Algebra – Cátedra Bernardello - FCE

Alicia Fraquelli – Andrea Gache

2010

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Unidad 1 - Estructuras Algebraicas

Ejercicios Adicionales de la Unidad 1

1) Sea :que tal, élen definida operación una " "y } ,,{ cbaA

a) Analizar si es " " una L.C.I en A

b) Indicar cual es el elemento neutro.

c) Hallar, si existe, el inverso de cada elemento de A

d) Determine si " " es conmutativa en A.

2) Sea élen definida operación una " "y },,{ cbaA :

Completar la siguiente tabla sabiendo:

a) " " es una L.C.I. en A.

b) e = a es el elemento neutro.

c) b’ = c y c’ = b

d) " " es conmutativa en A

3) Sea que talélen definida operación una " "y },,,{ dcbaA

a) Analizar si " " es una L.C.I en A

b) Indicar cual es el elemento neutro.

c) Hallar, si existe, el inverso de cada elemento de A

d) Determine si " " es conmutativa en A

4) Sea élen definida operación una " "y },,,{ dcbaA tal que:

Completar la siguiente tabla sabiendo:

a) " " es una L.C.I. en A.

b) e = a es el elemento neutro.

c) a’ = a b’ = b c’= d y d’ = c

d) " " es conmutativa en A

5) Sea }1 ; 1{A . Analizar si (A , +) y ( A , . ) tiene estructura de grupo siendo “+”

y “.” la suma y la multiplicación habitual respectivamente.

6) Sea }3/{ 0NnxxA n.

Analizar si (A; .) tiene estructura de grupo siendo “.” la multiplicación habitual.

7) Indicar V ó F justificando la respuesta

La ley a * b = a – 2b es asociativa en Z.

8) Siendo }4/{ xxA . Analizar si ( A, . ) tiene estructura de grupo

abeliano y si la adición es ley interna en A

9) Defina una operación en el conjunto A = {m, p, q, r} que sea ley interna, que tenga

elemento neutro pero no inverso. Justificar

10) Sea ""}22/{ yxxG el producto habitual en Z.

Probar que ),(G tiene estructura de grupo abeliano.

a b c

a a b c

b b c c

c c b a

a b c

a

b

c c

a b c d

a c a b a

b a b c d

c d c a b

d c d b a

a b c d

a

b c b

c c b

d c

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2010

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Ejercicios Adicionales -Unidad 1

Respuestas

1) a) " " es una L.C.I en A

b) e = a.

c) a’= a , b’= no existe , c’= c

d) " " no es conmutativa en A.

2)

3) a) " " es una L.C.I en A

b) e = b.

c) a’= no existe , b’= b , c’= d , d’= c

d) " " no es conmutativa en A

4)

5) (A, +) no es grupo. porque + no es ley interna en A.

(A, . ) es grupo abeliano

6) No es grupo, A no es simetrizable para la multiplicación

7) Falso

8) El conjunto es 4} , 3 , 2 , 1 , 0 ,1,2,3,4{A entonces ( A, . ) no tiene estructura

de grupo abeliano , la multiplicación de elementos de A no es ley de composición

interna

La adición en A no es ley de composición interna

9) Sugerencia : Plantee el ejercicio usando una tabla a partir de la cual defina la

operación

10) Sugerencia: Se recomienda definir la operación mediante una tabla de doble entrada.

a b c

a a b c

b b b a

c c a c

a b c

a a b c

b b c a

c c a c

a b c d

a a b c d

b b a c b

c c c b a

d d b a c