Estadística Descriptiva: 2. Medidas de Tendencia y Dispersión Ricardo Ñanculef Alegría Universidad Técnica Federico Santa María

Estadística Descriptiva:2. Medidas de Tendencia y Dispersión

Ricardo Ñanculef AlegríaUniversidad Técnica Federico Santa María

Estadística Descriptiva Objetivo

• Obtener información desde una muestra, que permita entender o formular hipótesis acerca del fenómeno que se estudia.

• Herramientas básicas:

• Gráficos: descripciones cualitativas• Estadísticas: descripciones cuantitativas de la tendencia y variabilidad presente en una muestra.

Estadística Descriptiva Medidas de Tendencia y Dispersión

Medidas de Tendencia• Si tuvieramos que resumir en un sólo valor representativo todo el conjunto de observaciones, ¿qué valor usamos?.

Medidas de Tendencia

• Moda: Valor o clase de valores que se observa con mayor frecuencia en la muestra.

• Puede no existir o no ser único. • Funciona para cualquier tipo de dato: categóricos, ordinales ó numéricos.


• Promedio o Media Muestral: Centro geométrico del conjunto de valores observados

• Requiere datos numéricos

n

iixx n

1

)/1(


• Mediana: Se trata del valor que divide el rango de valores observados en dos mitades con el mismo número de observaciones

• Su cómputo requiere ordenar la muestra • Si tenemos un número impar de observaciones la mediana es exactamente el valor del centro: (n+1)/2 • Si tenemos un número par de observaciones la mediana se computa “usualmente” como el promedio de las observaciones n/2 y (n/2)+1


• Robustez de la Media versus la Mediana

• La media es extremadamente sensible a situaciones en que hay valores numéricamente muy distantes del resto (outliers)• La mediana en cambio permite obtener valores más representativos en estos casos• Ejemplo: (1, 2, 2, 2, 3, 9)


0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

0,4000

0,4500

0,5000

4 5 6 70 1 2 3

Q1 Q2 Q3 Q4

Moda

MediaAritmética

Mediana

Rango

Medidas de Tendencia• Robustez de la Media versus la Mediana


(…) en los 70 (…) la razón de los salarios del percentil noventa y el percentil diez era de 3.4 veces, en 2005 ésta estaba en alrededor de 5 veces

Medidas de Tendencia• Percentiles: valores que acumulan una cierta frecuencia relativa. El i-ésimo percentil es el primer valor que acumula al menos i/100

110,5 118,5 126,5 134,5 142,5 150,5 158,5102,5 166,50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Medidas de Tendencia• Percentiles:

Si los datos se ordenan de orden ascendente de magnitud, entonces el percentil Pi para i = 1, 2, … 99

ssα

si xP 100

1s

ni

x )-(1 1s αxαP si

si es entero

en otro caso

Medidas de Tendencia• Cuartiles: valores que acumulan una frecuencias de 1/4 (Q1) , 2/4 (Q2) y 3/4 (Q3)

110,5 118,5 126,5 134,5 142,5 150,5 158,5102,5 166,5

Medidas de Tendencia• Cuartiles:

Si los datos se ordenan de orden ascendente de magnitud, entonces el cuartil Qi para i = 1, 2, 3

ssα

si xP 4

1s

ni

x )-(1 1s αxαP si

si es entero

en otro caso


• Es muchos casos las medidas de tendencia anteriores deben o quieren calcularse sobre datos que ya han sido agrupados

Límites

106,5-114,5114,5-122,5122,5-130,5130,5-138,5138,5-146,5146,5-154,5154,5-162,5

Marca

110,5118,5126,5134,5142,5150,5158,5

FrecuenciasABS - REL - REL. AC. 5 0,125 0,125 3 0,075 0,2 5 0,125 0,325 8 0,2 0,525 6 0,15 0,675 7 0,175 0,85 6 0,15 1


• La organización en clases permite reducir el efecto del ruido o errores en los datos: se pesa un intervalo y su frecuencia, no la frecuencia de un sólo valor

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

110,5 118,5 126,5 134,5 142,5 150,5 158,5

Histograma


• Promedio o Media Muestral con datos agrupados

ni-1

ni

ni+1

C1 C3

k

iii

k

i

ii CfnCn

x11

C2

ni : Frec. relativa Clase i

fi : Frec. relativa Clase i

Ci : Marca Clase i

k : N° de clases


• Moda con datos agrupados. La clase modal se determina como la clase con mayor frecuencia.

CML

aM

n1

nM

n2

D1 D2

21

1

DDD

aLModa M

L : Límite inferior Clase modal

aM : Amplitud Clase Modal (CM)

D1 : nM - n1

D2 : nM - n2

nM : Frec. absoluta Clase Modal

n1 : Frec. absoluta Clase anterior a CM

n2 : Frec. absoluta Clase posterior a CM

Medidas de Tendencia• Mediana con datos agrupados

Lae

fe L : Límite inferior Clase Mediana (C Me)

Fe-1 : Frec. Rel. Acumulada hasta antes (C Me)

fe : Frecuencia Rel. (C Me)

ae : Amplitud (C Me)

e

e

ee f

FaLM

121

ojiva

Fe-1

Medidas de Tendencia• Percentiles con datos agrupados

L

aPi

fPi

ojivaL :Límite inferior percentil i-ésimoFPi-1: Frec. Rel. acumulada hasta antes de la clase percentil i-ésimoaPi : Amplitud percentil i-ésimofPi : Frecuencia Rel. de la clase del percentil i-ésimo

i

i

i

P

P

Pi f

Fi

aLP1100

FPi-1

Medidas de Tendencia• Cuartiles con datos agrupados

L

aCi

fCi

ojivaL :Límite inferior cuartil i-ésimoFPi-1: Frec. Rel. acumulada hasta antes de la clase del cuartil i-ésimoaPi : Amplitud cuartil i-ésimofPi : Frecuencia Rel. de la clase del cuartil i-ésimo

i

i

i

C

C

Ci f

Fi

aLP14

FCi-1

Medidas de Tendencia: Valores representativos de toda la muestra:Media, Moda, Mediana, Quartiles y Percentiles.

Medidas de Dispersión• ¿Cómo damos cuenta de la variabilidad del conjunto de observaciones?: podemos medir las diferencias observadas con respecto a nuestras medidas de tendencia

Medidas de Dispersión• Índice de Variación: Frecuencia con que no se observa la moda o la clase modal en la muestra

mfT 1

Medidas de Dispersión

Datos NO Agrupados:

s2 : Variancia Muestralx : Media Aritméticaxi : i-ésimo valor observadon : Tamaño Muestra

n

ii xx

ns

1

22 )(1

Datos Agrupados:

fi : Frec. relativa Clase ixi : Marca Clase ix : Media Aritméticani : Frec. absoluta Clase in : Tamaño Muestrak : N° de clases

_

n

iii xxfs

1

22 )(

• Varianza Muestral: promedio de las diferencias al cuadrado con respecto a la media.

_

Medidas de Dispersión• Desviación Estándar: Raíz cuadrada de la varianza. • Tiene las mismas “unidades de medida” que las observaciones de la muestra

n

iii xxfs

1

2)(

Datos NO Agrupados:

n

ii xx

ns

1

2)(1

Datos Agrupados:

Medidas de Dispersión• Desviación Media: Promedio de las diferencias absolutas con respecto a la media. • Tiene las mismas “unidades de medida” que las observaciones de la muestra

Datos NO Agrupados:Datos Agrupados:

n

ii xx

nMD

1

||1

k

iii xxfMD

1

||

Medidas de Dispersión• Rango: Diferencia entre el máximo y el mínimo valor observado en la muestra. • Rango Percentil: Diferencia entre P90 y P10: aproximación más robusta al rango.

• Rango InterCuartílico: Distancia promedio de los cuartiles con respecto a la mediana (segundo quartil)

213 QQ

IQR

1090 PPPR

Medidas de Dispersión: grado de variabilidad con respecto a las tendencias: Tasa de Variación, Varianza Rango InterQuartílico.

BoxPlots

Q1 Q2 Q3

3 IRQ 3 IRQ Media

Valores Atípicos

Valores Atípicos

Mediana

Cuartiles 1, 2 y 3

BoxPlots

Q1 Q2 Q33 IRQ 3 IRQ

• Representación visual para describir, simultáneamente, varias características importantes tales como:

• Centro• Dispersión• Asimetría de la distribución• Identificación de las observaciones (valores) atípicas

BoxPlots en Matlab

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