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ESTIMACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE VOLATILIDAD SOBRE EL ÍNDICE
COLCAP, PARA LA CREACIÓN Y VALORACIÓN DE UN MERCADO DE
OPCIONES COLOMBIANO, COMO BASE DEL CVIX
Jenny Viviana Santana Forero
y
Diana Patricia Figueroa Aguilar
Categoría Pregrado
2
ESTIMACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE VOLATILIDAD SOBRE EL ÍNDICE
COLCAP, PARA LA CREACIÓN Y VALORACIÓN DE UN MERCADO DE
OPCIONES COLOMBIANO, COMO BASE DEL CVIX
El crecimiento presentado en el mercado bursátil colombiano de renta variable, junto
a la introducción del índice COLCAP como referencia para aquellos inversionistas
que estructuren sus portafolios con un beta que replique el mercado, han permitido
el desarrollo de este trabajo que contempla la creación de una opción sobre el
índice COLCAP y el planteamiento de un mercado de opciones inexistente en el
país, base para el índice CVIX como instrumentos de cobertura. La volatilidad
implícita, variable fundamental en la valoración de las primas, es extraída de una
superficie de volatilidad modelada a partir de una aproximación econofísica y la
teoría de Black and Scholes, en función del plazo al vencimiento y deltas. Una vez
contempladas todas las variables se procede a calcular para el primer día de
negociación, un mercado de opciones que contempla 182.400 datos e igual número
de volatilidades de donde se estima finalmente el índice CVIX.
Palabras clave: Cobertura, Jump Diffusion, Opciones, Superficie de Volatilidad,
Volatilidad Histórica, Volatilidad Implícita, VIX, Mercado de Opciones, Mercado de
Volatilidades.
Clasificación JEL: G10, G17
3
1. INTRODUCCIÓN
Los inversionistas y administradores de portafolios de renta variable están
expuestos a un riesgo de mercado constante por la incertidumbre que genera el
mercado accionario, para lo cual el mercado bursátil colombiano carece de
alternativas estandarizadas como instrumentos de cobertura. Por ello se quiere
ofrecer al mercado de valores colombiano un marco de referencia para el primer
día de negociación de opciones sobre el índice bursátil COLCAP1, mientras se da
inicio al desarrollo de este tipo de contratos en el mercado bursátil y a su vez
proponer la introducción de un índice de volatilidad al que denominamos CVIX2.
Los mercados desarrollados contemplan la negociación y precio de las primas en
base a la percepción del mercado y la ley de oferta y demanda, con lo cual la
volatilidad que se negocia es consolidada a través de una superficie de volatilidad,
considerándose implícito el precio de la opción.
El presente trabajo centra su importancia en el desarrollo de la superficie, para lo
cual se emplea una metodología mixta dando igual relevancia al estudio cualitativo
del caso-proyecto y los resultados obtenidos cuantitativamente. Para ello se
analizan y desarrollan procedimientos teóricos y relaciones matemáticas, que
permiten obtener valores aceptables y lógicos en el cálculo de las variables a
intervenir en la estimación de las primas a negociar sobre el índice COLCAP, de
manera que se pueda estructurar un mercado de opciones3 y de volatilidades4, y
una vez con esta información plantear y valorar el índice CVIX.
La superficie de volatilidad5 es desarrollada mediante una aproximación al modelo
econofísico Jump Diffusion desarrollado por Robert Merton; la estimación de los
1 Índice de capitalización de la Bolsa de Valores de Colombia (BVC), que refleja las variaciones de los precios de las 20 acciones más
líquidas. 2 Nombre dado por los autores al índice de volatilidad para el mercado colombiano, el nombre original es VIX en Estados Unidos. 3 Medio que permite la iteración de agentes y clientes, donde son negociadas las primas de un activo subyacente, para nuestro caso, el
índice COLCAP. 4 Mercado donde se negocian las volatilidades implícitas de las primas tranzadas en el mercado de opciones. 5 Corresponde a una representación visual tridimensional de las volatilidades implícitas asociadas a las opciones de un mismo activo
subyacente, a diferentes precios de ejercicio y fechas de vencimiento.
4
strikes y su posterior simulación empleando el método Monte Carlo apoyado en el
software Risk Simulator; de manera que se puedan obtener diferentes escenarios
de negociación, se calculan los deltas y diferentes medidas de moneyness
mediante BSM6 como base de la superficie de volatilidad, en función del delta y el
periodo de maduración de la opción, con ello se puede estimar las primas tanto de
opciones call como put, y por último el valor del CVIX es calculado en base a la
metodología aplicada en Mexder,7 estructurada a partir de la implementada por el
CBOE8 para el día correspondiente a la fecha del spot.
2. MARCO REFERENCIAL
Los instrumentos financieros derivados, han sido empleados como objeto para
mitigar y distribuir los riesgos entre los inversionistas, lo que ha contribuido a dar
mayor eficiencia al mercado, ya que permiten operaciones de especulación y
cobertura en un mismo portafolio. Dentro de este mercado se presentan diferentes
tipos de instrumentos entre otros las opciones.
Los Contratos de Opciones son contratos donde se adquiere el “derecho”, más no
la obligación de comprar o vender un activo subyacente, a un precio determinado
y en una fecha futura establecida.
A diferencia de los otros instrumentos financieros, los contratos de opciones
proveen un seguro contra los movimientos de los precios, con la ventaja que el
valor de la perdida es limitada al no exceder el valor de la prima de negociación,
mientras que la ganancia es ilimitada; por tanto se va hacer énfasis en el estudio
de este derivado en particular.
6Abreviación para el modelo Black and Scholes - Merton 7Bolsa de Valores de México 8Mercado de Opciones de Chicago
5
2.1TIPOS DE OPCIONES Existen dos tipos de opciones, la primera es la opción de compra (call), y la
segunda es la opción de venta (put).
Dependiendo de la posición que exista respecto al precio de mercado, las
opciones pueden encontrarse en dinero, a dinero, y fuera de dinero, o también
nombrado in the money (ITM), at the money (ATM), out of the money (OTM)
respectivamente.
Una opción en dinero es aquella que genera un flujo de caja positivo para el
inversionista en caso de ejercerla en el momento; por otro lado una opción a
dinero es aquella donde el flujo de caja es cero, mientras que una opción fuera de
dinero generaría flujo de caja negativo si se ejerce inmediatamente
2.1.1 OPCIONES SOBRE ÍNDICES BURSÁTILES Los contratos de opciones sobre índices bursátiles, se presentan para realizar
cobertura de riesgos inherentes a la inversión en portafolios de renta variable; El
costo que el comprador abonará al vendedor por la opción, se denomina prima,
cuyo valor depende de diversos factores:
- Precio spot (S) corresponde al precio de negociación del mercado.
- Precio de ejercicio (Strike) (K): Precio al que el usuario decide tomar el contrato.
- Dividendos (q): Se define como la reducción del precio de la acción, en la fecha
ex dividendo como consecuencia de cualquier dividendo declarado, siendo q igual
al rendimiento de dividendos promedio anualizado durante la vida de la opción9.
- Tasa libre de riesgo(r): Es el rendimiento total que proporciona la acción en un
escenario neutral al riesgo.
9JhonC.Hull, Introducción a los Mercados de Futuros y Opciones; Capitulo 13 opciones sobre índices y divisas, página
302
6
- Volatilidad ( : Se define como la medida de incertidumbre, sobre los
movimientos futuros del precio. Al ser un parámetro que no se puede observar
directamente en el modelo Black and Scholes Merton, en el mercado real, es
tranzado por medio de una superficie de volatilidad, la cual suministra las
volatilidades implícitas siendo estas las esperadas por el mercado; Esta superficie
fue propuesta por Dupire10 y desarrollada en 1994 por Derman11, Kani y Rubinstein
donde muestra que su función está dada por el delta y el plazo, denominada
igualmente varianza local12.
- Plazo: se considera la fecha de vencimiento de la opción, para el caso de las
opciones europeas, al menor vencimiento las primas valen más.
2.1.2 UTILIDADES DE LAS OPCIONES SOBRE ÍNDICES Las opciones sobre índices permiten la cobertura de portafolios de renta variable
con un beta=1, es decir que repliquen el índice, de ser así, es apropiado para el
inversionista comprar una opción de venta que permita la cobertura contra
disminución en el precio de cotización del subyacente; pero si por el contario el
beta es <1, al no replicar por completo las acciones que componen el índice y se
predice que estas acciones van a disminuir, es conveniente para el inversionista
comprar una opción de compra que le permita un beneficio si el índice incrementa
su valor.
2.2 MERCADO DE OPCIONES El mercado de opciones es el medio que permite la iteración de agentes y clientes,
donde pueden negociar un activo subyacente de manera que puedan especular un
riesgo a cambio de una ganancia o realizar una operación de cobertura cuyo fin es
10
Bruno Dupire: Director de Investigación Cuantitativa en Bloomberg LP. 11
Emanuel Derman: Académico en la universidad de Columbia del programa ingeniería financiera, empresario y escritor. 12
Rodriguez Arrieta Daniel, Título: L a superficie de volatilidad, Universidad Complutense de Madrid, 2012.
7
el reducir o mitigar los riesgos que se derivan de la fluctuación de los precios del
activo subyacente.
Para hacer más eficiente el tema de cobertura, fue considerada la volatilidad
implícita de los subyacentes negociados, como base para un nuevo índice que
midiera la expectativa al corto plazo, dando lugar al índice de volatilidad VIX13, el
cual fue implementado en 1993 por el CBOE, en base a las opciones negociadas
sobre el índice S&P 50014, para medir el nivel de volatilidad implícita del mercado.
El VIX es un indicador que determina la volatilidad que los inversores esperan
para los siguientes 30 días, midiendo las posibles pérdidas15, Cada vez es
implementado por más inversionistas en el corto y mediano plazo, ya que se
puede monitorear en forma intradía.
Estados Unidos fue el primer mercado en implementar este indicador seguido por
el mercado alemán en 1994 con el VDAX, en países latinoamericanos, el más
grande es el mercado mexicano con el desarrollo del VIMEX, indicador que se
realiza sobre las opciones del futuro del IPC, su medición está dada para un
periodo de 3 meses.
2.3 MERCADO DE DERIVADOS EN COLOMBIA Este mercado inicia partir de septiembre de 2008 con la introducción de futuros
sobre títulos de deuda pública del Gobierno nacional, A mediados de Junio de
2009, se realizan operaciones de futuros sobre la tasa de cambio, negociación con
divisas, también se ha ido desarrollando un mercado de derivados de energía
eléctrica, aunque su volumen ha sido bajo por su poca liquidez16.
13
Volatility Index 14
Standard and Poors 500, está conformado por 400 compañías industriales, 20 de transporte, 40 de servicio público, y 40 financieras, las más representativas de la bolsa.
15Guiner Javier, Morini Sandra, Título: Midiendo la volatilidad del mercado de opciones VIX, Universidad de la Laguna,
2002 16
González Alejandro, Título: Desarrollo del mercado de derivados en Colombia. http://www.deceval.com.co/portal/page/portal/Home/Gestion_Corporativa/Enfoque/2009/Enfoque35-09.pdf
8
De acuerdo al reporte entregado por el foro económico mundial para el año 2013,
el mercado colombiano tranzó US$ 1.5 billones, es decir tan solo el 0,13% y el
0.60% del mercado de Brasil y México respectivamente, por lo que se concluye
que en Colombia este mercado es débil, con un mínimo volumen de negociación,
de baja diversificación ya que no desarrollan la mayoría de los productos
derivados, y se concentran principalmente en operaciones OTC17.
En la Ley 964 de 2005, queda establecido que los derivados financieros, dentro
de los cuales se incluyen las opciones, serán regulados como valores siempre que
los mismos sean estandarizados y susceptibles de ser transados en bolsas de
valores o en otros sistemas de negociación; de esta manera se crea la Cámara de
Riesgo Central de Contraparte, para mitigar los riesgos de contraparte y facilitar
liquidez de las operaciones.
2.3.1 MERCADO DE OPCIONES EN COLOMBIA Los contratos de opciones no han sido ajenos al mercado financiero en Colombia,
pues de hecho se realizan por entidades financieras y otros agentes del sector real
de la economía. Sin embargo, su desarrollo en el mercado de valores colombiano
se ha visto frenado por dos grandes limitaciones:
La falta de una normatividad adecuada y
La falta de agentes especializados.18
Como consecuencia en la actualidad son negociados los siguientes contratos:
Opciones sobre títulos valores de deuda pública o privada: Desde el punto de
vista de capacidad legal, las sociedades comisionistas de bolsa se encuentran
facultadas para celebrar operaciones de opciones, bien por cuenta propia o por
17 Operaciones OTC, Over the Counter, son operaciones de derivados no estandarizados que se transan a través de dos agentes o
contrapartes. 18 Concepto 20048-1009 del 12 de enero de 2005 de la Superintendencia de Valores.
9
cuenta de terceros, siempre que se encuentren inscritas en el Registro Nacional
de Valores y Emisores19.
Opciones sobre divisas: Desde el punto de vista de capacidad legal las
sociedades comisionistas de bolsa tienen un marco expreso de actuación como
intermediarios del mercado cambiario, recogido en la Resolución 8 de 2000.
2.4 UNA APROXIMACION AL MERCADO DE OPCIONES COLOMBIANO,
SOBRE UN ÍNDICE BURSATIL
A continuación se plantean los procedimientos teóricos y relaciones matemáticas
a considerar para el desarrollo del proyecto, que permiten obtener valores
aceptables y lógicos en el cálculo de las variables, que intervienen en la
estimación de las primas a negociar sobre el índice COLCAP.
2.4.1 LA VOLATILIDAD IMPLICITA Vs VOLATILIDAD HISTÓRICA
Una variable fundamental en el desarrollo del mercado financiero, es la volatilidad
la cual nos permite medir, estimar y cuantificar los cambios que se presentan con
las rentabilidades de diferentes activos, y que no se pueden predecir.
Existen dos tipos de volatilidades, la primera es determinista, que es aquella que si
presenta cambio lo hace de manera cierta y conocida, asociada a la volatilidad
histórica y la segunda es la estocástica es aquella que presenta cambios de
manera incierta y desconocida, asociada a la volatilidad implícita.
En vista que los precios de los derivados financieros son derivados a su vez del
activo subyacente sobre el cuál se realiza la negociación, se demostró que la
19 Registro que posee por objeto matricular las clases y tipos de valores, a los emisores de los mismos y las emisiones, adicionalmente
legaliza lo relacionado con la filiación de dichos emisores, clases y tipos de valores. Las ofertas públicas de valores se obligarán a estar precedidas por la inscripción en el RNVE.
10
volatilidad sobre el precio del subyacente está relacionada con la volatilidad sobre
el precio del derivado como tal (Tagliafichi 2008)20.
Cuando las volatilidades históricas del subyacente en el corto plazo son bajas con
respecto al mercado, la volatilidad implícita tiende a ser una función creciente del
vencimiento, debido a la expectativa de los inversionistas de que estas aumenten
y viceversa. Acorde a lo mencionado en el supuesto de normalidad que atribuye a
los retornos un movimiento independiente a los sucesos pasados, y comprobado
que ello no se cumple, Tagliafichi en un estudio ajeno a lo aquí mencionado,
realiza un comparativo entre el resultado obtenido al valorar una prima teórica
mediante BS estilo europeo mediante la estimación de la volatilidad a partir de una
serie temporal de los rendimientos del subyacente, empleando modelos
heterocedásticos no lineales de volatilidad condicionada a un pasado reciente,
como lo es el modelo GARCH(1,1)
Los resultados obtenidos con el modelo tradicional21 llegando a las siguientes
conclusiones: (Gráfica 1).
Cuando la volatilidad no lineal se acerca a la volatilidad tradicional, los
precios teóricos están por encima de las primas que cobra el mercado.
Cuando la volatilidad estimada mediante GARCH (1,1) se encuentra por
encima de la volatilidad tradicional, las primas tienden a estar a la par del
mercado.
Por tanto una fuente que asegura la confiabilidad del modelo a realizar mediante la
implementación de la superficie de volatilidad, se constituye en la comparación de
las primas halladas implícitas extraídas de la superficie y la volatilidad histórica
estimada para el índice COLCAP mediante la modelación de varianza
condicionada.
20Ricardo A. Tagliafichi, Actuario de la Universidad Nacional de Buenos Aires, Profesor de valuación de activos en la Universidad de
Palermo, autordel paper “La volatilidad, su cálculo e incidencia en los precios de los derivados” publicado por Palermo Bussines Review
en 2008, de donde referimos para este tema, las principales conclusiones obtenidas por el autor. 21 Modelo de simulación histórica.
11
Gráfica 1. Diferencia entre el modelo de volatilidad tradicional y el modelo GARCH (1,1), y diferencia entre las primas teóricas y reales
Fuente: Palermo Bussines Review /N°2/2008, pág. 10
2.4.2 VALORACIÓN DE OPCIONES: MODELO BSM El método de valoración de opciones generalizado en los mercados corresponde
al estilo europeo propuesto por Black and Scholes (BSM) en 1973, por la
simplicidad de sus cálculos y su algoritmo sencillo, con la modificación realizada
por Merton en 1978 para la valoración de opciones sobre acciones que pagan
dividendos, cuya formulación se presenta en la siguiente ecuación
( ( [1]
( ( [2]
Donde:
(
(
)
√ [3]
√ [4] Donde k es el strike o precio del ejercicio, r la tasa libre de riesgo, q tasa de
dividendos, precio actual del subyacente, T número de días que faltan para el
vencimiento de la opción, volatilidad del subyacente y ( y (
corresponden al valor de la distribución normal estándar.
12
Entre los supuestos se consideran que la varianza del activo subyacente
permanece constante hasta el vencimiento del instrumento, contrario a ello y dado
que los agentes del mercado asignan de manera implícita una volatilidad para
diferentes precios de ejercicio o niveles de moneyness22que captura las
expectativas de los participantes, las cuales, al ser graficadas se visualizan como
una sonrisa o mueca, lo que se conoce generalmente como volatility smile, skew o
smirk, estas últimas típicas de índices accionarios. (Gráfica 2); es decir, que la
volatilidad usada para evaluar una opción o hallar su precio o prima, depende de
su precio de ejercicio y el tiempo al vencimiento.23. De esta manera si se acomoda
la volatilidad como función del precio de ejercicio [σ(K)] y los diferentes plazos de
negociación [σ(T)] en un día, se obtiene la superficie de volatilidad [σ(K,T)].
Gráfica 2. Sonrisa de Volatilidad para un índice accionario
Fuente: Visual Risk
La volatilidad menciona es la implícita estimada mediante el delta neutral, el cual
refleja el cambio del strike ante cambios en el spot de acuerdo al modelo de B&S.
Su formulación se presenta en la siguiente ecuación:
22En los mercados de derivados para simplificar el uso de diferentes precios de ejercicio, a la vez que la volatilidad asociada, se
estandariza una medida denominada moneyness, mediante el cociente [(K,S)], el retorno del cociente suavizado al vencimiento
[ln(K/S)/σ√t], o el delta de la opción. 23JhonC.Hull, Introducción a los Mercados de Futuros y Opciones; Capitulo 17: Sonrisa de Volatilidad.
13
[ (
(
)
√ ] [5]
2.4.3 SUPERFICIE DE VOLATILIDAD Para el desarrollo de la superficie de volatilidad se plantea un modelo propio
empleando los supuestos generales del modelo Jump Diffusion, estudiado en
Colombia por el autor Carlos León24 cuya investigación fue publicada por el Banco
de la República25 y quien realiza un aproximación teórica con este método para
modelar una superficie de volatilidad en el mercado cambiario. El autor concluye
que los resultados encontrados se ajustan a lo señalado por la evidencia de
mercados de opciones desarrollados.
Al conocerse la volatilidad (dada por la superficie), el strike, el spot y el plazo, lo
que el mercado considera realmente implícito es la prima de la opción, tanto así,
que se negocian las volatilidades implícitas directamente mediante el VIX.
La estimación de los precios de la opción con volatilidades implícitas extraídas de
la superficie de volatilidad surge en vista que los supuestos contemplados por la
metodología BSM no reconocen la realidad de los mercados, el más evidente
corresponde a que los precios siguen un movimiento browniano o de caminata
aleatoria (random walk), por lo que se asume, entre otros que:
i. Las características de tendencia y volatilidad son constantes en el
tiempo.
ii. Los retornos son independientes, no existe correlación con cambios
anteriores.
iii. Los retornos del subyacente son continuos, no presentan saltos o picos.
iv. Los retornos tienen una distribución normal.
24Investigador del Departamento de Operaciones y Desarrollo de Mercados de la Subgerencia Monetaria y de Reservas del Banco de
la República de Colombia. 25Título de la Investigación: “Una aproximación teórica a la superficie de volatilidad en el mercado colombiano a través del modelo
de difusión con saltos”; Borrador de Economía N° 570 del año 2009.
14
El primer supuesto se abordó con anterioridad; el segundo, según Mandelbrot y
Hudson (2004) comprueban que cambios grandes o pequeños en el activo
financiero tienden a ser seguidos por otros de similar tamaño, lo que se conoce
como agrupamiento de volatilidad o volatility clustering.
El autor, en el tercer y cuarto supuesto, de nuestro interés, demuestra mediante
inspección gráfica, que la distribución empírica difiere de la normal; a su vez la
curtosis excede entre 3 y 6 veces el supuesto de normalidad (3), y esta diferencia
es más notoria para las observaciones que exceden 2 desviaciones estándar, es
decir los saltos, que representan los eventos extremos conocidos también como
colas anchas.
Así mismo, el sesgo difiere significativamente de cero, por lo cual las
observaciones se concentran hacia un lado de la distribución, si es positivo hacia
la cola derecha y si es negativo hacia la cola izquierda.
En conclusión la evidencia reveló que los precios de los activos financieros
“saltan”, por tanto no puede ser ignorado este evento y debe ser considerado
como elemento esencial en los mercados.
2.4.4 VIX
Una vez se cuentan con los precios estimados y negociados en un día, se
conforma el mercado de opciones con el cuál, extraídas las volatilidades
implícitas, es conformado un mercado de volatilidad donde estas son negociadas.
Para su cálculo se presentan las fórmulas a continuación:
y
[6]
y
[7]
+
[8]
+
[9]
15
VIX
+
[10]
Cuando se presenta un índice de volatilidad alto, los inversionistas cubren sus
portafolios por medio de compra en opciones put, por el contrario si el índice es
bajo no habrá necesidad de adquirir esta cobertura.
3. METODOLOGÍA Y DESARROLLO DE UN MERCADO DE OPCIONES SOBRE
EL ÍNDICE COLCAP
3.1 ESTIMACIÓN DE STRIKES A continuación se relaciona el desarrollo para la obtención de los precios, que
permitirán establecer los niveles de moneyness de acuerdo al delta de la opción.
3.1.1 APROXIMACIÓN JUMP
Esta aproximación consiste en la división de los retornos del índice mediante la
desviación estándar de la serie26, se define el número de desviaciones que
generan exceso de curtosis27 como parámetro de división y así se obtienen dos
series nuevas: una sin saltos (browniana) que presenta una curtosis aproximada a
cero y corresponde a los movimientos cuya magnitud estandarizada es igual o
inferior a dicho límite y otra con saltos, esta última con exceso de curtosis (Gráfico
3). Definimos saltos como aquellas variaciones súbitas en los precios ya sean
aumentos o disminuciones para un tiempo dado, y que no asumen normalidad, es
decir, no hay manera de predecirlas.
La desviación estándar de la serie de los retornos original, arroja un resultado de
0.0104816; la serie normal presenta una curtosis de 3, mientras que la serie con
saltos presenta exceso de curtosis del 12,6765, confirmando lo antes mencionado.
26 periodicidad de la serie de precios del 04 de enero de 2010 al 15 de febrero de 2012.Los retornos en esta periodicidad mostraron
picos o “saltos” que permitirán la aplicación de un modelo más ajustado. 27 Se refiere al grado de empinación de una distribución con respecto a la normal. Si este valor es próximo a 0, la distribución sigue
una distribución normal.
16
Gráfica 3. Gráfica retornos con saltos
Fuente: Autores, con datos de la BVC
3.1.2 SIMULACIÓN DE MONTECARLO
Mediante el software Risk Simulator 2013 en el módulo de análisis de datos se
hace la simulación de acuerdo a la distribución de probabilidad que presente mejor
ajuste de bondad mediante el p-valor, la primera debe presentar normalidad, pues
es la finalidad de la aproximación Jump.
La bondad de ajuste será evaluada entre estos tres métodos:
Método chi cuadrado: comprobación de distribuciones discretas y
continuas, con un valor de bondad de ajuste > de 0.5.
Método Kolmogorovsmirnov: distribuciones continuas, con un valor de
bondad de ajuste < al 0.03.
Método Anderson Darling: análisis del área de las colas, presentando un
valor de bondad de ajuste < a 1.5028.
Para la simulación de la serie browniana, se valida la distribución por medio de la
prueba Kolmogorov Smirnov, mostrando como resultado, una distribución normal
28Centeno Roberto, Simulación de Montecarlo y su aplicación a la ingeniería geotecnia, capítulo. Pruebas de bondad de ajuste para la
data con la que se pretende simular
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,0320110103
20110113
20110124
20110202
20110211
20110222
20110303
20110314
20110324
20110404
20110413
20110426
20110505
20110516
20110525
20110603
20110615
20110624
20110707
20110718
20110728
20110808
20110818
20110829
20110907
20110916
20110927
20111006
20111018
20111027
20111108
20111118
20111129
20111209
20111220
RETORNOS MODELADOSAPROXIMACION JUMP
RETORNOS NORMALES
17
con el 97,41% de confianza. Por otro lado se muestra una distribución
multiplicativa de Beta para la serie con saltos y forma exponencial, con un 0,2% de
bondad de ajuste.
3.1.3 ESTIMACIÓN PRECIOS O STRIKE:
Una vez con los retornos simulados (ri), se emplea la fórmula expresada a
continuación para devolverlos a precio nuevamente:
Las dos series de precios se agrupan nuevamente en una sola y se realizan
distintos filtros para escoger de acuerdo al moneyness, aquellos que permitan
observar las diferentes situaciones: ITM, ATM ó OTM, con respecto al Spot29.
3.2 SUPERFICIE DE VOLATILIDAD
La superficie está conformada por tres variables: la volatilidad, el plazo y el
moneyness. Los plazos corresponden a los publicados en Bloomberg30: 1 día, 7
días, 14 días, hasta 1828 días al vencimiento.
Adicionalmente, el moneyness está dado por el delta de la opción de acuerdo a la
misma página de referencia: 0.1, 0.25, 0.5, 0.75 y 0.9
La volatilidad es estimada con la fórmula delta neutral [8]. Para ello se cuenta con
el spot, los distintos strikes, el plazo, por lo tanto, se debe buscar la volatilidad que
de acuerdo al delta establecido permite la igualación de la ecuación.
Este procedimiento se lleva a cabo 85 veces hasta completar los diferentes plazos
al vencimiento para cada moneyness; por tanto se hace necesario una
optimización mediante una primer herramienta en Visual Basic que agrupa los
resultados obtenidos. El resultado final de la superficie se presenta en la gráfica 4.
29 Valor del índice al cierre del 15 de Febrero 2012 (1.690)
30 Red interactiva de información ffinanciera, usado en la mayoría de la empresas bursátiles.
18
3.2.1 VOLATILIDAD IMPLÍCITA
Para hallar la volatilidad de cada prima, se determinan los strikes que se
encuentren ATM, ITM Y OTM, para ello se asume que el spot corresponde al valor
ATM (delta 0.5), en cuanto a los valores que se encuentran ITM (delta 0.75 y 0.9)
y OTM (delta 0.25 y 0.1), se calculan con el strike de referencia a evaluar en la
prima de la opción, en función del spot, tasa libre de riesgo, tasa de dividendos y
el valor delta invertido.
El strike asociado a cada delta, debe encontrarse entre dos puntos, el primero es
que sean por encima o debajo, o los más próximos por debajo del strike de
referencia, así mismo las volatilidades correspondientes a estos, de manera que
como resultado se obtiene una matriz 2x2 para una nueva interpolación.
Para cada prima se estima la volatilidad de acuerdo a cada día al vencimiento y
cada strike, con lo cual se construye un registro que conforma el mercado de
volatilidades, base para el índice de volatilidad CVIX. Este proceso es realizado
mediante una herramienta en Visual Basic.
3.2.2 VOLATILIDAD HISTÓRICA: GARCH
Para su estimación se realizó un modelo Garch (1,1) resultante de la regresión
entre el índice COLCAP (a), COL 20 (b) e IGBC (c), donde se muestra que los
parámetros son significativos de acuerdo a los resultados.
De acuerdo a la fórmula de varianza condicional y una vez realizados los cálculos
en el software Stata31, el modelo resultante se presenta a continuación:
Se comprueban los supuestos donde la constante debe ser mayor que alpha y
beta, y afirmando que la sumatoria de estas dos es menor a 1.
31Programa integrado de estadística.
19
3.2.3 INTERPOLACIÓN
Para la valoración de las primas de la opción es necesario hallar la volatilidad para
cada plazo al vencimiento, con base en la calculadora de opciones de la empresa
Infovalmer32, proveedor de precios del mercado colombiano, cuya base es el
método de interpolación polinómica de primer orden de Newton33, se estima el
valor de la volatilidad para cada plazo contemplado en la superficie de volatilidad.
Se separan por rangos los días al vencimiento de la superficie de volatilidad y con
cada uno de ellos se abstrae la volatilidad asociada, de manera que se establece
la matriz base para realizar la interpolación; Con ella y empleando la fórmula de
interpolación lineal se hallan las volatilidades asociadas para cada delta y cada
día al vencimiento desde el día 1 hasta 1828 días.
En síntesis lo que se logra es ampliar la superficie de volatilidad.
Gráfica 4. Superficie de volatilidad obtenida para el índice COLCAP
Fuente: Autores, mediante software MATLAB
32 www.infovalmer.com 33 O interpolación lineal para hallar un punto medido entre dos puntos dados crecientes o decrecientes.
20
3.3 PRIMA DE LA OPCIÓN
Se valora mediante el modelo BMS para acciones que pagan dividendos
empleando la ecuación [1 y 2] para el cálculo de la prima tanto call como put.
Tasa de Dividendos: Mediante los dividendos efectivamente pagados por las
empresas que componen el COLCAP registrados por el ETF34 Ishare del COLCAP
(ICOLCAP)35 para el periodo del 29 de Dic de 2011 al 30 de Nov de 2012.
Tasa libre de Riesgo: Corresponde a la tasa cero cupón TES 2024 del 16 de feb
de 2012, por ser la referencia más liquida y con mayor volumen de negociación.
Se escoge los días de vencimiento de la opción que se desea estimar, de manera
que pueda observar el valor de la prima con el paso de los días; al contemplar los
diferentes escenarios, el inversionista selecciona cuál le proporciona una mejor
cobertura.
Para la consolidación de las primas en una base de datos se diseñaron dos
programas en Visual Basic, una para las primas Call y otra para primas Put.
La herramienta permite la obtención de todos los posibles valores de primas
mediante la fórmula de BSM estilo europeo, para cada strike (en total 304) y cada
día (desde 1 hasta 1828).
3.4 CVIX
Está conformado por 4 opciones call y 4 put, que se encuentren ATM y con los
plazos al vencimiento más cercano, se escogen dos strike aleatoriamente, uno
ITM y otro OTM, y de acuerdo a las volatilidades obtenidas, se calcula una nueva
media con estos datos para obtener el precio de ejercicio más ATM; por último se
realiza el cálculo del índice, implementando la ecuación 10.
34Ó Fondo Bursátil, es un instrumento financiero que combina las acciones y las carteras colectivas tradicionales; permite acceder en
una sola transacción a los títulos del COLCAP. 35 Busca proporcionar a los inversionistas una rentabilidad similar a la del índice COLCAP, descontando las comisiones de gestión y
administración.
21
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS
En el siguiente apartado se enseñan los resultados obtenidos, a partir de los
modelos desarrollados.
4.1SUPERFICIE DE VOLATILIDAD En vista que el mercado acepta y emplea la fórmula de Black and Scholes para la
valoración de las primas, se evidencian dos supuestos que se encontraron válidos
al estimar la superficie de volatilidad.
1. La volatilidad del activo subyacente permanece constante durante el
vencimiento de la opción. El valor de esta volatilidad con un spot de 1690
correspondiente al delta 0,5 (At the money) es constante en 13,8%
2. La superficie está conformada por la unión de las sonrisas de volatilidad, para el
caso de estudio debe corresponder con una “skew” o sonrisa de volatilidad
decreciente como se evidencia en la gráfica 5.
Gráfica 5. Sonrisa de Volatilidad obtenida para una opción Call
Fuente: Autores
22
4.2 VOLATILIDAD IMPLÍCITA La volatilidad presentada en las opciones que tienen un plazo de expiración menor
a 10 días de operación, bajo la experiencia del mercado, es distorsionada, es
decir, sobrevalua o subvalúa el valor real de volatilidad36, por tanto el valor de la
prima se ve afectada por esta apreciación del mercado, describiendo para el
índice COLCAP que la volatilidad aumenta excesivamente faltando un día para su
vencimiento y hacia 7 días, se normaliza, presentando un 38 a 40% anual de
volatilidad corroborando su relación con la volatilidad histórica.(Gráfica 6).
Gráfica 6. Volatilidades implícitas obtenidas sobre las primas negociadas
vs el precio de ejercicio ITM (delta 0,5)
Fuente: Autores
4.3 CVIX
Una vez se realizaron los cálculos, se obtiene un CVIX del 19.54%, lo que quiere
decir que esta es la volatilidad que esperan ver los inversionistas, durante los 30
días siguientes.
36Metodología para el cálculo del índice VIMEX, página 5
0%
5%10%
15%20%
25%30%
35%40%
45%50%
55%60%
65%70%
75%80%
85%
90%95%
100%105%
110%115%
120%125%
130%
1.5
00
1.5
10
1.5
19
1.5
27
1.5
37
1.5
45
1.5
54
1.5
63
1.5
72
1.5
82
1.5
92
1.6
00
1.6
09
1.6
18
1.6
27
1.6
37
1.6
47
1.6
58
1.6
68
1.6
77
1.6
88
1.6
96
1.7
06
1.7
19
1.7
30
1.7
41
1.7
51
1.7
64
1.7
79
1.7
92
1.8
16
1.8
34
1.8
61
1.8
87
VO
LAT
ILID
AD
STRIKE
VOLATILIDADES IMPLICITAS DE LAS OPCIONES SOBRE EL ÍNDICE COLCAP
VOLATILIDAD 1 DÍA
VOLATILIDAD 4 DÍAS
23
Como es un valor inferior a 20 se interpreta que es un periodo de tranquilidad para
el mercado, lo que puede mostrar tendencia alcista sostenida.
5. UTILIDAD Y APLICACIÓN FINANCIERA DE LOS RESULTADOS
Este modelo brinda una aproximación al mercado de opciones en Colombia sobre
el índice COLCAP que permite dar inicio, en su primer día de negociación al
desarrollo de este tipo de contratos; a su vez provee un marco de referencia para
aquellos días en que no haya cotizaciones de primas.
Hasta el momento que un ente regulador decida negociar la superficie de
volatilidad mediante este modelo; habría una combinación entre primas
observadas por el mercado y las estimaciones proporcionadas por los modelos
financieros propuestos.
Para los strike que no presentaron negociación y que por ende no presentan
información de volatilidad o en el caso que los strike y plazos sean demasiados
altos, se complementan con la metodología planteada. En caso contrario va a
prevalecer lo que muestre el mercado con las primas observadas.
Una vez exista el mercado de opciones, puede ser implementado el índice de
volatilidad CVIX, mediante la metodología aquí planteada.
6. CONCLUSIONES
Con la implementación de la superficie de volatilidad para la estimación de las
primas, se demuestra cualitativamente que la volatilidad es mayor a medida que
se acercan los días al vencimiento de la opción, y por ende el valor de la prima es
proporcional a este incremento.
La valoración de las primas para los strikes in the money presentan el valor más
alto, decreciente en los strikes out the money.
24
Se logra demostrar que la superficie encontrada es el conjunto de sonrisas de
volatilidad acordes con la forma skew observadas en mercados desarrollados para
opciones call.
Se hace necesario por las limitaciones en productos de cobertura disponibles para
los inversionistas de renta variable, realizar una primera aproximación a lo que
sería el mercado de opciones en Colombia sobre el índice COLCAP para posterior
a éste, crear el índice de volatilidad CVIX, tal como se encuentra implementado en
los mercados que ya manejan opciones financieras, como instrumento de
cobertura.
7. RECOMENDACIONES
Estudiar las condiciones en que sería llevada a cabo la negociación de la opción
sobre el índice COLCAP, y como permite la cobertura al inversionista.
Crear la opción sobre el índice CVIX, a partir del mercado de volatilidades
planteado.
25
REFERENCIAS
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colombiano a través del modelo de difusión con saltos, año 2009. Borrador de Economía 570, Banco de la República.
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