Estadística Espacial Como Herramienta Para el Análisis de Datos ... · ’60 en el area de miner a y geolog a Se conoce tambi en como Teor a de Variables Regionalizadas. Departamento

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Prediccion espacial Introduccion Geoestadıstica

Prediccion Espacial

1 Introduccion

2 Geoestadıstica

Departamento de Probabilidad y Estadıstica IIMAS, UNAM

Estadıstica Espacial



Prediccion Espacial

1 Introduccion

2 Geoestadıstica





Geoestadıstica.

En geoestadıstica consideramos fenomenos aleatorios{Z(s) : s ∈ D ⊂ Rd

}con ındice contınuo.

Ejemplos: pH del suelo, presion barometrica, cantidad de metalrecuperable en un mineral, concentracion de PM2.5 en la ZMVM.

D ⊂ RRd es conocida como la region de estudio.

Usualmente d ∈ {1, 2, 3} aunque formalmente se pueden considerarespacios de dimensiones mayores





Geoestadıstica.










Geoestadıstica.










Geoestadıstica.










Geoestadıstica.

Las observaciones las hacemos en un conjunto de puntos colocados demanera regular o irregular

0 2 4 6 8 10

02

46

810

este

norte

0 2 4 6 8

02

46

8

este

norte





Geoestadıstica.

La fuente de nuestras observaciones {z(s1), . . . , z(sn)} es una realizacionincompleta de un campo aleatorio (conocida como variableregionalizada).





Geoestadıstica.

Existen dos formas de analizar un Campo Aleatorio:

Modelo Determinıstico

Modelo estocastico





Geoestadıstica.

El objetivo principal del analisis espacial es la construccion de mapas quemuestren la variabilidad geografica de Z.

Como podemos hacer esto a partir de una muestra incompleta de unasola realizacion del campo aleatorio Z(s)?

La respuesta es la prediccion de Z en una gran cantidad de sitios dondeno se hizo medicion z(s).

0 2 4 6 8 10

02

46

810

este

norte





Prediccion Espacial.

Idealmente queremos que nuestras predicciones:

esten basadas en informacion local y que haya una medida de suincertidumbre

sean las mejores en su tipo (insesgadas y de varianza mınima)

permitan detectar zonas donde Z(s) > τ

permitan calcular∫D Z(u)du

produzcan mapas suavizados

Las predicciones las haremos con combinaciones lineales de los datos, esdecir, si Z(s0) es el valor a predecir,

Z∗(s0) =

n∑i=1

Z(si);n∑

i=1

λi = 1






Mapas determinısticos: Distancia inversa

Supongamos que s0 es el sitio que queremos predecir, usando los datosmuestrales

La prediccion bajo este metodo se basa en una media ponderada por elinverso de las distancias elevado a alguna potencia,

Z∗(s0) =1∑n

i=1 λi

n∑i=1

λiZ(si); λi =1

dpi0

Si definimos wi = λi/∑n

i=1 λi, entonces∑wi = 1 y

Z∗(s0) =∑n

i=1 wiz(si)






Dependiendo de la distancia a s0 y del valor de p es el peso que recibeuna observacion






¿Como podemos escoger el valor de p?. Lo mas sencillo es mediantevalidacion cruzada

Dado un valor de p, este metodo consiste en eliminar una dato a la vez ypredecirlo utilizando el resto.

Se busca el valor de p que minimice el estimador del Error CuadraticoMedio

ˆECM =1

n

∑[Z(p)(si)− z(si)]2






Ejemplo: Abundancia de Lohmaniella sp en la laguna de Chautengo, Gro.

0 10 20 30 40

010

2030

40

lohmagrid$long

lohm

agrid

$lat

0 10 20 30 40

010

2030

40

lohmagrid$long

lohm

agrid

$lat

10200 12200 9800 16200 11800

9400 880012200 11600 740019000 1080016000 11800

10200 11800 88009200 9400 182005800

11400 1380011600 20200 2320014000 2140015400 13200

10200 10400 12000 8600 9000






Usamos la biblioteca ”spatstat”de R para convertir los datos a un patronde puntos con marcas Una vez hecho esto, usamos la funcion ıdw”, para

obtener

x

y

lohmaidw

lohmaidw

x

y

lohmaidw

lohmaidw





Analisis geoestadıstico

La geoestadıstica es un area que comenzo formalmente a principios de los’60 en el area de minerıa y geologıa

Se conoce tambien como Teorıa de Variables Regionalizadas.






Las aplicaciones de la geoestadıstica abarcan areas como pesquerıas,ecologıa, y contaminacion ambiental entre otras.

El proposito principal en la mayorıa de los casos es el mapeo de lavariable de interes y la estimacion del total de Z en un area dada.

La caracterıstica distintiva de los datos geoestadısticos es que el indiceespacial s es contınuo, es decir, en la notacion Z(s) s puede ser cualquierpunto en D ⊂ Rd.






Supongan que Z denota una propiedad de interes, Esta propiedadpresenta variabilidad en el espacio.El analisis geoestadıstico comienza con la obtencion de n mediciones deZ en n localidades {s1, . . . , sn}Si s = (x, y), el resultando es una tabla

x y zx1 y1 z(s1)...

......

xn yn z(sn)





Geoestadıstica.

El supuesto de existencia de un mecanismo aleatorio le da sentido alhablar de momentos de Z(s), como:

E[Z(s)] = m(s)

o la covarianza centrada

σuv = E {[Z(u)−m(u)][Z(v)−m(v)]}





Geoestadıstica.


E[Z(s)] = m(s)


σuv = E {[Z(u)−m(u)][Z(v)−m(v)]}





Geoestadıstica.


E[Z(s)] = m(s)


σuv = E {[Z(u)−m(u)][Z(v)−m(v)]}





Geoestadıstica.


E[Z(s)] = m(s)


σuv = E {[Z(u)−m(u)][Z(v)−m(v)]}





Geoestadıstica.

La geoestadıstica ataca diferentes tipos de problemas, por ejemplo:

Prediccion del valor de Z en un punto no visitado s0 o en unvolumen V centrado en s0

Modelado de la asociacion entre Z y factores externos (Clima,entorno biologico, etc)

Delimitacion de areas crıticas (Z > Zc)

Todo esto ya sea en el caso uni o multivariado.





Geoestadıstica.










Geoestadıstica.










Geoestadıstica.










Geoestadıstica.










El primer paso por supuesto es ubicar las localidades en un mapa

-116 -114 -112 -110 -108 -106

2426

2830

32

Estaciones meteorologicas

longitud

Latitud

Una vez con la base de datos, podemos proceder al analisisgeoestadıstico.





Geoestadıstica.

Como hacer inferencias con una sola realizacion de un proceso?

Necesitamos hacer supuestos de homogeneidad.

Estos supuestos nos permitiran suponer que lo observado es valido hastacierto rango y por lo tanto podremos hacer inferencias locales.

Los supuestos de homogeneidad que haremos se conocen como supuestosde estacionariedad.





Geoestadıstica.









Geoestadıstica.









Geoestadıstica.









Geoestadıstica.

Definition

Un proceso estocastico Z(s) se dice Estrictamente Estacionario si y solosi sus distribuciones de dimension finitas son invariantes antetranslaciones, es decir,

{Z(s1), . . . , Z(sn)} = {Z(s1 + h), . . . , Z(sn + h)}

La estacionariedad estricta es difıcil que se cumpla, por lo que se puederelajar

Definition

Un proceso estocastico Z(s) se dice estacionario de segundo orden si ysolo sıE[Z(s)] = m y ademas Cov[Z(s), Z(s+ h)] = C(||h||)





Geoestadıstica.

Definition


{Z(s1), . . . , Z(sn)} = {Z(s1 + h), . . . , Z(sn + h)}


Definition






Geoestadıstica.

Definition


{Z(s1), . . . , Z(sn)} = {Z(s1 + h), . . . , Z(sn + h)}


Definition






Geoestadıstica.

Proceso Estacionario y No estaconario





Geoestadıstica.

Cuatro realizaciones de un proceso Gaussiano

0 1 2 3 4 5

01

23

45

grid$x

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5

01

23

45

grid$x

grid$y

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5

01

23

45

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5

01

23

45

grid$y

-2

-1

0

1

2



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