Estadistica Inductiva[1]GUIA

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA

LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“SIMÓN RODRIGUEZ”

NÚCLEO: PALO VERDE

CÁTEDRA: Estadística II

Curso elemental de

Estadística Inductiva o Inferencial.

Blog: eststredel.blogspot.com

Email: [email protected]

Facilitador:

Prof. Lisber Stredel

Palo Verde, 04 de agosto de 2011



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Contenido

Estadística Inductiva o Inferencial. ...................................................................................................... 7

1. Números Índices. ............................................................................................................................. 8

Definición de Números Índices .................................................................................................. 9

Tipos de Números Índices ........................................................................................................... 9

Índice de precios,.......................................................................................................................... 9

Índice de cantidad, ..................................................................................................................... 10

Índice de valor, ........................................................................................................................... 10

Uso de los Números Índices ...................................................................................................... 10

Problemas relacionados con los Números Índices .................................................................... 10

1.1. Clasificación de los Números Índices. ........................................................................................ 11

Índice Simple de Precios ............................................................................................................ 11

Índices Compuestos de Precios: ................................................................................................ 11

Índices Compuestos de precio Sin Ponderar: ............................................................................ 12

Índices Compuestos de precios Ponderados: ........................................................................... 12

Índice de Laspeyres ................................................................................................................... 12

Índice de Paasche ...................................................................................................................... 12

1.2. Índice de cantidad ...................................................................................................................... 13

1.3. Índice de valor ............................................................................................................................ 13

1.4. Conclusión .................................................................................................................................. 13

Anexo 1: Ejercicio de Elaboración del INPC personal. ....................................................................... 14

2. Técnica de Contar. ......................................................................................................................... 19

Principio de Multiplicación ........................................................................................................ 20

Principio de Adición ................................................................................................................... 21



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2.1. Muestra ordenadas con repetición ............................................................................................ 22

2.2. Muestra ordenadas sin repetición: Permutacion. ..................................................................... 23

2.3. Muestra no ordenadas sin repetición: Combinacion. ............................................................... 24

Diferencia entre permutación y Combinación .......................................................................... 25

Ejercicios de Técnicas de Conteo ...................................................................................................... 25

3. Probabilidad. ................................................................................................................................. 30

3.1. Definiciones ................................................................................................................................ 34

3.2. Tres enfoques distintos de observar la probabilidad ................................................................. 35

Probabilidad Clásica o a priori. .................................................................................................. 35

Probabilidad de Frecuencia Relativa o a posteriori. ................................................................. 36

Probabilidad Subjetiva.............................................................................................................. 37

3.3. Axiomas de Probabilidad. .......................................................................................................... 38

Primer axioma (Positividad): ..................................................................................................... 38

Segundo axioma (Certidumbre): ............................................................................................... 38

Tercer axioma (Uniones): .......................................................................................................... 39

3.4. Eventos y su Probabilidad. ......................................................................................................... 39

Eventos mutuamente excluyentes ( AU B): ............................................................................... 39

Eventos solapados ( AU B): ........................................................................................................ 39

Eventos complementarios AC : .................................................................................................. 39

Eventos independientes (A ∩ B): .............................................................................................. 40

Eventos condicionados (A ∩ B): ................................................................................................ 40

Ejercicios de Probabilidad ................................................................................................................. 40

4. Distribuciones de Probabilidad. .................................................................................................... 46

4.1. Distribuciones de Probabilidad de variables discretas ............................................................... 46

Distribución Uniforme Discreta ................................................................................................. 46



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Distribución de Bernoulli. .......................................................................................................... 47

Distribución Binomial ................................................................................................................ 48

Mas sobre la DISTRIBUCION BINOMIAL .................................................................................... 49

Distribución Hipergeométrica ................................................................................................... 53

Distribución Multinomial........................................................................................................... 55

Distribución Geométrica ........................................................................................................... 56

Distribución de Pascal o Binomial Negativa .............................................................................. 57

Distribución de Poisson ............................................................................................................. 57

Mas sobre la DISTRIBUCION DE POISSON ................................................................................. 59

Ejercicios de Distribuciones de Probabilidad de variables discretas. ................................................ 61

4.2. Distribuciones de Probabilidad de variables continuas. ............................................................ 66

Distribución Uniforme Continua ............................................................................................... 66

Distribución Exponencial ........................................................................................................... 68

Distribución de Gamma ............................................................................................................. 68

Distribución de Weibull ............................................................................................................. 68

Distribución Normal o de Gauss ................................................................................................ 68

Mas sobre la DISTRIBUCION DE NORMAL ................................................................................. 69

Distribución Normal Estándar N(0, 1) ....................................................................................... 71

Tipificación de la variable .......................................................................................................... 71

Cálculo de probabilidades con la distribución Normal. ............................................................ 72

Tabla de la Normal Estandarizada N(X; 0, 1) ............................................................................. 74

Ejercicios de Distribución Normal ..................................................................................................... 76

Distribución Log Normal ............................................................................................................ 80

Distribución de Ji- Cuadrado ..................................................................................................... 80



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Distribución T-Student .............................................................................................................. 80

Distribución F ............................................................................................................................ 80

5. Distribución Muestral. .................................................................................................................. 80

5.1. Algunas de las actividades que se realizan en una investigación por muestreo en formasistemática ........................................................................................................................................ 82

Planteamiento de la investigación ............................................................................................ 83

Elaboración de los instrumentos básicos .................................................................................. 83

Diseño de la encuesta ............................................................................................................... 83

Organización y ejecución de las operaciones de campo ........................................................... 83

Procesamiento de datos ............................................................................................................ 84

Análisis de los resultados .......................................................................................................... 84

Plan de difusión ......................................................................................................................... 84

5.2. Distribución de la media muestral ............................................................................................. 84

5.3. Distribución de la diferencia de medias muestrales .................................................................. 85

5.4. Distribución de la proporción muestral ..................................................................................... 85

5.5. Distribución de la diferencia de proporciones muestrales ........................................................ 85

Ejercicios de Distribución de Muestreo ............................................................................................ 86

5.6. Conceptos básicos para la determinación del tamaño de muestra: variable cualitativa Sexo y

variable cuantitativa Edad. ................................................................................................................ 94

Notación o Simbología utilizada en el Muestreo. ..................................................................... 94

Marco Muestral de 1200 personas, Número identificador y variables: Sexo y Edad. .............. 95

Valores poblacionales de las variables: Sexo y Edad ............................................................... 104

5.7. Cálculo del tamaño de muestra para las variables Sexo y Edad .............................................. 105

6. Estimación puntual y por intervalo de los parámetros. .............................................................. 106

Intervalos de confianza utilizando desviación estándar ................................................ 106



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Relación entre nivel de confianza e intervalo de confianza ........................................... 106

Intervalos de predicción aproximados .............................................................................. 106

7. Contraste de Hipótesis. ........................................................................................................... 108

8. Regresión simple y Correlación. ........................................................................................... 108

Análisis de Regresión........................................................................................................... 108

Hipótesis del modelo ........................................................................................................... 108

Correlacion ............................................................................................................................ 108

8.1. Principales técnicas utilizadas en el análisis de regresión lineal simple ....................... 109

Diagrama de dispersión e interpretación.......................................................................... 109

Estimación mediante la línea de regresión ....................................................................... 110

Recta de regresión por el método de mínimos cuadrados. ............................................ 111

Verificación de la ecuación de estimación ........................................................................ 111

Error estándar de la estimación.......................................................................................... 111

Interpretación del error estándar de la estimación.......................................................... 112

8.2. Análisis de correlación.......................................................................................................... 112

Coeficiente de determinación ............................................................................................. 112

Coeficiente de correlación ................................................................................................... 114

Ejercicio de regresión lineal simple ................................................................................................. 114

9. Series Cronológicas o Series de Tiempo. ..................................................................................... 118

9.1. Componentes de una serie cronológica ................................................................................... 119

Tendencia ( Tt) ......................................................................................................................... 119

Estacionalidad o variacionales estacionales (St)...................................................................... 120

Ciclos o fluctuaciones cíclicas (Ct) ........................................................................................... 120

Erraticidad o sucesos aleatorios o irregulares (Et) .................................................................. 121



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9.2. Tendencia. ................................................................................................................................ 121

Método de los mínimos cuadrados ......................................................................................... 122

9.3. Variaciones estacionales .......................................................................................................... 124

Método de diferencia a la tendencia ...................................................................................... 124

Método del porcentaje de tendencia. .................................................................................... 126

Ejercicio sobre serie cronológica o de tiempo ................................................................................ 128

Estadística Inductiva o Inferencial.

Debido a lo extenso y variado del campo cubierto por la Estadística es difícil

proponer una definición precisa del concepto. No obstante, tácitamente todos los

estadísticos están de acuerdo en clasificar la materia en dos tipos, cuales son, la

Estadística Descriptiva y la Estadística Inductiva o Inferencial.

La Estadística Descriptiva trata del resumen y descripción de los datos. Dicho

resumen puede ser Tabular, Grafico o Numérico. El análisis se limita en sí mismo a

los datos coleccionados y no se realiza inferencia alguna o generalización acerca de

la totalidad de donde provienen esas observaciones (Población).

Si bien la descripción de los hechos recolectados es a veces en sí misma el fin que

se propone, en la mayoría de los análisis estadístico estamos realmente mas al

comienzo de la tarea que al término de la misma. La estadística descriptiva no es

más que el trabajo preliminar para la inferencia.

Por ejemplo, si un jefe de personal somete a un test de aptitud a un grupo de

graduados universitarios recientemente contratados; entre lo que puede hacer con

los datos que resultan del test valiéndose de la estadística descriptiva, están losaspectos siguientes: Tabular los datos o clasificarlos de manera que con solo dar un

vistazo se pueda tener una imagen general de los mismos; calcular algunos

promedios y reconocer algo sobre la aptitud típica de los empleados; construir

tablas, graficas y cuadros para visualizar el comportamiento de los datos o bien



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convertir los datos brutos en rangos o en percentiles para hacer comparaciones;

utilizar el promedio como punto de localización y describir la variabilidad o

dispersión de los datos. Además, si después se obtienen ciertas medidas sobre el

rendimiento en el trabajo de estos empleados, se puede tratar de describir la

relación entre los valores obtenidos en el test y dichas mediciones. Y en cuanto seestablezca una relación semejante, se puede predecir el rendimiento de un

empleado en su trabajo con base a los resultados obtenidos en el test de aptitud.

La Estadística Inductiva o Inferencial es el proceso de hacer predicciones acerca de

un todo o tomar decisiones al basarnos en la información recogida en la muestra,

por lo tanto la estadística inferencial se refiere a la rama de la estadística que trata

de los procesos inferenciales, la que a su vez comprende la teoría de estimación y

prueba de hipótesis.

Al reseñar las dos facetas de la estadística, se puede resumir como sigue el

significado de estadística: “La Estadística es la ciencia, pura y aplicada, que crea,

desarrolla y aplica técnicas, de modo que pueda evaluarse la incertidumbre

derivada de inferencias inductivas”.

1. Números Índices.Uno de los problemas más importantes al estudiar Economía y Administración de

Empresa es como medir la cantidad de algunos agregados heterogéneos.

El agregado puede ser de cantidad física, como una lista de precios, como los

precios pagados por las compras de diversos tipos de insumos, también las

cantidades adquiridas o monto de dinero erogado en la compra.

En todo caso, el problema de la medición es deducir un solo número que sea

descriptivo del volumen de un agregado dado o del cambio ocurrido en él en el

tiempo o de un lugar a otro. El método estadístico para esa medición se conoce

como Número Índice.

En efecto los números índices relacionan una o más variables en un periodo dado

con la misma variable o variables en otro periodo, llamado periodo base.



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Al paso de los años los números índice han llegado a ser cada vez más importantes

para la administración y la estadística como indicadores de la cambiante actividad

económica o de negocios; de hecho, su uso se ha convertido en el procedimiento de

más amplia aceptación.

Los números índices, constituyen un sencillo artificio para comparar los términos

de una o varias series cronológicas; considerando ésta última como una sucesión

de observaciones de una variable tomada en instantes sucesivos.

En muchos problemas de Economía el interés es combinar, mediante un promedio

adecuadamente definido varios índices simples para obtener un índice con el que

se trata de reflejar la evolución de una magnitud no fácil de definir concretamente,

por ejemplo: coste de vida, nivel de salarios, comercio exterior, etc.

Definición de Números Índices

El número índice es una medida estadística diseñada para poner de relieve

cambios en una variable o en un grupo de variables.

Un número índice es una medida estadística que tiene como finalidad comparar

una variable o magnitud económica en el tiempo.

Los números índices miden el tamaño o la magnitud de algún objeto en un punto

determinado en el tiempo, como el porcentaje de una base o referencia en el

pasado.

Tipos de Números Índices

Los números índices son importantes y concernientes a las actividades de negocios

y económicos pueden clasificarse en tres tipos:

Índice de precios , compara niveles de precios de un período a otro. El índice

nacional de precios al consumidor (INPC) mide los cambios globales de precios de

una variedad de bienes de consumo y de servicios, y se le utiliza para definir el

costo de vida.



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Índice de cantidad , mide qué tanto cambia el número o la cantidad de una

variable en el tiempo.

Índice de valor , mide los cambios en el valor monetario total; es decir, mide los

cambios en el valor en Bs.F de una variable, combina los cambios en precio ycantidad para presentar un índice con más información.

Uso de los Números Índices

Los números índices son útiles cuando se quiere comparar variables o magnitudes

que están medidas en unidades distintas. Por ejemplo, con los números índices

podemos comparar los costes de alimentación o de otros servicios en una ciudad

durante un año con los del año anterior, o la producción de arroz en un año en una

zona del país con la otra zona.

Aunque se usa principalmente en Economía e Industria, los números índices son

aplicables en muchos campos. En Educación, por ejemplo, se pueden usar los

números índices para comparar la inteligencia relativa de estudiantes en sitios

diferentes o en años diferentes.

Muchos gobiernos se ocupan de elaborar números índice con el propósito de

predecir condiciones económicas o industriales, tales como: índices de precios, de

producción, salariales, del consumidor, poder adquisitivo, costo de vida, etc.

Problemas relacionados con los Números Índices

La in-comparabilidad de índices se presenta cuando se hacen intentos para

comparar un índice con otro después de que ha habido un cambio básico en lo que

se ha estado midiendo.

La distorsión de los números índice también se puede presentar cuando se

selecciona una base no apropiada. Siempre debemos considerar cómo y por qué elperíodo base fue seleccionado antes de aceptar una aseveración basada en el

resultado de comparar números índice.



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1.1. Clasificación de los Números Índices.Desarrollaremos este punto básicamente para los índices de precio, pero como se

ha dicho antes, puede extenderse a los índices de cantidad y a los índices de valor.

Cuando calculamos índice de precio, es éste el que está variando y tratamos demedir esa variación en el tiempo o en el espacio. Hay muchas formas de medirlas,

una más simples, otras más complejas, pero todas aplicables a cada caso.

Índice Simple de Precios

Son los que se refieren a una sola magnitud o concepto, y, por tanto, nos

proporcionan la variación que ha sufrido esa magnitud en dos períodos distintos.

La forma usual de calcular un índice simple es: I = P1 / P0 X 100

Donde P1 es la magnitud en el período actual, y P0 es la magnitud en el período

base, se multiplica por 100 para expresarlo en base a 100.

Utilizaremos un ejemplo para esclarecer la naturaleza básica y la función de los

números índices.

Productos P1 en mes actual P0 en mes base I = P1 / P0 * 100

Arroz 1500 1400 107,14

Carne 5000 6000 58,12

Cine 1000 1000 100,00

Índices Compuestos de Precios:

Si lo que deseamos es medir la evolución en el tiempo de una magnitud compleja,

o conjunto de magnitudes simples, como, por ejemplo, el precio de las frutas, eneste caso no se podrá utilizar un índice simple, ya que tendríamos diferentes

precios para cada una de las variedades que presenta este tipo de

alimentos(naranjas, manzanas, peras, entre otro).



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Índices Compuestos de precio Sin Ponderar:

Son los que tratan de medir la evolución de una magnitud compleja, pero donde

las diferentes magnitudes simples que intervienen tienen todas las mismas

importancias.

Índices Compuestos de precios Ponderados:

Aunque los índices compuestos ponderados se pueden obtener para todo tipo de

variables, los más importantes son los que miden las variaciones en los precios.

La característica común a estos índices y a la mayoría de los índices de precios es

que utilizan valores como coeficientes de ponderación; es decir, datos que se

pueden expresar como producto de un precio por una cantidad.

Índice de Laspeyres

Este método utiliza las cantidades consumidas durante el período base. Es el más

usado, debido a que requiere medidas de cantidades de únicamente un período.

Como cada número índice depende de los mismos precios y cantidades base, la

administración puede comparar el índice de un período directamente con el índice

de otro.

Una ventaja de este método es la comparabilidad de un índice con otro. El uso de

la misma cantidad de período base nos permite hacer comparaciones de manera

directa. Otra ventaja es que muchas medidas de cantidad de uso común no son

tabuladas cada año. La principal desventaja es que no toma en cuenta los cambios

de los patrones de consumo.

Índice de Paasche

Es un proceso parecido al seguido para encontrar un índice de Laspeyres. Ladiferencia consiste en que los pesos utilizados en el método Paasche son las

medidas de cantidad correspondientes al período actual. Es particularmente útil

porque combina los efectos de los cambios de precio y de los patrones de consumo,



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así, es un mejor indicador de los cambios generales de la economía que el método

Laspeyres.

1.2. Índice de cantidad

En tiempos de inflación, un índice de cantidad proporciona una medida más

confiable de la producción real de materias primas y bienes terminados que el

correspondiente índice de valores. De manera parecida, la producción agrícola se

mide mejor si se utiliza un índice de cantidad, debido a que éste elimina los efectos

engañosos producidos por la fluctuación de precios. A menudo usamos un índice

de cantidad para medir mercancías que están sujetas a una variación considerable

de precios.

1.3. Índice de valor

Un índice de valor mide cambios generales en el valor total de alguna variable.

Como el valor está determinado tanto por el precio como por la calidad, un índice

de valor realmente mide los efectos combinados de los cambios de precios y

cantidad.

La principal desventaja de un índice de valor es que no hace diferencia alguna

entre los efectos de estados de los dos componentes.

1.4. Conclusión

Los número índices son llamados también números índices simples o relativos

simples, estos tienen una duración del período a calcular usualmente de un año,

aunque puede ser un trimestre un mes u otra unidad de tiempo.

Desde un punto de vista teórico es deseable que los números índices para grupos

de artículos tengan las propiedades que cumplían las relaciones (números índices

para un solo artículo). Todo número índice que tenga tal o cual propiedad se dice

que satisface el criterio asociado con ella.

No se conoce ningún número índice que cumpla todos los criterios, si bien en

muchos casos se satisfacen aproximadamente.



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El índice ideal de Fisher , que en particular verifica el criterio de inversión temporal

y el de inversión de factores, es mejor que cualquier otro número índice útil en

cuanto a satisfacer las propiedades consideradas importantes ( de ahí el apelativo

de ideal).

Anexo 1: Ejercicio de Elaboración del INPC personal.Primer Paso: Construir la estructura de ponderación del gasto.

1. Se multiplica las cantidades consumidas por los precios para así obtener los

gastos de cada específico. Se suman los gastos y se sabrá cuanto se gasta en

el mes.

2. Se divide cada gasto entre el total y se multiplica por 100 y se obtendrá las

ponderaciones de los gastos. Se suma y el total debe ser igual a 100,003. La columna estructura de ponderación significa el porcentaje de tus gastos

destinados al consumo de cada especifico o rubro.

Ponderación de mis gastos mensuales, Base Diciembre o un mes cualquiera que será la base de

comparación

Este es el primer paso , es decir elaborar la estructura de ponderación de mis gastos mensuales.

GRUPOS ARTICULOSCantidadesconsumidas

en el mes

Precios

de losartículos

en ese

mes

Gastos

del mes

Estrucde

ponder

ALIMENTOS Y BEBIDAS

NO ALCOHOLICAS

BISTECK 4 32 128,00

LECHE COMPLETA 4 15 60,00

AGUA 10 6 60,00

BEBIDAS ALCOHOLICASY TABACO

CAJA DE CERVEZA 2 65 130,00

CAJA DE CIGARROS 2 20 40,00 VINO

CHAMPAÑISADO 0,25 60 15,00

VESTIDOS Y CALZADOSPANTALON 0,25 200 50,00

ZAPATOS 0,1 550 55,00



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DEPORTIVOS

SWETER 0,25 280 70,00

ALQUILER DE VIVIENDA

APARTAMENTO

COMPLETO 1 2500 2500,00

HABITACION ENRESIDENCIA 1 700 700,00

CASA EN BARRIO 1 350 350,00

SERVICIOS DE LA VIVIENDA

EXCEPTO TELEFONO

LUZ 1 60 60,00

AGUA 1 30 30,00

GAS 1 35 35,00

EQUIPAMIENTO DEL

HOGAR

JUEGO DE RECIBO

(NORMAL) 0,1 2500 250,00

LAVADORA 0,1 1800 180,00 EQUIPO DE SONIDO 0,1 3200 320,00

SALUD

ECO PELVICO 0,1 120 12,00

RESONANCIA MAG. 0,1 450 45,00

ANTICONCEPTIVO 1 70 70,00

TRANSPORTE

METRO 40 0,9 36,00

TAXI TARIFA

MINIMA 2 25 50,00

BUSETA 40 1,5 60,00

COMUNICACIONES

INTERNET 1 99 99,00

TV DIGITAL 1 140 140,00

TELEFONIA 1 70 70,00

ESPARCIMIENTO Y

CULTURA

CINE 4 14 56,00

WARAIRARREPANO 4 50 200,00

TEATRO 2 60 120,00

SERVICIOS DE

EDUCACION

CURSOS

INFORMATICA 1 270 270,00 UNIVERSIDAD

(SEMESTRE) 0,25 1800 450,00

POST GRADO

(GERENCIAL) 0,25 1500 375,00



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Segundo Paso: Construir los relativos de precios ponderados.

1. Se divide el precio actual entre el precio del mes anterior y se obtiene la

columna de relativos de precios.

2. Se multiplica la columna de relativos de precios por la columna de

estructura de ponderación y se halla la columna de relativos de precios

ponderados. Se suma y el total expresa como ha afectado la variación de

precios a tus gastos en forma globalizada y en qué porcentaje.

3. Esta columna significa como ha afectado cada específico o rubro a tus gastos

en forma individual y en qué porcentaje.

RESTAURANTES Y HOTELES

DESAYUNO 20 20 400,00

HOSPEDAJE (POR

NOCHE) 4 180 720,00

CENA 20 150 3000,00

BIENES Y SERVICIOS

DIVERSOS

ENCOMIENDA 0,1 120 12,00 PELUQUERIA 8 200 1600,00

INTERNET (CIBER x

HORA) 40 2,5 100,00

TOTAL 12918,00 1

Relativos de precios entre dos meses consecutivos multiplicada por la ponderación

Este es el segundo paso , es decir elaborar la variación de los precios y la incidencia en los gastos.

GRUPOS ARTICULOS

Precios

de los

artículosen el mes

actual

(ENERO)

Precios

de los

artículos

en elmes

anterior

(DIC)

Relativos

de

preciosde Enero

a Dic.

Estructura

deponderación

Relati

prepond

ALIMENTOS Y BISTECK 35 32 1,0938 0,99



Página 17 de 132

BEBIDAS

NO ALCOHOLICAS

LECHE COMPLETA 17 15 1,1333 0,46

AGUA 6 6 1,0000 0,46

BEBIDAS

ALCOHOLICASY TABACO

CAJA DE CERVEZA 65 65 1,0000 1,01

CAJA DE CIGARROS 16 20 0,8000 0,31 VINO

CHAMPAÑISADO 60 60 1,0000 0,12

VESTIDOS Y

CALZADOS

PANTALON 200 200 1,0000 0,39

ZAPATOS

DEPORTIVOS 580 550 1,0545 0,43

SWETER 280 280 1,0000 0,54

ALQUILER DE

VIVIENDA

APARTAMENTO

COMPLETO 2500 2500 1,0000 19,35 HABITACION EN

RESIDENCIA 700 700 1,0000 5,42

CASA EN BARRIO 350 350 1,0000 2,71

SERVICIOS DE LA

VIVIENDA

EXCEPTO

TELEFONO

LUZ 42 60 0,7000 0,46

AGUA 20 30 0,6667 0,23

GAS 50 35 1,4286 0,27

EQUIPAMIENTO

DEL HOGAR

JUEGO DE RECIBO(NORMAL) 2550 2500 1,0200 1,94

LAVADORA 1800 1800 1,0000 1,39

EQUIPO DE SONIDO 3250 3200 1,0156 2,48

SALUD

ECO PELVICO 150 120 1,2500 0,09

RESONANCIA MAG. 450 450 1,0000 0,35

ANTICONCEPTIVO 75 70 1,0714 0,54

TRANSPORTE

METRO 0,9 0,9 1,0000 0,28 TAXI TARIFA

MINIMA 35 25 1,4000 0,39

BUSETA 2 1,5 1,3333 0,46

COMUNICACIONES INTERNET 99 99 1,0000 0,77



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Tercer Paso: Construir los INPC, las variaciones y proyecciones.

1. Obtenidos los relativos de precios ponderados para varios meses, se

construye la columna de INPC multiplicando el relativo de precio de un

mes por el INPC del mes anterior y ese resultado corresponde al mes en

referencia dividido entre 100. Se inicia con 100 en el mes base, dado que es

la base de comparación.

2. La columna de variación mensual se obtiene dividiendo el índice de un mes

TV DIGITAL 140 140 1,0000 1,08

TELEFONIA 70 70 1,0000 0,54

ESPARCIMIENTO Y

CULTURA

CINE 28 14 2,0000 0,43

WARAIRARREPANO 50 50 1,0000 1,55 TEATRO 60 60 1,0000 0,93

SERVICIOS DE

EDUCACION

CURSOS

INFORMATICA 270 270 1,0000 2,09

UNIVERSIDAD

(SEMESTRE) 1800 1800 1,0000 3,48

POST GRADO

(GERENCIAL) 1500 1500 1,0000 2,90

RESTAURANTES Y

HOTELES

DESAYUNO 35 20 1,7500 3,10 HOSPEDAJE (POR

NOCHE) 180 180 1,0000 5,57

CENA 150 150 1,0000 23,22

BIENES Y

SERVICIOS

DIVERSOS

ENCOMIENDA 150 120 1,2500 0,09

PELUQUERIA 200 200 1,0000 12,39

INTERNET (CIBER x

HORA) 2,5 2,5 1,0000 0,77

TOTAL 100,00



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entre el índice del mes anterior y se multiplica por 100 y se le resta 100 y ese

resultado corresponde al mes de referencia. Se inicia con cero en el mes

base, dado que es la base de comparación.

3. La columna de proyección del gasto se obtiene multiplicando el gasto actual

por el índice del mes en referencia, dividido entre 100 y así sucesivamente.4. Significa la proyección del gasto para ese mes en cuestión.

2. Técnica de Contar.En muchos casos debemos ser capaces de resolver un problema de probabilidad

mediante el conteo del número de elementos del espacio muestral sin listar

realmente todos los elementos.

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difícilesde cuantificar. Se les denominan técnicas de conteo a las combinaciones,

permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que

destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles

en que ocurre un evento determinado.

Índice de precios y variación mensual para varios meses, ejemplo Dic. a Junio en base a los relativo

de precios ponderados obtenidos

Este es el tercer paso , es decir elaborar los INPC, la variación mensual y la proyección de los gastos

Meses

Relativos de

preciosponderados

INPC de

Dic. a Junio

Variación

mensual delINPC

Gastos del mes

proyectado en basea la variación

mensual

Gastos del mes

proyectado en baal INPC

Diciembre 100,0000 100,0000 0,0000 12918,00 12918

Enero 103,2435 103,2435 3,2435 13337,00 13337

Febrero 105,1254 108,5352 5,1254 14020,57 14020

Marzo 101,3589 110,0101 1,3589 14211,10 14211

Abril 98,2541 108,0894 -1,7459 13962,99 13962

Mayo 102,3685 110,6495 2,3685 14293,70 14293

Junio 103,5689 114,5985 3,5689 14803,83



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La teoría combinatoria estudia los métodos que permiten contar el número de

diversos arreglos o selecciones que puede formarse con los elementos de conjuntos

finitos.

Entre sus aplicaciones prácticas está el cálculo de probabilidades, al permitirenumerar los casos favorables y casos posibles. Tiene también utilidad en otras

ramas, como por ejemplo, el cálculo de la complejidad o tiempo de ejecución de un

algoritmo o programa informático, al estimar el número de operaciones que se

realizan en un procedimiento algorítmico.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio

multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

Principio de MultiplicaciónSe establece como sigue: “Si un primer experimento puede tener exactamente n1

resultados distintos; si para cada una de éstas un segundo experimento puede

producir n2 resultados distintos; y si para cada una de las dos primeras se puede

realizar un tercer experimento con n3 resultados distintos; y así sucesivamente para

k experimentos; entonces los experimentos combinados, del primero al k esimo,

pueden tener exactamente (n1) (n2) (n3) (n4) (n5) (n6) (nk) resultados

distintos.

Ejemplo 1. Cuantos almuerzos que consisten en una sopa, seco, postre y bebida

son posibles si podemos seleccionar 4 sopas, 3 secos, 5 postres y 4 bebidas?

Solución: Como (n1)= 4 (n2)= 3 (n3)= 5 (n4)= 4

hay 4 x 3 x 5 x 4 = 240 diferentes maneras de elegir un almuerzo.

Ejemplo 2. Suponga que se desea formar una terna para elegir presidente,

vicepresidente y secretario de una junta directiva. Hay 15 candidatos para la

presidencia; 40 candidatos para la vicepresidencia y 200 para la secretaria, de

cuantas formas se puede elaborar la terna?

Solución: Como (n1)= 15 (n2)= 40 (n3)= 200

hay 15 x 40 x 200 = 120.000 ternas diferentes.



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Ejemplo 3. Un profesor de Estadística desea exhibir tres carteles en la planta baja

del Núcleo Palo Verde, uno a continuación del otro. De cuantas formas puede

colocar los tres carteles?

Numero de formas como se puede colocar el primer cartel = 3

Numero de formas como se puede colocar el segundo cartel = 2 (puesto que elprimero está colocado)

Numero de formas como se puede colocar el tercer cartel = 1 (puesto que el

primero y el segundo están colocados)


hay 3 x 2 x 1 = 6 formas diferentes.

Ejemplo 4. Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2

a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2?

Solucion: 3·4=12

Principio de AdiciónSe establece como sigue: “Si un primer experimento puede tener exactamente n1

resultados distintos; un segundo experimento puede producir n2 resultados

distintos; un tercer experimento n3 resultados distintos; y así sucesivamente para k

experimentos; si solo una de estos k experimentos se puede realizar entonces, los

experimentos combinados, del primero al k esimo, pueden tener exactamente(n1) +(n2)+ (n3)+ (n4)+ (n5)+ (n6)+ +(nk) resultados distintos.

Ejemplo 1. Una persona puede viajar de una ciudad a otra por tres carreteras

disponibles, o por dos líneas férreas o por 3 líneas aéreas. De cuantas formas esta

persona puede hacer el viaje entre las dos ciudades?

Obsérvese que si la persona decide por una de las formas quedan descartadas las

otras.

Numero de formas como puede viajar por carretera = 3

Numero de formas como puede viajar por vía férrea = 2

Numero de formas como puede viajar por líneas aéreas = 3


hay 3 + 2 + 3 = 8 formas diferentes de llegar a su destino.



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Ejemplo 2: Un repuesto de auto se vende en 6 tiendas de la ciudad A y en 8 tiendas

de la ciudad B. ¿En cuantas tiendas se puede adquirir el repuesto?

Solucion: 6+8=14

El análisis estadístico se hace con base en datos (muestra). Estos datos en atención

a la forma como sean recolectados o a la manera como deban estudiarse pueden

ser Ordenados o No ordenados y Con repetición o Sin repetición, de forma tal que

por el Principio de Multiplicación existen 4 modalidades como pueden recolectarse

los datos

Ordenados No ordenados

Con repetición Ordenados con repetición No ordenados conrepetición

Sin repetición Ordenados sin repetición No ordenados sin repetición

En lo que sigue utilizaremos el término muestra para referirnos a cualquier

sucesión de datos.

2.1. Muestra ordenadas con repeticiónSe obtiene cuando cada observación puede darse tantas veces como sea

posible porque la unidad observada se retorna a la población o porque hay

un número grande de unidades que poseen la misma medida y el orden en

que se suceden tales observaciones es de importancia. Este tipo de muestra

se llama enupla (dupla, tripla, cuádrupla, etc.)

El numero de muestras (tamaño del espacio muestral) está dada por

Nn en donde N es el tamaño de la población y n es el tamaño de la muestra.

Ejemplo 1. Un examen de Verdadero o Falso es respondido por una persona

que carece de todo conocimiento sobre el tema. Si la persona debe

responder 10 preguntas, De cuantas formas distintas puede responder el

examen?



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Solución:

N es el tamaño de la población = 2 (verdadero o falso)

n es el tamaño de la muestra = 10 (numero de respuestas)

S es el tamaño del espacio muestral o numero de exámenes distintos

= Nn = 210 = 1024 exámenes distintos.

2.2. Muestra ordenadas sin repetición: Permutacion.Resultan cuando cada observación solo se da una vez porque cada unidad

una vez observada no se retorna a la población.

Este tipo de muestras se llaman Permutaciones. El numero de muestras

(tamaño del espacio muestral) está dada por

PN,n en donde N es el tamaño de la población y n es el tamaño de la

muestra.

Si se tiene los elementos a1, a2, ..., an, cada ordenamiento diferente de esos n

elementos recibe el nombre de permutación. Es importante resaltar que el orden es

una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los

elementos se dice que permutamos dichos elementos y se obtiene otra

permutación.

PN,n = N! / (N-n)! El símbolo ! se llama factorial y es un operador, por

ejemplo

8 ! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320

Ejemplo:

El número total de permutaciones que se puede obtener con las letras A, B y C

tomadas de 3 en 3

será: P3,3 = 3 ! / (0-0)! = 3 ¡ = 3*2*1 = 6

Estas serán las permutaciones {ABC BAC CAB ACB BCA CBA }

Ejemplo 1. Un profesor de estadística dispone de 8 temas sobre los que debe

dictar el curso de Estadística II. Se le pide que lo reduzca a 5 para lo cual

debe presentar una serie de 5 temas ante un jurado evaluador. De cuantas

formas puede organizar los temas?



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Solución: Como se trata de organizar temas hay implícito un orden y una no

repetición, así que estamos ante una permutación con N = 8 y n = 5

P8,5 = 8! / ( 8 – 5)! = 8! / 3! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 paquetes.

2.3. Muestra no ordenadas sin repetición: Combinacion.Se obtienen cuando cada observación se da solo una vez y el orden en que

aparecen no es de importancia. Este tipo de muestras se llaman

Combinaciones.

El numero de muestras (tamaño del espacio muestral) está dada por

CN,n en donde N es el tamaño de la población y n es el tamaño de la

muestra.

En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupacionesdiferentes de objetos que pueden ocurrir sin importar su orden.

Por lo tanto en las combinaciones se busca el número de subgrupos diferentes que

pueden tomarse a partir de n objetos.

El número de combinaciones de N objetos tomados n a la vez es igual a:

CN,n = N! /[n! (N-n)!]

Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social deun total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de

grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el orden

en el que cada grupo podría elegirse? Solución NCn =10C3 = 10! / (7! * 3!) = 120

Es evidente que en este caso el orden en que se escojan las tres personas carece de

importancia y que ninguna de ella va a ser escogida 2 veces para formar el comité.

Por tanto es un problema de combinación.

CN,n = N! /n! (N-n)! = 10!/( 3! 7!) = 120 comité de tres personas distintos.



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Diferencia entre permutación y Combinación

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si

el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no

importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y

manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no

funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación.

Si el orden sí importa es una permutación.

Estos dos conceptos forman parte de la técnica de conteo.

Ejercicios de Técnicas de Conteo

1. Se lanzan 5 dados ; de cuantas formas pueden caer?

Resp. 7776 formas

2. Se lanzan 4 veces una moneda; de cuantas formas pueden caer?; utilizar un

diagrama de árbol para mostrar todos los resultados posibles.

Resp. 16 formas

3. Una placa para vehículos consta de 2 letras (considerar 26 letras delalfabeto) y a continuación 3 dígitos.

a) ¿Cuántas matrículas pueden hacerse si las 2 letras son diferentes y también los

3 dígitos son diferentes? Resp. 468.000



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b) ¿Cuántas matrículas pueden hacerse si las letras pueden coincidir e

igualmente los dígitos pueden ser iguales? Resp. 676.000

Aquí podemos observar que usamos el principio de la Multiplicación.

4. Los asegurados de una compañía se clasifican por edades: menos de 30 años(A1); de 30 a 45 (A2) y más de 45 años (A3); por estado civil: solteros (S), casados (C)

y divorciados (D); y por sexo: masculino (M) y femenino (F); de cuantas formas se

pueden clasificar las pólizas de los asegurados? Cuál es el espacio muestral de este

experimento? Construir un diagrama de árbol para representar el espacio

muestral.

Resp. 18 formas.

5. La carta de un restaurant ofrece a elección sopa (S) o ensalada (E) para empezar,

carne de res (R), de cerdo (C), o mariscos (M) como plato principal; y torta (T),pastel (P) o frutas (F) a elegir como postre. La comida completa consta de 3 platos

elegidos de cada una de las 3 clases. Cuantos almuerzos distintos se pueden

preparar?

Resp. 18 almuerzos

6. Si un conjunto A tiene 5 elementos, cuantas duplas se puede formar con los

elementos de A?

Resp. 25 duplas

7. Si en un concurso se presentan 10 libros, de cuantas formas se pueden otorgarlos primeros 3 premios?

Resp. 720 formas

8. En el concurso de belleza de Miss Venezuela, se suelen escoger 15 semifinalistas

y luego se eligen 5 finalistas; de cuantas formas se pueden ocupar las 5 primeras

posiciones entre las 15 finalistas?

Resp. 360.360 formas

9. Se sacan 5 cartas de un mazo de 10 numeradas del 0 al 9; de cuantas formas se

pueden sacar 5 cartas en órdenes distintos con reemplazo y sin reemplazo?Resp. Con reemplazo =100.000 sin reemplazo = 30.240

10. La junta directiva de la compañía ABC consta de 15 miembros; de cuantas

formas se pueden elegir presidente, vicepresidente y secretario?

Resp. 15P3= 2.730 Formas 15C3= 455



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11. Se va a elegir un comité de 5 entre un grupo de 7 candidatos; de cuantas formas

se puede hacer esto? Si los 7 candidatos van a ocupar 5 cargos distintos; de cuantas

formas se pueden ocupar los cargos?

Resp. 2.520 formas 21 formas12. Cuantos equipos de basquetbol de 5 hombres se puede formar de una escuadra

de 12 hombres si no se tiene en cuenta las posiciones del juego o en caso contrario,

es decir, se toma en cuenta las posiciones?

Resp. 95.040 formas 792 formas

13. Un club tiene 15 miembros; de cuantas formas se puede elegir una junta

directiva de 3 miembros?

Resp. 2.730 formas 455 formas

14. En una clase de Estadística hay 30 estudiantes, 10 hombres y 20 mujeres; decuantas formas distintas se puede constituir un comité de 5 estudiantes? De

cuantas formas si debe haber 3 mujeres en el comité?

Resp. 17100720 comités 615600 comités

15. En La Asamblea Nacional hay 20 diputados del Gobierno Nacional y 10

diputados de la Oposición. Se va a elegir una comisión integrada por 5 diputados;

de cuantas formas puede hacerse? De cuanta si tiene que haber 3 diputados del

gobierno y 2 de la oposición; de cuantas formas si todos tienen que ser del mismo

grupo partidista?Resp. 17100720 comisiones 615.600 comisiones 1890720 comisiones

16. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro

limpieza del Tecnologico, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea

que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b) si entre los 14 alumnos hay 8

mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de

los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?

Solucion: 14C5: 2002 grupos 8C3*6C2 = 840 grupos

6C4*8C1+ 6C5* 8C0= 126

17. Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas,

a.¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.¿Cuántas

maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?



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Solución: 12C9 = 220 maneras 2C2*10C7 = 120 maneras

18. Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras n, l, o, e; así no

tengan sentido?

nloe, nleo, nelo, neol, nole noel, lnoe, lneo, leno, leon, lone, loen, elon, elno,

enlo, enol, eoln, eonl, olne, olen, oeln, oenl, onle, onel.

19. Cuántos números de tres cifras se pueden construir con los dígitos

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 si ninguno se puede repetir

20. De cuántas maneras se puede escoger un comité de 4 hombres de un grupo de

8?

21. Cuántas palabras diferentes, aun sin significado, se pueden formar con las

letras de la palabra amorosos?

22. Cuántos números de cuatro cifras existen?

23. En el primer grupo de la clase “A” del campeonato de futbol participan 17

equipos. Los premios son: Medalla de Oro, medalla de plata y medalla de bronce.

De cuantas formas estas pueden ser distribuidas? Resp. 4080 formas.

24. ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que

consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta



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representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una

pequeña empresa. Resp. 6375600

25. Una persona puede viajar de una ciudad a otra por 3 carreteras disponibles o

por 2 líneas aéreas. ¿de cuantas formas esta persona puede hacer el viaje?

Resp. 3+2=5 formas

26. ¿De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra XSIAON de

modo que las palabras ASI y NO nunca aparezcan?

Respuesta:

El número total de ordenaciones es de n = 6! = 720

El número de las que levan la palabra ASI es 4! = 24, pues basta con considerar la

palabra ASI como una sola letra del grupo X(ASI)ON.Razonando de igual manera, se obtiene que las que llevan la palabra NO son 5! =

120

Las que llevan simultáneamente ASI Y NO vienen dadas por 3! = 6 ( Se considera

ASI como una letra y NO como otra)

El número de las que llevan ASI o NO viene dado, aplicando el principio de

inclusión y exclusión por 120 + 24 – 8 =138

El número de ordenaciones pedidas es por tanto 720 – 138 = 582

27. Se quiere conformar un equipo de profesionales, se tienen: 12

Administradores, 13 Educadores y 16 Contadores ¿de cuantas maneras se pueden

formar?

12 * 13 * 16 =2496 maneras

28. En la Universidad Simon Rodríguez, núcleo la Urbina el Director de la cátedra

de Estadística, necesita conformar un equipo conformado por cinco docentes, tiene

en la terna para escoger: dos Psicólogos, tres Administradores y cuatro Sociólogos,

decide tomar un Psicólogo, dos administradores y dos Sociólogos, ¿De cuantasmaneras puede estar conformado el equipo?

P(x)=nCr

P (1)=2C1+ P (2)=3C2+ P (2)=5C2= 60



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29. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuantos

modos puede hacerse si los premios son diferentes o si los premios son iguales.

Respuesta: Hay dos supuestos posibles:

a. Si una misma persona no puede recibir más de un premio:

a.1. Hay P10; 3 = 10 * 9 * 8 = 720 maneras de distribuir los premios si estos son

diferentes

a.2. En el caso de que los premios sean iguales, pueden distribuirse de

C10; 3 = 120 maneras.

b. Si una misma persona puede recibir más de un premio

b.1. Se pueden distribuir los premios, si estos son diferentes, de

PR10; 3 = 10 ^ 3 = 1000 maneras;

b.2. Hay C10; 3 = 120 maneras de distribuir los premios si estos son iguales.?

3. Probabilidad.

En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento

ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestión, pero ¿es posible

tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?,

es muy difícil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por

más simple que éste sea, éste está sujeto a una gran diversidad de factores que

afectan su ocurrencia, ¿Entonces qué es lo más aconsejable para predecir su

ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basándose en

estadísticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por

consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información.

La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene

incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir

que la probabilidad está presente en casi todas las actividades que se pretenda

realizar, ejemplos:



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-Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas

-Competencias deportivas

-Juegos de azar, etc., etc.

¿Cómo podemos calcular probabilidades? Haciendo uso de las estadísticas.

En este caso, se hace uso de la información que se ha acumulado acerca del evento

que nos interesa, y después de esto se procede a calcular las probabilidades

requeridas.

Ejemplo 1. Determine la probabilidad de que en cierta línea de producción se

manufacture un producto defectuoso, si se toma como referencia que la

producción de la última semana en esta línea fue de 1,500 productos, entre los que

se encontraron 18 productos defectuosos.

p(producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total de productos

producidos en la semana = 18 / 1500 = 0.012

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos

experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen

todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en

particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios

cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado,

extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemosdistinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las

probabilidades experimentales o estadísticas.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos

inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca y la

probabilidad 1 indica que el resultado ocurrirá siempre.

Los problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en

un experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos elloscon igual probabilidad de ocurrir.

Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables,

la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por ejemplo, un dado no trucado se



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puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 ó

un 6 es 2/6.

Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos

posibles de ocurrencia del evento; es decir, de cuántas formas puede ocurrirdeterminada situación.

Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la

condición que estoy buscando.

Así para el lanzamiento de una moneda con una cara de un lado y un sello en el

otro lado, tengo 2 casos posibles de ocurrencia (o cae cara o cae sello) y sólo 1 caso

favorable de que pueda caer cara (pues sólo hay un cara en la moneda).

Para calcular la probabilidad de un evento se utiliza la siguiente fórmula:

Para nuestro ejemplo: Probabilidad de "que caiga una cara" tenemos:

P (cara) =1 (caso favorable) / 2 (casos posibles)

P(cara)= ½ = 0.5

Por lo tanto, existe una probabilidad del 50% que yo obtenga una cara al tirar una

moneda.

Ejemplo 2. En un juego de baraja de 40 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que al

sacar al azar una de ellas ésta sea de espadas?

Respuesta:

Casos posibles: las 40 cartas

Casos favorables: 10 cartas de espada

P = 10 / 40 = 1 / 4 = 0,25

La probabilidad es el medio por el cual a partir de la información contenida en una

muestra tomamos decisiones o hacemos afirmaciones que se refieren a toda una

población mediante el proceso llamado Inferencia Estadística.



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La estadística descriptiva se puede usar directamente para la toma de decisiones si

se trata de parámetros poblacionales. Sin embargo, si se trata de estadísticas

muestrales, se debe seguir otro proceso antes de que la decisión sea tomada. Ese

proceso comprende la generalización de los parámetros en base a la estadística.

Este proceso se llama Inferencia Estadística y comprende dos tipos de problemas:La estimación y la prueba de hipótesis.

La probabilidad y la estadística se refieren a situaciones diferentes y por lo tanto

resuelven problemas distintos. Sin embargo, las dos se complementan como

veremos en la discusión de los dos problemas siguientes:

Un problema de probabilidad: Se lanza un dado balanceado una vez. Cuál es la

probabilidad de obtener el 3?

Como el dado puede caer de 6 formas diferentes y solo una de estas corresponde

al 3, diríamos entonces que tenemos una probabilidad de un caso probable de

acertar entre 6 casos posibles. En términos de probabilidad, decimos que esta es de

1/6 .

Un problema de estadística (inferencial): Se lanza un dado 20 veces para

determinar si está balanceado y se observó que el 3 se obtuvo 17 veces, que

podemos pensar de este dado?

La respuesta es que el dado no está balanceado. Porque de estarlo y si se toma en

cuenta que en este caso cada una de las caras tiene la misma probabilidad de

obtenerse; es decir 1/6, es bastante extraño que el 3 aparezca 17 de cada 20. Una

probabilidad de 17/20.

Es importante darnos cuenta que en el primer caso (Un problema de probabilidad)

partimos de lo general a lo particular, mientras que en segundo caso (Un

problema de estadística) partimos de un hecho particular a lo general: el dado no

está balanceado basándonos en la probabilidad que tiene cada resultado de darse.

La probabilidad nos permite estudiar o analizar los fenómenos o procesos

aleatorios o estocásticos o probabilístico o no determinístico.



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3.1. Definiciones

Antes de introducirnos en los axiomas, los teoremas y los cálculos de probabilidad

vamos a definir algunos conceptos básicos y a denotar la simbología utilizada que

nos ayudará a comprender este tema.

Experimento aleatorio: Un experimento se dice aleatorio cuando puede

ocurrir de diversas maneras sin que sea posible predecir con certeza que

resultado particular va a ser observado.

Ejemplos de experimentos aleatorios son los siguientes:

- Lanzamiento de un dado una sola vez

- Peso de una persona

- Los valores de las acciones de cierta empresa en el día de mañana

- El estado del tiempo atmosférico en el día de mañana

Espacio muestral: El conjunto de todos los resultados posibles de un

experimento aleatorio y se denota con la letra S

Eventos o sucesos: Es un subconjunto del espacio muestral o resultados

favorables o probables y se denota con la letra E pero puede utilizarse las

letras A, B, C, etc.

Probabilidad del evento E: Se denota como Prob ( E ) y se calcula

dependiendo del enfoque que se utilice. La probabilidad es un numero que

oscila entre 0 y 1; por lo tanto 0 <= Prob ( E ) <= 1

Evento Seguro: Se tiene la certeza de que siempre ocurrirá y se denota con

la letra S; siendo su probabilidad Prob (S) = 1; ; por ejemplo, la probabilidadde que una persona muera es uno porque es un evento seguro.

Evento Imposible: Se tiene la certeza de que nunca ocurrirá y se denota con

la letra ᴓ que significa conjunto vacio; siendo su Prob (ᴓ) = 0; por ejemplo,



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la probabilidad de que una persona nunca muera es cero porque es un

evento imposible.

3.2. Tres enfoques distintos de observar la probabilidadProbabilidad Clásica o a priori, Probabilidad de Frecuencia Relativa o a posteriori

y Probabilidad Subjetiva.

Probabilidad Clásica o a priori.

La probabilidad clásica o a priori o canónica fue introducido por Laplace y se

establece de la forma siguiente:

“ Si un experimento aleatorio tiene n(S) resultados mutuamente excluyentes e

igualmente posibles (número de casos posibles) y m(E) de estas n maneras poseen

la característica del evento E (número de casos probables), entonces la

probabilidad de E se denota y está dada por Prob ( E) = m(E) / n(S) ; es decir

Prob ( E) = número de casos probables / número de casos posibles”

Calculemos algunas probabilidades:

Probabilidad de cara cuando se lanza una moneda una sola vez

S = (cara,sello) n(S) = 2

E = (cara) m(E) = 1

Prob ( E) = m(E) / n(S) = 1/2

Probabilidad de (cara,cara) cuando se lanza una moneda dos veces

S = ((cara,cara) (cara,sello) (sello,cara) (sello,sello)) n(S) = 4

E = (cara,cara) m(E) = 1

Prob ( E) = m(E) / n(S) = 1/4

Probabilidad (la suma sea igual a 8) cuando se lanza un dado dos

veces

D1+D2 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8



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S = n(S) = 36

E (D1 + D2 = 8) m(E) = 5

Prob ( E) = m(E) / n(S) = 5/36

Probabilidad de Frecuencia Relativa o a posteriori.

En los ejercicios anteriores la probabilidad se pudo determinar mediante el criterio

de Laplace, puesto que se trata de experimentos aleatorios con resultados

igualmente posibles (probables)’ No obstante cuando la igualdad no se da, el

problema de asignar probabilidad debe ser resuelto de otra forma (Probabilidad a

posteriori o de frecuencia relativa)

Este enfoque se debe a Richard von Mises y se establece de la manera siguiente:

“Si un experimento se repite un numero grande de veces, denotémoslo con n(S) ysea m(E) el número de veces que un evento E ocurrió. Es un hecho observable

experimentalmente que a medida que n(S) aumenta, el cociente m(E) / n(S) tiende a

estabilizarse en un numero P; este número P se llama la probabilidad del evento E

y se denota por Prob ( E)”

A este valor o probabilidad se llega mediante la frecuencia relativa y si los

resultados presentan regularidad probabilística o estadística, lo cual quiere decir

que en un numero grande de repeticiones del experimento los distintos resultados

se presentan en la misma proporción aproximadamente.En el siguiente ejercicio ilustramos como se llegaría a la probabilidad de “obtener

cara” cuando se lanza una moneda mediante el criterio frecuentista.

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12



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Se lanzo una moneda 1000 veces en total, con conteo del número de “caras” y

“sellos” que se iban obteniendo progresivamente en el transcurso de los

lanzamientos. Los resultados fueron como se indica en la tabla que sigue

Númerode

lanzamien-

tos

Númerode caras

Númerode

sellos

Frec.Relativa

de caras

Frec.Relativa

de

sellos

Probabilidadde caras

Probabilidadde sellos

10 6 4 0.600 0.400 0.600 0.400

20 11 9 0.550 0.450 0.550 0.450

100 48 52 0.480 0.520 0.480 0.520

200 112 88 0.560 0.440 0.560 0.440

500 243 257 0.486 0.514 0.486 0.514

1000 521 479 0.521 0.479 0.521 0.479

El punto en donde se va deteniendo el conteo es arbitrario y siempre se irá

contando sobre el resultado anterior. Así por ejemplo, cuando hemos registrado 20

lanzamientos, “nuevos” solo han sido 10 , ya que estos 20 se cuentan sobre los 10anteriores.

De acuerdo con los valores de frecuencia relativa que hemos venido observando

podemos decir que la probabilidad de obtener “cara” o “sello” es 0.5 o 1/2

Probabilidad Subjetiva.

A esta concepción probabilística se le ha prestado mucha atención en las últimas

décadas y se encuentra principalmente relacionada con aquellas situaciones quesolo ocurrirán una vez, como es el caso del precio que tendrán ciertos tipos de

acciones en el día de mañana o el estado del tiempo atmosférico el día 31 de

diciembre de este ano. En estos casos la información del pasado (semejante a la



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frecuencia relativa), la experiencia y las actitudes sirven de soporte para hacer

evaluaciones probabilísticas.

La probabilidad subjetiva se define o se interpreta como sigue:

Dado un experimento determinado, una situación o un suceso, la probabilidad de

un evento E es el “grado de creencia” asignado a la ocurrencia de este evento porun individuo particular; las únicas exigencias son que: 1) Prob ( E) = 0 representa la

certeza de que el evento no ocurrirá, 2) Prob ( E) = 1 representa la certeza de que el

evento si ocurrirá, y 3) 0 <= Prob ( E) < =1 representa el grado de certeza de que

evento E ocurrirá.

Esto es, la Probabilidad Subjetiva de la ocurrencia de un evento es un número

índice, asignado por una persona y que representa el grado de conocimiento que

esta tiene sobre el suceso en particular considerado. Otra persona, con otros

conocimientos, podría asignar un número índice distinto.Cuando usted trata de responder una interrogante como Cual es la probabilidad

de que mañana en el juego de apertura de la Serie Mundial gane el equipo Home

Club? Está considerando una probabilidad subjetiva.

3.3. Axiomas de Probabilidad.

El cálculo de probabilidad tiene como fundamento la teoría de los conjuntos y se

desarrolla a partir de 3 axiomas o postulados del evento probabilístico.

Primer axioma (Positividad):La probabilidad de un evento es no negativo; significa que puede ser cero o un

numero positivo y se expresa así; Prob ( E) >= 0

Segundo axioma (Certidumbre):Este axioma manifiesta que la probabilidad de todo el espacio muestral es 1 y se

expresa así; Prob ( S) = 1; obsérvese que los dos primeros axiomas indican que la

probabilidad de cualquier evento varía entre 0 y 1. Por lo tanto, tenemos que 0 <=

Prob ( E) <= 1



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Tercer axioma (Uniones):La probabilidad de un evento compuesto E es la suma de las probabilidades de los

eventos simples de los cuales E es compuesto.

3.4. Eventos y su Probabilidad.Para calcular las probabilidades es necesario definir bien los eventos.

Eventos mutuamente excluyentes ( AU B):Se dice que dos eventos, A y B son mutuamente excluyentes, o simples, si no

pueden ocurrir simultáneamente o no tienen ningún punto muestral en común.

Prob (A U B) = Prob (A) + Prob (B)

Ejemplo: Se extrae aleatoriamente una carta de un mazo de cartasespañolas; Cual es la probabilidad de que aparezca un As o un Rey?

Resp: Prob (As U Rey) = Prob (As) + Prob (Rey) = 4/40 + 4/40 = 2/10

Eventos solapados ( AU B):Se dice que dos eventos, A y B son solapados, si tienen puntos muestrales en

común. Los puntos muestrales que pertenecen tanto a A como a B forman un

subconjunto que se llama intersección de A y B, representada por (A∩B); Prob (A

U B) = Prob (A) + Prob (B) - Prob (A ∩ B)Ejemplo: Se extrae aleatoriamente una carta de un mazo de cartas españolas;

Cual es la probabilidad de que aparezca un As o una espada?

Resp: Prob (As U Espada) = Prob (As) + Prob (Espada) - Prob (As ∩ Espada)

= 4/40 + 10/40 – 1/40 = 13/40

Eventos complementarios AC :Se dice que dos eventos A y AC son complementarios si el segundo es un

subconjunto que contiene todos los sucesos elementales del espacio muestral queno están el primero; los sucesos complementarios son mutuamente excluyentes y

su unión es el espacio muestral S.

Prob (AC) = Prob (S) - Prob (A) = 1 - Prob (A)



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Ejemplo: Cual es la probabilidad de que aparezca un 1, 2, 3, 4 o 5 cuando se

arroja un dado común?

Resp: Prob (1, 2, 3, 4 o 5) = 1 - Prob (6) = 1 – 1/6 = 5/6

Eventos independientes (A ∩ B):Se dice que dos eventos son independientes si el resultado de uno no afecta al

otro, o no es afectado por el otro. De esta forma si A y B son independiente,

entonces la

Prob (A ∩ B) = Prob (A) x Prob (B); Esto significa que si A y B son

independientes, entonces la probabilidad de que A y B aparezcan

simultáneamente, como lo denota (A ∩ B), es el producto de sus

probabilidades separadas.

Ejemplo: Se arrojan 2 dados, uno Azul A y otro Blanco B; Cual es laprobabilidad de que A <= 4 y B >= 5

Resp. Prob (A ∩ B) = Prob (A) x Prob (B) = 4/6 x2/6 = 2/9

Eventos condicionados (A ∩ B):Se dice que dos eventos son condicionados o dependientes si el resultado de uno

si afecta al otro, o es afectado por el otro. De esta forma si A y B son dependientes,

entonces la

Prob (A ∩ B) = Prob (A) x Prob (B/A) o

Prob (B ∩ A) = Prob (B) x Prob (A/B)

Ejemplo: En un conjunto de 100 productos manufacturados, 15 son

defectuosos. Suponga que 2 son extraídos aleatoriamente sin reemplazo;

Cual es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?

Resp. Designemos con D a los defectuosos, entonces tenemos que

Prob (D1 ∩ D2) = Prob (D1) x Prob (D2/D1) = 15/100 x 14/99 = 21/990

Ejercicios de Probabilidad

1. Explique por qué hay error en cada una de las afirmaciones siguientes:

a) Las probabilidades de que un camionero no sufra accidentes, sufra uno,

dos o más durante el ano, son 0.90; 0.02; 0.09



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b) Un agente de Bolsa afirma que la probabilidad de que suba el precio de

ciertas acciones es 0.48, de que no cambie el valor es 0.64 y de que baje es

- 0.12

c) Las probabilidades de que haya cero, 1, 2 o 3 días de lluvia la semana

que viene son 0.54; 0.28; 0.14 y 0.04 respectivamente.

2. Un estudiante responde al azar a 4 preguntas de una prueba de verdadero o

falso.

a) Escriba el espacio muestral.

b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.

c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.

d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.

3. En un conjunto de 100 ítems manufacturados, 7 de ellos son defectuosos. Se saca

un ítem aleatoriamente del conjunto; Cual es la probabilidad de que sea

defectuoso? Resp. 7/100

4. Cuál es la probabilidad de que aparezca un 7 o un 11 si se arrojan un par de

dados regulares? Resp. 2/9

5. Se selecciona un participante de una escuela en la que hay 500 varones y 200hembras; Cual es la probabilidad de que el estudiante elegido sea hembra?

Resp. 2/7

6. Una persona posee un billete de lotería perteneciente a una tira de 150 billetes

que ofrecen un primero, un segundo y un tercer premio. Cuál es la probabilidad de

que ganara a) el primer premio, b) el segundo premio, c) el tercer premio, d) un

premio.

7. Se arroja dos dados. Cuál es la probabilidad de no obtener un doble?

8. Durante una campaña política, la probabilidad de A de ganar es de 2/5 y la de Bes 1/3; Cual es la probabilidad de A o de B de ganar si ambos están en la misma

campaña?

9. Se arroja un dado; Cual es la probabilidad de que aparezca:

(a.) un número par ( b) un número divisible entre 3 (c ) un numero mayor que 4?



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10. Un dado esta cargado de manera que la probabilidad de salir una cara dada es

proporcional al número de puntos que tiene la cara. Halle la probabilidad de

obtener:

a) Un número menor que tres

b) Un número menor o igual que cuatroc) Un número impar

d) Un número mayor o igual que cuatro

11. Tres contratistas, A, B y C, licitan por la construcción de una nueva escuela. Un

experto cree que A tiene la mitad de la probabilidad que B; B, a su vez, tiene 2/3 de

la probabilidad de C de ganar el contrato. Cuál es la probabilidad para cada uno de

ganar el contrato si las estimaciones del experto son acertadas?

12. Se arrojan juntos dos monedas y un dado. ¿Cual es la probabilidad de que

ambas monedas resulten cara y de que el dado de un numero menor que 3? Resp.

1/12

13. Si yo tengo una cesta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10

manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Razone analíticamente en terminos probabilistico su respuesta

14. Se toma un producto al azar, cual es la probabilidad

MAQUINAS

PRODUCTOS A B C TOTAL

Defectuoso 13 12 14 39

No defectuoso 36 34 42 112

TOTAL 49 46 56 151

a.- sea de la maquina B b.- sea defectuoso

c.- sea de la maquina A o C d.- no defectuoso de B

15. Se lanza un dado, si el número obtenido es <= 3 se extrae una bola de la urnanúmero 1 que contiene 4 bolas blancas y 3 rojas; si el número es > 3 se extrae una

bola de la urna urna numero 2 que contiene 2 bolas blancas y 6 rojas. Calcular la

probabilidad de que salga un 5 y que la bola sea roja.



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16. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y

blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas latecla Azul?

a) Para que las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la

roja y la segunda también pulse la roja, es decir que se verifique el suceso (R1

R2). Ahora bien , como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la

intersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La

probabilidad de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casos

favorables (uno), partido por casos posibles (tres) .

P(R1 x R2) = P(R1) · P(R2) = 1/3 · 1/3 = 1/9

b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de los

sucesos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos

sucesos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la

suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección. La

probabilidad de la intersección, al igual que en el apartado anterior, se calcula

basándonos en el hecho de que son independientes.

P(A1 x A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 x A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9

17. Como todo el mundo sabe, la probabilidad de que en una ruleta salga 10 veces

seguidas el color rojo es muy pequeña. Habiendo salido 9 veces seguidas el rojo,

un jugador apuesta al negro ¿Qué probabilidad tiene de ganar?

Para que el jugador gane tiene que ocurrir la secuencia R1, R2, ..., R9, N10. Como

sabemos ya se ha producido R1, R2, ..., R9. La probabilidad que buscamos será la

probabilidad de que salga negro en el décimo lanzamiento, condicionada por quehaya salido rojo en las nueve anteriores. Por la definición de probabilidad

condicionada:



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Como vemos el hecho de que previamente haya salido nueve veces rojo no cambiala probabilidad de que salga la décima vez. Esto es así porque cada lanzamiento es

independiente de los restantes. (Nota. En realidad la probabilidad de que salga

rojo o negro en una ruleta no es exactamente 0,5, sino 18/37 ya que además de los

18 números rojos y los 18 negros, existe el cero que no tiene asignado color, pero

este dato no cambia el razonamiento hecho y el resultado sería 18/37)

18. En una asignatura se ha decidido aprobar a aquellos que superen uno de los

dos parciales. Con este criterio aprobó el 80%, sabiendo que el primer parcial losuperó el 60% y el segundo el 50% ¿Cuál hubiese sido el porcentaje de aprobados,

si se hubiese exigido superar ambos parciales?

Sea A1 el suceso aprobar el primer parcial y A2 aprobar el segundo. Los datos del

problema nos dicen que:

P(A1 x A2) = 0,8 P(A1) = 0,6 P(A2) = 0,5

Y se pide la probabilidad de la intersección de ambos sucesos. Como A1 y A2 no

son incompatibles, la probabilidad de la unión será:

P(A1 x A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 x A2)

Despejando tenemos: P(A1 x A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 xA2)

Sustituyendo los valores numéricos: P(A1 x A2) = 0,6 + 0,5 – 0,8 = 0,30

La conclusión es que si se hubiese exigido aprobar los dos parciales el porcentaje

de aprobados hubiese sido del 30%.

19. Se lanza un dado tantas veces como sea necesario hasta que aparezca un tres. Si

suponemos que el tres no aparece en la primera lanzada.

(a) ¿Cuál es la probabilidad que se necesiten más de cuatro lanzadas?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda en la tercera lanzada?



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Definimos los eventos:

A es el evento que la primera lanzada no es tres.

B es el evento en el que en las primeras cuatro lanzadas no sale tres.

P (B|A) es la probabilidad de que se necesiten más de cuatro lanzadas para que

aparezca tres. si en la primera no sale tres. Debemos calcular

p (B \ A) y p(A).

p(B)= 54/64 p(A)= 5/6

P(B/A) = 53/63

p (B|A) indica la probabilidad de que el tres aparece por primera vez en la terceralanzada sabiendo que no salió en la primera. A \ B = B Puesto que si tres sale por

primera vez en la tercera lanzada entonces la primera lanzada no es tres.

p (B) = 52/63 P(A) = 5 /6 p (B|A) = 5/62

20. Un avión con tres bombas trata de destruir una línea férrea; la probabilidad de

destruir la línea con cualquiera de las bombas es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de qe

la línea quede destruida si el avión emplea las tres bombas?

SoluciónLa probabilidad de que una determinada bomba no haga blanco es : 1 - 1/3 = 2/3

La probabilidad de que ninguna haga blanco, es (2/3) elevado a la 3

Análisis es decir no acierte ni la primera ni la segunda ni la tercera, pues son

sucesos independientes.

La probabilidad de que al menos una haga blanco es 1 - (2/3) elevado a la 3 = 19/27,

ya que son contrarios.

21. Suponga que dos tiradores, A y B, disparan simultáneamente sobre un blancosituado a 1000 metros. Las probabilidades de dar en el blanco son: P(A) = 0.3, P(B)

= 0.4 y P(A y B) = 0.12. ¿Cuál es la probabilidad de que A dé en el blanco, en vista

de que B dio? Resp. 0,30 = 30%



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4. Distribuciones de Probabilidad.Este tema lo vamos a desarrollar indicando para cada distribución los

valores que toma la variable aleatoria y la función de probabilidad. En

virtud de lo anterior, expresaremos qué se pretende calcular y la fórmula

asociada para calcular la media y la desviación estándar de la variablealeatoria. Recordemos que la varianza es el cuadrado de la desviación

estándar, por lo que dejamos al participante el cálculo de la misma. En

estadística la variable aleatoria puede ser discreta o continua, ya sea que

tome valores enteros o valores reales, por lo tanto habrá que hacer la

distinción en el estudio de las mismas.

4.1. Distribuciones de Probabilidad de variables discretas

Distribución Uniforme DiscretaEs la más simple de todas las distribuciones de probabilidad discreta; donde

la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con una probabilidad

idéntica.

Aplicación Experimento Valores o

resulta-

dos

Prob (X = X0)

La variable aleatoria X toma

n valores distintos

Cada valor

tiene la

misma

probabilidad

de ser

seleccionado

X1, X2, X3,

X4, X5, X6,

Xn,

Prob (X = X0) = 1/n

Variable aleatoria XCada valor tiene la misma probabilidad

de ser seleccionado



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Esperanza o Media μ(X) = ∑ Xi /n

Desviación Est{ndar σ(X) =Raíz de ∑(Xi - μ)2 /n

Distribución de Bernoulli.La distribución de Bernoulli se aplica a una variable aleatoria que puede

tomar solo 2 valores o dicotómicas y que se pueden etiquetar como éxito o

fracaso.


resulta-

dos

Probabi-

lidad

Es adecuado en cualquier caso en

que se sienta interés por un

experimento que dé cómo

resultado un evento E o su

opuesto, como éxito y fracaso,

masculino o femenino, positivo o

negativo, etc.

Se repite una

sola vez

1, éxito,

defec -

tuoso

Prob (éxito)

= p

0,

fracaso,

no defec-

tuoso

Prob

(fracaso) = q

= 1-p

Variable aleatoria X Éxito o fracaso

Esperanza o Media μ(X) = p

Desviación Estándar σ(X) = Raíz de [p(1-p)]

Ejemplo: Supongamos que 60% de los empleados de una compañía

favorecen un plan de jubilación propuesto. Se selecciona un empleado

aleatoriamente; Sea X=1 si está a favor del plan y X=0 si está en contra. La



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probabilidad de estar a favor del plan es p = 0.60 o de estar en contra del

plan es (1-p) = 0.40; la esperanza es 0.60 y la desviación estándar es 0.4

Distribución BinomialEsta distribución puede considerarse como una serie de pruebas repetidas e

independientes de Bernoulli. Debe cumplir estas condiciones:

- Se repite un experimento sencillo un número de veces, y sus resultados

son independientes

- Los resultados de cada prueba pueden clasificarse en dos categorías

mutuamente excluyentes, arbitrariamente llamadas Éxitos y Fracasos

- La probabilidad de éxito en una sola prueba, se representa por p y esinvariable en todas las pruebas. La probabilidad de fracaso en una sola

prueba, se representa por q = 1-p

- En una prueba determinada, la atención se centra en el número de éxitos

que ocurrieron o no y es la variable aleatoria a estudiar.

- Se realiza el experimento en las mismas condiciones un número fijo de

pruebas, digamos n, o tamaño de la muestra.

Aplicación Experi-mento

Valores oresultados

Prob (X = X0)

Es adecuado en cualquier caso

en que se sienta interés por el

número de éxitos (1) obtenidos

después de realizar n ensayos

de Bernoulli

Se repite

n veces

0, 1, 2, 3,

..n. La

variable

toma n+1

valores

b(x,n,p) =(nx) px

(1-p)n-x

Variable aleatoria XNumero de éxitos en n ensayos con

reemplazamiento



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Esperanza o Media μ(X) = np

Desviación Est{ndar σ(X) = Raíz de [np(1-p)]

Ejemplo 1: Se arroja una moneda 10 veces; Cual es la probabilidad de

obtener 8 caras o más? Calcular la media y la desviación estándar.

Resp. Habrá que calcular para 8, 9 y10 caras que son los éxitos y sumarse

los resultados de las probabilidades obtenidas.

La media es igual a 5 y la desviación estándar es igual a 1.58

Mas sobre la DISTRIBUCION BINOMIAL

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el

suceso A (éxito) y su contrario Ac (fracaso).

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los

resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p , y

no varía de una prueba a otra. La probabilidad de Ac es 1- p y la

representamos por q .

El experimento consta de un número n de pruebas.

X (nx) px (1-p)n-x Prob (X = X0)

8 45 0.003906 0.250000 0.043943

9 10 0.001953 0.500000 0.009765

10 1 0.000977 1.000000 0.000977

Total 0.054685



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Las características de esta distribución son:

a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se

esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no

pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se esperaque ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son

constantes, es decir no cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son

independientes entre sí.

Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de

la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos

en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta , sólo puede tomar los valores

0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que

considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos

debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).

La distribución Binomial se suele representar por B(n,p,x) siendo n y p los

parámetros de dicha distribución y x los valores que toma la variable.

Función de Probabilidad de la v.a. Binomial

Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la

distribución de Bernoulli (para n=1).

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han

construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.



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Parámetros de la Distribución Binomial

Función de Distribución de la v.a. Binomial

siendo k el mayor número entero menor o igual a xi

.

Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi , la probabilidad

de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.

Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.

Ejemplo 2:

Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que

aparezcan 2 caras.

Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es

identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y

podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en

donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, cara

o sello, cuyas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los

lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o

repeticiones del experimento son constantes, n = 3.



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Luego la fórmula de la distribución Binomial sería:

donde:

p(x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad

de éxito es p

Dando solución al problema del ejemplo tenemos lo siguiente:

n = 3, x = 2, p = ½

Ejemplo 3:

Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores

humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes,

determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a

errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores

de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores

humanos.

Solución:

a) n = 5

x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos

x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano

p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75

q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

b)

xn x

xnn q pC ) p , x ,n( p

8

3

8

13

2

1

4

1

12

321212123

232

23

***!!

!) / () / (C ) / p , x ,n( p

0878900156250562501025075075052252

25.).)(.)(().().(C ). p ,n , x( p

050

0525075010750510 ).().(C ) x( p) x( p). p ,n , , x( p



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c) En este caso cambiaremos el valor de p;

n =5

x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a

errores de tipo humano

x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos

p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) =

0.25

q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p

= 0.75

Distribución HipergeométricaLa manera más simple de ver la diferencia con la distribución binomial está

en la forma en que se realiza el muestreo. La variable aleatoria es el número de

observaciones que caen en una categoría particular como éxito y fracaso. En el caso

de la binomial, se requiere la independencia entre las pruebas porque el muestreo

es con reemplazo de cada artículo después de que se observe; la distribución

Hipergeométrica no requiere independencia y se basa en el muestreo sin

reemplazo.

Aplicación Experi-

mento

Valores o

resultados

Prob (X = X0)


en que se sienta interés enseleccionar x éxitos de los k

artículos considerados como

éxitos y n-x fracasos de los

N –k artículos que se

Se repite

n veces

0, 1, 2, 3,

..n. Lavariable

toma n+1

valores

h(x,N,n,k)

=(kx) (N-kn-x)/(Nn)

015624001464800009760250750151

15...).().(C



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consideran como fracasos

cuando se selecciona una

muestra aleatoria de tamaño n

de N artículos. Sin

reemplazamiento.

Variable aleatoria XNumero de éxitos en n ensayos sin

reemplazamiento

Esperanza o Media μ(X) = nk/N

Desviación Estándar σ(X) = Raíz de {[(N-n)/(N-1)](1-k/N)nk/N}

Ejemplo: Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no

contienen más de 3 defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la

selección de 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un

componente defectuoso. Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente

un defectuoso en la muestra si hay 3 defectuosos en todo el lote? Encuentre la

media y la desviación estándar de la variable aleatoria del ejemplo.

Solución:

N = 40 (Tamaño de la población) n = 5 (Tamaño de la muestra)

k = 3 (defectuosos en la población) x = 1 (defectuosos en la muestra)

h(x,N,n,k) = (kx) (N-kn-x)/(Nn) = h(1,40,5,3) = (31) (40-35-1)/(405) = 0.3011

La media es igual a nk/N = 5*3/40 = 0.3750

La desviación estándar es igual a Raíz de {[(N-n)/(N-1)](1-k/N)nk/N}

= Raíz {[(40-5)/(40-1)](1-3/40)5*3/40} = Raíz (0.3113) = 0.5579



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Distribución MultinomialEl experimento binomial se convierte en experimento Multinomial si cada prueba

tiene más de dos resultados posibles. En general, si una prueba dada puede tener

como consecuencia de los k resultados posibles E1 , E2 ,..Ek con probabilidades

p1 , p2 , .pk entonces la distribución Multinomial dará la probabilidad de queE1 ocurra x1veces, E2 ocurra x2 veces .y Ek ocurra xk veces en n pruebas

independientes, donde x1 + x2 + ..xk = n

Aplicación Experi-

mento

Valores o

resultados

Prob (X = X0)

Es adecuado en cualquier casoen que se tenga más de dos

resultados posibles con

reemplazamiento.

Denotaremos esta distribución

de probabilidad conjunta

como

Se repiten veces 0, 1, 2, 3,..n. La

variable

toma n+1

valores

h(x1

, x2

,.. xk,,

p1

,p2 ,.. pk , n)

=(n x1 , x2 ,.. xk) p1x1

p2x2.. pkxk = [n!/( x1

! x2 !.. xk !)] p1x1

p2x2.. pkxk

Ejemplo: Si se lanza seis veces un par de dados. Cuál es la probabilidad de obtener

un total de 7 u 11 dos veces, un par igual una vez y cualquiera otra combinación

tres veces?

Solución: Listamos los siguientes eventos posibles,

E1 : Ocurre un total de 7 u 11 Prob (E1) = 8/36 = 2/9

E2 :Ocurre un par igual Prob (E2) = 6/36 = 1/6

E3 : Cualquier otra combinación Prob (E3) = 22/36 = 11/18

Suma 1 2 3 4 5 6

1 2 7



Página 56 de 132

2 4 7

3 6 7

4 7 8

5 7 10 11

6 7 11 12

h(x1 , x2 ,.. xk,, p1 , p2 ,.. pk , n) =(n x1 , x2 ,.. xk) p1x1 p2x2.. pkxk = [n!/( x1 ! x2 !.. xk !)] p1x1 p2x2..

pkxk = h(2,1,3, , 2/9, 1/6,11/18 , 6) =(6 2 ,1 ,3)( 2/9)2 (1/6)1(11/18)3 = [6!/( 2 ! 1! 3! )( 2/9)2

(1/6)1(11/18)3 = 0.1127

Distribución Geométrica

Variable aleatoria XNumero de ensayos requeridos hasta

alcanzar el primer éxitoEsperanza o Media μ(X) = 1/p

Desviación Est{ndar σ(X) =( 1/p)Raíz de (1-p)


resulta-

dos

Prob (X = X0)

Se relaciona con una secuencia

de ensayos de Bernoulli, de

hecho la variable aleatoria de

interes denotada por X es el

numero de ensayos requeridos

para alcanzar el primer éxito.

El numero de

experimentos

o ensayos no

es fijo

1, 2, 3,

..

Prob (X = X0)

=(1-p)(x-1)p



Página 57 de 132

Distribución de Pascal o Binomial Negativa


resulta-dos

Prob (X = X0)

Se relaciona con una

secuencia de ensayos de

Bernoulli y es una extensión

lógica de la distribución

geométrica, de hecho la

variable aleatoria de interes

denotada por X es elnúmero de ensayos

requeridos para alcanzar el

r-esimo éxito.

El numero

de

experimen-

tos o

ensayos no

es fijo

r, r+1, r+2,

r+3,

Prob (X = X0) =

(x-1r-1)(1-p)(x-r)pr

Variable aleatoria XNumero de ensayos requeridos hasta

alcanzar el r-esimo éxito

Esperanza o Media μ(X) = r/p

Desviación Est{ndar σ(X) =( 1/p)Raíz de [r(1-p)]

Distribución de PoissonLos experimentos que dan valores numéricos a una variable aleatoria X, el

número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una regiónespecifica, se llaman experimentos de Poisson. El intervalo dado puede ser de

cualquier longitud como un minuto, un día, una semana, un mes e incluso un año.

Debe cumplirse estas condiciones:



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- El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica

es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o

región del espacio disjunto.

- La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalomuy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del

intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de

resultados que ocurran fuera de ese intervalo o región.

- La probabilidad de que ocurran más de un resultado en tal intervalo

corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

Aplicación Experi-

mento

Valores o

resultados

Prob (X = X0)


en que se sienta interés por el

número de resultados o

registros por unidad de tiempo

o espacio.

Se fija

un

tiempo o

espacio

para

medir la

frecuenc

ia.

0, 1, 2, 3,

..

Donde λ es

el número

promedio de

resultados

por unidad y

e = 2.71828..

p(x,λt) =

(e-λt)( λt)X /X!

Variable aleatoria X

Numero de resultados que ocurren en un

intervalo dado o región especifica que se

denota por t

Esperanza o Media μ(X) = λt

Desviación Est{ndar σ(X) =Raíz de λt



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Mas sobre la DISTRIBUCION DE POISSON

Se dice que existe un proceso de Poisson si podemos observar eventos discretos en

un área de oportunidad – un intervalo continuo (de tiempo , longitud, superficie,

etc.) – de tal manera que si se reduce lo suficiente el área de oportunidad o elintervalo,

1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es

constante.

2. La probabilidad de obtener más de un éxito en el intervalo es 0.

3. La probabilidad de observar un éxito en cualquier intervalo es

estadísticamente independiente de la de cualquier otro intervalo.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo,área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

donde:

p(x , ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de

ocurrencia de ellos es

= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

= 2.718

x = variable que denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por

unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de

tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es

independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro

producto dado.

Esta distribución se aplica en situaciones como:

El numero de pacientes que llegan al servicio de emergencia de un hospital

en un intervalo de tiempo.

! x) , x( p

x

http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE



http://www.monografias.com/trabajos13/gaita/gaita.shtml



http://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtml



http://www.monografias.com/trabajos14/verific-servicios/verific-servicios.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/verific-servicios/verific-servicios.shtml






Página 60 de 132

El numero de radiaciones radiactivas que se recibe en un lapso de tiempo,

El numero de glóbulos blancos que se cuentan en una muestra dada.

El numero de partos triples por año

# de defectos de una tela por m2

# de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.

# de bacterias por cm2 de cultivo

# de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

# de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Su utilidad en el área de la salud es muy amplia.

La expresión matemática para la distribución de Poisson para obtener X éxitos,

dado que se esperan λ éxitos es:

Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dado el valor de λ

λ = esperanza del número de éxitos.

e = constante matemática, con valor aproximado 2.711828

X = número de éxitos por unidad

La distribución de Poisson se considera una buena aproximación a la distribución

binomial, en el caso que np < 5 y p < 0.1 ó n > 100 y p < 0.05 y en ese caso λ = np. El

interés por sustituir la distribución Binomial por una distribución de Poisson se

debe a que esta ultima depende únicamente de un solo par{metro, λ , y la binomialde dos, n y p.

Ejemplo 1:

http://www.monografias.com/trabajos4/costo/costo.shtml






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Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las

probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b)

10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a) a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que

llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

= 6 cheques sin fondo por día

= 2.718

b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan

al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos

días consecutivos

Nota: siempre debe estar en función de x o dicho de otra forma, debe

“hablar” de lo mismo que x.

Ejercicios de Distribuciones de Probabilidad de variables discretas.

1. En cierto distrito de la ciudad la necesidad de dinero para comprar drogas se

establece como la razón del 75% de los robos. Encuentre la probabilidad de entre

los siguientes 5 casos de robo que se reporten en ese distrito,

a) Exactamente 2 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.

b) Al menos 3 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.

2. Un prominente medico afirma que 70% de las personas con cáncer de pulmón

son fumadores empedernidos. Si su aseveración es correcta:

13392024

0024801296

4

7182664

64

.).)((

!

).()() , x( p

10495303628800

00000615101019173646

10

7182121210

1210

.).)(.(

!

).()() , x( p



Página 62 de 132

a) Encuentre la probabilidad de que 10 de tales pacientes admitidos

recientemente en un hospital, menos de la mitad sean fumadores

empedernidos.

3. Al probar cierta clase de neumáticos para camión en un terreno escabroso, se

encuentra que 25% de los camiones no completaban la prueba sin espichaduras. Delos siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que:

a) De 3 a 6 tengan problemas.

b) Menos de 4 tengan problemas

c) Más de 5 tengan problemas.

4. Se sabe que el porcentaje de victorias del equipo de beisbol de su preferencia

pasara a las finales de esta temporada fue 62.5%, es decir tuvo que ganar 10 de 16

juegos.

a) Cuál es la probabilidad de que sean campeones?5. Cuál es la probabilidad de que un mesonero de un bar se rehuse a servir bebidas

alcohólicas a solo 2 menores si verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes

de entre 9 estudiantes de los cuales 4 no tienen la edad legal?

6. El estudio de un inventario determina que, en promedio, las demandas de un

artículo en particular en un almacén se realizan 5 veces al día. Cuál es la

probabilidad de que en un día dado se pida este artículo:

a) Más de 5 veces

b) Ninguna vezc) Exactamente 2 veces

d) Menos de 2 veces

7. Las llamadas de servicio llegan a un centro de mantenimiento de acuerdo con un

proceso de POISSON con un promedio de 2.7 llamadas por minutos. Encuentre la

probabilidad de que:

a) Lleguen no más de 4 llamadas en cualquier minuto

b) Lleguen menos de 2 llamadas en cualquier minuto

c) Lleguen más de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos

8. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores

humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la

probabilidad de que:



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a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos

b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano

Resp. 0,08789 0,01464

9. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las

probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10

cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Resp. 0,13385 0,04130

10. Cuál es la probabilidad de obtener un total de nueve al lanzar dos dados seis

veces. A) Dos veces b) Al menos dos veces

11. Calcular la probabilidad de que una familia de cuatro hijos tres de ellos seanVarones.

Resp.

12. El número de pacientes que llega a un hospital sigue una distribución de

Poisson. Si el número promedio es de 120 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que

en un minuto lleguen por lo menos 3 pacientes? Resp. 0,3233

13. Diez por 100 de los radios producidos en la compañía A son defectuosos. Si se

extrae una muestra aleatoria de 5 ítems del total de cierto dia de producción (que

es más de 100,000 unidades), ¿Cuál es la probabilidad de que haya: a) 0

defectuosos, b) 5 defectuosos, y c) por lo menos 3 defectuosos en la muestra?

14. Ocurren diversos accidentes en forma aleatoria en cierta carretera, a un

promedio de 20 por mes. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos un

accidente en un intervalo dado de 15 dias? Resp.

15. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el

80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la

lectura:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?

b) ¿ al menos 2?



Página 64 de 132

16. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que

disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una

persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de

que, transcurridos 30 años, vivan:

a) Las cinco personas.

b) Al menos tres personas.

c) Exactamente dos personas.

17. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco

está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números

de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

18. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10

veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál

es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

19. La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de

defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores , obtener la

probabilidad de que existan 4 televisores con defectos. Resp. 0,0635746

20. En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de

que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso. Resp. 0,2240418

21. Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si

tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿ Calcular la probabilidad de que 10

de ellos tengan defecto en la vista. Resp. 0,12511

22. Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por

1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas

sólo haya una defectuosa. Resp.

23. La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la

probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:

a) Ninguno sufra la enfermedad



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b) Todos sufran la enfermedad

c) Dos de ellos contraigan la enfermedad

24. La probabilidad de que un alumno de primer año de bachillerato repita el

curso es de 0,3, elegimos 20 alumnos al azar, Cual es la probabilidad de que hayaexactamente 4 alumnos repetidores?

25. En una fábrica de partes de automóviles se sabe que de los productos

elaborados el 12% tienen algún defecto, se toma una muestra al azar de 20 piezas,

cual es la probabilidad de: a) Exactamente tres defectuosos b) Ninguno defectuoso

c) Menos de cinco defectuosos d) Como mínimo cuatro no defectuosos

e) Valor esperado de no defectuoso f) Varianza g) Riesgo

26. Un transportista de pasajeros se tarda en recorrer de Caracas a Valencia tres (3)horas, si reduce la velocidad, sugerencia de los pasajeros y por algunos

inconvenientes en la autopista regional del centro (ARC), ¿cuál es la probabilidad

que tarde cuatro (4) horas? Resp. 0,1680

27. La probabilidad de que un estudiante nuevo se gradué es 0,4. Determinar la

probabilidad de que 5 estudiantes nuevos a) ninguno, b) uno, c) al menos uno se

gradué.

Resp. 0,08 0,26 0,92

28. Un 10% de los utensilios producidos en un cierto proceso de fabricación resulta

ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que de una muestra de 10 utensilios

elegidos al azar sean exactamente 2 los defectuosos mediante (a) la distribución

binomial, (b) la aproximación de Poisson a la distribución binomial.

29. Si un 10 % de los remaches producidos por una maquina son defectuosos. Cual

es la probabilidad de que de 5 remaches elegidos al azar:

a) Ninguno sea defectuoso

b) Uno sea defectuoso

c) Al menos 4 sean defectuosos



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d) Menos de 2 sean defectuosos

30. Se sabe de que la probabilidad de que en una intersección de vías de tránsito

ocurra un accidente es p = 0,001. ¿Cuál será la probabilidad de que por cada 2.000vehículos ocurran exactamente dos o más accidentes?

31. La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a una

cierta distancia es 0,3. Si lo intenta 5 veces, calcular la probabilidad de que:

a) no acierte ninguna

b) b) acierte alguna

c) c) acierte 2.

4.2. Distribuciones de Probabilidad de variables continuas.

Distribución Uniforme ContinuaEs una de las distribuciones continuas más simples de la estadística. Esta

distribución se caracteriza por una función de densidad que es “plana”, y por ello

la probabilidad es uniforme en un intervalo cerrado, digamos [a,b]. Aunque las

aplicaciones de esta distribución continua no son muy abundantes, es apropiado

para el principiante comenzar esta introducción a las distribuciones continuas conla distribución uniforme.

Aplicación Experi-

mento

Valores o

resultados

Prob (X = X0)

Esta densidad surge de un

modo natural en la selección

aleatoria de números. Si X =

numero seleccionadoaleatoriamente entre 0 y 1,

entonces la densidad de

probabilidad de X es plana

sobre el intervalo [0,1]: ningún

Selección

aleatoria

de

números.

Valores

comprendi

do en el

intervalo.

f(x; a,b) = 1/(b-a)

para a<=X<=b

= 0 en cualquierotro caso



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número tiene una

probabilidad más alta que

otro.

Variable aleatoria XCualquier valor en el intervalo cerrado

[a,b]

Esperanza o Media μ(X) = (a +b) / 2

Desviación Est{ndar σ(X) =Raíz de [ (b – a)2

/ 12 ]

Se debe recalcar que la función de densidad forma un rectángulo con base

(b-a) y altura constante 1/(b-a). Como resultado, la distribución uniforme a

menudo se llama Distribución Rectangular.

Ejemplo Suponga que se puede reservar una sala de conferencia grande para

cierta compañía por no más de 4 horas. Sin embargo, el uso de la sala de

conferencia es tal que muy a menudo tienen lugar conferencias largas y cortas. Dehecho, se puede suponer que la duración X de una conferencia tiene una

distribución uniforme en el intervalo [0 , 4]

a) Cuál es la función de densidad?

b) Cuál es la probabilidad de que cualquier conferencia dada dure al menos 3

horas?

c) Cuál es la duración promedio y la desviación estándar?

Respuesta: el intervalo [a , b] es [0 , 4]

a) f(x; a,b) = 1/(4)

b) Prob *X >= 3 = ∫ 3 4 (1/4) dx = ¼



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c) μ(X) = (a +b) / 2= 2 σ(X) = Raíz de [ (b – a)2 / 12 ]= 1.15

Distribución Exponencial

Distribución de Gamma

Distribución de Weibull

Distribución Normal o de Gauss

Es la distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la

estadística. Su gráfica se denomina curva normal y tiene forma de campana. La

ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal

depende de 2 parámetros μ , la media y σ , la desviación estándar. De aquí,

denotamos a esta distribución a menudo denominada gaussiana con N(X; μ , σ)

Aplicación Experi-mento Valores o

resultado

s

Prob (X = X0)

Esta función de densidad es

aplicable a mucho fenómenos

que ocurren en la naturaleza,

la industria, la educación, la

economía, finanzas, análisis

de mercado, investigación,

etc. basado en la suposición

de que la población es normal

Es la distribución

limite de todas las

distribuciones

Valores

compren

dido

entre -∞,

∞

N(X; μ , σ)

= 1/raíz(2∏ σ) * e-

(1/2)[(x- u)/ σ]2

para -∞ <=X<= ∞

donde ∏ =

3.14159 y e =

2.71828



Página 69 de 132

Variable aleatoria XCualquier valor en el intervalo de –

menos infinito a infinito

Esperanza o Media μ(X) = la media μ

Desviación Est{ndar σ(X) =la Desviación est{ndar σ

Una vez que se especifican μ y σ la curva normal queda determinada por

completo. A continuación listamos las siguientes propiedades de la curva normal;

a) La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un

máximo, ocurre en X = μ

b) La curva es simétrica respecto de un eje vertical a través de la media μ

c) La curva tiene sus puntos de inflexión en X = μ +- σ , es cóncava hacia abajo

si μ – σ < X < μ + σ , y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto

d) La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica

conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección

e) El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1

La distribución de una variable aleatoria normal con media 0 y desviación estándar

1 se denomina Distribución Normal Estándar y se denota como N(X; 0, 1)

Cualquier variable aleatoria normal X se puede transformar en una variable

aleatoria normal tipificada o estandarizada Z sustrayendo el valor esperado μ y

dividiendo el resultado entre la desviación estándar σ. De aquí tenemos que

Z = ( X - μ ) / σ

Mas sobre la DISTRIBUCION DE NORMAL

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su

propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o

normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su



Página 70 de 132

comportamiento a esta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya

gráfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un

mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos defrecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".

En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que

hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la

normal.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,) de

una especie, p. ejm. Tallas, pesos, envergaduras, di{metros, perímetros

Caracteres fisiológicos, por ejemplo; efecto de una misma dosis de unfármaco, o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de

adaptación a un medio

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.

Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones

normales

Una distribución normal con media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ).

Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la

unidad.

http://www.monografias.com/trabajos35/consumo-inversion/consumo-inversion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml

http://www.monografias.com/trabajos35/consumo-inversion/consumo-inversion.shtml



Página 71 de 132

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la

izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Distribución Normal Estándar N(0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por

media el valor cero, μ =0 , y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la

figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una

distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Características:

a) Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x;

- x

b) La función que nos define esta distribución es:

http://www.vitutor.net/1/56.html

http://www.vitutor.net/1/56.html



Página 72 de 132

- x

Al dar a la función los valores de , 2 y valores a x, obtendremos ladistribución en cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que

también se le conoce como campana de Gauss. Hay un número

infinito de funciones de densidad Normal, una para cada

combinación de y . La media mide la ubicación de la

distribución y la desviación estándar mide su dispersión.

c) Es simétrica con respecto a su eje vertical.

d) Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va atocar el eje de las equis.

e) El área total bajo la curva es 1.

f) Sí sumamos a , se observará que aproximadamente el 68.26% de los

datos se encuentran bajo la curva; si sumamos a 2 , el 95.44% de los datos

estará entre esos límites y si sumamos a 3 , entonces el 99.74% de los datos

caerá dentro de esos límites.

Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datosque se analizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con

esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de

no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomaran de un análisis de

los datos con la distribución Normal, serían erróneas.

Cálculo de probabilidades con la distribución Normal.Para calcular lo más lógico es que la función f(x, , 2), se integre entre

los límites de la variable x; esto es,

2222

2

1

/ ) x() , , x( f

b

a

dx) , , x( f )b xa( p2



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La integral anterior nos daría el área bajo la curva de la función, desde a

hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidad buscada.

Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada

vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x,esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera:

Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a

este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la

probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las

probabilidades es la que nos da el área que se muestra a continuación:

El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre

internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio

de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de

transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal,

Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero.

Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas

y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor,tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16

de pulgada?

Solución: x = variable que nos define el espesor del mortero en pulgadas

= 0.635 pulgadas = 0.082 pulgadas

valor x

z

0 Z



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p(x 7/16 pulgadas) = 0.5- p(0 <= z =< -2.41) = 0.5-0.492 = 0.008

Por tanto, 0.008 x 100% = 0.8% de los recubrimientos de mortero tienen un espesor

menor de 7/16 pulgadas

Tabla de la Normal Estandarizada N(X; 0, 1)Distribución Normal Tipificada o estandarizada: P(0 < = Z <= Zo)

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

412408520820

635043750

0820

6350167..

.

..

.

. / Z

X = 7/16 =0.635

Z



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0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952



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2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998

3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

Z 1,2820 1,6450 1,9600 2,3260 2,5750 3,0900 3,2910 3,8910 4,4710

F(Z) 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 0,9995 1,0000 1,0000

2(1-

F(Z)) 0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,002 0,001 1E-04 7,8E-06

Ejercicios de Distribución Normal

1. Sea Z una variable aleatoria normal estandarizada, encuentre:

a) Prob (0 <= Z <= 1.96)

b) Prob (Z > = 1.96)



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c) Prob (- 1.96 <= Z <= 1.96)

d) Prob (- 1 <= Z <= 1.96)

e) Prob (- 1 <= Z <= 2)

f) Prob ( Z < = 0.70)

2. Sea X una variable aleatoria normal con media igual a 500 y desviación estándar

igual a 100, encuentre:

a) Prob (500 <= X <= 696)

b) Prob (X >= 696)

c) Prob (304 <= X <= 696)

d) Prob (400 <= X <= 696)

e) Prob (600 <= X <= 696)

3. Obtenga el valor de Z0 en las siguientes ecuaciones para la variable aleatoria

normal estandarizada.

a) Prob (- Z0 <= Z <= Z0) = 0.98

b) Prob ( Z >= Z0) =0.01

c) Prob ( Z <= - Z0) = 0.01

d) Prob (- Z0 <= Z <= Z0) = 0.6826

e) Prob (- Z0 <= Z <= Z0) = 0.9544

f) Prob (Z >= Z0) = 0.95

4. Sea X una variable aleatoria normal con media igual a 100 y desviación estándarigual a 15, encuentre X0

a) Prob (100 <= X <= 100 + X0) = 0.45

b) Prob (100 – X0 <= X <= 100 + X0) = 0.90



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c) Prob (X >= X0) = 0.20

d) Prob (X <= X0) = 0.30

e) Prob (X <= X0) = 0.80

f) Prob (X >= X0) = 0.70

5. Un analista financiero señala que (conforme a su probabilidad subjetiva) el

precio X de los bonos del gobierno a largo plazo, con un valor de Bs.F 1000,00

tendrá al cabo de un ano una distribución normal con valor esperado de Bs.F

980,00 y desviación estándar de Bs.F 40,00 . Encuentre

a) Prob (X >= 1000)

b) Prob (X <= 940)

c) Prob (960 <= X <= 1060)

d) Encuentre el valor de X0 que satisface Prob (X >= X0) = 0.90

e) Encuentre el valor de X0 tal que la probabilidad de que el precio de los

bonos (un año después) exceda a X0 sea de 0.60

6. Suponga que el salario por hora de un profesor en una universidad (que se basa

en un sistema de pago a destajo) tiene una distribución normal con media Bs.F

30,00 y desviación estándar Bs.F 5,00

a) Encuentre la probabilidad de que el salario por hora de un profesor sea

superior a Bs.F 37,50

b) Encuentre la probabilidad de que el salario por hora de un profesor se

ubique entre 25 y 35 bolívares fuertes

c) Encuentre la probabilidad de que el salario por hora de un profesor sea

superior al salario mínimo contratado de Bs.F 20,00

d) Encuentre la probabilidad de que el salario por hora de un profesor sea

superior al salario máximo contratado Bs.F 40,00



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7. Se calculó que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una línea

de cierta compañía, emplean una temperatura de -4°C con una desviación típica de

1.2°C.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superiora -3°C?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a -

5.5°C?

8. De los 31 productos cuál es la probabilidad de que 20 salgan defectuosos, si el

50% de los productos normalmente sale defectuoso.

9. Los sueldos de 65 empleados de una empresa se distribuyen normalmente con

una x = 2300 bolivares y una σ =150 bolivares se pide :

Hallar la probabilidad de que un empleado obtenga un sueldos inferior a Bs 2400

10. La vida media de los habitantes de un país es de 68 años. Con una varianza de

25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10000 habitantes:

a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años?

b) ¿Cuántos vivirán menos de 60?

11. Supongamos que la estatura masculinos adultos de chile están normalmente

distribuida con μ = 70 pulgadas y ∂² = 9 pulgadas; ¿de que longitud deberían ser

los colchones para que ellos cupiera por lo menos 99 por 100 de los individuos?

12. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una

distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de

días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

13. Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen paracontratación laboral, se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4.

a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos.

b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos.



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c) ¿ Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7'5

puntos ?.

14. Se sabe que los 5200 estudiantes que han inscrito Estadística aplicada por

primera vez en la Universidad Nacional Experimental Simón Rodríguez tienen unpromedio de 4,25 puntos, con una varianza de 0,06 puntos, ¿Cuál es la

probabilidad de escoger un estudiante al azar y?

a) No apruebe b) Entre 4 y 4.5 puntos c) Al menos 4.5 puntos

d) Entre 3 y 4 puntos e) Cantidad de aprobados

f) Entre que calificaciones esta el 50% central

g) Calificación máxima del 15% de las notas mas bajas

h) Calificación minima del 10% de las notas mas altas

15. las estaturas de cierta población se distribuyen según una normal de media 1.68y desviación típica 8. Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar su

altura sea 1.70cm como máximo.

Distribución Log Normal

Distribución de Ji- Cuadrado

Distribución T-Student

Distribución F

5. Distribución Muestral.La formulación de los procedimientos de decisión depende de nuestro

conocimiento de las consecuencias que pueden resultar de las diferentes acciones

tomadas en una situación dada y del estado natural predominante en el momentode llevar a la práctica la decisión. En este caso, “estado natural” se refiere a los

modelos de población o a los fenómenos aleatorios. Sin embargo a menudo

encontramos que las propiedades precisas del modelo, o del estado natural, no se

conocen.



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El análisis estadístico es el método matemático empleado para obtener una misma

información, con la menor cantidad de datos. Una de sus aplicaciones más

conocidas es el control estadístico de calidad en el área de producción. Los

métodos estadísticos permiten producir el máximo de información a partir de los

datos disponibles. El análisis estadístico provee los medios para la elección demuestras y sus características para que sean representativos del universo de datos,

así como del riesgo relacionado con la decisión de aceptar o rechazar un lote de

producciones en función de la información proporcionada por el análisis de la

muestra.

Un método de aproximarnos a los conocimientos de las características de la

población es por el muestreo directo de la misma. Los métodos estadísticos que

nos permiten inferir a partir de datos limitados (muestras) los comportamientos

(poblaciones) a largo plazo que se esperan se llaman Estadística Inductiva o

Inferencial. Rama de la estadística que estudia el comportamiento y propiedades

de las muestras, y la posibilidad y límites de la generalización de los resultados

obtenidos a partir de aquellas a las poblaciones que representan. Esta

generalización de tipo inductivo, se basa en la probabilidad. También se le llama

también estadística matemática, por su complejidad matemática en relación a la

estadística descriptiva.

Tiene como objetivo generalizar las propiedades de la población bajo estudio, basado en los resultados de una muestra representativa de la población.

En el proceso podemos cometer errores pero debemos apreciar esos errores para

tener una medida de confianza en nuestras conclusiones inductivas.

La distribución de probabilidad de una estadística muestral, dado que es una

variable aleatoria, es comúnmente llamada Distribución Muestral. A partir de las

propiedades de la distribución del estadístico podemos calcular los riesgos

(errores) que se corren al hacer generalizaciones de la población con base en lamuestra.

En este curso desarrollaremos la distribuciones muestrales para la media, la

diferencia de medias, la proporción, y la diferencia de proporciones.



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Pero antes de introducirnos de plano en el tema de las distribuciones muestrales,

mencionaremos a título informativo y somero algunas de las actividades que se

realizan en una investigación por muestreo en forma sistemática.

5.1. Algunas de las actividades que se realizan en una investigaciónpor muestreo en forma sistemáticaSe llama muestra a una parte de la población a estudiar qué sirve para

representarla.

El determinar el tamaño de una muestra representa una parte esencial del método

científico para poder llevar a cabo una investigación. Al muestreo lo podemos

definir como el conjunto de observaciones necesarias para estudiar la distribución

de determinadas características en la totalidad de una población, a partir de laobservación de una parte o subconjunto de una población, denominada muestra.

El cálculo del tamaño de la muestra es uno de los aspectos a concretar en las fases

previas de la investigación comercial y determina el grado de credibilidad que

concederemos a los resultados obtenidos.

Al definir el tamaño de la muestra, nosotros deberemos procurar que ésta

información sea representativa, válida y confiable y al mismo tiempo nos

represente un mínimo costo. Por lo tanto, el tamaño de la muestra estará

delimitado por los objetivos del estudio y las características de la población,además de los recursos y el tiempo de que se dispone.

En Estadística el tamaño de la muestra es el número de sujetos que componen la

muestra extraída de una población, necesarios para que los datos obtenidos sean

representativos de la población. Para calcular el tamaño de una muestra hay que

tomar en cuenta tres factores: El porcentaje de confianza con el cual se quiere

generalizar los datos desde la muestra hacia la población total. El porcentaje de

error que se pretende aceptar al momento de hacer la generalización. El nivel de

variabilidad que se calcula para comprobar la hipótesis. La confianza o el

porcentaje de confianza es el porcentaje de seguridad que existe para generalizar

los resultados obtenidos



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Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos

que presentan características comunes.

Planteamiento de la investigación Definir objetivos

Definir cobertura y periodo de referencia

Definir las variables en estudio

Definiciones y relaciones básicas

Antecedentes

Recursos

Asignación de responsabilidades

Elaboración de los instrumentos básicos Plan de tabulación

Cuestionario estadístico

Prueba y ajuste del cuestionario

Instructivos

Entrevistas

Diseño de la encuesta Universo estadístico

Población estadística

Método de recolección

Marco muestral

Tipo de muestreo

Diseño y tamaño de la muestra

Organización y ejecución de las operaciones de campo Diseño de los controles de operación

Encuesta piloto

Preparación del personal de campo

Codificación de preguntas abiertas



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Ejecución de la encuesta

Procesamiento de datos Entrada o captura de los datos

Salidas o reportes

Análisis estadístico de la información

Análisis de los resultados Confiabilidad de la información

Estudio de comportamiento

Análisis económico – social

Plan de difusión Medios de comunicación

Medios informativos

Publicaciones

Limitaciones legales

Extraído del libro:

Investigación por Muestreo del Profesor Félix Serijas, segunda edición,Caracas , 1993

5.2. Distribución de la media muestralSi se extrae una muestra aleatoria de tamaño n de una población con media μ y

desviacion estandar σ , las observaciones muestrales son Independiente y las

variables aleatórias están distribuídas em forma identicas, entonces la distribucion

muestral de la media es como sigue:

Variable aleatoria X Media muestral X

Esperanza o Media μ(X) = μ

Desviación Est{ndar σ(X) = [σ/√n √*(N-n )/(N-1)]



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5.3. Distribución de la diferencia de medias muestralesEn muchos campos de la investigacion científica deseamos a menudo comparar las

medias de dos variables aleatorias, como por ejemplo, el efecto de dos condiciones

o tratamientos o métodos de producción.

Variable aleatoria X1-X2 Medias muestrales X1-X2

Esperanza o Media μ(X1-X2) = μ1- μ2

Desviación Estándar σ(X1-X2) = √(σ21/n1 + σ22/n2 )

5.4. Distribución de la proporción muestralRecordemos que una proporción poblacional se define como P = X / N, en donde X

es el numero de elementos que poseen una cierta característica y N es el numero

total de elementos de la población o tamaño de la población.

Recordemos igualmente que una proporción muestral se define como p = x / n, en

donde x es el numero de elementos de la muestra que poseen cierta característica y

n es el tamaño de la muestra.

Variable aleatoria X Proporcion muestral p

Esperanza o Media μ(X) = P

Desviación Est{ndar σ(X) = √(PQ/n) √*(N-n )/(N-1)]

5.5. Distribución de la diferencia de proporciones muestralesCuando se comparan dos muestras aleatorias extraidas de dos variables

binomiales, es posible trabajar solo con la proporción de éxitos, no con el numero



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de éxitos, a menos que ambas muestras sean del mismo tamaño. Por ejemplo,

durante una elección presidencial , toma una muestra de 100 votantes de un estado

y se halla que 40 estan a favor del candidato A; se toma otra muestra de 150

votantes de otro estado y se encuentra que 50 estan a favor del candidato A. Sin

duda, estos dos conjuntos de números no se pueden evaluar a menos que sereduzcan a proporciones. Mas específicamente, lo que aquí necesitamos es un

modelo de probabilidad de la diferencia de dos proporciones.

Variable aleatoria p1-p2 Proporciones muestrales p1-p2

Esperanza o Media μ(p1-p2) = P1- P2

Desviación Estándar σ(p1-p2) = √(P1 * Q1/n1 + P2 * Q2/n2 )

Ejercicios de Distribución de Muestreo

1. Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está

distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad

de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más

de 30 minutos del promedio?

Resp. La probabilidad de que el promedio de la vida útil de las pilas supere las

24.5 Horas es de 4.75%. P (X > 24.5horas) = 4.75%

Z = (24.5 – 24)/(3/√100) = 1.67 P (Z > 1.67) = 4.75%

2. En un estudio para comparar los pesos promedios de niños y niñas de sexto

grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de

25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una

distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de



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esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142 libras, mientras

que el promedio de los pesos de todas las niñas de sexto grado de esa escuela es de

85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. ¿ Cuál de la probabilidad de

que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más mayor que

el de las 25 niñas?.

Resp. P (X1 – X2 >= 20) = 0.1056 Por lo tanto, la probabilidad de que el peso

promedio de los niños sea al menos 20 libras mayor que el peso promedio de las

niñas es 10.56%.

Z = (20-15) / √(199,9962/20 + 149,989/25 ) = 5/3.9999 = 1,25

P (X1 – X2 >= 20) = P ( Z >= 1,25 ) = 10,56%

3. Previo a una elección la senadora X contrata los servicios de la compañía Y paraf ijar la contienda establecida con los electores. Ella percibe con respecto a este

punto que si tiene el 45% de los votos será nominada de acuerdo con su estrategia

de campaña. Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra

aleatoria simple de 1600 electores registrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la

muestra pueda producir una proporción de 45% más dado que la verdadera

proporción es del 40%?

Resp. P (p >= 0,45) = P (Z>= 4,09) = 0 La probabilidad es de casi el 0%.



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4. Hallar la probabilidad de que en 120 lanzamientos de una moneda el número de

caras (a) esté comprendido entre el 40% y el 60% , (b) sea 5/8 o más del número de

lanzamientos.

5. Si X ˜ N (40,10), calcular Pr (39≤ X ≤ 41) para n=10 ¿ En que intervalo se obtendr{

el 95% de los resultados?

6. Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la desviación típica del

mismo es de 0,05 segundos, ¿Cuál es el tamaño de la muestra mas adecuada para

estimar la media, con una confianza del 95% y un error que no exceda a 0,01?

n= Z²*ô² / e² n= 1,96²*0,05² / 0,01² =96 sujetos

7. El porcentaje de votantes de un Distrito dado que están a favor de determinado

candidato es el 55%. Hallar el tamaño de la muestra con un nivel de confianza del

99% si se quiere un error máximo de 2%, para la proporción de todos los votantes

que están a favor de ese candidato.

n= Z²*P*Q / e² n= 2,58²*0,55*0,45 / 0,02² = 4119 electores

8. Cuál es la probabilidad de que el candidato 1 supere al candidato 2?

Porcentaje de

Votantes

Candidato 1 30%Candidato 2 40%

Candidato 3 30%



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Resp. Prob[ (p1 – p2 > = 0] = Prob (Z >= 1,49) = 6,81 % La probabilidad de

que el candidato 1 supere al candidato 2 es del 6.81%

9. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas

de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si

el valor y calculado cae entre t = -0.05 y t = 0.05, él se encuentra satisfecho con esta

afirmación.

¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

520 521 511 512 510 μ = 500 h

513 522 500 521 495 n = 25

496 488 500 502 512 Nc = 90%

510 510 475 505 521 X = 505.36

506 503 487 493 500 S =12.07



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gl = n -1 = 24 t = 2.22

Se puede concluir que la media poblacional no es 500, porque la muestra

Poblacional está por encima de esta, y por lo tanto debería estar por encima de

500.

10. Un proceso manufacturero usado por una fabrica durante los ultimos 10 años,tiene una distribución normal con la desviación estándar de 8 unidades por hora,

se desea estimar un intervalo de confianza de 90% para el promedio de unidades

por hora producido con dicho proceso. Para tal efecto, se toma una muestra

aleatoria de la producción por hora y se obtiene un promedio de 160 unidades.

Resp. 157.376 < < 162.624

11. En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412

mujeres mayores de 15 años de la región metropolitana se encontró que el 17.6% de

ellas era hipertensas. Determinar un intervalo para la proporción de mujeres

hipertensas en la región metropolitana con un nivel de confianza del 95%.

Resp. 0.14268< P < 0.20932

12. ¿Que tan grande debe seleccionarse una muestra para tener un intervalo de

95% de confianza con un margen de error de 10 unidades? Suponga que la

desviación estándar poblacional es 40. Resp. n= 61.46

13. ¿Cuántas personas tendríamos que estudiar para conocer la prevalencia al

diabetes? Con un nivel de confianza 95%, un error 3%, proporción esperada

asumamos que pueda ser aproxima al 5%.



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14. Una población se compone de tres números 3, 6,8, Considerar todas las

muestras posibles de tamaño dos que puedan extraerse. Hallar:

a. Media de la Población µ=5,6667

b.

Desviación típica de la población σ= 2,0548 c. Media de la distribución media con reemplazo= 5,67

d. Media de la distribución media sin reemplazo = 5,67

e. Desviación típica de la distribución muestra de media con reemplazo

σ / √n = 1,45

f. Desviación típica de la distribución muestra de media sin reemplazo

σ / √n √[(N-n)/(N-1)] = 1,02

15. Si la sumatoria de la edades de diez estudiantes es de 126,45 ¿Cuál es elpromedio de las edades? Media X= 12,645 años

16. De los 56 estudiantes en las dos secciones de estadística aplicada, que cursan la

carrera de Informática solo aprobaron 32. Cual es la proporción de aprobados?

P= 32/56= 0,5714

17. Las medidas de los diámetros de una muestra al azar de 200 cojinetes de bolas

hechas por una determinada máquina durante una semana dieron una media de

0,824 pulgadas y una desviación típica de 0,042 pulgadas. Hallar los límites de

confianza del 95% para el diámetro medio de todos los cojinetes.

IC= Med X ± Z* Ôx IC= [0,8182; 0,8298]

Los intervalos de confianza para estimar el diámetros de cojinetes de bolas hechas

por una determinada máquina se encuentra entre [0,8182; 0,8298], con una

confianza del 95%

18. Una muestra de 100 votantes elegidos al azar entre todos los de un Distritodado, indicó que el 55% estaban a favor de un determinado candidato. Hallar los

límites de confianza del 99% para la proporción de todos los votantes que estaban

a favor de ese candidato

IC= p ± Z* Ôp IC= [0,46; 0,64]



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Los intervalos de confianza para estimar la proporción de todos los votantes

que estaban a favor de ese candidato se encuentra entre [0,46; 0,64], con una

confianza del 99%

19. Una compañía que fabrica pastelitos desea estimar la proporción deconsumidores que prefieran su marca. Los agentes de la compañía observan a 450

compradores, del número total observado 300 compraron los pastelitos. Calcule un

intervalo de confianza del 95% para la proporción de compradores que prefieren

la marca de esta compañía.

Resp.

71,02%

p =

62,31%

La demanda del producto fluctúa entre 62,31% que seria el mínimo y 71,02% que

seria lo máximo.

20. Calcule el tamaño muestral de una encuesta realizada por CIS sobre la Unión

Europea que incluía todas las provincias excepto Ceuta y Melilla. El error teórico

era de + 2, con un intervalo de confianza de 95,5% y P=Q en el supuesto de unmuestreo aleatorio simple.

Resp. n = 2500



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21. Una fábrica desea saber la proporción de amas de casa que preferirían una

aspiradora de su marca. Se toma al azar una muestra de 100 amas de casa y 20

dicen que les gustaría la máquina. Calcule e interprete un intervalo del 95% de

confianza para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían dicha

aspiradora.Interpretación: se tiene una certeza del 95% de que la verdadera proporción de

amas de casa que preferirían la aspiradora está entre 12´2% y 27´8%.

22. Se desea medir la diferencia entre dos categorías de empleados en la actividad

de seguros. Una está formada por personas con título superior y la otra por

personas que sólo tienen estudios secundarios. Tomamos una muestra de 45

empleados entre los primeros y la media de ventas resulta ser 32. Tomamos 60

empleados del segundo grupo y la media es 25. Suponga que las ventas de los dosgrupos se distribuyen normalmente con varianzas de 48 para los titulados

superiores y 56 para los de estudios secundarios.

Calcule e interprete un intervalo del 90% de confianza para la verdadera diferencia

de las medias.

De acuerdo con el intervalo hallado, ¿hay evidencia de que las medias sean

iguales?

I.

Interpretación: La verdadera diferencia de medias se halla entre 4´67 y 9´33 con

una certeza del 90%.

Si las dos medias son iguales, la diferencia entre ambas es cero. Por lo tanto

para que la igualdad entre las medias no pueda descartarse el cero debe

estar en el intervalo calculado. Como en este caso no sucede, no hay

evidencia de la igualdad entre las medias.



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5.6. Conceptos básicos para la determinación del tamaño demuestra: variable cualitativa Sexo y variable cuantitativa Edad.

Notación o Simbología utilizada en el Muestreo.

Variable: Edad Símbolo Variable: Sexo Símbolo

ParámetroMedia

poblacionalμ Parámetro

Proporción

poblacionalP

Estimadormedia

muestralX media Estimador

Proporción

muestralp

Parámetro

Desviación

estándar

poblacional

σ (X) Parámetro

Desviación

estándar

poblacional

σ (X)

EstimadorDesviaciónestándar

muestral

S EstimadorDesviaciónestándar

muestral

S

PoblaciónTamaño de la

PoblaciónN Población

Tamaño de la

PoblaciónN

MuestraTamaño de la

Muestran Muestra

Tamaño de la

Muestran

Desviación

estándar del

estimador

σ(X

media)

Desviación

estándar del

estimador

σ(p)

Error máximo

admisiblee

Error máximo

admisiblee

Nivel de

confianza

(Probabilidad)

Z = f (Alfa)

Nivel de

confianza

(Probabilidad)

Z = f (Alfa)

Tipo de

muestreoProbabilístico

Tipo de

muestreoProbabilístico

Clase de

muestreo

Muestreo

aleatorio

simple

masClase de

muestreo

Muestreo

aleatorio

simple

mas



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Marco Muestral de 1200 personas, Número identificadory variables: Sexo y Edad.

Número Sexo Edad Número Sexo Edad Número Sexo Edad

1 Masculino 26 401 Femenino 80 801 Femenino 30


3 Femenino 28 403 Femenino 37 803 Masculino 49


5 Femenino 36 405 Femenino 25 805 Femenino 75

6 Masculino 60 406 Masculino 49 806 Femenino 18

7 Femenino 68 407 Masculino 58 807 Masculino 20




11 Masculino 30 411 Femenino 21 811 Femenino 2712 Femenino 69 412 Masculino 22 812 Masculino 72









21 Masculino 48 421 Femenino 54 821 Masculino 39





26 Masculino 35 426 Masculino 71 826 Masculino 68








34 Femenino 77 434 Femenino 37 834 Masculino 4535 Masculino 38 435 Masculino 47 835 Femenino 49








Página 96 de 132





45 Femenino 71 445 Masculino 54 845 Femenino 73













58 Femenino 70 458 Masculino 42 858 Masculino 3959 Masculino 76 459 Masculino 28 859 Masculino 28






















81 Masculino 33 481 Femenino 30 881 Femenino 4482 Femenino 61 482 Femenino 43 882 Femenino 18








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105 Femenino 66 505 Femenino 23 905 Femenino 58106 Femenino 45 506 Femenino 62 906 Masculino 61






















128 Femenino 68 528 Masculino 66 928 Masculino 60129 Femenino 34 529 Masculino 38 929 Femenino 80








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152 Femenino 68 552 Femenino 29 952 Masculino 21153 Femenino 58 553 Femenino 61 953 Masculino 79






















175 Femenino 28 575 Femenino 30 975 Femenino 50176 Femenino 41 576 Masculino 39 976 Femenino 26








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199 Femenino 56 599 Femenino 69 999 Femenino 33200 Femenino 34 600 Masculino 60 1.000 Masculino 18

201 Masculino 20 601 Femenino 34 1.001 Masculino 59

202 Masculino 45 602 Femenino 27 1.002 Femenino 79


204 Femenino 76 604 Masculino 18 1.004 Femenino 28

205 Femenino 35 605 Femenino 54 1.005 Femenino 62

206 Femenino 57 606 Masculino 39 1.006 Masculino 26


208 Femenino 20 608 Femenino 22 1.008 Masculino 52

209 Masculino 34 609 Masculino 76 1.009 Femenino 41













222 Femenino 57 622 Femenino 62 1.022 Masculino 49223 Masculino 18 623 Femenino 44 1.023 Femenino 39




227 Masculino 58 627 Masculino 48 1.027 Masculino 30




Página 100 de 132


















246 Femenino 70 646 Femenino 35 1.046 Masculino 43247 Femenino 83 647 Masculino 73 1.047 Femenino 53






















269 Femenino 80 669 Femenino 36 1.069 Femenino 57270 Masculino 28 670 Masculino 18 1.070 Masculino 48








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293 Masculino 50 693 Masculino 71 1.093 Femenino 54294 Masculino 65 694 Femenino 38 1.094 Femenino 19






















316 Masculino 50 716 Masculino 64 1.116 Femenino 32317 Masculino 42 717 Femenino 38 1.117 Femenino 19








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340 Masculino 22 740 Femenino 26 1.140 Femenino 82341 Femenino 26 741 Masculino 62 1.141 Masculino 21






















363 Femenino 26 763 Masculino 34 1.163 Masculino 21364 Femenino 58 764 Masculino 23 1.164 Femenino 50








Página 103 de 132


















387 Masculino 29 787 Femenino 72 1.187 Masculino 39388 Masculino 76 788 Masculino 43 1.188 Femenino 55















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Valores poblacionales de las variables: Sexo y Edad

Valores poblacionales de las variables: Sexo y Edad

Tamaño de la PoblaciónN = 1200

Edad promedio μ 45,2042

Desviación estándar de la edad σ (X) 18,4239

Proporción Poblacional

P (Femenino) % 51,5833

Q (Masculino) % 48,4167

Desviación estándar del sexo σ (X) 0,4997

Niveles de confianza = 1 - 2* Alfa Valores correspondiente de Z

90,0% 1,6449

95,0% 1,9600

97,5% 2,2414

99,0% 2,5758

99,5% 2,8070

Fórmula para n tamaño de la muestra para lamedia

n = (Z*σ (X)/e )ᴧ2 donde σ (X) es ladesviación estándar de la variable enestudio.

Fórmula para n tamaño de la muestra para la

proporción

n = (Z/e)ᴧ2 *P*Q, donde P y Q son las

proporciones de la variable en estudio.



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5.7. Cálculo del tamaño de muestra para las variables Sexo y Edad

Determinación del tamaño de muestra de la variable Sexo en función del

nivel de confianza (NC) y del error (e)Error máximo admisible

en porcentajes

Nivel de confianza (Prob) Valores de Z50% 25% 10% 5% 1%

90,00% 1,64493 11 68 270 6757

95,00% 1,96004 15 96 384 9594

97,50% 2,24145 20 125 502 12547

99,00% 2,57587 27 166 663 16571

99,50% 2,80708 31 197 787 19679

Determinación del tamaño de muestra de la variable Edad en función delnivel de confianza (NC) y del error (e)

Error máximo admisibleen años

Nivel de confianza (Prob) Valores de Z

20 10 5 2 190,00% 1,6449

2 9 37 230 91895,00% 1,9600

3 13 52 326 130497,50% 2,2414

4 17 68 426 170599,00% 2,5758

6 23 90 563 225299,50% 2,8070

7 27 107 669 2675



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6. Estimación puntual y por intervalo de los parámetros.

Intervalos de confianza utilizando desviación estándar

En estadística, la probabilidad que asociamos con una estimación de intervalo se

conoce como el nivel de confianza

Esta probabilidad nos indica que tanta confianza tenemos en que la estimación del

intervalo incluya al parámetro de la población. Una probabilidad mas alta significa

mas confianza.

El intervalo de confianza es el alcance de la estimación que estamos haciendo pero

a menudo hacemos el intervalo de confianza en términos de errores estándar, para

esto debemos calcular el error estándar de la media así:

Donde es el error estándar de la media para una población infinita, es la desviación

estándar de la población.

Con frecuencia expresaremos los intervalos de confianza de esta forma: en la que:

= limite superior del intervalo de confianza

= limite inferior del intervalo de confianza

Relación entre nivel de confianza e intervalo de confianza

Podría pensarse que deberíamos utilizar un alto nivel de confianza, como 99% en

todos los problemas sobre estimaciones, pero en algunos casos altos niveles de

confianza producen intervalos de confianza alto por lo tanto imprecisos.

Debe tenerse un intervalo de confianza que vaya de acuerdo al tema que se este

estimando.

Intervalos de predicción aproximadosuna forma de ver el error estándar de la estimación es concebirla como la

herramienta estadística que podemos usar para hacer un enunciado de

probabilidad sobre el intervalo alrededor del valor estimado de , dentro del cual

cae el valor real de Y.



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Cuando la muestra es mayor de 30 datos, se calcula los intervalos de predicción

aproximados de la siguiente manera,

Si queremos estar seguros en aproximadamente 65% de que el valor real de Y caerá

dentro de + 1 error estándar de . Podemos calcular los limites superior e inferior deeste intervalo de predicción de la siguiente manera:

= Limite superior del intervalo de predicción

= Limite inferior del intervalo de predicción

Si, en lugar decimos que estamos seguros en aproximadamente 95.5% de que el

dato real estará dentro de + 2 errores estándar de la estimación de . Podríamos

calcular los limites de este intervalo de la siguiente manera:



y por ultimo decimos que estamos seguros en aproximadamente el 99.7% cuando

usamos + 3 errores estándar de la estimación de Podríamos calcular los limites de

este intervalo de la siguiente manera:



Como ya habíamos mencionado solo se usa para grandes muestras (mayores de 30

datos) para muestras más pequeñas se usan la distribución T

Debemos poner énfasis en que los intervalos de predicción son solo

aproximaciones, de hecho los estadísticos pueden calcular el error estándar exacto

para la predicción Sp, usando la formula:

en la que:

X0 = valor especifico de x en el que deseamos predecir el valor de Y



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7. Contraste de Hipótesis.

8. Regresión simple y Correlación.

La regresión lineal simple, es una herramienta muy importante para la

econometría, que estudia la dependencia existente entre una variable dependiente

y una o más variables explicativas.

El inventor de dicha teoría fue Francis Galton, junto con la del concepto de

correlación

El modelo de regresión lineal simple, busca encontrar la recta de regresion Y = β0

+ β1• X + error que relacione dos variables (X e Y) de forma que el error sea

minimo

Un ejemplo de dicha regresión lineal, es la renta, ya que no podemos saber el nivel

de renta en un futuro, pero si podemos saber si el promedio de la renta aumentará

o disminuirá determinando con cierta exactitud la cantidad

Análisis de Regresión

En el análisis de regresión lo que se pretende es predecir o estimar el valor

promedio de la variable explicada en base a unos valores fijos de las variables

explicativas. En el análisis de regresión, las variables explicativas son fijas y lavariable explicada es estocástica.

Hipótesis del modelo

1. La variable Y se relaciona linealmente con la variable X

2. La variable Y es cuantitativa y aleatoria

3. Los errores son independientes entre si

Correlacion

La correlación es el grado de dependencia mutua entre las variables, y mide la

intensidad de su relación.



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En otras palabras, el análisis de correlación trata de averiguar el grado o fuerza de

influencia que tienen las variables explicativas (una o más) en la variable

dependiente o explicada.

El coeficiente de correlación es llamado “r”, y su fórmula es:

r = Sxy /[ Sx • Sy] = ∑(x - X )( y - Y) / Raiz* (∑( x - X )2 ∑(y - Y)2] =

= (∑xy - nXY ) / Raiz *(∑x2 – nX2) (∑y2 – nY2)] cuyo valor oscila entre 1 y -1;

X= media de la variable x e Y = media de la variable y

8.1. Principales técnicas utilizadas en el análisis de regresión lineal simple

Diagrama de dispersión e interpretación

El primer paso para determinar si existe o no una relación entre dos variables es

observar la grafica de datos observados. Esta grafica se llama diagrama de

dispersión.

Un diagrama nos puede dar dos tipos de información, visualmente podemos

buscar patrones que nos indiquen que las variables están relacionadas. Entonces si

esto sucede, podemos ver que tipo de línea, o ecuación de estimación, describe esta

relación.

Primero tomamos los datos de la tabla que deseamos analizar y dependiendo de

que se desea averiguar se construye la grafica colocando la variable dependiente

en el eje Y y la independiente en el eje X, Cuando vemos todos estos puntos juntos,

podemos visualizar la relación que existe entre estas dos variables. Como

resultado, también podemos trazar, “o ajustar” una línea recta a través de nuestro

diagrama de dispersión para representar la relación. Es común intentar trazar estaslíneas de forma tal que un numero igual de puntos caiga a cada lado de la línea.



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Estimación mediante la línea de regresión

Hasta el momento las líneas de regresión se colocaron al ajustar las líneas

visualmente entre los puntos de datos, pero para graficar estas líneas de una forma

más precisa podemos utilizar una ecuación que relaciona las dos variables

matemáticamente.

La ecuación para una línea recta donde la variable dependiente Y esta determinada

por la variable independiente X es: Y = A + B• X + e

La A se denomina intersección con el eje Y porque su valor es el punto en el cual la

línea de regresión cruza el eje Y, es decir el eje vertical.

La B es la pendiente de la línea, representa que tanto por cada cambio de unidad

de la variable independiente X cambia la variable dependiente Y. Tanto A como B

son constantes numéricas, puesto que para cada recta dada, sus valores no

cambian.



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Recta de regresión por el método de mínimos cuadrados.

Como estamos buscando la línea de estimación que minimiza la suma de los

cuadrados de los errores a este método lo llamamos Método de los Mínimos

Cuadrados.

¿cómo podemos saber cuando hemos encontrado la mejor línea de ajuste?

Los estadísticos han derivado dos formulas que podemos utilizar para encontrar la

pendiente y la intersección Y de la línea de regresión del mejor ajuste. Las formulas

son

A = (∑y / n) – B (∑x / n)

B = *(∑xy / n) -(∑x / n) (∑y / n)/ *(∑x2 / n) - (∑x / n)2]

Verificación de la ecuación de estimación

Ahora que sabemos como calcular la línea de regresión, podemos verificar que

tanto se ajusta.

La suma de los errores individuales positivos y negativos deben dar cero.

Error estándar de la estimación

El error estándar nos permite deducir la confiabilidad de la ecuación de regresión

que hemos desarrollado.

Este error se simboliza σe y es similar a la desviación estándar en cuanto a que

ambas son medidas de dispersión.

El error estándar de la estimación mide la variabilidad, o dispersión de los valores

observados alrededor de la línea de regresión y su formula es la siguiente:

σe = Raiz *∑(y – a – b x)2/(n – 2)] = Raiz [(∑y2 – a∑y – b∑xy)/(n – 2)]



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Interpretación del error estándar de la estimación

Como se aplicaba en la desviación estándar, mientras más grande sea el error

estándar de estimación, mayor será la dispersión de los puntos alrededor de la

línea de regresión. De manera inversa, si σe = 0, esperemos que la ecuación de

estimación sea un estimador perfecto de la variable dependiente. En este casotodos lo puntos deben caer en la línea de regresión y no habría puntos dispersos.

Usaremos el error estándar como una herramienta de igual forma que la

desviación estándar. Esto suponiendo que los puntos observados están

distribuidos normalmente alrededor de la línea de regresión, podemos encontrar

un 68% de los puntos entre +- 1 σe; 95.5% entre +- 2 σe y 99.7% de los puntos entre

+- 3 σe. Otra cosa que debemos observar es que el error estándar de la estimación

se mide a lo largo del eje Y, y no perpendicularmente de la línea de regresión.

8.2. Análisis de correlación

El análisis de correlación es la herramienta estadística que podemos usar para

describir el grado hasta el cual una variable esta linealmente relacionada con la

otra. Con frecuencia el análisis de correlación se utiliza junto con el análisis de

regresión para medir que tan bien la línea de regresión explica los cambio de la

variable dependiente Y. Sin embargo, la correlación también se puede usar sola

para medir el grado de asociación entre dos variables.

Los estadísticos han desarrollado dos medidas para describir la correlación entre

dos variables: el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación.

Coeficiente de determinación

El coeficiente de determinación es la principal forma en que podemos medir la

extensión, o fuerza de asociación que existe entre dos variables, X y Y. Puesto que

hemos desarrollado una muestra de puntos para desarrollar las líneas de regresión,

nos referimos a esta medida como el coeficiente de determinación de la muestra.

El coeficiente de determinación de la muestra se desarrolla de la relación entre dos

tipos de variación: la variación de los valores Y en conjunto de los datos alrededor

de



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• la línea de regresión ajustada

• su propia media

el termino variación en estos dos casos se refiere a “la suma de un grupo de

desviaciones cuadradas”. Al usar esta definición, entonces es razonable expresar lavariación de los valores Y alrededor de la línea de regresión con esta ecuación:

variación de los valores Y alrededor de la línea de regresión = ∑ ( y – Yr)2

la segunda variación, la de los valores de Y con respecto a su propia media, esta

determinada por

variación de los valores de Y alrededor de su propia media = ∑ ( y – Y)2

uno menos la razón entre estas dos variaciones es el coeficiente de determinación

de la muestra que se simboliza r2 = ∑ ( Yr -Y)2/ ∑ ( y – Y)2

esta ecuación es una medida del grado de asociación lineal entre X y Y

Una correlación perfecta es aquella en que todos los valores de Y caen en la línea

de estimación , por lo tanto el coeficiente de determinación es 1

Cuando el valor del coeficiente de determinación es 0 quiere decir que no haycorrelación entre las dos variables

En los problemas con que se topa la mayoría de los responsables de la toma de

decisiones, r2 caerá en alguna parte entre estos dos extremos de 1 y 0. recuerde, no

obstante que un r2 cercano a 1 indica una fuerte correlación entre X y Y, mientras

que un r2 cercano a 0 significa que existe poca correlación entre estas dos variables.

Un punto que debemos subrayar fuertemente es que r2 mide solo la fuerza de una

relación lineal entre dos variables.

Otra interpretación de r2

Los estadísticos también interpretan el coeficiente de determinación viendo la

cantidad de variación en Y que es explicada por la línea de regresión.



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Método de atajo para calcular el coeficiente de determinación (r2)

Hay una formula que nos ahorra muchos cálculos tediosos y esta es:

en la que:

• r2= coeficiente de determinación de la muestra

• a = intersección en Y

• b = pendiente de la línea de estimación de mejor ajuste

• n = numero de puntos de datos

• X = valores de la variable independiente

• Y = valores de la variable dependiente

• = media de los valores observados de la variable dependiente

Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación es la segunda medida que podemos usar para

describir que también una variable es explicada por la otra. Cuando tratamos con

muestras, el coeficiente de variación de muestra se denomina como r y es la raíz

cuadrada del coeficiente de determinación de la muestra:

cuando la pendiente de estimación de la muestra es positiva, r es la raíz cuadrada

positiva, pero si b es negativa, r es la raiz cuadrada negativa. Por lo tanto, el signo

de indica la dirección de la relación entre las dos variables X y Y. Si existe una

relación inversa, esto es , si y disminuye

Ejercicio de regresión lineal simple

Un corredor de bienes raíces estudio la relación entre X= ingreso anual en miles de Bs.Fde los compradores de viviendas e Y= precio de ventas de las viviendas en miles de Bs.F

Se obtuvieron los datos de las solicitudes hipotecarias correspondientes a 24 ventas en una

temporada en el área de interés del corredor.



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X=Ingreso 25.0 28.5 29.2 30.0 31.0 31.5 31.9 40.9

Y=precio 84.9 94.0 96.5 93.5 102.9 99.5 101.0 120.8

X=Ingreso 33.5 34.0 35.9 36.0 39.0 39.0 40.5 33.0

Y=precio 110.0 100.0 116.0 110.0 125.0 119.9 130.6 99.9

X=Ingreso 44.0 45.0 50.5 54.6 65.0 70.0 32.0 42.5

Y=precio 135.5 140.0 150.7 170.0 110.0 185.0 105.0 129.9

X =Ingresos

Y =Precios

PreciosProyectados

25 84,9 92,22

28,5 94 98,53

29,2 96,5 99,79

30 93,5 101,23

31 102,9 103,03

31,5 99,5 103,93

31,9 101 104,65

40,9 120,8 120,88

33,5 110 107,54

34 100 108,44

35,9 116 111,87

36 110 112,05

39 125 117,45

39 119,9 117,45



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40,5 130,6 120,16

33 99,9 106,64

44 135,5 126,47

45 140 128,27

50,5 150,7 138,18

54,6 170 145,57

65 110 164,32

70 185 173,34

32 105 104,83

42,5 129,9 123,76



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Coeficiente

de

Regresión

A

47,15

Coeficiente

de

Regresión

B

1,80

Coeficiente

de

Correlación

R

0,8201



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9. Series Cronológicas o Series de Tiempo.Una serie cronológica, está formada por un conjunto de observaciones de unavariable, ordenadas en función del tiempo.

Su ámbito de aplicación, no está limitado a la esfera estrictamente económica. Su

metodología puede utilizarse en la medicina (electrocardiograma,electroencefalograma, etc.), agricultura (evolución de las lluvias en las diferentesestaciones), psicología (evolución del coeficiente intelectual de una persona) y enmuchas otras disciplinas.

El propósito perseguido con el análisis de series, consiste en predecir los valores

futuros de la variable estudiada.

Para ello, las observaciones son descompuestas en un conjunto de elementos

(componentes), que permitan descubrir las regularidades que presentan.

El análisis de series cronológicas, se realiza a través de dos modelos básicos.

A) Modelo Aditivo Yt = Tt + St + Ct + Et

B) Modelo Multiplicativo Yt = Tt * St * Ct * Et

Yt - Variable estudiada

Tt - Tendencia

St - Variaciones estacionales

Ct - Fluctuaciones cíclicas

Et – Sucesos aleatorios o irregulares

La elección del modelo a utilizar, estará dada por el que mejor se ajuste a los datos,

de cada problema en particular.

En el modelo aditivo todos los componentes son valores reales, mientras que en el

multiplicativo, la tendencia es real, pero los restantes componentes se expresancomo un porcentaje de ella.



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9.1. Componentes de una serie cronológica

Tendencia ( Tt )El componente de tendencia de una serie representa movimientos lentos y

graduales del conjunto de datos. Su desplazamiento es uniforme, y se identifica

con los cambios permanentes y fundamentales, como los crecimientos de la

población, los cambios en el salario real de una comunidad, etc.

Si analizamos el consumo de un producto alimenticio, en condiciones normales, esrazonable suponer que un aumento en la población, traerá como consecuencia unmayor consumo del mismo.

Este aumento no se percibe en períodos cortos de tiempo, pues como veremos,

existen otros factores que distorsionan las observaciones, pero sí se advierte en ellargo plazo.

En el gráfico se aprecia una tendencia creciente, a pesar de que las observaciones

fluctúan a lo largo del tiempo, por la influencia de los otros componentes.

0

5

10

15

20

25

3035

40

45

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16



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Estacionalidad o variacionales estacionales (St )Las variaciones estacionales representan los movimientos oscilatorios,

dentro de un plazo relativamente corto (un año o menos). En el período escogido,

presentan una considerable dosis de regularidad.

Si analizamos la evolución de las ventas de una heladería, encontraremos

picos bastantes acentuados, en los meses de verano. La estación, está

condicionando la distribución de las ventas anuales, y ese cuadro se repetirá en los

años sucesivos.

El concepto de estacionalidad, se utiliza también para explicar variaciones

que no se corresponden con el concepto de “estación”.

Las mayores ventas de un supermercado los días sábado, también se consideran

fluctuaciones estacionales, por ser una configuración repetida a intervalos

regulares, del mismo fenómeno.

Ciclos o fluctuaciones cíclicas (Ct )Las fluctuaciones cíclicas, se identifican con los movimientos oscilatorios

alrededor de la tendencia, que no se encuentran ceñidos a períodos regulares, pero

que siempre son de largo plazo. Aunque son fenómenos diferentes, podemos

asociar (al solo efecto de su compresión) estas fluctuaciones, al concepto de cicloeconómico.

Ellos se caracterizan por una primera etapa de crecimiento acelerado, a

mayor ritmo que la tendencia.

Esta faz expansiva del ciclo, hace que los valores aumenten por encima del

valor de tendencia, hasta llegar al momento del “boom” en el cual la situación se

revierte.

Los valores comienzan a caer vertiginosamente en esta faz depresiva, hastaque un nuevo impulso vuelva a estabilizar la situación, y pueda dar lugar al

surgimiento de un nuevo ciclo.

La construcción de viviendas en el Uruguay, ha estado caracterizada porfluctuaciones de este tipo.



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Erraticidad o sucesos aleatorios o irregulares (Et )Los sucesos aleatorios o irregulares, reflejan el componente de la serie que varía en

forma totalmente esporádica.

Sus variaciones son generalmente ocasionadas por factores accidentales(huelgas, terremotos, inundaciones).

Si estudiamos las ventas de una empresa, cuya fábrica se incendió y

permaneció seis meses inactiva, es lógico encontrar una caída brusca durante ese

período.

Este componente representa un residuo, que no puede ser explicado por

las variaciones de tendencia, estacionalidad y ciclo.

Sus movimientos suelen suavizarse mediante la utilización de promedios,

que distribuyen sus efectos a lo largo del tiempo.

9.2. Tendencia.Cuando se desea conocer la evolución de una variable en el largo plazo, el estudio

de la tendencia se convierte en un factor relevante.

La orientación de la demanda en el largo plazo, es un aspecto de vital importanciapara muchas empresas. Una demanda creciente, puede indicar la ampliación de lasinstalaciones, adquirir maquinaria y equipos más productivos, o requerir fondosque financien su desarrollo.

Una demanda decreciente en cambio, puede sugerir otro tipo de cambios, como

reducir los gastos fijos, reconsiderar la política de publicidad, o lanzar nuevos

productos al mercado.

Para obtener la tendencia es necesario proceder a su aislamiento. Esto se realiza en

función de los siguientes objetivos básicos:

1. Para proyectar los valores futuros de la variable.



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2. Para eliminar la tendencia calculada para la serie, y estudiar elcomportamiento de los restantes componentes.

La ecuación de la tendencia puede ser lineal o curvilínea (parábola, exponencial).

Nuestro enfoque será lineal por la gran aplicabilidad que posee y la simplicidad

de los cálculos.

La estimación de la tendencia puede hacerse mediante diversos métodos, nosotros

utilizaremos el método de los mínimos cuadrados.

Método de los mínimos cuadrados

Este método es el más utilizado para la obtención de la tendencia y ya fue

definido al hablar de regresión.En este caso consideraremos a la variable X (tiempo) como independiente e Y

(valores observados) como dependiente, y las llamamos “t” y “Yt”

respectivamente.

Suponemos que el sistema causal que influye en la serie, es una función del

tiempo.

Los coeficientes de la recta, definidos al hablar de recta de regresión son:

A = (∑y / n) – B (∑x / n)

B = *(∑xy / n) -(∑x / n) (∑y / n)/ *(∑x2 / n) - (∑x / n)2]



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Ejemplo.

Año t Yt t.Yt t2

1998 1 10 10 1

1999 2 12 24 4

2000 3 11 33 9

2001 4 13 52 16

2002 5 14 70 25

2003 6 16 96 36

2004 7 12 84 49

2005 8 15 120 64

2006 9 14 126 81

45 117 615 285

B = [( 615/ 9) -(45 / 9) (117 / 9)]/ [(285 / 9) - (45 / 9)2] = 0,50

A = (117 / 9) – 0,50 (45 / 9) = 10,50

Yt = A + B Xt = 10,50 + 0,50 Xt

La primera columna y la tercera corresponden a información obtenida, o

sea los datos en el tiempo. Las restantes columnas son de cálculo para hallar los

coeficientes de la recta.

Con la recta obtenida pueden proyectarse los valores de tendencia para losaños siguientes.



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Si quisiéramos conocer el valor para 2009 bastaría identificar el número que

le corresponde a ese año el cual es 12 y sustituirlo en la recta

Yt = 10,50 + 0,50 x 12 = 16,50

9.3. Variaciones estacionales

Las variaciones estacionales de una serie cronológica, son aquellasfluctuaciones que se repiten regularmente dentro del año.

El aislamiento del componente estacional, se funda en los siguientes

objetivos:

a.- Para identificar los valores estacionales, que complementan la estimaciónde valores futuros a través de la tendencia.

b.- Para estudiar el componente cíclico de la serie desestacionalizada.

Por ejemplo, si los productos que comercializa una empresa, tienen una

demanda estacional, el ritmo de producción de los mismos, deberá adaptarse

lógicamente a estos factores.

Si esa empresa se dedica a la fabricación y venta de equipos de calefacción y

aire acondicionado, no puede pasar por alto los factores estacionales opuestos quetienen sus productos.

El proceso productivo se diseñará, para tener los calefactores en stock antes

de comenzar el invierno, y los equipos de frío antes del verano, procurando que los

stocks de los mismos sean mínimos fuera de la temporada.

En las siguientes líneas, veremos los métodos más usuales para aislar el

componente estacional.

Método de diferencia a la tendencia

Este procedimiento consiste en restar la tendencia de la información



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original, para eliminar posteriormente las variaciones cíclicas e irregulares a través

de la promediación.

t t t t t E C ST Y ; luego t t t t t E C ST Y

Al promediar los elementos del segundo miembro, se suavizan los

factores cíclicos y accidentales, quedando aislada la función estacional.

Ejemplo:

2004 2005 2006

1er cuatrim. 16 19 24

2do

cuatrim. 19 26 34

3er cuatrim. 24 31 41

Yt = A + B Xt = 12,917 + 2,617 Xt

Los valores de tendencia para cada uno de los cuatrimestres son los que

aparecen en el siguiente cuadro.

2004 2005 2006

1er cuatrim. 15.533 23.383 31.233

2do cuatrim. 18.150 26.000 33.850

3er cuatrim. 20.767 28.617 36.467



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Si restamos los valores de tendencia hallados, de los valores observados del

cuadro anterior, se obtiene un nuevo cuadro con las diferencias, que luego se

promedian para calcular el componente estacional.

La función de estacionalidad (St) es la que aparece en la última columna. Si

por efecto del redondeo de cifras, su suma no fuera nula, los valores deberían

ajustarse, sumando o restando una constante adecuada.

Si quisiéramos proyectar los valores de la serie para 2007 en base a tendencia y

estacionalidad, haríamos lo siguiente:

1er cuatr./07=5ˆY = 12,917 + 2,617 x 10 – 3,716 = 35,371

2do cuatr./07=6ˆY = 12,917 + 2,617 x 11 + 0,333 = 42,037

3er cuatr./07=7ˆY = 12,917 + 2,617 x 12 + 3,383 = 47,704

Método del porcentaje de tendencia.

Este procedimiento es similar al descrito en el punto anterior, salvoque la eliminación de la tendencia, se realiza mediante una división, pues se

aplica en esquemas multiplicativos.

t t t t t E C ST Y *** ; luego t t t

t

t E C ST

Y **

2004 2005 2006 Σ Σ /3

1er cuatrim. 0.467 -4.383 -7.233 -11.149 -3.716

2do cuatrim. 0.850 0.000 0.150 1.000 0.333

3er cuatrim. 3.233 2.383 4.533 10.149 3.383

0 0



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Los valores obtenidos se promedian para suavizar las variaciones

cíclicas e irregulares.

Para ilustrar el mecanismo de cálculo, podemos utilizar los valores

hallados en el punto anterior.

Yt Tt Yt / Tt

16 15.532 1.0302

19 18.149 1.0469

24 20.766 1.1558

19 23.383 0.8126

26 26 1.0000

31 28.617 1.0833

24 31.234 0.7684

34 33.851 1.0044

41 36.468 1.1243

St

Yt/Tt 2004 2005 2006 Σ Σ /3 Ajuste

1er cuatrim. 1,0302 0,8126 0,7684 2,6112 0,8704 0,8679

2do cuatrim. 1,0469 1,0000 1,0044 3,0513 1,0171 1,0142

3er cuatrim. 1,1558 1,0833 1,1243 3,3634 1,1211 1,1179

3,0086 3,0000



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La suma de los valores estacionales debe ser 3, pues estamos considerando

3 cuatrimestres

Esto significa que en el 1er cuatrimestre, los valores se encuentran

Un 13.21% por debajo del promedio, mientras que en el segundo y tercero, estánrespectivamente el 1.42% y 11.79% por encima de él.

Ejercicio sobre serie cronológica o de tiempo

Un proveedor de equipos de informática acumula durante 5 años los datos relativos a las

ventas mensuales de computadoras. Los datos en miles de unidades son los siguientes:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ano E F M A M J J A S O N D To

1 101.9 93.0 93.5 93.9 104.9 94.6 105.9 116.7 128.4 118.2 107.3 108.6

2 109.0 98.4 99.1 110.7 100.2 112.1 123.8 135.8 124.8 114.1 114.9 112.9

3 115.5 104.5 105.1 105.4 117.5 106.4 118.6 130.9 143.7 132.2 120.8 121.3

4 122.0 110.4 110.8 111.2 124.4 112.4 124.9 138.0 151.5 139.5 127.7 128.0

5 128.1 115.8 116.0 117.2 130.7 117.5 131.8 145.5 159.3 146.5 134.0 134.2

Total

a) Trace una grafica de los datos. Puede ver una tendencia global en los datos?Parece haber efectos cíclicos o estacionales?

b) Ajuste una ecuación de tendencia lineal Yt=A+B t a los datos. Yt representa lasventas correspondientes al mes t, donde t= 1,2,3………..60. y trace la curva de

tendencia lineal sobre la misma grafica en donde están los datos.c) Determine los valores de A Y B de la recta de ajuste y estime algunos valores de

Yt.d) Interprete los resultados y exprese sus conclusiones.



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Meses

Meses Producción

Año 1

Producción

Año 2

Producción

Año 3

Producción

Año 4

Producción

Año 5

Enero 1 101,90 109 115,5 122 128,1

Febrero 2 93,00 98,4 104,5 110,4 115,8

Marzo 3 93,50 99,1 105,1 110,8 116

Abril 4 93,90 110,7 105,4 111,2 117,2

Mayo 5 104,90 100,2 117,5 124,4 130,7

Junio 6 94,60 112,1 106,4 112,4 117,5

Julio 7 105,90 123,8 118,6 124,9 131,8

Agosto 8 116,70 135,8 130,9 138 145,5

Septiembre 9 128,40 124,8 143,7 151,5 159,3

Octubre 10 118,20 114,1 132,2 139,5 146,5

Noviembre 11 107,30 114,9 120,8 127,7 134

Diciembre 12 108,60 112,9 121,3 128 134,2

Coeficiente

de

Regresión

A 92,06 101,95 103,85 109,67 115,17

Coeficiente

de

Regresión

B 2,08 1,70 2,25 2,37 2,50



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Meses Meses

Pronostico

Año 1

Pronostico

Año 2

Pronostico

Año 3

Pronostico

Año 4

Pronostico

Año 5

Enero 1 94,14 103,65 106,11 112,04 117,66

Febrero 2 92,61 101,94 104,36 110,20 115,68

Marzo 3 90,48 100,11 102,10 107,87 113,16

Abril 4 90,14 97,58 101,73 107,50 112,71

Mayo 5 92,95 96,84 104,89 110,83 116,17

Junio 6 100,63 107,42 112,99 119,29 125,18

Julio 7 100,29 107,57 112,71 119,04 124,90

Agosto 8 101,06 106,17 113,52 119,89 125,87

Septiembre 9 98,94 106,64 111,24 117,41 123,28

Octubre 10 98,11 103,30 110,43 116,58 122,23

Noviembre 11 99,50 103,33 112,12 118,46 124,21

Diciembre 12 108,53 109,05 122,43 129,33 135,73



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Estadistica Inductiva[1]GUIA