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8/13/2019 EST56 - Tópico 2
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EST - 56
DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE
Prof. Airton Nabarrete
Aula 2: Resposta de sistemas com 1 G.D.L.
Instituto Tecnológico da AeronáuticaInstituto Tecnológico da Aeronáutica1
8/13/2019 EST56 - Tópico 2
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LIBERDADE
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Sistema com 1 grau de liberdade
t F t xk t xct xm
Normalização da equação de equilíbrio:
t F t x
k t x
ct x
)(
t F k )(ou
mmm m
mm nn freqüência natural não-amortecida
k
t F t xe
)()( deslocamento estático equivalente
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Sistema com 1 grau de liberdade
22 t xt xt xct x m
nc
cc
nc mc 2
nm
c 2 )()()(2)( 22
t xt xt xt x ennn
Instituto Tecnológico da AeronáuticaInstituto Tecnológico da Aeronáutica4
8/13/2019 EST56 - Tópico 2
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Sistema com 1 grau de liberdade
22 ennn
• a din mica de um sistema de um grau deliberdade é inteiramente caracterizada por doispar me ros: e n.
• e externa e não com as propriedades do sistema
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Sistema com 1 grau de liberdade
cc
kmm n 22
• re amen e proporc ona a v scos a e• inversamente proporcional raiz da massa
• inversamente proporcional raiz da rigidez
, .
• em estruturas de aço, ~0.02 ( 2%) (Bismarck-Nasr, 1999)
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Sistema com 1 grau de liberdade
Solução da equação de equilíbrio:
solu ão da e ua ão homo ênea associada
PROBLEMA DE VIBRAÇÃO FORÇADA
solução particular
solu ão homo ênea + solu ão articular
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Sistema com 1 grau de liberdade
a) solução da equação homogênea equivalente
x x x hnhnh
so uç o par cu ar )()()(2)(
22t xt xt xt x
c solu ão eral)()()( t xt xt x h p
con ç es
iniciais
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Sistema com 1 grau de liberdade
)()()(2)( 22 t xt xt xt x ennn
•
t xe
livre • não amortecida
0)( t xe vibração • periódica
• rans en e
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Sistema com 1 grau de liberdade
VIBRAÇ O LIVRE: xe(t ) = 0
= u
movimento é devido às condi ões iniciais
0)()(2)( 2 t xt xt x hnhnh
0)0( x x condi ões0)0( v x iniciais
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Vibrações Livres sem amortecimento
c = 0 Sistema idealNão há dissipação de energia!
02 x x n
CONDIÇÕES INICIAIS :
0)0( x x m
x x0
0v x x
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Vibrações Livres sem amortecimento
x
m
k
A
Am litude
+
t [rad ]
cos t t x-
2
= freqüência circular (rad/s)
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Vibrações Livres sem amortecimento
A licando as condi ões iniciais:
)sin(0)cos(0 00 n Av x A x x
)sin()sin()cos()cos(
01
2
02 vv
0
0 xnn
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Vibrações Livres com amortecimento
m
t xt xt x hnhnh
nm
2
k
Solução da Eq. diferencial: Transformada de Laplace
v xss xs x 00
2L
2
s x x nn
nn
22
0
L
nn
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Vibrações Livres com amortecimento
02 2 x x x L
22
00
2)(
nn
n
sss x
Equação característica : 02 22 nn ss
2
21 1 nn is
As raízes são :
ns )Re( 2,1
22,1 1)Im( ns
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Vibrações Livres com amortecimento
2
ns 2,1
d
nn
2,1
ns 2,11
11 2
2,1 ns
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Vibrações Livres com amortecimento
2
C C
n
21 sssss x
d ns 2,1
t AeeC eC t x d
t t st s n cos21
21
001
2
002 xv xv nn 0
0 xd d
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Vibrações Livres com amortecimento
amor ec men o su -cr co: <
t x t n A )cos( t
amplitude termo harmônico de
amortecida d
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Vibrações Livres com amortecimento
amor ec men o su -cr co: <
0 < < 1
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Vibrações Livres com amortecimento
002 n v xs
22 2 nn ss
ns 2,1 02 222 nnn sss
C C 21 t t nn
nnss
2 21
t v x xet x n
t n
000
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Vibrações Livres com amortecimento
22 nn
2
2
1
1
sssss x
122,1 ns
12 n
xv
xe x n
s ncos0
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Vibrações Livres com amortecimento
-
= 1
>
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Vibrações Livres com Atrito Seco
x
dx
k
+- dt
N
- k x d= - mg
2
02
dt
paramg xk dt
m
02
2
2
xdx
sinalg xd
n
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Vibrações Livres com Atrito Seco
x
k
+- xdt
m- k x
F d= mg
mg
mg xk
xd
m
dx
Se
2
2
0
O sinal da força de atrito mudou !!!
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Vibrações Livres com Atrito Seco
A solução do primeiro meio ciclo considera queapós deslocar x0, a velocidade é negativa.
0cos0 03300 k
x Ak
A x x x
cos44
xn
k t
k xt x n
cos0Primeiro meio ciclo :
Amplitude final :
mg
x x
201
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Vibrações Livres com Atrito Seco
A solução do segundo meio ciclo considera queapós deslocar x1, a velocidade é positiva.
3cos0 01111 k
x Ak
A x x x
cos22
xn
k t
k xt x n
cos30
No segundo meio ciclo:
Amplitude final :k
mg x x
402
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Vibrações Livres com Atrito Seco
mg k
n
o parar, a orça e res auraç o a mo a menorque .gm
Para se determinar o número de meio ciclos, faz-se:
mggm
r x
20
r = número de meio ciclos.
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