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Estrategias metacognitivas en la resolución de problemas matemáticos… 1


Estrategias metacognitivas en la resolución de

problemas matemáticos

Alberto Jesús Iriarte Pupo

Isabel Sierra Pineda

SISTEMA DE UNIVERSIDADES ESTATALES DEL

CARIBE COLOMBIANO - SUE CARIBE

MAESTRIA EN EDUCACIÓN


Estrategias Metacognitivas en la Resolución de Problemas Matemáticos

© A. Iriarte Pupo, I. Sierra Pineda

Maestría en educación Universidad de Sucre Sistema de Universidades Estatales del Caribe Colombiano - Sue Caribe Primera edición, 2011 Montería-Colombia Publicación digital ISBN: 978-958-9244-38-8 Fondo editorial Universidad de Córdoba [email protected] http://libros.edunexos.edu.co Montería-Colombia Diseño: Luis Eduardo Hernández León

mailto:[email protected]

http://libros.edunexos.edu.co/


TABLA DE CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCIÓN

PROLOGO

11

16

CAPITULO I – EL PROBLEMA 18

1. DESCRIPCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 18

1.2 JUSTIFICACIÓN 28

1.3 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN 33

1.3.1 Objetivo General: 33

1.3.2 Objetivos específicos 33

CAPITULO II – REFERENTES 34

2 MARCO TEÓRICO 34

2.1 ANTECEDENTES 34

2.2 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESDE EL CONOCIMIENTO

MATEMÁTICO.

46

2.2.1 La Competencia en la Matemática Escolar. 51

2.2.2 Competencias Matemáticas 54

2.2.3 Modelos de Resolución de Problemas 57

2.2.3.1 Modelo De Polya 58

2.2.3.2 Modelo De Mayer 59

2.2.3.3 Modelo de A. H. Schoenfeld 61

2.2.3.4 Modelo de Mason – Burton – Stacey 62


2.2.3.5 Modelo de Miguel de Guzmán: La Pregunta y la Reflexión como

Mediadores

63

2.2.3.6 Modelo De Pifarré, Manoli y Sanuy, Jaume 63

2.3 LA METACOGNICIÓN, COMO ENFOQUE DIDACTICO DE

INTERVENCION, PARA DESARROLLAR LA COMPETENCIA EN LA

RESOLUCION DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

65

2.4 FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE LAS INVESTIGACIONES

ASOCIADAS A LA METACOGNICIÓN

69

2.5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS Y

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS BASADAS EN LA METACOGNICIÓN.

71

CAPIULO III – METODOLOGÍA 86

3. METODOLOGÍA 86

3.1 CONTEXTUALIZACIÓN 86

3.2 DISEÑO METODOLÓGICO 87

3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA 88

3.4 SISTEMA DE VARIABLES 90

3.5 OPERACIONALIZACIÓN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE 94

3.6 INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN. 95

3.7 VARIABLES 101

3.8 EQUIVALENCIA INICIAL ENTRE LOS GRUPOS. Control de

variables

103

3.9 SISTEMA DE HIPÓTESIS 107


3.9.1 Hipótesis General. 107

3.9.2 Hipótesis Estadísticas 107

3.10 PROGRAMA DE INTERVENCIÓN 108

3.10.1 Estrategias Cognitivas 110

3.10.2 Estrategias Metacognitivas 111

3.11 PLANEACIÓN DE CLASE UTILIZANDO EL PROGRAMA DE

INTERVENCIÓN.

113

3.11.1 Metodología del programa 121

3.11.2 Duración de la intervención 129

CAPITULO IV – RESULTADOS 135

4. ANÁLISIS ESTADISTÍCO E INTERPRETACIÓN DE LOS

RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN

135

CAPITULO V – CONCLUSIONES 147

5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES 147

CAPITULO VI - RECOMENDACIONES 156

6. RECOMENDACIONES Y SUGERENCIAS 156

CAPITULO VII – LIMITACIONES 158

7. LIMITACIONES DEL ESTUDIO 158

BIBLIOGRAFÍA 159

ANEXOS 167


INDICE DE CUADROS

Cuadro Nº 1 Valoraciones de los estudiantes de la IENSS - Fuente: Coordinación Académica IENSS.

Cuadro Nº 2. Agrupaciones de las valoraciones de los estudiantes

Cuadro 3. Definiciones de Competencia

Cuadro 4. Modelo De Polya

Cuadro 5. Adaptado de Mayer (2002, pp. 147)

Cuadro Nº 6. Diseño Metodológico (Cuasi experimental)

Cuadro Nº 7. Comparación de estudiantes por grupos

Cuadro Nº 8. Edad, años de experiencia y formación docente

Cuadro Nº 9. Datos demográficos de los grupos

Cuadro Nº 10. Estándares y Competencias

Cuadro Nº 11. Estructura del Programa

Cuadro Nº 12. Operacionalización de la Variable Dependiente

Cuadro No. 13 Indicadores-Componentes (ICFES)

Cuadro No. 14 Indicador de Fiabilidad

Cuadro No. 15 Operacionalización de las variables

Cuadro Nº 16. Equivalencia entre grupos según la edad.

Cuadro Nº 17. Equivalencia entre grupos según sexo

Cuadro Nº 18. Comparación resultados delpretest, Grupos A experimentaly B Control

Cuadro Nº 19. Resumen de las estrategias cognitivas y metacognitivas del programa de intervención.

Cuadro Nº 20 Estándares y Competencias Matemáticas


Cuadro Nº 21 Contenidos de Área

Cuadro Nº 22. Ejemplo de Situación Problema

Cuadro 23. Síntesis del Programa de Intervención

Cuadro Nº 24. Comparación resultados del pretest, Grupos A experimental y B Control

Cuadro Nº 25 Estadísticas de Contraste, Grupo Control B, Comparación Pretest–Postest

Cuadro Nº 26. Estadísticas de Contraste, Grupo Experimental A, Comparación Prestest – Postest

Cuadro Nº 27. Estadísticas de Contraste Prueba de Signos para el grupo Experimental A, Componente Numérico - Variacional.

Cuadro Nº 28. Estadísticas de Contraste Prueba de Signos para el grupo Experimental A, Componente Geométrico – Métrico. Estadísticos SPSS 10

Cuadro Nº 29. Estadísticas de Contraste Prueba de Signos para el grupo Experimental A, Componente aleatorio. Estadísticos SPSS 10

Cuadro Nº 30. Estadísticas de Contraste Grupo A Experimental y Grupo B control, Postest

Cuadro Nº 31. Rangos y Estadísticos de Contraste Grupo A Experimental y B Control, por componentes de la prueba

Cuadro Nº 32. Rangos y Estadísticos de Contraste Grupos A y C Experimentales

Cuadro Nº 33. Rangos y Estadísticos de Contraste Grupos B y D controles


INDICE DE GRAFICOS

Gráfico Nº 1. Puntaje promedio matemática – América latina

Gráfico Nº 2. Comparación de los resultados por componentes y

competencias de la prueba saber 2006.

Gráfico Nº 3. Comparación de los puntajes obtenidos en las

competencias entre la IENSS y la Nación. –

Gráfico Nº 4. Hoja para pensar el problema

Gráfico Nº 5. Concepto de Metacognición

Gráfico Nº 6. Edades de los estudiantes.

Gráfico Nº 7. Variable sexo de los estudiantes.

Gráfico Nº 8. Esquema de la intervención

Gráfico Nº 9. Comparación Entre el Pretest y el Postest del Grupo

Experimental A

Gráfico Nº 10. Comparación de los Grupos A experimental y B control,

puntajes del pretest y postest

Gráfico Nº 11 Diagrama de Cajas, comparación de los diferentes grupos.


INDICE DE ANEXOS

ANEXO Nº 1. Primer test de conocimientos matemáticos antes del

Pilotaje.

ANEXO Nº 2. Test de Conocimientos Matemáticos Aplicado

ANEXO Nº 3. Situación Problema Nº 1



ANEXO Nº 6. Hoja Guía para Resolver Problemas

ANEXO Nº 7. Plan General de Área ----- Contenidos / Conocimientos


INTRODUCCIÓN

En educación se han generado en las últimas décadas investigaciones

pertenecientes al campo cognitivo y curricular, interesándose en los aspectos pedagógicos y

didácticos. De acuerdo a esto, las estrategias didácticas direccionadas a cumplir el objetivo

de que el estudiante sea un sujeto activo en el proceso de aprender han tomado fuerza; es

así como las investigaciones en estrategias de aprendizaje constituyen uno de los focos más

relevantes en el estudio de los procesos escolares.

Este tipo de estrategias de aprendizaje suponen un cambio de paradigma en la

educación, que va desde la enseñanza tradicional donde el maestro es el protagonista del

proceso, hasta llegar a que el estudiante sea el centro de este, por medio de estrategias de

aprendizaje, donde el aprender a aprender y el aprender a reflexionar sobre su propio

aprendizaje permite llegar a obtener aprendizajes altamente significativos.

Específicamente en la educación matemática, donde se abordan diferentes

procesos generales, tales como: el razonamiento, la modelación, la comunicación

matemática, la formulación y resolución de problemas. Se estudian las estrategias

didácticas que promuevan el aprendizaje autónomo, sistemático y reflexivo en lo que

respecta a la resolución de problemas matemáticos contextualizados.

La resolución de problemas ha tomado fuerza en el campo investigativo, debido a

la importancia que esta tiene en el desarrollo de competencias para la vida, es así como en

diferentes documentos tanto internacionales como nacionales, resaltan su valor y la

necesidad del desarrollo de esta competencia (Informe Cockcroft, 1982; PISA 2006;

Lineamientos curriculares de matemática).

Por tanto, se hace inevitable aclarar que se entiende por problema. En diferentes

concepciones definidas sobre lo que es un problema desde la educación matemática autores

como Schoenfeld (1988), Alferi (1993), Pozo et al (1994), entre otros, presentan lo

complejo de la conceptualización del término, sugiriendo que un problema es una situación

que precisa una solución, pero que no tiene un camino de solución rápido y directo, en este

camino se deben tomar decisiones que permitan aproximarse cada vez más a la solución


requerida. Para Callejo (1998), en la situación problema se debe buscar, investigar,

establecer relaciones e implicar afectos que posibiliten ir planteando estrategias de solución

al ente problema. Por tanto, el concepto de problema es relativo al sujeto y al contexto al

que se plantea.

Por ende, el planteamiento y resolución de problemas ha sido fuente de estudio por

varios investigadores, desde diferentes miradas y perspectivas, donde se destacan las

investigaciones realizadas desde la psicología y la pedagogía. Para Orton (1996), la

resolución de problema se concibe como aquella que genera un proceso mental, en el cual

quien aprende combina variedad de elementos, conocimientos, destrezas, habilidades,

capacidades, reglas y concptos adquiridos de manera previa que admiten dar solución a una

situación nueva. Sin embargo, Delgado (1999), afirma que el resolver problemas es una

habilidad matemática que permite encontrar un método o vía de solución que conduzca a la

solución del problema. Otras concepciones, describen la resolución de problema como

capacidad que se desarrolla a partir de diferentes estrategias a través del proceso enseñanza

aprendizaje.

El proceso de resolución de problema, según plantea Callejo, es guiado por una

reflexión y valoración continua (procesos que hacen parte del conocimiento metacognitivo)

que van dando cuerpo a la toma de decisiones de manera estratégica. A su vez, existen

características esenciales de la resolución de problemas, que brindan elementos para

distinguirlos de los ejercicios de rutina que se utilizan en las diferentes clases de

matemática, tales como: El estudiante debe familiarizarse con la situación hasta que elabore

una o varias estrategias que le conduzca a la solución; En la resolución de un problema es

difícil estimar el tiempo requerido, depende del resultor, quien desde sus competencias

puede durar un momento, días, semanas o meses en resolver dicho problema; La resolución

de problemas sugiere una carga afectiva importante. Polya (1989) y callejo (1998).

Por ello, es trascendental para este estudio, comprender las bases del término

competencia, concepto que según Posada (2008) es diverso y pluridimensional, en el que se

interrelacionan creencias, valores, actitudes, aptitudes, conocimientos, potencialidades,

habilidades, entre otras, que permiten al ser humano aprender y desempeñarse en diferentes

escenarios y contextos. Para Vasco (2006), las competencias implican conocimientos de

tipo cognitivo, praxiológico y actitudinal; el primero, caracterizado por un conocimiento


teórico, tiene un carácter declarativo asociado con el saber qué y el saber por qué; El

segundo, se encuentra más cercano a la acción, se relaciona con las técnicas y estrategias

que permiten representar los conceptos y transformarlos, está asociado con el saber cómo,

ayuda al refinamiento y construcción del conocimiento conceptual permitiendo su uso

eficaz; El tercero, se articula con el ser, con las actitudes mismas del sujeto frente al

aprendizaje, aquí se relacionan las motivaciones, los valores, lo correspondiente a lo

afectivo del proceso, se asocia con el querer hacer.

Ahora bien, con respecto a la competencia matemática, Vasco (2006) la relaciona

con la resolución de problemas, desde el desarrollo de diferentes conocimientos

declarativos, procedimentales y actitudinales, que se interaccionan para desempeñarse en

este campo. Cabe resaltar, el carácter utilitario de la matemática en nuestra sociedad. Por

ende, ser matemáticamente competente resulta imperioso para nuestro desenvolvimiento en

la vida misma. Así también, Vasco (2006) resalta que en esta sociedad globalizada, la aldea

global, se requiere cada vez más de herramientas proporcionadas por las matemáticas.

Por otra parte, en este recorrido investigativo respecto a la resolución de

problemas, se plantean diferentes modelos de resolución, iniciando con el de Polya (1945),

quien es considerado el precursor de este tipo de indagaciones en el campo matemático.

Polya, establece cuatro pasos para resolver un problema matemático, comprender el

problema, concebir un plan, ejecutar el plan y la visión retrospectiva, los cuales son base

para el planteamiento de modelos más recientes, tales como los planteados por Schoenfeld

(1985), Mason et al (1989), de Guzmán (1991), Pifarré et al (1998) y Mayer (2002),

quienes profundizan o aportan nuevos elementos a lo planteado por Polya. Entre estos

elementos cobra relevancia los procesos metacognitivos que se relacionan de manera

explícita o implícita en la resolución de problemas matemáticos.

Es primordial para los docentes de matemática, tener en cuenta la variedad de

modelos que se presentan, para no circunscribir a los estudiantes a un solo método

heurístico, a su vez, que estos modelos permitan la reflexión sobre los procesos cognitivos

y metacognitivos que hacen parte de la resolución del ente problema, en busca de mejorar

los procesos de aprendizaje de los discentes, y también generando reflexión de su propia

práctica pedagógica.


Es de anotar, que el modelo propuesto por Schoenfeld (1985), retoma ideas de

Polya y se sustenta en la teoría del procesamiento de la información, se resaltan cuatro

dimensiones que se dan en el proceso de resolución de problemas, estas son: el dominio de

los recursos, las estrategias cognitivas, las estrategias metacognitivas y el sistema de

creencias. Distinguiéndose también cuatro fases implicadas dentro del proceso, análisis,

exploración, ejecución y comprobación. Aquí las estrategias metacognitivas hacen parte del

proceso, caracterizadas por la toma de conciencia cognitiva de las diferentes estrategias

necesarias utilizadas al resolver un problema.

Ahora bien, desde el trabajo cognitivo en la resolución de problemas, Pifarré et al

(1998), proponen cinco estrategias generales que se utilizan para llevar a cabo dicha tarea;

primero se debe entender y analizar el problema; segundo, planificar un plan de resolución;

tercero, organizar los datos elaborando un diagrama; cuarto, resolver el problema y quinto,

evaluar el proceso y el resultado obtenido. Se aclara que esta propuesta no es lineal, sino de

tipo estratégico, es decir, se busca brindarles a los estudiantes la comprensión de los

procesos cognitivos generales que se dan al resolver un problema. Para los autores, cada

proceso cognitivo, se articula con una serie de preguntas que direccionan a los discentes en

el trabajo reflexivo de las estrategias utilizadas, promoviendo entonces estrategias de tipo

metacognitvo.

Para Flavell (1976), la metacognición hace referencia al conocimiento que uno

tiene sobre sus propios procesos y productos cognitivos, a su vez, asocia el concepto con

dos componentes: el conocimiento sobre los procesos y la regulación de los procesos

cognitivos. En este trabajo, se aborda lo referido al segundo componente, que se direcciona

desde lo procedimental el saber cómo, relacionando con la planificación, el control y

evaluación de estos procesos. Soto (2002), destaca que el desarrollo de estos aspectos

procedimentales depende del tipo de tarea por realizar, por ende, no existe restricción en su

manejo: niños de diferentes edades, e incluso adultos, presentan habilidades para regular

sus formas de aprender. Se trata entonces, de un proceso en el que los estudiantes van

modelando de manera activa las acciones de planificación, control y evaluación, a partir de

los aspectos dados en la interacción social. En este caso, especialmente en la resolución de

problemas matemáticos contextualizados.


Con este propósito las estrategias didácticas con enfoque metacognitivo resultan

ser una alternativa útil e innovadora, las cuales ayudarán a los estudiantes a planificar,

regular y evaluar sus aprendizajes, concretamente en el área de matemáticas y en la

competencia resolución de problemas.

La investigación que se presenta, analiza la influencia de las estrategias didácticas

con enfoque metacognitivo en el desarrollo de la competencia para resolver problemas

matemáticos en estudiantes de quinto grado de básica primaria. El estudio se presenta en

dos partes: En la primera se establece el marco teórico y referencial con el fin de diseñar un

programa de intervención que permita utilizar este tipo de estrategias en busca de dar

solución a los problemas de aprendizaje que resultan en el área de matemática.

En el segundo aparte se muestra el programa de intervención, el cual se pone a

prueba por medio de un cuasi experimento, con un diseño metodológico de cuatro grupos,

dos experimentales y dos controles. Los grupos experimentales se intervienen con

estrategias didácticas con enfoque metacognitivo y los grupos controles siguen con los

métodos de enseñanza tradicionales. El análisis de los resultados establece diferencias

estadísticamente significativas con respecto a los grupos, permitiendo llegar a conclusiones

sobre los dos métodos comparados.

La principal conclusión a partir de este estudio se refiere a que el programa de

intervención con estrategias didácticas con enfoque metacognitivo produjo una mejora en la

resolución de problemas matemáticos contextualizados. Se establecieron cambios

estadísticamente significativos en las pruebas aplicadas a los grupos intervenidos.

Entre las recomendaciones que se establecen en este estudio se tiene que es posible

investigar sobre los efectos que tiene la puesta en marcha de este programa basado en las

estrategias didácticas con enfoque metacognitivo en las otras disciplinas del currículo de la

básica primariay la comparación de diferentes variaciones de este mismo entrenamiento, es

decir poner en práctica otras estrategias didácticas con este mismo enfoque, que les permita

a los estudiantes ir reforzando el aprendizaje autónomo, y el desarrollo de habilidades de

tipo metacognitivo, las cuales contribuyan a su formación como aprendices reflexivos y

autónomos.


PROLOGO

El proceso de resolución de problemas es connatural a la especie humana, y la ha

determinado en su evolución tanto como la capacidad de adaptación, la capacidad de

abstracción y representación. Reconocer qué situaciones son problemas, identificar si en los

fenómenos que observamos hay patrones consistentes o comportamientos irregulares,

también son atributos de la mente desarrollada por los humanos.

Sin embargo entendidas estas como capacidades que se ponen en evidencia, a través de

una variada gama de estilos de actuación al afrontar la cotidianidad y reconociendo su base

filogenética, capturada por la memoria de la especie, también es hoy reconocible que las

condiciones en que cada ser se sitúa, propician una mayor o menor eficacia en sus

desempeños; el contexto lo afecta, generando diferentes niveles de calidad en la expresión

de la resolución de problemas como habilidad.

En la labor de la escuela, parte del trabajo de los educadores es acercar a cada individuo en

formación a la comprensión de su propia naturaleza cognitiva, al reconocimiento de sus

potencialidades y a las características variables de su funcionamiento cognitivo.

Aunque esa tarea se asuma empíricamente por los maestros y se ejecute de manera

intuitiva basada en la praxis, aplicando lo que mejor les resulta desde su bagaje de

estrategias pedagógicas, la conciencia del que educa sobre las reales implicaciones de su

intervención, es una condición favorecedora para lograr mejores niveles de autoeficacia

en los estudiantes, mientras se les acompaña en los ámbitos de aprendizaje escolar.

La investigación en el campo de la metacognición en sus variadas vertientes, ofrece hoy

soportes para enriquecer los modelos de trabajo didáctico desde una visión más profunda

del aprendizaje, entendido como proceso fundamentado en la modificabilidad cognitiva

estructural y susceptible de ser moderado gracias a la mediación de los padres, los

maestros, las herramientas culturales y el ambiente en general.


El aprendizaje es proceso y es resultado, es producto del cambio de estructuras de

conocimiento y es fijación - estabilización relativa, de reglas de funcionamiento

intelectual, que si bien generan patrones, son flexibles y perfectibles.

Orientar el aprendizaje implica para los educadores el diseño de situaciones en las que el

aprendiz pueda usar y combinar sus recursos cognitivos aplicados a contenidos

conceptuales, procedimentales y actitudinales; enseñar a resolver problemas desde esta

perspectiva requiere de ámbitos significativos que favorezcan la transferencia, propuestas a

los estudiantes como escenarios de actuación donde pongan a prueba sus elaboraciones y

supuestos, sistematicen información y gestionen la que haga falta, planifiquen

procedimientos y evalúen sus estrategias al aproximarse a las soluciones.

En el estudio que se reseña en esta obra, desde la propuesta de investigación se aplica un

diseño orientado a potenciar el aprendizaje autónomo. La intervención consciente del

investigador permite que en su rol de maestro, se preocupe por entender a profundidad

cómo opera la mente al resolver problemas, se interesa por documentar desde

investigaciones precedentes, este fenómeno y se compromete con una investigación en la

que verifica cómo puede intervenir para mejorarlo en sus alumnos. Ello lo lleva a realizar

una combinación de estrategias que configuran una didáctica metacognitiva.

Va desde la instrucción explícita justificada, para favorecer la conciencia y la adhesión a un

propósito además del reconocimiento del valor y formas de aplicación de los procesos

heurísticos, hasta la práctica guiada como forma de andamiaje, pasando por el

modelamiento, en el que cada estudiante tiene la oportunidad de emular a su maestro,

quien mediante un esquema de verbalizaciones, anima a la explicitación de los procesos de

pensamiento que se desarrollan como autoinstrucción, autointerrogación y monitoreo, de

manera que eventualmente se conviertan en conductas habituales al resolver problemas

Si hoy además de todo lo dicho sobre el aprendizaje se entiende este, como un continuum

que se acrecenta durante toda la vida y que puede ocurrir en cualquier momento o lugar, lo

pertinente es llevar a los estudiantes a la aplicación de estrategias que les generen

conciencia y habilidad de autorregulación y no solo el conocimiento y ejercitación de

algoritmos para aplicar a situaciones pre-estructuradas- en las matemáticas. Está claro que


estos procesos se deben incentivar desde edades tempranas y que los contextos de trabajo

colaborativo los favorecen.

Así, el mensaje de esta obra si se quiere asumir como tal, plantea que una didáctica eficaz

al guiar el proceso de aprendizaje de las matemáticas, relacionado con la resolución de

problemas, desde una concepción metacognitiva, implica ayudar a los estudiantes a

aprender sobre el aprendizaje, a comprender su propia postura frente a la estructura de los

problemas, ( hoy matemáticos, mañana rutinarios o de la vida social o profesional ), a

decantar desde los hechos y datos explícitos, las posibles alternativas, a reflexionar y a

interactuar con otros, pares y maestros, sobre el proceso de producción de la solución para

que puedan transferir esas habilidades a situaciones diversas y generar nuevas estrategias

cuando se detecten variaciones que así lo requieran.

Isabel Sierra Pineda

“…el sistema educativo que dio trabajo a las generaciones anteriores ahora es incapaz de facilitarlo a los jóvenes si no están dotados de las nuevas competencias para abrirse camino: la capacidad de concentración, la vocación de solventar problemas, la voluntad de trabajar en equipo, desarrollar la inteligencia social y aprender, por fin, a gestionar sus emociones”.

Punsent, Eduard En Excusas para no pensar, 2011


EL PROBLEMA

1.1 DESCRIPCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En diferentes ocasiones se ha repetido que “hacer matemática es resolver

problemas”, tal afirmación sería muy difícil negarla, teniendo en cuenta el enfoque que ha

tomado esta disciplina en las últimas décadas. A nivel internacional, se le ha dado un nivel

prioritario a la “resolución de problema” en la enseñanza de la matemática. Como puede

verse en el informe Cockcroft (1982) en Gran Bretaña; una agenda para la acción y los

estándares curriculares para la evaluación de los Estados Unidos que reporta el NTCM

(1980,1989 y 2000). En Colombia se puede observar en los lineamientos curriculares

(1998) y estándares Nacionales del área de matemática (2002), demostrando un valioso

interés por la competencia resolución de problemas matemáticos contextualizados, se busca

así la transformación permanente de los enfoques de aprendizaje que permitan el desarrollo

de habilidades y competencias necesarias para la vida.

Sin embargo, diferentes estudios internacionales y nacionales, muestran un

panorama poco alentador para los países latinoamericanos y en especial para Colombia en

lo que respecta al desarrollo de la competencia para resolver problemas matemáticos.

Pruebas de tipo internacional, como son la prueba PISA (Programfor International

CAPITULO I


StudentAssessment), las pruebas TIMSS (Trends in International Mathematics and

ScienceStudy) y las SERCE (Segundo Estudio Regional y Comparativo), las cuales son

aplicadas por diferentes organizaciones, consienten la resolución de problemas dentro de

sus componentes evaluativos, dándole importancia al desarrollo de esta competencia.

Veamos en el contexto de las anteriores pruebas como se encuentra Colombia

comparativamente en cada una de ellas; en la prueba PISA 2006 la cual fue realizada por

57 países, PISA es unestudio comparativo que evalúa los conocimientos, competencias y

actitudes de los estudiantes de 15 años, en Matemáticas, Ciencias, y Lectura, se encuentra

que a nivel de Matemática los países latinoamericanos participantes puntúan en los últimos

lugares, El promedio de los países de la OECD en Matemáticas fue de 498 puntos. Por

encima se ubican 19 países, con China –Taipéi, Finlandia, Hong Kong y Corea a la cabeza.

Por debajo se encuentran 32 de los 57 países participantes, entre ellos los 6

latinoamericanos. Entre los países latinoamericanos que participaron Colombia no obtuvo

un buen puesto como lo presenta el siguiente gráfico:

Gráfico Nº 1. Puntaje promedio matemática – América latina

Como se puede observar Colombia y Brasil ocupan el último lugar en la escala con

un puntaje promedio de 370 puntos, 57 puntos por debajo del puntaje de Uruguay quien

encabeza la lista de países latinoamericanos. Este puntaje es otra prueba fehaciente que

Colombia presenta dificultades en el aprendizaje de la matemática escolar básica.

Analicemos ahora los resultados de las pruebas SERCE aplicadas en el mismo año

de la Prueba PISA (2006); SERCE evalúa y compara el desempeño de los estudiantes de

tercer y sexto grado de primaria en lectura, matemática, y ciencias naturales.


En SERCE Participaron 16 países de la región más el estado mexicano de Nuevo

León: Argentina, Colombia, Cuba, El Salvador, Panamá, Paraguay, Perú, Uruguay, y

República Dominicana participaron en las tres pruebas; Brasil, Chile, Costa Rica, Ecuador,

Guatemala, México, y Nicaragua evaluaron a sus alumnos en matemática y lectura, pero no

en ciencias.

Colombia ocupó el octavo lugar en la prueba de matemática aplicada a estudiantes

de tercer grado de básica primaria, con un promedio de 499, comparándolo con el promedio

de Cuba (país que ocupo el primer puesto en la prueba) que fue de 648 puntos, existe una

diferencia de 149 puntos. Cabe anotar que nos encontramos en el rango de países en el cual

su puntaje no presenta diferencias significativas con respecto al promedio regional. Para el

grado sexto los resultados son bastante similares 493 en Colombia contra 638 en Cuba, se

muestra una diferencia de 145 puntos, nuevamente nos ubicamos en el rango de países

cuyos puntajes no presentan diferencias significativas con respecto al promedio regional.

Avanzando en el análisis, nos encontramos con los resultados de las pruebas

TIMMS, se trata de una evaluación internacional que compara los logros de los estudiantes

de cuarto y octavo grados en matemáticas y ciencias, esta prueba es realizada cada cuatro

años; en el año 2007 fue presentada por 59 países y 8 entidades subnacionales. El Salvador

y Colombia fueron los únicos latinoamericanos que integraron este conjunto de naciones.

Tanto en matemáticas como en ciencias, en ambos grados, los estudiantes de los

países asiáticos (Hong Kong, Singapur, Corea, Taipéi y Japón) tuvieron los promedios más

altos. Inglaterra, Hungría y Rusia también lograron buenos resultados. Un número

considerable de países evaluados, entre ellos Colombia, se ubicó por debajo del promedio

TIMSS.

Como se evidencia a nivel internacional, Colombia presenta tendencias marcadas

en la obtención de bajos logros en las pruebas internacionales a nivel de la competencia

matemática.

En el contexto Nacional se tienen las pruebas Saber, las cuales son aplicadas a

estudiantes de quinto grado; este tipo de prueba se compone por tres competencias y tres

componentes, en las competencias tenemos la comunicativa, la solución de problemas y el

razonamiento; dentro de los componentes se tienen el numérico – variacional, el

geométrico – métrico y el aleatorio. La prueba saber por componente y competencias


puntúa desde cero a diez puntos en su promedio para mostrar los resultados de los

evaluados, el gráfico Nº 2 muestra los resultados de esta prueba a nivel Nacional, obtenidos

en el año 2005.

Gráfico Nº 2. Comparación de los resultados por componentes y competencias de

la prueba saber 2006.

Fuente: ICFES (Instituto Colombiano Para el Fomento de la Educación Superior)

Se evidencian dificultades generales, sin embargo al comparar los resultados de las

diferentes competencias evaluadas en esta prueba, la resolución de problema obtiene el

menor puntaje de las tres (3.81 puntos para 5º de 10 puntos posibles), indicando que existen

mayores falencias en dicha competencia.

La prueba Saber de matemática, a nivel general fluctúa entre una puntuación de 0

a 100 puntos posibles, el departamento de Sucre (Colombia), obtuvo una media de 53.32, la

cual se ubica por debajo del promedio nacional de 56.20; a su vez el municipio de Sincelejo

puntuó 53.60 también por debajo de la media Nacional.

La Institución Educativa Normal Superior de Sincelejo (IENSS) no es ajena a esta

problemática. A pesar de haber cumplido dos etapas de un proceso de acreditación, se

siguen escuchando las mismas quejas de los docentes en la básica primaria, sobre las

dificultades que tienen los estudiantes para apropiarse de los contenidos declarativos y

procedimentales en el área de matemáticas. También sobre el poco interés y la dificultad

en interpretar y resolver problemas matemáticos.

Estas dificultades se reflejan a su vez en los resultados de la prueba saber 2005,

donde la siguiente tabla nos muestra la comparación de la IENSS con la Nación.

3

4

5

6

-

1

2

Promedio 4,44 3,93 3,81 3,76 3,96 3,97 4,09 4,12 3,92 3,85 3,87 3,67

Desviación 1,23 1,23 1,08 1,10 1,20 1,07 1,10 1,11 1,22 1,07 1,14 1,29

5° 9° 5° 9° 5° 9° 5° 9° 5° 9° 5° 9°

Comunicación Solución de

Problemas

Razonamiento Numérico

Variacional

Geométrico

Métrico

Aleatorio

COMPETENCIAS COMPONENTES

NACIONAL - Matemáticas


Gráfico Nº 3. Comparación de los puntajes obtenidos en las competencias entre la

IENSS y la Nación. –

Fuente: Coordinación académica IENSS

Por otra parte, teniendo en cuenta las evaluaciones internas del primer período

escolar año 2009, en la IENSS para los grados cuarto y quinto de la básica primaria matinal

y vespertina, se pueden observar los siguientes resultados:

Cuadro Nº 1 Valoraciones de los estudiantes de la IENSS - Fuente: Coordinación

Académica IENSS.

Valoración Porcentajes del grado cuartos

Porcentajes del grado quinto

Excelente 10.90 % 16.03 %

Sobresaliente 27.27 % 31.29 %

Aceptable 40.00 % 35.11 %

Insuficiente 21.81 % 17.55 %

Estas valoraciones son obtenidas por los docentes, referidos a la consecución de

los logros cognitivos, actitudinales y praxiológicos; entendiéndose éstos como los plantea

el doctor Carlos Eduardo Vasco (2002):

“El primero está más cercano a la reflexión y se caracteriza por ser un

conocimiento teórico, producido por la actividad cognitiva, muy rico en

relaciones entre sus componentes y con otros conocimientos; tiene un carácter

Competencias

0

10

plantel

Nación

plantel 4,04 0,97 3,51 0,89 3,74 0,99

Nación 4,32 1,18 3,81 1,08 3,9 1,19

Com d s d razon d


declarativo y se asocia con el saber qué y el saber por qué. Por su parte, el

procedimental está más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas y

las estrategias para representar conceptos y para transformar dichas

representaciones; con las habilidades y destrezas para elaborar, comparar y

ejercitar algoritmos y para argumentar convincentemente. El conocimiento

procedimental ayuda a la construcción y refinamiento del conocimiento

conceptual y permite el uso eficaz, flexible y en contexto de los conceptos,

proposiciones, teorías y modelos matemáticos; por tanto, está asociado con el

saber cómo.”

Estos aspectos relacionan la competencia, en dos de sus componentes el

declarativo, que representa el ¿qué?, y el procedimental que representa el ¿Cómo?

De aquí, se emiten juicios valorativos expresados en fortalezas, recomendaciones y

debilidades. Los juicios valorativos del 5º en el logro praxiológico para el primer periodo

académico son:

Valoración Insuficiente

o Debilidad: presenta dificultad al resolver correctamente problemas y

situaciones matemáticas que requieren del conocimiento de los números

naturales.

Valoración Aceptable

o Recomendación: debe tener en cuenta los procedimientos a seguir para

solucionar correctamente situaciones problémicas cotidianas que requieren

del uso de los números naturales.

Valoraciones sobresalientes y excelentes

o Fortaleza: muestra apropiación de los conceptos y procedimientos

adquiridos en la realización de ejercicios y solución de situaciones

problemas.

Observando tales juicios valorativos, es posible decir que los niños con

valoraciones aceptables e insuficientes, presentan ciertas dificultades para llegar a resolver


problemas. Entonces, podemos dividir estas valoraciones en dos grandes grupos; los que

presentan dificultades para lograr desarrollar el logro praxiológico y los que no.

Cuadro Nº 2. Agrupaciones de las valoraciones de los estudiantes

Se puede observar que en el grupo II el porcentaje de estudiantes es bastante alto.

Un 61.81 % para el grado 4º y un 52.66 %, indicando que existen problemas para alcanzar

el logro praxiológico en los discentes. Se aclara que los estudiantes que estaban en cuarto

grado han pasado al quinto grado este año 2009.

Por consiguiente se identifica claramente que los estudiantes de 5º presentan

dificultades relacionadas a los conocimientos declarativos, procedimentales y actitudinales,

que permiten el desarrollo de la competencia para resolver problemas matemáticos

contextualizados.

Para identificar algunos de los factores que pueden estar incidiendo en la anterior

problemática se realizaron diferentes tipos de indagaciones, tales como: entrevistas no

estructuradas con los docentes que orientan la disciplina en el grado quinto, informes de

tipo investigativo con estudiantes de pregrado, grupo focal realizado con docentes de la

Institución Educativa Normal Superior de Sincelejo (Sucre).

En las entrevistas no estructuradas realizadas en el mes de marzo del año 2009, a

los docentes del quinto grado de la Institución Educativa Normal Superior de Sincelejo,

preguntándoles sobre las dificultades que tienen los estudiantes en el aprendizaje de la

matemática, se encuentra que las docentes principalmente expresan: “Los estudiantes no les

gusta la materia, por mucho que yo intente realizar actividades diferentes, no encuentro la

forma de motivarlos hacia la realización de los ejercicios”. “A los muchachos se les olvida

rápido lo que aprenden, muchas veces dicen que eso no lo hemos dado y después se dan

Grupos Valoración Porcentajes de los grados

cuartos

Porcentajes de los grados

quintos

I Excelente y sobresaliente

28.17 % 47.32 %

II Insuficiente y Aceptable

61.81 % 52.66 %


cuenta que si”. “La mayoría de ellos al tratar de resolver las aplicaciones de lo aprendido

no saben que deben hacer”.

Para explorar la situación con relación a las prácticas de aula realizadas por los

profesores de Matemática de la enseñanza en básica primaria, específicamente en el quinto

grado, del municipio de Sincelejo Sucre, se observaron 26 clases (tomadas al azar y con el

conocimiento previo del profesor), en 9 escuelas.

Esta exploración realizada por los estudiantes de la Universidad de Sucre,

pertenecientes al del III semestre del programa de Licenciatura en Educación Básica con

Énfasis en Matemática (LEBEM), presentaron en los informes investigativos de la

disciplina de Prácticas Pedagógicas Investigativas III (PPI III), las siguientes falencias en el

proceso de enseñanza – aprendizaje que los docentes de matemática evidencian:

En las aulas de clase priman las estrategias basadas en la repetición, solución de

operaciones de tipo algorítmico, donde el docente presenta un modelo para la

solución de ejercicios de rutina, y les propone a los estudiantes solucionar

ejercicios del mismo tipo, hasta que manejen las operaciones que aquí se

realizan; por tanto, cuando a los estudiantes se les propone una situación que

implique reflexión, comprensión, análisis y evaluación de los resultados,

encuentran dificultades para resolverla.

En los eventos de clase se enfatiza más en los conocimientos de tipo declarativo

que en la reflexión de los conocimientos de tipo procedimental, es decir, la

importancia estriba en los resultados más que en los procesos, se les exige a los

alumnos que atiendan, memoricen, resuelvan problemas, apliquen estrategias

nuevas, sin haberles enseñado en forma metódica, sistemática y persistente qué

deben hacer y cómo deben hacer lo que de ellos se espera.

Los contenidos matemáticos en todas las clases observadas llevan la estructura

lógica de los textos guías que lleva el docente.

Por otra parte, en el grupo focal, realizado en el mes de Junio de 2009, con los

docentes que trabajan la disciplina de matemática en la Institución Educativa Normal

Superior de Sincelejo, se propuso Analizar los aciertos y desaciertos que han tenido en el


proceso enseñanza – aprendizaje de la matemática escolar los docentes de la IENSS; el

grupo estuvo conformado por 18 docentes, 9 docentes del nivel de básica primaria y 9 del

nivel de secundaria y media.

La discusión fue direccionada por el investigador de este trabajo, conjuntamente

con el jefe del área de matemática de la escuela, la metodología fue de tipo participativa; en

principio se explica el propósito de la reunión, luego cada docente participa diciendo que

aciertos y desaciertos vislumbra que han tenido hasta el momento (Finalización del

segundo periodo académico del año 2009), como conclusiones se indica que en todos los

niveles:

Existen falencias en el cómo desarrollar habilidades de pensamiento que

permitan potenciar las competencias matemáticas, así como el pensamiento

lógico y matemático.

No existen parámetros claros que permitan identificar en el nivel de desempeño

en que se encuentran los estudiantes.

Los docentes tienen conocimientos sobre lo que se le debe enseñar a los

estudiantes, teniendo en cuenta los lineamientos curriculares (MEN, 1998) y los

estándares de matemática (MEN, 2002), evidenciándose este aspecto en las

planeaciones que realizan.

Existen problemas de articulación entre los diferentes grados, se pretende que el

docente que recibe el nuevo curso tenga conocimiento de los presaberes con que

llegan los estudiantes, se recomienda el trabajo por ciclos.

En la mayoría de los casos la planeación se realiza de manera individual, lo que

no permite el dialogo entre ellos.

Existen dificultades en la disponibilidad, existencia y manejo de los diferentes

recursos didácticos y tecnológicos que permiten el desarrollo de un evento de

clase de matemática.

Específicamente en el nivel de Básica Primaria se presentan como dificultades

marcadas las siguientes:

las docentes no son especialistas en el área de matemática, lo cual en muchas

ocasiones limita en lo epistémico y didáctico el proceso de enseñanza de la

disciplina.


La mayor parte de los padres de familia no acompañan el proceso de aprendizaje

de los estudiantes.

Existen problemas de atención dispersa de los estudiantes, el trabajo en grupo

muchas veces no se puede realizar por que los estudiantes pierden la atención en

los talleres e inician el desorden.

A pesar de estar utilizando distintas estrategias, tratando de solucionar la

problemática del aprehendizaje de la matemática desde diferentes formas, no se

han tenido resultados favorables; por ejemplo: una de las docentes explica que

ha utilizado la teoría de la Modificabilidad Estructural Cognitiva (expresa que

no tiene muchos elementos, es decir no conoce mucho sobre el tema, pero aplica

lo que sabe), preguntándole a los estudiantes que aprendieron, dice que ésta

teoría se basa en cuestionamientos que buscan el desarrollo de las habilidades

cognitivas (no tienen claridad en el tema). Al parecer estas prácticas conllevan a

la docente a declinar del propósito y por lo tanto vuelve a realizar sus prácticas

pedagógicas de la manera en que lo había venido haciendo.

Los estudiantes no quieren razonar sobre los porqués de una u otra operación, es

decir cuando se les plantea un ejercicio de rutina o un problema es posible que

lo realicen, pero no saben explicar cual fue el procedimiento que utilizaron y la

forma en que lo hicieron, a su vez, la mayoría cuando intenta resolver un

problema le pregunta a la docente si lo que tiene que hacer es esta o la otra

operación. Esto permite mirar que los estudiantes pretenden solucionar los

problemas con solo realizar una operación algorítmica, dejando de lado la

reflexión.

Una de las profesoras de quinto grado, dice que ella necesita dejar hasta cuatro

talleres para que los niños no hagan desorden, que generalmente los talleres son

de ejercicios en las cuales se ponen en práctica las operaciones aprendidas en la

clase anterior. Para esta docente el propósito de las actividades es mantener a los

niños y niñas ocupados con el fin de tener una administración de aula adecuada.

A los niños y niñas se les brindan los conceptos y luego se les colocan

actividades, se les dice que repasen en casa y después de un tiempo corto


(máximo una semana) ya no se acuerdan de lo que se explico, “ya no recuerdan

nada” (expresión de una de las docentes).

Como se describe en los apartes antes expuestos, muchos de los indicadores de la

problemática apuntan a que las estrategias didácticas utilizadas por los docentes, no están

dando los resultados que ellos esperan. Se observa que la tendencia está en prestar más

atención a que el alumno se apropie del contenido del concepto, procedimiento y, en menor

medida, a la interpretación de sus posibilidades de utilización y las vías para aplicarlos, lo

que constituye una importante limitación en la concepción del proceso de formación de las

competencias matemáticas.

Las dificultades valoradas se acentúan en el nivel de básica primaria, donde los

alumnos manifiestan un desarrollo bajo en los desempeños matemáticos desde el nivel más

elemental.

Por todo lo anterior, se diseña entonces una forma diferente de abordar los

procesos de enseñanza – aprendizaje, planteándose nuevas estrategias didácticas que se

lleven a cabo en el aula de clases, que generen cambios significativos en la manera de

abordar el aprendizaje de la matemática. Ahora bien, cabe entonces preguntarse:¿Cuál es la

influencia de la implementación de estrategias didácticas con enfoque metacognitivo en el

desarrollo de la competencia resolución de problemas matemáticos en estudiantes de 5º de

la institución educativa Normal Superior de Sincelejo?

1.2 JUSTIFICACIÓN

La función de la educación en la actualidad va mas allá de transmitir el saber

acumulado y las formas de pensamiento que han surgido a lo largo del proceso histórico

cultural de la sociedad, busca también formar personas capaces de solucionar sus

necesidades, convivir en armonía con el medio ambiente y contribuir con el desarrollo de

su comunidad.

Es por ello que la educación básica plantea la formación de un individuo proactivo

y capacitado parta la vida en sociedad, siendo la educación matemática de gran utilidad e

importancia ya que se considera como una de las ramas más trascendentales para el

desarrollo de la vida del individuo, proporcionándole conocimientos básicos, como contar,


agrupar, clasificar, accediéndole la base necesaria para la valoración de la misma, dentro de

la cultura de su comunidad, de su región y de su país.

La matemática es considerada un medio universal para comunicarnos y un

lenguaje de la ciencia y la técnica, la mayoría de las profesiones y los trabajos técnicos que

hoy en día se ejecutan requieren de conocimientos matemáticos, permite explicar y

predecir situaciones presentes en el mundo de la naturaleza, en lo económico y en lo social.

Así como también contribuye a desarrollar lo metódico, el pensamiento ordenado y el

razonamiento lógico, le permite adquirir las bases de los conocimientos teóricos y

prácticos que le faciliten una convivencia armoniosa y proporcionar herramientas que

aseguran el logro de una mayor calidad de vida.

Además, con el aprendizaje de la matemática se logra la adquisición de un

lenguaje universal de palabras y símbolos que es usado para comunicar ideas de número,

espacio, formas, patrones y problemas de la vida cotidiana.

Sin embargo, de acuerdo a los resultados de las pruebas internacionales (PISA

2006, SERCE 2006), se ha detectado en muchos países falencias en los aprendizajes de los

estudiantes con respecto a la Matemática escolar, aunque son muchos los aspectos que

pueden influir en dichos resultados, también es posible que uno de ellos no menos

importante puede ser focalizados desde la didáctica empleada en el proceso de enseñanza,

es decir se puede estar fallando en la aplicación de estrategias que conlleven a un mejor

aprendizaje.

Esta realidad es un indicador para el desarrollo de el presente estudio basado en el

uso de estrategias didácticas con enfoque metacognitivo, teniendo en cuenta que se

considera ésta como una opción fundamental, para superar ciertos problemas de la

enseñanza de la matemática y se justifica hacerlo porque a nivel Nacional, Departamental y

Municipal el desempeño de los estudiantes en las instituciones educativas y en las pruebas

de estado refleja debilidades marcadas, particularmente en la competencia resolución de

problemas.

En Colombia y a nivel mundial se da importancia a la educación matemática,

debido a razones diferentes, una de ellas se basa en el carácter utilitario en que se encuentra

la sociedad, como lo plantea Vasco (2006): “el mundo social y laboral fuertemente

tecnoligizado del siglo XXI requiere cada vez más de herramientas proporcionadas por las

http://edisvelasquez.obolog.com/pensamiento-logico-matematico-educacion-basica-76287


matemáticas”, también se le da importancia porque el conocimiento matemático es

imprescindible y necesario en todo ciudadano para desempeñarse en forma activa y crítica

en su vida social, y para interpretar la información necesaria en la toma de decisiones y en

la resolución de problemas de la vida cotidiana.

De esta forma la propuesta de intervención en la que se busca desarrollo del

pensamiento matemático en lo que respecta a la resolución de problemas, es relevante en

torno que apunta a dar respuesta a lo planteado en los Estándares de Matemática del MEN

(2006) y en los lineamientos curriculares de matemática (1998), referido a uno de los

procesos generales de la actividad matemática el de formulación, tratamiento y resolución

de problemas, los documentos resaltan que este proceso se podría convertir en el principal

eje organizador del currículo de matemáticas, porque las situaciones problemas

proporcionan el contexto inmediato en donde el que hacer matemática cobra sentido.

A su vez, en el plan decenal (2006 - 2016) de educación en Colombia se describe

la necesidad de: adoptar, consolidar y poner en marcha una política de Estado, para que la

coherencia y cohesión de un sistema educativo, incluyente y contextualizado, se dé en todos

los niveles desde la educación inicial hasta la superior, en la búsqueda del desarrollo de

competencias básicas, ciudadanas, laborales generales y específicas y del desarrollo

humano, orientadas a la satisfacción de las necesidades de la población del país y del

mundo, con criterios de flexibilidad pedagógica y curricular para lograr una formación

integral ciudadana y de convivencia pacífica. Es decir se prioriza en la formación de

competencias, por esto la resolución de problemas dentro de lo declarativo, actitudinal y

procedimental del conocimiento matemático, aporta en este sistema mediado por la

inclusión y la contextualización.

Por ello el diseño de currículos pertinentes que garanticen el desarrollo de

diferentes competencias, orientados a la formación de los estudiantes en cuanto a ser, saber,

hacer y convivir, y que posibilite su desempeño a nivel personal, social y laboral, es de gran

importancia; La formación deberá estar mediatizada por docentes que permitan el

desarrollo de habilidades, capacidades y actitudes que coadyuven en el beneficio de la

estructuración social, existiendo la posibilidad de formar ciudadanos críticos, creativos e

innovadores para actuar en la sociedad.


Para el departamento de Sucre y el municipio de Sincelejo, esta propuesta es

totalmente relevante, porque se hace necesario buscar alternativas de solución a la

problemática que presentan tanto el departamento, como el municipio en lo que respecta a

las evaluaciones externas, lo que es un indicador a nivel nacional de baja calidad educativa.

Por esta razón, establecer nuevas formas de abordar los aspectos relacionados con la

enseñanza y el aprendizaje de la matemática escolar se hace prioritario, ya que, no es

posible cambiar este panorama si se repiten una y otra vez las mismas prácticas

pedagógicas, por ende este tipo de propuestas en las cuales se dan alternativas didácticas en

pro del mejoramiento de esta situación son imprescindibles.

En atención a lo anterior, esta investigación busca en gran medida llenar un vacío

didáctico, tal como lo plantea Barderas (2000): “la educación matemática se caracteriza

por su énfasis en la memorización y el miedo hacia la asignatura. En tal sentido, cabe

destacar que en la práctica, el razonamiento ha sido dejado a un lado y la imposición de

reglas y algoritmos se ha apoderado del escenario aula”. Una evidencia cierta se tiene en

los apuntes que toman durante las clases los alumnos; en ellos se refleja una presencia

absoluta de definiciones y operaciones; dejándose de lado el análisis matemático generado

por verdaderos problemas matemáticos.

De esta manera, en la mayoría de los casos, en la clase de matemática los números

son presentados como símbolos, sin relación con la vida diaria; igualmente, las estrategias

lineales de razonamiento son convertidas en rutina. El predominio de las operaciones o de

las famosas “planas” de números, señalan claramente el carácter abstracto y fuera de

contexto de la enseñanza de las matemáticas en la actualidad.

En concordancia se busca con esta investigación generar un impacto positivo, el

cual tendrá como beneficiarios principales los docentes, quienes obtendrán la oportunidad

de aplicar una estrategia efectiva de enseñanza, basada en el aprendizaje autónomo,

formándose ; a su vez los estudiantes quienes con un ambiente diferente de aula, con

acciones atractivas y pertinentes, como producto de la aplicación de un programa basado en

estrategias didácticas con enfoque metacognitivo, tendrán la opción de aprender a aprender

y de aprender haciendo, lo cual abona a una estructuración cognitiva y metacognitiva,

donde el proceso se centre más en ellos, contextualicen el saber y el saber hacer de la

matemática y le encuentren razón de ser en la aplicabilidad de la vida diaria.


La importancia de la enseñanza de estrategias metacognitivas radica en que todo

infante es un aprendiz que se encuentra ante nuevas tareas de aprendizaje. En estas

condiciones lograr que los estudiantes “aprendan a aprender”, que lleguen a ser capaces de

aprender de forma autónoma y autorregulada se convierte en una necesidad de nuestra

sociedad. Uno de los objetivos de la instituciones educativas debe ser mediar el proceso en

el cual los discentes se conviertan en aprendices autónomos, el logro de este objetivo va

acompañado de la necesidad de “enseñar a aprender” (Osses y Jaramillo, 2008).

Otro de los motivos que suscitan la realización de esta investigación, se debe a la

escaza producción intelectual en el campo de la metacognición con estudiantes de básica

primaria, específicamente en el área de matemática y en la resolución de problemas

contextualizados, tanto a nivel nacional, Departamental y Municipal.

Atendiendo a la eficacia que pueda generar la implementación del programa, se

realizarán todos los esfuerzos para proponerlos como opción didáctica en la institución

educativa base de la investigación, con proyección de su aplicación a nivel Municipal,

Departamental y Nacional.

Por otra parte, se justifica el desarrollo de la presente investigación para el SUE

Caribe y su programa de Maestría en Educación en lo que respecta a su justificación que

promulga la generación de cambios a nivel conceptual, actitudinal y metodológico de los

docentes, para trascender las prácticas educativas, planteando como principales factores la

transformación de la formación docente y la necesidad de autogestión para asi mejorar la

calidad de la educación.

Apunta a su vez, a la formación de educadores capaces de integrar la docencia con

la investigación, como es el caso de esta propuesta, y la proyección social; se pretende

también aportar a la solución de las problemáticas planteadas en la Maestría en Educación

como lo es la falta de idoneidad de algunos educadores en competencias para el desempeño

docente, manifestado en debilidades metodológicas, estratégicas y didácticas, así como la

escasa innovación de la práctica pedagógica; también la poca formación pedagógica y débil

fundamentación para abordar los problemas educativos desde el ejercicio investigativo.


1.3 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN

1.3.1 Objetivo General:

Determinar la influencia de la implementación de estrategias didácticas con

enfoque metacognitivo en el desarrollo de la competencia resolución de problemas

matemáticos en estudiantes de 5º de la institución educativa Normal Superior de Sincelejo

1.3.2 Objetivos específicos

Establecer un marco referencial pertinente a la constitución de propuestas tendientes al desarrollo de estrategias didácticas con enfoque metacognitivo.

Diseñar un programa de intervención teniendo en cuenta estrategias didácticas con enfoque metacognitivo, en concordancia con las teorías seleccionadas.

Evaluar la efectividad de la enseñanza empleando estrategias didácticas con enfoque metacognitivo como método innovador, en estudiantes de 5º de la institución Educativa Normal Superior de Sincelejo

Comparar los procesos y resultados de aprendizaje de estudiantes de diferentes grupos, sujetos unos al enfoque didáctico tradicional y otros a estrategias didácticas con enfoque metacognitivo

Establecer la existencia de diferencias estadísticamente significativas en el desarrollo de la competencia resolución de problemas matemáticos de estudiantes de 5º, entre los métodos tradicionales de enseñanza y las estrategias didácticas con enfoque metacognitivo.


REFERENTES

2 MARCO TEÓRICO

2.1 ANTECEDENTES

Después de realizar la búsqueda de antecedentes investigativos se pudo constatar

que ciertas investigaciones guardan estrecha relación con este proyecto, seguidamente se

muestran elementos importantes de éstas.

En esta búsqueda se encuentra que en el año 2000, se presenta la investigación

realizada por Maribel Ferrer Vicente en Cuba, titulada La Resolución de Problemas en la

Estructuración de un Sistema de Habilidades Matemáticas en la Escuela Media Cubana, en

la que se establece como problema científico: La insuficiente preparación de los alumnos

de la enseñanza media para resolver problemas matemáticos y su relación con la falta de

una concepción sistémica en la formación de las habilidades matemáticas. A su vez

plantea como objetivo general “el establecimiento de un modelo didáctico para la

dirección del proceso de formación de las habilidades matemáticas, con un enfoque

sistémico, basado en el papel de la resolución de problemas”.

CAPITULO II


Para la investigación actual cobra importancia la tesis anterior, debido a que se

establece en su marco referencial las concepciones sobre resolución de problemas, a su vez

que define la habilidad matemática a partir de la idea de que expresa la preparación del

alumno para elaborar, reelaborar y aplicar sistemas de acciones de carácter esencialmente

matemático en una diversidad de situaciones intra o extramatemáticas, es decir, construir el

modo de actuar más que su apropiación. A su vez, conceptúa que la habilidad para resolver

problemas matemáticoses la construcción y dominio, por el alumno, de los modos de actuar

y métodos de solución de problemas utilizando los conceptos, teoremas y procedimientos

matemáticos, en calidad de instrumentos y las estrategias de trabajo heurístico para la

sistematización de esos instrumentos en una o varias vías de solución.

Por otra parte la metodología utilizada de tipo cualitativa, de carácter interventivo

con una estrategia didáctica donde se prepara a los docentes para que sea aplicada, ayuda a

esbozar también los pasos que se realizarán en esta investigación, de acuerdo a la

preparación de los profesores que intervendrán en el programa. Como conclusiones la

autora plantea que la resolución de problemas matemáticos, en sus funciones de medio y fin

del aprendizaje, constituye una actividad compleja e integral que requiere de la formación

de modos de actuación, métodos de solución y procedimientos específicos a partir de los

cuales ha quedado estructurado un sistema de habilidades matemáticas así como una

metodología para su aplicación práctica, también que la experiencia realizada constata que

el modelo teórico es aplicable en las condiciones actuales de la escuela y que pueden

lograrse niveles superiores en la formación de las habilidades matemáticas en los alumnos.

Otra de las investigaciones que brinda aportes notables para el presente trabajo,

ahora en el campo metacognitivo, se realizó en dos centros públicos de educación

secundaria de la comunidad de Madrid (España) en el año 2001, el objetivo principal de la

investigación fue el de aplicar un programa diseñado para mejorar el empleo de estrategias

metacognitivas en el aprendizaje de chicos y chicas. Bara (2001), plantea la siguiente

hipótesis investigativa: los estudiantes que hayan participado en el programa de estrategias

de aprendizaje presentarán mejoras respecto a aquellos otros que no han participado en él

en sus estrategias metacognitivas valoradas específicamente, (estrategias de adquisición,

codificación, recuperación y apoyo al procesamiento).


Deduce que la variable docente, con sus problemas de autoridad, las

peculiaridades del grupo, la falta de motivación de sus componentes, los cuales aprovechan

cualquier resquicio para fomentar actos de indisciplina, condicionó en gran medida la

dinámica de las sesiones en sentido negativo. Considerando lo anterior se debe ser muy

cuidadoso a la hora de implementar un programa para mejorar estrategias cognitivas y

metacognitivas con respecto a las variables docente, motivación e indisciplina.

Una de la conclusiones que plantea Bara (2001), es que los resultados de esta

intervención podrían haber sido otros si se hubiera conseguido: un mayor grado de

implicación del profesorado del centro, es decir, que éstos y no unos pedagogos ajenos al

instituto impartieran las sesiones correspondientes al tratamiento, como una parte más de

sus clases, integradas estas estrategias en sus contenidos habituales y evaluadas

consiguientemente; dedicar más tiempo de aplicación al programa y en horarios adecuados;

e impartir las sesiones no de forma independiente de las materias como ha sucedido, en una

clase relativamente autónoma como es la hora de tutoría y cuya alternativa es marcharse si

no hay un tema específico, pese a proponerles que las apliquen a partir de ahora a sus

estudios y recalcarles la trascendencia de dominar estas estrategias. Los anteriores

requerimientos se tienen en cuenta en el planteamiento de esta propuesta investigativa, en

cuanto a la aplicación de ésta por los docentes de la institución, previa preparación por

parte del investigador.

Por otra parte, realizada en el mismo año se encuentra una investigación que lleva

como titulo: “la enseñanza de estrategias de resolución de problemas matemáticos en la

ESO (Educación Secundaria Obligatoria): un ejemplo concreto”; los autores Pifarré y

Sanuy (2001) se trazaron el objetivo de enseñar estrategias generales o heurísticas (de tipo

cognitivo y metacognitivo) y de estrategias específicas de resolución de problemas sobre

proporcionalidad directa, trabajaron con estudiantes de tercer grado de la Enseñanza

Secundaria Obligatoria en la ciudad de Lleida (España). El estudio se realizó en tres fases o

momentos: evaluación inicial, intervención o realización de la propuesta didáctica durante

un trimestre de clase (30 horas de clase, aproximadamente) y evaluación final.

Los investigadores pusieron en marcha una propuesta de enseñanza – aprendizaje

que guía el aprendizaje de estrategias generales (de tipo cognitivo y metacognitivo) y de

estrategias específicas de resolución de problemas. Los elementos más importantes que


definen y ejemplifican en la propuesta diseñada son los siguientes: a) el diseño de un

material didáctico formado por un conjunto de instrucciones-guía y de cuestiones sobre

diferentes aspectos del proceso de resolución de un problema y que denominamos como

hojas para pensar el problema (Pifarré, 1998); b) la planificación y utilización por parte del

profesor de estrategias de enseñanza de modelaje y de autointerrogación; y c) el diseño de

un contexto de aprendizaje que favorece la resolución de problemas de manera colaborativa

entre parejas de alumnos.

El trabajo mostró la incidencia positiva, en el aprendizaje de los alumnos, de

cuatro elementos de la propuesta didáctica analizada y que tendrían que estar presentes en

el diseño de propuestas de enseñanza-aprendizaje que tengan como objetivo mejorar el

proceso y las estrategias para resolver problemas matemáticos de los alumnos de ESO: a)

contextualizar los problemas a resolver por el alumno en situaciones cotidianas de su

entorno; b) utilizar métodos de enseñanza que hagan visibles las acciones para resolver un

problema, proceso poco conocido desde el punto de vista del alumno; c) diseñar diferentes

tipos de materiales didácticos que guíen la selección, la organización, la gestión y el control

de los diferentes procedimientos para resolver un problema; y d) crear espacios de

discusión y de reflexión alrededor de este proceso, como por ejemplo, el trabajo en

pequeños grupos o en parejas.

En consonancia con lo anterior, cabe citar también la investigación realizada por

Ruiz (2002) en Venezuela, donde el objetivo principal del estudio consistió en determinar

si existe una transferencia del entrenamiento metacognitivo en comprensión de lectura al

mejoramiento de la habilidad de resolución de problemas y viceversa, el estudio se diseño

con los propósitos de: a) determinar el efecto del entrenamiento metacognitivo en las

variables habilidad de comprensión de lectura (HCL) y habilidad de resolución de

problemas (HRP); y (b) determinar si es posible la transferencia recíproca de dicho

entrenamiento entre ambas variables.

Se utilizó un diseño cuasi-experimental de tres grupos intactos, con pretest y

postest. La muestra estuvo constituida por 98 estudiantes de séptimo grado de Educación

Básica, organizados en secciones de clase (n 1 = 32; n 2 = 30 y n 3 = 36), provenientes de

una unidad educativa pública de la ciudad de Cabudare (Estado Lara, Venezuela).


El tratamiento del grupo 1 consistió en la aplicación de estrategias metacognitivas

en la lectura a fin de mejorar su nivel de comprensión; El tratamiento del grupo 2 fue

similar al del grupo 1, en cuanto a la estrategia de mediación utilizada y en cuanto al

propósito del modelo. La distinción básica consistió en la naturaleza del tipo de tarea

utilizada en el entrenamiento metacognitivo. En este caso, se utilizó un enfoque de

resolución de problemas genéricos; En el tratamiento del grupo 3, los estudiantes trabajaron

con un material similar al de los grupos 1 y 2 (siete lecciones de las fichas de comprensión

de lectura y siete ejercicios de resolución de problemas), pero sin la intervención mediadora

del docente.

Los resultados indican que la mediación de estrategias metacognitivas del docente

tuvo un efecto significativo en el mejoramiento de las habilidades de comprensión de

lectura y de resolución de problemas de los sujetos, lo cual es un importante aporte a este

trabajo debido a la metodología aplicada de carácter cuantitativo y un diseño cuasi

experimental con grupos intactos, y también la variable dependiente que se trabajo como

habilidad de resolución de problemas.

Otro estudio encontrado, trata de “los procesos metacognitivos, una experiencia

desescolarizada con el empleo de medios virtuales” (Romero et al; 2002). En este se realiza

una revisión teórica amplia acerca de la metacognición, la evolución del concepto, la

definición de habilidades cognitivas y las implicaciones de estos conceptos en el ámbito

educativo. El objetivo de la investigación se baso en describir los Procesos Metacognitivos

requeridos en la educación virtual para diseñar estrategias educativas en el marco de los

modelos interactivos de aprendizaje.

Está investigación realizada en la Universidad Tecnológica de Pereira (Colombia),

se encuentra un estado del arte de la evolución de las investigaciones en el campo

metacognitivo, los cuales se remontan a los estudios realizados por Flavell (1971). Según

los autores, Flavell inicia sus trabajos sobre la metamemoria en los niños, llegando a la

reflexión acerca del conocimiento que los niños tienen de sus propios procesos cognitivos,

a lo cual le dio el nombre de metacognición. Esta investigación es importante para este

proyecto debido a que brinda amplias concepciones sobre el término metacognición así

como los procesos donde esta se desarrolla.


En el año 2004 se publica también una investigación realizada en Buenos Aires

(Argentina), Por Graciela Amadeo y Nora Santarelli, Sobre los procesos metacogtivos en la

resolución de problemas y su implementación en la práctica docente; las autoras consideran

la resolución de problemas y el análisis de protocolos como herramientas metacognitivas

que permiten el aprendizaje de los contenidos matemáticos, utilizando la reflexión por parte

de alumnos y docentes como estrategia de resolución de problemas, la metodología de corte

cualitativo, brinda herramientas conceptuales sobre los procesos metacognitivos que se

retoman en este trabajo.

La investigación concluye que la enseñanza de contenidos matemáticos mediante

la resolución de problemas y la reflexión conjunta de estudiantes y docentes sobre los

procesos de resolución (estrategias metacognitivas) favorece el proceso dialéctico de

construcción del conocimiento, presentando la eficacia que tienen las estrategias

metacognitivas en el proceso educativo.

En el marco del presente trabajo cobra relevancia la investigación realizado por

Toboso (2004), en lo que respecta a la evaluación de habilidades cognitivas en la resolución

de problemas matemáticos. Investigación realizada en con estudiantes del primer ciclo de

educación Secundaria Obligatoria, en una provincia de Valencia (España).

Según Toboso la capacidad para resolver problemas matemáticos está relacionada

con las siguientes habilidades cognitivas y conocimientos específicos:

- El dominio lingüístico-semántico de la lengua en la que están expresados los

problemas, como elemento básico para comprender su significado.

- El desarrollo de unos esquemas cognitivos que permitan representar el problema

mentalmente, integrarlo en una categoría y elegir el planteamiento adecuado de resolución.

- El conocimiento de unas estrategias que planifiquen y organicen los pasos del

proceso a seguir para llegar desde el estado inicial al final del problema.

- El dominio operatorio o algorítmico que permita ejecutar las operaciones

necesarias para llegar a la solución de forma precisa.

Entre algunas de las conclusiones del autor se destaca la comprobación de

hipótesis teóricas tales como: Se constata que la comprensión lectora, el reconocimiento de

la naturaleza del problema, la organización de las estrategias que lo resuelven, y la

ejecución correcta de los algoritmos, aritméticos y algebraicos, son variables predictores


del rendimiento general en matemáticas y de la capacidad que presentan los alumnos para

resolver los problemas planteados en esta asignatura (Sternberg, 1985a y Mayer, 1883).

En relación a los componentes cognitivos que intervienen en la resolución de

problemas matemáticos, se advierten las mayores dificultades en el reconocimiento del

problema y el conocimiento estratégico (Lewis y Anderson, 1985; Sternberg, 1985a y

1985c; y Berger y Wilde, 1987). Un porcentaje significativo de alumnos resuelven, de

forma “mecánica”, una parte de los problemas planteados, ejecutando los algoritmos

indicados, pero desconociendo la naturaleza del problema (Sternberg, 1986). A su vez los

estilos ejecutivo, legislativo y local, de Grigorenko y Sternberg (1992), inciden

positivamente en el rendimiento escolar de los alumnos, presentando peores resultados los

alumnos con estilo progresista (Serrano, 1994). También concluye que el grado de

autoestima académica se presenta como una variable con clara incidencia favorable en el

desarrollo cognitivo de los alumnos y el rendimiento escolar (Alonso Tapia, 1986 y 1995).

De esta forma la investigación realizada por Toboso (2002), es relevante en la

medida que otorga importancia a las estrategias que los estudiantes utilizan para resolver

problemas matemáticos sean rutinarios o contextualizados, de esta manera brinda un

andamiaje para esta propuesta en el orden que se intenta poner a prueba diferentes

estrategias didácticas con un enfoque metacognitivo en pos de ir desarrollando diferentes

capacidades, específicamente la habilidad de resolver problemas matemáticos

contextualizados.

Por otra parte, se encuentra una investigación realizada por Martínez (2004), quien

se refirió a la concepción de aprendizaje, metacognición y cambio conceptual en

estudiantes Universitarios de Psicología, en la universidad de Barcelona (España), se

establece una relación directa entre el uso de las estrategias metacognitivas y la concepción

de aprendizaje, destacando a su vez la conexión relevante entre la activación metacognitiva

y la estrategia instruccional.

Entre los resultados que presenta el autor se destacan: que las estrategias

metacognitivas y la pericia están relacionadas significativamente con la concepción de

aprendizaje. Sin embargo, la concepción constructiva es la más asociada a dichas variables,

mientras que el comportamiento de la concepción directa es prácticamente imposible de


explicar a partir de la interdependencia de las mismas variables. Este estudio basado en un

diseño cuasi - experimental con tres grupos, de diferentes tipologías y diferentes semestres.

Se destaca que existen diferencias significativas en la puntuación media de las

concepciones interpretativa y constructiva en función del aumento del empleo de las

estrategias metacognitivas, en el caso de la concepción constructiva, los sujetos que

manifiestan mayor puntuación son los de pericia alta y, más concretamente, los de mayor

puntuación en estrategias metacognitivas, motivación alta y que se consideran así mismos

sujetos activos en su aprendizaje.

Es importante aclarar que el estudio realizado por Martínez (2004), a pesar de ser

realizado en estudiantes universitarios brinda elementos metodológicos para el desarrollo

del presente trabajo, al ser de carácter cuantitativo y de carácter comparativos con respecto

a las variables estudiadas.

A su vez, se encontró una investigación realizada por Rocha, T. Cajaraville, J. y

Labraña P. (2004), realizada en España, en la Universidad de Compostela, Cuyo problema

de investigación se centro en el estudio de la influencia de algunas componentes

metacognitivas, particularmente las habilidades y estrategias metacognitivas, sobre la

compresión de las matemáticas, en un contexto de resolución de problemas.

El diseño de la investigación es de corte cualitativo, un estudio de caso

específicamente, donde se analizan los protocolos escritos por tres estudiantes, al resolver

diferentes problemas matemáticos.

De manera general los investigadores consideran que las diferencias en el dominio

del lenguaje, utilizado por los estudiantes en el desarrollo de protocolos metacognitivos,

caracterizan algunos matices que permiten discriminar diferentes niveles de comprensión

relacionados con la representación de los objetos matemáticos.

De aquí resulta interesante, la forma en que los investigadores utilizaron los

protocolos cognitivos y el Pensamiento en voz alta para indagar sobre los procesos

metacognitivos que estaban utilizando los estudiantes, estas estrategias son retomadas en

este estudio con el fin de ir conformando un programa de intervención que ayude a los

estudiantes a resolver problemas en el contexto de la matemática realista.

Cabe resaltar la investigación realizada por López (2004), sobre las “estrategias

metacognitivas utilizadas por los alumnos de sexto grado de la U.E. Enrique Barrios


Sánchez, en la resolución de problemas matemáticos”, donde se considera importante el

papel que juega la metacognición en el aprendizaje, es decir, la toma de conciencia por

parte del alumno acerca de lo que está sucediendo en su mente cuando enfrenta una tarea,

de forma tal que el mismo estudiante pueda conocer y decidir acerca del mejor uso de sus

recursos cognoscitivos. Bajo el criterio expuesto, es el estudiante quien utilizando y

combinando esos procesos configura estrategias metacognitivas que les puedan permitir

consolidar sus habilidades intelectuales.

Entre algunas recomendaciones encontradas en este trabajo, el autor resalta

incorporar en cualquiera de las formas de planificación escolar, alternativas metodológicas

que coadyuven en el desarrollo de las potencialidades de los alumnos para el uso de la

metacognición a los fines de mejorar los procesos de aprehensión de conocimiento

matemático en éstos.

Sugiere a los docentes del área de matemática, la aplicación de las estrategias

orientadas a desarrollar la metacognición en los alumnos, no sólo para orientar la resolución

de problemas sino para potenciar las competencias que les permitan mejorar el acceso al

conocimiento. Por su parte, a los investigadores de Educación Matemática, les sugiere la

replicación del estudio a los fines de consolidar el uso de la metacognición como alternativa

didáctica para el mejoramiento del aprendizaje en el área.

Un estudio realizado en Bogotá (Colombia), en la Universidad Santo Tomás,

Titulado “Como suman los niños: Un recorrido a través de los procesos de razonamiento,

metacognición y creatividad”, cuyo objetivo general fue de describir y comprender,

mediante la estrategia de investigación pensar en voz alta (Peva), cómo operan los procesos

de razonamiento, metacognición y creatividad en los niños de segundo grado al momento

de formular y resolver problemas matemáticos con estructuras aditivas relativas a la suma,

también resultó ser un referente importante para esta investigación.

Los investigadores Bernal, T et al (2005), quienes utilizaron un método de

investigación cualitativa, con instrumentos como el Peva y la entrevista semiestructurada

para indagar en los niños el proceso que siguieron al resolver las situaciones problemas

planteadas, encontraron que la metacognición presenta un indicador de supervisión

consistente. Lograron establecer que los procesos de razonamiento, metacognición y

creatividad tienen indicadores se conectan y se ponen en evidencia de manera simultánea.


Por otro lado encontraron que en el proceso metacognitivo se observo que los

indicadores de detección del problema, diseño y ejecución de estrategias y coherencia, se

mostraron con frecuencia en la misma acción y verbalización reportada por el niño.

Otra investigación realizada en el año 2005 fue la de Esther Rodríguez Quintana

en la ciudad de Madrid España presenta la metacognición articulada con la resolución de

problemas y la enseñanza de las matemáticas. En este se plantean las siguientes hipótesis

investigativas H1.: El conocimiento fundamental para el éxito en la resolución de tareas

problemáticas es el conocimiento condicional (que se refiere a cuándo y cómo poner en

juego un determinado concepto o procedimiento y se fundamenta en el por qué de dicha

acción). H2.- El carácter problemático de una tarea depende del conocimiento previo de los

alumnos. Y la H3.- El carácter problemático de las tareas matemáticas no sólo debe situarse

en la fase de modelización, sino también en la de ejecución.

Los resultados apoyan las hipótesis de partida. Paradójicamente, la atribución

asignada a la resolución de problemas como actividad estructuradora del currículum se

convierte, debido a la ausencia de un cuestionamiento de los niveles superiores al tema, en

un tema más, por la imposibilidad de transponerlo, sin salir del nivel temático, en el

contenido común y dinamizador de todo el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Los mismos saltos que se detectan en los documentos curriculares se observan

también en la investigación relativa a la resolución de problemas. Encontramos, por un

lado, investigaciones preocupadas por enseñar a resolver problemas en cuanto a proceso

básico e independiente del contenido y, por otro, planteamientos situados en el puntual o a

lo sumo temático dentro del área disciplinar.

Del mismo modo que la restricción del ámbito de actuación de los profesores de

matemáticas al nivel temático, por lo tanto esto impide el desarrollo en el aula de las

necesarias conexiones para incorporar los aspectos metacognitivosnecesarios para lograr

una transferencia del aprendizaje.

La autora encontró que existe la ausencia de un modelo de la actividad

matemática, el cual incorpore la resolución de problemas y con ello los aspectos

metacognitivos de manera integrada en el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo tanto se

hace difícil el desarrollo transpositivo necesario para llevar a la práctica este objetivo

educativo.


De este modo, la imposibilidad de incorporar la resolución de problemas en los

niveles superiores de la disciplina hace que tampoco se logre en los niveles más concretos y

ello deriva en el aislamiento de la resolución de problemas como un aspecto separado de

los demás.

En el mismo sentido se encuentra el trabajo realizado por Sulbarán (2007) sobre

estrategias docentes y las capacidades metacognitivas del alumno, quien resalta la

importancia de promover estrategias docentes (estrategias didácticas) que incentiven las

capacidades metacognivas en los estudiantes, aunque este trabajo se ajusta al área de

lingüística, es importante para esta investigación debido que utiliza un diseño metodológico

muy parecido al que aquí se plantea, es decir un diseño de cuatro grupos (de Solomón).

Por otra parte, también en el diseño se proponen una serie de estrategias para que

estas sean aplicadas por los docentes que laboran en el centro educativo, con el fin de

mejorar la capacidad metacognitiva de los estudiantes.

El instrumento aplicado fue validado internamente con el alfa de Crombach (0.81)

y se valido externamente con tres expertos, se le aplico pretest a los grupos 1 y 3, a su vez

que la pos prueba fue aplicada a los cuatro grupos; como conclusiones Sulbarán encontró

que las estrategias docentes con carácter metacognitivo contribuyeron de manera

significativa en el desarrollo de las habilidades comunicativas de lectura y escritura así

como en las creativas.

A su vez, se encuentra una investigación realizada en Bélgica con niños de 3º y 4º

de educación primaria titulada “La evaluación y mejora del proceso de enseñanza –

aprendizaje de las matemáticas a través de la metacognición” (Desoete, A. 2007); Este

busca aclarar algunos de los paradigmas en la evaluación de la metacognición.

Se realizó un estudio de tipo longitudinal con 32 niños, para investigar sobre el

aprendizaje matemático y las habilidades de estos niños. Las habilidades metacognitivas

fueron evaluadas de diferentes maneras, entre las cuales se destacan: los docentes,

protocolos de pensamiento en voz alta (Peva), calificaciones infantiles del pasado y del

futuro y la EPA 2000.

El estudio concluye que se optimiza el aprendizaje de las matemáticas a través del

uso de estrategias metacognitivas, también que existe evidencia que la forma de evaluar

determina lo que se quiere conseguir, que los protocolos del pensamiento en voz alta


resultan técnicas precisas para evaluar las “habilidades” metacognitivas de los niños con un

nivel adecuado de fluidez verbal, pero requieren un tiempo excesivo.

Un estudio reciente, se da en estudiantes de básica primaria, al igual que el

presente, lo cual no es muy común; Tárraga (2008), valora la eficacia de un entrenamiento

en solución de problemas matemáticos basado en la instrucción y práctica de estrategias

cognitivas y metacognitivas en alumnos con dificultades del aprendizaje en matemática

(DAM). Su diseño metodológico de tipo cuasiexperimental, con tres pruebas, antes de la

intervención, inmediatamente después de la intervención y transcurridos dos meses tras la

intervención, evalúa los efectos inmediatos del programa como el mantenimiento en el

tiempo de estos efectos.

Tárraga corrobora la hipótesis de que el programa de entrenamiento es

beneficioso, y sus efectos se mantienen en periodos de tiempo prolongados, al menos hasta

dos meses. Se demuestra que el entrenamiento en estrategias cognitivas y metacognitivas

de solución de problemas si tiene efectos positivos duraderos en periodos de tiempo

razonables.

También concluye que la intervención llevada a cabo por los propios maestros de

los estudiantes, da resultados favorables, es decir, se constata que los agentes que

directamente intervienen con los alumnos son capaces de desarrollar correctamente la

intervención si reciben la información adecuada.

Cada una de las investigaciones expuestas anteriormente apoya el propósito de

este trabajo, en primer lugar desde el aspecto referencial y teórico brindando amplias

concepciones sobre el término metacognición así como los procesos donde esta se

desarrolla, permitiendo la articulación de estrategias didácticas con una mirada desde lo

metacognitivo en pro del desarrollo de la competencia para resolver problemas en los

estudiantes de la básica primaria, a su vez que se potencializan las competencias que les

permiten mejorar el acceso al conocimiento.

En segundo lugar desde lo metodológico, se puede observar la variedad de

métodos en los que se han ido desarrollando en las investigaciones referidas a la educación

matemática y a las propuestas metacognitivas, desde lo cualitativo y lo cuantitativo;

algunos investigadores utilizan instrumentos y técnicas como el PEVA (Pensamiento en

voz alta) y los protocolos cognitivos, precisas para realizar sus estudios referentes a lo


metacognitivo; otros utilizan pruebas con diseños pretest – postest, utilizando instrumentos

validados y confiables, con el fin de medir la variable independiente intervenida con

estrategias de tipo metacognitivo, comparando diferentes grupos para establecer diferencias

significativas entre ellos.

En lo que respecta al diseño de la propuesta de intervención resulta primordial

tener en cuenta lo siguiente : a) contextualizar los problemas a resolver por el alumno en

situaciones cotidianas de su entorno; b) utilizar métodos de enseñanza que hagan visibles

las acciones para resolver un problema; c) diseñar diferentes tipos de materiales didácticos

que guíen la selección, la organización, la gestión y el control de los diferentes

procedimientos para resolver un problema; y d) crear espacios de discusión y de reflexión

alrededor de este proceso. Pifarré y Sanuy (2001).

Por último, se tienen en cuenta algunas recomendaciones dadas, tales como: la

intervención sea llevada a cabo por los propios maestros de los estudiantes como agentes

que directamente intervienen con los alumnos, realizándoles la cualificación pertinente al

proceso; incorporar en cualquiera de las formas de planificación escolar, alternativas

metodológicas que coadyuven en el desarrollo de las potencialidades de los alumnos para el

uso de la metacognición a los fines de mejorar los procesos de aprehensión de

conocimiento matemático en éstos; trabajar con problemas contextualizados y que la

enseñanza de contenidos matemáticos basada en la resolución de problemas y la reflexión

conjunta de estudiantes y docentes sobre los procesos de resolución (estrategias

metacognitivas) favorece el proceso dialéctico de construcción del conocimiento.

2.2 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESDE EL CONOCIMIENTO

MATEMÁTICO.

De los problemas se ha dicho que son “el corazón de la Matemática” (Halmos, 1980).

En este capítulo se tratará mostrar las diferentes concepciones que se han

presentado sobre la resolución de problemas matemáticos específicamente, mirando a su

vez algunos tópicos desde las investigaciones sicológicas en el aspecto general de resolver

problemas.


Comenzar a definir que es un problema, crea una gama de concepciones y

definiciones de diversa naturaleza, este es utilizado de manera frecuente en el ámbito

escolar confundiéndose con diferentes actividades que se proponen a los estudiantes,

persiguiendo distintas metas y cuya resolución exige aplicar diferentes conocimientos,

estrategias, habilidades y capacidades que generalmente forman parte del currículo de

matemática.

El término “problema” se ha definido, según Kilpatrick (citado por Callejo, 1998),

desde diferentes perspectivas, la psicológica (el sujeto que aborda el problema y los

procesos mentales implicados en su resolución), el curricular (el papel que juegan los

problemas en la enseñanza de la matemática), el Matemático (definición de qué es un

problema) y el didáctico (como se enseña y aprende a resolver problemas). Por esta razón

vale la pena discutir sobre la noción de “problema” y de que manera se aproximaría en este

trabajo una concepción a lo que se considera problema.

Desde el punto de vista psicológico según Agre (1982), cuatro son las condiciones

que una situación debe cumplir para poder ser llamada problema:

1. Debe haber un sujeto que reconozca la situación problemática

conscientemente;

2. Debe ser una situación que genere cierta incomodidad, debe ser, por tanto,

indeseable, o dicho en términos positivos, el sujeto debe sentir el deseo de

liberarse de la situación;

3. Debe ser una situación con cierto nivel de dificultad pero sin dejar por ello de

tener solución.

En este sentido, el autor le da importancia al sujeto y a la situación planteada,

dejando de lado el contexto, para él cualquier situación que no cumpla con las anteriores

condiciones deja de ser entonces un “problema”.

Por otra parte, para Jonassen (2000), un problema requiere en primer lugar una

situación donde algo es desconocido. En segundo lugar, la resolución de esa incógnita debe

poseer valor para la persona, ya sea social, cultural o intelectual. Para él la resolución de

problemas no es una actividad uniforme contraponiéndose con lo planteado por Agre,

teniendo en cuenta que los problemas no son equivalentes, ya que difieren en forma,

contenido o en proceso de resolución.


Desde el ámbito de la educación matemática,se encuentran diversas concepciones

sobre lo que es un problema, autores como Schoenfeld (1988), Alferi (1993) o Pozo et al

(1994), plantean la definición de problema como: “Situación que precisa una solución pero

que, generalmente, no tiene un camino de solución rápido y directo, sino que se debe ir

realizando una toma de decisiones (y por ende, modificando y comprobando) a lo largo de

la propia resolución”. Se puede inferir entonces, que lo que representa un problema para un

estudiante, puede no serlo para otro, situación que respalda la diversidad escolar.

Para Callejo (1998) un problema se define como: “una situación que plantea una

cuestión matemática cuyo método de solución no es inmediatamente accesible al sujeto que

intenta responderla porque no dispone de un algoritmo que relacione los datos y la

incógnita o los datos y la conclusión, y debe, por tanto buscar, investigar, establecer

relaciones, implicar sus afectos, entre otros; para hacer frente a una situación nueva. Es

pues un concepto relativo al sujeto que intenta resolverlo y al contexto en que se plantea la

cuestión”

La anterior definición, muestra la complejidad de lo que puede ser un problema en

el contexto matemático, para efecto de este trabajo esta noción de problema es pertinente y

acertada.

Sin embargo, se debe realizar una distinción bastante sutil entre lo que representa

un problema y un ejercicio en el ámbito de la matemática escolar, según Monereo (2002) se

pueden distinguir las siguientes diferencias:

1. En primer lugar, el proceso que se sigue en la resolución de un problema

está guiado por una reflexión y continua valoración que da cuerpo a la toma

de decisiones características de la actuación estratégica y que, claramente, se

contrapone a la dinámica elicitada (Proceso por el que un estímulo provoca

una respuesta) por los ejercicios.

2. Por su lado, el proceso seguido en la solución de un ejercicio es mecánico e

inmediato y tiene como función última la consolidación de habilidades

instrumentales básicas, constituyéndose como un medio de resolución de

verdaderos problemas.

Por ello cada uno tiene su razón de ser, un ejercicio busca generar en los

estudiantes el manejo de algoritmos básicos para ser utilizados en la resolución de


problemas, los ejercicios plantean un medio, la solución de problemas son un fin en si

mismos.

A su vez, Callejo (1998), distingue entre ejercicio y problema atendiendo a

diferentes aspectos:

1. El comportamiento que debe seguir el alumno para llegar a la solución:

Cuando se trata de un ejercicio basta que aplique mecánicamente

conocimientos ya adquiridos; en cambio, si se trata de un problema es

necesario que se familiarice con la situación, busque, relacione, etc., hasta

elaborar una estrategia que le conduzca a la solución.

2. El objetivo perseguido por el docente: cuando se propone un ejercicio lo

principal es que el estudiante aplique conocimientos de forma rutinaria,

mientras que cuando propone un problema la finalidad es que indague, es

decir investigue su solución.

3. El tiempo a emplear: este es previsible en la resolución de un ejercicio y

más difícil de estimar en la resolución de un problema que puede durar un

momento, días, semanas o meses.

4. La dimensión afectiva: la resolución de ejercicios no suele suscitar

emociones importantes, mientras que la resolución de problemas supone

una carga afectiva importante.

Estas cuatro variables diferencian de manera explícita las principales

características que se destacan dentro de lo que es un ejercicio y un problema en la

disciplina matemática.

A pesar que Polya (1989) fue uno de los precursores en teorizar sobre la temática

de resolución de problemas, en sus investigaciones no brindo un concepto sobre lo que es

un problema, sin embargo, caracterizó cuatro tipos diferentes de problemas que se dan

dentro del contexto escolar:

1. Los problemas en que la regla que hay que aplicar salta a la vista porque

acaba de ser presentada en clase.

2. Los problemas en que hay que elegir que se debe aplicar y que se trabajó

en clase recientemente.


3. Los problemas en que hay que elegir una combinación de reglas

previamente estudiadas.

4. Finalmente, los problemas cuya resolución exige una combinación original

de reglas y el uso de razonamientos plausibles.

Como se puede observar los ítems 1 y 2, se refieren a problemas rutinarios o como

lo caracteriza Callejo, tienen más fundamentación de ejercicios que problemas en si

mismos. Mientras los ítems 3 y 4, se acercan a la definición de problemas propiamente

dichos.

Polya a su vez diferenció entre los problemas “de resolver”, “de demostrar”, “de

rutina” y “prácticos”. A estos últimos el autor les contrapone de manera indirecta los

problemas “puramente matemático”; Los primeros problemas de resolver, son aquellos en

los que el individuo busca un objeto o incógnita; en los problemas de demostrar se persigue

la verificación o falsación de una afirmación o de un teorema matemático; en los problemas

de rutina, según el autor, son aquellos que se pueden resolver sustituyendo las incógnitas

por los datos disponibles, siguiendo paso a paso un procedimiento ya conocido. Por último

los problemas prácticos se distinguen de los puramente matemáticos en que los primeros

suelen ser vagos e indefinidos, mientras que en los segundos todos los elementos son

definibles.

Ahora bien, se identifican también tres grandes variables que hacen posible un

ente problémico, como primera medida, el grado de familiaridad con la tarea pero también

con el contexto en el que se desarrolla, en segundo lugar se tienen en cuenta las

experiencias y conocimientos con algún atributo de la tarea, y finalmente, el interés o

motivación que provoque la situación a resolver. Esta última es muy importante en el

trabajo con infantes que se encuentran en básica primaria, ya que si la situación planteada

genera interés y motivación, la resolución de está será abordada y en el mejor de los casos

resuelta con satisfacción.

En concordancia con lo anterior en pro de llegar a un acuerdo sobre los que es para

esta investigación un problema se puede decir que: es una situación prevista o espontanea,

la cual presenta algunos elementos desconocidos para el sujeto, el cual debe poner en

práctica diferentes estrategias, conocimientos y habilidades de tipo cognitivo como

metacognitivo, en busca de encontrar una solución a dicha situación.


2.2.1 La Competencia en la Matemática Escolar.

Concepto de competencia.

El termino competencia en los contextos escolares tiene múltiples etimologías,

atribuyéndosele diferentes significados, algunos de los cuales según Silva (2007) tienen una

clara connotación de imposición de un modelo socio-económico capitalista sobre las metas

educativas, entre las acepciones más ampliamente difundidas indistintamente usadas por

pedagogos, docentes y ministerios de educación son: capacidad, competitividad, habilidad e

incumbencia.

En diferentes textos y contextos se confunde el termino competencia con el de

habilidad, encontrando que se utilizan los términos de manera indistinta, dependiendo esto

del contexto en que se encuentre el investigador, por ejemplo Ferrer (2000) define la

habilidad como aquellas que constituyen el dominio de acciones (psíquicas y prácticas)

que permiten una regulación racional de la actividad, con ayuda de los conocimientos y

hábitos que el sujeto posee, la investigadora Cubana relaciona términos de la competencia

refiriéndose a la habilidad; como se infiere estas habilidades son evidenciables en las

acciones del sujeto, utilizando tanto los conocimientos declarativos y procedimentales, la

anterior definición no relaciona conocimientos actitudinales, importantes para que se le

encuentre sentido al desarrollo de la actividad.

Sladogma (2000, citado en Posada, 2008) define las competencias como

capacidades complejas que poseen distintos niveles de desarrollo, estas se manifiestan en

una gran variedad de situaciones de la vida humana personal y social. Agrega la autora que

toda competencia es una síntesis de las experiencias que el ser humano ha logrado construir

en su amplio entorno pasado y presente. Aquí se describe que la competencia es una

capacidad, o mejor un conjunto de capacidades manifestadas en los desempeños de los

seres humanos.

Para Posada (2008, p.27) el concepto de competencia es diverso, su significado

más generalizado y aceptado es saber hacer en contexto. El saber hacermas que entenderlo

desde el hecho instrumental del hacer, requiere de conocimientos (teórico, práctico, teórico

– práctico o empírico), creencias, afectividad, compromiso, cooperación y responsabilidad,


todo lo cual se expresa en el desempeño, el cual se asume como la acción observable del ser

humano, con todo lo que ello implica.

A su vez, se encuentra que según el Proyecto Tuning (2002), las competencias se

entienden como, conocer y comprender (conocimiento teórico de un campo académico, la

capacidad de conocer y comprender), saber cómo actuar (la aplicación práctica y operativa

del conocimiento a ciertas situaciones) y saber como ser (los valores como parte integrante

de la forma de percibir a los otros y vivir en un contexto social).

Para Tobón (2007) en Colombia se comienza a hablar de competencias desde la

década de los 80s, en el marco de la renovación curricular, que implemento el Ministerio de

Educación Nacional (MEN, 1984). El concepto trasciende y empieza a emplearse por

algunos académicos preocupados por la transformación de la educación Colombiana, así

comienzan a abordar las competencias sustentando este termino desde las teorías

lingüísticas planteadas por Chomsky.

A partir del año 1995 el concepto de competencia comienza a estudiarse como la

posibilidad de evaluar los aprendizajes en pruebas masivas, es en este punto donde se

destacan algunas definiciones de competencias que aparecen en los documentos de la

política educativa colombiana, la siguiente tabla planteada por Tobón recoge algunos de

ellos:

Cuadro 3. Definiciones de Competencia

Año Institución Definición

1998 ICFES “la competencia es un saber hacer o conocimiento

implícito en un campo del actuar humano, una acción

situada que se define en relación con determinados

instrumentos mediadores” (ICFES- Hernández, Rocha y

Verano, 1998, p. 14).

1998 ICFES “Acciones que expresan el desempeño del hombre en su

interacción con contextos socio culturales y disciplinares

específicos” (ICFES- Hernández et al., 1998, p.17).

1998 ICFES “Una competencia es una acción situada, que se define en

relación con determinados instrumentos mediadores”

(ICFES – Torrado, 1998, p. 42).


1999 ICFES “Saber hacer en contexto, es decir, el conjunto de acciones

que un estudiante realiza en un contexto particular y que

cumplen con las exigencias especificas del mismo”

(ICFES-Pardo, 1999).

2002 MEN “Evaluación de competencias. La competencia es una

característica subyacente en una persona causalmente

relacionada con su desempeño y actuación exitosa en un

puesto de trabajo” (MEN, 2002, Articulo 35).

Tomada de Tobón 2007

Ahora bien, entre las diferencias existentes del termino competencia, es importante

describir algunas características relevantes, que brindan aportes importantes a esta

investigación.

En síntesis, como lo manifiesta Posada (2008), el concepto de competencia es

pluridimensional, integra creencias, valores, actitudes, aptitudes, conocimientos,

potencialidades, habilidades, destrezas, hábitos, prácticas y acciones personales, colectivas,

afectivas, sociales, culturales, etc., en los diferentes escenarios de aprendizaje y desempeño.

Para el Ministerio de Educación (MEN) Colombiano la competencia se define

como el conjunto de “Conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y

disposiciones cognitivas, socio afectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre

sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos

relativamente nuevos y retadores”. (Guía No.3 MEN, 2006, pág. 49.).

Vale la pena aclarar que a pesar de lo polisémico del término competencia según

Fernández (2009), se encuentran rasgos característicos dentro de cada una de las

definiciones que se han ido planteando en diferentes contextos tanto temporales como

espaciales (Pisa 2004, parlamento europeo 2006, OCDE 2006), tales como:

• Es un saber hacer. Hay que saber, pero hay que saber aplicarlo.

• Deben ser susceptibles de aplicarse a diferentes contextos.

• Poseen un carácter integrador.

• Permiten obtener resultados de alto valor personal y social.

• Se ocupan de aspectos relevantes para las personas.


• Su dominio permite superar con éxito exigencias complejas.

• Facilitan el autoaprendizaje y son la base del “aprender a aprender”.

• Permiten la comprensión y el dominio de conceptos.

Ahora bien, en el contexto de este trabajo es pertinente conceptualizar el término

competencia dentro del campo matemático, específicamente en al campo de la matemática

escolar.

2.2.2 Competencias Matemáticas

Desde hace un par de décadas diferentes comunidades de investigadores han

aportado a una aproximación del concepto de competencias matemáticas, interesados estos

en ir dando luces sobre la problemática que plantea definir dicha competencia (García et al,

2009).

El dominio sobre matemáticas que se asimila en el estudio PISA 2003 es conocido

como Alfabetización Matemática(MathematicalLiteracy) (OCDE, 2003) y también, de

modo general, como Competencia Matemática (OCDE, 2004).Este dominio se refiere a las

capacidades individuales de los estudiantes para analizar, razonar y comunicar

eficazmentecuando formulan y resuelven problemas matemáticos en una variedad de

dominios y situaciones.

Según PISA (2006) La competencia matemática es la capacidad de un individuo

para identificar y entender el papel que las matemáticas tienen en el mundo, hacer juicios

bien fundados y usar e implicarse con las matemáticas en aquellos momentos en que se

presenten necesidades para su vida individual como ciudadano constructivo, comprometido

y reflexivo. Esta competencia general se puede desglosar en una serie de competencias

específicas o particulares enmarcada en los contextos de cantidad, espacio y forma,

cambios y relaciones, e incertidumbre. (Rico, 2006)

Ahora bien, para Niss (2002, citado en García et al, 2009) propone que las

competencias matemáticas tienen que ver con procesos físico o mentales, actividades y

comportamientos de los sujetos, con lo que los individuos pueden desempeñarse en la

matemática. Formula ocho competencias matemáticas con un doble carácter, uno analítico

y otro de producción. El primero incluye procesos encaminados a la comprensión,

interpretación, evaluación de procesos matemáticos y evaluación de los fenómenos y


procesos de validación; El segundo se centra en procesos como la argumentación y el uso

de las representaciones matemáticas. Entre las competencias formuladas por Niss se

destacan entre otras el pensamiento matemático, planear y resolver problemas, modelar

matemáticamente, razonar matemáticamente y representar).

A su vez Llinares (2003) argumenta que para ser competente matemáticamente, se

requiere establecer relaciones entre las capacidades de realizar tareas matemáticas y

comprender por qué pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para resolver las

tareas, junto con la posibilidad de argumentar la conveniencia del uso. Define cinco

dimensiones de la competencia: comprensión conceptual, desarrollo de destrezas

procedimentales, pensamiento estratégico: formular y resolver problemas, capacidad de

comunicar y explicar matemáticamente, actitudes positivas en relación con sus propias

capacidades matemáticas. (García et al, 2009)

Por su parte Vasco (2006) y otros investigadores, en el documento Estándares

Básicos de Competencias del Ministerio Nacional de Educación en Colombia, presentan el

significado de la competencia matemática con base en los referentes cognitivos de los cinco

procesos generales de la actividad matemática, planteados en los Lineamientos Curriculares

de Matemática (1998), los cuales son: Formular y resolver problemas; modelar procesos y

fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular comparar y ejercitar

procedimientos y algoritmos. Incluye también las actitudes y las disposiciones

socioafectivas y psicomotoras para desempeñarse en contextos relativamente nuevos y

retadores. Relacionando así la competencia con el tipo de tareas en las que se actualizan los

desempeños.

Así mismo Vasco et al (2006) define los cinco tipos de pensamiento que hacen

parte de la matemática, el numérico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o

probabilístico y el variacional. El pensamiento numérico se refiere a la comprensión del uso

y de los significados de los números y de la numeración; la comprensión del sentido y

significado de las operaciones y de las relaciones entre números, y el desarrollo de

diferentes técnicas de cálculo y estimación, en quinto grado se establecen los contextos de

los números naturales y los racionales positivos. Para Vasco et al (2006) el desarrollo del

pensamiento numérico exige dominar progresivamente un conjunto de procesos, conceptos,

proposiciones, modelos y teorías en diversos contextos, los cuales permiten configurar las


estructuras conceptuales de los diferentes sistemas numéricos necesarios para la Educación

Básica y Media y su uso eficaz por medio de los distintos sistemas de numeración con los

que se representan.

El pensamiento Espacial y los sistemas Geométricos se entiende como el conjunto

de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las

representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus

transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales; El

pensamiento Métrico hace referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre

las magnitudes y las cantidades, su medición y el uso flexible de los sistemas métricos o de

medidas en diferentes situaciones; El pensamiento Aleatorio también llamado

probabilístico o estocástico integra los conceptos y procedimientos necesarios para recoger,

estudiar, resumir y diagramar sistemas de datos estadísticos y para tratar de extraer de ellos

toda la información posible con la ayuda de calculadoras, hojas de cálculo y otros

programas de análisis de datos, con el fin de intentar predecir dentro de ciertos rangos el

curso de los acontecimientos respectivos y de tomar decisiones lo más razonables posibles

ante la imposibilidad de saber con certeza lo que va a pasar.

Por último, el pensamiento Variacional tiene que ver con el reconocimiento, la

percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes

contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas

o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos.

Ahora bien, lo anterior hace referencia a los contextos disciplinares en los que se

ha constituido la matemática al pasar del tiempo, sin embargo también es importante

relacionar la competencia matemática con la resolución de problemas en especifico, desde

el desarrollo de diferentes conocimientos declarativos, procedimentales y actitudinales que

se ponen en juego para desempeñarse en este campo. Se hace hincapié que la resolución de

problemas ha sido descrita como la estrategia didáctica mas adecuada para enseñar la

matemática, también como habilidad de pensamiento superior, y como competencia a

desarrollarse en el currículo escolar.

Es así que para el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior

(ICFES) la competencia matemática de resolución de problemas se relaciona, con la

capacidad para formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la matemática,


traducir la realidad a una estructura matemática, desarrollar y aplicar diferentes estrategias

y justificar la elección de métodos e instrumentos para la solución de problemas, justificar

la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo

razonable o no de una respuesta obtenida. Verificar e interpretar resultados a la luz del

problema original y generalizar soluciones y estrategias para dar solución a nuevas

situaciones problema. (ICFES, 2007).

Es también el ICFES desde el 2002 que propone agrupar los diferentes

pensamientos en tres componentes, Para la estructura de las pruebas se reorganizaron los

cinco pensamientos en tres grandes ejes orientadores: el numérico-variacional, el

geométrico-métrico y el aleatorio. Es importante anotar que cada pensamiento desarrolla

habilidades específicas en los estudiantes, relacionadas con sus sistemas de

representación, con las estructuras conceptuales y con las formas propias de

argumentación, por lo tanto ninguno de ellos puede ser excluido ni del proceso educativo

ni del evaluativo. (ICFES, 2007).

2.2.3 Modelos de Resolución de Problemas

La resolución de problemas se ha conceptualizado a través del tiempo por varios

investigadores, donde podemos citar a Orton (1996), quien expresa que la resolución de

problemas “se concibe como generadora de un proceso a través del cual quien aprende

combina elementos del conocimiento, reglas, técnicas, destrezas y conceptos previamente

adquiridos para dar solución a una situación nueva”. En este sentido la resolución de

problemas es concebida como creadora de un proceso mental, donde influyen habilidades,

competencias, conocimientos tanto declarativos, procedimentales como actitudinales.

Otro de los autores que ha conceptualizado sobre la resolución de problemas es

Delgado (1999), quien afirma que esta es una habilidad matemática y que resolver “es

encontrar un método o vía de solución que conduzca a la resolución de un problema”, en

este sentido el autor expresa que resolver problemas matemáticos es una habilidad de

pensamiento, la cual como tal es posible desarrollar.

Por su parte Llivina (1999), expresa que “la resolución de problemas

matemáticos, es una capacidad específica que se desarrolla a través del proceso de

enseñanza – aprendizaje de la matemática y que se configura en la personalidad del

individuo al sistematizar, con determinada calidad y haciendo uso de la metacognición,


acciones y conocimientos que participen en la resolución de estos problemas”. La

diferencia que muestra esta definición es la de considerar la resolución de problemas como

capacidad especifica de los individuos, la cual también es posible desarrollar.

Para efectos de esta investigación la resolución de problemas se toma como una

competencia como se describió en el aparte anterior, definida como: proceso que implica la

realización de una secuencia o serie de acciones para la obtención de una respuesta

adecuada a una dificultad con intención de ser resuelta. En esta situación el sujeto pone en

manifiesto conocimientos, habilidades, capacidades, motivaciones, afectividades, de tipo

cognitivo y metacognitivo. Este proceso, se descompone en diferentes pasos o acciones

progresivas que deben ser desarrolladas de manera integral en busca de encontrar dicha

solución.

En este punto resulta interesante estudiar algunos modelos que se han desarrollado

en busca de mejorar la competencia para resolver problemas matemáticos, estos

constituyen una importante referencia para este trabajo.

2.2.3.1 Modelo De Polya

Iniciemos con el modelo de Polya (1945), este consta de cuatro fases que se

consideran fundamentales para cimentar algunos puntos del presente estudio. Esto debido a

que la mayor parte, sino todos, los modelos de resolución de problemas se derivan a partir

de este trabajo, estos están estructurados desde un fundamento común, las cuatro fases

expuestas por este autor, a saber:

Comprensión del problema

Concepción de un plan

Ejecución del plan

Visión retrospectiva.

Estos cuatro pasos, que se conciben como una estructura metodológica, podrían

aplicarse también a problemas incluso no matemáticos de la vida diaria. El siguiente cuadro

ilustra los procesos que se generan en cada fase.


Cuadro 4. Modelo De Polya

Comprender el problema Cuál es la incógnita?; cuáles son los datos?

Concebir un plan ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿ha visto el mismo problema

planteado en forma ligeramente diferente?. He aquí un problema relacionado al suyo y que se ha resuelto ya. ¿Podría

usted utilizarlo?; ¿podría utilizar su resultado?; ¿podría emplear se método?:¿le haría a usted falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?

¿Podría enunciar el problema en otra forma? ¿Ha empleado todos los datos?; ¿ha considerado usted todas lasnociones

esenciales concernientes al problema? Ejecutar el plan

Al ejecutar el plan de solución, compruebe cada uno de los pasos. ¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto? ¿puede usted

demostrarlo? Visión retrospectiva

¿Puede usted verificar el resultado? ¿puede verificar el razonamiento? ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿puede usted emplear el

resultado el método en algún otro problema? Fuente: Tárraga (2008) Adaptado de Polya (1986, p.19)

El análisis de las preguntas recogidas en este cuadro devela que además de las 4

fases principales, en el modelo quedan recogidos otros procesos que son básicos y que

constituyen la base de muchos de los procesos descritos en los modelos posteriores.

Esta investigación, realizada en Educación Básica Primaria, pretende servir de

ayuda en el tratamiento de la resolución de problemas, debido a que este proceso es lo que

realmente da sentido a los contenidos matemáticos de la etapa. "La resolución de problemas

debiera ser el foco de las matemáticas escolares" (NCTM, 1980).

Al poner en práctica este método en Educación Primaria, es necesario tener en

cuenta que su aplicación y la importancia concedida a cada una de las fases debe adecuarse

a las edades y desarrollo intelectual de los alumnos con los que se trabaje.

2.2.3.2 Modelo De Mayer

Por su parte, Mayer (2002) propone un modelo de solución de problemas en el que

también distingue cuatro componentes: traducción del problema, integración del problema,

planificación de la solución y supervisión, y ejecución de la solución


Este modelo se ha generado a partir de la observación de los procedimientos

seguidos por los alumnos mientras resuelven problemas, y de la comparación de esos

procedimientos en alumnos con alto y bajo rendimiento en solución de problemas. El

modelo se plantea en términos operativos, ofreciéndose descripciones de marcado carácter

procedimental en las que cada proceso trata de presentarse como una descripción de los

procedimientos o de los procesos operativos que realiza un alumno mientras resuelve el

problema.

La traducción del problema se refiere a la habilidad del sujeto para transformar las

afirmaciones del enunciado del problema en una representación interna. Para Mayer, esta

habilidad requiere de dos tipos de conocimiento: conocimiento lingüístico (conocimiento

del idioma en que está escrito el enunciado), y conocimiento semántico (conocimientos

sobre los referentes reales a los que se refiere el problema).

El proceso de integración del problema hace referencia a la capacidad para integrar

cada una de las afirmaciones del problema en una representación coherente de la

información. Según Mayer, este proceso requiere de conocimiento esquemático, que hace

referencia a la habilidad de los sujetos para reconocer diferentes tipos de problemas, y

clasificarlos en tipologías preestablecidas.

Mayer incluye en este proceso, además, la capacidad para distinguir entre

información relevante e información irrelevante para la solución del problema.

El tercer proceso identificado por Mayer, la planificación y supervisión del

problema, hace referencia a la habilidad del sujeto para generar un plan mediante el

planteamiento de objetivos y subobjetivos dentro del problema, y a la habilidad para

supervisar o monitorizar los procedimientos mediante los que se sigue el plan.

Mayer propone que el conocimiento necesario para la elaboración de planes es el

conocimiento estratégico, que implica la capacidad para crear o aplicar estrategias que

ayuden a resolver problemas.

Por último, el cuarto proceso de solución de problemas aislado por Mayer es la

ejecución de la solución; la aplicación de las reglas de la aritmética siguiendo el plan

anteriormente elaborado. Este proceso requiere de conocimiento procedimental, necesario

para hacer efectivos los procedimientos que se han planificado en la fase anterior.

Cuadro 5. Adaptado de Mayer (2002, pp. 147)


COMPONENTE TIPO DE CONOCIMIENTO

PROCESOS REALIZADOS POR EL ALUMNO

Traducción del problema Conocimiento lingüístico Comprensión lingüística del enunciado

Conocimiento semántico Conocimiento sobre los referentes del problema

Integración del problema Conocimiento esquemático Adscripción del problema a una tipología preestablecida

Planificación y supervisión del plan

Conocimiento estratégico Generación de estrategias de solución. Monitoreo de aplicación delas estrategias

Ejecución de la solución Conocimiento procedimental

Aplicación de reglas aritméticas

Fuente: Tárraga (2008)

El cuadro 5, adaptado de Mayer (2002, p. 147), trata de resumir el modelo de

solución de problemas expuesto.

2.2.3.3 Modelo de A. H. Schoenfeld

Schoenfeld (1985) propone un marco con cuatro componentes que sirva para el

análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas: 1) Recursos

cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor, 2) Heurísticas:

reglas para progresar en situaciones difíciles, 3) Control: aquello que permite un uso

eficiente de los recursos disponibles y 4) Sistema de creencias: nuestra perspectiva con

respecto a la naturaleza de la matemática y cómo trabajar en ella.

En este modelo se distinguen también cuatro fases: análisis, exploración,

ejecución y comprobación. Profundizando en el análisis de la heurística. Schoenfeld

retoma algunas ideas de G. Polya, considerando a la vez la Teoría Psicológica del

procesamiento de la información, se vislumbran cuatro dimensiones que se dan en el

proceso de resolución de problemas:

1. Dominio de conocimientos y recursos: se expresa a través de lo que la

persona conoce y la forma de aplicación de sus experiencias y

conocimientos ante la resolución de un problema.


2. Estrategias Cognoscitivas: Conjunto de estrategias generales que pueden

resultar eficaces a la hora de resolver un problema. Dentro de estas se

consideran los recursos heurísticos (más adelante se tratará este tema) para

abordar los problemas en matemática, tales como: analogía, inducción,

generalización entre otros.

3. Estrategias metacognitivas: Se caracteriza por la toma de conciencia

mental de las estrategias necesarias utilizadas al resolver un problema, para

planear, monitorear, regular o controlar el proceso mental de si mismo.

4. Sistema de creencias: está conformado por las ideas, concepciones o

patrones que se tiene en relación con la Matemática y la naturaleza de esta

disciplina. Además de la relación existente entre esta y la resolución de

problemas.

En relación a este modelo, es importante desde el punto de vista teórico y práctico

que se consideren estas categorías cuando se explora el pensamiento matemático de los

estudiantes. Es claro que el trabajo de Schoenfeld es uno de los más completos en relación

al análisis de la resolución de problemas matemáticos, pero en el modelo no se manifiesta

el carácter contextual y social de la ciencia matemática, lo cual es fundamental.

2.2.3.4 Modelo de Mason – Burton – Stacey

El modelo de J. Mason, L. Burton y K. Stacey que aparece publicado en la obra

“pensar matemáticamente” (1989), se fundamenta en las siguientes razones:

El tránsito entre las fases de trabajo con el problema no se realiza de forma

lineal.

La resolución de problemas se concibe como un proceso dialéctico, donde

las tareas pueden avanzar o retroceder.

La persona que resuelve el problema juega un papel fundamental, teniendo

en cuenta que sus características psicológicas son un recurso más a utilizar

en el logro de su objetivo.

Este modelo no presenta como los anteriores una estructura a seguir del como

resolver problemas, trascendiendo y analizando lo que establece el pensamiento y la


práctica aportada por la Matemática, ilustrando una forma de mirar la vida al mismo tiempo

que brinda la posibilidad de como conocerse uno mismo.

2.2.3.5 Modelo de Miguel de Guzmán: La Pregunta y La Reflexión Como

Mediadores

El modelo de Miguel de Guzmán (1991), sobre las cuatro fases de Polya, orienta y

anima al resolutor en los siguientes aspectos: Familiarízate con el problema en la cual el

estudiante o el resultor trata de entender a fondo la situación. Luego pasa a la búsqueda de

estrategias, que le permitan resolver el problema, desde diferentes puntos de vista.

Seguidamente el resultor debe llevar a cabo la estrategia planeada, evaluándola a través de

preguntas que evalúen el proceso seguido. Finalmente se llega al proceso de revisión y de

establecer conclusiones, examinando todo el camino, preguntándose ¿Cómo se ha llegado a

la solución? O bien, ¿Por qué no se llego? , tratar de entender no solo que el procedimiento

funciona, sino por qué funciona, mirar si se encuentra un camino más simple y reflexionar

sobre su propio proceso de pensamiento y sacar consecuencias para el futuro.

Miguel de Guzmán retoma completamente el modelo de G. Polya e intenta dar

orientaciones especificas sobre el cómo se lleva a cabo cada una de ellas, para esto se basa

en preguntas orientadoras del proceso.

2.2.3.6 Modelo De Pifarré, Manoli y Sanuy, Jaume

Una Perspectiva Metacognitiva: Para estos autores, Las cinco estrategias generales

utilizadas para resolver problemas son:

1. Entender y analizar el problema

2. Planificar un plan de resolución

3. Organizar los datos y el plan de resolución en un cuadro de doble entrada

4. Resolver el problema

5. Evaluar el proceso de resolución del problema y el resultado obtenido.

Estas estrategias se presentan en un material didáctico al que le denominan “hojas

para pensar el problema” Pifarré (1998), en la cual aparecen las fases del modelo cada una

con diferentes orientaciones hacia el procesos a seguir, el modelo de Pifarré et al, incorpora


a su vez las estrategias metacognitivas las cuales son utilizadas en cada una de las fases

anteriores.

La hoja para pensar el problema, se estructura como una guía para el estudiante

que le sirve de apoyo en el momento en que se enfrenta a una situación problémica, como

ejemplo, algunos apartes de la hoja se muestran en el siguiente grafico.

Gráfico Nº 4. Hoja para pensar el problema

Fuente: Tomado de Pifarré et al (2001)

Como se observa cada fase tiene una serie de preguntas que conllevan al

estudiante a que tome conciencia del proceso que está utilizando al enfrentar un problema

matemático. Para esta investigación se tomará como referente este modelo.

En los anteriores modelos sobre resolución de problemas, se tienen en cuenta ya

sea de manera implícita o explícita el conocimiento y los procesos metacognitivos, por ello

es importante considerar cómo se ha entendido la metacognición, retomando algunos

aspectos que en este concepto se han definido.


2.3 LA METACOGNICIÓN, COMO ENFOQUE DIDACTICO DE

INTERVENCION, PARA DESARROLLAR LA COMPETENCIA EN LA

RESOLUCION DE PROBLEMAS MATEMATICOS

El término metacognición es acuñado por Jhon H. Flavell en la década de los

setenta, con el fin de definir al conocimiento sobre cómo conocemos (conocer el propio

conocimiento).

La definición que le dio Flavell (1976) a este término dice que se “refiere al

conocimiento que uno tiene sobre los propios procesos y productos cognitivos o cualquier

otro asunto relacionando con ellos…La metacognición se refiere, entre otras cosas a la

supervisión activa y consecuente regulación y organización de estos procesos en relación

con los objetivos cognitivos sobre los que actúan, normalmente al servicio de una meta u

objetivo concreto”.

Este concepto enmarca la indagación sobre cómo los seres humanos piensan y

controlan sus procesos de pensamiento, analizando el concepto dado por Flavell, se

encuentra que los relaciona con los siguientes conceptos:

Conocimiento: La metacognición como producto de la actividad mental,

indicando que los seres humanos podemos sistematizar, organizar mediante

herramientas simbólicas los procesos asociados a una actividad mental,

siendo consientes de ello y dando cuenta de esto a otros y a sí mismos.

Procesos y productos: La actividad mental se compone de procesos

(identificar, analizar, inferir, razonar, solucionar problemas,…), que

pueden ser básicos o superiores, y sus respectivos productos (percepciones,

pensamiento, ideas, modelos, conceptos,…).

Cognitivo: Actividad mental por la cual se construye conocimiento sobre el

mundo físico, social y psicológico.

Supervisión activa: la metacognición requiere de una permanente conciencia de la

persona sobre su actividad mental, considerando para ello una especie de evaluación

permanente sobre los procesos y productos de la actividad cognitiva.


Regulación y organización: hace referencia a la actividad consiente del sujeto

sobre los procesos cognitivos, dándoles un orden a los mismos para orientarlos de mejor

manera hacia la consecución de metas propuestas.

Datos cognitivos: están constituidos por todos los objetos del conocimiento

transpuestos en signos, símbolos e ideas. A partir de los cuales se construyen las

representaciones sobre las cuales la mente opera.

Metas: expresan las intenciones de la actividad cognitiva y determinan de alguna

manera su dirección. Implica que estas actividades requieran de la existencia de objetivos y

dentro de una propuesta de aprender a aprender, éstas deben ser consientes para el aprendiz,

a fin de garantizar su mejor desarrollo.

A su vez, Flavell (1984) identifica dos aspectos esenciales de la metacognición, el

autor la asocia con dos componentes, que son: el conocimiento sobre los procesos

cognitivos y la regulación de los procesos cognitivos.

El primer componente se refiere, según Martí (1995), al conocimiento que una

persona tiene (o elabora en una situación determinada) sobre los propios procesos

cognitivos (saber qué). Es posible clasificar este conocimiento en tres categorías:

Conocimiento sobre la persona, conocimiento sobre la tarea y conocimiento sobre la

estrategia (o estrategias).

El conocimiento sobre la persona, hace referencia a las creencias que el sujeto

tiene tanto de sus procesos cognitivos, como sobre el de las demás personas, que plantea

diferencias intraindividuales, interindividuales e inclusive universales.

La variable intraindividual, se refiere al conocimiento o creencias sobre

variaciones intraindividuales en los intereses, propensiones, aptitudes y similares de cada

uno.

En el caso de las variables interindividuales, se da la comparación entre personas y

ya no desde dentro de cada uno, por ejemplo la comparación con un hermano mayor, lo

cual puede producir opiniones tales como “yo soy más listo que el” o “el es más reflexivo

que yo”.

Las variables más importantes son las ideas adquiridas sobre aspectos universales

de la cognición y de la psicología humana. Se hace difícil imaginar una cultura en donde las


personas crecen sin adquirir ninguna psicología así sea de manera ingenua; en particular sin

desarrollar ninguna intuición sobre cómo trabaja la mente humana.

Por otro lado, respecto al conocimiento sobre la tarea este se refiere a la

información disponible durante el proceso de resolución o búsqueda de un objetivo

determinado en función de la tarea propuesta. De esta manera se aprende sobre los

diferentes tipos de la información que se encuentra y sobre el tipo de tratamiento que cada

clase de información requiere o no requiere.

Sobre el conocimiento de las estrategias se puede decir que se refiere a las

acciones cognitivas (atención, ensayo, elaboración, recuperación) que en el sujeto actúan

para la consecución efectiva del objetivo propuesto. Una estrategia cognoscitiva es aquella

designada simplemente a llevar al individuo a conseguir algún objetivo o sub-objetivo

cognoscitivo. Por ejemplo sacar la cuenta de la lista de lo que se debe en la tienda, necesita

una estrategia cognoscitiva sumar las cantidades y de esta manera obtener el resultado. El

objetivo es encontrar el valor total de los sumandos. En la misma situación, una estrategia

de tipo metacognitiva seria realizar una segunda y tercera suma para estar seguros del

resultado, ya el objetivo de estas operaciones es diferente que el de la primera, el propósito

ya no es alcanzar el objetivo (estrategia cognoscitiva), sino sentirse seguro de que se ha

conseguido dicho objetivo (estrategia metacognitiva).

Para Flavell (1979), el mejor conocimiento metacognitivo es el concerniente a la

combinación e interacción entre los diferentes conocimientos (variables) descritas

inicialmente.

Al inicio de la década de los ochenta, se replantea el concepto inicial sobre

metacognición y se distingue en su estudio, el segundo componente mencionado

anteriormente, la regulación de los procesos cognitivos (saber cómo), relacionado con la

planificación, el control y la evaluación de estos procesos.

Con respecto a la Planificación, se puede decir que es una actividad previa a la

ejecución de determinada tarea y que incluye el diseño de una heurística (término que se

tratará más adelante), que prevea el posible camino de las acciones y estrategias a seguir.

Sobre el Control, se especifica que este debe establecerse desde el momento en

que se inicia la ejecución de las acciones o tareas y que puede manifestarse en actividades

de verificación, rectificación y revisión de las estrategias empleadas.


Por último la Evaluación, permite contrastar los resultados con los propósitos

definidos previamente (aquí la evaluación también implica la valoración de los resultados

de la estrategia utilizada en términos de su ejecución) (Brown, 1987, citado por Martí,

1995).

En la literatura especializada se pueden encontrar dos tipos de investigaciones

respecto a la clasificación antes descrita: la investigación sobre el monitoreo cognitivo y la

investigación sobre el control cognitivo. Por lo cual, se generan dos posibilidades del

trabajo sobre metacognición, la primera está ligada a los aspectos declarativos (saber qué)

del conocimiento, y la segunda se relaciona con los aspectos procedimentales (saber cómo)

del mismo.

El primer aspecto, es decir el declarativo, permite a los individuos preguntarse por

sus propios conocimientos y su particular manera de adquirirlos. Este aspecto es

relativamente estable para el individuo, en la medida en que el conocimiento que el sujeto

tiene sobre su cognición no es algo que cambie repentinamente (Soto, 2002); Al mismo

tiempo, este tipo de información es fácilmente tematizable, es posible comunicarla en un

dialogo con otros. La restricción básica en su manejo se deriva del hecho de que este tipo

de conocimiento se fortalece con la madurez intelectual de los individuos de tal modo que

puede hablarse de “niveles” del mismo.

Por su parte, los aspectos procedimentales, le permiten al individuo tener éxito al

desarrollar una tarea y al enfrentarse a un nuevo problema, y alcanzar eficiencia en sus

formas rutinarias de abordar los retos propios de su contexto. Este tipo de conocimiento, no

es fácilmente tematizable, en la medida en que los sujetos presentan dificultades al explicar

sus propias acciones, como lo expresa Soto (2002) “tal vez por cuanto el desarrollo de

éstas depende del tipo de tarea por realizar. No existe restricción en su manejo: niños de

diferentes edades, e incluso adultos, presentan habilidades para regular sus formas de

aprender”.

Sintetizando el concepto de metacognición se retoma el gráfico que expone Soto

(2002) en su trabajo:


Gráfico Nº 5. Concepto de Metacognición

Fuente: Tomado de Soto (2002)

Para efectos de este trabajo; dado que se enfatiza en las estrategias utilizadas por

los estudiantes para resolver problemas matemáticos, se centra en el segundo componente

el control cognitivo (aspectos procedimentales), desde el punto de vista de lo que el

estudiante aprende a hacer, dependiendo de la mediación docente. Se presta particular

atención a las fases de planificación, control y evaluación en el contexto académico de la

resolución de problemas matemáticos contextualizados.

2.4 FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE LAS INVESTIGACIONES

ASOCIADAS A LA METACOGNICIÓN.

Según Martí (1995) las investigaciones asociadas al concepto de la metacognición

se fundamentan sobre tres marcos teóricos, a saber: la teoría del procesamiento de la

información, la teoría de Piaget y la teoría de Vigotsky.

Sobre la teoría del procesamiento de la información, y en particular, lo relacionado

con el control ejecutivo. En esta perspectiva teórica se postula que cualquier actividad


cognitiva requiere, para su completa ejecución, un sistema de control que adelante la

planificación, la regulación y la evaluación de la tarea en curso.

Este sistema ejecutivo es en esencia un sistema de control, y tiene como fin

particular que los procesos y habilidades cognitivas se llevan a cabo con eficiencia. Los

teóricos del procesamiento de la información están de acuerdo con la existencia de tres

tipos de procesos que están relacionados con la actividad metacognitiva, ellos son: procesos

de planificación, procesos de control y procesos de evaluación. Esto implica que no solo se

debe poseer conocimientos declarativos; además, es necesario saber utilizarlos y determinar

su eficacia. Se enfatiza a su vez que el control debe realizarse de manera consciente,

intencional y deliberada.

Ahora bien, retomando los conceptos de toma de conciencia, abstracción y

procesos autorreguladores, planteados por Piaget (1975), fundamentales a la hora de

explicar cómo y porqué se construye el conocimiento. La toma de conciencia vendría a ser

un proceso de conceptualización (ubicado en el plano representativo) sobre aquello que ya

se ha adquirido en el plano de la acción. Esta admite distintos grados.

En cuanto a la abstracción, se trata de un proceso implícito, más básico que el

anterior, que le permite al sujeto asimilar ciertas propiedades de los objetos o de las propias

acciones para reorganizarlas y aplicarlas a nuevas situaciones; para Piaget, el proceso de

abstracción es recurrente y aparece en cualquier etapa del desarrollo, no obstante, solo en la

etapa de las operaciones formales se acompaña de una toma de conciencia.

En cuanto a los procesos de autorregulación, Piaget (2000) considera que son la

clave del desarrollo cognitivo, dado que promueven una dinámica interna irreductible a la

influencia tanto del medio como la programación hereditaria. Esta dinámica interna se

caracteriza por la presencia de desequilibrios y nuevos equilibrios orientados por procesos

de autorregulación, que le permiten al sujeto desarrollar competencias activas ante

perturbaciones cognitivas de diversa índole. El sujeto, al compensar las perturbaciones

mediante los procesos de asimilación y acomodación, modifica sus estructuras cognitivas y,

de esta manera, genera nuevas formas de conocimiento.

La tercera perspectiva teórica es la de Vigotsky (1987), permite considerar los

conceptos intersicológicos en el desarrollo y en el aprendizaje. Esta perspectiva permite


complementar lo planteado por Piaget, reconociendo la importancia de la contribución de

otras personas al aprendizaje y al desarrollo del sujeto.

Vigotsky con sus constructos de internalización y zona de desarrollo próximo, lo

cual ha permitido realzar la importancia de los mecanismos intersicológicos en situaciones

interactivas en las que participan varios sujetos, permiten a su vez la introducción de una

nueva concepción de la autorregulación piagetiana, ya no solo en el plano personal sino

también propiciada por otros individuos.

Se trata entonces de un proceso en el que el niño modela de manera activa las

acciones de planificación, control y evaluación a partir de los aportes dados en el plano

social y en los ejes de desarrollo desde el inicio del juego, del estudio y la comunicación.

Es en este proceso de autorregulación en donde intervienen el niño y un adulto,

tanto en los cambios en la progresiva adopción del control por parte del niño como la

acción, intencional o no, de regulación y control que realiza el adulto son un proceso

complejo que se construye en la dinámica niño – adulto – actividad de regulación.

Durante la dinámica de interacción emergen dos tipos de procesos

complementarios: uno de interiorización y otro de exteriorización de las actividades de

regulación.

En el proceso de interiorización, el niño asimila los aprendizajes que el adulto le

propicia; paralelamente, ya manifestando las actividades de regulación cada vez de forma

más visible y comunicable: lo anterior se denomina procesos de exteriorización. De esta

manera, toda vez existe un tránsito de la actividad autorregulativa del adulto, quien corrige,

pregunta y anticipa las acciones, a una toma de conciencia y de acción por parte del niño,

quien asume autónomamente estas actividades de manera autorregulada.

2.5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS Y

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS BASADAS EN LA METACOGNICIÓN.

Este aparte del trabajo busca explicar cómo se puede desarrollar un proceso de

enseñanza – aprendizaje que conlleve a potenciar la competencia de resolver problemas

matemáticos contextualizados utilizando estrategias didácticas de tipo metacognitivo.


Se define entonces el proceso de enseñanza, en estos momentos desde la

perspectiva de la didáctica de la matemática, la cual se preocupa por hacer que los espacios

y situaciones de aprendizaje, sean significativos y productivos en el aprendizaje y

comprensión de la matemática, esto es lo que le da mayor relevancia a la didáctica de la

matemática no solo con los conocimientos declarativos y procedimentales dados desde la

escuela, sino también fuera de ella.

Si la didáctica de la matemática se asume desde la perspectiva de la ciencia

cognitiva, los conceptos son el resultado del proceso cognitivo, contrario que la cognición

comienza por los conceptos (Freudhental, 1991), que es en cierta medida lo que sucede en

nuestras instituciones educativas. Es decir se debe iniciar el proceso de conocimiento desde

espacios concretos, llevándolos de manera procesal a la estructuración de conceptos.

Otros factores que enriquecen la relación enseñanza – aprendizaje, que se

relacionan con el estudio de la didáctica son: las ideas previas, los esquemas mentales, el

cambio conceptual, las modificaciones que se operan en el saber durante su circulación, la

posibilidad que tienen el estudiante de reflexionar sobre el saber apropiado y las estrategias

que utiliza, la posibilidad de que el docente reflexione sobre su propia práctica pedagógica

(reflexione acerca de su mediación), de tal modo que su intervención sea motivo de una

evaluación autocrítica.

G. Brousseau (1986) define la didáctica como “la ciencia de la comunicación de

los conocimientos, las condiciones de esta comunicación y las transformaciones que esta

difusión produce, tanto sobre esos conocimientos como sobre sus usuarios”, a su vez define

la situación didáctica como “un conjunto de actividades que se realizan en condiciones

pedagógicas más exigentes”, es decir, lecciones más seguras para el docente, a la vez que

más abiertas para el estudiante. Se añade que una situación didáctica debe incentivar la

puesta en juego de concepciones y procedimientos ya interiorizados por los estudiantes,

para solucionar los problemas presentados y provocar la modificación de las ideas previas

en función de los obstáculos encontrados.

La didáctica de la matemática cubre, por tanto, el estudio de las relaciones entre

enseñanza – aprendizaje y todos los aspectos específicos de la matemática, incluyendo a la

escuela como sistema. En ella se intenta abordar la problemática global y extensa de los


procesos de enseñanza aprendizaje desde un punto de vista racional y científico, por eso

esta ciencia está en permanente proceso de investigación e innovación.

En la década de los cincuenta Hans Freudhental, incentivó un cambio en la

enseñanza tradicional de la matemática, en la cual manifestó su oposición a las corrientes

pedagógicas - didácticas y las “innovaciones” en la enseñanza vinculadas a la matemática

que se propiciaban a mediados del siglo pasado (la teoría de los objetivos operacionales; los

test estructurados de evaluación; la investigación educativa estandarizada; la aplicación

directa del estructuralismo y el constructivismo Piagetiano al aula; la separación entre

investigación educativa, desarrollo curricular y práctica docente; y la matemática

“moderna” en la escuela). Proponiendo entonces las bases de lo que hoy se conoce como la

corriente Educación Matemática Realista (EMR).

Este tipo de educación se basa en las siguientes ideas.

Pensar la matemática como una actividad humana (a la que Freudhental

denomina matematización) y que, siendo así, debe existir una matemática

para todos.

Aceptar que el desarrollo de la comprensión matemática pasa por distintos

niveles donde los contextos y los modelos poseen un papel relevante y que

ese desarrollo se lleva a cabo por el proceso didáctico denominado

reinvención guiada, en un ambiente de heterogeneidad cognitiva.

Desde el punto de vista curricular la reinvención guiada de la matemática, requiere

de la búsqueda de contextos y situaciones que generen la necesidad de ser organizados

matemáticamente. Estos contextos deberán ser estructurados de tal forma que inviten a los

estudiantes a utilizar herramientas matemáticas en la vida cotidiana.

Entre algunos principios en que se basa la Educación Matemática Realista se

encuentran:

Principio de actividad: la filosofía educacional de la EMR, se basa en la noción de

Freudhental de la matemática como actividad humana cuya finalidad es organizar

(matematizar) el mundo que nos rodea incluyendo a la propia matemática (Freudhental,

1971).

El autor explica que la matematización entendida como actividad de organización:

“es una actividad de resolución de problemas, de búsqueda de problemas, pero también es


una actividad de organización de un tema. Esto puede ser un asunto de la realidad, la cual

tiene que ser organizada, de acuerdo a patrones matemáticos en caso dado que los

problemas de la realidad tengan que ser resueltos. También puede ser un tema matemático,

resultados nuevos o viejos, los vuestros o los de otros, los cuales tienen que estar

organizados de acuerdo a nuevas ideas, para comprender mejor, en un contexto más amplio

o por un enfoque axiomático”.

Para Freudhental el objetivo es matematizar la realidad cotidiana. Viéndose esto

como una actividad general que caracteriza tanto a la matemática pura como a la aplicada y

por tanto “matematizar” involucra tanto a la matemática como a la realidad. Es por ello

que se necesitan plantear ambientes de aprendizaje desde la “realidad”, desde la vida

cotidiana, desde la manera de pensar de los niños, para así llegar a la matematización.

Principio de realidad: Desde la perspectiva de la EMR, aprender matemáticas

significa hacer matemáticas, una actividad mental reflexiva (Freudhental, 1991) en la que

resolver problemas situados en contextos realistas, en el sentido de realizables o

imaginables, es central a la tarea de matematización. Sin embargo, la palabra “realista”, no

se refiere sólo a la conexión con el mundo real, sino que también se refiere a las situaciones

problemáticas que son reales en la mente de los estudiantes. El contexto de los problemas a

ser presentados a los alumnos puede ser del mundo real, pero no necesariamente esto es así.

Para efectos de esta investigación solo se explicarán estos dos primeros principios

de la Educación Matemática Realista, teniendo en cuenta siempre, que esta filosofía se basa

en seis principios, ellos son principios de: actividad, realidad, niveles, reinvención guiada,

interacción e interconexión. Uno de los aspectos importantes es la creación de situaciones

problemáticas basadas en la realidad de los estudiantes, para así obtener una verdadera

matematización, contribuyendo a un aprendizaje con significado.

La resolución de problemas no es sólo uno de los fines de la enseñanza de las

matemáticas, sino el medio esencial para lograr el aprendizaje. Los estudiantes deberán

tener frecuentes oportunidades de plantear, explorar y resolver problemas que requieran un

esfuerzo significativo.

Mediante la resolución de problemas matemáticos, los estudiantes deberán adquirir

modos de pensamiento adecuados, hábitos de persistencia, curiosidad y confianza ante


situaciones no familiares, que les serán útiles fuera de la clase de matemáticas. Incluso en la

vida diaria y profesional es importante ser un buen resolutor de problemas.

La resolución de problemas es una parte integral de cualquier aprendizaje

matemático, por lo que se piensa que no debería ser considerado como una parte aislada del

currículo matemático. En consecuencia, la resolución de problemas debe estar articulada

dentro del proceso de estudio de los distintos bloques de contenido matemático. Los

contextos de los problemas pueden referirse tanto a las experiencias familiares de los

estudiantes así como aplicaciones a otras áreas. Desde este punto de vista, los problemas

aparecen primero para la construcción de los objetos matemáticos y después para su

aplicación a diferentes contextos.

Las estrategias en la solución de problemas, se refieren a las operaciones mentales

que los estudiantes utilizan para pensar sobre la representación de las metas y los datos, con

el fin de transformar éstos en metas y alcanzar una solución. Las estrategias incluyen los

métodos heurísticos, los algoritmos y los procesos de pensamiento divergente.

Estas estrategias son en cierta medida procedimientos, entendidos estos como un

conjunto de acciones ordenadas, orientadas a la consecución de una meta.

Los procedimientos susceptibles de enseñanza en la escuela según Monereo (2002)

se diferencian en dos niveles. Según el nivel de disciplinariedad: Aquellos procedimientos

que son propios de un cuerpo de conocimientos bien delimitados que se denomina

disciplina; a su vez están los procedimientos que pueden enseñarse indistintamente en

diferentes disciplinas (técnicas de estudio: mapas conceptuales, mapas mentales, matrices

de doble entrada, etc.) y según el Nivel de prescripción: se dan según el grado de rigidez o

flexibilidad que permitan las operaciones que se deben efectuar y el orden en que se deben

ejecutar.

El siguiente esquema nos muestra estas características

Cerrados Algoritmos Disciplinares

Abiertos Heurísticos Interdisciplinares


En lo que respecta a los métodos heurísticos, los investigadores han examinado

diferentes vías o enfoques posibles a seguir para alcanzar una solución: (1) buscar

representaciones alternativas (Goldstein, 1980), (2) trabajar en sentido inverso, de la meta a

los datos (Hayes, 1981), (3) trabajar por pasos (Mayer, 1983), (4) el análisis medios-fin,

que implica dividir el problema en submetas e ir eliminando obstáculos con el fin de

acercarse más a ellas (Mayer, 1983), (5) el razonamiento hipotético (Hayes, 1981), (6)

resolver partes de un problema (Polya, 1945), y (7) buscar problemas análogos (Gick y

Holyoak, 1985).

Los métodos heurísticos según Puig (1998): “lo que es propio de la heurística es

el estudio de los modos de comportamiento al resolver problemas y los medios que se

utilizan en el proceso de resolverlos que son independientes del contenido y que no

suponen garantía de que se obtenga la solución, y calificaremos, por tanto, de

«heurísticos» a tales modos y medios”.

Ahora bien, retomando, se define entonces que el enfoque de enseñanza parte de la

problematización de los contextos “reales” y de esta forma los contenidos quedan relegados

a un segundo plano, no por ello menos importantes, sino todo lo contrario constituyéndose

para ellos un andamio que permite el aprendizaje significativo. Por eso, es importante

diseñar ambientes de aprendizaje, donde las situaciones problemas sean planteadas y

abordadas desde una matemática concreta, para luego pasar a una matematización en

abstracto.

Sin embargo, esto no es suficiente para que el niño aprenda a resolver problemas,

por ello, es necesario que las estrategias didácticas en las que se base el mediador (concepto

que será abordado más adelante) apunten a generar herramientas generales, para el abordaje

de cualquier situación problémica sea del resorte matemático o no.

Polya (1965) consideraba que el profesor tiene en sus manos la llave del éxito ya

que, si es capaz de estimular en los alumnos la curiosidad, podrá despertar en ellos el gusto

por el pensamiento independiente; pero, si por el contrario dedica el tiempo a ejercitarles en

operaciones de tipo rutinario, matará en ellos el interés. Es necesario crear en clase un

ambiente que favorezca la investigación, el descubrimiento, la búsqueda, la desinhibición -

cuando se trate de plantear preguntas o dudas - , el respeto a los compañeros, las actitudes

de colaboración… etc.


Sin embargo, la idea de Polya trasciende de solo enseñarles a los alumnos a

resolver problemas, se trata de enseñarles a pensar matemáticamente, es decir, a que sean

capaces de abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio rango de situaciones y, en este

sentido, los propios problemas serán las "herramientas" que les llevarán a ello.

Esta investigación se basa en la perspectiva de las estrategias didácticas con

enfoque metacognitivo. Para entrar en el abordaje de las estrategias didácticas, iniciemos

por las estrategias del cómo aprenden los estudiantes, de las cuales dependen las anteriores,

según Monereo (2002) se define “una estrategia de aprendizaje como un proceso de

decisiones, consiente e intencional, que consiste en seleccionar los conocimientos,

conceptuales, procedimentales y actitudinales, necesarios para cumplimentar un

determinado objetivo, siempre en función de las condiciones de la situación educativa en

que se produce la acción”.

Por consiguiente, las estrategias didácticas implementadas en el aula deberán estar

dirigidas a potenciar el aprendizaje autónomo. Es decir, el aprender a aprender, entre

algunas de estas estrategias, utilizadas para orientar a los estudiantes en la resolución de

problemas matemáticos, utilizados en esta investigación, se encuentran:

Instrucción Directa: Tiene como objetivo proporcionar a los estudiantes

indicadores sobre cómo utilizar correctamente el modelo de resolución de

problema, adoptado por el docente, o cualquier otro procedimiento. Las

principales características de este modelo las resumen Winograd y Hare

(1998; citado por Monereo, 2002) de la siguiente manera:

Descripción de las características diferenciales que definen un

procedimiento correcto.

Valoración del propósito o beneficio potencial de su utilización.

Exposición de los diferentes pasos que se deben seguir para utilizar un

procedimiento

Análisis de las situaciones o circunstancias en las que el procedimiento

pueda ser más útil.


Determinación de los criterios que permitan decidir la adecuación o

inadecuación de la utilización de un procedimiento en una situación

concreta.

La instrucción directa se utiliza para explicarles a los estudiantes los métodos

heurísticos del cómo resolver problemas, se describen las diferentes cuestiones en las que

hay que centrar la atención y ser cuidadosos a la hora de diferenciar entre los tipos de

actividades concretas de la matematización.

Modelado Metacognitivo: Es un método instruccional que tiene como

objetivo que los estudiantes adquieran las estrategias, encaminándose a la

“explicitación” de procesos, más que poner el énfasis en los resultados y de

esta manera ir adquiriendo un comportamiento similar al de los expertos

resultores de problemas o de cualquier área del conocimiento.

Se trata entonces de hacer público el proceso de pensamiento requerido para

aplicar una estrategia. Cuando el profesor(a) está resolviendo un problema, va

desarrollando pasos y el estudiante solo ve sus resultados. En el caso de la aplicación del

modelado metacognitivo, el experto, además de resolver paso a paso, demostrando

acciones, verbaliza las operaciones mentales que va considerando en cada uno de ellos,

dando cuenta a su vez de las decisiones que va tomando en el proceso (Mateos, 2001).

Algunas de las características del modelado metacognitivo según Monereo (2002)

son: es un método que no pretende que los alumnos imiten o repitan una serie de acciones

observadas, sino que el experto sirva de ayuda a los estudiantes en el proceso de

construcción de su propio modelo de actuación, frente a la resolución de problemas en este

caso.

Otra de las características es que el docente explicita que la actuación puede ser

diferente en función de la demanda de la tarea, de las características del contenido, del

objetivo que se persiga, o de cualquier otra variable que sea relevante para la consecución

de la misma.

Entre lo que explicita el docente tendrá que incluir diferentes informaciones tales

como: de qué manera decide el proceso que seguirá, qué hace frente a las dificultades que

se encuentra, cómo determina la adecuación de lo que hace en los objetivos que se propone

lograr, etc. Dando a entender a los estudiantes que en función de los objetivos que se


persigan, de las características del contenido a aprender y de la demanda a la cual se deba

dar respuesta, se tendrá que adecuar el uso del procedimiento. Por tal motivo, el modelo

que se ofrece no puede ser rígido (Duffy, Roheler y Hernan, 1988; Citados por Monereo,

2002).

La secuencia lógica para establecer este método en el aula será entonces: En un

primer momento el profesor resuelve solo el problema; posteriormente, lo resuelven

conjuntamente el profesor y alumno, siendo el primero quien guía el proceso; En un tercer

momento, siguen resolviendo el problema conjuntamente, pero es el estudiante quien guía

el proceso; Por último, en el cuarto estadio, el alumno resuelve los problemas de modo

independiente.

En el modelado metacognitivo el docente ha de servir de “modelo” para los

estudiantes en cómo resolver problemas matemáticos, haciendo uso de los procesos

metacognitivos de planeación, control y evaluación, pero no solo muestra cómo resolver los

problemas correctamente, sino que también comete deliberadamente (o no) errores que va

corrigiendo; y de esta manera muestra a los estudiantes el modo de autorregularse durante

la solución de problemas.

El objetivo básico de este método, es proporcionarle al alumno un modelo del

cómo enfrentarse a los problemas matemáticos, utilizando un vocabulario adecuado y

apropiado con respecto a la situación planteada, una metodología de trabajo ordenada y

lógica, y una actitud positiva hacia la tarea qué el estudiante deberá aprender para luego

ponerla en práctica, no solo en el contexto matemático o en las otras disciplinas, sino

también en su vida diaria.

Práctica Guiada: En esta fase del proceso se busca que los estudiantes

practiquen el uso del procedimiento para resolver problemas, utilizando los

procesos metacognitivos, aumentando progresivamente el nivel de

complejidad de las situaciones planteadas, proponiendo la utilización de los

procedimientos aprendidos para trabajar diferentes contenidos y

situaciones diversas.

En este momento adquiere una función primordial la mediación docente, el cual

deberá proporcionarles a los estudiantes la guía necesaria para ir alcanzando

progresivamente un nivel más elevado de autonomía.


Para guiar esta práctica es necesario contemplar algunas condiciones (Brown y

Palincsar, 1989): Adaptar la ayuda a las necesidades de los alumnos en un momento

determinado, aumentar la ayuda cuando se incrementa la dificultad de la tarea y viceversa,

Disminuir gradualmente la ayuda a medida que aumenta la habilidad de los estudiantes y

orientar la ayuda a corregir los errores y mejorar el nivel de competencia.

El modelo que se destaca en esta fase es el utilizado por Pifarré (1998) en la guía

propuesta por este autor “la hoja para pensar el problema”, la cual se estructura como una

guía para el estudiante que le sirve de apoyo en el momento en que se enfrenta a una

situación de este tipo, el docente a su vez va proporcionándoles a los estudiantes la

retroalimentación del proceso.

La práctica guiada permite a los estudiantes aprovechar el andamiaje que les

ofrece el docente, y que de esta manera puedan enfrentarse a tareas más complejas que

aquellas que realizan rutinariamente.

Aprendizaje Cooperativo: el objetivo principal de esta estrategia es el de

promover la realización conjunta de diferentes tareas, tomando como base

que la cooperación promueve el aprendizaje personal y el grupal. Es

importante resaltar que para trabajar esta estrategia se debe tener en cuenta

aspectos como el conocimiento previo de los estudiantes respecto al

contenido que se quiere abordar, la diversidad del grupo o la planificación

minuciosa de la tarea que tendrá que realizar el docente.

El aprendizaje cooperativo facilita la discusión, entre los estudiantes y el docente,

permite a su vez negociar las propias opiniones y poner énfasis en los aspectos

metacognitivos, favoreciendo la reflexión y la autoevaluación.

Entre algunos principios que fundamentan el aprendizaje por grupos cooperativos

planteados por Johnson y Johnson (1995) se tienen:

Favorecer una interdependencia positiva entre los miembros de un grupo.

Para conseguirlo se propone la formación de grupos lo más heterogéneos

posibles, otorgando a cada participante una función y responsabilidad. De

esta manera se favorece la cooperación y el progreso conjunto de un grupo.


Durante la realización del trabajo el docente tendrá que ofrecer

retroalimentación, a todo el grupo conjuntamente y cada miembro del grupo

individualmente, sobre su progreso poniendo de manifiesto que, aunque se

establecen responsabilidades individuales, el éxito se basa en el trabajo en

equipo.

Teniendo en cuenta esta responsabilidad compartida, se espera que cada

miembro del grupo lleve a cabo el trabajo que se le ha asignado y colabore

con los compañeros cuando lo necesiten. Esta colaboración incluye

participar en el proceso de toma de decisiones, en la resolución de dudas

que surgen al realizar al actividad.

Es necesario que los grupos tengan tiempo de discutir, si el trabajo que está

efectuando cada miembro del grupo se complementa con el de los otros y si

están alcanzando los objetivos propuestos.

Por lo tanto, se trata de una estrategia que busca la interacción entre pares, en el

que dentro de su desarrollo los miembros del grupo identifican tareas especificas y asignan

roles para responder por dichas tareas.

El aprendizaje cooperativo promueve la colaboración y el trabajo grupal, ya que

éste establece mejores relaciones con los estudiantes, aprenden más, les agrada resolver

problemas, se sienten más motivados, aumenta su autoestima y aprenden habilidades

sociales más efectivas al estudiar, aprender y trabajar en grupos.

Las anteriores estrategias se articulan de manera transversal con procesos de

planificación, control y evaluación, que se desarrollan en las diferentes fases del programa

interventivo. Los procesos metacognitivos contemplados en la intervención coinciden con

los tres estadios que tradicionalmente la psicología cognitiva ha descrito en las tareas

cognitivas: planificación, automonitoreo, y comprobación (Pintrich, 2003).

Como lo plantea Tárraga (2008): La autoinstrucción implica decirse a sí mismo

qué hacer antes y durante la resolución. Esta fase equivaldría a la fase previa de la mayoría

de programas de enseñanza de estrategias de aprendizaje. Podría resumirse mediante la

pregunta ¿Qué tengo que hacer?, y supondría el inicio del proceso de movilización de la

estrategia de aprendizaje.


Del mismo modo, el autocuestionamiento o automonitoreo implica preguntarse a

sí mismo mientras se está implicado en una actividad, con el objetivo de mantenerse

centrado en la tarea, regular el proceso y asegurarse de que se está haciendo correctamente.

Esta fase se desarrolla mientras el sujeto está inmerso en la tarea, y podría resumirse con la

pregunta ¿lo estoy haciendo bien?; ¿estoy siguiendo mi plan?

Finalmente, la comprobación requiere que el resultor del problema se asegure de

que todo se ha hecho correctamente a lo largo del proceso de solución del problema.

Equivaldría a la fase posterior a la realización de la tarea, y podría resumirse con la

pregunta ¿lo he hecho bien?

Estas preguntas ¿qué tengo que hacer?, ¿lo estoy haciendo bien? y ¿lo he hecho

bien? estarán inmersas en todo momento de la intervención del programa, el docente

reiterara constantemente los procesos enmarcados en ellas, se pueden realizar ayudas

nemotécnicas u otras, teniéndolas en cuenta el tiempo que sea necesario, de esta manera se

contribuye al mejoramiento de los procesos metacognitivos del estudiante.

Por otra parte, para que el proceso de aprendizaje de resolución de problemas

matemáticos contextualizados, donde se utilizan las estrategias anteriormente descritas,

tenga éxito en los estudiantes, es importante el rol del docente como mediador del

conocimiento.

Para Feuerstein (1981), el mediador, es quien enriquece la interacción entre el

individuo y el medio ambiente; es quien trata de implicar al sujeto en su experiencia de

aprendizaje, favoreciendo la metacognición, pues más que de aprender, de lo que se trata es

de “aprender a aprender”. El mediador fomenta la curiosidad intelectual, la originalidad y la

creatividad. Es a través de la mediación que se lleva al estudiante a autopercibirse como

sujeto activo, capaz de generar y procesar información.

Feuerstein, caracteriza la mediación desde los siguientes criterios:

La intencionalidad y la reciprocidad: En la mediación se trasmiten valores porque

existe una intencionalidad clara al enseñar o trasmitir algo. El objetivo debe ser preciso. El

mediador motivado por una intención de percepción de una cosa en particular, transforma

el estímulo entregando elementos más atractivos y produciendo cambios en el estado del

niño haciéndolo más vigilante y listo para comprender y lograr reciprocidad. Si el niño

pierde su estado de alerta, el mediador deberá modificarse y elaborar una estrategia. La


intencionalidad transforma la relación triangular: mediador, fuente de estimulación y niño,

creando dentro del educando los pre-requisitos para la modificabilidad cognitiva.

La trascendencia: Significa ir más allá de la situación o necesidad inmediata que

motivó la intervención. No se refiere sólo a una generalización en otras áreas. Sino que

cada situación producida en una intervención sirva para otras situaciones. (Causa-efecto).

La trascendencia representa todo lo que se crea en el interior del pensamiento del individuo.

Ella permite transformar los estímulos que llegan en forma directa y darles una

interpretación más aislada manifestándose en conceptos que no son completamente

necesarios para la tarea.

La mediación del significado: Consiste en dar sentido a los contenidos y a las

alternativas pedagógicas. Es la búsqueda del porqué del razonamiento y la forma lógica de

expresar el pensamiento. Representa la energía, afecto o poder emocional, que asegura que

el estímulo será realmente experimentado por el niño. Va muy ligado a la intencionalidad

porque: "yo mediador le atribuyo un valor especial". Feuerstein considera que no existe el

objeto neutro y que es peligroso actuar como tal, trasmitiendo al niño algo que no tiene

significado. El significado es distinto de acuerdo a las culturas y es más honesto entregar

los significados que son importantes para el mediador, ya que, dependiendo de lo que los

niños entiendan, se motivarán para buscar sus propios significados. Por ello es importante,

el trabajo en grupo de modo que comprendan que una misma cosa, puede tener varios

significados.

Los anteriores son criterios fundamentales para que se dé una experiencia

mediada, sin embargo Feuerstein (1994) agrega otros también importantes.

Mediación del sentido de competencia cuando se trata de afianzar el

sentimiento de que se “es capaz”.

Mediación sobre el control del comportamiento, cuando se ayuda a la

regulación del comportamiento, al dominio de la impulsividad.

Mediación sobre el sentimiento de compartir, importante para la

integración cognitiva y afectiva, pues al invitar al estudiante a compartir

experiencias, estrategias, conocimientos y sentimientos, se lo ayuda a

perfeccionar su propia percepción.


Mediación de individualización y diferenciación sicológica, cuando se

tienen en cuenta sus peculiaridades de desarrollo, de estrategias y de

aplicaciones de las operaciones mentales, se atiende al proceso personal del

trabajo, y a las diferencias a la variedad de respuestas.

Mediación sobre la búsqueda, planificación y logro de objetivos, cuando se

ayuda a crear en el estudiante la necesidad de trabajar según unos objetivos

y a poner los medios para conseguirlos.

Mediación de la búsqueda de novedad y complejidad.

Mediación del conocimiento del ser humano como ser cambiante.

Mediación del optimismo, como filosofía de vida.

Mediación del sentido de pertenencia, como medio para hacer al niño

participe del proceso.

Los anteriores criterios de mediación, dan ciertas luces sobre como debe ser el

comportamiento del docente – mediador en el desarrollo de la intervención, dándole suma

importancia a los tres primeros criterios, es decir, la intención clara del proceso, la

trascendencia de lo que se va a aprender y la mediación del significado, para que se de un

aprendizaje anclado en los procesos cognitivos del aprender a aprender.

Por otra parte, atendiendo a que el programa se basa en estrategias didácticas con

enfoque metacognitivo, en busca de un aprendizaje significativo por parte de los

estudiantes, retomando las ideas de Ausbel et al (1973) y refiriéndose a lo planteado por

Román y Diez (2000) se pueden distinguir en la aplicación de esta propuesta didáctica estos

tres tipos de situaciones de aprendizaje, que se van dando de manera estructurada:

Aprendizaje repetitivo – memorístico por descubrimiento guiado. En este

caso el docente se limita a orientar y enseñar estrategias técnicas, como es

el caso de las estrategias cognitivas de la resolución de problemas,

descuidando los conceptos y marcos de referencia. Por tanto, la mediación

del profesor es metodológica no conceptual. Supone entonces una mera

aplicación de técnicas y formulas para resolver problemas.

Aprendizaje significativo – por descubrimiento guiado. Subyace a este tipo

de aprendizaje una metodología activa e investigadora. La actividad está

guiada por el docente desde las perspectivas cognitivas y metacognitivas.


El docente guía al estudiante para que construya procedimientos y

conceptos.

Aprendizaje significativo por descubrimiento autónomo. El estudiante

construye sus propios conocimientos bajo diferentes modalidades, tienen

claridad sobre sus objetivos y los medios para conseguirlos. Es en este

nivel que se debe apuntar en la enseñanza escolar.

Lo descrito apunta entonces a que el docente como mediador, entre el conocimiento

y el estudiante como sujeto cognoscente, debe preparar diferentes estrategias de enseñanza

para que el aprendizaje se desarrolle de manera significativa, y dejar de darle prioridad a

estrategias que apuntan a un aprendizaje memorístico, que generalmente los conocimientos

solo se establecen en la memoria a corto plazo y no garantiza el desarrollo de competencias.

Hoy se defiende en diferentes contextos escolares una concepción de aprendizaje,

según la cual, los discentes pueden mejorar su capacidad para aprender, usando

selectivamente estrategias motivacionales y metacognitivas (Osses y Jaramillo, 2008), pero

para que esto suceda los docentes deben conocer y enseñar este tipo de estrategias, las

cuales buscan desarrollar el “aprender a aprender”, acompañados de ambientes de

aprendizajes que propicien este tipo de competencias.

Según Monereo et al (1999) los objetivos que persiguen los docentes se pueden

diferenciar en: enseñar a sus alumnos a seguir las instrucciones al pie de la letra; conocer

y utilizar de forma adecuada los procedimientos curriculares específicos de la tarea en

cuestión; utilizar los procedimientos necesarios para resolver la tarea, reflexionando sobre

qué hay que hacer, cómo hay que hacerlo y por qué, antes, durante y una vez terminado el

trabajo. Los dos últimos objetivos, especialmente el tercero, comparten el que los alumnos

aprendan estrategias para mejorar su aprendizaje y gestionarlo de forma autónoma y eficaz.

En este caso se pretende que los docentes apliquen estrategias que permitan a los

estudiantes reflexionar sobre el proceso y resultado de la resolución de problemas en

matemática, aplicando a su vez diferentes ambientes de aprendizaje que permitan que el

aprendizaje sea significativo.


3. METODOLOGÍA

3.1 CONTEXTUALIZACIÓN

La presente investigación se desarrolló en la Institución Educativa Normal

Superior de Sincelejo (IENSS), ubicada en el Municipio de Sincelejo del departamento de

Sucre. .

En el presente año (2009) la institución cuenta con alrededor de cuatro mil

setecientos veinte (4720) estudiantes matriculados y legalizados en su totalidad. Ofrece

educación en los niveles de preescolar (jornada matinal), básica primaria (jornada matinal y

vespertina), básica secundaria (jornada matinal y vespertina), media (jornada matinal), ciclo

complementario de formación docente (jornada completa).

En el aspecto socio-económico la mayor parte de los estudiantes viven en barrios

de estratos bajos, se cuenta con un 15% de estudiantes desplazados, un 6% de estudiantes

pertenecientes a grupos étnicos, un 14% y 11% vinculados a SISBEN 1 y 2

respectivamente. En un alto porcentaje el núcleo familiar se encuentra desintegrado. Entre

los empleos mayormente destacados que desarrollan los padres de familia encontramos:

vendedor ambulante, comerciante y mototaxista.

CAPITULO III


Como se puede inferir, la IENSS como entidad pública, se caracteriza por

brindarles educación a estudiantes de bajos recursos económicos en su gran mayoría.

3.2 DISEÑO METODOLÓGICO

Analizando las características de la investigación y teniendo en cuenta que la

asignación de alumnos a los grupos no fue efectuada en forma aleatoria (el grupo ya está

formado), se ha optado entonces por un diseño cuasi-experimental, este tipo de diseño

posee características generales similares a las de los diseños experimentales, con una

diferencia clave: el investigador no puede efectuar al azar la asignación de los sujetos a los

grupos (esto es, los sujetos o grupos no están asignados aleatoriamente), las características

del diseño se presenta en el cuadro Nº 6. (Bisquerra, 2004)

Según Hernández (2000) en los diseños cuasi - experimentales los sujetos no son

asignados al azar ni emparejados, sino que dichos grupos ya están formados antes de

realizar la experimentación, son grupos intactos.

Podría decirse que los diseños cuasi-experimentales ofrecen una solución de

compromiso en aquellos casos en que se producen conflictos entre la validez interna y

externa, o en otra dimensión, entre investigación básica y aplicada. En este contexto, y más

cercano a la investigación aplicada, este tipo de diseño procura poner a prueba la eficacia

de una intervención, es decir, “probar que algo funciona”. Dicho en otros términos, en

lugar de tratar de determinar la relación causal entre una cierta acción o intervención y un

resultado positivo determinado, se busca directamente el logro de dicho resultado: no se

pretende hallar la causa de la mejora en una situación, sino lograr per se dicha mejora (no

obstante, al tratarse de un cuasi-experimento, la certeza de que la intervención sea la causa

de la mejora en el resultado no es absoluta, a diferencia del mayor grado de validez interna

que podría lograrse mediante un experimento).

Por tanto, se tomaron dos grupos experimentales, a ambos se les intervino con la

estrategia didáctica con enfoque metacognitivo, a uno de ellos se le aplicó pretest y postest,

al otro sólo el postest. Se tomaron a su vez dos grupos de control, los cuales no fueron

intervenidos con la estrategia, sin embargo, a uno de ellos se le aplicó el pretest y postest, al

otro solo el postest. Los grupos experimentales y de control se escogieron de manera

aleatoria.


Cuadro Nº 6. Diseño Metodológico (Cuasi experimental)

GRUPO PRETEST TRATAMIENTO POSTTEST

A (EXPERIMENTAL) O X O

B (CONTROL) O O

C (EXPERIMENTAL) X O

D (CONTROL) O

Fuente: Bisquerra (2004)

Según García et al (1999), Este tipo de diseño de cuatro grupos permite establecer

relaciones sobre la sensibilidad que pueda establecerse por causa de la aplicación de una

prueba preliminar a los grupos, como dos de los grupos no pasan por el pretest, estos

permiten la contrastación del posible efecto de sensibilización de dicha prueba, ganando así

validez externa.

El diseño de cuatro grupos de Solomón, es un diseño que combina por una parte el

diseño con post prueba únicamentey grupo control más el diseño de preprueba con grupo

control, originando cuatro grupos: dos experimentales y dos control. La ventaja de este

diseño es que es posible verificar los posibles efectos de la pre-prueba sobre la post-prueba.

(Hernández, 2000)

3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA

La población objeto de estudio es el grado quinto de la IENSS, teniendo seis (6)

grupos en la jornada matinal y cuatro (4) grupos en la jornada vespertina, para un total de

338 Estudiantes. Para la elección de los grupos experimentales y control, fueron escogidos

de manera aleatoria los siguientes: grupo 5ºB, jornada matinal (Control), el grupo 5ºF

jornada matinal (control), el grupo 5ºC jornada vespertina (Experimental) y el grupo 5ºA

jornada vespertina (Experimental).

CuadroNº 7. Comparación de estudiantes por grupos


Fuente: Secretaria académica IENSS

Participantes.

Docentes: Dos maestras de básica primaria participaron en la presente

investigación, implementando en sus aulas el programa de intervención, en la tabla Nº 5 se

recoge su edad, años de experiencia y formación:

CuadroNº 8. Edad, años de experiencia y formación docente

Edad Años en docencia Titulo

45 años 25 Licenciada en educación religiosa

58 años 39 Licenciada en educación preescolar.

Fuente: Secretaria Académica IENSS

Las docentes participantes se encuentran activas impartiendo su docencia en los

grados de 5º de básica primaria, orientando el área de matemática. Estas se

comprometieron a participar en la investigación poniendo en práctica el programa de

intervención y acogiendo las sugerencias que el investigador les diera de tipo disciplinar y

pedagógico - didáctico, a su vez también permitieron aplicarle a sus estudiantes las pruebas

que se desarrollan a lo largo del proceso investigativo.

Estudiantes: La elección de los grupos de estudiantes se realizó de manera

aleatoria, es decir, a pesar de no aplicar la aleatorización para conformar los grupos, se

realizó la escogencia de los que tendrían el carácter de experimental y control realizando el

siguiente procedimiento: se introdujeron los diferentes nombres de los grupos (A mat, B


mat, C vesp…) en una urna y se procedió a escoger quienes serian control y

experimentales.

Los grupos quedaron conformados de la siguiente manera:

Grupo Experimental A: Estudiantes del grado quinto grupo C de la jornada

vespertina, a este grupo se le realizó: la pre prueba, el programa de

intervención y la post prueba.

Grupo Control B: Estudiantes del grado quinto F jornada Matinal,

continuaron con sus clases normales, recibiendo la instrucción que

habitualmente se llevaba en matemáticas. Se le aplico la pre prueba y la

post prueba.

Grupo Experimental C: Estudiantes del grado quinto A de la jornada

vespertina, a este grupo se le realizó el programa de intervención,

aplicándose solamente la post prueba

Grupo control D: Estudiantes del grado quinto B de la jornada matinal, este

grupo continúo con sus clases normales, recibiendo la instrucción que

habitualmente se llevaba en matemáticas y solo se le aplicó la post prueba.

Los datos demográficos de los grupos se recogen en el siguiente cuadro:

Cuadro Nº 9. Datos demográficos de los grupos

Grupo Nº Sexo Edad promedio

Experimental A 34 M: 13 F: 21 10.33 Años

Control B 35 M: 13 F: 22 10.13 Años

Experimental C 32 M: 14 F: 18 10.50 Años

Control D 34 M: 14 F: 20 10.50 Años

Total 135 M: 55 F: 80 10.36 Años

Fuente: Secretaria Académica IENSS

3.4 SISTEMA DE VARIABLES: Atendiendo a lo previsto en el objetivo general

de esta investigación se identifican las siguientes variables:

La variable independiente que se ha denominado para este estudio intervención

con estrategias didácticas con enfoque metacognitivo, enfatizando en la autoconciencia


del conocimiento cognitivo, el uso de estrategias o procesos cognitivos durante la solución

de problemas matemáticos contextualizados y el control de estrategias para la regulación y

el monitoreo sobre los procesos que van presentando, estando a menudo asociadas con la

conciencia, la evaluación y la regulación de estos. (Tárraga, 2008).

Se utiliza entonces diferentes estrategias didácticas que aporten al monitoreo

constante de los procesos que se realizan al solucionar los problemas contextualizados; En

la planeación de clases (este es derivado del plan general de área Anexo 7) se articulan

diferentes elementos que intervienen en el proceso de enseñanza – aprendizaje, es decir en

este plan se muestra el camino a seguir con el fin de desarrollar en los estudiantes diferentes

competencias, que se develan en el momento que los y las discentes movilizan sus saberes

cuando solucionan problemas que el contexto les presenta, sea disciplinar o de la vida

cotidiana.

Los elementos conectados en la articulación, van desde los estándares de

competencias brindados por el Ministerio de Educación Nacional en Colombia con los

contenidos y las competencias matemáticas a desarrollar, así como con los procesos, los

indicadores de desempeño, a su vez con las técnicas, las actividades y los recursos. Todo

evidenciado con un proceso de evaluación de la o las competencias que han ido

desarrollando los alumnos. La articulación de estos componentes se muestra en el siguiente

cuadro.

Cuadro Nº 10. Estándares y Competencias

ESTANDARES DE COMPETENCIAS

RELACIONADOS

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS INDICADORES DE DESEMPEÑO

Lo que debe estar en capacidad de Saber, de pensar resolver, saber hacer y desempeñarse el estudiante.

Son criterios claros que especifican todo lo que el estudiante debe saber y debe ser capaz

Conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socio afectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible, eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. (MEN, 2006)

Son señales, indicios del desempeño del estudiante. Es una señal reveladora del nivel de comprensión que alcanza un estudiante sobre el tema o contenido (declarativo, procedimental o actitudinal) objeto de


de hacer, a lo largo de su escolaridad.

la enseñanza y es una herramienta ideal para medir es estado del proceso de aprendizaje.

Cuadro Nº 11. Estructura del Programa

La variable independiente o programa de intervención tuvo una duración de 30

sesiones de 50 minutos cada una (3 sesiones semanales durante 10 semanas), realizadas en

CONTENIDOS DECLARATIVOS -

PROCEDIMENTALES- ACTITUDINALES

ESTRATEGIAS DIDACTICAS

TÉCNICAS

RECURSOS

EVALUACIÓN

Declarativo: Conceptos requeridos para el logro del objetivo propuesto, es decir del aprendizaje esperado. Procedimental: Aplicación de los conceptos desarrollados a partir del dominio de los procedimientos propios de la disciplina.

Actitudinal: Actitud de valoración y empoderamiento para actuar en contextos disciplinares y socioculturales fundamentado en los contenidos desarrollados.

Carrascal (2010)

Son los procedimientos y ambientes creados y utilizados por el docente para promover aprendizajes significativos (Meyer, 2002).

Son procedimientos didácticos que se utilizan para ayudar a realizar una parte del aprendizaje que se persigue con la estrategia. Determinan de manera ordenada la forma de llevar a cabo un proceso

Tiene que ver con el material que se va a emplear para facilitar el desarrollo de los ambientes de aprendizajes creados.

Definición de los criterios, de acuerdo a los niveles de comprensión esperados en el logro de los objetivos de aprendizaje. (Carrascal, 2010)


los dos grupos intervenidos de quinto grado de básica primaria de la Institución Educativa

Normal Superior de Sincelejo. Se espera que con la intervención se potencie el desarrollo

de la competencia resolución de problemas matemáticos contextualizados en los

estudiantes.

Por otra parte, se define la variable dependiente Competencia Resolución de

Problemas tal como el Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior

(ICFES) define esta competencia en diferentes niveles de escolaridad, en la básica con la

prueba SABER (tercer, quinto y noveno grado), en la media con la prueba ICFES

(finalizando el nivel medio y es requisito para el ingreso a la educación superior).

Este la define como: Capacidad para formular problemas a partir de situaciones

dentro y fuera de la matemática, traducir la realidad a una estructura matemática,

desarrollar y aplicar diferentes estrategias y justificar la elección de métodos e instrumentos

para la solución de problemas, justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado

en la solución de un problema y lo razonable o no de una respuesta obtenida. Verificar e

interpretar resultados a la luz del problema original y generalizar soluciones y estrategias

para dar solución a nuevas situaciones problema. (ICFES, 2007).

Esta competencia tiene relación estrecha con los diferentes pensamientos en que se

ha dividido el pensamiento matemático, ser matemáticamente competente se concreta de

manera específica en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático, el cual se

subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares

(MEN, 1998): el numérico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico

y el variacional. (Vasco, 2006).

El ICFES agrupa los cinco tipos de pensamiento matemático en tres componentes

definidos a continuación:

Numérico-variacional: está relacionado con la compresión de los números y de la

numeración.

Geométrico-métrico: involucra la construcción y manipulación de

representaciones mentales de los objetos del espacio y el elemento geométrico.

Aleatorio: hace referencia a la interpretación de datos, al reconocimiento y análisis

de los mismos.


3.5 OPERACIONALIZACIÓN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE

Para la evaluación de esta variable se definen componentes e indicadores,

describiéndose aspectos fundamentales de estas.

Cuadro Nº 12. Operacionalización de la Variable Dependiente

Variable

Dependiente Definición Componentes Indicadores

Competencia

resolución de

problemas

Capacidad para formular problemas a

partir de situaciones dentro y fuera de la

matemática, traducir la realidad a una estructura

matemática, desarrollar y aplicar diferentes

estrategias y justificar la elección de métodos e

instrumentos para la solución de problemas,

justificar la pertinencia de un cálculo exacto o

aproximado en la solución de un problema y lo

razonable o no de una respuesta obtenida. Verificar

e interpretar resultados a la luz del problema

original y generalizar soluciones y estrategias para

dar solución a nuevas situaciones problema.

(ICFES, 2007).

Numérico -

Variacional

Interpreta y compara distintas representaciones de un mismo número

Representa relaciones numéricas con ecuaciones e inecuaciones aritméticas sencillas

Resuelve problemas contextualizados de tipos aditivos y multiplicativos.

Resuelva problemas en contexto real de proporcionalidad en contextos multiplicativos.

Geométrico –

métrico

Compara figuras bidimensionales de acuerdo

a sus componentes y propiedades

Diferencia atributos medibles tales como: longitud, superficie,

volumen, capacidad y masa.

Resuelve problemas en


contexto utilizando diferentes procedimientos y

estrategias para calcular áreas y volúmenes.

Aleatorio

Cuantificación

Interpreta datos en tablas,

graficas de barras y de líneas.

Conjetura y pone a prueba

predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de

eventos

Resuelve situaciones

problemas interpretando datos en forma organizada y

aplicando la aleatorización.

De 0 a 10 puntos

3.6 INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN.

El test aplicado a los estudiantes contempla 10 situaciones problemas, tomadas de

los cuestionarios utilizados por el ICFES (Instituto Colombiano Para el Fomento de la

Educación Superior) en las pruebas aplicadas en los años 2002 y 2005 de la prueba Saber,

que se realizó a estudiantes de quinto grado de básica primaria en Colombia.

El ICFES define la competencia de resolución de problemas como la capacidad

para formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de la matemática, traducir la

realidad a una estructura matemática, desarrollar y aplicar diferentes estrategias y justificar

la elección de métodos e instrumentos para la solución de problemas, justificar la

pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo

razonable o no de una respuesta obtenida. Verificar e interpretar resultados a la luz del


problema original y generalizar soluciones y estrategias para dar solución a nuevas

situaciones problema. (ICFES 2007)

Los componentes definidos por el ICFES para su interpretación en el año 2005

fueron:

Numérico-variacional: está relacionado con la compresión de los números y de la

numeración, el significado del número, la estructura del sistema de numeración; el

significado de las operaciones, la comprensión de sus propiedades, de su efecto y de las

relaciones entre ellas; el uso de los números y las operaciones en la resolución de

problemas diversos, el reconocimiento de regularidades y patrones, la identificación de

variables, la descripción de fenómenos de cambio y dependencia; conceptos y

procedimientos asociados a la variación directa, a la proporcionalidad, a la variación lineal

en contextos aritméticos y geométricos, a la variación inversa y al concepto de función.

Geométrico-métrico: involucra la construcción y manipulación de

representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus

transformaciones y sus diversas traducciones o representaciones materiales, más

específicamente está ligado a la comprensión del espacio, al desarrollo del pensamiento

visual, al análisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacio a través de la

observación de patrones y regularidades. Involucra el razonamiento geométrico, la solución

de problemas significativos de medición, modelación, diseño y construcción. Relacionado

además con la construcción de conceptos de cada magnitud longitud, área, volumen,

capacidad, masa), la comprensión de los procesos de conservación, la estimación de

magnitudes, la apreciación del rango, la selección de unidades de medida, de patrones y de

instrumentos. El uso de unidades, la selección y uso de instrumentos, la comprensión de

conceptos de perímetro, área, superficie del área, volumen.

Aleatorio: hace referencia a la interpretación de datos, al reconocimiento y análisis

de tendencias, cambio, correlaciones, a las inferencias y al reconocimiento, descripción y

análisis de eventos aleatorios. Más específicamente involucra la exploración,

representación, lectura e interpretación de datos en contexto; el análisis de diversas formas

de representación de información numérica, el análisis cualitativo de regularidades, de

tendencias, de tipos de crecimiento, y la formulación de inferencias y argumentos usando

medidas de tendencia central y de dispersión.


El test de conocimientos matemáticos que se utilizó en esta investigación estuvo

caracterizado por preguntas basadas en la competencia específica resolución de problemas

y en los componentes caracterizados de la siguiente manera:

3 problemas pertenecientes al componente aleatorio.

3 problemas del componente geométrico – métrico.

4 problemas del componente numérico – variacional.

En un inicio el test de conocimientos matemáticos estuvo conformado por 17

problemas como se muestra en el Anexo Nº 1, Este test fue revisado por dos licenciados en

matemática, un magister en lingüística y un especialista en estadística, con el fin de valorar

la consistencia del test y de esta manera realizarle los respectivos ajustes.

Sin embargo luego del primer pilotaje del test, se estableció que la prueba era

demasiado larga para los niños de quinto grado, llegando a tal punto que los últimos 4

problemas los contestaron sin siquiera leer el enunciado de estos.

Cuando se realizo el análisis estadístico utilizando el alfa de Crombach resulto que

la prueba tenia poca confiabilidad, el alfa igual a 0.5133 mostraba que se debían realizar

ciertos ajustes al test.

Statistics for Mean Variance StdDev Variables SCALE 42,0000 35,4545 5,9544 16 Reliability Coefficients N of Cases = 12,0 N of Items = 17 Alpha = ,5133

Este primer pilotaje realizado a doce estudiantes de la Institución Educativa Santa

Rosa de Lima del municipio de Sincelejo (Sucre), permitió reestructurar la prueba en la

cantidad de problemas a evaluar, y a su vez ajustar la prueba en algunos Ítems.

El alfa de Cronbach es una medida estadística que toma valores entre 0 y 1, el cual

emplea el promedio de todas las correlaciones existentes entre los ítems del instrumento

que tributan al concepto latente que se pretende medir, cuanto más se aproxime a su valor

máximo, 1, mayor es la fiabilidad de la escala. Además, en determinados contextos y por


tácito convenio, se considera que valores del alfa superiores a 0,7 o 0,8 (dependiendo de la

fuente) son suficientes para garantizar la fiabilidad de la escala. (Hernández, 2000)

El segundo pilotaje aplicado a 14 estudiantes de la Institución Educativa Antonio

Lenis del municipio de Sincelejo (Sucre), dio mejores resultados mostrándose entendible

para los niños y con el número de ítems adecuado para su valoración (Anexo 2). El alfa de

Cronbach para este test se muestra en la siguiente tabla.

Statistics for Mean Variance StdDev Variables SCALE 28,7857 32,3352 5,6864 10 Reliability Coefficients N of Cases = 14,0 N of Items = 10 Alpha = ,7344

Atendiendo a que el coeficiente alfa de Cronbach, toma valores entre 0 y 1, donde el

acercarse a 1 estima una alta confiabilidad, se puede considerar el resultado del segundo

pilotaje con una confiabilidad moderada en cuanto se acerca discretamente a 1, mostrando

una correlación lineal entre los Ítems del instrumento.

Luego de haber aplicado el instrumento, fue nuevamente sometido a la valoración

de expertos, para que juzgaran la relación existente entre los componentes que se evalúan

en la prueba, como son: Numérico – Variacional, Geométrico – Métrico y Aleatorio, en la

estimación de la competencia Resolución de problemas, teniendo en cuenta la

conceptualización que el ICFES utiliza en cada uno de ellos. Los indicadores de cada

componente se describen a continuación:

Cuadro No. 13 Indicadores-Componentes (ICFES)


Componentes Indicadores

Numérico - Variacional

Interpreta y compara distintas representaciones de un mismo número

Representa relaciones numéricas con ecuaciones e inecuaciones aritméticas sencillas

Resuelve problemas contextualizados de tipos aditivos y multiplicativos.

Resuelva problemas en contexto real de proporcionalidad en contextos multiplicativos.

Geométrico – métrico

Compara figuras bidimensionales de acuerdo a sus componentes y propiedades

Diferencia atributos medibles tales como: longitud, superficie, volumen, capacidad y masa.

Resuelve problemas en contexto utilizando diferentes procedimientos y estrategias para calcular áreas y volúmenes.

Aleatorio

Interpreta datos en tablas, graficas de barras y de líneas.

Conjetura y pone a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos

Resuelve situaciones problemas interpretando datos en forma organizada y aplicando la aleatorización.

En lo concerniente a la variable resolución de problemas y a los distintos

componentes de la competencia matemática que la describen, se tiene que en el

componente numérico – variacional, los ítems que la miden son los siguientes: 1, 2, 6 y 8;

Para el componente Geométrico – métrico son los ítems N° 3, 4 y 5; para el componente

Aleatorio se tiene que los ítems son 7, 9 y 10. En la siguiente tabla se muestra la

confiabilidad de acuerdo al conjunto de ítems


Cuadro No. 14 Indicador de Fiabilidad

Componente y número de Ítems Fiabilidad

Componente Numérico – variacional Ítems 1, 2, 6 y 8

0,7256

Componente Geométrico – Métrico Ítems 3, 4 y 5

0,8546

Componente Aleatorio Ítems 7, 9 y 10

0,6436

Total 0,7344

El coeficiente de alfa de Cronbach es un estadístico que fluctúa entre 0 y 1, si el alfa

toma el valor de 0 la confiablidad es nula y si el alfa toma el valor de 1 la confiabilidad es

total, por lo tanto en la prueba aplicada el conjunto de Items perteneciente a los

componentes Numérico – Variacional y Aleatorio, con puntajes de 0,7256 y 0,6436, se

encuentra que la prueba es moderadamente consistente, y la prueba en el componente

Geométrico – Métrico (0,8546) presenta una consistencia alta, teniendo en cuenta que se

acerca mayormente a 1. La prueba en su totalidad presenta una confiabilidad moderada.

La evaluación de los tres componentes se llevó a cabo en dos momentos

diferentes:

•Pretest: antes de la aplicación del programa.

•Postest: inmediatamente tras finalizar el programa.

Para evitar el sesgo derivado del aprendizaje que se produce al realizar una prueba

en repetidas ocasiones, se realizó un cambio en la post-prueba en el orden de las preguntas

iníciales y en algunas preguntas del mismo componente, del mismo nivel de resolución de

problema y con manejo matemático idéntico.

Estrategias m etacognitivas en la resolución de problem as m atem áticos… 102

3.7 V A R IA B L E S

C uadro N o. 15 O peracionalización de las variables

O P E R A C IO N A L IZ A C IO N D E L A S V A R IA B L E S

T IP O D E

V A R IA B L E

D E F IN IC IÓ N

N O M IN A L

D E F IN IC IÓ N C O N C E P T U A L D E F IN IC IÓ N

O P E R A C IO N A L

IT E M S

IN D E P E N D IE N

T E

1. E ST R A T E G IA S

D ID Á C T IC A S C O N

E N FO Q U E

M E T A C O G N IT IV O

E nfatizan la autoconciencia del conocim iento

cognitivo, e l uso de estra tegias o procesos cognitivos

durante la solución del problem a y e l control de

estra tegias para la regulación y e l m onitoreo, estando a

m enudo asociadas con la conciencia , la evaluación y la

regulación de los proce sos.

(T árraga , 2008)

E structura del program a de

intervención

D E P E N D IE N T E 2. R E SO L U C IÓ N D E

PR O B L E M A S

M A T E M Á T IC O S

PO R

C O M PO N E N T E S

Se re lac iona, con la capacidad para form ular

problem as a partir de situaciones dentro y fuera de la

m atem ática , traducir la rea lidad a una estructura

m atem ática , desarrollar y aplicar diferentes estra tegias

y justificar la e lección de m étodos e instrum entos para

la solución de problem as, justificar la pertinencia de un

cá lculo exacto o aproxim ado en la solución de un

problem a y lo razonable o no de una respuesta

D iferencias entre

m edias D E L

PR E T E ST Y E L

PO ST E ST D E

C O N O C IM IE N T O S

M A T E M Á T IC O S

(T C M ).


obtenida . V erificar e interpre tar resultados a la luz del

problem a original y genera lizar soluciones y

estra tegias para dar solución a nuevas situaciones

problem a.

(IC FE S, 2007).

C A M B IO S E N L A

P U N T U A C IÓ N del

C O M PO N E N T E

N U M E R IC O -

V A R IA C IO N A L .



C O M PO N E N T E

G E O M E T R IC O

M E T R IC O



C O M PO N E N T E

A L E A T O R IO

1-2-6-8

3-4-5

7-9-10


3.8 EQUIVALENCIA INICIAL ENTRE LOS GRUPOS. Control de

variables

Para comprobar que los grupos eran inicialmente equiparables en una serie de

variables de control se ha puesto a prueba la igualdad por medio de pruebas no

paramétricas, estas no se basan en la suposición de normalidad de la distribución de

probabilidad a partir de las que fueron obtenidos los datos.

Teniendo en cuenta que en ciertas situaciones como la de esta investigación,

resulta arriesgado suponer la normalidad de los grupos, entre algunas de las pruebas no

paramétricas utilizadas para la comparación de variables fueron la de Kruskal-Wallis, la

cual representa la alternativa de la ANOVA de un factor completamente aleatorizado y

la de Mann-Whitney.

Todos los análisis estadísticos se han realizado utilizado en el paquete

estadístico SPSS versión 10.

Para comprobar los supuestos necesarios para la realización de las técnicas de

comparación entre-grupos e intra-grupos, se comprueban una serie de requisitos previos

para probar que los grupos eran equivalentes en edad se realizó la prueba de Kruskal-

Wallis en la que se corroboró que la edad en los cuatro grupos no presenta diferencias

estadísticamente significativas (χ2= 1.864, p= 0.601). La gráfica Nº 6 recoge las edades

de los cuatro grupos.

Cuadro Nº 16. Equivalencia entre grupos según la edad.

Fuente: Resultados Análisis SPSS 10.

Rangos

31 62,37

35 61,46

30 67,22

34 71,00

130

Grupos

grupo A

grupo B

grupo C

grupo D

Total

Edad

N

Rango

promedio

Estadísticos de contras tea,b

1,864

3

,601

Chi-cuadrado

gl

Sig. as intót.

Edad

Prueba de Kruskal-Wallisa.

Variable de agrupación: Gruposb.


Gráfico Nº 6. Edades de los estudiantes.

Edad

131211109

Po

rce

nta

je

80

60

40

20

0

Grupos

grupo A

grupo B

grupo C

grupo D

Resultados Análisis SPSS 10.

Para comprobar que los grupos eran equivalentes en cuanto a sexo de los

participantes se realizó la prueba de Kruskal-Wallis en la que se corroboró que el sexo

en los cuatro grupos no presenta diferencias estadísticamente significativas (χ2= 0.775,

p= 0.856). La gráfica Nº 7presenta las edades de los cuatro grupos.

Cuadro Nº 17. Equivalencia entre grupos según sexo


Rangos

31 67,44

35 68,21

30 62,33

34 63,74

130

Grupos

grupo A

grupo B

grupo C

grupo D

Total

Sexo

N

Rango

promedio

Estadísticos de contras tea,b

,775

3

,856

Chi-cuadrado

gl

Sig. as intót.

Sexo

Prueba de Kruskal-Wallisa.

Variable de agrupac ión: Gruposb.


Grafico Nº 7. Variable sexo de los estudiantes.

Sexo

Femeninomasculino

Po

rce

nta

je

70

60

50

40

30

20

10

0

Grupos

grupo A

grupo B

grupo C

grupo D


Se controla el efecto o la relación entre algunas de las siguientes variables:

Condiciones ambientales: las condiciones de aula de los grupos que hacen

parte de la investigación se mantienen constantes, teniendo en cuenta que el estudio es

realizado en la misma institución, estas características permanecen invariables para

todos los grupos que hacen parte de ellas. Las aulas están adecuadas con sillas,

abanicos, tableros acrílicos, etc. requerimientos mínimos logísticos para todos los

grupos que intervienen en la investigación

Sexo: no presenta diferencias estadísticamente significativas en los diferentes

grupos que intervienen en la investigación

Edad: la edad de los grupos no presenta diferencias estadísticamente

significativas

El instrumento aplicado para la evaluación del proceso de resolución de

problemas matemáticos es el mismo para todos los grupos y se aplica en los tiempos

correspondientes.

El docente que dirige el programa de intervención en los grupos

experimentales es el mismo, a su vez que el docente de los grupos controles no cambio

tampoco.

El nivel de escolaridad de los grupos es el mismo.

A su vez, pertenecen a la misma institución educativa, donde las docentes

manejan criterios comunes para elaborar su planeación y ejecutarla. Los contenidos


abordados antes de iniciar la intervención eran los mismos para todos los grupos,

permitiendo de esta manera representar la equivalencia en conocimientos; se aclara que

los salones de la básica primaria son los mismos para ambas jornadas (permitiendo así

la equivalencia en cuanto al espacio físico y medios logísticos).

Además, según el reporte de notas de los primeros dos periodos escolares

(primer periodo de febrero a mediados de abril y segundo periodo mediados de abril

hasta mediados de junio), los estudiantes presentan dificultades marcadas en la

competencia resolución de problemas matemáticos, esto se refleja en las valoraciones

dadas por las docentes en dichos periodos.

También el resultado del pretest, prueba en los dos primeros grupos la

equivalencia inicial, con respecto a la resolución de problemas matemáticos. Se realizó

la prueba de Mann-Whitney, en la que se corroboró que la puntuación obtenida en el

pretest no existen diferencias estadísticamente significativas (Z= 0.772, p= 0.440).

Cuadro Nº 18. Comparación resultados del pretest, Grupos A experimental y B

Control

Resultados SPSS 10

Rangos

31 35,40 1097,50

35 31,81 1113,50

66

Grupos

grupo A experimental pre

grupo B control pre

Total

Puntaje

N

Rango

promedio

Suma de

rangos

Estadísticos de contras tea

483,500

1113,500

-,772

,440

U de Mann-Whitney

W de Wilcoxon

Z

Sig. as intót. (bilateral)

Puntaje

Variable de agrupac ión: Gruposa.


3.9 SISTEMA DE HIPOTESIS

3.9.1 Hipótesis General.

La implementación de un programa basado en estrategias didácticas con

enfoque metacognitivo influye en el desarrollo de la competencia resolución de

problemas matemáticos en los estudiantes de 5º de primaria de la IENSS.

Hipótesis específicas

Las estrategias didácticas con enfoque metacognitivo influyen en la

resolución de problemas matemáticos pertenecientes al componente

numérico – variacional.


resolución de problemas matemáticos pertenecientes all componente

geométrico – métrico


resolución de problemas matemáticos pertenecientes al componente

aleatorio.

3.9.2 Hipótesis Estadísticas

General

H0 : No existe diferencia estadísticamente significativa en el desarrollo de la

competencia resolución de problemas matemáticos antes y después de la

implementación de un programa basado en estrategias didácticas con enfoque

metacognitivo en estudiantes de 5º de la IENSS.

H1 : Si existe diferencia estadísticamente significativa en el desarrollo de la

competencia resolución de problemas matemáticos antes y después de la

implementación de un programa basado en estrategias didácticas con enfoque

metacognitivo en estudiantes de 5º de la IENSS

Especificas

1 - H0 : No existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de

problemas matemáticos del componente numérico - variacional antes y después de la

implementación del programa basado en estrategias didácticas con enfoque



H1 : Si existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de

problemas matemáticos del componente numérico - variacional antes y después de la




problemas matemáticos del componente geométrico – métrico antes y después de la




problemas matemáticos del componente geométrico – métrico antes y después de la




problemas matemáticos del componente aleatorio antes y después de la implementación

del programa basado en estrategias didácticas con enfoque metacognitivo en estudiantes

de 5º de la IENSS.


problemas matemáticos del componente aleatorio antes y después de la implementación

del programa basado en estrategias didácticas con enfoque metacognitivo en estudiantes

de 5º de la IENSS.

3.10 PROGRAMA DE INTERVENCIÓN

La intervención llevada a cabo en esta investigación se fundamenta en una

extensa línea de investigación referente a las diferencias en solución de problemas de

matemáticas entre estudiantes que tienen un buen rendimiento en solución de problemas

y alumnos con dificultades de aprendizaje.

En particular son dos los supuestos básicos que constituyen el enfoque central

y que dan un andamio teórico a la intervención de esta tesis:

a. El conocimiento y uso adecuado de estrategias de solución de

problemas, a través de la aplicación de modelos, permite que el

estudiante desarrolle está habilidad. (Polya, 1981; Mayer, 2002;


Schoenfeld, 1985; Mason et al, 1989; De Guzmán, 1991; Pifarre et al,

1998; Tárraga, 2008).

b. Los alumnos con deficiencias en la resolución de problemas pueden

mejorar su rendimiento con una instrucción adecuada basada en el

entrenamiento en el uso de estrategias cognitivas y metacognitivas de

las que carecen. (Schoenfeld, 1985; Pifarre et al, 1998; Tárraga, 2008).

De forma paralela se encuentra la línea de investigación que se ha venido

gestando a partir de realizar una matemática contextualizada y realista, que pueda ser

entendida por todos, es decir una matemática para todos (Freudhental, 1991; Brousseau

1986; Puig, 1998), diseñando ambientes de aprendizaje por el mediador, que coadyuven

a obtener un aprendizaje significativo por parte del educando. La conjunción de estos

enfoques de investigación permitió la creación de un programa interventivo, basado en

la creación de ambientes de aprendizaje contextualizados y en la enseñanza adecuada de

estrategias cognitivas y metacognitivas para resolver problemas.

Por lo tanto en el programa se diferencian dos tipos de estrategias, las

cognitivas, que se dan de acuerdo al modelo de resolución de problema tomado, y las

metacognitivas que son transversales del proceso.

Las estrategias cognitivas se refieren a las acciones o pasos que el estudiante

debe ir dando para solucionar el problema: las cinco estrategias cognitivas que se

proponen en esta intervención son: Entender y analizar el problema; Planificar una

estrategia para resolver el problema; Organizar los datos y el plan de resolución en un

organizador de información; Resolver el problema; Evaluar el resultado del problema.

Por otra parte, el concepto de metacognición incluye el conocimiento sobre la

naturaleza de las diferentes tareas cognitivas, las posibles estrategias que pueden ser

aplicadas a la solución de cada tarea, y también las habilidades para monitorizar y

regular las actividades cognitivas propias (Flavell, 1999).

En este programa se proponen tres estrategias metacognitivas que ayuden a los

alumnos a autodirigir, controlar y evaluar sus procesos de resolución de tareas. Estas

estrategias son: decirse a sí mismo lo que tienen que hacer en forma de autoinstrucción,

preguntarse a sí mismo si están siguiendo su plan, y comprobar que el resultado es

correcto y está acorde con su plan.


3.10.1 Estrategias Cognitivas

1. Leer el problema: mediante la enseñanza de esta estrategia se intenta

que el estudiante realice una lectura detenida y consiente del

enunciado, dejando claro que el objetivo fundamental de la lectura es

comprender lo mejor posible su significado. Se trata de intentar que

el alumno intente formar una idea clara del problema asegurándose

de que comprende dos aspectos del enunciado: la información que

aparece y la información que se nos solicita. Igualmente se enseña al

alumno a controlar si está comprendiendo correctamente, y a releer el

problema (o alguna de sus partes) en caso de que no haya

comprendido el enunciado.

2. Planificar una estrategia para resolver el problema: se busca enseñar a

los estudiantes a trazarse un plan a través de diferentes

representaciones, A su vez, se le enseña al estudiante a pensar sobre

las acciones que debe llevar a cabo para solucionar el problema. Se

enseña al estudiante a marcarse una meta de solución, una vez

detectado lo que el problema pide, y después se le enseñan diversos

caminos para obtener su resultado. Se enseña al alumno a realizar

razonamientos del tipo “si hago…entonces obtendré…”, en los que se

frena la impulsividad, y a decidir las operaciones que tiene que

seleccionar.

3. Organizar los datos en un organizador de información: Se le enseña a

los alumnos a organizar la información que tienen y que se busca

través de alguna representación, por lo tanto el alumno puede

realizar representaciones geométricas, diagramas, tablas, figuras o

cualquier otro tipo de representación pictórica o gráfica en la que

quede reflejada la estructura del problema, la información que ofrece

el enunciado, la información que nos demanda y el trazado de un plan

para su posible resolución. Estas imágenes esquemáticas o

relacionales son claves para una solución de problemas exitosa.

4. Resolver el problema: Se enseña a los estudiantes a realizar las

operaciones de manera consciente, aplicando reglas de la aritmética

siguiendo el plan anteriormente elaborado. Este proceso requiere de


conocimiento procedimental, necesario para hacer efectivos los

procedimientos que se han planificado en la fase anterior.

5. Evaluar el resultado del problema: Esta es una estrategia que subraya

la importancia de enseñar la solución de problemas como un proceso

recursivo en el que los estudiantes comprenden que volver a los

procesos previos y en ocasiones trabajar hacia atrás son necesarios

para la solución de problemas. Comprobar la exactitud del cálculo es

importante. Evaluar el problema implica verificar tanto el proceso

como el producto; se enseña a los estudiantes cómo comprobar el

proceso de resolución para asegurarse de que lo han comprendido, lo

han representado adecuadamente, han elegido la vía de solución

correcta y lo han resuelto correctamente.

3.10.2 Estrategias Metacognitivas

En la investigación realizada por Tárraga (2008) se utilizan tres estrategias de

tipo metacognitivo que resultan propicias para la intervención, basados en la

planificación, el automonitoreo y la comprobación.

Según Tárraga “las estrategias metacognitivas difieren de las cognitivas en que

enfatizan la autoconciencia del conocimiento cognitivo, el uso de estrategias o procesos

cognitivos durante la solución del problema y el control de estrategias para la regulación

y el monitoreo, estando a menudo asociadas con la conciencia, la evaluación y la

regulación de los procesos”, lo cual es coherente con lo aplicado en esta intervención.

Por lo tanto, se examinan las siguientes estrategias dentro de la intervención:

La autoinstrucción implica decirse a sí mismo qué hacer antes y durante la

resolución. Esta fase equivaldría a la fase previa de la mayoría de programas de

enseñanza de estrategias de aprendizaje. Podría resumirse mediante la pregunta ¿Qué

tengo que hacer?, y supondría el inicio del proceso de movilización de la estrategia de

aprendizaje.

El autocuestionamiento o automonitoreo implica preguntarse así mismo

mientras se está implicado en una actividad, con el objetivo de mantenerse centrado en

la tarea, regular el proceso y asegurarse de que se está haciendo correctamente. Esta fase

se desarrolla mientras el sujeto está inmerso en la tarea, y podría resumirse con la

pregunta ¿lo estoy haciendo bien?; ¿estoy siguiendo mi plan?


Finalmente, la comprobación requiere que el resolutor del problema se asegure

de que todo se ha hecho correctamente a lo largo del proceso de solución del problema.

Equivaldría a la fase posterior a la realización de la tarea, y podría resumirse con la

pregunta ¿lo he hecho bien?

El siguiente cuadro (Adaptación del trabajo de tárraga, 2008), muestra las

estrategias cognitivas y metacognitivas usadas en la intervención, es importante resaltar

que a medida que los estudiantes van desarrollando las diferentes fases de la

intervención estas estrategias se van internalizando y como se verá al tratar la

metodología de enseñanza, cada vez se van haciendo más propia e implícitas, es decir,

el alumno las va internalizando y no es necesario mencionarlas explícitamente cada vez

que se ponen en marcha.

Cuadro Nº 19. Resumen de las estrategias cognitivas y metacognitivas del

programa de intervención.

1. Leer el problema.

¿Qué tengo que hacer?: Leer el problema. Si no lo comprendo, leerlo de nuevo. Subrayar

la información importante. Poner el problema en mis propias palabras.

¿Lo estoy haciendo bien?: ¿Estoy entendiendo el enunciado?¿He subrayado la

información importante?; ¿Cuál es la pregunta?; ¿Qué estoy buscando?

¿Lo he hecho bien?: Comprobar que he entendido bien el problema. Asegurarse de que se

ha recogido toda la información necesaria.

2. Planificar una estrategia para resolver el problema

¿Qué tengo que hacer?: Decidir cuántos pasos y operaciones son necesarias. Escribir los

símbolos de las operaciones (+,-, x, y /).

¿Lo estoy haciendo bien?: Si hago..., ¿Qué conseguiré? Y si hago..., ¿entonces qué tengo

que hacer después?, ¿Cuántos pasos son necesarios?

¿Lo he hecho bien?: Comprobar que el plan tiene sentido.

3. Organizar los datos en un organizador de información

¿Qué tengo que hacer?: Hacer un dibujo o esquema.

¿Lo estoy haciendo bien?: ¿Me sirve este esquema?

¿Lo he hecho bien?: Comprobar que el dibujo contiene toda la información del problema.


4. Resolver el problema

¿Qué tengo que hacer?: Ejecuta tu plan, Haz las operaciones en el orden correcto.

¿Lo estoy haciendo bien?: ¿Cómo es el resultado comparado con lo que te pide el

problema?; ¿Tiene sentido la respuesta?

¿Lo he hecho bien?: Comprobar que todas las operaciones se hicieron en el orden

correcto.

5. Evaluar el resultado del problema

¿Qué tengo que hacer?: Comprobar los cálculos.

¿Lo estoy haciendo bien?: ¿He comprobado cada paso?; ¿He comprobado los

cálculos?; ¿Es mi respuesta correcta?

¿Lo he hecho bien?: Comprobar que todo es correcto. De lo contrario, volver atrás.

Pedir ayuda si es necesario

Adaptado de Tárraga (2008)

3.11 PLANEACION DE CLASE UTILIZANDO EL PROGRAMA DE INTERVENCIÓN.

Este plan de clases se articula con la propuesta del plan de área de matemática que se encuentra en el ANEXO 7. INSTITUCION EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR DE SINCELEJO NUCLEO DISCIPLINAR: CIENCIA Y TECNOLOGIA AREA: MATEMATICA PLANEACIÓN DE CLASE AMBIENTES DE APRENDIZAJES: HAGAMOS UNA FIESTA Y EMBALDOSEMOS LA CANCHA GRADOS: 5° GRUPOS: A, B, C, D VESPERTINA - FECHA: Julio hasta de septiembre De 2009

Se efectúa realizando un ambiente de aprendizaje que se desarrolla mediante dos situaciones problemas (Anexos 3, 4 y 5). Aquí se desarrollan las fases 2, 3y 4 del programa de intervención.

PROPÓSITOS

GENERAL: Desarrollar en los y las estudiantes destrezas de pensamiento, actitudes y conocimientos para seleccionar y utilizar diferentes métodos heurísticos que apunten a la potencialización de la competencia resolución de problemas.

ESPECÍFICOS:


Potenciar la capacidad de reflexionar sobre los procedimientos utilizados en la resolución de problemas, para tomar decisiones acertadas que conllevan a una solución pertinente de la situación problema.

Promover en los y las estudiantes la utilización de estrategias de monitoreo y control enfrentándolos a diferentes situaciones problemas contextualizadas dentro de la matemática realista.

Desarrollar las habilidades de autoinstrucción, automonitoreo y comprobación. Resolver problemas contextualizados cuya estrategia de solución requiera de las

relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones.

Cuadro Nº 20 Estándares y Competencias Matemáticas

ESTANDARES DE COMPETENCIAS

RELACIONADOS

COMPETENCIAS

MATEMATICAS

INDICADORES DE

DESEMPEÑO

VERTICALMENTE

P. NUMERICO

12-Justifico

regularidades y

propiedades de los

números y sus

operaciones.

5-Justifico

relaciones de

dependencia de

área y volumen

respecto a las

HORIZONTALMENTE

P. ESPACIAL

7. Conjeturo y verifico

los resultados de

aplicar

transformaciones a

figuras en el plano

para construir

diseños.

P. METRICO

4- Utilizo diferentes

procedimientos de

cálculo para hallar

el área de la

superficie exterior

y el volumen de

algunos cuerpos

PLANTEAMIENTO Y

RESOLUCION DE

PROBLEMAS.

RAZONAMIENTO

MATEMATICO

Formulación

Argumentación

Demostración

Observa situaciones

de diversas clases

(social cultural o

económica) y

contextos e identifica

problemas.

Identifica las

relaciones que existen

entre los números y

los fraccionarios y la

notación decimal.

Identifica ideas

innovadoras para

resolver

problemas de

variados contextos

que requieren la

aplicación de los

números naturales y

fraccionarios.


dimensiones de

figuras y sólidos.

sólidos

7- Describo y

argumento

relaciones entre el

perímetro y el área

de figuras

diferentes, cuando

se fija una de estas

medidas.

P. ALEATORIO

3- Interpreto

información

presentada en tablas y

graficas (pictogramas,

graficas de barras,

diagramas de líneas,

diagramas circulares.)

5- Describo la manera

como parecen

distribuirse los

distintos Datos de un

conjunto de ellos y la

comparo con la

manera como se

distribuyen con los

otros conjuntos de

datos.

COMUNICACIÓN

MATEMATICA

Consolidación de la

manera de pensar

(coherente, clara,

precisa)

MODELACION

FORMULACION DE

PROCEDIMIENTOS

Analiza una situación

(social, cultural o

económica) desde los

conceptos de la

fracción y los

decimales para

identificar

alternativas de acción

y solución.

Justifica las

estrategias cognitivas,

metacognitivas y

procedimientos en la

solución de

problemas,

relacionados con los

fraccionarios,

decimales y las

unidades de medidas.

Comprende,

interpreta y evalúa

ideas que son

presentadas en forma

objetiva, grafica,

verbal y escrita.

Calcula usando

formulas de variación

tanto numéricas

como geométricas.

Interactúa con otros

para enfrentar una


P. VARIACIONAL

4- Analizo y explico

relaciones de

dependencia entre

cantidades que varían

en el tiempo con cierta

regularidad en

situaciones

económicas, sociales y

de ciencias naturales.

situación problema

que involucra las

temáticas

desarrolladas.

Asigna y asume roles

y responsabilidades

de acuerdo con las

aptitudes de los

miembros de su grupo

de trabajo.

Contribuye de manera

constructiva a la

convivencia pacífica

en el medio escollar y

en la comunidad.

Reconocer que una

autoimagen sana y

positiva, es la mejor

preparación posible

para tener una vida

exitosa y feliz.


Cuadro Nº 21 Contenidos de Área

CONTENIDOS DECLARATIVOS -PROCEDIMENTALES- ACTITUDINALES

ESTRATEGIAS

TÉCNICAS RECURSOS EVALUACIÓN

DECLARATIVOS

P. NUMERICO

.Conceptos básicos sobre

las fracciones.

.Clases de fracciones.

. Fracciones equivalentes.

. Orden en las fracciones

adición y sustracción de

fracciones.

. Fracción de un número.

. Multiplicación y división

de fracciones.

. Conceptos básicos sobre

los decimales.

. Fracciones decimales.

. Números decimales.

. Relación entre los

números decimales y

fraccionarios.

. Adición y sustracción de

decimales.

. Multiplicación de

decimales.

INSTRUCCIÓN

DIRECTA DE

ESTRATEGIAS

DE

RESOLUCION

DE

PROBLEMAS

Comprender,

organizar y tentar

soluciones que se

presentan en el

mundo real.

MODELADO

METACOGNIT

IVO

Comprender y

utilizar estrategias

de

autoinstrucción,

autocuestionami-

ento y de

comprobación

cuando se

resuelve un

problema.

Instrucción

Directa(definid

o mas adelante)

Hoja guía para

resolver

problemas

(Pifarré)

Trabajo

individual y en

grupo.

Problemas

contextualizado

s.

Diagramación

de conceptos y

funciones

matemáticas.

Talleres

Guías

Cuaderno

Texto

Fotocopias

Regla

Objetos del

medio

relacionados

con números

naturales,

fracciones y

cuerpos

geométricos.

Cuestionamiento

sobre el propio

aprendizaje

(autónomo)

relacionado con la

temática desarrollada

sobre los números y

como se organizan y

su aplicación en la

solución de

problemas rutinarios

y no rutinarios.

Reconocimiento de

los aciertos y

dificultades durante

el proceso de

enseñanza –

aprendizaje,

relacionado con los

temas desarrollados

tanto a nivel

individual como

grupal

Preguntas

relacionadas con el

saber, el saber hacer y

el saber ser


. El porcentaje.

. Problemas.

P. ESPACIAL

. Cuerpos planos.

. Los polígonos,

clasificación.

. Elementos, propiedades

de los cuerpos planos.

. Relaciones métricas,

traslación, rotación,

reflexiones.

P. METRICO

SISTEMA DE

MEDIDAS

. Unidades fundamentales

y unidades derivadas :

. Longitud, masa,

capacidad, tiempo, área

volumen.

.Relaciones entre el área

y el perímetro.

P. VARIACIONAL

. Proporcionalidad

. Magnitudes

directamente

APRENDIZAJE

COOPERATIVO.

Intercambio de

información por

medio de

instrucciones

dadas

INDAGACION.

Solución de

situaciones a

través de

preguntas.

Motivación del

estudiante ante su

propio

aprendizaje.

Conocimientos

previos.

COMPETENCIA

INTERPRETATIVA

Qué es una fracción?

Para que sirven las

fracciones?

Qué significan las

fracciones?

Qué son los números

decimales.

Para qué sirven los

números decimales?.

Qué elementos

integran los

polígonos?

Qué ventajas tiene

conocer el promedio

de un grupo de

datos?.

COMPETENCIA

ARGUMENTATIVA

Por qué es importante

conocer los números

fraccionarios y los

decimales?

Qué importancia

tiene conocer los

números


proporcionales.

PROCEDIMENTALES

Representaciones

objetivas, graficas y

numéricas de eventos

donde se muestren las

fracciones.

Calculo de fracciones

equivalentes empleando la

complificacion y la

simplificación.

Planteamiento y

resolución de problemas

relacionados con las

operaciones entre

fraccionarios.

Procedimientos para

expresar un fraccionario

como decimal y viceversa.

Planteamiento y

resolución de problemas

relacionados con los

fraccionarios y los

decimales.

Recolección,

organización de datos

sobre diferentes

situaciones escollares,

familiares y sociales

utilizando tablas de

frecuencia.

Interpretación, lectura y

fraccionarios y los

decimales?

Qué sucedería si no

se tuviera unidades de

medidas especificas?

Qué importancia

tienen las graficas y

diagramas

estadísticos?

Para que se aprenden

los números

fraccionarios y los

decimales?

Cómo se halla el área

de los cuadriláteros?’

COMPETENCIA

PROPOSITIVA

De qué otra manera

se puede calcular una

adición de números

fraccionarios?

Qué procedimientos

se deben tener en

cuenta al combinar

fracciones con

decimales?

De qué manera

estaría dispuesto a

ayudar a un

compañero que tenga

dificultades en el


escritura de porcentajes.

ACTITUDINALES

Valoración del empleo de

estrategias personales

para comprender los

números fraccionarios y

los decimales.

Reconocimiento de

utilidad de las fracciones y

de los decimales para

transmitir información y

resolver problemas de la

vida cotidiana.

Valoración de las

posibilidades que brindan

el lenguaje matemático ara

interpretar, representar,

conocer mejor y

comunicar situaciones

reales.

Interés por la elaboración

de estrategias personales

para la resolución de

problemas.

Calculo de porcentajes

empleando los decimales.

Reconocimiento de las

medidas de longitud, masa

y tiempo.

Valoración de la utilidad

de las técnicas

estadísticas para

interpretar situaciones

conocimiento

matemático?

Cómo crees que se

pueden alcanzar

mejores logros en la

clase de

matemáticas?


3.11.1 Metodología del programa

El programa se realiza en las siguientes fases:

En una fase preliminar se realiza la preparación de los docentes, lo cual es

fundamental para la aplicación de la intervención. Para la formación del profesorado, se

tuvieron en cuenta procedimientos y recursos en los cuales se promueva el aprendizaje

significativo y el uso de estrategias metacognitivas que apunten al control y

autorregulación de los procesos cognitivos que se utilizan para resolver problemas. Esta

formación se desarrolló en el marco de 6 encuentros de formación continua, para los

docentes que están a cargo de los grupos experimentales (2 docentes), cada encuentro

tuvo una duración de dos horas y media. El responsable de impartir dicho curso fue el

autor de la investigación.

En primer lugar, se realizó una prueba diagnóstica, con el fin de identificar

falencias de tipo disciplinar en el contexto de la matemática escolar en el grado en que

se están desempeñando los docentes, se encontraron deficiencias en los componentes

aleatorio y geométrico-métrico. En este primer encuentro se explican los objetivos del

programa interventivo con respecto al desarrollo de la competencia resolución de

problemas y a la inserción de la dimensión metacognitiva en el proceso de enseñanza y

aprendizaje, a su vez se relaciona la planeación con respecto a la intervención.

En los siguientes encuentros (segundo, tercer y cuarto encuentro), se inician los

procesos de cualificación en las estrategias didácticas a utilizar, tanto de carácter

cognitivo para resolver problemas, como aquellas de tipo control del proceso

(metacognitivo), según Osses y Jaramillo (2008) “para formar estudiantes

metacognitivos es necesario contar con educadores metacognitivos”, por tanto los

docentes deben adecuar sus prácticas pedagógicas planificando, controlando y

ambientales y sociales.

Valoración de las ventajas

del trabajo cooperativo en

grupo para adquirir y

producir conocimientos y

como vía para desarrollar

la capacidad de

comunicarse y razonar.


evaluando. Por tanto, se dan en estos encuentros las bases conceptuales de las etapas

que suponen esta metodología de trabajo.

En los dos encuentros finales se estudian los conceptos y procedimientos para

realizar ambientes de aprendizaje y la importancia de estos en la adquisición del

aprendizaje significativo.

Las fases generales que rigen el desarrollo del programa de intervención, en las

cuales se preparó tanto a estudiantes como a docentes, se dio de la siguiente manera, se

ajusta al modelo adelantado por Tárraga (2008), también es una adaptación de lo

propuesto por Mateos (2001), inspirada básicamente en la filosofía de la transferencia

gradual del control del aprendizaje, esta concibe al docente en el papel de modelo y

guía de la actividad cognitiva y metacognitiva del discente.Lasfases desarrolladas son

las siguientes:

Fase inicial: instrucción directa. (Winograd y Hare; 1998; Duffy,

Roehler y Mason, 1984; citados por Monereo, 2002)

Segunda fase: modelado metacognitivo. (Mateos, 2001)

Tercera fase: práctica guiada. (Pifarré ,1998)

Fase final: aprendizaje cooperativo. (Johnson y Johnson, 1995)

Como se muestra en el siguiente esquema:


Gráfico Nº 8. Esquema de la intervención

Como se puede observar cada fase fue mediada por ambientes de aprendizaje

creados desde la contextualización matemática, y a su vez de los procesos cognitivos y

metacognitivos definidos anteriormente.

La primera fase de intervención, la instrucción directa tiene como objetivo

proporcionar a los estudiantes indicadores sobre como utilizar correctamente el modelo

de resolución de problema, adoptado por este programa de intervención, el cual está

basado en la presentación de las estrategias cognitivas de cómo resolver problemas

matemáticos contextualizados, las cuales son: Entender y analizar el problema;

Planificar una estrategia para resolver el problema; Organizar los datos y el plan de

resolución en un organizador de información; Resolver el problema; Evaluar el

resultado del problema.

Esta debe dar cuenta según Osses y Jaramillo (2008) de las estrategias que se

van a enseñar y de cada una de sus etapas. La explicación debe procurar conocimientos

declarativos (saber qué), procedimentales (saber cómo) y condicionales (saber cuando y

por qué). Una mayor conciencia de estos aspectos puede redundar en una aplicación

más flexible de las mismas.

En esta misma fase se busca que el estudiante comprenda la importancia de

resolver problemas en la vida cotidiana, a su vez que se prepara para afrontar las

diferentes situaciones problémicas que se les presentan en la escuela. A su vez, se

exponen los diferentes pasos que se deben seguir para enfrentarse a un problema


matemático, enfatizando que no se tomen como receta de cocina sino que sea de

carácter reflexivo, utilizando de esta forma las preguntas que guían la autoinstrucción,

el autocuestionamiento y la comprobación, mediante todo el proceso de resolución.

Por lo anterior, La instrucción directa se utiliza para explicarles a los

estudiantes los métodos heurísticos del cómo resolver problemas, en las que se

describen las diferentes cuestiones que hay que centrar la atención y ser cuidadosos a la

hora de diferenciar entre los tipos de actividades concretas de la matematización.

Se aclara que en esta fase los problemas que se utilizaron fueron

contextualizados a la realidad de los estudiantes, por ejemplo:

En una tabla como la que se muestra seguidamente, el dueño de la panadería

“Las Delicias” (panadería cercana a la institución y que los estudiantes conocen y

visitan), lleva el registro semanal de los panes que se hornean cada día.

Cuadro Nº 22. Ejemplo de Situación Problema

Días de la semana Nº de panes horneados

Lunes 150

Martes 385

Miércoles 296

Jueves 455

Viernes 196

Sábado 148

Domingo 256

Fuente: Clase de matemática IENSS

Se realizan las siguientes preguntas:

¿Cuáles es el día que se hornean más panes?

¿Qué día se hornea el doble de panes que el sábado?

Si al señor José le encargan el triple de panes de los que hornea el

viernes ¿Qué cantidad deberá hornear?

¿Cuál es el promedio de panes que horneo el señor José en la semana?

¿De qué forma seria mejor representar los datos de la tabla?

Todas estas preguntas llevaron a la construcción de conceptos tales como la

moda, la media aritmética, graficación de datos, organización y análisis de los mismos.


Lo cual permitió también que tuvieran significado para los estudiantes, atendiendo a los

principios de la matemática realista planteada por freudenthal.

La segunda fase de la intervención es el modelado metacognitivo, aquí el

docente ha de servir de “modelo” para los estudiantes en cómo resolver problemas

matemáticos, haciendo uso de los procesos metacognitivos de planeación, control y

evaluación, pero no solo muestra cómo resolver los problemas correctamente, sino que

también comete deliberadamente errores que va corrigiendo; y de esta manera muestra a

los estudiantes el modo de autorregularse durante la solución de problemas.

En las primeras tres sesiones de clase el docente resuelve los problemas

planteados mostrando cómo se debe enfrentar la situación, siempre reiterando en el

proceso la puesta en escena de la preguntas metacognitivas; en las tres segundas

sesiones ya el docente resuelve los problemas acompañado de los estudiantes, guiando

el proceso por medio de preguntas orientadoras; por último el docente le otorga

totalmente el protagonismo al estudiante, sin dejar de mediar en el aula.

Esta fase complementa la anterior que se ofrece a través de la explicación del

docente, éste modela tanto la actividad cognitiva como la metacognitiva que lleva a

cabo durante la solución de un problema. En este modelado se sustituyen las conductas

observables a imitar, características del modelado conductual, por acciones cognitivas y

metacognitivas que son expresadas verbalmente por el docente. Se trata de modelar, no

sólo las acciones cognitivas implicada en la resolución de problemas, sino también las

actividades metacognitivas de planificación, supervisión y evaluación de las primeras.

(Mateos, 2001)

Para esta fase se creó un ambiente de aprendizaje al que se le denomino

“hagamos una fiesta”, se le planteo a los estudiantes realizar una fiesta a lo que

accedieron rápidamente, sin embargo la situación no era tan fácil, cuando se les pidió

que la debían organizar ellos.

Se inician entonces los planteamientos del cómo organizarla, que se iba a

brindar de plato fuerte, llegando a la conclusión que sería bueno realizar un arroz con

pollo, pero ¿Cuánto se debía hacer?, ¿Qué se necesitaba para hacerlo?, ¿Cuánto dinero

se gastaba?, ¿Dónde se podrían comprar los ingredientes más baratos? ¿Cuánto dinero

le correspondía aportar a cada estudiante?, en fin muchas incógnitas que debían

resolverse y que no era en una sola clase que se podría realizar, es decir, el problema no

era posible resolverlo inmediatamente, ni tampoco por medo de simples algoritmos.


El primer cuestionamiento a resolver fue ¿Qué ingredientes lleva un arroz con

pollo?, para no presentar distintas respuestas a este interrogante se decidió con el grupo

averiguar en el comedor de la institución los ingredientes que las cocineras utilizaban

para preparar 10 porciones de arroz con pollo, para así poder comenzar a averiguar los

precios.

El listado de ingredientes quedó de la siguiente manera: 1 libra de arroz, 1

libra de pechuga, 1 libra de zanahoria, 1 libra de pimentón, 1 libra de cebolla larga, 1/2

litro de aceite, una bolsa de 500 gramos de salsa de tomate y una lata de alverja

Luego de obtener la información, se les oriento a los estudiantes que

averiguaran los precios de los ingredientes, en una de las tiendas que les quedara más

cercana a su casa, si era necesario que los acompañara su acudiente. Se aclara que se les

entregaron tres formas diferentes de representación de los datos, es decir se crearon tres

listados equivalentes. Anexo Nº 3

Al obtener los listados diligenciados por los estudiantes se creó un solo

instrumento del cual salió una situación problema (Anexo 3) que los estudiantes debían

resolver aplicando la estrategia aprendida con el docente desde el modelado

metacognitivo.

Los estudiantes mostraron mucha motivación e interés al tratar de resolver la

situación problema planteada. Lo más importante es que realizaron los problemas

planteados de una manera reflexiva, tomando decisiones de manera consciente de lo que

estaban haciendo, dejando a un lado la aplicación de algoritmos como receta de cocina.

La tercera fase es la práctica guiada, aquí se busca que los estudiantes

practiquen el uso del procedimiento para resolver problemas, utilizando los procesos

metacognitivos, para esta fase se retomo “la hoja para pensar el problema” de Pifarré

(1998), a la cual se le realizaron los respectivos ajustes, teniendo en cuenta los

momentos utilizados para resolver problemas matemáticos planteados en esta

intervención.

El docente, proporciona a los estudiantes la guía necesaria para ir alcanzando

progresivamente un nivel de autonomía más elevado, en un primer momento el docente

explica la utilización de la Hoja Guía, a la cual los estudiantes le llamarón “la Hoja

inteligente” (Anexo Nº 6), atendiendo a las preguntas que la hoja iba orientando.

Esta práctica se realiza con la colaboración del docente quien conduce y ayuda

al estudiante en el camino hacia la autorregulación. Esta fase se caracteriza por el

diálogo entre profesor y estudiante, cuyo fin último es de mediar entre las metas que se


requieren alcanzar y que están por fuera de las posibilidades de los estudiantes sin esa

ayuda. (Osses y Jaramillo, 2008)

Se propusieron diferentes problemas con respecto a la situación de aprendizaje

diseñada, los estudiantes resolvieron dichos problemas utilizando la hoja guía de

manera individual, para luego exponer sus estrategias de resolución y los resultados a

todo el grupo.

Como primera parte: Introducción de la guía “Hojas para pensar el problema”.

El profesor presenta las características de la guía y se establece un diálogo con la clase

en el que se valora, por un lado, los procedimientos que la guía propone y que ya son

utilizados por los alumnos (conexión con los conocimientos previos de los estudiantes),

se especula sobre las ventajas y los inconvenientes de realizar los procedimientos que

propone la guía.

Luego, se pasa a la Instrucción guiada: Modelaje por parte del profesor sobre

cómo utilizar la guía como instrumento de ayuda para pensar y resolver el problema. En

este método, el profesor piensa y resuelve un problema en voz alta realizando las

diferentes acciones que se proponen en la guía.

Por último, cada estudiante resolverá diferentes problemas utilizando la hoja

guía. La estructura de la hoja inteligente es que por cada estrategia cognitiva aplicada

para resolver el problema, se deben resolver un número de cuestionamientos, para que

de esta manera el estudiante vaya tomando conciencia de los procesos que está

realizando. Un ejemplo de la hoja para la primera categoría, es el siguiente:

1. ENTENDER EL PROBLEMA

Lee el enunciado del problema. Subraya los datos más relevantes

¿Qué te pide el problema? __________________________________________

¿Qué datos del enunciado son los más importantes? _____________________

¿Qué tienes que encontrar? _________________________________________

¿Dónde tienes que llegar? __________________________________________

¿Qué datos conoces? Anótalos brevemente ____________________________

Anota los datos que tienes que encontrar para solucionar el problema ________

_______________________________________________________________


¡RECUERDA! SIEMPRE DEBES TENER EN CUENTA PREGUNTARTE

A CADA MOMENTO DEL TRABAJO ¿QUÉ TENGO QUE HACER?, ¿LO ESTOY

HACIENDO BIEN? Y ¿LO HICE BIEN? REVISA TODOS LOS PASOS.

Para esta fase, los estudiantes resolvieron otra situación problema que se

deduce del mismo ambiente de aprendizaje “hagamos una fiesta”, al haber solucionado

el problema del plato fuerte de la fiesta (el arroz con pollo), se establece que falta el

liquido que acompañará la comida principal. Por lo tanto, se debe averiguar qué

cantidad de gaseosa se comprará para repartir en la fiesta.

Para el diseño de la situación que se denomino “a tomar gaseosa” (Anexo Nº

4), se les pidió a los estudiantes que trajeran por equipos de cinco, un balde y tres

botellas de gaseosa plásticas de diferentes tamaños, los más utilizados fueron de 600 ml,

1.25 litros y de 2.5 litros, clasificándolos en pequeño, mediano y grande

respectivamente.

Se les entrego el día de la práctica tres vasos desechables de diferentes

tamaños, de 5 onzas, 7 onzas y 12 onzas.

El objetivo del taller era establecer un andamiaje para la construcción del

concepto de fracciones y de números decimales. Los estudiantes resolvieron el

problema utilizando la hoja inteligente, que con anterioridad el docente le había

explicado, analizando otros problemas matemáticos contextualizados.

La última de las fases es el aprendizaje cooperativo, el cual utilizado como

estrategia didáctica, promueve la realización conjunta de diferentes tareas, tomando

como base que la cooperación puede mejorar el aprendizaje personal y el grupal.

Esta fase según Mateos (2001), proporciona una fuente adicional de andamiaje

al aprendizaje individual. Se lleva a cabo en el contexto de la interacción con un grupo

de iguales que cooperan para completar la tarea. El control de la actividad se traslada al

grupo para distribuirse entre sus miembros.

En esta fase el docente conforma los grupos de manera heterogénea, es decir un

estudiante con alto desempeño, acompaña estudiantes con desempeños medios y bajos,

esto con el fin de establecer las relaciones entre pares y potenciar el aprendizaje. Cada

miembro del grupo cumple con un rol y una responsabilidad, la cual deberá ser

cumplida para beneficio de todo el equipo.


El aprendizaje cooperativo facilita la discusión, entre los estudiantes y el

docente, permite a su vez negociar las propias opiniones y poner énfasis en los aspectos

metacognitivos, favoreciendo la reflexión y la autoevaluación.

Para esta última fase se creó un segundo ambiente de aprendizaje, el cual se

llamo “embaldosemos la cancha” (Anexo Nº 5), El objetivo principal de este ambiente

es de crear situaciones problemas encaminadas al trabajo con los conceptos geométricos

de perímetro y área.

Se les pidió a los estudiantes que trajeran una cinta métrica, la cual serviría

para medir la cancha de basquetbol de la institución, y de esta manera poder resolver el

taller, este trabajo se realizó en grupos de tres estudiantes, guardando el principio de

heterogeneidad de los equipos.

3.11.2 Duración de la intervención

El programa de intervención tuvo una duración de 30 sesiones de 50 minutos

cada una (3 sesiones semanales durante 10 semanas), realizadas en los dos grupos

intervenidos de quinto grado de básica primaria de la Institución Educativa Normal

Superior de Sincelejo.

Las 6 primeras sesiones se dedicaron a la introducción del programa de

intervención y a realizar la fase de Instrucción directa. En esta fase el número de

problemas resueltos fueron alrededor de 10 en toda la fase. El objetivo de las sesiones

era que el docente proporcionará a los estudiantes indicadores sobre cómo utilizar

correctamente el modelo de resolución de problema.

Las 9 sesiones siguientes correspondieron a la fase de modelado

metacognitivo, en la que se tendrían en cuenta las acciones de tipo metacognitivo

haciendo uso del modelado, en una primera semana el docente utilizó la estrategia como

modelo, realizando los problemas el mismo, se propuso a su vez que el docente de

manera deliberada introdujera errore4sen el proceso de resolución, para que de este

modo, se ejemplificaran las estrategias de comprobación y revisión, verbalizando los

procedimientos utilizados, así como las estrategias metacognitivas utilizadas.

En la siguiente semana los estudiantes ya realizaban sus aportes en las clases,

por último ellos mismos resolvían las situaciones planteadas utilizando las estrategias

que el docente había modelado en un primer momento. El número de problemas

realizados para esta fase fue de 12, introduciendo a su vez un ambiente de aprendizaje

con se respectiva situación problema.


En las 9 sesiones siguientes se establecen en la fase de práctica guiada, la cual

tienen como objetivo principal brindar otra herramienta a los estudiantes para reiterar

los procesos de tipo cognitivo y metacognitivo del programa de intervención, en las 2

primeras sesiones de esta fase el docente explica y discute con sus estudiantes las

ventajas y desventajas de la utilización de la “hoja inteligente” quedando clara su

utilización. Luego los discentes ponen en práctica estas orientaciones resolviendo

problemas de manera individual primeramente y en un segundo momento de manera

grupal. En esta fase se resolvieron 12 problemas contextualizados y una segunda

situación problema que surgió del mismo ambiente de aprendizaje anterior.

Por último, las 6 sesiones finales correspondientes a la práctica del aprendizaje

cooperativo, en la que se busca que los estudiantes conformen equipos y realicen un

trabajo de apoyo entre pares, a su vez que se sirven de soporte unos de otros. Se

formaron grupos heterogéneos, explicándoles la dinámica de esta última fase y la

importancia de este tipo de trabajo. En esta fase se resolvieron alrededor de 8 problemas

contextualizados y se creó un segundo ambiente de aprendizaje del cual se extrajo una

situación problema.

Durante el periodo de intervención los grupos controles asistieron a las aulas de manera

regular, recibiendo sus clases de manera normal como trabaja la docente de quinto

grado de la jornada matinal, sin exponerse a ningún cambio de tipo metodológico o

didáctico.


C uadro 23. Síntesis del Program a de Intervención

SÍN T E SIS D E L P R O G R A M A D E IN T E R V E N C IÓ N B A SA D O E N L A S E ST R A T E G IA S D ID Á C T IC A S C O N E N F O Q U E


E ST R A T E G IA S C O G N IT IV A S PA R A R E SO L V E R P R O B L E M A S M A T E M Á T IC O S

C om o prim era parte del program a se establecen las estra tegias de tipo cognitivas que se utilizaran para resolver los problem as

planteados, entre las que se encuentran:

1 . L eer e l problem a

2. Planificar una estra tegia para resolver e l problem a

3. O rganizar los datos en un organizador de inform ación

4. R esolver e l problem a

5. E valuar e l resultado del problem a

Seguidam ente se presenta un cuadro que resum e las estra tegias didácticas con enfoque m etacognitivo puesto en m archa.

FA SE S. E ST R A T E G IA S

D ID Á C T IC A S

A PL IC A D A S

R E SU M E N D E L A FA SE O B JE T IV O S D E L A S

E ST R A T E G IA S

A PL IC A D A S

A M B IE N T E S D E

A PR E N D IZ A JE S

C R E A D O S

D U R A C IÓ N

Y M A N E JO

D E N T R O

D E L

G R U PO .

Se presentan las estra tegias

cognitivas para resolver problem as

Proporcionar a los

estudiantes indicadores

Problem as

contextualizados

E sta prim era

fase tuvo


Fase inic ia l

IN ST R U C C IÓ N

D IR E C T A

utilizadas en este program a, se le

explican los m étodos heurísticos de

la resolución de problem as, se pone

principal énfasis en la guía de la

autoinstrucción, e l

autocuestionam iento y la

com probación

sobre cóm o utilizar

correctam ente e l m odelo de

resolución de problem a,

adoptado por este program a

de intervención.

con la rea lidad de

los estudiantes

una duración

de dos

sem anas, y

e l m anejo de

la m ism a fue

de form a

individual.

Segunda Fase

M O D E L A D O


E sta fase se divide en tres

m om entos. E l prim ero donde e l

docente m odela com o resolver

problem as m atem áticos utilizando

los procesos m etacognitivos de

planeación control y evaluación. U n

segundo m om ento e l docente

resuelve los problem as junto con los

estudiantes guiando e l proceso por

m edio de preguntas orientadoras y

e l últim o m om ento e l estudiante

adquiere e l protagonism o y resuelve

e l solo los problem as planteados.

M odelar cóm o resolver

problem as m atem áticos,

haciendo uso de los

procesos m etacognitivos de

planeación, control y

evaluación

“H agam os una

fiesta” , se rea lizó

una situación

problem a basada en

la organización de

una fiesta entre los

estudiantes del

grupo, en la cual se

genero una lista de

precios donde se le s

plantearon

diferentes

problem as

contextualizados

E sta fase

tuvo una

duración de

tres

sem anas, y

e l m anejo de

la m ism a fue

de form a

individual.


T ercera Fase

PR Á C T IC A G U IA D A

E l docente , proporciona a los

estudiantes la guía necesaria para ir

a lcanzando progresivam ente un

nivel de autonom ía m ás e levado, en

un prim er m om ento e l docente

explica la utilización de la H oja

G uía , luego e l docente m odela com o

se utiliza la hoja guía c om o

instrum ento de ayuda para pensar y

resolver e l problem a. L uego los

estudiantes resuelven solos los

problem as utilizando la hoja guía .

L a estructura de la hoja inte ligente

es que por cada estra tegia cognitiva

aplicada para resolver e l problem a,

se deben resolver un núm ero de

cuestionam ientos, para que de esta

m anera e l estudiante vaya tom ando

conciencia de los procesos que está

rea lizando

Practicar e l uso del

procedim iento para resolver

problem as, utilizando los

procesos m etacognitivos,

para esta fase se re tom o “ la

hoja para pensar e l

problem a” de Pifarré

(1998)

“A tom ar

gaseosa”, se

establece un

andam iaje para la

construcción del

concepto de

fracciones y de

núm eros decim ales.

L os estudiantes

resolvieron e l

problem a utilizando

la hoja inte ligente ,

que con anterioridad

e l docente le había

explicado,

analizando otros

problem as

m atem áticos

contextualizados

E sta fase

tuvo una

duración de

3 sem anas y

se trabajo de

m anera

individual y

grupal.


Fase final

A PR E N D IZ A JE

C O O PE R A T IV O

E n esta fase e l docente conform a los

grupos de m anera heterogénea, es

decir un estudiante con a lto

desem peño, acom paña estudiantes

con desem peños m edios y bajos,

esto con e l fin de establecer las

re lac iones entre pares y potenciar e l

aprendizaje . C ada m iem bro del

grupo cum ple con un rol y una

responsabilidad, la cual deberá ser

cum plida para benefic io de todo e l

equipo

Prom over la rea lización

conjunta de diferentes

tareas, tom ando com o base

que la cooperación puede

m ejorar e l aprendizaje

personal y e l grupal.

“E m baldosem os la

cancha” . E l

obje tivo principal

de este am biente es

de crear situaciones

problem as

encam inadas a l

trabajo con los

conceptos

geom étricos de

perím etro y área .

E sta fase

tuvo una

duración de

dos sem anas,

y e l m anejo

de la m ism a

fue de form a

grupal.


RESULTADOS

4. ANALISIS ESTADISTICO E INTERPRETACIÓN DE LOS

RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN

Al iniciar la puesta en marcha del programa interventivo se realizó una prueba

preliminar para demostrar que no existían diferencias significativas entre los grupos en

los que fue aplicado el pretest, siguiendo el diseño metodológico propuesto, por tanto el

resultado del pretest, prueba en los dos primeros grupos la equivalencia inicial, con

respecto a la resolución de problemas matemáticos. Se realizó la prueba de Mann-

Whitney, en la que se corroboró que la puntuación obtenida en el pretest no existen

diferencias estadísticamente significativas (Z= 0.772, p= 0.440).

Cuadro Nº 24. Comparación resultados del pretest, Grupos A experimental y B

Control

CAPITULO IV


Resultados SPSS 10

En el cuadro Nº 24, se establece la no existencia de diferencias significativas

de los grupos que realizaron el pretest, lo que significa que estos grupos son

equivalentes en cuanto al desarrollo de la competencia resolución de problemas

matemáticos contextualizados; el resultado corrobora lo descrito por los docentes, en

cuanto a las deficiencias que tienen los estudiantes al resolver este tipo de problemas. A

su vez, en correspondencia de los indicadores de desempeño establecidos en la prueba,

según los componentes del pensamiento matemático, se establece que los estudiantes

presentan dificultades en cuanto a los siguientes indicadores: interpretación y

comparación de distintas representaciones de un mismo número (como fracción, como

decimal o como natural); resolver problemas en contexto de tipo aditivo y

multiplicativo; resolver problemas en contexto utilizando diferentes procedimientos y

estrategias para calcular áreas y volúmenes; interpretar datos en tablas, gráficos de

barra, pictogramas y de líneas; resolver problemas interpretando datos en forma

organizada y aplicando la aleatorización.

Seguidamente de la aplicación de la intervención basada en estrategias

didácticas con enfoque metacognitivo, donde se les enseña a los estudiantes a aplicar

estrategias cognitivas y metacognitivas que apoyen el desarrollo de la competencia

resolución de problemas matemáticos contextualizados, se realizan los análisis de los

resultados obtenidos en el pretest.

Para evaluar los efectos del tratamiento se han realizado una serie de pruebas

estadísticas no paramétricas, tal como la prueba de signos para el análisis intra-grupo, la

Rangos

31 35,40 1097,50

35 31,81 1113,50

66

Grupos

grupo A experimental pre

grupo B control pre

Total

Puntaje

N

Rango

promedio

Suma de

rangos


483,500

1113,500

-,772

,440

U de Mann-Whitney

W de Wilcoxon

Z


Puntaje



prueba de Mann-Whitney para el análisis inter-grupos, se han puesto a prueba los

efectos principales de las variables grupo y momento de la evaluación.

Al tener en cuenta el diseño investigativo de cuatro grupos entre los análisis

que pueden llevarse a cabo se tiene:

En un primer momento establecer si existen o no diferencias

estadísticamente significativas en el puntaje del pretest y el postest,

intra-grupo de los grupos A (experimental) y B (control) del diseño,

para observar si tuvo efecto el tratamiento empleado, se realizó una

prueba de signos. A su vez, se estudian los efectos que se hayan

obtenido en cada componente de la prueba (Numérico – variacional,

Geométrico - métrico y aleatorio)

Seguidamente establecer si existen o no diferencias estadísticamente

significativas en el puntaje del postest inter-grupos de los grupos A

(experimental) y B (control) del diseño, para observar si tuvo efecto el

tratamiento empleado, se realizó una prueba de Mann-Whitney. A su

vez, se estudian los efectos que se hayan obtenido en cada componente

de la prueba (Numérico – variacional, Geométrico - métrico y

aleatorio)

Luego el grupo C, se contrasta con el grupo A para de esta manera

descartar el efecto de sensibilización de la prueba diagnóstica.

El grupo D, Se contrasta con el grupo B para descartar los efectos

temporales que pueden haber ocurrido en el tiempo que se realizó la

intervención.

También se establece si existen o no diferencias estadísticamente

significativas en el puntaje del postest inter-grupos de los grupos C

(experimental) y D (control) del diseño, para observar si tuvo efecto el

tratamiento empleado, se realizó una prueba de Mann-Whitney.

Según Kerlinger (2002), “si el postest del grupo A es significativamente mayor

que el postest del grupo B, y el del grupo C es significativamente mayor que el del D,

entonces es una evidencia de la validez de la hipótesis de investigación”.


PRUEBA INTRA-GRUPO.

Grupo control B

Para comprobar que el grupo control no presenta diferencias estadísticamente

significativas se realizo una prueba de signos bilateral ( 0.648). Corroborando que

no hubo diferencias entre la aplicación de la prueba diagnóstica y el postest.

Cuadro Nº 25 Estadísticas de Contraste, Grupo Control B, Comparación Pretest

- Postest

El análisis de los resultados obtenidos por la prueba de signos, indica que los

estudiantes del grupo control no avanzaron en el desarrollo de la competencia

resolución de problemas matemáticos, respecto a los indicadores de desempeño que

evalúa la prueba, se considera que persisten las dificultades con respecto a esta

competencia.Según Pifarré (1998), inciden las estrategias cognitivas y metacognitivas

que se ejecuten en el modelo para resolver problemas, atendiendo a las estrategias

cognitivas aplicadas de entender y analizar el problema; planificar una estrategia para

resolver el problema; organizar los datos; resolver el problema y evaluar el resultado,

articulándolos con las estrategias de tipo metacognitivo. Tárraga (2008).

Grupo Experimental A

Por otra parte el grupo experimental si presento diferencias estadísticamente

significativas al 5% de significancia, se realizó la misma prueba de los signos bilateral

(Z=-2.157, 0.031). Corroborando que si hubo diferencias estadísticamente

significativas luego de la intervención. Dado que la interacción ha resultado

significativa puede decirse que el tratamiento presenta un efecto positivo en cuanto al

desarrollo de habilidades para resolver problemas matemáticos.

Cuadro Nº 26. Estadísticas de Contraste, Grupo Experimental A, Comparación

Prestest – Postest

Estadísticos de contrasteb

,678aSig. exacta (bilateral)

Postest grupo

control -

Pretest grupo

control

Se ha usado la distribución binomial.a.

Prueba de los signosb.


Grafico Nº 9. Comparación Entre el Pretest y el Postest del Grupo

Experimental A

3331N =

Grupos

grupo A experimentalgrupo A experimental

Pun

taje

10

8

6

4

2

0

-2

De acuerdo a la interpretación del gráfico Nº 9 se muestra la diferencia entre el

pretest y el postest del grupo experimental. Se observa el avance con respecto a la pre-

prueba, a su vez, se establece que la competencia resolución de problemas matemáticos

contextualizados muestra un desarrollo positivo, lo que significa que el grupo de

estudiantes sometidos al tratamiento, lograron aplicar las estrategias cognitivas y

metacognivas en la resolución de los problemas planteados.

Teniendo en cuenta que se corrobora la existencia de diferencias significativas

con respecto a este grupo, se realiza la prueba de los signos, para cada componente de la

prueba para establecer si existen diferencias estadísticamente significativas con respecto

a cada uno de ellos.

Componente numérico – variacional: Se establecen diferencias

estadísticamente significativas para este componente, en la prueba de

signos ( 0.019), corroborando la hipótesis alternativa específica 1.

Cuadro Nº 27. Estadísticas de Contraste Prueba de Signos para el grupo

Experimental A, Componente Numérico - Variacional.

Estadísticos de contrastea

-2,157

,031

Z

Sig. asintót. (bilateral)

Postest grupo

experimental -

Pretest grupo

experimental

Prueba de los signosa.


Estadísticos SPSS 10

De acuerdo a estos datos los estudiantes presentan fortalezas en los

siguientes desempeños: interpretación y comparación de distintas representaciones de

un mismo número (como fracción, como decimal o como natural); resolución de

problemas en contexto de tipo aditivo y multiplicativo; resolución de problemas en

contexto real de proporcionalidad en contextos multiplicativos y representación de

relaciones numéricas con ecuaciones e inecuaciones aritméticas sencillas.

Componente Geométrico – métrico: no se establecen diferencias

estadísticamente significativas para este componente, en la prueba de

signos ( 0.815), se escoge entonces la hipótesis nula específica Nº

2.

Cuadro Nº 28. Estadísticas de Contraste Prueba de Signos para el grupo Experimental

A, Componente Geométrico – Métrico. Estadísticos SPSS 10

El p-valor de 0,815, al mostrar que no existen diferencias significativas entre el

pre y el postest, significa que persisten las dificultades con respecto a la resolución de

Estadísticos de contras teb


nume-varia

postest -

nume-varia

pretest

Se ha usado la dis tribución binomial.a.


Estadísticos de contras teb


geom-metric

postest -

geom-metric

pretest

Se ha usado la dis tribución binomial.a.



problemas contextualizados de este componente, evidenciándose en debilidades en los

desempeños siguientes: resolver problemas en contexto utilizando diferentes

procedimientos y estrategias para calcular áreas y volúmenes; diferenciar atributos

medibles tales como: longitud, superficie, volumen, capacidad y masa; y comparar

figuras bidimensionales de acuerdo a sus componentes.

Componente Aleatorio: Se establecen diferencias estadísticamente

significativas para este componente, en la prueba de signos (

0.031), corroborando la hipótesis alternativa específica 3.

Cuadro Nº 29. Estadísticas de Contraste Prueba de Signos para el grupo

Experimental A, Componente aleatorio. Estadísticos SPSS 10

Lo anterior evidencia que el trabajo realizado tuvo incidencia positiva con

respecto a este componente, como indicadores de desempeño de los estudiantes se

presentan los siguientes: mejor nivel al interpretar datos en tablas, gráficos de barra,

pictogramas y de líneas; resolver problemas interpretando datos en forma organizada y

aplicando la aleatorización; así como para conjeturar y poner a prueba predicciones

acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos.

PRUEBA INTER-GRUPO PARA EL POSTEST.

Grupos experimental A y grupo control B.

Se ha realizado la prueba U de Mann-Whitney, para establecer si existen o no

diferencias significativas entre los grupos comparados, esta prueba es paralela a la

prueba paramétrica de contraste t de student para muestras independientes, contrasta si

dos poblaciones muestreadas son equivalentes en su posición, para evaluar si hubo o no

efectos sobre la variable dependiente. Para estos grupos los efectos han resultado

estadísticamente significativos (Z= -2.457, 0.014), Como < 0.05 se acepta la

Estadísticos de contrastea

-2,157

,031

Z


aleatorio

postest -

aleatorio

pretest

Prueba de los s ignosa.


hipótesis alternativa que el programa si tuvo incidencia en el desarrollo de la

competencia para resolver problemas matemáticos contextualizados.

Cuadro Nº 30. Estadísticas de Contraste Grupo A Experimental y Grupo B

control, Postest


Gráfico Nº 10. Comparación de los Grupos A experimental y B control,

puntajes del pretest y postest

Rangos

33 38,61 1274,00

32 27,22 871,00

65

Grupos

grupo A

experimental post

grupo B control post

Total

Puntaje

N

Rango

promedio

Suma de

rangos


343,000

871,000

-2,457

,014

U de Mann-Whitney

W de Wilcoxon

Z


Puntaje


PRETES POSTEST

CONTROL B 3,1 3,3

EXPERIMENTAL A 3,3 4,4

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

pu

nta

je

Comparación de los grupo A y B


En la gráfica Nº 10, puede observarse cómo la posición inicial del grupo

experimental es idéntica en términos promedio con la del grupo de comparación. Sin

embargo, tras el tratamiento, el grupo experimental mejora enormemente hasta superar

al grupo control. Esto constata que el tratamiento basado en estrategias didácticas

metacognitivas da resultados positivos en lo que respecta al desarrollo de la

competencia resolución de problemas.

Se realiza la prueba U de Mann-Whitney para establecer si existen diferencias

significativas con respecto a cada componente de la prueba, los resultados se presentan

en el siguiente cuadro.

Cuadro Nº 31. Rangos y Estadísticos de Contraste Grupo A Experimental y B

Control, por componentes de la prueba


Como se observa existen diferencias estadísticamente significativas para los

ítems pertenecientes a los componentes numérico – variacional (Z=-2.489, 0.013) y

Aleatorio (Z=-2.056, 0.040), para una significancia del 5%. Sin embargo no se

Rangos

30 37,17 1115,00

32 26,19 838,00

62

30 35,27 1058,00

32 27,97 895,00

62

30 36,10 1083,00

32 27,19 870,00

62

Grupos

A experimental

B control

Total

A experimental

B control

Total

A experimental

B control

Total

nume-varia postest

geom-metric postest

aleatorio postest

N

Rango

promedio

Suma de

rangos

Estadísticos de contr as tea

310,000 367,000 342,000

838,000 895,000 870,000

-2,489 -1,693 -2,056

,013 ,090 ,040

U de Mann-Whitney

W de Wilcoxon

Z


nume-varia

postest

geom-metric

postest

aleatorio

postest

Variable de agrupación: Gruposa.


establecen para este valor de significancia, diferencias estadísticamente significativas

para los ítems del componente Geométrico – métrico de la prueba (Z=-1.693,

0.090). Estas diferencias permiten corroborar lo anteriormente planteado para el análisis

de componentes intra – grupos del grupo experimental A.

Ahora bien, se contrasta el grupo C con el grupo A, para de esta manera

descartar el efecto de sensibilización de la prueba diagnóstica. La prueba U de Mann-

Whitney no reporta diferencias estadísticamente significativas (Z=-0.487, 0.626)

entre los resultados del postest de los dos grupos experimentales, lo que descarta el

efecto de sensibilización del pretest en el Grupo experimental A.

Cuadro Nº 32. Rangos y Estadísticos de Contraste Grupos A y C

Experimentales

Estadísticos SPSS 10.

A su vez se contrasta El grupo D con el grupo B para descartar los efectos

temporales que pueden haber ocurrido en el tiempo que se realizó la intervención. La

prueba U de Mann-Whitney no reporta diferencias estadísticamente significativas (Z=-

0.482, 0.630) entre los resultados del postest de los dos grupos controles, lo que

descarta el efecto de temporalización entre los grupos.

Rangos

33 30,94 1021,00

30 33,17 995,00

63

Grupos

grupo A

experimental post

grupo C

experimental post

Total

Puntaje

N

Rango

promedio

Suma de

rangos


460,000

1021,000

-,487

,626

U de Mann-Whitney

W de Wilcoxon

Z


Puntaje



Cuadro Nº 33. Rangos y Estadísticos de Contraste Grupos B y D controles

Estadísticos SPSS 10.

Por último se realiza la comparación entre los resultados del postest de los

grupos C (experimental) y D (control), la prueba de Mann-Whitney presenta diferencias

altamente significativas (Z=-3.295, 0.001) con respecto a la comparación de estos

dos grupos, lo que corrobora el cumplimiento de la hipótesis general alternativa de esta

investigación, las estrategias didácticas con enfoque metacognitivo si inciden en el

desarrollo de la habilidad de resolución de problemas matemáticos.

El gráfico Nº 11. muestra la comparación entre los diferentes momentos de los

cuatro grupos, se evidencia la equivalencia del grupo A (experimental) y el grupo B

(control) en el puntaje obtenido en el pretest (primeros dos gráficos de izquierda a

derecha), a su vez se puede observar las diferencias en los resultados del postest de los

grupos experimentales con respecto a los grupos controles, los grupos experimentales

obtuvieron mayor puntaje en esta prueba corroborando el efecto positivo del programa

de intervención.

Gráfico Nº 11 Diagrama de Cajas, comparación de los diferentes grupos.

Rangos

32 34,66 1109,00

34 32,41 1102,00

66

Grupos


grupo D control post

Total

Puntaje

N

Rango

promedio

Suma de

rangos


507,000

1102,000

-,482

,630

U de Mann-Whitney

W de Wilcoxon

Z


Puntaje



343032333531N =

Grupos

grupo D control post

grupo C experimental


grupo A experimental

grupo B control pre

grupo A experimental

Punt

aje

10

8

6

4

2

0

-2

1803843

Gráfico de SPSS 10.


CONCLUSIONES

5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

De acuerdo a los resultados anteriores, se ratifica lo planteado por Ferrer

(2000), Bara (2001) y Sulbarán (2007), con respecto a la función que debe desempeñar

el docente, preparándose para intervenir en el programa, estructurándose en las

diferentes fases que se han de realizar y de esta forma implicándose directamente con la

aplicación de las estrategias didácticas con enfoque metacognitivo, de aquí que se sienta

motivado a integrar este tipo de estrategias a su planeación y ejecución de clases,

evaluando su efectividad y de esta forma, realizar cambios consecuentes en su práctica

pedagógica.

Por otra parte, este trabajo de investigación confirma lo encontrado por Pifarré

y Sanuy (2001), quienes concluyen que el diseño y aplicación de propuestas didácticas

que tengan como objetivo mejorar el proceso y las estrategias para resolver problemas

de matemática, tienen una incidencia positiva cuando se trabaja en las habilidades

cognitivas y metacognitivas de los estudiantes. A su vez, que se tengan en cuenta

CAPITULO V


parámetros tales como: contextualizar el problema planteado, sea desde la matemática o

desde la vida cotidiana, dándose entonces un aprendizaje significativo; aplicar métodos

de enseñanza en los cuales se haga explicito el o los modelos de resolución de

problemas que se aplican, con el fin de que no quede de manera implícita, sino que se

explicite el proceso cognitivo y metacognitivo que se desarrolla en el tiempo que se le

dedica a resolver el problema; diseñar diferentes tipos de materiales didácticos y

construcciones de ambientes de aprendizaje que permitan que el estudiante seleccione,

organice y controle diferentes procedimientos a la hora de enfrentarse a la resolución de


Para Ferrer (2000) la habilidad para resolver problemas matemáticos se refiere

a la construcción y dominio, por el estudiante, de los modos de actuar y métodos de

solución de problemas utilizando los conceptos, teoremas y procedimientos que la

matemática brinda, en calidad de instrumentos, conjuntamente con las estrategias de

trabajo heurístico para la sistematización de esos instrumentos en una o varias veces de

solución, permitiendo de esta manera la transferencia de conocimiento. A pesar de que

el autor nos indica que es una habilidad, de acuerdo a lo planteado en esta investigación

el término “habilidad” es coherente con la definición de competencia expresada, es

decir, la definición de Ferrer apunta a que el discente utilice el saber en un hacer

atendiendo a sus modos de actuar (ser), componentes de la competencia resolución de

problemas definida en esta investigaci.

Entonces, se establece que la resolución de problemas matemáticos, en sus

funciones de medio y fin del aprendizaje, constituye una actividad compleja e integral

que requiere de la formación de modos de actuación, métodos de solución y

procedimientos específicos, elementos constitutivos de la competencia, que incluyen a

su vez elementos tanto cognitivos como metacognitivos.

El análisis de los resultados lleva a plantear las siguientes conclusiones, que

hacen referencia a los objetivos planteados en esta investigación.

El objetivo general pretendía comprobar la influencia de la implementación de

estrategias didácticas con enfoque metacognitivo en el desarrollo de la habilidad de

resolución de problemas matemáticos en estudiantes de 5º de la institución educativa

Normal Superior de Sincelejo. La conclusión que se extrae de este objetivo es la

siguiente:


El programa de intervención con estrategias didácticas con enfoque

metacognitivo produjo una mejora en la resolución de problemas matemáticos

contextualizados.

La valoración de diferencias estadísticas significativas, de los grupos

experimentales, intra-grupo e inter-grupos indica que el programa basado en estrategias

didácticas con enfoque metacognitivo produjo efectos positivos en la variable

competencia de resolución de problemas. Estos efectos se produjeron en el sentido

esperado: En el pretest el grupo control B y el experimental A, no obtuvieron

diferencias significativas, en el postest el grupo experimental A obtuvo una importante

mejora superando al grupo control. A su vez, la comparación del postest entre el grupo

experimental C y el control D, muestra que el grupo experimental supera

significativamente al grupo control, corroborándose que el programa de intervención si

da resultado.

Se comprueba entonces lo planteado por Schoenfeld (1985) el manejo de

Estrategias metacognitivas caracterizada por la toma de conciencia mental de las

estrategias necesarias utilizadas al resolver un problema, para planear, monitorear,

regular o controlar el proceso mental de sí mismo, hace parte fundamental en el

proceso de resolución de problemas; es decir, no basta con tener los conocimientos

declarativos claros y estrategias cognoscitivas acordes para realizar el proceso de

resolución de problemas, sino que es inminentemente necesario poner en práctica la

planeación, el monitoreo y la comprobación de resultados con el fin de resolver

diferentes problemas contextualizados dentro del área de matemática o fuera de ella; el

programa de intervención realizado en esta investigación aporta en gran medida a este

tipo de estrategias, dando resultados favorables en el desarrollo de la competencia

resolución de problemas en matemática dentro de un contexto de la vida cotidiana.

A su vez, se comprueba que en la resolución de problemas se distinguen

cuatro fases: análisis, exploración, ejecución y comprobación, que son indispensables

en la resolución de problemas.Schoenfeld (1985), estas están acordes con las estrategias

cognitivas desarrolladas en el programa de intervención (Entender y analizar el

problema; Planificar una estrategia para resolver el problema; Organizar los datos y el

plan de resolución en un organizador de información; Resolver el problema); cuando se

entiende y analiza el problema se está en la fase de análisis; al planificar, organizar los

datos se refiere entonces a la fase de exploración y cuando se aplican las diferentes

estrategias planeadas utilizando las operaciones pertinentes se está en la fase de


ejecución; sin embargo la etapa de comprobación, ya se refiere a las estrategias

metacognitivas que se ponen en juego a los largo del proceso de aplicación de las

estrategias cognitivas, es aquí donde se evidencia que la autoinstrucción, el

automonitoreo y la comprobación durante todas las etapas de la resolución de

problemas permiten que se movilicen diferentes estrategias de tipo metacognitivo que

coadyuvan en el desarrollo de la competencia resolución de problemas; caracterizada

por desarrollar y aplicar diferentes estrategias y justificar la elección de métodos e

instrumentos para la solución de problemas (ICFES, 2007).

El conocimiento y uso adecuado de estrategias de solución de problemas, a

través de la aplicación de modelos, permite que el estudiante desarrolle está

competencia. (Polya, 1981; Mayer, 2002; Schoenfeld, 1985; Mason et al, 1989; De

Guzmán, 1991; Pifarre et al, 1998; Tárraga, 2008). Lo cual, se comprueba cuando se

aplica el modelo de resolución de problemas utilizando diferentes estrategias didácticas

que apunten al desarrollo de esta competencia; es así como las cinco estrategias

cognitivas que se utilizaron en la aplicación del programa de intervención tales como:

Entender y analizar el problema; Planificar una estrategia para resolver el problema;

Organizar los datos y el plan de resolución en un organizador de información; Resolver

el problema; Evaluar el resultado del problema, aportaron al desarrollo de la

competencia solución de problemas matemáticos dentro de contextos de la vida

cotidiana.

Cada una de las diferentes estrategias cognitivas, como lo plantea Flavell

(1984) se refiere a las acciones cognitivas (atención, ensayo, elaboración, recuperación)

que en el sujeto actúan para la consecución efectiva del objetivo propuesto. Una

estrategia cognitiva es aquella designada simplemente a llevar al individuo a conseguir

algún objetivo o sub-objetivo cognitivo; por tanto, cada paso, cada una de las estrategias

cognitivas propuestas aporta a la consecución efectiva de la resolución de un problema

en matemática, y fuera de ellas, dando cabida a la trasposición del conocimiento de las

diferentes estrategias cognitivas, para resolver problemas fuera del contexto

matemático.

Por otra parte, se puede concluir también que: La contextualización de los

problemas aporta elementos significativos para el desarrollo de la competencia

resolución de problemas, cabe resaltar la utilización de diferentes ambientes de

aprendizajes creados desde los contextos que son significativos para los estudiantes. El

desarrollo de la comprensión matemática pasa por distintos niveles donde los contextos


y los modelos poseen un papel relevante y ese desarrollo se lleva a cabo por el proceso

didáctico denominado reinvención guiada, en un ambiente de heterogeneidad cognitiva

(Freudhental, 1991), por tanto se utilizaron contextos y situaciones que generaron la

necesidad de ser organizados matemáticamente por los estudiantes. Estos contextos

fueron estructurados de tal forma que los estudiantes debieron utilizar herramientas

matemáticas en la vida cotidiana.

La matematización. concepto que utiliza Freudhental para referirse a la

contextualización de la matemática, es decir vincular la realidad con los conocimientos

tanto declarativos como procedimentales que la matemática utiliza, fue un aspecto

fundamental para lograr que los estudiantes tuvieran un aprendizaje significativo, a su

vez que le encontraban sentido a los conceptos aprendidos en clases, se establece

entonces que la contextualización de los problemas propuestos con diferentes ambientes

de aprendizaje creados, aportaron en el establecimiento de diferencias significativas

entre los diferentes grupos en los cuales se realizó la intervención.

Se establece con este resultado un avance a nivel investigativo en el campo de

la metacognición, teniendo en cuenta que la tendencia habitual de las investigaciones

encaminadas a mejorar la resolución de problemas matemáticos en estudiantes de básica

primaria es escasa. El presente estudio muestra que con la intervención basada en

estrategias didácticas con enfoque metacognitivo para desarrollar habilidades de

resolución de problemas matemáticos se obtienen resultados positivos con estudiantes

dicho nivel.

Otra de las conclusiones que se establece respecto al objetivo anterior, es que

la preparación y aplicación en estrategias didácticas en pro del desarrollo de

competencias metacognitivas en el aula, aporta al aprendizaje autónomo de los

estudiantes. Según Monereo et al (1999), un objetivo fundamental en la utilización de

este tipo de estrategiases el de aumentar la conciencia del alumno sobre las operaciones

y decisiones mentales que realiza cuando aprende un contenido o resuelve una tarea, a

su vez que controla los pasos que va realizando en el desarrollo de la tarea.

En la intervención llevada a cabo en esta investigación se pone en práctica lo

anteriormente planteado, cuando se establece que cada vez que se realizan las cinco

estrategias cognitivas planteadas (Entender y analizar el problema; Planificar una

estrategia para resolver el problema; Organizar los datos y el plan de resolución en un

organizador de información; Resolver el problema; Evaluar el resultado del problema),

de manera simultánea a cada una de ellas se realizan las estrategias metacognitivas (auto


instrucción, auto monitoreo y comprobación), las cuales coadyuvan no solo a desarrollar

la competencias de resolver problemas, sino a potenciar la capacidad para aprender a

aprender y favorece la transferencia de los aprendizajes a la cotidianeidad.

Cada una de las fases inspirada en la filosofía de la transferencia gradual del

control del aprendizaje (Mateos, 2001), concibe al docente en el rol de modelo y guía de

la actividad cognitiva y metacognitiva del estudiante, llevándolo poco a poco a

participar de un nivel creciente de competencia y, al mismo tiempo, retirando

paulatinamente el apoyo que proporciona hasta dejar el control del proceso en manos

del estudiante. Por tanto, la aplicación de la propuesta mediante las fases de Instrucción

directa, modelado metacognitivo, práctica guiada y aprendizaje cooperativo o práctica

cooperativa, influyó de manera positiva en el desarrollo de la competencia resolución de

problemas matemáticos contextualizados de los estudiantes.

A su vez, en el planteamiento de las hipótesis especificas de la presente

investigación, se había establecido que Las estrategias didácticas con enfoque

metacognitivo influyen en la resolución de problemas matemáticos pertenecientes al

componente numérico – variacional, al geométrico – métrico y al aleatorio. La

conclusión que se extrae de estas hipótesis es la siguiente:

El programa de intervención produjo una mejora en la resolución de

problemas matemáticos pertenecientes a los componentes numérico – variacionaly al

aleatorio. Sin embargo, el componente geométrico – métrico, no presento diferencias

estadísticas significativas con respecto a las pruebas aplicadas.

La valoración de diferencias estadísticamente significativas intra - grupos, del

grupo experimental A, en los componentes numérico – variacional y aleatorio, indica

que el programa de intervención produjo efectos positivos en la variable competencia

para resolver problemas pertenecientes a estos componentes. Estos efectos se

produjeron: En el cambio de puntuación del pretest con respecto al postest del grupo

experimental de cada componente ( 0.019) y ( 0.031) respectivamente.

Por otra parte, se establecen diferencias estadísticamente significativa inter –

grupos, del grupo experimental A y el grupo control B, nuevamente en los componentes

numéric –variacional y aleatorio, indicando que las estrategias didácticas con enfoque

metacognitivo producen efectos positivos en la variable competencia para resolver

problemas pertenecientes a estos componentes. Estos efectos se produjeron en el sentido

esperado: En la evaluación del postest la comparación entre el puntaje obtenido por el

grupo experimental y el control, presentó diferencias estadísticas significativas


numérico–variacional (Z=-2.489, 0.013) y Aleatorio (Z=-2.056, 0.040).

Corroborándose que el programa de intervención si da resultado en cuanto a estos

componentes de la prueba.

Estas diferencias indican con respecto al componente numérico-variacional los

estudiantes interpretan y comparan distintas representaciones de un mismo número,

representan relaciones numéricas con ecuaciones e inecuaciones aritméticas sencillas,

resuelven problemas contextualizados de tipos aditivos y multiplicativos, resuelven

problemas en contexto real de proporcionalidad en contextos multiplicativos. A su vez,

con respecto al componente aleatorio los estudiantes interpretan datos en tablas, graficas

de barras y de líneas, conjeturan y ponen a prueba predicciones acerca de la posibilidad

de ocurrencia de eventos y resuelven situaciones problemas interpretando datos en

forma organizada y aplicando la aleatorización.

Sin embargo, para el componente geométrico–métrico no se establecieron

diferencias estadísticamente significativas con respecto a las pruebas intra–grupos e

inter grupos, realizadas al grupo experimental A y al control B. Al parecer debió

haberse dedicado más tiempo al estudio de la resolución de problemas matemáticos

pertenecientes a este componente. Aunque se establecieron ambientes de aprendizaje

que abarcaran el estudio de todos los componentes esto no fue suficiente. Indicando

entonces que los estudiantes presentan aún dificultades para comparar figuras

bidimensionales de acuerdo a sus componentes y propiedades, diferenciar atributos

medibles tales como: longitud, superficie, volumen, capacidad y masa, y resolver

problemas en contexto utilizando diferentes procedimientos y estrategias para calcular

áreas y volúmenes. Se debe profundizar más en esto aspectos desde lo declarativo y lo

procedimental.

CONCLUSIONES

Las conclusiones que se pueden determinar, teniendo en cuenta el análisis

anterior son:

Los maestros de básica primaria son capaces de cambiar los paradigmas

tradicionales de enseñanza, poniendo a prueba otros métodos de intervención

innovadores, si se les brinda la formación adecuada.


Lapreparación de los docentes enla aplicación en estrategias didácticas con

enfoque metacognitivo, contribuye al desarrollo de competencias metacognitivas

en el aula, aportado al aprendizaje autónomo de los estudiantes.

La resolución de problemas matemáticos, en sus funciones de medio y fin del

aprendizaje, constituye una actividad compleja e integral que requiere de la

formación de modos de actuación, métodos de solución y procedimientos

específicos, elementos constitutivos de la competencia, que incluyen a su vez

conocimientos tanto cognitivos como metacognitivos.

El manejo de estrategias metacognitivas caracterizada por la toma de conciencia

mental de las estrategias necesarias utilizadas al resolver un problema, para

planear, monitorear, regular o controlar el proceso mental de sí mismo, hace

parte fundamental en el proceso de resolución de problemas.

El conocimiento y uso adecuado de estrategias de solución de problemas, a

través de la aplicación de modelos que articulen estrategias cognitivas y

metacognitivas y el contexto, permite que el estudiante desarrolle la

competencia de resolver problemas desde la matematización de sus realidades.

Los aportes de Freudhental sobre la contextualización de los problemas aporta

elementos significativos para el desarrollo de la competencia resolución de

problemas; a su vez se corrobora que el desarrollo de la comprensión

matemática pasa por distintos niveles donde los contextos y los modelos poseen

un papel relevante y ese desarrollo se lleva a cabo por el proceso didáctico

denominado reinvención guiada, en un ambiente de heterogeneidad cognitiva.

La aplicación sistemática de un modelo didáctico, inspirado en la filosofía de la

transferencia gradual del control del aprendizaje, operacionalizadomediante las

fases de instrucción directa, modelado metacognitivo, práctica guiada y

aprendizaje cooperativo, influye de manera positiva en el desarrollo de la

competencia resolución de problemas matemáticos contextualizados de los

estudiantes.

Los resultados obtenidos en los grupos experimentales demuestran la eficacia

del programa de intervención basado en estrategias didácticas con enfoque

metacognitivo,el cual produjo una mejora en la competencia resolución de


Se establece un avance a nivel investigativo en el campo de la metacognición,

teniendo en cuenta que la tendencia habitual de las investigaciones encaminadas


a mejorar la resolución de problemas matemáticos en estudiantes de básica

primaria es escasa.

El programa de intervención produjo una mejora en la resolución de problemas

matemáticos pertenecientes a los componentes numérico – variacional y al

aleatorio. Sin embargo, el componente geométrico – métrico, no presento

diferencias estadísticas significativas con respecto a las pruebas aplicadas.

El estudio y puesta en práctica de elementos constitutivos al pensamiento

geométrico y métrico debe profundizarse en la enseñanza primaria, ahondando

en lo epistémico y articulándolos con los otros pensamientos, en pro de obtener

un aprendizaje integral, con respecto a la matemática escolar.


RECOMENDACIONES

6. RECOMENDACIONES Y SUGERENCIAS

Los resultados y conclusiones de la presente investigación abren nuevas vías de

investigación que plantean cuestiones e inquietudes en el área. Estas nuevas vías de

investigación se resumen en las siguientes sugerencias:

Si bien es cierto que la intervención dio resultados positivos en cuanto a la

habilidad de resolver problemas matemáticos, es posible investigar sobre los efectos que

tiene la puesta en marcha de este programa basado en las estrategias didácticas con

enfoque metacognitivo en las otras disciplinas del currículo de la básica primaria, si se

da la transferencia de este conocimiento a las otras áreas, buscando la

interdisciplinariedad. Es posible que se creen ambientes de aprendizajes que integren las

otras disciplinas y de esta forma mejorar la mediación docente.

Por otra parte, se recomienda que en investigaciones posteriores se mire el

efecto de temporalidad de la intervención, es decir estudiar si las estrategias

metacognitivas utilizadas en el programa se mantienen a través del paso del tiempo, o se

olvidan si los docentes vuelven a realizar la enseñanza de forma tradicional.

Otra de las sugerencias clara para futuras investigaciones se deriva del

resultado negativo de esta investigación, en cuanto al componente geométrico –

CAPITULO VI


métrico, Esta sugerencia consiste en la necesidad de incluir en futuras intervenciones

más ambientes de aprendizaje que mejoren el desempeño de los estudiantes en este

componente. Se considera que es necesario aclarar si, en efecto, la inclusión de estos

ambientes de aprendizaje en la propuesta de intervención produce una mejora en todas

las variables evaluadas. Por tanto se propone que para posteriores trabajos plantear

como objetivo la implementación de ambientes de aprendizaje específicamente

diseñados para conseguir mejoras en el componente cuyo resultado no ha sido

satisfactorios en esta investigación.

Sin embargo, se reconoce el efecto de la intervención en el desarrollo de la

habilidad para resolver problemas matemáticos en todos los componentes o

pensamientos que esta disciplina maneja.

También se sugiere que este tipo de investigaciones sean realizadas con un

mayor grupo de instituciones en el Municipio, Departamento y Nación, teniendo en

cuenta las falencias que presenta cada uno de ellos en cuanto a los puntajes de las

pruebas Nacionales e Internacionales, con lo que respecta a la habilidad para resolver

problemas en el área de matemática.

Finalmente, se plantea como sugerencia para futuras investigaciones la

comparación de diferentes variaciones de este mismo entrenamiento, es decir poner en

práctica otras estrategias didácticas con este mismo enfoque, que les permita a los

estudiantes ir reforzando el aprendizaje autónomo, y el desarrollo de habilidades de tipo

metacognitivo, las cuales contribuyan a su formación como aprendices reflexivos y

conscientes de sus potencialidades, pero también de sus deficiencias.


LIMITACIONES

7. LIMITACIONES DEL ESTUDIO

El presente trabajo presenta algunas limitaciones entre las cuales se plantean:

Primero el tiempo de la intervención de dos meses y medio (sin tener en cuenta el

tiempo de preparación de los docentes, que fue de un mes y medio), supone una

limitación en cuanto a la puesta en marcha del programa, sin embargo esta puede ser

paliada mediante la instrucción inicial de los docentes que intervinieron en los grupos

experimentales garantizando que no solo se pusieran en marcha las estrategias

didácticas utilizadas en la intervención en el tiempo en el que el investigador iba a los

grupos, sino que se llegara a cambiar el enfoque didáctico de estos docentes con

respecto al trabajo con el área de matemática.

Por otra parte, la aplicación de un solo cuestionario para establecer las

diferencias, puede ser tenida en cuenta como limitación, sin embargo la justificación de

la no inclusión de más cuestionarios responde a razones preferentemente prácticas,

primordialmente basados en el elevado número de pruebas que se ven inmersos los

estudiantes de esta institución en todas las once áreas que allí se orientan y el impacto

que este tipo de pruebas pueda generar en el desarrollo normal de la jornada escolar de

los estudiantes.

CAPITULO VII


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Tárraga, R. (2008). ¡Resuélvelo! Eficacia de un entrenamiento en estrategias cognitivas

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Tobón, S. (2007). Competencias en la educación superior políticas hacia la calidad.

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Zambrano, A. (2005). Didáctica pedagogía y saber. Bogotá D.C. Colombia:

Cooperativa Editorial Magisterio


ANEXOS


ANEXO Nº 1. Primer test de conocimientos matemáticos Antes del pilotaje.

TEST DE CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS

Evaluación de habilidades cognitivas en la resolución de problemas matemáticos

en estudiantes de Educación Básica Primaria.

Nombres:......................................................Apellidos:.....................................................

......

Edad:...................................institución

educativa:................................................................

Curso:...............Fecha:................................................

Con esta investigación se pretende valorar las dificultades que tienes a la hora de

resolver problemas matemáticos.

Los resultados que obtengamos de este estudio nos pueden resultar útiles para mejorar

las propuestas de enseñanza y aprendizaje. Por ello, te rogamos que respondas con el

máximo interés.

Te garantizamos que la información obtenida será totalmente confidencial. Tu nombre

no se utilizará en los documentos y ninguna persona, ajena a esta investigación, podrá

acceder a tus datos personales.

La prueba que te proponemos realizar consta de17 problemas que tendrás que leer

detenidamente. A continuación, se presentan cuatro alternativas para que, una vez que

hayas realizado los cálculos oportunos, elijas aquella que expresa el resultado

correcto. Puedes utilizar lápiz y papel para realizar los cálculos, en la hoja de respuesta

que se te entrega, hay espacios para realizar los cálculos de cada pregunta. Estos

también son muy importantes para la investigación.

Ejemplo : Siendo las 12 horas en punto del mediodía, se ponen en marcha dos relojes

de arena, uno con una duración de 6 minutos, y otro de 240 segundos. ¿En qué

momentos del día se tendrá que dar la vuelta simultáneamente a los dos relojes?


Es muy probable que para resolver este problema hayas decidido realizar el siguiente

planteamiento:

“Duración del reloj A= 6 minutos; duración del reloj B=240/60 = 4 minutos. Si

averiguamos el mínimo común múltiplo de 6 y 4, obtendremos 12. Como este resultado

está indicado en la opción A, has de marcar con una X la casilla que corresponde a esta

letra en tu hoja de respuesta.

A. 12 B. 6 C. 10 D. 4

EN UNA SALIDA DE CAMPO LA PROFESORA CARMEN, LLEVA A SUS

ESTUDIANTES A UNA FINCA, PARA APRENDER Y RECREARSE JUGANDO

SANAMENTE.

Para ir del colegio a la finca se contrataron varios buses. El bus número 1 en el que

viajan Manuel y Diana recorre 3 kilómetros en 5 minutos.

1.

En la finca hay un estanque para criar peces. La superficie de este estanque es de forma

rectangular y sus lados miden 3 y 4 metros, como lo muestra el dibujo.


2. El área que ocupa el estanque es

A. 7 metros cuadrados.

B. 10 metros cuadrados.

C. 12 metros cuadrados.

D. 14 metros cuadrados.

3. La profundidad del estanque es de 1 metro. Si por cada metro cúbico se pueden criar

10 peces, ¿cuál es el número máximo de peces que se pueden criar?

A. 10

B. 22

C. 70

D. 120

En la siguiente gráfica se muestra el número de peces criados en el estanque durante los

dos últimos años.


4. ¿Cuántos peces deberían criarse en el segundo semestre del 2005 para que el

promedio del año 2005 sea de 110 peces?

A. 105

B. 110

C. 112

D. 115

En el siguiente mapa, están indicados los caminos que deben seguirse para ir a algunos

lugares de la finca.

5. Si la longitud del camino que une B con C es 100 metros, entonces la longitud del

camino que une A con B es

A. 100 metros.

B. 250 metros.


C. 300 metros.

D. 500 metros.

En la siguiente tabla aparece el número de estudiantes que van a la finca por cada grado

6. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa correctamente el número de estudiantes

que va a la finca por cada grado?


7. De uno de los grados asisten 24 estudiantes a la piscina de la finca, de ellos 4/6 son

niñas y ¼ de las mismas llevan gafas ¿cantas niñas que utilizan gafas hay en el piscina?

A. 6

B. 14

C. 4

D. 8

En el kiosco de la finca venden helados, observa la lista de precios

NÚMERO DE HELADOS

PRECIO EN PESOS

3 1.800

5 3.000

8 4.800

8. Manuel tenía $4.000 e invitó a sus amigos a comer helado; si le sobraron $400,

¿cuántos helados compró Manuel?

A. 1

B. 3

C. 4

D. 6

Es la hora del almuerzo. La siguiente tabla muestra la cantidad de carbohidratos que

contiene una porción de tres de estos alimentos

ALIMENTO CANTIDAD DE CARBOHIDRATOS

POR PORCIÓN

Sopa 52.50 gramos

Arroz 52.60 gramos

Pasta 52.05 gramos


9. Si la comida de cada niño contiene una porción de cada uno de los tres alimentos,

¿cuántos carbohidratos consume cada niño?

A. 109,71 gramos

B. 156,115 gramos

C. 156,61 gramos

D. 157,15 gramos

Jugando en la finca estaban Andrés y Natalia. Andrés tiene una colección de carros

miniatura. Natalia propuso diseñar las placas de estos carritos de acuerdo con las

siguientes reglas:

1. Usar sólo las letras A y B

2. Usar sólo los números 4, 7 y 2

3. Cada placa debe tener una letra y los tres números

4. No puede repetirse un número en una misma placa

5. La letra siempre debe ir primero.

Por ejemplo, la placa para un carro puede ser A 472

10. ¿Cuántas placas distintas pueden diseñar Natalia y Andrés teniendo en cuenta las

reglas establecidas?

A. 5

B. 6

C. 12

D. 15

VOLVIENDO A LA CIUDAD LA MAESTRA ENTRA A UN SUPERMERCADO,

ENCONTRANDOSE CON LA SIGUIENTE SITUACIÓN.

En el supermercado, tienen una báscula electrónica, la cual solo mide los pesos de los

artículos en gramos, por lo tanto aparece sobre esta el siguiente letrero:

APRECIADO CLIENTE TENGA PRESENTE QUE:

3000 gramos equivalen a 6 libras

4000 gramos equivalen a 8 libras


11. la seño Carmen quiere comprar 15 libras de arroz, ¿Cuánto debe marcar la báscula?

A. 7.000 gramos

B. 18.000 gramos

C. 7.500 gramos

D. 14.000 gramos

EN EL AULA DE CLASES

12 .El perímetro de la pieza II es

A. 6 centímetros.

B. 8 centímetros.

C. 10 centímetros.

D. 12 centímetros.

13. La figura que se puede formar usando 3 de las piezas dibujadas en la cuadrícula es:


La profesora Carmen organizó una salida a un parque con juegos. En el parque se

realizó un campeonato de baloncesto, en el que participaron 4 equipos.

14. Un jugador de un equipo por cada 10 lanzamientos encestaba 4. Si en un partido

hizo 25 lanzamientos es posible que haya encestado

A. 6 lanzamientos.

B. 8 lanzamientos.

C. 10 lanzamientos.

D. 14 lanzamientos.

15. Juan lanzó las 5 bolas, 3 de ellas entraron por el hueco Nº 2, una por el Nº 4 y otra

por el Nº 5. El puntaje obtenido por Juan fue

A. 11

B. 12

C. 15

D. 19

16. En el segundo turno, Diana obtuvo 12 puntos que corresponden a los 2/3 de los

puntos que hizo Juan. Diana en el segundo turno obtuvo

A. 4 puntos más que Juan.


B. 6 puntos más que Juan.

C. 4 puntos menos que Juan.

D. 6 puntos menos que Juan.

En la siguiente tabla se muestra el puntaje acumulado por algunos jugadores después de

cuatro turnos.

17. El puntaje acumulado por Laura en los cuatro lanzamientos es 18. Si Laura quiere

que su promedio en los cinco turnos sea de 8 puntos, en el quinto lanzamiento debe

obtener:

A. 5 puntos.

B. 8 puntos.

C. 22 puntos.

D. 26 puntos.


ANEXO Nº 2. Test de conocimientos matemáticos aplicado

TEST DE CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS

Evaluación de habilidades cognitivas en la resolución de problemas matemáticos

en estudiantes de Educación Básica Primaria.

Tesis investigativa en Maestría en Educación SUE Caribe

Nombres:......................................................Apellidos:........................................................... Edad:..................................Institución Educativa:................................................................ Curso:...............Fecha:................................................

Con esta investigación se pretende valorar las dificultades que tienes a la hora de

resolver problemas matemáticos.

La información que recogemos con este instrumento, es de mucha utilidad para el

desarrollo de mi trabajo de grado en la maestría que estoy adelantando, por lo que

te agradezco respondas con la mayor sinceridad posible

A continuación, se presentan cuatro alternativas para que, una vez que hayas realizado

los cálculos oportunos, elijas aquella que expresa el resultado correcto.

Responde las preguntas 1 y 2 de acuerdo con la siguiente información:

1. Un bus transporta estudiantes del colegio a una finca, y recorre 3 Kilómetros en 5

minutos. Se puede asegurar que el bus recorre 4 kilómetros en:


A. Más de 5 minutos y menos de 5 2

1 minutos

B. Más de 5 2

1 minutos y menos de 6 minutos

C. Más de 6 minutos y menos de 6 2

1 minutos

D. Más de 6 2

1 minutos y menos de 7 minutos

2. Si la distancia del colegio a la finca es de 22 Kilómetros, el tiempo empleado por el

bus es de:

A. Menor de 30 minutos

B. Mayor de 30 minutos y menor de 35 minutos

C. Mayor de 35 minutos y menor de 40 minutos

D. Mayor de 40 minutos.

La siguiente información te servirá para responder las preguntas 3 y 4

En la finca hay un estanque para criar peces. La superficie de este estanque es de forma

rectangular y sus lados miden 3 metros de ancho por 4 metros de largo, como lo

muestra el dibujo.

3. El área que ocupa la superficie del estanque es:

A. 7 metros cuadrados.

B. 10 metros cuadrados.

C. 12 metros cuadrados.

D. 14 metros cuadrados.


4. La profundidad del estanque es de 1 metro. Si por cada metro cúbico se pueden criar

10 peces, ¿cuál es el número máximo de peces que se pueden criar?

A. 10

B. 22

C. 70

D. 120

5. En el siguiente mapa, están indicados los caminos que deben seguirse para ir a

algunos lugares de la finca.

Si la longitud del camino que une B con C es 100 metros, entonces la longitud del

camino que une A con B es

A. 100 metros.

B. 250 metros.

C. 300 metros.

D. 500 metros.

6. En el kiosco de la finca venden helados, observa la lista de precios

NÚMERO DE HELADOS

PRECIO EN PESOS

3 1.800

5 3.000 8 4.800


Manuel tenía $4.000 e invitó a sus amigos a comer helado; si le sobraron $400, ¿cuántos

helados compró Manuel?

A. 1

B. 3

C. 4

D. 6

7. Jugando en la finca estaban Andrés y Natalia. Andrés tiene una colección de carros

miniatura. Natalia propuso diseñar las placas de estos carritos de acuerdo con las

siguientes reglas:

1. Usar sólo las letras A y B

2. Usar sólo los números 4, 7 y 2

3. Cada placa debe tener una letra y los tres números

4. No puede repetirse un número en una misma placa

5. La letra siempre debe ir primero.

Por ejemplo, la placa para un carro puede ser A 472

¿Cuántas placas distintas pueden diseñar Natalia y Andrés teniendo en cuenta

simultáneamente las reglas establecidas?

A. 5

B. 6

C. 12

D. 15

8. En el supermercado, tienen una báscula electrónica, la cual solo mide los pesos de los

artículos en gramos, por lo tanto aparece sobre esta el siguiente letrero:

APRECIADO CLIENTE TENGA PRESENTE QUE:

3000 gramos equivalen a 6 libras 4000 gramos equivalen a 8 libras


La seño Carmen quiere comprar 15 libras de arroz, ¿Cuánto debe marcar la báscula?

A. 7.000 gramos

B. 18.000 gramos

C. 7.500 gramos

D. 14.000 gramo

En el colegio de la profesora Carmen se realizó un campeonato de baloncesto, en el cual

participaron 4 equipos.

9. Para iniciar el partido el entrenador del equipo A debe seleccionar 5 jugadores entre 3

niñas y 4 niños. Si el entrenador quiere que todas las niñas jueguen en el inicio del

partido, ¿cuántos equipos distintos se pueden formar?

A. 2

B. 6

C. 7

D. 8

En la siguiente tabla aparece representado el puntaje que obtuvo cada uno de los

equipos en su primer juego

10. El equipo B obtuvo 10 puntos en su primer juego, ¿cuántos puntos obtuvo el equipo

C?

A. 2 puntos.

B. 5 puntos.

C. 10 puntos.

D. 20 puntos

MUY BIEN HAZ FINALIZADO, GRACIAS


A N E X O N º3. SIT U A C IO N P R O B L E M A N º 1

IN ST IT U C IO N E D U C A T IV A N O R M A L SU P E R IO R D E SIN C E L E JO

T A L L E R D E M A T E M A T IC A

N om bre: _____________________________________________________F echa:_______ G rado y grupo: ___________

L a sem ana pasada se te pidió que averiguaras los precios de diferentes artículos para rea lizar un arroz con pollo, e l cual será repartido en

una Fiesta que querem os hacer. E stas son tres de las diferentes listas que se recolectaron.

A R T IC U L O PR E C IO S A R T IC U L O PR E C IO S A R T IC U L O PR E C IO S

1 libra de arroz D iana

1 libra de pechuga

1 libra de zanahoria

1 libra de pim entón

1 kilo de cebolla larga

1 litro de aceite V ivi

1 bolsa de 1000 gram os de

sa lsa de tom ate Fruco

1 la ta (300 gr) de a lverja

$ 1.200

$ 3 .400

$ 800

$ 1.200

$ 3.000

$ 3.700

$ 3.800

$ 1 .700

4 onzas de arroz D iana

8 onzas de pechuga

½ libra de zanahoria

4 onzas de pim entón

1 libra de cebolla larga

½ litro de aceite V ivi



1kilo de a lverja

$ 300

$ 1 .800

$ 300

$ 300

$ 1.000

$ 2.000

$ 500

$ 3 .000

1 libra de arroz D iana

16 onzas de pechuga

1 kilo de zanahoria

1 kilo de pim entón

½ libra de cebolla larga

¼ de litro de aceite V ivi



1 la ta(300gr) de a lverja

$ 1.200

$ 3 .600

$ 1.200

$ 2.400

$ 800

$ 1.200

$ 2.200

$ 1 .800

PR IM E R A T IE N D A SE G U N D A T IE N D A T E R C E R A T IE N D A


T eniendo en cuenta los precios y las cantidades tú debes averiguar cuál es la tienda en donde la com pra sa le m ás bara ta .

D ebes tener en cuenta que una libra equivale a 16 onzas, un kilo equivale a dos libras, 1 libra equivale a 500 gram os (gr).

Por otra parte , con 1 libra de arroz , 1 libra de pechuga, 1 libra de zanahoria , 1 libra d e pim entón, 1 libra de cebolla larga , 1/2 litro de aceite ,

una bolsa de 500 gram os de sa lsa de tom ate y una la ta de a lverja , la cantidad de arroz que sa le a lcanza para diez personas, ¿ C uánto varia la

lista si los que asistirán a la fiesta solo son tus com pañeros y tú? Y si invitas a 5 profesores ¿C uánta cantidad deberás utilizar de cada uno

de los artículos?


ANEXO Nº4. SITUACIÓN PROBLEMA Nº 2

INSTITUCION EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR DE SINCELEJO

TALLER DE MATEMATICA

Nombres:______________________________________________________________

________________________________________________________

Fecha:____________ Grado y grupo: ___________

A TOMAR GASEOSA

En este taller deberás realizar diferentes actividades tales como: recolección de datos,

organización de información, gráficos, operaciones. Todo lo anterior para poder

resolver el problema de cuántos litros de gaseosa debemos comprar para realizar nuestra

fiesta.

Bien ¡Manos a la obra!, para este taller necesitamos tres envases de gaseosas de

diferente tamaño (600 ml, 1.25 litros, 2.5 litros) y diferentes tamaños de vasos (grandes,

medianos y pequeños), además de un balde para tener el agua que se va a envasar.

Bueno, lo primero que debe realizar tu grupo es organizarse, por ejemplo: uno de

ustedes deberá estar con el envase de gaseosa llenando los vasos, mientras el otro anota

los resultados.

Como un primer momento deberán calcular ¿Cuántos vasos de agua, de los diferentes

tamaños, se pueden llenar con el envase de 600ml? Luego, ¿Cuántos vasos de agua, de

los diferentes tamaños, se pueden llenar con el envase de 1.25 litros? Para finalizar con

¿Cuántos vasos de agua, de los diferentes tamaños, se pueden llenar con el envase de

2.5 litros?

Cada uno de los resultados deberá ser anotado, para después ser organizados en una

tabla y en un grafico estadístico.

Realiza una tabla como la siguiente y completa

Vasos pequeños Vasos medianos Vasos grandes

Envase de 600 ml

Envase de 1.25 litros

Envase de 2.5 litros

Luego de haber realizado el procedimiento anterior responderán lo siguiente, ¿Cuántos

litros de gaseosa debemos comprar si se quieren utilizar los vasos medianos? Y los

pequeños y los grandes?


¿Cuántos litros de líquido caben en un vaso pequeño? Y en uno mediano y en uno

grande.

¿Cuántos litros de líquido caben en 5 vasos pequeños? Y en 5 medianos y 5 grandes.


ANEXO Nº 5. SITUACIÓN PROBLEMA Nº 3

INSTITUCION EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR DE SINCELEJO

TALLER DE MATEMATICA

Nombres:______________________________________________________________

________________________________________________________

Fecha: ____________ Grado y grupo: ___________

EMBALDOSEMOS LA CANCHA

En este taller deberán ayudarnos en un proyecto que se quiere realizar en la institución,

y es el de embaldosar la cancha de basquetbol, para esto necesitaras utilizar una cinta

métrica, que te servirá para medir la cancha.

Necesitamos que nos ayuden a encontrar el modelo más adecuado de baldosas para

embaldosar la cancha y que el precio se acomode al presupuesto para comprar estas

baldosas.

Tenemos estas opciones que nos brindan ciertos proveedores:

Primer modelo: baldosa cuadrada, precio por baldosa $ 7.500

50 cm

50 cm

Segundo modelo: Baldosa rectangular, precio por baldosa $ 3.000

20 cm

50 cm

Tercer modelo: Baldosa Triangular, precio por baldosa $ 4.000

50 cm

50 cm


Ahora teniendo en cuenta los diferentes modelos, deberán orientarnos sobre el cuál sería

mejor comprar, para poder orientarnos primero responde: ¿Cuántas baldosas debemos

comprar de cada modelo para embaldosar la cancha de basquetbol? ¿Cuánto nos

gastamos en la compra de las diferentes baldosas? , luego elige la más adecuada,

teniendo en cuenta que según el presupuesto podemos comprar la de un precio medio

(ni la más cara, ni la más barata).

Si queremos utilizar 2 de los diferentes modelos ¿Cuáles escogerías? y porque.

¿Cuántas baldosas de cada uno debemos comprar? y ¿Cuánto nos gastamos en la

compra de las diferentes baldosas?

Gracias por tu orientación.


ANEXO Nº 6. HOJA GUIA PARA RESOLVER PROBLEMAS

Pautas para analizar y para evaluar el resultado y el proceso de resolución de problemas.

1. ENTENDER EL PROBLEMA

Lee el enunciado del problema. Subraya los datos más relevantes ¿Qué te pide el

problema? _________________________________ ¿Qué datos del enunciado son los

más importantes?

¿Qué tienes que encontrar? ________________________________________________

¿Dónde tienes que llegar?

__________________________________________________

¿Qué datos conoces? Anótalos brevemente

________________________________________

______________________________________________________________________

Anota los datos que tienes que encontrar para solucionar el problema

PLANIFICAR UNA ESTRATEGIA PARA RESOLVER EL PROBLEMA.

Teniendo en cuenta lo que te pide el problema y los datos que ya conoces, entonces

responde.

¿Qué se podría calcular con los datos disponibles del problema?

¿Qué datos se necesitarían para poder contestar a la pregunta del problema

¿Cómo se pueden calcular los datos que faltan y son necesarios para operar con ellos

posteriormente y llegar a la solución ¿Qué debes hacer para solucionar el problema?

Explica de manera organizada cómo vas a resolver el problema¿Este plan es suficiente

para obtener todos los datos que tienes que encontrar? ¿Por qué?


2. ORGANIZA LOS DATOS Y EL PLAN DE RESOLUCIÓN EN UN

ORGANIZADOR DE INFORMACIÓN (CUADRO DE DOBLE ENTRADA)

3. RESUELVE EL PROBLEMA

Ejecuta el plan trazado

Separar en la redacción de la solución los pasos del plan. Expresar con una breve frase

lo que se pretende calcular en cada uno de ellos.

Debajo de cada frase explicativa, indicar la operación pertinente y el resultado

magnitudinal obtenido.

Escribir, al final del último paso, la solución como una respuesta completa a la pregunta

del problema.

4. EVALUA EL RESULTADO DEL PROBLEMA

¿Has conseguido encontrar la solución del problema? _____ ¿Por qué? Justifica tu

respuesta explicando los indicadores en que te basas para saber si has conseguido hallar

la solución del problema.

Has un gráfico con los principales datos del problema

¿Has encontrado algún error en la representación de los

datos?______________________

¿Alguna de las partes del problema se podría calcular de alguna otra manera? ¿Cómo?

______________________________________________________________________

_______________________________________________

Repasa los cálculos que has realizado ¿has encontrado algún error?

______________________________________________________________________

_____

¿Qué clase de error encontraste?

___________________________________________________________________

¿Cómo puedes evitar en el futuro cometer este tipo de error?

______________________________________________________________________

___________________________________________________

¡RECUERDA! SIEMPRE DEBES TENER EN CUENTA PREGUNTARTE A

CADA MOMENTO DEL TRABAJO ¿QUÉ TENGO QUE HACER?, ¿LO ESTOY

HACIENDO BIEN? Y ¿LO HICE BIEN? REVISA TODOS LOS PASOS.


A N E X O N º 7. P L A N G E N E R A L D E A R E A

IN ST IT U C IO N E D U C A T IV A N O R M A L SU P E R IO R D E SIN C E L E JO

N U C L E O IN T E R D ISC IP L IN A R D E C IE N C IA Y T E C N O L O G IA

A R E A D E M A T E M A T IC A G R A D O S 4° Y 5° A Ñ O 2009

N IV E L : B ásica Prim aria JO R N A D A S: M atinal y V espertina G R U PO S: A , B , C , D , E , F

IN T E N SID A D H O R A R IA : 5 H O R A S SE M A N A L E S

D O C E N T E S R E SP O N SA B L E S : C ecilia A fanador de M ercado, L uzm ila M artínez M onterroza , E m ilia R om ero, M artha C astro J.

P R O P O SIT O S:

Q ue los estudiantes:

a). A dquieran los e lem entos fundam enta les re lac ionados con la conceptualizació n de los sistem as num éricos, haciendo uso de los núm eros

en d iferentes situaciones y en e l uso de sus operaciones, re lac iones, propiedades y características para solucionar la s ituación problem a.

b). E nfaticen los aspectos re lac ionados con m edida , m étrica m ovim iento y espacio. U so y aplicación de la m edida en diferentes contextos;

el uso de las com paraciones y estim aciones con patrones de m edida ” arbitrarios” y convencionales; e l uso de las propiedades y re lac iones

de las figuras geom étricas básic as; y las características y propiedades de procesos de transform ación y m ovim ientos, en e l plano y en e l

espacio.

c ). Involucren los e lem entos re lac ionados con situaciones que propic ian e l análisis de fenóm enos de cam bio . Interpre tac ión y uso de las

variables involucradas en la situación, con sus re lac iones de dependencia y con las diferentes form as de representación que l e son propias

(verbal, tabular, gráfica , sim bólica , icónica) enfa tizando cada una de e llas, en un aspecto particular de la variac ió n.


d). Se re lac ionen con e l análisis de datos basados en las características de sus distribuciones, en los estadísticos básicos (frecuencia ,

prom edios, m oda entre otros) y en las form as de representación propias.

M E T A S D E C O M P R E N SIO N

A l fina lizar e l conjunto de grados de 4° y 5° , e l a lum no debe utilizar los diferentes textos inform ativos para explicar de m anera lógica y

c lara la solución de problem as m atem áticos cotidianos y com plejos. A poyándose en su solución, con evidencias tanto escritas com o ora les.

N IV E L E S D E L O G R O

N IV E L B :R esolución de problem as cotidianos. Se proponen problem as rutinarios. Problem as concre tos de un solo tópico en los que

aparece toda la inform ación necesaria para su solución y, adem ás se sugiere la estra tegia a seguir . E xige una sola operación para su

solución.

N IV E L C : R esolución de problem as sim ples. Se proponen problem as no rutinarios sim ples. Problem as hipoté ticos que exigen la

reorganización de los datos y e l diseño de una estra tegia para resolverlos en a lgunos de estos dom inios: aritm ética , geom etría o estadística .

E xige dos operaciones para su solución.

N IV E L D : R esolución de problem as no rutinarios com plejos. L os datos del enunciado no perm iten por sí m ism o encontrar e l

desarrollo de su solución. N o insinúa estra tegia a seguir, e l estudiante la genera identificando los m odelos de solución, m ediante la

exploración de patrones y la argum entación .M anejo de dos variables.


IN ST IT U C IO N E D U C A T IV A N O R M A L SU PE R IO R D E SIN C E L E JO

E ST A N D A R E S D E C O M P E T E N C IA S E N M A T E M A T IC A S

G R U P O S D E G R A D O S: 4º y 5º

P E N SA M IE N T O

N U M É R IC O Y

SIST E M A S

N U M E R IC O S

P E N SA M IE N T O

E SP A C IA L Y

SIST E M A S

G E O M E T R IC O S

P E N SA M IE N T O

M E T R IC O Y

SIST E M A S D E

M E D ID A S

P E N SA M IE N T O

A L E A T O R IO Y

SIST E M A S D E

D A T O S

P E N SA M IE N T O

V A R IA C IO N A L Y

SIST E M A S

A L G E B R A IC O S Y

A N A L IT IC O S

1. Interpre to las

fracciones en diferentes

contextos: situaciones de

m edic ión, re lac iones

parte todo, cociente ,

razones y proporciones.

2 . Identifico y uso

m edidas re la tivas en

diferentes contextos.

3 . U tilizo la notación

1. C om paro y c lasifico

obje tos tridim ensionales

de acuerdo con

com ponentes (caras,

lados,) y propiedades

2. C om paro y c lasifico

figuras bidim ensionales

de acuerdo con sus

com ponentes (ángulos,

vértices) y características.

1 . D iferencio y ordeno,

en obje tos y eventos,

propiedades o a tributos

que se puedan m edir

(longitudes, distancias,

á reas de superfic ies,

volúm enes de cuerpos

sólidos, volúm enes de

líquidos, y capacidades

de rec ipientes; pesos y

m asa de cuerpos sólidos;

duración de eventos o

1. R epresento datos

usando tablas y gráficas

(pic togram as, gráfic as de

barras, diagram as de

líneas, diagram as

c irculares).

2. C om paro diferentes

representaciones del

m ism o conjunto de datos.

3. Interpre to inform ación

1. D escribo e interpre to

variac iones

representadas en gráficos

2. Predigo patrones de

variac ión en una

secuencia num érica ,

geom étrica o gráfica .

3. R epresento y re lac iono

patrones num éricos con

tablas y reglas verbales.


decim al para expre sar

fracciones en diferentes

contextos y re lac iono

estas dos notaciones con

la de porcenta je .

4 . Justifico e l va lor de

posic ión en e l sistem a de

num eración decim al en

re lac ión con e l conteo

recurrente de unidades

5 . R esuelvo y form ulo

problem as cuya estra tegia

de solución requiera de

las re lac iones y

propiedades de los

núm eros natura les y sus

operaciones.


problem as en situaciones

3 . Identifico, represento y

utilizo ángulos en giros,

aberturas, inc linaciones,

figuras, puntas y esquinas

en situaciones está ticas y

dinám icas.

4 . U tilizo sistem as de

coordenadas para

especificar localizacion es

y describir re lac iones

espacia les.

5. Identifico y justifico

re lac iones de congruencia

y sem ejanza entre figuras.

6. C onstruyo y

descom pongo figuras y

sólidos a partir de

condic iones dadas.

procesos; am plitud de

ángulos).

2. Selecciono unidades,

tanto convencionales

com o estandarizadas,

apropiadas para

diferentes m edic iones.

3 . U tilizo y justifico e l

uso de la estim ación para

resolver problem as

re la tivos a la vida socia l,

económ ica y de las

c iencias, utilizando

rangos de variac ión.

4. U tilizo diferentes

procedim ientos de

presentada en tablas y

gráficas (pic togram as,

gráficas de barras,

diagram as de líneas,

diagram as c ircu lares).

4 . C onje turo y pongo a

prueba predicciones

acerca de la posibilidad

de ocurrencia de eventos.

5 . D escribo la m anera

com o parecen distribuirse

los distintos datos de un

conjunto de e llos y la

com paro con la m anera

com o se distribuyen en

otros conjuntos de datos.

4 . A nalizo y explico

re lac iones de

dependencia entre

cantidades que varían en

e l tiem po con c ierta

regularidad en situaciones

económ icas, socia les y de

las c iencias natura les.

5. C onstruyo igualdades

y desigualdades

num éricas com o

representación de

re lac iones entre distintos

datos.


aditivas de com posic ión,

transform ación,

com paración e

igualación.


problem as en situaciones

de proporcionalidad

direc ta , inversa , y

producto de m edidas.

8 . Identifico la

potenciación y la

radicación en contextos

m atem áticos y no

m atem áticos.

9 . M odelo situaciones de

dependencia m ediante la

proporcionalidad direc ta

e inversa

7. C onje turo y verifico

los resultados de aplicar

transform aciones a

figuras en e l plano para

construir diseños.

8 . C onstruyo obje tos

tridim ensionales a partir

de representaciones

bidim ensionales

y puedo rea lizar e l proceso

contrario en contextos de

arte , diseño y arquitec tura .

cálculo para hallar e l á rea

de la superfic ie exterior y

e l volum en de a lgunos

cuerpos sólidos.

5. Justifico re lac iones de

dependencia del área y

volum en, respecto a las

dim ensiones de figuras y

sólidos

6. R econozco e l uso de

a lgunas m agnitudes

(longitud, área , volum en,

capacidad, peso y m asa ,

duración, rapidez ,

tem peratura) y de a lgunas

de las unidades que se

6. U so e interpre to la

m edia (o prom edio) y la

m ediana y com paro lo

que indican.


problem as a partir de un

conjunto de datos

provenientes de

observaciones, consultas

o experim entos.


10 . U so diversa

estra tegias de cá lculo y

de estim ación para

resolver problem as en

situaciones aditivas y

m ultiplica tivas

11. Identifico en e l

contexto de una situación,

la necesidad de un

cá lculo exacto o

aproxim ado y lo

razonable de los

resultados obtenidos.

12. Justifico

regularidades y

propiedades de los

núm eros y sus re lac iones.

usan para m edir

cantidades de la m agnitud

respectiva en situaciones

aditivas y m ultiplica tivas.

7 . D escribo y argum ento

re lac iones entre e l

perím etro y e l área de

figuras diferentes, cuando

se fija una de estas

m edidas.


C O M PETEN C IA S

N IV ELES D E LO G R O

G EN ER A LES

LA BO R A LES

C IU D A D A N A S

N IV EL B

N IV EL C

N IV EL D

IN TERPRETA TIV A

Identificar los

conceptos básicos

asoc iados con e l

concepto de núm ero ,

las estruc turas

a ritm éticas, la

num erac ión y e l

cá lcu lo , In te rpre ta r

d iversos m odelos en

té rm inos

m atem áticos,

geom étricos, de

m edidas, de variac ión

y de da tos.

A RG U M EN TA TIV A

IN TELECTU A LES

CREA TIV ID A D :

Identifico Las

necesidades de

cam bio de una

situac ión dada y

estab lezco nuevas

ru tas de acc ión que

conduzcan a la

so luc ión de un

problem a.

SO LU CIÓ N D E

PRO BLEM A S

Identifico p roble m as

en una situac ión dada ,

ana lizo form as para

superarlos e

CO N V IV EN CIA Y PA Z;

Contribuyo de m anera

construc tiva , a la

convivenc ia en m i

m edio escola r y en

m i com unidad .

PA RTICIPA CIÓ N Y

RESPO N SA BILID A D

D EM O CRÁ TICA ,

Identifico y rechazo las

situac iones en las que

se vulneran los

derechos

fundam enta les y

u tilizo form as y

Establec im iento de

re lac iones d irectas

en problem as

rutinar ios.

Problem as

ru tinarios

concre tos y

genera lm ente

conocidos por e l

estudian te .

D atos espec íficos

D atos organizados

y listos para se r

u tilizados.


re lac iones d irectas en

problem as no

rutinar ios o sim ples.

Problem as no

ru tinarios sim ples

Presentac ión de los

da tos en form a

d istin ta a la requerida

para so luc ionar e l

p roblem a.

Problem as p lan teados

en situac iones

h ipoté ticas de l tipo

“si sucede x , pasaría

que “…


re lac iones form ales no

directas en problem as no

rutinar ios com plejos.

Problem as no ru tinarios

com ple jos.

Los da tos no están

organizados, se

requieren o tros pasos

para su reso luc ión .

Problem as p lan teados

en form a h ipoté tica o

no ru tinaria para e l

estudian te .


A rgum enta r

y justificar e l porqué

de los m odelos

m atem áticos a

u tiliza r en la

reso luc ión de

problem as prác ticos y

teóricos, u tilizando

lenguaje y

sim bología

apropiados para las

representac iones que

requiera .

PRO PO SITIV A

Proponer y

p lan tearproblem as

prác ticos y teóricos

m ediante su

form ulac ión

m atem ática ; sim ular

im plem ento la

a lte rna tiva m ás

adecuada .

IN TERPERSO N A LES

CO M U N ICA CIÓ N

escucho e in te rpre to

las ideas de o tros en

una situac ión dada y

susten to los posib les

desacuerdos con

a rgum entos propios.

TRA BA JO EN

EQ U IPO S

A porto m is

conocim ientos y

capac idades a l p roceso

de conform ación de un

equipo de traba jo y

contribuyo a l

desarro llo

m ecanism os de

partic ipac ión

dem ocrá tica en m i

m edio escola r.

PLU RA LID A D ,

ID EN TID A D Y

V A LO RA CIÓ N D E LA S

D IFEREN CIA S.

Identifico y rechazo las

d iversas form as de

d isc rim inac ión en m i

m edio escola r y en m i

com unidad , y ana lizo

c ríticam ente las

razones que pueden

favorecer estas

d isc rim inac iones.

Seguir

instrucc iones

explíc itas.

Reconocer hechos

Reconocer e l tipo

de operac iones

que se p lan tea :

Establecer una

re lac ión y

desarro lla r una

estra teg ia de la

a ritm ética ,

geom etría o

estad ística para

reso lverlo .

M anejar

presentac iones de

da tos en e l enunciado

de m anera no

rec tilínea .

Reorganizar los da tos

convenientem ente

Establecer re lac iones

y c rear estra teg ias de

so luc ión .

Su reso luc ión im plica

la com binac ión de

estra teg ias de los

d ife ren tes dom inios de

la m atem ática com o

son a ritm ética y

geom etría , a ritm ética y

estad ística .


y

estruc turar a partir de

da tos in tu itivos y

em píricos, partiendo

de las bases

m atem áticas que ha

adquirido .

de las acc iones

orien tadas a a lcanzar

los obje tivos prev istos.

TECN O LO G ICA S

Selecc iono y u tilizo

herram ientas

tecnológicas en la

so luc ión de problem as

y e laboro m odelos

tecnológicos ten iendo

en cuenta los

com ponentes com o

parte de un sistem a

func iona l.


E ST R A T E G IA S

E V A L U A C IO N

E N SE Ñ A N Z A

A P R E N D IZ A JE

R esolución de problem as

A prendizaje colaborativo

O rganizador previo

E nunciación de obje tivos

Presaberes

Ilustrac iones

T écnica de la pregunta

R esúm enes finales

Selección

O rganización

E laboración de la

inform ación

R ecuperación

E laboración de

inferencias

R esúm enes

A nalogías

E laboración conceptual

Se tienen en cuenta los siguientes criterios.

M anejo del conocim iento conceptual ( C om petencia interpre ta tiva =

com prensión de textos m atem áticos),

Solución de la situación problem a (com petencia propositiva = plane ar

a lternativas) y propiedad en la com unicación m atem ática (com petencia

interpre ta tiva y argum enta tiva = igual explicación de ideas que le dan

sentido a l texto.

IN T E R PR E T A T IV A

Para identificar los conceptos básicos asociados a la com petencia

interpre ta tiva se harán preguntas que conduzcan a l estudiante a buscar e l

significado a los obje tos m atem áticos, re lac iones, propiedades,

operaciones, en los dom inios num érico, geom étrico, m étrico, estadístico,

y variac ional. C on preguntas que indaguen por e l ¿qué?

A R G U M E N T A T IV A

Se indaga por e l ¿por qué? , los estudiantes establecen re lac iones

conceptuales y adem ás de reconocer, describir, e interpre tar los conceptos


R eflexión y análisis

M apas conceptuales

deberán aplicarlos a una situación planteada y reflexionar sobre sus

re lac iones internas.

PR O PO SIT IV A

Se evalúa a través de preguntas que den razón del ¿C óm o? y ¿ para qué?

E l estudiante deberá reconocer y contextualizar la situación

problem ática , identificando com ponentes e interre lac iones, establece las

estra tegias de solución y fundam en ta o justifica lo rea lizado.


IN ST IT U C IÓ N E D U C A T IV A N O R M A L SU P E R IO R D E SIN C E L E JO

E ST R U C T U R A D E L O S E ST A N D A R E S B A SIC O S D E C O M P E T E N C IA S E N M A T E M A T IC A

P L A N G E N E R A L D E A R E A ----- C O N T E N ID O S / C O N O C IM IE N T O S

P E N SA M IE N T O N U M E R IC O Y SIST E M A S N U M E R IC O S

C O N T E N ID O S D E C L A R A T IV O S

C O N T E N ID O S

P R O C E D IM E N T A L E S

C O N T E N ID O S A C T IT U D IN A L E S

G R A D O 4ª

G R A D O 5º

SIST E M A D E

N U M E R A C IÓ N

D E C IM A L

V alor posic ional

L ectura y escritura de

núm eros con c inco,

se is y m ás c ifras

C om paración entre

cantidades de c inco,

se is y m ás c ifras.

L os núm eros en la

SIST E M A D E

N U M E R A C IÓ N D E C IM A L

V alor posic ional

L ectura y escritura de

núm eros hasta trillones

C om paración entre

cantidades de ocho y m ás

c ifras.

L os núm eros en la rec ta

num érica

Sistem as de num eración:

Interpre tac ión del valor de un

núm ero

L ectura y escritura de cantidades

R epresentación de un núm ero en la

rec ta num érica

C om paración de núm eros y

establecer re lac iones de orden.

V aloración de la lec tura y escritura correcta

de un núm ero de m ás de se is c ifras.

Im portancia del valor posic ional de las

c ifras en un num eral.

V aloración de las operaciones con núm eros

natura les, com o m étodo para resolver

situaciones de la vida cotidiana o de otras

c iencias del conocim iento.


rec ta num érica

Sistem as de

num eración: egipcio,

m aya, rom ano,

griego

L O S N U M E R O S

N A T U R A L E S

C onjunto de los

núm eros

natura les

O rden en los

núm eros

natura les

O P E R A C IO N E S

E N T R E N A T U R A L E S

A dición y sustracción

de natura les

Propiedades de

la adic ión

egipcio, m aya, rom ano,

griego

L O S N U M E R O S

N A T U R A L E S

C onjunto de los

núm eros natura les

O rden en los núm eros

natura les

O P E R A C IO N E S E N T R E

N A T U R A L E S

A dición y sustracción de

natura les

Propiedades de la

adic ión

M ultiplicación de núm eros

natura les

Propiedades de la

O btención de la sum a, la diferencia ,

e l producto y e l cociente de

núm eros natura les.

A plicación conceptual en la

resolución de problem as cotidianos

Identificación de los m últiplos y

divisores de un núm ero

Identificación de los criterios de

divisibilidad y c lasificación de los

núm eros de acuerdo con los

m ism os.

D escom posic ión de núm eros en

fac tores prim os.

C álculo del m ínim o com ún m últiplo

V aloración del m ínim o com ún m últiplo y

del m áxim o com ún divisor, para resolver

situaciones de la vida c otidiana .

G usto por e l rigor y e l orden en la

presentación y la com unicación de

resultados.

A ceptación, de buen grado, de las

opiniones a jenas, va lorándolas críticam ente


M ultiplicación

de núm eros natura les

Propiedades de

la m ultiplicación

D ivisión de

núm eros

natura les

Jerarquía de las

operaciones

Situaciones

problem as

Problem as en

situaciones aditivas:

D e com posic ión,

transform ación,

com paración e

igualación

.

T E O R ÍA D E

m ultiplicación

D ivisión de núm eros

natura les

Jerarquía de las

operaciones

Situaciones problem as

Problem as en

situaciones aditivas:

D e com posic ión, transform ación,

com paración e igualación.

T E O R ÍA D E N Ú M E R O S

M últiplos y D ivisores .

C riterios de divisibilidad

N úm eros prim os y núm eros

com puestos

y e l m áxim o com ún divisor.

C álculo de la potencia , la ra íz y e l

logaritm o de núm eros natura les.

D escripción e interpre tac ión de

situaciones cotidianas donde sea

necesario e l uso de las fracciones

Identificación y representación de

las fracciones en contextos

m atem áticos.

A plicación del criterio de

equivalencia de fracciones.

O btención de fracciones

equivalentes y de la fracción

irreducible .

C om paración de fracciones.

R econocim iento de la pre4sencia de las

fracciones en la vida rea l, com o indicador

de parte de un tota l

V aloración de las fracciones com o uniform a

d expresión de cantidades

C om prensión de la utilidad del cá lculo con

fracciones, para resolver situaciones del

entorno cotidiano

C om prensión de la necesidad de existencia

de c ifras m enores que la unidad.

A precio de la utilidad de las operaciones

con núm eros decim ales para resolver

situaciones rea les .


N Ú M E R O S

M últiplos y

D ivisores.

C riterios de

divisibilidad

N úm eros prim os y

núm eros com puestos

D escom posic ión

en fac tores

prim os

M ínim o C om ún

M últiplo

M áxim o C om ún

D ivisor

Problem as donde

se utilice e l m .c .m . y

m .c .d.

L A S F R A C C IO N E S

L as fracciones en

diferentes contextos:

D escom posic ión en

fac tores prim os

M ínim o C om ún

M últiplo

M áxim o C om ún D ivisor

L a potenciación

L a radicación

L A S F R A C C IO N E S

L as fracciones en diferentes

contextos:

C oncepto de fracción.

Significado

C lases de fracciones

Fracción de un núm ero

Fracciones equivalentes

A m plificación y

sim plificación

C om paración de fracciones

N úm eros m ixtos.

A dic ión y sustracción de fracciones.

C álculo de la fracción de una

cantidad.

M ultiplicación y división de

fracciones.

A plicación de las operaciones de

fracciones: adic ión, sustracción,

m ultiplicación y división en

situaciones problem as.

Identificación de fracciones

decim ales en diferentes contextos.

L ectura y escritura de núm eros

decim ales en los diversos órdenes

E stablecim iento de re lac iones de

orden con los decim ales

V aloración de la existencia de los núm eros

decim ales para la determ inación de un

ganador en una prueba deportiva .

V aloración del aporte de las m atem áticas a

las c iencias natura les.

V aloración del apoyo de las m atem áticas a

las c iencias socia les, en e l estudio de

fenóm enos socia les.

A ceptación del hecho de que a l m odificar

un aspecto de la rea lidad se pueden

m odificar otros.

R econocim iento de la presencia de


C oncepto de fracción.

Significado

T érm inos de la

fracción

C lases de fracciones

Fracción com o parte

de un todo

L a fracción com o parte

de un núm ero

Fracciones

equivalentes

A m plificación y

sim plificación

C om paración de

fracciones

N úm eros m ixtos

O P E R A C IO N E S C O N

F R A C C IO N E S


de fracciones


F R A C C IO N E S


fracciones hom ogéneas y

heterogéneas

L a fracción com o operador

M ultiplicación de fracciones

D ivisión de fracciones

Solución de p roblem as

L O S N U M E R O S

D E C IM A L E S

Fracciones decim ales

N úm eros decim ales

C om paración y ordenam iento

de decim ales

A proxim ación y redondeo de

núm eros decim ales.

R epresentación de decim ales en la

rec ta num érica

A proxim ación de núm eros

decim ales

C álculo de sum as, diferencias,

productos y

C ocientes con núm eros decim ales.

C álculo de un térm ino en una

m agnitudes direc ta e inversam ente

proporcionales en la vida diaria

G usto por la com prensión y e l cá lculo de

porcenta jes, com o m odo de re lac ión y

com unicación con e l entorno.


hom ogéneas

M ultiplicación de

fracciones

Solución de problem as

L O S N U M E R O S

D E C IM A L E S

Fracciones

decim ales

N úm eros

decim ales: décim as,

centésim as y m ilésim as

C om paración y

ordenam iento de

decim ales


de núm eros decim ales

M ultiplicación de

decim ales


N U M E R O S D E C IM A L E S


núm eros decim ales

M ultiplicación de núm eros

decim ales

D ivisión de núm eros

decim ales

Problem as de aplicación

R elación entre núm eros

fraccionarios, decim ales y

porcenta je .

R A Z O N E S Y

P R O P O R C IO N E S

R azón

Proporciones

Propiedad fundam enta l de las

proporciones

proporción

Identificación y cá lculo de

m agnitudes proporcionales

L ectura y escritura de porcenta jes

D eterm inación y aplicación de

escalas.


M ultiplicación

abreviada por 10,100,y

100o

Problem as de

aplicación

M agnitudes direc tam ente

poporcionales

M agnitudes inversam ente

proporcionales

Porcenta je

E scalas.


P E N SA M IE N T O E SP A C IA L Y SIST E M A S G E O M É T R IC O S

C O N T E N ID O S D E C L A R A T IV O S C O N T E N ID O S


C O N T E N ID O S

A C T IT U D IN A L E S

G R A D O 4° G R A D O 5° T razado de para le las y perpendiculares

Identificación, m edic ión y c lasificación

de ángulos

Identificación, c lasificación y

construcción de polígonos.

L ocalización de un punto por sus

coordenadas

T raslac ión, rotac ión y reflexión de

figuras.

C onstrucción de m osaicos


e lem entos geom étricos en e l entorno

cotidiano.

G usto por la experim entación, la

observación y e l trazo lim pio de

polígonos.

A ceptación del giro, la traslac ión y

la reflexión com o form as de

m ovim ientos que no deform an las

figuras.


poliedros y de cuerpos redondos en

e l arte y en e l entorno.

R ecta , sem irrecta y

segm ento

R ectas para le las y

perpendiculares

Á ngulos

C lasificación de los

ángulos

Polígonos

T riángulos

C uadrilá teros

Perím etro

R ectas para le las y

perpendiculares

Á ngulos

C onstrucciones con regla

y com pás

Polígonos regulares

R epresentación de puntos en

e l plano.

M ovim ientos en e l plano


A rea de figuras planas

C írculo y c ircunferencia –

e lem entos

A rea y perím etro de la

c ircunferencia

Á rea de figuras planas

Prism as, pirám ides y

poliedros regulares.

C uerpos redondos

Sem ejanza y congruencia de

figuras

C álculo de la superfic ie de figuras

planas y de polígonos regulares

C onstrucción de prism as, pirám ides,

conos y c ilindros, a partir de sus

desarrollos

Identificación y representación de figuras

congruentes y sem ejantes una dada.

V aloración de la precisión y de la

lim pieza en e l proceso de

e laboración de construcciones


P E N SA M IE N T O M E T R IC O Y SIST E M A D E M E D ID A S



C O N T E N ID O S


G R A D O 4° G R A D O 5° R esolución de e jerc ic ios con unidades

de m edida de la vida cotidiana .

C onversión entre las unidades de longitud

y de superfic ie .

C álculo de la superfic ie de figuras planas

y de polígonos regulares.

U so de la unidad de m edida m ás

adecuada para la m edic ión y expresión

del volum en de un cuerpo.

U so de la unidad de m edida m ás

adecuada para la m edic ión y expresión de

la capacidad de un rec ipiente y la

V aloración del uso de las

m agnitudes y sus unidades, com o

m edio de expresión y de control de

la rea lidad.




la rea lidad.



M agnitudes y

unidades

U nidades de longitud

T ransform ación de

unidades

U nidades de Á rea .

M edidas de superfic ie

T ransform aciones

Introducción a las

unidades de volum en.

U nidades de m edidas

U nidades de superfic ie

Perím etro y área de figuras

planas

R elaciones entre e l

perím etro y e l área

U nidades de volum en y

de m asa

L a estim ación en la solución

de problem as


M edidas de capacidad

U nidades de peso

Á reas y volúm enes de

a lgunos sólidos.

U nidades de de capacidad y

de tiem po

C onversiones de unidades

de capacidad y de tiem po

duración de un evento

C onversión entre las unidades de

capacidad y tiem po.


la rea lidad.



C O N T E N ID O S


G R A D O 4° G R A D O 5°

O rganización de datos en tablas de

frecuencia

R epresentación e interpre tac ión de datos

en gráfica de barras y de líneas.

D eterm inación de la m edia , la m ediana y

la m oda de un sistem a de datos.


presentación y com unicación de

resultados

V aloración de las diversas form as

de de representación de datos,

com o instrum entos de ayuda para

m ejorar la com prensión de la

T ablas de datos y gráficas

Frecuencia , m edia m ediana

A zar y probabilidad

E ventos posibles e

T ablas de frecuencias

G rafica de barras y de

líneas

M oda, m ediana y m edia


im posibles

A rreglos

Probabilidad de un

evento

G ráficas c irculares

C álculo de la probabilidad de un suceso.

R epresentación de un sistem a de datos en

gráficas c irculares.

rea lidad.

R econocim iento de la utilidad de

la m oda com o dato representa tivo

de una m uestra .

R econocim iento de la presencia

del azar en la vida cotidiana .

V aloración de las diversas form as

de representación de datos, com o

instrum entos de ayuda para

m ejorar la com prensión de la

rea lidad.


P E N SA M IE N T O A L E A T O R IO Y SIST E M A D E D A T O S

P E N SA M IE N T O V A R IA C IO N A L Y SIST E M A S A L G E B R A IC O S Y A N A L IT IC O S

C O N T E N ID O S D E C L A R A T IV O S

C O N T E N ID O S


C O N T E N ID O S


G R A D O 4°

G R A D O 5°

Planteam iento y solución de ecuaciones.

E laboración de gráficas en las que se

representa e l cam bio.

Identificación del patrón de cam bio

E scritura y solución de inecuaciones

asociadas a situaciones cotidianas.


presentación y la com unicación de

resultados.

V aloración del trabajo

interdisc iplinario que se da entre las

m atem áticas y la inform ática

Secuencias. Patrones de

variac iones

Patrones num éricos y

geom étricos.

Patrón de cam bio

R epr4esentación gráfica del

cam bio. V ariac iones

Igualdades y desigualdades

num éricas

L as inecuaciones y su

solución.

Solución de ecuaciones

Patrones num éricos y

geom étricos.

Patrón de cam bio

R epresentación gráfica del

cam bio. V ariac iones

Igualdades y desigualdades

num éricas

L as inecuaciones y su

solución.


D E SA R R O L L O D E L O S E ST A N D A R E S M A T E M A T IC O S P O R P E R IO D O 2009

PE R IO

D O

PE N SA M IE N T O

N U M E R IC O

PE N SA M IE N T O

E SPA C IA L

PE N SA M IE N T O

M E T R IC O

PE N SA M IE N T O

A L E A T O R IO

PE N SA M IE N T O

V A R IA C IO N A L

L O G R O S

1°

C oncepto de

núm ero

1, 2 , 4

E structuras

aritm éticas

6 ,

R elaciones intra

e

interfigura les

1 , 2

T ransform aciones

3

C oncepto de

m agnitud

1 ,

Sistem a de

m edidas

2

O rganización de

datos

1 , 2

Patrones y

regularidades

1

C om prender e l concepto de núm ero

y de las operaciones fundam enta les

a partir de la necesidad y funciones

de la m edic ión en diferentes

contextos y su aplicación en la vida

cotidiana .

2°

N um eración y

cá lculo

5

E structuras

aritm éticas

10, 8

R elaciones intra

e interfigura les

5

R elaciones

m étricas

4

Sistem as de

m edidas

3

C oncepto de

m agnitud

6,

M edidas de

posic ión y

variabilidad

3, 6

Patrones y

regularidades

2

Procesos

a lgebra icos

5

C om prender que los problem as

m atem áticos parten de situaciones

de la vida rea l y su solución

depende del dom inio de las

operaciones y e l em pleo de

estra tegias cognitivas y

m etacognitivas.

N um eración y

T ransform aciones

C álculo

M edidas de

A nalizar y explicar las re lac iones


3°

cálculo

3 , 12

7

7

Sistem as de

m edidas 4 ,

5

posic ión y

variabilidad

5

Funciones

3

entre las propiedades y operaciones

del sistem a de num eración decim al

para expresar fracciones y

decim ales, su variac ión en los

diferentes contextos num éricos,

geom étricos y de m edidas y su

representación gráfica .

4°

E structuras

aritm ética

7 , 9

N um eración y

cá lculo

11

R elaciones intra e

Interfigura les

6, 8

Sistem as de

m edidas

3

Probabilidad e

inferencia

4 , 7

Procesos

a lgebra icos

4

Justificar las re lac iones de

dependencia del área y del volum en,

aplicarla a la construcción de sólidos

y re lac ionarla con situaciones de

proporcionalidad, conje turando

sobre la probabilidad e inferencia de

eventos.


A C T IV ID A D E S P R O Y E C T O S

T R A N SV E R SA L E S Y D E

A R E A

C O M N P E T E N C IA S

G E N E R A L E S L A B O R A L E S C IU D A D A N A S

D iagnóstico genera l

R epaso genera l de

tem as pre -requisitos

T aller genera l

Im plem entación de m onitores

C oncurso del repaso

Salida a l tablero

E valuación de tem as pre -

requisitos

E xplicación del procedim iento

de las operaciones en la

PR O Y E C T O D E

E D U C A C IÓ N PA R A L A

SE X U A L ID A D

PR O Y E C T O D E

E D U C A C IÓ N

A M B IE N T A L

PR O Y E C T O D E

E D U C A C IÓ N PA L A

JU ST IC IA , L A PA Z , L A

D E M O C R A C IA , L A

SO L ID A R ID A D , L A

C O N FR A T E R N ID A D , L A

U R B A N ID A D , E L

C O O PE R A T IV ISM O Y E N

G E N E R A L L O S V A L O R E S

IN T E R PR E T A T IV A

Identificar los

conceptos básicos

asociados con e l

concepto de núm ero,

las estructuras

aritm éticas, la

num eración y e l

cá lculo, Interpre tar

diversos m odelos en

térm inos m atem áticos,

geom étricos, de

m edidas, de variac ión y

de datos.

A R G U M E N T A T IV A

IN T E L E C T U A L E S

C R E A T IV ID A D :

Identifico L as

necesidades de

cam bio de una

situación dada y

establezco nuevas

rutas de acción que

conduzcan a la

solución de un

problem a.

SO L U C IÓ N D E

PR O B L E M A S

Identifico problem as

en una situación dada,

analizo form as para

C O N V IV E N C IA Y

PA Z ;

C ontribuyo de

m anera

constructiva , a la

convivencia en m i

m edio escolar y

en m i com unidad.

PA R T IC IPA C IÓ N Y

R E SPO N SA B IL ID A D

D E M O C R Á T IC A ,

Identifico y rechazo

las situaciones en

las que se vulneran

los derechos


solución de problem as

aritm éticos

T aller sobre contenidos

m atem áticos.

E valuación de los tem as

Plan tutoria l

Salida a l tablero

H U M A N O S

PR O Y E C T O D E

U T IL IZ A C IÓ N D E L

T IE M PO L IB R E , L A

R E C R E A C IÓ N Y E L

D E PO R T E

PR O Y E C R O

T R A N SV E R SA L

IN ST IT U C IO N A L

R E C U R SO T E C A

PR O Y E C T O D E

PE Q U E Ñ O S C IE N T ÍFIC O S

PR O Y E C T O PA R A L A

PR IM E R A IN FA N C IA

A rgum enta r

y justificar e l porqué

de los m odelos

m atem áticos a utilizar

en la resolución de

problem as prácticos y

teóricos, utilizando

lenguaje y sim bología

apropiados para las

representaciones que

requiera .

PR O PO SIT IV A

P roponer y

plantearproblem as

prácticos y teóricos

m ediante su

form ulación

m atem ática ; sim ular y

estructurar a partir de

datos intuitivos y

superarlos e

im plem ento la

a lternativa m ás

adecuada.

IN T E R PE R SO N A L E S

C O M U N IC A C IÓ N

escucho e interpre to

las ideas de otros en

una situación dada y

sustento los posibles

desacuerdos con

argum entos propios.

T R A B A JO E N

E Q U IPO S

A porto m is

conocim ientos y

capacidades a l proceso

de conform ación de un

equipo de trabajo y

fundam enta les y

utilizo form as y

m ecanism os de

partic ipación

dem ocrática en m i

m edio escolar.

PL U R A L ID A D ,

ID E N T ID A D Y

V A L O R A C IÓ N D E

L A S D IFE R E N C IA S.

Identifico y rechazo

las diversas form as

de discrim inación

en m i m edio escolar

y en m i com unidad,

y analizo

críticam ente las

razones que pueden

favorecer estas

discrim inaciones.


PR O Y E C T O A .M .C .

((A C O M PA Ñ A M IE N T O

M E T O D O L O G IC O

C O N JU N T O )

em píricos, partiendo de

las bases m atem áticas

que ha adquirido .

contribuyo a l

desarrollo de las

acciones orientadas a

a lcanzar los obje tivos

previstos.

T E C N O L O G IC A S

Selecciono y utilizo

herram ientas

tecnológicas en la

solución de problem as

y e laboro m odelos

tecnológicos teniendo

en cuenta los

com ponentes com o

parte de un sistem a

funcional

Estrategias metacognitivas en la resolución de problemas matemáticos en estudiantes de 5° de básica primaria

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