Estrazione Casuale palline. Urna con 3 palline rosse R1, R2, R3 e 2 azzurre A1, A2 si estrae una pallina, la si rimette nellurna, si estrae una seconda

EstrazioneCasuale palline

Urna con 3 palline rosse R1, R2, R3 e 2 azzurre A1, A2si estrae una pallina , la si rimette nell’urna, si estrae una seconda pallina

Spazio campioni S = [R1, R2, R3, A1, A2] Eventi = 25

Cfr.prossima

1^ estratta, reinserita

2^ estratta: registrate secondo ordine estrazione

[R1, R2, R3, A1, A2]

Eventi = 25

P(nessuna azzurra)=9/25

P(solo 1 pallina azzurra)= 12/25

P(con due palline azzurre)=4/25

R1R2 R3 A1 A2

S= [R, V, A]

P1r(2/6 = 1/3

P1v(2/6 = 1/3)

P1a(2/6 = 1/3)Prima pallina estratta

Seconda pallina estratta

Urna con palline : 2 rosse, 2 verdi, 2 azzurre

P2r(1/5) P2r(2(5) P2r(2/5)

P2a(2/5) P2a(2/5) P2a(1/5)

P2v(2/5)P2v(2/5)P2v(1/5)

Probabilità uscita prima pallina P1, seconda pallina P2

Urna con 3 palline rosse e due azzurre r1 r2 r3 a1 a2

Si estrae una prima pallina, non si reinserisce; si estrae una seconda pallina dalle 4 rimanenti

Numero campioni 5*4 = 20

Prima pallina

Seconda pallina

P(nessuna azzurra)=6

P(una azzurra) = 12

P(con 2 azzurre) = 2

Determinare alcune probabilità

Un’urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4:1-2 azzurre, 3-4 rosse

vengono estratte insieme due pallinenumero oggetti ?n

Probabilità che escano due rosse ? Prprobabilità che escano due con lo stesso colore ? Psprobabilità che escano due con colore diverso ? Pd

1 2 3 4

1 2

3 4 1 4

1 3

42

2 3

n = 6

Pr = 1/6

3 4

Ps =2/6 = 1/3

1 2

3 4

Pd = 4/6 = 2/3

1 3

1 4

2 3

42

Un’urna contiene 4 palline numerate da 1 a 4:1-2 azzurre, 3-4 rosse

vengono estratte insieme due pallinenumero oggetti ?n

Probabilità che escano due colori diversi con una pari e una dispari ? Pdpdprobabilità che escano due con lo stesso colore ,pari? Psp

probabilità che escano due con colore diverso ,pari o dispari? Pdppdd

1 2 3 4

1 2

3 4 1 4

1 3

42

2 3

n = 6

1 4

2 3

Pdpd = 2/6 = 1/3 Psp = 0 /6 = 0 Pdppdd = 2/6 = 1/3

42

1 3

Contenitore con 10 palline( non visibili): 5 rosse e 5 azzurre

Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?

PR = nRosse / nTotale

PA= nAzzurre/nTotale

5 / 10 = ½ = 0.5

5 / 10 = ½ = 0.5

Probabilità X = eventi favorevole a X / eventi totali possibili (X + Y)

Eventi favorevoli a X (rossa= = 5eventi favorevoli a Y (azzurra=5)

eventi totali = 10





2 / 10 = 1/5 = 0.2

8 / 10 = 4/5 = 0.8





2 / 10 = 1/5 = 0.2

8 / 10 = 4/5 = 0.8

Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Contenitore 2 : 5 rosse, 2 azzurre

Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ?

PR= 3/7 = 0.43PA = 4/7 = 0.57

PR= 5/7 = 0.71PA= 2/7 = 0.29

Si osserva evidentemente che conviene estrarre da C2

Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Contenitore 2 : 5 rosse, 6 azzurre

Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ?

PR= 3/7 = 0.43PA = 4/7 = 0.57

PR= 5/11 = 0.45PA= 6/11 = 0.55

Si osserva che, anche se con piccola differenza, conviene estrarre da C2

In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete:sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire

È sempre certa la estrazione di una monetaè decrescente la probabilità di estrarre una

determinata moneta P100 > P 50 > P20manca la possibilità che venga estratta una

moneta diversa da 100, 50, 20

PC = 10/10 = 1 massima probabilità

P100 = 7/10 = 0.7

P50 = 2/10 = 0.2

P20 =

Px = 0/10 = 0

Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare inmodo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ?

Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni voltanell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata

fornisceFr = 85 /120 = 17/24Fa = 35/120 = 7/24

17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125

7 azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875

O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875

Legge empirica del caso

14 R 14 V 14 M 14 A 1 R 1 V 1 A 1 M

pR = 14 / 56 = 0.25

pA = 14 / 56 = 0.25

pV = 14 / 56 = 0.25

pM = 14 / 56 = 0.25

pR = pV = pA = pM = 0.25

Probabilità oggettiva di uscita uguale per ogni colore

S= 56S = 4

Probabilità di uscita di colore specifico su richiesta , rapida: da quale urna sembra più facile ottenere il risultato ? S 56 o S 4 ?

Urna contenente 25 palline verdi, 5 rosse, 30 blu: S =60

Estrazione una pallina :calcola probabilità uscita rossa, verde, blu

E1 = rossa (5) p(E1) = 5 / 60 = 1 /12

E2 = verde ( 25) p(E2) = 25 / 60 = 5 / 12

E3 = blu (30) p(E3) = 30 / 60 = 1 / 2

Urna con 15 palline R, 7 V, 8 B : S = 30

S = 30

E1 = uscita rossa p(E1)= 15 / 30 = 1/2

E2 = uscita verde p(E2)= 7 / 30 = 7/30

E3 = uscita blu p(E3)= 8 / 30 = 4/15

Estrazione una pallina: calcolare probabilità che sia rossa, verde, blu

Una moneta lanciata 3 volte : esiti possibili per ogni lancio (T,C)

Esiti possibili con tre lanci (8)TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC

E1 = uscita solo di 2 teste (TTC, TCT, CTT) = 3

P(E1)= 3 / 8

Calcola probabilità di uscita di solo 2 teste

E1 = Dn,k =n^k = 2^3 =8

Disposizioni con ripetizione

TTC,TCT,CTT

Urna con 15 palline Verdi, 7 rosse, 8 blu : S = 30

E1 = esce verde o blu (15,8)

p(verde) = 15/30

P(blu) = 8 /30

p(V U B) = p(V) + p(B) = 15/30 + 8/30 = 23 / 30

E2 = esce rossa o blu (7,8)

P(rossa) = 7 / 30

P(blu) = 8 / 30

p(R U B) = p(R) + p(B) = 7/30 + 8/30 =1 / 2

Estrazione di una pallinacalcolare probabilità uscita verde o blu,rossa o blu

Urna con x palline B, 2 palline nere, 3 palline rosse

Estrazione contemporanea di 2 palline

p1 : 2 nerep2 : nessuna biancap3 : 2 colore diverso

S = x + 5

N = Cs,2 = (x+5)(x+5-1)/2 = (x+5)(x+4)/2estrazioni possibili di 2 palline= combinazioni s oggetti classe 2

p1 = 1 / N = 1 / (x+5)(x+4)/2 = 2 /(x+5)(x+4)

C5,2 = 5*4/2 = 10 p2 = 10/N = 20/ (x+5)(x+4)

p.282 rosa

Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse ,5 Verdi : S = 30

Eventi possibili con la estrazione contemporanea di 2 palline :gruppi di 2 palline che si possono formare con 30 palline

prese 2 per volta, con la condizione che ogni gruppo sia diverso dagli altri per almeno 1 pallina

combinazioni con n oggetti e classe 2 : Cn,k = C30,2

C30,2 = 30*29/2 = 435

E1 = due palline blu E2 = due palline verdi E3 = palline rossa e blu

Calcolare la probabilità di uscita, due blu, due verdi, rossa e blu

Estrazione contemporanea di due palline

E1 = numero combinazioni con n=16 classe 2 : C16,2 = 16*15/2 = 120

E2 = numero combinazioni con n=5 classe 2 : C5,2 = 5*4/2 = 10

E3 = 16 B associandosi a 9 R possono formare 16*9 = 144 coppie RB

p(E1) = 120 / 435 = 8/29p(E1) = 120 / 435 = 8/29

p(E2) = 10 / 435 = 2 / 87p(E2) = 10 / 435 = 2 / 87

p(E3) = 144 / 435 = 48 / 145p(E3) = 144 / 435 = 48 / 145

Vedi diapositive seguentiper descrizione mediante

immagini

Urna con palline : 16 Blu, 9 Rosse ,5 Verdi : S = 30

2 3 4 1098765 1615141312111

1

2

2 3 4 1098765 161514131211

Immaginare di numerare le palline da 1 a 16

Associare ogni numero a tutti gli altri numeri (16*16 = 256) associazioniAssociare ogni numero a tutti gli altri numeri (16*16 = 256) associazioniescludere associazioni che usano gli stessi numeri ,cambiando solo ordineescludere associazioni che usano gli stessi numeri ,cambiando solo ordineescludere coppie con numeri uguali associati (16)escludere coppie con numeri uguali associati (16)coppie valide con almeno un numero diverso tra loro = 256 – 136 = 120coppie valide con almeno un numero diverso tra loro = 256 – 136 = 120

1

11 122 2

2 1Con stesso numero:escludereCon stesso numero:escludere

Solo ordine diverso:duplicatiprendere solouna coppia

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 1…16(15)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 2….16(14)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 3…16(13)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 4…16(12)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 5…16(11)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 6…16(10)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 7…16(9)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 8…16(8)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 9…16(7)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 10…16(6)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >>11…16(5)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 12…16(4)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 13…16(3)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 14…16(2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1515 16 >> 15…16(1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> 16..16(0)

Escludere coppietra stesso numero= 16

Escludere coppieEscludere coppiecon stessi numericon stessi numeriduplicateduplicate

1122334455667788991010111112121313141415151616136136

151514141313121211111010998877665544332211120120

Contare coppie Contare coppie validevalide

Coppie totali 16*16 = 256Coppie totali 16*16 = 256 256 – 136 = 120 valide256 – 136 = 120 valide

1-11-21-31-41-51-61-71-81-91-101-111-121-131-141-151-16

2-12-22-32-42-52-62-72-82-92-102-112-122-132-142-152-16

5-15-25-35-45-55-65-75-85-95-105-115-125-135-145-155-16

4-14-24-34-44-54-64-74-84-94-104-114-124-134-144-154-16

8-18-28-38-48-58-68-78-88-98-108-118-128-138-148-158-16

6-16-26-36-46-56-66-76-86-96-106-116-126-136-146-156-16

7-17-27-37-47-57-67-77-87-97-107-117-127-137-147-157-16

9-89-99-109-119-129-139-149-159-16

3-13-23-33-43-53-63-73-83-93-103-113-123-133-143-153-16

10-910-910-1010-1110-1210-1310-1410-1510-16

11-1011-1111-1211-1311-1411-1511-16

12-1112-1212-1312-1412-1512-16

13-1213-1313-1413-1513-16

14-1314-1414-1514-16

15-1415-1515-16

16-1516-16

16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =13616+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =136

136 -16 = 120 valide136 -16 = 120 valide

Coppie non duplicate 136 – Coppie non duplicate 136 – 16 identiche16 identiche = 120 = 120

11

5544332211

11 2 3 4 5 >> 1 2 3 4 5 >> 1 ….5 (4) ….5 (4)

1 21 2 3 3 4 5 >> 3…..5 (2)4 5 >> 3…..5 (2)

1 2 31 2 3 44 5 >> 1 5 >> 1 … …5 (1)5 (1)

1 2 3 41 2 3 4 55 >> >> 1…5 ( 0) 1…5 ( 0)

11 2 2 3 4 5 >> 2 …5 (3) 3 4 5 >> 2 …5 (3)

1-11-11-21-21-31-31-41-41-51-5

2-12-12-22-32-32-42-42-52-5

3-13-13-23-23-33-43-43-53-5

4-14-14-24-24-34-34-44-44-54-5

5-15-15-25-25-35-35-45-45-5

Doppiette valide = 10

Escludere doppiette con stessi numeri o diverse solo per ordine

Numerare palline blu da 1 a 16 e palline rosse da 1 a 9

Ogni pallina blu può formare associazione con ogni pallina rossa

1

1

8

7

6

5

4

3

2

9

2

1

8

7

6

5

4

3

2

9

3

1

8

7

6

5

4

3

2

9

4

1

8

7

6

5

4

3

2

9

16

1

8

7

6

5

4

3

2

9

5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15(16 B) * (9 R) = 144 BR

488/52Urna contenente 8 cubetti uguali numerati da 1 a 8

1

2

3

4

5

6

7

8Estrazione contemporanea di due cubetti

E1 = somma 2 numeri risulta pari

E2 = somma 2 numeri risulta dispari

Calcolare p(E1), p(E2) Eventi possibili Cn,k = C 8,2 = 8*7/2 = 28

E1 = 12 p(E1) = 12 / 28 = 3 / 7

E2 = 16 p(E2) = 16 /28 = 4 / 7

1-21-31-41-51-61-71-8

2-32-42-52-62-72-8

3-43-53-63-73-8

4-54-64-74-8

5-65-75-8

6-76-8

7-8

488/53 Urna contenente 6 palline rosse e 4 blu

E1 = uscita 2 rosse

E2 = uscita 2 blu

E3 = uscita rossa, blu

Estrazione contemporanea di 2 palline

Calcolare probabilità p(E1), p(E2) , p(E3)

S = 10

Eventi possibili, Cn,k = C 10,2 = 10*9 / 2 = 45

E1 = Cn,k = C6,2 = 6*5/1 15

E2 = Cn,k = C4,2 = 4*3/2 = 6

E3 = 6*4 = 24

p(E1)= 15/45 = 3/15

p(E2) = 6 / 45 = 2/15

p(E3) = 24/45 = 8 /15

R1-B1R1-B2R1-B3R1-B4






Cfr. diapositiva seguente

10*10 = 100 …C10,2 = 10*9/2 = 45

rosa53

r1 r2 r3 r4 r5 r6

r1 r1r1 r2r1 r3r1 r4r1 r5r1 r6r1






C6,2 = 6*5/2 = 15 coppie diverse36 coppie 6*6

6 da ignorare (stessi numeri)

15 da ignorare(duplicati) cambia solo ordinamento

B1 B2 B3 B4

R1 R1B1 R1B2 R1B3 R1B4






6 * 4 = 24 coppie tra loro diverse

B1 B2 B3 B4

B1 B1B1 B2B1 B3B1 B4B1




C4,2 =4*3/2 = 6

4*4 = 16 coppie : 4 da ignorare ( stessi numeri)

6 coppie da ignorare (duplicati), cambia solo ordinamento

Eventi indipendenti : due eventi sono indipendenti se la probabilitàdi ciascuno non dipende dal verificarsi o meno dell’altro

Si estrae prima pallina, si rimette nell’urna, si estrae seconda pallina

R1 = prima pallina estratta:rossaV2 = seconda pallina estratta :verdepE = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde

∩E = R1 V2

pR1 = 3 / 5

S = 5 palline :3 rosse e 2 verdi

pV2 = 2 /5

pE = p( R1 ∩ V2) = pR1*pV2

P ( A B ) = pA * pB ∩

Due eventi sono indipendenti solo se vale la relazione precedente

3/5 * 2/5 = 6 /25

Esempio di estrazione senza rimettere nell’urnaosservare come variano le probabilità di estrazione per oggetti

rossi e verdi in funzione del verificarsi della uscita di un oggettorosso o verde per ogni diversa estrazione

Uscite secondo maggiore probabilità fino al raggiungimento della parità

Eventi interdipendenti



Uscite con comportamento più casuale, non proprio secondo la maggioreprobabilità

Eventi interdipendenti

Esempio di estrazione con reinserimento nell’urnaosservare come rimangono costanti le probabilità di estrazione per

oggetti rossi e verdi dopo ogni estrazione

Cambierebbe la probabilità se non venisse reinserito l’oggetto estratto

Eventi indipendenti

Eventi dipendenti : due eventi sono dipendenti se la probabilitàdi uno dipende dal verificarsi o meno dell’altro

Si estrae prima pallina, non rimette nell’urna, si estrae seconda pallina

R1 = prima pallina estratta:rossaV2 = seconda pallina estratta :verdepE = probabilità che la prima pallina sia rossa, seconda verde

∩E = R1 V2

pR1 = 3 / 5

S = 5 palline :3 rosse e 2 verdi

pV2 = 2 /4 = 1/2

pV2 = 2 /5

La probabilità che esca pallina verde aumenta da 2/5 a ½per effetto del verificarsi dell’uscita della rossa: cambia S (da 5 a 4)

Probabilità condizionata

U con S = 10 :8 R 2 V

C = esce rossa pC = 4/10 = 0.8

D = esce verde pD = 2/10 = 0.2

E : uscita come seconda pallina V

1 uscita

S=9 : R=7 V=2

2 uscita

1 uscita

pD = 2/9 = 0.22

pD = 1/9 = 0.11

Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0.22 > 0.20

Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0.11 < 0.20

Situazione iniziale

Probabilità evento D ,uscita verde come seconda, risente del verificarsi dell’uscita della prima pallina:cambia sempre la sua probabilità

S = 5 :R 3, V 2

E1 = prima pallina rossa: pE1 =15/25=3/5

E2 = seconda pallina verde:pE2 =10/25=2/5

Si estrae prima pallina e poi si reimmetteeventi E1 , E2 indipendenti : S = costante

Probabilità di intersezione p(R ∩ V) = pR * PV

E = (R ∩ V) :prima rossa, seconda verde : 6/25

(3/5)*(2/5)= 6/25

Eventi indipendenti

S = 4 :R 2, V 2

Si estrae prima pallina e non si reimmetteeventi R1 , V2 dipendenti :S variabile

R1 = prima pallina rossa: pR1 =12/20=3/5

V2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2

E = (R ∩ V) :prima R, seconda V : 6/20=3/10

(3/5)*(1/2)=3/10

p(V2 | R1) = 10/20 = 1/2

p(R1 ∩ V2) = pR1 * p(V2|R1)

La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è ugualeal prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro evento

correlato (condizionato ) al primo

Probabilità composta:segue

Urna con 10 oggetti , tre deteriorati :S = 10E estrazione casuale di 2 oggettitrovare probabilità che siano entrambi normali

pA = 7/10 i :se vero condiziona risultato : pB = (B|A) = 6/9 = 2/3

p(B ∩ A)=pA*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15










Eventi indipendenti

Urna 1 con 20 palline , 5 rosseurna 2 con 30 palline , 6 rosse

Si estrae una pallina da U1 e poi una da U2

E1 = esce R da U1 con pE1 = 5/20E2 = esce R da U2 con pE2 = 6/30

E = escono due palline R , da U1 e da U2 con pE = 5*6 / 600 = 1/20

L’uscita di R da U2 non dipende dall’uscita di R da U1

E = E1 ∩ E2 con p(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/20)*(6/30) =1/20= pE1*pE2

La probabilità dell’evento E risulta uguale al prodotto delle probabilità degli eventi E1 e E2 :

quindi i due eventi E1 e E2 sono indipendenti

U1 U2

20 30

5 6

30 rosse su 600 palline

Cfr.seguente per immagini

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

Ogni pallina rossa di U1 (1,2,3,4,5) può essere associata ad ogni pallina rossa di U2 (1,2,3,4,5,6)

L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30

i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U1 (20)con ogni pallina di U2 (30) = 20*30= 600

La probabilità dell’evento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20

Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi

E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e con reinserimento in U della prima pallina estratta

E1 = esce pallina rossa con p(E1) = 5/8

E2 = esce pallina rossa con p(E2)= 5/8

P(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64

U 5/8 U 5/8U 4 / 7

E1 e E2 indipendenti

E1 E2

Eventi indipendenti, non correlati

Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse

Estrazione in sequenza di 3 palline, con reinserimento nell’urna delle palline estratte

E : E1 rossa, E2 rossa, E3 verde

E1 = 20/30 con p(E1) = 2/3E2 = 20/30 con p(E2) = 2/3E3 = 10/30 con p(E3) = 1/3

E1,E2,E3 indipendenti perché rimane costante S

U con S = 30

P(E) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27


U con 20 (S) palline : 5 rosse e 15 verdi

E1 = con una estrazione,esce pallina rossa con p(E1) = 5/20 = 1/4

E1 evento indipendente

E2 = la seconda pallina è rossa p(E2) = 5/20 = ¼ (non cambia S , indipendente)

E1 = prima pallina estratta , rossa o verde: reinserita

Due estrazioni successive con reinserimento

Unica estrazione

E1 e E2 eventi non correlati, indipendenti



Due estrazioni successive senza reinserimento

E2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E2) = 4/19 < 1/4

E1 = prima pallina rossa 5/20

4/ 195/20

P(E2) ridotta per il verificarsi di E1 precedente :E2 e E1 correlati : p(E2 /E1)

E2 correlato negativamente a E1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4

E1 = prima pallina verde

E2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E2) = 5/19 > 1/4

5/19

P(E2) aumentata per il verificarsi di E1 precedenteE2 e E1 correlati p(E2/E1)

E2 correlato positivamente a E1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4

Eventi dipendenti, correlati

Probabilità condizionata

U con S = 10 :8 R 2 V

C = esce rossa pC = 4/10 = 0.8

D = esce verde pD = 2/10 = 0.2

E : uscita come seconda pallina V

1 uscita

S=9 : R=7 V=2

2 uscita

1 uscita

pD = 2/9 = 0.22

pD = 1/9 = 0.11

Se esce prima rossa, esce come seconda una verde con p=0.22 > 0.20

Se esce prima verde, esce come seconda una verde con p=0.11 < 0.20

Situazione iniziale

Probabilità evento D ,uscita verde come seconda, risente del verificarsi dell’uscita della prima pallina:cambia sempre la sua probabilità

Probabilità condizionata:segue

Se C evento condizionante e D evento condizionato da C avremo notazione : pD = p(D|C)

probabilità che si verifichi evento D condizionato da C

C e D risultano interdipendenti, correlatise pD viene ridotta: correlazione negativa

se pD viene aumentata : correlazione positiva

Probabilità composta : la probabilità della intersezione di due eventi è uguale al prodotto

della probabilità di uno di essi per la probabilità dell’altro condizionata al primo

P (A ∩ B) = pA * p(B | A)

P (B ∩ A) = pB * p(A | B)

S = 5 :R 3, V 2

E1 = prima pallina rossa: pE1 =15/25=3/5

E2 = seconda pallina verde:pE2 =10/25=2/5

Si estrae prima pallina e poi si reimmetteeventi E1 , E2 indipendenti : S = costante

Probabilità di intersezione p(R ∩ V) = pR * PV

E = (R ∩ V) :prima rossa, seconda verde : 6/25

(3/5)*(2/5)= 6/25

Eventi indipendenti

S = 4 :R 2, V 2

Si estrae prima pallina e non si reimmetteeventi R1 , V2 dipendenti :S variabile

R1 = prima pallina rossa: pR1 =12/20=3/5

V2 = seconda pallina verde: 10/20=1/2

E = (R ∩ V) :prima R, seconda V : 6/20=3/10

(3/5)*(1/2)=3/10

p(V2 | R1) = 10/20 = 1/2

p(R1 ∩ V2) = pR1 * p(V2|R1)

La probabilità (composta) della intersezione di due eventi correlati è ugualeal prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro evento

correlato (condizionato ) al primo

Probabilità composta:segue

Urna con 10 oggetti , tre deteriorati :S = 10E estrazione casuale di 2 oggettitrovare probabilità che siano entrambi normali

pA = 7/10 i :se vero condiziona risultato : pB = (B|A) = 6/9 = 2/3

p(B ∩ A)=pA*p(B|A)=(7/10)*(2/3)=14/30 =7/15










Eventi indipendenti

Urna 1 con 20 palline , 5 rosseurna 2 con 30 palline , 6 rosse

Si estrae una pallina da U1 e poi una da U2

E1 = esce R da U1 con pE1 = 5/20E2 = esce R da U2 con pE2 = 6/30

E = escono due palline R , da U1 e da U2 con pE = 5*6 / 600 = 1/20

L’uscita di R da U2 non dipende dall’uscita di R da U1

E = E1 ∩ E2 con p(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/20)*(6/30) =1/20= pE1*pE2

La probabilità dell’evento E risulta uguale al prodotto delle probabilità degli eventi E1 e E2 :

quindi i due eventi E1 e E2 sono indipendenti

U1 U2

20 30

5 6

30 rosse su 600 palline

Cfr.seguente per immagini

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

Ogni pallina rossa di U1 (1,2,3,4,5) può essere associata ad ogni pallina rossa di U2 (1,2,3,4,5,6)

L’evento uscita pallina rossa = 5*6 = 30

i casi possibili sono dati dalla associazione di ogni pallina di U1 (20)con ogni pallina di U2 (30) = 20*30= 600

La probabilità dell’evento E (2 rosse) p(e) = 30/600 = 1 / 20

Urna U con 5 palline rosse e 3 verdi

E : estrazione 2 palline rosse con due estrazioni successive e con reinserimento in U della prima pallina estratta

E1 = esce pallina rossa con p(E1) = 5/8

E2 = esce pallina rossa con p(E2)= 5/8

P(E) = p(E1 ∩ E2) = (5/8)*(5/8) = 25/64

U 5/8 U 5/8U 4 / 7

E1 e E2 indipendenti

E1 E2


Urna U 30 palline (S) : 10 palline verdi e 20 palline rosse

Estrazione in sequenza di 3 palline, con reinserimento nell’urna delle palline estratte

E : E1 rossa, E2 rossa, E3 verde

E1 = 20/30 con p(E1) = 2/3E2 = 20/30 con p(E2) = 2/3E3 = 10/30 con p(E3) = 1/3

E1,E2,E3 indipendenti perché rimane costante S

U con S = 30

P(E) = p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27



E1 = con una estrazione,esce pallina rossa con p(E1) = 5/20 = 1/4

E1 evento indipendente

E2 = la seconda pallina è rossa p(E2) = 5/20 = ¼ (non cambia S , indipendente)

E1 = prima pallina estratta , rossa o verde: reinserita

Due estrazioni successive con reinserimento

Unica estrazione

E1 e E2 eventi non correlati, indipendenti



Due estrazioni successive senza reinserimento

E2 = seconda pallina rossa 4/19 con p(E2) = 4/19 < 1/4

E1 = prima pallina rossa 5/20

4/ 195/20

P(E2) ridotta per il verificarsi di E1 precedente :E2 e E1 correlati : p(E2 /E1)

E2 correlato negativamente a E1, perché risulta sfavorito 4/19 < 1/4

E1 = prima pallina verde

E2 = seconda pallina rossa 5/19 con p(E2) = 5/19 > 1/4

5/19

P(E2) aumentata per il verificarsi di E1 precedenteE2 e E1 correlati p(E2/E1)

E2 correlato positivamente a E1, perché risulta favorito 5/19 > 1/4

Eventi dipendenti, correlati

Lancio di una moneta tre volte :spazio campionario S = Sm * Sm * Sm

=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni

evento A : uscita consecutiva di 2 teste A = (TTT,TTC,CTT)

evento B : uscita croce (3 lancio)B =(TTC,TCC,CTC,CCC)

Evento C :uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancioC = A U B (unione eventi): (TTT,TTC,CTT,TCC,CCC,CTC)

Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare inmodo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ?

Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni voltanell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata

fornisceFr = 85 /120 = 17/24Fa = 35/120 = 7/24

17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125

7 azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875

O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875

Legge empirica del caso

Documents

Estrazione Casuale palline. Urna con 3 palline rosse R1, R2, R3 e 2 azzurre A1, A2 si estrae una pallina, la si rimette nellurna, si estrae una seconda