Estudiante_Numero_de_Oro_2

©MatemáticaAbreMundos2011

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Actividad: El número de oro, un “real distinguido” Nombre: _________________________________________

Fecha: ______________

Palabras claves: media proporcional geométrica, rectángulo áureo, número áureo, teorema de Pitágoras, sucesión, número irracional y número real. Recurso: ϕ El número áureo. Preguntas previas: “rompe paga” Para comenzar te proponemos leer la “lectura” del anexo. Si trabajan en grupo, ¡mejor!

1. ¿Puedes encontrar una suma de números naturales que no tenga respuesta entre los números naturales?

2. Da ejemplos de restas que tienen y que no tienen resultados en los Naturales.

3. Da ejemplos de números enteros que se “comportan” como los naturales.

4. Da ejemplos de números enteros que resuelven restas sin solución entre los Naturales. Puedes comenzar, por ejemplo, con algo como 4 – 4 o bien 12 – 18.


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5. Da ejemplos de números racionales que se “comportan” como enteros y de racionales que no se “comportan” como enteros.

6. ¿Son racionales los siguientes números? Justifica a continuación en la tabla.

Número Justificación

2,0

3,25

0,6666666…

1,1212121212…

3

π = 3,1415…

Rectángulo áureo. Trabajo con el computador Abre el recurso digital y desarrolla las actividades propuestas. En esta sección te proponemos construir un rectángulo áureo y luego calcular el valor del número de oro. 1. Ahora, con regla y compás construye un rectángulo áureo. Te puedes apoyar con el

recurso digital .

• Primero: dibuja un cuadrado de lado “a”. • Segundo: prolonga el lado DA, más allá de A y el lado CB, más allá de B. • Tercero: Marca el punto medio de AD: X.


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• Cuarto: Une X con B. • Quinto: Haz un arco, centro en X y

radio XB, hasta cortar el lado prolongado de DA, en E.

• Sexto: Por E, traza una paralela a AB cortando a la prolongación de CB en F.

• Séptimo: ¡Ya!, ¡el rectángulo EFCD es áureo!

2. Calcula el valor de ϕ, (se lee fi) el número áureo o de oro. Te puedes concentrar en el

triángulo ABX. ¿Cuánto miden sus catetos? (Recuerda que AB es el lado del cuadrado, y que X es punto medio del otro lado). ¿Cómo calculas el valor de la hipotenusa?

Cateto AB = Hipotenusa BX = Cateto AX =

3. ¿Cuál es el valor de DE / DA? O sea, ¿cuál es el valor del cociente entre el lado mayor

y el menor del rectángulo?

DE / DA =

• Este resultado muestra que sea cual sea el tamaño del rectángulo áureo, el cociente entre sus lados es constante. Y ϕ es igual al cociente entre el “lado mayor” y el “lado menor” del rectángulo áureo.

• Si tratas con una calculadora, entonces calcula primero 5 , le sumas 1 y al resultado lo divides por 2. Anota aquí el resultado.

Φ =


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La sucesión de Fibonacci Leonardo de Pisa o Fibonacci, fue un matemático de la edad media (1170, 1250 d.C.). Hizo diferentes aportes a la matemática. Uno de ellos fue una “sucesión” de números que se forma de acuerdo a una regla. Los primeros términos de la sucesión son: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Desarrolla en grupo las siguientes actividades propuestas.

1. ¿Puedes encontrar una regla para calcular los términos de la sucesión? ¿Cuál sería?

2. ¿Cuál sería el siguiente a 144?

3. ¿Pertenece 377 a la sucesión?

4. Obtiene más términos de la sucesión.

5. Puedes buscar en Internet para confirmar o para tener valores hasta un “n”

avanzado. Haz una tabla como la siguiente en la que escribas el valor de cada término y la razón entre los términos sucesivos, desde n = 1. Por ejemplo, completa para los valores de n = 6, 7, 8, 12, 13, 24 y 25.

n Fn Fn+1 / Fn En decimales

1 1 1/1 1,0

2 1 2/1 2,0

3 2 3/2 1,5


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4 3 5/3 1666…

5 5 8/5 1,6

6 8

7 13

8 21

… … … …

12 144 233/144

13

… … … …

24 46.368 75.025 / 46.368

25 75.025

• ¿Qué valor te recuerdan los cocientes obtenidos para n = 24 y n= 25?

• ¿Hasta cuándo se pueden calcular cocientes? ¿Qué sucede con el cociente a medida que aumenta el valor de n?

6. Puedes usar la calculadora nuevamente y calcular el valor de ϕ directamente como

lo hiciste antes:5 12+

. Anótalo aquí.

7. Compara los valores obtenidos. ¿Es una buena aproximación ϕ la obtenida con la sucesión de Fibonacci? Si quieres puedes buscar en internet el valor de ϕ con varias decenas de decimales. Anota aquí tus conclusiones.


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Síntesis Después de haber explorado el número áureo o dorado, discutan y respondan en conjunto con los compañeros y el profesor lo siguiente: 1. ¿Qué es un rectángulo áureo o dorado? ¿Por qué se llama así?

2. ¿Qué es la sucesión de Fibonacci, cómo se construye?

3. ¿De qué manera se puede obtener el número áureo ϕ y aproximar su valor?

4. ¿Qué son los números racionales, cómo se expresan? Da algunos ejemplos de ellos.

5. ¿Qué son los números irracionales, cómo se expresan? Da algunos ejemplos de ellos.

6. Finalmente, ¿qué son los números reales? Intenten incorporar el concepto de “límite”.


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Anexo

Lectura En el país de los números todo estaba en calma. Los “naturales” de ese país tenían todo claro: natural + natural = natural; natural X natural = natural y, todos felices. Un habitante de esa tierra fue al extranjero y llegó con la idea de “restar”. ¡OK!, restemos. 12 – 3 = 9. Todo bien. Muchas restas funcionaron y claro a alguien se le ocurrió una resta como 3 – 12. ¡Horror!, no funciona. Ya sabes la solución, si la resta trajo el problema, la resta lo resuelve. Un matemático de la zona les cambió el RUT a los habitantes del país y los inscribió en el registro de los “Enteros”. ¿Qué son esos seres? Simple, el resultado de todas las restas posibles entre los naturales. Simplemente le dio carta de ciudadanía al resultado de 3 – 12 y lo llamó “- 9”. Este ser no es “natural” sin que la diferencia entre dos naturales. “Rompe paga”. En el país de los números reinó la calma. Siempre entero + entero o entero X entero o entero - entero, encontraban respuesta en el reino. Y, claro, no falta el aguafiestas, alguno se envalentonó y comenzó a experimentar con la división. 18 / 6 es 3. Pero ¿qué hacer con 6 / 18)? No hay entero que valga, que multiplicado por 18 de cómo resultado 6. Oh, Oh, problema nuevamente. Alguien recordó la fórmula usada anteriormente. “Si la división tiene la culpa, pues que ello lo resuelva”. Y así se hizo. Se llamó “racional” (de razón) a todo número formado por el cociente entre dos enteros y ¡Aleluya! Nuevamente la calma. Para calladito, hubo que hacer una excepción, el divisor no puede ser cero, pero bueno, la solución es bastante buena. Ahora, las sumes, las restas las multiplicaciones y la división siempre tienen solución (entre nosotros sabemos que con el cero, no). ¿Recuerdas el número pi? O ¿la raíz cuadrada de 5? Estos personajes estaban esperando para desordenar el país de los números. En esta oportunidad te proponemos conocer un héroe del reino de los números que viene acompañando a la humanidad desde tiempos remotos, se trata de ϕ, el “número de oro”. Lo conoceremos regresando al reino desde una excursión al reino de la forma, la Geometría y del reino de los “Procesos infinitos”. Y, tal como ya debes sospechar, para resolver el problema los matemáticos echaron mano de los que produjeron el problema. Dejemos eso para el capítulo final de esta historia. En Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo.

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