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estimación de riesgo por cópulas
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UB Riskcenter Working Paper Series
University of Barcelona
Research Group on Risk in Insurance and Finance www.ub.edu/riskcenter
Working paper 2015/01 \\ Number of pages 18
Estimacin del riesgo mediante el ajuste de cpulas
Catalina Bolanc, Montserrat Guilln y Alemar Padilla
1
Estimacin del riesgo mediante el ajuste de cpulas
Catalina Bolanc, Montserrat Guilln y Alemar Padilla
Departamento de Econometra, Estadstica y Economa Espaola
Universidad de Barcelona
Riskcenter
Diagonal, 690, 08034 Barcelona
Resumen
El propsito de ste trabajo, es presentar una forma de cuantificar el valor en
riesgo de una cartera de activos mediante dos medidas de riesgo ampliamente
conocidas como lo son el VaR y el TVaR. Para ello, utilizamos cpulas
paramtricas bivariantes y el mtodo de simulacin de Monte Carlo.
Palabras claves: dependencia, copulas, Value at Risk, Tail Value at Risk,
cuantificacin del riesgo.
1. Introduccin a las copulas
En una situacin de riesgo, cuando la prdida total, a la que denominaremos
(loss), est generada por las posibles prdidas ocasionadas por sub-riesgos
, por ejemplo , el riesgo de prdida total depende de la
relacin entre los sub-riesgos. Las cpulas (palabra que deriva de Latn y significa
unin, link) permiten modelizar un amplio rango de estructuras de dependencia,
lineales o no lineales. Describiremos las cpulas ms comunes y para simplificar la
exposicin nos ceimos al caso bivariante1, .
Sea ( ) un vector aleatorio bivariante que representa dos prdidas
dependientes y sean ( ) ( ) y ( ) ( ) sus dos funciones de
distribucin continuas, siguiendo el teorema de Sklar2 existe una nica cpula
, - , -, con parmetro de dependencia tal que, siendo ( )
( ) la funcin de distribucin conjunta, se cumple que:
( ) ( )
donde ( ) y ( ) son, respectivamente, los valores de dos variables
aleatorias y con distribucin ( ).
1 Para la mayora de cpulas la generalizacin a ms de dos dimensiones ( ) no es directa. Una alternativa consiste en unir pares de variables hasta relacionarlas todas. Ver, por ejemplo, Aas, K., Czadob, C., Frigessic, A. y Bakkend, H. (2009) Pair-copula constructions of multiple dependence Insurance: Mathematics and Economics, 44(2), 182-198. 2 Sklar, A. (1959) Fonctions de rpartition n dimensions et leurs marges. Publications de listitut de Statistique de luniversit de Paris, 8, 229-231.
2
Existen diversas formas de clasificar los tipos de cpulas, una de las ms
comunes es la que divide las cpulas en:
Cpulas implcitas: su forma funcional coincide con una funcin de distribucin
conocida (Normal, t-Student)
Cpulas explcitas: posee una forma funcional propia y sencilla.
Otra clasificacin muy utilizada es la que diferencia las cpulas Arquimedianas
de las que no lo son. La particularidad de las cpulas Arquimedianas est en que
existe una funcin que las genera, lo que se denomina el generador de la cpula3.
En la Tabla 1 clasificamos las cpulas que se describen en este documento.
Tabla 1: Clasificacin de las cpulas analizadas.
Nombre de la Cpula Clasificacin
Gaussiana Implcita y no Arquimediana
t-Student Implcita y no Arquimediana
Gumbel Explcita y Arquimediana
Clayton Explcita y Arquimediana
Frank Explcita y Arquimediana
2. Medidas de dependencia
Uno de los aspectos fundamentales relacionados con las cpulas es que stas han
servido para definir nuevas medidas de dependencia, alternativas al coeficiente de
correlacin lineal de Pearson. A continuacin, adems de este coeficiente de
correlacin, definimos las medidas de dependencia alternativas y la forma en que se
calculan a partir de una muestra de prdidas observadas.
El coeficiente de correlacin de Pearson
El coeficiente de correlacin de Pearson es una medida de dependencia lineal
que tericamente equivale a:
,( )( )-
,( ) - ,( ) -
donde , - es la esperanza matemtica, siendo , - y , - las prdidas
medias tericas. A partir de una muestra de prdidas observadas ( )
, el coeficiente de correlacin de Pearson se estima como:
3 Nelsen, R. (2006) An Introduction to Copulas. Springer, USA.
3
( )( )
( ) ( )
donde
y
son las medias muestrales de ambas prdidas.
El coeficiente de correlacin de Pearson es una medida de dependencia lineal,
por lo que si la relacin entre las prdidas no es lineal este coeficiente no mide
correctamente la dependencia y el hecho de que tome valor cero no implica
independencia4. Ante ello, a partir de las cpulas se plantean coeficientes de
correlacin alternativos:
La de Kendall.
El coeficiente de correlacin de Spearman.
Los coeficientes de dependencia de las colas (tail dependence).
La de Kendall
La de Kendall es una medida de asociacin cuyo valor puede deducirse a partir
de la cpula:
( )
( )
A partir de una muestra de prdidas observadas ( ) , la de
Kendall se estima tal y como se describe a continuacin. Para cada par de
observaciones consecutivas ( ) y ( ) se concluye que son concordantes
si y o si y , en caso contrario las
observaciones son discordantes. En el caso y las observaciones
no son ni concordantes ni discordantes. Una vez identificados los pares concordantes
y discordantes, la de Kendall se estima como:
( )
El coeficiente de correlacin de Spearman
El coeficiente de correlacin de Spearman tambin puede obtenerse a partir de la
cpula:
4 Un valor del coeficiente de correlacin de Pearson igual a cero implica independencia cuando la distribucin conjunta de las prdidas es Normal multivariante.
4
( )
La estimacin de este coeficiente se obtiene a partir del orden de las
observaciones. Es decir, sean ( ) , dos variables que indican las
posiciones que toman en la muestra las prdidas ( ) , si las
ordenamos de mayor a menor, el coeficiente estimado se obtiene como:
( ) ( )
Adems, el coeficiente de correlacin de Spearman se puede obtener estimando
la correlacin lineal entre ( ) y ( ) .
El coeficiente de dependencia de la cola
Se pueden calcular dos coeficientes de dependencia de la cola (tail dependence),
el de la cola derecha de la distribucin (upper tail dependence) y el de la cola
izquierda (lower tail dependence). A partir de la cpula se obtiene que el
coeficiente de dependencia de la cola derecha es:
( )
donde, ( ) ( ) es la cpula de supervivencia y el lmite indica que
los argumentos tienden a por la derecha, lo que equivale a que ambas prdidas
tienden a por la izquierda.
Por su parte, el coeficiente de dependencia de la cola izquierda es:
( )
donde el lmite indica que los argumentos tienden a por la derecha.
3. Estimacin
Los mtodos de estimacin para las cpulas son tres:
Mtodo mximo verosmil.
Mtodo pseudo-mximo verosmil.
Mtodo de los momentos (Inference function for margins, IFM).
5
Una de las ventajas de las cpulas es que permiten estimar de forma
independiente el parmetro de la cpula y las marginales, en esto consisten los
mtodos pseudo-maximo verosmil e IFM.
Mtodo mximo verosmil
El mtodo mximo verosmil consiste en maximizar el logaritmo de la funcin
de verosimilitud asociada a la cpula y las marginales conjuntamente. Sea el
parmetro de la cpula estimado y sean y los parmetros estimados que
definen las funciones de distribucin marginales, el logaritmo de la funcin de
verosimilitud es:
( ) * ( )+ { ( )} { ( )}
donde ( ), ( ), es la densidad de la cpula y y
son las funciones de densidad de las marginales5. El mtodo mximo verosmil no
suele utilizarse dado que no suele ser fcil encontrar una configuracin de
parmetros de cpula y marginales que maximicen ( ).
Mtodo pseudo-mximo verosmil
Concretamente, el mtodo pseudo-mximo verosmil consiste en generar lo que
se denomina las pseudo-observaciones ( ) , las cuales se obtienen
a partir de la distribucin emprica corregida:
( ) y
( ) ( )
Utilizando las pseudo-observaciones se obtiene la pseudo-verosimilitud a
maximizar respecto al parmetro de la cpula:
( ) { ( )}
( )
Tras estimar el parmetro de la cpula se estiman las marginales de forma
independiente. A este mtodo se le denomina pseudo-verosmil, debido a que el
resultado no maximiza la verosimilitud total, sino que maximiza las verosimilitudes
parciales, de la cpula y las marginales.
5 La funcin de densidad es la derivada de la funcin de distribucin.
6
Mtodo IFM
El mtodo de IFM tambin parte de las pseudo-observaciones y consiste en
estimar el parmetro de la cpula por el mtodo de los momentos. Normalmente, se
puede encontrar una relacin entre este parmetro y una medida de dependencia
como el coeficiente de correlacin de Spearman o la de Kendall. Posteriormente,
para cada caso concreto, analizaremos la relacin entre los parmetros de la cpula y
los coeficientes de dependencia que se utilizan en la estimacin de momentos. En
este caso las marginales tambin se obtienen por separado.
4. Simulacin
Para la cuantificacin del riesgo a partir de cpulas se utiliza el mtodo de
simulacin de Monte Carlo, que consiste en generar prdidas simuladas asociadas a
los valores aleatorios provenientes del modelo ajustado a nuestros datos y
seguidamente estimar el riesgo de forma emprica.
En general, para generar valores a partir de una cpula bidimensional el
procedimiento puede dividirse en los siguientes 5 pasos:
1. Calcular las pseudo-observaciones tal y como se describa en la expresin (1).
2. Estimar el parmetro de la cpula maximizando la expresin (2) o por el mtodo
IFM.
3. Simular a partir de la cpula los valores ( ) , donde es el
nmero de rplicas simuladas, el cual tiene que ser lo suficientemente grande
(por ejemplo, ), cuyo valor depender de la capacidad de clculo
computacional.
4. Obtener las prdidas simuladas como: ( ) y
( ).
En general, para simular los valores procedentes de una cpula bivariante (paso
3) se utiliza el mtodo basado en la distribucin condicionada:
( ) ( )
( )
El algoritmo se implementa del siguiente modo:
(1) Generar valores de dos variables aleatorias independientes con distribucin
( ), y t.
(2) Obtener , -( ) donde el subndice , - indica pseudo-inversa, que
equivale a:
7
, -( ) {
{ ( ) }
, - ( )
{ ( ) }
Sin embargo, la cpula condicionada ( ) no siempre es invertible, como
sucede con el caso de la cpula de Gumbel, en este caso se puede utilizar el
algoritmo de6 Genest y Rivest (1993) que consiste en lo siguiente:
(1) Generar valores de dos variables aleatorias independientes con distribucin
( ), y t.
(2) Obtener ( ), donde ( ) ( )
( ), donde el superndice indica
derivada y ( ) es el generador de la cpula arquimediana.
(3) Calcular ( ( )) y
(( ) ( )).
Adems, para generar valores de las cpulas Gaussiana y t-Student es ms
recomendable utilizar un mtodo clsico de simulacin, para asegurar que los valores
simulados de la t-Student poseen una cola ms pesada que los de la Gaussiana. El
mtodo, en este caso, consiste en:
(1) Generar valores de dos variables aleatorias independientes con distribucin
( ), y t.
(2) Calcular ( ) y
( ).
(3) Calcular , donde es el coeficiente de correlacin lineal.
(4) Calcular ( ) y ( ).
5. Clculo del VaR y TVaR de la prdida total .
5. Bondad del ajuste
Para comparar el ajuste de distintas cpulas y marginales puede utilizarse una
medida de informacin estadstica clsica como es el criterio de informacin de
Akaike (Akaike information criterion, AIC) que equivale a:
( )
donde es el nmero de parmetros, que en el caso de la cpula bivariante es igual a
. Otro criterio que tiene en cuenta el tamao muestral es el criterio de informacin
bayesiano (Bayesian information criterion, BIC):
6 Genest, C. y Rivest, L. (1993) Statisticas inference procedure for bivariate archimedian copulas Journal of the American Statistical Association, 88, 1034-1043.
8
( ) ( )
En ambos casos, cuanto menor es el valor de la medida, sea sta el AIC o el
BIC, mejor es el ajuste. Por ejemplo, supongamos que disponemos de datos diarios,
757 das en total, sobre los rendimientos de dos inversiones dependientes y queremos
comparar el ajuste de la cpula Gaussiana y la cpula t-Student. Cmo mtodo de
estimacin se utiliza el basado en la maximizacin de la pseudo-verosimilitud, es
decir, el mtodo pseudo-mximo verosmil descrito anteriormente.
6. Cpulas utilizadas
o Cpula Gaussiana
La cpula Gaussiana debe su nombre a que coincide con la funcin de
distribucin estndar de una Normal bivariante con correlacin :
( )
(
( ))
donde ( ) y
( ), por definicin de la cpula Gaussiana, las
funciones de distribucin marginales coinciden con la de la Normal estndar. Si
observamos la expresin de la cpula Gaussiana vemos que y son valores de
dos variables estandarizadas, con media cero y varianza 1. La densidad de la cpula
Gaussiana es la densidad de la Normal:
( )
(
( ))
La cpula Gaussiana no tiene expresiones cerradas para los coeficientes de
Spearman y de Kendall, stos han de aproximarse a partir de sus expresiones
generales en funcin de la cpula. Adems, la cpula Gaussiana supone que la
dependencia en las colas es cero, es decir, .
o Cpula t-Student
De forma similar a la cpula Gaussiana, la cpula t-Student debe su nombre a
que coincide con la funcin de distribucin estndar de una t-Student bivariante con
grados de libertad y correlacin :
( ) . /
. /
(
( ))
9
donde ( ) y
( ). Por definicin de la cpula t-Student, las
funciones de distribucin marginales coinciden con la de la t-Student estndar. La
densidad de la cpula t-Student es:
( ) . /
. /
(
( ))
En la Figura 1 se representan las densidades de las cpula Gaussiana y t-Student
para y, en el caso de la t-Student, . Ambas cpulas son simtricas y
pertenecen a la familia de las cpulas elpticas. Si observamos los valores de las
densidades en el eje vertical, vemos como la cpula t-Student tiene las colas ms
pesadas (la densidad es ms elevada en los valores prximos a a ).
Al igual que la cpula Gaussiana, la t-Student tampoco tiene expresiones
cerradas para los coeficientes de Spearman y de Kendall. Por otro lado, la cpula t-
Student s que tiene dependencia en las colas, es decir, .
Figura 1: Densidades de las cpulas Gaussiana (izquierda) y t-Student (derecha).
o Cpula de Gumbel
La cpula de Gumbel equivale a:
( ) ( 0( ( )) ( ( ))
1
)
donde , ). En la cpula de Gumbel la dependencia es perfecta cuando
y coincide con la cpula de independencia cuando . La cpula de
Gumbel permite calcular el valor de la de Kendall de forma sencilla, ya que se
cumple:
( )
10
relacin que puede utilizarse para obtener el estimador de momentos a partir de la
estimacin emprica de la de Kendall. La cpula de Gumbel posee dependencia en
la cola derecha, y se obtiene considerando
y
La densidad de la cpula de Gumbel es:
( ) ( )
(0( ( ))
( ( )) 1
) , ( ) ( )-
[
( ) 0( ( )) ( ( ))
1 ]
o Cpula de Clayton
La cpula de Clayton equivale a:
( ) (
)
donde . En la cpula de Clayton la dependencia es perfecta cuando y
coincide con la cpula de independencia cuando . Al igual que la cpula de
Gumbel, la cpula de Clayton permite calcular el valor de la de Kendall de forma
sencilla, ya que se cumple:
( )
relacin que puede utilizarse para obtener el estimador de momentos a partir de la
estimacin emprica de la de Kendall. Al contrario que Gumbel, la cpula de
Clayton posee dependencia en la cola izquierda, y se obtiene considerando y
La densidad de la cpula de Clayton es:
( ) (
) [( )
( )
]
,( )( )-
En la Figura 2, se representan las densidades de las cpulas de Gumbel y de
Clayton, en este caso se observa como ambas cpulas son asimtricas.
Concretamente, la cpula de Gumbel alcanza la densidad mxima cuando ambos
argumentos tienden a 1 (dependencia en la cola derecha). Por el contrario, la cpula
de Clayton alcanza la densidad mxima cuando ambos argumentos tienden a 0
(dependencia en la cola izquierda).
11
Figura 2: Densidades de las cpulas Gumbel izquierda) y Clayton (derecha), ambas con
con .
o Cpula de Frank
La cpula de Frank equivale a:
( )
(
( )( )
( ))
donde - , - ,. Al igual que las cpulas Gaussiana y t-Student, la
cpula de Frank admite dependencia positiva o negativa. El valor de la de Kendall
para la cpula de Frank es:
( )
La cpula de Frank no posee dependencia en las colas
La densidad de la cpula de Frank es:
( ) (
( )
)
En la Figura 3 se muestra la densidad de la cpula de Frank, se observa como su
comportamiento en las colas es similar a la cpula Gaussiana, aunque muestra ms
dependencia en los valores centrales.
12
Figura 3: Densidades de las cpula de Frank con con
7. Medidas de riesgo
Las medidas de riesgo permiten cuantificar las prdidas obtenidas en una
situacin de riesgo. En ste caso, dicho clculo se realizar a travs de dos medidas
ampliamente conocidas como lo son el Value at Risk y el Tail Value at Risk.
o Valor en Riesgo (Value at Risk)
Sea la variable aleatoria (en el caso bivariante) que representa la
prdida total en una situacin de riesgo y sea su funcin de distribucin, entonces
se define el Valor en Riesgo (Value at Risk) como:
( ) * ( ) + ( )
donde es lo que se denomina nivel de confianza que coincide con la probabilidad
cercana a 1. El VaR es simplemente el cuantil ( ) de la variable prdida, as
que la probabilidad de tener una prdida superior a la determinada por el VaR ser
( ).
o Tail Value at Risk
El Tail Value at Risk se define como:
( )
( )
Y que en el caso de que sea continua la expresin anterior se reescribe
como:
13
( ) , ( )-
8. Ejemplo con datos financieros
A continuacin se presenta un ejemplo de cmo realizar el clculo del riesgo de
una cartera a partir del uso de cpulas paramtricas bivariantes y el mtodo de
simulacin de Monte Carlo. En primer lugar se expondr el proceso de estimacin de
los parmetros de las cpulas, luego se realizar la estimacin de las diferentes
distribuciones marginales y finalmente se calcular el VaR y TVaR.
El software utilizado ser R.
a) Datos
Se dispone de 753 observaciones asociadas a los log-returns de los precios
diarios de las siguientes series temporales: Merck, Novartis, Pfizer, Deutsche Bank,
ING, Santander, NASDAQ y S&P500. Para realizar el ejemplo solo utilizaremos
Merck y Novartis.
Estadsticas descriptivas
A continuacin se presentan las estadsticas descriptivas y los histogramas de
nuestros datos:
14
En general se observa que los valores de los estadsticos descriptivos son
parecidos entre s. Aunque ambas series presentan una pequea asimetra negativa, no
dejan de ser bastante simtricas, cuestin que se evidencia visual y numricamente con
la cercana de sus medias y medianas. As mismo, es clara la presencia de colas pesadas
en los grficos de ambas distribuciones, lo cual es caractersticos de ste tipo de datos
financieros.
La distribucin de los datos es un indicador importante para la seleccin del tipo
de cpulas de ajuste y de las funciones de distribucin marginal utilizadas en la
simulacin.
Pseudo observaciones
Previo al ajuste de las cpulas, ser necesario transformar nuestros log-returns
en pseudo observaciones. Con ello garantizaremos la obtencin de variables aleatorias
uniformemente distribuidas en el intervalo (0,1), como input para la posterior
modelizacin.
Histogramas de los log-returns
val.ln[, 1]
Fre
quency
-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04
010
30
50
70
val.ln[, 2]
Fre
quency
-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
020
40
60
80
15
b) Ajuste y estimacin de los parmetros de las cpulas
Las cpulas utilizadas, sern las mencionadas en la seccin 1.
El ajuste de las cpulas se realiza en funcin de uno o ms parmetros
especficos. Para ello, se propone segn el tipo de cpula uno o ms valores iniciales y
posteriormente a travs del ajuste, se realiza la estimacin del parmetro o parmetros
finales.
Segn la naturaleza de cada cpula se utilizan diferentes parmetros iniciales. En
el caso de las cpulas implcitas se considerar como parmetro inicial la correlacin
lineal, estimada por el mtodo clsico. Por su parte, para las cpulas de Gumbel y
Clayton se utiliza en el mtodo de los momentos basado en la de Kendall. Y en el
caso de la cpula de Frank se parte de un valor inicial aleatorio dado que el estimador
de momentos no es directo.
A continuacin se exponen los parmetros iniciales propuestos, los parmetros
finales obtenidos y el logaritmo de la verosimilitud para cada cpula ajustada:
c) Bondad del ajuste
La bondad del ajuste de los modelos se valorar en funcin de los criterios
de evaluacin Akaike's Information Criterion (AIC) y Schwarz's Bayesian criterion
(BIC) mencionados en la seccin 5. Mientras ms pequeo sea el valor obtenido,
habr menor prdida de informacin y por tanto un mejor ajuste.
A continuacin se exponen los diferentes valores del AIC y BIC obtenidos:
16
A partir de estos resultados se concluye que la cpula t-Student es la que mejor
ajusta el comportamiento de nuestros datos.
d) Tail dependence
Los coeficientes de dependencia en las colas y , son medidas de
dependencia entre los cuantiles extremos de las distribuciones de nuestras variables
aleatorias.
Segn sea la naturaleza de cada cpula tendr sentido el clculo de ambos o de
slo uno de ellos.
A continuacin se muestran los resultados obtenidos:
e) Simulacin
La cuantificacin del riesgo se realizar por el mtodo de simulacin de Monte
Carlo expuesto en la seccin 4, considerando las medidas de riesgo definidas en la
seccin 7, es decir, primero se obtendrn las prdidas simuladas provenientes de la
cpula ajustada y posteriormente se realizar la cuantificacin del riesgo.
Estimacin de las marginales
La estimacin de las funciones de distribucin marginal se realiza en funcin del
tipo de datos, por ello, en ste caso se propone ajustar las distribuciones Normal y t-
Student.
Con la finalidad de valorar el ajuste de estas distribuciones, se realiza el clculo
del AIC y BIC, obtenindose los siguientes resultados:
17
Se observa que el mejor resultado se logra cuando se ajustan funciones de
distribucin del tipo t-Student.
Simulacin de los factores de riesgo
Los factores de riesgo y , son cuantiles asociados a los valores aleatorios
provenientes de las cpulas ajustadas y cuyo comportamiento viene determinado por las
funciones de distribucin marginales ( ) y ( ).
Una vez que han sido calculados los factores de riesgo, se define el vector de
prdidas linealizadas, a partir del cual se realizar la cuantificacin del riesgo. Para ello
se ha de tener en cuenta que el valor de la cartera en el momento es igual a 1, y los
pesos de cada factor de riesgo o proporcin de la inversin en cada accin son tambin
iguales a 1.
Cuantificacin del riesgo
El clculo de las medidas de riesgo se realizar considerando los siguientes
niveles de confianza: 99%, 99.5% y 99.9%.
A continuacin se exponen los resultados obtenidos:
18
Se observa que el valor asociado al clculo de ambas medidas de riesgo es
mucho mayor cuando se consideran marginales del tipo t-Student. As mismo, en el
cuantil 0.999 es donde se evidencia una diferencia superior respecto a los resultados
obtenidos en los otros dos cuantiles.
Conclusiones
La cuantificacin del riesgo mediante cpulas resulta una alternativa flexible en
trminos de la modelizacin de la dependencia entre variables. sta se ve notablemente
afectada por el tipo de cpula y marginal utilizada, por lo cual el resultado obtenido
depender de la seleccin realizada.
En trminos de ajuste, la cpula y marginales del tipo t-Student son las que
mejor modelan el comportamiento conjunto e individual de nuestros datos.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Gauss
t-Student
Gumbel
Clayton
Frank
Gauss
t-Student
Gumbel
Clayton
Frank
Gauss
t-Student
Gumbel
Clayton
Frank
99% 99.5% 99.90%
Niveles de confianza / Cpulas
VaR
Normal
t-Student
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Gauss
t-Student
Gumbel
Clayton
Frank
Gauss
t-Student
Gumbel
Clayton
Frank
Gauss
t-Student
Gumbel
Clayton
Frank
99% 99.5% 99.90%
Niveles de confianza / Cpulas
TVaR
Normal
t-Student
Marginales
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Referencias
[1]. Aas, K., Czado C., Frigessic, A. y Bakkend, H. (2009) Pair-copula
constructions of multiple dependence. Insurance: Mathematics and Economics,
44(2), 182-198.
[2]. Bahraoui, Z., Bolanc, C. y Prez-Marn, A.M. (2014). Testing extreme value
copulas to estimate the quantile. Statistics and Operations Research
Transactions, SORT, 38, 89-102.
[3]. Bargs, M., Cossette, H., Marceau, . (2009) TVaR-based capital allocation
with copulas. Insurance: Mathematics and Economics, 45, 348- 361.
[4]. Bolanc, C., Bahraoui, Z. y Arts, M. (2014). Quantifying the risk using
copulae with nonparametric marginals. Insurance: Mathematics and
Economics, 58, 46-56.
[5]. Genest, C. y Rivest, L. (1993) Statistical inference procedure for bivariate
archimedean copulas Journal of the American Statistical Association, 88, 1034-
1043.
[6]. Gronneberg, S. y Hjort, N. (2014) The copula information criteria.
Scandinavian Journal of Statistics, 41, 436-459.
[7]. Nelsen, R. (2006) An Introduction to Copulas. Springer, USA.
[8]. Sklar, A. (1959) Fonctions de rpartition n dimensions et leurs marges.
Publications de listitut de Statistique de luniversit de Paris, 8, 229-231.
[9]. McNeil A. J., Frey R., Embrechts P. (2006) Quantitative Risk Management:
Concepts, Techniques, and Tools. Princeton University Press.
UBRiskcenter Working Paper Series List of Published Working Papers
[WP 2014/01]. Bolanc, C., Guilln, M. and Pitt, D. (2014) Non-parametric models for univariate claim severity distributions an approach using R, UB Riskcenter Working Papers Series 2014-01.
[WP 2014/02]. Mari del Cristo, L. and Gmez-Puig, M. (2014) Dollarization and the relationship between EMBI and fundamentals in Latin American countries, UB Riskcenter Working Papers Series 2014-02.
[WP 2014/03]. Gmez-Puig, M. and Sosvilla-Rivero, S. (2014) Causality and contagion in EMU sovereign debt markets, UB Riskcenter Working Papers Series 2014-03.
[WP 2014/04]. Gmez-Puig, M., Sosvilla-Rivero, S. and Ramos-Herrera M.C. An update on EMU sovereign yield spread drivers in time of crisis: A panel data analysis, UB Riskcenter Working Papers Series 2014-04.
[WP 2014/05]. Alemany, R., Bolanc, C. and Guilln, M. (2014) Accounting for severity of risk when pricing insurance products, UB Riskcenter Working Papers Series 2014-05.
[WP 2014/06]. Guelman, L., Guilln, M. and Prez-Marn, A.M. (2014) Optimal personalized treatment rules for marketing interventions: A reviewof methods, a new proposal, and an insurance case study., UB Riskcenter Working Papers Series 2014-06.
[WP 2014/07]. Piulachs, X., Alemany, R. and Guilln, M. (2014) A joint longitudinal and survival model with health care usage for insured elderly, UB Riskcenter Working Papers Series 2014-07.
[WP 2014/08]. Abad, P, Chuli, H. (2014) European government bond market integration in turbulent times, UB Riskcenter Working Papers Series 2014-08.
[WP 2014/09]. Belles-Sampera, J., Guilln, M. and Santolino, M. (2014) The use of flexible quantile-based measures in risk assessment, UB Riskcenter Working Papers Series 2014-09.
[WP 2015/01]. Bolanc C., Guilln, M. and Padilla, A. (2015) Estimacin del riesgo mediante el ajuste de cpulas, UB Riskcenter Working Papers Series 2015-01.