Estatística Para Analista Em Finanças

CURSO EM PDF - ESTATÍSTICA PARA ANALISTA EM FINANÇAS PÚBLICAS - EXERCÍCIOS

Prof. Muniz Junior

www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf 1

APRESENTAÇÃO

Olá pessoal!!

Primeiramente gostaria de me apresentar para que possamos nos conhecer melhor, depois falarei um pouco do curso. Atualmente eu exerço a função de Auditor-Fiscal Tributário do Município do Rio de janeiro (Fiscal de Rendas do ISS-RJ), mas já exerci diversos cargos públicos nas três esferas de governo. Sou Bacharel em Ciências Navais - Habilitação em Eletrônica pela Escola Naval - e pertenci ao Corpo de Fuzileiros Navais.

Na verdade a minha experiência em concursos públicos começou muito cedo. Antes de falar na minha trajetória, é importante dizer que venho de uma família humilde e nunca estudei em escola particular, e acho importante motivá-los e dizer que se eu consegui (à custa de muito esforço e por vontade do meu bom Deus) você também pode!

Inicialmente, eu passei para a Escola Federal de Química e o Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca - CEFET-RJ em 1996, antes de passar para o Colégio Naval. Após quase 10 anos de Marinha e já estabilizado na carreira de Oficial, decidi mudar completamente de rumo! Tentar a carreira fiscal que, como vocês já sabem, exige uma gama de conhecimentos enorme e a minha formação nada tinha a ver com isso! Aqui já fica a primeira dica: Não se impressione se você não for formado em Direito! O que conta são as HDC (horas de dedicação-cadeira!).

Exerci o cargo de Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas do Estado de São Paulo (APOFP-SP) após sair da Marinha. Fui aprovado para esse mesmo cargo (APO) só que no IBGE. Novamente fui aprovado no cargo de Analista de Planejamento e Orçamento, agora do Estado do Rio de Janeiro (APO-RJ), com a prova realizada pela Banca CEPERJ. É interessante esse fato, pois a matéria do meu concurso é exatamente a mesma do de vocês, o que me deixa bastante confortável para passar os “bizus” rsrsrs. Cheguei a trabalhar um tempo lá. Para terminar, também fui aprovado no APO do Ministério da Pesca e Aquicultura (esse cargo me persegue!). Fui aprovado, também, na Receita Federal, para Analista Tributário e, finalmente, no Auditor-Fiscal do ISS-RJ.

Só que nem tudo são flores! Eu fui reprovado em vários concursos, principalmente quando eram de áreas totalmente diferentes! Só para exemplificar, eu cito os concursos da ABIN, ANAC e ANCINE. Por isso, fiquei quase cinco anos nessa peleja! Mas isso agora para mim é experiência, visto que pude prestar concursos e conhecer bancas nas Regiões Sul, Sudeste e


Prof. Muniz Junior


Nordeste. Mais uma dica: mantenha um foco! Isso te economizará muito tempo.

Bom, como vocês perceberam, a minha experiência em sala de aula e o mais importante, como concurseiro “de carteirinha”, facilita muito o meu trabalho, pois passei muitos anos nessa condição e sei perfeitamente dos anseios e dificuldades que essa caminhada proporciona.

Vamos ao curso: Desde já é importante frisar que o nosso objetivo é a sua APROVAÇÃO no concurso público. Objetividade e Conteúdo são a nossa missão. Objetividade porque não perderemos tempo com assuntos que não caem em prova, ou seu custo-benefício não compensa. Custo seriam as horas de estudo e o benefício seria a probabilidade desse assunto cair na sua prova! Obviamente que essa objetividade não abre mão do CONTEÚDO, por isso, não deixaremos de abordar nenhum assunto importante.

Fizemos um curso baseado na Banca CEPERJ, mas “pinçamos” questões interessantes de outras bancas de expressão e que têm feito os principais concursos, para reforçar algum ponto que acho necessário. Mantivemos o “jeitão” CEPERJ de cobrar as questões, mesmo em algumas questões de “certo ou errado”, são assuntos que estão “em moda”, e podem ser cobrados na prova de vocês.

O curso foi montado de uma forma a simplificar a tarefa do concurseiro, que já é complexa de natureza! Nós ensinamos o melhor jeito de memorizar as fórmulas necessárias, exatamente como eu fiz na minha preparação, de forma a ganharmos tempo. Trouxemos só exercícios bem atuais de concursos de forma a familiarizar o candidato com a banca examinadora e dinamizar o processo ensino-aprendizagem. Só recorremos a questões mais antigas para reforçar algum ponto muito específico. Mais uma dica: faça todos os exercícios que puder da Banca que normalmente faz o concurso que é o seu foco. Isso te colocará em vantagem em relação aos outros candidatos.

Por fim, nenhum esforço nosso produzirá efeito se VOCÊ não se empenhar na tarefa! Guarde essa frase que me acompanhou durante toda a minha trajetória:

“Se você quer alcançar o que poucos alcançam, faça o que poucos estão dispostos a fazer”

Peça força a quem pode dar, o Senhor Jesus, pois Ele mesmo disse: “Deleita-te no Senhor e ele concederá os desejos do teu coração” Sl. 37-4.

Segue agora o cronograma das aulas e desde já desejo força e sucesso nessa trajetória. Um forte abraço!


Prof. Muniz Junior


Aula Conteúdo

Demo Estatística Descritiva. Gráficos, tabelas, medidas de posição e dispersão.

1 Padronização (z). Covariância e Correlação.

2 Distribuições de probabilidade discretas: binomial e Poisson. Distribuições de probabilidade contínuas: normal e exponencial. Distribuição amostral da média.

3 Teste de hipótese para a média de uma população. Intervalo de confiança para a média com variância conhecida e desconhecida.

4 Regressão linear simples. Ajuste de Mínimos Quadrados. Testes qui-quadrado de aderência e independência.


Prof. Muniz Junior


QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COMENTADAS

1. (Oficial de Fazenda - 2011 – CEPERJ) Com base no resultado final do concurso para o cargo de Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental da SEPLAG, prova realizada pelo CEPERJ em 01.08.2010, as freqüências para o número de acertos obtidos nas cinco questões de Estatística pelos 1.535 candidatos que realizaram a prova estão mostradas no quadro abaixo.

O gráfico abaixo mostra a frequência relativa dos acertos.

Com base na tabela e no gráfico, julgue as afirmativas a seguir.

I- A moda e a mediana da distribuição são iguais.

II- A amplitude interquartílica é igual a 2.

III- A média da distribuição é igual a 2.

IV- A probabilidade de um candidato, escolhido ao acaso entre os 1.535, ter acertado no máximo duas questões é igual a 66,4%.

São corretas apenas as afirmativas:

A) I e II

B) I e III

C) I, III e IV

D) II, III e IV

E) II e IV


Prof. Muniz Junior


Resolução:

Item I. Correto.

Primeiro vamos relembrar o que é MEDIDA DE POSIÇÃO: Imagine a seguinte pergunta: Os dados estão mais concentrados no início, no meio ou no final da distribuição? É justamente isso que as medidas de posição procuram demonstrar. Veja como elas se dividem:

Mediana

Medidas de tendência central Moda

Média

Medidas de Posição

Quartil

Medidas separatrizes Decil

Centil (percentil)

Mediana

Vamos comentando à medida que forem cobrados os conceitos.

Moda: moda é simplesmente o valor que mais se repete em uma sequência de dados. Na questão, as notas são: 0; 1; 2; 3; 4 e 5. Repare que a nota 1 foi a que mais apareceu, pois foram 627 candidatos. Por isso, a nota 1 é a Moda; em contraposição, apenas 5 acertaram as 5 questões (a CEPERJ costuma apertar em Estatística, mas não se preocupem, agora vocês irão tirar de letra!).

Mediana: A mediana é o valor que ocupa a posição central da série ordenada de observações de uma variável, dividindo o conjunto em duas partes iguais. Assim, 50% dos valores são maiores ou iguais ao valor da mediana e 50% dos valores são menores ou iguais ao valor da mediana. Dessa forma, a mediana é o valor que separa o conjunto “n” de dados em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

Na questão, “n” é igual a 1.535. É um número ímpar, por isso a mediana é calculada dividindo “n” por 2, tirando o valor inteiro e somando 1:

1535/2 = 767,5.

767 + 1 = 768. Ou seja, é o valor que ocupa essa posição. Ora, a nota 1 vai da posição 394 a 1020, por isso essa é a nota na posição 768 e mediana dessa distribuição. Para “n” par, usa-se a fórmula:

/ /


Prof. Muniz Junior


Item II. Correta.

A amplitude interquartílica é a diferença entre Q3 e Q1. Nós vimos que a mediana divide os dados ordenados em duas partes contendo 50% da distribuição, contudo há outras maneiras de se dividir os dados. Os quartis (Q1, Q2, Q3), que são medidas separatrizes, dividem o conjunto ordenado de valores em quatro subconjuntos com igual número de elementos. O primeiro quartil (Q1) ou quartil inferior delimita os 25% menores valores; o segundo quartil é a própria mediana e o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior é o valor que separa os 25% maiores valores. O Q1 vale 0, pois é a nota que ocupa a 384ª posição (1535/4 = 383,75. Faça o mesmo procedimento do cálculo da mediana). Usando o mesmo raciocínio, achamos o Q3=2 (1535*3/4=1151,25 soma-se 1 ao inteiro = 1152ª posição). A amplitude interquartílica será: Q3 – Q1 = 2 – 0 = 2.

Item III. Errada.

A média está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual ao número “n” de elementos do conjunto. Quando apareceram mais de um elemento com o mesmo valor (por exemplo, 627 pessoas tiraram a mesma nota) surge o conceito de frequência, que nesse exemplo seria 627 a frequência da nota 1.

Pois bem, para calcular a média das notas, era só somar todas e dividir por “n” (1535):

= =

= = = 1,158.

Outra forma de calcular seria pela frequência relativa. Basta dividir cada frequência absoluta em azul no primeiro termo pela soma de freqüências, 1535. Essa é a frequência relativa. Esses valores aparecem no segundo gráfico da questão, em porcentagem. Agora, é só multiplicar pelos valores das notas. Veja:

(0×0,256) + (1×0,408) + (2×0,272) + (3×0,053) + (4×0,008) + (5×0,003) = 0 + 0,408 + 0,544 + 0,159 + 0,032 + 0,015 = 1,158.


Prof. Muniz Junior


Item IV. Errada.

Essa matéria é de aula futura, mas só para não ficar sem resposta: A probabilidade de ter acertado no máximo 2 questões (acertar 0, 1 ou 2 questões) será: 25,6% + 40,8% + 27,2% = 93,6%.

Gabarito: A

2. (APO - Analista de Planejamento e Orçamento - 2010 – CEPERJ) A tabela a seguir mostra a distribuição de freqüência com agrupamentos em classes, obtida para uma amostra aleatória do peso de 25 crianças com idade até 3 anos, filhos de funcionários da SEPLAG. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Os valores obtidos nessa amostra para a Média amostral ( ), a Moda de Czuber (Mo) e o 1° Coeficiente de Assimetria de Pearson, dado

por As =

, onde S é o desvio-padrão amostral, serão,

respectivamente:

A) 7.296,00; 9.280,00; -0,87

B) 6.896,00; 9280,00; -1,12

C) 6.896,00; 10.000,00; -0,89

D) 6.800,00 8.800,00; 1,12

E) 6.800,0; 9280,00; 0,87

Resolução:

Amostra é um subconjunto representativo da população, e esta é o conjunto universo de uma distribuição ou conjunto de dados. O cálculo da média amostral segue o mesmo procedimento da questão anterior, só que aqui, os dados são dispostos por classes, por exemplo há 2 crianças com peso entre 3200g e 4000g. Como não se sabe como os dados se comportam dentro dessa classe, convenciona-se que eles estejam no centro (média) desse intervalo. Nessa primeira classe do problema, supõe-se que as duas crianças tenham


Prof. Muniz Junior


3600g, esse é o ponto médio (PM) dessa classe. A partir daí, montamos uma outra tabela e fazemos os cálculos exatamente como na questão anterior, só que utilizando os PM:

Já sabemos que para calcular a média, temos que dividir o somatório dos valores multiplicados pelas suas freqüências (que são os “pesos” das variáveis) e dividimos pelo somatório de freqüência. Como nessa fórmula:

=∑

∑

Portanto, = .

= 7.296,00

Se observarmos as opções, somente com esse cálculo já chegaríamos à resposta da questão, pois há apenas uma opção de resposta com esse valor (concurseiro tem que ser esperto! Essa foi a prova que eu fiz quando passei para APO, e fiz exatamente isso fiz isso na hora da prova, pulei logo para a seguinte). Obviamente, tendo tempo, faça e refaça TODOS os cálculos!

Partindo para mais um conceito, MODA é mais uma Medida de tendência central e é simplesmente o valor que mais se repete em uma sequência de dados. Então era só verificar qual seria a classe modal e aplicar a fórmula de CZUBER:

Onde em que Li é o limite inferior da classe modal, d1 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a da classe imediatamente anterior, d2 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a da classe imediatamente


Prof. Muniz Junior


seguinte e h é a amplitude das classes. No caso em que a prova não especifique, deverá ser utilizado o método de Czuber.

Porém, essa questão foi ANULADA, porque embora aparente ter apenas uma classe modal, a distribuição é bimodal em que as amplitudes de classe (tamanho) são diferentes. Quando isso ocorre, temos que calcular a freqüência proporcional para cada classe para saber qual a classe modal, e assim fazendo, teremos: 2/800 = 1/400 para a 1ª classe; 4/1.200 = 1/300 para a 2ª classe; 5/1.600 = 1/320 para a 3ª classe; 6/2.000 1/333 para a 4ª classe; 8/2.400 = 1/300 para a 5ª classe (2 classes modais).

Gabarito: ANULADA

Nota: nessa questão ele fala em Coeficiente de Assimetria de Pearson, mas como esse assunto não está no edital de vocês, não perderemos tempo com ele.

“Bizu da média”: ( Propriedades da média )

Média (K) = K a média de uma constante é a própria constante. Média (Kx) = K.média(x) a média do produto de uma variável com

uma constante é igual ao produto dessa constante com a média da variável. Significa que se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os valores de uma

variável “x” por uma constante K, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.

Média (x ± K) = média (x) ± K a média de uma variável somada ou

subtraída de uma constante é igual à média da constante somada ou subtraída, respectivamente, à constante.

Significa que se somarmos ou subtrairmos uma constante K a todos os valores que uma variável “x” assume, a média do conjunto fica somada ou subtraída dessa constante.

Média (x ± y) = média (x) ± média (y) a média da soma ou

subtração de duas variáveis é igual à soma ou subtração, respectivamente, das médias dessas variáveis.

Média (x.y) = média(x).média (y) a média do produto de duas

variáveis é igual ao produto das médias dessas variáveis. (Somente quando elas são independentes).


Prof. Muniz Junior


Por último, a soma algébrica dos desvios em relação à média é nula, ou seja, se pegarmos a média e subtrairmos dos valores da série, tanto maiores quanto menores que ela, originará os desvios, que ora serão positivos, ora serão negativos que se anularão.

3. (Oficial de Fazenda – 2010 – CEPERJ) Para avaliar o desempenho dos seus funcionários, duas empresas ( ALFA e BETA), cada uma com 50 funcionários, aplicaram a estes, um teste de aptidão e eficiência. Os resultados do teste, cujo escore máximo era 100 pontos, foram apresentados de duas formas diferentes. o gerente de RH da empresa ALFA apresentou os resultados através de um diagrama de Ramos e Folhas, enquanto o da empresa BETA apresentou através de um diagrama de caixa (Box-Plot), conforme mostrado abaixo.

Comparando os diagramas acima e utilizando o esquema dos cinco números, analise as afirmativas abaixo:

I. A amplitude total da distribuição dos escores dos funcionários é menor na Empresa ALFA do que na Empresa BETA.

II. As amplitudes interquartílicas das distribuições são iguais.

III. A distribuição dos escores na Empresa ALFA é bimodal.

IV. Escolhendo ao acaso um funcionário da empresa BETA, a probabilidade de que esse funcionário tenha um escore entre 77 e 86 será de 25%.

Sobre essas afirmativas, tem-se que:

A) Somente a de número I está correta.

B) Somente a de número II está correta.

C) Somente a de número III está correta.


Prof. Muniz Junior


D) Somente as de números III e IV estão corretas.

E) Somente as de números II, III e IV estão corretas.

Resolução:

Item I. ERRADA.

A Empresa ALFA utilizou o Diagrama de Ramos e Folhas. É bem fácil entender essa forma de distribuição. Do lado esquerdo do travessão vertical, são apresentadas as casas decimais dos valores. Do lado direito, as unidades. Dessa forma, vamos montar a seqüência que esse diagrama representa:

{54, 57, 58, 59; 59; 61; 61; 61; 62; 62; 63; 65; 65; 65; 65; 67; 68; 69; 70; 70; 71; 71; 72; 72; 74; 74; 74; 77; 78; 78; 79; 79; 79; 79; 81; 82; 84; 84; 84; 85; 86; 88; 88; 88; 89; 92; 94; 98; 98; 98}

Amplitude total = 98 – 54 = 44.

Já a Empresa BETA, preferiu organizar os seus dados em um diagrama de caixa (Box-plot). Seu funcionamento é bem fácil também. Ele utiliza um gráfico que permite identificar o desvio interquartílico (visto na primeira questão) em uma amostra e realça características importantes. Esse diagrama mostra através de um retângulo onde estão concentrados 50% dos valores centrais da distribuição.

● ● ● ● ●

Valor mínimo Valor máximo

Q1 Q2(md) Q3

Esses são os “cinco números”: Valor mínimo, valor máximo , Q1, Q2 e Q3. Utilizando o esquema dos cinco números do Diagrama de Caixa, teremos a amplitude total = 99 – 60 = 39.

Portanto, a amplitude total de ALFA é maior do que a amplitude total de BETA.

Item II. ERRADA.

As amplitudes interquartílicas das duas distribuições são diferentes. Só relembrando, os quartis dividem a distribuição de 25% em 25% das freqüências (conforme foi visto no Item II da primeira questão). Esses pontos foram marcados em azul na distribuição da Empresa ALFA. No caso do Q2 que


Prof. Muniz Junior


divide a distribuição em 50% de cada lado (por isso é coincidente com a Mediana) eu marquei os dois números centrais, pois a mediana é um número imaginário que é a média dos valores centrais quando o somatório de freqüência é par (no caso 50). Ou se preferir, você pode usar fórmulas:

Exemplo com n par:

2 3 4 5 7 13

A mediana é igual a (4+5)/2 = 4,5. Ou seja, será um valor obtido pela fórmula:

/ /

É um valor fictício, que não aparece na série. Você pode usar esse raciocínio para achar o Q1 que é a mediana dos 50% menores valores e o valor de Q3 que é a mediana dos 50% maiores valores. Assim não precisa decorar mais fórmulas!

Exemplo com n ímpar: calcule a mediana (Q2) da seguinte série:

3 10 10 11 13 16 17 21 30

Md = parte inteira de (n/2) somado de 1 unidade.

A mediana é 13! Era só dividir “n” por 2, tirar o valor inteiro e somar 1:

9/2 = 4,5. Separa o 4 e soma 1: n=5, é o quinto valor.

Visto isso, reparamos que a empresa ALFA tem Q3 = 84 e Q1 = 65 e uma amplitude interquartílica (Q3 - Q1) igual a 19. Na empresa BETA, é só olhar o Box-plot que já sabemos imediatamente que Q3 = 86 e Q1 = 68 e a amplitude interquartílica (Q3 - Q1) é igual a 18.

Item III. CORRETA.

Já sabemos o que é moda (o valor que mais aparece numa distribuição). Bimodal é porque não é apenas um valor que tem a freqüência maior, mas sim dois ao mesmo tempo. Por isso, esses dois valores são MODAS dessa distribuição. Podemos identificar, através do Diagrama de Ramos e Folhas, dois valores modais: 65 e 79, os quais aparecem quatro vezes na distribuição ALFA.

Item IV. CORRETA.

Esse não é assunto da nossa aula de hoje, mas só para não ficar sem resposta: No Diagrama de Caixa os valores 68, 77 e 86 são, respectivamente: 1º Quartil, Mediana e 3º Quartil. Entre a Mediana (50% da distribuição) e o 3º Quartil


Prof. Muniz Junior


(75% da distribuição), teremos 25% dos valores e, escolhendo ao acaso um funcionário de BETA, essa será a probabilidade dele ter um escore entre 77 (Mediana) e 86 (3º Quartil).

Gabarito: D.

4. (Oficial de Fazenda – 2010 – CEPERJ) No site da Secretaria Estadual de Fazenda (www.fazenda.rj.gov.br) podem ser encontradas muitas informações a respeito da arrecadação dos diversos impostos. Clicando no link “Transparência Fiscal” e depois no link “Arrecadação”, pode-se fazer o “Download das tabelas em XLS”. No arquivo “Quadros 2009.xls” encontra-se a informação dos valores mensais arrecadados de todos os impostos em 2009 e 2008. Assim, escolhido o ITD e transformadas as 24 observações mensais desses valores numa distribuição de freqüências agrupadas em classes, foi obtida a tabela abaixo, não havendo valores coincidentes com os extremos das classes:

Calculando-se a média e a mediana dessa distribuição, em milhares de reais, encontram-se, respectivamente:

A) 21.855,56 e 20.550,00

B) 22.312,50 e 22.550,00

C) 22.312,50 e 21.855,56

D) 21.333,33 e 21.855,56

E) 21.333,33 e 20.550,00

Resolução.

Podemos encontrar a média dessa distribuição utilizando o processo normal para cálculo que fizemos antes, apenas teremos que fazer o produto dos pontos médios de cada classe pelas respectivas freqüências, sendo os pontos médios respectivamente: 15.850, 20.550, 25.250, 29.950 e 34.650. Agora era só aplicar a fórmula que já vimos antes:


Prof. Muniz Junior


=∑

∑ = . . . . . =

= 22.312,50.

Eu faria essa questão dessa forma, mas costuma-se “induzir” os alunos a fazerem pelo processo “simplificado”. É que antigamente nesses concursos abertos para qualquer graduação, a Estatística não cobrava a parte Indutiva (avançada), por isso eles pegavam pesado nos cálculos descritiva. Não é o nosso caso, e de uma maneira geral, esses cálculos trabalhosos não têm sido cobrados pelas principais Bancas de concurso. Mas, até como uma maneira de treinar as propriedades da média, eu irei apresentar o tal “processo simplificado”: Como as amplitudes de classe são iguais em todas as classes (4.700), podemos utilizar a transformação da variável X na variável Z. Esse processo se baseia em duas das propriedades da média:

1ª) multiplicando ou dividindo uma variável por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida, respectivamente, pela constante;

2ª) ao somarmos ou subtraindo uma constante a uma variável, sua média ficará acrescida ou diminuída, respectivamente, dessa constante.

É só seguir os passos:

1) Subtrair o ponto médio da classe central (25.250) de cada ponto médio de classe.

2) Pegar esse resultado e dividir pela amplitude da classe.

Por exemplo: Na 1ª classe para X = 15.850 teremos:

Z = = .

= -2. Fazendo isso para as outras classes,

montamos a seguinte tabela:


Prof. Muniz Junior


A subtração do ponto médio e a divisão das classes foram feitos para “simplificar” os produtos Z F. por que professor? Isso é feito para fazer o cálculo da média de Z e depois, pelas propriedades da média, transportarmos a média de Z para a média de X. Veja:

=∑

∑ = = -0,625.

Mas queremos a média da variável X. Então basta analisarmos a transformação de X em Z, e fazemos o caminho contrário para voltar de Z para X.

Para transformar X em Z, fizemos:

Z=

Para transformar Z em X, multiplicamos “em cruz”: 4.700×Z = X – 25.250.

X = 4.700×Z + 25.250.

Agora aplicaremos as propriedades da média:

1ª) multiplicando ou dividindo uma variável por uma constante, a média ficará multiplicada ou dividida, respectivamente, pela constante;

2ª) ao somarmos ou subtraindo uma constante a uma variável, sua média ficará acrescida ou diminuída, respectivamente, dessa constante.

Portanto, = (4.700 ) + 25.250.

= (4.700 (-0,625)) + 25.250.

= 22.312,50

Como calculei antes. E ai, gostaram do “método simplificado”? NÃO?! Rsrsrs

Eu também não gosto porque é mais fácil errar um cálculo nesse meio !!

Agora é só calcular a Mediana, que será encontrada através de interpolação. Como são 24 observações, teríamos que encontrar o valor correspondente a uma freqüência acumulada de 12. Veja que para uma amplitude de 4.700 na 2ª classe temos 9 observações. Qual deveria ser a amplitude correspondente à uma freqüência absoluta simples de 7 observações na 2ª classe (freqüência que acumularia 12 observações, pois seriam 5 da 1ª mais 7 da 2ª classe)? É só montar o esqueminha:

7

Intervalo de freqüência: 5 l.............l................l 14

x

Intervalo de valores correspondente: 18.200 l.............l................l 22.900


Prof. Muniz Junior


Ta aí! O nosso interesse é achar a correspondência entre a posição de freqüência (12ª) e o valor na classe! É muito fácil, é só fazer uma regra de três simples com as variações totais de freqüência (14 – 5 = 9) e valor (22.900 – 18.200 = 4.700):

.

= multiplica em cruz:

9x=32.900 .: x= 3.655,55. Essa é a variação na sequência que corresponde à variação de 7 na freqüência acumulada. Agora é só somar ao limite inferior da classe:

18200+3.655,55= 21.855,56. Essa é a mediana procurada!

Gabarito: C.

5. (Oficial de Fazenda – 2010 – CEPERJ) No mesmo site citado na questão anterior e utilizando o arquivo “Quadros 2009.xls”, foram calculados a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação (CV) para a arrecadação, no ano de 2009, de impostos dos seguintes setores econômicos: AGRICULTURA, INDÚSTRIA e SERVIÇOS. No quadro abaixo foram omitidas algumas medidas, substituídas pelas incógnitas X, Y e Z.

A única alternativa correta, para os valores aproximados dessas incógnitas, é:

A) X < 30% e Y < Z

B) X < 25% e Y > Z

C) X > 25% e Y < Z

D) X > 30% e Y < Z

E) X < 30% e Y > Z

Resolução:


Prof. Muniz Junior


Até agora nos vimos as medidas de posição. Aqui a banca pede conhecimento das medidas dispersão, ou seja, o desvio padrão e o coeficiente de variação (ou dispersão relativa), que nada mais é que dividir o desvio-padrão pela média.

Na verdade, esse assunto (medidas de dispersão) sempre vem indexado a outros tópicos que veremos nas aulas futuras, por isso, faremos poucas questões nessa aula de hoje.

Sabendo que a fórmula para o CV é:

CV = , conseqüentemente, S = CV × , e é só calcular os valores do CV:

O CV para o Setor Agricultura, na forma percentual, será: CVa = . ,. ,

=

= 0,276; ou 27,6%;

O desvio padrão para o Setor Indústria será: 504.851.309,68 × 0,1149 → Si = 58.007.415,48;

O desvio padrão para o Setor Serviços será: 603.275.423,07 × 0,0742 →

Ss = 44.763.036,39.

Tem que ser esperto, na prova, dependendo das opções e cálculos, você não precisa ser muito preciso! Fique sempre atento a esse detalhe! Era só aproximar o CV para 11% e a média para 500 milhões. Idem para a outra variável: CV de 7% e média de 600 milhões. Você compararia Si de 55 milhões com Ss de 42 milhões. Então, mesmo aproximando, a diferença é grande e percebe-se que Y será maior do que Z.

Gabarito: E.

6. (ICMS-RJ 2010 auditor fiscal tributário) A média, a mediana e a variância das idades de um grupo de vinte pessoas são, hoje, iguais, respectivamente, a 34, 35 e 24. Daqui a dez anos, os valores da média, da mediana e da variância das idades dessas pessoas serão, respectivamente:

A) 44, 35 e 34.

B) 44, 45 e 12.

C) 44, 45 e 24.

D) 34, 35 e 12.

E) 44, 45 e 124.


Prof. Muniz Junior


Resolução:

A média e a mediana são alteradas pela soma de uma constante a todas as variáveis de uma distribuição (desse grupo de pessoas, por exemplo). Nesse caso, a média resultante será a anterior (antes da soma) adicionada dessa constante. Mesmo procedimento para a mediana. Como cada idade será somada de 10, a média e a mediana serão somadas de 10.

Já a variância é uma medida de variabilidade, de modo que não se alterará, ou seja, a variância não é alterada pela soma de uma constante aos valores da distribuição (veja o bizu adiante).

Assim, média = 34 + 10 = 44, mediana = 35 + 10 = 45 e variância = 24.

Gabarito: C.

“Bizu da variância”:

A variância é uma medida baseada nos desvios dos valores em torno da própria média aritmética. Por definição, a variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios (ou a média aritmética dos desvios ao quadrado). Representamos a variância por ơ² e pela fórmula:

Essa fórmula é válida para o cálculo da variância de toda a população, ou seja, todos os dados da sequência numérica. Quando o interesse se restringe a apenas uma amostra, quer dizer, apenas um subconjunto da população, a fórmula a ser usada é a seguinte:

Apenas mudamos o símbolo “ơ” por S²x e alteramos o denominador de “n” para “n-1”. Isso será visto mais a frente, na Estatística indutiva.

( Propriedades da variância)

V(k) = 0 → a variância da constante (k) é igual a zero, por isso, a variância não é influenciada pela soma ou subtração de uma constante aos valores da variável.


Prof. Muniz Junior


V(k.x) = k².V(k) → ao multiplicarmos todos os valores de uma variável por uma constante k, a variância fica multiplicada por k².

V(x±k) = V(k) → a variância não é influenciada quando somamos ou subtraímos uma constante k.

(INSS 2008 - Analista – CESPE – Questões 7 e 8).

De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas apresentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes.

7. Segundo o IBGE, em 2007, para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, havia, em média, pelo menos, quatro crianças de 0 a 14 anos de idade. Em 2050, para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, haverá, em média, no máximo, uma criança de 0 a 14 anos de idade.

Resolução:

Questão boa! Assunto “tabelas”. Essa questão não é difícil, mas exige atenção. O examinador fez uma “maldade”. Ele sobrepôs várias classes de dados. Num primeiro momento, o candidato tenderia a somar todas as freqüências relativas, em porcentagem, de 2007 e veria que o somatório é mais que 100%. Veja:

27,5+18,3+66,1+9,0+4,0+1,2=126,1% como pode? É que ele contou duas vezes o mesmo dado, por exemplo, uma pessoa de 20 anos entrou na 2ª e 3ª classe, por isso atenção!

Vamos trabalhar, por enquanto, apenas com a 1ª e 3ª classes.


Prof. Muniz Junior


Vamos montar uma tabela bem didática para você ver os dados. Com a prática, você nem precisará montá-la, verá os dados com “olhos de águia”! rsrs

Reparou que os dados da linha verde tiveram que ser calculados da simples diferença do total da população em 2007 (100%) menos o total da população naquele ano até a idade de 64 anos ( 66,1% + 27,5%), e que resultou em 6,4%? E olha que isso já estava no enunciado, mas fazendo o mesmo processo, se chega aos 18,8% em 2050 (não se esqueça que está tudo em percentual).

Agora vamos analisar a assertiva: O examinador disse que para cada idoso com 65 anos de idade ou mais (6,4), havia, em média, pelo menos, quatro crianças de 0 a 14 anos de idade (27,5).

É só fazer a regra de três simples:

6,4 27,5

1 x

6,4X = 27,5 . : x = 4,29 , ou seja, para cada pessoa idosa, havia mais de quatro pessoas de 0 a 14 anos. Até aqui correto. Fazendo o mesmo raciocínio para a projeção de 2050:

18,8 17,7

1 X

18,8x=17,7 .: x=0,94, ou seja, nem uma pessoa para cada idoso com 65 anos ou mais.

Gabarito: CORRETA.

Classes ANO

2007 2050

0 I‐‐‐I 14 27,5 17,7

15 I‐‐‐I 64 66,1 63,5

65 I‐‐‐I † 6,4 18,8

Total 100% 100%


Prof. Muniz Junior


8. Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma eqüiprovável na faixa de 15 a 18 anos. Nessa situação, a média e a mediana das idades nessa faixa serão ambas iguais a 16,5 anos.

Resolução: Essa foi fácil! Se estava distribuído de forma equiprovável quer dizer que

não estava concentrado em nenhum ponto, ou seja, a população estava “bem distribuída”, na mesma proporção para cada idade.

↓_____↓_____↓_____↓ 15 16 17 18

É só você imaginar uma pessoa em cada idade dessa. A quantidade de pessoas por idade não importa, o que nos interessa é que estão na mesma proporção por idade (distribuição equiprovável ). Nem precisava calcular a média, pois graficamente já sabemos que seu valor é 16,5, igual ao da mediana, mas vamos ao cálculo:

= = 16,5

Gabarito: CORRETA

9. (INSS 2008 - Técnico – CESPE ) Um dos indicadores de saúde comumente utilizados no Brasil é a esperança de vida ao nascer, que corresponde ao número de anos que um indivíduo vai viver, considerando-se a duração média da vida dos membros da população. O valor desse índice tem sofrido modificações substanciais no decorrer do tempo, à medida que as condições sociais melhoram e as conquistas da ciência e da tecnologia são colocadas a serviço do homem. A julgar por estudos procedidos em achados fósseis e em sítios arqueológicos, a esperança de vida do homem pré-histórico ao nascer seria extremamente baixa, em torno de 18 anos; na Grécia e na Roma antigas, estaria entre 20 e 30 anos, pouco tendo se modificado na Idade Média e na Renascença. Mais recentemente, têm sido registrados valores progressivamente mais elevados para a esperança de vida ao nascer. Essa situação está ilustrada no gráfico abaixo, que mostra a evolução da esperança de vida do brasileiro ao nascer, de 1940 a 2000:


Prof. Muniz Junior


Com base nas informações do texto e considerando os temas a que ele se reporta, julgue o item seguinte.

Se for mantida, durante o período de 2000-2020, a tendência observada, no gráfico mostrado, no período 1980-2000, a esperança de vida do brasileiro ao nascer será, em 2020, superior a 85 anos.

Resolução.

Questão de análise gráfica. O gráfico mostra a esperança de vida do brasileiro ao nascer no decorrer das décadas. Veja que de 1980-2000 essa esperança aumentou menos de 10,5 (70,5-60). Ora, mantendo essa variação para as duas décadas seguintes (2000-2020) espera-se que menos de 10,5 seja o aumento da esperança de vida.

Então esse valor ao final de 2020 tem que ser menor que 81 anos (70,5+10,5).

Gabarito: ERRADA.

(INSS 2008 - Técnico – CESPE – Questões 10 e 11) A tabela abaixo mostra, em porcentagens, a distribuição relativa da população brasileira por grupos etários, de acordo com dados dos censos demográficos de 1940 a 2000:


Prof. Muniz Junior


Com base nos dados acerca da evolução da população brasileira apresentados na tabela acima, julgue os itens subseqüentes.

10. O gráfico a seguir ilustra corretamente as informações apresentadas na tabela.

Resolução:

Mais uma de análise de gráfico. Perceberam que a parte cinza representa as pessoas com mais de 65 anos? É só ver a legenda. A porcentagem dessa faixa diminuiu aqui no gráfico, ao passo que aumentou na tabela anterior. Por isso, o


Prof. Muniz Junior


gráfico não ilustra corretamente as informações as informações apresentadas na tabela.

Gabarito: ERRADA.

11. Infere-se dos dados da tabela que, de 1940 a 1970, a população brasileira apresentava-se distribuída uniformemente em relação aos três grupos etários.

Resolução:

Claro que não! Era só verificar a tabela para conferir que a população brasileira não apresentava-se distribuída uniformemente em relação aos três grupos etários, notadamente em relação aos mais idosos que foram sempre a minoria.

Gabarito: ERRADA.

(ABIN 2010 - Oficial de Inteligência – CESPE – Questões 12 a 14)

A figura acima apresenta esquematicamente as distribuições das alturas (em cm) dos estudantes das três turmas de uma escola. As linhas verticais de cada box-plot se estendem até os valores extremos da distribuição. Com base nessas informações, julgue os itens consecutivos.

12. A turma 3 tem a maior amplitude de alturas.


Prof. Muniz Junior


Resolução.

Vamos relembrar a figura do blox-plot (diagrama de caixa):

● ● ● ● ●

Valor mínimo Valor máximo

Q1 Q2(md) Q3

Cada quartil Q demarca 25% da distribuição de freqüência, e a diferença entre o valor máximo e mínimo é a amplitude dessa distribuição. Logo, é só observar o gráfico da questão para constatar que a turma 3 tem a maior amplitude, variando as alturas de 110 a 190.

Gabarito: CERTA.

13. As distribuições das alturas referentes às turmas 2 e 3 são simétricas.

Resolução:

Para ser simétrico, o diagrama deve ser todo simétrico, ou seja, os 2° e 3° quartis devem ser eqüidistantes da mediana e dos extremos. Para exemplificar, a turma 2 tem 25% de sua distribuição concentrada em apenas 10 cm (150 a 160) acima da mediana, ao passo que abaixo dela, esse porcentual se distribui em 20 cm (130 a 150). Por isso a distribuição não é simétrica.

Gabarito: ERRADA.

14. Entre os estudantes da turma 1, 75% possuem alturas iguais ou superiores a 160 cm, enquanto metade dos estudantes da turma 3 tem altura igual ou inferior a 160 cm.

Resolução:

Basta observar o gráfico para ver que apenas 25% da turma 1 tem mais de 160cm.

Gabarito: ERRADA.


Prof. Muniz Junior


(Oficial de Inteligência – CESPE – Questões 15 e 16)

2 1 3 2 6

3 4 3 5 8 7

4 6 2 1 9 6

5 4 2 0 5

Considerando que o diagrama de ramos-e-folhas acima mostra a distribuição das idades (em anos) dos servidores de determinada repartição pública, julgue os próximos itens.

15. O primeiro quartil e o terceiro quartil são, respectivamente, 34 e 46 anos de idade.

Resolução:

Eu deixei para falar do diagrama de Ramos e Folhas aqui na questão, assim como de outros assuntos que apresentei nas questões, para a teoria não ficar muito extensa e cansativa.

Mas não há nenhuma novidade. Apenas apresenta-se os valores por dezenas separado pelo travessão vertical. Esses números são os ramos que adicionados a cada número do lado direito do travessão, forma o rol que origina o diagrama. Os números que aparecem na questão são:

21, 22, 23, 26, 33, 34, 35, 37, 38, 41, 42, 46, 46, 49, 50, 52, 54, 55

Q1 Q2(md) Q3

Não precisa decorar fórmula alguma! Só precisa saber o conceito. A partir da mediana, se você retirar a mediana da 1ª metade, automaticamente terá o 1° quartil que é 25% da distribuição! O q1 vale 33.

Gabarito: ERRADA.

16. A mediana das idades dos servidores é igual a 39,5 anos.


Prof. Muniz Junior


Resolução:

É só verificar no gráfico que fiz para a questão anterior e você verá que a questão está correta. É só fazer a média aritmética de 38 e 41, já que a distribuição tem um número par de elementos. Mas para os aficionados em fórmulas, é só aplicar aquela fórmula da nossa aula teórica:

Md= / / .

Md = (38+41)/2 = 39,5.

Gabarito: CORRETA.

Seguem as questões da aula de hoje caso vocês queiram fazê-las primeiro para depois comparar com o professor.

Forte abraço!


Prof. Muniz Junior


QUESTÕES COMENTADAS NA AULA

1. (Oficial de Fazenda - 2011 – CEPERJ) Com base no resultado final do concurso para o cargo de Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental da SEPLAG, prova realizada pelo CEPERJ em 01.08.2010, as freqüências para o número de acertos obtidos nas cinco questões de Estatística pelos 1.535 candidatos que realizaram a prova estão mostradas no quadro abaixo.

O gráfico abaixo mostra a frequência relativa dos acertos.

Com base na tabela e no gráfico, julgue as afirmativas a seguir.

I- A moda e a mediana da distribuição são iguais.

II- A amplitude interquartílica é igual a 2.

III- A média da distribuição é igual a 2.

IV- A probabilidade de um candidato, escolhido ao acaso entre os 1.535, ter acertado no máximo duas questões é igual a 66,4%.

São corretas apenas as afirmativas:

A) I e II

B) I e III

C) I, III e IV

D) II, III e IV

E) II e IV


Prof. Muniz Junior


2. (APO - Analista de Planejamento e Orçamento - 2010 – CEPERJ) A tabela a seguir mostra a distribuição de freqüência com agrupamentos em classes, obtida para uma amostra aleatória do peso de 25 crianças com idade até 3 anos, filhos de funcionários da SEPLAG. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Os valores obtidos nessa amostra para a Média amostral ( ), a Moda de Czuber (Mo) e o 1° Coeficiente de Assimetria de Pearson, dado

por As =

, onde S é o desvio-padrão amostral, serão,

respectivamente:

A) 7.296,00; 9.280,00; -0,87

B) 6.896,00; 9280,00; -1,12

C) 6.896,00; 10.000,00; -0,89

D) 6.800,00 8.800,00; 1,12

E) 6.800,0; 9280,00; 0,87

3. (Oficial de Fazenda – 2010 – CEPERJ) Para avaliar o desempenho dos seus funcionários, duas empresas ( ALFA e BETA), cada uma com 50 funcionários, aplicaram a estes, um teste de aptidão e eficiência. Os resultados do teste, cujo escore máximo era 100 pontos, foram apresentados de duas formas diferentes. o gerente de RH da empresa ALFA apresentou os resultados através de um diagrama de Ramos e Folhas, enquanto o da empresa BETA apresentou através de um diagrama de caixa (Box-Plot), conforme mostrado abaixo.


Prof. Muniz Junior


Comparando os diagramas acima e utilizando o esquema dos cinco números, analise as afirmativas abaixo:

I. A amplitude total da distribuição dos escores dos funcionários é menor na Empresa ALFA do que na Empresa BETA.

II. As amplitudes interquartílicas das distribuições são iguais.

III. A distribuição dos escores na Empresa ALFA é bimodal.

IV. Escolhendo ao acaso um funcionário da empresa BETA, a probabilidade de que esse funcionário tenha um escore entre 77 e 86 será de 25%.

Sobre essas afirmativas, tem-se que:

A) Somente a de número I está correta.

B) Somente a de número II está correta.

C) Somente a de número III está correta.

D) Somente as de números III e IV estão corretas.

E) Somente as de números II, III e IV estão corretas.


Prof. Muniz Junior


4. (Oficial de Fazenda – 2010 – CEPERJ) No site da Secretaria Estadual de Fazenda (www.fazenda.rj.gov.br) podem ser encontradas muitas informações a respeito da arrecadação dos diversos impostos. Clicando no link “Transparência Fiscal” e depois no link “Arrecadação”, pode-se fazer o “Download das tabelas em XLS”. No arquivo “Quadros 2009.xls” encontra-se a informação dos valores mensais arrecadados de todos os impostos em 2009 e 2008. Assim, escolhido o ITD e transformadas as 24 observações mensais desses valores numa distribuição de freqüências agrupadas em classes, foi obtida a tabela abaixo, não havendo valores coincidentes com os extremos das classes:

Calculando-se a média e a mediana dessa distribuição, em milhares de reais, encontram-se, respectivamente:

A) 21.855,56 e 20.550,00

B) 22.312,50 e 22.550,00

C) 22.312,50 e 21.855,56

D) 21.333,33 e 21.855,56

E) 21.333,33 e 20.550,00

5. (Oficial de Fazenda – 2010 – CEPERJ) No mesmo site citado na questão anterior e utilizando o arquivo “Quadros 2009.xls”, foram calculados a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação (CV) para a arrecadação, no ano de 2009, de impostos dos seguintes setores econômicos: AGRICULTURA, INDÚSTRIA e SERVIÇOS. No quadro abaixo foram omitidas algumas medidas, substituídas pelas incógnitas X, Y e Z.


Prof. Muniz Junior


A única alternativa correta, para os valores aproximados dessas incógnitas, é:

A) X < 30% e Y < Z

B) X < 25% e Y > Z

C) X > 25% e Y < Z

D) X > 30% e Y < Z

E) X < 30% e Y > Z

6. (ICMS-RJ 2010 auditor fiscal tributário) A média, a mediana e a variância das idades de um grupo de vinte pessoas são, hoje, iguais, respectivamente, a 34, 35 e 24. Daqui a dez anos, os valores da média, da mediana e da variância das idades dessas pessoas serão, respectivamente:

A) 44, 35 e 34.

B) 44, 45 e 12.

C) 44, 45 e 24.

D) 34, 35 e 12.

E) 44, 45 e 124.

(INSS 2008 - Analista – CESPE – Questões 7 e 8)


Prof. Muniz Junior


De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas apresentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes.

7. Segundo o IBGE, em 2007, para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, havia, em média, pelo menos, quatro crianças de 0 a 14 anos de idade. Em 2050, para cada idoso com 65 anos de idade ou mais, haverá, em média, no máximo, uma criança de 0 a 14 anos de idade.

8. Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma eqüiprovável na faixa de 15 a 18 anos. Nessa situação, a média e a mediana das idades nessa faixa serão ambas iguais a 16,5 anos.

9. (INSS 2008 - Técnico – CESPE – Questões 1 e 2). Um dos indicadores de saúde comumente utilizados no Brasil é a esperança de vida ao nascer, que corresponde ao número de anos que um indivíduo vai viver, considerando-se a duração média da vida dos membros da população. O valor desse índice tem sofrido modificações substanciais no decorrer do tempo, à medida que as condições sociais melhoram e as conquistas da ciência e da tecnologia são colocadas a serviço do homem. A julgar por estudos procedidos em achados fósseis e em sítios arqueológicos, a esperança de vida do homem pré-histórico ao nascer seria extremamente baixa, em torno de 18 anos; na Grécia e na Roma antigas, estaria entre 20 e 30 anos, pouco tendo se modificado na Idade Média e na Renascença. Mais recentemente, têm sido registrados valores progressivamente mais elevados para a esperança de vida ao nascer. Essa situação está ilustrada no gráfico abaixo, que mostra a evolução da esperança de vida do brasileiro ao nascer, de 1940 a 2000:


Prof. Muniz Junior


Com base nas informações do texto e considerando os temas a que ele se reporta, julgue o item seguinte.

Se for mantida, durante o período de 2000-2020, a tendência observada, no gráfico mostrado, no período 1980-2000, a esperança de vida do brasileiro ao nascer será, em 2020, superior a 85 anos.

(INSS 2008 - Técnico – CESPE – Questões 10 e 11) A tabela abaixo mostra, em porcentagens, a distribuição relativa da população brasileira por grupos etários, de acordo com dados dos censos demográficos de 1940 a 2000:

Com base nos dados acerca da evolução da população brasileira apresentados na tabela acima, julgue os itens subseqüentes.

10. O gráfico a seguir ilustra corretamente as informações apresentadas na tabela.


Prof. Muniz Junior


11. Infere-se dos dados da tabela que, de 1940 a 1970, a população brasileira apresentava-se distribuída uniformemente em relação aos três grupos etários.

(ABIN 2010 - Oficial de Inteligência – CESPE – Questões 12 a 14)

A figura acima apresenta esquematicamente as distribuições das alturas (em cm) dos estudantes das três turmas de uma escola. As linhas verticais de cada box-plot se estendem até os valores extremos da distribuição. Com base nessas informações, julgue os itens consecutivos.


Prof. Muniz Junior


12. A turma 3 tem a maior amplitude de alturas.

13. As distribuições das alturas referentes às turmas 2 e 3 são simétricas.

14. Entre os estudantes da turma 1, 75% possuem alturas iguais ou superiores a 160 cm, enquanto metade dos estudantes da turma 3 tem altura igual ou inferior a 160 cm.

(Oficial de Inteligência – CESPE – Questões 15 e 16)

2 1 3 2 6

3 4 3 5 8 7

4 6 2 1 9 6

5 4 2 0 5

Considerando que o diagrama de ramos-e-folhas acima mostra a distribuição das idades (em anos) dos servidores de determinada repartição pública, julgue os próximos itens.

15. O primeiro quartil e o terceiro quartil são, respectivamente, 34 e 46 anos de idade.

16. A mediana das idades dos servidores é igual a 39,5 anos.


Prof. Muniz Junior


Gabarito.

1-A

2-ANULADA

3-D

4-C

5-E

6-C

7-C

8-C

9-E

10-E

5-E

6-C

7-C

8-C

9-E

10-E

11-E

12-C

13-E

14-E

15-E

16-C

Documents

Estatística Para Analista Em Finanças