidenciándose de

esta forma un elemento social propio de la actividad plenamente humana y social en

estrecho vínculo con el uso de las herramientas matemáticas en un momento histórico

donde hay un conocimiento situado producto del escenario sociocultural analizado. La

revisión de textos originales nos permitirá detectar estos “retratos” de la historicidad de las

práctica de la tangente variacional los cuales servirán de base para le elaboración de la

situación didáctica.

La situación didáctica a la que nos referimos anteriormente es el diseño llevado a cabo por

el investigador en donde se manifiesta el marco teórico propuesto, ahí se pueden encontrar

teoremas, lemas, principios matemáticos, etc. Se manifiestan también ahí los objetos

requeridos ya sea materiales o mentales y es donde se pretende mostrar cómo es que los

alumnos construyen conocimiento a partir de la implementación de la situación (García, E.

2008).

Con respecto a el debate entre en el funcionamiento y la forma se caracteriza a la forma

como aquello que se refiere a la clase de tarea propuesta, la cual puede ser por ejemplo de

tipo gráfica, algebraica o numérica, sin embargo dentro de las formas gráficas (o alguna de

las otras dos) se puede ser todavía más específico. Con respecto a el funcionamiento se

refiere a el tipo de argumentos en donde se encuentran asociados ciertos significados por

parte de los estudiantes y que son un medio y un propósito en el uso de las gráficas ante las

situaciones planteadas (Suárez, Cordero y Díaz, 2008). Por ejemplo en la investigación

llevada a cabo por García, E. (2008) se planteó una situación, que fue la siguiente:

Dada la gráfica de la función f, determinar:

Fig. 4.4

140

1. ¿Dónde f(x) < 0?

2. ¿Dónde f’(x) < 0?

3. ¿Dónde f’’(x) < 0?

4. ¿Dónde f’’’(x) < 0?

En donde la forma es: Gráfica de una función arbitraria que corta en cinco puntos al eje de

las X’s.

Para esta forma se encontraron cuatro tipos de funcionamientos manifestados por los

estudiantes, los cuales son:

1) Fijarse en la posición de la curva con respecto al eje X para determinar los

intervalos.

2) Establecer las relaciones que existen entre una función y sus derivadas para

determinar los intervalos solicitados, algunos invf (investigadores en formación)

solo exhiben dichos intervalos, otros presentan un bosquejo del comportamiento

general de las gráficas de las funciones derivadas (Eq1, Eq3, Eq4 y Eq5).

3) Relacionar la pendiente de la recta tangente con la derivada, es decir, la pendiente

negativa de la recta tangente se asocia con una derivada negativa, una pendiente

decreciente se asocia con una segunda derivada negativa (Eq2).

4) Considerando la derivada como la razón de cambio, la gráfica de la función permite

observar los cambios que se dan entre dos puntos de la gráfica para obtener la razón

de cambio e identificar el signo de la derivada (Eq5).

141

La forma en cómo el sujeto se relaciona con el conocimiento a través de las actividades

llevadas a cabo por medio de los usos del conocimiento es un mecanismo que permite la

apropiación del conocimiento. Usar una herramienta matemática es poder utilizar a la

misma para operar con y resolver, ampliar, mirar o discernir la realidad de una forma

distinta a como se hacía regularmente, es decir pasar de un tipo de conocimiento a otro. Al

hacer esto efectivamente entonces se puede decir que se ha apropiado de los saberes, las

herramientas son utilizadas en las prácticas que son normadas por la PS. El uso de la

herramienta le permite a las personas reconocer sus características y por lo tanto el

momento en que es necesario utilizarla para resolver problemas, para percibir la realidad de

una forma diferente, ya no se usa las herramientas de manera mecánica, estas se han

convertido en lo que permite la reflexión, discernimiento y uso de razón que las personas

llevan a cabo cuando se han apropiado de la realidad.

4.5.1 Desarrollo de usos del conocimiento

Dependiendo de la forma a utilizar y el funcionamiento de la misma los individuos que

hacen uso de la misma generan un debate entre estos dos elementos con lo cual se generan

nuevos funcionamientos y nuevas formas (Suárez et al., 2008; García, E. 2008). De acuerdo

al diccionario de la Real Academia Española un debate es una discusión. La intervención

didáctica que proponemos a través de las situaciones planteadas tiene la intención de

general tal discusión la cual se puede establecer a partir de razonamientos generados a

partir del uso de la gráfica de manera individual o colectiva.

Cuando a partir del debate entre el funcionamiento y la forma se generan nuevos

conocimientos se puede considerar que hay una resignificación del conocimiento, puesto

que se propician nuevos significados los cuales para nuestro caso no pierden la esencia de

los conocimientos iniciales; esta forma de concebir a la resignificación es acorde a la

reportada por (García, E. 2008; Montiel, 2010) en donde se menciona a la misma como

construcción en la organización del grupo humano y tal como se ha mencionado

anteriormente estas construcciones tiene historicidad puesto que se van transmitiendo de

generación en generación en los grupos humanos. Por otro lado tampoco se contrapone con

142

la visión de la misma por parte de Montiel (2010) en donde añade a la caracterización

anterior, que es la confrontación de significados previos e insuficientes, ante nuevas

situaciones problemas, más bien se complementa ya que ante nuevas situaciones problema

una vez iniciándose una forma de ver, es decir al adquirir nuevos significados, sobre esa

base se puede seguir construyendo para enriquecer lo ya construido y lograrse con esto una

resignificación.

El hecho de que la resignificación es una muestra de nuevos funcionamientos y formas es

decir un desarrollo del uso, también da evidencia de elementos de construcción de

significados, ya que de acuerdo a lo reportado por García, E. (2008) “el desarrollo del uso

es un mecanismo de construcción de conocimiento del individuo en una sociedad” (p. 17).

4.6 La funcionalidad

Uno de los modelos empleados en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas es aquel en

donde se considera a los objetos matemáticos como la principal forma de enseñanza-

aprendizaje, esto tiene detrás de si varias implicaciones. Algunas de ellas se han comentado

en el capítulo I de esta tesis, sin embargo, hablaremos de algunos aspectos generales con el

fin de ir sustentando nuestro marco teórico.

Cuando son los objetos matemáticos la principal fuente a partir de la cual se diseñan las

estrategias de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, los alumnos no tienen la

oportunidad de construir conocimiento, ya que está dado de antemano y entonces el

profesor se tiene que convertir en un “buen” transmisor de conocimiento. Además los

objetos matemáticos tienen importancia por sí mismos, es decir sin tener un vínculo o

filiación con otros aspectos de la vida, como puede ser fenómenos físicos, de las ciencias

naturales, económicos, de las ciencias de la salud sociales u otros más.

Esta forma de enseñanza aprendizaje de las matemáticas corresponde a una forma utilitaria

de ver el conocimiento matemático, esto es en el sentido de Cordero (2007), y que se refiere

a actividades de servicio y no a actividades de pensamiento y cultura. Algunas formas

utilitarias podrían ser como por ejemplo aplicar una fórmula sin reflexionar sobre ella y el

significado que tiene cada uno de sus elementos o en qué contextos se puede utilizar; otra

forma utilitaria podría ser emplear a las matemáticas sólo para las necesidades más básicas

143

como ir de compras saber cuánto pagar y recibir de cambio o tal vez hacer algunas

mediciones muy elementales. Con esta forma de usar las matemáticas las personas

difícilmente pueden convertirse en personas críticas que utilicen las matemáticas para

cuestionar, reflexionar, inferir y/o emitir juicios o hacerse más preguntas cuyas respuestas

los lleven a poder sacar conclusiones acerca de su realidad, como es el caso de los

fenómenos físicos, químico, biológicos, económicos existentes en la vida, así como

también el poder analizar información de nuestro entorno sociocultural recibida a través de

los medios de comunicación masiva. Utilizar las matemáticas en este otro sentido le puede

permitir a las personas transformar su vida ya que contarán con una herramienta que les

servirá para verla desde un punto de vista crítico, consideramos que cuando una persona

puede emitir juicios de opinión sobre su realidad, entonces también la puede ver y actuar de

forma diferente y ¿por qué no? transformarla, es decir las matemáticas pueden ser

funcionales.

Se requiere por lo tanto, contar con nuevos paradigmas en los sistemas escolares y en la

sociedad en general que permitan ver y trabajar a las matemáticas como una herramienta

fundamental, sin olvidar el hecho de que “la matemática escolar está al servicio de otros

dominios científicos y de otras prácticas de referencia, en donde a su vez adquiere sentido y

significación” (Cantoral y Farfán, 2003, p. 36). La Socioepistemología es una teoría

ubicada al seno de la matemática educativa por medio de la cual se puede intervenir

benéficamente en los sistemas escolares ya que se plantea que una de las consecuencias de

su aplicación es el que las personas puedan aprehender las matemáticas y que se conviertan

estas en funcionales (Cordero, 2007).

Al ser la práctica social una normativa va a ir orientando a las actividades de los grupos

humanos a través de las prácticas las cuales tienen la intencionalidad específica de resolver

problemas y/o necesidades de (de origen reflexivo o pragmático). En una comunidad los

conocimientos que se van construyendo a partir de estos procesos y mecanismos sociales

tienen la característica de ser funcionales ya que en realidad han resuelto las problemáticas,

las cuales no necesariamente son exclusivamente matemáticas puesto que son problemas de

diversas índole en donde la actividad humana auxiliándose de la herramientas matemáticas

ha obtenido respuestas exitosas.

144

4.7 A manera de Conclusión

En el presenta capítulo describimos los elementos teóricos que utilizaremos en el diseño y

explicación de los resultados que obtendremos a partir de la puesta en escena de cinco

situaciones planteadas en donde pretendemos dar evidencia resultados de corte

socioepistemológico a partir del análisis de nuestros datos.

Se detectó una práctica en un escenario histórica y socioculturalmente situado que le

llamamos la práctica de la tangente variacional, se pudieron inferir las actividades

(organizadas intencionalmente a través de la práctica) llevadas a cabo por una comunidad

de científicos (usando herramientas matemáticas) al hacer un análisis de los usos del

conocimiento. Las actividades detectadas fueron normadas a partir de la práctica social de

la predicción, la cual de acuerdo a Alatorre, López y Carrillo (2006, citado en López y

Sosa, 2011) “concitó la generación de conocimiento matemático y científico en Cálculo y

Análisis” (p. 838).

Los elementos que nos permitieron reconocer la resignificación del conocimiento son:

La práctica de referencia con su característica de historicidad ya que sus actividades

normadas por la PS son un producto material continuo a través de generaciones a lo cual lo

vamos a caracterizar como una línea temporal producto de la PS.

La práctica de referencia también es caracterizada por ser transversal ya que asocia

elementos de la actividad humana (diferentes áreas de conocimiento académicas o de la

vida cotidiana) con las herramientas matemáticas, a lo cual lo vamos a caracterizar en el

siguiente esquema con una línea horizontal en el tiempo en el sentido en que se usara una

misma herramienta matemática durante un momento histórico cultural y socialmente

situado.

La herramienta matemática, que tiene las dos características anteriores, historicidad y ser

transversal es el elemento teórico que nos permitió por un lado articular el modelo

propuesto por Montiel (2005, 2011) en donde se menciona a la actividad, práctica de

referencia y práctica social con los usos del conocimiento (Cordero y Flores, 2007; Suarez

et al., 2008; García, E. 2008). Las actividades mencionadas por Montiel como son: medir,

145

comparar, aproximar, modelar, calcular y comprobar, se pueden inferir a partir del análisis

de los usos del conocimiento ya que no tendrían ningún sentido (en cuanto la construcción

social de conocimiento matemático) sino fueran llevadas a cabo mediante el uso de

herramientas matemáticas. Por otro lado y desde un punto de vista didáctico podríamos

decir que se ha construido conocimiento matemático cuando este sea puesto en uso a partir

de herramientas matemáticas para llevar a cabo actividades con la intención de resolver un

problema, si esto es logrado. Será evidencia de que los estudiantes se han apropiado del

conocimiento.

Lo anterior lo esquematizamos de la siguiente manera:

Fig. 4.5

Resignificación: Línea horizontal en el tiempo, con su característica de ser transversal, orientado por la práctica social de la predicción.

Resignificación: Línea vertical en el tiempo, orden cronológico de sucesos, orientados por la práctica social de la predicción (historicidad)


Actividades: Llevadas a cabo mediante el uso de herramientas matemáticas

146

De tal forma que para llevar a cabo la construcción de conocimiento matemático se

diseñarán cinco situaciones didácticas en donde se llevará a cabo el ejercicio de la práctica:

la tangente variacional en donde para su diseño se toma en cuenta la línea vertical la cual

es orientada por la práctica social de la predicción y por lo tanto se retomará de Serna

(2007) aquellos momentos en donde se ven las primeras ideas donde nace la práctica de la

tangente variacional, y considerando la historicidad se ubicarán momentos posteriores en

donde se detecta que se van “alimentando” las ideas iniciales incorporándoles cada más

elementos, propios de su naturaleza, y así posteriormente hasta construir una herramienta

matemática que es la tangente variacional. Como dijimos anteriormente una forma de

observar su apropiación es cuando es usada como herramienta y en nuestro caso se propone

que sea usada para construir gráficamente la función derivada de una expresión polinomial

de tercer grado. Todo lo anterior también da cuenta de la resignificación del conocimiento

en una línea temporal.

La componente horizontal también es tomada en cuenta al considerar que la herramienta

matemática tiene un significado de acuerdo al contexto sociocultural en donde se encuentra

situado el conocimiento en donde se encuentran presentes elementos de tipo variacional

propios de la época en que fue analizada la construcción de la tangente variacional.

.

147

Capítulo V

El Método

5.1 Introducción

En el presente capítulo mostraremos la forma en como hemos cristalizado el marco teórico

en el diseño de cinco secuencias didácticas, así como la dinámica de trabajo que se propuso

para su ejecución. Se tomó como base el modelo de construcción social del conocimiento

matemático enunciado en nuestro marco teórico.

Para la creación de nuestras secuencias didácticas se realizó un análisis del conocimiento

puesto en uso de actividades que se llevaron a cabo en un escenario histórico y

socioculturalmente situado, para tal efecto se retomaron los resultados de corte

socioepistemológico llevado a cabo en (Serna, 2007). La historicidad de la práctica de la

tangente variacional nos permitió reconocer diferentes momentos de la misma desde las

ideas iniciales hasta aquellas que consolidaron un método general, tomando en cuenta la

resignificación como aquella apropiación progresiva del saber (Reyes, 2011; Soto, 2012).

El orden de las secuencias no obedece al de un programa de Cálculo Diferencial tradicional

sino aquellos momentos reconocidos en la práctica de la tangente variacional, en donde de

acuerdo a nuestros análisis se puede reconocer un desarrollo de los usos del conocimiento.

La intención con los diseños es llevar a cabo el ejercicio de la práctica de la tangente

variacional de tal forma que mediante esto se logre construir la noción de recta tangente

desde un punto de variacional, tal y como es requerida en Cálculo Diferencial, lo cual

también es una propuesta de rediseño del dME. Proponemos que a partir del desarrollo de

las secuencias, los alumnos construyan a la noción de recta tangente como una herramienta

que sirva en la introducción de la derivada desde un punto de vista gráfico.

148

Finalmente pretendemos evidenciar como el uso de las herramientas matemáticas que le ha

permitido al hombre resolver problemas propios de un contexto histórico y

socioculturalmente situado es una matemática funcional la cual puede ser llevada a el aula

con la intención de que los estudiantes se apropien de la noción recta tangente desde un

punto de vista variacional, una forma de evidenciarlo es cuando la puedan usar como

herramienta.

5.2 La Historia

Partimos de reconocer un fenómeno que se refiere a la representación geométrica de la

derivada como la posición límite de una familia de rectas secantes que giran alrededor de

un punto y que devienen en la recta tangente a una curva, lo cual se ha reportado como una

fuente de dificultades para los estudiantes (Cantoral, 2000; Dolores, 2007, Serna, 2007,

2008, 2009, 2010, 2011, 2012). Al hacer esta consideración se toma en cuenta a la recta

tangente como objeto de estudio en sí misma, esta forma de enseñanza-aprendizaje no

considera que la construcción de la recta tangente puede servir como herramienta en la

construcción de otras nociones del Cálculo Diferencial como por ejemplo: La primera

derivada, los máximos y mínimos, la segunda derivada. El uso de la historia nos ha

permitido problematizar sobre la noción recta tangente desde un punto de vista variacional;

para la creación de las secuencias didácticas se han seleccionado diferentes momentos,

aquellos en donde los saberes han resultado funcionales.

Hemos considerado la revisión y análisis de textos originales llevada a cabo en (Serna,

2007) en donde se muestra la práctica de la tangente variacional que llevaron a cabo una

comunidad de matemáticos ubicados en Europa en los siglos XVI, XVII y XVIII. En la

revisión indicada se mostró diferentes métodos para calcular la recta tangente a una curva,

sin embargo no fue hasta el siglo XVII con Newton y Leibniz que se generalizo un método

de resolución del problema, una de las herramientas matemáticas fundamentales utilizadas

fue el uso de los infinitesimales.

Los infinitesimales son producto de una época y un contexto sociocultural, y respondieron a

problemáticas relacionadas con el cambio y variación relativos a fenómenos físicos donde

era importante predecir un estado futuro dado que se conocía un estado actual. De acuerdo

149

a la Socioepistemología la predicción es una práctica social, la cual norma la construcción

de conocimiento y se pudo inferir que existió durante varios siglos y se vio manifestada en

aquellos fenómenos físicos en donde se encuentran presentes elementos de cambio y

variación (Buendía, 2004, 2011; Cantoral, 2000; Castañeda, 2004, Montiel 2005, 2011;

Serna, 2007).

La Socioepistemología reconoce a la práctica social como aquello que norma la

construcción del conocimiento en la sociedad, esta se presenta a través de generaciones por

medio de los usos del conocimiento, en Cordero (2006, p.80 citado en García, E. 2008) se

reporta: “Hipotéticamente el uso de conocimiento pudiera adquirir la categoría de un

producto material continuo, puesto que permanece en la vida que es transformada y a la vez

el producto es transformado”. De tal forma que el conocimiento no es algo que nace y

desaparece espontáneamente ya que si su construcción es normada por la práctica social y

esta tiene la característica de historicidad comentada en el marco teórico, esto hizo que

recurriéramos a las primeras ideas (les vamos a llamar ideas germinales) sobre la

construcción de la recta tangente a una curva. De acuerdo a lo reportado en (Serna, 2007)

los infinitesimales fueron las herramientas que permitieron la construcción de la tangente

pero además con su uso se consolido un método de solución general, todo eso se manifestó

en la historia de una práctica. Hemos recurrido a momentos en donde se mostraron ideas

cercanas a la de los infinitesimales y que permiten construir una primera idea sobre la cual

se partió como base para ir resignificando el conocimiento.

El recurrir a la historia se hizo, reconociendo que hay ideas iniciales (con respecto a la

construcción del conocimiento), posteriormente su desarrollo implica que estas se van

enriqueciendo sobre la base de las mismas. Por lo tanto identificamos con Copérnico las

primeras ideas, es decir se detectó que en base a las actividades de calcular y comparar

haciendo uso de la herramienta matemática (en una siguiente sección de este mismo

capítulo se muestra las herramientas utilizadas en cada una de las secuencias) se construyó

un significado lo cual consiste en identificar que una curva se comporta como una recta

siempre y cuando se tengan dos puntos muy cercanos de la misma.

150

En Newton, quien trata el tema de la recta tangente a una curva se detectó una ampliación

de lo tratado en Copérnico, ya que tomando como base lo anterior, ahora se agrega que en

una región infinitesimal en donde dos puntos de una curva se comportan como una recta,

pero además la recta tiene una inclinación; en base a las actividades de comparar e inferir se

llega a la conclusión de que la pequeña recta encontrada es la hipotenusa de dos triángulos

infinitamente pequeños que son semejantes, también al extenderse en ambos sentidos esta

pequeña hipotenusa se convierte en la recta tangente a un punto de la curva.

Posteriormente con L´Hospital hace uso de los infinitesimales para dar sus explicaciones de

que son estos y cómo se hace uso de ellos en la práctica de la tangente variacional. Él usa

los elementos anteriormente expuestos, sin embargo, ahora se hace explícito que un punto

es un segmento infinitesimal y que este tiene una inclinación, ya que menciona en su obra

que una curva se puede considerar como una poligonal compuesta por infinitos segmentos

infinitesimales, menciona también que la tangente se forma al extender en ambos sentidos

un segmento infinitesimal, en base a esto se puede intuir que la recta tangente está

cambiando en cada momento. En nuestra secuencia se hace uso de la herramienta

matemática para calcular la pendiente pero en base a las idea usadas por L´Hospital se

llevaron a cabo actividades como calcular, evocar, comparar, aproximar e inferir.

Finalmente la última secuencia en donde se hace uso de la historia es con Euler en donde de

acuerdo a Serna (2007), se detecta que comienza a haber un abandono (aunque no total) en

las explicaciones en donde se hace uso de la geometría y representaciones gráficas; Euler

hace un reconocimiento explícito de la recta tangente a una curva como algo dinámico,

cambiante. La forma en cómo lleva a cabo la práctica de la tangente variacional es

analizando los cambios por medio de desarrollos algebraicos con un método parecido a lo

que actualmente en la escuela se le llama método de los cuatro pasos, se detectaron las

siguientes actividades: comparar, calcular, modelar y comprobar.

Como se puede observar no se recurre a la historia arbitrariamente se detectó la práctica de

la tangente variacional, se identificó a los infinitesimales como una de las herramientas que

permitieron encontrar un método general de solución del problema y que resuelven el

problema por medio de elementos de cambio y variación, posteriormente el reconocimiento

de la historicidad de la práctica social nos hizo acudir y seleccionar diferentes momentos

151

históricos, primero aquel en donde se encontraron ideas iniciales para posteriormente

seleccionar algunos matemáticos que como sujetos sociales miembros de una comunidad

continuaron con la práctica de la tangente variacional, pero sólo aquellos que la trataron

utilizando elementos de cambio y variación con el uso de herramientas como son los

infinitesimales, la selección de los momentos históricos se llevo a cabo de acuerdo a los

análisis realizados en (Serna, 2007), para tal efecto se considera que en la resignificación

también da cuenta de la historicidad ya que en la construcción de conocimiento se

conservaban ideas anteriores utilizadas en la práctica pero enriquecidas con más elementos

que permiten consolidar métodos cada vez más generales.

5.2.1 Las herramientas

La forma en cómo se tomo en cuenta el uso de herramientas en nuestras secuencias

didácticas fue considerando que las herramientas matemáticas empleadas se van a ir

haciendo más sofisticadas con el paso del tiempo en los grupos humanos y esto nos sirve

cuando es llevado al aula ya que se puede partir de ideas conocidas por los alumnos y al

interaccionar con las mismas en un contexto donde haya elementos de cambio y variación,

y en base a las actividades propuestas se pueda construir significados comenzando por

aquellos más elementales de acuerdo a lo que nos ha mostrado la historia, hasta poder

construir a la recta tangente desde un punto de vista variacional.

Las herramientas detectadas y utilizadas en las secuencias permitían que los conocimientos

previos de los alumnos fueran utilizados ya que se requería conocimientos de aritmética y

geometría, para posteriormente hacer uso de la pendiente pero considerándola como una

razón de cambio, para posteriormente hacer uso de elementos básicos de álgebra.

El tomar a la práctica de la tangente variacional como un objeto de estudio permite

problematizar sobre la noción de recta tangente desde un punto de vista variacional,

reconociendo elementos que nos ha mostrado la historia forman parte de su esencia, de su

naturaleza, para posteriormente convertirse a sí misma en una herramienta matemática que

pueda servir como una introducción a otras nociones matemáticas como son la primera y

segunda derivada, los máximos y mínimos, en nuestro caso servirá de herramienta para la

introducción de la primera derivada desde un punto de vista gráfico.

152

5.3 El modelo a utilizar para la construcción de conocimiento

Reconocer a la práctica de la tangente variacional cuyas actividades son normadas por la

práctica social de la predicción ha permitido tener presente a la manera de variar como un

elemento producto de la actividad humana en un contexto histórico y socioculturalmente

situado pero que forma parte de la naturaleza misma del conocimiento y que le dio un

significado a los conocimientos que se estaban construyendo, mismo que hemos tratado de

imprimirle intencionalmente a nuestras secuencias didácticas. Por ejemplo en la Secuencia

Didáctica 1:

En su teorema sexto escribe “La razón (división o cociente) entre dos arcos es mayor que la

razón entre la mayor y la menor de las rectas subtendidas [cuerdas].” (Copérnico, 1543, pp.

48-49), y se presenta la siguiente figura:

Fig. 5.1

Para lo cual se dice lo siguiente:

“Sean en un círculo dos arcos desiguales unidos, 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y sea el mayor 𝐴𝐵� . Afirmo que

la razón de 𝐴𝐵� a 𝐴𝐶� es mayor que la de las subtensas AB a AC” (Copérnico, 1543, pp. 48-

49).

Expresado matemáticamente quedaría:

𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵��

𝐴𝐶��

Lo que hace Copérnico es ir acercando los puntos B y C al punto A y mostró como la

desigualdad deja de existir para convertirse en una igualdad, es decir los arcos AB y AC

A

C B

153

dejan de comportarse como tales para hacerlo como segmentos, lo cual expresado en

palabras de Copérnico “Luego, como vemos hemos llegado a un punto, en el que la

diferencia entre recta y la curva que la envuelve escapa a los sentidos, como convertidos

en una sola línea” (Copérnico, 1543, pp. 49 – 50).

En nuestra secuencia se pedirá a los estudiantes que deduzcan una fórmula para encontrar la

subtensa que une dos puntos de una circunferencia, a partir de la fórmula encontrada se

vayan acercando cada vez más y más los puntos B y C al punto A. Esto se pidió fuera

reportado en una tabla para que los estudiantes puedan comparar que estaba pasando, de tal

forma que nuestra intención es que los estudiantes puedan percibir que iba a llegar un

momento en que la desigualdad se iba a convertir en igualdad. Entonces con base a la

actividad propuesta y la figura mostrada hacíamos preguntas a los estudiantes como:

¿Qué puedes concluir que ocurre con el resultado del cociente 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararlo con el

resultado del cociente 𝐴𝐵��𝐴𝐶�� conforme los puntos B y se encuentran muy cercanos entre sí y

además muy próximos a el punto A?

¿Cómo serán los arcos de una curva de puntos que se encuentran muy cercanos entre sí con

respecto a las subtensas formadas por los mismos puntos?

¿Qué ocurre con respecto al teorema sexto de Copérnico?

¿Qué podemos concluir?

¿Cómo se comporta una curva conforme dos puntos de ella se encuentran muy cercanos?

¿Habrá alguna relación entre la curva y una recta en una vecindad muy cercana

(infinitesimal)?

Nuestra intención era que los estudiantes pudieran a partir de hacer comparaciones que

surgían en base a los cambios de posición de los puntos B y C con respecto al punto A

construir un significado, el cual era que conforme dos puntos de una curva se encuentran

muy cercanos entre sí, la misma se comportan como una línea recta en esa región tan

cercana entre los puntos.

154

5.4 Usos del conocimiento

Se han determinado los usos del conocimiento recurriendo a los textos originales y teniendo

presente que observar a la manera de variar como producto de la actividad humana en

interacción con herramientas matemáticas producen significados. Todo esto se puede inferir

en el texto mismo el cual fue escrito por un matemático que siendo un sujeto social

manifiesta o difunde a la sociedad sus descubrimientos a partir de las herramientas usadas

lo cual permiten construir nuevos significados.

La idea de usos de conocimiento matemático está caracterizada por la cuarteta:

conocimiento matemático, funcionamiento, forma y la situación en donde se ve

manifestado el marco teórico utilizado (García, E., 2008). Lo anterior no se contrapone con

la noción de uso en el sentido propuesto por Cabañas (2011) quien la caracteriza como “las

formas en que es empleada o adoptada determinada noción en un contexto especifico” (p.

75).

En nuestro caso el conocimiento matemático puede tomar la forma de herramienta, lo cual

significa que no necesariamente tiene que ser un objeto matemático en el sentido de un

reconocimiento formal validado y difundido por una comunidad científica de matemáticos,

pero sí sirvió para auxiliar al hombre en la resolución de sus problemas. Por otro lado se

pueden usar ideas como la expuesta por L´Hospital de que una curva puede ser considerada

como el ensamblaje de una infinidad de líneas rectas, cada una de estas infinitamente

pequeñas con herramientas matemáticas utilizadas hoy en día como es el caso de la

fórmula de la pendiente. Nuestro planteamiento es que la herramienta matemática

detectada o plantear una situación usando ideas de cambio y variación en un ambiente

geométrico con herramientas matemáticas actuales es una forma de implementar los usos

de conocimiento de antaño con una utilidad didáctica.

Los usos que se les dio a las gráficas para dar explicaciones y que permitieron resolver

problemas es otro de los elementos que vamos a utilizar en la creación de nuestras

secuencias didácticas.

155

5.5 Creación de las secuencias

A continuación explicaremos el método general para la creación de las secuencias y

posteriormente particularizaremos con cada una de ellas.

Se tomaron en cuenta los siguientes elementos:

1) Se seleccionó un problema en donde se encontraba presente la práctica de la

tangente variacional, por lo que consecuentemente se encontraba presente en un

contexto de cambio y variación.

2) Se determinó cuáles eran las herramientas matemáticas utilizadas en la práctica.

3) A partir de la herramienta utilizada se tenía que reconocer cuáles eran los

conocimientos que se requerían para poder utilizarla.

4) Se determinaron cuáles eran las actividades que se encontraban presentes al resolver

el problema, las cuales tomaban en cuenta a la actividad humana como aquella que

es plenamente social, por lo tanto tener presente la manera de variar como algo

característico de la época.

5) Se llevó a cabo un análisis para determinar cuáles eran los significados que surgían

de las herramientas utilizadas para llevar a cabo las actividades reconociendo el

contexto de cambio y variación en que se encontraba inmerso el problema.

6) Una vez que se determinaron los significados existentes se trató de llevarlos a cabo

de manera intencional en la realización de las secuencias didácticas.

7) Se retomaron los problemas de los textos originales adaptando el lenguaje

matemático utilizado en esa época a un lenguaje usado en el sistema escolar vigente

en donde se llevó a cabo la investigación.

8) La secuencia planteaba resolver un problema muy similar al revisado en los textos

originales, pero ya adaptado, y se llevaron a cabo preguntas en donde se pedía

argumentar para contestarlas. Las respuestas a las preguntas se podían contestar

gracias a las actividades llevadas a cabo con el uso de herramientas y haciendo uso

de argumentos de cambio y variación.

9) Había diferentes tipos de preguntas que hemos clasificado en categorías, cada una

de ellas con una intencionalidad dentro de la secuencia.

156

10) Cada una de las secuencias (a excepción de la primera) utilizaba elementos

construidos de la anterior y con el uso de herramientas se podrían construir nuevos

conocimientos, siempre conservando como base las ideas y/o nociones

anteriormente construidas. En la primera secuencia se llevó a cabo reconociendo lo

que los estudiantes habían estudiado en sus semestres anteriores ya que se

necesitaba usar elementos de geometría y aritmética.

11) Al llevar a cabo los análisis de los textos originales se observó que mediante el uso

de las graficas se podía construir argumentos y razonar, y a partir de la forma

empleada en la secuencia y determinando el funcionamiento se podía generar un

desarrollo del uso del conocimiento, es decir a partir de los usos de las herramientas

se podía acceder a otro uso.

12) La construcción de las secuencias utiliza los elementos del marco teórico utilizado y

se trata de llevar a cabo de manera intencional el desarrollo de actividades mediante

la cuales los alumnos puedan construir los significados propios de la práctica de la

tangente variacional.

13) En el próximo capítulo se llevará a cabo el análisis de los datos obtenidos, para tal

efecto se expondrá que es lo que se espera construyan los estudiantes y se hará una

valoración de lo que realmente construyen. Para realizar el análisis se hará uso de

nuestro modelo de construcción social del conocimiento matemático propuesto.

5.5.1 Categorías de las preguntas realizadas en las secuencias.

Las categorías empleadas en nuestras preguntas son: evocación, comparación, inferencia,

concluyente, resignificación, uso de la recta tangente como herramienta. Aunque hay

preguntas que se podrían encontrar en dos o más categorías, las ubicamos en donde

consideramos es predominante su intención.

Evocación:

Secuencia 1

¿Cuál es la expresión matemática que nos permite calcular el valor de la subtensa (cuerda),

considerando que tenemos como dato el ángulo central en grados?

157

¿Cuál será la expresión seno en donde se relacionan los elementos planteados?

Secuencia 2

¿Son semejantes los triángulos ∆𝐴𝐵𝐷 y ∆𝐴𝐶𝐸?, argumenta tu respuesta:

Secuencia 4

Dada la expresión 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡 , determinar la grafica.

En la secuencia se hace el siguiente planteamiento:

Cuando 𝑃2 está infinitamente cercano a 𝑃1entonces la pequeña porción de la curva entre

estos puntos se comporta como la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal cuyos

vértices son: 𝑃1, 𝑃2 y 𝑞, obtendremos una figura como la que a continuación se muestra:

Fig. 5.2

La curva de la figura 3 representa una porción de la función 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡.

a) Se puede establecer la relación de proporción entre los lados homólogos.

Recuerda:

𝑷𝟏(𝒕𝟏, 𝒔(𝒕𝟏))

𝑷𝟐(𝒕𝟏 + ∆𝒕,𝒔(𝒕𝟏 + ∆𝒕))

∆𝒔 ∆𝒕 q

T P

158

Fig. 5.3

Proporcionalidad entre los lados homólogos:

𝑐𝑧 = 𝑎

𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐𝑡𝑒. Pero también se puede establecer la siguiente relación entre los catetos de

los triángulos rectángulos semejantes: 𝑏𝑎 = 𝑦

𝑥

Para posteriormente solicitar:

En el caso que estamos tratando establece la proporcionalidad entre los lados homólogos:

Y también se puede establecer la relación entre los catetos de los triángulos semejantes:

Determinar de manera parecida:

a) 𝑠(2) =

b) 𝑠(𝑎) =

c) 𝑠(𝑡1) =

d) 𝑠(𝑡1 + ∆𝑡) =

e) Estatura inicial 𝐸𝑖 = 155𝑐𝑚

f) Estatura final 𝐸𝑓 = 165𝑐𝑚

g) Cambio de Estatura ∆𝐸 = 𝐸𝑓 − 𝐸1 = 165𝑐𝑚− 155𝑐𝑚 = 10𝑐𝑚

h) Si pensamos que el joven sigue creciendo durante dos años más al mismo ritmo,

i) ¿Cuál es la razón de cambio de crecimiento del joven durante esos tres años?

a

b c

x

y z

159

Comparación

Secuencia 1

¿Qué ocurre con la relación 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararla con respecto a

𝐴𝐵��𝐴𝐶��?

Secuencia 2

Conforme los puntos B y C son cada vez más próximos al punto A también los segmentos

𝐷𝐵�� 𝑦 𝐸𝐶�� se hacen cada vez más y más pequeños, podemos ir viendo lo que va

ocurriendo al comparar la razón entre las áreas de los triángulos

Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷 con respecto a la razón entre los cuadrados de los lados 𝐴𝐸��2 𝑦 𝐴𝐷��2. ¿Qué

nos puedes decir al respecto?

Inferencia:

Secuencia 2

¿Se cumple el lema IX enunciado por Newton?

¿Qué conclusiones podrías dar de lo que va ocurriendo con las figuras (triángulos, líneas)

conforme los puntos B y C se aproximan más y más a el punto A?

¿Cómo es el valor de la velocidad para cada valor calculado en la tabla? Y que

explicaciones puedes dar al respecto:

Concluyente:

Secuencia 1:






160





(infinitesimal)?

Secuencia 2

¿Cómo serán los triángulos ACE y ABD conforme los puntos B y C están infinitamente

próximos al punto A?

¿Cómo será el comportamiento de la curva?

Resignificación:

Secuencia 2

¿Qué se podría hacer para que se cumpla el lema IX de Newton?

Para calcular la velocidad en el caso anterior nos podíamos valer de la pendiente y como se

trata de un movimiento con razón de cambio constante siempre valía lo mismo

independientemente de los puntos utilizados para ello, ¿se podrá hacer lo mismo en este

caso?, argumenta tu respuesta:

Caracterizar a la recta tangente

a) Inclinación

Secuencia 2

¿Cuál será su posición límite de esta línea Ac?

¿Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y

después del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del

desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta.

Secuencia 3

¿Qué va ocurriendo con las rectas tangentes?

161

¿Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y


desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta

¿Qué es lo que va ocurriendo con cada una de las rectas tangentes y sus pendientes a

la curva desde que inicia el movimiento hasta que termia?

b) Punto de contacto

Secuencia 2

¿Crees que haya alguna relación entre los pequeños arcos y la línea Ac?

¿Cuál será su posición límite de esta línea Ac?

Secuencia 3

Utilizando lo dicho por el L´Hospital: “Si se prolonga una de los pequeños lados

Mm de la poligonal que compone una línea curva, este pequeño lado así prolongado

será llamado la tangente de la curva en el punto M o m.” A partir de esto traza una

recta tangente en el punto 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.

La tangente trazada, ¿tiene la misma pendiente (razón de cambio) que la del

pequeño segmento infinitesimal en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔? Argumenta tu respuesta:

Secuencia 5

¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en 𝑥 = 3?

c) Razón de cambio

Secuencia 2

¿Cómo es la razón de cambio, en el caso anterior, constante o variable?

Secuencia 3

¿La razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón de cambio es positiva o

negativa? argumenta tus respuestas:

En el intervalo 𝑡𝑚 < 𝑡 < 𝑡𝑓 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón

de cambio es positiva o negativa?, argumenta tus respuestas:

¿Cómo es la razón de cambio en 𝑡 = 𝑡𝑚?..., argumenta tu respuesta:

162

Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y después

del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del




Secuencia 4

La expresión también nos puede ayudar a conocer la razón de cambio instantánea,

es decir saber cuánto se desplaza el cuerpo por cada segundo en un instante del

tiempo “t”. Para el caso que estamos tratando ¿la velocidad instantánea es siempre

la misma?, argumenta tu respuesta:

Secuencia 5


d) Cambio de posición

Secuencia 3

¿Si trazáramos la recta tangente en el punto 𝑡 = 2.1 𝑠𝑒𝑔. tendría la misma posición

y la misma razón de cambio que en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔? Argumenta tu respuesta.

¿Qué va ocurriendo con las rectas tangentes?



desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta.




163

¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes antes del punto más

alto?, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada una de las rectas tangentes a la

curva antes del punto más alto?

¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes después del punto más


curva después del punto más alto?

¿Cuál es la posición de la recta tangente en el punto más alto?



Traza las rectas tangentes a la curva en los puntos señalados en la siguiente gráfica:

Fig. 5.4

Esta expresión representa a la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal. Al

extender esta hipotenusa en ambos sentidos se encuentra la recta tangente a la curva

en un punto, ¿esta recta tangente tendrá siempre la misma posición? Argumenta tu

respuesta:

164

Secuencia 5

¿En qué intervalo es creciente la función?

¿En qué intervalo es decreciente la función?

¿Cómo será el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva antes del

punto máximo?

¿Cómo será el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva después del

punto máximo?

¿Cómo es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la curva exactamente en el

punto máximo?

e) Relacionándola con fenómenos físicos

Secuencia 3

Calcular la velocidad en el instante (velocidad instantánea o razón de cambio

instantánea) en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. ¿Cuál es la velocidad en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.?

A partir de una tabulación y de una gráfica representa la curva de 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 −4.9𝑡2, investiga cuales son las coordenadas del punto más alto alcanzado por el

cuerpo, con estas coordenadas puedes conocer el tiempo en alcanzar el punto más

alto y la distancia del punto más alto, utiliza para los valores de t hasta el orden de

las centésimas y los resultados de 𝑠(𝑡) redondéalos hasta el orden de las

diezmilésimas. ¿Cuáles son las coordenadas del punto más alto?

¿Cuál es la velocidad en el punto más alto?

¿Cuál es la velocidad en 𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔.?

¿Cuál es el signo de la velocidad en el instante 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 y cuál el signo en el

instante 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔.? Que explicaciones puedes dar al respecto.

165




f) Asignarle una expresión algebraica

Utiliza los resultados obtenidos en los incisos c) y d) anteriores para obtener el valor

de ∆𝑠,

Para encontrar la tangente de la curva en el punto 𝑃1, Euler dividía la expresión

encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, es decir ∆𝑠∆𝑡 lo cual representa una expresión que

representa a la tangente del triángulo infinitesimal pero también es la pendiente de

la recta tangente a la curva en el punto 𝑃1, ¿por qué decimos esto?, explica:

Divide la expresión encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, ¿cuál es la expresión encontrada

en el caso que estamos tratando?

Con respecto a la expresión que has encontrado y al suprimir todos aquellos

términos que contienen a ∆𝑡 ¿cuál es la expresión finalmente encontrada?


encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, es decir ∆𝑠∆𝑡 lo cual representa una expresión que

representa a la tangente del triángulo infinitesimal pero también es la pendiente de

la recta tangente a la curva en el punto 𝑃1, ¿por qué decimos esto?, explica:

Secuencia 5

¿Cuál es el valor de la derivada? Es decir f ´(x)=

Uso de a recta tangente como una herramienta

¿Cuál es el intervalo de variación donde la variable dependiente es decir f ´(x) es

positiva?

166

¿Cuál es el intervalo de variación donde la variable dependiente es decir f ´(x) es

negativa?

¿Cuáles son las coordenadas del cero de la función es decir donde la variable

dependiente f ´(x) = 0?

Ahora compara las gráficas de f (x) y de f ´(x) y contesta lo siguiente:

¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es creciente la función f (x) con

respecto a el intervalo donde es positiva la función f ´(x)? Argumenta tu respuesta:

¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva con respecto al

intervalo donde es creciente la función f (x)?

¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es decreciente la función f (x) con

respecto a el intervalo donde es negativa la función f ´(x)? Argumenta tu respuesta:

¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva donde la

función f (x) es decreciente?

Sigue comparando ambas gráficas de f (x) y de f ´(x), observa detenidamente lo que

pasa antes y después del punto máximo, observa lo que ocurre con las posiciones de

las rectas tangentes (y sus ángulos de inclinación) antes del punto máximo, después

del punto máximo y durante el punto máximo, observa los cambios y compara con

la gráfica de f ´(x), ¿a qué conclusiones puedes llegar?

Si ahora tuviéramos la gráfica de una función 𝑓(𝑥) como la que se muestra a

continuación:

167

Fig. 5.5

Utilizando los argumentos y conclusiones de la actividad 1, haz una gráfica de f ´(x):

5.5.2 Secuencia didáctica 1. Curva-segmento

1) Contextualización

El problema se desarrolla en el contexto de la mecánica celeste por Copérnico. Él llegó a la

conclusión de que una curva se comportaba como un segmento bajo ciertas características

especiales las cuales consistían en que dos puntos de una curva se acercaban cada vez más

y más a un tercer punto.

En su teorema sexto escribe “La razón (división o cociente) entre dos arcos es mayor que la

razón entre la mayor y la menor de las rectas subtendidas [cuerdas].” (Copérnico, 1543, pp.

48-49), y se presenta la siguiente figura

Fig. 5.6

−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

A

C B

168


“Sean en un círculo dos arcos desiguales unidos, 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y sea el mayor 𝐴𝐵� . Afirmo que

la razón de 𝐴𝐵� a 𝐴𝐶� es mayor que la de las subtensas AB a AC” (Copérnico, 1543, pp. 48-

49).



𝐴𝐶��

2) Las herramientas matemáticas utilizadas son:

a) 𝐶 = 𝐷𝑠𝑒𝑛 �𝐺2�

b) 𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵��

𝐴𝐶��

3) Los conocimientos requeridos para usar estas herramientas son:

a) Convertir grados a radianes o radianes a grados

b) Conocer qué es la longitud de un arco y cómo calcularlo

c) Calcular el seno de un ángulo

4) Vínculos con sus conocimiento previos

Propiedades geométricas del triángulo equilátero y rectángulo, la razón trigonométrica

seno.

5) Las actividades fueron:

a) Deducir una fórmula para calcular la subtensa entre dos puntos

b) Calcular

c) Comparar

d) Inferir

169

6) Construcción de nuevos significados.

El significado que surge a partir de las herramientas utilizadas en un contexto de cambio y

variación es: El teorema sexto de Copérnico se deja de cumplir cuando dos puntos de la

curva se encuentran muy cercanos entre sí. La desigualdad 𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵��

𝐴𝐶�� se convierte en una

igualdad, conforme dos puntos de la curva se acercan cada vez más y más.

La curva y la cuerda en dos puntos muy cercanos parece ser que son la misma cosa. Por lo

tanto en una vecindad infinitesimal se puede considerar que la curva es como una recta.

Se plantearon preguntas que tenían la intención de que los alumnos pusieran su atención en

elementos de cambio y variación a partir de los cuales pudieran calcular, comparar e inferir

conjeturas.

Por ejemplo:






7) El funcionamiento y la forma

Para ilustrar el problema se utilizó una gráfica en donde se utilizaron elementos de

geometría y aritmética, los cuales son conocimientos que fueron ya revisados por materias

anteriores a la de Cálculo Diferencial y que por lo tanto son los conocimientos que los

alumnos ya tienen y que pueden usar para construir nuevos saberes.

170

Funcionamiento:

Cálculo de la cuerda subtendida entre dos puntos,

conociendo el arco

Forma:

Circunferencia en donde se sitúan dos puntos sobre

la circunferencia y un tercer punto ubicado en el

centro de la misma

Funcionamiento:

Observar que un arco tiene una mayor longitud que

la cuerda subtendida. Cuando los puntos B y C se

acercan cada vez más y más a el punto A la curva se

comportará como una recta.

Forma:

Parte de una circunferencia en donde se encuentran

dos puntos que van a ir acercando los dos a un tercer

punto, por lo tanto uno de ellos tiene mayor longitud

de arco que el otro.

Tabla 5.7

5.5.3 Secuencia didáctica 2. Inclinación de la recta tangente.

1) Contexto.

La forma de escribir matemáticas en el siglo VII era utilizando argumentos de tipo

geométrico, esto lo podemos ver en la obra de Newton “Principios Matemáticos”. La forma

𝜽

r r

C 𝑪𝟐

A

C B

171

de abordar fenómenos de la naturaleza era a partir de relacionar a la geometría con

fenómenos del mundo real. Revisemos el siguiente lema IX enunciado por Newton:

Si una línea recta AE y una curva ABC, ambas con una posición dada, se cortan en un

ángulo dado A; y a esa línea recta, en otro ángulo dado, se aplican ordenadamente BD

y CE interceptando la curva en B y C; y los puntos B y C se aproximan y se encuentran

en el punto A, afirmo que las áreas de los triángulos ABD y ACE serán respectivamente

en última instancia como los cuadrados de los lados homólogos.

Fig. 5.8


a) Razón matemática: 𝑀1𝑚1

= 𝑁1𝑛1

= 𝑃1𝑝1

b) 𝐴1𝐴2

= 𝐿𝑎𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑙𝑜𝑔𝑜1𝐿𝑎𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑙𝑜𝑔𝑜2

3) Los conocimientos requeridos para el uso de las herramientas son:

a) Semejanza de triángulos

b) Cálculo del área de un triángulo

c) Representación de un intervalo mediante una desigualdad

d) Representación gráfica de una función de dos variables cuadrática así como su

representación matemática.

172

e) Evaluación de una función en un punto dado.

f) La pendiente como una razón de cambio

3) Conocimientos requeridos para el uso de la herramienta

a) La fórmula de la pendiente de una recta.

b) Razón de cambio.

c) Evaluación de una función en un punto

d) Noción de velocidad como una razón de cambio.

e) Graficar una función lineal (línea recta) y una cuadrática.

4) Vínculo con la secuencia anterior para construir nuevos significados

En la secuencia anterior se estableció que una curva se comportaba como un segmento bajo

condiciones especiales. Al considerar que los estudiantes habían construido este saber se

hacían preguntas como:

Pregunta: ¿Se cumple el lema IX enunciado por Newton?

Aquí se espera que los alumnos haciendo uso de la propiedad de semejanza establecida

contesten que no se cumple el lema mencionado

Observación: Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa explica porque sí se

cumple el lema IX de Newton, en caso de que tu respuesta sea que no se cumple el lema

mencionado,…

Pregunta: ¿Qué se podría hacer para que se cumpla el lema IX de Newton?

Esta pregunta tiene la intención de que usen lo aprendido anteriormente y lo relacionen con

lo que se les pide en el problema.

5) Las actividades:

a) Calcular

b) Comparar

173

c) Aproximar

d) Inferir

6) Construcción de nuevos significados

Se pretende construir nuevos significados a partir de actividades llevadas a cabo mediante

la interacción herramienta-contexto de variación, por ejemplo: se pretende que en esta

secuencia los alumnos puedan darse cuenta que al prolongar la hipotenusa de un pequeño

triángulo infinitesimal se forma una recta (a la que posteriormente la vamos a llamar recta

tangente). Va cambiando de posición hasta llegar a una posición límite, esto pretendemos

que se lleve a cabo mediante la observación y pregunta como la siguiente:

Observa que la línea AC que es uno de los lados del ∆𝐴𝐶𝐸 al prolongarse se forma la línea

Ac, imagina cómo va a ir cambiando esta línea Ac (toma en cuenta que Ac es la

prolongación del segmento 𝐴𝐶�� de el triángulo ∆𝐴𝐶𝐸 ) conforme los puntos B y C se van

aproximando más y más a el punto A, ¿cuál será su posición límite de esta línea Ac?

Se utiliza lo ya conocido anteriormente por lo tanto tiene sentido que los alumnos piensen

que para dos puntos muy cercanos de una curva se comportan como la hipotenusa de un

pequeño triángulo rectángulo y también que tiene un cierto ángulo de inclinación.

7) Funcionamiento y la forma

La secuencia se plantea en un ambiente gráfico en donde se utilizan ideas de tipo

geométrico y aritméticas vistas en semestres anteriores y también haciendo uso de lo visto

en la secuencia anterior para construir nuevos saberes.

En esta secuencia se tienen actividades que pretenden tener una aplicación práctica en un

contexto de física, en donde haciendo uso de lo anterior se les pide a los alumnos que

encuentren la velocidad instantánea de un móvil del cual se conoce su desplazamiento en

función del tiempo.

174

Funcionamiento:

Mostrar que se pueden formar dos triángulos

rectángulos, cuya hipotenusa va a coincidir con un

pequeño arco entre dos puntos siempre y cuando este

sea lo suficientemente pequeño como para

comportarse como un segmento.

Se formaran dos triángulos rectángulos semejantes

Al extender la pequeña hipotenusa se forma la recta

tangente

Forma:

Representación gráfica de dos arcos que coinciden

en el mismo punto en donde se sitúan puntos que

forman triángulos rectángulos

Funcionamiento:

Mostrar la representación de una función parecida a

la mostrada por Newton pero en un plano cartesiano

y con una función específica

Mostrar que el lema enunciado por Newton se

cumple cuando los puntos B y C se acercan más y

más a el punto A, es decir un pequeño segmento de

la curva infinitamente pequeño, tiene una inclinación

y si se extiende éste en ambos sentidos se forma la

recta tangente a un punto.

Forma:

Una parábola que abre hacia abajo que se intercepta

con el origen del plano.

Tabla 5.9

5.5.4 Secuencia didáctica 3. Recta tangente variable

1) Contexto

En esta secuencia se retoman los elementos vistos anteriormente en las secuencias

didácticas precedentes para añadir algunos otros elementos que permitan que los alumnos

puedan construir la noción de recta tangente variable. Se utilizan elementos de tipo gráfico

para que se pueda ilustrar la variación.

175

En la secuencia se plantea lo enunciado por L´Hospital:

Se requiere que una línea curva pueda ser considerada como el ensamblaje de una

infinidad de líneas rectas, cada una de estas infinitamente pequeñas: o (lo cual es lo

mismo) como una poligonal de un número infinito de lados, cada uno de ellos

infinitamente pequeños,…

Fig. 5.10

Si se prolonga una de los pequeños lados Mm de la poligonal que compone una línea

curva, este pequeño lado así prolongado será llamado la tangente de la curva en el

punto M o m.

(L´Hospital, 1696)

Es decir un punto es un segmento infinitamente pequeño

Ahora tiene sentido calcular la pendiente entre dos puntos de una curva infinitamente

cercanos entre sí ya que en esta región la curva se comporta como un segmento y como el

pequeño segmento se puede extender en ambos sentidos, entonces el pequeño segmento y

la recta tangente a la curva (que es una misma con el pequeño segmento en una región

infinitesimal) tienen la misma pendiente.

A partir de lo anterior se llevan a cabo una serie de actividades en donde se tomó como

base los usos de conocimiento que se ha reportado se encontraban presentes en la obra de

L´Hospital en su libro de Análisis de los infinitamente pequeños (Castañeda, 2004; Serna,

2007). Las actividades propuestas en las secuencias están adaptadas a un contexto escolar.

176


a) La pendiente: 𝑚 = ∆𝑦∆𝑥 = 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

b) Tabulación

c) Gráfica de una función

3) Conocimientos requeridos para el uso de las herramientas son:

a) Operaciones aritméticas con números reales

b) Tabulación y representación gráfica

c) Conocer qué significa razón de cambio e interpretar la relación existente entre la

inclinación que tiene una recta con su valor numérico; cuando la razón de cambio va

creciendo o decreciendo, si vale cero o tiene valores positivos o negativos también que van

variando, etc.

4) Vínculo de la secuencia anterior para construir nuevos significados:

Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba. La gráfica de la velocidad con respecto del

tiempo se muestra a continuación, en donde se pone un ejemplo para un punto 𝑃1 y un

punto 𝑃2 , sin embargo estos puntos podrían estar ubicados en algún otro lugar de la curva.

Fig. 5.11

t

s

tm tf

∆𝑠

∆𝑡

177

Para este caso la razón de cambio está dada por:

𝒎 = ∆𝒔∆𝒕 = 𝒔(𝒕𝟐)−𝒔(𝒕𝟏)

𝒕𝟐−𝒕𝟏

Fórmula 2

En la secuencia anterior se logró asociar a la hipotenusa de un pequeño triángulo rectángulo

con la recta tangente a un punto de la curva. En esta secuencia se retoma ese conocimiento

pero contestando una serie de actividades que tienen la intención de que los alumnos

puedan construir la noción de recta tangente variable.

Por ejemplo algunas preguntas son:

En el intervalo 0 < 𝑡 < 𝑡𝑚 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón de

cambio es positiva o negativa? argumenta tus respuestas:

¿Cómo es la razón de cambio en t = tm?..., argumenta tu respuesta:

5) Las actividades:

a) Calcular

b) Comparar

c) Aproximar

d) Inferir


El uso de la gráfica sirve para que a partir de la misma se puedan llevar a cabo

razonamientos acerca del cambio de inclinación que tiene la recta tangente de una curva en

diferentes puntos de la misma y establecer una relación existente entre la inclinación

observada con los valores numéricos que se van encontrando.

También es muy importante que se pueda percibir que en cada instante la pendiente de la

recta tangente va a ir cambiando. Para lograr lo anterior se hacen preguntas como:

¿Si trazáramos la recta tangente en el punto 𝒕 = 𝟐.𝟏 𝒔𝒆𝒈. tendría la misma posición y la

misma razón de cambio que en 𝒕 = 𝟐 𝒔𝒆𝒈? Argumenta tu respuesta.

178


La secuencia se lleva a cabo en un ambiente gráfico en donde las ideas de cambio y

variación se encuentran presentes. Se pretende identificar la manera de variar de la recta

tangente de una forma explícita a diferencia de la secuencia anterior que se hacía

implícitamente. También se llevan las ideas encontradas a un contexto de física como una

forma de aplicación práctica de los saberes encontrados en esta secuencia.

Funcionamiento: Mostrar que un arco se puede formar por un conjunto de segmentos infinitesimales La extensión del pequeño arco en ambos sentidos forman la tangente Que intuitivamente el alumno pueda percibir la naturaleza variacional de la recta tangente Forma: Representación gráfica de una pequeña porción de un arco

Funcionamiento: Reconocer que la recta tangente cambia de posición y el valor de su pendiente consecuentemente también. Observar donde es positiva y negativa la pendiente y donde cambia de signo Observar el valor de la pendiente en su punto máximo Forma: Gráfica de una parábola que abre hacia abajo, en donde se indican puntos importantes como 𝑡𝑚 y 𝑡𝑓.

Tabla 5.12

t

s

tm tf

∆𝑠

∆𝑡

179

Funcionamiento:

Observar las diferentes posiciones que tiene la recta tangente antes y después del mínimo así como en el

mínimo mismo.

Comprobar que la recta tangente tiene la misma dirección que la curva en un punto.

Forma:

Parábola que abre hacia arriba en donde se encuentran dos puntos antes y después del punto crítico así como

un punto ubicado en el mínimo.

Tabla 5.13

5.5.5 Secuencia didáctica 4. Recta tangente-Función

1) Contextualización

En esta secuencia se vuelve hacer uso de todo lo visto anteriormente, haciendo un análisis

del cambio. Para ello se determina una expresión algebraica que se le asocia a la pendiente

de la recta tangente a la curva, lo que se pretende es que se tenga una expresión general.

De manera similar a las secuencias anteriores se hace uso de una gráfica que le sirve a

Euler para dar sus explicaciones de cómo se obtiene una expresión general de lo que

actualmente llamamos la función derivada. Esta figura fue usada por los matemáticos

durante varios años:

180

Fig. 5.14


a) 𝑚 = ∆𝑠∆𝑡 = 𝑠(𝑡2)−𝑠(𝑡1)

𝑡2−𝑡1

b) ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

c) ∆𝑠 = 𝑠(𝑡1 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡1) d) (𝑡1 + ∆𝑡)2

e) 𝑏𝑎 = 𝑦

𝑥 proporcionalidad entre los lados homólogos de dos triángulos rectángulos

3) Los conocimientos requeridos para el uso de las herramientas son:

a) Evaluación de una función

b) conocer las condiciones para que dos triángulos sean semejantes.

c) Elevar al cuadrado la suma de dos cantidades expresadas algebraicamente

d) Conocer que el cambio se calcula a través de una diferencia

e) Razón de cambio

4) Vinculo de la secuencia anterior para construir nuevos significados

a) Uso de la herramienta matemática de la razón de cambio instantánea

181

b) Se retoma que un punto es un segmento infinitesimal de una curva que al extenderse en

ambos sentidos se forma la recta tangente a un punto

c) La recta tangente es cambiante

5) Las actividades fueron

a) Comparar

b) Calcular

c) Modelar

d) Comprobar


A partir de las herramientas matemáticas empleadas para llevar a cabo las actividades en un

contexto de cambio y variación se pretende que los alumnos puedan construir una

herramienta matemática (expresión de la de primera derivada) que es una expresión general

que permita conocer el valor de la razón de cambio instantánea en cada punto de la misma

(función derivada)


La secuencia se lleva a cabo en un ambiente gráfico el cual permite dar explicaciones sobre

la relación de semejanza dos triángulos rectángulos que son semejantes. Uno de ellos tiene

dimensiones infinitesimales y por lo tanto aparece el cociente ∆𝑠∆𝑡 que permite encontrar una

expresión general para la derivada. Se relacionan conocimientos de geometría con

algebraicos e ideas de tipo infinitesimal.

182

Tabla 5.15

Funcionamiento:

Mostrar visualmente que el pequeño Arco Mn se llega a convertir en la hipotenusa de un triángulo

infinitamente pequeño y que es semejante al triángulo TMP

Forma:

Gráfica con un solo eje en donde se muestra un pequeño arco y la recta tangente en el punto M

183

Funcionamiento:

Asignar una expresión a la pendiente de la recta tangente usando elementos vistos en las secuencias

anteriores.

La inclinación del pequeño segmento infinitesimal (punto de acuerdo a L´Hospital) tiene la misma

inclinación y por lo tanto la misma pendiente que la hipotenusa del triángulo rectángulo de dimensiones

finitas. También a partir de la gráfica se puede argumentar que la curva en diferentes puntos tendrá diferentes

pendientes, puesto que se observa que habrá diferentes rectas tangentes que comparten la pendiente con la

del punto de la curva en donde coinciden (punto de contacto).

Forma:

Gráfica de una parábola en donde se muestran las coordenadas de un punto y sus cambios, hay marcado en

negrillas un triángulo rectángulo formándose los catetos por segmentos infinitesimales.

Tabla 5.16

𝑷𝟏(𝒕𝟏, 𝒔(𝒕𝟏)

𝑷𝟐(𝒕𝟏 + ∆𝒕,𝒔(𝒕𝟏 + ∆𝒕))

∆𝒔 ∆𝒕 q

T P

184

5.5.6 Secuencia didáctica 5 Recta tangente-Gráfica-Derivada

1) Contexto

Se pretende que los alumnos puedan caracterizar puntos de una curva con la herramienta

matemática de la recta tangente variacional que se ha ido construyendo en las secuencias

anteriores.

2) Las herramientas matemáticas utilizadas

a) La tabulación

b) La gráfica

c) La recta tangente variacional

3) Los conocimientos requeridos para el uso de las herramientas

a) Qué es una función creciente y decreciente

b) Máximos y mínimos de una función

c) Razón de cambio instantánea

d) Ángulo de inclinación

4) Vínculo de las secuencias anteriores para construir nuevos significados

El punto como un segmento infinitesimal.

Que la curva se comporta como un segmento en una región infinitesimal.

Concebir a la curva como el ensamblaje de un conjunto de segmentos infinitesimales.

Que un segmento infinitesimal (como parte de una curva) se puede prolongar en ambos

sentidos formándose así la recta tangente.

La recta tangente tiene una posición en un punto y esta va cambiando en cada instante.

El comportamiento de la curva (su razón de cambio) es el mismo que el de la recta tangente

en ese punto.

185

La curva puede ser la representación gráfica de una función entre dos variables de tal forma

que se puede conocer la razón de cambio instantánea a partir de la pendiente de la recta

tangente.

Caracterizar que se puede conocer la razón de cambio instantánea a partir de un cociente

entre dos segmentos infinitesimales.

5) Las actividades son

a) Comparar

b) Inferir

c) Concluir


A partir de todo lo ya construido en las secuencias anteriores se pretende ahora que los

alumnos puedan construir gráficamente la función derivada, lo cual puede permitir ser una

introducción a la noción de derivada desde un punto de vista gráfico.


La construcción de esta secuencia no se llevó a cabo utilizando una fuente original, más

bien con todo lo visto anteriormente. Se pudo hacer gracias al uso de fuentes originales y

ahora se lleva a cabo una nueva secuencia en donde se utiliza a la herramienta matemática

de la recta tangente variacional.

186

Funcionamiento:

Esta gráfica en la secuencia sirve para que los estudiantes

caractericen a la curva con elementos de cambio y variación y a

partir de los cuales se pueda determinar la gráfica de la función

derivada, es decir cuándo la pendiente de la recta tangente es

positiva, negativa o vale cero y consecuentemente cómo influye

esto en la gráfica de la función derivada.

Forma:

Parábola que abre hacia arriba con puntos de intersección

definidos con números enteros sobre el eje X.

Funcionamiento:

Sirve para determinar en qué puntos la grafica de la función

derivada vale cero y cómo es el signo de la misma antes y después

de los puntos críticos.

Forma:

Función cúbica con puntos de intersección definidos con números

enteros en el eje X.

Tabla 5.17

5.6 El ambiente de trabajo

Los alumnos con los que se llevó a cabo la secuencia cursaban la materia de Pensamiento

del Cálculo Diferencial, les hacía falta un mes para terminar el semestre. Se escogieron 12

alumnos de 4 grupos, 3 grupos del turno matutino que cursaban la carrera de Técnicos en

Enfermería con Bachillerato y un grupo vespertino de la carrera de Técnicos en

Administración con Bachillerato. Es una modalidad que en el Estado de México se le

conoce como bivalente.

Los alumnos se seleccionaron por invitación de tres maestros (entre ellos el investigador) y

lo único que se les solicitó es que terminaran el trabajo realizado ya que este se llevaría a

cabo los sábados. También se les dijo que si eran puntuales y no tenían faltas se les podría

subir un punto extra en su calificación.

Hasta ese momento los alumnos habían visto temas trabajando con dos variables, como:

−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

187

1) Las variables, ejemplificando intervalos de variación y su representación.

2) La relación entre las variables a través de tablas, fórmulas y gráficas.

3) La función

4) Las gráficas de las funciones y análisis de:

a) Línea recta

b) Parábola

c) Función cúbica

d) Hipérbola (sólo un grupo matutino lo vio)

e) En todos los casos que se pretendía observar era: ¿qué tipo de curva es?, ¿cuál

es su dominio?, ¿cuál es su imagen?, ¿dónde es positiva?, ¿dónde se anula?,

¿dónde es negativa?, ¿Dónde crece?, ¿Dónde decrece? En su caso ¿Dónde es

continua o discontinua?, ¿Dónde tiene asíntotas?

5) La medición del cambio

6) Una notación operativa para cuantificar los cambios

7) ¿Cómo se comportan los cambios?

8) Razón de cambio promedio

9) Razón de cambio instantánea

10) Derivada

11) Ejercicios para derivar expresiones algebraicas.

Los profesores de la asignatura trabajaban principalmente el libro de: Una introducción a la

derivada a través de la variación de Dolores (1999) y otro de ellos (el investigador)

utilizaba tanto este libro como el de Elementos de Cálculo del Cálculo Salinas et al. (2002)

La forma de implementar la actividad fue organizando 4 equipos de 3 personas. Al inicio de

cada actividad tal vez se podría dar una pequeña introducción cuando era necesario. Por

ejemplo en el caso de la 2da secuencia en donde se utiliza una propiedad de semejanza de

triángulos rectángulos no vista actualmente en los programas de estudio (por lo menos en

los de secundaria y bachillerato) se le explicó primero a los alumnos en qué consistía la

propiedad, y en el caso de la cuarta secuencia en donde había que hacer desarrollos

algebraicos hubo un equipo que tuvo problemas con elevar al cuadrado la suma de dos

188

cantidades y algún problema de signo en donde intervino el profesor-investigador. Por lo

que respecta a lo demás prácticamente los estudiantes llevaron a cabo solos la actividad.

El desarrollo de cada actividad consistía en que los estudiantes leyeran primero para

posteriormente comenzar a discutir sobre la forma de resolver. Dependiendo de los que se

les solicitaba en ocasiones tenían que calcular, inferir, sacar conclusiones, todo ello usando

argumentos para convencer a sus compañeros.

Al término de cada secuencia se hacía una plenaria en donde los equipos exponían sus

resultados, posteriormente el profesor intervenía para recapitular lo dicho por los

estudiantes.

El profesor-investigador intervino filmando el desarrollo de la actividad, aunque no en todo

momento. Era la primera vez que los estudiantes eran video grabados y les costó trabajo

acostumbrarse. Sin embargo en el caso de las conclusiones que se vertían en las plenarias,

estas si se filmaron.


Se ha sistematizado un método para la construcción de las secuencias. El orden en que

fueron presentadas no fue aleatorio, se utilizó la historicidad que es una característica de la

práctica social para establecer tal orden. Por otro lado se retomó un texto original y se

adaptó a un lenguaje asequible para los estudiantes lo cual tiene que ver con sus

conocimientos previos del sistema escolar a donde pertenecen y de lo cual es consiente el

profesor-investigador.

A partir del fenómeno didáctico del cual hemos partido se ha problematizado el

conocimiento a partir del uso de la historia ya que esto nos permitió reconocer la práctica

de la tangente variacional que fue llevada a cabo por una comunidad de matemáticos que

tuvo la intención explícita de resolver el problema en cuestión organizando actividades

mediante el uso de herramientas matemáticas, las cuales daban cuenta de una matemática

funcional ya que les permitía resolver sus problemas, analizar su realidad. En esa época

tenía que ver con diversos problemas de cambio y variación para poder predecir, esto

189

último no es algo que se declare explícitamente en las obras antiguas, sin embargo se

infiere a partir de lo investigado (Cantoral, 2001).

Los significados surgen del usos de herramientas matemáticas que se requieren para poder

llevar a cabo las actividades en donde se retoman también los conocimientos previos para

resolver problemas lo cual en esta interacción herramienta-actividad-contexto surge la

construcción de significados, es decir se presenta la resignificación.

Nuestra investigación propone problematizar el objeto escolar recta tangente por medio de

la práctica de la tangente variacional. Esto tiene como consecuencia construir la noción

que en nuestra investigación hemos llamado recta tangente variacional. Una vez construida

sirve también de herramienta como una introducción a la derivada desde un punto de vista

gráfico.

Hemos constatado que los elementos del marco teórico han servido como base en el diseño

de cinco secuencias didácticas en donde se pretende que se construyan significados

inexistentes en el dME actual y que además dan cuenta de una matemática funcional ya que

sirve para poner el conocimiento en uso. Esto se manifiesta cuando un conocimiento

matemático es usado como herramienta para resolver actividades normadas por una

práctica social.

190

Capítulo VI

Análisis de los datos

6.0 Introducción

En este capítulo mostraremos los resultados obtenidos en la aplicación del diseño de las

secuencias con los estudiantes. Hemos considerado organizar los resultados con base a las

categorías que se encuentran presentes en nuestro modelo de construcción social del

conocimiento, es decir: usos, herramienta, actividad, resignificación, práctica de referencia,

funcionalidad y práctica social, mostraremos los resultados obtenidos por cada una de las

secuencias organizadas secuencialmente a partir de la secuencia didáctica 1. Primero se

hará el planteamiento de un fragmento de la secuencia, explicando la intencionalidad que se

pretende con ella, posteriormente se contrastará con la evidencia empírica la cual la

podemos encontrar en las producciones escritas de los estudiantes y se transcribirán algunos

fragmentos que se filmaron y que consideramos muestran evidencia de la categoría que se

está analizando. Finalmente se llevará a cabo un análisis con el cual se darán explicaciones

basadas en la teoría acerca de las producciones de los estudiantes. Para llevar a cabo dicho

análisis en cuanto al uso de las gráficas se buscará identificar cómo es que los estudiantes

hacen uso de ellas, contestando a preguntas puntuales del tipo, ¿qué hacen?, ¿cómo lo

hacen? y ¿para qué lo hacen? lo cual tiene que ver con la forma de la gráfica y su

funcionamiento.

En la secuencia didáctica uno no se transcribió fragmentos de la filmación. La razón es que

se estaba grabando por segunda ocasión con un nuevo grupo de trabajo puesto que el

anterior no pudo continuar. Accidentalmente se tomó el nuevo video pensando que era el

anterior y se grabó sobre él. En el caso de la secuencia didáctica 1se decidió hacer el

análisis solamente con las producciones escritas de los estudiante y con notas tomadas por

191

el investigador. Con respecto a la secuencia didáctica 2 el equipo 4 tuvo que asistir a una

actividad didáctica planteada por otro profesor y no pudieron evitarla, por lo tanto en esa

secuencia sólo se trabajó con tres equipos, tampoco se hizo un análisis de el video de la

secuencia didáctica 4 ya que consideramos que por la forma en que estaba diseñada, las

respuestas de los estudiantes estaban prácticamente en los mismos términos que sus

argumentos escritos.

Se formaron cuatro equipos de trabajo, tres con tres estudiantes y uno con dos, les vamos a

llamar en lo sucesivo E.1, E.2, E.3 y E.4.

6.1 Secuencia didáctica 1

6.1.1 Uso-Herramienta-Actividad

En la secuencia didáctica 1 se involucra el trabajo de Copérnico para demostrar que, si se

tienen dos puntos sobre una curva, con estos se forman arcos con respecto a un tercer

punto, de tal forma que la razón entre el arco mayor con respecto al menor va a ser mayor

que la razón de la mayor de las subtensas con respecto a la menor formadas por los mismos

puntos. Veamos lo anterior expuesto en la secuencia:

En su teorema sexto escribe “La razón (división o cociente) entre dos arcos es mayor que

la razón entre la mayor y la menos de las rectas subtendidas [cuerdas].” (Copérnico,

1543, pp. 48-49), y se presenta la siguiente figura:

Figura 1


A

C B

192

“Sean en un círculo dos arcos desiguales unidos, 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y sea el mayor 𝐴𝐵� . Afirmo

que la razón de 𝐴𝐵� a 𝐴𝐶� es mayor que la de las subtensas AB a AC” (Copérnico, 1543,

pp. 48-49).



𝐴𝐶��

Se tiene la intención de que los estudiantes reconozcan que cuando dos puntos sobre una

curva se encuentran muy cercanos entre sí, el comportamiento en esa pequeña región es

como el de una línea recta.

6.1.1.1 Evidencia empírica, Uso-Herramienta-Actividad

Como ya hemos mencionado en nuestro marco teórico el uso lo podemos constatar por

medio de las actividades matemáticas en donde el uso del conocimiento matemático forma

parte de una actividad humana y social. De tal forma que esta es una primera base de

significados.

A partir de la apariencia perceptible de la gráfica queremos reconocer la forma en la que el

sujeto actúa con ella y sobre ella en una cierta tarea, la cual consiste en que los alumnos

emitan conclusiones acerca de lo que ocurre cuando dos puntos muy cercanos de una curva

se van acercando cada vez más y más. Para hacer uso de la gráfica pretendemos que el

estudiante empleé sus conocimientos sobre elementos geométricos, específicamente los

relacionados con circunferencia, radio, diámetro, triángulo equilátero, triángulo rectángulo,

la razón trigonométrica del seno de un ángulo, arco, cuerda, grados y radianes.

Las preguntas a contestar a partir de las producciones de los estudiantes son ¿qué hace?,

¿cómo lo hace? y ¿para qué lo hace?. Las dos primeras se encuentran relacionadas con la

forma de la gráfica y tienen que ver con la forma en que los estudiantes actúan en la tarea

que se les va a solicitar la cual consiste en que verifiquen qué es lo ocurre con una curva

cuando hay dos puntos de la misma que se van acercando cada vez más y más. Es un actuar

en un sentido amplio pues se trata de observar como los estudiantes: calculan, resuelven,

argumentan o incluso como representan con la gráfica y sobre ella (Buendía, 2012). Por

193

otro lado se debe de considerar el rol que juega la gráfica en la tarea que se les está

solicitando.

En la primera actividad los estudiantes obtuvieron una fórmula, para calcular la subtensa

entre dos puntos de una curva, la curva pertenecía a una parte de una circunferencia.

Haciendo uso de elementos de geometría y trigonometría los cuatro equipos participantes

llegaron a la fórmula que es:

𝐶 = 𝐷 �𝑠𝑒𝑛𝐺2�

Donde C es la subtensa y se representó con C para manejar un lenguaje más familiar con

los estudiantes, llamándole a la subtensa, cuerda “C”.

En la actividad 2 haciendo uso de la fórmula obtenida, se les solicita a los estudiantes:

A partir de la expresión obtenida en la 1ra actividad llenar las siguientes tablas

(redondear a tres cifras después del punto decimal):

Tabla 1

Ángulo central (Grados) Valor de la Subtensa (Cuerda)

48

24

12

6

3

1.5

194

Arco 𝐴𝐵� Arco

𝐴𝐶�

Subtensa

𝐴𝐵�� Subtensa

𝐴𝐶�� Razón

𝐴𝐵��𝐴𝐶� =

Razón 𝐴𝐵��𝐴𝐶�� =

48 24

24 12

12 6

6 3

3 1.5

Tabla 2

¿Qué ocurre con la relación 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararla con respecto a

𝐴𝐵��𝐴𝐶��?

A lo cual el E.2 contesta lo siguiente:

Fig. 6.1

195

En donde se hace uso de la expresión obtenida para calcular la subtensa (cuerda) pero

también de la expresión:


𝐴𝐶��

La cual denominamos como la herramienta matemática empleada para llevar a cabo

actividades de calcular, e inferir. El equipo infiere que entre más pequeña sea la subtensa

más se va acercando a la razón del arco.

El E.4 tiene el llenado de sus tablas prácticamente igual y sus respuestas escritas son las

siguientes:

Fig. 6.2

Una diferencia en las respuestas es que este equipo infiere que las razones de las subtensas,

comparándola con las razones de los arcos, llegaran a ser las mismas.

El E.3 contesta más o menos en los mismos términos que el E.2 y el E.1 contesta:

196

Fig. 6.3

El equipo tiene la idea que de que ambas llegaran a ser iguales conforme los puntos se van

acercando, sin embargo tienen alguna confusión al expresarse con respecto al diámetro.

En la secuencia se pregunta:

¿Cómo serán los arcos de una curva de puntos que se encuentran muy cercanos entre sí

con respecto a las subtensas formadas por los mismos puntos?

A lo cual el E.1 responde:

Fig. 6.4

El E.4 responde de manera similar sólo que dice que la curva se vuelve recta. En el caso del

E.3 dice que “va a ver una mayor aproximación al punto A” y el E.2 menciona “...el valor

del arco se va acercando al valor de la subtensa”. Estos dos últimos equipos no mencionan

explícitamente ideas sobre cómo la curva se comporta como una recta, más bien las ideas

197

son con respecto a una aproximación o acercarse a un valor y que tienen que ver con el

llenado de sus tablas.

En la tercera actividad de la secuencia se les solicita a los estudiantes el llenado de una

tabla similar al de la tabla 2 pero ahora los arcos 𝐴𝐵� 𝑦 𝐴𝐶� se hace cada vez más pequeños

de tal forma que se pretende que los estudiantes saquen conclusiones a partir de comparar

los resultados la tabla.

Después de llenar la tabla se les pide contestar lo siguiente:





(infinitesimal)?

Dos equipos (E.1 y E.4) contestan en los mismos términos, explicando cómo la curva se

llega a convertir en una recta o en un segmento. El E.3 contesta que cada vez va a ver una

mayor aproximación pero siempre existirá una diferencia. El E.2 contesta de manera similar

al E.3 mencionando que siempre va a ver una pequeña diferencia entre el arco y la

subtensa.

Veamos algunas respuestas. E.4:

Fig. 6.5

198

Fig. 6.6

El E.4 infiere que al final la subtensa y el arco se comportarán de igual manera.

Algunas respuestas del E.1 son:

Fig. 6.7

6.1.1.2 Elementos del modelo puesto en juego

Usos: El concerniente al teorema VI de Copérnico, el cual fue empleado para que se

pudieran llevar a cabo actividades como son: calcular, comparar e inferir y que a partir de

la ejecución de las mismas se construyera un significado.

Herramienta: Las herramientas matemáticas utilizadas son:

199

a) 𝐶 = 𝐷 �𝑠𝑒𝑛 𝐺2�

b) 𝐴𝐵��𝐴𝐶� > 𝐴𝐵��

𝐴𝐶��

Las cuales sirvieron para calcular el valor de las subtensas y llenar las tablas, gracias a lo

cual se podían llevar a cabo las actividades de comparar e inferir.

Actividades: Las actividades son aquellas acciones organizadas con la intención de

resolver un problema, cada una de ellas va a tener un significado dependiendo del contexto

bajo el cual se encuentre situada, “Medir, por ejemplo es una actividad regulada por una

necesidad de orden mayor cuyo origen, práctico o teórico, depende del contexto o

circunstancia que la envuelve.” (Montiel, 2011, p. 108). En esta secuencia las actividades

organizadas a través de la práctica de la tangente variacional son: calcular, comparar e

inferir, por ejemplo cuando se le solicita a los estudiantes que contesten si se sigue

cumpliendo el teorema VI de Copérnico cuando los punto B y C se acercan cada vez más y

más al punto A, se hace el llenado de una tabla. Haciendo cálculos y comparaciones se

lleva a cabo la inferencia de que cuando dos puntos son muy cercanos entre sí se comportan

como una línea recta en esa pequeña región.

6.1.1.3 Análisis de los datos

Se hizo uso de un conocimiento de antaño. Este se llevó a cabo bajo un contexto de cambio

y variación en donde se planteó la ejecución de actividades por medio de herramientas

matemáticas y gracias a esta interacción herramienta-actividad se construyó un significado.

Querer predecir las posiciones de los cuerpos celestes llevó a Copérnico a hacer uso de las

matemáticas como una herramienta, se dio cuenta que cuando dos puntos situados en una

curva se acercaban más y más, la región así formada se comportaba como una recta, esto lo

ayudó a elaborar tablas que le permitirían hacer sus cálculos astronómicos, para tal efecto

se auxilió de argumentos geométricos, así como de una representación gráfica. Un

significado de inicio para la construcción de la tangente desde un punto de vista variacional

tiene que ver con reconocer precisamente que una curva se comporta como una línea recta

siempre y cuando se esté hablando de dos puntos muy cercanos de la misma.

200

Para que los estudiantes construyan el significado anterior se hizo uso de la herramienta

matemática empleada por Copérnico, lo cual diremos que es un conocimiento puesto en

uso y que de acuerdo a nuestro marco teórico reconocemos como herramienta. Los

estudiantes pudieron constatar en base a sus actividades llevadas a cabo como calcular e

inferir, que efectivamente una curva se llega a comportar como una recta siempre y cuando

se haga referencia a dos puntos muy cercanos de la misma.

La forma de la gráfica responde a la pregunta, ¿cómo se usa la gráfica?, en nuestro caso la

respuesta estuvo en función de cómo resuelven los estudiantes lo solicitado. La secuencia

guió a los estudiantes para que obtuvieran una expresión matemática que permitiría

calcular las subtensas (cuerdas) de los diferentes arcos que iban a surgir al acercar dos

puntos de una curva. Para ello hicieron uso de conocimientos geométricos básicos que

tenían de Geometría Euclidiana vista con anterioridad. Con respecto a la forma de la gráfica

también se pudo contestar a la pregunta, ¿cómo argumentan los alumnos?, para lo cual

vimos que hay dos equipos que argumentan en base a los resultados de sus tablas y también

acerca de que la razón de las subtensas se va acercando a la razón entre los arcos. Los

equipos E.1 y E.4 contestaron también en base a sus tablas que la curva se convertiría en

recta y otro equipo dijo que se convertiría en segmento. En cuanto al rol que jugó la gráfica

es que sirvió para que los estudiantes pudieran inferir que un arco formado por dos puntos

se puede llegar a comportar como una línea recta, siempre y cuando dos puntos se

encuentren lo suficientemente cercanos entre sí.

El análisis hecho por los estudiantes es un planteamiento que no se lleva a cabo en el

discurso matemático escolar actual, pero que es importante en la construcción de la recta

tangente. El recurrir a la historia desde nuestra postura teórica, nos permitió diseñar una

secuencia por medio de la cual los estudiantes pudieran construir este primer significado y

que servirá de base para caracterizar a una curva, así como también para las siguientes

secuencias.

201

6.1.2 Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad

En la secuencia se presentan dos arcos que tienen un punto común y dos puntos que no lo

son. Se presenta el teorema VI de Copérnico que dice que la razón entre los dos arcos (el

mayor con respecto al menor) es mayor que la razón de las subtensas formadas con

respecto a los mismos puntos (la mayor con respecto de la menor). Al comparar esas dos

razones, siempre es “mayor” la razón conformada por los arcos, la herramienta matemática

utilizada para representar esto es:


𝐴𝐶��

Se solicitó a los estudiantes observar la relación al ir acercando cada vez más y más los

puntos B y C al punto A, es decir observar los cambios y la forma de cuantificarlos a partir

del cociente y las continuas comparaciones que se van llevando a cabo.

En el análisis llevado a cabo por Castañeda (2004) y reportado en nuestro Estado del Arte

se menciona como un elemento importante la descripción de los comportamientos de las

curvas a partir de elementos gráfico-visuales. Esta idea se emplea en la secuencia didáctica

y se pretende que los estudiantes hagan conjeturas en base a los comportamientos que tiene

la curva y que se pueden verificar al comparar los resultados que se van plasmando en una

tabla la cual lleva a resultados que permiten argumentar a los estudiantes.

Cuando se tiene un punto de una curva y se “deja fluir” para tener otro punto infinitamente

cercano y se comparan las ordenadas de estos dos puntos se obtiene un infinitesimal, el cual

es una magnitud infinitamente pequeña y estrictamente hablando no se debería de poder

ver. Sin embargo se pueden ilustrar a partir del uso de las gráficas.

En el teorema sexto enunciado por Copérnico y que usamos en esta secuencia didáctica 1,

no se utilizan las ordenadas. Sin embargo el hecho de analizar qué ocurre con la curva

cuando se tienen dos puntos muy cercanos de la misma, es una idea que se retoma y se

puede implementar a partir de la herramienta matemática mencionada anteriormente

conjuntamente con la representación gráfica empleada. La idea de infinitesimal y su

representación gráfica no se encuentran en nuestro actual currículo, sin embargo la historia

ha mostrado que fue una idea sobre la que se pudo ir construyendo para llegar

202

posteriormente a métodos más generales de resolución de diferentes problemas, en nuestro

caso el problema de las tangentes. Planteamos por tanto que retomar esta idea en una

didáctica actual permitirá servir como base para la construcción de la tangente variacional.

6.1.2.1 Evidencia empírica, Práctica de referencia-Resignificación-Intencionalidad

La respuesta a la pregunta hecha por la secuencia:

¿Cómo serán los arcos de una curva de puntos que se encuentran muy cercanos entre sí

con respecto a las subtensas formadas por los mismos puntos?

La respuesta del E.1 se muestra en la fig. 6.4. Queremos hacer énfasis en lo que dicen:

“dejarían de ser arcos y se convertirían en pequeños segmentos”. Argumentan a partir de un

análisis realizado en función de lo que ocurre cuando los punto se encuentran muy cercanos

entre sí, (apoyándose en la tabla, por ejemplo en la tercera actividad), A los estudiantes se

les presenta el teorema VI de Copérnico el cual muestra la herramienta matemática de 𝐴𝐵�𝐴𝐶� > 𝐴𝐵��

𝐴𝐶�� , se usa para constatar que la razón entre los arcos de una curva es mayor que la

razón entre las subtensas con los mismos puntos. Pero si los puntos se van acercando cada

vez más y más, esto se deja de cumplir, de tal forma que ahora la desigualdad anterior se va

a convertir en una igualdad por lo que la curva se comportará como una línea recta en esa

pequeña región entre dos puntos muy cercanos entre sí.E.1 y el E.4, en la figura 6.6 hacen

alusión a dos puntos muy cercanos de una curva. El equipo dice que la curva se comporta

como una recta por lo que hay dos puntos infinitamente cercanos.

De inicio el significado que se tenía es que: la razón entre los arcos es mayor que la razón

entre las cuerdas que subtienden. Ese significado se resignifica, ahora se adquiere un nuevo

significado: que la curva se va a comportar como un segmento, veamos evidencia por

medio de como la plantea el E1:

203

Fig. 6.8

En la respuesta se observa que hay una confusión respecto al uso del concepto de diámetro,

sin embargo se puede notar que tienen claro cuándo se cumple el teorema sexto de

Copérnico y cuándo deja de cumplirse.


Práctica de referencia: La práctica es la de la tangente variacional. Se han organizado

actividades intencionalmente en un contexto de cambio y variación, esto lo podemos ver

manifestado cuando los estudiantes hacen aseveraciones como: “en ese momento dejarían

de ser arcos y se convertirían en segmentos” lo cual tiene que ver con la forma en cómo

argumentan los estudiantes por medio de la forma de la gráfica. La respuesta anterior se dio

en base al análisis que llevaron a cabo los estudiantes cuando para dos arcos con un punto

común (en donde el arco mayor está sobre el menor), sobre la misma curva y cuyos puntos

no coincidentes se van acercando cada vez más y más.

Resignificación: Se puede ver presente la resignificación como una construcción en la

organización del grupo humano. En este caso primero se establece que existe una

desigualdad cuando hay dos arcos con un punto común envolviendo a las subtensas que se

forman con los mismos. Sin embargo el ir acercando a los dos puntos al punto común

permite ir construyendo un significando diferente el cual tiene que ver con que una curva se

comporta como un segmento siempre y cuando se tengan dos puntos muy cercanos de la

misma, de aquí también podemos constatar el funcionamiento de la gráfica y tiene que ver

con el rol que juega en la construcción de conocimiento. En las secuencias posteriores la

204

resignificación se observa con la construcción de significados en la organización del grupo

humano, sin embargo además, como se menciona en nuestro marco teórico, un significado

se puede retomar para irse enriqueciendo sin perder su significación inicial pero

robusteciéndose, formando nuevos significados.

Funcionalidad: La idea de la funcionalidad tiene que ver con poder utilizar un

conocimiento o herramienta matemática en otro contexto diferente al de donde se construyó

inicialmente y/o también que permita resolver o hacer descripciones de la realidad.

Específicamente en el caso de nuestra secuencia no solicitamos a los estudiantes que con el

conocimiento construido hagan o resuelvan problemas, sin embargo en la tesis de maestría

de Serna (2007) se plantea que al llegar la conclusión de Copérnico, “Luego, como vemos

hemos llegado a un punto, en el que la diferencia entre recta y la curva que la envuelve

escapa a los sentidos, como convertidos en una sola línea” (p. 70); esta idea es funcional ya

que le permitió a Copérnico establecer tablas para diferentes arcos en función de subtensas

y poder así establecer posiciones de cuerpos celestes. En las secuencias posteriores damos

evidencia de la funcionalidad de cada uno de los significados que se van construyendo.


Con base a los datos obtenidos vemos que al trabajar en un contexto de cambio y variación

se posibilita que los estudiantes contesten los planteamientos hechos en la secuencia. En la

misma se organizaron actividades por el investigador con la intención específica de que se

construyera el significado de que la curva se comportara como una línea recta (o un

pequeño segmentos) en la región de la misma que se encuentre entre dos puntos muy

cercanos. Esto se logró en dos de los cuatro equipos participantes.

Planteamos que en trabajos futuros sería adecuado hacer algunos agregados a la secuencia

por ejemplo, además de comparar los valores de una tabla esto se complementará

representando visualmente los punto B y C acercándose cada vez más a el punto A, de tal

forma que este fuera un elemento más que pudiera ayudar a construir el significado que se

pretende.

205



En la secuencia didáctica 2 se utiliza el lema IX del libro de los principios matemáticos de

Newton:


ángulo dado A; y a esa línea recta, en otro ángulo dado, se aplican ordenadamente BD

y CE interceptando la curva en B y C; y los puntos B y C se aproximan y se encuentran

en el punto A, afirmo que las áreas de los triángulos ABD y ACE serán respectivamente

en última instancia como los cuadrados de los lados homólogos.

Figura 6.9

Vemos un conocimiento de antaño puesto en uso, por ejemplo el hecho de establecer la

semejanza entre dos triángulos rectángulos a partir de la razón entre las áreas con respecto a

la razón entre los cuadrados de los lados homólogos, pero para que se de tal semejanza

ambos triángulos tendrían que compartir la misma hipotenusa. Eso se da siempre y cuando

los puntos B y C se encuentren lo suficientemente cercanos del punto A, ya que de esa

forma la curva se comporta como un segmento y por lo tanto tanto el punto B como el C

estarían sobre la misma línea recta que sería la hipotenusa de dos triángulos infinitesimales.

206

Los propósitos que perseguimos responden básicamente a preguntas: Qué hace, cómo y

para qué. El qué hacen los estudiantes pretendemos se conteste con el punto 1 siguiente, así

como también se evidenciará a partir de las actividades de comparar y calcular enunciadas

en el punto 2. El cómo lo hace se enuncia en el punto 2 a partir de corroborar cuándo se da

la semejanza de triángulos y en el punto 3 se enuncia el para qué de la gráfica, a partir de

las producciones de los estudiantes:

a) Que usen herramientas matemáticas como las empleadas por Newton, que son

aquellas para establecer la semejanza entre dos triángulos rectángulos como la

enunciada en su lema IX del libro de Principios Matemáticos

a) Las herramientas tienen sentido en el contexto en el que se están utilizando y

se pueden emplear ya que se ha considerado los conocimientos previos de

los estudiantes.

b) La relación actividad-herramienta con el conocimiento puesto en uso toma

en cuenta el conocimiento anterior y genera la construcción de nuevos

significados.

b) Que los estudiantes puedan verificar a partir de las actividades de comparar y

calcular que va a existir un momento en que los triángulos ABD y ACE se van a

convertir en triángulos semejantes. Esto se va a llevar a cabo cuando los puntos

B y C se acerquen y se encuentren en una región infinitesimal con respecto al

punto A.

c) Que ratifiquen que una pequeña porción de la curva se va a comportar como una

línea recta pero por otro lado esta pequeña línea recta se va a convertir en la

hipotenusa común a los dos triángulos infinitamente pequeños y por lo tanto

estos se llegarán a convertir en triángulos semejantes.


Se podrá dar evidencia empírica de usos de conocimiento matemático cuando se empleen

herramientas matemáticas para resolver actividades que tendrá como objetivo la

construcción de significados. Otra forma de dar evidencia es cuando los estudiantes

207

contestan a preguntas en donde se enuncia el lema IX enunciado por Newton en su obra

“Principios Matemáticos”

La herramienta matemática utilizada es aquella que dice que cuando dos triángulos

rectángulos son semejantes se cumple:

Á𝑟𝑒𝑎 ∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎 ∆𝐴𝐵𝐷 = 𝐴𝐸��

𝐴𝐷��22

Suponiendo dos triángulos rectángulos cuyos lados homólogos son: 𝐴𝐸�� y 𝐴𝐷��

Para llevar a cabo lo anterior los estudiantes llevan a cabo las actividades de calcular:

Al evaluar la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 en los diferentes puntos sugeridos y que es la que

representa a la curva.

También se llevan a cabo las actividades de comparar y aproximar. Conforme se va

llenando la tabla solicitada en donde los puntos B y C se van acercando cada vez más y más

al punto A.

Se da evidencia del uso de herramienta matemática cuando es llenada la tabla 1 solicitada,

por ejemplo el E2 contestó:

Figura 6.10

208

En la secuencia se dice:

Conforme los puntos B y C son cada vez más próximos al punto A también los

segmentos 𝐷𝐵�� 𝑦 𝐸𝐶�� se hacen cada vez más y más pequeños, podemos ir viendo lo que

va ocurriendo al comparar la razón entre las áreas de los triángulos Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷 con respecto a la razón entre los cuadrados de los lados 𝐴𝐸��2 𝑦 𝐴𝐷��2. ¿Qué

nos puedes decir al respecto?

La respuesta a la pregunta da evidencia de las actividades realizada con el uso de la

herramienta empleada. El E1 contesta:

Figura 6.11

Los argumentos utilizados por los alumnos tienen que ver con que los puntos B y C se

vayan acercando cada vez más al punto A. Ellos se dan cuenta que va a llegar un momento

que los triángulos llegarán a ser semejantes.

Esto lo contrastamos con la grabación hecha al respecto:

E.2, Joan: Entre los intervalos sean más pequeños, más se va acercando el área…

Profesor: La razón entre las áreas

Joan: La razón entre las áreas con respecto a la razón entre los cuadrados de los

catetos, entre más pequeños sean, más se van acercando a la ley de Newton.

E.3, Reyna: los triángulos no son semejantes.

Profesor: Pero al comparar las columnas 7 y 8, al comparar las razones entre las

áreas con respecto a la razón entre los cuadrados de los lados, ¿no se fueron

acercando estos valores?

209

Reyna: No,

Profesor (dirigiéndose al E.1): como son los dos últimos valores:

E.1: 2.27 y 2.53

Profesor (dirigiéndose al E2): A ustedes que les dio,

E.2: 2.65 y 2.46

Profesor: Hay probablemente algún pequeño error, pero los valores se van

acercando cada vez más y más…

Profesor: Después se pregunta si se cumple el lema IX enunciado por Newton.

E.2, Joan: Sí se cumple, ya que entre más pequeños sean los lados, más se va

haciendo igual la razón entre las áreas con respecto a la razón entre los cuadrados,

que era lo que decía Newton.

E.1, Andrea: En última instancia serán iguales.

Con respecto a las conclusiones de la actividad 2

En la actividad 2 se plantea:

Una forma de poder sacar conclusiones de lo que ocurre conforme los puntos B y C se

acercan cada vez más y más al punto A (siendo el valor de 𝐸𝐶�� > 𝐷𝐵��), es observar lo

que está pasando con los valores de la tabla 2 en sus columnas 7 y 8,… algo está

ocurriendo con las figuras que se encuentran ahí, ¿qué conclusiones podrías dar de lo

que va ocurriendo con las figuras (triángulos, líneas) conforme los puntos B y C se

aproximan más y más a el punto A?

Profesor: ¿Qué va pasando con respecto a los triángulos?

E.2, Joan: Los triángulos se van haciendo semejantes, se van haciendo iguales,…

Profesor: ¿Iguales o semejantes?

210

E2, Joan: Semejantes, o entre más pequeños más se hacen semejantes.

Nuevamente es el argumento de que los triángulos llegarán a ser semejantes pero siempre y

cuando se vayan haciendo cada vez más pequeños.

Se sigue planteando en la actividad 2:

A partir de los resultados de la tabla se pueden establecer conjeturas geométricas:



Profesor: ¿Cómo serán los triángulos?

E.1, Andrea: Van a llegar a ser semejantes.

Los otros equipos coinciden con la respuesta anterior.

Con respecto a lo que se pretende del punto 3 de 6.2.1, tenemos lo siguiente:

En la secuencia se propone lo siguiente:

Observa que la línea AC que es uno de los lados del ∆𝐴𝐶𝐸 al prolongarse se forma la

línea Ac, imagina como va a ir cambiando esta línea Ac (toma en cuenta que Ac es la

prolongación del segmento 𝐴𝐶�� de el triángulo ∆𝐴𝐶𝐸 ) conforme los puntos B y C se van

aproximando más y más a el punto A, ¿cuál será su posición límite de esta línea Ac?

Si los puntos B y C están infinitamente próximos a el punto A, tendremos también unos

triángulos infinitamente pequeños, vamos a imaginar lo que va a ir ocurriendo conforme

los puntos B y C van cambiando de posición acercándose cada vez más y más a el punto

A con los pequeños arcos 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y la línea Ac que se está moviendo, ¿crees que haya

alguna relación entre los pequeños arcos y la línea Ac?

211

Conforme los puntos B y C se aproximan cada vez más al punto A, digamos que se

encuentran infinitamente cercanos, en esa pequeña región ¿cómo será el comportamiento

de la curva?

Las respuestas a las preguntas planteadas en el E.3 son las siguientes:

Figura 6.12

En el video:

Profesor: ¿En qué posición quedará la línea Ac?

E.3, Alejandra: Sería la hipotenusa

Profesor: ¿Sería la hipotenusa de quien?

E.3, Alejandra: Del triángulo…

Profesor: Imagínate que lo podamos poner ahí (señalando al pizarrón)

E.3, Reyna: La línea va a ser casi vertical.

212

Profesor: Refiriéndose al E.2, ¿tú qué opinas Joan?

E.2, Joan: Casi lo mismo que ellas

Profesor: ¿va a quedar casi vertical?

E.2, Joan: Aja, va a quedar casi vertical conforme se va cerrando.

En el E1, también llegaron a la misma conclusión.

6.2.1.2 Elementos del modelo puestos en juego

La Herramienta matemática: Es aquella que le ha permitido a los estudiantes amplificar

sus capacidades para resolver un problema o enfrentar una situación. En este caso poder

comparar qué ocurre cuando dos puntos de una curva (cada punto es vértice de un triángulo

rectángulo) y que tienen otro vértice común, se van acercando cada vez más y más.

Esta herramienta fue construida en base a los conocimientos previos de los estudiantes

sobre: triángulos semejantes, triángulo rectángulo, la división y la evaluación de una

función de segundo grado. A su vez permitió llevar a cabo actividades por medio de las

cuales se llevó a cabo la construcción de significados.

Las Actividades: Las podemos observar como aquellas acciones llevadas a cabo por los

estudiantes y que fueron organizadas en una situación. Estas actividades tenían la

intencionalidad específica de observar qué pasaría cuando dos puntos se acercan más y

más. Las actividades efectuadas fueron las de calcular, comparar y aproximar. Se pudieron

efectuar gracias al uso de herramientas matemáticas y en un contexto de cambio y

variación.

El uso del conocimiento: El planteamiento de la situación se refiere al uso de la

herramienta matemática que consiste en comparar la razón entre dos áreas de triángulos

rectángulos semejantes: Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷 con respecto a la razón entre a dos de sus lados

homólogos: 𝐴𝐸��2𝐴𝐷��2 que es un conocimiento de antaño. Con lo anterior se pueden llevar a cabo

actividades. Como aquellas llevadas a cabo por Newton y que se encuentran presentes en

un contexto de cambio y variación (esto lo inferimos ya que frases como: “…los puntos B y

213

C se aproximan y se encuentran en el punto A” o también: “afirmo que las áreas de los

triángulos ABD y ACE serán respectivamente en última instancia como los cuadrados de

los lados homólogos….” Estos usos de conocimiento puestos en juego, Herramienta,

Actividades y significados propios del contexto de origen, se han cristalizado en la

situación planteada y han permitido que los estudiantes construyan significados.

Lo que los alumnos hicieron fue determinar si dos triángulos son semejantes a través de

evaluar una función cuadrática con dos puntos que se van acercando cada vez más y más.

En base a estos acercamientos observar lo que ocurre con respecto a la semejanza de los

triángulos rectángulos. Se utilizó el conocimiento de antaño mencionado en el lema IX del

libro de Los Principios Matemáticos de Newton. El rol que jugó la gráfica permitió que los

alumnos dieran evidencia que la región en donde la curva se comporta como una recta tiene

una inclinación ya que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo; esto lo podemos ver con

el E.3 quien dijo que la curva llega a comportarse como una línea recta por lo tanto forma

parte de un lado del triángulo. Anteriormente haciendo alusión a la recta Ac mencionó que

esta recta pasaría por los dos vértices de cada triángulo; este equipo también mencionó que

los triángulos llegarían a ser semejantes (fig. 6.12).


Con base a los datos obtenidos y comparando con lo que se pretendía, observamos que

efectivamente el conocimiento puesto en uso del lema IX de Newton de sus Principios

Matemáticos, al usar la herramienta matemática empleada para calcular y comparar, llevó a

que los alumnos construyeran nuevos significados además del que una curva se comporta

como una línea recta en la pequeña región de la misma que se encuentra entre dos puntos

muy cercanos de la misma. Se puede agregar a lo anterior que esa pequeña recta tiene una

inclinación, esto en base a un conocimiento previo que tenían los estudiantes sobre

triángulos semejantes, triángulo rectángulo, evaluación de funciones de segundo grado, así

como operaciones de: sumar, restar y elevar al cuadrado números enteros.

Reconocemos que la pequeña porción de la curva que se comporta como una línea recta

con cierta inclinación son los significados que se construyeron y están asociados con una

pequeña porción de la curva siempre y cuando dos puntos de la misma se encuentren

214

infinitamente cercanos entre sí. Así lo expresó uno de los equipos (figura 4) que dice: “que

la curva llega a comportarse como una línea recta, por lo tanto forma parte de un lado de un

triángulo”. Lo anterior se logra en un contexto de cambio y variación, pues los estudiantes

llevan a cabo la actividad de comparar el comportamiento de los puntos de una curva que se

van acercando cada vez más y más, y en base a eso pueden sacar conclusiones a partir de

las tendencias que observan en sus tablas.

Con respecto al significado de que la hipotenusa de los pequeños triángulos semejantes

formados tiene una inclinación, la cual sería la inclinación de la línea Ac (recta tangente, la

cual se formará al extender la hipotenusa en ambos sentidos), se construyó parcialmente.

Decimos lo anterior ya que el E.3 mencionó que la línea A va a pasar por dos vértices de

cada triángulo, evidentemente se refiere a la hipotenusa de los pequeños triángulos

semejantes formados, lo cual se confirma con lo que se muestra en la grabación en donde

Alejandra dice que la línea Ac será la hipotenusa del triángulo. Además con respecto a la

pregunta planteada en la situación donde se cuestiona cómo serán los triángulos ACE y

ABD conforme los puntos B y C están infinitamente próximos al punto A, el E.3 contesta

(figura 4) que los triángulos serán infinitamente pequeños conservando sus ángulos y

convirtiéndose en triángulos semejantes. A pesar de eso posteriormente dicen que la línea

Ac va a ser casi vertical con lo cual coinciden los demás equipos, de tal forma que los

equipos coinciden en que esa línea Ac se va moviendo pero al final dicen que va a quedar

con un ángulo casi de 90°. Esta parte nos sirve para considerar en un futuro hacer algún

cambio a la secuencia que permita que los estudiantes puedan ver que la recta tangente va a

tener una inclinación y que esta es la de la hipotenusa de los triángulos rectángulos

formados.


En la secuencia didáctica 2 se presenta la práctica de la tangente variacional, en donde hay

un contexto de significación propio de una forma de tratar el problema de la tangente. En

este caso el contexto se ve manifestado con elementos de cambio y variación, así como una

forma de abordar y argumentar para dar explicaciones en donde los elementos geométricos

son medios con los que se dan explicaciones. Por otro lado organizar actividades con la

215

intención de resolver un problema usando ideas previas posibilita la construcción de nuevos

significados (que tienen como base las ideas previas) en el proceso de resolver el problema.

Por ejemplo frases enunciadas en el lema IX como:

…los puntos B y C se aproximan y se encuentran en el punto A, afirmo que las áreas de

los triángulos ABD y ACE serán respectivamente en última instancia como los

cuadrados de los lados homólogos.

Muestran la significación propia de plantear el problema. La figura misma en donde se hace

uso de la geometría para dar una explicación es otro de los elementos contextuales a

considerar.

Se pretende que los estudiantes:

1. Construyan lo ya mencionado en el punto 6.2.1, considerando la significación

propia de una práctica.

2. Utilicen las ideas previas (de la secuencia anterior), en la situación cuyas

actividades han sido organizadas (por el profesor) con la intención de que se

imprima un contexto de cambio y variación en un ambiente geométrico, lo cual

permita la construcción de nuevos significados. En este caso se pretende que los

alumnos retomen el conocimiento construido en la secuencia didáctica uno y que

dice que dos puntos de una curva se comportan como una recta, siempre y cuando

ellos se encuentren muy cercanos entre sí. Se trata de retomar esta idea agregándole

un nuevo significado el cual consiste en construir la idea que la pequeña región en

donde la curva se comporta como una recta puede ser considerada la hipotenusa de

un pequeño triángulo rectángulo y que por lo tanto tiene una inclinación. Esto es la

resignificación.

3. Se pueda resolver un problema en otro contexto, en nuestro caso un problema en

donde dada una función de dos variables (no representadas por una línea recta

solamente, sino también una función cuadrática), haya que determinar la velocidad

instantánea. Una forma de identificar la funcionalidad es cuando se utilicen los

significados construidos para resolver el problema de calcular la velocidad que se

plantea.

216


Los usos de herramientas matemáticas para llevar a cabo actividades organizadas

intencionalmente, son evidencia de una práctica. Sin embargo, además se podrá dar

evidencia empírica cuando se detecten argumentos de la práctica de la tangente variacional,

por ejemplo aquellos en donde se usen elementos de tipo geométrico en un contexto de

cambio y variación, los cuales se resignifiquen y sirvan para resolver problemas de la

realidad.

En la secuencia didáctica dos se dice (está respuesta ya la habíamos analizado pero ahora

pondremos atención al lenguaje manejado, propio de un contexto, así como a la

resignificación):




Observamos que en la redacción anterior se encuentran elementos de tipo contextual

propios de la práctica, como son el cambio y variación, así como lo geométrico.

El E.3, contestó al respecto:

Fig. 6.13

Al contrastar esto con el video:

217

El profesor pregunta al E.1: ¿Cómo serán los triángulos ACE y ABD conforme los

puntos B y C están infinitamente próximos al punto A?

E.1, Andrea: Son semejantes.

Profesor: Dirigiéndose al E.2, ¿tú qué piensas Joan?

E2, Joan: Igual, que son semejantes porque conforme la curva va disminuyendo se

va comportando más como una recta.

Existe otros momentos en la grabación en donde se expresa un lenguaje de cambio y

variación. Hay un momento en el video en donde se observa que el profesor intenta que los

estudiantes expresen si han utilizado un argumento diferente al de la secuencia didáctica

uno retomando algunas ideas pero haciendo uso de lo nuevo visto en esta secuencia.

Profesor: Dentro de esta secuencia, ¿habría algo, algún argumento para decir que la

curva en una región muy cercana se comporta como una recta?

E.2, Joan: El intervalo pequeño.

Profesor: ¿y por qué el intervalo pequeño nos dice que se comporta como una

recta?

E.2, Joan: Por que entre más chico el intervalo, más chico el ángulo,

comportándose casi como una recta.

Profesor, dirigiéndose al E.3: A ver Reyna.

E.3, Reyna: El arco se va haciendo más pequeño y puede ser que forme uno de los

lados del triángulo…

El argumento empleado por el E.3 tiene que ver con lo que va a ocurrir cuando el arco sea

lo suficientemente pequeño. En ese momento la curva se comporta como línea recta y pasa

a ser de acuerdo por lo dicho por el E.3 uno de los lados del triángulo.

218

También se plantea en la secuencia:

Si los puntos B y C están infinitamente próximos a el punto A, tendremos también unos

triángulos infinitamente pequeños, vamos a imaginar lo que va a ir ocurriendo conforme

los puntos B y C van cambiando de posición acercándose cada vez más y más a el punto

A con los pequeños arcos 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y la línea Ac que se está moviendo, ¿crees que haya

alguna relación entre los pequeños arcos y la línea Ac?

El E.3 contesta:

Fig. 6.14

Ya habíamos visto esta respuesta con anterioridad, aunque ahora deseamos poner énfasis en

que el lenguaje utilizado haciendo uso de elementos de tipo geométrico. En la siguiente

pregunta de esta parte de la secuencia se plantea:

Conforme los puntos B y C se aproximan cada vez más al punto A, digamos que se

encuentran infinitamente cercanos, en esa pequeña región ¿cómo será el comportamiento

de la curva?

A lo que el E.3 contestó:

Fig. 6.15

219

Los equipos contestan de manera similar. La respuesta de alguna forma retoma lo que ya se

había visto con anterioridad en la secuencia anterior, es decir hay una resignificación ya

que al significado de que una curva se comporta como una línea recta entre dos puntos que

se encuentran infinitamente cercanos entre sí, es ampliado cuando además se la asocia a

esta pequeña línea recta un ángulo de inclinación.

También podemos dar evidencia de la funcionalidad, en el sentido de que se usa el

conocimiento para resolver un problema de la realidad, así como para analizarla y

reflexionar sobre la misma.

En la tercera parte de la secuencia se pide a los equipos que calculen la velocidad

instantánea de un cuerpo cuya relación entre desplazamiento y tiempo se encuentra dado

por una expresión de segundo grado de dos variables. Para ello lo que se requiere es que los

alumnos usen la fórmula de la pendiente vista en su semestre anterior:

𝑚 = 𝑣 = 𝑠2 − 𝑠1𝑡2 − 𝑡1

= 𝑠(𝑡2) − 𝑠(𝑡1)𝑡2 − 𝑡1

Se les recuerda a los estudiantes que esta fórmula es empleada en el caso de una línea recta

y lo que se requiere es que ellos utilicen los conocimientos adquiridos, es decir que sepan

que la fórmula se puede utilizar para dos puntos de una curva siempre y cuando los puntos

se encuentren lo suficientemente cercanos. Veamos lo que plantea la secuencia:

Ahora tenemos un móvil que se mueve de acuerdo a 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 y queremos

encontrar la velocidad en el instante t=1 seg.

220

Para calcular la velocidad en el caso anterior nos podíamos valer de la pendiente y como

se trata de un movimiento con razón de cambio constante siempre valía lo mismo

independientemente de los puntos utilizados para ello, ¿se podrá hacer lo mismo en este

caso?, argumenta tu respuesta:

El caso anterior se refiere al uso de la fórmula de la pendiente con una línea recta, veamos

lo que contesta el E1:

Fig. 6.16

Posteriormente se le solicita a los alumnos que calculen la velocidad instantánea en

𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔. Se plantea en la secuencia:

Utiliza las conclusiones de la actividad 2 para encontrar la velocidad en el instante

donde t=1seg.

E.1 contesta lo siguiente:

Fig. 6.17

221

Ahora vamos a contrastar esto con la grabación hecha al respecto:

El profesor pregunta haciendo referencia a un móvil cuyo desplazamiento en función del

tiempo está dado por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥

Profesor: ¿Se puede calcular la velocidad para un cuerpo usando dos puntos

cualesquiera?

E.2, Efraín: No, porque sí de hecho tomamos dos puntos va a salir una velocidad,

pero luego vamos a tomar otros dos puntos distintos va a salir otra velocidad

distinta…

Profesor: Así es.

E2, Efraín: Nunca va a salir una velocidad para lo que es toda la recta…

Profesor: Sin embargo sí se puede hacer algo, ¿verdad?

E.2, Joan: Sería solamente acercar los puntos, porque como es una curva los

valores de la pendiente no van a ser los mismos, pero si los vamos acercando tendría

un valor casi similar…

E.1, Mónica: Sí se puede, nosotros calculamos para el valor de 𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔. y

utilizando otro punto infinitesimalmente cercano se puede calcular un nuevo valor y

ya con eso podemos calcular la velocidad.

Profesor: A ver Juan Carlos, ¿por qué infinitamente cercano a el punto 1?

Juan Carlos: Por que al estar los valores infinitesimalmente cercanos de una curva

se va a convertir en línea recta.

Profesor, dirigiéndose al E.3: ¿A qué conclusión llegaron?

E.3, Reyna: La curva en un momento se va a comportar como una línea recta, por

lo tanto su pendiente va a ser constante…

222

Profesor: Bueno la pendiente no es constante de hecho, es cambiante, ¿no?, en cada

instante está cambiando…

Hugo: Sí pero si lo manejamos infinitesimalmente se va a comportar como una

línea recta, en cierto punto. Si nos acercamos mucho, en este caso, ya se tendría una

pendiente…

Profesor: ¿Ya tendría una pendiente porque ya es una pequeña línea recta ahí, no?...

Andrea: Sí, con esa pequeña línea recta, ya se tendría la pendiente.

Profesor: Y para calcular esa pendiente, sería, ¿quién, entre quién, dividir qué entre

qué?

Hugo: ∆𝑠 entre ∆𝑡.

Profesor: ¿Creo que acá le llamamos 𝑓(𝑥), no?

Equipos: Si

Profesor: Sería ∆𝑓 entre ∆𝑡

Profesor al equipo E.4: ¿Qué velocidad les quedó a ustedes?

E.4: 6

Profesor: ¿y a ustedes (E.2)?

E.2: 6.9

Profesor: ¿y a ustedes (E1)?

E.1: 6

Dos equipos contestaron bien la pregunta, uno estuvo aproximado y el otro sólo sabía cómo

hacerlo pero no contestó la pregunta, suponemos que le faltó tiempo para contestar ya que

la dejó en blanco.

223


Práctica de referencia: Evidentemente nos encontramos ante la práctica de la recta

tangente variacional, de esto podemos dar evidencia puesto que precisamente se llega a

obtener la recta tangente. Su carácter variacional lo podemos ver cuando los estudiantes

tenían que ir acercando a dos puntos de una curva hacia un tercer punto fijo, el punto A.

Los estudiantes lo reconocen así “necesitamos que la curva se comporte como una recta,

tomando dos puntos de esta infinitesimalmente cercanos…”, y en otros momento reconocen

que la recta tangente está cambiando, además todo esto se da en un ambiente geométrico,

ya que se habla de la curva, recta, triángulos semejantes. Entonces hay un conjunto de

actividades organizadas intencionalmente, en una situación por el profesor-investigador,

aunque en el caso de la tercera parte de la actividad, son los estudiantes quienes organizan

datos y la forma de obtener la respuesta; todo lo anterior haciendo uso de conocimientos

previos.

Resignificación: Existen elementos que nos permiten identificar a la resignificación,

cuando los estudiantes hacen uso de ideas construidas con anterioridad cuando reconocen

que la curva bajo ciertas condiciones se llega a comportar como una recta, pero se le añade

un nuevo atributo. Este consiste en reconocer que en la pequeña región en donde la curva se

comporta como una recta, esa pequeña recta es una parte “de un lado de un triángulo”,

como lo mencionó un equipo, o inclusive cuando el mismo equipo dijo con respecto a

cómo serían los triángulos ACE y ABD conforme los puntos B y C están infinitamente

próximos al punto A, “serán infinitamente pequeños conservando sus ángulos y

convirtiéndose en triángulos semejantes”. Siguiendo con este equipo, menciona con

respecto a los arcos y la línea Ac (que es la tangente), que esta “siempre va a pasar por dos

vértices de cada triángulo” los cuales por la forma de la figura se refieren a aquellos que se

sitúan en la hipotenusa de los triángulos semejantes.

Funcionalidad: Vamos a dar evidencia de la funcionalidad ya que las ideas construidas les

sirven a los alumnos para resolver un problema en otro contexto, en el caso que planteamos

en la tercera parte de la secuencia es la velocidad instantánea. Los estudiantes reconocen

que si se usara la fórmula de la pendiente con diferentes puntos de la curva se tendrían

diferentes velocidades. Sin embargo se puede calcular la pendiente de la curva entre dos

224

puntos, siempre y cuando se tengan dos puntos de la curva que se encuentran muy cercanos

entre sí.


Las respuestas están en torno a las tendencias que ellos ven en las tablas, es decir con base

a las actividades de calcular, aproximar e inferir, se emiten conclusiones, haciendo uso de

un lenguaje de cambio y variación, por ejemplo se dicen frases como “conforme la curva va

disminuyendo se va comportando más como una recta”.

Una idea presente en la secuencia anterior es que la curva se llega a comportar como una

línea recta bajo ciertas condiciones. Esta idea es enunciada por el equipo, sin embargo,

además se asocia a un elemento más de tipo geométrico y que se refiere a que esa recta

forma parte de un triángulo. Aquí también encontramos presente la resignificación ya que

un conocimiento anterior se enriquece añadiéndole un nuevo atributo o característica a lo

ya conocido.

Una característica de la práctica es “que es una acción que enlaza ideas previas con la

construcción de una o más ideas (conocimientos)”. En la tercera parte de la secuencia en

que se pide a los equipos que encuentren la velocidad instantánea, tres equipos de cuatro

organizan los elementos que tienen, es decir calculan dos puntos muy cercanos de una

curva, para 𝑥 = 1 y un punto muy cercano a él, haciendo uso de la fórmula de la pendiente.

Aunque ya saben que esta fórmula se puede utilizar sólo en el caso de una línea recta la

usan en base al argumento de que una curva se comporta como recta, siempre y cuando se

haga con dos puntos que se encuentren muy cercanos entre sí, de tal forma que aquí se da

evidencia de tres elementos: organizar ideas con la intención de resolver un problema

(práctica), se enlazan ideas anteriores con un nuevo problema (resignificación) y se hace

uso de saberes para resolver un problema en un nuevo contexto, que en este caso es la

velocidad (funcionalidad).

225



En cuanto el uso del conocimiento se emplea en la secuencia lo expuesto por L´Hospital, la

cual dice:







punto M o m.

(L´Hospital, 1696)

Esta idea fue un saber (conocimiento puesto en uso) propio de una forma de pensar de una

época y que se encuentra presente en toda la secuencia. El uso de esta idea se hace

mediante herramientas matemáticas como son: la fórmula de la pendiente y la gráfica de

una función. Estas permiten llevar a cabo actividades como son: Calcular, aproximar,

inferir y comparar, las cuales nos dan cuenta de qué es lo que se pretende que hagan los

estudiantes. El cómo pretendemos que se lleven a cabo las actividades es a partir de

observar tanto los signos como los valores de la pendiente de la recta tangente a la curva,

antes durante y después del punto crítico, verificando lo que ocurre con las posiciones de la

recta tangente, es decir verificar los valores del ángulo de inclinación de la recta tangente,

pero también observar que ocurre con los valores de pendiente de la recta tangente a la

curva en los mismos puntos.

226

El funcionamiento de la gráfica contesta a la pregunta de, ¿para qué de la gráfica?, lo cual

se va a llevar a cabo a partir de la relación dialéctica herramienta-actividad y que llevará a

la construcción de significados como son: el carácter variacional de la recta tangente a una

curva, caracterizar una función cuadrática, así como su asociación existente con un

fenómeno físico (que en este caso es el de tiro vertical). Todo esto permitirá introducir a la

derivada desde un punto de vista gráfico.

Las ideas que se manejan en base al uso del conocimiento son:

a) Una línea curva pueda ser considerada como el ensamblaje de una infinidad de

líneas rectas, cada una de estas infinitamente pequeñas.

b) Implícitamente se maneja la idea de que un punto es un pequeño segmento

infinitesimal.

c) Cuando una de las pequeñas líneas rectas (pertenecientes a la curva) se puede

extender en ambos sentidos, este pequeño lado así prolongado será la tangente de la

curva en el punto.


Se dará evidencia empírica del uso del conocimiento cuando se utilice la idea expuesta por

L´Hospital acerca de la recta tangente, con sus respectivas actividades llevadas a cabo por

herramientas matemáticas. En la 2da parte de la secuencia se plantea:

Actividad 2

Si el cuerpo es lanzado con una velocidad inicial de 𝑣𝑖 = 30 𝑚𝑠 y la fórmula para calcular

la distancia está dada por la expresión matemática: 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 − 4.9𝑡2, se desea calcular

la velocidad en el instante t=3 seg. Para lo cual se puede utilizar la fórmula de:

𝑚 = 𝑣 = ∆𝑠∆𝑡 = 𝑠(𝑡2)−𝑠(𝑡1)

𝑡2−𝑡1

Sin embargo para utilizar la fórmula anterior se necesita tener en cuenta:

227

Se requiere conocer las coordenadas de dos puntos: 𝑃1�𝑡1, 𝑠(𝑡1)� y 𝑃2�𝑡2, 𝑠(𝑡2)� La fórmula anterior se usa para calcular la pendiente una recta.

En nuestro caso la expresión 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 − 4.9𝑡2 no representa a una recta sino a una

curva, parecida a la mostrada en la figura 1 de la actividad 1, sin embargo a pesar de que

la fórmula (2) de la velocidad, representa la pendiente de una recta, como hemos dicho

bajo circunstancias especiales una curva se comporta como una recta.

Tomando en cuenta lo anterior:

i) Calcular la velocidad en el instante (velocidad instantánea o razón de cambio

instantánea) en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. ¿Cuál es la velocidad en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.?

ii) Utilizando lo dicho por el L´Hospital: “Si se prolonga uno de los pequeños lados

Mm de la poligonal que compone una línea curva, este pequeño lado así

prolongado será llamado la tangente de la curva en el punto M o m.” A partir de

esto traza una recta tangente en el punto 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.

iii) La tangente trazada ¿tiene la misma pendiente (razón de cambio) que la del


Con respecto al inciso i) se utiliza la herramienta de la pendiente: 𝑚 = 𝑣 = ∆𝑠∆𝑡 = 𝑠(𝑡2)−𝑠(𝑡1)

𝑡2−𝑡1

Para llevar a cabo la actividad de calcular, se utiliza un conocimiento de antaño que es la

consideración de que un punto es un pequeño segmento infinitesimal de acuerdo a lo dicho

por L´Hospital. Veamos lo que el E.4 reporta al respecto:

228

Fig. 6.18

En donde verificamos el uso de la herramienta matemática de la pendiente de una recta para

ejecutar la actividad de calcular, haciendo un uso de lo expuesto por L´Hospital, ya que de

otra forma no se podría calcular la pendiente (velocidad) puesto que la función tratada es

cuadrática. Digamos que se hace un uso del conocimiento para conocer la velocidad en un

instante del tiempo (en nuestro caso 2 segundos.), lo cual gráficamente se podría ver

representado por la inclinación que tiene el pequeño segmento infinitesimal en el punto

analizado.

Posteriormente el mismo equipo E.4 lleva a cabo la actividad de aproximar mediante el uso

de la gráfica, la cual sirve como herramienta para llevarla a cabo. También se observa que

se emplea el uso del conocimiento mencionado por L´Hospital, se reporta con respecto a el

inciso ii):

229

Fig. 6.19

El E.4 traza la recta tangente respetando la dirección de la curva y tocando en el punto cuyo

𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. Aquí hay un uso del conocimiento manifestado en el trazo de la recta tangente.

Lo que los estudiantes hicieron fue trazar rectas tangentes y el como lo hicieron fue

considerando la dirección que lleva la curva en cada instante en que se pide trazar la recta

tangente. En este momento se hace uso de un conocimiento de antaño, el expuesto por

L´Hospital el cual dice que se requiere que una curva pueda ser considerada como el

ensamblaje de una infinidad de líneas rectas.

Con respecto al inciso iii) el E.1 reporta:

Fig. 6.20

230

Se lleva a cabo la actividad de inferir usando la gráfica como una herramienta y utilizando

lo expuesto por L´Hospital ya que el equipo menciona que la tangente es la prolongación

del punto.

Ahora veamos al inciso xi), en donde se tiene la intención de que se lleve a cabo la

actividad de comparar:

xi) ¿cuál es el signo de la velocidad en el instante 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 y cuál el signo en el

instante 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔.? Que explicaciones puedes dar al respecto.

En el caso del E.1 contesta lo siguiente:

Fig. 6.21

El equipo justifica su respuesta en base a que ya ha observado que antes del punto máximo

la función es creciente y después del mismo decreciente. Dos equipos más contestan en el

mismo sentido y uno de ellos sólo menciona cómo son los signos para los puntos referidos.

Podemos observar que la gráfica se usa para determinar el comportamiento de la curva

(creciente o decreciente) dependiendo del punto máximo.

Ahora vamos a contrastar con los datos obtenidos mediante el video.

Para el inciso i) tenemos:

Profesor, refiriéndose al E.4: ¿Cuánto vale la velocidad en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠?

231

E.4, Jessica: 10.4

Profesor: ¿Cómo le hicieron para calcular esa velocidad?... ¿utilizaron dos puntos?

E.4, Jessica: Ajá.

Profesor: ¿Cuál y cuál?

E.4, Jessica: Fue el 2 y como estamos diciendo que para utilizar nuestra fórmula se

necesita un valor muy cercano al 2, por lo tanto utilizamos el 2.00001 ya con eso

tenemos 𝑠(𝑡1) y 𝑠(𝑡2) ya con eso pudimos calcular la velocidad.

Profesor, refiriéndose E.3: ¿A ustedes cuanto les quedó?

E.3: 10

Profesor, dirigiéndose E.2: ¿y a ustedes?

E.2: 9.91

Profesor, refiriéndose E.1: ¿y por acá?

E.1: 6

Profesor: Esta raro, ¿no?, cada quien tuvo valores diferentes, ok. Tenemos que

revisar.

Ahora con respecto a el inciso ii)

Profesor, refiriéndose al E.1: ¿Cómo le hicieron para trazar la recta tangente en

𝑡 = 2?, ¿qué fue lo que hicieron?

E.1, Andrea: Con los puntos que ya habíamos encontrado, ya después con esos

trazamos la recta tangente.

La gráfica correspondiente a la que hace alusión el E.1 es la siguiente:

232

Fig. 6.22

Se observa en su gráfica en papel cuadriculado que corrigieron lo dicho en el video ya que

obtuvieron una pendiente aproximadamente 𝑚 = 10, lo cual se puede observar ya que por

cada unidad de cambio en el eje horizontal, asignan 10 de aumento en el eje vertical.

En el caso del E2, dice que lo obtuvo de manera similar, y los otros dos equipos utilizaron

un método similar.

Ahora con respecto al inciso iii) se dice:

Profesor, refiriéndose al E.1: ¿Qué opinan?

E.1, Andrea: Qué sí, estamos hablando de un segmento infinitesimalmente pequeño

y la curva se convierte en una recta y esa sería parte de la recta tangente.

Profesor: Es parte de la recta tangente, de hecho la recta tangente y la curva en ese

punto comparten el mismo segmento infinitesimal, digamos, ¿no?

Equipos: Asienten (con la cabeza)

Profesor: Son uno mismo en esa parte.

Vayamos al inciso xi), en donde la intención es que los estudiantes con todo lo

anteriormente visto y haciendo uso de la gráfica hagan una comparación de lo que va

ocurriendo con los valores de la pendiente de la recta tangente.

233

Lo que Joan dice al respecto:

E.2, Joan: La recta tangente va cambiando de posición, un ejemplo sería en 𝑡 = 2 la

recta tangente es positiva, en el punto más alto la recta tangente cambia de posición

a horizontal, convirtiéndose así en una constante, y en 𝑡 = 5 es con una tangente

negativa y cambia su posición.

(Nota: Faltaría aclarar por Joan que en el punto más alto la ecuación de la recta tangente es

de la forma 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒, por otro lado habla de tangentes positiva o negativa cuando en

realidad le hace falta decir que se está refiriendo a la pendiente de la recta tangente.)

Profesor: Pero si por ejemplo tuviéramos 𝑡 = 1, ¿cómo será el signo?

Equipos en general: Positivo

Profesor:... de la pendiente de la recta tangente, ¿positivo?

Equipos: Sí.

Profesor, dirigiéndose al E.3: ¿Sería la misma posición que en 𝑡 = 2?

E.3, Andrea: No, sería una posición diferente, va cambiando de posición.

6.3.1.2 Elementos del modelo puesto en juego.

La Herramienta matemática: Las herramientas matemáticas utilizadas por los estudiantes

fueron la fórmula de la pendiente, de la cual se pudo hacer uso gracias a lo expuesto por

L´Hospital utilizando las coordenadas de puntos muy cercanos entre sí. Otra de las

herramientas utilizadas para llevar a cabo las actividades propuestas fue la gráfica en la cual

la forma fue la de una parábola que abre hacia abajo. Los estudiantes la usaron trazando

tangentes a una curva en un punto con la misma dirección que la que tiene la curva en ese

punto. También sirvió para que los alumnos pudieran explicar que la curva y la tangente

comparten el mismo segmento infinitesimal, en el punto de contacto.

234

Las Actividades: Las actividades que se llevaron a cabo y que fueron ejecutadas con el uso

de herramientas matemáticas son:

a) La de calcular, cuando se calculó la velocidad en el instante 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔

b) La de aproximar, cuando se pidió trazar la recta tangente en un punto especifico.

c) La de inferir, cuando se pidió contestar si la recta tangente en un punto tiene la

misma pendiente que la del segmento infinitesimal que se tiene en ese mismo punto.

d) La de comparar cuando se solicitó que se dieran explicaciones acerca de los signos

de las pendientes para un punto que se encontraba antes del máximo y otro que se

encontraba después.

El uso del conocimiento: La ejecución de todas las actividades llevadas a cabo con el uso

de herramientas matemáticas se logró gracias a un saber de antaño que fue el expuesto por

L´Hospital, ya que éste hizo posible dar respuesta a los requerimientos solicitados.

Actividades como la de calcular (en donde hay que saber cuáles son los puntos a sustituir),

así como las actividades de aproximar, inferir y comparar dan cuenta de qué es lo que se

hace con la gráfica y se pueden contestar a través del uso de conocimiento de antaño.


Se observó que los estudiantes calcularon la pendiente de la recta tangente en un punto de

la misma para lo cual se hizo uso de la idea expuesta por L´Hospital. Aunque ellos ya

venían trabajando con la idea de que una curva se comporta como una recta en la región de

la misma donde hay dos puntos infinitesimalmente cercanos entre sí, en esta secuencia los

alumnos se percataron que dicha pendiente está cambiando en cada punto de la curva, ya

que al considerar un punto como un pequeño segmento infinitesimal (de a cuerdo a

L´Hospital) este segmento infinitesimal va cambiando en cada punto de la curva. Por otro

lado también se pudo verificar con base a sus respuestas que identificaron que la curva y la

recta tangente comparten un mismo segmento infinitesimal, por lo que los alumnos

pudieron concluir que la recta tangente está cambiando tal y como lo pudimos verificar en

base a sus respuestas y sus gráficas trazadas, lo que también nos está mostrando como

usaron la gráfica. Es a partir del uso de conocimiento que se pudo construir el significado

de que la recta tangente está cambiando en cada punto de la curva esto gracias a la relación

235

dialéctica herramienta-actividad, lo cual tiene sentido en un contexto de cambio y

variación.

A partir de la idea planteada por L´Hospital y haciendo uso de herramientas matemáticas

como la de la pendiente se pudo verificar que esta es diferente para cada punto de la curva,

tal y como fue expresado por los estudiantes. Por ejemplo Joan mencionó que la recta

tangente va cambiando de posición antes del punto más alto, en el mismo tiene posición

horizontal y después de él es negativa. Por otro lado también se puede verificar con el uso

de la gráfica como herramienta matemática que se llevó a cabo la actividad de aproximar al

dibujar la recta tangente en 𝑡 = 2𝑠𝑒𝑔. y cuando se solicita a los alumnos que hagan la

descripción de cómo va cambiando la recta tangente, consideramos a la gráfica como una

herramienta que también auxilia al respecto. Con su uso se puede argumentar cuándo la

pendiente de la recta es positiva, negativa o vale cero e inclusive a partir de la gráfica

también se puede observar que aunque se tengan dos rectas con pendientes del mismo signo

en diferentes posiciones (diferentes valores del tiempo) tendrán diferentes valores de

pendiente.


El concebir que una línea curva pueda ser considerada como el ensamblaje de una infinidad

de líneas rectas, cada una de estas infinitamente pequeñas, tiene sentido en un contexto de

cambio y variación, ya que la curva puede ser la representación gráfica de una función de

dos variables y cada línea infinitamente pequeña representaría la hipotenusa de un pequeño

triángulo rectángulo, lo cual nos permite pensar en una razón de cambio instantánea que

además es cambiante ya que en cada punto de la curva adquiere un valor diferente. Hacer

uso de estas ideas en un contexto escolar permite que los estudiantes pueden enlazar los

conocimientos de las secuencias anteriores.

La idea expuesta por L´Hospital es utilizada en la secuencia y es la que permite construir

nuevos significados (tomando como base lo anteriormente visto) en la construcción de la

recta tangente variacional. Esto da evidencia de la resignificación.

236

Resolver un problema o contestar a cuestionamientos haciendo uso de un conocimiento de

antaño en un contexto de cambio y variación el cual no es exclusivamente matemático da

evidencia de la funcionalidad de la práctica de la recta tangente variacional.

Se tiene la intención de que los alumnos construyan:

a) La idea de que la recta tangente a una curva en un punto comparten un pequeño

segmento infinitesimal, de tal forma que con esta idea la curva y la recta tangente

tienen la misma dirección en el punto de contacto y por lo tanto la recta tangente va

cambiando de posición en cada instante.

b) Utilicen argumentos de cambio y variación para solucionar lo que se pide en la

actividad.

c) Organicen ideas vistas anteriormente con la intención de resolver un problema o los

cuestionamientos planteados, así como también resolver un problema de tiro

vertical.

6.3.2.1 Evidencia empírica. Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad

En la secuencia didáctica 3 en la 2da parte en el inciso vii) se pide a los estudiantes utilizar

el mismo método empleado en el inciso i) para encontrar la velocidad en el punto más alto.

Pretendemos que los estudiantes usen argumentos de cambio y variación, lo cual se refiere

al comportamiento que tiene una curva cuando es analizada en dos puntos muy cercanos de

la misma, y haciendo uso de ese conocimiento producto de sus experiencias anteriores (dos

secuencias didácticas anteriores y la misma secuencia didáctica 3), utilizarlo para resolver

lo que se pide. En la secuencia se plantea:

vii) Una vez encontrado las coordenadas del punto más alto, utilizando el mismo método

que en el punto i) calcula la velocidad utilizando el tiempo que encontraste para llegar al

punto más alto. ¿Cuál es la velocidad en el punto más alto?

237


Fig. 6.23

Para lo cual lleva a cabo los siguientes desarrollos.

Fig. 6.24

Otro equipo obtiene un valor similar, el otro dice que vale cero y otro equipo más aunque

hace el cálculo en base a tomar dos puntos muy cercanos su valor es de 𝑣 = −3.1 𝑚𝑠 .

El profesor comenta que el valor debería de ser cero y pregunta:

238

Profesor: ¿Por qué es lógico pensar que la velocidad en el punto más alto deba ser

cero?

E.2, Joan: Porque la pendiente…la tangente es constante

Aquí muy probablemente se refirió a que la ecuación de la recta tangente es de la forma:

𝑦 = 𝑐𝑡𝑒

Profesor: ¿Cómo quedaría la recta tangente ahí?

E.2, Joan: Horizontal

Profesor: ¿La puedes dibujar?

El alumno Joan pasa a dibujar una línea recta tangente horizontal en el punto más alto de la

curva:

Fig. 6.25

Profesor: ¿Cuánto vale su pendiente de esa recta tangente?

Joan: Cero

Profesor: ¿Estamos de acuerdo los demás?

Equipos: Si. (En coro)

239

Profesor: Eso es geométricamente, pero si pensáramos en un cuerpo que es lanzado

hacia arriba, que va disminuyendo su velocidad, ¿cómo sería su velocidad en el

punto más alto?

Los equipos discuten brevemente.

E.1, Andrea: Igual a cero.

Un elemento importante en la resignificación es retomar elementos construidos en las dos

secuencias anteriores agregándole nuevos significados de forma explícita; de esto se

pretende dar evidencia cuando los alumnos construyan significados con respecto al carácter

variacional de la recta tangente a una curva. Ahora veamos una parte de la secuencia en

donde se pretende que haciendo uso de lo dicho por L´Hospital se pueda explicar cómo es

la razón de cambio (pendiente de la tangente) antes, durante y después del punto más alto.

La secuencia en la parte 1 haciendo alusión a la figura 1(donde se muestra la gráfica

distancia contra tiempo de un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba), dice:

a) En el intervalo 0 < 𝑡 < 𝑡𝑚 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón

de cambio es positiva o negativa? argumenta tus respuestas:

b) En el intervalo 𝑡𝑚 < 𝑡 < 𝑡𝑓 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la

razón de cambio es positiva o negativa?, argumenta tus respuestas:

A lo cual el E.2 contesta:

t

s

tm tf

∆𝑠

∆𝑡

240

Fig. 6.26

Aquí los estudiantes usan la gráfica como un referente visual, ya que de sólo ver la

representación gráfica pueden decir que la razón de cambio es variable.

Para el inciso b) el E.2 se contesta lo siguiente:

Fig. 6.27

A lo cual se argumenta lo siguiente:

Con respecto a el inciso a)

Profesor: ¿La razón de cambio es constante o variable?

E.2, Joan: Es variable.

Profesor: La razón de cambio es variable, eh… ¿por qué piensas que es variable?

241

E.2, Joan: Porque lo representa como una curva, entonces la razón de cambio y la

pendiente va a ir cambiando de forma, luego pregunta, ¿la razón de cambio es

positiva o negativa?, y del punto 0 al punto 𝑡𝑚es positiva porque va ascendiendo, va

creciendo.

Profesor: Va ascendiendo, ok., ¿todos están de acuerdo que es una razón de cambio

variable?

Equipos: Si (en coro).

Profesor: ¿En el intervalo 𝑡𝑚 < 𝑡 < 𝑡𝑓 , la razón de cambio es constante o variable?,

¿la razón de cambio es positiva o negativa?

E.4, Pilar: Es variable porque para los mismos cambios de la variable

independiente no hay los mismos cambios de la variable dependiente y es negativa

porque para los mismos cambios de la variable independiente no hay las mismas

disminuciones de la variable dependiente.

Profesor: Mmmm, a ver, ¿qué piensan los demás, están de acuerdo?

E.1, Juan Carlos: Es una razón de cambio variable, y negativa porque del valor de

𝑡𝑚 a 𝑡𝑓 va en forma descendente, eso quiere decir que de 0 a 𝑡𝑚va en forma

ascendente, llega a un punto donde se mantiene constante, después de ese punto va

en forma descendente y es negativa y sus variaciones son diferentes.

Profesor: Por eso es variable.

Ahora vamos a revisar la segunda parte de la secuencia en los incisos xiii al xviii. Esta parte

de la secuencia se encuentra después de que los alumnos ya han revisado y analizado como

son los signos de la pendiente de la recta tangente antes, durante y después del punto más

alto.

xiii) ¿Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y


desplazamiento con respecto del tiempo?

242

xiv) ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes antes del punto más


curva antes del punto más alto?

xv) ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes después del punto

más alto?, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada una de las rectas tangentes

a la curva después del punto más alto?

xvi) ¿Cuál es la posición de la recta tangente en el punto más alto?

xvii) ¿Qué es lo que va ocurriendo con cada una de las rectas tangentes y sus

pendientes a la curva desde que inicia el movimiento hasta que termia?

Las respuestas son las siguientes:

Del E.1:

Fig. 6.28

Del E.3:

243

Fig. 6.29

Ahora con respecto a los incisos xiv) al inciso xvii) el E4 contesta:

Fig. 6.30

Ahora veamos qué es lo que argumentan:

244

Profesor: ¿Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas

antes y después del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la

gráfica del desplazamiento con respecto del tiempo?

E.3, Alejandra: Nosotros le pusimos que sí ya que conforme a los signos de las

velocidades son los signos de las tangentes.

Profesor: Bien, entonces ¿cómo son los signos antes del punto más alto?

E.3, Reyna: Positivos

Profesor: ¿y después del punto más alto?

E.3: Negativos (en coro)

Profesor: ¿Alguien más quiere decir algo al respecto?

Equipos: No (en coro)

Veamos lo que ocurre con los siguientes incisos del xiv) al xvii)

Profesor: Continuamos, ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas

tangentes antes del punto más alto?, esa ya la contestamos, ¿cómo es el ángulo de

inclinación para cada una de las rectas tangentes a la curva antes del punto más

alto?

E.1, Juan Carlos: Son ángulos menores de 90°

Profesor: Son ángulos menores de 90°, ¿cómo les llamamos a esos?

E.1: Agudos (en coro)

Profesor: ¿Y después del punto más alto?

E.1: Obtusos (en coro)

Profesor: ¿En el punto más alto?

E.2: No tiene ángulo

245

Profesor: No se intercepta

Profesor: ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes después del

punto más alto?, ya la contestaron, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada

una de las rectas tangentes a la curva después del punto más alto?

Equipos: Ángulos obtusos (en coro)

Profesor: Siguiente, ¿Qué es lo que va ocurriendo con cada una de las rectas

tangentes y sus pendientes a la curva desde que inicia el movimiento hasta que

termia?, ¿Quién lo puede ir describiendo desde que inicia el movimiento hasta que

termina?

E.2, Joan: Nosotros le pusimos que cambia su ángulo de inclinación y como

consecuencia el signo de la pendiente así como lo maneja la tangente como se

puede ver que es una parábola.

En el mismo momento que está hablando de la tangente Joan describe una parábola con su

mano.

Fig. 6.31

246

La gráfica se usa como un referente visual por medio del cual se puede determinar las

posiciones de la recta tangente a la curva, lo cual tiene que ver tanto con los signos de las

pendientes como con los ángulos de inclinación de las mismas.

Sigue comentando Joan.

E.2, Joan: Así es como se va a definir lo que es la tangente, si es positiva antes del

punto más alto o si es negativa

Profesor: Después del…

E.2, Joan: Después del punto más alto.

Profesor: ¿Y siempre antes del punto más alto, cómo ira a ser el signo de la

pendiente de la recta tangente?

E.2, Joan: Positiva

Profesor: ¿Todos están de acuerdo con eso?

Equipos: Si (en coro)

Profesor: ¿Y cómo será el signo de la pendiente de la recta tangente después del

punto más alto?

Equipos: Negativa (en coro)

Profesor: Okey, estamos viendo que ese punto más alto va a separar los signos

positivos de las pendientes de las rectas tangentes después de ese punto más alto

ahora son…

Equipos: Negativos (en coro)

Revisemos que es lo que contestaron algunos equipos en el último inciso de la 2da

actividad, en el se dice:

xviii) Traza las rectas tangentes a la curva en los puntos señalados en la siguiente

gráfica:

247

A lo cual el E1, respondió:

Fig. 6.32

De los cuatro equipos, tres contestaron de forma similar, pero uno contestó incorrectamente

ya que las rectas tangentes que trazó no llevaban la misma dirección que la curva.

248


Práctica de referencia: Al pedir calcular la velocidad en el punto más alto alcanzado por

un cuerpo que ha sido lanzado verticalmente hacia arriba, los estudiantes deben (aunque sea

de forma sencilla) organizar sus datos para reproducir conocimiento matemático. En este

caso primero tenían que encontrar las coordenadas del punto más alto, esto lo hicieron en

base a sus experiencias previas. Posteriormente al encontrar el valor de la abscisa para el

punto más alto utilizaron la función 𝑠(𝑡) con dos puntos muy cercanos de “t” lo cual los

llevó a obtener datos que utilizaron en la fórmula de la pendiente (velocidad), pero además

resaltamos que hicieron uso de la fórmula en base al argumento de que los puntos eran

muy cercanos. Cabe hacer notar que los alumnos evidenciaron que antes del máximo los

valores de las pendientes de las rectas tangentes eran positivos, pero también distinguieron

que estos valores eran cambiantes así como las posiciones de las rectas tangentes con

ángulos de inclinación agudos; de manera similar llegaron a la conclusión de que los

valores de las pendientes de las rectas tangentes después del máximo eran negativos e iban

cambiando, así como las posiciones de las rectas tangentes los cuales tenían ángulos de

inclinación obtusos.

Resignificación: Al llevar a cabo esta secuencia los alumnos sabían que una curva se

comporta como una recta en aquella región de la misma donde hay dos puntos muy

cercanos entre sí. Sin embargo la evidencia de que ese significado ha sido construido es por

la aplicación del mismo (al calcular la pendiente en un punto) enlazado con la idea de que

un punto puede ser considerado un segmento infinitesimal (y formar parte del ensamblaje

de una infinidad de segmentos infinitesimales), ya que al preguntárseles por la velocidad en

diferentes instantes pudieron contestar si los valores eran diferentes o no lo eran, así como

también los signos de las velocidades antes y después del máximo.

Se puede dar evidencia de la resignificación cuando los alumnos efectivamente demuestran

que un punto de la curva (pequeño segmento infinitesimal) se puede extender en ambos

sentidos formándose así la recta tangente. Como diría una de las alumnas ante la pregunta,

“¿la tangente trazada en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. tiene la misma pendiente que la del pequeño segmento

infinitesimal en el mismo punto?” a lo cual respondió: “Sí, porque el pequeño infinitesimal

viene siendo parte de la tangente”. Cuando se pidió a los alumnos que trazaran rectas

249

tangentes en diferentes puntos de la curva, 3 equipos de 4 pudieron hacer la aproximación

correctamente trazando la recta tangente tocando a un punto de la curva y siguiendo la

misma dirección que la de la curva, construyéndose de esta forma nuevos significados en

base a lo que ya sabían.

Funcionalidad: El conocimiento puesto en uso adquiere significación en un contexto

diferente al exclusivamente matemático, así como en el contexto matemático, pero

resolviendo nuevos planteamientos. En el caso de la secuencia didáctica se pide a los

alumnos obtener valores de velocidad en diferentes instantes del tiempo, por ejemplo antes

del punto más alto, en el punto más alto y después del mismo. El que los estudiantes

puedan describir qué va ocurriendo con las rectas tangentes y sus pendientes desde que

inicia el movimiento hasta que termina muestra un saber funcional, pero también se da

evidencia al pedir trazar rectas tangentes a una función diferente a la resuelta en el

problema de la secuencia puesto que se trataba de una parábola que abre hacia arriba donde

el 75% de los equipos respondieron satisfactoriamente. Constatamos por lo tanto que el

funcionamiento de la gráfica se nota cuando los estudiantes pueden verificar el carácter

variacional de la recta tangente a la curva asociando su pendiente con la velocidad

instantánea como también se pudo verificar con la evidencia empírica mostrada.


En base a los datos obtenidos se puede concluir que los alumnos han sabido calcular la

velocidad instantánea en un punto de la curva. Además cuando se les preguntó por valores

diferentes del tiempo antes del punto máximo contestaron que se tendría valores diferentes

de velocidad positiva. De manera similar ocurriría con valores del tiempo después del punto

mínimo pero ahora con valores diferentes de velocidad negativa y aclarando que la

velocidad en el punto máximo tenía un valor de cero. Por otro lado reconocieron que la

recta tangente y la curva comparten un mismo punto y llevan la misma dirección de lo cual

se da evidencia cuando en sus respuestas acerca de los valores de los ángulos de inclinación

antes y después del punto máximo, así como en la gráfica de una parábola que abre hacia

arriba en donde sin dárseles valores de “x” se pidió que trazaran las rectas tangentes a la

curva en diferentes puntos, la mayoría de los alumnos pudo contestar correctamente. Por

250

otro lado han hecho descripciones detalladas de cómo van cambiando las posiciones de las

rectas tangentes a la curva desde que inicia el movimiento hasta que termina, precisando

cómo es la posición en el punto máximo y cuál es el valor de la pendiente de la recta

tangente en este punto. Todo esto da muestra de un conocimiento funcional, ya que además

ha servido para utilizarlo en un contexto diferente al estrictamente matemático como es el

caso del tiro vertical. La idea de L´Hospital fue un argumento muy importante usado a lo

largo de toda la secuencia pero tuvo sentido por los significados que ya habían construido

los estudiantes de sus secuencias anteriores, es decir pudieron vincular los significados

anteriormente construidos con lo nuevo y de esta forma se ha calculado la velocidad

instantánea reconociendo que su valor es cambiante para cada punto de la curva y

asociando este valor con el de la pendiente (razón de cambio) de la recta tangente.



En esta secuencia se va ha hacer uso de una figura que fue utilizada por algunos

matemáticos en los cuales se veía manifestada la práctica de la tangente variacional en los

siglos XVII y XVIII con Euler. La figura usada muestra dos triángulos semejantes, uno de

ellos formado con la recta tangente a un punto de la curva y el otro de dimensiones

infinitesimales cuya hipotenusa es una parte de la curva. Como se toma sólo una

pequeñísima parte de esta, la pequeña parte de la curva se comporta como una recta. La

figura es la siguiente:

Fig. 6.33

251

De acuerdo a Serna (2007) Euler es un matemático que comienza a hacer análisis en base a

desarrollos algebraicos. El hacer un análisis del cambio al dejar “fluir” del punto M al

punto 𝜇 y hacer un análisis del polinomio encontrado le lleva a un método parecido al que

actualmente se le conoce como método de los cuatro pasos; Euler comienza a hacer un

abandono (aunque no total) de las explicaciones haciendo uso de las graficas.

En el caso propuesto se emplean ideas de tipo geométrico como son la semejanza de

triángulos apoyados visualmente del uso de una gráfica con una figura que representa un

conocimiento de antaño puesto en uso en donde las ideas de cambio y variación se ven

expresadas. Se hace uso de diferentes herramientas matemáticas para llevar a cabo

actividades las cuales llevan a la construcción de nuevos significados.

Lo que se pretende es que los estudiantes puedan experimentar con un método que les

permita ver que se puede encontrar una expresión algebraica para determinar la pendiente

de la recta tangente en un punto 𝑝(𝑥,𝑦) de la curva.

6.4.1.1 Evidencia empírica. Uso-Herramienta-Actividad

El uso de la figura mostrada anteriormente se lleva a cabo en toda la secuencia didáctica,

así como los argumentos de cambio y variación.

La gráfica se usa con la intención de que los estudiantes verifiquen que hay dos triángulos

rectángulos semejantes. Para ello se hace uso de la herramienta matemática que dice “dos

triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes” junto con la

actividad de comparar y haciendo uso de la gráfica que tiene que ver con un conocimiento

de antaño. En la secuencia se muestra una figura parecida a la planteada por Euler, pero con

una nomenclatura usada actualmente:

252

Fig. 6.34

Posteriormente se dice:

Requerimos una expresión que nos permita obtener la razón de cambio instantánea.

Vamos a considerar que ∆𝑡 es infinitamente pequeño de tal forma que la pequeña porción

de curva 𝑃1𝑃2� se puede comportar como una recta ya que los puntos 𝑃1 𝑦 𝑃2 se

encuentran infinitamente próximos entre sí, de hecho están tan cercanos que podrían ser

considerados un solo punto, recordemos que dé a cuerdo a lo reportado por L´Hospital un

punto es un pequeño segmento infinitesimal (una pequeñísima parte de una curva) De tal

forma que el pequeño segmento infinitesimal tiene como pendiente la misma que la de la

recta tangente en el punto 𝑃1 .

Como puedes ver de la figura se observa la existencia de dos triángulos semejantes:

¿Cuáles son los vértices de estos triángulos?



𝑷𝟏(𝒕𝟏, 𝒔(𝒕𝟏))

𝑷𝟐(𝒕𝟏 + ∆𝒕, 𝒔(𝒕𝟏 + ∆𝒕))

∆𝒔 ∆𝒕 q

T P

253

Con respecto a la primer pregunta los cuatro equipos la contestaron correctamente, veamos

las respuestas con respecto a los siguientes dos puntos que se les solicita a los estudiantes:

Por ejemplo el E.1 contesta:

Fi. 6.35

Observamos que el equipo sabe que 𝑝2𝑞�� = ∆𝑠 y que 𝑝1𝑞�� = ∆𝑡 tal y como se muestra en la

figura de apoyo que utilizan en su respuesta.

La gráfica le sirve para que a partir de ella se puedan establecer relaciones de semejanza de

triángulos, así como las relaciones de proporcionalidad correspondientes.

Con respecto al E.2, contesta:

Fig. 6.36

254

Haciendo uso de una nomenclatura como las que aprendieron en Geometría escriben sus

resultados, sin embargo les queda claro quién es ∆𝑡 𝑦 ∆𝑠 ya que podemos ver un apoyo

visual que usaron en una figura anterior, es la siguiente:

Fig. 6.37

Observamos uso de la gráfica verificando las representaciones que hace este equipo en la

gráfica, lo cual nos da cuenta de cómo actúan los estudiantes con la gráfica y que por medio

de ella hacen representaciones geométricas lo cual posteriormente servirá como argumento

para obtener la expresión algebraica que representa la razón instantánea de cambio.

Vemos que efectivamente identifican correctamente a quien corresponde ∆𝑠 𝑦 ∆𝑡.

Los otros dos equipos contestaron correctamente sin hacer alusión a ∆𝑡 𝑦 ∆𝑠, pero

consideramos que saben a qué se refiere ya que ponen lo vértices correctamente.

Ahora veamos otros fragmentos de la secuencia en donde llevando a cabo desarrollos

algebraicos se quiere llevar a cabo la actividad de generalizar para lo cual se hace uso de la

herramienta matemática de:

a) Resta: Para obtener el cambio

255

b) División: Para obtener la razón de cambio

En la secuencia se plantea:

Utiliza los resultados obtenidos en los incisos c) y d) anteriores para obtener el valor de

∆𝑠,

∆𝑠 =

Y posteriormente se pide:

Divide la expresión encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, ¿cuál es la expresión encontrada en el

caso que estamos tratando?


Fig. 6.38

256

Fig. 6.39

Dos equipos más contestaron correctamente y el otro equipo tuvo problemas al llevar a

cabo sus desarrollos algebraicos con el signo negativo, por lo que el profesor intervino.

Posteriormente en la misma secuencia se aclara que los términos ∆𝑡,∆𝑡2,∆𝑡3, …∆𝑡𝑛 se

consideran despreciables.

Finalmente se les solicita:

Con respecto a la expresión que has encontrado y al suprimir todos aquellos términos que

contienen a ∆𝑡 ¿cuál es la expresión finalmente encontrada?

A lo cual el E.3, responde:

Fig. 6.40

Los demás equipos contestan correctamente

257


Uso: El uso de conocimiento es el de la gráfica mostrada en la figura 6.25 en donde se

encuentran dos triángulos rectángulos, uno formado por la recta tangente a la curva en un

punto 𝑝(𝑥,𝑦) y otro de dimensiones infinitesimales cuya hipotenusa es el mismo punto de

contacto (haciendo la consideración de a cuerdo a L´Hospital que un punto es un segmento

infinitesimal). El uso de la gráfica por parte de los estudiantes permite verificar que la

emplearon por medio de representaciones geométricas de semejanza de triángulos, como

argumento para poder determinar la expresión algebraica solicitada.

Actividad: Las actividades llevadas a cabo son la de comparar al verificar la existencia de

dos triángulos rectángulos en la gráfica e inferir, de acuerdo a las condiciones establecidas

y haciendo uso de la herramienta matemática de proporcionalidad entre dos triángulos

semejantes, que efectivamente los dos triángulos son semejantes. Otra actividad llevada a

cabo es la de generalizar para lo cual se hizo uso de dos herramientas que son la resta (para

obtener el cambio) y la división (para obtener la razón de cambio instantánea).

Herramienta: Las herramientas utilizadas fueron la de proporcionalidad entre dos

triángulos semejantes que dice: dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos

respectivamente congruentes. Se usaron las herramientas matemáticas de resta y división

para poder generalizar.


El desarrollo de la secuencia permitió que los estudiantes pudieran generalizar para un caso

específico, es decir obtener una expresión algebraica que represente a la pendiente de la

recta tangente a un punto 𝑝(𝑥, 𝑦) de la curva. Para tal efecto emplearon una gráfica con

características de las usadas en el siglo XVII y parte del XVIII. Nos referimos a una gráfica

empleada por varios matemáticos de la época y que consistía en representar a dos triángulos

semejantes, uno de dimensiones finitas y otro de dimensiones infinitesimales. En este

último su hipotenusa es un segmento infinitesimal que también es el punto de contacto de la

recta tangente que forma parte de la hipotenusa del triángulo mayor. También se utilizó por

258

parte de los estudiantes herramientas matemáticas para obtener una expresión que permite

cuantificar el cambio y otra para obtener la razón de cambio, todo ello con el fin de

generalizar. La implementación de un conocimiento de antaño permitió que los estudiantes

pudieran enlazar sus conocimientos previos de geometría, así como algunas ideas que

habían venido construyendo desde la primera secuencia de tal forma que resultó natural

llevar a cabo la operación de: ∆𝑠∆𝑡 efectuando desarrollos algebraicos y posteriormente

suprimir todos aquellos términos que contenían a ∆𝑡 ya que se consideran despreciables.


Hacer uso de una gráfica en donde se muestran dos triángulos semejantes, uno de ellos de

dimensiones infinitesimales cobra sentido en un contexto de cambio y variación ya que es

la forma en la que para cada punto p de una curva se podría obtener su razón de cambio

instantánea. Para usar estas ideas es necesario retomar lo anteriormente visto y que se

refiere a considerar que una curva se comporta como una recta (segmento infinitesimal) en

la región de la misma donde hay dos puntos infinitamente cercanos entre sí, en donde este

segmento infinitesimal tiene una pendiente e inclinación asociadas.

Se tiene la intención que haciendo uso de sus conocimientos anteriores de geometría así

como los obtenidos en las secuencias anteriores se pueda reproducir y comunicar

conocimiento matemático.

Se pretende verificar que el conocimiento puesto en uso se ha resignificado ya que se

retoma lo anteriormente visto enriqueciéndolo con nuevas ideas y obtener otro significado,

lo cual lo convierte en un saber funcional.

6.4.2.1 Evidencia empírica Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad

Vamos a mostrar algunos fragmentos de la secuencia didáctica que ya hemos mencionado

anteriormente solo que ahora daremos énfasis en otro aspecto. En la secuencia se plantea:

259



Donde el E.1, plantea:

Fig. 6.41

El volvió a hacer una figura aparte, organizando sus datos que en este caso son los vértices

de los triángulos mostrando dos triángulos por separado uno de dimensiones finitas y otro

de dimensiones infinitesimales, pero además corroboraron que son semejantes ya que

escribieron la proporcionalidad entre los lados homólogos.

El E.2 muestra lo siguiente:

Fig. 6.42

260

Vemos que el equipo asigna literales a cada uno de los segmentos de los triángulos

semejantes en la figura que se les presentó en la secuencia. Además se muestra el uso de

proporcionalidad entre lados homólogos de semejanza de triángulos, por lo que se ve

también organización de la información para responder a los cuestionamientos planteados y

con esto reproducir y comunicar conocimiento matemático.

En el siguiente fragmento se muestra la respuesta del E.2:

Fig. 6.43

Muestran la correspondencia con respecto a los lados homólogos tomando en cuenta los

catetos del triángulo infinitesimal.

Otra forma de dar evidencia de la práctica es en base a la respuesta de la pregunta:


encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, es decir ∆𝑠∆𝑡 lo cual representa una expresión que representa a

la tangente del triángulo infinitesimal pero también es la pendiente de la recta tangente a

la curva en el punto 𝑃1, ¿por qué decimos esto?, explica:

Por ejemplo el E.2, contesta:

Fig. 6.44

261

Al planteárseles sobre el resultado de la división de ∆𝑠∆𝑡 que se muestra como una expresión

algebraica se da evidencia de que para responder se usan los conocimientos adquiridos en

las secuencias anteriores.

Como lo enuncia más claramente el E.3 que dice:

Fig. 6.45

Lo cual da evidencia que para ellos el resultado que está expuesto como una expresión

algebraica representa la razón de cambio de la recta tangente.

Nuestra intención ante las preguntas que se muestran a continuación es que los estudiantes

construyeran un significado en cuanto al carácter variacional de la recta tangente pero en

función de la expresión algebraica que representa a la pendiente de la recta tangente a la

curva:

Esta expresión representa a la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal, al

extender esta hipotenusa en ambos sentidos se encuentra la recta tangente a la curva en

un punto, ¿esta recta tangente tendrá siempre la misma posición? Argumenta tu

respuesta:

La expresión también nos puede ayudar a conocer la razón de cambio instantánea, es

decir saber cuánto se desplaza el cuerpo por cada segundo en un instante del tiempo “t”.

Para el caso que estamos tratando ¿la velocidad instantánea es siempre la misma?,

argumenta tu respuesta:

262

Las respuestas fueron similares. Exponemos las del E.1 con respecto a la pregunta, ¿esta

recta tangente tendrá siempre la misma posición?

Fig. 6.46

Con respecto a la pregunta, ¿la velocidad instantánea es siempre la misma?, el mismo

equipo responde:

Fig. 6.47

La mayoría de las respuestas fueron correctas sólo una del E.2 de la primera pregunta fue

incorrecta. EL lenguaje de los estudiantes incluyen elementos relativos al cambio y

variación, por ejemplo, el hecho de citar que la posición de la recta tangente depende del

punto donde se encuentre la recta tangente o decir también que la velocidad instantánea es

variable. Sin embargo consideramos que las respuestas están hechas conforme a lo que ya

conocían de las secuencias anteriores no haciendo alusión a la expresión algebraica.

6.4.2.2 Elementos del modelo puesto en juego.

Práctica de referencia: Se puede dar evidencia de la práctica, cuando haciendo uso de la

gráfica tomada, similar a la planteada por Euler, los alumnos con base a sus experiencias

previas, organizan actividades con la intención de responder sobre la semejanza de dos

triángulos semejantes, uno de ellos de dimensiones infinitesimales. Al hacer uso de esas

ideas de antaño se puede contestar a lo planteado. También se puede dar evidencia de la

práctica cuando se contesta sobre la interpretación de ∆𝑠∆𝑡 relacionándola con la tangente del

triángulo infinitesimal con la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto 𝑃1. Las

263

respuestas dan evidencia de un contexto de cambio y variación en donde hacen uso de sus

experiencias previas de las secuencias anteriores para responder a lo planteado por la

secuencia.

Resignificación: Podemos ver la resignificación cuando se hace uso de la expresión:

𝑚 = ∆𝑠∆𝑡 pero ahora haciendo uso de expresiones algebraicas con la intención de generalizar.

Los conocimientos que tienen los estudiantes sobre semejanza de triángulos son empleados,

pero para ello se tiene que usar la gráfica haciendo ciertas consideraciones, por ejemplo que

el pequeño arco formado se va a llegar a convertir en la hipotenusa del pequeño triángulo

infinitesimal y por lo tanto de a cuerdo a L´Hospital es un punto de la curva (el cual es un

segmento infinitesimal). Con todos estos significados construidos y además tomando en

cuenta que la recta tangente a un punto de la curva también forma parte de la hipotenusa del

triángulo más grande se usan la resta para establecer el cambio, así como el cociente entre

los cambios que permite que los estudiantes puedan establecer una relación entre la razón

de cambio instantánea con una expresión algebraica.

Funcionalidad: Las ideas anteriormente planteadas en un contexto geométrico y aritmético

se pueden usar ahora en nuevo contexto que es el algebraico dando cuenta de la

funcionalidad del saber. El funcionamiento de la gráfica es que a partir de conocimientos

como son la semejanza de triángulos y vinculando con la idea de cambio y razón de cambio

instantánea se pueda obtener una expresión algebraica.


Se ha observado que los equipos organizan sus actividades en donde se hace uso de sus

experiencias previas para contestar lo solicitado, reproduciendo y comunicando

conocimiento matemático. Lo anterior da una muestra de la práctica de la tangente

variacional, con los elementos de geometría (triángulos semejantes), el punto (como un

segmento infinitesimal de a cuerdo a L´Hospital) la gráfica misma que permite obtener una

expresión general de la razón de cambio instantánea, todo ello en un contexto de cambio y

variación. Observamos cómo los conocimientos ya adquiridos se pueden seguir

enriqueciendo para aportar nuevos, en este caso se puede obtener una expresión general la

cual permitirá conocer el valor de la pendiente de la recta tangente para cualquier punto

264

𝑝(𝑥, 𝑦); lo anterior también da evidencia de un conocimiento funcional ya que por ejemplo

la razón de cambio que se había venido obteniendo de manera concreta para valores

específicos con la fórmula de la pendiente en las secuencias anteriores, ahora se muestra en

otro contexto diferente al aritmético que es el algebraico donde también se manifiesta que

son funcionales las ideas de cambio y variación que se han venido trabajando. Se esperaba

que los alumnos en cuanto a las dos últimas preguntas planteadas pudieran responder algo

así como: “Se observa que la pendiente de la recta tangente es cambiante ya que al sustituir

diferentes valores de t se obtienen diferentes valores de la razón de cambio instantánea”, sin

embargo no lo hicieron, sólo un equipo hizo alusión al doble obtenido de la expresión

finalmente encontrada (que representaba a la derivada), pero no lo hizo del todo

correctamente; pensamos por lo tanto que en posteriores puestas en escena se pueden

replantear las preguntas.



Se pretende emplear elementos de los utilizados en las secuencias didácticas anteriores, es

decir a partir de los usos de conocimiento de antaño expuestos en las secuencias anteriores

se logró construir significados propios de la recta tangente variacional, los cuales

permitieron constatar que si en una curva (función diferente a la de forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 +𝑏 𝑜 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑒) para diferentes valores de la variable independiente van a existir diferentes

rectas tangentes, por consecuencia tienen diferentes posiciones y pendientes (razón de

cambio). A lo largo de las secuencias se ha trabajado con la velocidad instantánea, llevando

esta idea a la generalización, es decir la razón instantánea de cambio, la cual tiene un valor

para cada punto de la curva. De aquí se desprende la idea de función derivada como 𝑓´(𝑥) a

la cual pretendemos arribar de manera introductoria (desde un punto de vista gráfico) con

esta secuencia didáctica.

El uso que se le va a dar a la gráfica es el construido en la secuencia didáctica 3 por los

alumnos. Este tiene que ver con identificar cuándo una función es creciente o decreciente y

cómo cambia antes y después del punto máximo y qué valor tiene la pendiente de la recta

tangente en el punto máximo. Las herramientas usadas son: las gráficas y la recta tangente

265

variacional, por medio de las cuales se van a llevar actividades como comparar, inferir y

graficar.

6.5.1.1 Evidencia empírica. Uso-Herramienta-Actividad

Se les planta a los alumnos la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 y se les pide que determinen la

función derivada, la cual ya habían encontrado en la secuencia anterior, esta es:

𝑓´(𝑥) = −2𝑥 + 6. A partir de esta expresión se les solicita hacer su gráfica y compararla

con 𝑓(𝑥), en la secuencia se les pregunta:

¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es creciente la función f(x) con respecto a

el intervalo donde es positiva la función f´(x)? Argumenta tu respuesta:

¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva con respecto al

intervalo donde es creciente la función f(x)?

¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es decreciente la función f(x) con respecto

a el intervalo donde es negativa la función f´(x)? Argumenta tu respuesta:

¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva donde la función f(x)

es decreciente?

Mostramos primero la gráfica obtenida por el E.1 para 𝑓´(𝑥):

Fig. 6.48

266

El E.1 responde a las preguntas:

Fig. 6.49

La gráfica es usada para comparar el comportamiento de la función 𝑓(𝑥) es decir dónde es

creciente, decreciente, dónde está el máximo y cómo tiene que ver todo esto con los signos

y para qué valor de 𝑥 la 𝑓´(𝑥) = 0. Las respuestas anteriores de los estudiantes nos dan

muestra de cómo es usada la gráfica por los estudiantes, lo cual tiene que ver con la forma

de la misma.

Lo que hacen los estudiantes es llevar a cabo actividades de comparar e inferir mediante la

herramienta matemática de la gráfica y haciendo uso de las ideas ya construidas con

anterioridad con respecto a la recta tangente. Mostramos lo anterior con algunos diálogos

tomados del video con producciones llevadas a cabo con el E.1:

Con respecto a la pregunta, ¿en qué intervalo es creciente la función?, el E.1 responde:

267

Profesor: Itzel, ¿en qué intervalo es creciente la función?

E.1, Itzel: Es de cero a tres.

Profesor: ¿Para “x” mayor que cero y… menor o igual a tres o menor que tres?

E.1: Menor que tres (en coro).

Profesor: ¿No menor o igual?

E.1: No (en coro)

Profesor: ¿Por qué?

E.2, Joan (adelantándose a responder): Porque el menor o igual involucra el

número.

E.1, Andrea: Ajá.

Profesor: ¿Y por qué no queremos que lo involucre?

E.1, Andrea: Porque en tres es igual a cero.

Profesor: Después pregunta, ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a

la curva en 𝑥 = 3?

E.1, Mónica: Cero.

Profesor: ¿Por qué sabemos que,… ahí es igual a cero?,…Mónica

E.1, Mónica: Porque es el punto máximo.

Profesor: Ajá.

E.1, Mónica: Al realizar la función, primero nos da el resultado que es cero.

Suponemos que se refiere a la función 𝑓´(𝑥)

E.1, Mónica: De igual manera al hacer la gráfica nos muestra que en el punto tres…

y ya su punto máximo y hacemos lo que es la recta tangente, tiene un máximo,…

268

En el momento en que está hablando del máximo hace una seña con la mano, haciendo un

trazo como el de una recta horizontal.

Fig. 6.50

Sigue comentando:

E.1, Mónica:…y tiene lo que es la paralela al eje de las “x” y está estable y vale

cero.

Profesor: Ajá, ¿qué significa eso de que está estable?

E.2, Joan (adelantándose a responder): Que no es creciente ni decreciente.

Profesor: Un momentito,… ¿cuánto vale la velocidad en ese instante?

E.1: Cero (en coro)

Profesor: ¿Y por lo tanto la pendiente de la recta tangente a la curva vale…?

E.1: Cero (en coro)

Observamos un lenguaje corporal o gesticulación que tiene que ver con el uso de la gráfica

y que es cuando se tiene un máximo de la función donde la pendiente de la recta tangente

vale cero, así como el valor de la velocidad en el punto más alto.

269

Posteriormente en otro momento se le pide al E.3 que relacione la gráfica de la función

derivada con la función original.

Profesor:…me dijiste que la velocidad ahí vale cero (en un instante anterior Reyna

mencionó que en el punto máximo la velocidad vale cero).

E.3, Reyna: Es en el tiempo 3, por lo tanto (señalando la gráfica de la función

derivada) nuestra gráfica va a estar sobre este punto (señalando punto de

intersección de la recta (función derivada) con el eje x.

Profesor: Ahora, antes de ese punto, ¿cómo son las velocidades?

E.3, Reyna: Positivas.

Profesor: Positivas.

Reyna, al dar la respuesta hace un trazo sobre el pizarrón, parecido al de una recta tangente

sobre una parte de la región creciente de la curva.

Fig. 6. 51

Se termina de dar la explicación. Posteriormente con respecto al siguiente planteamiento

hecho por la secuencia:

270

Sigue comparando ambas gráficas de f(x) y de f´(x), observa detenidamente lo que pasa

antes y después del punto máximo, observa lo que ocurre con las posiciones de las rectas

tangentes (y sus ángulos de inclinación) antes del punto máximo, después del punto

máximo y durante el punto máximo, observa los cambios y compara con la gráfica de

f´(x), ¿a qué conclusiones puedes llegar?

El E.1 contesta lo siguiente:

Fig. 6.52

El uso de la gráfica le permite a este equipo establecer una correspondencia entre cuando la

función es creciente decreciente y cuando la pendiente de su recta tangente vale cero y todo

esto hacerlo corresponder con la gráfica de la función derivada. La gráfica también sirve

para establecer una correspondencia con lo que pasa antes y después del máximo de la

función y relacionar esto con la gráfica de la función derivada.

Observamos que se ha hecho uso de lo construido anteriormente. En la secuencia didáctica

3, se han llevado a cabo las actividades de comparar e inferir, así como la de graficar con

las herramientas matemáticas de la gráfica, la recta tangente variacional. La construcción de

ésta en secuencias anteriores les ha permitido a los estudiantes construir el significado

271

como son los signos de las pendientes de las rectas tangentes antes y después del punto

máximo, así como saber cuánto vale la pendiente de la recta tangente en un máximo.

Esto lo podemos constatar con la actividad 1 en donde se pide trazar rectas tangentes a la

curva. Por ejemplo el E.3 contesta de la siguiente forma:

Fig. 6.53

También ya en la actividad 2 mostramos un pasaje en donde se da evidencia de que los

alumnos saben que los puntos de la gráfica de la función derivada corresponde con las

pendientes de las rectas tangentes de la gráfica (función) original:

Jessica comienza dando una explicación con respecto a la gráfica mostrada en la secuencia

en donde a diferencia de la trabajada anteriormente ahora existe un mínimo:

272

E.4, Jessica: Bueno, nosotros al ver la gráfica nos dimos cuenta que su función era

negativa

Profesor: ¿A ver a que te refieres con eso?

E.4, Jessica: Pues a que la posición en la que esta la parábola.

Profesor: Mmmm, bueno esa es una parábola que abre hacia arriba.

E.4, Jessica: Ajá.

Profesor: Su término cuadrático es positivo, a ver vamos a poner la expresión,… a

no les puse expresión, ¿verdad?

Equipos: No (en coro)

Profesor: Bueno cuando una parábola abre hacia arriba su término cuadrático es

positivo.

E.4, Jessica: Entonces como podemos ver eso, su recta tangente va en decreciente.

Profesor (señalando a la gráfica de la función donde hay un mínimo): ¿Esta es la

recta tangente?

E.4, Jessica: Bueno no, se supone que esta es la que representa la pendiente de la

recta tangente.

Señala la siguiente gráfica 4 hecha por el E.4:

273

Fig. 6.54

Jessica tuvo un error al no expresar correctamente, confundió y el profesor aclaró, sin

embargo podemos ver que sí le queda claro cuál es la gráfica que representa a la función

derivada.


Uso: Lo que hacen los estudiantes es determinar dónde la función es creciente, decreciente,

dónde hay un máximo e identificar lo que ocurre antes y después de este con respecto a el

comportamiento de la función. También contrastan estos comportamientos con la gráfica de

la función derivada y explican la relación existente entre creciente con función derivada

positiva, decreciente con función derivada negativa y punto máximo con función derivada

igual a cero; el cómo lo hacen es a partir de los significados construidos con respecto a

cómo es la función si es creciente o decreciente y el punto crítico y cómo se relaciona esto

con la función derivada. Pudimos constatar que estos significados también se pudieron

aplicar en una función con la cual no se había trabajado hasta el momento en donde hay un

mínimo.

Todo lo anterior se hace para que los estudiantes pudieran evidenciar cómo se relaciona la

gráfica de una función cuadrática en donde existía en una un máximo y en la otra un

274

mínimo y a partir de estas funciones hacer una representación gráfica de su función

derivada.

Herramienta: La herramienta matemática usada fue la gráfica, ya que ella sirvió para

explicar sobre signos de las pendientes de las rectas tangentes, así como las posiciones de

las mismas. También con el uso de la gráfica se dieron explicaciones sobre los signos de la

función, es decir si los valores de la función eran positivos o negativos o dónde el valor de

la función era cero. También se vio el uso de la gráfica cuando se mencionaba donde la

gráfica era creciente o decreciente. Observamos que la recta tangente variacional se usa

también como una herramienta ya que las explicaciones hechas por los estudiantes tanto

escritas como argumentadas oralmente así lo muestran, por ejemplo cuando el profesor

pregunta sobre el intervalo donde es creciente la función, los estudiantes aclaran que la

función es creciente antes del punto máximo ya que en el punto máximo vale cero

recurriendo a la recta tangente para explicar.

Actividad: Las actividades llevadas a cabo fueron la de comparar e inferir ejecutadas con

el uso de herramientas matemáticas. Un ejemplo es cuando se pide explicar cómo se obtuvo

la función derivada en términos de la función original. Las explicaciones son hechas

comparando las gráficas de 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑓´(𝑥) e infiriendo cómo va a ser la función derivada,

donde vale cero, cuando es positiva y/o negativa.


En esta secuencia vemos cómo se usan los conocimientos construidos en las anteriores para

dar explicaciones de cómo es la gráfica de la función derivada, relacionándola con la

gráfica de la función original a partir de la cual fue obtenida. Para tal efecto usan

herramientas matemáticas como son: la gráfica y la recta tangente variacional. Estas

permiten llevar a cabo actividades como son la de comparar e inferir, como es visto con el

E.1 cuando se les pide explicar acerca del intervalo donde es creciente la función. Da

correcta su explicación indicando que en el punto máximo la pendiente de la recta tangente

a la curva vale cero. Aquí observamos dos cosas, primero saben que antes del punto

máximo la función es creciente y la pendiente de sus rectas tangente son positivas y dos la

pendiente de la recta tangente en el máximo tiene posición horizontal y por lo tanto su

275

pendiente vale cero, estas ideas fueron construidas con anterioridad haciendo uso de la recta

tangente variacional. El uso del conocimiento construido en la secuencia didáctica 3 sobre

la recta tangente variacional les permite a los alumnos llevar a cabo actividades en un

contexto de cambio y variación y a su vez el empleo de estos conocimientos servirán de

base para llevar a cabo otras actividades con diferentes curvas a las planteadas hasta este

momento como son una parábola que abre hacia abajo y una función cúbica como lo vamos

a ver en la siguiente sección.


El contexto de cambio y variación es propio de la práctica de la tangente variacional. Este

se encuentra implícitamente en las situaciones planteadas las cuales consienten en graficar

la función derivada de dos funciones una curva que abre hacia arriba y otra que tiene la

apariencia de una parte de la función seno (en el diseño el profesor-investigador usó una

parábola que abre hacia arriba y una función cúbica). A los estudiantes no se les

proporcionó ninguna expresión matemática de las curvas en cuestión.

Se pretende que los estudiantes usen los argumentos vistos con anterioridad, los cuales les

pueden ayudar a organizar actividades para que en base a sus experiencias de las secuencias

anteriores puedan resolver los problemas planteados. El resolver los problemas solicitados

también da cuenta de la funcionalidad del conocimiento ya construido, ya que este es usado

en situaciones nuevas.

6.5.2.1 Evidencia empírica. Práctica de referencia-Resignificación-Funcionalidad

La función cuadrática presentada a los estudiantes gráficamente se muestra a continuación:

276

Si ahora tuviéramos la gráfica de una función 𝑓(𝑥) como la que se muestra a

continuación:

Utilizando los argumentos y conclusiones de la actividad 1, haz una gráfica de f´(x):

Presentamos a continuación la respuesta del E.1 que es:

Fig. 6.55

−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

277

Los integrantes del equipo del equipo contestan correctamente haciendo alusión a los

intervalos donde 𝑓(𝑥) es creciente, decreciente y donde hay un mínimo, así como la

relación que guarda todo esto con el mínimo de la función y relacionando con la 𝑓´(𝑥).

Ahora contrastando con el video, Juan Carlos del E.1 explica la relación existente entre

𝑓(𝑥) y la gráfica de su derivada:

E.1, Juan Carlos: En este intervalo (señalando a 𝑓(𝑥) ) que es de -1 hasta 2 es

decreciente, lo que estamos marcando aquí (señala la gráfica de 𝑓´(𝑥) en el

intervalo donde es negativa), el punto mínimo, aquí es un punto mínimo (lo señala)

porque primeramente la función es negativa…

Profesor: La función es decreciente y después se convierte en…

E.1, Juan Carlos: Creciente, marcando un punto mínimo que aquí es señalado

(ahora señala el punto de intersección de 𝑓´(𝑥) con el eje de las “x” después la

función se vuelve creciente en el intervalo de 2 a 5.

El E.2 hace la observación de que si se prolongara los brazos de la parábola también se

tendría que extender la recta.

Con respecto a la gráfica de la función cúbica en la secuencia didáctica se plantea lo

siguiente:

Si ahora tuviéramos una gráfica de una función 𝑓(𝑥) como la que se muestra a

continuación:

278

Elabora una gráfica de cómo considerarías que queda f´(x) :

A continuación mostramos la respuesta de la función cúbica de la cual se pide la gráfica de

la derivada.

La respuesta del E.4 es:

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

279

Fig. 6.56

Otros dos equipos más hacen la gráfica de manera similar. El E.3 también da una

explicación en términos de dos parábolas unidas y el E.2 sólo pone una gráfica similar a la

anterior sin dar explicación.

Los tres equipos saben distinguir las partes donde la función es creciente y decreciente y

relacionar esto con los máximos y mínimos.

El E.1 hace una gráfica correcta su respuesta es:

280

Fig. 6.57

El E.1 contesta correcto, su respuesta de cómo lo hace está en función de cuando la función

es creciente, decreciente y cómo se relaciona esto con los puntos críticos de la función. El

equipo señala que en el máximo y mínimo la gráfica de la función derivada se intercepta

con el eje “x”. Veamos cuales fueron los argumentos utilizados por el E.1 para dar su

respuesta correcta.

E.1, Andrea: Para comenzar hacer la gráfica tomamos en cuenta el máximo y el

mínimo, entonces a partir de eso hicimos la gráfica

Señala los puntos de intersección de la gráfica de la derivada con el eje “x” y sigue

comentando:

E.1, Andrea: Entonces a partir de eso vimos que es lo que pasaba con nuestra

gráfica, si decrecía o crecía, entonces antes del máximo está creciendo y esa es la

parte en la que es positiva (señala la gráfica de la derivada).

281

Fig. 6.58

E.1, Andrea: Entonces después del máximo comienza a decrecer, hasta llegar al

mínimo, que es esta parte de aquí, que es negativa.

Señala la parte donde es negativa la función derivada

Fig. 6.59

282

E.1, Andrea: Porque estamos viendo que es desde -1 a 1, que es toda esta parte de

aquí.

Vuelve a señalar la parte negativa de la gráfica de la función derivada, recorriéndola con su

dedo. Podemos identificar sus argumentos que tienen que ver donde la función es creciente,

donde es decreciente con los signos de la función derivada.

E.1, Andrea: Después del mínimo comienza a crecer nuevamente, entonces aquí

nuevamente vuelve a ser positiva.

Ahora señala la parte positiva de la función derivada correspondiente al segundo punto de

intersección de la gráfica de la derivada en adelante. También interviene Mónica del mismo

equipo.

E.1, Mónica: Bueno nosotros tomamos lo que es otra parábola.

Señala la gráfica de la función derivada.

E.1, Mónica: Es porque en la gráfica anterior, hacíamos lo que es una velocidad

constante, en este caso no es constante, es que se están formando como dos

parábolas y entonces eso quiere decir que la velocidad no es constante sino que es

variable, por eso nos queda así.

Al argumentar así comprendemos que se refiere a la razón de cambio de la velocidad que

en el ejemplo anterior a este era constante y ahora es variable. Nuevamente interviene

Andrea.

E.1, Andrea: Bueno así como dice ella, el ejemplo anterior estaba esto así,…

Hace la gráfica de la velocidad del caso anteriormente expuesto.

283

Fig. 6.60

E.1, Andrea: Por datos de “x” hay datos de “y”

Andrea dibuja puntos sobre la recta con espacios entre ellos más o menos iguales, como

para confirmar la razón de cambio constante (refiriéndose al caso anteriormente tratado),

aunque le faltaría precisar que para los mismos cambios de “x” hay los mismos cambios de

“y”. Sigue con su explicación, ahora refiriéndose al caso que en ese momento se estaba

tratando.

E.1, Andrea: Aquí ya no ocurre lo mismo.

Profesor: Mmmm, ese es un crecimiento constante de la velocidad, más bien.

E.1, Andrea: Ajá, y pues aquí como tenemos un decrecimiento y un crecimiento,

pues ya no puede ser constante.

Señala la parte de la gráfica de la función derivada donde hay decrecimiento y crecimiento.

Lo que han aprendido sobre comportamiento gráfico les permite argumentar y obtener una

respuesta correcta.


Práctica de referencia: Se puede dar evidencia de la práctica cuando los estudiantes están

organizando actividades, como son las actividades de comparar, inferir y graficar con la

intención de resolver el problema planteado que en este caso es determinar cuál es la

284

gráfica de la función derivada de una parábola que abre hacia arriba y una función cúbica,

todo esto empleando argumentos de cambio y variación.

Resignificación: Cuando se les solicita a los estudiantes que hagan la gráfica de la función

derivada de una función cúbica y emplean lo visto anteriormente pero, digamos en una

situación diferente ya que la gráfica es distinta a las usadas anteriormente, se puede

observar la resignificación. Nos referimos específicamente a el argumento usado por los

estudiantes, “cuando una función pasa de ser creciente a decreciente la forma de su gráfica

(de acuerdo a lo visto en los ejemplo planteados anteriormente a los estudiantes) es la de

una parábola”. Este significado construido se usa pero ahora se resignifica ya que se emplea

en una situación nueva (en la gráfica de la función derivada) construyéndose un nuevo

significado que es: la gráfica de la derivada de la función cúbica es una parábola.

Funcionalidad: Los conocimientos adquiridos son funcionales en situaciones distintas por

ejemplo cuando se les solicita a los estudiantes hacer la gráfica de la derivada de una

parábola que abre hacia arriba y de una función cúbica, los saberes adquiridos adquieren

uso y significación ya que los argumentos de cambio y variación usados con anterioridad se

emplean y funcionan para dar respuesta a lo planteado. Inclusive el equipo usa argumentos

construidos con anterioridad: la razón de cambio de la velocidad no es constante ya que

pasa de ser creciente a decreciente y por lo tanto deducen (aunque no lo hacen implícito en

su discurso) que no se trata de dos rectas con velocidades constantes unidas en un punto.

Podemos verificar entonces que el uso de la gráfica da elementos para argumentar y poder

construir nuevos significados.


Los equipos utilizan argumentos de cambio y variación para dar sus respuestas. Estos

argumentos fueron construidos en las secuencias anteriores y ahora ya sólo los utilizan,

todo esto tiene que ver con las inclinaciones y pendientes de las rectas tangentes antes y

después del máximo de una función, así como el valor de ella en el punto máximo. Tres

equipos tuvieron una buena aproximación a la gráfica de la derivada con explicaciones

correctas, sin embargo tuvieron un error al no poner la gráfica de la función derivada como

una parábola, pero un equipo contestó correctamente usando argumentos vistos en la misma

285

secuencia. En el caso del equipo que contestó correctamente detectamos que usan un

argumento que no fue explicitado anteriormente en el desarrollo de las secuencias

anteriores esto tiene que ver con el razonamiento que hicieron en el caso de un máximo.

Consideramos que la forma de razonar que usaron con respecto al máximo de una función

consiste en que para los mismos cambios del tiempo no hay los mismos cambios de

desplazamiento, es decir la razón de cambio no es constante. Suponemos ya que no

indagamos más al respecto que así como se dieron cuenta de que cuando una razón de

cambio pasa de positiva (en donde la función es creciente) a negativa (en donde la función

es decreciente) pasando por cero, entonces tiene la forma de una parábola. Este

razonamiento de que cuando una función pasa de creciente a decreciente, implica que la

razón de cambio no es constante y además que la forma de su gráfica es la de una parábola.

Al trasladar esta idea con la gráfica de la función derivada, el equipo probablemente

observó que había ahora una parte de la función decreciente que pasaba a ser creciente y de

ahí su inferencia de que la gráfica de la función debería de ser la de una parábola tal y como

ellos lo dijeron, “como tenemos un decrecimiento y un crecimiento, ya no puede ser

constante”. Aquí se usan argumentos de cambio y variación en un contexto gráfico, en

donde el uso de la gráfica permite argumentar. Todo esto nos proporciona ideas para

mejorar las secuencias en trabajos futuros.

Los equipos resolvieron el problema planteado y para ello usaron sus experiencias previas

organizando actividades; se hizo uso de lo anteriormente visto pero ahora para responder se

construyó un nuevo significado en los estudiantes que tuvo que ver con determinar que la

gráfica de una función cúbica era la gráfica de una parábola. Los argumentos para dar esta

respuesta fueron hechos a partir de lo construido en las secuencias, tal y como lo podemos

constatar por el lenguaje que ocuparon al responder.

La secuencia se puede mejorar ya que consideramos que la herramienta matemática de la

tangente podría ser usada también al trazar rectas tangentes antes y después del punto de

inflexión. Las rectas tangentes después del máximo y antes del punto de inflexión tienen

pendientes negativas y conforme se van acercando al punto de inflexión el valor de sus

pendientes van disminuyendo (se van haciendo más verticales pero con pendientes

negativas) después de pasar el punto de inflexión el valor de las pendientes (que siguen

286

siendo negativas) van ahora en aumento ya que la inclinación ahora se va haciendo más

horizontal, en el punto de inflexión corresponde al valor mínimo con respecto a la función

derivada y posteriormente la función derivada es creciente. Si observamos en este proceso

las pendientes de las rectas tangentes no cambian con una razón de cambio constante. De

hecho las pendientes de las rectas tangentes primero van disminuyendo hasta llegar a un

punto más pequeño para después comienzan a crecer y este comportamiento gráfico es el de

una parábola, el cual es un razonamiento parecido al establecido por el equipo pero ellos

hablaron en términos de velocidades.

6.6 La Práctica Social

6.6.1 La predicción

Poner atención en la manera de variar de la variable es propio de la predicción, como lo

enuncia Cantoral (2000),

Necesitamos saber entonces el valor que tomará B antes de que transcurra el

tiempo, antes de que P transite del estado uno al estado dos. Pero a causa de

nuestra imposibilidad de adelantar el tiempo a voluntad, debemos predecir. En

tal caso, no disponemos de razones para creer que en este caso, el verdadero

valor de B esté distante de las expectativas que nos generen los valores de B y P

en un momento dado, de la forma en la que P y B cambian, de la forma en la

que cambian sus cambios, y así sucesivamente.

(p. 196)

Nos damos cuenta en lo anterior que revisar la forma en la que cambian las variables es un

aspecto fundamental en la predicción. Hacer un análisis del cambio tanto cuantitativo como

cualitativo, es decir cuánto cambia y como cambia son elementos a considerar en la

predicción. La práctica de la recta tangente variacional es normada por la práctica social de

la predicción, esto no se podría sólo ver para un momento específico de la historia, se

tendría que hacer un recorrido por diferentes etapas de la práctica e ir observando cómo se

van construyendo significados y estos se van resignificando. El análisis del conjunto de los

momentos nos da elementos para inferir que se trata de la predicción.

287

Iniciamos con un primer momento que es donde Copérnico quería conocer las posiciones

de los cuerpos celestes. Para esto hizo uso de la geometría y un primer elemento fue

demostrar que una curva se comporta como una línea recta en aquella región en donde dos

puntos se encuentren lo suficientemente cercanos, esta idea se logró construir al ir haciendo

cada vez más y más pequeños dos arcos que parten de un punto común y este es un primer

significado a construir que servirá como base en la práctica de la tangente variacional.

Veamos como lo enuncia el E.1 en la secuencia didáctica uno:

Fig. 6.61

Al recurrir a otro momento histórico observamos que el significado anterior se retoma, pero

se enriquece agregándole nuevos significados como que ese pequeño segmento podría ser

la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal y por lo tanto tiene una inclinación y

pendiente. Por otro lado ese pequeño segmento infinitesimal al extenderse en ambos

sentidos se formará la recta tangente a la curva en un punto.

En la secuencia didáctica dos el E.3

Fig. 6.62

Hay evidencia de los significados de la práctica de la tangente variacional los cuales son

construidos en un contexto de cambio y variación y que vemos cuando el equipo menciona

que la curva se llegará a comportar como una línea recta que forma parte de un lado del

triángulo. El triángulo mencionado es un pequeño triángulo infinitesimal y el lado al que se

288

refiere es la hipotenusa del mismo. Las respuestas construidas se dan en el mismo contexto

en que es presentada la secuencia es decir gráficamente y empleando elementos de tipo

geométrico pero que se pueden usar en un contexto de física en donde se les pide a los

estudiantes que calculen la velocidad instantánea de un objeto que es lanzado verticalmente

hacia arriba en un instante del tiempo solicitado.

Una vez construidos estos significados, pasamos a otro momento en donde L´Hospital que

también presenta sus argumentos en un escenario gráfico empleando elementos de

geometría enuncia una idea que dice que una curva puede ser considerada como el

ensamblaje de una infinidad de líneas rectas, cada una de estas infinitamente pequeñas, y si

se prolonga una de esta líneas infinitamente pequeñas en ambos sentidos a la línea recta así

formada se le llama la tangente a la curva en el punto M o m.

Y muestra la figura:

Fig. 6.63

Esta figura enriquece lo ya construido hasta el momento y de la definición, así como de la

figura se puede considerar que un punto es un segmento infinitamente pequeño.

Ahora con todos estos elementos ya se puede construir la noción de recta tangente

variacional, como se puede ver en las respuestas de los estudiantes:

Una forma de dar evidencia de esto es a partir de la gráfica en donde se muestra la recta

tangente en diferentes puntos de la curva, tal como lo plantea el E.1, en la fig. 6.64

289

Fig. 6.64

En donde se pueden ver todos los elementos construidos con anterioridad, pero además ya

con la idea de que la recta tangente es cambiante, dependiendo de cada punto de la curva.

También el E.4, da evidencia en base argumentos de cambio y variación en donde son

importantes los cambios y la forma en que cambian esos cambios para cada momento de la

curva:

Fig. 6.65

En la secuencia didáctica 4 se emplean las ideas de razón instantánea de cambio pero

generalizando en una expresión algebraica y en la secuencia didáctica cinco se hace uso de

290

todo lo construido con anterioridad. La recta tangente funciona como una herramienta que

de alguna forma permite predecir ya que al conocer su posición se podría conocer como

sería la razón de cambio un instante después, lo cual pone en evidencia que se trata de la

predicción.

En la figura 6.57 mostrada anteriormente se muestra la gráfica de la función derivada de

una función cúbica en donde sin darles la expresión matemática de la función cúbica se

solicitó la gráfica de la función derivada. En la figura podemos ver el tipo de argumentos

que utilizaron los alumnos, los cuales son de cambio y variación y son los que se han

venido manifestando a lo largo de toda la práctica de la tangente variacional. Esta sirve

como herramienta para la construcción de la gráfica de la derivada de una función

cuadrática y una función cúbica.

El uso que se hizo de las gráficas a lo largo de las secuencias ha proporcionado formas de

argumentar para contestar lo que se les solicitaba a los estudiantes e ir construyendo nuevos

significados.

La predicción es la práctica social que va a normar la práctica de la recta tangente

variacional y se va a ver manifestada a lo largo de los años desde el siglo XVI con

Copérnico hasta el siglo XVIII con Euler en donde el análisis de los cambios como un

elemento clave de la predicción se ha manifestado desde unos primeros significados

iniciales que se fueron robusteciendo con el paso del tiempo hasta llegar a constituirse en la

solución del problema de las tangentes lo cual dio paso a la noción de derivada. En nuestro

caso la recta tangente variacional sirvió como una herramienta para la introducción a la

construcción de la noción de derivada desde un punto de vista gráfico, la cual de acuerdo a

(Cantoral, 2000) es usada en la serie de Taylor, y esta a su vez se constituye en una

herramienta matemática que permite predecir el estado posterior dado que se conoce las

condiciones del estado de inicio. Para poder conocer la razón instantánea de cambio de una

curva en cada instante se requiere asignarle varios atributos los cuales se fueron

construyendo en un contexto de cambio y variación en donde el uso de las gráficas fue

relevante y sirvió para argumentar en cada una de las secuencias (que representan

diferentes momentos en la historia). Todos estos momentos en su conjunto están

interrelacionados y denotan la historicidad de la práctica social, lo cual permite inferir que

291

se trata de la predicción. Una evidencia de esto está en los resultados obtenidos en la última

secuencia por ejemplo en donde ya se usan los significados construidos con anterioridad y

en base a la gráfica los estudiantes podían dar argumentos de en qué momentos una

velocidad podría ser cero, cuando era negativa y/o positiva. Es decir al conocer las

condiciones en algún punto de la gráfica se podrían conocer atributos de la misma, por

ejemplo si la velocidad en ese instante era positiva, negativa o si era cero, también los

intervalos en que sería positiva y negativa e inclusive como un equipo lo planteó la forma

de la gráfica de la función derivada de una función cúbica usando los significados

construidos en las secuencias anteriores.


El ejercicio de la práctica de la tangente variacional que es normada por la práctica social

de la predicción y cuyo modelo teórico de construcción social del conocimiento se presentó

en el marco teórico de nuestra investigación sirvió como base para el diseño de cinco

secuencias didácticas cuya intención ha sido que los alumnos construyeran la noción de

recta tangente desde un punto de vista variacional. El modelo articula diferentes constructos

como son la práctica social, uso, práctica, herramienta, actividad, resignificación y

funcionalidad. En donde la práctica social es la base de la construcción social del

conocimiento matemático. Para lo anterior se llevó a cabo un estudio de corte

socioepistemológico para lo cual se recurrió a la historia, en donde la historicidad como una

característica de la práctica social fue importante para ubicarnos en diferentes momentos de

la historia.

Reconocer a la historicidad como una de las características de la práctica social ha servido

para identificar diferentes momentos en la historia en donde se encontraba presente la

práctica de la tangente variacional. Esto nos permitió ver a la resignificación como aquellas

ideas que se van robusteciendo cada vez más y más, lo cual es producto de la interacción

entre actividades-herramientas matemáticas para llevarlas a cabo. Todo esto bajo un

contexto de cambio y variación y dando cuenta de la funcionalidad, ya que los significados

construidos sirvieron para resolver problemas en otros contextos y poder de esta manera

hacer un análisis de la realidad. El empleo de estas ideas se vio cristalizado con el diseño de

292

las secuencias didácticas, en donde los datos obtenidos por los estudiantes nos han

mostrado la viabilidad del modelo empleado.

Aunque no se logró en todos los casos que los estudiantes construyeran todos y cada uno de

los significados, consideramos que se obtuvieron buenos resultados. Al final, todos los

equipos argumentaban haciendo un análisis de los cambios y la forma en que cambiaban los

cambios lo cual nos dio muestra de cómo después de construir la tangente desde un punto

de vista variacional esta se convirtiera en una herramienta que auxilió como una

introducción en la construcción de la derivada. De esto también se pudieron obtener datos

en la última secuencia que así lo reflejaron.

293

Capítulo VII

Conclusiones finales

7.1 Con respecto a las preguntas de investigación

Se formuló una pregunta de investigación principal la cual fue elaborada desde nuestra

postura teórica, la pregunta es: ¿Cuáles fueron los usos de herramientas matemáticas para

llevar a cabo actividades pertenecientes a una práctica de referencia, normada por una

práctica social, los cuales permitieron la construcción de la recta tangente desde un punto

de variacional y como puede ser empleado ese conocimiento en una didáctica actual?

Para responder a la pregunta principal de investigación se diseñaron preguntas secundarias

cuyas respuestas permitían ir contestando la pregunta principal.

Las preguntas secundarias son: ¿Cuáles fueron los usos antiguos del conocimiento y

cómo favorecieron estos a la construcción de la tangente variacional?, Contestar a la

pregunta tuvo que ver con reconocer que el contexto sociocultural de la época fue decisivo

en la forma de abordar los problemas planteados por las necesidades que se encontraban

presentes en ella. El análisis de los usos del conocimiento, primero nos llevó a plantearnos

momentos clave en la historia, aquellos en donde se pudieron captar las primeras ideas

iniciales, de la construcción de la tangente variacional y posteriormente ir retomando otros

momentos históricos en donde se manifestaba un enriquecimiento de las ideas iniciales.

Algunos problemas existentes en los siglos XVI, XVII y XVIII fueron aquellos

concernientes a los fenómenos de cambio y variación. Las matemáticas fueron herramientas

que permitieron abordarlos, de tal forma que al investigar cuáles fueron los usos que

estuvieron presentes en la construcción de la tangente variacional, buscamos aquellos en

donde estuviera presente una práctica de referencia, la cual tenía que ver con una “forma

294

de mirar” y de afrontar las problemáticas de fenómenos relativos al cambio y variación.

Esto marca una diferencia con respecto a otras perspectivas teóricas, como aquellas por

ejemplo que tienen como principal paradigma que su objeto de estudio sea el objeto

matemático en sí mismo. Bajo esos enfoques lo que se tendría que hacer es investigar a la

recta tangente; sin embargo, en nuestro caso pudimos constatar que los usos del

conocimiento son algo llevado a cabo por comunidades que comparten paradigmas, que

tienen una forma de tratar y enfrentar problemas es decir hay una racionalidad

contextualizada (Espinoza, 2009).

Al ser los usos un producto de la actividad humana la cual no es estática sino más bien

dinámica, estos no siempre son los mismos ya que van cambiando de acuerdo a las nuevas

necesidades que se van presentando, esto favorece el enriquecimiento de sus significados.

Lo anterior se ha observado ya que la humanidad tiende siempre a querer encontrar

métodos más generales para resolver problemas, que sean más funcionales, lo cual se ve

reflejado en los usos del conocimiento, por lo que los caracterizamos como dinámicos y

presentes a lo largo de la historia, con “una vida”. Esto nos da pauta a reconocer que con

respecto a los significados correspondientes a herramientas a matemáticas que permiten

llevar a cabo actividades con la intencionalidad específica de resolver problemas, se tienen

algunos primeros constructos los cuales se van robusteciendo, enriqueciéndose así

progresivamente las ideas de inicio.

El reconocimiento de los usos como algo dinámico nos llevó a plantearnos posteriormente

otra pregunta que fue, ¿cuáles fueron los primeros usos del conocimiento que propiciaron la

construcción de la tangente?. Contestarla también presuponía que era evidente que había un

proceso y por lo tanto diferentes momentos en la humanidad que favorecieron su

construcción. La guía que nos permitió reconocer una ruta a seguir para identificar estos

momentos en la historia fue por un lado identificar en nuestro estado del arte, el hecho de

que los infinitesimales fueron aquellos constructos que permitieron hacer un análisis del

cambio y variación. Su representación gráfica permitió dar explicaciones acerca del

comportamiento y caracterización de las curvas por lo que fueron un punto clave en la

resolución del problema de las tangentes; por otro lado, fijarnos en qué fue lo que

acompañó y/o propició la construcción de la recta tangente producto de una época, en

295

donde había una forma de mirar y de proceder, fue el empleo de argumentos de cambio y

variación los cuales existieron y estuvieron presentes en una comunidad de matemáticos. El

reconocimiento de estos elementos nos permitió utilizarlos de manera intencional en la

creación de secuencias didácticas.

Para cada momento histórico se necesitó reconocer las actividades llevadas a cabo con el

uso de herramientas matemáticas y cuáles fueron los significados construidos en cada

momento. Es decir reconocer lo que rodeó, estuvo presente y dio significado a los usos del

conocimiento requirió no solamente determinar la herramienta matemática utilizada para

llevar a cabo actividades sino ubicar a la herramienta-actividad dentro de un contexto, el

cual les daba sentido. Por ejemplo en la secuencia didáctica 1, se llegó a la conclusión de

que en el caso de Copérnico al querer conocer las posiciones de los cuerpos celestes lo

llevó a usar una herramienta matemática por medio de la cual llevó a cabo actividades

como calcular, comparar e inferir, las cuales tuvieron sentido en un contexto geométrico en

donde el uso de la gráfica fue importante para que pudiera dar sus explicaciones. En ese

contexto tenía sentido lo que se estaba haciendo. Al hacer la consideración de todos estos

elementos juntos se pudo determinar la construcción de significados a partir de la

interacción herramienta-actividad.

La otra pregunta de investigación fue: ¿Cuál fue la práctica social que le dio origen y

como normó ésta su construcción? En nuestro marco teórico se reconoce a la PS como la

normativa de las acciones de los individuos, en nuestro caso particular se manifiesta a partir

de la construcción de argumentos que están relacionados con una forma de mirar y tratar a

fenómenos físicos con herramientas matemáticas, como son el estudio del cambio y

variación de los fenómenos de flujo continuo. La PS va a normar las actividades de las

personas a través de la práctica de referencia, en nuestro caso la práctica de la tangente

variacional, y que se va a manifestar a través de generaciones como un conjunto de

actividades organizadas intencionalmente con la intención de resolver un problema el cual

tiene razón y sentido en el contexto sociocultural en donde se encuentra presente.

Ubicamos a la predicción como la PS que normó la construcción de la práctica de la

tangente variacional, una de las ideas básicas de la predicción es reconocer el todo sólo con

296

mirar la parte y esto se puede hacer a partir del análisis del elemento puntual, para lo cual

se puede usar la diferencia fundamental:

𝑝(𝑥 + 𝑑𝑥)− 𝑝(𝑥)

Esta nos permite determinar el cambio de un estado a otro, el equilibrio o desequilibrio, en

fenómenos físicos de la naturaleza. El uso de elementos concernientes a la variación

infinitesimal como son los infinitesimales es lo que a la postre consolidó un método general

de resolución del problema de las tangentes. Nuestra postura teórica nos llevó a observar no

solamente a la recta tangente como un objeto de estudio en sí mismo, sino a los elementos

asociados a su práctica, es decir aquellos que se encontró y estuvieron presentes en su

construcción como producto de un contexto sociocultural propio de una práctica de

matemáticos eruditos de una época normada por la PS de la predicción. En consecuencia

revisar sus constructos asociados nos permitió rastrear elementos pertenecientes a la

práctica de la tangente variacional como son:

a) Una curva se comporta como un segmento siempre y cuando se tengan dos puntos

de la misma infinitamente cercanos.

b) Se puede considerar que un punto es un segmento infinitesimal.

c) Un segmento infinitesimal (como parte de una curva) tiene una inclinación, es decir

una pendiente la cual nos da información acerca de la razón instantánea de cambio.

d) Al extenderse un pequeño segmento infinitesimal en ambos sentidos se tiene la recta

tangente en un punto de la curva que comparte con ella el segmento infinitesimal,

por lo tanto conocer la pendiente de la recta tangente implica conocer la pendiente

del segmento infinitesimal con lo cual se conocerá la razón instantánea de cambio.

e) La recta tangente y consecuentemente el segmento infinitesimal con el cual es

común con la curva es variable.

f) La curva puede ser la representación gráfica de un fenómeno físico, de tal forma

que se pueden conocer elementos como el máximo, mínimo, la razón instantánea de

cambio a partir del análisis del uso de la gráfica.

g) La recta tangente se puede usar como una herramienta matemática gráfica que

permite caracterizar a una curva.

297

Los elementos anteriores no surgen espontáneamente, hubo algunas primeras ideas y sobre

esa base se fueron enriqueciendo las mismas, es decir hubo una resignificación progresiva

de las ideas conceptuales. Al reconocer la historicidad como una característica de la PS nos

llevó a hacer un seguimiento histórico, en donde se pudo detectar estos momentos donde se

reconocieron significados iniciales los cuales se fueron resignificando y siendo cada vez

más funcionales.

En nuestra revisión del estado del arte de productos de investigación en donde se

encontraban presentes el pensamiento y lenguaje variacional tratando temas concernientes

al cálculo diferencial, nos percatamos que había una idea que se encontraba de manera

recurrente. La idea de dejar fluir medir el cambio y hacer un análisis del mismo, lo que

lleva a usar herramientas matemáticas que permitan dichos análisis en donde no se está

analizando a la matemática per se, sino al efecto que tiene sobre ésta en base a los

fenómenos físicos que se están estudiando y que son productos de un contexto (Cantoral,

2001).

El uso de los infinitesimales y la manera en cómo fueron representados gráficamente nos

habla sobre la matematización de los fenómenos de cambio, así como la manera en que los

matemáticos de la época trataron la matemática del cambio. Esto posibilita el análisis del

elemento puntual, el cual de acuerdo a L´Hospital es un pequeño segmento infinitesimal

(que puede ser representado gráficamente) cuyo análisis podrá llevar a predecir el todo solo

con mirar la parte (Cantoral, 2001).

Queremos retomar algunos ejemplos que dan una muestra de lo que hemos estado

discutiendo.

En la investigación llevada a cabo por Castañeda (2004) se presenta la idea de medir la

segunda diferencia, utilizando ideas como son el análisis de las diferencias a partir de los

infinitesimales. Veamos a continuación una figura presentada en sus análisis:

298

Fig. 7.1

Aparentemente podría parecer que sólo se quiere conocer la segunda diferencia. Sin

embargo al mirar con mayor profundidad el lector se puede dar cuenta que también se

quiere medir el cambio del cambio. Para ello se hace uso de elementos característicos de

una época como el uso de los infinitesimales los cuales son representados geométricamente

por pequeños segmentos en una gráfica en donde el análisis de los fenómenos de cambio y

variación a partir de herramientas matemáticas como son las diferencias y las gráficas.

El estudio de los fenómenos de cambio a partir de su representación gráfica refleja una

forma de mirar de una comunidad de matemáticos. Por ejemplo en el caso que estamos

tratando si la gráfica representa un fenómeno de cambio y variación, entonces el saber

cómo cambia el cambio puede permitir predecir un estado ulterior.

La forma de abordar los fenómenos de cambio y variación haciendo uso de herramientas

matemáticas fue un paradigma existente. Inferimos que la caracterización de las curvas a

partir del uso de los infinitesimales no fue algo casual, ya que si asumimos a las

matemáticas como herramientas que permite resolver problemas entonces tiene sentido

pensar en la matemática de la variación, tal y como ya lo hemos mencionamos en nuestro

estado del arte, pues el movimiento como propiedad esencial de la materia es incorporado a

la matemática en forma de variables trascendiéndose así concepciones estáticas acerca de la

naturaleza y del universo. Este viraje en el desarrollo de la matemática posibilitó soluciones

más generales al problema de las tangentes.

299

En el estudio llevado a cabo por Serna (2007, 2008; Serna, Castañeda y Montiel, 2009)

también vemos presentes estas ideas en el análisis que se hace de Euler y la forma en cómo

le da tratamiento a la tangente a una curva. Él utiliza argumentos geométricos, pero también

emplea desarrollos algebraicos con la intención de hacer un análisis del cambio. Utiliza una

figura en donde hay elementos de geometría que fue empleada por los matemáticos de la

época por varios años:

Fig. 7.2

Euler representa el cambio por medio de un polinomio y hace un análisis del mismo

tomando en cuenta los cambios en el eje vertical y en el eje horizontal. Se hace la

consideración de dos triángulos semejantes uno de dimensiones finitas y otro de

dimensiones infinitesimales, la hipotenusa del triángulo más grande representa la recta

tangente a la curva en el punto M cuya pendiente es la misma que la del triángulo de

dimensiones infinitesimales, con la cual se puede representar en términos actuales como la

razón instantánea de cambio. Esta va a tomar valores diferentes para cada punto de la

curva. Euler reconoce explícitamente el carácter variacional de la recta tangente (Serna,

2007, 2008; Serna, Castañeda y Montiel, 2009).

Con lo anterior hemos querido ejemplificar que las ideas de cambio y variación se

encontraron presentes en una comunidad de matemáticos eruditos. Estas ideas provenían de

una clase de fenómenos físicos que fueron tratados con herramientas matemáticas, pero

había una forma de afrontar estos problemas notando en todo ellos elementos comunes. Por

ejemplo el análisis del cambio y variación a través de los infinitesimales en un contexto

geométrico donde la diferencia entre dos puntos muy cercanos de una curva era una

herramienta matemática esencial en el análisis de la misma. Todas estas ideas estaban

siendo normadas por la PS de la predicción en donde el llevar a cabo un análisis del

300

elemento puntual es importante ya que se dice que posee herencia y por lo tanto permite

conocer el estado ulterior si se conoce el estado de facto (Cantoral, 2001; Marcolini y

Perales, 2005).

Con base a lo anteriormente expuesto inferimos que los constructos asociados a la práctica

de la tangente variacional (que fueron expuestos en párrafos anteriores) fueron construidos

sobre la base de la PS de la predicción.

Con respecto a la pregunta: ¿se puede construir la tangente variacional a partir de

identificar su origen y diferentes etapas de desarrollo como producto de la

construcción social del conocimiento y cómo se puede emplear esto para llevar a cabo

una intervención en el aula?

La PS como aquello que norma la construcción de conocimiento matemático es algo que no

nace espontáneamente, “tiene una vida” y se presenta a través de generaciones. Las

herramientas matemáticas que sirven para resolver problemas se van enriqueciendo y

modifican al hombre así como a su vez este sigue modificando las herramientas para

hacerlas más funcionales.

Como enuncia Cantoral (2001), sobre el análisis de la diferencia fundamental entre dos

estados:

…mide el desequilibrio en la naturaleza, su reconocimiento permite anunciar la

presencia de flujos, así como también da cuenta de los procesos de acumulación

de lo que fluye; en fin, con ese significado asociado, resulta obligado su análisis

en los mecanismos de predicción propios de las ciencias físicas.

(p. 348)

El estudio de los fenómenos físicos que se refieren al movimiento de los cuerpos en el

espacio induce a la creación de herramientas matemáticas para su estudio, esto se fue

dando en diferentes etapas de la historia y se refleja en la PS. Esta va a orientar la

construcción de conocimiento matemático y se va a ver manifestado en diferentes

prácticas. En nuestro caso particular la práctica de la tangente variacional, se vio reflejada

301

en la forma en que un colectivo de científicos matemáticos trató un problema que algunos

libros de historia de la ciencia llamaron el problema de las tangentes.

¿Qué elementos socioculturales presentes en la historia de la práctica de la tangente

variacional se pueden utilizar para una intervención el aula?

El hecho de hacer una revisión en el estado del arte y considerando nuestra investigación en

(Serna, 2007) nos dio una muestra que hubo momentos de la historia entre el siglo XVI y

XVIII, en dónde estuvo presente una práctica de referencia. El identificarla en nuestra

investigación nos permitió reconocer diferentes elementos que se encontraron presentes en

la construcción de la tangente variacional. No fuimos solamente a un momento de la

historia a observar el objeto matemático recta tangente y a partir de ahí obtener ideas que

permitieran su construcción en una didáctica actual, más bien de acuerdo a nuestra postura

teórica identificamos los elementos provenientes del contexto que hicieron posible su

construcción para fines educativos.

Plantear que el conocimiento matemático es producto de la actividad humana, hace

asequible la idea de que los saberes (conocimiento puesto en uso) tienen una “vida” esta se

ve manifestada en diferentes momentos de la historia, es decir un saber no surge de forma

instantánea y “muere” también instantáneamente, es algo que va surgiendo en base a

problemáticas de una comunidad y va teniendo cambios ya que cada vez se va a resolver

mejor dichas problemáticas; cuando identificamos esto vemos que efectivamente un saber

tiene una historicidad, reconocerla implica buscar también estos primeros elementos con

los que se construyó el conocimiento puesto en uso, sus significados y esto nos permite

también ver que hay una forma más natural de secuenciar las ideas y emplear esto en el

discurso matemático escolar, ya que así fue como la sociedad fue construyendo sus

conocimientos, a diferencia de las secuencias de objetivos planteados en los currículos

escolares actuales que tienen una secuenciación parecida a la del análisis matemático.

Reconocer la historicidad de un saber nos permitió ver los primeros elementos con los que

se fue construyendo la recta tangente variacional y a partir de ahí ir a otro momento en

donde se enriquecía el primer elemento encontrado con nuevos significados haciéndose de

esta manera más robustos los significados, más funcionales, resolviendo cada vez mejor los

302

problemas. La historicidad nos hizo recurrir a diferentes momentos de la historia y en base

a ello diseñar secuencias didácticas en donde el saber que se iría construyendo tendría estas

características de historicidad. En cada momento histórico empleado se identificaron cuáles

fueron los significados construidos y esto se empleó en el diseño de las secuencias por

medio de las tareas que los estudiantes tenían que llevar a cabo.

Desde el punto de vista de la construcción social del conocimiento, se planteó la pregunta:

¿cuáles son los elementos asociados a su construcción y cómo se pueden emplear estos

para una intervención didáctica? Nuestra investigación nos llevó a identificar elementos

por medio de los cuales se puede construir conocimiento. A manera de cierre decimos que

los elementos encontrados son constructos teóricos que se articularon por medio de un

modelo de construcción social del conocimiento matemático que dio explicaciones que

fueron utilizadas en el diseño de las secuencias didácticas, las cuales tuvieron la intención

de que esos significados identificados en la historia fueran construidos por los estudiantes y

que conforme iban solucionado las diferentes tareas planteadas en las secuencias fueran

construyendo la tangente variacional, como una herramienta matemática la cual tenía en sí

misma asociados diferentes significados que se fueron construyendo desde la primera

secuencia didáctica.

Otra intencionalidad que se tenía es que a partir de la construcción de la tangente

variacional, esta sirviera como una herramienta que permitiera ser un elemento

introductorio para la construcción de la derivada desde un punto de vista gráfico. Recurrir a

la historia reconociendo a la actividad humana como fundamental en la construcción de los

saberes, nos permitió reconocer significados asociados a la naturaleza del conocimiento

matemático que no se encuentran presentes en el discurso matemático escolar actual, como

son los elementos asociados a la práctica de la tangente variacional mencionados

anteriormente. Por lo que nuestra propuesta sugiere un rediseño de tal discurso, por uno que

no tiene que ver necesariamente con secuenciaciones lógicas de los contenidos

matemáticos, sino más bien por uno que tiene como base a la actividad humana.

Nuestro modelo propuesto que tomó como base el propuesto por Montiel (2005, 2011) es el

siguiente:

303

Modelo de Construcción Social del Conocimiento

Fig. 7.3

En el podemos observar:

El uso de herramientas matemáticas para llevar a cabo actividades para resolver un

problema producto de un contexto sociocultural, en donde hay una forma de mirar y

abordar las problemáticas existentes en una comunidad que construyen conocimiento con

base en significados compartidos provenientes de una práctica. Con base a la interacción

herramienta-actividad surgen nuevos significados a partir de los ya existentes, los cuales

tienen sentido en el contexto donde se están usando.

La práctica como una acción o conjunto de acciones que enlaza ideas previas adquiridas a

través del cúmulo de experiencias con la construcción de una o más ideas. Esto se hace a

partir de la organización de actividades cuya intención específica es la de resolver un

problema situado en un contexto sociocultural, las ideas construidas se pueden convertir en

nuevas herramientas por lo que les vamos a llamar saberes. La Resignificación es el

Práctica Social


Usos


Resignificación

Significado

Funcionalidad

304

conocimiento puesto en uso (saberes) en donde hay significados y sobre la base de los

mismos se va construyendo nuevos significados más enriquecedores volviéndose más

robustos, es decir hay un enriquecimiento progresivo. Los conocimientos que tienen uso y

significación en el contexto en donde se están empleando y que sirven para hacer un

análisis de la realidad se puede decir que son funcionales, es decir hay una funcionalidad, la

cual permite que no se resuelvan problemas exclusivamente matemáticos sino de diversas

índoles ya que como se ha dicho con anterioridad las matemáticas son una herramienta al

servicio de otras áreas.

7.1.2 Con respecto al método utilizado

7.1.2.1 El diseño de las secuencias

Los elementos del diseño se llevaron a cabo tomando como base al modelo propuesto de

construcción social del conocimiento matemático planteado en nuestro marco teórico. Con

base en la investigación efectuada en (Serna, 2007) identificamos en textos originales el uso

de conocimiento en donde se encontró y estuvo presente la práctica de la tangente

variacional. Para llevar a cabo los diseños se tuvo que detectar los usos de herramientas

matemáticas por medio de las cuales se podían ejecutar actividades en un contexto de

cambio y variación propios de la práctica de la tangente variacional los cuales fueron

normados por la PS de la predicción. Considerar la historicidad de la práctica de la

tangente variacional nos llevó a establecer un orden de las secuencias con base en los

primeros constructos de la práctica de referencia y posteriormente ir a otros momentos

históricos en donde las ideas de inicio se ven enriquecidas por otras más funcionales,

resignificándose así los significados compartidos en comunidad.

El análisis de los usos del conocimiento permitió determinar los significados construidos en

los colectivos de matemáticos y de manera intencional se plasmaron en las secuencias

construidas. Esto se llevó a cabo retomando problemas expuestos en textos originales

antiguos, pero adecuando el lenguaje matemático a un lenguaje usado en el sistema escolar

actual. Los usos de herramientas matemáticas para llevar a cabo actividades son

determinados por una forma de mirar y/o tratar el conocimientos matemáticos lo cual tiene

que ver con los significados construidos en comunidad. En el caso de la práctica de la

305

tangente variacional se encontraba ubicada en un contexto sociocultural en donde los

problemas de cambio y variación influyeron orientando el desarrollo mismo de las

matemáticas, por lo tanto la socioepistemología nos conduce a cambiar la orientación en

nuestros diseños al no centrarnos exclusivamente en el objeto matemático recta tangente

(de a cuerdo al sistema escolar actual) sino reconocer elementos propios de la práctica por

ejemplo el poner la atención en la manera de variar conlleva a que los estudiantes puedan

usar a las matemáticas como una herramienta con la cual se ejecutan actividades y se

construyan significados.

Al reconocer que la PS se encuentra en la base de la construcción del conocimiento

matemático normando las actividades a llevar a cabo por una comunidad, pudimos observar

que el análisis del elemento puntual era un elemento fundamental en la predicción. Se podía

ver claramente su intervención en la obra de L´Hospital con los infinitesimales y en otros

matemáticos contemporáneos aunque no necesariamente los llamaban así. Dicho análisis no

se precisaba tan claramente en matemáticos anteriores, sin embargo, reconociendo la

historicidad de la práctica tendríamos que “rastrear” algunas primeras ideas que aunque no

fueran declaradas propiamente como infinitesimales si tenían inherente su esencia, la cual

consistía en acercar dos puntos de una curva cada vez más y más, observando el

comportamiento de la misma.

La idea anterior la encontramos en la obra de Copérnico, ésta se fue enriqueciendo

agregándosele nuevos significados con Newton donde ahora esa pequeña curva que se

comporta como recta entre dos puntos muy cercanos de la misma tiene una inclinación y si

se extiende en ambos sentidos se forma la recta tangente, con L´Hospital quien representa

gráficamente a una curva como un conjunto de segmentos infinitesimales ensamblados

entre sí y en donde cada uno de ello representa a un punto de la curva, por lo que se puede

intuir a partir de esta representación el carácter variacional de la recta tangente a la curva y

Euler quien retomando los elementos anteriores hace uso del álgebra para representar la

pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.

De tal forma que las secuencias se ordenaron de acuerdo a los diferentes momentos

históricos que se fueron reconociendo de la práctica de la tangente variacional, la cual

consideramos es una forma más natural de secuenciar los contenidos y no necesariamente

306

como marcan los programas tradicionales los cuales están basados en el análisis

matemático.

El diseño de cada una de las secuencias tomó en cuenta los conocimientos construidos en la

anterior (a excepción de la primera que sólo consideraba sus conocimientos previos), así

como los conocimientos que ya tenían con anterioridad los estudiantes. Había que

considerar las actividades (en el sentido de nuestro modelo de construcción social de

conocimiento) que se tendrían que llevar a cabo mediante el uso de herramientas

matemáticas, así como los significados que de acuerdo a nuestro análisis de los usos

tendrían que construir los estudiantes con esa interacción entre herramienta-actividad

ubicada en un contexto de cambio y variación en donde los elementos geométricos juegan

un papel también importante. El uso de las gráficas como aquello que soporta el desarrollo

de la argumentación (Buendía, 2011) fue usada en la historia así como implementada en las

secuencias didácticas diseñadas.

Con los elementos plasmados anteriormente en las secuencias didácticas se tenía como

objetivo que los estudiantes construyeran la recta tangente desde un punto de vista

variacional. Esto se diseñó para que se fuera haciendo por pasos, es decir en cada secuencia

se fueron construyendo los diferentes elementos que tomaban como base a los anteriores, lo

cual da cuenta de la resignificación. Las respuestas a los planteamientos hechos a los

estudiantes en las secuencias constituyeron nuestros datos de investigación, estos

planteamientos tenían que ver con que los estudiantes llevaran a cabo actividades como

calcular, comparar, inferir, aproximar y generalizar; todo ello en un contexto de cambio y

variación. Otra forma de guiar a los estudiantes para que fueran construyendo significados

propios de la práctica de la tangente variacional fue a través de las respuestas que tendrían

que dar a preguntas realizadas, para lo cual se les solicitaba debatieran entre ellos con el fin

de llevar a cabo un análisis y reflexión y con base en argumentos pudieran llegar a

conclusiones; dichas preguntas fueron categorizadas en el capítulo V del presente trabajo de

investigación.

Las respuestas dadas por los estudiantes en donde se diera cuenta de la construcción de los

diferentes elementos constitutivos de la práctica de la tangente variacional y que hemos

mencionado en párrafos anteriores, así como todos aquellos que nos mostraran evidencias

307

de los elementos de nuestro modelo de construcción social del conocimiento serían las

unidades de información que vendrían a ser nuestros datos. Por lo que en las secuencias

didácticas se puede observar nuestro método para obtener datos y las cuales son un reflejo

también de nuestro marco teórico.

7.2 La puesta en escena

La puesta en escena de las diferentes secuencias nos da evidencia empírica de que los

supuestos hechos por la teoría se cumplen, para lo cual se hace también necesario reconocer

que el método para obtener nuestros datos fue a partir de las secuencias didácticas en donde

se adecuaron los usos de los conocimientos pertenecientes a una práctica, a el sistema

escolar actual. Aunque no en todos los casos se logró que los equipos construyeran los

significados cuya intención tenía el investigador, consideramos que en la mayoría de los

casos se logró lo que se esperaba. El detalle de esta información se muestra en el capítulo

VI de esta investigación.

Las producciones de los estudiantes se vieron plasmadas en sus respuestas escritas y

verbales en donde se dio evidencia de la existencia de los diferentes componentes del

modelo de construcción social del conocimiento. Se pudo dar cuenta que en el ejercicio de

la práctica de la tangente variacional había usos de conocimiento que se manifestaban a

partir de las actividades llevadas a cabo por los estudiantes por medio de herramientas

matemáticas todo esto en un contexto de cambio y variación en donde los elementos de

tipo geométrico se representaban en una gráfica. La gráfica empleada, dependiendo de su

forma servía para que los estudiantes argumentaran, pero además tenía también un rol en la

construcción de significados lo cual habla de su funcionamiento. Todo lo mencionado tiene

que ver con elementos del contexto de la práctica de referencia, es decir aquello que

acompaño y estuvo presente en el desarrollo de la práctica y por lo tanto en la construcción

de significados.

Para la construcción de los significados se tuvieron que tomar en cuenta, los conocimientos

previos de los estudiantes, en caso de que se requiriera fue necesario dar explicaciones

previas antes de implementar alguna de las secuencias didácticas, por ejemplo en la

secuencia didáctica II se requería que se conociera una forma de establecer la semejanza

308

entre dos triángulos tal y como lo planteó Newton en la parte de su libro Principios

Matemáticos que usamos como base para la secuencia. Esta forma de establecer la

semejanza no se ve en los programas actuales de geometría y trigonometría en el nivel

medio superior en el programa del Estado de México, por lo tanto fue necesario que el

profesor-investigador explicará en qué consistía dicha propiedad. En otros casos había

ciertas deficiencias en el buen manejo algebraico, esto se observó en el desarrollo de la

secuencia didáctica IV, con un equipo y fue necesaria la intervención del profesor-

investigador ya que era indispensable que la expresión fuera correcta puesto que se usaría

posteriormente. En las dos primeras secuencias se requería conocimientos de aritmética y

geometría, con el uso de estos conocimientos era suficiente para construir los significados

requeridos. En la secuencia didáctica III se requería además de geometría y trigonometría,

que los estudiantes supieran como evaluar una función en un punto, para usar esto en la

fórmula de la pendiente la cual de acuerdo a nuestra postura teórica adquiere el estatus de

herramienta matemática.

Se pudo constatar que los estudiantes al dar sus explicaciones y en sus producciones

escritas manejaban argumentos de cambio y variación, por ejemplo al decir lo que ocurría

con dos puntos muy cercanos de una curva, o cuando se les preguntaba qué pasaba con la

velocidad (la cual era representada gráficamente) para dos instantes diferentes de tiempo,

para lo cual se pudo observar que los estudiantes hacían descripciones de los signos de las

pendientes de las rectas tangente a una curva antes y después de un máximo (o un mínimo).

Finalmente los argumentos construidos se emplearon cuando se les pidió que hicieran la

gráfica de la función derivada de una función cúbica, podemos decir que se obtuvieron

buenos resultados por parte de los equipos ya que tres de ellos mostraron una buena

aproximación gráfica de la derivada y un cuarto equipo, hizo una gráfica de la función

derivada con la forma de una parábola, lo cual respondió a nuestra expectativas; algo muy

interesante fue que usó argumentos que fueron construidos durante el desarrollo mismos de

las secuencias.

Con respecto al método consideramos requiere algunos ajustes. En cuanto a las preguntas

que se les hace a los estudiantes, éstas son muy importantes ya que hacen focalizar su

atención en situaciones que los llevan a construir significados que serán usados

309

posteriormente, por lo que consideramos que hay ciertas adecuaciones que podrían mejorar

las respuestas por parte de los estudiantes.

En el transcurso de la investigación nos hemos podido dar cuenta que hay significados que

inician con ciertas ideas, éstas tienen que ver con el contexto sociocultural en donde se

presentan. En nuestro caso no nos fijamos exclusivamente en el objeto matemático recta

tangente, sino también aquello que acompañó y estuvo presente en la práctica de la

tangente variacional. Esto se evidencia ya que al poner atención en la manera de variar

como algo característico de la práctica de referencia da cuenta de ser un elemento con el

que se construye la noción de recta tangente como su característica de ir cambiando en cada

punto de una curva. Tomar en cuenta la manera de variar es por lo tanto un elemento

esencial en la construcción de significados, por lo que se consideró en el diseño de las

secuencias didácticas.

Por otro lado el diseño de las secuencias didácticas requirió de hacer un “rastreo histórico”

esto debido a la historicidad que hemos podido dar cuenta existe en la práctica de

referencia. Por lo tanto una forma de llevar a cabo diseños didácticos se puede hacer

considerando la historicidad de la práctica en donde existen elementos conceptuales que

tienen una “vida” ya que nacen y se van desarrollando durante un cierto período histórico

de la humanidad. Por otro lado se hace necesario también tomar en cuenta aquellos

elementos constitutivos de la práctica de referencia, aunque estos no necesariamente sean

del ámbito exclusivamente matemático desde el punto de vista de la matemática formal.

Finalmente podemos decir que los elementos mostrados en nuestro modelo de construcción

social del conocimiento, nos ha servido para:

1) Identificar aquello que se encuentra presente en la construcción de significados, por

ejemplo los usos, herramientas y actividades, así como la práctica de referencia,

resignificación y funcionalidad e inferir a partir de un análisis la práctica social que

se encuentra presente normando la construcción del conocimiento.

2) Hacer diseños de secuencias didácticas que tomen como base el modelo.

3) Como unidad de análisis de los datos obtenidos después de implementar el diseño

didáctico elaborado.

310

Por lo que podemos decir que esta forma de abordar la historia, para analizarla y elaborar

diseños didácticos nos ha resultado benéfica puesto que nos ha mostrado resultados

satisfactorios.

En un futuro próximo consideramos que esta metodología se puede utilizar en

investigaciones sobre fenómenos didácticos, tomando en cuenta que la construcción de las

nociones matemáticas debe incluir a la actividad humana como un componente esencial.

Pensar en los humanos haciendo matemáticas nos lleva a poner la atención no en un

producto final a elaborar por los estudiantes, sino por el contrario en aquellas partes que

forman parte del proceso de construcción del conocimiento y que posibilitan que las

personas puedan discutir, analizar y reflexionar para llegar a sus conclusiones; las ideas

matemáticas así construidas al pensar en las nociones matemáticas como herramientas

serán funcionales, la connotación misma de herramienta toma en cuenta que fueron usadas

y por lo tanto se han apropiado de ellas, además de que el uso de las misma permite un

enriquecimiento progresivo de los significados. De esta manera contribuimos a formar

estudiantes críticos que no resuelvan de manera mecánica, sino más bien que usen las

herramientas matemáticas para describir su realidad y… ¿por qué no?, también para

transformarla.

311

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317

Anexo

318

Secuencia didáctica 1

Nicolás Copérnico descubrió que la tierra no era el centro del sistema solar, para ello se valió de las matemáticas en general y de la geometría en lo particular, él decía:

Pues es propio del astrónomo calcular la historia de los movimientos celestes con una labor diligente y diestra. Y además concebir y configurar las causas de estos movimientos, o sus hipótesis, cuando por medio de ningún proceso racional, puede averiguar las verdaderas causas de ellos. Y con tales supuestos pueden calcularse correctamente dichos movimientos a partir de la geometría, tanto mirando hacia el futuro como hacia el pasado.

(Copérnico, 1543, p. 17)

Es a partir de la astronomía y en su afán de predecir los movimientos de los cuerpos celestes, que se van desarrollando ideas matemáticas. En el caso que estamos revisando podremos observar cómo se pueden elaborar conjeturas a partir del contexto en donde se encontraba trabajando Copérnico.

En su teorema sexto escribe “La razón (división o cociente) entre dos arcos es mayor que la razón entre la mayor y la menos de las rectas subtendidas [cuerdas].” (Copérnico, 1543, pp. 48-49), y se presenta la siguiente figura:

Figura 1


“Sean en un círculo dos arcos desiguales unidos, 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y sea el mayor 𝐴𝐵� . Afirmo que la razón de 𝐴𝐵� a 𝐴𝐶� es mayor que la de las subtensas AB a AC” (Copérnico, 1543, pp. 48-49).



𝐴𝐶��

A

C B

319

𝜽

r r

C 𝑪𝟐

A partir de de lo enunciado anteriormente, probemos su teorema, para hacerlo vamos a considerar como lo hizo Copérnico que el arco mostrado en la figura pertenece a un círculo cuyo diámetro es de 200,000 unidades.

Nota:

Copérnico encontró que para un arco de 𝜽 = 𝟑° la cuerda subtendida es de 5235 unidades, y para un arco de 𝜽 = 𝟏.𝟓° la cuerda subtendida es de 2618 unidades, haciendo la consideración de que el diámetro de la circunferencia es de 200 000 unidades.

Primera actividad

¿Cuál es la expresión matemática que nos permite calcular el valor de la subtensa (cuerda), considerando que tenemos como dato el ángulo central en grados?

Considera la siguiente figura:

Sugerencia: Considerar que se tiene un triángulo isósceles cuyo lado desigual es la cuerda a calcular, de tal forma que podemos considerar que los dos lados iguales tienen lado igual al radio de la circunferencia y el vértice de estos dos lados se encuentra en el centro de la misma, a partir

de este vértice se traza la altura que divide al ángulo 𝜃 en dos partes iguales ( 𝜃2 )y también C

(cuerda)queda divida en dos partes iguales, 𝐶2 .

𝐷 = 2𝑟 (1)

Donde:

D es el diámetro

320

r es el radio

Por otro lado se sabe que:

𝐺360 = 𝜃

2𝜋 (2)

Expresión que nos permite hacer conversión de Grados a Radianes o Radianes a Grados.

En donde:

G es el ángulo en grados

𝜃 es el ángulo en radianes

Pretendemos encontrar una fórmula que relacione a la Cuerda “C” con el ángulo medido en grados.

Con el triangulo rectángulo formado, cuya hipotenusa es igual a “r” y cuyo cateto opuesto al

ángulo 𝜃2 es igual a 𝐶2 , ¿cuál será la expresión seno en donde se relacionan los elementos

planteados?, a la expresión así formada vamos a decir que es la (3)

De la ecuación obtenida despejar el valor de C y vamos a decir que es la expresión (4)

De la expresión (2) obtener 𝜃2 =? sustituir la expresión así obtenida, como también sustituir el

valor del Diámetro (1) en la expresión (4) para obtener una nueva expresión a la cual vamos a llamar expresión (5), la expresión será:

En la expresión encontrada hacer la consideración de que 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠, por lo tanto ya podremos encontrar la expresión de la cuerda en función del diámetro (D) y el ángulo en grados (G), por lo tanto nuestra expresión final es:

Una vez determinada la expresión comprobar los valores que obtuvo Copérnico que son:

321

a) Para un ángulo de 3° la subtensa tiene un valor aproximado de 5235 unidades Utilizando la fórmula obtenida: C=?

b) Para un ángulo de 1.5° la subtensa tiene un valor aproximado de 2618 unidades, utilizando la fórmula obtenida: C=?

Para lo anterior redondear los valores obtenidos a 3 cifras después del punto decimal.

Segunda actividad

A partir de la expresión obtenida en la 1ra actividad llenar las siguientes tablas (redondear a tres cifras después del punto decimal):

Ángulo central (Grados) Valor de la Subtensa

(Cuerda)

48

24

12

6

3

1.5

Tabla 1

Arco 𝐴𝐵� Arco 𝐴𝐶� Subtensa 𝐴𝐵�� Subtensa 𝐴𝐶�� Razón 𝐴𝐵��𝐴𝐶� = Razón 𝐴𝐵

��𝐴𝐶�� =

48 24

24 12

12 6

6 3

3 1.5

Tabla 2

322

¿Qué ocurre con la relación 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararla con respecto a 𝐴𝐵

��𝐴𝐶��?

¿Qué puedes concluir que ocurre con el resultado del cociente 𝐴𝐵�𝐴𝐶� al compararlo con el resultado

del cociente 𝐴𝐵��𝐴𝐶�� conforme los puntos B y se encuentran muy cercanos entre sí y además muy

próximos a el punto A?

¿Cómo serán los arcos de una curva de puntos que se encuentran muy cercanos entre sí con respecto a las subtensas formadas por los mismos puntos?

Tercera actividad

Utilizando nuevamente la expresión obtenida en la actividad 1, llenar la tabla 3.

Nota: Redondear a 3 cifras después del punto decimal en los resultados obtenidos.

Arco 𝐴𝐵� Arco 𝐴𝐶� Subtensa 𝐴𝐵�� Subtensa 𝐴𝐶�� Razón 𝐴𝐵��𝐴𝐶� = Razón 𝐴𝐵

��𝐴𝐶�� =

1.5 0.75

0.75 0.375

.375 .1875

Tabla 3

A partir de los resultados obtenidos:


323



¿Habrá alguna relación entre la curva y una recta en una vecindad muy cercana (infinitesimal)?

A partir de los resultados obtenidos para dos puntos de una curva muy cercanos entre sí, Copérnico pudo llegar a ciertas conclusiones que le permitieron hacer una tabla de subtensas con respecto a los arcos correspondientes y utilizar esa tabla junto con algunos otros elementos para sus cálculos astronómicos.

324

Secuencia Didáctica 2

La forma de escribir matemáticas en el siglo VII era utilizando argumentos de tipo geométrico, esto lo podemos ver en la obra de Newton “Principios Matemáticos”, la forma de abordar fenómenos de la naturaleza era a partir de relacionar a la geometría con fenómenos del mundo real, revisemos el siguiente lema IX enunciado por Newton:

Si una línea recta AE y una curva ABC, ambas con una posición dada, se cortan en un ángulo dado A; y a esa línea recta, en otro ángulo dado, se

aplican ordenadamente BD y CE interceptando la curva en B y C; y los puntos B y C se aproximan y se encuentran en el punto A, afirmo que las

áreas de los triángulos ABD y ACE serán respectivamente en última instancia como los cuadrados de los lados homólogos.

Figura 1

Actividad 1

¿Son semejantes los triángulos ∆𝐴𝐵𝐷 y ∆𝐴𝐶𝐸?, argumenta tu respuesta:

325

Vamos a demostrar el lema IX de Newton, de la siguiente manera:

Consideremos que el punto A se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas A(0,0), lo cual nos dará una gráfica como la mostrada en la figura 2.

Figura 2

326

Vamos a considerar que podemos representar a la curva ABC mediante la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥, la cual está representada gráficamente en la figura 3, sin embargo debemos de tomar sólo el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, es decir sólo una parte de la curva:

Figura 3

Al tomar un pequeño intervalo de la gráfica anterior por ejemplo 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 la porción de la curva tomada es parecida a la curva ABC, tal y como es mostrado en la figura 4:

Figura 4

327

Llenemos la tabla 1 que a continuación se nos presenta:

Vamos a ir haciendo que los puntos B y C sean cada vez más próximos al punto A, lo cual implicará también que los segmentos 𝐷𝐵�� y 𝐸𝐶�� cada vez serán más pequeños, el punto A en nuestro caso se encuentra situado en el origen, el ∆𝐴𝐶𝐸 siempre es mayor a él ∆𝐴𝐵𝐷 y observemos la

relación que hay entre la razón (Cociente) de sus áreas Á𝑟𝑒𝑎 ∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷 con respecto a la razón entre los lados al cuadrado 𝐴𝐸��2 y 𝐴𝐷��2, es decir 𝐴𝐸

��2𝐴𝐷��2,

recordemos que 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 .

𝐷𝐵�� = 𝑥1

𝐸𝐶 = 𝑥2�� 𝐴𝐷�� = 𝑓(𝑥1) 𝐴𝐸�� = 𝑓(𝑥2)

𝐴= (𝐷𝐵��)(𝐴𝐷��)

2

𝐴 = 𝑥𝑓(𝑥1)2

Área del ∆𝐴𝐵𝐷

𝐴 = (𝐸𝐶��)(𝐴𝐸��)2

𝐴 = 𝑥𝑓(𝑥2)2

Área del ∆𝐴𝐶𝐸 Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷

𝐴𝐸��2𝐴𝐷��2

2 3 𝑓(2)= −22 + 8(2)

𝑓(2) = 12

𝑓(3)= −32 + 8(3)

𝑓(3) = 15

𝐴 = (2)(12)2

= 12

𝐴 = (3)(15)2

= 22.5

22.512 = 1.875

152122 = 1.5625

1 1.5 𝑓(1) = 𝑓(1.5) =

0.6 0.9 𝑓(0.6) = 𝑓(0.9) =

0.4 0.6 𝑓(0.4) = 𝑓(0.6) =

0.2 0.3 𝑓(0.2) = 𝑓(0.3) =

0.1 0.15 𝑓(0.1) = 𝑓(0.15) =

328

Tabla 1

Conforme los puntos B y C son cada vez más próximos al punto A también los segmentos 𝐷𝐵�� 𝑦 𝐸𝐶�� se hacen cada vez más y más pequeños, podemos ir viendo lo que va ocurriendo al comparar la razón entre las áreas de los triángulos Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷 con respecto a la razón entre los cuadrados de los lados 𝐴𝐸��2 𝑦 𝐴𝐷��2. ¿Qué nos puedes decir al respecto?

¿Se cumple el lema IX enunciado por Newton?

Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa explica porque sí se cumple el lema IX de Newton, en caso de que tu respuesta sea que no se cumple el lema mencionado, ¿Qué se podría hacer para que se cumpla el lema IX de Newton?

329

Actividad 2

Ahora hagamos que los puntos B y C se aproximen todavía más a el punto A y por lo tanto también va a haber más proximidad entre ellos (Siempre siendo ∆𝐴𝐶𝐸 > ∆𝐴𝐵𝐷), tal como lo dice el lema IX enunciado por Newton, para llevar a cabo esto vamos a continuar con la tabla 2, haciendo que los puntos B y C se aproximen tanto al punto A, que se puede decir que están infinitamente cercanos a el punto A, de tal forma que casi se encuentran en el punto A. Para lo cual nuevamente vamos a comparar los valores de las columnas 7 y 8.

Tabla 2

𝐷𝐵�� = 𝑥1

𝐸𝐶 = 𝑥2�� 𝐴𝐷�� = 𝑓(𝑥1) 𝐴𝐸�� = 𝑓(𝑥2)

𝐴 = (𝐷𝐵��)(𝐴𝐷��)2

𝐴 = 𝑥𝑓(𝑥1)2

Área del ∆𝐴𝐵𝐷

𝐴 = (𝐸𝐶��)(𝐴𝐸��)2

𝐴 = 𝑥𝑓(𝑥2)2

Área del ∆𝐴𝐶𝐸 Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐶𝐸Á𝑟𝑒𝑎∆𝐴𝐵𝐷

𝐴𝐸��2𝐴𝐷��2

0.02 0.03 𝑓(0.02) =

𝑓(0.03) =

0.01 0.015 𝑓(0.01) =

𝑓(0.015) =

0.005 0.0075 𝑓(0.005) =

𝑓(0.0075) =

0.0001 0.00015 𝑓(0.0001) =

𝑓(0.00015) =

330

Una forma de poder sacar conclusiones de lo que ocurre conforme los puntos B y C se acercan cada vez más y más al punto A (siendo el valor de 𝐸𝐶�� > 𝐷𝐵��), es observar lo que está pasando con los valores de la tabla 2 en sus columnas 7 y 8,… algo está ocurriendo con las figuras que se encuentran ahí, ¿qué conclusiones podrías dar de lo que va ocurriendo con las figuras (triángulos, líneas) conforme los puntos B y C se aproximan más y más a el punto A?


¿Cómo serán los triángulos ACE y ABD conforme los puntos B y C están infinitamente próximos al punto A?

Observa que la línea AC que es uno de los lados del ∆𝐴𝐶𝐸 al prolongarse se forma la línea Ac, imagina como va a ir cambiando esta línea Ac (toma en cuenta que Ac es la prolongación del segmento 𝐴𝐶�� de el triángulo ∆𝐴𝐶𝐸 )conforme los puntos B y C se van aproximando más y más a el punto A, ¿cuál será su posición límite de esta línea Ac?

Si los puntos B y C están infinitamente próximos a el punto A, tendremos también unos triángulos infinitamente pequeños, vamos a imaginar lo que va a ir ocurriendo conforme los puntos B y C van cambiando de posición acercándose cada vez más y más a el punto A con los pequeños arcos 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y la línea Ac que se está moviendo, ¿crees que haya alguna relación entre los pequeños arcos y la línea Ac?

331

Conforme los puntos B y C se aproximan cada vez más al punto A, digamos que se encuentran infinitamente cercanos, en esa pequeña región ¿cómo será el comportamiento de la curva?

Actividad 3

En el libro de Newton “Principios Matemáticos” se sigue explicando acerca del lema IX enunciado anteriormente, se dice lo siguiente:

Pues mientras los puntos B y C se aproximan hacia el punto A, supongamos siempre que AD es prolongada hasta los puntos remotos d y

e, de manera que Ad y Ae pueden ser proporcionales a AD y AE; y que las ordenadas db y ec se trazan paralelas a las ordenadas DB y EC,

intersectando AB y AC en b y c. Siendo semejante la curva Abc a la curva ABC, trácese la recta Ag que toca ambas curvas en A y corta

las ordenadas DB, EC, db y ec en F, G, f y g. Entonces, suponiendo que la longitud Ae permanece idéntica, hágase que los puntos B y C se

encuentren en el punto A. Al desaparecer el ángulo cAg, las áreas curvilíneas Abd y Ace coincidirán con las áreas rectilíneas Afd y Age, y

por tanto (según el lema IX) guardarán entre sí la razón de los lados Ad y Ae al cuadrado. Pero las áreas ABD y ACE son siempre

proporcionales a esas áreas, tal como lo son los lados AD y AE a esos lados. Y, en consecuencia, las áreas ABD y ACE serán

respectivamente en última instancia como los cuadrados de los lados AD y AE. Q.E.D.

332

(Newton, 1713, pp. 66 – 67)

Si nos ubicamos en el contexto en el que trabajaba Newton, algunas de las cosas que quería llevar a cabo en su programa de investigación era predecir las posiciones de los cuerpos celestes, esto se podía hacer a partir de figuras geométrica que son semejantes entre sí y establecer relaciones de proporcionalidad, tal y como lo establecía en su lema IX del primer libro de “Principios Matemáticos”

Todos los lados homólogos de figuras semejantes, curvilíneas o rectilíneas, son proporcionales; y las áreas son como los cuadrados de los

lados homólogos.

(Newton, 1713, p. 64)

Vamos a tratar de encontrar alguna aplicación práctica a lo anterior.

Supongamos que deseamos encontrar la velocidad a la que se mueve un móvil cuyos puntos se encuentran situados de acuerdo a la siguiente tabla3 y figura 3:

Tabla 3 Figura 3

t (seg.) s (t) en mts. 0

0

1

2

2

4

3

6

4

8

333

Es importante resaltar que se puede establecer una relación entre un fenómeno físico (velocidad el móvil) y las matemáticas a partir de una tabla, una gráfica o una expresión matemática (función).

Para calcular la velocidad lo podríamos hacer encontrando la pendiente con la ya conocida fórmula, la cual expresa la razón de cambio.

¿Cómo es la razón de cambio, en el caso anterior, constante o variable?

Argumenta tu respuesta:

De la situación anteriormente planteada, Encuentra una fórmula para relacionar “s” en función de “t”:

Podemos escribir la siguiente expresión en el lenguaje de funciones:

𝑚 = 𝑣 = 𝑠2 − 𝑠1𝑡2 − 𝑡1

= 𝑠(𝑡2)− 𝑠(𝑡1)𝑡2 − 𝑡1

Por ejemplo si de la tabla decimos que:

334

𝑃1(1,2) ∴ 𝑡1 = 1, 𝑠(𝑡1) = 2

𝑃2(3,6) ∴ 𝑡2 = 3, 𝑠(𝑡2) = 6

Al calcular la pendiente podemos decir que V=2

Llena la siguiente tabla 4 calculando los valores que se te piden:

𝑡1 𝑠(𝑡1)= 2

𝑡2 = 𝑠(𝑡2) = 𝑚 = 𝑣 = 𝑠(𝑡2) − 𝑠(𝑡1)𝑡2 − 𝑡1

1 2 2 4 2

1 2 2.5

1 2 2.1

1 2 2.01

Tabla 4

¿Cómo es el valor de la velocidad para cada valor calculado en la tabla? Y que explicaciones puedes dar al respecto:

Ahora tenemos un móvil que se mueve de acuerdo a 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 y queremos encontrar la velocidad en el instante t=1 seg.

Para calcular la velocidad en el caso anterior nos podíamos valer de la pendiente y como se trata de un movimiento con razón de cambio constante siempre valía lo mismo independientemente de los puntos utilizados para ello, ¿se podrá hacer lo mismo en este caso?, argumenta tu respuesta:

335

Utiliza las conclusiones de la actividad 2 para encontrar la velocidad en el instante donde t=1seg.

336

Secuencia Didáctica 3

Breve resumen de las dos secuencias anteriores.

Secuencia Copérnico:

En su teorema sexto escribe “La razón (división o cociente) entre dos arcos es mayor que la razón entre la mayor y la menor de las rectas subtendidas [cuerdas].” (Copérnico, 1543, pp. 48-49), y se presenta la siguiente figura:

Figura 1


“Sean en un círculo dos arcos desiguales unidos, 𝐴𝐵� y 𝐴𝐶� y sea el mayor 𝐴𝐵� . Afirmo que la razón de 𝐴𝐵� a 𝐴𝐶� es mayor que la de las subtensas AB a AC” (Copérnico, 1543, pp. 48-49).



𝐴𝐶��

Sin embargo conforme los puntos C y B se fueron acercando cada vez más y más a el punto A se vio que la desigualdad anterior se convertía en una igualdad, a lo cual Copérnico expreso: “Luego, como vemos hemos llegado a un punto, en el que la diferencia

entre recta y la curva que la envuelve escapa a los sentidos, como convertidos en una sola

línea” (Copérnico, 1543, pp. 49 – 50).

Que fue también a la conclusión a la que se llego en clase.

Posteriormente se trabajó con la secuencia de Newton, en donde se veía lo siguiente:

A

C B

337


ángulo dado A; y a esa línea recta, en otro ángulo dado, se aplican ordenadamente BD y

CE intersectando la curva en B y C; y los puntos B y C se aproximan y se encuentran en el

punto A, afirmo que las áreas de los triángulos ABD y ACE serán respectivamente en

última instancia como los cuadrados de los lados homólogos.

(Newton, 1713, pp. 66 – 67)

Cuando en la clase se revisó la relación que existía con la razón de las áreas de los triángulos ACE y ABD con respecto a la razón entre los lados de los triángulos elevados al

cuadrado se observo que: ∆𝐴𝐶𝐸∆𝐴𝐵𝐷 ≠𝐴𝐸��2𝐴𝐷��2 por lo que se podía ver que dichos triángulos no

son semejantes sin embargo conforme los puntos B y C se acercaban más y más a el punto “A” la expresión anterior se iba convirtiendo en una igualdad.

De tal forma que en una vecindad infinitesimal entre los puntos A, B y C se podían ver:

a) La recta ABc se iba moviendo de posición hasta llegar a la posición AFg b) La curva 𝐴𝐵𝐶� se iba a dejar de comportar como curva para tener el

comportamiento de una recta y eso se podía constatar también al ir observando que la razón entre las áreas cada vez se parecía más a la razón entre los catetos elevados al cuadrado, de tal forma que había un momento en que dichos triángulos se comportaban como triángulos semejantes.

c) La región de la curva compartida por ambos triángulos ahora se comportaba como la hipotenusa tanto del ∆𝐴𝐵𝐷 como del ∆𝐴𝐶𝐸.

d) La curva y la recta son una misma en una región infinitesimal.

Vamos a reforzar lo anteriormente expuesto con lo siguiente:



338





punto M o m.

(L´Hospital, 1696)

Es decir un punto es un segmento infinitamente pequeño

Como la curva y la recta tangente “son una misma” (parafraseando a Copérnico) en una vecindad infinitesimal, esto nos permite calcular la razón de cambio de una curva en un punto (pequeño segmento infinitesimal). Tomando dos puntos muy cercanos se puede utilizar la ya conocida fórmula:

𝑚 = ∆𝑦∆𝑥 = 𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Fórmula 1

Donde 𝑃2(𝑥2,𝑦2) y 𝑃1(𝑥1,𝑦1) se encuentra infinitamente cercanos, para efectos prácticos consideremos que la distancia de separación es del orden de las milésimas. La pendiente así calculada (razón de cambio) es también la pendiente de la recta tangente.

A continuación presentamos una situación en donde podemos aplicar los conocimientos obtenidos:

Actividad 1

Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba.

La gráfica de la velocidad con respecto del tiempo se muestra a continuación, en donde se pone un ejemplo para un punto 𝑃1 y un punto 𝑃2 , sin embargo estos puntos podrían estar ubicados en algún otro lugar de la curva.

339

Figura 1

Para este caso la razón de cambio está dada por:

𝒎 = ∆𝒔∆𝒕 = 𝒔(𝒕𝟐)−𝒔(𝒕𝟏)

𝒕𝟐−𝒕𝟏

Fórmula 2

c) En el intervalo 0 < 𝑡 < 𝑡𝑚 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón de cambio es positiva o negativa? argumenta tus respuestas:

d) En el intervalo 𝑡𝑚 < 𝑡 < 𝑡𝑓 ¿la razón de cambio es constante o variable?, ¿la razón de cambio es positiva o negativa?, argumenta tus respuestas:

e) ¿Cómo es la razón de cambio en 𝑡 = 𝑡𝑚?..., argumenta tu respuesta:

t

s

tm tf

∆𝑠

∆𝑡

340

Actividad 2

Si el cuerpo es lanzado con una velocidad inicial de 𝑣𝑖 = 30 𝑚𝑠 y la fórmula para calcular la

distancia está dada por la expresión matemática: 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 − 4.9𝑡2, se desea calcular la velocidad en el instante t=2 seg. Para lo cual se puede utilizar la fórmula de:

𝑚 = 𝑣 = ∆𝑠∆𝑡 = 𝑠(𝑡2)−𝑠(𝑡1)

𝑡2−𝑡1

Fórmula 2

Sin embargo para utilizar la fórmula anterior se necesita tener en cuenta:

a) Se requiere conocer las coordenadas de dos puntos: 𝑃1�𝑡1, 𝑠(𝑡1)� y 𝑃2�𝑡2, 𝑠(𝑡2)� b) La fórmula anterior se usa para calcular la pendiente una recta. c) En nuestro caso la expresión 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 − 4.9𝑡2 no representa a una recta sino a

una curva, parecida a la mostrada en la figura 1 de la actividad 1, sin embargo a pesar de que la fórmula (2) de la velocidad, representa la pendiente de una recta, como hemos dicho bajo circunstancias especiales una curva se comporta como una recta.

Tomando en cuenta lo anterior:

i) Calcular la velocidad en el instante (velocidad instantánea o razón de cambio instantánea) en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔. ¿Cuál es la velocidad en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.?

ii) Utilizando lo dicho por el L´Hospital: “Si se prolonga una de los pequeños lados Mm de la poligonal que compone una línea curva, este pequeño lado así prolongado será llamado la tangente de la curva en el punto M o m.” A partir de esto traza una recta tangente en el punto 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔.

iii) La tangente trazada ¿tiene la misma pendiente (razón de cambio) que la del


341

iv) Elabora la gráfica en papel cuadriculado y anéxalo.

v) ¿Si trazáramos la recta tangente en el punto 𝑡 = 2.1 𝑠𝑒𝑔. tendría la misma posición y la misma razón de cambio que en 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔? Argumenta tu respuesta.

vi) A partir de una tabulación y de una gráfica representa la curva de 𝑠(𝑡) = 𝑣𝑖𝑡 −4.9𝑡2, investiga cuales son las coordenadas del punto más alto alcanzado por el cuerpo, con estas coordenadas puedes conocer el tiempo en alcanzar el punto más alto y la distancia del punto más alto, utiliza para los valores de t hasta el orden de las centésimas y los resultados de 𝑠(𝑡) redondéalos hasta el orden de las diezmilésimas. ¿Cuáles son las coordenadas del punto más alto?

vii) Una vez encontrado las coordenadas del punto más alto, utilizando el mismo método que en el punto i) calcula la velocidad utilizando el tiempo que encontraste para llegar al punto más alto. ¿Cuál es la velocidad en el punto más alto?

viii) Traza la recta tangente en el punto más alto. Utiliza papel cuadriculado y anéxalo a la actividad.

ix) Ahora calcula la velocidad en el tiempo 𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔. ¿Cuál es la velocidad en 𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔.?

x) Traza la recta tangente en el tiempo 𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔. Utiliza papel cuadriculado y anéxalo a la actividad.

xi) ¿cuál es el signo de la velocidad en el instante 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑔 y cuál el signo en el instante 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔.? Que explicaciones puedes dar al respecto.

342

xii) ¿Qué va ocurriendo con las rectas tangentes?

xiii) ¿Hay alguna relación entre los signos de las velocidades encontradas antes y después del punto más alto con los signos de la razón de cambio de la gráfica del desplazamiento con respecto del tiempo? Argumenta tu respuesta.

xiv) ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes antes del punto más alto?, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada una de las rectas tangentes a la curva antes del punto más alto?

xv) ¿Cómo son los signos de la pendiente de las rectas tangentes después del punto más alto?, ¿cómo es el ángulo de inclinación para cada una de las rectas tangentes a la curva después del punto más alto?

xvi) ¿Cuál es la posición de la recta tangente en el punto más alto?

xvii) ¿Qué es lo que va ocurriendo con cada una de las rectas tangentes y sus pendientes a la curva desde que inicia el movimiento hasta que termia?

343

xviii) Traza las rectas tangentes a la curva en los puntos señalados en la siguiente gráfica:

344


El método utilizado en la actividad 3 nos permitía encontrar el valor de la velocidad en un instante, a la velocidad así encontrada le vamos a llamar velocidad instantánea o de manera más general razón de cambio instantánea, para usar tal método había que sustituir en la expresión:

𝑣 = ∆𝑠∆𝑡 = 𝑠(𝑡2)−𝑠(𝑡1)

𝑡2−𝑡1

Se tenía que sustituir los valores de las coordenadas de dos puntos infinitamente cercanos en la expresión anterior y calcular la velocidad instantánea, el método puede resultar largo dependiendo del grado de precisión que se deseé. Nos convendría tener una expresión algebraica por medio de la cual se pudiera calcular la razón de cambio instantánea. Para lo anterior vamos a recurrir a otro gran matemático que fue Léonard Euler (1707-1783).

Actividad 1

a) Dada la expresión 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡 , determinar la grafica.

b) Si graficáramos sólo una parte de la curva nos podría quedar algo como lo que se muestra a continuación:

Figura 1

La anterior figura es muy parecida a la que fue utilizada por Euler, en nuestro caso retomamos la figura pero haciendo algunos pequeños cambios, para usar una nomenclatura como la que actualmente estamos acostumbrados:

345

Figura 2

Cuando 𝑃2 esta infinitamente cercano a 𝑃1entonces la pequeña porción de la curva entre estos puntos se comporta como la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal cuyos vértices son: 𝑃1, 𝑃2 y 𝑞, obtendremos una figura como la que a continuación se muestra:

Figura 3

La curva de la figura 3 representa una porción de la función 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡.

Requerimos una expresión que nos permita obtener la razón de cambio instantánea.

𝑷𝟏(𝒕𝟏, 𝒔(𝒕𝟏))

𝑷𝟐(𝒕𝟏 + ∆𝒕,𝒔(𝒕𝟏 + ∆𝒕))

∆𝒔 ∆𝒕 q

T P

346

Vamos a considerar que ∆𝑡 es infinitamente pequeño de tal forma que la pequeña porción de curva 𝑃1𝑃2� se puede comportar como una recta ya que los puntos 𝑃1 𝑦 𝑃2 se encuentran infinitamente próximos entre sí, de hecho están tan cercanos que podrían ser considerados un solo punto, recordemos que dé a cuerdo a lo reportado por L´Hospital un punto es un pequeño segmento infinitesimal (una pequeñísima parte de una curva) De tal forma que el pequeño segmento infinitesimal tiene como pendiente la misma que la de la recta tangente en el punto 𝑃1 .

Como puedes ver de la figura se observa la existencia de dos triángulos semejantes:

b) ¿Cuáles son los vértices de estos triángulos?

c) Se puede establecer la relación de proporción entre los lados homólogos. Recuerda:

Proporcionalidad entre los lados homólogos:

𝑐𝑧 = 𝑎

𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐𝑡𝑒. Pero también se puede establecer la siguiente relación entre los catetos

de los triángulos rectángulos semejantes: 𝑏𝑎 = 𝑦𝑥



Para encontrar la expresión buscada, Euler llevo a cabo un análisis de que es lo que pasa con la curva cuando 𝑡1 se incrementa un ∆𝑡 y pasa a ser 𝑡2, donde:

a

b c

x

y z

347

𝑡2 = 𝑡1 + ∆𝑡

Euler se propone encontrar una polinomio en términos de ∆𝑡. Vamos a tratar de hacer algo parecido a lo que llevó a cabo Euler.

Actividad 2

Sabemos que 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡 por lo tanto 𝑠(1) = −12 + 6(1) por citar un caso, determinar de manera parecida:

j) 𝑠(2) = k) 𝑠(𝑎) = l) 𝑠(𝑡1) = m) 𝑠(𝑡1 + ∆𝑡) =

Para determinar cambios si es que tenemos un valor inicial y un valor final, basta con hacer una resta del valor final menos el valor inicial, por ejemplo si un joven de 13 años en el año 2009 media 155 cm y a los 14 años en el año 2010 mide 165 cm, ¿cuánto ha cambiado su estatura en un año? La respuesta es muy sencilla, sin embargo queremos que se haga la siguiente reflexión:

Tiempo inicial 𝑡𝑖 = 2009

Tiempo final 𝑡𝑓 = 2010

Cambio de tiempo ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 = 2010− 2009 = 1 año

Estatura inicial 𝐸𝑖 = 155𝑐𝑚

Estatura final 𝐸𝑓 = 165𝑐𝑚

Cambio de Estatura ∆𝐸 = 𝐸𝑓 − 𝐸1 = 165𝑐𝑚 − 155𝑐𝑚 = 10𝑐𝑚

Si pensamos que el joven sigue creciendo durante dos años más al mismo ritmo,

¿Cuál es la razón de cambio de crecimiento del joven durante esos tres años?

En el caso de Euler, él quiso determinar el cambio al cual nosotros le hemos llamado ∆𝑠, el cambio se determina restándole al valor final el valor inicial, lo cual estará dado por la expresión:

∆𝑠 = 𝑠(𝑡1 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡1)

348

Utiliza los resultados obtenidos en los incisos c) y d) anteriores para obtener el valor de ∆𝑠,

∆𝑠 =

El ∆𝑠 encontrado representa el cambio de desplazamiento entre el punto 𝑃1 y el punto 𝑃2 y también representa el pequeño segmento del triángulo infinitesimal formado en la figura 3.


encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, es decir ∆𝑠∆𝑡 lo cual representa una expresión que representa

a la tangente del triángulo infinitesimal pero también es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto 𝑃1, ¿por qué decimos esto?, explica:

Divide la expresión encontrada para ∆𝑠 entre ∆𝑡, ¿cuál es la expresión encontrada en el caso que estamos tratando?

A la expresión así encontrada y si contenía términos de ∆𝑡,∆𝑡2,∆𝑡3, …∆𝑡𝑛 Euler los suprimía de la expresión ya que eran considerados infinitamente pequeños, es decir despreciables.

Con respecto a la expresión que has encontrado y al suprimir todos aquellos términos que contienen a ∆𝑡 ¿cuál es la expresión finalmente encontrada?

349

Esta expresión representa a la hipotenusa de un pequeño triángulo infinitesimal, al extender esta hipotenusa en ambos sentidos se encuentra la recta tangente a la curva en un punto, ¿esta recta tangente tendrá siempre la misma posición? Argumenta tu respuesta:

La expresión también nos puede ayudar a conocer la razón de cambio instantánea, es decir saber cuánto se desplaza el cuerpo por cada segundo en un instante del tiempo “t”. Para el caso que estamos tratando ¿la velocidad instantánea es siempre la misma?, argumenta tu respuesta:

350


Lo variacional de la recta tangente.

Si tenemos un cuerpo que se mueve de acuerdo a la expresión 𝑠(𝑡) = −𝑡2 + 6𝑡en donde “t” representa el tiempo y “s” el desplazamiento, sin embargo podemos escribir la misma expresión utilizando otras literales por ejemplo 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 en donde “x” es nuestra variable independiente en el caso anterior representaría a el tiempo y “f” la variable dependiente, en el caso anterior sería el desplazamiento.

Actividad 1

En la secuencia anterior vimos que la gráfica de la función anterior es:

¿Cuál es el valor de la derivada? Es decir f´(x)=

Si consideráramos que el intervalo de variación de la función es 0 ≤ 𝑥 ≤ 6, es decir la función sólo toma valores para ese rango de variación ¿En qué intervalo es creciente la función?

¿En qué intervalo es decreciente la función?


En la gráfica anterior traza las rectas tangentes a la curva en:

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

351

𝑥 = 1, 𝑥 = 3, 𝑥 = 4

¿Cómo será el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva antes del punto máximo?

¿Cómo será el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva después del punto máximo?

¿Cómo es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la curva exactamente en el punto máximo?

Contesta la siguiente tabla:

x F(x) F´(x)

0

1

2

3

4

5

6

Con los valores obtenidos para f´(x) queremos que elabores una nueva gráfica en donde los valores de la variable independiente están representados por “x” y los de la variable dependiente por f´(x), recuerda que f´(x) representa a la pendiente de la recta tangente en cada punto de la curva y en el caso de la velocidad instantánea representaría a la velocidad en cada instante del tiempo, para efectos prácticos solo se tabulan valores de

352

números enteros, pero también podría haber otros valores para la variable independiente, por ejemplo 𝑥 = 1.6 o 𝑥 = 4.6 por citar sólo algunos casos.

Termina de llenar la siguiente tabla

x f´(x)

0 6

1

2

3

4

5

6

Utiliza los valores obtenidos para graficar, de la tabla anterior el primer punto quedaría (0,6) de la misma forma y con los demás valores de la tabla completada haz una gráfica, ¿cómo quedaría tu nueva gráfica?, pon tu gráfica en el plano puesto abajo:

353

Ahora los valores de nuestra variable dependiente están dados por f´(x), contesta las siguientes preguntas:

¿Cuál es el intervalo de variación donde la variable dependiente es decir f´(x) es positiva?

¿Cuál es el intervalo de variación donde la variable dependiente es decir f´(x) es negativa?

¿Cuáles son las coordenadas del cero de la función es decir donde la variable dependiente f´(x) = 0?

Ahora compara las gráficas de f(x) y de f´(x) y contesta lo siguiente:

¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es creciente la función f(x) con respecto a el intervalo donde es positiva la función f´(x)? Argumenta tu respuesta:

¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva con respecto al intervalo donde es creciente la función f(x)?

¿Hay alguna relación entre el intervalo donde es decreciente la función f(x) con respecto a el intervalo donde es negativa la función f´(x)? Argumenta tu respuesta:

¿Cómo es el ángulo de inclinación de las rectas tangentes a la curva donde la función f(x) es decreciente?

354

Sigue comparando ambas gráficas de f(x) y de f´(x), observa detenidamente lo que pasa antes y después del punto máximo, observa lo que ocurre con las posiciones de las rectas tangentes (y sus ángulos de inclinación) antes del punto máximo, después del punto máximo y durante el punto máximo, observa los cambios y compara con la gráfica de f´(x), ¿a qué conclusiones puedes llegar?

Actividad 2

Si ahora tuviéramos la gráfica de una función 𝑓(𝑥) como la que se muestra a continuación:

Utilizando los argumentos y conclusiones de la actividad 1, haz una gráfica de f´(x):

−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

355

Si ahora tuviéramos una gráfica de una función 𝑓(𝑥) como la que se muestra a continuación:

Elabora una gráfica de cómo considerarías que queda f´(x) :

−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

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Estudio socioepistemológico de la tangente como objeto