ESTUDIO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA · La compensación serie se utiliza para reducir la reactancia inductiva de la conexión de un generador a una red cuando la longitud de las

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO INDUSTRIAL

PROYECTO FIN DE CARRERA

ESTUDIO DE LA RESONANCIA

SUBSÍNCRONA

Alumna: Mercedes Vallés Rodríguez

Director: Luis Rouco Rodríguez

MADRID, junio de 2009

Autorizada la entrega del proyecto al alumno:

Mercedes Vallés Rodríguez

EL DIRECTOR DEL PROYECTO

Luis Rouco Rodríguez

Fdo: Fecha:

Vº Bº del Coordinador de Proyectos

Tomás Gómez San Román

Fdo: Fecha:

Resumen iii

Resumen

ESTUDIO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA

En este proyecto se analiza el fenómeno de la resonancia subsíncrona y el problema

de estabilidad en el que se engloba, que es el de la estabilidad de ángulo y las

oscilaciones electromecánicas en los sistemas de energía eléctrica.

Los rotores de los generadores síncronos experimentan oscilaciones naturales poco

amortiguadas de frecuencia próxima a 1 Hz cuando se produce una perturbación,

como un cortocircuito en la red eléctrica a la que está conectada o una variación en la

potencia mecánica suministrada por la turbina o en la excitación del generador. La

causa de posibles inestabilidades en esta clase de oscilaciones es de tipo eléctrico.

Otro tipo de modos oscilatorios poco amortiguados que se superponen a las

anteriores son las oscilaciones torsionales que tienen lugar en el mismo eje de un

generador. El rotor de un turbogenerador, accionado por turbinas de vapor, es un

sistema mecánico muy complejo formado por varios elementos de grandes

dimensiones acoplados a lo largo de su eje. Su aproximación por un conjunto de masas

concentradas acopladas elásticamente permite determinar los modos oscilatorios

torsionales que se presentan de forma natural en el mismo ante la ocurrencia de

perturbaciones. Dichos modos presentan frecuencias naturales en el rango

subsíncrono, esto es, inferiores a la frecuencia fundamental del sistema.

Relacionada con los anteriores, la resonancia subsíncrona es un fenómeno de

inestabilidad en generadores síncronos que afecta a los modos eléctricos o mecánicos

del sistema que se encuentran en el rango de frecuencias inferiores a la de sincronismo.

Se produce por una interacción de los sistemas eléctrico y mecánico asociados al

generador síncrono que implica un intercambio de energía entre el generador y la red a

una o más frecuencias naturales del sistema por debajo de la frecuencia fundamental.

La situación más común en la que se puede presentar la resonancia subsíncrona es

en turbogeneradores que estén conectados al sistema a través de líneas con

condensadores en serie. La compensación serie se utiliza para reducir la reactancia

inductiva de la conexión de un generador a una red cuando la longitud de las líneas de

Resumen iv

conexión es muy grande. En una situación así, la resonancia subsíncrona puede ocurrir

cuando la frecuencia complementaria a la natural de oscilación de la línea, debida a la

presencia del condensador, está próxima a alguna de las frecuencias naturales de las

oscilaciones torsionales del rotor del turbogenerador.

La interacción electromecánica que el fenómeno implica puede producir

oscilaciones inestables en los modos torsionales del eje del turbogenerador y también

en las magnitudes eléctricas del sistema. Otras causas de oscilaciones subsíncronas

inestables pueden ser también los sistemas de regulación del generador interactuando

con la red o el sistema mecánico de su eje. Se pueden distinguir tres mecanismos por

los que el generador puede interactuar con el sistema provocando resonancia

subsíncrona: el efecto generador de inducción, interacción torsional y pares

transitorios, pero siempre se trata de una interacción de una resonancia eléctrica o la

acción de reguladores del sistema eléctrico con las oscilaciones torsionales de un eje.

El objetivo del presente proyecto ha sido el desarrollo de modelos de cálculo

detallados para la realización de simulación en el tiempo de grandes perturbaciones,

análisis modal y el análisis modal selectivo del fenómeno de la resonancia subsíncrona

en el caso de un turbogenerador conectado a una red eléctrica a través de una línea

compensada serie.

El análisis modal del fenómeno de la resonancia subsíncrona consiste en el cálculo

de los autovalores, autovectores y factores de participación de la matriz de estados del

modelo dinámico lineal que resulta de la linealización alrededor de un punto de

funcionamiento del modelo dinámico no lineal de turbogenerador y de su conexión a

la red a través de la línea con compensación serie.

La respuesta en el tiempo ha mostrado la presencia de oscilaciones torsionales

inestables. El autoanálisis del modelo lineal ha permitido caracterizar la oscilación

torsional inestable. Se ha explorado también la variación del amortiguamiento de los

modos torsionales la variar el factor de compensación de la línea.

El análisis modal se ha complementado con el Análisis Modal Selectivo (SMA) del

fenómeno. El SMA permite, de forma general, obtener modelos reducidos de los

sistemas dinámicos L.T.I. que representen con precisión únicamente los modos

asociados a una dinámica de interés del sistema. Su aplicación al estudio de la

Resumen v

resonancia subsíncrona permite una simplificación de los cálculos y una mejor

interpretación física del fenómeno y de los resultados obtenidos.

En particular, el Análisis Modal Selectivo ha permitido estudiar los modos

torsionales del turbogenerador y la influencia de la parte eléctrica del sistema en su

estabilidad mediante la obtención del modelo reducido del sistema mecánico. Sobre

dicho modelo, se han aplicado las técnicas de análisis modal mediante las que

representar el sistema para cada modo como un modelo masa-muelle ficticio,

caracterizado por los parámetros H (inercia), K (rigidez) y D (amortiguamiento)

modales. Dichos parámetros recogen la dinámica del sistema completo y reflejan las

inestabilidades que puedan darse en los modos torsionales.

También se ha procedido a descomponer estos parámetros en aportaciones de los

diferentes subsistemas de la unidad generadora, que son: el sistema mecánico (siempre

estable de forma aislada) y el sistema eléctrico (máquina eléctrica, sistema de turbinas,

excitación y condensador de la red eléctrica). De esta forma, en el caso de producirse la

inestabilidad de un modo torsional, se puede identificar en qué subsistema está la

causa según el valor que tomen los parámetros modales, en especial el

amortiguamiento. Así se simplifica el estudio del fenómeno y desaparece la necesidad

de analizar las participaciones del sistema completo.

Summary vi

Summary

STUDY OF SUBSYNCHRONOUS RESONANCE

The subsynchronous resonance phenomenon is analyzed in this project within the

framework of the rotor angle stability problem and electromechanic oscillations in

power systems.

The rotor of a synchronous generator experiences poorly damped natural

oscillations at a very low frequency (about 1 Hz) whenever a disturbance affects it,

such as a short-circuit in the transmission line to which it is connected or a sudden

change in the mechanic input or in the excitation voltage value. Possible instabilities of

these oscillations are due some aspect of the electric system.

Simultaneously with the oscillation of the entire generator rotor with respect to the

system, poorly damped torsional oscillations between different sections of a turbine-

generator rotor occur naturally after small disturbances. The rotor of a thermal

generating unit is a complex mechanic system, made up of large machined shaft

sections coupled together. A representation of several predominant masses connected

by shafts of finite stiffness accounts for those natural modes of torsional oscillation that

are below the synchronous frequency.

Subsynchronous resonance is a dynamic problem that affects synchronous

generators that can bring about the instability of some mechanic and electric modes of

the system that oscillate below the rated frequency. It is due to an interaction between

electric and mechanic dynamics that involves an exchange of energy between the

network and the generator at one or more subsynchronous frequencies.

The most common situation in which subsynchronous resonance can take place is

when a synchronous generator is connected to the network through a series

compensated line. Series compensation consists of a series capacitor in the line and its

purpose is to compensate for its inductive reactance when the transmission line is too

long. In such a situation, subsynchronous resonance is bound to happen if the

complementary of the natural frequency of the transmission line, due to the capacitor,

is close to any of the natural torsional frequencies of the rotor.

Summary vii

This electromechanic interaction can destabilize not only the turbine-generator

torsional oscillations, but also currents and voltages of the electric system. Unstable

subsynchronous oscillations can also be caused by the interaction of the generator

regulation systems interacting with the network or the rotor shaft. Instability due to

subsynchronous resonance can take place in three different ways: the generator-

induction effect, torsional interaction and transient torques. However, it is always a

matter of an electric resonance or the action of a regulator interacting with the torsional

oscillations of the generator rotor.

The main purpose of this Project has been to develop highly detailed mathematic

models for numerical integration, modal analysis and selective modal analysis of the

subsynchronous resonance problems that may affect a single turbine-generator

connected to the network through a series compensated transmission line.

The modal analysis involves the calculation of the eigenvalues, eigenvectors and

participation factors of the estate matrix. The state matrix is obtained from the

linearization of the nonlinear dynamic model of the turbine-generator and its

connection to the network.

Time response has shown the presence of unstable torsional oscillations due to the

capacitor effects. The eigenanalysis of the linear model has made it possible to

determine the characteristics and reasons of the instability. The variation in the

damping of each mode of interest in the system and its dependence of the

compensation level of the line has also been studied.

The eigenalysis has been completed with the Selective Modal Analysis (SMA) of the

phenomenon. In a general way, he SMA lets us obtain reduced order dynamic models

of LTI systems that account accurately for the modes of some specific dynamics of

interest. Its application to the study of subsynchronous resonance makes calculus less

complex and provides a clearer physical interpretation of the problem.

In particular, Selective Modal Análisis, makes it posible to study the torsional

modes of the turbine-generator and the influence that the electric system has in them

by obtaining a reduced model of the mechanic system. Some modal analysis

techniques have been applied to this model to obtain a fictitious single spring-mass

model for each torsional mode, characterized by the modal parameters H (inertia), K

Summary viii

(stiffness) and D (damping). Those parameters account for the complete system effects

on the mechanic dynamics and reflect the possible instabilities of the torsional modes.

Afterwards, the modal parameters have been split into contributions of the different

subsystems of the generating unit, which are: the mechanic system (always stable if

isolated) and the electric system (electric machine, turbines and governor, exciter,

capacitor). This way, if a torsional mode turns out to be unstable, the decomposition of

the modal parameters will let us determine the origin of such instability. Therefore, the

study of the subsynchronous resonance problem is simplified and the need of

analysing the complete system disappears.

Índice ix

Índice

1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 15

1.1 Tema del proyecto ............................................................................................ 15

1.1.1 Oscilaciones electromecánicas de generadores síncronos 15 1.1.2 Oscilaciones torsionales de turbogeneradores 15 1.1.3 Resonancia subsíncrona 16

1.2 Objetivos del proyecto ..................................................................................... 16

1.3 Organización del documento ......................................................................... 17

2 SISTEMAS DINÁMICOS............................................................................................................... 18

2.1 Modelos lineales y no lineales ........................................................................ 18

2.2 Solución de sistemas dinámicos no lineales ................................................. 20

2.3 Solución de los sistemas dinámicos lineales................................................. 21

2.3.1 Autovalores y autovectores 22

2.4 Residuos............................................................................................................. 25

2.4.1 Sensibilidades 26 2.4.2 Factores de participación 26

3 OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS Y TORSIONALES DE UN GENERADOR .... 28

3.1 Oscilaciones electromecánicas ........................................................................ 28

3.1.1 Modelo no lineal 28 3.1.2 Simulación del modelo no lineal 33 3.1.3 Modelo lineal 35 3.1.4 Simulación y análisis del modelo lineal 37

3.2 Oscilaciones torsionales................................................................................... 39

3.2.1 Modelo no lineal 39 3.2.2 Simulación del modelo no lineal 44 3.2.3 Modelo lineal 47 3.2.4 Simulación y análisis del modelo lineal 49 3.2.5 Parámetros modales 55

4 RESONANCIA SUBSÍNCRONA.................................................................................................. 60

4.1 Introducción a la resonancia subsíncrona..................................................... 60

4.1.1 Resonancia eléctrica en líneas con compensación serie 61 4.1.2 Tipos de interacciones debidos a la resonancia subsíncrona 63 4.1.3 Técnicas de análisis 64

Índice x

4.2 Modelo simplificado ........................................................................................ 65

4.2.1 Simulación del modelo simplificado 67 4.2.2 Análisis del modelo simplificado lineal 68

4.3 Modelo detallado.............................................................................................. 69

4.3.1 Modelo no lineal 70 4.3.2 Simulación del modelo no lineal 84 4.3.3 Modelo lineal 93 4.3.4 Análisis del modelo lineal 97

5 ANÁLISIS MODAL SELECTIVO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA..................... 106

5.1 Análisis Modal Selectivo ............................................................................... 106

5.2 Parámetros modales de los modos torsionales por medio del Análisis

Modal Selectivo .............................................................................................. 110

5.2.1 Descomposición de los parámetros modales en componentes eléctrica y mecánica 110 5.2.2 Descomposición de De y Ke en aportaciones de los distintos bloques 113 5.2.3 Resultados obtenidos en el estudio de los modos torsionales con SMA 113

6 CONCLUSIONES........................................................................................................................... 113

7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................... 113

Introducción xi

Índice de Figuras Figura 2-1: Relación entre la localización de los autovalores de la matriz de estados y la

respuesta temporal ante un impulso. ........................................................................................ 24 Figura 3-1: Circuito equivalente de un generador síncrono para estudios de estabilidad............ 31 Figura 3-2: Diagrama unifilar de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia

infinita............................................................................................................................................ 31 Figura 3-3: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia

infinita............................................................................................................................................ 32 Figura 3-4:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado

a un nudo de potencia infinita en caso de una falta trifásica franca: variación de

velocidad y ángulo del rotor. ..................................................................................................... 34 Figura 3-5:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado

a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica

suministrada por la turbina: variación de velocidad y ángulo del rotor.............................. 38 Figura 3-6. Estructura del sistema de masas del rotor de un turbogenerador................................ 40 Figura 3-7: Diagrama de masas y muelles de un turbogenerador.................................................... 40 Figura 3-8: Pares actuando sobre una masa genérica j del eje........................................................... 43 Figura 3-9:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un

nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas

de alta presión y presión intermedia......................................................................................... 46 Figura 3-10:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un


de baja presión.............................................................................................................................. 46 Figura 3-11: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un

nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y

de la excitatriz............................................................................................................................... 47 Figura 3-12: Simulación de las oscilaciones de un turbogenerador conectado a un nudo de

potencia infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor del generador. ....... 47 Figura 3-13:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono

conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica

suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad de las turbinas de

alta presión y presión intermedia. ............................................................................................. 50 Figura 3-14:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono


suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad de las turbinas de

baja presión. .................................................................................................................................. 50

Índice de Figuras xii

Figura 3-15:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono


suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad del rotor del

generador y de la excitatriz. ....................................................................................................... 51 Figura 3-16: Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono


suministrada por la turbina de alta presión: variación del ángulo del rotor del

generador. ..................................................................................................................................... 51 Figura 3-17:. Forma de los modos torsionales 1, 2 y 3 (componentes de los autovectores) de

un turbogenerador conectado a un nudo de potencia ............................................................ 53 Figura 3-18: Forma de los modos torsionales 4, 5 y 6(componentes de los autovectores) de un

turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita .................................................... 53 Figura 3-19:.Participaciones de los modos torsionales de un turbogenerador conectado a un

nudo de potencia infinita. ........................................................................................................... 54 Figura 3-20: Diagrama de masas, muelles y amortiguadores de un turbogenerador.................... 58 Figura 4-1: Esquema unifilar equivalente de una línea compensada serie ..................................... 61 Figura 4-2: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un punto de red

infinita a través de un condensador serie ................................................................................. 66 Figura 4-3: Simulaciónde las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a un

nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie cuando se produce

una variación de tensión en el nudo de potencia infinita: componentes del flujo en la

inductancia equivalente .............................................................................................................. 67 Figura 4-4: Simulación de las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a

un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie cuando se

produce una variación de tensión en el nudo de potencia infinita: componentes de la

tensión del condensador. ............................................................................................................ 68 Figura 4-5: Conexión de un turbogenerador a un nudo de potencia infinita a través de una

línea compensada serie. .............................................................................................................. 70 Figura 4-6: Tensiones consideradas en el modelo electromagnético................................................ 71 Figura 4-7: Circuito equivalente del generador con un devanado amortiguador en eje q............ 73 Figura 4-8: Circuito equivalente del generador con dos devanados amortiguadores en eje q..... 74 Figura 4-9: Diagrama fasorial del sistema de referencia y las tensiones.......................................... 76 Figura 4-10: Diagrama de bloques de una excitación estática y del regulador de tensión............ 76 Figura 4-11: Selección de variables de estado de una excitación estática. ....................................... 77 Figura 4-12: Modelo de una turbina de vapor y del regulador de turbina. .................................... 78 Figura 4-13: Selección de variables de estado de una turbina de vapor. ......................................... 79

Introducción xiii

Figura 4-14: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un


de alta presión y presión intermedia......................................................................................... 85 Figura 4-15: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un


de baja presión.............................................................................................................................. 86 Figura 4-16: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un

nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y

de la excitatriz............................................................................................................................... 86 Figura 4-17: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un

nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor del

generador. ..................................................................................................................................... 87 Figura 4-18: Datos de la línea................................................................................................................. 88 Figura 4-19: Modelo alternativo de sistema de excitación................................................................. 89 Figura 4-20: Modelo altenativo de sistema de turbinas y regulador................................................ 89 Figura 4-21: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una

falta y con un Factor de Compensación del 45%. .................................................................... 90 Figura 4-22: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante

una falta y con un Factor de Compensación del 45%.............................................................. 91 Figura 4-23: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y

con Factor de Compensación del 45%....................................................................................... 91 Figura 4-24: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante

una falta y con un Factor de Compensación de 1.5%.............................................................. 92 Figura 4-25: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una

falta y con un Factor de Compensación de 1.5% ..................................................................... 92 Figura 4-26: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y con

un Factor de Compensación de 1.5%......................................................................................... 93 Figura 4-27: Variación del amortiguamiento de los modos eléctricos supersíncrono y

subsíncrono al variar el factor de compensación de la línea................................................ 101 Figura 4-28: Variación del amortiguamiento de los modos torsionales al variar el factor de

compensación de la línea. ......................................................................................................... 102 Figura 4-29: Variación del amortiguamiento del modo electromecánico al variar el factor de

compensación de la línea. ......................................................................................................... 102 Figura 4-30: Parte real de los autovalores en función del factor de compensación..................... 104 Figura 4-31: Amortiguamiento de los modos en función del factor de compensación ............... 104 Figura 4-32: Frecuencia de los modos en función del factor de compensación ............................ 105 Figura 5-1: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con

separación de dinámicas relevantes y menos relevantes. .................................................... 107

Índice de Figuras xiv

Figura 5-2: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con

representación de la dinámica menos relevante como función de transferencia

matricial....................................................................................................................................... 109 Figura 5-3: Modelo masa-muelle equivalente para cada modo con descomposición de los

parámetros modales K y D ....................................................................................................... 113

1 Introducción 15

1 Introducción

Este capítulo presenta el tema del proyecto, los objetivos del mismo y la

organización del documento.

1.1 Tema del proyecto

1.1.1 Oscilaciones electromecánicas de generadores síncronos

Los rotores de los generadores síncronos experimentan oscilaciones naturales poco

amortiguadas de frecuencia próxima a 1 Hz cuando se produce un cortocircuito en la

red eléctrica a la que está conectado el generador o cuando varía la potencia mecánica

suministrada por la turbina o la excitación del generador ([1], [3], [4]).

La estabilidad de los generadores síncronos está interesada en capacidad de estas

máquinas de seguir funcionando en sincronismo, a velocidad constante e igual a la de

sincronismo, cuando se producen perturbaciones.

Se habla de estabilidad de gran perturbación cuando la perturbación que ocurre es

un cortocircuito en la red eléctrica. En este caso las ecuaciones diferenciales que rigen el

comportamiento dinámico no se pueden linealizar para el análisis del fenómeno.

Se habla de estabilidad de pequeña perturbación cuando la perturbación que tiene

lugar es una variación de la potencia mecánica suministrada por la turbina o la

excitación del generador. En este caso las ecuaciones diferenciales que rigen el

comportamiento dinámico se pueden linealizar alrededor del punto de funcionamiento

para el análisis.

1.1.2 Oscilaciones torsionales de turbogeneradores

Los turbogeneradores son generadores síncronos accionados por turbinas de vapor.

Constituyen un complejo sistema mecánico formado por masas, correspondientes a

cada uno de los cuerpos de las turbinas y del generador síncrono, acopladas

elásticamente [5].

1 Introducción 16

Los rotores de los turbogeneradores presentan oscilaciones torsionales en el margen

de frecuencias subsíncrono, es decir, inferiores a la frecuencia fundamental (50 Hz). Las

oscilaciones torsionales son debidas a los acoplamientos elásticos entre las masas de los

turbogeneradores. En las oscilaciones electromecánicas (de frecuencia próxima a 1 Hz),

todas las masas del rotor del turbogenerador oscilan al unísono. Por tanto, el límite

inferior del margen de frecuencias de las oscilaciones torsionales es 1 Hz.

Las oscilaciones torsionales pueden ser excitadas por perturbaciones como los

cortocircuitos en la red y la sincronización fuera de fase. Si bien los rotores de los

turbogeneradores están diseñados para soportar los pares que resultan de dichas

perturbaciones, la determinación de la fatiga debido a ellas ha sido un tema de gran

interés en la literatura técnica [6].

1.1.3 Resonancia subsíncrona

La resononancia subsíncrona estudia la inestabilidad de las ocilaciones torsionales

de turbogeneradores conectados a través de líneas con compensación serie. Una línea

eléctrica con compensación serie tiene instalado un condensador en serie con la línea.

La compensación serie se utiliza para reducir la reactancia inductiva de la conexión de

un generador a una red cuando la longitud de las líneas de conexión es muy grande. La

resonancia subsíncrona puede ocurrir cuando la frecuencia natural de oscilación de la

línea con compensación serie está próxima a una de las frecuencias de las oscilaciones

torsionales del rotor del turbogenerador [7].

1.2 Objetivos del proyecto

El objetivo del presente proyecto es el desarrollo de modelos de cálculo para la

realización del análisis modal y del análisis modal selectivo del fenómeno de la

resonancia subsíncrona en el caso de un turbogenerador conectado a una red eléctrica a

través de una línea compensada serie.

El análisis modal del fenómeno de la resonancia subsíncrona consiste en el cálculo

de los autovalores, autovectores y factores de participación de la matriz de estados del

modelo dinámico lineal resultante de la linealización alrededor de un punto de

funcionamiento del modelo dinámico no lineal de turbogenerador y de su conexión a

la red a través de la línea con compensación serie.

1 Introducción 17

El análisis modal se complementará con el Análisis Modal Selectivo del fenómeno.

El Análisis Modal Selectivo permitirá la obtención de los parámetros H (inercia), K

(rigidez) y D (amortiguamiento) modales y su descomposición en contribuciones de los

subsistemas de la unidad generadora ([8], [9]).

1.3 Organización del documento

Este proyecto tiene otros seis capítulos.

El capítulo 2 introduce los conceptos fundamentales de los sistemas dinámicos.

El capítulo 3 presenta los fenómenos de las oscilaciones electromecánicas y

torsionales de un generador síncrono.

El capítulo 4 presenta el fenómeno de la resonancia subsíncrona.

El capítulo 5 aborda el análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona.

El capítulo 6 ofrece las conclusiones del proyecto.

El capítulo 7 contiene las referencias bibliográficas.

2 Sistemas dinámicos 18

2 Sistemas dinámicos

Este capítulo presenta los conceptos fundamentales del modelado, simulación y

análisis de sistemas dinámicos.

2.1 Modelos lineales y no lineales

Considérese un sistema dinámico cuyo comportamiento viene descrito por un

conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas no lineales escritas de la forma:

( )( )

, ,

, ,

=

=

x G x z u

0 H x z u

& (2.1)

Donde G y H son vectores de funciones no lineales,x son las variables de estado,

z son las variables algebraicas y u son las variables de entrada.

1

1

1

N

M

L

×

×

×

∈ℜ

∈ℜ

∈ℜ

xzu

El estado de un sistema es el conjunto mínimo de variables del sistema que, junto

con el valor de las entradas al sistema, proporcionan una descripción completa del

comportamiento del sistema. Cualquier conjunto de n variables linealmente

independientes del sistema puede constituir el vector de estado y el resto de variables

del sistema podrán determinarse con el conocimiento del estado del mismo. La

elección de las variables de estado implica que, aunque el estado del sistema en un

instante determinado sea único, su representación no lo es.

El estado del sistema de representa en un espacio Euclídeo N-dimensional llamado

espacio de estado, perteneciente a 1Nxℜ . Cambiar la elección de variables de estado

supone realizar un cambio de coordenadas del sistema.

Cuando el sistema dinámico está expresado en términos de las variables de estado y

de las variables algebraicas, se dice que está escrito en forma implícita.


Si el tipo de estabilidad que se quiere estudiar en un sistema no lineal es local, es

decir, intenta determinar si es sistema puede permanecer alrededor del punto de

equilibrio cuando es sometido a pequeñas perturbaciones, entonces puede analizarse

linealizando las ecuaciones de estado en el punto de trabajo y determinar así si el

sistema es estable en esas condiciones de funcionamiento.

Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (2.1) se linealiza alrededor del

punto de trabajo , ,= = =0 0 0x x z z u u , resulta:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

0 0

0 0

0

0

, , , ,

, , , ,

, ,

, ,

1 2

3 4

, , , ,

, , , ,

, ,

, ,

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

∂∂

∂∂

= = = = = =

= = = = = =

= = =

= = =

⎡ ⎤⎢ ⎥

Δ Δ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

+ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡

=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

x x z z u u x x z z u u

x x z z u u x x z z u u

x x z z u u

x x z z u u

G x z u G x z ux zx x

0 zH x z u H x z ux x

G x z uu

uH x z u

u

A AA A

&

1

2

Δ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Bxu

Bz

(2.2)

De esta manera, las variables pasan a ser incrementales:

0 0 0, ,Δ = − Δ = − Δ = −x x x z z z u u u

Si se eliminan las variables algebraicas z de las ecuaciones (2.1), entonces el sistema

dinámico queda descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales

expresadas en términos de las variables de estado x y de las variables de entrada u :

( ),=x F x u& (2.3)

Cuando el sistema dinámico está expresado en términos de las variables de estado,

se dice que está escrito en forma explícita.

Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (2.3) se linealizan alrededor del

punto de trabajo ,= =0 0x x u u , resulta:


( ) ( )0 0, ,

, ,∂ ∂∂ ∂

= = = =

Δ = + Δ

= Δ + Δ0 0x x u u x x u u

F x u F x ux u

x u

A x B u

& (2.4)

Por supuesto, no siempre es posible eliminar las variables algebraicas de un sistema

dinámino no lineal escrito en forma implícita (2.1) para pasar a otro escrito en forma

explícita (2.3).

Sin embargo, siempre es posible pasar de un sistema dinámico lineal escrito en

forma implícita (2.2) a otro escrito en forma explícita (2.4).

11 2 4 3

11 2 4 2

−

−

= −

= −

A A A A A

B B A A B (2.5)

2.2 Solución de sistemas dinámicos no lineales

La solución del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales se obtiene por

simulación en el dominio del tiempo. La simulación en el dominio del tiempo consiste

en la integración numérica de las ecuaciones diferenciales que describen el

comportamiento dinámico del sistema. Un algoritmo de integración numérica de las

ecuaciones diferenciales, obtiene en el caso más sencillo las variables de estado en el

paso 1k + a partir de las variables de estado en el paso anterior k :

( )1k k+ =x Γ x

siendo Γ una función que depende del método considerado. El método de Euler

predictor-corrector obtiene 1k+x en dos pasos:

( )

( ) ( )

1

1 1 1

ˆ

ˆ ˆ2 2

k k k k k

k k k k k k k

t tt t

+

+ + +

= + Δ = + Δ

Δ Δ⎡ ⎤= + + = + +⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

x x x x F x

x x x x x F x F x

&

&&

El método de Runge-Kutta de orden 4-5 se obtiene 1k+x según:


( )

( )

( )

1 1 2 3 4

1

12

23

4 3

1 2 26

2

2

k k

k

k

k

k

k k k k

k

kk

kk

k k

+ = + + + +

=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

x x

F x

F x

F x

F x

2.3 Solución de los sistemas dinámicos lineales

La solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales cuando se produce la

variación de una de las variables de entrada uΔ tiene dos componentes: la solución

homogénea y la solución particular de la completa.

La solución homogénea es la solución que corresponde a entrada nula y condiciones

iniciales no nulas. La solución particular de la completa es la solución que corresponde

a condiciones iniciales nulas y entradas no nulas.

La solución del sistema de ecuaciones diferenciales (2.4) cuando se puede expresar

en términos de la exponencial de la matriz de estado A de acuerdo con la expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

00

tt t th p t

t t t e t e u dτ τ τ− −Δ = Δ + Δ = Δ + Δ∫A Ax x x x b (2.6)

La exponencial de la matriz de estado A se puede calcular usando el desarrollo en

serie de Taylor:

! !

te t t= + + +A A AI2

2

1 2L

Sin embargo, este método no es siempre numéricamente robusto. Una solución

numéricamente robusta y llena de sentido físico se puede obtener en términos de los

autovalores y autovectores de la matriz de estado.


2.3.1 Autovalores y autovectores

Una alternativa llena de significado físico está basada en los autovalores y

autovectores de la matriz de estado A . Esta matriz contiene la información necesaria

para determinar la estabilidad local del sistema que representa. Un autovalor iλ de la

matriz de estado A y los correspondientes autovectores derecho iv e izquierdo iw

asociados se definen como:

i i iλ=Av v (2.7)

T Ti i iλ=w A w (2.8)

Las entradas de los autovectores derechos tienen las mismas dimensiones físicas que

el estado correspondiente y los izquierdos, tienen las dimensiones inversas. Por otro

lado, el estudio de las ecuaciones (2.7) y (2.8) indica que los autovalores derecho e

izquierdo no están determinados de forma única (éstos se calculan como la solución de

un sistema lineal de N ecuaciones y N+1 incógnitas). Una forma de eliminar el grado

de libertad es introducir la siguiente normalización, ya que el autovector izquierdo de

un autovalor es ortogonal al autovector derecho de otro:

Ti i =w v 1 (2.9)

En el caso de N autovalores distintos, las ecuaciones (2.7)-(2.9) se pueden escribir

juntas para todos los autovalores en forma matricial:

[ ] [ ]

[ ]

1

1 1

1 1 1

1

1

0

0

0

0

1 0

0 1

N N

N

T T

T TN N N

T

NTN

λ

λ

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

A v v v v

w wA

w w

wv v

w

L

L L M O M

L

L

M M O M M

L

L

M L M O M

L

(2.10)


o en forma más compacta como:

===

AV VWA WWV I

ΛΛ (2.11)

donde Λ , V y W son respectivamente las matrices de los autovalores y los

autovectores derechos e izquierdos:

[ ]N

N

T

TN

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

V v v

wW

w

1

1

1

O

L

M

Λ =

Si la exponencial de la matriz de estado teA se expresa en términos de los

autovalores y de los autovectores derechos e izquierdos de la matriz de estados A ,

resulta:

! !

! !

t

t

e t t

t t e

= + + +

⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

A V W V WVW

V I W V W

22

22

1 2

1 2

L

L Λ

Λ Λ

Λ Λ (2.12)

La solución (2.6) del sistema de ecuaciones diferenciales (2.4) en términos de los

autovalores y autovectores de una matriz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

00

tt t t

tt e t e u dτ τ τ− −Δ = Δ + Δ∫Λ Λx V W x V Wb (2.13)

Por otra parte, la solución homogénea (2.4) del sistema de ecuaciones diferenciales

lineales (2.4) se puede expresar en términos de los autovalores y de los autovectores

derechos e izquierdos de la matriz de estados A como:

( ) ( ) ( )0 01

i

Ntt T

i ihi

t e t e tλ

=

⎡ ⎤Δ = Δ = Δ⎣ ⎦∑x V W x v w xΛ (2.14)


El estudio de la ecuación (2.4) permite obtener las siguientes conclusiones.

El estado del sistema evoluciona según una combinación de la respuesta del

sistema para N modos distintos, determinados por sus autovalores y

autovectores.

Los autovalores de la matriz de estado A determinan la estabilidad del sistema.

Un autovalor real negativo (positivo) indica un comportamiento exponencial

decreciente (creciente) mientras que un autovalor complejo con parte real

negativa (positiva) indica un comportamiento oscilatorio decreciente (creciente),

tal y como se muestra en la Figura 2-1.

La excitación total de cada modo i se reparte entre los distintos estados según lo

indica el autovector derecho iv ; sus componentes indican la actividad relativa

de cada variable en el modo i-ésimo.

Las componentes de autovector izquierdo iw pesa las condiciones iniciales en la

costrucción del modo i-ésimo.

Re

Imag

Re

Imag

Figura 2-1: Relación entre la localización de los autovalores de la matriz de estados y la respuesta temporal

ante un impulso.


2.4 Residuos

Considérese que se define en el sistema una variable de salida y . Entonces la

descripción del sistema queda en la forma:

( ) ( ) ( )( ) ( )t t u t

y t t

Δ = Δ + Δ

Δ = Δ

x A x b

c x

& (2.15)

La función de transferencia expresada en términos de los polos y los residuos

queda:

( )( ) ( ) 1

1

Ni

i i

y s Rsu s s p

−

=

Δ= − =

Δ −∑c I A b (2.16)

La función de transferencia (2.16) también se puede expresar en términos de los

autovalores y autovectores de la matriz de estados como:

( )( ) ( ) 1

1

TNi i

i i

y ss

u s s λ−

=

Δ= − =

Δ −∑ cv w bcV I Λ Wb (2.17)

Por tanto los autovalores son los polos de cualquier función de transferencia que se

pueda considerar i ip λ= y los residuos se puedan calcular en términos de los

autovectores derechos e izquierdos como:

Ti i iR = cv w b (2.18)

Los residuos se pueden descomponer en términos de los factores de observabilidad

y controlabilidad modal. En efecto, si se considera la transformación:

==cx Vξξ Wx

La ecuación (2.15) resulta:

( ) ( ) ( )( ) ( )t t u t

y t t

Δ = Δ + Δ

Δ = Δ

ξ Λ ξ bW

cV ξ

&

o también:


( ) ( ) ( )( ) ( )

1, ,T

i i i i

i i

t t u ti N

y t tξ λ ξ

ξ⎫Δ = Δ + Δ ⎪ =⎬Δ = Δ ⎪⎭

bwcv

&K (2.19)

De donde se deducen los factores modales de observabilidad y controlabilidad:

,i y ic Δ = cv

,T

i u ib Δ = bw

2.4.1 Sensibilidades

La sensibilidad del autovalor iλ con relación a un parámetro q de la matriz de

estados se puede calcular como:

( )Tii i

qq qλ ∂∂

=∂ ∂

Aw v (2.20)

Si el parámetro es un elemento diagonal de la matriz de estados jja , la sensibilidad

del autovalor iλ resulta:

iij ji

jj

w vaλ∂

=∂

(2.21)

2.4.2 Factores de participación

El factor de participación de la variable j-ésima en el modo i-ésimo se define como el

producto de las componentes j-ésimas del autovector derecho jiv e izquierdo jiw en el

modo i-ésimo ([10], [11]):

ji ji jip w v= (2.22)

Las propiedades de los factores de participación permiten que puedan ser utilizados

como una medida de la significación que tiene cada estado en cada uno de los modos

del sistema. Tienen la ventaja de ser magnitudes adimensionales, por lo que su valor

no depende de las unidades en las que estén expresadas las variables de estado.


Además, como resultado de la normalización adoptada (1.6), la suma de los factores

de participación de todas las variables en un modo y la suma de los factores de

participación de todos los modos en una variable son igual a la unidad, aunque

individualmente pueden ser mayores que la unidad.

N N

ji jij i

p p= =

= =∑ ∑1 1

1 (2.23)

Muchos sistemas dinámicos resultan de la interconexión de subsistemas dinámicos.

La participación del subsistema es una herramienta útil en este entorno. La

participación del subsistema se define como la suma de los factores de participación de

las variables que describen el subsistema dinámico.

Si jij S

p p∈

=∑ (2.24)

Así, es posible identificar qué subsistemas están relacionados con qué dinámicas y

modos de comportamiento del sistema, según lo elevada que sea su participación neta

en cada uno de ellos.

Las participaciones o factores de participación dependen de la elección del conjunto

de variables de estado del sistema. Sin embargo, uno de los valores de la participación

del subsistema viene del hecho de que es independiente de la selección de las variables

de estado para modelar el subsistema. En otras palabras, es invariante con respecto a

las transformaciones que sólo afectan a las variables del sistema.

3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 28

3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un

generador

Este capítulo presenta las oscilaciones electromecánicas y torsionales de un

generador síncrono. Para ello se obtienen modelos simplificados no lineales y lineales

del generador síncrono que permiten reproducir las oscilaciones electromecánicas y

torsionales. Además presentan resultados tanto de la simulación de grandes

perturbaciones utilizando los modelos no-lineales como de la simulación de pequeñas

perturbaciones utilizando los modelos lineales y del análisis modal, también del

modelo lineal.

3.1 Oscilaciones electromecánicas

3.1.1 Modelo no lineal

En el estudio de oscilaciones locales de un generador contra el resto del sistema

considera que los rotores del motor primario y del generador, acoplados en el mismo

eje, constituyen un único sólido rígido. El movimiento del rotor de un generador

síncrono está descrito por la ecuación de la dinámica de rotación de un sólido rígido:

( )0m e a m e DdJ T T T T T KdtΩ= − − = − − Ω−Ω (3.1)

Donde:

J es el momento de inercia del rotor expresado en Nms kgms= 2

Ω es la velocidad angular del rotor rad s mecánicos

p Número de pares de polos del generador

Ω0 es la velocidad angular de sincronismo del rotor rad s mecánicos, es decir

f pπΩ =0 02 siendo f0 la frecuencia de sincronismo

mT es el par mecánico aplicado por la turbina expresado en Nm


eT es el par eléctrico aplicado por el generador ee

PT =Ω0

aT es el par amortiguador ( )0a DT K= Ω−Ω

DK es el coeficiente de par amortiguador ( radsmN /⋅⋅ )

em tt , Pares mecánico y eléctrico en magnitudes unitarias.

em pp , Potencia mecánica y eléctrica en magnitudes unitarias.

H Constante de inercia ( s ) (BS

JH

20

21 Ω

= ).

D Factor o coeficiente de amortiguamiento ( Tpu ), (B

D SKD

20Ω

= ).

δ Posición angular del rotor en rad eléctricos respecto a una referencia que gira a

la velocidad de sincronismo.

0ω Pulsación de sincronismo o pulsación base, en grados eléctricos ( srad / ).

ω Velocidad del rotor en magnitudes unitarias de la máquina 0/ωω p⋅Ω=

Es preciso resaltar que el par amortiguador refleja el efecto de los devanados

amortiguadores del generador síncrono que crean un par que se opone a la variación

de velocidad cuando el rotor gira a velocidad distinta de la síncronismo.

Si la ecuación (3.1) se expresa en magnitudes unitarias resulta:

( )

( )

0 00

2 20 0

00 0

1 1

m eD

B B B B

m eD

B B B B

T TdJ KS dt T T S

J T Td KS dt T T S

Ω ΩΩ= − − Ω−Ω

Ω ΩΩ= − − Ω−Ω

Ω Ω

(3.2)

Siendo:

0

B BB

B

S ST = =Ω Ω

el par base y BS la potencia base


Definiendo la inercia y el coeficiente de amortiguamiento como:

B

DB

JHS

D KS

Ω=

Ω=

20

20

12

La ecuación (3.2) resulta:

( )00 0

2m e

H d Dt tdtΩ= − − Ω−Ω

Ω Ω (3.3)

Expresando la velocidad angular en radianes eléctricos por segundo por unidad

pω ω= Ω 0 , la ecuación (3.3) queda finalmente:

( )2 1m edH t t Ddtω ω= − − − (3.4)

En el estudio de las oscilaciones electromecánicas de los generadores, el rotor no

experimenta grandes excursions de velocidad. Por ello, el par en magnitudes unitarias

puede considerarse igual a la potencia:

0

0 0

B BB B

PPT Pt pS ST S

ΩΩ= = = = =

Ω Ω

Bajo esta suposición, la ecuación (3.4) quedaría en la forma:

( )2 1m edH p p Ddtω ω= − − − (3.5)

En el modelo clásico para estudios de estabilidad, el generador síncrono se

representa como una fuente de tensión ideal detrás de la reactancia transitoria en eje

directo.


Figura 3-1: Circuito equivalente de un generador síncrono para estudios de estabilidad.

Si el generador está conectado a un nudo de potencia infinita a través de un

transformador y una línea, la potencia eléctrica entregada por el generador viene dada

por la expresión:

seneT

e upx

δ∞′= (3.6)

Donde:

e′ es el módulo de la excitación

δ es el ángulo de la excitación con relación a la tensión del nudo infinito

u∞ es el módulo de la tensión del nudo de potencia infinita

T tx x x x′= + + l es la reactancia total

x′ es la reactancia transitoria del generador

tx es la reactancia del transformador

xl es la reactancia de la línea

Figura 3-2: Diagrama unifilar de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita.


Figura 3-3: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita.

La conexión de los modelos mecánico y eléctrico viene determinada por el hecho

que el ángulo de excitación es precisamente el ángulo del rotor.

En efecto, el ángulo del rotor con relación a una referencia fija, expresado en

radianes eléctricos por segundo, viene dado por:

tpδα = Ω +0

La velocidad angular del rotor resulta ser:

d ddt p dtα δ= Ω = Ω +0

1 (3.7)

Si se expresa la velocidad en radianes eléctricos por segundo por unidad en la

ecuación (3.7), resulta:

ddtδω

ω= +

0

11 (3.8)

Las ecuaciones (3.4), (3.6) y (3.8) se pueden escribir en forma compacta comos sigue.

Se presenta el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que describe el

comportamiento del generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita:

( )

( )senmT

e v DpH H x H

ω ωδ

δ ωω ∞

⎡ − ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ′⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

0 11 1 12 2 2

(3.9)

O de forma compacta:


( ),u=x F x& (3.10)

Donde:

δω⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

x

mu p=

( )( )

( )senmT

e v DpH H x H

ω ω

δ ω∞

⎡ − ⎤⎢ ⎥= ′⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

F x0 1

1 1 12 2 2

3.1.2 Simulación del modelo no lineal

Se van a ilustrar la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a

un nudo de potencia infinita (la Tabla 3-1 detalla los datos del generador, el

transformador y la línea de conexión del generador a una red de potencia infinita; estos

datos corresponden al “First Benchmark Model for Computer Simulation of

Subsynchronous Resonance” [12] con un factor de compensación de la línea del 50%:

en realidad la reactanciua de la línea vale 0.56 pu y tiene en serie un condensador cuya

reactancia vale -0.28 pu) cuando ocurre un cortocircuito trifásico franco de 100

milisegundos de duración. El valor de la frecuencia es 60 Hz. Un cortocircuito es una

gran perturbación y su estudio requiere la simulación en el dominio del tiempo del

sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (3.9).

Generador 0.169 , 2.88sx pu H s′ = =

1 , 1 ,cos 0.9u pu s pu indϕ= = =

Transformador 0.14tx pu=

Línea 0.28x pu=l

Tabla 3-1: Datos del caso ejemplo de un generador conectado a un nudo de potencia infinita.

Un paso previo es el cálculo de las condiciones iniciales del generador, tal y como se

indica a continuación:

0 00

0 0p jqu

∗⎛ ⎞+

= ⎜ ⎟∠ °⎝ ⎠i


0 00 0 0 0 0 0

0

ˆ00

p jqjx v jx eu

δ⎛ ⎞−′ ′ ′ ′= + = ∠ °+ = ∠⎜ ⎟∠ °⎝ ⎠

e v i

( ) ( ) 0 00 0 0 0 0 0

0

00t t

p jqj x x v j x x vv

θ∞ ∞

⎛ ⎞−= − + = ∠ °− + = ∠⎜ ⎟∠ °⎝ ⎠

v v il l

0 0 0ˆδ δ θ= −

La Figura 3-4 muestra la evolución de la variación de velocidad del rotor del

generador (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulo.

Varias conclusiones se pueden extraer del análisis de la Figura 3-4:

La variación de velocidad del rotor crece linealmente durante la ocurrencia del

cortocircuito mientras que el ángulo crece cuadráticamente.

Tras el despeje del cortocircuito, tanto la variación de velocidad como el ángulo

muestran una oscilación sostenida con un periodo de aproximadamente 1

segundo. La oscilación es sostenida porque se ha supuesto que el

amortiguamiento del generador es nulo. Esta oscilación se denomina

electromecánica: mecánica porque es el rotor el que oscila, eléctrica porque es

debida a la conexión del generador a la red eléctrica.

La variación de velocidad oscila aproximadamente entre +2% y -2% y el ángulo

en 105º y 0º.

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Tiempo (s)

Δω

(pu)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-50

0

50

100

150

Tiempo (s)

δ (º

)

Figura 3-4:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia

infinita en caso de una falta trifásica franca: variación de velocidad y ángulo del rotor.


3.1.3 Modelo lineal

La linealización de las ecuaciones del generador síncrono conectado a un nudo de

potencia infinita, (3.5), (3.6) y (3.8)quedan en la forma:

m edH p p D

dtω ωΔ= Δ −Δ − Δ2 (3.11)

coseT

e vp Kx

δ δ δ∞′Δ = Δ = Δ0 (3.12)

ddtδω

ωΔ

Δ =0

1 (3.13)

Escritas como una ecuación diferencial de segundo orden resultan:

mH d D d K p

dt dtδ δ δ

ω ωΔ Δ

+ + Δ = Δ2

20 0

2 (3.14)

Como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales resultan:

uBxAx Δ+Δ=Δ&

m

ddt pK Dd

H H Hdt

δ ω δω ω

Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ Δ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + Δ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

00 01

2 2 2 (3.15)

En la ecuación se pueden apreciar las dos componentes del par restaurador que

actúan para evitar inestabilidades en el generador: par sincronizante ( δΔK ) y par

amortiguador ( ωΔD ).

Del análisis de la matriz de estado ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−=

HD

HKA

22

0 0ω, se puede determinar la

estabilidad local o de pequeña perturbación del generador en unas condiciones dadas.


La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial lineal de

segundo orden (3.14) o al sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer

orden (3.15) es:

H Ds s Kω ω

+ + =2

0 0

2 0 (3.16)

o también:

KDs sH H

ω+ + =2 0 02 2

(3.17)

Las raíces de la ecuación característica (3.17) son:

KD DjH H Hs

ω− ⎛ ⎞± − ⎜ ⎟⎝ ⎠=

20

12

42 2 2

2

Las raíces de la ecuación característica cuando D=0 son:

Ks j

Hω

= ± 012 2

El signo del coeficiente del par sincronizante hace que se puedan presentar dos

casos. En primer lugar, si el coeficiente es positivo, lo cual ocurre si el ángulo del rotor

está comprendido entre 0º y 90º, resultan dos raíces conjugadas puras y, por tanto, la

respuesta es oscilatoria pura. Si el coeficiente de par sincronizante fuera negativo, en

caso de estar el ángulo del rotor entre 90º y 180º, resultarían dos raíces reales, una

positiva y otra negativa. La raíz positiva, que determinaría una respuesta

exponencialmente creciente terminaría venciendo a la exponencialmente decreciente de

la raíz negativa, dando lugar a una situación inestable de pérdida de sincronismo.

La solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden se puede obtener por

medio de la transformada de Laplace:

( ) ( ) ( ) mpH Ds s s s K ss

δ δ δω ω

ΔΔ + Δ + Δ =2

0 0

2

( ) ms pKD H ss sH H

ωδ ωΔ = Δ+ +

0

2 0

1 12

2 2


( ) ( )n

mn n

s pK s s s

ωδςω ω

Δ = Δ+ +

2

2 2

12

Realizando la antitransformada de Laplace resulta:

( ) ( )sentn mt e t p

Kςωδ ω ς φ

ς−

⎛ ⎞⎜ ⎟Δ = − − + Δ⎜ ⎟−⎝ ⎠

2

2

1 11 11

donde:

arctgς

φς−

=21

La transformada de la Laplace de la variación de velocidad es:

( ) ( ) ( )n

mn n

s s s pK s s

ωω δςω ω

Δ = Δ = Δ+ +

2

2 2

12

Realizando la antitransformada de Laplace resulta:

( ) 2

2

1 sen 11

ntnn mt e t p

Kζωωω ω ζ

ζ−

⎛ ⎞⎜ ⎟Δ = − Δ⎜ ⎟−⎝ ⎠

3.1.4 Simulación y análisis del modelo lineal

La oscilación electromecánica que experimentaba el generador cuando se producía

un cortocircuito trifásico franco, en también aparece cuando se aplica una variación de

potencia mecánica suministrada por la turbina en forma de escalón. Se ha aplicado una

variación -0.1 pu de potencia suministrada por la turbina (desde 0.9 pu hasta 0.8 pu).

Un escalón de pequeña magnitud de la potencia mecánica suministrada por la turbina

es una pequeña perturbación y su estudio se puede abordar por medio del sistema de

ecuaciones diferenciales lineales (3.15).

La Figura 3-5 muestra la evolución de la variación de velocidad del rotor del

generador (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulo.

Varias conclusiones se pueden extraer del análisis de la Figura 3-5:

Tanto la variación de velocidad del rotor como el ángulo caen al aplicar el

escalón hacia abajo de potencia mecánica.


Tanto la variación de velocidad como el ángulo muestran una oscilación

sostenida con un periodo de aproximadamente 1 segundo. La oscilación es

sostenida porque se ha supuesto que el amortiguamiento del generador es nulo.

La variación de velocidad oscila aproximadamente entre +0.2% y -0.2% y el

ángulo entre 45º y 35º. La amplitud de las oscilaciones de velocidad y de ángulo

son más pequeñas que en el caso mostrado en la Figura 3-4 porque la

perturbación es pequeña.

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1

0

1

2x 10

-3

Tiempo (s)

Δω

(pu)

-0.5 0 0.5 1 1.5 230

35

40

Tiempo (s)

δ (º

)


infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina: variación de velocidad y ángulo del

rotor.

El autoanálisis de la matriz de estados del sistema de ecuaciones diferenciales

lineales (3.15) confirma los resultados de la simulación en el dominio del tiempo

mostrada en la Figura 3-5. La matriz de estados tiene dos autovalores complejos

conjugados (ver Tabla 3-2) cuya parte real es nula (no se ha tenido en cuenta el

amortiguamiento del generador) y cuya parte imaginaria indica una frecuencia natural

de oscilación de 1.3 Hz que corresponde a un periodo aproximado de 1 segundo tal y

como la Figura 3-5 ha mostrado.


Nº Real Imgaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz)1 0 9.5754 0 1.52

Autovalores complejos

Tabla 3-2: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita.

3.2 Oscilaciones torsionales

En esta sección se describe y analiza una ampliación en el aspecto mecánico del

modelo anterior, que permitirá estudiar los modos naturales de oscilación torsional de

un turbogenerador. Aquellos modos cuya frecuencia es inferior a la de sincronismo

pueden llegar a interactuar con el sistema eléctrico en determinadas circunstancias,

como ocurre en la Resonancia Subsíncrona. Por ello, es necesario conocer las

características torsionales de los turbogeneradores y definir un modelo mecánico

adecuado que las represente.


El eje del rotor de una unidad de generación térmica es un sistema mecánico muy

complejo, formado por varios elementos de grandes dimensiones acoplados a lo largo

del mismo eje. Un sistema así tiene un gran número de modos vibratorios torsionales

naturales en un amplio rango de frecuencias que requerirían un modelo de parámetros

continuos de la estructura mecánica para ser determinados. Suponiendo que el eje está

dividido en un número finito de elementos, se puede obtener un modelo de masas

concentradas unidas mediante tramos del eje de una determinada elasticidad. Dicho

modelo de parámetros concentrados, representaría fielmente el comportamiento del eje

en un rango de bajas frecuencias, por debajo de la frecuencia de sincronismo de la red,

las cuales serán de interés en el caso de posibles interacciones con el sistema eléctrico.

La aplicación de este modelo para el sistema mecánico junto con el modelo

simplificado o clásico del generador síncrono conectado a nudo infinito no es

suficientemente detallado para detectar dichas inestabilidades, pero sí permite analizar

las características torsionales naturales del sistema mecánico del turbogenerador.

Hay distintas configuraciones posibles de turbinas-generadores en una central

térmica, en función del número de etapas de expansión y de si las turbinas se sitúan en

un mismo eje o en dos ejes distintos. Las ecuaciones del modelo mecánico presentado

son generalizables y se pueden aplicar a los dos tipos de sistemas, pero se hará la


suposición de que todas las turbinas están acopladas a un único eje y solo hay un

generador, además de un sistema de excitación de masa no despreciable. Considérese

el rotor de turbogenerador formado por seis masas:

Figura 3-6. Estructura del sistema de masas del rotor de un turbogenerador

Turbina de alta presión (high pressure, HP, turbine)

Turbina de presión intermedia (intermediate pressure, IP, turbine)

Cuerpo A de la turbina de baja presión (low pressure A, LPA, turbine)

Cuerpo B de la turbina de baja presión (low pressure B, LPB, turbine)

El generador (GE)

La excitatriz (EXC)

El modelo de masas y muelles equivalente sin amortiguamiento sería:

hp ipK −

hpHIPH

ip lpaK −

lpaH

lpa lpbK −

LPBH

lpb gK −

gH

g eK −

eH

hp ipK −

hpHIPH

ip lpaK −

lpaH

lpa lpbK −

LPBH

lpb gK −

gH

lpb gK −

gH

g eK −

eH

Figura 3-7: Diagrama de masas y muelles de un turbogenerador.

La notación adicional que se va a utilizar en la descripción de los parámetros y

ecuaciones utilizados en el modelo es la siguiente:

jΩ Velocidad en grados mecánicos de la masa j ( srad / ).

jω Velocidad de la masa j en magnitudes unitarias de la máquina 0/ωω pjj ⋅Ω= .


jωΔ Desviación de velocidad de la masa j respecto al sincronismo en pu

)1( −=Δ jj ωω .

jδ Posición angular de la masa j en grados eléctricos respecto a una referencia que

gira a la velocidad de sincronismo ( 00 )1( jjj t δωωδ +−= ).

T Par aplicado a una masa ( mN ⋅ ).

em tt , Pares mecánico y eléctrico en magnitudes unitarias.

em pp , Potencias mecánica y eléctrica en magnitudes unitarias

puj Momento de inercia en magnitudes unitarias ( s ), ( 20Ω

= BB

SJ ).

jH Constante de inercia ( s ).

K Coeficiente de elasticidad o rigidez torsional ( radmN /⋅ ).

ijK Coeficiente de elasticidad del eje entre las masas i y j, ( radpuT / ).

Las características dinámicas del eje se modelan con tres conjuntos de parámetros

([3]): la constante de inercia H de las masas individuales, la rigidez torsional K de

cada tramo de eje que une dos masas adyacentes y el coeficiente de amortiguación D

asociado a cada masa. Se hace la suposición de que los materiales del eje turbinas-

generador son sometidos a esfuerzos y deformaciones por debajo de su límite elástico

y, por tanto, son aplicables las relaciones lineales de la ley de deformación elástica de

Hooke y la ley mecánica de Newton con coeficientes H, K, D constantes. Su significado

físico es:

La constante de inercia H asignada a cada masa es su propia inercia más la

porción correspondiente de los tramos de eje entre las masas.

La rigidez torsional K de cada tramo de eje entre masas adyacentes, que es la

relación entre el par transmitido y la torsión angular a la que está sometido el eje

entre sus dos extremos.


Θ⋅= KT

Cada coeficiente de elasticidad o rigidez torsional será la rigidez equivalente

del tramo considerado, que en realidad estará formado por varios tramos con

secciones y elasticidades diferentes.

Expresado en magnitudes unitarias de par y radianes eléctricos, si el número

de pares de polos de la máquina es P :

20/0//

/ )()()( pVASK

VASpK

mNTpK

KB

radmechNm

B

radmechNm

B

radmechNmradelecTpu

ω⋅=

⋅

Ω⋅=

⋅⋅=

El coeficiente de amortiguamiento D de las oscilaciones asociado a cada masa.

Puede tener su origen en la histéresis del material que constituya el eje, la fuerza

del vapor en los álabes de las turbinas cuando oscilan o en los elementos del

sistema eléctrico (generador, sistema de excitación o la red). En la práctica, los

niveles de amortiguamiento asociados a las oscilaciones torsionales son muy

pequeños y difíciles de determinar debido a la complejidad de los sistemas que

contribuyen al amortiguamiento y a la variabilidad de esa contribución. Por ello,

el amortiguamiento aquí se supondrá nulo.

La ecuación dinámica de rotación de un sólido rígido de la Segunda Ley de Newton:

dtd

JTΩ

=∑ (3.18)

Para una masa genérica j, conectada a las masas i y k, la ecuación (3.18) queda:

( ) ( )kjjkijijemj KKtt

dtd

Hjj

δδδδω

−−−−−=2 (3.19)

Siendo

( )10 −= jj

dtd

ωωδ

(3.20)


Se aplican a cada masa del sistema para obtener las ecuaciones (3.19) y

(3.20) del modelo completo.

Figura 3-8: Pares actuando sobre una masa genérica j del eje

Entonces, empleando el par o la potencia en magnitudes unitarias ( em tt , , em pp , )

indistintamente, las ecuaciones del modelo mecánico no lineal del turbogenerador son:

( )

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

hphp

ipip

lpalpa

lpblpb

gg

ddt

ddt

ddt

ddtddt

δω ω

δω ω

δω ω

δω ω

δω ω

= −

= −

= −

= −

= −

(3.21)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

,

,

,

,

2

2

2

2

2

hphp m hp hp ip hp ip

ipip m ip hp ip ip hp ip lpa ip lpa

lpalpa m lpa lpa ip lpa ip lpa lpb lpa lpb

lpblpb m lpb lpb lpa lpb lpa lpb g lpb g

gg lpb g g

dH p K

dtd

H p K Kdtd

H p K Kdt

dH p K K

dtd

H Kdt

ωδ δ

ωδ δ δ δ

ωδ δ δ δ

ωδ δ δ δ

ωδ δ

−

− −

− −

− −

−

= − −

= − − − −

= − − − −

= − − − −

= − −( )b ep−

(3.22)


A estas ecuaciones hay que añadir la expresión de la potencia eléctrica suministrada

por el generador. Como se ha dicho, la potencia y el par aplicado en cada masa son

prácticamente equivalentes en unitarias. En este modelo se usarán indistintamente una

y otro.

gT

ee senx

vept δ∞⋅′

=≈ (3.23)

Las ecuaciones (3.21), (3.22) y (3.23) se pueden escribir en forma compacta como

sigue:

( ),=x F x u& (3.24)

Donde:

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

δx

ω

T

hp ip lpa lpb g

T

hp ip lpa lpb g

δ δ δ δ δ

ω ω ω ω ω

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

δ

ω

T

lpbmlpamipmhpm pppp ][ ,,,,== pu


Se van a ilustrar la presencia de oscilaciones torsionales en la oscilación

electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita (la

Tabla 3-3 detalla los datos del rotor del turbogenerador; estos datos corresponden al

“First Benchmark Model for Computer Simulation of Subsynchronous Resonance” [12]

; debe notarse que para poder realizar comparaciones se considera la frecuencia base

de la referencia [12], que es 60 Hz)) cuando ocurre un cortocircuito trifásico franco de

100 milisegundos de duración. Un cortocircuito es una gran perturbación y su estudio

requiere la simulación en el dominio del tiempo en este caso del sistema de ecuaciones

diferenciales no lineales (3.24).


Tabla 3-3: Datos del rotor del turbogenerador de la Tabla 3-1.

Inercia de las masas: 0.092897

0.155589

0.858670

0.884215

0.868495

0.0342165

hp

ip

lpa

lpb

g

e

H s

H s

H s

H s

H s

H s

=

=

=

=

=

=

Constates de rigidez de los acoplamientos:

19.303

34.929

52.038

70.858

2.822

hp ip

ip lpa

pla lpb

lpb g

g e

K pu

K pu

K pu

K pu

K pu

−

−

−

−

−

=

=

=

=

=

Proporciones de potencia suministrada por cada turbina:

0.30.26

0.22

0.22

hp

ip

pla

lpb

K pu

K pu

K pu

K pu

=

=

=

=

La Figura 3-9, la Figura 3-10, la Figura 3-11 y la Figura 3-12 muestran la evolución

de la variación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de

baja presión, del generador y de la excitatriz (con relación a la velocidad de

sincronismo) y la variación del ángulo del rotor del generador. Una conclusión se

puede añadir a las ya obtenidas: Las variaciones de velocidad de las turbinas y del

generador exhiben junto con la componente de frecuencia fundamental de 1 Hz (1

segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz. Las velocidades

de los cuerpos de baja presión de la turbina exhiben las oscilaciones torsionales en

menor medida.


-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.05

0

0.05

Tiempo (s)

Δω

HP (p

u)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Tiempo (s)

Δω

IP (p

u)

Figura 3-9:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita

en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de alta presión y presión intermedia.

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Tiempo (s)

Δω

LPA (p

u)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Tiempo (s)

Δω

LPB (p

u)

Figura 3-10:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia

infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de baja presión.


-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Tiempo (s)

Δω

g (pu)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.05

0

0.05

Tiempo (s)

Δω

e (pu)

Figura 3-11: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia

infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y de la excitatriz.

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-50

0

50

100

150

Tiempo (s)

δ (º

)

Figura 3-12: Simulación de las oscilaciones de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de

una falta: variación del ángulo del rotor del generador.

3.2.3 Modelo lineal

Las ecuaciones del modelo mecánico lineal del turbogenerador son:


0

0

0

0

0

hphp

ipip

lpalpa

lpblpb

gg

ddt

ddt

ddt

ddt

ddt

δω ω

δω ω

δω ω

δω ω

δω ω

Δ= Δ

Δ= Δ

Δ= Δ

Δ= Δ

Δ= Δ

(3.25)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

,

,

,

,

2

2

2

2




lpalpb m lpb lpb lpa lpb lpa lpb g lpb

dH p K

dtd

H p K Kdt

dH p K K

dtd

H p K Kdt

ωδ δ

ωδ δ δ δ

ωδ δ δ δ

ωδ δ δ

−

− −

− −

− −

Δ= Δ − Δ −Δ

Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ

Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ

Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ( )

( )2

g

gg lpb g g b e

dH K p

dt

δ

ωδ δ−

Δ= − Δ −Δ −Δ

(3.26)

y la de la potencia eléctrica del generador linealizada alrededor del punto de

funcionamiento:

ggT

e xve

p δδ Δ⋅′

=Δ ∞0cos (3.27)

Donde δδ Δ⋅′

= ∞0cos

Tg x

veK es el coeficiente de par sincronizante.

Se ha despreciado el amortiguamiento, por su valor despreciable y dificultad de

determinación en la práctica ( 0=D ). Las ecuaciones (3.25), (3.26) y (3.27) se pueden

escribir en forma compacta como:

ΔuBΔxAxΔ +=&


m

ddt

ddt

ω− −

Δ⎡ ⎤⎢ ⎥ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ − Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

δ0 I δ

pω M K 0 ω M

01 1

0 (3.28)

Donde:

T

hp ip lpa lpb g

T

hp ip lpa lpb g

δ δ δ δ δ

ω ω ω ω ω

⎡ ⎤Δ = Δ Δ Δ Δ Δ⎣ ⎦

⎡ ⎤Δ = Δ Δ Δ Δ Δ⎣ ⎦

δ

ω

0 0 0 00 0 0 00 0 0 020 0 0 00 0 0 0

hp

ip

lpa

lpb

g

HH

HH

H

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

0 0 00 0

0 00 00 0 0

hp ip hp ip

hp ip hp ip ip lpa ip lpa

ip lpa ip lpa lpa lpb ip lpb

ip lpb lpb g lpb g lpb g

lpb g lpb g g

K KK K K K

K K K KK K K K

K K K

− −

− − − −

− − − −

− − − −

− −

−⎡ ⎤⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + −=⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦

K

3.2.4 Simulación y análisis del modelo lineal

Las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz junto con la oscilación de 1 Hz

también pueden apreciarse tras la aplicación de un escalón de potencia mecánica

suministrada por la turbina de alta presión de pequeña magnitud ( -0.03 pu, que es

-0.1pu del caso de tener una única masa multiplicado por la fracción de potencia de la

turbina de baja presión). Un escalón de pequeña magnitud de la potencia mecánica

suministrada por la turbina de alta presión es una pequeña perturbación y su estudio

se puede abordar por medio del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3.28).








segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz.

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

Tiempo (s)

Δω

HP (p

u)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1

0

1

2x 10-3

Tiempo (s)

Δω

IP (p

u)


infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad

de las turbinas de alta presión y presión intermedia.

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1

0

1

2x 10

-3

Tiempo (s)

Δω

LPA (p

u)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1x 10-3

Tiempo (s)

Δω

LPB (p

u)



de las turbinas de baja presión.


-0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1x 10

-3

Tiempo (s)

Δω

g (pu)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1x 10-3

Tiempo (s)

Δω

e (pu)



del rotor del generador y de la excitatriz.

-0.5 0 0.5 1 1.5 20.687

0.688

0.689

0.69

0.691

Tiempo (s)

δ g (º

)

Figura 3-16: Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia

infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación del ángulo

del rotor del generador.

La dificultad del análisis de las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz en la

respuesta temporal, hace necesario el autoanálisis de la matriz de estados del sistema

de ecuaciones diferenciales lineales (3.28). Del autoanálisis de dicha matriz pueden

conocerse los modos según los cuales evolucionaría este sistema en el tiempo ante

pequeñas perturbaciones, como variaciones en el nivel de carga o de potencia aplicada

en las turbinas. La Tabla 3-4 muestra que la matriz de estados tiene seis parejas de


autovalores complejos conjugados cuya parte real es nula (no se ha tenido en cuenta

ningún amortiguamiento) y cuya parte imaginaria indica una frecuencia natural de las

oscilaciones. Las frecuencias que refleja están en grados eléctricos. Se puede observar

que todas ellas se encuentra, como es habitual, por debajo de la frecuencia de

sincronismo del sistema eléctrico.

Nº Real Imaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz)1 0 298.1803 0 47.462 0 203.0208 0 32.313 0 160.6396 0 25.574 0 127.0312 0 20.225 0 99.2218 0 15.796 0 9.5095 0 1.51


Tabla 3-4: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de

potencia infinita con representación detallada del rotor del generador.

La caracterización de los autovalores requiere el análisis de las formas de los modos,

o los desplazamientos relativos entre masas para cada modo de oscilación,

(proporcionados por los autovectores derechos) y de los factores de participación. Para

una masa en particular, puede usarse indistintamente la entrada correspondiente a la

velocidad o al ángulo. Contienen la misma información y se han normalizado de forma

que la componente de máximo valor sea igual a la unidad. La Figura 3-17 y la Figura

3-18 muestra la forma del modo (componentes de los autovector derechos

correspondientes a los ángulos) de los autovalores de la Tabla 3-4. La Figura 3-19

muestra el módulo de los factores de participación (componentes a los ángulos) de los

autovalores de la Tabla 3-4. En ambos casos la numeración de masas considerada es la

detalladan en la Tabla 3-5.


1 2 3 4 5 6-1

0

1

#1

Forma del modo

1 2 3 4 5 6-1

0

1#2

1 2 3 4 5 6-1

0

1

#3

Masa

Figura 3-17:. Forma de los modos torsionales 1, 2 y 3 (componentes de los autovectores) de un turbogenerador

conectado a un nudo de potencia

1 2 3 4 5 6-0.5

0

0.5

1

#4

Forma del modo

1 2 3 4 5 6-1

0

1

#5

1 2 3 4 5 6-1

0

1

#6

Masa

Figura 3-18: Forma de los modos torsionales 4, 5 y 6(componentes de los autovectores) de un turbogenerador

conectado a un nudo de potencia infinita


.

1 2 3 4 5 60

0.5

#1

Factores de participacion

1 2 3 4 5 60

0.5

#2

1 2 3 4 5 60

0.5

#3

Masa

Figura 3-19:.Participaciones de los modos torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita.

Número Masa

1 Turbina de alta presión

2 Turbina de presión intermedia

3 Cuerpo A de la turbina de baja presión

4 Cuerpo B de la turbina de baja presión

5 Generador

6 Excitatriz

Tabla 3-5: Numeración de masas del rotor.

De análisis de la Figura 3-17 y de la Figura 3-19 se pueden extraer las siguientes

conclusiones:

El modo #1 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión con la de

presión intermedia. La turbina de presión intermedia es el elemento de mayor

participación.


El modo #2 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión y el

cuerpo de baja presión B contra el cuerpo de baja presión A y el generador. El

cuerpo de baja presión B es el elemento de mayor participación.

El modo #3 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión, la presión

intermedia y el generador contra los cuerpos A y B de la turbina de baja presión.

La turbina de alta presión es el elemento de mayor participación.

El modo #4 corresponde a una oscilación de la excitatriz contra el resto de las

masas. La excitatriz es el elemento de mayor participación.

El modo #5 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión, de

presión intermedia y al cuerpo A de la turbina de baja presión contra el cuerpo B

de la turbina de baja presión, el generador y la excitatriz. El generador es el

elemento de mayor participación.

El modo #6 corresponde a una oscilación al unísono de todos los elementos. Los

elementos de mayor participación son los cuerpos de baja presión de la turbina

y el generador.

3.2.5 Parámetros modales

El sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3.28) se puede

escribir como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden:

mKdt

d pδδM Δ=Δ+Δ

02

2 1ω

(3.29)

cuya ecuación homogénea es:

ddt ωΔ

+ Δ =δM K δ 0

2

20

1 (3.30)

y cuya matriz de estados es:

ω −= −A M K10 (3.31)

Los autovalores Λ y autovectores derechos V de la matriz de estados A cumplen:


=AV VΛ

o lo que es lo mismo:

ω −−V M KV10Λ =

ω−MV KV

0

1Λ = (3.32)

Si se premultilplican ambos lados de la ecuación (3.32) por la matriz transpuesta de

la matriz de autovectores derechos TV se obtiene:

T T

ω−V MV V KV

0

1Λ = (3.33)

Donde las matrices TV MV y TV KV son matrices diagonales y sus elementos

diagonales son los parámetros modales (masa y rigidez).

Una demostración sencilla que prueba que las citadas matrices son diagonales es la

siguiente:

Considerar la ecuación (3.33) para los modos i-ésimo y j-ésimo:

i i iλω

+ =Mv Kv 00

1 (3.34)

j j jλω

+ =Mv Kv 00

1 (3.35)

T Tj j

j

ωλ

= −v M v K0 (3.36)

Premultiplicar por Tjv la ecuación (3.34):

T Tj i i j iλ

ω+ =v Mv v Kv 0

0

1 (3.37)

Substituir (3.36) en la(3.37) :


T T Tij i i j i j i

j j

ω λλω λ λ

⎛ ⎞− −+ = + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠v Kv v Kv v Kv 00

0

1 1

Tj i =v Kv 0

Lo que confirma que la matriz TV KV es diagonal. De forma similar se llega a

conclusión que TV MV es diagonal.

jT Tj j

λω

= −v K v M0

j jT T Tij i i j i j i

λ λλλω ω ω ω

⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠v Mv v Mv v Mv 0

0 0 0 0

1

Tj i =v Mv 0

Otra explicación se deduce del problema de autoanálisis i i iλ =Ev Av , con A y E

semidefinidas positivas (E es diagonal y los términos diagonales de A son mayores o

iguales que la suma de los términos de fuera de la diagonal), según el cual existe una

transformación congruente V que diagonaliza las matrices A y E . Ello puede verse

por ejemplo en el texto [13].

Si a la ecuación (3.29) se aplica el cambio de variables Δ = Δδ V θ y se premultiplica

por la matriz transpuesta de la matriz de autovectores derechos TV se obtiene:

T T Tm

Tmi imi i i m

Tmi imi i i m

ddt

M d Kdt

H d Kdt

ω

θ θω

θ θω

Δ+ Δ = Δ

Δ+ Δ = Δ

Δ+ Δ = Δ

θV MV V KV θ V p

v p

v p

2

20

2

20

2

20

1

2

(3.38)

Siendo miH y miK la inercia y la rigidez modal correspondientes al modo i-ésimo.

Por supuesto el autovalor i-ésimo se obtiene directamente a partir de los parámetros

modales como:

mii

mi

KjHωλ = ± 0

2


La Tabla 3-6 presenta los parámetros modales del caso del turbogenerador

conectado a un nudo de potencia infinita ya considerado. Merece la pena comparar al

menos los parámetros modales de modo en el que todas las masas oscilan al unísono

con los parámetros de inercia y coeficiente de par sincronizante del caso del generador

conectado a un nudo de potencia infinita en el que el rotor se representó por una única

masa. La inercia en ese caso era 2.894 s y el coeficiente de par sincronizante valía 1.4077

pu. Valores muy próximos a los ahora obtenidos cuando se representa con todo detalle

el turbogenerador tal y como se detallan en la Tabla 3-6.

Nº Imaginaria Hm Km1 298.1803 0.2246 105.94692 203.0208 1.5141 331.08203 160.6396 0.1910 26.14404 127.0312 0.0389 3.33315 99.2218 0.3609 18.85006 9.5095 2.8041 1.3452

Parámetros modales

Tabla 3-6: Parámetros modales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita.

hp ipK −

hpH IPH

ip lpaK −

lpaH

lpa lpbK −

LPBH

lpb gK −

gH

ip lpaD − ip lpaD − lpa lpbD − lpb gD −

hpDipD lpaD lpbD lpbD

hp ipK −

hpH IPH

ip lpaK −

lpaH

lpa lpbK −

LPBH

lpb gK −

gH

ip lpaD − ip lpaD − lpa lpbD − lpb gD −

hpDhpDipDipD lpaDlpaD lpbDlpbD lpbD

Figura 3-20: Diagrama de masas, muelles y amortiguadores de un turbogenerador

En el modelo de la oscilación electromecánica del generador y en el modelo de las

oscilaciones torsionales no se incluyeron los amortiguadores, pero pueden

considerarse. En ese caso el diagrama de la Figura 3-7 pasa a ser el diagrama de la

Figura 3-20 y el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3.28)

queda de la forma:

m

ddt

ddt

ω− − −

Δ⎡ ⎤⎢ ⎥ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ − − Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

δ0 I δ

pω M K M D ω M

01 1 1

0 (3.39)


Donde:

0 0 00 0

0 00 00 0 0

hp hp ip hp ip

hp ip ip hp ip ip lpa ip lpa

ip lpa lpa ip lpa lpa lpb ip lpb

ip lpb lpb lpb g lpb g lpb g

lpb g g lpb g

D D DD D D D D

D D D D DD D D D D

D D D

− −

− − − −

− − − −

− − − −

− −

+ −⎡ ⎤⎢ ⎥− + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + + −=⎢ ⎥− + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦

D

y la ecuación diferencial lineal de segundo orden (3.29) queda:

mKdt

ddt

d pδδDδM Δ=Δ+Δ

+Δ

002

2 11ωω

(3.40)

Si a la ecuación (3.40) se aplica el cambio de variables Δ = Δδ V θ y se premultiplica

por la matriz transpuesta de la matriz de autovectores derechos TV se obtiene:

mdtd

dtd pVθKVVθDVVθMVV TTTT Δ=Δ+

Δ+

Δ

002

2 11ωω

(3.41)

Las nuevas variables son variables modales. Debe notarse que en este caso la matriz TV DV no tiene porque ser diagonal, pues la matriz de paso se ha obtenido del

problema de oscilaciones no amortiguadas (suponiendo D igual a cero).

4 Resonancia subsíncrona 60

4 Resonancia subsíncrona

Este capítulo presenta el fenómeno de la resonancia subsíncrona y los modelos no

lineales y lineales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita a

través de una línea compensada serie para su estudio. Este capítulo también muestra

resultados tanto de la simulación no lineal en el dominio del tiempo como del análisis

modal del modelo lineal.

La aproximación al problema se realizará, en primer lugar, mediante modelos

simplificados no lineales y lineales del generador síncrono. A continuación, se presenta

un modelo más detallado con todos los componentes de los sistemas que rodean al

generador considerando el efecto de los sistemas de regulación.

4.1 Introducción a la resonancia subsíncrona

La resonancia subsíncrona es un problema de inestabilidad en generadores

síncronos que afecta a los modos del sistema que se encuentran en el rango de

frecuencias inferiores a la fundamental (50 Hz ó 60 Hz). Se basa en la interacción de los

sistemas eléctrico y mecánico asociados al generador. Puede producir oscilaciones

inestables en los modos torsionales del eje del generador y también en las magnitudes

eléctricas del sistema.

La definición formal propuesta por el IEEE [7] establece que la resonancia

subsíncrona es la condición en la que se encuentra un sistema de energía eléctrica

cuando la red intercambia energía con un generador a una o más frecuencias naturales

del sistema por debajo de la frecuencia de sincronismo. La definición es general y se

refiere tanto a los modos naturales debidos a características inherentes al sistema

eléctrico como a los modos forzados por la actuación de los distintos reguladores y

equipos de control.

La situación más común en la que se puede presentar la resonancia subsíncrona es

en generadores que estén conectados al sistema a través de líneas con condensadores

en serie que compensan la reactancia de las mismas. Ése sería un modo natural al

sistema. Otras causas de oscilaciones subsíncronas inestables pueden ser también los


sistemas de regulación del generador, que introducirían modos forzados,

interactuando con la red o el sistema mecánico de su eje.

4.1.1 Resonancia eléctrica en líneas con compensación serie

Cuando un generador está conectado a un nudo de potencia infinita a través de una

línea compensada, el sistema eléctrico constituido tiene carácter de RLC con una

frecuencia de resonancia ef .

Figura 4-1: Esquema unifilar equivalente de una línea compensada serie

LT

C

eTe X

Xf

CLf 02

1==

π (4.1)

Siendo:

0f La frecuencia fundamental del sistema

TL La inductancia total del circuito ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′++

02 fXLL te π

LTX La reactancia inductiva total: TLT LfX ⋅= 02π

CX La reactancia capacitiva: ( ) 102 −⋅= eC CfX π

La medida que indica el grado de compensación de la reactancia de la línea es el

factor de compensación (F.C.), que se define como:

Le

C

XXCF =.. (4.2)


Cuyo valor suele estar comprendido en el margen del 25% al 75%, por lo que

ef es inferior a la frecuencia fundamental 0f .

Por las características dinámicas del circuito RLC, cualquier perturbación en el

sistema eléctrico originará corrientes transitorias que oscilarán a una frecuencia igual a

la natural del circuito ef , en realidad algo menor por el efecto de las resistencias. En el

caso de faltas desequilibradas, las corrientes se descompondrán en los sistemas de

secuencia directa, inversa y homopolar. El sistema homopolar de corrientes en el

estator no produce campos magnéticos en el entrehierro de una máquina rotativa, por

lo que no tiene efectos sobre el rotor. Los sistemas de secuencia directa e inversa sí

producen campos magnéticos en el entrehierro, por lo que darán lugar a pares

pulsatorios de frecuencia distinta según la secuencia:

Secuencia directa: eff −0

Secuencia inversa: eff +0

Si se utiliza un sistema de referencia en ejes dq solidario al rotor, éstas serán

también las frecuencias de las corrientes transitorias. Los sistemas de corrientes de

secuencia directa e inversa se denominarán modos eléctricos subsíncrono y

supersíncrono, respectivamente.

Suele referirse a la frecuencia del par producido por la componente de secuencia

inversa de la corriente como supersíncrona y a la de la secuencia directa como

frecuencia subsíncrona, y se dice que ésta es complementaria a ef , ya que la suma de

ambas es igual a 0f .

Estos pares aplicados en el rotor del generador hacen que oscile a frecuencias

subsíncronas. Como se ha visto en la sección 3.2, el eje de un turbogenerador tiene

unos modos naturales de oscilación torsional, cuyas frecuencias suelen encontrarse por

debajo de 0f . Si alguna de ellas se encuentra próxima a la frecuencia subsíncrona del

sistema, podría dar lugar a la inestabilidad del modo eléctrico subsíncrono o de los

modos torsionales, con la consecuente rotura o fatiga del eje del turbogenerador o la

desestabilización del sistema eléctrico. Se pueden distinguir tres mecanismos por los


que el generador puede interactuar con el sistema provocando resonancia subsíncrona:

el efecto generador de inducción, interacción torsional y pares transitorios.

4.1.2 Tipos de interacciones debidos a la resonancia subsíncrona

Efecto generador de inducción

Este fenómeno consiste en una inestabilidad producida por la autoexcitación del

sistema eléctrico. Para los sistemas de intensidades de frecuencia subsíncrona que

puedan surgir tras cualquier tipo de perturbación, el generador funciona como una

máquina de inducción. Esto se debe a que el campo magnético producido por las

intensidades subsíncronas gira a ef mientras que el generador gira a la velocidad de

sincronismo 0f , por lo que el rotor ve girar a ese campo con un deslizamiento

negativo:

00 ,0 ff

fff

s ee

e <<−

=

La resistencia equivalente del rotor para corrientes subsíncronas, vista desde los

terminales del estator, es negativa. Cuando la resistencia negativa iguale o supere al

resto de resistencias del circuito, las intensidades subsíncronas serán crecientes

provocando la inestabilidad del modo. Si, además, la reactancia total se anula, se darán

condiciones de resonancia eléctrica en el sistema.

Interacción torsional

La interacción torsional ocurre cuando los pares en el entrehierro producidos por

corrientes transitorias subsíncronas están próximos a alguno de los modos torsionales

del turbognerador. Cuando por alguna pequeña perturbación se produce la oscilación

natural del eje de turbinas-generador a alguna de sus frecuencias naturales mf , se

inducen tensiones y corrientes en devanado trifásico del estator con frecuencias

mff ±0 . Si la corriente de frecuencia mff −0 coincide o se encuentra próxima en

frecuencia a la de resonancia del circuito ef , la oscilación torsional y la resonancia

eléctrica se excitarán o reforzarán mutuamente dando lugar a resonancia subsíncrona.

En tal caso, la resonancia eléctrica actuará como un amortiguamiento negativo para la


oscilación torsional, y ésta última actuará de la misma forma para la resonancia

eléctrica.

Pares transitorios

Este problema se da ante faltas severas cuando la frecuencia del modo subsíncrono

está próxima a la de alguno de los modos torsionales del generador.

Los pares transitorios son aquellos que se producen por grandes perturbaciones en

el sistema. Estas perturbaciones o faltas causan cambios repentinos en la configuración

de la red, provocando cambios bruscos en las intensidades, que tenderán a oscilar a las

frecuencias naturales del sistema. En una línea sin compensación serie, estas

componentes transitorias son unidireccionales amortiguadas con el tiempo según una

constante de tiempo que depende de las resistencias e inductancias del circuito

(sistema de primer orden RL). En líneas que tienen compensación serie, ante una falta o

perturbación de gran magnitud, las corrientes transitorias serán oscilatorias de

frecuencia ef , como ocurría con las pequeñas perturbaciones.

Si la frecuencia complementaria a ef , o frecuencia subsíncrona, se asemeja a alguna

de las frecuencias naturales del sistema mecánico, se podrán producir pares torsionales

con picos muy elevados, proporcionales a las intensidades transitorias, tanto en los

cortocircuitos como en sus despejes. Como consecuencia, se sometería a las distintas

secciones del eje a esfuerzos torsionales muy elevados.

4.1.3 Técnicas de análisis

De los tres tipos de interacciones descritos, los dos primeros se pueden considerar

problemas de estabilidad de pequeña perturbación, al menos inicialmente. El tercer

tipo se produce ante grandes perturbaciones, por lo que las no linealidades del sistema

deben ser consideradas en el análisis. Por ello, el efecto de generador de inducción y la

interacción torsional pueden estudiarse con las técnicas de análisis modal sobre el

modelo linelizado. Sin embargo, el fenómeno de los pares torsionales debe estudiarse

mediante la integración numérica de las ecuaciones diferenciales del modelo que se

defina, para conocer la evolución temporal de las variables del sistema.


Los conceptos de efecto generador de inducción, interacción torsional y pares

transitorios permiten una comprensión cualitativa del fenómeno de la resonancia

subsíncrona. Para un análisis más profundo del mismo es necesaria la definición de un

modelo matemático adecuado que sirva de base de estudio.

Como este fenómeno implica la interacción de una resonancia eléctrica o la acción

de reguladores del sistema eléctrico con las oscilaciones torsionales de un eje, un

modelo unificado y detallado de los sistemas eléctrico y mecánico es conveniente para

su estudio. Los límites del modelado para estudiar la resonancia subsíncrona estarán

definidos en primer lugar por el conjunto de aquellos subsistemas cuyas dinámicas e

interacciones son más relevantes en el fenómeno, y en segundo lugar, por el alcance del

estudio. Los subsistemas implicados son del generador y la red. El alcance del estudio

se limita a las interacciones entre la máquina síncrona y la red eléctrica en el rango de

frecuencias subsíncronas, es decir, por debajo de la frecuencia fundamental del sistema.

4.2 Modelo simplificado

Las ecuaciones del generador y del condensador de serie con relación a un sistema

de referencia que gira a la velocidad del rotor del generador son, para los parámetros

de la Figura 4-2:

0

0 111 0

00

d d d dg

q q q q

d de

q qe

e vde vdt

iLiL

ψ ψω

ψ ψω

ψψ

′ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥′ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.3)

0

0 111 0

d cd cdg

q cq cq

d cd d

q cq q

i v vdC Ci v vdt

v v vv v v

ωω

∞

∞

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.4)


0v∞ ∞= ∠ °v+−

+−e δ′ ′= ∠e

X ′ tX X l

e tX X X X′= + + l

cx

vcv

0v∞ ∞= ∠ °v+−+−

+−+−e δ′ ′= ∠e

X ′ tX X l

e tX X X X′= + + l

cx

vcv

Figura 4-2: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un punto de red infinita a través de un

condensador serie

Se considerará que la velocidad de rotor del generador es constante e igual a la

velocidad de sincronismo.

Este modelo permite analizar como el rotor del generador va a “ver” la oscilación

natural del circuito serie LC formado por la inductancia equivalente del generador, el

transformador y la línea y la capacidad del condensador de compensación serie.

El modelo no lineal toma la forma (ecuaciones (4.8),(4.9)):

( )( )

, ,

, ,

=

=

x G x z u

0 H x z u

& (4.5)

donde los vectores de variables de estado, variables algebraicas y es variables de

entrada son:

Td q cd cqv vψ ψ⎡ ⎤= ⎣ ⎦x

Td q d qi i v v⎡ ⎤= ⎣ ⎦z

[ ]T v e∞ ′=u

En realidad, dado que la velocidad del generador es constante, resulta que el

modelo es lineal y la eliminación de las variables algebraicas son:

1 2 1

3 4 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

A A Bx xu

A A B0 z&

(4.6)

( ) ( )1 11 2 4 3 1 2 4 3

− −= − + −

= +

x A A A A x B B A A u

Ax Bu

& (4.7)


4.2.1 Simulación del modelo simplificado

Se va a simular una variación en forma de escalón de la tensión en el nudo de

potencia infinita (-0.1 pu) considerando que tanto el módulo como el ángulo de la

excitación permanecen constantes.

La Figura 4-3 muestra la evolución temporal de las componentes del flujo. La Figura

4-4 muestra la evolución temporal de las componentes de la tensión.

Todas las magnitudes muestran una componente de frecuencia superior a la de

sincronismo y otra de frecuencia inferior a la de sincronismo.

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20.8

0.82

0.84

0.86

Tiempo (s)

ψd (p

u)

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

Tiempo (s)

ψq (p

u)

Figura 4-3: Simulaciónde las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia

infinita a través de una línea compensada serie cuando se produce una variación de tensión en el nudo de potencia

infinita: componentes del flujo en la inductancia equivalente


-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

Tiempo (s)

v cd (p

u)

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.28

-0.27

-0.26

-0.25

Tiempo (s)

v cq (p

u)

Figura 4-4: Simulación de las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia

infinita a través de una línea compensada serie cuando se produce una variación de tensión en el nudo de potencia

infinita: componentes de la tensión del condensador.

En efecto, las frecuencias supersíncrona 1ω y subsícrona 2ω se calculan como:

( )1,2 0 1

1n

cn

ee

XXL C

ω ω ω

ω

= ±

= =

En nuestro caso resultan ser:

0.169 0.14 0.56 0.8690.28

e

c

X puX pu

= + + ==

( )( )

1

2

377 1 0.5676 590.9984

377 1 0.5676 163.0016

0.28 0.56760.869n

rad s

rad s

ω

ω

ω

= × + =

= × − =

= =

4.2.2 Análisis del modelo simplificado lineal

El autoanálisis de la matriz de estado del sistema dinámico lineal (4.11) confirma los

resultados obtenidos. La Tabla 4-1 detalla los autovalores del citado modelo. Resultan


dos parejas de autovalores complejos conjugados de parte real nula (ya que la

resistencia del circuito es nula) cuyas frecuencias son las ya obtenidas.

Nº Real Imgaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz)1 0 590.9984 0 94.062 0 163.0016 0 25.94


Tabla 4-1: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita a través de

una línea compensadas serie.

4.3 Modelo detallado

En esta sección se describe con detalle el modelo matemático utilizado para

representar el sistema dinámico que constituye un turbogenerador conectado a la red

en el que puede tener lugar el fenómeno de resonancia subsíncrona, bien sea por la

compensación de la reactancia de la línea o por la influencia de los diferentes

reguladores del generador. Se va a considerar, por tanto, un sistema de una sola

máquina, que consistirá en un solo generador síncrono conectado a un punto de red

infinita mediante una línea con compensación serie. El modelo incluye los siguientes

elementos del sistema:

Sistema mecánico del rotor

La máquina síncrona

La red eléctrica

Turbinas y regulador de potencia

Sistema de excitación

En primer lugar se presentan las ecuaciones dinámicas, generalmente no lineales, de

cada uno de los subsistemas y su justificación, para luego constituir el sistema

completo. En segundo lugar, se procede a linealizar dichas ecuaciones en torno a un


punto de operación para la aplicación de técnicas de análisis modal en el estudio de la

estabilidad frente a pequeñas perturbaciones.


Se considera el caso de un generador conectado a un nudo de potencia infinita a

través de una línea compensada serie tal y como se muestra en el diagrama unifilar de

la Figura 4-5.

eR eX cXeR eX cX

Figura 4-5: Conexión de un turbogenerador a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie.

Modelo mecánico del rotor de la turbina y generador

Se presentan las ecuaciones del modelo mecánico no-lineal del turbogenerador en el

que no se utiliza la potencia mecánica como si fuera el par porque en el modelo de las

turbinas se obtiene directamente como salida esta magnitud, y no hay que dividirla

entre la velocidad de cada masa.

( )

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

hphp

ipip

lpalpa

lpblpb

gg

ddt

ddt

ddt

ddtddt

δω ω

δω ω

δω ω

δω ω

δω ω

= −

= −

= −

= −

= −

(4.8)


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

,

,

,

,

2 1

2 1

2 1

2 1

2

hphp m hp hp ip hp ip hp hp

ipip m ip hp ip ip hp ip ip

lpalpa m lpa lpa ip lpa ip lpa lpa

lpblpb m lpb lpb lpa lpb lpa lpb lpb

gg lpb g g b g e g

dH p K D

dtd

H p K Ddtd

H p K Ddt

dH p K D

dtd

H K Kdt

ωδ δ ω

ωδ δ ω

ωδ δ ω

ωδ δ ω

ωδ δ δ

−

−

−

−

− −

= − − − −

= − − − −

= − − − −

= − − − −

= − − − ( ) ( )

( ) ( )

1

2 1

e g g e

ee g e e g e e

D p

dH K Ddt

δ ω

ω δ δ ω−

− − − −

= − − − −

(4.9)

Las variables de estado son los ángulos y las velocidades angulares:

T

hp ip lpa lpb g

T

hp ip lpa lpb g

δ δ δ δ δ

ω ω ω ω ω

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

δ

ω

Modelo electromagnético del generador síncrono

Las ecuaciones tanto de la máquina eléctrica como de la red se plantearán en ejes dq

solidarios al rotor, con el eje d paralelo al flujo de excitación principal del rotor, y el eje

q adelantado 90º. Se escribirán solamente las ecuaciones correspondientes a los ejes d y

q, ya que las componentes homopolares no influyen en el fenómeno estudiado. Se

usarán magnitudes unitarias referidas a las bases del generador, tanto en la máquina

como en la red eléctrica.

En las ecuaciones de la máquina síncrona se incuirá la impedancia inductiva de la

línea en las impedancias de los devanados del estator y se dejará como tensión de

referencia para los sistemas de regulación la tensión tv , en bornes de la máquina, no la

que se usa en las ecuaciones del estátor.

Figura 4-6: Tensiones consideradas en el modelo electromagnético


Donde:

qd vjv +=v es la tensión en bornes del generador (la resistencia y la reactancia de

la línea se han incorporado a la resistencia y reactancia de dispersión del generador

respectivamente).

c cd cqv jv= +v es la tensión en el condensador serie.

qd vjv ∞∞∞ +=v es la tensión en el nudo de potencia infinita.

eR y eL Resistencia e inductancia totales de la línea, se incluyen en la máquina.

Las variables de estado del sistema máquina eléctrica son los flujos:

[ ] [ ]TrotestT

kqkdfdqd ψψψ == ψψψψψ

Las ecuaciones del modelo electromagnético del generador síncrono cuando tiene

dos circuitos amortiguadores, uno en eje directo y otro en eje transverso incluyendo la

resistencia y la inductancia de la línea de conexión al nudo de potencia infinita serán

[14]:

0

0

0

0

0 0 110 1 0

1

10

10

0 00 0 0

d d d da eg

q q q qa e

fdfd fd fd

kdkd kd

kqkq kq

d ad e ad ad

q aq e aq

fd

kd

kq

v iR R dv iR R dt

de R i

dtdR i

dtd

R idt

L L L L LL L L L

ψ ψω

ψ ψω

ψω

ψω

ψω

ψψψψψ

−+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= +

= +

= +

+ +⎡ ⎤⎢ ⎥ + +⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

l

l

0 00 0

0 0 0

d

q

ad fd ad ad fd

ad ad kd ad kd

aq kq aq kq

ii

L L L L iL L L L i

L L L i

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.10)


Los parámetros de los circuitos de la máquina síncrona se obtienen a partir de los

parámetros de respuesta (reactancias y constantes de tiempo transitorias y

subtransitorias en eje directo y subtransitorias en eje transverso) como:

( )0 0

0 ¨ 0

0

ad d

dfd ad

d d

ad fdfd

d

dkd d

d d

kq dfd

d

aq q

dkq ad

d d

aq kqkq

q

L L LL LL LL L

L LR

TL LL L LL L

L L LR

TL L L

L LL LL L

L LR

T

ω

ω

ω

= −′ −

=′−

+=

′

′′ −′= −′ ′′−

′+ −=

′′

= −

′′ −=

′′−

+=

′′

l

l

ll

l

l

l

Figura 4-7: Circuito equivalente del generador con un devanado amortiguador en eje q

En el caso de que el generador síncrono tenga tres circuitos amortiguadores, uno en

eje directo y dos en eje transverso, las ecuaciones resultan ser:


0

0

0

11 1

0

22 2

0

1

2

0 0 110 1 0

1

10

10

10

d d d da eg

q q q qa e

fdfd fd fd

kdkd kd

kqkq kq

kqkq kq

d

q

fd

kd

kq

kq

v iR R dv iR R dt

de R i

dtdR i

dtd

R idt

dR i

dt

ψ ψω

ψ ψω

ψω

ψω

ψω

ψω

ψψψψψψ

−+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= +

= +

= +

= +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1

2 2

0 0 00 0 0

0 0 00 0 0

0 0 00 0 0

ad e ad ad d

aq e aq aq q

ad fd ad ad fd

ad ad kd ad kd

aq kq aq aq kq

aq aq kq aq kq

L L L L L iL L L L L i

L L L L iL L L L i

L L L L iL L L L i

+ + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

l

l

(4.11)

Los parámetros de los circuitos de la máquina síncrona se obtienen a partir de los

parámetros de respuesta (reactancias y constantes de tiempo transitorias y

subtransitorias tanto en eje directo como en eje transverso) como:

Figura 4-8: Circuito equivalente del generador con dos devanados amortiguadores en eje q


( )

( )

0 0

0 0

1

11

0

2

22

0 0

ad d

dfd ad

d d

ad fdfd

d

dkd d

d d

kq dfd

d

aq q

dk ad

d d

aq kqk

q

qkd q

q q

kq qkq

q

L L LL LL LL L

L LR

TL LL L LL L

L L LR

TL L L

L LL LL L

L LR

T

L LL L L

L L

L L LR

T

ω

ω

ω

ω

= −′ −

=′−

+=

′

′′ −′= −′ ′′−

′+ −=

′′

= −

′ −=

′−

+=

′

′′ −′= −

′ ′′−

′+ −=

′′

l

l

ll

l

l

l

l

l

l

El par electromagnético aplicado por el generador síncrono responde a la expresión:

{ }( )( ){ } ( ) ( ){ }

*Im

Im Im

e

d q d q d d q q q d sd sq

q d d q

t

i ji j i i j i i

i i

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

=

= + − = − + −

= − +

iψ

(4.12)

Modelo del condensador de la compensación serie

Según lo señalado en �, la referencia del nudo infinito siempre gira a la velocidad

de sincronismo 0ω . Definiendo el ángulo gδ del generador de esta forma en el sistema

de referencia:


Figura 4-9: Diagrama fasorial del sistema de referencia y las tensiones.

Las ecuaciones del condensador serie con relación a un sistema de referencia que

gira a la velocidad del rotor del generador, con [ ]Tcqcdc vv ,=v como variables de

estado, son:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

q

d

cq

cd

sq

sd

cq

cdg

cq

cd

q

d

vv

vv

vv

vv

Cvv

dtdC

ii

01101

0

ωω

(4.13)

sencos

d

q

v vv v

δδ

∞ ∞

∞ ∞

==

(4.14)

Sistema de excitación

Se ha considerado una excitación estática realimentado con la tensión que hay en

bornes de la máquina. El diagrama de bloques de la excitación y del regulador de

tensión se muestran en la Figura 4-10.

tv

+

−

refv

1A

A

KsT+

11 EsT+

FDEFDmaxE

FDminEtv

+

−

refv

1A

A

KsT+1A

A

KsT+

11 EsT+

FDEFDmaxE

FDminE

Figura 4-10: Diagrama de bloques de una excitación estática y del regulador de tensión.


La variable fdE representa la tensión de excitación en magnitudes unitarias

tomando como base la tensión de excitación es necesaria para obtener la tensión

nominal en bornes de la máquina en vacío. En las ecuaciones de la máquina síncrona,

la tensión de excitación fde toma como base la tensión nominal de la máquina. En

bases de la máquina, para conseguir la tensión nominal estando la máquina en vacío se

necesita una excitación ad

fdfd L

re =0, , por lo que para pasar de fdE a fde hay que hacer:

ad

fdfdfd L

rEe ⋅=

Eligiendo como variables de estado [ ]Teee xx 21,=x :

+

−

refv

tv

1

EsT

+

−

2ex XE1

AsT

+

−

1exAK

+

−

refv

tv

1

EsT

+

−

2ex XE1

EsT

+

−

2ex XE1

AsT

+

−

1exAK

Figura 4-11: Selección de variables de estado de una excitación estática.

Las ecuaciones de la representación en espacio de estado de la excitación cuando se

la selección de variables de estado de la Figura 4-11 son:

( )

( )

1 1

2 2 1

2

2 2

1

1

e e ref tA

e e A eE

fd e

t td tq

fdfd fd

ad

x x v vT

x x K xT

E x

v v v

re E

L

⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦

= − +

=

= +

=

&

&

(4.15)

Donde las componentes de la tensión en bornes del generador se obtienen así:


0

0 0 1 10 1 0

00

td d ed ed sdeg

tq q eq eq sqe

ed de

eq qe

v i vR dv i vR dt

iLiL

ψ ψω

ψ ψω

ψψ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.16)

Sistema de turbinas y regulador

El modelo del sistema de turbinas representa la aportación de cada una de ellas a la

potencia mecánica neta y los retardos introducidos por recalentadores intermedios. El

modelo considerado consiste en la aplicación del modelo más general ([7]) al sistema

mecánico de la Figura 3-6, que dispone de todas las turbinas en un solo eje.

Se ha considerado una turbina de vapor. El diagrama de bloques de la turbina y del

regulador de turbina se muestran en la Figura 4-12.

+

−

REFω

ω

11KsT+ 4

11 sT+ 5

11 sT+

hpp

6

11 sT+3

11 sT+

hpK ipK lpaK

ipp lpap

lpbK

lpbp

+

−

REFω

ω

11KsT+ 11

KsT+ 4

11 sT+ 4

11 sT+ 5

11 sT+

hpp

6

11 sT+ 6

11 sT+3

11 sT+ 3

11 sT+

hpKhpK ipKipK lpaKlpaK

ipp lpap

lpbKlpbK

lpbp

Figura 4-12: Modelo de una turbina de vapor y del regulador de turbina.

Donde:

REFω es la velocidad de referencia en pu.

gω es la velocidad del generador respecto al sincronismo, pu.

31 ,TT es la constante de tiempo del regulador, en segundos.

654 ,, TTT son las constantes de tiempo del sistema de turbinas [s].

LPBLPAIPHP KKKK ,,, son las proporciones en las que aporta cada turbina a la

potencia mecánica total, en tanto por uno.


LPBLPAIPHP pppp ,,, So las potencias mecánicas de cada turbina, en pu.

La representación de estado del sistema se ha hecho de acuerdo con la siguiente

elección de variables de estado:

[ ]Tttttt xxxxx 54321 ,,,,=tx

+

−

REFω

( )1ω −

1

1sT

+

−

1txK

3

1sT

+

−

2tx

4

1sT

+

−

3tx

hpK

,m hpp

lpbK

,m lpbp

6

1sT

−

5tx

lpaK

,m lpap

5

1sT

+

−

4tx +

ipK

,m ipp

3tx

+

−

REFω

( )1ω −

1

1sT

+

−

1txK

3

1sT

+

−

2tx

4

1sT

+

−

3tx

hpK

,m hpp

lpbK

,m lpbp

6

1sT

−

5tx

lpaK

,m lpap

5

1sT

+

−

4tx +

ipK

,m ipp

3tx

5

1sT

+

−

4tx +

ipK

,m ipp

3tx

Figura 4-13: Selección de variables de estado de una turbina de vapor.

Las ecuaciones de la representación en espacio de estado de la turbina cuando se la

selección de variables de estado de la Figura 4-13 son:


( )( )

( )

( )

( )

( )

1 11

2 2 12

3 3 23

4 4 35

5 5 46

, 3

, 4

, 5

, 5

1 1

1

1

1

1

t t ref

t t t

t t t

t t t

t t t

m hp hp t

m ip lp t

m lpa lpa t

m lpb lpb t

x xT

x x KxT

x x xT

x x xT

x x xT

p K x

p K x

p K x

p K x

ω ω⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦

= − +

= − +

= − +

= − +

=

=

=

=

&

&

&

&

&

(4.17)

Condiciones iniciales

En primer término, se determina el ángulo del rotor y la tensión en el nudo de

potencia infinita:

0 00 0 0

0

ˆ0

p jq iu

ϕ∗

⎛ ⎞+= = ∠⎜ ⎟∠ °⎝ ⎠

i

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0̂0q a q a q qR jX v R jX i eϕ δ= + + = ∠ °+ + ∠ = ∠e v i

( )0 0 0 0 0e e cR j X X v θ∞ ∞= − + − = ∠⎡ ⎤⎣ ⎦v v i

0 0 0ˆ

gδ δ θ= −

0 0 0ˆϕ ϕ θ= −

Después se obtiene las componentes en ejes directo y transverso de la tensión y la

corriente en el nudo de potencia infinita:

0 0 0

0 0 0

sen

cosd g

q g

v v

v v

δ

δ

=

=

( )( )

0 0 0 0

0 0 0 0

sen

cos

d g

q g

i i

i i

δ ϕ

δ ϕ

= −

= −


A continuación se calculan las componentes del flujo del estator, la corriente de

excitación, la tensión de excitación, y el par electromagnético:

( )( ) ( )

( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00

1d q a e d q g d q

d q d q a e d qg

v jv R R i ji j j

j v jv R R i jij

ω ψ ψ

ψ ψω

+ = + + + +

⎡ ⎤+ = + − + +⎣ ⎦

( )

0 0 0

0 0 01

d d d ad fd

fd d d dad

L i L i

i L iL

ψ

ψ

= +

= −

0 0fd fd fde R i=

0 0 0 0 0e q d d qt i iψ ψ= − + (4.18)

Finalmente y teniendo presente que las corrientes por los devanados

amortiguadores son nulas:

0 10 20 0kd kq kqi i i= = =

se calculan todos los flujos por medio:

0 0

0 0

0 0

0 0

10 1 10

20 2 20

0 0 00 0 0

0 0 00 0 0

0 0 00 0 0

d ad e ad ad d

q aq e aq aq q

fd ad fd ad ad fd

kd ad ad kd ad kd

kq aq kq aq aq kq

kq aq aq kq aq kq

L L L L L iL L L L L i

L L L L iL L L L i

L L L L iL L L L i

ψψψψψψ

+ + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

l

l

⎤⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

Por otra parte, tendiendo presente que:

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

hp

ip

lpa

lpb

g

e

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

=

=

=

0 0m ep t=


, 0 0

, 0 0

, 0 0

, 0 0

m hp hp m

m ip ip m

m lpa lpa m

m lpb lpb m

p K p

p K p

p K p

p K p

=

=

=

=

Los ángulos de las masas de las turbinas se determinan a partir de:

, 0

, 0

, 0

, 0

0

000000 0

0 0 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 0

m hp

m ip

m lpa

m lpb

e

hp ip hp ip

hp ip hp ip ip lpa ip lpa

ip lpa ip lpa lpa lpb ip lpb

ip lpb lpb g lpb g lpb g

lpb g

tttt

t

K KK K K K

K K K KK K K K

K

− −

− − − −

− − − −

− − − −

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−− + −

− + −−

− + −−

0

0

0

0

0

00 0 0 0

hp

ip

lpa

lpb

lpb g g e g e g

g e g e g

K K KK K

δδδδδδ

− − −

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Como:

10 , 0

0 , 0

0 , 0

0 , 0

0 0 00 0

0 00 0

hp hp ip hp ip m hp

ip hp ip hp ip ip lpa ip lpa m ip

lpa ip lpa ip lpa lpa lpb ip lpb m lpa

lpb ip lpb lpb g lpb g m lpb lpb

K K tK K K K t

K K K K tK K K t K

δδδδ

−− −

− − − −

− − − −

− − − −

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0g

g

δ

⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

y

0 0

0 0

0g e g g e e

g e

K Kδ δ

δ δ− −− + =

=

Las condiciones iniciales de la excitación se determinan de acuerdo con:

20 0

2010

0 10 0

e fd

ee

A

ref e t

x E

xxK

v x v

=

=

= +


Las condiciones iniciales de la turbina se determinan de acuerdo con:

( )

, 0 , 050

, 040

, 030

20 30

2010

0 10 0 1

m lpa m lpbt

lpa lpb

m ipt

ip

m hpt

hp

t t

tt

ref t g

p px

K K

px

K

px

K

x xxxKxω ω

= =

=

=

=

=

= + −

Modelo completo

El modelo no lineal toma la forma:

( ),=x F x u&

En realidad toma la forma:

( )( )

, ,

,

=

=

x G x z u

z H x u

&

Donde los vectores de variables de estado, variables algebraicas y es variables de

entrada son, en el caso de que el generador síncrono tenga tres circuitos

amortiguadores, uno en eje directo y dos en eje transverso, y no se representan ni

regulador de tensión con excitación ni el regulador de turbina ni turbina:

]

1 2

1 2 1 2 3 4 5

Td q fd kd kq kq cd cq

hp ip lpa lpb g e hp ip lpa lpb g e

e e t t t t t

v v

x x x x x x x

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

δ δ δ δ δ δ ω ω ω ω ω ω

⎡= ⎣x

1 2

, , , ,

Td q fd kd kq kq e d q d q td tq fd

m hp m ip m lpa m lpb

i i i i i i t v v v v v v e

p p p p

∞ ∞⎡= ⎣⎤⎦

z

Tref refv vω ∞⎡ ⎤= ⎣ ⎦u



Se va a ilustrar la posibilidad de inestabilidad de los modos torsionales de un

generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea

compensada serie. Se utilizan los datos del “First Benchmark Model for Computer

Simulation of Subsynchronous Resonance” [12] y, para los sistemas de regulación, los

datos son los detallados en [15] y utilizados en [8] y [9]. Se realiza la simulación en el

dominio del tiempo para un cortocircuito trifásico franco de 100 ms de duración.

Red:

0.010.140.020.560.28

e t l

e t l

t

t

l

l

c

R R RX X XR puX puR puX puX pu

= += +=====

Rotor (factores de amortiguamiento):

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

hp

ip

lpa

lpb

g

e

D pu

D pu

D pu

D pu

D pu

D pu

=

=

=

=

=

=

Generador síncrono:

0

0

0

0

4.30.032

1.790.1690.1350.85

0.05

1.71

0.2280.2

0.00150.13

d

d

d

d

d

q

q

q

d

q

a

T sT sL puL puL puT s

T s

L pu

L puL pu

R puL pu

′ =′′ =

=′ =′′ =′ =

′′ =

=

′ =′′ =

=

=l


Excitación:

500.010.002

A

A

E

KT sT s

===

Turbina:

1

3

4

5

6

250.20.30.370.2

K puT sT sT sT sT s

======

Tabla 4-2: Datos del turbogenerador







segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz de amplitud

creciente.

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Tiempo (s)

Δω

HP (p

u)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Tiempo (s)

Δω

IP (p

u)


infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de alta presión y presión intermedia.


-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Tiempo (s)

Δω

LPA (p

u)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.05

0

0.05

Tiempo (s)

Δω

LPB (p

u)


infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de baja presión.

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Tiempo (s)

Δω

g (pu)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Tiempo (s)

Δω

e (pu)


infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y de la excitatriz.


-0.5 0 0.5 1 1.5 20

50

100

Tiempo (s)δ

(º)


infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor del generador.

En este apartado también se analiza la respuesta de otro sistema de generador

conectado a red algo distinto en el que los datos utilizados son parámetros típicos en

magnitudes unitarias respecto a las bases del generador. Se realiza igualmente la

simulación de un cortocircuito trifásico franco de 100 milisegundos de duración. Los

datos son los siguientes:

Masa Eje H [s] K[pu/rad] D[pu]

HP 0.1 0

HP-IP 20

IP 0.2 0

IP-LPA 35

LPA 1 0

LPA-LPB 50

LPB 1 0

LPB-GEN 70

GEN 1 0

Tabla 4-3: Datos típicos de un generador sin excitatriz

Los parámetros de la máquina eléctrica son:


Eje d Eje q

05.1=dx 7.0=qx

35.0=′dx 328.0=′qx

25.0=′′dx 3.0=′′qx

sTd 5=′

sTd 25.0=′′ sTq 05.0=′′

005.01.0 == al Rx

Tabla 4-4: Datos del sistema eléctrico del generador

Los datos de la red eléctrica son:

Figura 4-18: Datos de la línea

( )

ClíneaC

eetlínea

tlíneae

tlínea

XCXCFX

puLXpuLRRR

LLLpuLpuL

1;..

04.0%10

1.030.0

=⋅=

≈===+

+===

El valor de la capacidad está en función del grado de compensación que se le quiera

dar a la línea, parámetro variable para comprobar su efecto en la resonancia

subsíncrona.

Los sistemas de regulación varían un poco respecto a los descritos. El sistema de

excitación, según el diagrama de la Figura 4-19, en el que vs es, en realidad, v:


Figura 4-19: Modelo alternativo de sistema de excitación

sTsTsTK BAA 11001.0200 5 ====

Los datos del sistema de turbinas y regulador, según el diagrama de la Figura 4-10:

sTsTsTsTsT

KKKK lpblpaiphp

6.06.05.01.03.0

3.03.02.02.0

76543 =====

====

Figura 4-20: Modelo altenativo de sistema de turbinas y regulador

En este caso, se utiliza el par en lugar de la potencia en las ecuaciones del sistema

mecánico, relacionados así:

lpb

tLPBlpbm

lpa

tLPAlpam

ip

tIPipm

hp

tHPhpm

xKt

xKt

xKt

xKt

ω

ω

ω

ω

5,

4,

3,

2,

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=


Para determinar las condiciones iniciales de trabajo se considera que el generador

trabaja con una tensión nominal de red, que coincide con la nominal del generador (1

pu), en el nudo de red infinita y que suministra una potencia igual a 1 pu, con fp = 1.

0,1,1 00 === qpuppuv

En la Figura 4-21, la Figura 4-22 y la Figura 4-23 se muestra la evolución de la

variación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de baja

presión y del rotor del generador (con relación a la velocidad de sincronismo) y la

variación del ángulo, para un factor de compensación del 45%. Ahora que se ha

modelado el sistema eléctrico con más detalle que en el modelo anterior, se pone de

manifiesto una interacción electromecánica que provoca la tendencia creciente de

algunas de las oscilaciones torsionales que, igual que en el caso anterior, se producen

de forma natural en el eje del generador.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad T

urbi

na H

P (p

u)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad T

urbi

na IP

(pu)

Figura 4-21: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una falta y con un Factor de

Compensación del 45%.


-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.96

0.98

1

1.02

1.04

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad T

urbi

na L

PA

(pu)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.95

1

1.05

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad T

urbi

na L

PB

(pu)

Figura 4-22: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante una falta y con un

Factor de Compensación del 45%.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo (segundos)

Áng

ulo

gene

rado

r (gr

ados

)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.95

1

1.05

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad g

ener

ador

(pu)

Figura 4-23: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y con Factor de

Compensación del 45%

Se puede observar que el grado de compensación de la reactancia de la línea puede

tener mucha influencia en la estabilidad de las oscilaciones torsionales. Las gráficas


muestran el comportamiento de las masas del turbogenerador para un factor de

compensación mucho menor, de un 1,5%.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.96

0.98

1

1.02

1.04

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad T

urbi

na H

P (p

u)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad T

urbi

na IP

(pu)

Figura 4-24: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante una falta y con un

Factor de Compensación de 1.5%

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad T

urbi

na L

PA

(pu)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad T

urbi

na L

PB

(pu)

Figura 4-25: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una falta y con un Factor de

Compensación de 1.5%


-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo (segundos)

Áng

ulo

Gen

erad

or (g

rado

s)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

Tiempo (segundos)

Vel

ocid

ad G

ener

ador

(pu)

Figura 4-26: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y con un Factor de

Compensación de 1.5%

4.3.3 Modelo lineal

Modelo mecánico del rotor de la turbina y el generador síncrono

0

0

0

0

0

hphp

ipip

lpalpa

lpblpb

gg

ddt

ddt

ddt

ddt

ddt

δω ω

δω ω

δω ω

δω ω

δω ω

Δ= Δ

Δ= Δ

Δ= Δ

Δ= Δ

Δ= Δ

(4.19)


( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

,

,

,

,

2

2

2

2




lpblpb m lpb lpb lpa lpb lpa lpb g lpb

dH p K

dtd

H p K Kdt

dH p K K

dtd

H p K Kdt

ωδ δ

ωδ δ δ δ

ωδ δ δ δ

ωδ δ δ

−

− −

− −

− −

Δ= Δ − Δ −Δ

Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ

Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ

Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ( )

( )2

g

gg lpb g g b e

dH K t

dt

δ

ωδ δ−

Δ= − Δ −Δ −Δ

(4.20)

Modelo electromagnético del generador síncrono

De la forma más general, con dos devanados amortiguadores en eje transverso, las

ecuaciones quedan así:

00

00

0

0

11 1

0

22 2

0

0 0 1 0 110 1 0 1 0

1

10

10

10

d d d d dag g

q q q q qa

fdfd fd fd

kdkd kd

kqkq kq

kqkq kq

v iR dv iR dt

de R i

dtdR i

dtd

R idt

dR i

d

ψ ψ ψω ω

ψ ψ ψω

ψω

ψω

ψω

ψω

Δ −Δ Δ Δ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + Δ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −Δ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ΔΔ = Δ +

Δ= Δ +

Δ= Δ +

Δ= Δ +

1 1 1

2 2 2

0 0 00 0 0

0 0 00 0 0

0 0 00 0 0

d ad ad ad d

q aq aq aq q

fd ad fd ad ad fd

kd ad ad kd ad kd

kq aq kq aq aq kq

kq aq aq kq aq kq

tL L L L i

L L L L iL L L L iL L L L i

L L L L iL L L L i

ψψψψψψ

Δ + −Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ + −Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ + Δ

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

l

l⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

(4.21)

0 0 0 0e q d d q q d d qt i i i iψ ψ ψ ψΔ = −Δ + Δ − Δ + Δ (4.22)

Modelo del condensador de la compensación serie


00

00

0 1 0 111 0 1 0

d cd cd cdg g

q cq cq cq

d cd d

q cq q

i v v vdC C Ci v v vdt

v v vv v v

ω ωω

∞

∞

Δ Δ Δ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Δ Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.23)

0 0 0 0

0 0 0 0

sen coscos sen

d

q

v v vv v v

δ δ δδ δ δ

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

Δ = Δ + Δ

Δ = Δ − Δ (4.24)

Modelo del sistema de excitación

( )

( )

1 1

2 2 1

2

00

0 0

1

1

e e refA

e e A eE

fd e

fdfd fd

ad

tqtdt td tq

t t

x x v vT

x x K xT

E x

re E

Lvvv v v

v v

⎡ ⎤Δ = −Δ + Δ −Δ⎣ ⎦

Δ = −Δ + Δ

Δ = Δ

Δ = Δ

Δ = Δ + Δ

&

&

(4.25)

00

0

0

0 0 00 1 0 10 0 01 0 1 0

010

td d de e eg g

tq q qe e e

d sde

q sqe

v i iR L Lv i iR L L

i vL di vL dt

ω ω

ω

Δ −Δ⎛ ⎞− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + Δ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.26)

En forma matricial:

[ ]

01 1 0

2 2 0 0

1

2

1 0 1 1

10 0

0 1

tdA tqe e tdA A ref

tqe eA t t

E E

fd efd

ead

vT vx x vT T vvx xK v v

T T

r xe

xL

−⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ΔΔ Δ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= + + Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ΔΔ Δ−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎣ ⎦Δ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

&

& (4.27)


00

0

0

0 0 00 1 0 10 0 01 0 1 0

010

td d de e eg g

tq q qe e e

d sde

q sqe

v i iR L Lv i iR L L

i vL di vL dt

ω ω

ω

Δ −Δ⎛ ⎞− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + Δ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.28)

Modelo de la turbina

( )

( )

( )

( )

( )

1 13

2 2 14

3 3 25

4 4 36

5 5 47

, 2

, 3

, 4

, 5

1

1

1

1

1

t t ref

t t t

t t t

t t t

t t t

m hp hp t

m ip lp t

m lpa lpa t

m lpb lpb t

x xT

x x K xT

x x xT

x x xT

x x xT

p K x

p K x

p K x

p K x

ω ω⎡ ⎤Δ = −Δ + Δ −Δ⎣ ⎦

Δ = −Δ + Δ

Δ = −Δ + Δ

Δ = −Δ + Δ

Δ = −Δ + Δ

Δ = Δ

Δ = Δ

Δ = Δ

Δ = Δ

&

&

&

&

&

(4.29)

1

1 11 13 3

2 2

3 34 4

4 4

5 55 5

6 6

1 0 0 0 0

1 11 0 0 0

0 01 10 0 00 0

1 1 0 00 0 00 0

1 10 0 0

t t

t t

t t

t t

t t

TKx x

T TT Tx xx x

T Tx xx xT T

T T

ω

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

−−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ = Δ + Δ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

&

&

&

&

&

1,

2,

3,

4,

5

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

ref

tm hp hp

tm ip lp

tm lpa lpa

tm lpb lpb

t

xp K

xp K

xp K

xp K

x

ω

⎤⎥⎥⎥Δ⎥

⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

Δ⎡ ⎤Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦

(4.30)


Si las ecuaciones linealizadas de los componentes del modelo (4.19) - (4.30) se

escriben juntas en forma de un sistema de ecuaciones algebraico-diferencial quedan en

la forma:

1 2 1

3 3 4 2

Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

I 0 A A Bx xu

E 0 A A Bz z&

& (4.31)

Se pasa de un sistema implícito a uno explícito:

( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 1 12 4 3 1 2 4 3 2 4 3 1 2 4 3

− −− − − − − −Δ = − − Δ + − − Δx I A A E A A A A x I A A E B B A A u& (4.32)

La solución homogénea es la que determina la estabilidad del sistema, es decir, el

análisis del modelo lineal se realiza sobre la matriz de estados A .

4.3.4 Análisis del modelo lineal

Un análisis similar al anterior a través de las participaciones permite identificar los

modos con dinámicas en las que están involucrados con más actividad determinados

subsistemas.

La dificultad del análisis de las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz en la

respuesta temporal, hace necesario el autoanálisis de la matriz de estados del sistema

de ecuaciones diferenciales lineales. El modelo lineal está descrito por las siguientes

variables de estado:

[ ]erotestct xψψvxδωx ΔΔΔΔΔΔΔ=Δ T

Se analizan los dos casos de la simulación: primero el modelo del “First Benchmark

Model for Computer Simulation of Subsynchronous Resonance” [12] y a continuación

el modelo del generador con los parámetros típicos.

En el primer caso, el modelo lineal está descrito por 26 variables de estado. Las

Tablas 4-5 y 4-6 muestran respectivamente los autovalores complejos y reales de la

matriz de estados. La Tabla 4-5 muestra que la matriz de estados tiene nueve parejas de

autovalores complejos conjugados. Una pareja tiene parte real positiva. La Tabla 4-6

muestra que la matriz de estados tiene ocho autovalores reales. Todos los reales son


negativos. En consecuencia, el autoanálisis de la matriz de estados confirma la

instabilidad detectada por la simulación del modelo lineal.

Nº Real Imgaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz)1 -7.1168 591.2651 1.20 94.102 -0.1818 298.1801 0.06 47.463 -0.0234 202.7179 0.01 32.264 -6.9587 162.2485 4.28 25.825 0.8107 160.7780 -0.50 25.596 -0.6413 127.0745 0.50 20.227 -0.1099 99.4999 0.11 15.848 -0.1921 10.0339 1.91 1.609 -4.8273 0.2921 99.82 0.05


Tabla 4-5: Autovalores complejos del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita

con representación detallada del generador (Benchmark).

Nº Real Constante de tiempo (s)19 -0.1418 7.05020 -1.8129 0.55221 -3.3217 0.30122 -3.9311 0.25423 -8.4650 0.11824 -25.4258 0.03925 -32.3707 0.03126 -101.8509 0.01027 -499.9786 0.002

Autovalores reales

Tabla 4-6: Autovalores reales del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con

representación detallada del generador (Benchmark).

Nº Subsistema1 Devanados estator-Condensador serie: Eléctrico supersincrono2 Rotor: Torsional 13 Rotor: Torsional 24 Devanados estator-Condensador serie: Eléctrico subrsincrono5 Rotor: Torsional 36 Rotor: Torsional 47 Rotor: Torsional 58 Rotor: Electromecánico9 Turbina


Tabla 4-7: Asociación de los autovalores complejos a los subsistemas del modelo de un generador conectado a un nudo

de potencia infinita con representación detallada del generador


Nº Subsistema19 Turbina20 Devanados amortiguadores21 Devanados amortiguadores22 Turbina23 Devanado de campo24 Devanados amortiguadores25 Devanados amortiguadores26 Excitación27 Excitación

Autovalores reales

Tabla 4-8: Asociación de los autovalores reales a los subsistemas del modelo de un generador conectado a un nudo de

potencia infinita con representación detallada del generador

Las Tablas 4-7 y 4-8 detallan la asociación de los autovalores a los subsistemas

componentes del modelo del sistema. A ello se ha llegado por análisis de los factores

de participación (Tablas 4-9 y 4-11) y de las participaciones de los subsistemas

componentes (Tablas 4-10 y 4-11) del modelo. El autovalor que resulta inestable está

asociado al rotor: es una oscilación torsional de la turbina de alta presión con la del

cuerpo A de la turbina de baja presión.

Variable 1 2 3 4 5 6 7 8 9psisd 0.253 0 0.001 0.228 0.028 0.001 0.003 0.015 0.002psisq 0.247 0 0.001 0.225 0.034 0.001 0.002 0.006 0psifd 0 0 0 0 0 0 0 0.009 0.081psikd 0 0 0 0.003 0 0 0 0.005 0.014psikq1 0 0 0 0.002 0 0 0 0.023 0.099psikq2 0 0 0 0.001 0 0 0 0.008 0.023omegahp 0 0.128 0.023 0.028 0.214 0.016 0.075 0.016 0omegaip 0 0.346 0 0.005 0.042 0.009 0.07 0.027 0omegalpa 0 0.025 0.073 0.018 0.107 0.003 0.13 0.149 0.001omegalpb 0 0.001 0.295 0.006 0.018 0.019 0.017 0.15 0.001omegag 0 0 0.11 0.012 0.057 0.017 0.163 0.143 0.001omegae 0 0 0.002 0.001 0.005 0.438 0.049 0.006 0deltahp 0 0.128 0.023 0.028 0.214 0.016 0.075 0.016 0deltaip 0 0.346 0 0.005 0.042 0.009 0.07 0.027 0deltalpa 0 0.025 0.073 0.018 0.107 0.003 0.13 0.149 0.001deltalpb 0 0.001 0.295 0.006 0.018 0.019 0.017 0.15 0.001ddeltag 0 0 0.11 0.01 0.061 0.017 0.164 0.153 0.059ddeltae 0 0 0.002 0.001 0.005 0.438 0.049 0.006 0vcd 0.253 0 0.002 0.221 0.032 0 0.001 0.002 0vcq 0.247 0 0.001 0.229 0.031 0 0.002 0.005 0.001xexc1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.001xexc2 0 0 0 0 0 0 0 0.002 0.004xturb1 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.895xturb2 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.2xturb3 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.2xturb4 0 0 0 0 0 0 0 0 0.054xturb5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.727

Autovalores complejosFactores de participación

Tabla 4-9: Módulos de los factores de participación de las variables en los autovalores complejos del modelo

linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.


Subsistema 1 2 3 4 5 6 7 8 9Devanados estator 0.5 0 0.002 0.453 0.063 0.001 0.004 0.009 0.002Devanado de campo 0 0 0 0 0 0 0 0.009 0.081Devanados amortiguadores 0 0 0 0.005 0.001 0 0 0.026 0.109Rotor 0 1 1.005 0.11 0.886 1.002 1.007 0.99 0.052Condesador serie 0.5 0 0.003 0.45 0.062 0.001 0.003 0.003 0.001Excitación 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.005Turbina 0 0 0 0 0 0 0 0.008 0.96

Autovalores complejosParticipación de susbistema

Tabla 4-10: Participaciones de los subsistemas en los autovalores complejos del modelo linealizado de un generador

conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.

Variable 19 20 21 22 23 24 25 26 27psisd 0 0.003 0.004 0.008 0 0 0.001 0 0psisq 0 0 0 0.001 0.001 0 0 0 0psifd 0 0.092 0.036 0.178 0.898 0.001 0.025 0.017 0psikd 0 0.024 0.008 0.034 0.067 0.001 0.864 0.047 0psikq1 0 0.507 0.793 0.722 0.085 0.202 0 0 0psikq2 0 0.137 0.201 0.177 0.015 0.799 0.002 0 0omegahp 0 0.001 0 0 0.002 0 0 0 0omegaip 0 0.001 0 0 0.003 0 0 0 0omegalpa 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.002 0 0omegalpb 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.003 0 0omegag 0 0.005 0 0.002 0.016 0 0.004 0 0omegae 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0deltahp 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0deltaip 0 0.001 0 0 0.003 0 0 0 0deltalpa 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.002 0 0deltalpb 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.003 0 0ddeltag 0.007 0.061 0 0.173 0.001 0 0 0 0ddeltae 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0vcd 0 0 0 0.001 0.001 0 0.001 0 0vcq 0 0 0.004 0.006 0.001 0 0.004 0 0xexc1 0 0 0 0.001 0.02 0 0.023 0.004 1xexc2 0 0.002 0.001 0.007 0.105 0 0.161 0.94 0xturb1 0 0.038 0 0.662 0.012 0 0 0 0xturb2 0 0.08 0.021 1.183 0.008 0 0 0 0xturb3 0 0.08 0.021 1.183 0.008 0 0 0 0xturb4 0.992 0.027 0 0.077 0 0 0 0 0xturb5 0 0.01 0 0.242 0 0 0 0 0

Factores de participaciónAutovalores reales

Tabla 4-11: Módulo de los factores de participación de las variables en los autovalores reales del modelo linealizado de

un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador

Variable 19 20 21 22 23 24 25 26 27Devanados estator 0 0.004 0.003 0.008 0.001 0 0.001 0 0Devanado de campo 0 0.092 0.036 0.178 0.898 0.001 0.025 0.017 0Devanados amortiguadores 0 0.668 0.986 0.865 0.167 1 0.861 0.047 0Rotor 0.007 0.032 0 0.162 0.086 0 0.017 0 0Condesador serie 0 0 0.004 0.005 0.001 0 0.003 0 0Excitación 0 0.003 0.001 0.009 0.124 0.001 0.185 0.936 1Turbina 0.993 0.215 0.042 1.87 0.028 0 0 0 0

Participación de susbistemaAutovalores reales

Tabla 4-12: Participaciones de los subsistemas en los autovalores reales del modelo linealizado de un generador

conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.


Resulta muy interesante investigar el efecto de la variación del factor de

compensación de la línea (cociente entre la reactancia de la línea y la reactancia del

condensador de compensación serie).

La Figura 4-27 muestra la variación del amortiguamiento de los modos eléctrico

supersíncrono y subsíncrono al aumentar el factor de compensación. El

amortiguamiento del modo supersíncrono no varía síginifcativamente al variar el

factor de compensación. El amortiguamiento del modo subsíncrono aumenta al

aumentar el factor de compensación.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Factor de compensacion (%)

Am

ortig

uam

ient

o (%

)

Eléctrico supersincronoEléctrico subsincrono

Figura 4-27: Variación del amortiguamiento de los modos eléctricos supersíncrono y subsíncrono al variar el factor de

compensación de la línea

La Figura 4-28 presenta la variación del amortiguamiento de los modos torsionales

al aumentar con el factor de compensación. El amortiguamiento del modo torsional 1

no está afectado significativamente por el factor de compensación de la línea. Por el

contrario, se aprecia claramente como existen factores de compensación que afectan el

amortiguamiento el amortiguamiento de los modos 2, 3, 4 y 5. Para bajos factores de

compensación son los modos 2 y 3 los afectados, mientras que altos factores de

compensación afecta el amortiguamiento de los modos 4 y 5.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5


Am

ortig

uam

ient

o (%

)

Torsional 1Torsional 2Torsional 3Torsional 4Torsional 5

Figura 4-28: Variación del amortiguamiento de los modos torsionales al variar el factor de compensación de la línea.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10


Am

ortig

uam

ient

o (%

)

Electromecanico

Figura 4-29: Variación del amortiguamiento del modo electromecánico al variar el factor de compensación de la línea.

La Figura 4-29 muestra la variación del amortiguamiento del modo electromecánico

al aumentar con el factor de compensación. Lógicamente aumenta al disminuir la

reactancia equivalente de la línea de interconexión.


Para el segundo caso, el de los valores típicos, se aplican valores del factor de

compensación de 0.3, 0.5 y 0.7. Los autovalores y modos del sistema toman los valores

que refleja la Tabla 4-13.

El la Figura 4-30, la Figura 4-31 y la Figura 4-32 se puede ver la relación entre los

autovalores de los modos mecánicos y los eléctricos, subsíncrono y supersíncrono, y el

factor de compensación. Se puede ver que los rangos de valores de FC para los que se

vuelve inestable algún modo torsional se encuentran en torno a una zona en la que se

aproximan la frecuencia natural del modo torsional y la del modo subsíncrono.

Entonces, el amortiguamiento se hace negativo.

F.C. = 0.3 F.C. = 0.5 F.C. = 0.7 Modo Real(λ) Imag(λ) Real(λ) Imag(λ) Real(λ) Imag(λ)

Eléctrico supersíncrono -11,5607 428,2900 -12,0187 456,5731 ‐12,1589 482,8461Eléctrico subsíncrono -8,2309 199,3414 -8,4886 171,3392 ‐6,8427 145,1164

Torsional 4 -0,3382 249,6757 -0,3395 249,6757 ‐0,3395 249,6757Torsional 3 -0,0158 171,8232 0,6942 171,5356 ‐0,0424 171,3575Torsional 2 -0,2880 137,9518 -0,2659 138,0108 0,0655 138,2688Torsional 1 -0,1825 84,7356 -0,176 84,7934 -0,1987 85,0622

Modo 0 -0,5560 8,1637 -0,666 8,269 -0,8842 8,8038 -3,2211 -3,2303 -3,2390

-10,1801 -10,1756 -10,1709 -0,1989 -0,1990 -0,1991

Turbinas-regulador

-1,6657 0,1353 -1,6658 0,1309 -1,6659 0,1210 -39,3816 -39,6024 -40,2260

Devanados rotor -32,5178 -32,6707 -35,2092

0,8799 1,3876 1,9082 -0,6630 -0,7428 -0,7968 Excitación

-100,2265 -100,4197 -100,6579

Tabla 4-13: Autovalores del sistema completo para varios valores de FC


0 0.5 1 1.5

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Parte real de autovalores en función del F.C.

F.C.

Re(

auto

valo

r)

Modo supersíncrono

Modo subsíncrono

Modo 0Modo 4

Modo 3

Modo 1

Modo 2

Figura 4-30: Parte real de los autovalores en función del factor de compensación

0 0.5 1 1.5

-5

0

5

10

15

F.C.

Am

ortig

uam

ient

o (%

)

Modo supersíncrono

Modo subsíncrono

Modo 1

Modo 2Modo 3

Modo 4

Modo 0

Amortiguamiento en función del F.C.

Figura 4-31: Amortiguamiento de los modos en función del factor de compensación


0 0.5 1 1.50

100

200

300

400

500

600Frecuencia natural de los modos en función del F.C.

F.C.

Pul

saci

ón n

atur

al(ra

d/s)

Modo subsíncrono

Modo supersíncrono

Modo 2

Modo 3

Modo 1

Modo 0

Modo 4

Figura 4-32: Frecuencia de los modos en función del factor de compensación

5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 106

5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona

Este capítulo presenta los resultados del Análisis Modal Selectivo de la resonancia

subsíncrona. Precisamente se busca primero la obtención de los parámetros modales

correspondientes a los modos torsionales por medio del Análisis Modal Selectivo y

después la descomposición de los mismos en las contribuciones de los diferentes

subsistemas. El capítulo comienza con una revisión de los algoritmos del Análisis

Modal Selectivo.

5.1 Análisis Modal Selectivo

El Análisis Modal Selectivo, o Selective Modal Analysis (SMA) en la literatura

técnica en inglés, es un método completo para la caracterización y análisis de partes

seleccionadas de los sistemas dinámicos lineales.

El SMA contiene medidas de sensibilidad para identificar las relaciones entre las

variables de estado y los modos y algoritmos de autoanálisis de orden reducido para

determinar los modos seleccionados.

Las medidas de sensibilidad del SMA son los factores de participación. Los factores

de participación han sido presentados en el capítulo 2. Esta sección presentan los

algoritmos de autoanálisis de orden reducido.

El SMA está interesado en determinar un conjunto de modos de un sistema

dinámico lineal (5.1) que están particularmente relacionados con un conjunto de

variables de estado r denominadas “relevantes”. Las variables de estado restantes z

se denominan “menos relevantes”. Debe notarse que se ha eliminado el símbolo Δ por

simplicidad.

1,N N N× ×

=

∈ℜ ∈ℜ

x Axx A

& (5.1)

Bajo esa suposición, el sistema original (5.1) puede reescribirse como (5.2) y

representarse como se muestra en la Figura 5-1.


11 12

21 22

1 1,n N n× − ×

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦∈ℜ ∈ℜ

A Ar rA Az z

r z

&

& (5.2)

Figura 5-1: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con separación de dinámicas

relevantes y menos relevantes.

La función de transferencia matricial de las dinámicas menos relevantes puede

obtenerse fácilmente de la Figura 5-1:

( ) ( ) 112 22 21s s −= −H A I A A

La idea básica del algoritmo del algoritmo de SMA es muy sencilla. Supóngase que

se tiene una primera aproximación del autovalor de interés 01λ (puede obtenerse del

autoanálisis de la submatriz 11A ), se construye una matriz reducida 1RA incorporando

a la representación de la dinámica relevante 11A , la función de transferencia matricial

de la dinámica menos relevante para el modo de interés ( )01λH .

( )1 011 1R λ= +A A H (5.3)

El autoanálisis de la matriz reducida proporciona una mejor aproximación del

autovalor 11λ si la selección de variables relevantes es apropiada. De hecho, el

algoritmo converge si y solo sí la relación de participación del autovalor de interés es

mayor o igual a 1:


1 1

11 11

1 11 1

1

1

n

j jTjNT

j jj n

w v

w vρ =

= +

⋅= = ≥

⋅

∑

∑r r

rz z

w vw v

El algoritmo de SMA para determinar un modo de interés puede resumirse como

sigue:

1. Poner el contador de interaciones a cero (j=0).

2. Determinar un valor inicial del autovalor de interés 01λ . Determinar un valor

inicial del autovalor de interés 11A :

0 0 011 1 1 1λ=r rA v v

3. Determinar la función de transferencia matricial de la dinámica menos

relevante para el autovalor de interés como:

( ) ( ) 1

1 12 1 22 21j jλ λ

−= −H A I A A

4. Determinar la matriz reducida para el autovalor de interés como:

( )111 1

j jR λ+ = +A A H

5. Realizar el autoanálisis de la matriz reducida 1jR

+ A y seleccionar el autovalor

de interés para la siguiente iteración 11

j λ+ .

6. Comprobar la condición de parada. Si no se ha satisfecho, incrementar el

contador de iteraciones (j=j+1) y volver al paso 3.

El algoritmo de SMA para determinar un modo de interés puede extenderse para

calcular varios modos de interés. La idea básica consiste en obtener una función de

transferencia matricial de la dinámica menos relevante válida para los modos de

interés. En ese caso, el diagrama de bloques de la Figura 5-1 puede representarse como

se muestra en la Figura 5-2).


Figura 5-2: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con representación de la

dinámica menos relevante como función de transferencia matricial.

La función de transferencia matricial para los modos de interés puede obtenerse

como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

11

1

j j

j jh

t t

t t

λ

λ

+

+

⋅ = ⋅

⋅ = ⋅

H r M r

H r M r

M (5.4)

La ecuación (5.4) puede también expresarse como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 111 1 1 1 1

1

0 0

0 0

j j

j jh h

t tj j j j j j

t tj j j j j jh h h h h

e e

e e

λ λ

λ λ

λ

λ

+

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r r r

r r r r

H v r v M v r v

H v r v M v r v

M (5.5)

El sistema de ecuaciones (5.5) también puede expresarse como:

( ) ( )11 1 1

j j j j j j jh h hλ λ+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦r r r rM v v H v H vL L (5.6)

El algoritmo de Análisis Modal Selectivo para determinar varios modos de interés

se puede resumir como sigue:

1. Poner el contador de iteraciones a cero (j=0).

2. Determinar los valores iniciales de los autovalores de interés t 0hΛ y de las

componentes de las variables relevantes asociadas a los autovectores derechos 0

hrV . Determinar un valor inicial de los autovalores de interés 11A :

0 0 011 h h h=r rA V V Λ


3. Determinar la función de transferencia matricial de la dinámica menos relevante

para los autovalores de interés resolviendo:

( ) ( )11 1 1

j j j j j j jh h hλ λ+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦r r r rM v v H v H vL L

4. Determinar la matriz reducida para el autovalor de interés como:

1 111

j jR

+ += +A A M

5. Realizar el autoanálisis de la matriz reducida 1jR

+ A y seleccionar los

autovalores y autovectores derechos de interés 1jh

+ Λ y 1jh

+rV

6. Comprobar la condición de parada. Si no se ha satisfecho, incrementar el

contador de iteraciones (j=j+1) y volver al paso 3.

Las condiciones de convergencia del algoritmo para determinar varios modos de

interés son menos precisas que las condiciones de convergencia para determinar uno

sólo modo de interés.

Sin embargo, se pueden esperar buenas condiciones de convergencia si las

relaciones de participación de las variables relevantes en los modos de interés son

mucho más grandes que la unidad y las relaciones de participación de las variables

menos relevantes en los modos de interés son mucho más pequeñas la unidad.

11

i

i

ρρ

>><<

r

z

5.2 Parámetros modales de los modos torsionales por medio del

Análisis Modal Selectivo

5.2.1 Descomposición de los parámetros modales en componentes eléctrica y

mecánica

En el capítulo 3 se vio cómo el sistema de ecuaciones dinámicas de respuesta libre

sin amortiguamiento de un sistema mecánico de varios grados de libertad, como es el

sistema de masas del eje de un turbogenerador, puede desacoplarse diagonalizando las

matrices de inercia M y rigidez K . Por propiedades de las matrices, ambas se


comportan como ortogonales respecto a los modos de vibración del sistema y se

diagonalizan con la matriz de paso formada por los autovectores de ω −= −A M K10 .

Así, el sistema de ecuaciones en (3.40) queda desacoplado en coordenadas modales

como viene en la ecuación (4.7):

mdtd

dtd pVθKVVθDVVθMVV TTTT Δ=Δ+

Δ+

Δ

002

2 11ωω

La matriz TV DV no es diagonal pero se hace esa suposición porque los elementos

de fuera de la diagonal no tienen apenas influencia en el amortiguamiento de las

vibraciones.

Para poder estudiar el comportamiento del sistema para cada modo por separado,

se consideran los parámetros modales (ver [8]):

2,

,

2,

,

2,

,

ji

imimd

ji

imimd

ji

imimd

vk

K

vd

D

vh

H

=

=

=

(5.7)

Donde:

imimim kdh ,,, ,, son los elementos de las diagonales de las matrices anteriores

jiv es la entrada correspondiente al generador del autovector del modo i

Tales parámetros corresponden a un modelo masa-muelle ficticio que representa el

movimiento de la masa del generador para el modo i y que almacena la misma energía

que el sistema. Además, son independientes de la normalización elegida para los

autovectores, no así los elementos de las diagonales principales de las matrices

obtenidas en (4.7).


Los parámetros calculados utilizando las ecuaciones (4.7) y (5.7) corresponden al

sistema mecánico aislado y siempre reflejarán una situación estable, es decir,

amortiguamiento positivo de los modos.

Sin embargo, el sistema mecánico no está aislado y la influencia del resto del

sistema puede afectar a su estabilidad. El Análisis Modal Selectivo (SMA) permite

obtener un modelo reducido del sistema representado por los ángulos y velocidades

como estados relevantes [ ]Tωδr = , que caracterice la dinámica de los modos

mecánicos con la influencia de la parte eléctrica del sistema. Entonces, reordenando la

matriz de estado con las ecuaciones del sistema completo (4.19) - (4.30), el modelo

reducido obtenido por SMA tiene esta forma:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

δω

MAδωΔHKΔHD

IωKHDH

δω

110

11

&

& (5.8)

Donde no se ha supuesto amortiguamiento nulo y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

g

lpb

lpa

ip

hp

HH

HH

H

22

22

2

H

( )( )

( )( )⎥

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−

+−+−

−

=

−−

−−−−

−−−−

−−−−

−−

gglpbglpb

glpbglpblpblpalpblpa

lpblpalpblpalpaiplpaip

lpaiplpaipiphpiphp

iphpiphp

KKKKKKK

KKKKKKKK

KK

K

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=

g

lpb

lpa

ip

hp

DD

DD

D

D


Así, se reduce el estudio del fenómeno de la resonancia subsíncrona a una extensión

del modelo mecánico, en el que la contribución del sistema eléctrico equivale a añadir

amortiguamientos y elasticidades, como se ve en la estructura de M en (5.14).

Los autovalores y autovectores de la matriz de estado del modelo reducido son

exactamente los mismos que los de los modos mecánicos del sistema completo.

Además, los parámetros modales que se calculen como (5.7) a partir de dicha matriz

recogerán la influencia del resto del sistema.

Por otro lado, al representar la matriz M los efectos del sistema eléctrico sobre el

mecánico, se pueden descomponer los parámetros modales en dos aportaciones, una

mecánica (del sistema aislado) y otra eléctrica.

Si se definen

[ ] [ ]ΔHKKHHΔKK 1 +⋅−=+ − (5.9)

[ ] [ ]ΔHDDHHΔDD 1 +⋅−=+ − (5.10)

Del autoanálisis de [ ]ΔHKKH 1 +− se obtiene la matriz de transformación de

autovectores V y, con ella, se pueden diagonalizar (las de antes).

{ } [ ] { } { }diagediagmdiagmd kkk +=+=+= VΔKVVKVVΔKKV TTT (5.11)

{ } [ ] { } { }diagediagmdiagmd kkk +=+=+= VΔKVVKVVΔKKV TTT (5.12)

Donde y son las componentes mecánica y eléctrica de los elementos de la diagonal

de las nuevas matrices K y D . Los parámetros modales que representen el

movimiento de la masa del generador para cada modo se obtienen aplicando (5.7).

Entonces se cumple para cada modo:

emmd

emmd

KKKDDD

+=+=

(5.13)


Hmd

Km

Ke

Dm

De

δg ωg

Te

Hmd

Km

Ke

Dm

De

Hmd

Km

Ke

Dm

De

δg ωg

Te

Figura 5-3: Modelo masa-muelle equivalente para cada modo con descomposición de los parámetros modales K y D

5.2.2 Descomposición de De y Ke en aportaciones de los distintos bloques

La base de la descomposición de los parámetros De y Ke en aportaciones de los

diferentes subsistemas se puede ver en [8]. La utilidad principal de este método es

identificar el origen de inestabilidades en el caso de que se produzcan en los modos

trosionales.

La técnica se basa en la aplicación del SMA al sistema eligiendo como estados

relevantes [ ]Tωδr = , convergiendo a uno solo de los modos cada vez y distinguiendo

a qué subsistemas corresponden cada uno de las submatrices de la matriz de estado

implicadas.

La matriz de estado del sistema completo, reordenada como (5.2), tiene esta

estructura:

( )

[ ]

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ ⋅+

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

e

rot

est

c

t

eee,2

me,3me,22me,21

me,12me,110me,12me,11

re,1rere,2

tt

0

met11

t1

e

rot

est

c

t

ΔxΔψΔψΔvΔxΔδΔω

ABBBAA

AAωBBBAB

ABω

CCHKHDDH

xΔψΔψΔvΔxΔδΔωΔ

gH21

&

&

&

&

&

&

&

(5.14)


Donde, en el caso de haber un solo devanado amortiguador en eje q y unos sistemas

de regulación como los del caso de análisis de parámetros típicos (Figura 4-19 y Figura

4-20) , serían:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

00

00

0

0

0

0

0

0

0

0cos

;;111

01

g

ge

sBA

sqC

sBA

sdC

sB

sq

sB

sd

AB

C

A

B

senvv

B

vTTvT

vTTvT

vTv

vTv

TTT

T

Tδδ

e2ee BBA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

=

0000

0

10

;

11

11

11

1

1

3

77

66

55

44

3

L

M

OT

TT

TT

TT

TTKT

tt BA

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000

;

0000

0,

0,

0,

0,

hpm

hpm

hpm

hpm

lpb

lpa

ip

hp

tt

tt

KK

KK

tt DC

[ ] [ ][ ]pdqdq Lii 0000 000 ψψ−+−=meC

Donde [ ]pL es la matriz constituida por las dos primeras filas de [ ] 1−L

[ ]Wgg 0000 0110

ωωωω −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=reA

[ ] 10

11 −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= L

Cω

re1B

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

0

00

cq

cd

vv

Wωre2B


[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= −

me,22me,21

me,12me,11me AA

AAA 1

00 000

LRW

gωω

[ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0000;

cos;

0

000

000

00

00e

g

g

d

qC

senvv ω

δωδω

ψωψω

me,3me,12me,11 BBB

Teniendo en cuenta que:

meC⋅gH2

1 es un vector fila que afecta a gω&Δ .

[ ]re,2B , [ ]me,11B son vectores columna que afectan a gωΔ .

[ ]e,2B , [ ]me,12B son vectores columna que afectan a gδΔ .

Para cada modo torsional de autovalor λ, el algoritmo de SMA con h=1 dará lugar a

una matriz compleja:

( ) 211

2212 AAIAΔHKΔHD

M −−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= λ (5.15)

ΔHD y ΔHK pueden escribirse en términos de los bloques de la matriz de estados

correspondientes a los distintos subsistemas eléctricos:

[ ]me,213me,112re,21mettt1 BSBSBSCBACHΔHD ++−′= −

gH21

(5.16)

[ ]e,24me,122me BSBSCΔHK +−=gH2

1 (5.17)

Donde:

( ) 1tt AIA −−=′ λ

4321 S,S,S,S son submatrices complejas de la aplicación de (ecuación de M)

En (5.16) y (5.17) se ve cómo cada término se corresponde con un subsistema.


Las contribuciones de ΔHD :

ttt1 BACH ′− del sistema de turbinas y regulador de velocidad

re,21me BSCgH2

1− de la red eléctrica, es decir, del condensador de la línea

[ ]me,213me,112me BSBSC +−gH2

1 de la máquina eléctrica

Las contribuciones de ΔHK :

me,122me BSCgH2

1− de la máquina eléctrica

e,24me BSCgH2

1− del sistema de excitación

Es posible transformar estas matrices complejas en reales con manipulaciones

algebraicas (ver [8]). Así, con una matriz M real, que reproduce la dinámica menos

relevante de forma exacta para el modo λ, se pueden determinar las contribuciones a

los parámetros modales en términos reales.

5.2.3 Resultados obtenidos en el estudio de los modos torsionales con SMA

Se han aplicado las técnicas descritas basadas en el Análisis Modal Selectivo al

estudio de los modos torsionales del segundo caso analizado en el capítulo 4, el

generador con parámetros de valores típicos.

En primer lugar, se calculan los parámetros modales del sistema mecánico aislado,

con (4.7) y (5.7) para un factor de compensación de 0.3. Los modos torsionales del

sistema aislado de la parte eléctrica siempre son estables. En este caso, al suponer

amortiguamiento nulo, los parámetros D también lo son.


Sistema mecánico aislado (F.C. = 0.3) Modo Hmd Kmd Dmd

0 3,41 1,54 0 1 2,67 121,56 0 2 8,42 1019,73 0 3 4,70 881,82 0 4 14011,25 5560464,52 0

Tabla 5-1: Parámetros modales del sistema mecánico aislado

Aplicando el SMA para evaluar cómo afecta el sistema eléctrico a la estabilidad de

los modos torsionales, se obtienen los parámetros modales descompuestos en su parte

eléctrica y mecánica, como se ve en la Tabla 5-2, para los mismos valores del factor de

compensación que en 4.3.4 (0.3, 0.5, 0.7).

F.C Modo Hmd Km Ke Kmd Dm De Dmd 0 3,39 0,02 1,43 1,45 1,09 6,51 7,60 1 2,66 119,72 1,90 121,62 1,50 0,44 1,94 2 8,37 1011,43 2,31 1013,74 9,90 -0,27 9,63 3 4,61 862,36 3,23 865,59 1,55 -1,27 0,28

0.3

4 14136,90 5610329,95 -0,07 5610329,88 19127,24 -0,39 19126,85 0 3,40 0,02 1,54 1,56 1,10 8,59 9,68 1 2,65 119,43 2,25 121,69 1,49 0,50 1,99 2 8,27 999,64 3,72 1003,36 9,77 -1,19 8,58 3 5,01 938,35 -3,83 934,52 1,74 -11,65 -9,91

0.5

4 14081,80 5588462,32 0,55 5588462,87 19052,67 -0,82 19051,85 0 3,41 0,03 1,67 1,70 1,10 11,08 12,18 1 2,64 118,98 2,83 121,81 1,49 0,60 2,09 2 8,25 997,67 4,00 1001,67 9,75 -28,58 -18,83 3 4,85 908,35 -1,10 907,24 1,66 -0,41 1,25

0.7

4 14215,66 5641586,28 -0,94 5641585,34 19233,82 -0,66 19233,16

Tabla 5-2: Descomposición de los parámetros modales en aportaciones mecánica y eléctrica

Al igual que los autovalores del sistema completo, los parámetros modales permiten

identificar qué modos torsionales se vuelven inestables para qué valores del factor de

compensación. Así, como se vio en 4.3.4, para una compensación del 50%, el modo 3 es

inestable, y para el 70%, el modo 2. El la Tabla 5-2 se ve que en esos casos, el parámetro

Dmd, amortiguamiento, es negativo debido a que la influencia del sistema eléctrico

(De) implica una aportación de amortiguamiento negativo superior al

amortiguamiento de origen mecánico (Dm).


Si se quiere determinar el origen concreto de estas inestabilidades, dentro de los

diferentes subsistemas del sistema eléctrico, se descomponen los parámetros De y Ke

en aportaciones de los distintos bloques, como se ve en las tablas siguientes.

Descomposición de Ke

FC Modo Turbinas Red Máq. Eléc. Excitación Total:Ke

0 0,0303 0,0005 1,3781 0,0183 1,4275 1 -0,0014 0,0197 1,8827 0,0021 1,9013 2 0,0017 0,0638 2,2463 0,0012 2,3120 3 -0,0003 0,1095 3,1271 0,0011 3,2266

0.3

4 0,0187 -0,3992 0,4853 0,0004 -0,0705 0 0,0297 0,0012 1,4750 0,0346 1,5413 1 -0,0014 0,0398 2,2144 0,0034 2,2547 2 0,0017 0,1346 3,6085 0,0024 3,7204 3 -0,0003 -2,7176 -0,7951 0,0084 -3,8333

0.5

4 0,0187 -0,2836 0,6511 0,0007 0,5484 0 0,0290 0,0022 1,5870 0,0541 1,6741 1 -0,0014 0,0724 2,7643 0,0044 2,8295 2 0,0019 -2,7018 7,4949 0,0278 3,9996 3 -0,0003 -0,5189 -0,6199 0,0027 -1,1029

0.7

4 0,0188 -0,2318 0,7268 0,0010 -0,9381

Tabla 5-3:Descomposición de Ke en contribuciones del sistema eléctrico

Descomposición de De

FC Modo Turbinas Red Máq. Eléc. Excitación Total:De 0 -0,4230 -0,1215 5,1082 1,8971 6,5105 1 0,0350 -0,2192 0,6200 0,0087 0,4423 2 -0,0428 -0,4357 0,2137 0,0027 -0,2735 3 0,0069 -1,0548 -0,2102 0,0024 -1,2706

0.3

4 -0,4578 0,6851 -0,6614 -0,0004 -0,3937 0 -0,4528 -0,2163 6,1804 3,0544 8,5863 1 0,0349 -0,4466 0,9077 0,0183 0,4995 2 -0,0425 -1,3584 0,1595 0,0095 -1,1887 3 0,0075 0,5518 -12,6547 -0,0071 -11,6509

0.5

4 -0,4569 0,5884 -0,5108 -0,0005 -0,8186 0 -0,4821 -0,3240 7,6637 4,1088 11,0825 1 0,0346 -0,8210 1,3674 0,0347 0,6026 2 -0,0424 -5,2349 -23,3266 0,0261 -28,5824 3 0,0072 1,3288 -1,7700 -0,0057 -0,4104

0.7

4 -0,4591 0,5396 -0,4504 -0,0006 -0,6643

Tabla 5-4: Descomposición de De en contribuciones del sistema eléctrico


Se puede ver que el origen de la inestabilidad del modo 3 para un FC de 0.5 se debe

a la máquina eléctrica y, en el caso de FC = 0.7, el amortiguamiento negativo del modo

2 tiene aportación principalmente de la máquina y del condensador de la red.

6 Conclusiones 121

6 Conclusiones

Este proyecto ha abordado el estudio del fenómeno de la resonancia subsíncrona. La

resonancia subsíncrona estudia la inestabilidad de las ocilaciones torsionales de

turbogeneradores conectados a través de líneas con compensación serie. Para ello este

proyecto ha desarrollado modelos no lineales y lineales de un turbogenerador

conectado a través de una línea compensada serie a un nudo de potencia infinita.

El proyecto ha revisado en primer lugar los conceptos fundamentales del modelado,

simulación y análisis de sistemas dinámicos.

Después, utilizando un modelo simplificado ha discutido la diferencia entre las

oscilaciones electromecánicas y las oscilaciones torsionales de un turbogenerador

conectado a un nudo de potencia infinita.

Las oscilaciones electromecánicas son oscilaciones mecánicas de 1 Hz en las que

todas las masas del turbogenerador oscilan al unísono. Los rotores de los

turbogeneradores presentan oscilaciones torsionales en el margen de frecuencias

subsíncrono que quiere decir que son inferiores a la frecuencia fundamental (50 Hz).

Las oscilaciones torsionales son debidas a los acoplamientos elásticos entre las masas

de los turbogeneradores.

El estudio de la resonancia subsíncrona se ha abordo con un modelo completamente

detallado del turbogenerador y de la conexión del mismo a una red infinita a través de

una línea compensada serie con un grado de compensación del 50%. La respuesta en el

tiempo ha mostrado la presencia de oscilaciones torsionales inestables. El autoanálisis

del modelo lineal ha permitido caracterizar la oscilación torsional inestable. Se ha

explorado también la variación del amortiguamiento de los modos torsionales la variar

el factor de compensación de la línea.

El autoanálisis del modelo lineal, gracias a los autovalores, autovectores y factores

de participación, permite caracterizar con mucha mayor precisión que la respuesta en

el tiempo ante grandes o pequeñas perturbaciones las oscilaciones torsionales. También

se ha utilizado el análisis modal, que es una herramienta muy adecuada para la

caracterización del sistema en el estudio de este fenómeno y para la evaluación de su

6 Conclusiones 122

estabilidad. Asimismo, permite medir la actividad e interacciones electromecánicas de

los subsistemas que integran el generador y la línea compensada a la que esté

conectado.

Se ha comprobado que los modelos reducidos obtenidos por técnicas de análisis

modal selectivo reflejan con exactitud el comportamiento de los modos de interés y

permiten una mejor comprensión e interpretación física del problema. La aplicación de

las metodologías basadas en este tipo de análisis para la obtención de los parámetros

modales y sus descomposiciones en aportaciones de los distintos subsistemas ha dado

resultados coherentes con el análisis modal y la simulación.

7 Referencias bibliográficas 123

7 Referencias bibliográficas

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Damping of the Synchronous Machine Part II: Application to an arbitrary

network”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101,

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ESTUDIO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA · La compensación serie se utiliza para reducir la reactancia inductiva de la conexión de un generador a una red cuando la longitud de las