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UNIVERSIDAD DE JAÉN Centro de Estudios de Postgrado
Trabajo Fin de Máster
ESTADÍSTICA PARA CUARTO DE ESO
Alumno/a: Cobo Yera, Alfonso
Tutor/a: Prof. D. Francisco Javier García García Dpto: Didáctica de las Ciencias
Junio, 2015
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ÍNDICE
Resumen y palabras clave. ..................................................................................... 2
1. Introducción ................................................................................................... 3
2. Fundamentación epistemológica. ................................................................. 3
2.1 Contextualización del centro escolar, de la materia y del tema elegido. 3
2.2 Antecedentes y estado de la cuestión. ...................................................... 6
2.2.1. Respecto al aprendizaje. ....................................................................... 7
2.2.2. Respecto a la enseñanza. .................................................................... 18
2.3 Definición de los conceptos y establecimiento de los objetivos. .............. 21
2.3.1 Contenidos del tema desarrollados. .................................................... 21
2.3.2 Competencia estocástica. .................................................................... 28
2.3.3 Pensamiento estadístico. ..................................................................... 29
2.4 Utilidad práctica y su enfoque didáctico. ................................................... 31
3. Proyección didáctica. ....................................................................................... 32
3.1 Objetivos ..................................................................................................... 32
3.2 Tratamiento de las competencias básicas. ................................................ 34
3.3 Contenidos. ................................................................................................. 35
3.4 Metodología y recursos didácticos. ........................................................... 37
3.5 Actividades .................................................................................................. 38
3.6 Actividades complementarias y extraescolares ........................................ 46
3.7 Temporalización ......................................................................................... 47
3.8 Evaluación ................................................................................................... 50
3.9 Atención a la diversidad. ............................................................................ 53
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................... 54
ANEXOS ............................................................................................................. 56
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Resumen y palabras clave.
Resumen:
Este trabajo está dividido en dos grandes bloques, en el primer bloque trata la fundamentación epistemológica del tema, en el que se desarrolla la contextualización del centro escolar y todas las características, por otro lado en los antecedentes y estado de cuestión se desarrolla las dificultades que presentan los alumnos respecto al aprendizaje y enseñanza de la estadística. A continuación se desarrollan la definición de conceptos destacando la importancia del uso real de los datos, y por último la utilidad práctica.
En el segundo bloque se presenta la proyección didáctica de la unidad: Estadística, enfocada para 4ºESO, en el que se desarrollan todos los objetivos, contenidos, competencias, actividades, actividades complementarias, Temporalización dividida en 10 sesiones, después la evaluación, detallando el sistema de evaluación, los criterios e instrumentos que se va tener en cuenta a la hora de evaluar a los alumnos, y por último la atención a la diversidad.
Palabras clave: educación estadística, aprendizaje y enseñanza, Educación Secundaria Obligatoria.
Abstract:
This work is divided into two blocks, the first block is the epistemological foundation of the subject, in which the contextualization of school and all the features is developed, on the other hand in the history and state of matter the difficulties develops that presented by students about learning and teaching statistics. Then the definition of concepts are developed emphasizing the importance of the actual use of the data, and finally the practical utility.
In the second block teaching projected unit presents: Statistics, focused for 4ºESO, where all the objectives, content, skills, activities, complementary activities are developed, Timing divided into 10 sessions, after evaluation, detailing the system evaluation criteria and instruments to be taken into account when evaluating students, and finally the attention to diversity.
Keywords: statistics education, learning and teaching, Compulsory Secondary Education.
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1. Introducción
En este trabajo se presenta una unidad didáctica sobre Estadística dirigida a alumnos del cuarto curso de la Educación Secundaria Obligatoria para la opción B.
La estadística es una de las asignaturas de más utilidad para la formación de los alumnos, y es de vital importancia por el uso que de ella hacen otras asignaturas y sobre todo porque está presente en una gran variedad de ámbitos de la vida cotidiana en la sociedad actual, como por ejemplo en los medios de comunicación la estadística está siempre presente ya que muestra análisis de informaciones estadística sobre el mundo que nos rodea, y ahí se refleja esta parte de las matemáticas. Atendiendo a Batanero (2001, p. 3): “La educación estadística, los profesionales y ciudadanos deben interpretarlas y tomar a su vez decisiones basadas en esta información, así como los que deben colaborar en la obtención de datos.” En otras palabras, una vez obtenida la información se debe de tomar decisiones de tipo económico, social o político.
Se ha dividido el trabajo en dos grandes bloques, el primero se dedica a una fundamentación epistemológica del tema. Se presentan algunos resultados importantes acerca del aprendizaje y enseñanza de la estadística en los estudiantes de secundaria, extraídos de investigaciones realizadas por diversos autores. También se desarrollan los contenidos del tema y, por último, se justifica la utilidad práctica de la estadística, que como se ha mencionado anteriormente, está presente en la vida cotidiana y se utiliza en diversas profesiones.
En el segundo bloque se presenta la unidad didáctica, estructurada en objetivos, competencias, contenidos, metodología, recursos didácticos, actividades, temporalización, evaluación y atención a la diversidad.
2. Fundamentación epistemológica.
2.1 Contextualización del centro escolar, de la materia y del tema elegido.
Características del entorno
El centro se encuentra situado en la localidad de Mancha Real, que dista de 20km al este de la capital de provincia, con la que está comunicada por autovía, a falta de un tramo en ejecución de 5 km. Según el último censo cuenta con 11.000 habitantes, cifra que tiende a seguir creciendo dado que se ha convertido en el centro industrial de la comarca oeste de Sierra Mágina, con lo que está recibiendo población de localidades cercanas, amén de convertirse en residencia habitual de vecinos de la capital, que encuentran en esta población un precio de la vivienda nivel más asequible.
Los alumnos del I.E.S. Sierra Mágina de Mancha Real proceden de distintos municipios. El mayor número es de la localidad en la que está ubicado el centro, y el resto de Torres, Jimena y Albanchez de Mágina. Los alumnos del municipio proceden de dos
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colegios de Mancha Real (San José de Calasanz y Sixto Sigler), siendo uno de ellos bilingüe de francés y desde el año pasado plurilingüe de Ingles – Francés.
Hay que establecer diferencias entre unas y otras según la diversidad de su economía. Así, en Mancha Real las actividades laborales se han diversificado en los últimos años y a las tradicionales del sector primario hay que añadir la fabricación de muebles, maquinaria, materiales de construcción, etc., siendo la primordial la relacionada con la madera. En el resto de municipios predominan las actividades agrarias y terciarias.
Al centro acuden a partir de 3º ESO alumnos de las villas vecinas de Torres, 1600 habitantes y a 12km de Mancha Real; de Jimena, 1500 habitantes y a 18 km de distancia, y, finalmente de Albanchez de Mágina, 1230 habitantes y que se encuentra a 24km.
Características del centro.
El centro se encuentra en el municipio de Mancha Real, concretamente en el I.E.S Sierra Mágina, en el cual se lleva a cabo la E.S.O., bachillerato en la modalidad de Ciencias y Tecnología y en Humanidades y Ciencias Sociales.
El instituto consta de cuatro líneas de E.S.O., una línea de bachillerato en cada una de sus modalidades. Además, el instituto consta de las siguientes instalaciones.
En el centro hay 5 edificios. El edificio principal tiene la mayor parte de las aulas, así como los despachos de dirección, Secretaría, jefatura de estudios, la conserjería, la biblioteca, el archivo, el aula de informática, la sala de profesores, el aula de tecnología, el aula de necesidades educativas especiales, el aula de plástica, los laboratorios de ciencias naturales, física y química, todos los despachos de los departamentos y servicios para los alumnos y profesores. Por otro lado está el SUM que fue reformado en 2010, en el que tiene en la planta baja la sala de usos múltiples y en la primera planta están las aulas de música e idiomas. El edificio con el nombre “Ala Este” es un aulario incorporado al Instituto con la implantación de la LOGSE donde se ubican 8 aulas y servicios de alumnos. El cuarto edificio es el gimnasio que se construyo en 2010. Por último, dentro del recinto del Instituto está la casa del conserje
En la Fig.1 se muestra un plano del centro.
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Fig.1 Plano del centro I.E.S Sierra Mágina de Mancha Real.(JAÉN)
Identificación del nivel y características del alumnado.
La unidad didáctica está dirigida a los alumnos de 4ºESO de Matemáticas, lleva por título “Estadística”, la cual se va a llevar a cabo durante dos semanas a partir de mediados de Mayo.
El alumnado se caracteriza porque tienen un nivel socio económico medio-‐bajo, algunos provienen de una bolsa de alumnos de un ambiente económicamente deprimido, y social y culturalmente casi marginal.
No existen grandes diferencias por la procedencia de las diferentes localidades, aunque hemos de reseñar las dificultades que para la organización y realización de diversas actividades supone el que los alumnos de los pueblos se marchen en el transporte escolar al término de la jornada matinal y no contemos con los servicios de un comedor escolar, que en caso de funcionar haría posible la extensión de actividades complementarias y extraescolares, como por ejemplo el PROA, (Programas de Refuerzos, Orientación y Apoyo, PROA es un proyecto cooperación territorial entre el Ministerio de Educación y las Comunidades Autónomas), a estos alumnos.
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Una característica distintiva de los alumnos del centro es el gran porcentaje de estudiantes que cursan enseñanzas musicales en el conservatorio y en academias de idiomas.
La clase en la que se implementará la Unidad Didáctica consta de 21 alumnos/as. Este grupo está formado por algunos alumnos del grupo plurilingüe de 4ºESO – B, y otros alumnos de 4ºESO – C que eligieron también esa modalidad de Matemáticas, la opción B (en 4ºESO los alumnos tienen que elegir entre dos opciones de Matemáticas: la opción A, considerada por el alumnado como “sencilla”, o la B, considerada como “difícil”). Todos los alumnos son de Mancha Real y con ganas de aprender. Hay una alumna que le cuestan mucho las matemáticas y que tiene pendiente las matemáticas de 3ºE.S.O.
Justificación de la programación.
-‐ A nivel social:
He elegido esta Unidad Didáctica porque la considero esencial, ya que es una de las partes de las matemáticas muy importante y necesaria para la vida real. La estadística caracteriza la sociedad moderna basándose en estudios de cualquier tipo de ámbito, como es el caso de la medicina, economía, política, demografía y en más diversas áreas. También la estadística desempeña un papel en una amplia variedad de profesiones, como es el caso de la medicina que utiliza técnicas estadísticas por ejemplo para evaluar la eficacia de fármacos mediante ensayos clínicos, (son estudios que se realizan en distintas fases en las que primero se prueba en animales, en segundo lugar en voluntarios y después se prueba en pacientes afectos de una determinada enfermedad para comparar el nuevo fármaco con el ya existente) para su posterior comercialización.
-‐ A nivel legislativo:
La normativa legal que se ha utilizado es la del BOE publicada el 3 de Enero y pertenece al bloque 5: Estadística y probabilidad
2.2 Antecedentes y estado de la cuestión.
La investigación sobre el aprendizaje y la enseñanza de conocimientos estadísticos es amplia y compleja. En este Trabajo de Fin de Máster no pretendemos, ni sería posible, hacer una revisión exhaustiva de la misma. Por ello, nos centraremos en algunos trabajos que consideramos de especial relevancia, centrados en las dificultades de aprendizaje de los alumnos y en propuestas sobre cómo organizar la enseñanza de conocimientos estadísticos.
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2.2.1. Respecto al aprendizaje.
En las investigaciones sobre el aprendizaje de los conocimientos estadísticos, diversos autores (Batanero y Godino (2002), Shaughnessy (2007), Pollatsek, et al.(1981), Ben-‐Zvi y Garfield (2004)) se han centrado en las dificultades que encuentran los alumnos. Apoyándome en Ben-‐Zvi y Garfield (2004), conforme se ha incrementado el número de estudiantes que estudian estadística, los profesores se enfrentan a muchos problemas a la hora de ayudar a estos estudiantes a tener éxito en el aprendizaje. Las principales dificultades encontradas en los alumnos fueron en reglas más complejas, difíciles, contradictorias; los problemas en el contexto en muchos problemas les podían llevar a equivocarse, y estar los estudiantes incómodos con el desorden de los datos. También encuentran dificultades con las diferentes interpretaciones posibles en diferentes supuestos. El estudio de la estadística debe proporcionar a los estudiantes herramientas con el objetivo de que ellos actúen de forma inteligente a los problemas que se les presente. Para mejorar esta capacidad de los estudiantes para que razonen estadísticamente, se les ruega a los profesores de estadística que hagan hincapié en el razonamiento estadístico, proporcionando más atención a las ideas básicas, como por ejemplo la necesidad de datos. Entonces, para solucionar estos problemas, Cobb (1992) propuso que el objetivo era centrarse más en los datos y en los conceptos, centrarse menos en la teoría, dar menos fórmulas; y de esta manera se fomentará un aprendizaje activo. Ben-‐Zvi (2014) afirma que para desarrollar el razonamiento estadístico, realizó propuestas similares a Cobb, destacando el uso de las tecnologías apropiadas para analizar los datos y desarrollar su razonamiento.
Según Shaughnessy (2007), la investigación sobre la comprensión de conceptos de los estudiantes acerca de la estadística, según la literatura especializada, se ha llevado a cabo en una amplia gama de estudiantes de primaria hasta nivel universitario. Shaugnessy (2007) afirma que el objetivo de la educación estadística debe de ser permitir a los estudiantes leer, analizar, criticar y hacer inferencias a partir de distribuciones de datos. El concepto de distribución en la estadística es muy complicado y se utiliza de diversas maneras, como por ejemplo distribuciones de datos, distribuciones de muestreo y distribuciones de probabilidad. Además, la distribución de datos a veces tiene una distribución de probabilidad subyacente, como la distribución normal o binomial, o también se puede dar el caso de que no haya distribución de probabilidad en el conjunto de datos, según Shaughnessy (2007). La distribución de muestreo se refiere a la distribución de todas las posibles muestras de una población dada. Para investigar las dificultades que tienen los estudiantes respecto a las distribuciones, o cómo pueden aprenderlas, los investigadores indagan sobre los estudiantes en su forma de pensar al comparar conjuntos de datos, tomar decisiones o inferencias en los gráficos. Las distribuciones se representan a menudo en forma gráfica para evitar la confusión con el razonamiento sobre los mismos gráficos.
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Atendiendo a Shaughnessy (2007, p. 968), concluye que: (trad. Propia) “la investigación que se centra en un concepto particular en la estadística, a veces puede revelar aspectos en el pensamiento del estudiante que ayuda a informar a la enseñanza de la estadística”.
En relación con las dificultades de los alumnos a la hora de aprender conocimientos estadísticos básicos, Batanero y Godino (2002) destacan varios conflictos, relacionados con la comprensión de tablas y gráficos, así como en las medidas de posición central, comprensión de la variabilidad y características de dispersión, que a continuación se van a desarrollar más detenidamente en cada uno de esos aspectos mencionados anteriormente.
a) Comprensión de tablas y gráficos estadísticos.
Respecto a la comprensión de tablas Batanero y Godino (2002, p. 726) afirman que: “elaborar una tabla de frecuencias o un gráfico supone ya una primera reducción estadística, pues se pierden los valores originales de cada uno de los datos individuales pasándose a la distribución de frecuencias”. Es decir, en vez de referirse a cada caso se refiere a un grupo de datos, y esto les cuesta más trabajo comprender a los alumnos. Para la compresión de gráficos se pueden observar distintos niveles, siendo el objetivo de la educación estadística que cada alumno obtenga el mayor nivel para el cual esté capacitado. Estos niveles analizados por Batanero y Godino (2002) son los siguientes:
-‐ lectura literal, se debe leer los datos sin tener en cuenta la interpretación de la información obtenida.
-‐ Interpretar los datos. Se desarrolla a la hora de comparar cantidades y usar distintos conceptos matemáticos.
-‐ Hacer una inferencia. El alumno debe realizar predicciones a partir de los datos ya que la información que desee no viene en el gráfico.
-‐ Valorar los datos. Se debe comprobar si realmente los datos son fiables, y como se podría medir de una manera más segura.
Apoyándome en Batanero y Godino (2002), otro de los problemas que se presentan a la hora de la comprensión de los gráficos es que los alumnos deben entender el contexto del gráfico; también deben tener conocimientos de qué tipo de gráfico se encuentran, si es un gráfico de barras, pictograma, etc. A la hora de realizar los gráficos los alumnos cometen varios errores, como por ejemplo la mala elección del tipo de gráfico, mal uso de las escalas a la hora de representarlo, no identificación del origen de las coordenadas, o combinar datos que no se pueden comparar entre sí, como por ejemplo 20 mesas y 40 kg de pescado.
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Se han realizado diversas investigaciones sobre la comprensión de los de gráficos por los estudiantes. Los gráficos son críticos para la representación de datos, reducción de datos, y el análisis de datos en el pensamiento y el razonamiento estadístico. Según la literatura especializada, Friel, et al.(como se citó en Shaughnessy, 2007) definen la comprensión gráfica como “la capacidad de los lectores de gráficos para derivar el significado de los gráficos creados por otros o por sí mismos”. Hablan de las influencias de la percepción visual, y el efecto que experimentan con la estadística. Se interesaron mucho con gráficos de funciones de álgebra o cálculo.
También se realizaron investigaciones acerca del análisis de los tipos particulares de gráficos estadísticos. Tras un análisis a los estudiantes universitarios, se dedujo que los estudiantes tenían un buen desempeño con la lectura de información representada en pictogramas y diagramas de tallo, pero sin embargo a la hora de leer histogramas o diagramas de caja les surgía problemas ya que requería un poco de razonamiento proporcional. Tras realizarse más análisis se concluyó que las habilidades de interpretación gráfica de los estudiantes eran débiles. Otras investigaciones han confirmado algunas dificultades que tienen los estudiantes en la lectura e interpretación de determinados tipos de gráficos. Las investigaciones han examinado los estudiantes a pensar en gráficos de barras, gráficos de líneas, gráficos de tallo, e histogramas. Pereira-‐Mendoza (1995) sugiere que los niños deben:
• Explorar los supuestos subyacentes a la clasificación de los datos y la interpretación del significado de los datos.
• Discutir y explorar la posibilidad de representaciones alternativas. • Predecir a partir de los datos.
El objetivo es que los estudiantes realicen representaciones alternativas, es decir, a otro tipo de gráficos, para ello los profesores deben ayudar a los estudiantes a razonar más allá del simple gráfico, y organizar los datos de la tabla a los elementos más atípicos destacados en el gráfico.
b) Medidas de posición central
Uno de los errores más habituales es a la hora de realizar la media, que se debe usar con mucho cuidado, como es el caso de a la hora de realizar la media de un grupo en el que hay mujeres y hombres, no se debe hacer para el grupo en general, sino una media pondera ya que cada valor de la variable tiene que ponderarse por su frecuencia.
Las medidas de posición central son muy importantes en la estadística porque se utilizan para ayudar a resumir la información sobre un conjunto de datos completo. Además, si el conjunto de datos es una muestra que ha sido elaborado a partir de una
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población, la muestra debe reflejar aspectos de la población, y la media de la muestra debe proporcionar una estimación de la media de la población de la que se extrajo la muestra. Los valores "típicos" de diferentes conjuntos de datos pueden proporcionar un eficiente resultado, aunque a veces un resultado engañoso, en el que habría que utilizar mecanismos para comparar y contrastar los conjuntos de datos.
También se han detectado errores al calcular la moda, que los alumnos toman la mayor frecuencia absoluta en vez del valor de la variable. Para la mediana no se debe ordenar los datos, para ellos se debe calcular las frecuencias absolutas y ordenarlas, y a continuación escoger el dato central, que muchos alumnos se equivocan al escogerlo.
A continuación se va a desarrollar más detenidamente estudios sobre la compresión de la media.
La media es uno de los conceptos más importantes de todas las ciencias matemáticas, y es fundamental para la comprensión. Por lo tanto, existe gran motivación en los investigadores por estudiar las concepciones que de la media tienen los estudiantes. Sin embargo, las experiencias escolares de los alumnos con los conceptos de media a menudo se reducen a una utilización computacional.
En los primeros estudios analizados para estudiantes universitarios en la comprensión de la media, Pollatsek, et al.(1981) encontraron que los estudiantes creen que la media es siempre su mejor apuesta para cualquier predicción. A veces, incluso creen que la media es el resultado más probable que se produzca en una muestra, incluso si la propia media no es un posible punto de datos. También encontraron que cuando los estudiantes se les daba las medias para dos muestras de tamaño desigual y se les pedía encontrar la media de la muestra combinada, los estudiantes lo que hacían era ponderar las muestras por igual y encontrar el punto medio de las dos medias muestrales. Mevarech (1983) catalogó a ese problema como el "error de cierre", ya que la hipótesis de que los estudiantes tienen una "estructura de grupo" en la parte posterior de su mente cuando se opera.
Strauss y Bichler (1988) llevaron a cabo uno de los primeros estudios e informaron a los estudiantes más jóvenes, sus edades comprendidas entre 8 y 14 años, concepciones de la media. Se les pidió a los estudiantes una serie de preguntas estructuradas en un entorno de uno en uno para sondear los estudiantes la comprensión de las propiedades "estadísticas" o "abstractas" de la media, así como si los estudiantes se dieron cuenta de que una media era representante de un conjunto de valores. Strauss y Bichler se centran en las propiedades de cálculo y medición de la media, en lugar de en las propiedades conceptuales. Por ejemplo, se ponen a prueba para ver si los estudiantes se dan cuenta de que la propia media no tenía por qué ser uno de los valores del conjunto, o si los estudiantes sabían que la suma de las
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desviaciones de los puntos de datos a partir de la media fuera de cero. También probaron para ver si los estudiantes se daban cuenta que la media es en algún sentido más cerca de todos los valores de un conjunto de datos.
En su análisis Strauss y Bichler identificaron dos niveles muy diferentes de dificultad en sus tareas. Por un lado, los estudiantes eran bastante conscientes de que la media era entre los extremos, y que los valores de datos particulares puede influir en la media. Sin embargo, las ideas de medición más sofisticadas como desviaciones minimizadas, o que un valor de datos cero también deba ser incluido y representarlo al calcular la media, resultó extremadamente difícil para sus estudiantes. El proceso de reducir al mínimo las desviaciones de la media normalmente en el análisis de regresión en la escuela secundaria o la universidad, puede ser un reto para los estudiantes en el nivel, por lo que no es de extrañar que estos estudiantes más jóvenes tuvieran problemas con él. Strauss y Bichler concluyeron que los niños no piensan en el concepto de la media de la misma manera que los adultos maduros estadísticamente hacen.
Mokros y Russell (1995) llevaron a cabo uno de los primeros estudios que investigaron la comprensión conceptual de jóvenes estudiantes de las medias. Entrevistaron a estudiantes en situaciones de información desorganizada, utilizando contextos como por ejemplo el dinero procedente del subsidio, es decir, una prestación o paga básica de los estudiantes en relación con el precio de los alimentos, que eran familiares a los estudiantes. Las tareas fueron más allá de cálculos algorítmicos, sencillas, y trataron de provocar propias construcciones en desarrollo de los estudiantes de la media. Todos los alumnos habían enseñado el procedimiento para encontrar la media aritmética, así que tenían cierta familiaridad con los medios informáticos.
Los tipos de tareas que Mokros y Russell usaron tendían a pedir a los estudiantes a trabajar hacia atrás para querer decir las posibilidades para un conjunto de datos que podría tener ese significado. Estos investigadores estaban buscando propias estrategias preferidas de los estudiantes para hallar la media. Su análisis del pensamiento de los estudiantes dio como resultado la identificación de cinco ámbitos diferentes que los estudiantes tenían acerca de la media: media de modo, la media como algoritmo, la media de lo razonable, la media como punto medio y media como punto de equilibrio.
-‐ Media de modo. Mokros y Russell encontraron que los estudiantes que se centraban en los modos, en conjuntos de datos tenían dificultades trabajando hacia atrás a partir de la media para la construcción de un conjunto de datos si no se les permite usar el valor medio en sí como un valor de datos. Ellos concluyeron que los estudiantes con este pensamiento no ven todo el conjunto de datos, la distribución como una entidad en sí misma. Ellos veían sólo los valores de
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datos individuales. Casi al mismo tiempo que los estudios de Mokros y Russell, la investigación de Cai (1995) encontró que aunque la mayoría de los estudiantes pudieron calcular una media cuando se les da todos los datos, tenían grandes dificultades para trabajar hacia atrás, rellenando los valores perdidos cuando se les daba la media
-‐ Media como algoritmo. Mokros y Russell también descubrieron que los estudiantes que tenían una concepción puramente algorítmica de la media fueron incapaces de hacer las conexiones de sus procedimientos de cálculo de nuevo al contexto real.
Para estos estudiantes la media es algo que se hace con los números, no tienen rica comprensión conceptual de la media. Sobre la base de las respuestas recogidas en las entrevistas de los estudiantes, Mokros y Russell sugieren que los estudiantes que preferían una regla o algoritmo para hallar la media, pueden haber tenido su propio pensamiento intuitivo en el cálculo de la media.
-‐ Media como razonable. Los estudiantes que pensaban la media como razonable, tendían a referirse a la información de sus propias vidas. Tal vez pensaron en la media como un razonamiento matemático, pero no necesariamente preciso para una aproximación de un conjunto de números. Estos estudiantes pensaban que no existía ninguna respuesta precisa, para ellos la media era algo representativo de una situación, pero no siempre calculable
-‐ Media como punto medio. A pesar de que los estudiantes podrían no saber lo que formalmente es una mediana, tienen un buen sentido de la media, como punto medio. Mokros y Russell encontraron que algunos estudiantes trabajaron hacia atrás a una distribución simétrica de la elección de valores por encima y por debajo del valor de de la media. Al igual que los estudiantes que se centraron en los modos, estos estudiantes también tuvieron algunos problemas cuando no se les permitió utilizar la media como uno de los puntos medios de datos.
-‐ Media como punto de equilibrio.
Mokros y Russell continuaron sus estudios sobre la caracterización del pensamiento de la media por los estudiantes, y en una de sus investigaciones estaban decepcionados al no encontrar más estudiantes que tenían concepciones más enriquecedoras sobre la media, como por ejemplo la media como punto de equilibrio, que puede ser adaptada de forma más natural a los
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algoritmos computacionales. Llegaron a la conclusión de que los conceptos a un nivel alto de la media, quizás necesiten ser soportes para los alumnos a través de instrucciones relacionadas con la enseñanza. También lamentaron el hecho de que las nociones de algunos alumnos preferían intuitivamente la media, como modal o media razonable, concepciones que no proporcionaban buenas bases para la conexión a los algoritmos computacionales para el cálculo de la media.
c) Comprensión de la variabilidad.
La variabilidad es en sí misma una construcción muy compleja. Los investigadores a menudo han tendido a utilizar los términos variabilidad y la variación de manera intercambiable. Siguiendo a Shaughnessy (2007), la variabilidad es la propensión a que algo cambie, y la variación es una descripción de una medición o de ese cambio. El término variabilidad debe tomarse en el sentido de la característica, de la entidad que es observable, y la variación para describir esa característica.
La variabilidad surge en todos los ámbitos de la estadística, los datos varían, las muestras varían, y las distribuciones varían. Por otra parte, la variación se produce tanto dentro de las muestras y distribuciones, así como a través de muestras y distribuciones. Una gran parte del análisis estadístico implica analizar las contribuciones y la ubicación de las fuentes de variación relativa.
La investigación en los estudiantes sobre el pensamiento y la comprensión de la variabilidad podría centrarse en la variación en los datos, o en la variabilidad de la mayoría de las distribuciones de los datos que se están comparando. Por lo tanto, la variabilidad se produce dentro de muchos niveles de objetos estadísticos, y los estudiantes necesitan desarrollar su intuición de lo que es un precio razonable o una cantidad razonable de variabilidad en estos objetos.
Según Shaughnessy (2007), a pesar de la importancia de la variabilidad en la estadística, hasta 1999 no se realizó ninguna investigación acerca de la comprensión de la variabilidad en los estudiantes. Wild y Pfannkuch (1999) incluyen una serie de aspectos de la variación en su modelo de pensamiento estadístico, como el reconocimiento, medición, explicar y controlar la variación. Ahora, los investigadores han comenzado a estudiar el pensamiento de los estudiantes acerca de la variabilidad en una serie de contextos estadísticos, como al razonar acerca de las distribuciones, el razonamiento sobre los resultados de un experimento de probabilidad, y la comparación de los conjuntos de datos.
A continuación se va a desarrollar la variabilidad en datos, muestras y distribuciones.
-‐ Variabilidad en los datos
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Los conjuntos de datos cuentan historias, y el corazón de cualquier historia estadística suele estar contenidos en la variabilidad de los datos. Al analizar los datos, el papel de un estadístico es ser un detective de datos, para descubrir las historias que se esconden en los datos. Desde el punto de vista de detectives de datos, hay señales importantes de la variabilidad, así como en medidas de tendencia central. En efecto, una atención temprana a las medidas de posición central puede conducir a la pérdida de tendencias importantes en la variabilidad de los datos. Por lo general, muchos estudiantes que comienzan primero calculando simplemente una media, luego basan su predicción inicial en una medida de tendencia central. Mientras que la media hace dar un resumen de un número del conjunto de datos, también puede enmascarar características importantes en la distribución de los datos.
En otras palabas, los estudiantes deben reconocer e investigar las posibles fuentes de variación dentro de los datos y no sólo se apresuran a buscar en los centros
-‐ la variabilidad a partir de muestras de distribuciones
Apoyándome en Shaughnessy (2007), una serie de estudios sobre el pensamiento de los estudiantes acerca de cómo los datos varían en un entorno de muestras se precipitó por el problema de una máquina de chicles, en el que Zawojewski y Shaughnessy (como se citó en Shaughnessy, 2007) realizaron un estudio a los estudiantes en el que supusieron que en una máquina de chicles había 100 chicles, de los cuales, 20 eran de color amarillo, 30 de color azul y 50 rojo, como muestra la Fig.2:
Fig.2: Máquina de chicles. (Shaughnessy, 2007, p.974)
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Se les preguntó a los estudiantes que si sacaban 10 chicles de la máquina, cuántos saldrían rojos. Tras muchas respuestas, ellos encontraron que sólo un estudiante predijo que el número de chicles rojos estaba en un rango de 4 a 6 chicles, y el resto de estudiantes contestaban números específicos como por ejemplo 3 o 5. Por ello, dedujeron que los estudiantes están acostumbrados a preguntas formuladas en los datos y les impulsaban a responder con respuestas cortas, por tanto la solución planteada fue proponerles a los alumnos en pensar en un abanico de posibilidades de los datos en el problema.
Con el fin de explorar el pensamiento de los estudiantes acerca de la variabilidad de los datos en una situación de toma de muestras, se rediseñaron los problemas basándose en problemas de urnas, y fueron conocidos como los problemas Lollie, esto es, problemas de urnas con caramelos (los Lollie es una palabra utilizada en Australia para los caramelos duros envueltos en papel celofán). Entonces se realizaron tres versiones diferentes de los problemas Lollie, y se entregaron a todos los estudiantes como muestra la Fig.3:
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Fig.3: Problemas Lollie (Shaughnessy, 2007, p.975)
Siguiendo a Shaughnessy (2007), se administraron en forma de encuesta a más de 300 estudiantes de los grados 4 a 6, 9 y 12 en los Estados Unidos, Australia y Nueva Zelanda. El problema Lollie planteado consiste en: Hay un cuenco con 100 caramelos, de los cuales 20 son amarillos, 50 son rojos, y 30 son azules, todos mezclados. Entonces 5 alumnos de la clase, cada uno saca un puñado de 10 caramelos, cuenta el número de los rojos y los apunta, y los vuelve a mezclar, y a continuación vuelve a repetir el proceso el siguiente el alumno y así sucesivamente hasta que el cuarto alumno lo realiza. Se les pidió a los alumnos que contestasen de forma diferente, la primera era escribir el número de caramelos rojos que había sacado cada alumno, la segunda era elegir una de las 5 opciones dadas de los caramelos que podrían haber cogido los alumnos, y tercero poner el número de caramelos rojos en forma de rango, desde un mínimo a un máximo.
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Posteriormente, los problemas Lollie se administraron a miles de estudiantes en los grados 3-‐12, principalmente en Australia y Estados Unidos. Las respuestas a las tareas Lollie indicaron que existen diferencias entre los estudiantes sobre cómo reconocen la variabilidad en las muestras. Los tipos de respuestas fueron altas, bajas, anchas, estrechas, razonables. Por ejemplo, algunos estudiantes predijeron todos los altos números de los rojos, como 6, 7, 5, 8, 9, Estos estudiantes razonaron que había una gran cantidad de caramelos rojos. Otros estudiantes, en su mayoría entre los estudiantes de grado 4, predijeron todos los números bajos, por lo que la gran mayoría de los caramelos no iban a ser rojos. Por otro lado, otros estudiantes predijeron una lista muy estrecha para los números de rojos, en el que el rango era de [5,6]. Estas respuestas fueron más frecuentes en los estudiantes de grado 12.
Shaughnessy (2007) afirmó que los estudiantes que respondían con intervalos muy estrechos, eran reticentes a cambiar sus respuestas ya que creían que eran poco probables.
Shaughnessy et al. (como se citó en Shaughnessy, 2007) reportaron un aumento del 17% al 55% en las respuestas razonables cuando una muestra de 94 estudiantes de secundaria en realidad llevó a cabo una simulación del problema Lollie con cubos de colores en una caja. Varios grupos de investigadores han utilizado los problemas Lollie para describir la progresión del razonamiento del estudiante.
-‐ variabilidad a través de distribuciones. El razonamiento distributivo implica hacer conexiones desde las poblaciones hacia las muestras, y viceversa. Con el fin de razonar adecuadamente sobre las muestras extraídas de las poblaciones, los estudiantes deben tener un fuerte concepto de proporción de la población, lo que Kahneman y Tversky (como se citó en Shaughnessy, 2007) han llamado la tasa base, el reconocimiento de las proporciones de población es claramente una idea importante que los profesores deben enfatizar la primera vez que introducen el muestreo a los estudiantes. Saldanha y Thompson (como se citó en Shaughnessy, 2007) destacan la complejidad de los niveles de objetos estadísticos involucrados en el muestreo, y el carácter proporcional de las relaciones entre esos objetos. Diseñaron un experimento de enseñanza para desarrollar la comprensión del concepto de distribución de muestreo de los estudiantes secundarios. En el experimento, los estudiantes lucharon con una multitud de objetos estadísticos: valores de datos individuales, colecciones de valores de datos (muestras) y, finalmente, las colecciones de estadísticas para muchas muestras (por ejemplo, una
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distribución de la muestra significativa). El concepto de la proporción de la población era fundamental para Saldanha y Thompson en su experimento de enseñanza, así como la relación entre la proporción de la muestra y la proporción de la población. Saldanha y Thompson hicieron hincapié en las diferencias entre los datos, muestras y poblaciones con los estudiantes en su experimento de enseñanza. Sin embargo, expresaron cierta frustración que incluso con este énfasis explícito, sus estudiantes tenían grandes dificultades para concebir y distribución.
d) Características de dispersión
Según Batanero y Godino (2002, p.728): “un error frecuente es ignorar la dispersión de los datos cuando se efectúan comparaciones entre dos o más muestras o poblaciones”. Otro de los problemas que presentan los alumnos en esta cuestión es referente al cálculo ya que suponen que no deben tener en cuenta los ceros a la hora de calcular la desviación típica, o se les olvida ponderar los valores basándose en la tabla de frecuencias, y hoy en día es uno de los fallos más frecuentemente en los alumnos.
2.2.2. Respecto a la enseñanza.
Respecto a la enseñanza de la estadística, me apoyaré en Ben-‐Zvi (2014), Aliaga et al. (2012) y Shaughnessy (2007) entre otros. Expondré a continuación algunas ideas sobre cómo ha ido evolucionando su enseñanza.
Durante la década de los 90 en el que Cobb publicó su informe en 1991, se llevaron a cabo muchos cambios en la enseñanza de la estadística. En los últimos años, muchos estadísticos se involucraron en los movimientos de una reforma en la educación estadística destinados a la enseñanza de introducción a la estadística, y la Fundación Nacional para la Ciencia de Estados Unidos de América financió numerosos proyectos destinados a poner en práctica los aspectos de esta reforma.
Moore (1997) describió dicha reforma en la que, respecto a los contenidos, quería aumentar el análisis de datos y reducir la probabilidad, y respecto a la pedagogía quería fomentar un aprendizaje activo.
En 1998 y 1999, Garfield encuestó a un gran número de profesores de matemáticas y estadística, departamentos de estadística, y un menor número de profesores de estadística de los departamentos de psicología, la sociología, y de economía, con el objetivo de determinar cómo se está enseñando el curso introductorio en la universidad y comenzar a explorar como ha afectado la reforma educativa.
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Los resultados de esta encuesta sugieren que se estaban realizando grandes cambios en el curso de introducción de estadística en la universidad, que el área principal del cambio fue en el uso de la tecnología, y que los resultados de las revisiones del curso en general fueron positivos, a pesar de que requieren más tiempo del profesor del curso. Los resultados fueron sorprendentemente similares en todos los departamentos, las principales diferencias se encontraron en el aumento del uso de calculadoras gráficas, el aprendizaje activo y métodos de evaluación alternativos en los cursos, que se impartían en departamentos de matemáticas en colegios de dos años, también hay que destacar el aumento del uso de los recursos web por instructores en departamentos de estadística. Los resultados también fueron consistentes reportando que más cambios debían hacerse, sobre todo a medida que se disponga de más recursos tecnológicos.
Aunque este trabajo está enfocado para educación secundaria, las investigaciones son relevantes a nivel universitario. Apoyándome en Aliaga et al. (2012) Los cursos de introducción a la estadística en la universidad de hoy es en realidad una familia de cursos que se imparten a través de muchas disciplinas y departamentos. Los estudiantes matriculados en estos cursos tienen diferentes orígenes y objetivos.
Respecto a cómo se enseñan en las clases, atendiendo a Aliaga et al. (2012) algunos cursos se imparten en clases grandes y algunos se enseñan en clases pequeñas. Algunos estudiantes se les enseñan la estadística en los laboratorios de informática, algunos estudiantes toman el curso utilizando sólo una simple calculadora, y algunos toman el curso a través de la educación a distancia sin ver a sus compañeros de clase o instructor en persona. Algunas clases se imparten más de un cuarto de 10 semanas y algunos se les enseña durante un semestre de 15 semanas. Cada una de estas clases puede variar de tres a seis horas por semana.
Según Aliaga et al. (2012) Las metas de hoy en día para los estudiantes, en cualquier etapa educativa, tienden a centrarse más en la comprensión de conceptos, en el logro de la alfabetización estadística y de pensar más, y centrarse menos en el aprendizaje de un conjunto de herramientas y procedimientos. Los avances en la tecnología y software son herramientas y procedimientos más fáciles de usar y más accesible a los estudiantes, disminuyendo así la necesidad de enseñar con la mecánica de los procedimientos, pero también es importante el aumento de la importancia de dar una comprensión sólida de los conceptos fundamentales necesarios para utilizar e interpretar esas herramientas de forma más inteligente. Estas nuevas metas refuerzan la necesidad de reexaminar y revisar muchos cursos introductorios de estadística para ayudar a alcanzar las metas de aprendizaje importantes para los estudiantes.
Según Shaughnessy (2007), de las investigaciones acerca de la enseñanza de la estadística y se han obtenido las siguientes conclusiones.
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-‐ Se debe hacer hincapié en la variabilidad como uno de los temas principales en el pensamiento estadístico y análisis estadístico.
En años anteriores hubo una tendencia a exagerar las medidas centrales como el concepto principal en la estadística, y el importante papel de la variabilidad se ha descuidado. Los estudiantes necesitan integrar los conceptos de medidas de centralización y variabilidad cuando investigan los datos de tal manera que los estudiantes puedan razonar acerca de las propiedades de los datos.
-‐ Con los estudiantes se debe introducir la comparación de conjuntos de datos, antes de la estadística formal.
Bakker y Gravemeijer , Konold y Higgens y Watson y Moritz (como se citó en Shaughnessy, 2007), encontraron que los estudiantes podían desarrollar sus propias formas potentes e intuitivas para comparar conjuntos de datos antes de la introducción de los conceptos formales, como la media, la mediana, varianza o desviación estándar. Entonces se les pida a los alumnos comparar conjuntos de datos desde el principio de su educación estadística.
-‐ Se debe introducir, en las nociones intuitivas de los alumnos, las medidas centrales.
La investigación ha descubierto un espectro de las concepciones de los estudiantes sobre estos dos conceptos importantes. Los estudiantes estarán en transición de su propio entendimiento coloquiales de las medidas de centralización y la variabilidad, como la media, como "típica" y la variabilidad como "cosas que cambian con el tiempo", a entendimientos más estadísticos de estos conceptos. Se debe comenzar con las concepciones y comprensiones previas de los estudiantes respecto de estos conceptos, para construir una compresión más avanzada a partir de estas.
-‐Se debe utilizar el razonamiento proporcional en las conexiones entre las poblaciones y muestras.
Una larga historia de pruebas de investigación sugiere que la gente ignora los tipos básicos al hacer inferencias a partir de muestras o predicciones a las poblaciones.
Los estudiantes deben haber repetido oportunidades para elegir realmente muestras ellos mismos, por lo que tienen posibilidades de ver la relación proporcional de primera mano.
-‐ Se debe recordar que hay diferencias entre la estadística y las matemáticas.
Un trabajo de Wild y Pfannkuch (1999), señala a todos los que enseñan matemáticas, que hay maneras de pensar y herramientas analíticas que son específicos de la estadística. En general, la estadística está plagada de problemas contextuales, que es la naturaleza de la disciplina, mientras que a menudo las matemáticas ignoran el contexto, con el fin de abstraer y generalizar.
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2.3 Definición de los conceptos y establecimiento de los objetivos.
Antes de desarrollar los contenidos del tema elegido, es considerable destacar cuando empezó a utilizarse el manejo de datos.
Apoyándome en Shaughnessy, Grafield and Greer (1996), el origen de la estadística se remonta en 1662 por John Graunt que fundó el registro universal de nacimientos, matrimonios y las defunciones en Inglaterra.
Durante el siglo XIX se inició el análisis de los fenómenos recogiendo datos por los gobiernos con fines políticos; este estudio estadístico de los fenómenos políticos se desarrolló a buen ritmo. Los fenómenos sociales fueron desarrollados por científicos como Queleted, y por matemáticos aplicando modelos estadísticos como el análisis de las decisiones del jurado por Laplace, Poisson y otros.
La importancia de la estadística en nuestras vidas, en el contexto de estos acontecimientos históricos, hace que el manejo de datos se convierta en una parte fundamental de la educación para la ciudadanía responsable. Viviendo en la era de la información hace que los estudiantes desarrollen las herramientas conceptuales y prácticas para dar sentido a esa información. Si el manejo de datos es llegar a ser parte de la educación matemática, entonces hay profundas implicaciones para el currículo de matemáticas para establecer vínculos entre las matemáticas y los problemas humanos complejos, y para fomentar la comprensión crítica de las limitaciones, así como el poder de los matemáticos.
A continuación, una vez establecido las raíces del manejo de datos, se va a desarrollar los contenidos del tema, la competencia estocástica y el pensamiento estadístico.
2.3.1 Contenidos del tema desarrollados.
1. Dos ramas de la estadística. En este trabajo se va a distinguir entre estadística descriptiva y estadística inferencial. En primer lugar se va a desarrollar la estadística descriptiva. Atendiendo a García y Matus (año desconocido, p.28): “el origen de la estadística descriptiva puede relacionarle con el interés por mantener registros gubernamentales hacia fines de la Edad Media”. Cuando empezó a desarrollarse la estadística sólo incluía la obtención, clasificación y presentación de datos numéricos, que actualmente estas fases son muy importantes en la Estadística. Su definición es la siguiente: “es el estudio que incluye la obtención, organización, presentación y descripción de información numérica”. Para este estudio se establecen las siguientes etapas:
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-‐ Selección de los caracteres que interesa estudiar, en otras palabras, los aspectos que se desea estudiar en los individuos de una determinada población.
-‐ Análisis de cada carácter, que para ello será preciso diseñar una encuesta o un experimento, y la posterior recogida de datos.
-‐ Clasificación y organización de los resultados en tablas de frecuencias. -‐ Elaboración de gráficos. -‐ Obtención de parámetros, es decir, los valores numéricos que engloban la
información obtenida. Por otro lado, distinguimos también por estadística inferencial, que su objetivo es trabajar con muestras, y para ello se pretende analizar más allá de la información obtenida por lo que serán necesarias diferentes técnicas a las descriptivas. Por tanto, la estadística inferencial es una reama por la que se obtienen generalizaciones o se toman decisiones en base a una información parcial o completa obtenida a través de técnicas descriptivas. A partir de ahí se distingue otra división: la estadística paramétrica, ésta permite realizar inferencias acerca de parámetros poblacionales de las distribuciones, y la estadística no paramétrica, se basa en un conjunto mínimo de suposiciones y esto provoca a reducir la posibilidad de utilizarlos incorrecta.
2. Tablas de frecuencias. Una vez recogido los datos, se deben presentar mediante tablas de frecuencias, formadas por varias columnas en las que se registran los siguientes datos: -‐ Valores de la variable estadística, 𝑥!. Cuando el número de valores que
toma la variable es muy grande se deben agrupar por intervalos, y se halla la marca de clase, que es el punto medio del intervalo, que será el valor representante del intervalo. El número de clases debe ser el suficiente para que no se pierda mucha información, por lo que el número de intervalos debe de estar entre 6 y 15. Para determinar el número de clases, se calcula el rango, localizando los valores extremos y hallando su diferencia: r = 𝑥!"! -‐ 𝑥!"# . Atendiendo a Muñoz (2007) la amplitud de los intervalos debe ser constantes y a no ser posible que tenga múltiplos de un número fijo. Es aconsejable que a la hora de establecer los límites de los intervalos sean sencillos y que no generen ningún error.
-‐ Frecuencia absoluta de cada valor, 𝑓!. Es el nº de veces que presenta una modalidad. La suma total de la frecuencia absoluta nos da el total de la muestra.
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-‐ Frecuencia relativa, ℎ!. Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de la muestra observada. La suma de todas las frecuencias relativas es 1. De forma que la tabla de frecuencias quedaría de la siguiente forma como muestra la tabla 1: Tabla 1
𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒉𝒊
𝑥! 𝑓! ℎ!
𝑥! 𝑓! ℎ!
… … …
𝑥! 𝑓! ℎ!
Fuente: Elaboración propia con apuntes de clase. En el que los valores 𝑥!, 𝑥!,… , 𝑥! pueden corresponder a una distribución con datos aislados, o a una distribución con datos agrupados en intervalos en los que los valores 𝑥!, 𝑥!,… , 𝑥! corresponden con las marcas de clase.
3. Parámetros estadísticos: 𝑥 y σ Una vez organizado los datos en tablas de frecuencias, el siguiente paso es analizarlos, a través de las medidas de centralización y de dispersión. En este apartado se va a desarrollar las siguientes medidas: -‐ Media aritmética. Es la media de los valores de la variable. Dado un conjunto de datos
𝑥!, 𝑥!,… , 𝑥! , la expresión sería: 𝑥 = !!
𝑥!!!!! .
Aprovechando la tabla de frecuencias anterior, quedaría de la siguiente forma como muestra la Tabla 2: Tabla 2
𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊
𝑥! 𝑓! 𝑓!𝑥!
𝑥! 𝑓! 𝑓!𝑥!
… … …
𝑥! 𝑓! 𝑓!𝑥!
Fuente: Elaboración propia con apuntes de clase. En el que la expresión sería:
𝑥 = 𝑓!𝑥!𝑁
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Donde N = 𝑓! , es el número total de la muestra. Y 𝑓!𝑥! es la suma de todos los datos. La media aritmética presenta algunos inconvenientes, por una lado depende de todos los valores de la variable, y por tanto valores raros de la variable pueden distorsionar la media, también se puede dar el caso de no existir. Por otro lado presenta algunas ventajas, la media en su cálculo interviene todos los valores de la variable, es calculable fácilmente, y por último es única y objetiva. -‐ Varianza. Es la media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los
valores de la variable respecto a su media. Su expresión es la siguiente:
𝑉𝑎𝑟 =𝑓!(𝑥! − 𝑥)!
𝑁 ó 𝑉𝑎𝑟 = 𝑓!𝑥!!
𝑁 − 𝑥!
La segunda expresión es más fácil para hacer las cuentas en la tabla de frecuencias, y quedaría así como muestra la tabla 3: Tabla 3
𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊𝟐
𝑥! 𝑓! 𝑓!𝑥! 𝑓!𝑥!!
𝑥! 𝑓! 𝑓!𝑥! 𝑓!𝑥!!
… … … …
𝑥! 𝑓! 𝑓!𝑥! 𝑓!𝑥!!
Fuente: Elaboración propia con apuntes de clase. La varianza presenta las siguientes propiedades: i) Es una cantidad no negativa, siempre Var ≥ 0. ii) La varianza de una constante es nula.
-‐ Desviación típica.
Es la raíz cuadrada positiva de la varianza, y se denota por σ. Es un parámetro más razonable que la varianza, ya que por ejemplo a la hora de expresarse, si los datos vienen en metros, la desviación típica viene en metros; sin embargo la varianza se daría en metros cuadrados. Su expresión sería:
𝜎 = 𝑉𝑎𝑟 -‐ Coeficiente de variación.
Se utiliza para comparar dos conjuntos de datos ya que su valor depende de la medida utilizada ya que la media y la desviación típica se ven también afectadas. Su expresión es la siguiente:
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𝐶.𝑉.=𝜎𝑥
4. Medidas de posición Las medidas de posición dividen a un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos, para ello los datos deben estar ordenados de menor a mayor. Por un lado están las medidas de posición centrales en las que se destaca la mediana, y en las medidas de posición no centrales destacan los Cuartiles y percentiles. A continuación se van a describir las medidas mencionadas anteriormente:
-‐ Mediana. Es el valor de la variable que tiene tantos términos inferiores como superiores a él, es el centro geométrico. En otras palabras, deja el 50% de los valores a los dos lados. Si los datos no están agrupados, se ordenan en orden creciente y se distinguen dos casos: i) Si N es impar hay un dato central à !!!!
!
ii) Si N es par se toma la media aritmética de los dos valores centrales: 𝑥!!
y 𝑥!!!!
Si los datos están agrupados en una tabla, se calcula N/2, y en la tabla de frecuencias absolutas acumuladas se escoge la primera que es estrictamente mayor que N/2.
Si la serie de datos es de tipo continuo se hallaría con la siguiente expresión:
𝑀𝑒 = 𝐿!!! +𝑁2 − 𝐹!!!
↑
𝑓!· 𝑎!
Donde 𝐿!!! es el límite inferior del intervalo mediano, (el intervalo mediano es el intervalo cuya frecuencia acumulada absoluta creciente es la 1ª estrictamente mayor que N/2), 𝐹!!!↑ es la frecuencia absoluta acumulada ascendente que corresponde al intervalo anterior al intervalo mediano, 𝑓! es la frecuencia absoluta del intervalo mediano, y 𝑎! es la amplitud del intervalo mediano.
La mediana presenta los siguientes inconvenientes: en su cálculo no se utilizan todos los valores de la variable y no se adapta fácilmente a los cálculos algebraicos. En cambio, presenta las siguientes ventajas: no depende de los valores extremos de la variable y es sencilla, concreta.
-‐ Cuartiles
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Divide la totalidad de la muestra en cuatro partes iguales, todas ellas con el mismo número de individuos, y por ello estos nuevos puntos de separación se llaman Cuartiles. 𝑄! es el valor de la variable que deja a la izquierda el 25% de la muestra. 𝑄! es el valor de la variable que deja a la izquierda el 50% de la muestra, como consecuente coincide con la mediana. 𝑄! es el valor de la variable que deja a la izquierda el 75% de la muestra. Si los datos no están agrupados se hace de forma similar a la mediana usando: 𝑄! à N/4 𝑄! à N/2 𝑄! à 3N/4 Si los datos están agrupados se calcularía con la siguiente expresión:
𝑄! = 𝐿!!! +𝑟 4 𝑁 − 𝐹!!!
↑
𝑓!· 𝑎!
Donde r = 1, 2 y 3, según el cuartil que se vaya a calcular.
-‐ Centiles o percentiles Divide la totalidad de la muestra en 100 partes iguales, todas ellas con el mismo número de individuos. El valor de la variable correspondiente a esa parte se denota por 𝑃! , donde k = 1, 2, …, 100. Se calculan de manera análoga a los Cuartiles. La mediana es Me = 𝑃!" , y los Cuartiles 𝑄! = 𝑃!" y 𝑄! = 𝑃!".
5. Diagramas de caja Para dibujar este diagrama, conocido también como diagrama de caja y bigotes, se construye de la siguiente forma: Es una caja rectangular, que abarca el intervalo intercuartílico de 𝑄! a 𝑄!, y en ella se señala el valor de la mediana, Me. La caja se ubica sobre un segmento que abarca la totalidad de la muestra, es decir, sus extremos son los valores mínimos y máximos de la variable. Entonces las líneas que sobresalen de la caja se llaman bigotes, que tienen como condición no alargarse más de 1,5 veces de la caja. En la Fig.4 se muestra como quedaría el diagrama.
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Fig.4 Diagrama de caja y bigotes
La utilidad del diagrama de caja y bigotes es para comprar dos o más conjuntos de datos.
6. Estadística inferencial La estadística inferencial se utiliza para sacar conclusiones generales para toda la población partiendo de una muestra. En la práctica es muy frecuente a recurrir a una muestra para inferir datos de la población debido a que la población es excesivamente numerosa, o entre otros casos se desease conocer con la mayor brevedad ciertos datos de la población y se tardase mucho tiempo en consultar a todos, por eso es importante recurrir a las muestras.
Respecto al tamaño de la muestra, si la muestra es pequeña no se pueden extraer conclusiones que valgan la pena. En cambio con muestras aparentemente muy pequeñas se consiguen estimaciones muy buenas en la realidad. La muestra debe ser representativa.
El proceso mediante el cual se elige la muestra se llama muestreo. En el que la muestra ha de elegirse al azar, y el proceso se conoce como muestreo aleatorio. De tal forma que los individuos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos.
Se distinguen varios tipos de muestreo aleatorio, pero en este trabajo solo se va a desarrollar el muestreo aleatorio simple.
El muestreo aleatorio simple, se selecciona una muestra de tamaño n de una población de N unidades, en el que cada elemento tiene una probabilidad igual y conocida de n/N. Las ventajas que presenta son las siguientes:
-‐ Es sencillo y de fácil comprensión. -‐ Cálculo rápido de medias y varianzas. -‐ Se basa en la teoría estadística, de forma que existen paquetes
informáticos para analizar los datos. El inconveniente que presenta es la necesidad de poseer un listado completo de toda la población. Cuando se trabaja con muestras pequeñas es posible que no represente a la población adecuadamente.
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A la hora de extraer conclusiones que se obtienen de una muestra, las valoraciones se dan mediante intervalos, acompañados de una probabilidad, que se conoce como nivel de confianza. Cuanto más amplio sea el intervalo, mayor es el nivel de confianza se tendrá. Por otro lado, si se quiere precisión en las previsiones se perderá confianza, es decir, el nivel de confianza será menor. Las conclusiones que se extraen de una muestra para la población son aproximadas.
El tamaño de la muestra influye, de tal forma que si se aumenta el tamaño se puede mejorar el nivel de confianza manteniendo la amplitud del intervalo, y también se puede reducir la amplitud del intervalo manteniendo el nivel de confianza.
2.3.2 Competencia estocástica.
Atendiendo a Batanero (2011), el razonamiento estadístico es un pilar fundamental del aprendizaje e incluye, según Wild y Pfannkuch (1999), los siguientes componentes básicos:
-‐ Reconocer la necesidad de datos: No es fiable basarse en la experiencia personal o en evidencias de tipo anecdótico, por eso es mejor basarse en situaciones reales y realizar análisis de datos que son recogidos de forma adecuada.
-‐ Transnumeración: Hay que utilizar correctamente la comprensión que puede surgir al cambiar la representación de los datos.
-‐ Percepción de la variación. La recogida de datos requiere una comprensión de la variación que hay. Además, a causa de la variación, la estadística permite hacer predicciones y buscar soluciones.
-‐ Razonamiento con modelos estadísticos. Un simple gráfico o una línea de regresión puede utilizarse como modelo, ya que esto representa la realidad, y relaciona el modelo con los datos.
-‐ Integración de la estadística y el contexto. Este componente es muy importante para el razonamiento estadístico.
Para incorporar estos elementos en las clases de estadística, trabajos a través de proyectos juega un papel fundamental. Estos pueden ser planteados por el profesor o por los alumnos. En ellos se trata de presentar las diferentes fases de investigación: planteamiento del problema, decidir qué datos se van a recoger y cómo, a continuación analizarlos y por último obtener conclusiones del problema planteado. En muchos países se usa éste método frecuentemente. Los proyectos pueden ser problemas sencillos de representación de datos, pero también pueden ir aumentando
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en su dificultad, pudiendo llegar hasta el uso de la simulación. Con estos proyectos se consigue aumentar la motivación de los alumnos , dotar de sentido al aprendizaje de los conocimientos estadísticos, más allá del aprendizaje de una serie de rutinas de cálculo, dejando a un lado la resolución de ejercicios descontextualizados donde se pide al alumno calcular medias y otro tipo de parámetros estadísticos referidos a solo un conjunto de datos. Según Holmes (1997) los estudiantes que trabajen por proyectos conseguirán los siguientes puntos positivos:
-‐ Contextualizar la estadística. Los datos son reales y tienen que ser interpretados.
-‐ Refuerza el interés del alumno ya que pueden elegir el tema. -‐ Mejora el aprendizaje de qué son los datos reales. -‐ La estadística no se reduce a contenidos matemáticos.
De acuerdo con Aliga et al (2005) es importante utilizar datos reales en la enseñanza de la estadística para ser auténtico para examinar cuestiones relacionadas con cómo y por qué se produjeron, también relacionando el análisis al contexto del problema. Usando datos reales es una buena forma de involucrar a los alumnos en pensar acerca de los datos y conceptos estadísticos relevantes. Hay mucha variedad de datos reales, incluyendo los datos de archivos, los datos generados en el aula o simulando datos. Un aspecto importante a destacar es que al tratar con datos reales ayudan a los estudiantes a formular buenas preguntas y hacer uso de los datos para responderlas en función de cómo se produjeron estos.
2.3.3 Pensamiento estadístico.
El curso de 4ºESO debe tomar como principal meta ayudar a los alumnos a aprender los elementos básicos del pensamiento estadístico. Muchos de los cursos avanzados podrían mejorarse con un énfasis más claro sobre esos mismos elementos básicos, como por ejemplo:
-‐ La necesidad de datos. Es necesario basarse en la evidencia y los peligros inherentes en vez de actuar en suposiciones sin pruebas.
-‐ La importancia de la producción de datos. Es difícil y se requiere de mucho tiempo para formular problemas y obtener datos de buena calidad que respondan a preguntas correctas. Esto se mejora a través de la experiencia.
-‐ La omnipresencia de la variabilidad. La variabilidad siempre está presente, es la esencia de la estadística como disciplina.
-‐ La cuantificación y la explicación de la variabilidad. La variabilidad puede ser medida y explicada considerando los siguientes puntos: a) Aleatoriedad y distribuciones.
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b) Los patrones y desviaciones. c) Modelos matemáticos para los patrones. d) Diálogo de datos del modelo
Cualquier curso de estadística puede mejorarse poniendo más énfasis en los datos y conceptos. Como regla general, los profesores de estadística deben confiar mucho menos en la docencia y confiar mucho más en trabajar por proyectos, ejercicios de laboratorio y actividades de discusión. Esto hará que los estudiantes participen más activamente.
Wild y Pfannkuch (como se citó en Shaughnessy, 2007) presentaron un modelo del pensamiento estadístico de 4 dimensiones, en el que dos dimensiones las llamaban ciclos de actividad, un ciclo interrogativo y un ciclo de investigación, y dos dimensiones más llamadas, una tipo de pensamiento estadístico, y otra dimensión llamada disposiciones. A continuación se muestra en la Fig.5 con las cuatro dimensiones propuestas:
Fig.5: Cuatro dimensiones del pensamiento estadístico en la investigación empírica
(Shaughnessy, 2007, p.962)
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2.4 Utilidad práctica y su enfoque didáctico.
Los alumnos tienen que aprender las rutinas básicas, no solo aprobar con el examen, sino que también deben ser competentes, para poder usar los contenidos en situaciones complejas
Siguiendo a Barreto-‐Villanueva (2012), “la Estadística ha sido odiada por estudiantes, pero apreciada y reconocida por profesionales e investigadores”.
Actualmente es una de las ciencias más influyentes en la gran mayoría de los campos del conocimiento. Se recurre a la estadística para aplicaciones de métodos estadísticos para la gestión de proyectos y presupuestos de todo tipo. Destacando los sistemas de sanidad y seguridad social, usan métodos estadísticos, que sin ellos no podrían gestionarse.
Hay dos vertientes metodológicas, por un lado la cualitativa que se basa en la recopilación de información a través de encuestas, observaciones u otros métodos, y la cuantitativa que se apoya de la recopilación y análisis de datos.
La utilidad e importancia de la estadística se basa en que se utilizan los métodos estadísticos para objetivos descriptivos, organizar y resumir datos numéricos. Por ejemplo la estadística descriptiva trata de la tabulación de datos y su representación gráficamente. La estadística se aplica de forma más extensa en las áreas de contabilidad, medicina, control de calidad, organismos políticos y en multitud de áreas más cómo opción para toma de decisiones.
Por ejemplo, otro punto a destacar es el desarrollo de las Ciencias Sociales, que para su comprensión es necesaria la estadística, con el objetivo de los investigadores de cuantificar magnitudes o el impacto de los fenómenos sociales. Los ámbitos en los que la estadística actúa son los siguientes:
-‐ Educación: se aplica la estadística para la comprensión de métodos de investigación en educación, problemas de medición y evaluación, etc.
-‐ Psicología: se aplica a la hora de analizar los comportamientos de los sujetos, rasgos de personalidad, etc.
-‐ Economía: se emplea a la hora de interpretar y valorar los datos numéricos. Los métodos estadísticos más utilizados son el índice de precios, análisis de mercados, la estimación de la demanda… La economía recurre a técnicas estadísticas para explicar fenómenos económicos. En esta parte destaca la Econometría.
-‐ Demografía: se aplica la Estadística para el estudio de la población a través de censos, distribuciones por edades, nacionalidad, localización geográfica, tasas de nacimiento y mortalidad.
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-‐ Humanidades: se aplica la Estadística a la hora de buscar nuevas metodologías de investigación en la Historia, Geografía, Antropología o Literatura, ya que aporta métodos más estrictos y contrastados en los campos de estudio de las Humanidades.
-‐ Ciencias Jurídicas: La estadística se utiliza mucho en esta área refiriéndose a la Criminología, en estudios de prevención de delitos
Atendiendo a Barreto-‐Villanueva (2012), “la estadística tiene un gran porvenir en el siglo XXI. Cada vez se abren mas nichos de oportunidad para los principios, técnicas y procedimientos que forman el cuerpo de la metodología estadística”. Ya hay en marcha muchas líneas de investigación en desarrollo como por ejemplo a la hora de extraer información en grandes volúmenes de datos, por lo que es complicado extraer información precisa y útil, y se está poniendo en marcha lo que se conoce como minería de datos, un área con gran dinamismo en los próximos años.
Otro ámbito que destacar la utilidad de la estadística es en el desarrollo social, con el objetivo de medir el bienestar social de los pueblos, y se utilizan medidas estadísticas para medir la pobreza y la desigualdad con nuevos métodos más precisos y de mejor calidad para tratar estos temas. Por ejemplo el Índice de Gini se utiliza para medir la desigualdad en la población. También, el PIB (Producto Interior Bruto) es un índice de desarrollo económico que se utiliza para medir la riqueza de la sociedad.
Muchos investigadores se encuentran buscando alternativas para medir la felicidad, es decir, el bienestar de una sociedad, basándose en indicadores de calidad de vida, índices de educación, desarrollo humano o simplemente sobre la felicidad.
3. Proyección didáctica.
3.1 Objetivos
A continuación se presentan los objetivos atendiendo a las directrices curriculares de la legislación del ministerio, Real Decreto 1105/2014.
Objetivos de etapa
Atendiendo al informe del BOE publicado el 3 de enero 2015, Los alumnos y las alumnas a lo largo de la Educación Secundaria Obligatoria deberán alcanzar los siguientes objetivos:
a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática.
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b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.
c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entre ellos. Rechazar estereotipos que supongan discriminación entre hombres y mujeres.
d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en sus relaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo, los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos
e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.
f) Concebir el conocimiento como un saber integrado que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.
g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades.
h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellana y , si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma, textos y mensajes complejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura.
i) Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada.
j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural.
k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educación física y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer y valorar la dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivos y el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora.
l) Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.
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Objetivos específicos.
-‐ Resumir en una tabla de frecuencias una serie de datos estadísticos y hacer el gráfico adecuado para su visualización.
-‐ Conocer los parámetros estadísticos 𝑥 y σ, calcularlos a partir de una tabla de frecuencias y utilizar las medidas de posición.
-‐ Conocer y utilizar las medidas de posición. -‐ Conocer el papel del muestreo y distinguir algunos de sus pasos.
Objetivos mínimos.
-‐ Comprende conceptos básicos de estadística: población y muestra, variables estadísticas, estadística descriptiva e inferencial.
-‐ Sabe hacer interpretar gráficos estadísticos: diagrama de barras e histograma (gráfico adecuado a cada tipo de variable=
-‐ Elabora e interpreta tablas de frecuencias para datos aislados y para datos agrupados en intervalos.
-‐ Halla parámetros estadísticos: media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.
-‐ Obtiene medidas de posición para datos aislados y elabora diagramas de caja. -‐ Usa la calculadora para introducir datos y para obtener el valor de los
parámetros estadísticos.
3.2 Tratamiento de las competencias básicas.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.
Se desarrolla al aplicar estrategias de resolución de problemas, aplicar procesos matemáticos a situaciones cotidianas, comprender elementos matemáticos, comunicarse en lenguaje matemático, identificar ideas básicas, interpretar resultados e información gráfica.
Competencia en comunicación lingüística.
Se desarrolla a la hora de leer y entender enunciados de problemas. También a la hora de expresar verbalmente argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales y procedimientos de resolución de problemas con la precisión y rigor adecuados a la situación, entender enunciados para resolver problemas.
Competencia en conocimiento e interacción con el mundo físico.
Se desarrolla a la hora de comprender conceptos científicos y técnicos, también cuando se obtiene información cualitativa y cuantitativa, realizar inferencias, usar los términos matemáticos para describir elementos del mundo físico
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Competencia social y ciudadana.
Se lleva a cabo cuando se hace uso de los conocimientos matemáticos en multitud de labores humanas, también a la hora de dominar los conceptos de la estadística como medio de analizar críticamente la información que se proporciona.
Competencia cultural y artística.
Se desarrolla al reconocer la importancia de otras culturas en el desarrollo del lenguaje matemático. También al utilizar los conocimientos adquiridos para describir o crear distintos elementos artísticos.
Competencia para aprender a aprender.
Se desarrolla al ser capaz de analizar la adquisición de conocimientos matemáticos, ser capaz de autoevaluar los conocimientos adquiridos, ser consciente de las carencias en los conocimientos adquiridos.
Competencia para la autonomía y la iniciativa personal.
Se desarrolla cuando el alumno confía en sus propias capacidades para afrontar los problemas, comprende las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. También se lleva a cabo a la hora de desarrollar una conciencia crítica en relación con las noticias, datos, gráficos, etc., que obtenemos de los medios de comunicación. Otro punto a destacar es la elección de la mejor estrategia entre las aprendidas para resolver problemas.
3.3 Contenidos.
Contenidos conceptuales:
Los contenidos conceptuales van a ser los siguientes:
1. Dos ramas de la estadística. 1.1 Estadística descriptiva. 1.2 Estadística inferencial.
2. Tablas de frecuencias. 2.1 Tabla con datos agrupados.
3. Parámetros estadísticos: 𝑥 y σ. 4. Medidas de posición.
4.1 Mediana, Cuartiles y percentiles. 4.2 Frecuencias acumuladas. 4.3 Obtención de percentiles en tablas de frecuencias.
5. Diagramas de caja. 6. Estadística inferencial.
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6.1 Por qué se recurre a las muestras. 6.2 Tamaño de la muestra. 6.3 La muestra ha de elegirse al azar. 6.4 Conclusiones que se obtienen de una muestra.
Contenidos procedimentales.
En el tema se van a tratar los siguientes procedimientos:
-‐ Explicar los conceptos básicos de estadística -‐ Identificar y elaborar gráficos estadísticos -‐ Elaborar tablas de frecuencias con datos aislados y con datos agrupados
sabiendo elegir los intervalos. -‐ Comprender los parámetros estadísticos: Media, desviación típica y coeficiente
de variación. -‐ Distinguir las medidas de posición: mediana, cuartiles y percentiles. -‐ Obtener de las medidas de posición en tablas con datos aislados. -‐ Representar una distribución a partir de sus medidas de posición: diagrama de
caja y bigotes. -‐ Desarrollar la estadística inferencial.
Contenidos actitudinales.
-‐ Valoración del uso de la estadística como instrumento para el estudio de diferentes aspectos de la realidad y para resolver problemas de la vida cotidiana.
-‐ Valoración del uso de la calculadora científica y de las nuevas tecnologías. -‐ Interés y valoración del uso del lenguaje estadístico y de la estadística en
general presente en argumentaciones económicas, políticas y sociales. -‐ Gusto por la precisión y claridad en la elaboración de los trabajos estadísticos.
Contenidos Transversales.
-‐ Educación moral y cívica Se presentan contextos y situaciones en los que los alumnos y alumnas van a tener que juzgar y jerarquizar valores. En las actividades colectivas se manifiesta una valoración positiva de la participación, el respeto a las opiniones y reglas, etc.
-‐ Educación del consumidor Cualquier actividad de Matemáticas tratan de contenidos de proporcionalidad, medida, azar, etc., que ayudan a formarse una actitud crítica ante el consumo
-‐ Educación para la salud
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La asignatura de Matemáticas utiliza intencionadamente ciertos problemas, como por ejemplo la cuantificación absoluta y proporcional de los ingredientes de una receta, también representar la distribución de la población por países desarrollados y no desarrollados, los accidentes según la edad, etc.
-‐ Educación para la paz Se pretende introducir los valores de solidaridad y cooperación al plantear problemas con otras culturas, con la desigualdad, la pobreza y el subdesarrollo, etc.
-‐ Educación medioambiental Se presentan situaciones enfocados al consumo de agua en distintos países, cultivos afectados por la sequía, etc.
3.4 Metodología y recursos didácticos.
En la unidad didáctica se aplicará la siguiente metodología:
-‐ Recordar y reforzar los conceptos y procedimientos estadísticos conocidos.
-‐ Repasar los distintos tipos de gráficos estadísticos.
-‐ Hacer reflexionar al alumnado acerca de qué rama de la Estadística sería más adecuada para dar respuesta a determinados problemas de la vida real.
-‐ Acercar a los alumnos y alumnas a la Estadística inferencial a través de referencias, muestras, etc., sacadas de la vida real.
-‐ Utilizar la calculadora con tratamiento estadístico.
-‐ Hacer hincapié en la importancia de utilizar la terminología adecuada.
-‐ Concienciar al alumnado de la importancia de los pasos que preceden a la realización de un trabajo estadístico.
-‐ Fijar hábitos de trabajo: atender a las explicaciones del profesor, poner atención en la elaboración de las tablas, dibujar las gráficas con precisión y limpieza, etc.
-‐ Tener el cuaderno al día, ordenado y bien presentado.
-‐ Fomentar la participación activa y el trabajo en equipo.
Atendiendo al informe de la universidad de Aliaga et al. (2012) hay que destacar los siguientes puntos referentes a la metodología:
-‐ Hacer hincapié en la alfabetización estadística y desarrollar el pensamiento estadístico.
-‐ Uso de datos reales.
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-‐ El esfuerzo por una comprensión conceptual, más que el mero conocimiento -‐ de los procedimientos -‐ Fomentar el aprendizaje activo en el aula -‐ Usar la tecnología para el desarrollo de la comprensión conceptual y analizar
los datos -‐ Utilizar las evaluaciones para mejorar y evaluar el aprendizaje del estudiante
Los recursos didácticos que se van a emplear para esta unidad son los siguientes:
-‐ Libro del alumno, cuaderno del alumno, calculadora de pantalla descriptiva.
-‐ Materiales para el alumno disponibles en la web www.anayadigital.com -‐ Recursos del libro digital del profesorado. -‐ Generador de evaluaciones. -‐ Cuaderno nº5 de Ejercicios de matemáticas, cuarto curso, opción B:
Estadística y probabilidad (de J. Colera, R. García, I. Gaztelu y M.ºJ. Oliveira, ed. Anaya).
-‐ Enlaces web de utilidad:
http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/estadistica.html
http://descartes.cnice.mec.es/aplicaciones.php?bloque=4
3.5 Actividades
Actividades de introducción.
Estas actividades introductorias su objetivo es ver el nivel en el que se encuentran los alumnos respecto a la unidad y repasar. Corresponden las actividades A1 y A2.
A1. En un torneo de ajedrez hay 70 jugadores, y solo 15 tienen el título de Maestro Provincial. Las puntuaciones se dan en la tabla siguiente:
Tabla 4: Puntuaciones
PUNTOS 8 7 6 5 4
Nº del M.P. 3 4 3 3 2
a) ¿Cuál ha sido la puntuación media de estos jugadores? b) ¿Cuál es la mayor puntuación con al que se han clasificado los jugadores?
A2.Define los conceptos de población, muestra, individuo, variable estadística, variables cuantitativas y variables cualitativas.
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Actividades de desarrollo y consolidación.
Su finalidad es desarrollar los contenidos para alcanzar los objetivos de aprendizaje de la unidad. Desarrollarán las competencias matemática y competencias básica en ciencia y tecnología, competencia lingüística, y la de aprender a aprender. Corresponden las actividades de la A3 a la A18.
A3. Elabora una tabla de frecuencias con el número de zapato de los alumnos de una clase tras haberles preguntado a cada uno. Reparte los datos en intervalos. Los datos son los siguientes:
38, 38, 55, 40, 39, 35, 40, 37, 36, 35, 40, 40, 42, 41, 41, 41, 29, 41, 40, 42, 37, 38, 39, 36
A4. Reparte los 24 datos del ejercicio anterior en 4 intervalos.
A5. Elabora una tabla de frecuencias con las estaturas de 20 adolescentes:
168 161 170 164
167 165 171 172
160 172 163 167
170 165 164 159
168 169 163 166
A6. Elabora una tabla de frecuencias con las notas de matemáticas de una clase de 30 alumnos. Las notas han sido las siguientes:
3 6 5 4 9 6 6 6 7 2
5 4 8 6 8 3 7 4 5 4
5 2 7 6 2 1 4 3 5 3
A7. A un grupo de 30 personas se les ha tomado el numero de pulsaciones por minuto obteniéndose los siguientes resultados:
87 85 61 51 64 75 80 70 69 82
80 79 82 74 92 72 76 73 63 65
86 71 76 70 73 68 76 88 71 67
Representa gráficamente esta distribución agrupando los datos en 6 intervalos (desde 50,5 a 92,5)
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A8. Halla manualmente la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de las notas del ejercicio A6, y a continuación compruébalo con la calculadora los resultados obtenidos.
A9. Halla la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de las siguientes distribuciones reflejadas en las Tablas 5 y 6.
Tabla 5
𝑥! 𝑓!
0 12
1 8
2 9
3 4
4 6
5 3
Tabla 6
A10. Los gastos mensuales de la empresa Coca-‐cola tienen una media de 120000 euros y una desviación típica de 13500 euros. La empresa Pepsi, la media es 80000 euros y la desviación típica de 10500 euros. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos tiene más variación relativa.
A11. Las edades de los alumnos de un curso de cocina son las siguientes. Elabora la tabla de frecuencias, y calcula Me, 𝑄!, 𝑄!, 𝑃!" y 𝑃!".
18 21 42 26 18 20 18 33 20 19
18 19 23 20 37 19 25 21 22 19
intervalo 𝑓!
50,5-‐57,5 1
57,5-‐64,5 3
64,5-‐71,5 7
71,5-‐78,5 8
78,5-‐85,5 6
85,5-‐92,5 5
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A12. En la siguiente distribución de notas de inglés de la tabla 6, halla Me, 𝑄!, 𝑄!, 𝑃!", 𝑃!"y 𝑃!!.
Tabla 6: notas de inglés.
Notas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
NºAlumnos 8 14 54 61 98 72 33 18 12 4
A13. La altura, en centímetros de un grupo de alumnos y alumnas de una misma clase es:
150 169 171 172 175 181 172
182 183 179 177 185 158 184
Calcula la mediana y los Cuartiles y explica el significado de estos parámetros.
A14. Halla la mediana, los Cuartiles y el percentil 60 en cada una de las siguientes notas obtenidas en un test que han hecho dos grupos de estudiantes:
A: 25 – 22 – 27 – 30 – 23 – 22 – 31 – 18 – 24 – 25 – 32 – 35 – 20 – 28 – 30
B: 27 – 32 – 19 – 22 – 25 – 30 – 21 – 29 – 23 – 31 – 21 – 20 – 19 – 27
A15. El numero de estrellas de los hoteles de una ciudad son los siguientes. Representa mediante un diagrama de caja la siguiente distribución:
2 3 3 4 1 3 3 2 3
4 5 3 4 3 2 2 5 4
A16. Las estaturas de 35 alumnos de una clase están comprendidas entre 153 y 188. Los tres restantes miden 151, 152 y 190. Conocemos los siguientes parámetros:
𝑄! = 161; 𝑀𝑒 = 166 𝑦 𝑄! = 176.
Haz un diagrama de caja para esta distribución.
A17. Un campesino posee 53 cabras. Para probar la eficacia de un nuevo tipo de alimentación, las pesa a todas antes y después de los 20 días que dura el tratamiento.
El conjunto de esas 53 cabras, ¿es población o muestra?, ¿Por qué?
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A18. Para hacer un sondeo electoral en un pueblo de 360 electores, aproximadamente, se va a elegir una muestra de 180 individuos. Di si te parece válida cada una de las siguientes formas de seleccionarlos y explica el porqué.
a) Se le pregunta al alcalde, que conoce a todo el pueblo, qué individuos le parecen más representativos.
b) Se eligen 180 personas al azar entre las que acuden a la verbena del día del patrón.
c) Se seleccionan al azar en la guía telefónica y se les encuesta por teléfono. d) Se acude a las listas electorales y se seleccionan al azar 180 de ellos
Actividades de apoyo o refuerzo.
Estas actividades irán dirigidas para los alumnos que tengan problemas a la hora de comprender los contenidos. Corresponden las actividades A19 y A20.
A19. En una maternidad se han tomado los pesos (en kilogramos) de 40 recién nacidos.
3,0 2,9 3,4 1,9 2,4 2,9 1,9 3,6 2,1 2,5
2,7 2,5 3,1 2,0 3,1 2,0 2,4 2,2 3,1 2,7
2,8 2,7 3,8 3,3 2,4 3,1 2,0 2,1 2,7 3,3
2,3 3,4 1,9 2,9 2,5 3,0 2,1 3,2 2,6 2,5
a) ¿Cuál es la variable y de qué tipo es? b) Construye una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de 1,70 a 4,20. c) Representa gráficamente esta distribución.
A20. Deseamos hacer una tabla con datos agrupados a partir de 384 datos, cuyos valores extremos son 19 y 187.
a) Si queremos que sean 10 intervalos de amplitud 17, ¿cuáles serán esos intervalos?
b) Haz otra distribución en 12 intervalos de la amplitud que creas conveniente.
Actividades de ampliación.
Estas actividades irán dirigidas para los alumnos más avanzados. Corresponden las actividades A21, A22 y A23.
A21. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de un colegio y obtiene los resultados resumidos en la tabla 7:
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Tabla 7: Caries en 100 niños
Nº de caries F. Absoluta F. Relativa
0 25 0,25
1 20 0,2
2 y z
3 15 0,15
4 x 0,05
a) Completa la tabla obteniendo x, y , z. b) Calcula el número medio de caries.
A22. a) Para estimar la estatura media de los 934 soldados de un regimiento, extraemos una muestra de 53 de ellos. La media de la muestra es 172,6 cm. Expresa este resultado sabiendo que en la ficha técnica se dice que el error máximo es de ± 1,8 cm, con una probabilidad de 0,90.
b)Si con el mismo estudio anterior admitimos que se cometa un error de ± 2,6 cm, el nivel de confianza ¿será superior o inferior al 90%?
c)¿Cómo podríamos aumentar el nivel de confianza manteniendo la cota de error en ± 1,8 cm?
A23. Dos distribuciones estadísticas, A y B, tienen la misma desviación típica.
a) Si la media de A es mayor que la de B, ¿cuál tiene mayor coeficiente de variación?
b) Si la media de A es el doble que la de B, ¿cómo serán sus coeficientes de variación?
Actividades competenciales.
Estas actividades toman la forma de proyectos estadísticos; persiguen el desarrollo de competencias. Los alumnos tendrán que pensar en cómo resolver esos problemas. Corresponden los proyectos 1 y 2. Siguiendo a Rivas (2014), los alumnos deberán de definir las variables que se van a investigar; elegir una muestra utilizando estrategias. A continuación diseñar una encuesta según el tipo de información que se pretenda buscar, si es de opinión o datos concretos numéricos; posteriormente codificarlas
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siguiendo unas reglas de codificación, y por último elaborar las tablas de frecuencias para poder realizar el análisis estadístico y sacar conclusiones.
Este tipo de actividades conectan con la estadística para el mundo del trabajo. Son muy importantes para que los alumnos no sólo trabajen las actividades competenciales, sino para que lo conecten con la realidad, para que vean la utilidad estadística en alguna profesión, como es el caso del proyecto 3, basada en el análisis de mercados y se desea crear un batido nuevo. Otra actividad vinculada con la estadística es la fisiología deportiva, que utiliza técnicas estadísticas para resolver problemas de la ciencia como por ejemplo a la hora de interpretar las relaciones entre dos propiedades, representar la relación matemática y calcular la correlación.
Fig.7 Estadísticas de la fisiología deportiva, extraído de: http://www.mascil-‐project.eu/classroom-‐
material
Proyecto 1.
Realizar un análisis estadístico del tiempo que los alumnos del instituto ven la televisión en casa.
Puntos a seguir:
-‐ Elegir una muestra. (Si hay 600 alumnos, elegir los alumnos de una clase, y preguntarles)
-‐ Elaborar una tabla de frecuencias con intervalos por horas, y asignando el número de alumnos en los intervalos que corresponda.
-‐ Hallar la media, desviación típica y coeficiente de variación, e interpretar los resultados.
-‐ Hallar medidas de posición.
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-‐ Representación gráfica.
Proyecto 2.
Realizar un análisis estadístico del uso de las redes sociales en los alumnos de 4ºESO.
Puntos a seguir:
-‐ Elaborar una encuesta. Por ejemplo con el siguiente formato como muestra la tabla 8: Tabla 8: Encuesta Redes sociales Facebook Mucho Normal Poco Nada
Instagram Mucho Normal Poco Nada
Tuenti Mucho Normal Poco Nada
Codificar las respuestas Mucho con valor 4, Normal con valor 3, Poco con valor 2 y Nada con valor 1.
-‐ Elegir una muestra sobre todos los alumnos de 4ºESO. -‐ Repartir la encuesta para obtener los datos. -‐ Elaborar una tabla de frecuencias. -‐ Hallar los parámetros estadísticos e interpretar resultados. -‐ Conclusiones.
Proyecto 3.
Respecto al análisis de mercados, los alumnos asumen el papel de aprendices en una empresa de refrescos y están invitados a crear la última gama de bebidas Smoothie. Para ello los alumnos tienen que llevar a cabo estudios de mercado, desarrollo de varias mezclas, evaluarlas y luego diseñar y crear el envase. Aquí es donde viene la parte estadística, a la hora de evaluarlas. Los alumnos tendrán que hacer uso del aprendizaje basado en la investigación para recopilar y analizar la información de los compañeros para desarrollar el producto, utilizando razón y proporción, porcentajes y una hoja de cálculo para mezclar los ingredientes en diferentes cantidades para obtener el valor nutricional adecuado y el gusto por el sector de destino. Otra de las fases es el diseño de envases utilizando la geometría.
Por tanto, los alumnos tendrán que diseñar un cuestionario de investigación y analizar el comportamiento del mercado. Mezclar los ingredientes para obtener el valor nutritivo y el sabor. En las Fig.5 se muestra el posible batido creado, y en la Fig.6 un posible esquema:
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Fig.5 Guerra de productos, extraído de
http://www.bowlandmaths.org.uk/materials/projects/online/product_wars/start.htm
Fig.6 Posible esquema extraído de:
http://www.bowlandmaths.org.uk/materials/projects/online/product_wars/start.htm
3.6 Actividades complementarias y extraescolares
El departamento de Matemáticas propone la siguiente actividad referente a la unidad:
-‐ Visita al Instituto Nacional de Estadística de Jaén durante las 3 primeras horas de clase el día 25 de Mayo, en el que los alumnos verán la presencia de la
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estadística en la actualidad y les irá explicando un empleado de allí qué es lo que hacen y para qué.
3.7 Temporalización
Esta unidad didáctica se va a dar en 10 sesiones de una hora cada sesión durante las dos últimas semanas de Mayo aproximadamente:
• SESION 1 -‐ Contenidos. Dos ramas de la estadística: Estadística descriptiva y estadística
inferencial. -‐ Actividad Docente. Explicar una breve introducción histórica sobre la
estadística y hacer un repaso general de los términos más importantes. Hacer en clase 2 actividades de introducción, la A1 y A2. A continuación explicar el primer apartado del tema: Dos ramas de la estadística.
-‐ Actividad Discente. Los alumnos responderán a las preguntas que se les haga y realizarán las actividades de introducción planteadas, las actividades A1 y A2.
• SESION 2 -‐ Contenidos. Tablas de frecuencias -‐ Actividad Docente. Explicar el apartado tablas de frecuencias. Hacer en clase la
actividad A3 para que los alumnos aprendan como se hace, y mandar para que hagan allí la actividad A4 y A5, que al final de la clase se corregirá. También mandar para casa las actividades A6 y A7.
-‐ Actividad Discente. Los alumnos responderán a las preguntas que les haga el profesor y harán en clase las actividades A4 y A5. Los alumnos harán en casa las actividades A6 y A7.
• SESION 3 -‐ Contenidos. Parámetros estadísticos. Media, varianza, desviación típica y
coeficiente de variación. -‐ Actividad Docente. Corregir los ejercicios mandados para casa de la clase
anterior, las actividades A6 y A7, en el que saldrán dos alumnos a resolverlas en la pizarra. A continuación explicar el apartado parámetros estadísticos, cómo hallar la media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación con un ejemplo completo. También explicar cómo se harían los cálculos con calculadora. Hacer en clase la actividad A8, y mandar para casa las actividades A9 y A10.
-‐ Actividad Discente. Dos alumnos saldrán a la pizarra para corregir las actividades A6 y A7. Responderán a las cuestiones que les plantee el profesor, harán la actividad A8, y en casa harán las actividades A9 y A10.
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• SESION 4 -‐ Contenidos. Medidas de posición: mediana, Cuartiles y percentiles. Frecuencias
acumuladas, y obtención de percentiles en tablas de frecuencias. -‐ Actividad Docente. Corregir los ejercicios mandados para casa de la clase
anterior, las actividades A9 y A10, en el que saldrán dos voluntarios para corregirlas en pizarra. Explicar el apartado medidas de posición, las frecuencias acumuladas y obtención de percentiles en tablas de frecuencias. Mandar para casa los ejercicios A11 a A14. Avisarles de que estudien para que en la próxima clase les preguntará y les pondrá notas de clase.
-‐ Actividad Discente. Los alumnos corregirán en clase los ejercicios A9 y A10 saliendo dos voluntarios a la pizarra. Responderán las cuestiones que les plantee el profesor, y tendrán que realizar en casa las actividades A11, A12, A13 y A14.
• SESION 5 -‐ Contenidos. Repasar clases anteriores. -‐ Actividad Docente. Preguntar a los alumnos conceptos de toda la materia vista
en las clases anteriores y poner notas de clase. Corregir durante toda la clase los ejercicios mandados para casa de la clase anterior, A11, A12, A13 y A14. Mandar para casa los ejercicios A20 y A21.
-‐ Actividad Discente. Los alumnos elegidos por el profesor aleatoriamente, responderán las preguntas que les haga sobre la materia y les pondrán notas de clase. Saldrán voluntarios a la pizarra para corregir los ejercicios A11, A12, A13 y A14. Además, tendrán que hacer en casa las actividades A20 y A21.
• SESION 6 -‐ Contenidos. Diagramas de caja. -‐ Actividad Docente. Corregir los ejercicios A20 y A21. Explicar el diagrama de
caja y bigotes, haciendo un ejemplo en pizarra normal, y en pizarra digital. Explicarles mediante la pizarra digital, el uso de Excel y Geogebra para la estadística, para cuando se dispare el número de datos y se requiere el uso de las tecnologías. (por ejemplo cuando las distribuciones son de 15 datos si que se puede realizar a mano, pero cuando son 100 se perdería mucho tiempo y se requiere de las tecnologías para poder realizar los cálculos de forma más rápida a través de Excel y Geogebra entre otros). Mandar para casa las actividades A15 y A16.
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-‐ Actividad Discente. Dos alumnos saldrán voluntarios a la pizarra para corregir las actividades A20 y A21. Responderán a las cuestiones que les haga el profesor, y tendrán que hacer en casa las actividades A15 y A16.
• SESION 7 -‐ Contenidos. Estadística inferencial. Por qué se recurre a las muestras. Tamaño
de la muestra. La muestra ha de elegirse al azar. Conclusiones que se obtienen de una muestra.
-‐ Actividad Docente. Corregir las actividades A15 y A16. Explicar el apartado Estadística Inferencial. Mandar para casa las actividades A17 y A18.
-‐ Actividad Discente. Dos alumnos saldrán a corregir los ejercicios A15 y A16. Leerán contenidos del apartado correspondiente a la clase. Harán en casa las actividades A17 y A18.
• SESION 8 -‐ Contenidos. Repasar todo el temario. -‐ Actividad Docente. Corregir las actividades A17 y A18. Organizar la clase en
grupos para que realicen dos proyectos referentes a las actividades competenciales, basándose en datos reales que tendrán que resolver ellos y obtener los datos ellos. (Proyecto 1 y 2). En los que emplearán todos los contenidos vistos en clase. Explicar en qué consisten esos proyectos y orientar como pueden realizarlo.
-‐ Actividad Discente. Los alumnos realizarán en clase las actividades A17 y A18, y en grupos realizarán dos proyectos referentes a las actividades competenciales que les encargará el profesor, para que desarrollen las competencias.
• SESION 9 Visita a Jaén al Instituto Nacional de Estadística.
• SESION 10 Examen de la unidad.
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3.8 Evaluación
Tipos de evaluación
Para evaluar la práctica docente seguiré los siguientes pasos:
Se realizará una evaluación procesual durante el período en el que se explique el tema, para ver si han cumplido los objetivos planteados.
Criterios de evaluación
Los criterios de evaluación que se utilizarán son los siguientes:
-‐ Construye una tabla de frecuencias de datos aislados y los representa mediante un diagrama de barras.
-‐ Dado un conjunto de datos y la sugerencia de que los agrupe en intervalos, determina una posible partición del recorrido, construye la tabla y representa gráficamente la distribución.
-‐ Dado un conjunto de datos, reconoce la necesidad de agruparlos en intervalos y, en consecuencia, determina una posible partición del recorrido, construye la tabla y representa gráficamente la distribución.
-‐ Obtiene los valores de x y σ a partir de una tabla de frecuencias (de datos aislados o agrupados) y los utiliza para analizar características de la distribución.
-‐ Conoce el coeficiente de variación y se vale de él para comparar las dispersiones de dos distribuciones.
-‐ A partir de una tabla de frecuencias de datos aislados, construye la tabla de frecuencias acumuladas y, con ella, obtiene medidas de posición (mediana, cuartiles, centiles).
-‐ Construye el diagrama de caja y bigotes correspondiente a una distribución estadística.
-‐ Interpreta un diagrama de caja y bigotes dentro de un contexto.
-‐ Reconoce procesos de muestreo correctos e identifica errores en otros en donde los haya.
-‐ Desarrollan las competencias entendiendo situaciones complejas.
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Procedimientos o técnicas de evaluación
Los procedimientos de evaluación que vamos a utilizar para esta unidad didáctica serán:
1. Revisión de Cuadernos.
2. Trabajo diario en clase.
3. Salidas a pizarra.
4. Tareas y trabajos de casa.
5. Prueba escrita.
Instrumentos de evaluación:
En la calificación se tendrá en cuenta el grado de consecución de los objetivos planteados a través de los instrumentos de evaluación:
-‐ Cuadernos. Se revisarán los cuadernos de los alumnos para comprobar la toma de apuntes, el grado de realización de las actividades propuestas, la corrección de ejercicios, expresión escrita y orden en la presentación.
-‐ Trabajo diario en clase. Observación directa de los alumnos, mientras trabajan en clase de forma individual o en grupo o si participan en discusiones de clase; para obtener información sobre su iniciativa e interés por el trabajo, participación, capacidad de trabajo en equipo, hábitos de trabajo, comunicación con los compañeros… También se valorará el comportamiento del alumno en cuanto cumplimiento de las normas de convivencia y el interés que muestra por la asignatura. Las faltas de asistencia no justificadas serán tenidas en cuenta a la hora de la calificación.
-‐ Salidas a la pizarra. Preguntas orales, resolución de problemas en la pizarra… -‐ Tareas y trabajos de casa. Se controlará de forma habitual la realización de las
tareas propuestas para casa. -‐ Pruebas escritas. Se harán pruebas periódicas, que acumulen materia
trabajada hasta el momento de la prueba, hasta finalizar el trimestre. Se hará una nota media ponderada de las notas.
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Sistema de evaluación
La nota final de evaluación de la evaluación para la unidad didáctica tratada será el resultado de la suma de los siguientes porcentajes:
Cuaderno, trabajos y participación: 20%
Examen: 80%
Criterios de calificación o de corrección
Los criterios de calificación que se tendrán en cuenta en cada uno de los apartados contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales serán los siguientes:
La revisión de cuadernos, trabajo diario en clase, tareas y trabajos aportarán un 20% a la calificación.
La prueba escrita aportará el 80% de la calificación.
La participación en el concurso de Fotografía será obligatoria para el alumnado de ESO, pudiendo obtener hasta un máximo de 0,5 puntos adicionales en la calificación de la tercera evaluación. Si no participan se les restará 0,5 puntos en dicha calificación.
Criterios de corrección:
a) Faltas de ortografía:
Cualquier falta de ortografía (incluida la colocación incorrecta de tildes) supondrá la pérdida de 0,2 puntos menos por error, hasta un máximo de 2 puntos. Este descuento de puntos se aplicará tanto en tareas como en exámenes, y se contabilizará sobre el total de la tarea o el examen. El alumno podrá recuperar la puntuación perdida realizando y entregando una ficha de trabajo ortográfico por cada error. Las fichas se realizarán para todos los errores, incluyendo los no contabilizados para descuento de puntos. La ficha está adjuntada en el ANEXO.
b) Por la mala presentación de escritos: Se exigirá a todos los escritos presentados por el alumnado el respeto a las siguientes normales:
-‐ Presencia de márgenes bien definidos. -‐ División del texto en párrafos. -‐ Uso de sangrías al comienzo de cada párrafo. -‐ Interlineado regular. -‐ Ausencia de borrones.
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Los trabajos escritos solicitados se entregarán siempre escritos a mano para facilitar el aprendizaje de estas convenciones, salvo que la naturaleza del trabajo recomiende el uso de impresora o máquina de escribir.
c) Por no respetar la estructura “Sujeto-‐verbo-‐predicado”. Se requerirá de los alumnos que todas sus respuestas, tanto en ejercicios de clase como en exámenes, respondan a la estructura “Sujeto-‐verbo-‐predicado”, y no se consentirá que las respuestas comiencen con la conjunción “que” o formas similares. Si no se cumple esta norma se reducirá la calificación de dicha pregunta en un 50% de su puntuación en el caso de definiciones o preguntas de respuesta exacta.
d) Si los alumnos son sorprendidos durante el examen en el que se les pilla copiando con apuntes no permitidos, suplantación de personalidad y similares, serán sancionados con la calificación de 0 en dicho examen.
Sistema de recuperación.
Debido a que los exámenes van acumulando materia y tendrán notas ponderadas, si el alumno suspende el examen, en el próximo examen tendrá ejercicios del nuevo tema y del tema anterior, cuyos ejercicios correspondientes a la unidad de este trabajo se encuentra en el examen de recuperación incluido en el Anexo. Si el alumno suspende el trimestre en Junio tendrá que presentarse a la evaluación extraordinaria de Septiembre y recuperar toda la materia en el que la prueba tendrá un valor del 100% de la calificación.
3.9 Atención a la diversidad.
Para asegurar que todos los alumnos logren los objetivos mínimos, se plantean Actividades de refuerzo para los alumnos que presenten más dificultades, y por otro lado Actividades de ampliación para los alumnos más aventajados, como es el caso de que en esta clase se encuentra un alumno con altas capacidades, Jaime, y para acelerar su aprendizaje se le harían actividades con niveles superiores. Las actividades que sean en grupo las realizará el solo. También se contactara con su tutor para informarle sobre el alumno, y proponerle la participación en las olimpiadas de dicha materia.
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BIBLIOGRAFÍA
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Páginas web utilizadas:
o Proyectos de aula: http://www.bowlandmaths.org.uk/projects/product_wars.html
http://www.mascil-‐project.eu/classroom-‐material
o Precipitación media anual:
http://javiersevillano.es/PrecipitacionMediaAnual.htm
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o Estadística para todos:
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/graficas/cajas.html
ANEXOS
EXAMEN
Nombre: ……………………………………………………………….. Fecha: ………………………….
Ejercicio 1. Estas son las edades de 24 alumnos de 4ºESO.
15 16 16 15 18 15 18 15
16 17 15 15 15 15 16 16
15 15 18 16 17 16 17 16
a) Calcula la tabla de frecuencias. b) Halla la media y la varianza. c) Halla la mediana y el percentil 90.
Ejercicio 2. La distribución de los pesos de 82 pacientes de un hospital son los siguientes:
Kg pacientes
[50, 60) 19
[60, 70) 20
[70, 80) 15
[80, 90) 17
[90, 100) 9
[100, 110) 2
a) Halla la media, varianza y la mediana. b) Dibuja la caja de bigotes.
Ejercicio 3. Si a todos los datos de una distribución le sumamos un mismo número, ¿Qué le ocurre a la media?, ¿y la desviación típica? ¿ y si multiplicamos los datos por un mismo número?
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Ejercicio 4. Se han obtenido dos muestras de diferentes tipos de naranjas procedentes de distintos invernaderos, y las cantidades de vitamina C(en mg por 100 ml) son las siguientes:
Naranja (Tipo 1): 16, 23, 22, 51, 21, 20, 19, 18, 17, 17, 20, 21, 22, 18, 17, 16, 24, 20, 21, 21.
Naranja (Tipo 2): 25, 22, 16, 18, 21, 24, 19, 20, 18, 24, 21, 19, 19, 21, 18, 17, 21, 22, 24, 17, 21, 19, 19
Haz una tabla de frecuencias para cada muestra, agrupando los datos por intervalos, representa las muestras en el gráfico más adecuado, y calcula el coeficiente de variación y compara las distribuciones.
Ejercicio 5.
Se quiere realizar los siguientes estudios:
I. Tipo de transporte que utilizan los vecinos de un barrio para acudir a su trabajo.
II. Estudios que piensan seguir los alumnos y alumnas de un centro escolar al terminar la ESO.
III. Edad de las personas que han visto un concierto de una orquesta en una ciudad.
IV. Número de horas diarias que se dedican a jugar a los videojuegos los niños de tu comunidad autónoma comprendidos entre 10 y 16 años.
Di en cada uno de los casos cuál es la población, y en cuál de ellos es necesario recurrir a una muestra y por qué.
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EXAMEN DE RECUPERACIÓN
Nombre: ……………………………………………………………….. Fecha: ………………………….
Ejercicio 1.
La siguiente tabla resume los precios de venta al público de los libros de texto en una librería:
Precio en euros Número de libros
(0, 20] 75
(20, 40] 98
(40, 60] 215
(60, 80] 205
(80, 100] 84
a) Elabora la tabla de frecuencias de la distribución. b) Calcula la media y la desviación típica. c) Representa la distribución en un diagrama de caja y bigotes.
Ejercicio 2.
En un estudio climatológico se han sacado los siguientes datos de las lluvias caídas en las ciudades de Sevilla y Bilbao:
Sevilla:
Mes E F M A M J J A S O N D
Lluvias (l por 𝑥!)
65 54 38 57 34 13 2 6 23 62 84 95
Bilbao:
Mes E F M A M J J A S O N D
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Lluvias (l por 𝑥!)
126 97 94 124 90 64 62 82 74 121 141 116
a) Elabora la tabla de frecuencias para cada distribución. b) Calcula el coeficiente de variación y explica los resultados.
Ejercicio 3.
Cada alumno de un grupo cuenta el número de personas y el número de perros que viven en su portal. Suman los resultados y obtienen una muestra con la que se puede estimar el número de perros que hay en la ciudad. Supongamos que en su observación se obtienen un total de 830 personas y 73 perros, y saben que en la ciudad viven 110.000 personas.
a) ¿Cuántos perros estiman que habrá en la ciudad? b) ¿Cómo es de fiable esta estimación? c) ¿Es aleatoria la muestra que han utilizado?
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FICHA DE ORTOGRAFÍA:
