Estatística Aula 08 Medidas de posição - Prof. Diovani Milhorim

Estatística

Aula 08

Medidas de posição -

Prof. Diovani Milhorim

Medidas de posição

MODA:(Mo)

Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.


MODA:(Mo)

Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum,isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria.


MODA - Dados não-agrupados:

Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definição, procurar o valore que mais se repete.

A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 15.

tem moda igual a 10.



Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor aparece mais vezes que outros.

É o caso da série: 3, 5, 8, 10, 12, 13.

Esta série não apresenta moda (amodal).



Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dói ou mais valores modais.

Na série: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9.

Nesta sérieduas modas: 4 e 7 (bimodal).


MODA - Dados agrupados:

Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência.


MODA – Sem intervalo de classes

exemplo

Nesta distribuição de freguência a moda corresponde ao valor 3 da variável (maior freguência = 12)


MODA - Com intervalo de classes

A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal.



Damos a esse valor a denominação de moda bruta.

Temos então: Mo = ( l* + L*) / 2

Onde:

l* é o limite inferior da classe modal

L* é o limite superior da classe modal



Para a distribuição abaixo: vamos calcular a moda



Temos que a classe modal é i = 3, l* = 158 e L* = 162

Como: Mo = l* + L* / 2

Vem: Mo = 158 + 162 / 2 320 / 2 =160

Logo: Mo = 160 cm.



Exercício: Complete o esquema para o cálculo da moda da distribuição de freqüência


MODA - Emprego da Moda:

A moda é utilizada:

a) Quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;

b) Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.


MEDIANA (Md)

A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem.

Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.


MEDIANA (Md): Dados não-agrupados:

Dada uma série de valores, como por exemplo:

5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9.

De acordo com a definição, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores.

2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.

Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda

Temos então que: Md = 10



Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio.

Assim, a série de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21.

Tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12.

Logo: Md = (10 + 12 )/ 2 = 22/2 = 11

onde: Md = 11



Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o numero de elementos da série, o valor mediano será:

o termo de ordem (n + 1) / 2, se n for ímpar;

a média aritmética dos termos de ordem

n/2 e n/2 +1, se for par.


MEDIANA (Md): Dados agrupados:

Se os dados se agrupam em uma distribuição de freqüência, o cálculo da mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-agrupados, simplicando, porém, a determinação prévia das freqüências acumuladas. Ainda aqui, temos que determinar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos.


MEDIANA (Md): Dados agrupados:

Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos é dada por:

∑ fi / 2


MEDIANA (Md): Sem intervalo de classe:

Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências . A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.


MEDIANA (Md): Sem intervalo de classe:

Exercicio: Calcule a mediana

nº de defeitos (xi) nº de máquinas (fi)

012345

7 81714 9 5

15 60


MEDIANA (Md): com intervalo de classe:

A classe mediana é aquela em que a frequência relativa acumulada atinge os 50%.O valor exato da mediana pode calcular-se utilizando uma regra de três simples, admitindo que as observações se distribuem uniformemente pela amplitude da classe.

h = amplitude da classe da medianali = limite inferior da classe que deve conter a medianafc = freguência da classe que deve conter a MiMi = medianafa[1-i] =freguência acumulada anterior da classe que deve conter a mediana


MEDIANA (Md): com intervalo de classe:

Exercicio: Determine a mediana da freguência abaixo:

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