Upload
luis-felipe-serpa-roballo
View
219
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
1/45
1/45
Atrás
Cerrar
Especialización en Estad́ıstica Aplicada
Estimación por Intervalos
Asignatura: Estad́ıstica Inferencial
Svetlana Rudnykh
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
2/45
2/45
Atrás
Cerrar
Estimación por Intervalo
Intervalos de Confianza para µ
Intervalos de Confianza para µ1 − µ2Intervalos de Confianza para σ2
Intervalos de Confianza para σ2
1
σ22
Intervalos de Confianza para p
Intervalos de Confianza para p1
− p2
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
3/45
3/45
Atrás
Cerrar
Intervalos de Confianza para medias
Caso I: Varianza conocidaX es un estimador suficiente de la media de una población normal con la
varianza conocida σ2, entonces se utilizará para obtener un intervalo de
confianza de µ de una población de este tipo (normal). La distribución
muestral de X de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una
población normal con la media µ y la varianza σ2 es una distribución
normal con la media µX = µ y la varianza σ2X
= σ2
n . Por lo tanto, se
puede escribir
P −z α/2 < Z < z α/2 = 1 − α,
donde
Z = X − µσ/√
n
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
4/45
4/45
Atrás
Cerrar
y z α/2 es tal que la integral de la densidad normal estándar de z α/2 a ∞es igual a α/2.
Se deduce que
P −z α/2
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
5/45
5/45
Atrás
Cerrar
Entonces, un intervalo de confianza de (1 − α)100 % para µ está dadopor:
x̄− z α/2 ·σ
√ n < µ < x̄ + z α/2 ·σ
√ n,donde z α/2 es el valor que delimita un área de α/2 a su derecha en la
gráfica de función de densidad normal estándar.
Para un valor de α dado, el intervalo depende sólo de constantesconocidas y la muestra observada, y los ĺımites de confianza inferior
y superior pueden obtenerse ahora haciendo que X tome su valor de
muestra x̄.
Al examinar el intervalo de confianza para µ se observa que entre másgrande es el tamaño de la muestra, más pequeño es el ancho del
intervalo; ó para un coeficiente de confianza 1 − α más grande, mayores el ancho del intervalo.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
6/45
6/45
Atrás
Cerrar
Ejemplo 1.
Si una muestra aleatoria de tama˜ no n = 20 tomada de una poblaci´ on
normal con la varianza σ2 = 225 tiene la media x̄ = 64,3, construya un
intervalo de confianza del 95 % de la media de la poblaci´ on µ.
Solución:
Para α = 0,05, se tiene de la función de distribución acumulativa normal
estándar que z 0,025 = 1,96. Por consiguiente, el intervalo de confianzadel 95 % para µ es
64,3 − 1,96 · 15√ 20
< µ
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
7/45
7/45
Atrás
Cerrar
Observación:
En virtud del teorema del limite central, el intervalo
x̄− z α/2 ·σ√
n < µ < x̄ + z α/2 ·
σ√ n
se puede utilizar para muestras aleatorias tomadas de poblaciones no
normales con la varianza conocida σ2, siempre que n sea lo suficiente-
mente grande; es decir, cuando n ≥ 30.
http://lastpage/http://prevpage/http://goback/http://close/http://close/http://goback/http://prevpage/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
8/45
8/45
Atrás
Cerrar
Caso II: Varianza desconocida
Cuando se muestrea una población normal N (µ, σ), en donde tanto
como µ como σ2 son desconocidos, la variable aleatoria
T =
X
−µ
S/√ n
tiene una distribución t de Student con n− 1 grados de libertad.
Por lo tanto,P (−tα/2,n−1 < T < tα/2,n−1) = 1 − α.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
9/45
9/45
Atrás
Cerrar
Al sustituir por T se obtiene
P (−tα/2,n−1 < X − µS/√
n < tα/2,n−1) = 1 − α
ó, lo que es lo mismo,
P
X − tα/2,n−1 ·
S √ n
< µ < X + tα/2,n−1 ·S √
n
= 1 − α.
Entonces, un intervalo de confianza de (1 − α)100 % para µ está dadopor:
x̄
−tα/2,n
−1
·
s
√ n < µ < x̄ + tα/2,n
−1
·
s
√ n,
donde tα/2,n−1 es el valor de t con n− 1 grados de libertad que delimitaun área de α/2 a su derecha en la gráfica de función de densidad de
t-Student.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
10/45
10/45
Atrás
Cerrar
Para n ≥ 30, la fórmula del intervalo de confianza para µ es la mismaal del caso I (varianza conocida) excepto que σ se reemplace por s.
Ejemplo 2.
Un fabricante de pinturas desea determinar el tiempo de secado en
promedio de una nueva pintura para interiores. Si en 12 áreas de pruebade igual tama˜ no él obtuvo un tiempo de secado medio de 66,3
minutos y una desviaci´ on estándar de 8,4 minutos, construya un
intervalo de confianza del 95 % para la media verdadera µ.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
11/45
11/45
Atrás
Cerrar
Solución:
Para α = 0,05, se tiene de la tabla de cuantiles de la distribución t de
Student que t0,025;11 = 2,201. Al sustituir x̄ = 66,3, s = 8,4 y t, el
intervalo de confianza del 95 % para µ se convierte en
66,3 − 2,201 · 8,4√ 12
< µ
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
12/45
12/45
AtrásCerrar
Intervalos de Confianza para la diferen-
cia de mediasCaso I: Varianzas conocidas
Sean X 1, X 2,...,X nX y Y 1, Y 2,...,Y nY dos muestra aleatorias de dos
distribuciones normales independientes, con medias µX y µY y varianzas
σ2X y σ2Y , respectivamente. Se desea construir un intervalo de confianzapara la diferencia µX −µY . Se supone que se conocen los valores de lasvarianzas. Entonces, la variable aleatoria
Z = X − Y − (µX − µY )
σ2
X
nX + σ
2
Y
nY
es N (0, 1). De esta forma se puede escribir
P −z α/2 < Z < z α/2 = 1 −
α.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
13/45
13/45
AtrásCerrar
Se deduce que
P
X − Y − z α/2
σ2X nX
+ σ2Y nY
< µX − µY
< X − Y + z α/2
σ2X nX
+ σ2Y nY
= 1− α.
Entonces, un intervalo de confianza de (1 − α)100% para µX − µY está dado por:
x̄−
ȳ∓
z α/2 σ2X
nX +
σ2Y
nY ,
donde z α/2 es el valor que delimita un área de α/2 a su derecha en la
gráfica de función de densidad normal estándar.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
14/45
14/45
AtrásCerrar
En virtud del teorema de ĺımite central, este resultado puede usarse con
muestras aleatorias independientes de poblaciones no normales con las
varianzas conocidas σ2
X
y σ2
Y
, siempre que nX y nY sean lo suficiente-
mente grandes, esto es, cuando nX y nY ≥ 30.
Ejemplo 3.
Construya un intervalo de confianza del 94 % de la diferencia real entre las duraciones en promedio de dos tipos de focos eĺectricos, dado que
una muestra tomada al azar de 40 focos de un tipo dur´ o en promedio
418 horas de uso continuo y 50 focos de otra clase duraron en promedio
402 horas. Las desviaciones estándar de las poblaciones, seg´ un se sabe,
son σ1 = 26 y σ2 = 22.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
15/45
15/45
AtrásCerrar
Solución:
Para α = 0,06, se tiene de la función de distribución acumulativa normal
estándar que z 0,03 = 1,88. Por lo tanto, el intervalo de confianza del 94 %
de µ1−
µ2 es
(418− 402)∓ 1,88 ·
262
40 +
222
50 ,
que se reduce a
6,3 < µ1 − µ2
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
16/45
16/45
AtrásCerrar
Caso II: Varianzas desconocidas e iguales
Si las varianzas σ2X y σ2Y se desconocen pero son iguales, entonces la
variable aleatoria
T = X − Y − (µX − µY )
S p
1nX
+ 1nY
tiene una distribución t de Student con k = nX + nY − 2 grados delibertad. Al sustituir esta expresión por T en
P (−tα/2,k < T < tα/2,k),entonces, un intervalo de confianza de (1 − α)100 % para µX − µY está dado por:
x̄− ȳ ∓ tα/2,ks p
1
nX +
1
nY ,
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
17/45
17/45
AtrásCerrar
donde tα/2,n−1 es el valor de t con n− 1 grados de libertad que delimitaun área de α/2 a su derecha en la gráfica de función de densidad de
t-Student y el estimado combinado de la varianza común es
s2 p = (nX − 1)s2X + (nY − 1)s
2Y
nX + nY − 2 .
Ejemplo 4.
Se ha realizado un estudio para comparar el contenido de nicotina de
dos marcas de cigarrillos. Diez cigarrillos de la marca A tuvieron un con-
tenido de nicotina en promedio de 3,1 miligramos con una desviaci´ on de
0,5 miligramos, mientras que ocho cigarrillos de marca B tuvieron un
contenido de nicotine en promedio de 2,7 miligramos con una desviaci´ on
estándar de 0,7 miligramo. Suponiendo que los dos conjuntos de datos son muestras tomadas al azar de poblaciones normales con varianzas
iguales, construya un intervalo de confianza del 95 % de la diferencia
real en el contenido promedio de nicotina de las dos marcas de cigarrillos.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
18/45
18/45
AtrásCerrar
Solución:
Se resumirán los datos de la siguiente manera:
Marca A Marca B
n1 = 10 n2 = 8
x̄1 = 3,1 x̄2 = 2,7
s1 = 0,5 s2 = 0,7
Para α = 0,05 y n1 + n2 − 2 = 16 grados de libertad, se tiene de latabla de cuantiles de la distribución t de Student que t0,025;16 = 2,120.
El valor de s p es
s p =
9(0,25) + 7(0,49)
16 = 0,596.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
19/45
19/45
AtrásCerrar
Por consiguiente, el intervalo de confianza del 95 % para µ1 − µ2 es
(3,1 − 2,7)∓ 2,120(0,596)
110
+ 18
,
que se reduce a
−0,20 < µ1 − µ2
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
20/45
20/45
AtrásCerrar
Caso III: Varianzas desconocidas y diferentes
Si x̄1 y s21, x̄2 y s
22 son las medias y varianzas muestrales de
muestras pequeñas e independientes de tamaños n1 y n2 respectiva-
mente, tomadas de distribuciones normales con varianzas diferentes ydesconocidas, un intervalo de confianza de (1 − α)100 % para µ1 − µ2está dada por:
(x̄1 − x̄2) ∓ tα/2 s21
n1 +
s22n2 ,
donde tα/2 es el valor de t que delimita una área de α/2 a su derecha en
la gráfica de función de densidad t-Student, con k grados de libertad,
k =
s21n1 +
s22
n22
s21
n1
2/(n1 − 1)
+
s22
n2
2/(n2 − 1)
.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
21/45
21/45
AtrásCerrar
Ejemplo 5.
En un proceso qúımico, dos catalizadores están siendo comparados por
su efecto en el resultado de la reacci´ on del proceso. Se prepar´ o una
muestra de 12 lotes utilizando el catalizador 1 y una muestra de 10 lotes
utilizando el catalizador 2. Los 12 lotes en los cuales se utiliz´ o el catali-
zador 1 dieron un rendimiento medio de 85 con una desviaci´ on est́andar
de 4, en tanto que el rendimiento para la segunda muestra fue de 81con una desviaci´ on estándar de 5. Obtenga un intervalo de confianza de
90 % para la diferencia entre las medias poblacionales, suponiendo que
éstas están distribuidas en forma aproximadamente normal, con varian-
zas distintas.
Solución:
Se resumirán los datos de la siguiente manera:
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
22/45
22/45
AtrásCerrar
Catalizador 1 Catalizador 2
n1 = 12 n2 = 10
x̄1 = 85 x̄2 = 81
s1 = 4 s
2 = 5
α = 0,1, k = 17 , t0,05;17 = 1,74.
Reemplazando los valores en la fórmula del intervalo de confianza, se
obtiene que
4− 3,41 < µ1 − µ2
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
23/45
23/45
AtrásCerrar
Caso IV: Observaciones pareadas
Las muestras apareadas se obtienen usualmente de dos formas:
a) Como distintas observaciones realizadas sobre los mismos individuos
(situaciones antes-después).
b) Como las observaciones distribuidas por pares donde se asigna un
tratamiento particular a uno de los miembros del par en forma com-
pletamente al azar.
Ejemplo a)
Un ejemplo de observaciones pareadas consiste en considerar a un con-
junto de n personas a las que se le aplica un tratamiento médico y se
mide por ejemplo el nivel de insulina en la sangre antes (X ) y despuésdel mismo (Y ). En este ejemplo no es posible considerar a X e Y como
variables independientes ya que va a existir una dependencia clara entre
las dos variables.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
24/45
24/45
AtrásCerrar
Ejemplo b)
Probar la efectividad de un fertilizante en un determinado cultivo; se
escogen parcelas o sean pequeñas unidades de superficie cultivada y se
les aplica el fertilizante a la mitad de cada parcela. Las poblaciones re-spectivas (tratadas y no tratadas) están ligadas o relacionadas, no son
independientes, entonces se debe considerar la diferencia que hay entre
los miembros de cada par.
Si se quiere probar si hay diferencia entre las poblaciones X y Y , se
define la diferencia entre las observaciones antes-después ó tratadas/no
tratadas como: D = X − Y.Se supone que la variable aleatoria que define la diferencia entre el
antes-después ó tratadas/no tratadas es una variable aleatoria que sedistribuye normalmente, pero cuyas media y varianza son desconocidas
D ∼ N(µD, σ2D).
Si D̄ S l di l d i i´ t́ i d l dif i
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
25/45
25/45
AtrásCerrar
Si D y S D son las media y la desviación t́ıpica de las diferencias
distribuidas normalmente de n pares de mediciones aleatorias, entonces
un intervalo de confianza de (1− α)100 % para µD = µX − µY es:
D̄ − tα/2 S D√ n
< µD < D̄ + tα/2 S D√ n
,
donde tα/2 es el valor de t con k = n−1 grados de libertad, que delimitaun área de α2 a la derecha en la gráfica de función de densidad t-Student.
Ejemplo 6.
Un investigador médico se interesa en determinar si un fármaco experi-
mental tiene el efecto colateral no deseable de elevar la presi´ on sist´ olica
sangúınea. Para conducir un estudio de amplia cobertura se seleccionan
en forma aleatoria 12 personas de diferentes edades y condiciones de salud.
En un ambiente controlado de laboratorio se toma la presión sangúınea
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
26/45
26/45
AtrásCerrar
En un ambiente controlado de laboratorio se toma la presi on sanguınea
de los 12 sujetos y se les administra el fármaco durante un lapso adecua-
do de tiempo después del cual se les vuelve a tomar la presi´ on sangúınea.
PS PS DiferenciasSujeto antes después (despúes-antes)
1 128 134 62 176 174 -23 110 118 84 149 152 35 183 187 46 136 136 07 118 125 78 158 168 109 150 152 2
10 130 128 -211 126 130 412 162 167 5
Determine un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia media
de la presi´ on sist´ olica, considere que la distribuci´ on de diferencia de las
presiones sangúıneas es aproximadamente normal.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
27/45
27/45
AtrásCerrar
Solución:
Para α = 0,05, se tiene de la tabla de cuantiles de la distribución t de
Student que t0,025;11 = 2,201. Al sustituir x̄D = 3,75, sD = 3,7929 y t,el intervalo de confianza del 95 % para µ es
3,75 − 2,40 < µD
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
28/45
28/45
AtrásCerrar
Intervalos de Confianza para varianza
Se examina el problema de construcción de un intervalo de confian-
za para la varianza de la población σ2 cuando se muestra N (µ, σ).
Bajo estas condiciones la distribución de muestreo (n− 1)S 2/σ2 es chi-cuadrada con n− 1 grados de libertad. Entonces es posible determinarlos valores cuant́ıles χ2α/2,n−1 y χ21−α/2,n−1 tales que
P
χ2α/2,n−1 <
(n − 1)S 2σ2
< χ21−α/2,n−1
= 1 − α.
Se puede expresar como
P
(n− 1)S 2χ2α/2,n−1
< σ2 < (n − 1)S 2χ21−α/2,n−1
= 1 − α.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
29/45
29/45
AtrásCerrar
Entonces el intervalo de confianza de (1
−α)100% para σ2 es:
(n − 1)s2χ2α/2,n−1
< σ2 < (n − 1)s2χ21−α/2,n−1
,
donde χ2α/2,n−1, χ
21−
α/2,n−1 son cuantiles χ
2 con k = n
−1 grados de
libertad, que delimitan áreas de α/2 y (1 − α/2) a la izquierda y a laderecha en la gráfica de función de densidad chi-cuadrado respectiva-
mente.
Es un intervalo aleatorio el cual contiene a σ2 y a parámetros conocidos
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
30/45
30/45
AtrásCerrar
Es un intervalo aleatorio el cual contiene a σ y a parametros conocidos
con una probabilidad de 1 − α . De esta forma, con base en los datosde una muestra aleatoria de tamaño n, se calcula el estimado S 2 y el
intervalo de confianza del 100(1−
α) % para σ2.
Se pueden obtener ĺımites de confianza del (1 − α)100% correspondi-entes para σ sacando las ráıces cuadradas de los ĺımites de confianza
para σ2.
Ejemplo 7.
Un proceso produce cierta clase de cojinetes de bola cuyo diámetro
interior es de 3 cm. Se seleccionan, en forma aleatoria, 12 de estos
cojinetes y se miden sus diámetros internos, que resultan ser 3,01; 3,05;
2,99; 2,99; 3,00; 3,02; 2,98; 2,99; 2,97; 2,97; 3,02 y 3,01. Suponiendo que el diámetro es una variable aleatoria normalmente distribuida,
determinar un intervalo de confianza del 99 % para la varianza σ2.
Solución:
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
31/45
31/45
AtrásCerrar
Solucion:
Dado que la confianza deseada es del 99 %, α = 0,01. De la tabla de
cuantiles de la distribución de chi-cuadrada χ20,005;11 y χ20,995;11 son 2,60
y 26,71, respectivamente. El valor calculado de la varianza muestral ess2 = 0,0005455 cm2.
Por lo tanto, un intervalo de confianza del 99 % para σ2 es
(12 − 1)(0,0005455)26,71
< σ2 < (12− 1)(0,0005455)
2,60 ,
ó
0,0002246 < σ2
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
32/45
32/45
AtrásCerrar
Intervalos de Confianza para el cociente
de la varianza
Se supone que se tienen muestras aleatorias provenientes de dos
distribuciones normales con medias y varianzas desconocidas. Sean nX y nY , el tamaño de las muestras y S
2X y S
2Y las varianzas muestrales. El
interés se centra en construir un intervalo de confianza para el cociente
σ2Y /σ2X de las dos varianzas poblacionales. Entonces la variable aleatoria(S 2X /σ
2X )/(S
2Y /σ
2Y ) tiene una distribución F con nX −1 y nY −1 grados
de libertad. Entonces puede escribirse
P
a <
S 2X /σ2X
S 2Y /σ2Y < b
= 1 − α,en donde a y b son los valores cuantiles inferior y superior de una
distribución F tales que
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
33/45
33/45
Atrás
Cerrar
a = 1/f 1−α/2,nY −1,nX −1 y b = f 1−α/2,nX −1,nY −1,
se obtiene
P
a < S 2X S 2Y
· σ2Y σ2X
< b
= 1 − α,
ó
P S 2Y
S 2X · f 1−α/2,nY −1,nX −1 < σ2Y σ2X <
S 2Y ·
f 1−
α/2,nX
−1,nY
−1
S 2X
= 1− α.
Entonces el intervalo de confianza del (1 − α)100 % para σ2Y /σ2X estadado por
s2Y s2X · f 1−α/2,nY −1,nX −1
< σ2Y σ2X
< s2Y · f 1−α/2,nX −1,nY −1
s2X ,
donde1
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
34/45
34/45
Atrás
Cerrar
1
f 1−α/2,nY −1,nX −1= f α/2,nX −1,nY −1
es el cuantil de F con nX − 1 y nY − 1 grados de libertad que delimitaun área de α/2 a la izquierda en la gráfica de función de densidad deF -Fisher. Igualmente, f 1−α/2,nX −1,nY −1 es el cuantil de F con nX − 1y nY − 1 grados de libertad que delimita un área de α/2 a la derechaen la gráfica de función de densidad de F -Fisher.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
35/45
35/45
Atrás
Cerrar
Ejemplo 8.
Se considera usar dos marcas diferentes de pinturas látex. El tiempo de
secado en horas se mide en espećımenes de muestras del uso de las dos
pinturas. Se seleccionan 15 espećımenes de cada una y los tiempo de secado son los siguientes:
A 3.5 2.7 3.9 4.2 3.6 2.7 3.3 5.2 4.2 2.9 4.4 5.2 4.0 4.1 3.4B 4.7 3.9 4.5 5.5 4.0 5.3 4.3 6.0 5.2 3.7 5.5 6.2 5.1 5.4 4.8
Suponga que el tiempo de secado se distribuye normalmente. Encuentre
intervalo del 98 % de confianza para σ2A
σ2B
.
Solución:
Los valores calculados de las varianzas muestrales son s2A = 0,6074286 y
s2B = 0,5682857. Dado que la confianza deseada es del 98 %, α = 0,02,
de la tabla de los valores cuantiles de la distribución F el valor del cuan-
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
36/45
36/45
Atrás
Cerrar
til f 0,99;14;14 es 3,697541.
Por lo tanto el intervalo de confianza del 98 % para el cociente σ2A
σ2
B
de
las dos varianzas desconocidas es:
0,6074286
(3,697541)(0,5682857) <
σ2Aσ2B
< (3,697541)(0,6074286)
0,5682857 ,
0,2890783 < σ2A
σ2B
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
37/45
37/45
Atrás
Cerrar
Intervalos de Confianza para la
proporción
En una muestra aleatoria de tamaño n el parámetro p que representa
la proporción de algún atributo es desconocido. Se desea determinar
un intervalo de confianza para p. A pesar de que es posible determi-
nar intervalos de confianza exactos para p, se optará por un intervalo
de confianza basado en una muestra grande. La razón de esta decisióntiene sus ráıces en el teorema DeMoivre-Laplace, el cual establece que la
distribución de una variables aleatoria binomial tiende hacia una normal
cuando n tiende a infinito.
El estimador de máxima verosimilitud de p, denotado por P̂ , es
P̂ = X
n,
en donde X es binomial con parámetro n y p. Se nota que P̂ es un
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
38/45
38/45
Atrás
Cerrar
p y p q
estimador insesgado de p, ya que
E ( P̂ ) = p.
La varianza de P̂ es:
V ar( P̂ ) = p(1− p)/n.
Para n grande, la variable aleatoria (X −
np)/ np(1 − p) es apro-ximadamente N (0, 1). Entonces puede demostrarse que la distribuciónde
P̂ − p
P̂ (1−P̂ )ntambién tiende a N (0, 1) para n grande.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
39/45
39/45
Atrás
Cerrar
De esta forma, la probabilidad del intervalo aleatorio es
P
−z α/2 < P̂ − p ̂P (1−P̂ )
n
< z α/2
= 1 − α.De acuerdo a lo anterior el intervalo de confianza para p es
ˆ p− z α/2 ̂
p(1 − ˆ p)n
< p < ˆ p + z α/2
̂ p(1 − ˆ p)
n ,
donde z α/2 es el valor que delimita un area de α/2 a su derecha en la
gráfica de función de densidad normal estándar.
Ejemplo 9.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
40/45
40/45
Atrás
Cerrar
En una muestra aleatoria de n = 500 grupos de investigaci´ on en el
campo de la Qúımica a nivel mundial, se hall´ o que los miembros de 340
grupos de investigaci´ on han participado en por lo menos un Congreso Internacional de Qúımica. Obtenga un intervalo de confianza de 95 %
para estimar la proporci´ on real de grupos de investigaci´ on que han
participado de un Congreso Internacional de Qúımica.
Solución:
Para α = 0,05, se tiene de la función de distribución acumulativa normal
estándar que z 0,025 = 1,96. El valor calculado de la proporción muestrales ˆ p = 340/500 = 0,68.
R l d l l l f l d l i l d fi d l
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
41/45
41/45
Atrás
Cerrar
Reemplazando los valores en la formula del intervalo de confianza del
95 % para p se obtiene
0,68 − 1,96
(0,68)(0,32)
500 < p
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
42/45
42/45
Atrás
Cerrar
Intervalos de Confianza para diferencia
entre proporciones
Si los números respectivos de éxitos son X 1 y X 2, y las proporciones
muestrales correspondientes se denotan por P̂ 1 = X 1
n1y P̂ 2 =
X 2n2
, un
intervalo de confianza de (1
−α)100% para p1
− p2 está dado por
(ˆ p1 − ˆ p2) ∓ z α/2 · ̂
p1(1 − ˆ p1)n1
+ ˆ p2(1− ˆ p2)
n2,
donde z α/2 es el valor de Z que limita un área de α/2 a su derecha en
la gráfica de función de densidad normal estándar.
Ej l 10
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
43/45
43/45
Atrás
Cerrar
Ejemplo 10.
Si 132 de 200 votantes hombres y 90 de 150 votantes mujeres están a
favor de cierto candidato que hace campa˜ na para gobernador de Illinois,encuentre un intervalo de confianza del 99 % para la diferencia entre las
proporciones reales de votantes hombres y votantes mujeres que están
a favor del candidato.
Solución:
Se sustituye ˆ p1 = 132/200 = 0,66, ˆ p2 = 90/150 = 0,60 y z 0,005 = 2,575
en la fórmula del intervalo de confianza y se obtiene
(0,66 − 0,60) ∓ 2,575
(0,66)(0,34)
200 +
(0,60)(0,40)
150 ,
l d
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
44/45
44/45
Atrás
Cerrar
lo que se reduce a
−0,074 < p1
− p2
8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3
45/45
45/45
Atrás
Cerrar
Referencias
1 G. C. Canavos. 1988. Probabilidad y Estad́ıstica - Aplicaciones y
Métodos . Mc. Graw Hill, Mexico.
2 J. E. Freund, I. Miller & M. Miller. 2000. Estad́ıstica Matemática
con Aplicaciones. Pearson Prentice Hall, Mexico.
http://lastpage/http://close/http://close/http://lastpage/