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ESTIMADO POSTULANTE:

Desde hoy formas parte del Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional de

Cañete CEPREUNDC. Te espera recorrer con mucho esfuerzo el camino que te

conducirá al anhelado ingreso a la universidad, una meta muy importante para ti y

para toda tu familia.

Claridad de objetivos, organización de tu tiempo, estudio constante, motivación y,

sobre todo, perseverancia son, entre otras, las cualidades del estudiante de

CEPREUNDC. No existe otro camino para lograr el acceso a la universidad.

El presente Modulo Educativo te ofrece informaciones fundamentales para tu

preparación. Te ayudará a organizar tu tiempo y a fijarte prioridades en los cursos y

temas que debes estudiar con mayor constancia y profundidad. Asimismo, expone los

servicios educativos más importantes a los que tienes derecho y que serán parte

esencial en tu formación.

Que pongas todo el esfuerzo y dedicación a fin de lograr tus metas, que la fatiga y el

desaliento no hagan claudicar tus sueños.

COMISIÓN ORGANIZADORA DE LA UNDC

1 Dr. Carlos Eduardo Villanueva Aguilar, Presidente

2 Dr. José Octavio Ruíz Tejada, Vicepresidente Académico

3 Dr. Jorge Hugo Jhoncon Kooyip, Vicepresidente de Investigación

DIRECTIVOS CENTRO PREUNIVERSITARIO

1 Mg. Guido Ruben Lucas Valdez, Coordinador Académico

2 Srta. Carla Terán Cabanillas, Asistente Administrativo

UNIDAD DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN (UTI)

1 Ing° Ricardo Inquilla Quispe, Jefe UTI

2 Gerardo Garibay Palomino, Programador DIPROBIS

3 Bach. Judith Haydee Quispe Machahuay, especialista aula virtual CEPRE

DOCENTE EDITOR DEL MODULO

1 Jessica López Cerrón

PRESENTACIÓN

AUTORIDADES Y DIRECTIVOS

TRIGONOMETRÍA

1

UNIVERSIDAD NACIONAL

DE CAÑETE

LEY DE CREACIÓN N° 29488

RESOLUCIÓN DE AUTORIZACIÓN

N0 666-2013-CONAFU

CENTRO PRE

UNIVERSITARIO

UNDC – 2021 - I

CONTENIDO

SEMANA 01

1. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS Y SISTEMA DE

MEDIDAS ANGULARES

1.1. Angulo trigonométrico

1.2. Sistema Sexagesimal (S)

1.3. Sistema Centesimal (C)

1.4. Sistema Radial o Circular (R)

1.5. Relaciones entre los Sistemas S, C y R

1.6. Fórmulas de Conversión

SEMANA 02

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

AGUDOS

2.1. Definición de las Razones Trigonométricas para

un Ángulo Agudo

2.2. Razones Trigonométricas de Ángulos

Complementarios (Co - Razones)

2.3. Razones Trigonométricas de Ángulos Notables

SEMANA 03

3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

3.1. Identidades Trigonométricas Fundamentales

3.1.1. Identidades recíprocas

3.1.2. Identidades recíprocas

3.1.3. Identidades Pitagóricas

3.1.4. Identidades Trigonométricas Auxiliares

SEMANA 04

4. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

4.1. Caso I: Reducción para Arcos Positivos: 180° ±

𝜃; 360° ± 𝜃

4.2. Caso II: Reducción para Arcos Positivos: 90° ±

𝜃; 270° ± 𝜃

4.3. Caso III: Reducción para Arcos Positivos:

Mayores que 360°. 𝑛 + 𝜃

4.4. Caso IV: Reducción para Arcos Negativos

SEMANA 05

5. TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICOS

5.1. Razones Trigonométricos de Ángulos

Compuestos

5.1.1. Suma y Diferencia de Ángulos en las

Razones Trigonométricas

5.1.2. Razones Trigonométricas: de Suma y

Diferencia a Producto

5.1.3. Razones Trigonométricas: de Producto a

Suma y Diferencia

SEMANA 06

6. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN

ÁNGULO

6.1. Identidades Trigonométricas para un Ángulo

Mitad


Doble


Triple

SEMANA 07

7. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

7.1. Tipos de Soluciones

7.1.1. Solución General

7.1.2. Solución Principal

7.2. Tipos De Ecuaciones Trigonométricas

7.2.1. Ecuaciones Trigonométricas Elementales

SEMANA 08

8. GEOMETRÍA ANALÍTICA

8.1. Plano Cartesiano

8.2. Distancia Entre Dos Puntos

8.3. Ecuación de una Recta que pasa por un Punto

y tiene Pendiente dada.

2

TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC

SEMANA 01

ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS Y

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES 1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO: Es la figura generada por la rotación horaria (medida angular negativa) o anti horaria (medida angular positiva) de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice desde una posición inicial (lado inicial) hasta la posición final (lado final).

O

C

A

+

-

B

ELEMENTOS:

Final LadoOCOB

Inicial Lado OA

Vértice O

2. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

2.1. SISTEMA SEXAGESIMAL (S)

Su unidad angular es el grado sexagesimal (1º); el cual es equivalente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta.

𝐦∡ 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟑𝟔𝟎° Equivalencias:

1° = 60’ ; 1’ = 60’’ ; 1° = 3600’’ 2.2. SISTEMA CENTESIMAL (C)

Su unidad angular es el grado centesimal (1g), el cual es equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta.

𝐦∡ 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟒𝟎𝟎𝐠 Equivalencias:

𝟏𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝐦 ; 𝟏𝐦 = 𝟏𝟎𝟎𝐬 ; 𝟏𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝐬 2.3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)

𝐦∡ 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟐𝛑 𝐫𝐚𝐝. 3. RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS S, C y R Equivalencias Fundamentales

𝐦∡ 𝐝𝐞 𝟏 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟑𝟔𝟎° = 𝟒𝟎𝟎𝐠 = 𝟐 𝐫𝐚𝐝

180° = 200g = πrad.

9° = 10g

4. FÓRMULAS DE CONVERSIÓN Se utiliza cuando las medidas de los ángulos estén expresadas en las unidades principales de medida, esto es, grado sexagesimales, centesimales y radianes.

RCS

200180 =…..

.....20

109

RCS

SECTORES CIRCULARES

1. CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

2. LONGITUD DE ARCO Y AREA DE UN SECTOR CIRCULAR

Longitud de arco: RL .

Área del sector circular:

222

22 LRLRS

.

3

TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC

3. AREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR Y ANGULO CENTRAL

Área del trapecio circular: dLL

s

2

21

Ángulo central: d

LL 21

01. Al expresar en grados, minutos y segundos 32

rad

se obtiene CBA , entonces el valor de “A + B +

C”, es:

A) 72 B) 62 C) 60 D) 45 E) 48

02. Considere la siguiente figura:

Luego, determina:

x

xyK

2

4

A) 15 B) 25 C) 10 D) 5 E) 20

03. De la siguiente figura, el valor de “x”, es:

A) -28° B) -22° C) -20° D) -26° E) -25°

04. Del gráfico adjunto, el valor de y

xK

360

A) 1/54 B) 53 C) 54 D) 55 E) 56

05. Si las medidas de los ángulos zx y

71

65

9

36m

mg

son equivalentes. Entonces el

valor de x + z, es: A) 35 B) 55 C) 65 D) 85 E) 95

06. Si

20

243se expresa en la forma

mg yx ,

entonces el valor de x + y, es: A) 63 B) 64 C) 65 D) 53 E) 60

07. Si los ángulos internos de un pentágono son: 6x°,

gx10 , 4

rad, 30° y

g150 . Entonces el valor

numérico de “x”, es: A) 18 B) 20 C) 22 D) 23 E) 24

08. Al reducir:

rad

rad

g

g

64064

35025

, se obtiene:

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7

09. Sabiendo que un ángulo se expresa como

(7n + 1)° y también como (8n)g. entonces la medida del ángulo en el sistema radial, es:

A) π

4rad B)

π

5rad C)

π

9rad

D) π

6rad E)

π

3rad

10. Si: radx20

3114

)( , entonces el valor de

“x”, es: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

PREGUNTAS PROPUESTAS N° 1

xg

4


11. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 36° y

su diferencia es g

36 , entonces la medida del mayor

ángulo en radianes, es:

A) 17π

400rad B)

19π

100rad C)

19π

50rad

D) 19π

150rad E)

π

400rad

12. Seis veces el número de grados sexagesimales de

un ángulo, sumando a dos veces el número de sus grados centesimales es 370. Entonces la medida del ángulo en radianes, es:

A) π

5rad B)

π

6rad C)

π

4rad

D) π

3rad E)

3π

4rad

13. Si y son ángulos complementarios y el

número de grados sexagesimales de con el

número de grados centesimales de están en la

relación de 3 a 5, entonces la medida de en

radianes, es:

A) π

3rad B)

π

5rad C)

π

8rad

D) π

4rad E)

π

12rad

14. Si se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro, entonces la medida en radianes, de su ángulo central correspondiente, es:

A) 1 rad B) 2 rad C) 1

2rad

D) 4 rad E) 1

4rad

15. Un péndulo se mueve como indica en la figura. Si

su extremo recorre m3 , entonces la longitud del

péndulo, es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

16. De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si la líneas curva PQR, tiene por

longitud 4m.

A) 12πm2 B) 2πm2 C) 22πm2 D) 10πm2 E) 15πm2

17. En la figura adjunta O es el centro de la semicircunferencia. Si la longitud del arco AB es

m4 , entonces la longitud de arco de CD, es:

A) 2 πrad B) 3πrad C) π

4rad

D) πrad E) π

2rad

18. Siendo O el centro de los sectores circulares AOB

y COD. Si “S” expresa área, entonces el valor

numérico de y

x, es:

A) 3

3 B)

2

26 C)

3

22

D) 3

33 E)

2

22

19. En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18

cm, de perímetro. Si BAF, FCE y EBD son sectores circulares, entonces la longitud de la curva que une los puntos D, E, F y B, es:

5


A) 12 πcm B) 16 πcm C) 18 πcm

D) 24 π cm E) 30 πcm

20. Sea S, C y R los números que expresan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal,

centesimal y radial. Si RCS

724022 ,

entonces el valor de “ SC ”, es:

A) 0 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 3

SEMANA 02

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS AGUDOS Resultan de dividir dos lados de un triángulo

rectángulo. Esto es:

Donde: 𝐛: Es la Hipotenusa 𝐚 , 𝐜: Son los Catetos Teorema de Pitágoras Del triángulo rectángulo se puede determinar que:

“La suma de cuadrados de los catetos es igual

al cuadrado de la hipotenusa”.

𝐚𝟐 + 𝐜𝟐 = 𝐛𝟐

DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO

AGUDO Consideremos el siguiente triángulo rectángulo:

A partir de del triángulo rectángulo, se puede definir lo siguiente:

Cosb

c

Hip

opCatSen

.

..

Senb

a

Hip

adyCatCos

.

..

Ctga

c

adyCat

opCatTg

.

..

Tgc

a

opCat

adyCatCtg

..

..

Csca

b

adyCat

HipSec

.

.

Secc

b

opCat

HipCsc

.

.

6


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS (CO - RAZONES)

b

cCosenoSeno

a

cgenteCoTangente tan

a

banteCoSecante sec

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

01. Si )()( 35472 xctgxtg , entonces el valor

de: )cos()(

)cos()(

12654

11663

xxsen

xxsenE , es:

A) 13 B) 3 C) 5/6

D) 10/11 E) 13/11

02. Si 1ysenx sec. , ademais x e y son ângulos

agudos, entonces el valor de

tgytgxyx

ctgyx

tgR .

32, es:

A) 1 B) 1/2 C) 3

D) 2

3 E) 3

3

03. En un triangulo ABC (recto en C) se cumple que:

8tgB

tgA, entonces el valor de

ActgBK cos92 , es:

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 23

04. Al simplificar

º45.2º53.10

º30.3º60.4

CscSen

CtgCosF

, se obtiene:

A) 1/2 B) 3/2 C) 2 D) 1 E) 4

05. Si y son ángulos agudos tal que:

4522sen)cos( y

30csc)csc(

Entonces el valor de

)()( 540 ctgtgM , es:

A) 1 B) 2 C) 3

D) 32 E) 22

06. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se

cumple que senBsenA 23 . Determine la

tangente del mayor ángulo agudo del triángulo. A) 1/2 B) 3/2 C) 2/3 D) 2 E) 3

07. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en C, en el cual se cumple:

3 BAsenBsenA coscos . Determine el

valor de: tgBtgA

. A) 1,2 B) 1,5 C) 1,6

D) 1,25 E) 1,35

08. Si un triángulo ABC, recto en B se cumple:

16

1nCsenActgAse . Determine tgA

A) 11 B) 13 C) 15

D) 17 E) 19

09. De la figura, el valor de: tgQ sec , es:

A) 1/10

B) 1/20

C) 1/30

D) 1/40

E) 1/50

𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 𝜶 + 𝜷 = 𝟗𝟎°


7


10. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 7m, la mediana relativa al cateto mayor forma con este un ángulo agudo y mide 5m. Entonces el

valor de sen , es:

A) 5

17 B)

7

5 C)

5

22

D) 17

172 E)

10

2

11. En la figura adjunta AC = CD, entonces el valor

numérico de 2ctg , es:

A) 2

29 B)

21

10 C)

2

5

D) 2

3 E)

20

29

12. De la figura, determine DE en términos de k y

A) ktg B) 33tgk C) 2ktg

D) 3ktg E) tgk 2

13. Determina el valor de ctg(α). tg(β), en:

A) 1/3 B) 2/3 C) 2/5 D) 3/5 E) 1/5

14. En la siguiente figura, S representa el área del

triángulo.

Con los datos consignados en la figura, el valor de

sen , es:

A) √26/26 B) √26 C) 5√26/26

D) √26/5 E) 1/5

15. Desde un punto en tierra se observa la parte alta

de un poste de 12 m de altura como un ángulo de

elevación de 53°. Si nos a cercamos 4 m el nuevo

ángulo de elevación sería θ. Determine el valor de

sec θ.

A) 2.5 B) 3.6 C) 2.6 D) 3.5 E) 3.4

16. La figura ABCD es un cuadrado, M y N son puntos

medios. Determine el valor de ctgθ .

A) 1/3 B) 3 C) 2 D) 1/2 E) 1

17. A partir de la siguiente figura, calcula el valor de

DE̅̅̅̅ en términos de m y α.

A) msenα. cscα B) mcosα. senα C) msen2α. cos2 α

D) mcos2α. sen α E) mcosα. sen2 α

8


18. Una hormiga observa lo alto de un poste con un

ángulo de elevación β, si se acerca hacia él una

distancia igual a su altura y mira lo alto de dicho

poste nuevamente, el nuevo ángulo de elevación es

el complemento del anterior. Halle: tgβ.

A) √5+1

2 B)

√5−1

2 C) √5 + 1

D) √5 − 1 E) √5

19. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C). Si el

área es numéricamente igual a su perímetro

(perímetro = 8), entonces el valor de

senAsenBM , es:

A) 2 B) 8 C) 18

D) 9 E) 4

20. En la figura, AP = PC, entonces el valor de

ctgtgE .sec 22 , es:

A) 1 B) 0 C) -1 D) -1/2 E) 1/2

SEMANA 03

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

1. Identidades recíprocas:

𝐒𝐞𝐧 . 𝐂𝐬𝐜 = 𝟏

𝐂𝐨𝐬 . 𝐒𝐞𝐜 = 𝟏

𝐓𝐚𝐧 . 𝐂𝐨𝐭 = 𝟏

2. Identidades recíprocas:

𝐓𝐠𝛉 =𝐒𝐞𝐧𝛉

𝐂𝐨𝐬𝛉

𝐂𝐭𝐠𝛉 =𝐂𝐨𝐬𝛉

𝐒𝐞𝐧𝛉

3. Identidades Pitagóricas

Sen² + Cos² = 1

Sen² = 1 – Cos²

Cos² = 1 - Sen²

221 sectg

221 csc ctg

4. Identidades Trigonométricas Auxiliares

Los más importantes son:

𝐒𝐞𝐧𝟒𝛉 + 𝐂𝐨𝐬𝟒𝛉 = 𝟏 − 𝟐𝐒𝐞𝐧𝟐𝛉. 𝐂𝐨𝐬𝟐𝛉

𝐒𝐞𝐧𝟔𝛉 + 𝐂𝐨𝐬𝟔𝛉 = 𝟏 − 𝟑𝐒𝐞𝐧𝟐𝛉. 𝐂𝐨𝐬𝟐𝛉

𝐓𝐠𝛉 + 𝐂𝐭𝐠𝛉 = 𝐒𝐞𝐜𝛉. 𝐂𝐬𝐜𝛉

2222 csc.seccscsec

01. Reducir:

cos sen sec CscW

tg ctg

A) -1 B) 1/2 C) 2 D) -2 E) 1

02. Simplificar:

P =Sen2x. [1 + Sen2x] + Cos2x. [1 + Cos2x]

Sen2x + Cos4x

A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 4 E) 1/4


9


03. Simplificar la siguiente expresion:

88

44

2

1

cos

cos

sen

senE

A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3 D) 1 E) 2

04. Simplificar la siguiente expresion:

tgxxx

ctgxxctgxtgB

csc.sec

222

, tal que )( ICx

A) x2sec B) x2csc C) 2tg

D) 2ctg E) 2cos

05. Sabiendo que: ctgtg 2

Determine el valor de la siguiente expresión:

44

44

23

32

cos

cos

sen

senH

A) 12/13 B) 13/14 C) 11/13 D) 11/14 E) 11/15

06. De la siguiente identidad:

cbsenactg

cos

csc

cos

1

el valor de ".." cba , es:

A) 1/6 B) 2/5 C) 1/8 D) 1/4 E) 1/12

07. Al simplificar

232

23224

24

sen

senP

cos

cos, se obtiene:

A) 2tg B) 2ctg C) 2sec

D) 2csc E) 8sen

08. Sabiendo que: 5 tgxctgx

, entonces el valor de

xtgxctgM 22 , es:

A) 20 B) 23 C) 25 D) 30 E) 35

09. Si: 3

1 cossen

entonces el valor de

cos.cos. 33 sensenP , es:

A) 2/9 B) 4/9 C) 8/9 D) 5/9 E) 2/3

10. Al simplificar:

)cos(cos)( xxxsenxsenM 24242323

Se obtiene: A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 4

11. Si 12

22 xtgtg , el equivalente de la

expresion

xsen 22 cos , es:

A) 1 B) 2sen C) 2cos

D) 2tg E) 2ctg

12. Si 1 ctgtg

, entonces el valor de la

siguiente expresion: 44 ctgtgN

, es:

A) 5 B) 52 C) 53

D) 54 E) 55

13. Al simplificar:

151511

xctgxtgM

Se obtiene:

A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 E) -2

14. Si:

2

3 ctgtg

, entonces

4

322 cscsecE, es igual a:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

15. Reducir la expresion:

11

2

seccos

tgM

A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/5 E) -1

16. Sabiendo que:

bsen

asen

33 cos

cos

El equivalente de la expresion baE 23 , es:

A) b3 B) 3 C) a3

D) 2

2a E) ab4

17. Al simplificar la expresion

222

222

cossec

cossec

cossecM

Se obtiene:

A) cos B) cos C) 0

D) sec E) sec

10


18. Si

21

sen

cos

)( agudo

, entonces el valor de

)( sentg 15, es:

A) 30 B) 28 C) 34 D) 36 E) 32

19. Al simplificar

sec

sec

csc

csc

1ctg , se obtiene:

A) 2csc B) 2sec C) 22sen

D) 2sec E) 22csc

20. Si: 7

22 cscctg )( agudoanguloun,

entonces el valor de 88 cossen , es: A) 5/3 B) 7/5 C) 8/7 D) 7/16 E) 1

SEMANA 04

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE CASO I: Reducción para arcos positivos de la forma:

...

º360

º180. TrigFunTrigFun

CASO II: Reducción para arcos positivos de la forma:

..

º270

º90. TrigFunCoTrigFun

CASO III: Reducción para arcos positivos mayores que

360º:

𝐹𝑢𝑛. 𝑇𝑟𝑖𝑔 (360° . 𝑛 + 𝜃) = 𝐹𝑢𝑛. 𝑇𝑟𝑖𝑔. 𝑡. (𝜃) ∀ 𝑛 𝒁

CASO IV: Reducción para arcos negativos

1. Sen(−) = −Sen 4. Ctog(−) = −Ctg

𝟐. 𝐂𝐨𝐬(−) = 𝐂𝐨𝐬 𝟓. 𝐒𝐞𝐜(−) = 𝐒𝐞𝐜

3. Tg(−) = −tg 6. Csc(−) = −Csc

CASO IV: ARCOS RELACIONADOS

Arcos Suplementarios

Si: + = 𝟏𝟖𝟎° ó

Sen = Sen

Csc = Csc

Arcos Revolucionarios

𝐒𝐢: + = 𝟑𝟔𝟎 ó 𝟐

Cos = Cos Sec = Sec

01. Simplifique el cociente:

)2().2(

2).(

xSenxCtg

xTgxSen

A) 3 B) -1 C) 1 D) 2 E) -2


11


02. Reducir la siguiente expresion:

2

3

2

3

2

2

tgtg

ctgctg

ctgctg

tgtg

E

.

).(

)(.

.

A) -2 B) 0 C) 1

D) -1 E) 2

03. Simplificar la expresion:

3423152210939716 )(sec ctgtgH

A) 0 B) 1 C) -10 D) -13 E) -24

04. El valor de la expresion:

)cos(cscsec 150240330453 senC ,

es:

A) 62 B) ).( 1233 C) 26

D) 62 E) 26

05. Si a y b son ângulos complementários,

simplificar la expresion:

)().cos(

)().(

batgab

abtgbasenM

111054

141376

A) -2 B) -1 C) 2 D) 0 E) 1

06. Al simplificar:

70

1102203

cos

cossenH se

obtiene:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

07. Reducir la siguiente expresión:

2

6184

2

391997

sen

ctg

M

).sec(

cos).(

A) sen B) cos C) tg

D) sen E) cos

08. Si: 02 AsenA cos

Entonces el valor de:

)cos().csc().(

)().sec().(

AAAsen

ActgAAtgE

180180360

27018090

es: A) -5 B) 5 C) 5/4 D) -5/4 E) -4

09. Reducir la siguiente expresión:

)sec()cos().(

)csc(..

1620810540

2

3

2

ctg

tgsen

E

A) 1 B) 2sen C) 2cos

D) 2tg E) 2ctg

10. Sabiendo que:

12

77

2

55

cos..senm

Al determinar ctgtgE en términos de “m”,

se obtiene:

A) 2m B)

2m C) m2

D) m E) m

11. Dado un triángulo ABC, indique la veracidad de las

siguientes proposiciones:

I. )( CBsensenA

II. )cos(cos CBA

III. )( CBAsensenB 2

A) VVV B) VFV C) VFF D) FVF E) FFF

12. Si A y B son ángulos complementarios, al

simplificar:

)().cos(

)().(

BAtgBA

BAtgBAsenE

342

322

, se obtiene:

A) 3 B) 2 C) 2

D) - 1 E) 1

13. Si: 3

yx , entonces al reducir

)(

)(

yxsen

yxsen

yxtg

yxtgR

58

2

34

3103

, se

obtiene: A) -1 B) -5 C) 5 D) 1 E) 0

14. Reducir:

4625

3317

5805

tgsenP cos

A) 2 B) 1 C) 0 D) -2 E) -1

15. El valor de la expresion:

180179321 coscoscoscoscos E ,

es: A) 0 B) -1 C) 2 D) -2 E) 1

12


16. Reduzca la siguiente expresion:

)(

14762

8241994

tgctg

ctgtgM

A) 1/3 B) 2/5 C) 5/2 D) 2/3 E) 2

17. Si A y B son ángulos suplementarios, reduzca la

siguiente expresion:

)cos()cos(

)cos()(

BA

BABAsenM

270360

22

A) -1 B) 1 C) 2 D) 0 E) -2

18. Siendo que : α + β = 180°

Determine el valor de:

C = )200()140(

)40()20(

SenCos

CosSen

A) -2 B) 0 C) 1 D) 2 E) -1

19. Si 2

13 yx , entonces el valor de la

expresion:

)sec()sec()( ctgxtgyxysenE

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

20. Reduzca la siguiente expresion:

atgc

actgcsen

bctga

asenbtg

M

7

2

5

2

2

33

2

3

.cos

.

).cos(

).(

A) 2 B) 1 C) -1 D) 0 E) -2

SEMANA 05

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICOS

1. RAZONES TRIGONOMÉTRICOS DE ÁNGULOS COMPUESTOS

1.1. SUMA Y DIFIRENCIA DE ÁNGULOS EN LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

𝐒𝐞𝐧(𝐀 + 𝐁) = 𝐒𝐞𝐧𝐀. 𝐂𝐨𝐬𝐁 + 𝐒𝐞𝐧𝐁. 𝐂𝐨𝐬𝐀

𝐒𝐞𝐧(𝐀 − 𝐁) = 𝐒𝐞𝐧𝐀. 𝐂𝐨𝐬𝐁 − 𝐒𝐞𝐧𝐁. 𝐂𝐨𝐬𝐀

𝐂𝐨𝐬(𝐀 + 𝐁) = 𝐂𝐨𝐬𝐀. 𝐂𝐨𝐬𝐁 − 𝐒𝐞𝐧𝐁. 𝐒𝐞𝐧𝐀

𝐂𝐨𝐬(𝐀 − 𝐁) = 𝐂𝐨𝐬𝐀. 𝐂𝐨𝐬𝐁 + 𝐒𝐞𝐧𝐁. 𝐒𝐞𝐧𝐀

1.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: DE SUMA Y DIFERENCIA A PRODUCTO

Sen A + Sen B = 2 Sen

2

BA.Cos

2

BA

Sen A – Sen B = 2 Cos

2

BA.Sen

2

BA

Cos A + Cos B = 2 Cos

2

BA.Cos

2

BA

Cos B – Cos A = 2 Sen

2

BA.Sen

2

BA

Dónde: A > B

1.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: DE PRODUCTO A SUMA Y DIFERENCIA

𝟐𝐒𝐞𝐧𝐱 . 𝐂𝐨𝐬𝐲 = 𝐒𝐞𝐧(𝐱 + 𝐲) + 𝐒𝐞𝐧 (𝐱 + 𝐲)

𝟐𝐂𝐨𝐬𝐱 . 𝐒𝐞𝐧 𝐲 = 𝐒𝐞𝐧 (𝐱 + 𝐲) – 𝐒𝐞𝐧 (𝐱 − 𝐲)

𝟐𝐂𝐨𝐬𝐱 . 𝐂𝐨𝐬𝐲 = 𝐂𝐨𝐬 (𝐱 + 𝐲) + 𝐂𝐨𝐬 (𝐱 − 𝐲)

𝟐𝐒𝐞𝐧𝐱 . 𝐒𝐞𝐧𝐲 = 𝐂𝐨𝐬 (𝐱 − 𝐲) – 𝐂𝐨𝐬 (𝐱 + 𝐲)

𝐃𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐱 > 𝐲

01. Simplificar:

xx

xsenxsen

xx

senxxsenE

35

35

7

7

coscoscoscos

A) x82cos B) xctg42 C) x42csc

D) x82csc E) xctg82


13


02. Al reducir:

x

xsenxxxsenK

3

73106

cos

.coscos. ,

se obtiene:

A) xsen3 B) xsen10 C) xsen13

D) xsen6 E) x13cos

03. Determine el valor de:

).sec(cossecsec 304537441 senP

A) 0 B) -1 C) 1 D) 2 E) 3

04. Indique el valor de:

xxx

xxxxM

522

645

cos.cos.cos

coscoscoscos ,

Cuando 12

x

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

05. Simplifique la siguiente expresión:

AsenAsenxAsen

AsenxAsenAM

753

753

cos

cos.cos

A) Atg5 B) Actg5 C) Atg3

D) Actg3 E) Asen5

06. Al resolver:

104

102041

sen

senJ

.cos, se obtiene:

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0,5

07. Si 750,cos , entonces el valor de

22332

sensenJ . , es:

A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

08. Al simplificar:

4814421428 sentgtgM coscos ,

se obtiene:

A) 6cos B) 8sen C) 12cos

D) 14sen E) 14cos

09. Simplifique la expresión:

1023

1021

senJ

cos

A) 20ctg B) 352ctg C) 10ctg

D) 25ctg E) 35ctg

10. Determine el valor de k, si:

1004040 secsec.ksen

A) 3 B) 32 C) 32

D) 34 E) 34

11. Si en un triangulo ABC se cumple:

)(

cos

BCsensenA

CBtgB

, entonces la

medida del ângulo A es:

A) 45° B) 60° C) 75° D) 90° E) 105°

12. El valor de:

8040

6565

sec.sec

cossenK , es:

A) 8

2 B)

8

3 C)

8

5

D) 8

6 E)

8

7

13. Si n6cos , entonces el valor de

722122

1senV csc

A) 2

n B) n2 C) n

D) n2

1 E)

n

2

14. Si: 3

1

35

7

xsenxsen

senxxsen.

Entonces el valor de:

xsenxsen

xsenxsenxsenH

227

6106

, es:

A) 8/3 B) 1/6 C) 1/3 D) 2/3 E) 4/3

15. Determine el valor de:

1248981 sensensensen ..

A) 0 B) 1/2 C) 1 D) -1 E) -1/2

16. Al reducir:

20

254085

cos

.sensensenM , se

obtiene:

A) 1 B) 2 C) 2

2

D) 2 E) 2

3

17. Si 450ba , entonces el valor de

senbsena

baE

coscos, es:

14


A) -1/2 B) 3

3 C) 1

D) -3 E) -1

18. En un triangulo ABC de lados a , b y crespectivamente, el valor de

tgAcba

tgBcbaE

222

222

, es:

A) 0 B) 2 C) -1 D) -2 E) 1

19. Si a ,b y c son los lados de um triangulo ABC,

entonces al reducir

tgBbcatgAcbaM 222222 ,

se obtiene:

A) ba B) 22 ba . C) c

D) 22 bc E) 0

20. El perímetro de um triangulo ABC, donde A=60°,

74AC y 76AB , es:

A) 5772 B) 772 C) 716

D) 2737 E) 72

SEMANA 06

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

PARA UN ÁNGULO

I. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO MITAD

Las principales propiedades para un ángulo mitad son:

1. 𝑆𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 2

:

2 𝑆𝑒𝑛2

2

= 1 − 𝐶𝑜𝑠

𝑺𝒆𝒏2

=

2

Cos1

2. 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 2

:

2𝐶𝑜𝑠²2

= 1 + 𝐶𝑜𝑠

𝑪𝒐𝒔2

=

2

Cos1

Donde:

() Depende del cuadrante al cual “2

”

3. 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 2

:

𝒕𝒈2

=

Cos1

Cos1

4. 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 2

:

𝐶𝑡𝑔2

=

Cos1

Cos1

5. Fórmulas Racionalizadas

𝑇𝑔2

= 𝐶𝑠𝑐 − 𝐶𝑡𝑔

𝐶𝑡𝑔2

= 𝐶𝑠𝑐 + 𝐶𝑡𝑔

II. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO DOBLE

1. 𝐒𝐞𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟐:

𝑺𝒆𝒏 𝟐 = 𝟐𝑺𝒆𝒏 𝑪𝒐𝒔

15


2. 𝑪𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟐:

𝑪𝒐𝒔 𝟐 = 𝑪𝒐𝒔² − 𝑺𝒆𝒏²

3. Fórmulas para reducir el exponente

𝟐 𝑺𝒆𝒏² = 𝟏 – 𝑪𝒐𝒔 𝟐

𝟐 𝑪𝒐𝒔² = 𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐

4. 𝑻𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝟐 ∶

𝒕𝒈𝟐 =

2Tg1

Tg2

Es decir:

Del triángulo rectángulo se obtiene las siguientes relaciones:

𝑺𝒆𝒏 𝟐 =

2tg1

tg2

𝑪𝒐𝒔 𝟐 =

2

2

tg1

tg1

III. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO TRIPLE

Algunas propiedades de ángulo triple:

Seno de 3x:

𝑆𝑒𝑛 3𝑥 = 3𝑆𝑒𝑛𝑥 – 4 𝑆𝑒𝑛3𝑥

𝑆𝑒𝑛 3𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑥 (2𝐶𝑜𝑠 2𝑥 + 1)

Coseno de 3x:

𝐶𝑜𝑠3𝑥 = 4𝐶𝑜𝑠3𝑥 – 3 𝐶𝑜𝑠𝑥

𝐶𝑜𝑠3𝑥 = 𝐶𝑜𝑠𝑥 (2𝐶𝑜𝑠 2𝑥 − 1)

Tangente de 3x:

𝑇𝑔3𝑥 = xTan

xTanTgx2

3

31

3

01. Si: 53 )( yxtg y 42 )( xytg

Entonces el valor de ctgy es:

A) 20 B) 21 C) 18 D) 14 E) 15

02. Determine el valor de “K” para que se verifique la siguiente identidad:

xksensenxx

xsenx21

33

cos

cos

A) 1/2 B) 1/4 C) 2 D) 4 E) 3

03. Al determinar el valor de la expresión

1860

15

037212

tgsen

senF , se obtiene:

A) -2 B) 2 C) 3

D) 3 E) 32

04. En la figura mostrada, el valor de la tg , es:

A) 1/2 B) 2 C) 3/2 D) 5/2 E) 1/6

05. Sabiendo que: 5022 secsec

Al determinar el valor de

22 sen

tg

sen

tgF ,

se obtiene:

A) 25 B) 5 C) 25

D) 10 E) 20

06. De la expresion: 18183184 tgk.seccos

El valor que se obtiene para “k”, es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

07. El valor de la expresion

804020402022 tgtgtgtgtgF .. , es:

A) 6 B) 3 C) 1/3

D) 3 E) 3

3

08. El valor de 131321 tgtgH , es:

A) 0 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

09. Si 1tg y 4

3tg , entonces el valor de

)( tgE 28 , es:

A) 4 B) 2 C) 5 D) 9 E) 10

1 + Tg2

2Tg

1-Tg 2


16


10. En la figura, si 5

1 tg , entonces el valor de

tg , es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1/2

11. El valor de

70

20502

tg

tgtgE , es:

A) -2 B) 0 C) 1 D) -1 E) 2

12. En el grafico el valor de “x”, es:

A) 5 B) 3 C) 7

D) 7 E) 32

13. En la figura, la longitud del segmento AB es:

A) 32 B) 33 C) 34

D) 35 E) 36

14. En la figura mostrada, se tiene un trapecio isósceles

en el que la longitud de la base menor es igual a la

de su altura y la longitud de su base mayor es igual

a la de su diagonal. Entonces la tg

A) 2 B) 4/3 C) 1/7 D) 3/4 E) 1/3

15. Si: 180904

3cos .

Entonces el valor de “2

cos ”, es:

A) 2

2 B)

3

2 C)

4

2

D) 3

2 E)

4

2

16. Si: 2701808

1;cos

Entonces el valor de 𝐾 = 𝑆𝑒𝑛(𝛽

2) , es:

A) 1/5 B) 5/7 C) 3/4 D) 1/8 E) 1/2

17. Si: 4

3

2

cos , entonces el valor

de la expresión 22

7

cos senE , es:

A) 0 B) 1 C) 2

D) 2 E) 22

18. Del gráfico, el valor de la tg , es:

A) 3/16 B) 6/17 C) 7/19 D) 12/17 E) 14/19

17


19. Si la siguiente igualdad

D

xCxBAxxsen

8488 coscoscos

, es una

identidad, entonces el valor de A + B + C+ D, es: A) 64 B)128 C) 32 D) 100 E) 1

20. Del gráfico adjunto, determine la tg

A) -4 B) -8 C) -16 D) -9 E) 32

SEMANA 07

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

DEFINICIÓN.

Son igualdades entre las funciones trigonométricas de una determinada variable (una sola incógnita), dichas igualdades verifican solamente para algunos valores que puede tomar la función trigonométrica, Los valores que verifica en la ecuación trigonométrica se les denomina como soluciones o raíces. TIPOS DE SOLUCIONES

a) Solución General Conjunto de valores que verifican la ecuación las cuales como son infinitas, se les representa por comprensión. Ejemplo. Sea la ecuación trigonométrica:

Senx =1

2

Entonces;

𝐶. 𝑆. = { … ; −17𝜋

6; −

13𝜋

6; −

5𝜋

6;𝜋

6;5𝜋

6;13𝜋

6; … }

Luego, la Solución General se expresa:

𝐱 = 𝐧𝛑 + (−𝟏)𝐧 𝛑

𝟔

b) Solución Principal

Se considera a la menor solución positiva que verifica la ecuación. De:

x = nπ + (−1)n π

6

Para n=0:

x = 0π + (−1)0 π

6

∴ 𝐱 = 𝛑

𝟔 , 𝐞𝐬 𝐥𝐚 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐩𝐫𝐢𝐧𝐜𝐢𝐩𝐚𝐥.

TIPOS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ecuaciones trigonométricas elementales Se llaman así a aquella igualdad en la cual se conoce el valor de una razón trigonométrica de una determinada variable, es decir, son igualdades de la forma:

𝑭. 𝑻. (𝒂𝒙 ± 𝒃) = 𝒏, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏 ∈ 𝒁

01. Luego de resolver la siguiente ecuación:

03

223 xsen , en el intervalo de

20

;

Dé como respuesta el numero de soluciones A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4


18


02. Determine las tres primeras soluciones positivas

de: 2

1152 xsen

A) 360º B) 335°/2 C) 715º/2 D) 725º/2 E) 735°/2

03. Al resolver la ecuación, indique la menor solución.

xsenx 2213 cos)(

A) 210º B) 90º C) 45°º D) 60º E) 30º

04. Dado la siguiente ecuación:

;, 003

2 xctgxtgx . La suma de

sus soluciones, es:

A) 6

7

B) 6

5

C)

D) 2

E)

34

05. El menor ángulo positivo que satisface la

ecuación

12482 xsenxsenxsen , es:

A) 72

B)

36

C)

20

D) 18

E)

12

06. Dada la siguiente ecuacion

0316322 xxctg cos , una raíz positiva

perteneciente al IIIC, es: A) 230º B) 260º C) 245º D) 210º E) 265º

07. Dada la ecuacion cos 12sen ,

determine la suma de sus raíces en 30;

A) 2 B) C) 6

D) 23 E) 3

08. Al resolver la ecuación, indicar una respuesta:

xsenxsensenx 23

A) 10º B) 20º C) 30º D) 50º E) 60º

09. Indicar una solución:

0348 senxxsenxx .cos.cos

A) 9º B) 12º C) 15º D) 18º E) 21º

10. La menor solución positiva de la ecuacion

xxxsenxsen 1353135 coscos , es:

A) 36 B) 9 C) 18

D) 27 E) 8

11. El menor valor positivo de x que satisface la

ecuacion xxtg 2232 cos , es:

A) 3

B)

6

C)

4

D) 12

E)

2

12. Determine la suma de los dos menores valores

positivos de x que sastifacen:

244 xtgxctg

A) 327 B) 325 C) 163

D) 8 E) 165

13. Dada la ecuación xsenx 2113 cos)( ,

determine la suma de las soluciones que

pertenece al intervalo 20; .

A) 3

7

B) 6

13

C) 2

9

D) 3 E) 3

10

14. Dada la ecuación tgxxsenx cos1 ,

determine la suma de las soluciones que

pertenece al intervalo 20; .

A) 2

3

B) 2

5

C) 2

7

D) 2 E) 4

9

15. Resolver e indicar la suma de las dos primeras soluciones positivas de la ecuación:

xtgxxsentgx 211211 cos

La suma de las soluciones compreendidas entre 0° y 180°, será:

A) 360º B) 240º C) 245º D) 315º E) 325º

16. Resolver e indicar la suma de las 2 primeras

soluciones positivas de al ecuación:

xxsenx 4522 coscos

A) 125 B) 245 C) 247

D) 127 E) 2411

17. Al resolver: 333 211 tgxtgx

Determine la mayor solución positiva menor de 720°

A) 225º B) 405º C) 585º D) 645º E) 675º

18. Si: 900 ; , entonces la suma de las

soluciones de la ecuación 3742 tgtg ,

es: A) 37º B) 45º C) 82º D) 90º E) 180º

19


19. La menor solución positiva que pertenece al tercer cuadrante de la ecuación

0142 tgxxtg , es:

A) 12

11 B)

12

13 C)

12

17

D) 13

15 E)

17

19

20. Indica la menor solución positiva en:

2222 xxsenxtg cos.

A) 15º B) 45º C) 90º D) 60º E) 30º

SEMANA 08

GEOMETRÍA ANALÍTICA

PLANO CARTESIANO

Es el sistema coordenado rectangular en el plano que establece una correspondencia biunívoca entre cada punto P (x; y) del plano y un par ordenado de números reales (x e y).

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos, 𝐏𝟏(𝐱𝟏; 𝐲𝟏) 𝐲 𝐏𝟐(𝐱𝟐; 𝐲𝟐), se determina aplicando el teorema de Pitágoras:

A partir de la figura, se observa:

𝐝(𝐏𝟐, 𝐏𝟏) = 𝐝(𝐏𝟏, 𝐏𝟐) = √(𝐱𝟐 − 𝐱𝟏)𝟐 + (𝐲𝟐 − 𝐲𝟏)𝟐

ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE PENDIENTE DADA.

La ecuación de la recta que pasa por el punto dado P1(x1; y1) y tiene la pendiente dada 𝒎, es:

𝑳: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

20


01. De la figura, determine las coordenadas del punto P (x; y)

A) (1/2; -1) B) (-1/4; -1) C) (-1/2; -1)

D) (1/2; 1) E) (1; 3/4)

02. La longitud de la mediana relativa al lado AB, es:

A)6 B) 8 C)9

D) 10 E) 12

03. El área del triángulo AOB, es:

A) 6 B) 12 C)10

D) 8 E) 16

04. Si A(-2;3), B(6;-3) y P(x; y) son tres puntos

colineales, si 2PB

AP, el valor de “x + y”, es:

A) 1 B)2 C) 3

D) 4 E) 5

05. El ángulo de inclinación de una recta mide 135°. Si pasa por los puntos (-3; b) y (-5; 7), el valor de “b”, es:

A) 5 B) 4 C) 3

D) 2 E) 1

06. El área de un triángulo que tiene como vértices a los puntos son A (3; 1); B (9; 1) y C (3; 7), es:

A) 36 B)18 C) 24 D) 26 E) 9

07. Se tiene dos vértices opuestos de un cuadrado (-5; 8) y (1; 2) determine su centro de gravedad.

A) (-1; 3) B) (-2; 3) C) (-2; 5)

D) (-1; 5) E) (1; 3)

08. Si un vértice de un triángulo ABC, es A (1; 3) y el baricentro del triángulo es G (3; 1). ¿Cuál es la suma de coordenadas del punto medio “M” opuesto al vértice A?

A) 1 B)2 C) 3

D) 4 E) 5

09. Del gráfico, la ecuación de la recta “L”, es:

A) 01243 yx

B) 0934 yx

C) 0932 yx

D) 0823 yx

E) 01243 yx

10. Si en el gráfico: (AB=2BC). El valor de la pendiente de la recta “L”, es:

A) 2/3 B) -2/3 C) -1/6

D) -2/9 E) 2/9

11. Señale la ecuación de la recta que pase por el

punto P (3;2) y cuyo ángulo de inclinación es de 37°.

A) 3x – 4y -1 = 0

B) 3x - 4y +1 = 0

C) 3x – 4y +1 = 0

D) 3x + 4y +1 =0

E) 4x + 3y +1 = 0


21


12. Si la ecuacion de una recta es 02054 yx

entonces el área que forma dicha recta con los ejes de coordenados, es:

A) 82 B) 12

2 C) 102

D) 142 E) 20

2

13. Una recta L de pendiente -2 pasa por el punto (2; 7) y por los puntos P (x; 3) y Q (6; y) el valor de x + y, es:

A) 3 B) 5 C) 1

D) -1 E) -5

14. Si 1L tiene por ecuación 5

2

1 xy . Determine la

pendiente de la 2L que es perpendicular con la recta

1L .

A) 1 B) -2 C) -1/2

D) ½ E) 2

15. Si la distancia del punto A al punto B es de 5u, siendo A = (m + 3; 3a +1) y B = (m – 1, 2a), entonces el valor de “a”, es:

A) 2 B) 6 C) 4

D) 10 E) 8

16. Determine la ecuación de la mediatriz del segmento AB, donde A (-4, 3) y B (2; 9).

A) y = -x + 5

B) y = 2x + 5

C) y = 4x - 3

D) y = x + 5

E) y = x – 1

17. La ecuacion de la recta que es perpendicular al segmento de extremo A (-1;3), B (4;8) y que pasa por su punto medio.

A) 07 yx

B) 012 yx

C) 07 yx

D) 052 yx

E) 01 yx

18. El punto de intersección de la recta 2xL : y la

mediana del triángulo de vértices A(1; 5), B(2; 0) y C(0; 1) relativa al lado AC, es: A) (-2;0) B) (-2;6) C) (-2;4) D) (-2;8) E) (-2;2)

19. Si AM es la mediana del triángulo ABC, Si A (1; 3) y

M (1/2; -2). Entonces la suma de las coordenadas de los tres vértices, es: A) 2 B) 1 C) -2 D) -1 E) 3

20. El punto P equidista a los puntos M (-1; 2) y N (3; 4).

El área del triángulo PMN es 2

5 . Determine las

coordenadas de P sabiendo, además, que su ordenada es menor que 2. A) (-2;1) B) (2; -2) C) (0; -5) D) (2; -1) E) (2;1)

PREGUNTAS ADICIONALES

01. Si radn

m 812125 ( m y n primos entre sí) ,

entonces el valor de “m + n”, es:

A) 12 B) 13 C) 11

D) 10 E) 15

02. Si las medidas de los ángulos zx y

71

65

9

36o

m

mg

son equivalentes. Determine el

valor de “x + z”. A) 80 B) 85 C) 90

D) 94 E) 95

03. Si S y C son los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal respectivamente, el valor de

17

SC

SC

SC

SC, es:

A) 4 B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

04. Del gráfico mostrado, determine tgwtg , si

ABCD es un cuadrado.

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3

D) 0,4 E) 0,5

05. Si 1ysenx sec. , con x e y agudos. Determine

el valor de tgytgxyx

ctgyx

tgE ..

32

A) 1 B) 2 C) 3

D) 5 E) 6

06. Determine el lado “x” en función de “m” y ""

A) tgm .sec B) csc.cosm

22


C) ctgm .cos D) cos.msen

E) mtg

07. Una hormiga observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 37°, luego se acerca 7m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53°. Determine la altura del árbol.

A) 10 B) 12 C) 14

D) 16 E) 20

08. El valor de la expresión

70

160

10230

50190

ctg

tgK

cos.sec

sec.cos, es:

A) 1 B) -2 C) 3

D) -1/2 E) 2

09. Reducir la expresión:

11

2

seccos

tgM

A) 2 B) 1 C) 1/2

D) 1/5 E) -1

10. El valor de 402080 cos.cos.cosE , es:

A) 2 B) 3/4 C) 4

D) 1/2 E) 1/8

11.Si 5

4sen y

24

7tg .El valor de la expresión

213

tg , es:

A) 11 B) 10 C) 9

D) 12 E) 8

12. Si 5

3cos y es agudo, entonces el valor de la

expresión 12

2

sec

tgE , es:

A) 3/4 B) 5/2 C) 4/3

D) 2/5 E) 7/3

13. Si 02

32

5

cossen , entonces el valor de

seccsc

35E , es:

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

14. Si 52080222 BsenAsensen , entonces

el valor de 4

122 BA , es:

A) 6 B) 3 C) 5

D) 2 E) 4

15. Si 2

121 2

cos

cos

sen, entonces el valor de

cos.senE , es:

A) 1/4 B) 1/8 C) 3/8

D) 3/4 E) 1/2

16. La suma de los dos primeras soluciones positivas que satisface la ecuacion

523222 ,cos xxsen , es:

A) 180° B) 160° C) 120°

D) 190° E) 210°

17. Al resolver la ecuación 0113 xx coscos , el

menor valor positivo de “x”, es:

A) 3 B) 4 C) 5

D) 14 E) 13

18. Dados los puntos A (-2; -3), B (2; 1), C (4; -9) y M

punto medio de BC . La distancia de M al

segmento AC , es:

A) 2 B) 22 C) 4

D) 24 E) 6

19. El valor de “a” para que las rectas

0161 yaxL : , 07232 ayxL : son

paralelas. A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

20.Una recta contiene al punto (-5; 6) y su pendiente

es 2

3 . La abscisa de un punto de la recta cuya

ordenada es 4, es: A) 11/3 B) -13/3 C) 11/2

D) -13/2 E) 11/5

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