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ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
EN LA ESCUELA PRIMARIA
Perspectivas para la enseñanza de la Matemática
Clase 2
La resolución de problemas: priorizar en la escuela un
tipo de trabajo matemático
Hola colegas
En la clase anterior comenzamos a preguntarnos por el sentido de la matemática en la
escuela, lo que nos lleva ahora a reflexionar sobre las consecuencias que tiene para
nuestra labor profesional adherir a una perspectiva de enseñanza otra. Si buscamos la
inclusión plena de todos los alumnos y las alumnas, decidir cómo se enseña determina
las condiciones que posibilitan el acceso a la Matemática de unos pocos o de todos.
En esta clase revisaremos por qué dar tanto énfasis a la “resolución de problemas”, y
precisaremos el alcance de esa expresión, buscando identificar qué condiciones del
trabajo en el aula darían lugar a una práctica que contribuya a la construcción de sentido
de los conocimientos.
El aprendizaje por resolución de problemas
Actualmente buscamos en nuestros alumnos la adquisiciso énfasis a la
“resolución de problemas”, y precisaremos el alcance de esa expresión,
buscando identificar qué condiciones del trabajo en el aula darían lugar a una
práctica que contribuya a la construccinteresa que esos saberes puedan ser
expresados de manera adecuada y que estén vinculados entre sí de manera
organizada.
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Afirmamos que, para que esto ocurra, los alumnos deben resolver problemas. Pero, ¿por
qué?, ¿cuál es el origen de esta perspectiva?, ¿qué relación tiene con los principios
constructivistas?
En la primera clase estuvimos analizando los problemas a partir de los contextos en los
que se presentan. Nos preguntamos ahora: ¿a través de qué tipo de situaciones
adquieren significado los conceptos y procedimientos matemáticos?; ¿cuáles serían las
condiciones que deben reunir tales situaciones para propiciar la apropiación del saber por
quien aprende?
Ya en 1981, Gerard Vergnaud se había formulado estas preguntas. Las explicaciones
piagetianas, muy difundidas por aquella época, eran un punto de partida pero no eran
suficientes para pensar en aprendizajes escolares de contenidos específicos.
El funcionamiento del conocimiento en situaciones que den lugar a nuevos aprendizajes
podía pensarse como adaptación al medio en el sentido piagetiano pero, ¿cómo se puede
caracterizar?
Vergnaud plantea que la actividad de aprender es una acción en situación. Y que, en
Matemática, la acción en situación se entiende como la que se desarrolla en ocasión de
resolver un problema. Considera que la acción en situación “es la base y el criterio del
pensamiento conceptual”, es decir, la instancia que permite adquirir conceptos y también
el modo de evaluar si se ha aprendido.
No se trata, entonces, de un “saber hacer” sin posibilidad de fundamentar lo que se hace,
ni de un “saber teórico” que no pueda ser utilizado cuando es ocasión de hacerlo. Se
trata, en cambio, de un hacer sobre el que se pueden dar explicaciones teado cu, y
de unas nociones te el que se pueden dar explicacio cuando resulta necesario
hacerlo.
Consideremos un ejemplo, el caso de Ana María, para analizar los tipos de saberes.
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¿Qué relaciones podría establecer Ana María entre lo que leyó en el
Cuaderno para el aula y lo que aprendió durante su escolaridad?
Ana María conoce una técnica para multiplicar por dos cifras (un saber hacer) y conoce la
propiedad distributiva (un saber teórico) bajo una cierta representación, típica de muchos
libros de texto. Pero, para identificar que en el procedimiento de su alumno hay un uso
implícito de la propiedad distributiva, tendrá que reconocer que al multiplicar un número
por otro y descomponer (uno o ambos) en sumandos, es posible disponer sobre el papel,
de distintas maneras, los resultados parciales de cada producto para luego sumarlos. Así,
entonces, vería que la propiedad distributiva que ella conoce funciona como justificación
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del algoritmo.Si pensamos en la construcción de un concepto o de una propiedad en
situación –en ocasión en la que el concepto sea necesario para resolver la situación-
Vergnaud especifica:
“[estas situaciones son aquellas] para las que el sujeto no dispone de todas las
competencias necesarias, lo que lo obliga a un tiempo de reflexión y de exploración, a
dudas, a tentativas abortadas; y lo conduce eventualmente al triunfo, y eventualmente al
fracaso” - (Vergnaud, 1991: 135-136)
Volviendo sobre Ana María y la enseñanza de la cuenta de multiplicar por dos cifras: si
ella presentara ese problema a sus alumnos y les diera lugar a elaborar procedimientos
propios, originales, los chicos podrían realizar alguno como el que leyó en el Cuaderno
para el aula. Esto le permitiría analizar dos cuestiones:
• hacer los dos productos por separado es algo que los niños pueden justificar en el
contexto del problema calculando primero los botones para los puños y luego los
del frente.
▪ la distributividad -si no apareció antes- puede surgir de esa situación como nuevo
conocimiento (“teorema en acto”) que ella podrá retener y pensar cómo seguir
trabajando en nuevos problemas.
Esta idea de situación como instancia de aprendizaje nos hace pensar en que, para que
quien aprende adquiera un concepto nuevo, una propiedad nueva, el problema a resolver
ha de ser nuevo, esto es, debe permitirle encontrar soluciones que antes no conocía,
abordarlo inicialmente con conocimientos que ya domina pero que son insuficientes para
completar la solución y, entonces, producir soluciones originales: “la noción de problema
comporta, pues, la idea de novedad, de algo nunca hecho, de algo aún no comprendido”
(Vergnaud, Actividad y conocimiento operatorio).
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Reconocemos en estos aportes la idea de problema que se sostiene en el
enfoque actual de enseñanza: la de desafío intelectual a la medida de los
conocimientos de quien está resolviendo el problema.
En este sentido, es importante mencionar que una situación puede ser problema para
unos alumnos y no para otros. Si un alumno resuelve la tarea que se le plantea de
inmediato, seguramente ya disponía de los conocimientos necesarios para hacerlo y no
aprende algo nuevo. Lo mismo si la tarea requiere, para ser abordada, unos
conocimientos que el alumno aún no ha trabajado. En estos casos no hay problema.
Al respecto, en los Cuadernos para el aula se afirma:
“Consideramos que cada actividad constituye un problema matemático para un
alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos
matemáticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolución del problema y
para hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nociones que
tiene disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones”. (Cuaderno
para el aula 3, pág. 20, MEN, 2006)
También reconocemos en este aporte una primera cuestión asociada a la idea de
resolución de un problema: la necesidad de dar lugar en la clase a una producción
original del alumno, en la que pone en juego lo que sabe. Veamos en el próximo
apartado qué otros elementos incluir al pensar en la resolución.
b. os elementos incluir al pensa
Otra cuestión que aprendimos en estos últimos años, en el marco del enfoque que
estamos presentando, es la importancia de incluir en la clase instancias de trabajo
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grupal. ¿Cuál es el origen de esta derivación didáctica? ¿Por qué es importante incluir
estas instancias?
Entre los investigadores en Didáctica de la Matemática, Colette Laborde trabajó sobre
los aspectos sociales de las diversas situaciones en las cuales están comprometidos
estudiantes y docentes en la clase. De la escuela soviética y los estudios de Vigotsky
sobre la construcción de conocimientos en instancias de interacción social, surge la idea
de que las experiencias sociales intervienen en la evolución de los conocimientos. Esta
escuela considera el desarrollo cognitivo de los niños partiendo de procesos
interpersonales que luego se transforman en procesos intrapersonales.
Según señala Colette Laborde, existen fundamentalmente dos modalidades de
funcionamiento de procesos interpersonales: por un lado, si el problema propuesto tiene
en sí mismo una dimensión social, y por otro, si se trata de resolver el problema por un
grupo de alumnos y alumnas, al margen de que el problema suponga en sí la resolución
de un problema social.
En el primer caso se trata, por ejemplo, de producir un mensaje para que un compañero
identifique el dibujo de una figura entre varias. Hay un productor y un receptor del
mensaje que tienen que interactuar a propósito de su comprensión (veremos esta
cuestión en la próxima clase).
Centrándonos en un ejemplo del segundo tipo, pensemos nuevamente en la clase de Ana
María y el problema que leyó en el Cuaderno para el aula de tercer grado. Los alumnos
podrán realizar diferentes procedimientos.
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Cuando cada alumno desarrolló su procedimiento, el docente puede proponer un debate
analizando si acuerdan con las respuestas obtenidas y a qué elementos del contexto se
refiere cada número, comparando lo producido para establecer cuáles son las semejanzas
y diferencias. El docente espera obtener al finalizar la clase alguna conclusión sobre
procedimientos con sólo sumas y otros con sumas y multiplicaciones y también, entre
estas últimas, discutir sobre por qué creen que un chico eligió 8 y 4 para descomponer el
12 y otro 10 y 2. También podrá avanzar preguntando si son posibles otras
descomposiciones del 12, pidiendo que escriban cómo contar a otros esta forma de hacer
la multiplicación. Asimismo es central preguntar por qué están seguros de que su
respuesta es adecuada.
¿Qué efectos tendrán las interacciones en este caso?
Las interacciones durante el debate implican, para cada niño, volver a pensar en las
relaciones que estableció entre los elementos del problema y explicitarlas, reconocerlas.
También la interacción conlleva a pensar en nuevas relaciones, al intentar comprender lo
que hicieron sus compañeros. Esto último implica una descentración de su propio punto
de vista y un intercambio para negociar en el proceso que lleva a validar o rechazar una
estrategia. Así, las relaciones que habían funcionado en forma implícita en la resolución
del problema se explicitan y pueden ser retomadas por el docente y expresadas de una
forma comprensible para todos los niños y con una cierta cercanía con la forma
matemáticamente adecuada. También es parte del proceso de resolución la respuesta a
la pregunta para dar razones de lo realizado, pues tener oportunidad de validar lo hecho
permite avanzar hacia la autonomía en las respuestas.
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Al respecto, en los Cuadernos para el aula se dice:
“El trabajo que implica volver sobre lo realizado exige siempre una explicitación,
un reconocimiento y una sistematización del conocimiento implicado en la
resolución de los problemas, las formas de obtenerlo y validarlo. Sin este proceso,
los conocimientos matemáticos aprendidos en la escuela –las nociones y formas
de trabajar en matemática– no tendrán a futuro las mismas posibilidades de
reutilización.” (Cuadernos para el aula, pág. 16)
En síntesis, las interacciones con los compañeros y con el docente también contribuyen a
la construcción de conocimientos y forman parte de la resolución del problema En la
próxima clase revisaremos algunas nociones didácticas que fundamentan esta
perspectiva de resolución de problemas que venimos desarrollando.
A continuación les proponemos la actividad para esta clase:
Hacer Matemática resolviendo problemas
Actividad de producción de texto individual obligatorio
La idea no es que los chicos aprendan como nosotros aprendimos, sino
que logren aprendizajes diferentes, más adaptados a los tiempos que les
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toca vivir.
En esta actividad les proponemos que realicen una reflexión sobre la
expresión anterior que constituye la propuesta del Módulo PEM.
Para realizar este TP, les solicitamos que recuperen aspectos generales
de sus trayectorias escolares y en particular de sus vivencias con
respecto al aprendizaje de la Matemática.
Al focalizar en los recuerdos en la Matemática aprendida en la educación
primaria, pretendemos superar el mero anecdotario, y recuperar en sus
evocaciones el lugar que ocupó la resolución de problemas en las
clases de Matemática. De este modo podrán resignificar las
experiencias por las que han pasado a lo largo de su escolaridad primaria
para deconstruir sus matrices de aprendizaje y la influencia que las
mismas pueden tener en su actual accionar como docente. Al mismo
tiempo que podrán tensionar sus recuerdos con la propuesta del
Módulo para la enseñanza de la Matemática hoy en nuestras aulas.
El trabajo debe incluir:
1-Carátula:
Carrera: Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza
de la Matemática en la Escuela Primaria.
Módulo: Perspectivas para la Enseñanza de la Matemática.
Primaria
Título del trabajo: “Hacer Matemática resolviendo problemas”
Número de aula:
Nombre de la Tutora:
Nombre del /la cursante:
Datos de la institución en la que trabaja
2-Desarrollo de la actividad:
Algunos recuerdos que no pueden faltar en sus relatos para compartir
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cómo les enseñaron Matemática en la Escuela Primaria
años en los que cursaron la escuela primaria
notas distintivas de la escuela y del grupo de compañeros (en
ciudad, rural, pública, privada, pequeña, grande, compartida con
otras instituciones, grado numeroso, mixto, etc)
recuerdos de los modos de enseñanza de la Matemática de sus
maestros en general y en particular en relación a la resolución
de problemas
relaciones con el material teórico del Módulo citando en forma
apropiada (utilizar normas APA). Consignar párrafos breves de
una clase o de un texto de la bibliografía o de los Cuadernos para
el aula o los NAP que expresen las características y/o la
importancia de una enseñanza y un aprendizaje por resolución
de problemas.
A partir del relato, también les pedimos a modo de conclusión,
que expliciten qué significa para ustedes recuperar estas
experiencias vividas como alumnos de la educación primaria y
cuáles son los “nuevos” modos de enseñar Matemática que ponen
en práctica hoy en sus aulas.
Observación: Los ítems precedentes sólo pretenden ayudarlos a
ordenar y seleccionar recuerdos de su escolaridad primaria y
contrastarlos con la propuesta del Módulo. No hay que respetar el
orden pero sí su presencia en el texto.
3-Referencias bibliográficas.
Pautas de entrega
Modalidad: individual
Espacio de entrega: El documento deberá enviarse a través de la
sección: "Hacer Matemática resolviendo problemas", que se
encuentra al final de la clase.
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Forma de presentación
Tamaño de la hoja A4, fuente Arial 11 o similar
Márgenes justificados
Pie de página con número de página
Extensión máxima: el desarrollo de la actividad (ítem 2) no debe
superar las 600 palabras (ver tutorial para el conteo de palabras
en foro de consultas)
Fecha de entrega: 6 de Noviembre
Foro de Consultas
Este foro estará abierto durante toda la cursada, aquí podrán hacer
todo tipo de preguntas sobre las clases, las actividades, los trabajos
prácticos y final y en general, sobre cualquier temática en la que necesiten
ayuda y que no estén encuadrados en los otros foros habilitados para cada
clase.
Recuerden: el foro es un punto de encuentro que posibilita socializar las
dudas y, de esta manera, aprender con otros y de otros.
Agrasar, M. y Chemello, G. (2005) “Qué hay que saber sobre Matemática. Un
instrumento de formación del pensamiento", en Revista Monitor de la Educación Nº17,
Página | 13
junio 2008, Ministerio de Cultura y Educación de la Nación
http://www.me.gov.ar/monitor/nro0/pdf/monitor17.pdf
Chevallard, Y. (2014) “Los números no muerden”. Entrevista de Leonardo Moledo. Página
12. 7 de mayo de 2014 http://www.pagina12.com.ar/diario/ciencia/19-245660-2014-05-07.html
Charlot, B. (2008) “La relación de los alumnos con el saber y con la escuela”,
conferencia dictada en el IV Congreso de Educación, Instituto Crandon, realizado
en Montevideo, los días 28 y 29 de junio de 2008.
Chevallard, Y. Bosch, M. y Gascón, J. (1997) “
ICE-Horsori, Barcelona.
Saiz, I. (2011) “La resolución de problemas en el aprendizaje de la Matemática.
Creencias y realidad”, en AA.VV, , Buenos
Aires, Novedades Educativas.
Santaló, L. A. (1990) “Matemática para no matemáticos”, conferencia inaugural
del I Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, Sevilla.
Vergnaud, Gerard (1991) “El niño, la matemática y la realidad” , Ed Trillas.
México.
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Cómo citar este texto:
Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 02: La resolución de problemas:
priorizar en la escuela un tipo de trabajo matemático. Módulo: Perspectivas para la
enseñanza de la Matemática. Especialización Docente de Nivel Superior en
Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires: Ministerio de
Educación y Deportes de la Nación.
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