Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y ...rcm.gov.co/Cursos/2016/7-Metodo_Montecarlo.pdf · - empleando la ley de propagación de incertidumbres conforme a la GUM

17/08/2015

1

Estimación de incertidumbre en

las mediciones: GUM y método de

Monte Carlo para principiantes

1

Grupo de Grupo de Grupo de Grupo de Ultrasonido, Dirección de Vibraciones y AcústicaUltrasonido, Dirección de Vibraciones y AcústicaUltrasonido, Dirección de Vibraciones y AcústicaUltrasonido, Dirección de Vibraciones y AcústicaDirección General de Metrología Física, CENAM.Dirección General de Metrología Física, CENAM.Dirección General de Metrología Física, CENAM.Dirección General de Metrología Física, CENAM.

Instructores:

Ana Lilia López Sánchez Ana Lilia López Sánchez Ana Lilia López Sánchez Ana Lilia López Sánchez ([email protected])

Alfredo Elías Juárez Alfredo Elías Juárez Alfredo Elías Juárez Alfredo Elías Juárez ([email protected])

TelTelTelTel. (442) 2 11 05 00 ext. . (442) 2 11 05 00 ext. . (442) 2 11 05 00 ext. . (442) 2 11 05 00 ext. 3599 y 35153599 y 35153599 y 35153599 y 3515

Agosto 2015

Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.2

� Que el participante adquiera los conocimientos básicos para realizar la estimación de incertidumbre en las mediciones;

- empleando la ley de propagación de incertidumbres

conforme a la GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in

Measurement), y

- el Suplemento 1 de la GUM (método de Monte Carlo).

Objetivo

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� Los datos y parámetros estadísticos que necesariamente requiere un presupuesto de incertidumbres;

en el caso del método de Monte Carlo, se utilizará software libre para realizar la propagación de distribuciones de probabilidad.

El participante identificará, con base en un modelo de medición,

OCTAVE


� Se revisa la metodología GUM para la estimación de incertidumbres de medida; contrastando los resultados obtenidos entre dos técnicas (combinación de varianzas vs. método de Monte Carlo).

Se sugiere que cada participante proporcione un problema de estimación de incertidumbres; de ser posible, con datos reales de un proceso de calibración, medición o publicación técnica.

Descripción del curso

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Temario

GUM: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, BIPM, lEC, IFCC, ISO, IUPAC, lUPAP, OIML. Equivalentea la norma NMX-CH-140-IMNC 2002 Guía para la expresión de la incertidumbre en las mediciones.

1. Introducción: modelo de una medición

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la “Guide to the expression of uncertainty in measurement” (GUM).

5. Reflexiones y consideraciones finales en su aplicación

4. Estimando la incertidumbre de medición utilizando el método de simulación Monte Carlo.

2. Repaso de conceptos básicos de probabilidad y estadística.

0. Motivación y Referencias clave


Instrumentación típica

+ +

Medidores y detectores

Unidades rastreadoras (transductores)

Bloques de referenciay accesorios(ej. acoplante)

=

+ … ? =

+

Personal calificado

+Referencia Normativa

Procedimiento

Código, norma,

Instrumentación y cadenas de medición en aplicaciones de ultrasonido

prácticaRecomen-dada, etc.

0. Motivación/ un caso de aplicación

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¿Cómo indica o declara actualmente el valor de espesor de una tubería?

?mm

Medidor

ultrasónico de

espesor

Tubería

Condiciones

ambientales

interiores

Espesor

Condiciones

ambientales

exteriores

0. Motivación/ ¿es relevante el tema de la incertidumbre de medida?

¿25.6 mm?

¿25.4 mm?

¿25.35 mm?


0. Motivación/ ¿incertidumbre en la evaluación de la conformidad?

Toleranciasuperior

Toleranciainferior

Pasa No PasaNo Pasa

Valores medidos considerando la dispersión de los datos debido al

proceso de medición y/o usuario.

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http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html

0. / Referencias clave


JCGM 100:2008 / “aka la GUM”

0.1 When reporting the result of a measurement of a physical quantity, it is obligatory that some quantitative indication of the quality of the result be given so that those who use it can assess its reliability. Without such an indication, measurement results cannot be compared, either among themselves or with reference values given in a specification or standard. It is therefore necessary that there be a readily implemented, easily understood, and generally accepted procedure for characterizing the quality of a result of a measurement, that is, for evaluating and expressing its uncertainty.

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https://archive.org/details/MathematicsAndStatistics

1. Introducción/

Fuente: Essential Mathematics and Statistics for Science, 2nd Edition, Graham Currell & Antony Dowman, The University of the West of England, UK, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication


1. Introducción/


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1. Introducción/

“La cuantificación de la incertidumbre debe obtenerse sobre la base de un adecuado entendimiento del proceso de medición involucrado y del sistema sujeto a medición”




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VERSIÓN VIM 2008

� Mensurando se mide directamente

Ej.: Medición del volumen de un cilindro por

desplazamiento de agua.

� Mensurando se mide de forma indirecta

Cálculo del mensurando a partir de otras

magnitudes medidas.

Ej.: Volumen de un cilindro: V = (ππππ/4)�d^2�h

d

h



CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medidahttp://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf


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1. Introducción/


Resultado no corregido

Dispersión por errores aleatorios

Valor verdadero

IncertidumbreResultado corregido

Corrección (error sistemático)

Mensurando

Tolerancia

Tolerancia

2. Repaso de conceptos básicos de

probabilidad y estadística.

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∑=

=n

i

ixn

x

1

1

( )∑=

−−

=σn

i

i xxn

1

22

1

1( )∑=

−−

=n

j

j qqn

qs

1

22

1

1)(

NNll xXxXll

lX

f

x

fc

==∂∂

=∂∂

=K

∑∑∑−

= +==

+=1

1 11

22 ),()()(2)()(

n

i

N

ik

kiki

n

i

i xxryuyuyuyu

( ) ( )( ) ( )

ji

ji

jixuxu

xxuxxr

⋅=

,,

( )mi xxfy ,...,=

)(

)(

1

4

4

∑=

ν

=νN

i i

i

cef

yu

yu


Definiciones iniciales y / Etc., ☺☺☺☺



J. N. Razo Razo, “Incertidumbre en la integración numérica de curvas de medición” , mayo 2003

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� Probabilidad, funciones de densidad probabilística

(probability density functions, PDFs) de uso común,

esperanza y momentos de una variable aleatoria.

� Parámetros estadísticos: mediana, moda, media

aritmética, varianza, desviación estándar,

incertidumbre estándar, histograma de resultados.

� Nivel de confianza, factor de cobertura,

incertidumbre combinada vs. incertidumbre

expandida




* CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medidahttp://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf



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CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medidahttp://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf




C.2.1 probabilidadnúmero real, entre 0 y 1, asociado a un suceso aleatorio

C.2.4 función de distribuciónfunción que da, para cada valor de x, la probabilidad de que la

variable aleatoria X sea menor o igual que x: F(x) = Pr(X ≤ x)

C.2.5 función de densidad de probabilidad (para una variable aleatoria continua) es la derivada (cuando existe) de la función de distribución:

f(x) = dF(x)/dx



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C.2.19 media aritmética; valor mediosuma de valores dividida entre el número de valores

�� ∙��

�

��

Mediana: el valor central de los datos ordenados.

Moda: el valor que más veces se repite.




C.2.9 esperanza matemática (de una variable aleatoria

o de una distribución de probabilidad); valor esperado; media0 Para una variable aleatoria continua X, con función de densidad de

probabilidad f(x), la esperanza, si existe, es

� � � � ��

C.2.13 momento central de orden qen una distribución de una única variable, es la esperanza matemática de

la q-ésima potencia de la variable aleatoria centrada (X − µ):

� � � μ �



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del mensurando

Media

�� Medida de su Dispersión

(((( ))))∑∑∑∑====

−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

====n

1i

2

ixx1n

1s

Desviación estándar experimental

s2 : Varianza experimental

C.2.20 varianzamedida de dispersión, igual a la suma de los cuadrados de las

desviaciones de las observaciones con respecto a su valor medio,

dividido por el número de observaciones menos uno.




Tiempo

Valores

C.2.18 distribución de frecuenciarelación empírica entre los valores de una

característica y sus frecuencias o

frecuencias relativas

NOTA La distribución puede representarse gráficamente como un histograma (ISO 3534-1:1993, definición 2.17), un diagrama debarras (ISO 3534-1:1993, definición 2.18),…

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y funciones de densidad de probabilidad (PDF)

Los histogramas permiten visualizar de manera preliminar la distribución, a partir de su envolvente.

012345678

107 108 109 110 111 112 113 114 115 116

Clase

Fre

cu

en

cia

0123456789

10

107 108 109 110 111 112 113 114 115 116

Clase

Fre

cu

en

cia

¿uniforme?¿uniforme?¿uniforme? ¿normal?¿normal?¿normal?


⋅−

−⋅⋅

=2

2

22

1

σµ

πσ)(

exp)(x

xf

µ σµ +σµ− x

f(x)

= Distribución de Laplace-Gauss

= Distribución Gaussiana

µ = Media

σ = Desviación estándar

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Intervalo

Nivel deconfianza 68,3% 95,4% 99,7%

σµ ±

µµµµ−−−−3σ µ3σ µ3σ µ3σ µ−−−−2σ µ2σ µ2σ µ2σ µ−−−−σσσσ µ µ+σµ µ+σµ µ+σµ µ+σ µ+2σµ+2σµ+2σµ+2σ µ+3σ µ+3σ µ+3σ µ+3σ

σµ 2± σµ 3±

Probabilidad de encontrar x en un intervalo:

[ ] ∫=≤≤b

adxxf )(bxaP

x

f(x)

Para una distribución normal


Ref. VIM, JCGM 200:2008, trad. Español.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

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Fuente: Ref. NMX-CH-140-IMNC


-3uc -2uc -uc +uc +2uc +3uc

k 1 2 3

nivel deconfianza 68,3% 95,4% 99,7%

cukU ⋅⋅⋅⋅====

• Aumentar el nivel de confianza.

• k es elegido por el usuario según conveniencia.

La incertidumbre estándar uc representa un intervalo que contiene el valor verdadero del

mensurando con una probabilidad p de 68% aproximadamente, llamado el “nivel de confianza”. Para obtener una probabilidad mayor, se expande el intervalo de

incertidumbre por un factor k, llamado “factor de cobertura”. El resultado se llama

“incertidumbre expandida”

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3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la “Guide to the expression of uncertainty in measurement” (GUM).

3.1 Mensurando, variables de influencia y variables de entrada (del

modelo de medición).

3.2 Ley de propagación de incertidumbres: con y sin correlación de

variables.

3.3 Coeficientes de sensibilidad y el “peso” de las contribuciones en la

incertidumbre de una medición.

3.4 Incertidumbre: Tipo A vs. Tipo B.

3.5 Componentes “mínimos” en un presupuesto de incertidumbres.

3.6 Ejercicio ilustrativo: medición de espesores utilizando ultrasonido.


Parámetro no negativo que caracteriza la dispersión de los valores

atribuidos a un mensurando, a partir de la información que se utiliza.

¿25.4 mm?

¿25.6 mm?

¿25.35 mm?

NOTA. El parámetro puede ser, por ejemplo, una desviación típica (o un múltiplo de ella), o el semi

intervalo con un nivel de confianza determinado.

� La incertidumbre es un intervalo de valores en el

cual estimamos que se encuentra el valor

verdadero con una probabilidad asociada.

� La incertidumbre se estima, no es una cuantificación

exacta.

� El nivel de incertidumbre apropiado depende del

uso intencionado.

3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM

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Fu

ente

s p

osi

ble

s d

e in

cert

idu

mb

re

definición incompleta del mensurando;

realización imperfecta de la definición del mensurando;

muestra no representativa del mensurando;

lectura sesgada de instrumentos analógicos, por parte del técnico;

resolución finita del instrumento de medida;

conocimiento incompleto de los efectos de las condiciones ambientales en la medición, o medición imperfecta de las mismas.

valores inexactos de los patrones de medida;

valores inexactos de constantes y otros parámetros tomados de fuentes externas;

variaciones en las observaciones repetidas del mensurando, en condiciones aparentemente idénticas.


�

�

�

�

�

�

�

�

�



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Esta Guía proporciona reglas

generales para evaluar y

expresar la incertidumbre de

medida de una magnitud física

bien definida, el mensurando.


1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de entrada .

2) Determinar el valor estimado de las magnitudes de entrada

3) Evaluar la incertidumbre estándar de cada estimación de entrada.

4) Evaluar las covarianzas asociadas a todas las estimaciones de entrada que estén correlacionadas.

5) Calcular la estimación del mensurando.

6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando.

7) Determinar la incertidumbre expandida.

8) Documentar el resultado de medición junto con su incertidumbre.

Procedimiento de evaluación y expresión de la incertidumbre conforme al método de la GUM

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En general, un proceso de medición involucra cantidades de entrada ��cuyo valor estimado, ��, contribuyen al valor estimado � del mensurando o

cantidad de salida, �.

Proceso

de

medición

⋮��

�

� � � ��, ��, ⋯ , �� , ��, ⋯ , ��

Magnitud que se desea medir.

Cantidad particular objeto de una medición.



1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de

entrada .

Relación matemática existente entre el mensurando (Y ) y las magnitudes

de entrada (Xi ) de las que depende Y.

�� "#$#"%"& � '&( �$#"%" � '&( �"#�#�#�#)*%&�� "#$#"%"& � '&( �$#"%" � '&( �"#�#�#�#)*%&

Decidir qué se quiere medir.

Decidir qué mediciones y cálculos se requieren para obtener el resultado final.

Ejemplo:

� � � ��, ��, ⋯ , �� , ��, ⋯ , ��

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43

� Volumen de un cilindro:

Ejemplos:

� Error del instrumento:

� Medición directa

Mensurando Modelo Magnitudes de entrada

m : Masa .ρ : Densidad

E = L – Lref L : Lectura del instrumentoLref : Valor de referencia

� Longitud de un bloque: l = L + C L: Lectura del instrumento de

medición

C: Corrección

+ � ,-



entrada .


Volumen de un cilindro.


' � .4 ∙ 0� ∙ 1

Volumen del cilindro

Diámetro del cilindro

Altura del cilindro

'01

Mensurando�

�� Magnitudes de

entrada


entrada .

0

1

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2) Determinar el valor estimado �� de la magnitud de entrada 2�.

Las magnitudes de entrada �� pueden ser a su vez mensurandos,

pudiendo depender de otras magnitudes.

3#*45�&"#(%)64�5$#)4 3#*45�&"#(%)64�5$#)4

Se pueden determinar a partir del análisis estadístico de una serie de

observaciones.

Ejemplo:




Magnitudes cuyos valores e incertidumbre se introducen en la

medición procedentes de fuentes externas:

� Magnitudes asociadas a patrones,

� Materiales de referencia certificados

� Valores de referencia tomados de publicaciones.

'&( �$#"%" � 3#*45�&"#(%)64�5$#)4 7 8 ��#**%ó)'&( �$#"%" � 3#*45�&"#(%)64�5$#)4 7 8 ��#**%ó)

Por el instrumento Por magnitudes de influencia (ej. temperatura, presión atmosférica, o humedad)

Ejemplo:

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Diámetro del cilindro.D

h


0 � 0:;< 7 8�=>? 7 8@A=<.C:D.


Certificado de calibración del instrumento de medición.

Material del instrumento.

Regla.

Corrección = 0 mm.

U = ± 0.1 % de la lectura, k=2.


Altura del cilindro.


1 � 1:;< 7 8�=>? 7 8@A=<.C:D.


Certificado de calibración del instrumento.

Material del instrumento.

Regla.

Corrección = 0 mm.

U = ± 0.1 % de la lectura, k=2.

D

h

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3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.

a) Identificación de las fuentes de incertidumbre.

b) Clasificación según su método de evaluación.

c) Distribución de probabilidad.

d) Determinación incertidumbre estándar.

� Certificado de

calibración.

� Resolución del

instrumento.

� Repetibilidad de

las lecturas.

� Bibliografía.

� Tipo A.

Se evalúa por análisis

estadístico de una serie

de observaciones.

� Tipo B.

Adopción de valores

“externos” al proceso de

medición.

� Tipo A.

a partir de distribución

de frecuencia

observada.

� Tipo B.

distribuciones

supuestas a priori.



3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.Fuente de incertidumbre

Distribuciónde probabilidad

Expresión para obtener E ��

Comentarios o ejemplos

Resolución del instrumento

Rectangular

(tipo B)E �� F�

12Un termómetro digital con una

resolución de 0.1°C. E �� I.�� °C

Repetibilidad de las lecturas

Normal

(tipo A)

E �� J ��

J �� J ��

JK � � �� L � ��

�

L�

Evaluación estadística de la repetibilidad proporciona el resultado en términos de una desviación estándar; por lo que no es necesario realizar un procesamiento adicional.

La repetibilidad del proceso depende de factores como: instrumento utilizado, el método de medición, y en algunas ocasiones de la persona que realiza la medición.

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3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.Fuente de incertidumbre

Distribuciónde probabilidad



Certificado de calibración del instrumento

Normal (tipo B)

E �� MN

Un certificado de calibración expresauna incertidumbre expandida U, con un factor de cobertura (k) que corresponde a un nivel de confianza informado.

Especificaciones del fabricante

Normal (tipo B)

E �� Oí,�QR�RQSTRUF�V�F

NAlgunas especificaciones de fabricantes se indican para un nivel de confianza, en estos casos se supone una distribución normal y el límite de tolerancia se divide entre el correspondiente factor de cobertura.

Si no se especifica un nivel de confianza, entonces se debe suponer una distribución uniforme.



3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.Distribución de probabilidad



Triangular E �� F�W

La combinación de dos distribuciones uniformes idénticas, cada una con límites del semi-intervalor de X &, resulta en una distribución triangular con un semi-intervalor de X2&.

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Repetibilidad

Resolución del instrumento 0:;<

Repetibilidad

Resolución del termómetro ∆ZCertificado de calibración del termómetro

Bibliografía ∝

0


Certificado de calibración del instrumento 8�=>?


Diámetro de

un cilindro



4) Evaluar las covarianzas asociadas a todas las estimaciones de entrada que estén

correlacionadas

� � � ��, ��, ⋯ , ��

5 �� , �\ � 6 �� , �\� Covarianza estimada de dos magnitudes de entrada �� y �\:

Donde �� y �\ son las medias aritméticas determinadas a partir de pares

independientes de observaciones simultáneas de �� y �\, realizadas en las mismas

condiciones de medida.

6 �� , �\� � 1) ) � 1 � �� \ � �\�

=

]�

Si las observaciones

son realmente no

correlacionadas, la

covarianza calculada

será próxima a cero.

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Magnitud de entradaxi

Lecturas registradas

1 2 3 / N

Valor

Promedio

Modelo matemático Mensurando

Y

¿Cuál es el valor calculado del mensurando?

x


5) Calcular el resultado de medición

La estimación �del mensurando �, a partir de la relación funcional �utilizando para las magnitudes de entrada �� las estimaciones ��obtenidas en el paso 2.

� � � ��, ��,⋯ , �� , ��,⋯ , ��⋮��

�̅��̅��̅�⋮



Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información

Tipo de distribución Incertidumbre estándar,

E ��Diámetro medido, _,R�

Repetibilidad Lecturas A. Normal

Resolución Instrumento B. Uniforme

Corrección del

instrumento,`��JQCalibración Certificado B. Normal.k=2


0 � 0:;< 7 8�=>? 7 8@A=<.C:D.

Diámetro de un cilindro


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Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información


E ��Altura medida, a,R�

Repetibilidad Lecturas A. Normal

Resolución Instrumento B. Uniforme

Corrección del

instrumento,`��JQCalibración Certificado B. Normal.k=2

1 � 1:;< 7 8�=>? 7 8@A=<.C:D.

Altura de un cilindro




6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV bLa incertidumbre típica combinada 5@ � es la raíz cuadrada positiva de la

varianza combinada 5@� � , dada por:

5@� � � � c�c��

�5� ��

�

��Ley de propagación de incertidumbre

5@� � � � *� ∙ 5 ��

��≡ �5��

�

��

*� ≡ c�c��

Coeficiente de sensibilidad, es el

impacto de cada fuente sobre el

mensurando.

contribución de cada fuente a la incertidumbre

combinada.

magnitudes de entrada independientes

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6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV bLa incertidumbre típica combinada 5@ � es la raíz cuadrada positiva de la varianza

combinada 5@� � , dada por:

5@� � � � c�c��

�5� ��

�

��7 2� � c�

c��c�c�\

�

\�e�5 �� , �\

�f�

��Ley de propagación de incertidumbre

� � 5 �� , �\5 �� 5 �\

Coeficiente de

correlación entre �� y �\ .

magnitudes de entrada correlacionadas

5@� � � �*��5� ��

��7 2 � � *�*\5 �� 5 �\

�

\�e�� , �\

�f�

��

Covarianza estimada

asociada a �� y �\ .


5@� 0 � 5ghij� 0 7 5klmno,pqr� 0

6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b


5@� 0 � c0c0:;<

�5� 0:;< 7 c0

c8�=>?,@Cs�5� 8�=>?,@Cs

5� 0:;< � 6 0:;<)ghij

�7 t#6 0:;<

12�

5� 8�=>?,@Cs � u@Cs 8�=>?,@Csvklmno,pqr

�

*ghij � c0c0:;<

� 1

*klmno,pqr �c0

c8�=>?,@Cs � 1

Diámetro de un cilindro

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Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Tipo

distribución

E �� V� contribucióncontribucióncontribucióncontribuciónV� ∙ E ��

Diámetro medido,

_,R�Repetibilidad

Resolución

Corrección por

instrumento,`��JQCalibración

5@ 0 � 5ghij� 0 7 5klmno,pqr� 0

5@ 0 � *ghij ∙ 5 0:;<� 7 *klmno,pqr ∙ 5 8�=>?,@Cs �


Intervalo

Nivel deconfianza 68.3% 95.4% 99.7%

σµ ± σµ 2± σµ 3±

µµµµ−−−−3σ µ3σ µ3σ µ3σ µ−−−−2σ µ2σ µ2σ µ2σ µ−−−−σσσσ µ µ+σµ µ+σµ µ+σµ µ+σ µ+2σµ+2σµ+2σµ+2σ µ+3σ µ+3σ µ+3σ µ+3σ

k=1 k=2 k=3

Teorema del Límite Central:

La distribución del mensurando Y es (aproximadamente) normal, si las

contribuciones Xi son independientes (no correlacionadas) y la varianza s2(Y)

es mucho más grande que cualquier componente individual ci2·s2(Xi) cuya

distribución no sea normal.

Factor de cobertura


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7) Determinar la incertidumbre expandida

y-U y y+U

k = ?

u � v ∙ 5@ �

� � � X u � � u � � � � 7 uDe acuerdo con prácticas internacionales

generalmente aceptadas, se recomienda

que se utilice un factor de cobertura de k=2

para calcular la incertidumbre expandida.

Este valor de k dará un nivel de confianza

de aproximadamente 95%, suponiendo

una distribución normal.



8) Documentar el resultado de medición junto con su incertidumbre

con U determinada con un factor de cobertura k = 2, basado en una distribución normal del error de medida, definiendo un intervalo estimado para tener un nivel de confianza de aproximadamente 95%.

0 X u

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e) D = 1.025 3 km, U = ±±±± 2.3 m (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

a) D = (1.025 3 ±±±± 0.002 3) km (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

Y = y ±±±± U con k = ? @ x %

Y Mensurando

y Mejor estimado del mensurando

U Incertidumbre expandida

b) D = 1.025 3 km ±±±± 2.3 m (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

c) D = 1.025 3 km ±±±± 0.22 % (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

d) D = 1.025 3 km ±±±± 2.2·10-3 (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

f) D = 1.025 3 km, U = ±±±± 0.22 % (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

g) D = 1.025 3 km, U = ±±±± 2.2·10-3 (k=2 @ 95 % nivel de confianza)

Ejemplos de expresión de resultados en la magnitud de longitud:

Resultado:


Volumen de un cilindroD

h


' � .4 ∙ 0� ∙ 1

5@ ' � *g ∙ 5 0 � 7 *� ∙ 5 1 �

Usando incertidumbres relativas

*g � c'c0 � .

4 20 1 � 2 '0

5@ '' � 2 ∙ 5 0

0�7 5 1

1�5@ '

' � 2 ∙ 5 00

�7 5 1

1�

*� � c'c1 � .

4 0� � '1

17/08/2015

34



Unidad

rastreadora

(transductor)

Bloque de referencia

Acoplante

Cable

Medidor

Reflexión (eco)

Mensurando:

Error de medida

Magnitudes de entrada:

� Espesor medido

� Espesor de referencia (��)

(��)

(�)

� � � ��, ��




entrada .

Relación matemática existente entre el mensurando (Y ) y las magnitudes

de entrada (Xi ) de las que depende Y.

�� "#$#"%"& � �6�#6 �$#"%" � �6�#6 �"#�#�#�#)*%&

# � (:;< � (�;�

17/08/2015

35




entrada .

Las magnitudes de entrada Xi, de las que depende la magnitud de salida Y pueden ser

consideradas a su vez como mensurandos, pudiendo depender de otras magnitudes,

junto con las correcciones y factores de corrección de los efectos sistemáticos.

(�;� � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs 7 (C@

Longitud del bloque

patrón dada en su

certificado de

calibración

Coeficiente de

dilatación térmica

lineal del bloque

patrón

Temperatura del

bloque durante la

medición

Temperatura de

calibración del

bloque

Espesor de la capa de

acoplante a la

temperatura de

medición.




entrada.

# � (:;< � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs � (C@

17/08/2015

36



2) Determinar el valor estimado xide la magnitud de entrada X

i.

A partir del análisis estadístico de una serie de observaciones:

d1 (mm) d2 (mm) d3 (mm) d4 (mm) d5 (mm) d6 (mm) d7 (mm)

2.543 5.072 7.635 10.165 12.708 19.042 25.40

2.541 5.08 7.633 10.166 12.700 19.036 25.40

2.547 5.087 7.635 10.162 12.706 19.034 25.41

2.541 5.084 7.627 10.168 12.704 19.053 25.40

2.543 5.08 7.624 10.165 12.708 19.047 25.398

2.543 5.081 7.631 10.165 12.705 19.042 25.401 media aritmética

(n = 5)

observaciones

repetidas e

independientes.

(:;<

4 � 21.4 °C Temperatura promedio del

bloque durante la medición.

21.3 °C4 �21.5 °C4 �

Temperatura del bloque.

Al iniciar la medición.

Al finalizar la medición.


Magnitudes cuyos valores e incertidumbres se introducen en la medición

procedentes de fuentes externas:


2) Determinar el valor estimado xide la magnitud de entrada X

i.

(C@ (0 ± 0.005) mm(@Cs (mm)2.543

5.085

7.621

10.161

12.702

19.048

25.400

Del certificado de

calibración del

bloque.

De estudio realizado.

∝ 1.1 x 10-5 (°C-1)

De bibliografía.

4@Cs (20 ± 0.2) °C

Del certificado de calibración del bloque.

uspqr � 0.004 (mm)

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37



3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.Repetibilidad

Resolución del medidor ultrasónico de espesores (:;<

Repetibilidad

Resolución del termómetro 4Certificado de calibración del termómetro

Certificado de calibración del bloque de referencia (@Cs

Bibliografía ∝Medición del espesor de la capa de acoplante. (C@

#

Certificado de calibración del bloque de referencia 4@Cs

Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.

Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información


E ��Espesor medido, T,R� 2.543 mm

Repetibilidad 0.002 mm Lecturas A. Normal 0.001 mm

Resolución 0.001 mm Carátula B. Uniforme 2.887x10-4 mm

Longitud del bloque,TVFT 2.543 mm

Calibración 0.004 mm Certificado B. Normal.k=2 0.002 mm

Temperatura del bloque, Q 21.4 °C

Repetibilidad 0.14 °C Lecturas A. Normal 0.1 °C

Resolución 0.1 °C Carátula B. Uniforme 0.03 °C

Calibración 0.2 °C Certificado B. Normal.k=2 0.1 °C

Temp. calibración bloque, QVFT 20 °C

Calibración 0.2 °C Certificado B. Uniforme 0.06 °C

Coef. dil. térmica lineal, ∝ 1.1x10-5 °C-1

Bibliografía 1.1x10-6 °C-1 Referencia B. Uniforme 3.18x10-7 °C-1

Espesor capa acoplante, TFV 0 mm

Informe 0.005 mm Informe B. Normal.k=2 0.0025 mm


3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.Ej. Longitud del bloque de 2.543 mm

17/08/2015

38



5) Calcular la estimación b del mensurando �, a partir de la relación funcional utilizando para

las magnitudes de entrada 2� las estimaciones ��

# � (:;< � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs � (C@

Espesor MedidoT,R�

Espesor ReferenciaTUR

Error de medidaR

(mm) (mm) (mm)

2.543 2.543 0.000

(�;�


5� (:;< � 6 (:;<)shij

�7 t#6 (:;<

12�

5� (@Cs � u@Cs (@Csvspqr

�

5� (@Cs � 5�� ∝12

�

5� 4 � 6 4)?

�7 t#6 4

12�7 u@Cs 4

v?�

5� 4@Cs � u@Cs 4@Csv?pqr

�

5� 4C@ � u (C@vsqp

�

5@� # � 5shij� # 7 5spqj� # 7 5∝� # 7 5?� # 7 5?pqj� # 7 5sqp� #



5@� # � c#c(:;<

�5� (:;< 7 c#

c(@Cs�5� (@Cs 7 c#

c ∝�5� ∝ 7 c#

c4�5� 4 7 c#

c4@Cs�5� 4@Cs 7 c#

c(C@�5� (C@

17/08/2015

39




# � (:;< � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs � (C@

*shij � c#c(:;<

� 1

*spqr �c#c(@Cs � �1 7∝ 4 � 4@Cs

*∝ � c#c ∝ � �(@Cs 4 � 4@Cs

*? � c#c4 � �(@Cs ∙∝

*?pqr �c#c4@Cs � (@Cs ∙∝

*sqp �c#c(C@ � �1


Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Tipo

distribución

E �� V� contribucióncontribucióncontribucióncontribuciónV� ∙ E ��

Espesor medido, T,R� 2.543 mm 1

Repetibilidad 0.002 mm A.Normal 0.001 mm 0.001 mm

Resolución 0.001 mm B.Uniforme 2.887x10-4 mm 2.887x10-4 mm

Longitud bloque,TVFT 2.543 mm -1

Calibración 0.004 mm B. Normal.k=2 0.002 mm -0.002 mm

Temperatura bloque, Q 21.4 °C -2.8x10-5 mm/°C

Repetibilidad 0.14 °C A. Normal 0.1 °C -2.8x10-6 mm

Resolución 0.1 °C B. Uniforme 0.03 °C -8.08x10-7 mm

Calibración 0.2 °C B. Normal.k=2 0.1 °C -2.8x10-6 mm

Temp. cal. bloque, QVFT 20 °C 2.8x10-5 mm/°C

Calibración 0.2 °C B. Uniforme 0.06 °C 1.62x10-6 mm

Coef. dil. térm. lineal, ∝ 1.1x10-5 °C-1 -3.56 mm�°C

Bibliografía 1.1x10-6 °C-1 B. Uniforme 3.18x10-7 °C-1 -1.13x10-6 mm

Espesor acoplante, TFV 0 mm -1

Informe 0.005 mm B. Normal.k=2 0.0025 mm -0.0025 mm


Ej. Longitud del bloque de 2.543 mm


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40




5@ # � 5shij� # 7 5spqj� # 7 5∝� # 7 5?� # 7 5?pqj� # 7 5sqp� #

Espesor Medido

Espesor Referencia

Error de medida EV R

(mm) (mm) (mm) (mm)

2.543 2.543 0.000 0.004

5.081 5.085 -0.004 0.006

7.631 7.621 0.010 0.006

10.165 10.161 0.004 0.004

12.705 12.702 0.003 0.005

19.042 19.048 -0.006 0.008

25.401 25.400 0.001 0.005



7) Determinar la incertidumbre expandida

Espesor Medido

Espesor Referencia

Error de medida M R

(mm) (mm) (mm) (mm)

2.543 2.543 0.000 0.008

5.081 5.085 -0.004 0.012

7.631 7.621 0.010 0.012

10.165 10.161 0.004 0.008

12.705 12.702 0.003 0.010

19.042 19.048 -0.006 0.016

25.401 25.400 0.001 0.010

u � v ∙ 5@ #Considerando un factor de cobertura v � 2 representa un intervalo con un nivel

de confianza de aproximadamente el 95%

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41




Espesor Medido

Espesor Referencia

Error de medidaR X M

(mm) (mm) (mm)

2.543 2.543 0.000 ± 0.008

5.081 5.085 -0.004 ± 0.012

7.631 7.621 0.010 ± 0.012

10.165 10.161 0.004 ± 0.008

12.705 12.702 0.003 ± 0.010

19.042 19.048 -0.006 ± 0.016

25.401 25.400 0.001 ± 0.010

con U determinada con un factor de cobertura k = 2, basado en una distribución normal del error de

medida, definiendo un intervalo estimado para tener un nivel de confianza de aproximadamente 95%.


4. Estimando la incertidumbre de medición utilizando el método SMC

82

4.1 Breve introducción al software Octave y Matlab: vectores y

operaciones básicas

4.2 Gráfica de variables aleatorias: PDFs vs. histogramas

4.3 Modelo de una medición y el concepto de propagación de

incertidumbres

4.4 Simulación por el método de Monte Carlo: datos de medición

para llevarla a cabo

4.5 Incertidumbre en las mediciones ultrasónicas: comparación

de resultados GUM vs Monte Carlo

17/08/2015

42


� Matlab y Octave tienen la misma sintaxis y nombre de muchas

funciones. Por supuesto hay diferencias, pero en general son

bastante compatibles.

� Octave es software libre, en tanto que Matlab no lo es.

� Existe una tremenda cantidad de librerías y programas

desarrollados en ambas plataformas. Algunos son más eficientes

y robustos; siendo importante saber qué estamos resolviendo y

contar con algún mecanismo de comprobación.

� GNU Octave, http://www.octave.org� Matlab, http://www.mathworks.com

4.1 Octave y Matlab


Modelos y transformaciones matemáticas

v y

y_wv_w

A

inv(A)

TT inv(T)inv(T)

¿?

Modelov(t) y(t)

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43


Algebra con matrices y vectores

AA

ABAB

AA

BABA

TT

TTT

TT

TTT

=

=

=

+=+

)(

)(

)(

)(

λλ

=

nmnn

m

m

aaa

aaa

aaa

A

...

:...::

...

...

21

22221

11211

∑=

=n

j

jj

T xyxy1

La transpuesta de una

matriz o vector cumple con:

Sea A la matriz, real o imaginaria0,

Producto interno

(punto o escalar),

vector columna:

vector renglón:

� ��…�m

� � �� … �:


Líneas de código demostrativo

t=0:0.01:2*pi; x = sin(t);plot (t,x)title(‘ x = sin(t), con t=0:0.01:2*pi’)xlabel(‘t’); ylabel(‘x’)

t=0:0.01:4*pi; x = sin(t);plot (t,x)xlabel(‘t’); ylabel(‘x’)

Graficando vectores

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44


t=0:0.01:4*pi; x = sin(t); y=cos(t);mesh(x'*y)

imagesc(x’*y); axis('square')

contour(x'*y); axis('square') imshow(x'*y)

Graficando matrices


4.2 Variables aleatorias (o random)

Variable aleatoria con distribución normal

y=randn(1000,1); plot(y)

mean(y)median(y)mode(y)

std(y)

hist(y)

hist(y,20) histfit(y,20)

17/08/2015

45


Variable aleatoria con distribución uniforme

y=rand(1000,1); plot(y)

mean(y)median(y)mode(y)

std(y)

hist(y)

hist(y,20)histfit(y,20)

Histograma de variables aleatorias


Histograma vs PDF

y=randn(1000000,1);

mean(y), std(y)median(y), moda(y)

subplot(221)plot(y)

subplot(222);hist(y,20)

subplot(223);histfit(y,20)

subplot(224);hist(y,20,1)title('PDF')

17/08/2015

46


y=rand(1000000,1);

mean(y), std(y)median(y), moda(y)

subplot(221)plot(y)

subplot(222);hist(y,20)

subplot(223);histfit(y,20)

subplot(224);hist(y,20,1)title('PDF')

Histograma vs PDF


4.3 Modelo de una medición y el concepto de propagación de

incertidumbres

Referencia: JCGM 101:2008 Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” —Propagation of distributions using a Monte Carlo method

“Introduction

This Supplement to the 0 (GUM) is concerned with the propagation of

probability distributions through a mathematical model of measurement

[GUM:1995 3.1.6] as a basis for the evaluation of uncertainty of

measurement, and its implementation by a Monte Carlo method. The

treatment applies to a model having any number of input quantities, and

a single output quantity.”

17/08/2015

47


“This Supplement also provides guidance in situations where the conditions for

the GUM uncertainty framework [GUM:1995 G.6.6] are not fulfilled, or it is

unclear whether they are fulfilled. It can be used when it is difficult to apply the

GUM uncertainty framework, because of the complexity of the model, for

example. …

This Supplement can be used to provide (a representation of) the PDF for the

output quantity from which

a) an estimate of the output quantity,

b) the standard uncertainty associated with this estimate, and

c) a coverage interval for that quantity, corresponding to a specified coverage

probability

can be obtained. …”

Suplemento 1 de la GUM


Suplemento 1 de la GUM

“4.1 A mathematical model of a measurement [GUM:1995 4.1] of a single(scalar) quantity can be expressed as a functional relationship f:

Y = f(X), (1)

where Y is a scalar output quantity and X represents the N input quantities(X1, . . . ,XN)>. Each Xi is regarded as a random variable with possiblevalues ξ_% and expectation x_i. Y is a random variable with possible values η_iand expectation y.”

“4.2 … The concepts of model, PDF, and distribution function are central to following and implementing the guidance provided. … The symbol f is reserved for the model.

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48


Pero antes de continuar, tres definiciones

importantes0

“3.17propagation of distributionsmethod used to determine the probability distribution for an output quantity from the probability distributions assigned to the input quantities on which the output quantity dependsNOTE The method may be analytical or numerical, exact or approximate.

3.18GUM uncertainty frameworkapplication of the law of propagation of uncertainty and the characterization of the output quantity by a Gaussian distribution or a scaled and shifted t-distribution in order to provide a coverage interval

3.19Monte Carlo methodmethod for the propagation of distributions by performing random sampling from probability distributions”


“Receta” para la propagación de

incertidumbres

Método de Monte Carlo, sección 5.9.6 de Suplemento 1 de la GUM:

a) definir el número de veces, M, que será evaluado el modelo de

medición Y = f(X);

b) generar datos aleatorios para cada magnitud de entrada X_i

conforme a su correspondiente PDF asignada;

c) evaluar M veces el modelo de medición f(X);

d) ordenar en forma creciente los valores obtenidos para el

mensurando; y obtener su distribución de probabilidad G_Y;

e) obtener el valor del mensurando e incertidumbre estándar;

f) utilizar G_Y para obtener el intervalo de cobertura para una

probabilidad de cobertura estipulada, p.

17/08/2015

49


a) Formulation

b) Propagation

c) Summarizing


1. Un valor grande para M; e.g., 1e6 o utilizar métodos adaptivos2. Una probabilidad de cobertura, e.g., 0.953. Un modelo de medición, Y = f(X), con los siguientes datos

para cada magnitud de entrada

Magnitudes de entrada

Valor PDF u(k = 1)

… … …

Valor medido o

asignado a cada X_i

Tipo de

distribución

Incertidumbre

estándar

Qué datos necesito para la propagación de incertidumbres:

4.4 Simulación por el método de Monte Carlo: datos de medición para

llevarla a cabo

17/08/2015

50


Ejemplos GUM


4.5 Incertidumbre en las mediciones ultrasónicas: comparación de resultados

GUM vs Monte Carlo

Interface de usuario desarrollada en OCTAVE, por los instructores deeste curso, para realizar la estimación de incertidumbres empleando elmétodo de simulación de Monte Carlo para cualquier mensurando,definido con una sola ecuación o modelo matemático del tipo:

Para n variables de entrada, Xn. Cada variable de entrada acepta unmáximo de tres contribuciones de incertidumbre. Esto es, las magnitudesde entrada del modelo pueden representarse, a su vez, como:

donde, representan las medicionesrepetidas, el error por resolución y el error por calibración,respectivamente.

( ) ( )XfXXXfY n == ,...,, 2,1

ncalibracióiresoluciónimedidaii XX ,,, δδ −−=

ncalibracióiresoluciónimedidaiX ,,, ,, δδ

17/08/2015

51


Comparación de resultados GUM vs Monte Carlo


MODELO:# � (:;< � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs � (C@

Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Tipo

distribución

E ��

Espesor medido, T,R� 2.543 mm

Repetibilidad 0.002 mm A.Normal 0.001 mm

Resolución 0.001 mm B.Uniforme 2.887x10-4 mm

Longitud bloque,TVFT 2.543 mm

Calibración 0.004 mm B. Normal.k=2 0.002 mm

Temperatura bloque, Q 21.4 °C

Repetibilidad 0.14 °C A. Normal 0.1 °C

Resolución 0.1 °C B. Uniforme 0.03 °C

Calibración 0.2 °C B. Normal.k=2 0.1 °C

Temp. cal. bloque, QVFT 20 °C

Calibración 0.2 °C B. Uniforme 0.06 °C

Coef. dil. térm. lineal, ∝ 1.1x10-5 °C-1

Bibliografía 1.1x10-6 °C-1 B. Uniforme 3.18x10-7 °C-1

Espesor acoplante, TFV 0 mm

Informe 0.005 mm B. Normal.k=2 0.0025 mm

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52


I.C. = [-6.6246e-003, 6.5681e-003] @ 95% M = 1 000 000

MODELO:# � (:;< � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs � (C@


med

ref

lc

cl =MODELO:

Variable/Fuente de

incertidumbre

Valor Origen de la

información

Tipo de

distribución

Incertidumbre

estándar, E ��Espesor medido, T,R� 23.16 mm

Repetibilidad 0.009 mm Lecturas A. Normal 0.004 mm

Resolución 0.01 mm Carátula B. Uniforme 2.89x10-3 mm

Calibración 0.01 mm Certificado B. Normal.k=2 0.005 mm

Velocidad de

propagación del

bloque medido, V6 380.1 m/s

Calibración 59.3 m/s Certificado B. Normal.k=2 29.65 m/s

Velocidad de

propagación del

bloque referencia, VUR 5 914.8 m/s

Calibración 57.7 m/s Certificado B. Normal.k=2 28.85 m/s

Ej. Bloque de aluminio AISI 6061

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53


I.C. = [24.653, 25.314] @ 95% M = 1 000 000

med

ref

lc

cl =MODELO:


5. Reflexiones y consideraciones finales/

106

¿Cuál es el mensurando? /

¿Medición directa o medición indirecta?...

¿Qué modelo matemático puedo utilizar para representar la medición? /

¿Cuáles son las magnitudes de entrada? /

¿Es aceptable suponer independencia estadísticaentre las magnitudes de entrada del modelo de medición?

.

.¿Método GUM-varianzas o Método GUM-SMC?

¿Software y/o plataformas de programación disponibles?

25,4mm

25,4mm

17/08/2015

54


� ¿Realmente necesito estimar la incertidumbre de una medición?

� ¿Qué beneficios obtengo al estimar la incertidumbre delresultado de una medición?

� ¿Las mediciones repetidas y su correspondiente estimación deincertidumbres, dado que implican más tiempo de operación ydemoran el proceso para emitir un resultado, son un gastoinnecesario o en qué momento agregan valor al resultado?

con o sin una estimación de incertidumbres el responsable o usuariode la medición tomará una decisión respecto a la aceptación orechazo del artefacto medido, evaluado o inspeccionado/ ¿entrevarios laboratorios, cómo establecer la confiabilidad de susmediciones y resultados?

5. Reflexiones y consideraciones finales/

108

17/08/2015

55

109

http://www.bipm.org/en/conference-centre/bipm-workshops/measurement-uncertainty/

“The revision of the twenty-year-old GUM, currently under way, …”

110

Documents

Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y ...rcm.gov.co/Cursos/2016/7-Metodo_Montecarlo.pdf · - empleando la ley de propagación de incertidumbres conforme a la GUM