Ejercicio n 1.- Sabiendo que:

P[A B] = 0,6 P[A'] = 0,6 P[A B'] = 0,2 Calcula P[A B] y P[B]. Solucin: P[A'] = 1 P[A] = 0,6 P[A] = 0,4 P[A B'] = P[A] P[A B] 0,2 = 0,4 P[A B] P[A B] = 0,2

Por otra parte: P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] 0,6 = 0,4 + P[B] 0,2 P[B] = 0,4 Ejercicio n 2.- En una bolsa, A, hay 2 bolas negras y 3 rojas. En otra bolsa, B, hay 3 bolas negras, 4 rojas y 3 verdes. Extraemos una bola de A y la introducimos en la bolsa B. Posteriormente, sacamos una bola de B. a) Cul es la probabilidad de que la segunda bola sea roja? b) Cul es la probabilidad de que las dos bolas extradas sean rojas? Solucin:

Hacemos un diagrama de rbol:

[ ]5523

112

558 2 a) =+=RP

[ ]

113 y b) =RRP

Ejercicio n 3.- En una academia hay 60 alumnos matriculados. La tercera parte de ellos van a clase de ingls y las otras dos terceras partes van a clase de informtica. De los que van a ingls, un 40% tambin va a francs. De lo que van a informtica, un 25% tambin va a francs. Si elegimos un alumno al azar: a) Cul es la probabilidad de que vaya a francs? b) Sabiendo que va a francs, cul es la probabilidad de que vaya tambin a informtica?

Solucin: Hacemos un diagrama de rbol:

a) P[Francs] = 0,13 + 0,17 = 0,3 [ ] [ ][ ]

NFORMTICA RANCSNFORMTICA RANCS

RANCS

I y F 0,17b) I / F 0,57F 0,

PP

P= =

3=

Ejercicio n 4.- Teniendo en cuenta que A y B son dos sucesos tales que:

P[A B] = 0,2 P[A' B'] = 0,3 P[A] = 0,5 Halla P[B] y P[B' A]. Solucin: P[A' B'] = P[A B]' = 1 P[A B] = 0,3 P[A B] = 0,7 P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] 0,7 = 0,5 + P[B] 0,2 P[B] = 0,4 P[B' A] = P[A] P[A B] = 0,5 0,2 = 0,3

Ejercicio n 5.- Tenemos tres urnas con las siguientes composiciones:

Urna I: Cinco bolas numeradas del 1 al 5. Urna II: 5 bolas blancas y 10 negras. Urna III: 6 bolas blancas y 8 negras.

Extraemos una bola de la urna I. Si el nmero obtenido es par, sacamos otra bola de la urna II y si es impar, la sacamos de la urna III. a) Cul es la probabilidad de sacar una bola blanca? b) Sabiendo que ha salido blanca, cul es la probabilidad de que fuera de la urna II? Solucin: Hacemos un diagrama en rbol:

[ ] = + =2 9 41a)15 35 105

P B [ ] [ ][ ]= =II y 2 15 14b) II /

41 105 41P B

P BP B

=

Ejercicio n 6.- En un club deportivo, el 52% de los socios son hombres. Entre los socios, el 35% de los hombres practica la natacin, as como el 60% de las mujeres. Si elegimos un socio al azar: a) Cul es la probabilidad de que practique la natacin? b) Sabiendo que practica la natacin, cul es la probabilidad de que sea una mujer? Solucin: Hacemos un diagrama en rbol:

a) P[Natacin] = 0,182 + 0,288 = 0,47 [ ] [ ][ ]

UJER Y ATACINUJER ATACIN

ATACIN

M N 0,288b) M / N 0, 613N 0,47

PP

P= = =

Ejercicio n 7.- En una urna, I, hay 5 bolas rojas y 7 bolas negras. En otra urna, II, hay 6 bolas rojas y 8 negras.

elegida. urna la de bolauna Extraemos

. II urna la elegimos ,32 adprobabilid con y,; I urna la elegimos

31 adprobabilid Con

a) Cul es la probabilidad de que sea roja? b) Sabiendo que ha salido roja, cul es la probabilidad de que fuera de la urna II? Solucin: Hacemos un diagrama en rbol:

[ ]252107

72

365 a) =+=RP

[ ] [ ][ ] 10772

25210772Ry IIR / II b) ===

RP

PP

Ejercicio n 8.- Sabiendo que: P[A] = 0,5 P[B'] = 0,6 P[A' B'] = 0,25

a) Son A y B sucesos independientes? b) Calcula P[A B] y P[A / B]. Solucin: a) P[B'] = 1 P[B] = 0,6 P[B] = 0,4

P[A' B'] = P[(A B)'] = 1 P[A B] = 0,25 P[A B] = 0,75 P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] 0,75 = 0,5 + 0,4 P[A B] P[A B] = 0,15

Por tanto:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

0,5 0,4 0,2

0,15

P A P BP A B P A P B

P A B

= = = Luego, A y B no son independientes.

b) Hemos obtenido en el apartado anterior que: P[A B] = 0,75

Por otra parte:

[ ] [ ][ ] 375,04,015,0/ ===

BP

BAPBAP

Ejercicio n 9.- En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, cul es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas? Solucin: Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso:

A = "el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas"

Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 - 35 = 50 temas que no sabe; entonces:

P [A] = 1 P [A'] = 1 P ["no sabe ninguno de los tres"] 50 49 481 1 0 19885 84 83

, ,= = = 0 802

Por tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0,802. Ejercicio n 10.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar ingls, 36 saben hablar francs, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a) Cul es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) Cul es la probabilidad de que hable francs, sabiendo que habla ingls? c) Cul es la probabilidad de que solo hable francs? Solucin: Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:

Llamamos I = "Habla ingles", F = "Habla francs".

a) Tenemos que hallar P[I F]: [ ] [ ] [ ] [ ] 48 36 12 72 3 0,6

120 120 5P I F P I P F P I F + = + = = = =

[ ] 25,041

4812b) ===IF/P

[ ] 2,051

12024 no c) === IFP

Ejercicio n 11.- Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Despus extraemos una bola de B. a) Cul es la probabilidad de que la bola extrada de B sea blanca? b) Cul es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas? Solucin: Hacemos un diagrama en rbol:

[ ]107

157

307 2 a) =+=BlP

[ ]

307 y b) =BlBlP

Ejercicio n 12.- De dos sucesos A y B sabemos que:

P[A'] = 0,48 P[A B] = 0,82 P[B] = 0,42 a) Son A y B independientes? b) Cunto vale P[A / B]? Solucin:

a) P[A'] = 1 P[A] = 0,48 P[A] = 0,52

P[A B] = P[A] + P[B] P[A B] 0,82 = 0,52 + 0,42 P[A B] P[A B] = 0,12 [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

0,52 0,42 0,2184

0,12

P A P BP A B P A P B

P A B

= = = .No son independientes.

[ ] [ ][ ] 29,042,012,0/b) ===

BPBAPBAP

Ejercicio n 13.- Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un nmero del 0 al 9. Cul es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo nmero? Solucin:

Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido nmero. La pregunta es: cul es la probabilidad de que el segundo elija el mismo nmero?

1,0101

10010 ===P

Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo nmero ser:1 91 0

10 10 = = ,9

Ejercicio n 14.- En un pueblo hay 100 jvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar: a) Cul es la probabilidad de que sea chico? b) Si sabemos que juega al tenis, cul es la probabilidad de que sea chica? c) Cul es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis? Solucin: Hacemos una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:

[ ] 55,02011

1055 a) ===ChicoP

[ ] 47,0157

7535 b) ===Tenis / ChicaP

[ ] 15,0203

10015 c) === tenis NoChicaP

Ejercicio n 15.-

Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola. a) Cul es la probabilidad de que la bola extrada sea blanca? b) Sabiendo que la bola extrada fue blanca, cul es la probabilidad de que fuera de la

primera urna? Solucin: Hacemos un diagrama en rbol:

[ ] 3 3 27a) 20 16 80

P B = + = [ ] [ ][ ]I y 3 / 20 4b) I /

27 / 80 9P

P BP B = = =

B

Ejercicio n 16.- a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un nmero del 1 al 5. Cul es la

probabilidad de que las dos elijan el mismo nmero? b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un nmero del 1 al 5, cul

es la probabilidad de que las tres elijan el mismo nmero? Solucin:

a) Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido nmero. La pregunta es:

cul es a probabilidad de que el segundo elija el mismo nmero?

2,051 ==P

04,0251

51

51 b) ===P

Ejercicio n 17.- En una cadena de televisin se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de un debate y de una pelcula que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la pelcula, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados: a) Cul es la probabilidad de que viera la pelcula y el debate? b) Cul es la probabilidad de que viera la pelcula, sabiendo que no vio el debate? c) Sabiendo que vio la pelcula, cul es la probabilidad de que viera el debate?

Solucin:

Organizamos la informacin en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:

Llamamos D = "Vio el debate" y P = "Vio la pelcula".

[ ] 58,05029

50024501 a) ===PDP

[ ] 97,0

3029

50014501/ b) ===DPP

[ ] 69,0

4229

10024501/ c) ===PDP

Ejercicio n18.- Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B. a) Cul es la probabilidad de obtener un nmero par? b) Sabiendo que sali un nmero par, cul es la probabilidad de que fuera de la urna A? Solucin: Hacemos un diagrama en rbol:

[ ]7029

51

143P a) AR =+=P