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Estadística Inferencial
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
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Sesión No. 2
Nombre: Probabilidad. Parte II. Objetivos: al finalizar la sesión, el estudiante conocerá y podrá aplicar el
teorema de Bayes para establecer probabilidades posteriores, así como las
permutaciones y combinaciones aplicables a la resolución de problemas.
Contextualización En el siglo XVIII, el ministro presbiteriano inglés Thomas Bayes planteó esta
pregunta: ¿Dios realmente existe? Dado su interés en las matemáticas, intentó
crear una fórmula para llegar a la probabilidad de que Dios existiera sobre la
base de la evidencia que el mundo aportaba acerca de él. Desafortunadamente,
las implicaciones teológicas de sus hallazgos alarmaron tanto al buen reverendo
que durante su vida se rehusó a permitir la publicación de su trabajo. Sin
embargo, su obra trascendió y la teoría de decisiones moderna a menudo se
conoce en su honor como teoría de decisiones bayesiana (Levin & Rubin, 2004).
Ahora bien, cuando se calcula una probabilidad puede darse el caso de que se
contabilicen elementos que sea complicado o tedioso contarse en el conjunto, es
importante contar con técnicas para realizar un conteo que permita resolver y
entender ciertos problemas en probabilidad.
Las primeras aplicaciones que surgieron sobre las técnicas de conteo tienen su
origen en los juegos de azar que se remontan al siglo XVII con los trabajos de
Blaise Pascal y Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos
contenían los principios para determinar el número de combinaciones de
elementos de un conjunto finito, de esta forma se establecía la tradicional
conexión entre combinatoria y probabilidad (Gutiérrez González & Vladimirovna
Panteleeva, 2014).
Conocer el teorema de Bayes, así como las permutaciones y combinaciones es
de suma importancia por sus numerosas aplicaciones en todos los campos del
conocimiento.
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Introducción al Tema
¿Qué método emplearías para calcular probabilidades posteriores?
Imagen recuperada de: users.york.ac.uk
En esta sesión, podrás ver que el teorema de Bayes se emplea para incluir
información adicional cuando esté disponible y ayuda a crear probabilidades
posteriores o revisadas. Esto significa que podemos tomar datos nuevos o
recientes y luego revisar y mejorar nuestras estimaciones de probabilidades
anteriores para un evento (Render, Stair, & Hanna, 2012).
También revisarás las permutaciones y las combinaciones, se especificarán las
principales diferencias entre ellas, ya que constituyen una herramienta básica
dentro de la teoría de la probabilidad.
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Explicación
1.6 Teorema de Bayes
¿Cuándo se aplica el teorema de Bayes?
Imagina que una persona desea saber la probabilidad de ganar el primer lugar
en el “Maratón de la Ciudad de México” dado que se entrenó por lo menos seis
meses antes del mismo; o que la gerente de una tienda de ropa deportiva
encuentra que la mayoría de las sudaderas negras y grises que pensó se iban a
vender muy bien, aún están en los exhibidores, entonces tiene que revisar las
probabilidades anteriores y ordenar una combinación diferente de color o
ponerlas en oferta.
Imagen recuperada de: runmx.com
Cuando se calcula la probabilidad de 𝐵 dado que 𝐴 ya ocurrió, de alguna manera
se piensa que el evento 𝐴 es algo que sucede antes de que 𝐵 y que 𝐴 tal vez
pueda ser la causa de 𝐵 o puede contribuir a su aparición. También, de algún
modo se puede decir que 𝐴 normalmente ocurre antes que 𝐵.
En algunas ocasiones se sabe que ocurrió el evento 𝐵 y se desea saber cuál es
la probabilidad de que haya ocurrido el evento 𝐴 . Para el ejemplo del
maratonista la pregunta sería ¿cuál es la probabilidad de que la persona haya
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entrenado por lo menos seis meses dado que efectivamente, ganó el primer
lugar en el “Maratón de la Ciudad de México”?
Esta probabilidad la encuentras aplicando la regla conocida como teorema de
Bayes, que es el siguiente (Lind, Marchal, & Wathen, 2012):
𝑷(𝑨𝒊|𝑩) =𝑷(𝑨𝒊)𝑷(𝑩|𝑨𝒊)
𝑷(𝑨𝟏)𝑷(𝑩|𝑨𝟏) + 𝑷(𝑨𝟐)𝑷(𝑩|𝑨𝟐) (1)
Donde:
𝑨𝟏 y 𝑨𝟐 Son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos
𝑨𝒊 se refiere al evento 𝐴1 o a 𝐴2. De ahí que en este caso 𝐴1 y 𝐴2 sean complementos
𝑷(𝑨𝒊) Probabilidad a priori. Probabilidad de un evento posible antes de cualquier otra información
𝑷(𝑩|𝑨𝒊) Probabilidad condicional. Probabilidad de que el evento 𝐵 ocurra en cada posible suceso de 𝐴𝑖
𝑷(𝑨𝒊)𝑷(𝑩|𝑨𝒊) Probabilidad conjunta. Equivalente a la probabilidad de 𝐴𝑖 ∩ 𝐵 determinada por la regla general de la multiplicación
𝑷(𝑨𝒊|𝑩) Probabilidad a posteriori. Probabilidad revisada a partir de información adicional
Ejemplo. Suponiendo que el 5% de los habitantes de una ciudad tienen una
enfermedad propia de la región. Sea:
𝐴1 El evento “padece la enfermedad” y 𝐴2 el evento “no padece la enfermedad”.
Por lo tanto, si se selecciona al azar a una persona de esta ciudad, la
probabilidad de que la persona elegida padezca la enfermedad es:
𝑃(𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑝 𝑝𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝) = 𝑃(𝐴1) = 0.05
Esta probabilidad recibe el nombre de probabilidad a priori, porque es la
probabilidad que se asigna antes de obtener los datos empíricos.
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Por lo tanto, la probabilidad a priori de una persona que no padezca la
enfermedad es:
𝑃(𝑒𝑛 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑝 𝑝𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝) = 𝑃(𝐴2) = 1 − 0.05 = 0.95
Para el diagnóstico de la enfermedad se efectúa una prueba de laboratorio, pero
no es muy precisa.
Sea 𝐵 el evento “la prueba revela la evidencia de la enfermedad” .
Suponiendo que la evidencia histórica muestra que, si una persona padece
realmente la enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique su presencia
es de 0.9. De acuerdo con la probabilidad condicional se tiene que:
𝑃(𝐵|𝐴1) = 0.9
Suponiendo la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la
enfermedad en una persona que en realidad no la padece es de 0.15.
𝑃(𝐵|𝐴2) = 0.15
Al elegir a una persona de esta ciudad al azar y aplicarle la prueba los resultados
indicaron que la enfermedad está presente. ¿Cuál es la probabilidad de que la
persona en realidad padezca la enfermedad? Lo que se desea conocer, en
forma simbólica es: 𝑃(𝐴1|𝐵) que se interpreta
𝑃(𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑙𝑝 𝑝𝑒𝑒𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝|𝑙𝑝 𝑝𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑝𝑟𝑝𝑙𝑟𝑝 𝑝𝑛𝑟𝑝𝑟𝑝𝑝𝑝) . La probabilidad 𝑃(𝐴1|𝐵)
recibe el nombre de probabilidad a posteriori.
Ahora, con el teorema de Bayes se determina probabilidad a posteriori:
𝑃(𝐴1|𝐵) =𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)
𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2) =(0.05)(0.9)
(0.05)(0.9) + (0.95)(0.15) = 0.24
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De esta manera, la probabilidad de que una persona padezca la enfermedad,
dado que la prueba fue positiva, es de 0.24. Pero, ¿cómo interpretarías el
resultado?
Si se selecciona el azar a una persona de la población, la probabilidad de que se
encuentre enferma es de 0.05. Si se le somete a la prueba y resulta positiva, la
probabilidad de que la persona padezca realmente la enfermedad se incrementa
casi cinco veces, de 0.05 a 0.24.
La fórmula del teorema de Bayes para 𝑒 eventos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, …, 𝐴𝑛 se transforma
en:
𝑃(𝐴𝑖|𝐵) =𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)
𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2) + ⋯+ 𝑃(𝐴𝑛)(𝐵|𝐴𝑛)
Para cada valor de 𝑝, donde 𝑝 = 1, 2, … , 𝑒.
Cuando se desarrolla la fórmula de Bayes, se puede apoyar en un diagrama de
árbol que permite visualizar las formas en que se llevan a cabo las agrupaciones
de los elementos.
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1.7 Permutaciones y combinaciones
¿Qué diferencias hay entre permutación y combinación?
Considera un grupo de 𝑒 individuos u objetos distintos. ¿Cuántas maneras
existen de seleccionar un subconjunto de tamaño 𝑘 del grupo? Por ejemplo, en
la Selección Mexicana de futbol que tuvo 23 jugadores convocados, ¿cuántas
maneras existen de seleccionar a 9 jugadores para una alineación? O si tienes 6
gorras en tu guardarropa y deseas elegir 2 para usarlas el fin de semana,
¿cuántas maneras existen de hacerlo?
Imagen recuperada de: laprensa.hn
Para responder a la pregunta general que se plantea, se requiere distinguir entre
dos casos:
• En algunas situaciones, como en el caso del equipo de futbol, el orden de
la selección es importante. Por ejemplo, con el “Chicharito” de portero y
Memo Ochoa de delantero se obtiene una alineación diferente de aquella
con el “Chicharito de delantero y Memo Ochoa como portero.
• A menudo, sin embargo, el orden no es importante y a nadie le interesa
qué personas u objetos sean seleccionados, como sería el caso de elegir
gorras.
Permutaciones. Un arreglo de objetos en un orden definido sin repeticiones es
una permutación.
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En general se dice que:
Una selección ordenada de 𝒓 objetos sin repetición tomados de 𝒏 objetos distintos se
llama, una permutación de los 𝒏 objetos tomados 𝒓 a la vez. El número de estas
permutaciones se denota 𝒏𝑷𝒓 y está dado por (Haeussler, Paul, & Wood, 2008):
𝒏𝑷𝒓 = 𝒏(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐)⋯ (𝒏 − 𝒓 + 𝟏) (𝟏)
Y en términos de factoriales el número de permutaciones es:
𝒏𝑷𝒓 =𝒏!
(𝒏 − 𝒓)! (𝟐)
Por ejemplo, en una clínica veterinaria se cuenta con ocho jaulas, aunque sólo
hay tres espacios disponibles en el área de peluquería para las jaulas.
¿De cuántas maneras se pueden distribuir las ocho jaulas en los tres espacios disponibles?
Hay 8 posibilidades para el primer espacio disponible en el área de peluquería, 7
para el segundo espacio (uno se ha agotado) y 6 para el tercer espacio. Por
consiguiente:
𝒏𝑷𝒓 = (8)(7)(6) = 336
Es decir, hay un total de 336 diferentes distribuciones posibles. El resultado
también podría obtenerse aplicando la ecuación (2). Si 𝑒 = 8 jaulas y 𝑒 = 3
espacios disponibles, se tiene
𝒏𝑷𝒓 =𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!=
8!(8 − 3)!
=(8)(7)(6)5!
5!= 336
Hasta aquí has visto las permutaciones de objetos que eran diferentes entre sí.
Ahora verás el caso donde algunos de los objetos son iguales (o repetidos).
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Cuando algunos de los objetos están repetidos, el número de permutaciones
distinguibles de 𝑒 objetos tales que 𝑒1 sean de un tipo, 𝑒2 sean de un segundo tipo, y 𝑒𝑘
sean del k-ésimo tipo, es
𝑷𝒏𝟏𝒏𝟐⋯𝒏𝒌𝒏 =
𝒏!𝒏𝟏!𝒏𝟐!⋯𝒏𝒌!
Con 𝑒1 + 𝑒2 + ⋯+ 𝑒𝑘 = 𝑒
Por ejemplo, ¿cuántas permutaciones distinguibles de las letras son posibles
para la palabra CORRER?
En este caso hay 6 letras con la R repetida 3 veces. Por lo tanto, el número de
arreglos es:
6!3!
= (6)(5)(4) = 120
¿Qué otro tipo de permutaciones conoces?
Combinaciones. Un arreglo de objetos en que el orden no importa es una
combinación.
Si la selección se hace considerando que el orden de los elementos no es de
interés, entonces es simplemente un subconjunto de 𝑒 elementos de un conjunto
con 𝑒 elementos y se llama una combinación de 𝑒 objetos tomados 𝑒 a la vez.
El número de estas combinaciones se denota 𝒏𝒏𝒓, o 𝒏𝒓𝒏, o �𝒏𝒓�.
Debido a que en las combinaciones no interesa el orden de los elementos en
cada arreglo, es equivalente a tener permutaciones con elementos repetidos.
El número de combinaciones de 𝑒 elementos con los cuales se forman arreglos
conteniendo 𝑒 elementos es
𝒏𝒏𝒓 =𝒏𝑷𝒓𝒓!
=𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!=𝒏(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)⋯ (𝒏 − 𝒓 + 𝟏)
𝒓!
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Por ejemplo, si en la clase de Biología hay 28 alumnos, ¿cuántos equipos
diferentes de cuatro miembros son posibles para las prácticas de laboratorio?
En este caso, el orden no es importante porque, independientemente de cómo
se dispongan los elementos del equipo, se tiene el mismo equipo. Así
simplemente se tiene que calcular el número de combinaciones de 28 elementos
tomados 4 a la vez.
𝒏𝒏𝒓 =𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!=
28!4! (28 − 4)!
=28!
4! 24!=
(28)(27)(26)(25)24!(4)(3)(2)(1)24!
= 20 475
Existen 20 475 posibles combinaciones.
Recuerda que si se hace una selección de objetos y el orden importa, entonces
deben considerarse las permutaciones. Si el orden no importa, considera las
combinaciones.
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Conclusión
El teorema de Bayes es un método que consiste en revisar una probabilidad,
dado que se ha logrado información adicional. En el caso de dos eventos
mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.
Las permutaciones y combinaciones son dos técnicas de conteo que te permiten
determinar el número de resultados de un experimento. Una permutación es un
arreglo en el que el orden de los objetos seleccionados de un conjunto es
importante; en tanto que, una combinación es un arreglo en el que el orden de
los objetos seleccionados de un conjunto específico no es importante.
Los conceptos que se presentaron en esta sesión constituyen un importante
soporte para el conocimiento de las distribuciones básicas de probabilidad de
variables discretas o continuas que se verán más adelante.
¿Cómo describir la probabilidad de que un evento se presente en el futuro?
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Para aprender más
¿Cómo identificar cuando podemos aplicar el teorema de Bayes, y en qué problemas podemos aplicarlo y cómo hacerlo correctamente?
• Cabrera García, S. (2011). Teorema de Bayes. Obtenido de Universidad
Politécnica de Valéncia, disponible en:
https://www.youtube.com/watch?v=jKXl_TcPJnM
¿Es posible crear poesía a partir de reglas matemáticas?
Matemáticas para escribir un poema
Ciencia y literatura se han entremezclado en numerosas ocasiones. Uno de estos
encuentros fue el taller de los oulipos. En los años 60 del siglo XX, un grupo de
escritores y matemáticos franceses, encabezados por el escritor Raymond Queneau y el
matemático François Le Lionnais, plantearon una vía de creación literaria que
combinase las ‘restricciones’ racionales de las matemáticas y de la palabra. Nacía así
el taller de literatura potencial (en francés Oulipo, de Ouvroir
de littérature potentielle).
La propuesta surgió en contraposición a las corrientes dominantes de la época: el
dadaísmo y el surrealismo, que proponían la búsqueda de nuevas estructuras literarias
a través de lo irracional y el inconsciente. Por el contrario, los oulipos, como se conoce a
los seguidores del taller, aplicaron reglas matemáticas a las obras literarias. Entre los
integrantes de este grupo, formado originalmente por 37 escritores y matemáticos, se
encuentran nombres tan conocidos como Georges Perec, Marcel Duchamp e Italo
Calvino.
¿Y qué tipo de relaciones creaban entre literatura y matemáticas? El escritor francés
Jean Lescure creó, por ejemplo, el método ‘S+7’, en el que aplicaba el concepto
matemático de la permutación. Como explica Ágata Timón, del Instituto de Ciencias
Matemáticas, una permutación es una reordenación de un conjunto. “Por ejemplo,
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partiendo del conjunto {1, 2, 3}, una permutación sería {2, 3, 1}. Se cambia el 1 por el 2,
el 2 por el 3, y el 3 por el 1”. Aplicado a la literatura, el conjunto sería un verso, poema u
oración, con un subconjunto de palabras, que se reordenan con una regla prefijada. La
técnica “S+7” utiliza un texto base, que debe ser elegido previamente, en el que se
sustituye cada sustantivo por el séptimo sustantivo que le siga en un diccionario. “De
esta manera, el verso de Pablo Neruda El viento de la noche gira en el cielo y canta, del
poema Puedo escribir los versos más tristes esta noche, se transformaría, utilizando el
diccionario online wordreference, en: La vigía del noctámbulo gira en el cieno y canta”,
ejemplifica Timón.
A partir de formas geométricas se crearon los poemas ‘bola de nieve’, cuyo primer
verso está formado por una palabra de una única letra, el segundo de dos letras, el
tercero de tres, el cuarto de cuatro… y así sucesivamente sin un fin determinado (es
decir, con una longitud n). También puede hacerse a la inversa (‘bola de nieve derritiéndose’) o en forma de rombo, empezando por una letra e ir en aumento para
luego volver a bajar a una única letra por verso, hasta dibujar un rombo.
Otra figura que sirvió de referencia fue la banda o cinta de Möbius, una superficie con
una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no
orientable. Fue co-descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes
August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Basándose en ella, los
oulipos proponían un ejercicio literario que consiste en tomar un papel rectangular (10
veces más largo que ancho): primero se escribe la mitad del poema por el lado más
ancho. Después se gira y por el lado más largo se escribe la segunda mitad del poema.
Al pegar la tira como una banda de Möbius surge un nuevo poema.
Basándose en las combinaciones matemáticas, Queneau creó sus famosos Cien mil
millones de poemas, publicados en 1961. Las combinaciones son un conjunto de
elementos donde el orden no importa. Cuando el orden importa, se trata de
permutaciones, que veíamos antes con la técnica ‘S+7’. Queneau tomó como punto de
partida un soneto, sobre el que fue combinando versos que mantenían las mismas
características métricas. La obra está compuesta por diez hojas, cada una separada en
catorce bandas horizontales; en cada una de ellas está escrito un verso. Las diez
versiones de cada verso tienen la misma longitud y rima. La lectura se puede hacer por
hojas o combinando las bandas laterales, creando así diferentes sonetos. Tal y como
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decía Queneau: “Hay entonces 1014 que equivalen a 100.000.000.000.000 poemas potenciales”. Y añade: “Contando 45 segundos para leer un soneto y 15 para cambiar
las hojas, a 8 horas por día, 200 días por año, tenemos para más de un millón de siglos
de lectura”. Para tener en cuenta si se lo lleva una de viaje. Eso sí, en este caso mejor
en papel que en libro electrónico.
Fuente: Gulis, M. (10 de octubre de 2014). Matemáticas para escribir un poema.
Obtenido de Ciencia para llevar. Consejo superior de Investigaciones Científicas
(CSIC): http://blogs.20minutos.es/ciencia-para-llevar-csic/2014/10/10/matematicas-para-
escribir-un-poema/
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones:
Con la finalidad de profundizar en los conocimientos adquiridos a lo largo de esta
sesión, ahora tendrás que realizar una actividad en la cual deberás resolver los
siguientes problemas.
1. Una cuarta parte de los residentes de un fraccionamiento dejan las
puertas de sus casas abiertas cuando salen de su hogar. El jefe de policía
de la localidad calcula que a 5% de las casas les robaron algo, pero sólo
al 1% de las casas con puertas cerradas les robaron algo. Si roban en
una casa, ¿cuál es la probabilidad de que se hayan dejado las puertas
abiertas?
2. Un encuestador nacional ha formulado 15 preguntas diseñadas para
medir el desempeño de la Cámara de Diputados. El encuestador
seleccionará 10 de las preguntas. ¿Cuántas distribuciones de las 10
preguntas se pueden formar tomando en cuenta el orden?
3. ¿En cuántas formas puede entrevistar un encuestador para una
organización de investigación de mercado a tres de las veinte familias que
viven en un condominio? (Argumenta tu respuesta)
4. En una elección primaria, hay cuatro candidatos para ocupar el puesto de
presidente municipal, cinco para el puesto de diputado local y dos para
diputado federal
a) ¿En cuántas formas puede marcar su boleta un votante para elegir a
los tres funcionarios?
b) ¿En cuántas formas puede votar una persona si ejerce su opinión de
no votar por un candidato para ocupar alguno o todos los puestos?
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5. Un directivo de publicidad estudia los hábitos de ver televisión de
hombres y mujeres casados durante las horas de mayor audiencia. Con
base en los registros anteriores, el directivo ha determinado que durante
las horas de mayor audiencia los maridos ven televisión el 60% del tiempo.
Cuando el marido ve televisión, la esposa también lo hace el 40% del
tiempo. Cuando el marido no ve la televisión, la esposa ve televisión el 30%
del tiempo. Encuentra la probabilidad de que:
a) Si la esposa ve televisión, el esposo también lo haga.
b) La esposa vea televisión durante las horas de mayor audiencia.
Puedes realizarlo en un procesador de textos, al final tendrás que guardarlo en
formato PDF, y entregarlo de acuerdo a las indicaciones de tu profesor.
Recuerda que esta actividad te ayudará a reafirmar los fundamentos vistos en
esta sesión, que pueden ser aplicados en los diferentes contextos de la vida real
y cotidiana, con fenómenos aleatorios que ocurren en la industria, las ciencias
sociales, los estudios de mercado, los juegos de azar, etc.
Esta actividad representa el 5% de tu calificación y se tomará en cuenta lo
siguiente:
• Tus datos generales.
• Ortografía y redacción.
• Título.
• Procedimiento y resultados.
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Bibliografía
• Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística
para administración y economía. México: Cengage Learning.
• Anderson, D. R., Sweeney, D. J., Williams, T. A., & Martin, K. (2011).
Métodos cuantitativos para los negocios (11 ed.). México: Cengage
Learning.
• Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias
(8 ed.). México: Cengage Learning.
• Gutiérrez, G. E., & Vladimirovna, P. O. (2014). Probabilidad y estadística.
Aplicaciones a la ingeniería y las ciencias. México: Patria.
• Haeussler, E. F., Paul, R. S., & Wood, R. J. (2008). Matemáticas para
administración y economía (12 ed.). México: Pearson Educación.
• Hines, W. W., & Montgomery, D. C. (1996). Probabilidad y estadística
para ingeniería y administración (2 ed.). México: Compañía Editorial
Continental.
• Levin, R. I., & Rubin, D. S. (2004). Estadística para administración y
economía (7 ed.). México: Pearson Educación.
• Lind, D. A., Marchal, W. G., & Wathen, S. A. (2012). Estadística aplicada a
los negocios y economía (15 ed.). México: McGraw-Hill.
• Mendenhall, W., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2015). Introducción a la
probabilidad y estadística (14 ed.). México: Cengage Learning.
• Render, B., Stair, R. M., & Hanna, M. E. (2012). Métodos cuantitativos
para los negocios (11 ed.). México: Pearson Educación.
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• Triola, M. F., & Pineda A. M. L. (2004). Probabilidad y Estadística. México:
Pearson Education.
• Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (1999). Probabilidad y
estadística para ingenieros (6 ed.). México: Prentice-Hall.
Cibergrafía
• Cabrera, G. S. (2011). Teorema de Bayes. Obtenido de Universidad
Politécnica de Valencia:
https://www.youtube.com/watch?v=jKXl_TcPJnM
• Gulis, M. (2014). Matemáticas para escribir un poema. Obtenido de
Ciencia para llevar. Consejo superior de Investigaciones Científicas
(CSIC):
http://blogs.20minutos.es/ciencia-para-llevar-
csic/2014/10/10/matematicas-para-escribir-un-poema/
