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ARCH y GARCH
Series de tiempo
EstadısticaMiguel
´
Angel Chong R.
14 de mayo del 2013
Miguel Chong Series de tiempo
ARCH y GARCH
Modelos estacionales multiplicativos y estacionarios
En la mayor parte de los casos los datos no solo estan correlacionados
con observaciones que estan separadas por un multiplo de s, sino que
tambien pueden estar correlacionados con observaciones mas cercanas. A
continuacion definiremos una familia de modelos que combinen efectos
estacionales y no estacionales.
Definicion
Diremos que {Xt}tes un proceso estacional multiplicativo, con periodo s,y lo denotamos como ARMA(p, q)⇥ARMA(P,Q)S si el proceso se escribe
como
�p(B)�P(Bs)Xt = ✓q(B)⇥Q(B
s)✏t ,
donde {✏t}t es ruido blanco y los polinomios de retraso son los siguientes:
�p(z) = 1� �1B � · · ·� �pBp,
�P(z) = 1� �1Bs � · · ·� �PB
Ps,
✓q(z) = 1 + ✓1B + · · ·+ ✓qBq,
⇥Q(z) = 1 +⇥1Bs+ · · ·+⇥QB
Qs.
Miguel Chong Series de tiempo
ARCH y GARCH
Modelos estacionales no estacionarios
Si tenemos una serie de la forma Xt = mt + St + Yt , vimos que vıa difierenciassimples rd = (1� B)d podıamos eliminar la componente mt y hablamos deluso de la diferencia estacional rD
s = (1� B s)D , para eliminar la componenteSt .
Estos los operadores los usaremos para describir el modelo mas general, esdecir, una serie que tiene tanto una componente de tendencia como el de unaparte estacional.
Definicion Sean d ,D 2 Z enteros no negativos. Diremos que {Xt}tes unproceso auto-regresivo de promedios moviles integrado estacional multi-plicativo de periodo s, denotado por ARIMA(p, d , q) ⇥ ARIMA(P,D,Q)s oSARIMA(p, d , q)⇥ (P,D,Q)S si el proceso
Yt = (1� B)d⇣1� BS
⌘DXt ,
es un proceso ARMA(p, q)⇥ ARMA(P,Q)S causal
�p(B)�P(Bs)Yt = ✓q(B)⇥Q(B
s)✏t ,
donde {✏t}t es ruido blanco.Miguel Chong Series de tiempo
ARCH y GARCH
1Identifica el modelo SARIMA(p, d , q)⇥ (P,D,Q)S
�1� 0.8B + 0.25B2
�rr12Xt =
�1� 0.7B2
� �1� 0.5B12
�✏t ,
Xt = (1 + 0.2B)�1� 0.8B8
�✏t .
2Como se ve la ecuacion de los modelos
1 SARIMA(1, 0, 2)⇥ (0, 1, 1)3,2 SARIMA(1, 1, 2)⇥ (2, 1, 1)2,
Miguel Chong Series de tiempo
ARCH y GARCH
Metodologıa de Box-Jenkins para modelos ARIMAestacionales
Etapa de identificacion de los ordenes p, d , q,P,D y Q.
Una vez que hemos introducido una familia de proceso nuestro objetivo sera,dada una serie de tiempo observada {xt}Nt=1, encontrar un(os) modelo( de esafamilia del cual podamos suponer que nuestra serie observada sea un elementomuestral. Usando el principio de parsimonia, es decir usar el modelo con elmenor numero de parametros posibles.
Etapa 1
Identificación de
los parámetros
d,D,p,P,q y Q
Etapa 2
Estimación de
los coeficientes
Etapa 3
Verificación de
los supuestos
El modelo
cumple con
los supuestos
Usar el modelo
para hacer
predicción
sí
No
Miguel Chong Series de tiempo
ARCH y GARCH
Identificacion del modelo, esta parte la podemos dividir en dos
partes:
1Buscamos la estructura no estacionaria (si es que la hay), esdecir filtrar la parte de tendencia y/o parte estacional, para
quedarnos con la parte estacionaria.
2Una vez obtenida la parte estacionaria buscaremos cual es el
modelo ARMA que mejor ajusta esta parte.
En otras palabras buscamos encontrar una transformacion de los
datos originales de tal forma que obtengamos una serie
estacionaria. Aquı tenemos dos posibles tipos de trasformaciones
posibles
Miguel Chong Series de tiempo
ARCH y GARCH
Cuando graficamos la serie de tiempo observada y notamos que lavarianza no es constante, una forma de corregir este problema es aplicaruna transformacion del tipo Box Cox a los datos, es decir
T (Xt) =
(X�t �1
� si � 6= 0
log (Xt) si � = 0.
Cuando graficamos la serie de tiempo observada y notamos que no tiene
una media costante es recomendable aplicarle el operador diferencia r;
anteriormente habıamos platicado que el operador diferencia eliminaba
tendencias lineales, mt = a0 + a1t, y que el operador diferenica aplicado
dos veces, r2, elimina tendencias cuadraticas, mt = a0 + a1t + a2t2. En
la practica no hacen falta diferenciar mas de dos veces una serie para
quitarle el componente de tendencia.Algunas veces las series de tiempo veces presentan un componenteestacional St con periodo s, esto lo podemos notar de manera grafica apartir de la acf muestral, ya que las autocorrelaciones son muysignificativa en los lag�s s, 2s, 3s, 4s, . . . y decrece de manera lenta. Enestos casos es aconsejable aplicarle a la serie una diferencia estacionalrs = (1� B s), no es comun que se requiera aplicar una diferencia masde una vez.
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1Encontrar d y D tal que la serie
Yt = (1� B)d (1� Bs)
D T (Xt) tenga aspecto estacionario.
Notemos que la serie la serie de tiempo original Xt corre de
los ındices t 2 {1, 2, . . . , n}, mientras que la serie estacionaria
Yt corre de los ındices t 2 {d + sD + 1, . . . , n}.2
Examinar la ACF y la PACF muestrales asociadas a {Yt}tpara aquellos enteros que son multiplos de s, (identificar losordenes de P y Q del modelo).
Si b⇢(·) y ˆ�k k son la ACF y la PACF muestral respectivamente
de la serie {Yt}t , entonces P y Q pueden seleccionarse de
forma tal que, b⇢(ks) y ˆ�sk sk con k = 1, 2, . . .sea compatible
con la ACF y la PACF teoricas del modelo ARMA(P,Q)s .
3Los ordenes de p y q deben ser seleccionados de forma tal que:
b⇢(1), . . . , b⇢(s � 1) sea complatible con la ACF teorica y
ˆ�1 1, . . . , ˆ�s�1 s�1 sea complatible con la PACF la teorica de
un proceso ARMA(p, q).
En las aplicaciones es usual que d 2 {0, 1, 2} y D 2 {0, 1}.Miguel Chong Series de tiempo
ARCH y GARCH
Modelos heterocedasticos condicionales
Introduccion
Supongamos que tenemos una serie de ruido blanco {Yt} 1
centrada en una constante µ. Si las variables Yt pudieramos probar
que provienen de una normal y si ademas pudieramos ver que no
son correlacionadas esto nos garantizarıa la independencia de la
serie {Yt}, y no por lo tanto la informacion del pasado de {Yt} no
la necesitamos para explicar el futuro.
Los modelos ARCH(r) introducidos por Engle en 1982, buscan
relajan la hipotesis de normalidad y perminten que tengamos
procesos de ruido blanco formado por variables dependientes, es
decir, que tendremos una serie no correlacionada pero dependiente.
Una clase de modelos con esta propiedad son los ARCH y GARCH.
1Esta puede ser la serie de residuos obtenıda despues de ajustar un modeloARMA a un conjunto de datos.
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Por ejemplo si {It}t2T es la evolucion de un activo entonces los
rendimientos de un activo pueden ser medidos por la variable
Rt = log⇣
ItIt�1
⌘o Rt = 100 · log
⇣It
It�1
⌘si lo queremos en terminos
porcentuales.
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DefinicionSea {Yt}t2Z es un modelo autorregresivo heterocedastico condi-
cional, y lo denotarmos ARCH(r) si
Yt � µ = �tUt , donde
�2t = ↵0 +
rX
j=1
↵j (Yt�j � µ)2 . (1)
↵0 > 0, ↵j � 0 con j 2 {1, 2, . . . , r}, ademas las ↵0s deben cumplir
ciertas condiciones para que la varianza del proceso {Yt}t2Z tenga
varianza.
con {Ut}t2Z son v.a.i.i.d. normales cero uno y
los procesos�t y Ut son independientes
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Definamos a Fu como el conjunto de variables aleatorias que
contiene toda la informacion hasta el instante u de siguiente
manera
Fu := {Ys : s u, s 2 Z}= {Yu,Yu�1,Yu�2, . . .} .
Observaciones
1 �t es funcion de las variables que definen el conjunto Ft�1,
2 Ut es independiente de las variables que definen el conjunto
Ft�1.
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Algunas caracterısticas del proceso ARCH(1)
A continuacion nos centraremos en el proceso ARCH(1),
Yt � µ = �tUt , donde �2t = ↵0 + ↵1 (Yt�1 � µ)2 y veremos
algunas de sus propiedades.
1) E [Yt ] = µ y E [Yt |Ft�1] = µ
2) Var [Yt ] =↵0
1�↵1, si 0 ↵1 < 1, y
Var [Yt |Ft�1] = �2t
3) Cov (Yt ,Yt�k) = 0,
Por lo tanto de las propiedades 1), 2) y 3) concluimos que {Yt}t2Zes ruido blanco centrado en µ y {Xt}t2Z = {Yt � µ}t2Zes ruidoblanco centrado en 0.
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4) Tenemos que el proceso centrado en cero es igual a
X 2t = �2
tU2t por lo tanto X 2
t � �2tU
2t = 0, restando �2
t
de ambos lados de la ecuacion tenemos,
X 2t � �2
tU2t + �2
t = �2t sustituyendo por lo que vale
�2t tenemos que , obtenemos que
X 2t �
��2tU
2t � �2
t
�= ↵0 + ↵1X
2t�1. Si llamamos a
Zt = �2tU
2t � �2
t entonces notemos que podemos
escribir a X 2t = ↵0 + ↵1X
2t�1 + Zt , que es un AR(1)
si logramos probar que Zt es ruido blanco. Notemos
que Zt lo podemos escribir como
Zt =
8><
>:
X 2t � �2
t
�2t
�U2t � 1
�.
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i) Entonces hay que probar que E [Zt ] es constante.
E [Zt ] = 0
ii) {Zt} es no correlacionada,
Cov (Zt ,Zt�k) = 0
iii) Por ultimo que la varianza de Zt no depende del tiempo.
Var (Zt) =
2↵20 (1 + ↵1)
(1� ↵1)�1� 3↵2
1
� ,
m4 = E⇥X 4t�1
⇤=
3↵20 (1 + ↵1)
(1� ↵1)�1� 3↵2
1
� , siempre que ↵21 <
13 .
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Entonces X 2t = ↵0 + ↵1X
2t�1 + Zt es un AR(1) y por lo tanto la
acf del cuadrado de las serie sera
�X 2 (k) =
Var (Zt)↵k1
1� ↵21
=
2↵20 (1 + ↵1)
(1� ↵1)�1� 3↵2
1
� ↵k1
1� ↵21
=
2↵20↵
k1
(1� ↵1)2 �
1� 3↵21
� .
⇢X 2 (k) = ↵k1 .
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5) El modelo ARCH(1) tiene colas mas pesadas que una
distribucion Normal.
Si ↵1 <13 calculemos la kurtosis de la serie {Xt},
K (Xt) =
m4
(Var (Xt))2
=
3↵20 (1 + ↵1)
(1� ↵1)�1� 3↵2
1
� (1� ↵1)2
↵20
=
3 (1 + ↵1) (1� ↵1)�1� 3↵2
1
�
=
3
�1� ↵2
1
��1� 3↵2
1
� > 3.
Es decir que es mas probable que aparezcan outliers en el
ARCH(1) que en un proceso de ruido blanco Gaussiano. Esto es lo
que pasa habitualmente en los rendimientos de un activo.
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Modelos GARCH
Los modelos ARCH se pueden generalizar asumiendo que la varianzacondicional del proceso no solo esta relacionada con retrasos de los cuadradosde la serie
�X 2
t
, sino que tambien con las varianzas condicionales pasadas�
�2t
.
DefinicionSea {Xt}t2Z ⌘ {Yt � µ}t2Z es un modelo autorregresivo heterocedastico condi-cional generalizado, y lo denotarmos GARCH(r , s) si
Xt = �tUt , donde
�2t = ↵0 +
rX
j=1
↵jX2t�j +
sX
j=1
�j�2t�j .
↵0 > 0 y ↵j � 0 con j 2 {1, 2, . . . , r} y �j � 0 con j 2 {1, 2, . . . , s}, ademas las↵0s y las �0s deben cumplir ciertas condiciones para que la varianza del proceso{Yt}t2Z tenga varianza.
con {Ut}t2Z son v.a.i.i.d. normales cero uno y los procesos�t y Ut son indepen-
dientes
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Propiedades del modelo GARCH(1, 1)
Podemos ver que si {Xt}t2Z es un proceso GARCH(1, 1)
Xt = �tUt , donde
�2t = ↵0 + ↵1X
2t�1 + �1�
2t�1.
↵0 > 0 , ↵1 � 0 y �1 � 0, con {Ut}t2Z son v.a.i.i.d. normales con
media cero y varianza uno y los procesos�t y Ut son
independientes entonces; {Xt}t2Z es ruido blanco centrado en 0 ,
donde Var [Xt ] =↵0
1�↵1��1, y Var (Xt |Ft�1) =
↵0
1�(
↵j+�j), si
↵j + �j < 1.
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