Estruturas Hiperestáticas 1

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

Universidade Federal do Espírito Santo

Prof. Pedro Sá

IntroduçãoMétodo dos Esforços

Deslocamentos nas EstruturasFormulação do Método

Método dos DeslocamentosAções de Engastamento PerfeitoFormulação do Método



Prof. Pedro Sá

Bibliografia

Análise de Estruturas ReticuladasJames Gere e William Weaver, Jr.

Curso de Análise Estrutural, Vols. 2 e 3José Carlos Süssekind

Análise Matricial de EstruturasDomício Falcão Moreira

Análise de Estruturas ReticuladasHumberto Lima Soriano e Sílvio Lima



Prof. Pedro Sá

IntroduçãoTeoria das EstruturasA Teoria das Estruturas estuda a distribuição, ao longo da extensão de um corpo sólido, dos esforços e deslocamentos que surgem em suas seções planas, provocados pelas cargas que ele recebe de agentes externos.Estrutura é o conjunto das partes do corpo destinadas a receber, absorver e transmitir estas cargas.

As cargas são denominadas esforços externos ativos (previamente conhecidos) e provocam os esforços externos reativos e os esforços internos (ambos incógnitos).



Prof. Pedro Sá

IntroduçãoTeoria das EstruturasEste curso aborda a solução de Estruturas Reticuladas, isto é, constituídas por um conjunto de barras retas.

viga

pórtico plano

pórtico espacial

grelha treliça plana

treliça espacial



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IntroduçãoConceitos BásicosEixo: Lugar geométrico dos centróides das seções das barras que compõem a estrutura.

Nós: Pontos discretos dos eixos das barras, onde se pretende determinar os esforços e deslocamentos incógnitos.

São nós, obrigatoriamente, as extremidades das barras e os pontos que representam os apoios da estrutura.

Membro ou Elemento: segmento entre dois nós consecutivos.



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IntroduçãoConceitos BásicosSistema Global (x,y,z) – SG: Sistema de eixos cartesianos ortogonais de referência da estrutura como um todo.

Sistemas Locais (xM,yM,zM) – SL: Sistemas de eixos cartesianos ortogonais de referência de cada membro ou elemento.

i: membro ou elemento

j: nó inicial

k: nó final

i

j

k

x

y

zzM

xM

yM



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IntroduçãoConceitos BásicosTipos de Nós:

Nó Rígido Nó Flexível ou Rotulado Nó Rígido - Rotulado

Nó Rígido: Transmite forças e momentos

Nó Flexível: Transmite apenas forças



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IntroduçãoConceitos BásicosTipos de Apoios:

No plano x-y:a:

b:

c:

d:

e:

f:

g:

0;0;0 ;0;0;0 x zyzyx MRR

0;0;0 ;0;0;0 zyxzyx MRR

0;0;0 ;0 ;0;0 zyxzyx MRR

0;0;0 ;0 ;0;0 zyxzyx MRR

0;0;0 ;0 ;0;0 zyxzyx MRR

0;0;0 ;0 ;0;0 zyxzyx MRR

0;0;0 ;0 ;0;0 zyxzyx MRR

a b

d e

f g

c

x

y

z SG



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IntroduçãoConceitos BásicosTipos de Elementos:

Elementos de pórtico espacial:

xy

z N,dz T,qz

Mx,qx

Vx,dx

My,qy

Vy,dy

0xF

0yF

0zF

0xM

0yM

0zM

Elementos de pórtico plano:

xy

z N,dz

Mx,qxVy,dy

0yF

0zF

0xM

Elementos de grelha:

0yF

0xM

0zM

xy

z T,qz

Mx,qxVy,dy

Elementos de viga:

xy

z

Mx,qxVy,dy 0yF

0xM



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IntroduçãoConceitos BásicosTipos de Elementos:

Elementos de treliça espacial:

0xF

0yF

Elementos de treliça plana:

0yF

0zF

0zF

xy

z N, dz

dxdy

xy

z

dy

N, dz



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IntroduçãoO Problema da Teoria das EstruturasAs incógnitas de um problema de Análise de Estruturas Reticuladas são as reações de apoio e os esforços internos nos seus elementos, além dos deslocamentos de suas seções transversais (ou pontos dos seus eixos).

R1

R2

R3

R4

R5

d1

d2d3d4

Reações de Apoio: R1 a R5

Deslocamentos: d1 a d4

Os esforços internos são determinados pelo Método das Seções



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IntroduçãoDefinição de Estrutura HiperestáticaAs reações de apoio podem ser determinadas pelas equações de equilíbrio da Estática, levando em conta todos os esforços externos ativos e reativos da estrutura, e os esforços internos, pelo Método das Seções, o qual também utiliza as equações de equilíbrio da Estática, porém levando em conta os esforços internos numa determinada seção transversal e os esforços externos em um dos lados desta seção.



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IntroduçãoDefinição de Estrutura HiperestáticaEm suma, o cálculo das reações de apoio e dos esforços internos pode ser feito por meio das equações de equilíbrio da Estática, escritas com base na aplicação do Método das Seções, isolando cada nó da estrutura.

Desta forma, as equações de equilíbrio dos esforços externos utilizadas para a determinação das reações de apoio estarão implicitamente consideradas.



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IntroduçãoDefinição de Estrutura HiperestáticaExemplo:

0 0 111 VqzRFy

Incógnitas: R1, R2, V1, V2, M1, M2

Equilíbrio do Nó 1:

02 0 21111 qzzVMM x

0 0 22121 VRzzqVFy


022

0

22

122

11

1221111

MLzqzLq

LzVzLVMM x

R1

V1 M1

1M2

V2

3

R2

2

V2

M2M1V1

z

R1 R2

q

yS1 S2

z1

z2

1 2 3L1 L2

0 0 2212 zLLqVFy


02

02

221

22122

zLLq

zLLVMM x



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IntroduçãoDefinição de Estrutura HiperestáticaSe a estrutura contém vínculos que oferecem um número de ações externas reativas (reações apoio) superiores ao número de Equações de Equilíbrio da Estática, relativas somente aos esforços externos, ela é dita externamente hiperestática.

R1 R2 R3

q

z

y Equações de Equilíbrio:

2 equações e 3 incógnitas

0xM

0yF

Incógnitas: R1, R2, R3



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IntroduçãoDefinição de Estrutura HiperestáticaSe a estrutura possui um número de elementos tal que o número de esforços internos incógnitos seja superior ao número de Equações de Equilíbrio da Estática oferecido pelo Método das Seções, ela é dita internamente hiperestática.

Equações de Equilíbrio:

3 equações e 6 incógnitas

0zM

0yF

R1 R2

R3

P1

x

y

P2

P3

S1

R2

P3

S1V1

V2

M1

M2

N1

N2

0xF

Incógnitas: N1, M1, V1 , N2,M2, V2



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IntroduçãoDefinição de Estrutura HiperestáticaO Grau de Hiperestaticidade ou de indeterminação estática de uma estrutura é a diferença entre o número de esforços incógnitos e o número de equações de equilíbrio da Estática aplicáveis, isto é, o número de equações complementares necessárias ao cálculo de todos os esforços na estrutura.

De um modo geral, pode ser calculado pela diferença entre o número de esforços incógnitos (o número de reações de apoio somado ao número de esforços internos em todos os elementos da estrutura) e o número de equações de equilíbrio da Estática, escritas com base na aplicação do Método das Seções, isolando cada um dos seus nós.



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IntroduçãoDefinição de Estrutura HiperestáticaGrau de Hiperestaticidade (g):

rnenimrg onde r é o número de reações de apoio,i é o número esforços internos na seção do elemento,m é o número de membros ou de elementos da estrutura,e é o número equações de equilíbrio da Estática aplicáveis a cada nó da estrutura,n é o número de nós da estrutura enr é o número de equações de equilíbrio adicionais, devidas às seções rotuladas.

Observação: Podem existir nós e elementos de natureza distinta na estrutura; nestes casos, os produtos im e en da fórmula podem se desdobrar em mais de uma parcela.

número de incógnitas = r+Simnúmero de equações = Sen+nr



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IntroduçãoDefinição de Estrutura HipergeométricaSe a estrutura contém vínculos suficientes para evitar deslocamentos dos nós ou que, de alguma forma, se conheça todos os seus deslocamentos de nós, ela é dita isogeométrica. Caso contrário, a estrutura é hipergeométrica.

estrutura isogeométrica estrutura hipergeométrica



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IntroduçãoDefinição de Estrutura HipergeométricaO Grau de Hipergeometria ou de indeterminação cinemática de uma estrutura é o número de deslocamentos de nós incógnitos da estrutura, isto é, o número de equações necessárias à determinação destes deslocamentos.

O grau de hipergeometria de uma estrutura é facilmente determinado e é também conhecido como o número de graus de liberdade da estrutura, para deslocamentos de nós.



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IntroduçãoDefinição de Estrutura HipergeométricaGrau de Hipergeometria (d):

ndd L

onde dL é o número de direções livres de cada nó en é o número de nós da estrutura.

Um nó de uma estrutura plana pode ter até três graus de liberdade. Nó de pórtico plano: dL = 3, dois deslocamentos lineares e um angular;Nó de grelha: dL = 3, dois angulares e um linear;Nó de viga: dL = 2, um linear e um angular.



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IntroduçãoDefinição de Estrutura Hipergeométrica

Como os elementos de treliça não transmitem momento, seus nós não estão sujeitos a deslocamentos angulares.

Um nó de uma estrutura espacial pode ter até seis graus de liberdade. dL = 6, três deslocamentos lineares e três angulares.

Grau de Hipergeometria (d):

Nó de treliça plana: dL = 2, dois deslocamentos lineares;Nó de treliça espacial: dL = 3, três deslocamentos lineares.

Nó de pórtico espacial: dL = 6, três deslocamentos lineares e três angulares.



Prof. Pedro Sá

IntroduçãoDefinição de Estrutura Hipergeométrica

a b

d e

f g

c

x

y

z SG

Grau de Hipergeometria (d):

Apoios no plano x-y:a,b: dL = 2,

c,d,e: dL = 1,

f,g: dL = 0



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IntroduçãoMétodos de CálculoExistem dois métodos de obtenção dos esforços e dos deslocamentos:

MÉTODO DOS ESFORÇOS ou MÉTODO DIRETOMÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ou MÉTODO INDIRETO

O objeto da Teoria das Estruturas é a determinação de todos os esforços (externos e internos) que atuam numa determinada estrutura e dos deslocamentos de suas seções, isto é, da sua deformada.



Prof. Pedro Sá

IntroduçãoMétodos de CálculoO Método dos Esforços ou Método Direto, também conhecido por Método da Flexibilidade, determina inicialmente os esforços e, posteriormente, os deslocamentos.

O Método dos Deslocamentos ou Método Indireto, também conhecido por Método da Rigidez, determina inicialmente os deslocamentos e, posteriormente, os esforços.



Prof. Pedro Sá

IntroduçãoMétodos de CálculoAs equações utilizadas são obtidas por meio de comparações entre a estrutura dada e uma outra estrutura, denominada Sistema Principal (SP), obtida da estrutura original por alterações nos seus vínculos.

No Método dos Esforços, o SP é uma estrutura isostática que, portanto, pode ser resolvida a partir das Equações de Equilíbrio da Estática.As equações utilizadas neste método são Equações de Compatibilidade de Deslocamentos de Nós entre as duas estruturas.



Prof. Pedro Sá

IntroduçãoMétodos de CálculoAs equações utilizadas são obtidas por meio de comparações entre a estrutura dada e uma outra estrutura, denominada Sistema Principal (SP), obtida da estrutura original por alterações nos seus vínculos.

No Método dos Deslocamentos, o SP é uma estrutura isogeométrica que pode ser resolvida pelo Método Direto.As equações utilizadas são Equações de Equilíbrio de Esforços nos Nós correspondentes nas duas estruturas.



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IntroduçãoMétodos de Cálculo

v

estrutura hiperestática

SP – Método Direto

SP – Método Indireto

M1

M21 M22M3



Prof. Pedro Sá

IntroduçãoMétodos de Cálculo

v

Equação Utilizada pelo Método Direto: v = 0

As alterações dos vínculos provocam o desaparecimento de esforços incógnitos que, por sua vez são aplicados ao SP. As equações utilizadas pelo Método Direto refletem a compatibilização entre os deslocamentos dos dois sistemas.



Prof. Pedro Sá

IntroduçãoMétodos de CálculoEquações Utilizadas pelo Método Indireto: M1 = 0

M21 + M22 = 0

M3 = 0As alterações dos vínculos provocam o desaparecimento de deslocamentos incógnitos que, por sua vez são impostos ao SP. As equações utilizadas pelo Método Indireto refletem as condições de equilíbrio dos esforços que atuam nos nós do SP, comparados aos que atuam na estrutura original.

M1

M21 M22M3



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Introdução

Fim do Capítulo

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