y

El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si hay 20 discos en una caja. a) Cuntos esperara usted que salieran defectuosas?

n=20 x= ? x2=10 20 ------ 100 X=0

b) Cul es la probabilidad de que el nmero de discos defectuosos sean al nmero esperado que usted determin en la respuesta a?

y

Solo el 20% de los empleados de la poblacin civil que esta en una base militar restringida porta su identificacin personal, si llegan 10 empleados Cul es la probabilidad de seguridad entre: a) Ocho empleados con identificacin b) Cuatro empleados con identificacin c) Por lo menos 4 empleados con identificacin d) Entre 4y7 empleados inclusive con identificacin.

Datos: n=10 x=8 ; 4

a)

b)

c)

0,000021504

0,000021504

d)

e)

0,16128=16,13%

0,000012288= 1,2%

y

Usted ha contratado 8 recepciones telefnicas para que tomen los pedidos telefnicos para una lnea de productos deportivos que su empresa est comercializando. Una recepcionista est ocupada el 30 % del tiempo catalogando un pedido. Usted no desea que la probabilidad de que una llamada del cliente se reciba con una seal de ocupado exceda el 50% Debera usted contratar ms recepcionistas si 3 clientes llaman?

Datos: n=8 x=3

0,367=36,74%

y

Un estudiante debe obtener por lo menos el 60% en un examen de verdadero y falso con 18 preguntas por responder. Si el estudiante lanza una moneda para determinar la respuesta a c/pregunta. Cul es la probabilidad de que el estudiante pase?

Datos: n=18 x=2

0,0155=1,55%

y Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporcin de 3 de cada 1 00 pacientes. Para contrastar esta a f i r m a c i n , o t r o l a b o r a t o r i o e l i g e al a z a r a 5 p a c i en t e s a l o s q u e a p l i c a l a d r o g a. C u l e s l a p ro b a b i l i d ad d e l o s s i g u i e n t e s su c e s o s ?

1 . Ning n p ac ie nte te ng a e fec tos se c undarios .B(100, 0.03) p = 0. 03 q = 0. 97

2 . Al me nos dos te ng an e fec tos se cunda rios .

3 . C u l e s e l n m e r o m e d i o d e p a c i e n t e s q u e e s p e ra l a b o r a t o r i o q u e s ufra n e fec t os se c unda rios s i e lig e 100 pac ie nte s al a za r?

y

De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones, se seleccionan 12 para ser enviados al Japn o estudiar un nuevo proceso de produccin, 8 de los ejecutivos ya tienen algo de entretenimiento en el proceso. Cul es la probabilidad de que 5 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir para el lejano oriente?

Datos: a=8 x=5 N=15 n=12

P(n,x)=P(12,5)=

=0,1230= 12,31%

y

Como subgerente de una empresa de materiales primas, usted debe contratar 10 personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tiene ttulos universitarios. Cul es la probabilidad de que 5 de los que usted contrate tengan un ttulo.

Datos: a=22 x=5 N=30 n=10

P(n,x)= P(10,5)=

=0,477= 47,71%

y

40 trabajadores de su oficina han recibido nuevos computadores 27 tienen la nueva tecnologa MMx. Si se seleccionan 10 aleatoriamente, Cul es la probabilidad de que 3 estn equipados con MMx?

Datos: a=27 x=3 N=40 n=10

P(n,x)= P(10,3)=

=0,5921= 59,21%

p Del problema anterior la encuesta revelo que 6 de los 10 empleados ganaban $95000 alao, de los cuales 3 seleccionados. Cul es la probabilidad de que todos 3 ganen ms de $95000. Datos: a=3 x=3 N=10 n=6

P(n,x)= P(6,3)=

=0,166= 16,67%

y

Una encuesta de la revista Fortune (marzo 17 de 1997) Sirve como fuente para este problema, que su supervisor le solicita que resuelva de los 10 empleados hombres, 7 tenan esposas que tambin tenan trabajo. Cul es la probabilidad de que a 10 suma un esposo tenga una esposa que este empleada fuera de de casa si se seleccionan 3 trabajadores al azar?

Datos

P(n,x)=a=3 x=1 N=10 N=7

P(10,5)=

=0,477= 47,71%

y

a)Cul es la probabilidad de que una mesera se rehse a servir bebidas alcohlicas nicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) Cal es la probabilidad de que como mximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad? Solucin:

a) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el nmero de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edadp( x ! 2, n ! 5 ) !4

C2 * 5 C39

!

C5

( 3 )( 10 ) ! 0.238095 126

b) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas x = variable que nos define el nmero de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

p( x ! 0 ,1,2; n ! 5 ) !

4

C0* 5 C5 4 C1* 5 C4 4 C2* 5 C3 ( 1 )( 1 ) ( 4 )( 5 ) ( 6 )( 10 ) ! ! 126 9 C5 ! 1 20 60 81 ! ! 0.64286 126 126

y

A un computador de la oficina principal de la compaa llegan llamadas a un promedio de dos por minuto y se sabe que tienen distribucin Poisson. Si el operador est distrado por un minuto. Cul es la probabilidad de que el nmero de llamadas no respondidas sea: a) Cero b) Por lo menos una c) Entre 3 y 5 inclusive

Datos: =2 x=1 e=2,72

a)

P(x)= P(1)= =0,54= 54%

c)

P(x)= P(3)= =0,18= 18% P(5)= =0,036= 3,6%

b) 0,54 = 54%

p Cules seran las probabilidades si el operador se distrae 4 minutos en el ejerci anterior?Datos:

a)=2 x=4 e=2,72

P(x)= P(4)= =0,090= 9%

y

Un proceso de fabricacin utilizando para hacer artefactos plsticos Incas presenta una tasa de 5 defectos para c/100u. Las unidades se envan a los distribuidores en lotes de 200. Si la probabilidad de que unos de 3 salgan defectuosos supera el 30%. Usted planea vender en su lugar, camisetas, grateful Deud, cul artculo agregar usted al inventario.

Datos: =100 x=5 e=2,72

P(x)= P(5)= =2,9x =2,9x

3*30% = 0,9=90%

y

Usted compra partes para bicicleta de una proveedor en toledo que tiene 3 de defectos por c/100 partes. Usted est en el mercado para comprar 150 partes pero no aceptar una probabilidad de ms de 50% de que ms de 2 partes sean defectuosas usted le comprar a dicho proveedor.

Datos: =75 = 0,75 x=3 e=2,72

P(x)= P(3)= =0,033 =3,3% R= Si le compra a este proveedor.

y

En la inspeccin de hojalata producida por un proceso electroltico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfeccin en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando ms una imperfeccin en 15 minutos.

Solucin: a) a) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. P = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

p( x ! 1,P ! 0.6 ) !

( 0.6 )1( 2.718 )0.6 ( 0.6 )( 0.548845 ) ! ! 0.329307 1! 1

b) b) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. P = 0.2 x 5 =1 imperfeccin en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

( 1 )0 ( 2.718 )1 ( 1 )( 2.718 )1 ! p( x ! 2,3,4,etc ....P ! 1 ) ! 1 p( x ! 0,1,P ! 1 ) ! 1 0! 1! =1-(0.367918+0.367918) = 0.26416 c) c) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. P = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

p( x ! 0 ,1,P ! 3 ) ! p( x ! 0,P ! 3 ) p( x ! 1,P ! 3 ) !

( 3 )0 ( 2.718 )3 ( 3 )1( 2.718 )3 ! 0! 1!

= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106y En unos grandes almacenes, un lunes hay 20 kits de ADSL, y el encargado de la seccin ha de decidir si hace un pedido ya que han lanzado una oferta y por la experiencia en otras campaas se sabe que el nmero de clientes que compran durante los das de oferta sigue un proceso de Poisson con media de 10 clientes en un da (el gran almacn esta abierto 10 horas al da).

1. Cul es la probabilidad de vender 10 kits en las primeras 5 horas del lunes? 2. Cul es la probabilidad de que no queden kits al final del da?

3. Por experi

encias anteriores, se sabe que si se hace un pedido hoy, la probabilidad de que llegue maana a primera hora es 0.5, la probabilidad de que llegue a primera hora de pasado maana es 0.3 y la probabilidad de que llegue a primera hora del siguiente da es 0.2. Si se hace un pedido hoy, Cul es la probabilidad de que tengas que decirles a los clientes que no hay kits antes de que llegue el prximo pedido?

Se calcul que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una lnea de cierta compaa, emplean una temperatura de -4C con una desviacin t pica de 1.2C. a. Cul es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3C? b. Cul es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5C?

y

SOLUCIN

La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3C es de 20,33%

La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5C es de 10,56%.

y

En un estudio realizado sobre los ingresos familiares en los que los dos cnyuges trabajan, se ha observado que el salario mensual, en miles de pesetas, de las mujeres (X) se distribuye normalmente con media 100, en tanto que el de los hombres (Y) tiene la siguiente transformacin Y = X + 20. Sabiendo adems que el 15% de los hombres no superan el percentil 75 de las mujeres, se pide :

a) Representar grficamente el enunciado del problema. b) El salario medio de los hombres. c) La desviacin tpica del salario de los hombres y de las mujeres. a) Si la media de las mujeres es 100, la de los hombres queda definida por la relacin Y = X+20, luego es 120. Dicha transformacin (al no multiplicar o dividir por ningn valor) no modifica las desviaciones tpicas. En consecuencia, las desviaciones de la distribucin de mujeres y hombres coinciden. En la distribucin correspondiente a las mujeres el valor que tipificado (Zm) deja a su izquierda un rea 0'75 (75%) coincide con el de la de los hombres (Zh) que tipificado deja a su izquierda un rea 0'15 (no supera el valor anterior). Estas conclusiones se muestran a la derecha.

b) Ya se justific anteriormente que la media de la distribucin de ingresos de los hombres es 120 (en miles de pesetas). c) Con la tabla de la distribucin normal determinamos los valores Zm y Zh , y recordando que coinciden Xm y

Luego las desviaciones tpicas coinciden y valen 11'696 (miles de pesetas).

y

Las puntuaciones de 1000 personas en un determinado test se distribuyen normalmente. Sea X1 la puntuacin directa que supera el 8413% de la distribucin y X2 la puntuacin directa que es superada por el 8413% de la distribucin. Sabiendo que X1 - X2 = 20, calcular :

a) Nmero de observaciones comprendidas entre las puntuaciones tpicas 15 y -02. b) La desviacin tpica de la distribucin. c) La amplitud semi-intercuartl.a)

Directamente de la tabla N(0,1) : Pr (-02 < z < 15) = = 093319 - 042074= 051245 Hay 1000 x 051245 = 51245 512 observaciones.

Las puntuaciones de un examen se distribuyen normalmente con media 15 puntos. La puntuacin A ha sido superada por un 23% de los alumnos. La puntuacin B est situada a 5 puntos diferenciales por debajo de la media. Entre B y la media se encuentra el 30% de los alumnos. Calcular : a) La desviacin tpica de las notas. b) Las puntuaciones directas de A y B. c) El porcentaje de alumnos entre A y

y

B.

c) Observando la figura resulta un rea 057 (030+027); es decir, el 57%.

y

El percentil 70 de una distribucin normal es igual a 88, siendo 0'27 la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior a 60. A qu distribucin normal nos estamos refiriendo ? .

Se nos pide determinar la media y desviacin tpica de una distribucin normal que verifica las condiciones del enunciado. Grficamente: Consultando las tablas obtenemos: a) Valor de z que deja a su izquierda un rea igual a 0'70 : z = 0'52 (valor ms prximo 0'69847) b) Valor de z que deja a su izquierda un rea igual a 0'27 z = -0'61 (valor ms prximo 0'27093)

Se trata de una distribucin N(75'11 , 24'78).

y

Haciendo uso de la tabla que proporciona reas a la izquierda de cada valor z de la distribucin normal tipificada, calcular las probabilidades (reas) siguientes : b) Pr(z-1) Pr(z>-1'00) = 1 - 0'15866 = 0'84134

e) Pr(-1'39