©MatemáticaAbreMundos2011

1 GEOMETRÍA 3

Actividad: Razones trigonométricas

Nombre: _________________________________________ Fecha: ______________

Palabras claves: Triángulo rectángulo, triángulos semejantes, razón, seno, coseno, cateto adyacente,

cateto opuesto.

Recurso: Círculo Goniométrico

Preguntas previas: Semejanza y el cociente constante

En la araucaria araucana, hacia la adultez las ramas inferiores se van desprendiendo, lo que determina que la copa se inicie a gran altura de la base. Sin embargo, el ángulo α, que forma la base del árbol y la copa se mantiene constante durante el proceso de crecimiento. Algunos valores medidos en metros son:

1. Escribe un argumento que muestre que todos los

triángulos que se forman son rectángulos y otro que muestre que son semejantes.

2. Determina el valor de la razón entre el radio de la copa y la distancia AB, para

cada medida registrada en el crecimiento de la araucaria. ¿Cómo es este valor?

3. Determina el valor de la razón entre la altura del tronco (medida AC) y la distancia

AB, para cada medida registrada en el crecimiento de la araucaria. ¿Cómo es este valor?

Altura del tronco (AC) Radio de la copa (BC) Distancia AB

4 3 5

11 8,25 13,75

20 15 25

30 22,5 37,5

50 37,5 62,5

©MatemáticaAbreMundos2011

2 GEOMETRÍA 3

Circunferencia unitaria, seno y coseno de un ángulo Mediante un recurso digital podrás ver la representación gráfica de una circunferencia de radio uno (círculo Goniométrico) y de los distintos triángulos rectángulos que se pueden dibujar en ella.

1. Si el seno del ángulo α corresponde a la razón entre el cateto opuesto al ángulo y

la hipotenusa, ¿por qué en el recurso digital se dice que el segmento OB = sen α? Justifica.

2. Si el coseno del ángulo α corresponde a la razón entre el cateto adyacente al

ángulo y la hipotenusa, ¿por qué en el recurso digital se dice que el segmento OA = cos α? Justifica.

3. Mueve el punto “P” hasta que el ángulo α tome el valor de 30°. ¿Cuál es la medida

del seno de 30°? Justifica tu respuesta.

©MatemáticaAbreMundos2011

3 GEOMETRÍA 3

4. Con los datos anteriores, demuestra que el coseno de 30° es aproximadamente

0,8.

5. Mueve el punto “P” hasta que ángulo α tome el valor de 45°. ¿Por qué el seno y el

coseno tienen el mismo valor? Justifica tu respuesta.

6. Demuestra que el seno de 45° es aproximadamente 0,7.

7. ¿Cuál es la medida del seno y el coseno de 0°, 90° y 180° respectivamente?

Argumenta.

©MatemáticaAbreMundos2011

4 GEOMETRÍA 3

Un problema en que la hipotenusa es distinta de uno Como parte de un reality show, los organizadores prepararon la prueba final para ver qué equipo ganaba. Esta consistía en un canopy desde la torre Entel. Los datos que se manejaban son los siguientes: desde la base de la torre hasta el punto donde se anclará en el suelo el cable, existen 350 m y desde ese punto de anclaje hasta el extremo más alto de la torre existe un ángulo de elevación de 20°.

1. ¿Cuánto cable como mínimo se debe comprar para unir el punto más alto de la

torre con el punto de anclaje? Registra todos tus cálculos.

2. Usando los datos del ejercicio anterior, determina la altura de la torre Entel.

3. Junto a tus compañeros estimen cuánto medirá el ángulo de elevación si la

distancia desde la base de la torre hasta el punto de anclaje se reduce a 300 m. Registren la estrategia usada.

©MatemáticaAbreMundos2011

5 GEOMETRÍA 3

Síntesis

En esta guía trabajaste las razones trigonométricas del seno y coseno con la ayuda del círculo goniométrico. En un triángulo rectángulo cualquiera, el seno de un ángulo α, se define como “la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa” y el coseno como “la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa”. Ahora responde lo siguiente.

1. ¿Por qué el seno de 30° tiene siempre el mismo valor independientemente del

triángulo rectángulo en que se calcule?

2. ¿Entre qué valores se mueve el seno de un ángulo?

3. ¿Entre qué valores se mueve el coseno de un ángulo?

4. Estima el valor del ángulo α en el problema inicial relativo a la araucaria.