Estados Tensao

ESTADOS DE TENSO E DE DEFORMAO

Estado de Tenso Num PontoEstado Geral ou Triaxial de Tenso Num Ponto

F x= F y= F z=0

Figura 01

M x=0 , yz . dx .dz . dy=zy .dx . dy . dz=0 yz=zyM y=0, xz=zxM z=0 , xy= yx

Em dois planos ortogonais entre si, as componentes das tenses de cisalhamento, perpendiculares aresta comum, so iguais e formam binrios de sentidos opostos.

Sejam as componentes de tenso num plano qualquer, inclinado em relao s direes x, y e z.


1

Nas facetas paralelas escondidas, temos as mesmas componentes, de modo que:

x

y

dxdz

dy

z

zx

y

xy

xy

xz

zy

yzyx

Figura 02

Componentes de tenso num plano qualquer:

Figura 03


2

y

dAx

dAz

dA: rea do tringulo inclinado

dAx

z

x

y

x

z

x

y

z

Componentes da tenso nos planos a x, y e z:

Figura 04

Equilbrio de Foras:

Fx=0 , x . dA= x . dA x+ yx .dA y+zx . dA z F y=0 , y . dA=xy . dAx y . dAyzy . dAz F z=0 , z . dA= xz .dAx yz .dAy z . dAz

ou, matricialmente,

dA[xyz ]=[ x xy xzxy y yz xz yz z ][dA xdA ydA z ]


3

y

x

z

z

yx

x

y

xy yz

zy

zxxz

Obs.: A matriz das componentes da tenso nos planos perpendiculares a x, y e z simtrica (xy = yx, yz = zy, zx = xz)

Escrevendo dAx = nx.dA, dAy = ny.dA e dAz = nz.dA,onde nx, ny e nz so os cossenos diretores da normal n ao plano inclinado, relativos s direes x, y e z, respectivamente, temos:

[x yz ]=[ x xy xzxy y yzxz yz z ][nxn yn z ]

O estado de tenso num ponto fica determinado pelas seis componentes x, y, z, xy = yx, yz = zy, zx = xz, medidas em trs planos ortogonais entre si, que contenham o ponto. As componentes em qualquer outro plano so obtidas a partir dessas seis componentes.

A tenso resultante no plano inclinado

= x2 y2 z2

e pode ser decomposta numa componente normal e outra tangencial , tais que

= 22

com = x .n x y . n yz . n z ou

= x .nx2+ y . n y

2+ z .nz2+2. xy . nx .ny+2. yz .n y . nz+2. xz . nz . nx

Considerando que nx, ny e nz so as variveis em questo (cada conjunto nx, ny, nz define um plano que contem o ponto), a expresso acima a equao de uma superfcie central de 2a ordem. Assim sendo, girando-se o sistema de coordenadas (nx, ny, nz), pode-se obter uma equao onde so nulos os coeficientes dos produtos de coordenadas.

Se assim o fizermos, teremos

=1 .n12 2. n2

23 . n32 e


4

12=23=31=0 ,

onde as novas direes 1, 2 e 3 so chamadas de direes principais.

Os planos normais a estas direes so os chamados planos principais e as tenses normais 1, 2 e 3 so as tenses principais. Designa-se 1 2 3.

Figura 05

Tomando como referncia as direes principais, as componentes da tenso num plano qualquer seriam:

[123] = [1 0 00 2 00 0 3

][n1n2n3] ou {1=1 . n12= 2 . n23=3 . n3

}Como n x

2n y2n z

2=n12n2

2n32=1 , temos:

1 1 2

2 2 2

33 2

=1

Interpretando as componentes 1, 2 e 3 como um conjunto de variveis, a expresso acima representa um elipside cujos semi-eixos so as tenses principais 1, 2 e 3. o chamado elipside das tenses.


5

2

13

=122232

Figura 06

Da se conclui que 1 = mx e que 3 = min (no h coordenada da superfcie do elipside maior do que 1 nem menor do que 3).

Determinao das Tenses Principais:

Suponhamos que o plano inclinado um plano principal.

Figura 07

Assim, x= . n x , y= .n y , z= . nz e


6

2

1

3

1

2

3

yn

z

x

= ( = 0)

.[nxn ynz ]=[ x xy xzxy y yz xz yz z ][n xn ynz ] ou

[x xy xzxy y yzxz yz z ][n xn ynz ]=[000] (sitema homogneo)

A soluo trivial nx = ny = nz = 0 contraria a hiptese nx2 + ny2 + nz2 = 1.

Para que um sistema homogneo tenha soluo no trivial necessrio que o determinante da matriz do sistema seja nulo, isto ,

x xy xzxy y yzxz yz z=0Desenvolvendo este determinante, temos a equao do terceiro grau:

3 I 1 .2 I 2.I 3=0

ondeI 1= x y zI 2= x . y+ y . z+ z . xxy

2 yz2 xz

2

I3= x xy xzxy y yzxz yz zAs razes desta equao so:

1=I 132cos 3 Q onde, =arc cos RQ3

1=I 132cos 32400Q Q= I 1

23. I 29

1=I 132cos 31200Q R=9. I 1 . I 227 . I 32 . I 1

354


7

Como os valores das tenses principais 1, 2 e 3 independem das direes x, y e z previamente estabelecidas, os coeficientes I1, I2 e I3 tambm independem destas direes e, por isto, so chamados de Invariantes de Tenso ou Invariantes do Estado de Tenso.

Casos Particulares:a) Se I3 = 0, uma das solues nula Estado Plano ou Biaxial de Tensob) Se I2 = I3 = 0, duas solues so nulas Estado Simples ou Uniaxial de Tenso

Para determinarmos os planos principais basta substituir cada um dos valores de (1, 2, 3) no sistema homogneo e determinar, em cada caso, os cossenos diretores da normal ao plano (nx, ny e nz).

Porm, como as equaes de um sistema homogneo so linearmente dependentes, teremos, em cada caso, infinitas solues do tipo

[n xn ynz ]=[n x0n y0n z0 ]

onde um escalar diferente de zero e nxo, nyo e nzo valores numricos conhecidos, obtidos na resoluo do sistema.

A soluo nica, para cada plano principal, obtida da condio n x2n y

2n z2=1 ,

isto ,

[n xn ynz ]=1n[nx0n y0n z0 ] onde n=nx02 n y02 nz02 .


8

Crculos de Mohr:

Em muitos casos prticos, um dos planos principais reconhecido por simples observao (casos das solicitaes simples, por exemplo). Nestes casos, a determinao dos demais planos principais e das tenses principais se simplifica.

Seja determinar as componentes de tenso normal e de cisalhamento num plano qualquer paralelo a uma das trs direes principais (por exemplo, direo 3).

Figura 08

F n=0 , dS=1dScoscos 2dSsensen

=1 cos22sen

2

F t=0 , dS= 1dScossen 2sencos

=1 2sencos

A primeira expresso pode ser escrita na forma, lembrando que

cos2=1cos 2

2e sen2=

1cos22

,


9

dz

dy

dx

dSdS . cos

dS . sen

1

2

3

1

2

n

t

=11cos2

2 2

1cos 22

=1 2

21 2

2cos2

A segunda expresso pode ser escrita na forma

=12

2sen2

Estas expresses fornecem os valores das componentes de tenso normal e de cisalhamento nos planos paralelos ao eixo principal 3. De maneira anloga, podemos expressar as componentes de tenso nos planos paralelos aos demais eixos principais.

As expresses acima so, na verdade, as equaes paramtricas de uma circunferncia

x=arcosy=brsen

onde x= a tenso normaly= a tenso de cisalhamento

a , b=1 22 ,0 so as coordenadas do centro do crculo r=

123

o raio do crculo

=2 o parmetro ( o ngulo entre o plano principal 1 e o plano qualquer)

Elevando ao quadrado cada membro de cada equao e somando membro a membro, obtemos:

[122 ]2

2=[122 ]2

ou xa 2 yb 2=r 2


10

que a equao normal da circunferncia.

r= 12

2

1 22

Figura 09

Cada ponto da circunferncia representa um plano inclinado de um ngulo em relao ao plano principal 1, onde atuam componentes de tenso e iguais s suas coordenadas.

Analogamente, teremos mais dois crculos semelhantes a este: um, cuja circunferncia representa os planos paralelos direo principal 2 e outro, cuja circunferncia representa os planos paralelos direo principal 1.

Figura 10A estes crculos d-se o nome de Crculos de Mohr.


11

2

1

2r

(,)

mx

32 1

2 = 90

Pode-se demonstrar que os planos de inclinao arbitrria em relao aos eixos principais so representados pelos pontos da regio hachurada da figura acima.

Assim sendo, a mxima tenso de cisalhamento num ponto qualquer de um corpo solicitado vale

mx=1 3

2=

mxmin2

e age num plano paralelo direo principal 2 (direo da tenso principal intermediria 2), inclinado de 45o em relao aos planos principais 1 e 3 (respectivamente, os planos onde agem as mxima e mnima tenses normais 1 e 3).

Como podemos observar, pontos diametralmente opostos da circunferncia, representam planos ortogonais entre si.

Assim, podemos construir o Crculo de Mohr a partir das componentes de tenso em dois planos quaisquer ortogonais entre si, paralelos a uma direo principal.

Figura 11


12

y

x

z

y

zx

xy

yx

Adotando-se a seguinte conveno de sinais para as tenses de cisalhamento,

o Crculo de Mohr fica

xy= yx

FIGURA 12

Centro do Crculo: x y2 , 0Raio do Crculo: r= x y2 2 xy2

As tenses principais so, portanto, z, I e II, onde


13

( + ) ( - )

Ix

yII

2

yx

xy

(x + y)/2 (x - y)/2

I , II= x y

2 x y2 2 xy2

Os planos principais so o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z dados por:

tg 2P= xy

x y2

ou tg 2P=2 xy x y

Casos Particulares:a) Estado Plano de Tenso:

Figura 13b) Estado Simples de Tenso:


14

2 = 90

2 = 3 = 0

1

mx = 1 / 2

2 = 90

3 = 0

mx = 1 / 2

2 1

Figura 14

c) Estado Triaxial Uniforme de Tenso:

Figura 15

Estado de Deformao Num Pontoy

v A

w A u

xz

Figura 16

AA: deslocamento do ponto genrico A(u,v,w): componentes de vetor-deslocamento AA segundo os eixos x, y e z,

respectivamente

As deformaes lineares do ponto segundo as direes x, y e z so, respectivamente:


15

1 = 2 = 3

x = u / x, y = v / y e z = w / z.

As deformaes angulares segundo os planos xy, yz e zx so, respectivamente:

xy = u / y + v / x, yz = v / z + w / y e zx = w / x + u / z.

Estas componentes da deformao (deformaes lineares e angulares) constituem o Estado de Deformao do Ponto, isto , so suficientes para se determinar as componentes em quaisquer outras direes.

De fato, seja determinar as componentes da deformao segundo as direes arbitrrias x, y e z, tais quenxx, nxy e nxz sejam os cossenos diretores de x em relao a x, y e z, respectivamente,nyx, nyy e nyz sejam os cossenos diretores de y em relao a x, y e z, respectivamente,nzx, nzy e nzz sejam os cossenos diretores de z em relao a x, y e z, respectivamente.

Assim, podemos escrever

x = nxx.x + nyx.y + nzx.z x = nxx.x + nxy.y + nxz.zy = nxy.x + nyy.y + nzy.zou y = nyx.x + nyy.y + nyz.zz = nxz.x + nyz.y + nzz.z z = nzx.x + nzy.y + nzz.z

As variaes das componentes do deslocamento, u, v e w, so:

du= u xdxu

ydyu

zdz

dv=v xdx v

ydy v

zdz

dw=w x

dxw y

dyw z

dz

ou, matricialmente,


16

[ dudvdw ]=[u x

u y

u z

v x

v y

v z

w x

w y

w z

][dxdydz ]=[u x

u y

u z

v x

v y

v z

w x

w y

w z

][nxx n yx n zxnxy n yy n zyn xz n yz nzz ][dx 'dy 'dz ' ]A variao da componente u, por exemplo, segundo o novo sistema de eixos :

du = nxx.du + nxy.dv + nxz.dw.

Se substituirmos, nesta expresso, os valores de du, dv e dw acima indicados , poderemos deduzir que:

x '=u ' x '

=nxx2 . xnxy

2 . yn xz2 . znxx . nxy . xyn xy .n xz . yznxz .n xx . zx

que a equao de uma superfcie central de 2a ordem anloga obtida no estudo do estado de tenso. A comparao entre as duas equaes estabelece as seguintes correspondncias:

x x, y y, z z, xy 2xy, yz 2yz, zx 2zx.

Esta expresso d o valor da deformao linear numa direo qualquer, enquanto a obtida anteriormente dava o valor da tenso normal tambm numa direo qualquer.

Da, podemos afirmar que todo o estudo feito para o estado de tenso vlido para o estado de deformao, se respeitarmos as correspondncias acima.

Desta forma, existem trs direes ortogonais entre si, segundo as quais as deformaes angulares so nulas. So as direes principais, designadas por 1, 2 e 3. Os planos normais a estas direes so os chamados planos principais e as deformaes lineares segundo estas direes, 1 2 3, so as deformaes principais.


17

Tais deformaes podem ser obtidas, a exemplo do estado de tenso, pelas solues da equao

3 - I1.2 + I2. - I3 = 0

onde, I 1= x yz

I 2=x . y y . z z . x xy

2

4 yz

2

4 zx

2

4

I3= xxy2

xz2

xy2

y yz2

xz2

yz2

z so os Invariantes de Deformao ou Invariantes do Estado de

Deformao.

Casos Particulares:a) Se I3 = 0, uma das solues nula Estado Plano ou Biaxial de

Deformaob) Se I2 = I3 = 0, duas solues so nulas Estado Simples ou Uniaxial de

Deformao

Os planos principais so obtidos de maneira anloga do estado de tenso.

Os Crculos de Mohr tambm podem ser construdos analogamente aos do estado de tenso, lembrando que, no eixo horizontal marcamos as deformaes lineares e no vertical, a metade das deformaes angulares .


18

/2

mx/2 = (1 3) /2

90

32

1

Figura 17

Supondo, por exemplo, a direo z principal, as deformaes principais, normais aos planos paralelos essa direo z, so

I , II=x y

2 x y2 2xy2 2

Os planos principais so o plano perpendicular ao eixo z e os planos paralelos a z dados por:

tg 2P=xy

x y

Lei de Hooke Generalizada

Estado Geral ou Triaxial de Tenso Num Ponto

Figura 18

Sendo ij a deformao linear na direo i provocada pela tenso normal j, temos:


19

y

x

z

dy

dxdz y

xz

xy

yxyz

zy

zx xz

a) deformaes devidas a x:

xx= xE

, yx= zx= xx= x

E

b) deformaes devidas a y:

yy= yE

, xy= zy= yy= y

E

c) deformaes devidas a z:

zz= zE

, xz= yz= zz= z

E

d) deformaes devidas a xy, yz e zx:

xy= xyG

, xz=xzG

e yz= yzG

Superpondo os efeitos, temos:

x= xE

E y z

y= yE

E z x

z= zE

E x x

xy= xyG

, yz= yzG

e zx= zxG onde G=

E21

As expresses acima representam a Lei de Hooke Generalizada, isto , para o Estado Geral de Tenso.


20

Observa-se que se os eixos principais do estado de tenses so exatamente os mesmos eixos principais para o estado de deformaes.

Se no plano xy tem-se um estado plano de tenses, as deformaes neste memo plano se comportaro como em um estado plano de deformaes porm a

deformao principal z=E x x ser, em geral, diferente de zero.


21

Nos planos principais, as deformaes so:

1=1E

E 2 3

2= 2E

E31

3=3E

E 1 2

12=23=31=0

A deformao volumtrica no ponto dada por:

v=VV=

V fV iV i

onde V i=dxdydzV f=dxdydz1x 1 y1 z

v=1x 1 y1z 1=1 x yzx y xz y z x y z1

Devido hiptese das pequenas deformaes, os produtos de deformaes so valores desprezveis na presena das deformaes. Assim, a deformao volumtrica pode ser escrita, de forma aproximada, como

v= x y z= I 1=123

ou, devido Lei de Hooke,

v= x y z12

E


22

dy

dx dz

dy+y.dy

dx+x.dx

dz+z.dz

Observao:Para o Estado Triaxial Uniforme, x = y = z = , temos:

x= y= z=12

Ee

v=312

E=

K

onde K=E

312 o Mdulo de Deformao Volumtrica

do Material

Se 0, ento v 0 e se 0, ento v 0. Isto implica em dizer que 1 - 2 0 0,5. Este valor um limite para o coeficiente de Poisson, isto , no h material com este coeficiente maior do que 0,5.

Medidas de deformaes planas - rosetas

As deformaes lineares em um ponto podem ser medidas com o uso de extensmetros. O extensmetros eltricos propiciam medidas precisas das deformaes atravs do registro das variaes da corrente eltrica (quando o extensmetro se deforma, a resistncia eltrica e, por conseguinte, a corrente eltrica so alteradas).

A determinao do estado de tenso em um ponto (estado plano de tenses) pode ser feita a partir de medidas de deformaes com a utilizao de rosetas de deformao. Uma roseta de deformao composta de um conjunto de extensmetros eltricos dispostos em um dado plano e segundo direes conhecidas.

Colando-se uma roseta com 3 extensmetros sobre a superfcie de um elemento estrutural faz-se a leitura das deformaes lineares segundo estas 3 direes e calcula-se as componentes do estado de deformaes.


23

Clculo da deformao linear em uma dada direo a:

=[ x xy2

xz2

xy2

yyz2

xz2

yz2

z]{nxn ynz }

como se trata de um problema de estado plano de tenses,

xy= xz=0 e, portanto, xy=xz=0

assim,

=[ x xy2 0 xy2 y 00 0 z

]{cosasena0 }={xcosa xy2 senaxy2 cosa y sena0

}


24

xa

bc

a=xcosa xysena ; xy2cosa ysena ; 0{cosasena0 }

a= xcos2a

xy2 senacosa

xy2 cosasena y sen

2a

a= xcos2a y sen

2a xy2sen 2a

analogamente para os ngulos b e c, vem

b= xcos2b y sen

2b xy2sen 2b

c=xcos2c y sen

2c xy2sen 2c

Tem-se, assim, um sistema com 3 equaes e 3 incgnitas, cuja soluo oferece como resultado os valores das componentes de deformao no plano (x, y e xy).

Roseta 45 (so medidas as deformaes 0, 45 e 90)

fazendo o eixo x na direo 0 e o eixo y na direo 90,


25

90

45

0

x=0 y=90

45= xcos245 ysen 45

xy2sen 245

45= x12 y

12 xy2

xy=245x y

Roseta 60 (so medidas as deformaes 0, 60 e 120)

fazendo o eixo x na direo 0

x=0

60= xcos260 ysen 60

xy2sen260 = x

14 y

34xy232

120=xcos2120 ysen 120

xy2sen2120= x

14 y

34xy23

2

resolvendo o sistema de equaes, vem:


26

0

60

120

xy=2360120

y=2360 120

02

Conhecidas as componentes de deformao no plano xy e sabendo que se trata de um estado plano de tenses (z = 0, xz = yz = 0), pode-se determinar as componentes do estado tensional e a componente de deformao perpendicular ao plano xy (z) utilizando a lei de Hooke generalizada.

x= xE

E y

y= yE

E x

z=E x x

xy= xyG

multiplicando a expresso de x por e somendo-a com a expresso de y,

x y= yE1 2 ,

y=E

12 y x e x=

E1 2

x y

xy=G . xy

substituindo os valores de x e de y na expresso de z, vem

z=EE1

x y 1

z=

12x y


27

Energia Potencial de Deformao

No Estado Simples de Tenso, temos:

- Fora elementar resultante na direo x: dF x= xdA= xdydz

- Deslocamento correspondente:d x= xdx

- Energia potencial acumulada no volume elementar:

dU x=12dF xd x=

12 x xdx.dydz=

xx2dV

No Estado Geral de Tenso (usando o PSE), temos:

dU= 12 xx y y z z xyxy yz yzzx zxdV

ou, usando a Lei de Hooke Generalizada,dUdV

= 12 E[ x

2 y2 z

22 x y y z z x]1

2Gxy

2 yz2 zx

2 .

Em termos das tenses principais,dUdV

= 12 E[1

2 22 3

22 1 2 2 331] .

Suponhamos cada estado de tenso como a superposio de dois outros estados tais que:

e que a variao do volume do estado (1) seja a mesma do estado resultante, isto , a variao do volume do estado (2) seja nula.

Assim, a deformao volumtrica do estado (2)


28

x x

dxdzdy

dUx

ddx

dFx

dF

13

2

=

+ 1'

3'

2'

(1) (2)

v = 1 + 2 + 3 = 0 (1 + 2 + 3).(1 - 2) = 0

Como esta relao vlida para qualquer material (qualquer valor de ),1 + 2 + 3 = 0

De acordo com a suposio acima,1 = + 12 = + 23 = + 3

Somando as expresses acima membro a membro, temos:

1 + 2 + 3 = 3 + 1 + 2 + 3 = 3

Da, conclumos que as componentes dos estados (1) e (2) so:

=123

3,

1 '=1 ,2 '=2 e3 '= 3 .

Como o estado (1) no realiza trabalho nos deslocamentos originados pelas foras do estado (2) e vice-versa, podemos afirmar:

dUdV

=dU vdV

dU ddV

onde Uv a energia de variao da volume eUd a energia de variao da forma (energia de distoro)

Substituindo as componentes de tenso do estado (1) na expresso da energia de deformao, temos:

dU vdV

=32122 E

dU vdV

=1 2 3212

6 Eou


29

dU vdV

= x y z212

6 Eou

dU vdV

= I 1212

6 E

onde I1 o primeiro invariante de tenso.

dU ddV

= dUdV

dU vdV

,

dU ddV =[1 2

2 232 31

2]16 Eou

dU ddV

=[ x y2 y z

2 z x 2]1

6 E xy

2 yz2 zx

2 2G

Observao:

Para o estado simples de tenso, 1 = , 2 = 3 = 0 (trao) ou 1 = 2 = 0, 3 = (compresso), temos

dU vdV

= 2126 E

edU ddV

= 213 E

dUdV

=dU vdV

dU ddV

= 2

2 E=

2.

Para o estado de cisalhamento puro, 1 = - 3 = , 2 = 0, temos:

dU vdV

=0 e dU ddV

= 21E

.

Para o estado triaxial uniforme, 1 = 2 = 3 = , temos:

dU vdV

=32122 E

e dU ddV

=0 .


30

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