Estabilidad dinámica en recta

8/18/2019 Estabilidad dinámica en recta

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1

Tema 18. Geometría en el contacto rueda – carril

1- Introducción general

En este tema, y en los siguientes, se trata de acometer el estudio de uno de los

mayores problemas que existe a nivel mecánico en el errocarril como es el

tratamiento del contacto rueda carril desde un punto de vista geom!trico,

cinemático y dinámico.

Este es un tema de una comple"idad y diicultad altas tanto en la modeli#aci$n del

contacto rueda – carril, como en la resoluci$n de los problemas cinemático y

dinámico en el sistema tren y en la vía.

%delantando a las conclusiones de todo el estudio se puede decir que&

• El contacto rueda – carril es comple"o, cambiante en el tiempo y diícilmente

tratable desde un punto de vista geom!trico general teniendo en cuenta

todas las variables que intervienen.

• 'as simpliicaciones introducidas en los modelos permiten unas conclusiones

muy sesgadas del verdadero problema. (in embargo, un estudio sin

simpliicaciones es excesivamente comple"o y no permite ver a simple vista

soluciones prácticas )tiles.

• *omo consecuencia del estudio cinemático de un solo e"e en contacto con la

vía, se aprecia un movimiento peri$dico sinusoidal cuya dependencia es

exclusiva de los parámetros mecánicos de la rueda y el e"e montado. Este

movimiento es siempre inestable y por lo tanto tiene tendencia a que el e"e

se +salga de la vía. (e denomina movimiento de la#o.

• En el caso de un bogie completo se deducirá que, desde un punto de vista

dinámico, el sistema mecánico unciona de una manera inestable con

independencia de si la vía es recta o curva.

• -nidos estos dos estudios se concluye que, sin considerar aspectos de la

geometría de vía, el sistema mecánico de rodadura de los trenes contacto

del tren con el carril/ es por naturale#a inestable y que tiene una tendencia

elevada a salirse del camino de rodadura.

• *onsiderando aspectos geom!tricos de la vía y uni!ndolos a las condiciones

propias del sistema mecánico se deriva que la probabilidad de que un tren

se salga de la vía es elevada y que, en caso de p!rdida de parámetros

geom!tricos de vía, aumenta más si cabe.

2- Relaciones geométricas en el contacto rueda – carril



2

% la 0ora de describir el contacto rueda carril, 0ay que dividir dos casos generales&

ona de contacto en marc0a y #ona de contacto en reposo.

'a dierencia entre la #ona de contacto en reposo a la de marc0a es que en la

marc0a se producen puntos de contacto en rodadura y puntos de contacto en

desli#amiento entre rueda y carril. En reposo el contacto es siempre puntual siendo

este punto el inicio de la rodadura cuando el sistema se pone en movimiento.

Tambi!n 0ay que tener en cuenta que durante el movimiento de la rueda !sta se

deorma por el ro#amiento y el desgaste2 por lo que nunca se van a mantener las

#onas o puntos de contacto en rodadura o desli#amiento permanentemente en el

tiempo de un modo constante.

El estudio del contacto rueda – carril y su análisis geom!trico se comen#aron a

estudiar por (tep0enson 1831/ y 4lingel 1855/.

'os estudios reali#ados tratan de establecer las relaciones cinemáticas entre los 6

grados de libertad del e"e montado con respecto a la vía. Estas relaciones

cinemáticas sirven de base para deinir los problemas dinámicos que se derivan del

movimiento transversal. 'os problemas dinámicos a estudiar son&

• Tratamiento lineal& 7ara aquellos cálculos que se aseme"an a la linealidad

como por e"emplo& estabilidad del e"e transversal en marc0a, respuesta del

e"e en recuencia etc.

• Tratamientos no lineales& 7ara aquellos casos condicionados por el

dominio del tiempo bac0es/ e impactos.

Los 6 grados de libertad presentes en un eje ferroviario son los siguientes:

X 'ongitudinal vía Y Transversal vía Z 7erpendicular vía

Z

α

ϕ

Y

Ψ

X



3

Ψ 9alanceo ϕ *abeceo α :otaci$n propia la#o/

% la 0ora de la modeli#aci$n del contacto rueda carril se presentan los siguientes

problemas en las ruedas erroviarias&

• 'os periles de las ruedas son diíciles de modeli#ar2 ya que se 0a de

asegurar el correcto contacto entre ruedas y carril y sus ormas son

comple"as incluyendo #onas rectas, arcos de circunerencias y * – splines.

• ;esde un punto de vista te$rico el contacto rueda – carril interesa que

solamente sea sobre un punto rodadura pura/ pero en la realidad

ácilmente se da el contacto sobre dos puntos de orma que uno será un

punto en rodadura mientras que otro punto será en desli#amiento. Esta

situaci$n ocurre siempre cuando se produce un contacto de rueda con perilnuevo con carril desgastado. 7ara evitar este en$meno en origen se dise<an

periles nuevos que simulan la rueda desgastada de tal orma que se limite

la ricci$n entre rueda y carril acotando el contacto a un solo punto

asegurando la rodadura pura. 7or e"emplo peril de ruedas desgastadas tipo

=eumann/

*on respecto al carril se producen los siguientes en$menos&

• 'os periles de carril tambi!n son comple"os al componerse de #onas rectas

y curvas. %demás, y debido a que en las líneas erroviarias no se garanti#a

un )nico tipo de peril en carril ni un )nico tipo de rueda, no 0ay pautas

0omog!neas sobre el contacto variabilidad en el punto o puntos de

contacto/.• *onociendo el peril de los carriles se aprecia la comple"idad para adaptar el

punto de contacto a una rodadura 0omog!nea. 'a orma de los periles decarril en la #ona de contacto es la siguiente&

11

2



4

%sumiendo todo lo anteriormente dic0o, se suelen adoptar periles de ruedas

normali#ados. ;os e"emplos de este tipo de periles serían el peril ->* – ?1@ que

está ormado por rectas y curvas cumpliendo una conicidad equivalente de 1A3B y

el peril C:E (1BB 3 ormado por *Dsplines de polinomio de grado 8. El primer tipo

es el utili#ado en los trenes convencionales de la :E?E y el segundo en los %F.

Todos los periles que se deinen para las ruedas tienen en com)n una orma de

medici$n de los parámetros de desgaste de rueda. Estos parámetros son

independientes de la ormulaci$n matemática de las curvas que componen el peril

de rueda. 'os parámetros son los siguientes&

B H I mm2 n J 3K mm2 m 5I mm2 q J 6.I mm

er!l "#$er!l &'

& ( )*& ( )

& ( 13& (

& (

$1+1,1

-1

&e.ta n(1/1%olino0io

olino0io

+r.o de.ir.unferen.i

*

2

to5 lti0odes aste

0

1* 00n

7 no0inal

8



%

?inalmente, para simpliicar todo lo relativo a periles de ruedas de cara a cálculos y

teorías, se asimila la rueda de un ve0ículo erroviario como un bicono normal o un

bicono con resalte troncoc$nico en cada lado de la rueda banda"e y pesta<a/.

Folviendo a los grados de libertad anteriormente deinidos x, y, #, L, M, N/, M y x

son irrelevantes por lo que solamente serían deinibles y, #, L, N. ;e estos

parámetros # y L son dependientes de los otros grados de libertad, mientras que y,

N son independientes. N se conoce como el ángulo de la#o e y es despla#amiento

transversal, por lo que se deinen las siguientes relaciones&

Z(Z 9; α<

Ψ( Ψ9; α<

En la realidad se demuestra que el ángulo N es un ángulo que va independiente y

que no tiene por lo tanto dependencia con # y L. 7or lo tanto, las ecuaciones de

relaci$n anteriores se quedarán como&

Z(Z 9<

Ψ( Ψ9<

;e orma que la variable independiente será la y. 7or lo tanto el resultado gráico

de este sistema resuelto es similar a este gráico.

3- Modeliación ! medición de las relaciones geométricas

Ψ

=olu.i>n Lineal

Ψ( Ψ9<

=olu.i>n 'olineal



6

(e deinen a continuaci$n varios parámetros que serán utili#ados en la resoluci$n

de los problemas.

(e deine conicidad eectiva como el parámetro variable en unci$n del

despla#amiento transversal que indica c$mo se inscribe el peril en una curva

variando la conicidad en cada rueda.

f ( y )= Rl− Rr

2a

'os valores de la conicidad eectiva se expresan en la siguiente gráica que depende

del movimiento transversal. Esta gráica es una gráica no lineal.

%l igual que la conicidad eectiva, se puede deinir una unci$n paralela como es el

radio eectivo. 'a expresi$n de esta unci$n es&

Rl=f

'

( y )

&r&l

2a

1/&f 9<

*



Esta unci$n tambi!n evoluciona transversalmente con respecto a la y.

Tambi!n es posible deinir la pendiente eectiva análogamente a la deinici$n de las

otras variables anteriores. Esta pendiente eectiva tambi!n variará gráicamente en

base a sus valores transversales.

m=f '' ( y )

'a unci$n base y/ que representa estos valores en unci$n de las transversales,

se determina en muc0os casos experimentalmente mediante ensayos de rodadura y

toma de datos en el peril rueda.

Tal y como se 0a comentado antes, el e"e montado con las ruedas se ideali#a como

un bicono. Este bicono se tomará de reerencia a la 0ora de resolver las dos

ecuaciones y/ L Ly/ utili#ando las unciones eectivas y t!rminos

lineali#adores.

(e deinen los siguientes t!rminos a la 0ora de modeli#ar el contacto del e"e

montado con el carril&

a anc0o de vía

! despla#amiento transversal

λ conicidad eectiva

Rl y Rr radios eectivos de rodadura lados i#do y dc0o

" ángulo de balaceo

δl y δr ángulo del contacto rueda carril pendiente/

# coeiciente eectivo para lineali#ar la dierencia del ángulo

a11 coeiciente eectivo del ángulo de balanceo

=edricH lineali#$ la resoluci$n del problema mediante los t!rminos % y a11. ;e esta

orma, para valores reducidos del ángulo de contacto ?l y ?r quedan las siguientes

ecuaciones&

@

@&l &r

?l

a



)

1

2( Rl− Rr )≅ λy

1

2( Rl+ Rr )≅ R0 9&adio no0inal de rodadura<

1

2(δl+δr )≅δ 0 9Angulo no0inal del .onta.to rueda B .arril<

1

2( δl−δr )≅

A

a y

ψ ≅ a11

a

y

*on lo que tendríamos un sistema de cinco ecuaciones con seis inc$gnitas.

$- Teor%a lineal& #similación al cuadril'tero articulado

7ara reali#ar este planteamiento simpliicado, se supone que el problema solamente

se da en el plano vertical. Esta ideali#aci$n implica que no existe movimiento de

la#o y que por lo tanto desaparece la componente N de las ecuaciones.

(e reempla#ará el contacto rueda – carril por el mecanismo de una leva ormando

un cuadrilátero articulado equivalente. 'os movimientos de la leva son asimilables a

una rueda en contacto con un tro#o de carril.

2$2

3$3

C

3

C2



D

7or lo tanto, asimilando a este cuadrilátero se obtendrán unas ecuaciones de la

siguiente orma&

Z(Z 9; α<

Ψ( Ψ9; α<

(- Teor%a no lineal sim)li*icada

(e trata de resolver las dos ecuaciones y, N/ y L Ly, N/, teniendo en

cuenta que en esta teoría se asimila y modeli#a la rueda con varios arcos de

circunerencia de dierentes radios. (e obtienen n arcos de circunerencia con nD1

puntos de uni$n entre los arcos.

(e asimilará el contacto en un plano teniendo que determinar en qu! tramo del

arco se da el contacto y luego especíicamente en qu! punto del arco se produce el

contacto.

+- Teor%a no lineal general

(e trataría de resolver el problema tridimensional teniendo en cuenta el movimiento

de la#o con el ángulo N todas las dimensiones y todos los parámetros/. En

realidad, el movimiento de la#o no es nunca despreciable2 ya que para una curva de

radio 3IBm con un bogie con un empate de 3.I m, el ángulo ala representa 1.5O.

7ara una curva de radio 1BBm en las mismas condiciones presenta un ángulo de

la#o de 1.KO.

En la resoluci$n de este problema, se supondrán los periles de ruedas y carriles

como un con"unto de cDsplines cuya ecuaci$n gen!rica es la siguiente&

Z ( y )= A+By+C y2+ D y

3

Cbteniendo los siguientes parámetros& , y, N, L.

El m!todo de cálculo se basa en la adopci$n de m!todos de análisis num!rico para

la resoluci$n de la ecuaci$n mediante sucesivas iteraciones.



1*

El m!todo de cálculo se basa en el siguiente dibu"o&

*onsiste en i"ar los parámetros N e y procediendo a ba"ar los periles de las ruedas

0asta que en punto determinado toquen con el carril. -na ve# reali#ado, se

calculará a continuaci$n la mínima distancia vertical, de tal orma que se realicen

tantas iteraciones como sean necesarias 0asta llegar a unas tolerancias menores a

las indicadas a continuaci$n& l P 1BDK y r P 1BDK

7rimera iteraci$n&Z

' =Z −

Zl+Zr

2

ψ ' =ψ −

Zl−Zr

e

(i no se cumple se va a la siguiente iteraci$n y así sucesivamente&

(egunda iteraci$n&Z

' ' =Z

' −

Zl+Zr

2

ψ '' =ψ

' −Zl−Zr

e

;e acuerdo a las tolerancias marcadas, normalmente el cálculo se interrumpe en la

sexta o s!ptima iteraci$n. ;e este modo, se podría alcan#ar una soluci$n

aproximada para # yψ

L Zr

Zl

e



11

7articularidades del modelo en cuanto al desgaste de los periles de rueda&

• En el caso de rodadura más desli#amiento, se produce por cada 0ilo de carril

el contacto de dos puntos % y 9/. (uponiendo que el desli#amiento se

produce en el punto 9, en este punto se produciría el desgaste de la rueda.

Este desgaste será proporcional a la velocidad lineal del tren, a la velocidad

angular de la rueda y a la distancia de separaci$n entre los puntos % y 9 de

rodadura y desli#amiento medido en la 0ori#ontal bra#o/.

• 'os valores de la distancia entre % y 9 bra#o/ crecen más cuanto el ángulo

N es mayor. (implemente por esta circunstancia el desgaste aumenta con

independencia del tipo de peril de rueda utili#ada. 'a orma en la que el

desgaste aumenta se cuantiica en gráicas de este tipo&

• (i el peril utili#ado es del tipo peril C:E adaptado a cDsplines/ se

demuestra en la práctica que son más sensibles al desgaste en presencia de

ángulos de la#o N altos que los periles ->* rectas y arcos de curvas/.

• 7or lo anterior, en las vías con muc0a curva 0ay una alta tendencia a que N

la#o/ aumente y por lo tanto en este tipo de vías los periles C:E se

desgastarán más ácilmente.

• (uponiendo que asimilamos la rueda y el carril a dos supericies

semies!ricas, si estas supericies están en contacto, las supericies se

deorman por la presi$n del contacto de ambos cuerpos. 'a #ona de contacto

de estas supericies sería una circunerencia o en su caso más general, sería

una elipse si establecemos que las dos semieseras no 0an de ser iguales ni

braEo

+ ,

Fipo deper!l

,raEo9+G

α



12

sim!tricas. 'a delimitaci$n de esta elipse de contacto se reali#a mediante la

teoría de contacto de =ert#. Esta #ona de contacto se estudia mediante esta

teoría y da lugar a una elipse de contacto que varía de un modo

impredecible ya que el contacto es imperecto entre los dos cuerpos. ;ebido

al contacto se produce un pseudodesli#amiento denominado creepage. Este

creepage es un en$meno que se produce anterior al desli#amiento.



13

Tema 3BD Estabilidad dinámica en recta >/

1- ,enómeno de la estailidad din'mica de la marc.a

Tomando en consideraci$n lo visto en el tema 18, se va a proceder a reali#ar un

estudio especíico del parámetro ala la#o/. Este estudio pretende&

• ;emostrar la inestabilidad del e"e en movimiento

• ;emostrar que el parámetro ala es independiente del resto

• ;emostrar la existencia de un movimiento independiente del resto

denominado movimiento de la#o basado en la variaci$n del ángulo ala

2- /inem'tica del e0e montado en rodadura lire& Moimiento de

lao& cuación de lingel

(e parte del modelo de representaci$n de una rueda erroviaria en base a un

bicono. (e estudia la variaci$n de dic0o bicono si se altera su posici$n despla#ando

una distancia y. %sí&

E

r0

r0

δ

,H

+H

E

rB

,+ r



I

+H

14

tan δ 0=

∆

y

∆=tan δ 0

. y2 como

tan δ 0≅δ

0 si δ

0 es peque<o

∆=δ 0

. y y por lo tanto rB=r0+δ

0. y

tan δ 0=

∆

y

∆=tan δ 0

. y2 como

tan δ 0≅δ

0 si δ

0 es peque<o

∆=δ 0

. y y por lo tanto r A=r0−δ

0. y

δ

r0

rB

,

H,

r

r0

+δ I

dφ

Y ,α

+

α V



1%

(e calcularán las velocidades relativas en los puntos % y 9 de contacto rueda –carril como&

V A=r A φ J V A=(r0−δ

0 y ) φ

V B=rB φ J V B=(r0+δ

0 y ) φ

*on las velocidades en los puntos % y 9 se calculará la velocidad de rodadura en el

centro del bicono como la media de las velocidades de rodadura en los puntos de

contacto rueda – carril&

V =V A+V B

2=

r0

φ−δ 0 y φ+r

0φ+δ

0 y φ

2=

2 r0

φ

2=r

0φ

'a velocidad F del centro del bicono se descompondrá en los e"es x e y

´ X =V cos α 2 Y =V sinα

comocosα

ysinα

son peque<os se puede simpliicarcosα ≅1

y

sinα ≅α quedando las expresiones como&

´ X ≅V 2 Y ≅Vα 415

(e toma la velocidad angular del movimiento de la#o como&

V

´ X V

K



16

α =V A−V B

2d =

r0

φ−δ 0 y φ−r

0φ−δ

0 y φ

2d =

−2δ 0 y φ

2d =

−δ 0 y φ

d

*omoV =r

0φ

entoncesφ=

V

r0

y sustituyendo en la expresi$n anterior&

α =−δ

0 y φ

d =

−δ 0 yV

r0 d 425

Tomando 415α =

yV 2 y reali#ando las derivadas

α =

dy

dt

dx

dt

=dy

dx si se vuelve a

derivar una segunda ve# toda la ecuaci$n con respecto a xdα

dx=

d2 y

dx2 435

Tomando 425 α

V =−δ

0 y

r0 d 2 y reali#ando las derivadas

dα

dt

dx

dt

=−δ

0 y

r0

d 2

dα

dx=−δ

0 y

r0 d 4$5

(i introducimos la expresi$n 435 en 4$5 se obtiene la siguiente igualdad&

d2 y

dx2 =−δ

0 y

r0 d ;

d2 y

dx2 +

δ 0 y

r 0d =0

'as soluciones de esta ecuaci$n son del tipo& y=C e px

* y p son valores.

(i se introduce esta soluci$n en la ecuaci$n anterior, se podrá deducir el siguiente

comportamiento de la ecuaci$n sobre los valores de p.



1

dy

dx=Cpe

px

2d

2 y

dx2 =C p

2e

px

sustituyendo C p

2e

px+

δ 0

r 0d C e

px=0

2

( p

2+

δ 0

r0 d

)C e

px=0

2 p

2

+

δ 0

r 0d =0

2 p=± i

√

δ 0

r0 d

y= A cos(√ δ

0

r0

d x+B)

λ=2 √r0

d

δ 0

'a soluci$n concreta para este caso que es la soluci$n de la ecuaci$n/ se conoce

como Ecuaci$n de 4lingel y representa el movimiento de la#o.

Esta soluci$n es del tipo arm$nico e inestable por lo tanto.

$on p* real

$on pM* real

$on p(aNbi .on aM *

$on p(aNbi .ona *

$on p( Nbi



1)

Tema 31D Estabilidad dinámica en recta >>/

1- #n'lisis de la estailidad din'mica de un ogie de dos e0es

conectados el'sticamente

Tomando un bogie cualquiera se va a estudiar dinámicamente su comportamiento.

7ara lo cual, lo primero que se determinará serán las relaciones entre aceleraciones

relativas y absolutas en cada uno de sus puntos obteniendo así unas aceleraciones.

E

! α

2d -



1D

" x=Vx

V pseudodesli#amiento/

" y=Vy

V pseudodesli#amiento/

'a velocidad de un punto 7 de contacto de la rueda con el carril es la suma de la

velocidad absoluta en el centro del bogie, la velocidad relativa de las ruedas del

bogie y la velocidad relativa del punto de apoyo con respecto al centro de la rueda.

Vp= V#+ Vr#+ ´Vpr

V#=V i+Y $

Vr#=(α ! )˄ ´ p

K $i

rα

C

,$

α

Y

φ+

2s

´ X



2*

´Vpr=(−sinα i+cosα $ ) φ˄ (−r ! ) ;escomponiendo los valores de velocidad para los puntos de contacto rueda – carril %, 9, * y ;&

7unto ´ p r V# Vr# ´Vpr

% % i+d $ −(r#−δ#y−%δ#α ) ! V i+ Y $ α % $+α d i −φ sinα (r#−δ#y−%δ#α ) $−φ cosα (r#−δ#y−%δ#α ) i

9 % i−d $ −(r#+δ#y+%δ#α )´! V i+ Y $ α % $−α d i −φ sinα (r#+δ#y+%δ#α )

´ $−φcosα (r#+δ#y+%δ#α )

í

* −% i+d $ −(r#−δ#y+%δ#α ) ! V i+ Y $ −α % $+α d i −φ sinα (r#−δ#y+%δ#α ) $−φ cosα (r#−δ#y+%δ#α ) i

; −% i−d $ −(r#+δ#y−%δ#α ) ! V i+ Y $ −α % $−α d i −φ sinα (r#+δ#y−%δ#α ) $−φ cosα (r#+δ#y−%δ#α ) i

7unto Vp

% (V +α d−φcosα (r#−δ#y−%δ#α ) ) i+( Y + α %−φsin α (r#−δ#y−%δ#α ) ) $

9 (V − α d−φcosα (r#+δ#y+%δ#α ) ) i+(Y +α %−φ sinα (r#+δ#y+%δ#α ) ) $

* (V +α d−φcosα (r#−δ#y+%δ#α ) ) i+(Y −α %−φsin α (r#−δ#y+%δ#α ) ) $

;

(V −α d−φcosα (r#+δ#y−%δ#α ) )í+(

Ý −α %−φ sinα (r#+δ#y−%δ#α ) )

´ $

*omo cosα y sinα son peque<os se puede simpliicar cosα ≅1 y sinα ≅α y además comoV =r

0φ

entonces&



21

" Ax=Vx

V =

V + α d−φr#+ φδ#y+φ %δ#α

V =

α d

V +

δ#

r# y+

δ#

r# %α

" Ay=Vy

V =

Y + α %− φαr#+ φα δ#y+ φα %δ#α

V =

Y

V +

α %

V −α

" Bx=Vx

V

=V −α d−φ r#−φδ#y−φ%δ#α

V

=−α d

V

−δ#

r#

y−δ#

r#

%α

" By=Vy

V =

Y + α %−φαr#− φα δ#y− φα %δ#α

V =

Y

V +

α %

V −α

" Cx=Vx

V =

V +α d−φ r#+φδ#y−φ %δ#α

V =

α d

V +

δ#

r# y−

δ#

r# %α

" Cy=Vy

V =

Y −α %−φαr#+ φα δ#y− φα %δ#α

V =

Y

V −

α %

V −α

" Dx=Vx

V =

V −α d−φ r#−φδ#y+ φ%δ#α

V =

−α d

V −

δ#

r# y+

δ#

r# %α

" Dy=Vy

V =

Y −α %−φαr#− φα δ#y+ φα %δ#α

V =

Y

V − α %

V −α



22

(e calcularán las uer#as ?%x, ?%y, ?9x, ?9y, ?*x, ?*y, ?;x, ?;y como &x=−C"x

y &y=−C"y

. (e comprueba que ?%x D ?9x

?%y ?9y2 ?*x D ?;x2 ?*y ?;y / es el coe*iciente de /ree)age/



23

& Ax=−C α d

V −C

δ#

r# y−C

δ#

r# %α

& Ay=−C Y

V

−C α %

V

+Cα

& Bx=C α d

V +C

δ#

r# y+C

δ#

r# %α

& By=−C Y

V −C

α %

V +Cα

& Cx=−C α d

V

−C δ#

r#

y+C δ#

r#

%α

& Cy=−C Y

V +C

α %

V +Cα

& Dx=C α d

V +C

δ#

r# y−C

δ#

r# %α

& Dy=−

C

Y

V +

C

α %

V +

Cα

(e procederá a reali#ar la suma de uer#as en los e"es x e y igualando al valor de la

masa por su aceleraci$n en su respectivo e"e segunda ley de eQton/.

∑ &x= ´ x

& Ax+ & Bx+ & Cx+ & Dx= ´ x

2

− & B x+ & B x− & D x+ & Dx= x

2

0= ' x

2

0=´ x

∑ &y= y

& Ay+ & By+ & Cy+ & Dy= y 2

& B y+ & By+ & C y+ & D y= ´ y 2

2 & B y+2 & C y= ´ y



24

2(−C Y

V −C

α %

V +Cα )+2(−C

Y

V +C

α %

V +Cα )= ´ y 2 −4C

Y

V + 4Cα = ´ y 2

´ y+4C Y

V −4Cα =0

415

(e aplicará a continuaci$n el teorema de los momentos&

∑ #= ( α

( & Ax− & B x ) d+ ( & C x− & Dx ) d+( & A y+ & B y) %−( & C y+ & D y ) %= ( α 2

2( & Ax+ & C x ) d+2 ( & A y− & C y ) %= ( α 2

2(−C α d

V −C

δ#

r# y−C

δ#

r# %α −C

α d

V −C

δ#

r# y+C

δ#

r# %α )d+2(−C

Y

V −C

α %

V +Cα +C

Y

V −C

α %

V −Cα ) %=

2(−2C α d

V −2C

δ#

r# y )d+2(−2C

α %

V )%= ( α

( α +4C α (%2

+d2 )

V +4Cdy

δ#

r#=0 425

'a soluci$n de estas dos ecuaciones se puede reali#ar en dos casos&

• Baja velocidad & (uponiendoα e ´ y con valor de B

General & (in reali#ar suposiciones

(1) y+4C

Y

V −4Cα =0

;4C

Y

V −4Cα =0

;

Y

V −α =0

435

(2) ( α +4C α (%2

+d2 )

V +4Cdy

δ#

r#=0 ; 4C α

(%2+d

2 )V

+4Cdy δ#

r#=0



2%

α

(%2

+d2 )

V +dy

δ#

r#=0 4$5

(ustituyendo 5/ en @/&

dy

dt

dx

dt

−α =02

dy

dx−α =0

2α =

dy

dx 2 ;erivando con respecto xdα

dx=

d2 y

dx2

dα

dt

dx

dt

(%2+d2 )+ δ#dy

r# =0

;

dα

dx ( %

2

+d2)+ δ#dy

r# =0

;

d2 y

dx2 ( %

2+d2 )+ δ#dy

r# =0

;

d2 y

dx2 +

δ#dy

r# ( %2+d

2 )=0 4(5

Esta es una ecuaci$n similar a la de 4lingel, por lo que sus soluciones son parecidas

a la de esta ecuaci$n.

λ=2 √r0

d

δ 0(1+ %

2

d2 ) 4+5

7ara resolver el caso general, sabiendo que en la soluci$n simpliicada es laecuaci$n de 4lingel, se ensaya con los siguientes valores particulares

introduci!ndolos en la ecuaci$n general.

y= A1 e pt

; ´ y= A1 pe

pt

; ´ y= A1 p

2e

pt

α = A2 e pt

; α = A2 pe

pt

; α = A2 p

2

e pt

A1 p

2e

pt +4 C

V

A1 pe

pt −4C A

2e

pt =¿

;

' A1 p

2+4C

V

A1 p−4 C A

2=0

K/

( A2 p

2

e pt +4C

V ( %

2

+d2 ) A

2 pe

pt +4Cδ#d

r# A

1 pe

pt =0

( A2 p

2

+4C

V (%2

+d2 ) A

2 p+

4Cδ#d

r# A

1 p=0

465

*on K/ y 8/ se puede obtener el polinomio característico del sistema



26

[ ' p2+4C

V p −4C

4Cδ#d

r# ( p

2

+4C

V ( %

2

+d2 ) p]=0

( p4+(

4C

)2

(d2+%2 )+ (

4 C

V ) p3+

16C 2

)2

(d2+%2 ) p2+

16C 2

δ#d

r# =0

*on el polinomio característico se aplica la regla de :out0 para conocer la

estabilidad de las raíces soluci$n de las ecuaciones.

A4 p4+ A3 p

3+ A2 p

2+ A1 p+ A0=0

%@ %3 %B

%5 %1

91 93

*1 *3

A4= (

A3=

(

4 C

)

2 ( d

2+%

2 )+ ( 4C

V

) A

2=

16C 2

)2

( d2+%

2 )

A1=0

A0=

16C 2

δ#d

r#

B1=

A3 A

2− A

4 A

1

A3

B2=

A3 A

0− A

40

A3

C 1=

B1 A

1− A

3B

2

B1

C 2=

B10− A

30

B1



2

(i los n)meros de la primera columna son todos positivos o todos negativos se

prueba que todas las raíces son estables. En este caso&

%@RB2 %5RB2 91RB y *1PB

(e deduce que la ecuaci$n dinámica del bogie es inestable. (i no existiera una

suspensi$n primaria, al ser inestable y al rodar por la vía, el sistema tendría

tendencia al descarrilo.

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Estabilidad dinámica en recta