Embed Size (px)
Citation preview
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 1/27
Universidad de el salvador
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática.
Escuela de Física.
Nombre: Kevin Giovanni Hernández Beltrán.
Carnet: HB13003
Curso: física matemática III
Catedrático: Msc. Melgar Brizuela.
Tema de investigación: Espacio-tiempo de Minkowski.
Fecha de entrega: 17 de noviembre de 2015.
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 2/27
1
Introducción.
El espacio-tiempo de Minkowski es una importante introducción a las métricas de la relatividad
general descubierta por Albert Einstein, sin embargo, cabe resaltar que hay varias métricas en el
marco de la relatividad general en cuanto a si el espacio es curvo o no, o si hay singularidades o no,
o si hay puntos de interés o no, etc. Uno se puede preguntar si el espacio solo depende de las 3coordenadas espaciales y una temporal, pero en el marco de la relatividad el tiempo no es absoluto,
sin embargo, para poder comprender más de relatividad general, es necesario saber matemáticas, es
necesario saber que es un cuadrivector y demás, que son los sucesos en un espacio, o que es la
invariancia, son preguntas de vital importancia en Relatividad General, sin embargo esta pequeña
investigación, va a resaltar por un lado algunos conceptos introductorios a la relatividad general y por
el otro, esa matemática que define la métrica de Minkowski.
Por otro lado, la métrica de Minkowsi es la más sencilla de todas las métricas de Relatividad general,
por su matemática e interpretación física, por tanto, habrá un desarrollo teórico de sus definiciones
y habrán ejemplos didácticos para tal fin, no obstante, el espacio-tiempo puede ser mucho más que
lo descrito en esta investigación, la idea básica es servir de introducción a relatividad general.
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 3/27
2
Índice.
Tema PáginaIntroducción. 11.0 Relatividad especial. 3
1.1 Postulados de la relatividad especial. 31.2 Transformadas de Lorentz. 41.3 Representación matricial de las Transformadas de Lorentz. 52.0 Relatividad General. 62.1 Principios de la Relatividad General. 72.2 Introducción matemática. 72.3 Propiedades de los tensores. 82.4 Tensor Métrico. 112.5 Ecuaciones del campo de Einstein. 122.6 Soluciones a la Ecuación de campo de Einstein. 142.7 La métrica de Schwarzschild y la deducción de la métrica de Minkowski. 143.0 La métrica de Minkowski. 15
3.1 Propiedades matemáticas del espacio de Minkowski. 163.2 Espacio-Tiempo de Minkowski. 183.3 Diagramas de Minkowski. 193.4 Orden Temporal y Causalidad. 213.5 Intervalo invariante y Calibración de los ejes. 223.6 Aplicaciones de Relatividad especial usando el espacio-tiempo deMinkowski.
24
4.0 Bibliografía. 26
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 4/27
3
1.0 Relatividad especial.
La física clásica podía explicar casi todos los fenómenos físicos, por tanto, solo habría que mejorar la
precisión de los resultados, no obstante, hubo un gran problema, en las ecuaciones de maxwell, las
transformadas Galileanas no mantenía su misma forma (covarianza),la radiación de cuerpo negrotampoco se podía explicar, claro usando la física clásica se podía explicar casi todo, pero los resultados
nos decían que estamos incorrectos, la naturaleza nos estaba dando una alerta en cuanto a nuestra
matemática aplicada en ella.
El nacimiento de la relatividad general, como toda nueva teoría, estuvo expuesta a pruebas por largos
años, hasta que nuestra tecnología pudo dar con los datos, eso quiere decir que esa matemática es
consistente con los resultados. Como sabemos, la relatividad especial es una particularidad de la
relatividad general, su campo de estudio son velocidades relativistas a la luz, ¿pero qué propiedades
tiene la luz, por ser tan especial en relatividad? Su particularidad es que es la misma en todos los
observadores, es un poco difícil de entenderlo, si nuestra intuición Galileana nos dice que no, la razón
es algo simple, pareciera que todos los objetos con masa no nula, tuvieran un límite en cuanto a su
velocidad, en relatividad pues no importa cuanta energía tenga el objeto, su velocidad no puede
superar a la velocidad de la luz. La teoría de la relatividad especial fue publicada en 1905, surge pues,
de la idea y realidad de la velocidad de la luz como una velocidad “limite” establecida por la naturaleza
y también del principio de relatividad de Galileo, además de resolver el problema de la covarianza de
las ecuaciones de Maxwell, cabe resaltar que las transformadas de Lorentz fue una herramienta útil
para trabajar en relatividad especial.
Otra de las particularidades es que la relatividad especial trabaja con sistemas de referencia
inerciales, esto es, a velocidad constante respecto de otros sistemas de referencia inerciales, en
relatividad especial no hay un sistema privilegiado, ya que las medidas son las mismas (nótese queestamos entrando al postulado de la relatividad) sin embargo, cabe destacar que el principio de la
relatividad no es descubierto por Einstein más bien ya estaba formulado por Galileo pero la teoría
electromagnética no estaba tan formulado en ese entonces (1600, la mecánica obra de Galileo
comparado con 1865 año de publicación de las ecuaciones de Maxwell) sin embargo ante falta de
pruebas o nuevas teorías se aceptó el principio de relatividad de galileo junto con ello, la adicción de
velocidades. En conclusión, la relatividad especial trabaja con sistemas de referencia inerciales, se
tiene dos postulados, pero aún le falta algo más… generalizarse a sistemas de referencia no inerciales.
1.1 Postulados de la Relatividad Especial.
La física relativista comienza con dos postulados que se enuncian así:
Postulado 1 (principio de relatividad)
Todas las leyes de la física son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales, para
observadores no acelerados.
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 5/27
4
Nótese que, esto aplica solo en ausencia de fuerzas gravitatorias, comparado con el principio de
invariancia de Galileo, la invariancia Galileana solo es válida en mecánica clásica pero no en
electromagnetismo, sin embargo el postulado de Einstein ahora es válido en todas las leyes de la
física.
Postulado 2. (constancia o universalidad de la luz)
La velocidad de la luz c en el vacío es constante e igual en todos los sistemas de referencia inercial
En este punto, la naturaleza de la luz, nos está obligando a que nada puede viajar más rápido que la
luz en algún sistema de referencia, dicho de otra manera, la velocidad de la luz será la misma en todos
los sistemas. En contraste con la adicción de velocidades de galileo, se establece que si hay
posibilidades de viajar a una velocidad superior respecto de la luz, sin embargo, esto no ocurre en la
naturaleza.
1.2 Transformadas de Lorentz.
Lorentz tiene claro que la invariancia de la relatividad Galileana no aplica en las ecuaciones de
maxwell, por tanto, empieza a formularse dos grandes concepciones, la primera es que el tiempo no
es absoluto, esto es, el principio de simultaneidad el cual se define como dos sucesos son simultáneos
para un observador pero no para otro. Y la segunda establece una deformación del espacio, como la
contracción de la longitud.
Para obtener unas nuevas transformadas que cumplan con los postulados de la relatividad, se debe
cumplir además algunos aspectos importantes:
El tiempo no es absoluto.
Esto quiere decir que dos personas en movimiento relativistas no tendrán el mismo intervalo detiempo para dos sucesos relacionados espacialmente y/o temporalmente.
El tiempo propio y no propio.
El tiempo propio se define como el tiempo que un observador en reposo respecto a dos sucesos,
mide el intervalo de tiempo entre los dos sucesos, nótese que es imperativo que los dos sucesos
están en el mismo espacio.
Entonces se definen las transformadas de Lorentz, de tal manera que el sistema primado se está
moviendo con una velocidad v en la dirección de x, también con la condición que x(0)=x’(0) o dicho
de otra manera, los origines de ambos sistemas coinciden cuando se dispara un pulso de luz en el
origen de ambos sistemas.
t γ t vc x , 1 x γx v t, 2 y y, 3 z z, 4
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 6/27
5
Con γ 1 1 vc , 5
Las ecuaciones (1) a (4) con conocidas como transformadas de Lorentz, junto con (5) llamado factor
de Lorentz. Nótese que si γ 1 recuperamos la intuición Galileana, las demostraciones de lastransformadas se pueden tomar si el sistema primado es una combinación lineal de la coordenada
espacial y temporal, las soluciones de los coeficientes vienen siendo las descritas anteriormente, con
condiciones iniciales se toma que los orígenes de ambos sistemas coincidan en t=0 y x=0 para
primados.
1.3 Representación matricial de las transformadas de Lorentz.
Se coloca un vector columna que represente cada sistema, uno primado y otro no primado, de tal
manera que como es costumbre el sistema primado sea el que se está moviendo respecto de un
sistema:
txyz a e i mb f j nc g k od h l p txyz , 6
Se ve un poco complicado, pero su solución es casi inmediata, si debe parecerse a las transformadas
de Lorentz, y por supuesto moviéndose paralelamente en la dirección de x.
txyz a t + e x + i y + m zbt + fx + jy + nzct + gx + ky + ozd t + h x + l y + p z , 7
Entonces podemos observar lo siguiente:
i m j n c g o d h l 0, 8 k p 1, 9
Ya que tales ecuaciones no dependen linealmente de otras coordenadas excepto x y t.
Luego se reduce:
txyz a t+ e xbt + fxyz , 10
De las transformas de Lorentz, tenemos que:
a f γ, e γ vc, b γv, 11Al final quedaría:
txyz γγv γv/c γ 00 000 0 1 00 0 0 1 txyz , 12
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 7/27
6
Pero carece de un poco de sentido, ya que la coordenada temporal no es coordenada espacial, por
tanto si multiplicamos por c la coordenada temporal nos daría “el espacio que recorre la luz en un
tiempo t”
Luego:
ctxyz ( γ γ vc 0 0γ vc γ 0 000 00 10 01) ctxyz , 13
Extrayendo la submatriz que nos interesa, si es que el sistema se está moviendo en la coordenada x.
ct′x′ γ γ vcγ vc γ ctx , 14
Encontramos la inversa de la matriz cuadrada, por conveniencia se hace a= γ, b= γ .
a bb a a bb a aa bb ab ba a b+ a b bb+ a a 1 00 1 , 15
Y multiplicando la matriz inversa en la izquierda en la matriz
γ γ vc γ vc γ ct′x′ γ γ vc γ vc γ γ γ vcγ vc γ ctx ctx , 16
Tenemos pues la transformación inversa de las transformadas de Lorentz de un sistema primado a
un sistema no primado.
γ γ vc γ vc γ ct′x′ ctx , 17
Por tanto definimos una matriz simple de Lorenz, como aquella que tiene la forma a bb a Oa bb a Y cumpla con la condición: a b 1
Entonces el significado de estas condiciones, nos dice que el espacio-tiempo de Lorentz es único,
distintivo y por tanto un espacio plano, propio de un espacio-tiempo de Minkowski.
2.0 Relatividad General.
En 1912 Einstein adoptó el método tensorial y en 1916 reconoció que gracias a Minkowski, fue mucho
más fácil la transición de la Relatividad Especial a la Relatividad General. El nombre de la teoría se
debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales
introducidos en esta generalización son el principio de equivalencia, que describe la aceleración y la
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 8/27
7
gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo
y el principio de covariancia generalizado.
Las ecuaciones del campo de Einstein son no lineales y muy difíciles de resolver. Einstein utilizó los
métodos de aproximación en la elaboración de las predicciones iniciales de la teoría. Pero ya en 1916,
el astrofísico Karl Schwarzschild encontró la primera solución exacta no trivial de las Ecuaciones deCampo de Einstein, la llamada Métrica de Schwarzschild. Esta solución sentó las bases para la
descripción de las etapas finales de un colapso gravitacional, y los objetos que hoy conocemos como
agujeros negros. En el mismo año, se iniciaron los primeros pasos hacia la generalización de la
solución de Schwarzschild a los objetos con carga eléctrica, obteniéndose así la solución de Reissner-
Nordström, ahora asociada con la carga eléctrica de los agujeros negros.
Durante ese período, la relatividad general se mantuvo como una especie de curiosidad entre las
teorías físicas. Fue claramente superior a la gravedad newtoniana, siendo consistente con la
relatividad especial y contestaba varios efectos no explicados por la teoría newtoniana. El mismo
Einstein había demostrado en 1915 cómo su teoría lograba explicar el avance del perihelio anómalo
del planeta Mercurio sin ningún parámetro arbitrario. Del mismo modo, en una expedición de 1919liderada por Eddington confirmaron la predicción de la relatividad general para la desviación de la luz
estelar por el Sol durante el eclipse total de Sol del 29 de mayo de 1919, haciendo famoso a Einstein
instantáneamente. Sin embargo, esta teoría ha entrado en la corriente de la física teórica y la
astrofísica desarrollada aproximadamente entre 1960 y 1975, ahora conocido como la edad de oro
de la relatividad general. Los físicos empezaron a comprender el concepto de agujero negro, y a
identificar la manifestación de objetos astrofísicos como los cuásares. Cada vez más precisas, las
pruebas del sistema solar confirmaron el poder predictivo de la teoría, y la cosmología relativista,
también se volvió susceptible a encaminar pruebas observacionales.
2.1 Principios de la Relatividad General:
Las características esenciales de la teoría de la relatividad general son las siguientes:
El principio general de covariancia: las leyes de la Física deben tomar la misma forma
matemática en todos los sistemas de coordenadas.
El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad
especial (espacio plano de Minkowski) se aplican localmente para todos los observadores
inerciales.
La curvatura del espacio-tiempo es lo que observamos como un campo gravitatorio, en
presencia de materia la geometría del espacio-tiempo no es plana sino curva, una partícula
en movimiento libre inercial en el seno de un campo gravitatorio sigue una trayectoria
geodésica.
2.2 Introducción matemática.
A continuación se recogen ciertos conceptos matemáticos básicos que ayudaran a tratar con más
solvencia el tema. No pretenden ser definiciones rigurosas sino más bien aproximaciones, en la
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 9/27
8
medida de lo posible, a estas mediante ejemplos sacados de la física, su utilidad reside en el
formalismo de la Relatividad General.
¿Qué es un grupo?
Un grupo es una estructura algebraica que satisface, respecto de una determinada ley decomposición interna, las propiedades de asociatividad y existencia de elementos neutro e inverso.
Obsérvese que el carácter interno de la ley de composición exige por si misma que el producto de
dos elementos del grupo este también en el grupo. Es importante destacar que un grupo lo es solo
respecto a la operación binaria que se define sobre él, así que no tiene sentido hablar de un grupo
sin explicitar respecto a que operación. La física abunda en ejemplos de este tipo de estructuras y se
convierte en tema estrella al tratar con simetrías de sistemas físicos en mecánica cuántica (grupos
simétricos o de permutaciones, grupos de color, etc.) o clásica (grupo de Galileo, grupo simplecito,
etc.).
¿Qué es un tensor?
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos
de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de cualquier sistema de
coordenadas elegido.
En un sentido práctico un tensor es objeto matemático representado por un cierto conjunto de
componentes. Para definir un tensor es necesario partir de un espacio físico o variedad diferenciable
que define cuál es el espacio vectorial base V sobre el que se construirán tensores de diferente tipo
y orden. En mecánica clásica por ejemplo el espacio es , aunque en la teoría de la relatividad
especial el espacio base es isomorfo a y en la teoría general de la relatividad es el espacio
tangente a una variedad Lorentziana de cuatro dimensiones. En matemáticas lo más usual es
construir la teoría sobre una variedad Riemanniana o variedad Pseudoriemanniana n-dimensional.
Los físicos e ingenieros, especialmente en tratamientos informales de los tensores, consideran que
un tensor es simplemente una magnitud física multi-índice dada por un conjunto de números reales
o "componentes" del tensor que se transforman de "manera adecuada". Es decir, si en un
determinado sistema de referencia una magnitud tensorial está dada por un conjunto de
componentes: ,… ,… al cambiar a un sistema de referencia diferente ̅tendrá componentes con
valores numéricos diferentes: ,…,… Siendo la relación entre las componentes de la magnitud en
uno y otro sistema de referencia la siguiente:
,…,… ,… ,… … … , 18
Donde en la última expresión se ha usado el convenio de sumación de Einstein y además: : Es la matriz del cambio de base de coordenadas : Es la matriz del cambio de base inverso, que es la matriz traspuesta de la anterior.
Las magnitudes escalares de la física en general son tensores de orden cero, y varios de los tensores
físicos importantes (tensor de inercia, tensor de tensiones, etc.) son tensores de segundo orden.
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 10/27
9
El ejemplo más sencillo es la transformación de Lorentz, descritas en el apartado 1.0.3 La cual
deducimos una transformación, de tal manera que podemos hacer que en vez de que el observador
que se mueve a una velocidad v respecto de nosotros, nosotros nos movamos a esa velocidad
respecto a ese observador.
2.3 Propiedades de los tensores.
Ahora definimos algunas propiedades las cuales nos servirán para nuestra breve introducción
matemática, nótese que al trabajar en diferentes marcos es necesario definir nuestro sistema de
referencia respecto a algún otro sistema, y que por tanto bajo unas transformadas de cambio,
traslación, o rotación, nuestro sistema sea congruente con el marco de referencia.
I.
Convenio de sumación de Einstein.
Análogo al producto escalar en tres dimensiones:
⃗. + + ∑ , 19
Entonces el convenio de Einstein es la “sumación” de términos con el mismo índice y también
ignorando el operador “sigma” matemáticamente para tensores de diferentes rangos: + … , 20
Además de ello, no necesariamente son del mismo rango, simplemente deben tener el mismo
subíndice y/o superíndice.
II. Tensores de distintos orden.
En coordenadas cartesianas, el rango de un tensor viene determinado por el número de
componentes que pueda tener, tal es el caso de un escalar que solo viene determinado por un
número real a este “escalar” se le llama tensor de rango cero. Entonces a un vector lo llamaríamos
tensor de rango uno y así sucesivamente.
Tensores de orden cero:
Como se dijo anteriormente, un escalar es una cantidad que requiere solo un número real en
cualquier sistema de coordenadas para ser descrito. Es decir es invariante ante cualquier cambio de
coordenadas en cualquier sistema. De esta manera si
, es un escalar en un sistema de coordenadas
y , es el mismo escalar en otro sistema de coordenadas entonces , Un escalar es un tensorde orden cero porque requiere un solo número para ser descrito: 3 1
Tensores de orden uno: Vectores y Covectores:
Un vector en tres dimensiones necesita tres componentes por tanto es un tensor de rango uno,
además para transformarlo a un sistema de referencia distinto de nuestro marco, es necesario
transformarlo linealmente. Si tenemos un vector expresado por sus componentes , en un sistema
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 11/27
10
y , en otro sistema, la transformación de coordenadas para que el vector se mantenga invariante
se puede expresar: , 21
Donde
, es el coseno del ángulo entre el i-ésimo eje de coordenadas y el k-ésimo.
III.
Suma y resta de tensores.
Para sumar tensores, es necesario que sean del mismo rango, o si son de diferentes rangos lograr
una contracción de alguno de los tensores a sumar y que posean el mismo rango, es análogo a la
suma vectorial: + ⃗ + + ̂ + + ̂ + + ̂ ⃗
IV.
Otras propiedades de interés.
Tensor contravariante:
Sea una coordenada en un sistema no primado, luego tenemos una coordenada que es en
otro sistema en este caso primado, de tal manera que se relacionan mediante:
∑ , 22
En coordenadas cartesianas representa el ángulo entre las dos coordenadas. O dicho de otra
manera:
∑ , 23
Si la ecuación anterior se cumple, entonces para un set de cantidades se transforma de acorde a:
∑ , 24
El cual definimos como Contravariante, al tensor con superíndice .
Tensor covariante:
Si tenemos por ejemplo una función que depende de nuestro sistema no primado, y derivamosrespecto a en el mismo sistema no primado tendríamos un tensor: Al transformarlo en el sistema primado se tiene:
∑ ∑ , 25
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 12/27
11
Se define un vector covariante el cual es derivado por una coordenada en el sistema no primado
entonces: ∑ , 26
2.4 Tensor métrico.
El tensor métrico es un tensor de rango 2 que se utiliza para definir conceptos
métricos como distancia, ángulo y volumen en un espacio localmente Euclídeo.
Una vez que se elige una base local, el tensor métrico aparece como una matriz, notada
convencionalmente G, La notación se utiliza convencionalmente para los componentes del
tensor. Así el tensor métrico g se expresa fijada una base coordenada como:
∑ ⨂
,=
, 27
… : : : . . , 28
O más cómodamente usando el convenio de sumación de Einstein: ⨂ , 29
En física es muy común escribir la métrica como el cuadrado del elemento de longitud, dado que el
tensor es simétrico la notación física es equivalente a la notación anterior:
⨂
, 30
Por ejemplo:
Expresar la métrica Euclideana en coordenadas polares.
La métrica Euclideana: + Luego expresamos en coordenadas polares r,θ para las cuales: , +
, +
Luego:
+ + + + + Puesto que el elemento de línea puede ser re-escrito como: + 1 + 0 + 0 + + + +
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 13/27
12
La representación matricial G de la métrica es la siguiente:
1 00
2.5 Ecuaciones del campo de Einstein.
Para poder entender el significado de una ecuación de campo, empezamos con la ecuación de campo
definida en mecánica clásica como: “ecuación de campo gravitatorio clásico”. El cual es determinado
por la ecuación de Poisson:
∇Φ 4, 31 Donde:
Φ: Es el potencial gravitatorio.
: Es la constante gravitacional de Newton.
: Densidad de materia gravitacional.
De la ecuación (31) podemos notar que es inconsistente con la teoría de relatividad de Einstein, por
el simple hecho que no aparece una dependencia temporal, además de ello podemos observar que
tampoco es covariante ante las transformadas de Lorentz esto es porque depende de la masa
medida en un sistema de referencia inercial y también del “espacio” que contiene esa masa de tal
manera que como se observó con la contracción de Lorentz para la longitud, el volumen se “contrae”
haciendo una densidad aparente.
Las ecuaciones del campo de Einstein, ecuaciones de Einstein o ecuaciones de Einstein-Hilbert
(conocidas como EFE, por Einstein field equations) son un conjunto de 10 ecuaciones de la teoría de
la relatividad general de Albert Einstein que describen la interacción fundamental de la gravitacióncomo resultado de que el espacio-tiempo está siendo curvado por la materia y la energía. Las
ecuaciones de campo de Einstein relacionan la presencia de materia con la curvatura del espacio-
tiempo. Más exactamente cuanto mayor sea la concentración de materia, representada por el tensor
de energía-impulso, tantos mayores serán las componentes del tensor de curvatura de Ricci. En
el límite clásico no-relativista, esto es, a velocidades pequeñas comparadas con la luz y campos
gravitacionales relativamente débiles, las ecuaciones del campo de Einstein se reducen a la ecuación
de Poisson para el campo gravitatorio que es equivalente a la ley de gravitación de Newton.
Para cada punto del espacio-tiempo, la ecuación del campo de Einstein describe cómo el espacio-
tiempo se curva por la materia y tiene la forma de una igualdad local entre un tensor de curvaturapara el punto y un tensor que describe la distribución de materia alrededor del punto:
8 , 32
Donde:
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 14/27
13
: El tensor de curvatura de Einstein, que se forma a partir de derivadas segundas del tensor
métrico ,
: El tensor momento-energía.
C: La velocidad de la luz
: Constante de la gravitación universal. Esa ecuación se cumple para cada punto del espacio-tiempo. El tensor de la curvatura de Einstein se
puede escribir como:
12 + Λ , 33
Donde:
, Es el tensor de curvatura de Ricci
R Es el escalar de curvatura de Ricci
Λ Es la constante cosmológica.
Se llama tensor de Ricci al tensor de tipo (0, 2) esto es, convierte un tensor de rango 0 a un tensor
de rango 2, cuyas componentes son la contracción en un índice covariante y otro contra variante del
tensor de curvatura.
, 34
Además, se llama curvatura escalar, que suele designarse con las letras R o s, a la función que se
obtiene por contracción métrica de los dos índices del tensor de Ricci:
, 35
La ecuación del campo por lo tanto también puede expresarse si introducimos 33 en 32:
12 + Λ 8 , 36
Es un tensor simétrico 4 x 4, así que tiene 10 componentes independientes. Dado la libertad de
elección de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo, las ecuaciones independientes se reducen
en número a 6. Estas ecuaciones son la base de la formulación matemática de la relatividad general.
Nótese que considerando la contracción sobre los dos índices de la ecuación (28) se encuentra que
el escalar de curvatura se relaciona con la traza del tensor energía impulso y la constante cosmológicamediante:
2 + 4Λ 8 , 37
Esa relación permite escribir equivalentemente las ecuaciones de campo (36) como: + Λ 8 12 , 38
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 15/27
14
2.6 Soluciones a la ecuación de campo de Einstein.
Una solución de la ecuación del campo de Einstein es cierta métrica apropiada para la distribución
dada de la masa y de la presión de la materia. Algunas soluciones para una situación física dada son
como sigue.
Distribución de masa esférica simétrica y estática
La solución para el vacío alrededor de una distribución de masa esférica simétrica, estática, es
la métrica de Schwarzschild y la métrica de Kruskal-Szekeres. Se aplica a una estrella y conduce a la
predicción de un horizonte de sucesos más allá del cual no se puede observar. Predice la posible
existencia de un agujero negro de masa dada del que no puede ser extraída ninguna energía, en
el sentido clásico del término (i.e. no mecánico-cuántico).
Masa de simetría axial en rotación
La solución para el espacio vacío alrededor de una distribución de masa de simetría axial en rotación
es la métrica de Kerr. Se aplica a una estrella que rota y conduce a la predicción de la existenciaposible de un agujero negro en rotación de masa dada y momento angular , del cual la energía
rotatoria puede ser extraída.
Universo isótropo y homogéneo (o uniforme)
La solución para un Universo isótropo y homogéneo, lleno con una densidad constante y de unapresión insignificante, es la métrica de Robertson-Walker. Se aplica al Universo en su totalidad yconduce a diversos modelos de su evolución que predicen un Universo en expansión.
2.7 La métrica de Schwarzschild y la deducción de la métrica de Minkowski.
La métrica de Schwarzschild es una solución exacta de las ecuaciones de Einstein del campogravitatorio que describe el campo generado por una estrella o una masa esférica. Este tipo de
solución puede considerarse una descripción relativista aproximada del campo gravitatorio
del sistema solar. Y bajo ciertas condiciones también describe un tipo de agujero negro.
Condiciones matemáticas:
Las condiciones de las que partió Schwarzschild para solucionar las ecuaciones de Einstein son las
siguientes:
1. Estática: existe al menos un sistema de coordenadas donde la métrica no depende de la
coordenada temporal (y donde los términos ⨂ de la métrica son nulos, donde es
cualquier coordenada espacial).
2.
Esféricamente simétrica: Las secciones espaciales (t constante) tienen la forma: ⨂ +Ω⨂Ω. De este modo, la simetría será ℝ × 3.
3.
Para grandes distancia a la fuente de gravedad, la solución debe ser la métrica de Minkowski.
En coordenadas casi-esféricas o coordenadas de Schwarzschild la métrica tiene la forma:
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 16/27
15
1 2 ⨂ + 1 2 − ⨂ + ⨂ + sin ⨂, 39
Donde G es la constante de gravitación universal y M se interpreta como la masa aparente del
objeto, planeta o estrella que crea el campo. El sistema de coordenadas anterior está definido sólo
para una región abierta definida del espacio-tiempo: aquella en la que pueden existir observadoresestáticos (también llamada región I del espacio-tiempo de Kruskal).
A partir de la métrica de Schwarzschild, se puede deducir la métrica de Minkowski bajo la condición
3 y solo para estudiar el movimiento radial, podemos olvidar las partes angulares, por tanto:
+ + + + , 40 Donde
Tenemos entonces la métrica de Minkowski:
+ + + , 41
La ecuación (41) es invariante bajo las transformadas de Lorentz que se continuara en el siguiente
apartado.
3.0 Métrica de Minkowski
La ecuación (41) establece la métrica a trabajar para distancias muy lejos de la masa que ocasiona el
campo gravitatorio, escribiéndola de nuevo:
+ + + Esta ecuación es válida en nuestro sistema de referencia en tanto habría que encontrar en otro
sistema de referencia tal que se esté moviendo a una velocidad v respecto de nosotros:
Pero si encontramos una mejor manera de expresa ese intervalo o , seria en forma matricial esto
es:
1 0 0 00 1 0 000
00
10
01
+ + +
De tal manera que podemos expresarlo en una forma más compacta, usando el convenio de Einstein.
, 42
Con:
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 17/27
16
10 01 00 000 0 1 00 0 0 1 , 43
Este factor
, el cual es especificado en su totalidad en un espacio de cuatro dimensiones por 16
componentes, es mejor conocido como el tensor métrico. La distancia sobre la cual está definidoel tensor métrico es conocida ya sea como el elemento de línea y más frecuentemente como
la métrica.
La métrica es todo lo que necesitamos ver para saber si el espacio-tiempo en el que estamos
trabajando es un espacio-tiempo plano propio de la Teoría Especial de la Relatividad o un espacio-
tiempo curvo propio de la Teoría General de la Relatividad.
Además la curvatura de la métrica de Minkowski es cero, eso implica que es un espacio plano, o un
universo vacío, ya que el tensor de curvatura se anula y por tanto el resto de tensores y escalares es
nulo.
3.1 Propiedades matemáticas del espacio de Minkowski.
Definimos entonces dos cuadrivectores que pues pertenecen a ℝy por supuesto definido en una
base canónica {, , , }:
+ + + , + + + , 44
Físicamente tiene las equivalencias donde y los demás subíndices corresponden a X,Y y Z,
entendido esto entonces procedemos.
I.
Producto escalar en el espacio de Minkowski. Se define entonces el producto escalar a partir
de (44), por tanto sería un producto entre cuadrivectores:
⟨|⟩ + + + , 45
Esta definición (47) define un producto escalar que no necesariamente es positivo. Además de ello
se observa lo siguiente:
a)
Es simétrica
⟨|⟩ ⟨|⟩, para todo
, ∈ ℝ
b)
Es bilineal para todo ,, ∈ ℝ , ∈ ℝ a. ⟨| + ⟩ ⟨|⟩ + ⟨|⟩
c) Es no degenerada, esto es si ⟨|⟩ 0 para todo ∈ ℝ entonces 0
II.
El par ℝ, ⟨|⟩ formado por el espacio vectorial ℝ y la métrica de Minkowski se llama
espacio de Minkowski.
III. Sea {, , , } la base canónica, los elementos forman la matriz que
representa la métrica de Minkowski en la base canónica y que es:
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 18/27
17
1 0 0 0000 1 0 10 1 10 0 1
Esto permite escribir la métrica matricialmente:
⟨|⟩ , 46
IV.
Sea , , , ∈ ℝ al igual que sus elementos forman una matriz que
representa la métrica de Minkowski en la base , analizamos pues las matrices de la métrica
entre dos bases, sea , , , ∈ ℝ la cual sus elementos forman una matriz también representa la métrica de Minkowski. Llamemos a la matriz de cambio de base, de a ′ esto quiere decir que los vectores en la base primada están relacionados de esta
manera:
Si además hay otro vector, y se define la métrica usando la propiedad IV y ecuación (46):
Para todo ,, ∈ ℝ, por tanto se obtiene que:
, 47
Lo cual establece que el determinante de A y de A’ tienen el mismo signo.
V. Dado un vector v, se dice vector unitario si cumple:
⟨|⟩ ±1, 48
VI.
Dos vectores x, y se dicen ortogonales si:
⟨|⟩ 0, 49
Una base se dice ortogonal cuando sus vectores son ortogonales, si además los vectores son
unitarios, entonces es ortonormal.
VII.
Un vector v, se dice que es temporal cuando ⟨|⟩ < 0, espacial si ⟨|⟩ > 0, y nulo si⟨|⟩ 0, este último es la trayectoria recorrida por la luz. Además se dice que si es temporal
o luz se les llama causal.
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 19/27
18
VIII.
La norma de un vector se define como :
|| √ ⟨|⟩, 50
Que puede ser mayor o igual a cero.
IX.
El conjunto de vectores temporales forman dos conos temporales uno será llamado futuro yotro pasado, además de que cada uno forma un conjunto convexo, la frontera del cono
temporal está formada por el origen y los vectores luz.
Los vectores luz también forman dos conos temporales, no son convexos y se les llama cono
de luz pasado o cono de luz futuro.
Orientar temporalmente el espacio de Minkowski es elegir uno de los conos temporales.
Figura1DiagramadevectoresespacialesytemporalesenelespaciodeMinkowski
3.2 Espacio-Tiempo de Minkowski.
En su conferencia de 1908 ante la asamblea de científicos naturales en Colonia, titulada “Espacio y
tiempo”, el matemático Hermann Minkowski anuncio´: “...el espacio por sí mismo y el tiempo por sí
mismo están condenados a convertirse en meras sombras, y solo una especie de unión de los dospreservará una realidad independiente”. Esta nueva realidad física se llama el Espacio-tiempo.
Un evento se define como un acontecimiento determinado por 4 números, su posición en el espacio
y el momento de su ocurrencia. El conjunto de todos los puntos en este espacio de cuatro
dimensiones se conocerá en lo sucesivo como el Espacio-tiempo o el Espacio de Minkowski. Espacio
y tiempo por separado no son absolutos pero el espacio-tiempo es un absoluto.
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 20/27
19
Ahora le damos dotación física a ese espacio y lo llamaremos Espacio-Tiempo porque relaciona una
parte temporal, en este caso el producto seria de la ecuación (47)
⟨|⟩ + + +
Haciendo ⟨|⟩ + + +
Llamando a ⟨|⟩
+ + +
Luego llamando a , , ,
+ + +
Que es pues entonces la métrica de Minkowski. Ahora surge el problema de como graficar cuatroejes perpendiculares. A la ecuación anterior con las sustituciones adecuadas se le llama Espacio-
Tiempo de Minkowski.
El elemento de línea se le denomina línea de universo, a un punto P definido por las 3 coordenadas
espaciales y 1 temporada se le denomina evento o suceso, o en palabras de Minkowski: “un punto
de universo”
3.3 Diagramas de Minkowski.
Del apartado anterior, nos formulamos la pregunta de cómo graficar un espacio-tiempo con cuatroejes perpendiculares entre sí, Minkowski le encontró una solución trivial, de tal manera que se
pudiera graficar dos coordenadas espaciales y a la coordenada temporal la convierte en una
coordenada imaginaria, así usaría el plano complejo que es perpendicular a cada componente,
también se le llama espacio Pseudoeuclideo.
El concepto unificado de Espacio-Tiempo, introducido por H. Minkowski en 1908, es una mera
simplificación matemática. El espacio y el tiempo son completamente diferentes, se miden de formas
muy distintas y los percibimos también de distinto modo. Ahora bien, en relatividad no se analizan
las localizaciones de objetos en el espacio, sino sucesos que están localizados en el espacio y en el
tiempo: para especificar un suceso hay que decir dónde (tres dimensiones espaciales) y cuándo (una
dimensión más, el tiempo). Minkowski propuso concebir el mundo como una red espacio-temporaltetradimensional. Esta visión tiene dos ventajas: Primero, nos lleva a una resolución gráfica muy
sencilla y práctica de las transformaciones de Lorentz, haciendo uso de los diagramas espacio-tiempo
o diagramas de Minkowski, que estudiaremos a continuación. Además, los diagramas espacio-tiempo
nos permiten visualizar la película completa de la evolución de un objeto en el espacio y el tiempo:
su línea de universo.
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 21/27
20
Hagamos pues el diagrama de Minkowski, trabajando solo con una coordenada espacial y la temporal.
Sea un observador en reposo con coordenada vertical ct, y con coordenada horizontal x. Cuando
fijamos que C=1, estamos diciendo que nada puede viajar más rápido que C, implica que solo pueden
haber velocidades menor que 1. Se da este tratamiento para poder visualizar mejor la gráfica,
Figura2.DiagramadeO.
En la figura 2, podemos observar lo siguiente si emitimos un pulso de luz, la luz se ira a todas las
direcciones a la misma velocidad representada con el color azul punteado, ya que es un movimiento
uniforme rectilíneo, x=ct, esa es la ecuación característica de la luz. Si hacemos c=1 m/s, pues tan 1, entonces 45°. Hemos llamado a t, como el tiempo propio, x es la distancia desde el
origen, las líneas del universo son rectas como por ejemplo la línea color roja que representa en que
coordenadas estará una partícula con cierta velocidad uniforme. Por tanto digamos que el suceso A
tiene coordenadas (t,x) con c=1. Para un observador que se mueve respecto de nosotros llamado ′ se puede graficar superponiendo su sistema en el nuestro como sigue:
Figura3.DiagramadeO'ydeO.
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 22/27
21
Sin embargo, para ′ no ocurre ni en el mismo instante o posición que , sin embargo podemos
notar que A no se ha movido de la figura 2, entonces A en el sistema de ′ tendrá las coordenadas
(t’,x’) con C=1. La transformación de A’ con A se rige por las transformadas de lorentz:
t γt v x, x γx v t, γ 1√ 1 con c 1, y < 1, 51
3.4 Intervalo Invariante y calibración de los ejes.
No todo es relativo al observador. Ya hemos visto que la velocidad de la luz es la misma para cualquier
observador. Además hay otra cantidad muy importante que también es invariante. Se trata del
intervalo entre dos sucesos, que cualquier observador puede determinar fácilmente a partir de sus
medidas de la localización en el espacio y en el tiempo de dos sucesos cualesquiera. Supongamos,
por simplicidad, que uno de los dos sucesos es el origen espaciotemporal de ambos sistemas
inerciales O,
y
′ y sean pues las coordenadas (x,ct) y (x’,ct’) las coordenadas del segundo suceso
denotado por A, definimos el intervalo como:
∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆, 52
Bajo las transformadas de Lorentz, esta igualdad se cumple y entonces ∆ es la misma para todos
los observadores que miden los dos sucesos O y A. Demostración:
∆ + ∆ ∆ + ∆
∆
∆ ∆
∆
2 ∆∆ +
∆
∆ [∆ ∆] ∆ 2∆∆ + ∆
∆ + ∆ ∆ 2 ∆∆ + ∆ + ∆ 2∆∆ + ∆
∆ + 2∆∆ ∆ + ∆ 2∆∆ + ∆
∆ ∆ + ∆ + ∆
∆
+ 1
∆
1 ∆ + 1 ∆
1 ∆ + 1 ∆
∆ + ∆ ∆ + ∆ QED (Quod erat demonstrandum)
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 23/27
22
Ahora lo que prosigue es el ángulo entre las coordenadas de y ′. El ángulo α es el mismo entre ct
y ct’ pero hay que relacionarla de alguna manera, por ejemplo algunos libros lo relacionan mediante
la hipérbola que se obtiene del elemento de línea, en este apartado podemos obtenerla de ahí pero
simplificando unas cosas:
Según la figura 4:
tan , 53
En el sistema ′, ct’=0, Por tanto
0
, 54
Introduciendo (53) en (54):
tan
tan− , 55
Por tanto solo depende de la velocidad relativa entre los sistemas. La ecuación (55) es válida para
cualquier velocidad se puede observar que si v=0 nos devuelve 0 o dicho de otra manera, es otro
observador en reposo.
Figura4.Relaciónentrelosejesyelánguloα.
3.5 Orden Temporal y causalidad.
Para poder desarrollar las aplicaciones es necesario saber lo que es un orden temporal o causalidad.
En tal caso para los Para que dos eventos estén causalmente conectados algo debe propagarse desde
el evento causa al evento efecto. Por ejemplo, en la figura 5. Para el observador O, el vera primero el
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 24/27
23
suceso A y luego B, pero para O’ el vera primero B y luego A. Es imperativo que el orden se mantenga
para todos los sistemas de referencia inerciales, de tal manera que exista el orden temporal, primero
la causa, luego efecto. No se atrapa la pelota antes de ser lanzada.
Figura5.Eventosquenoestánconectadoscausalmente
Por tanto se puede decir que:
Todo suceso fuera del cono no están relacionados causalmente para ningún sistema de referencia,
por el simple hecho de que no pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz:
Figura6.ZonaspermitidasdentrodelmarcodeRelatividad.
Para que un evento esté relacionado con otro evento, deben estar dentro del cono llamado futuro,
o en tal caso si viene del pasado hacia adelante, como se había establecido, la frontera de los conos
es la velocidad de la luz, por tanto más allá se violaría el principio de causalidad.
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 25/27
24
3.6 Aplicaciones de Relatividad especial usando el espacio-tiempo de Minkowski.
I.
Contracción de la longitud
Ilustrar mediante un diagrama espacio-tiempo el fenómeno de la contracción de longitud sobre una
vara de medición, suponiendo que:
El observador en reposo O es el que tiene la vara de medir y el observador O’ es el que la ve
pasar frente a él.
Si el observador en reposo es el que tiene una vara de medir de longitud , las líneas del
mundo de los dos extremos de la vara de medir se mantendrán como dos líneas verticales
paralelas proyectadas hacia arriba como lo muestra el siguiente diagrama espacio-tiempo:
Figura7.Contraccióndelalongitud
Entonces lo que tenemos que encontrar es AB de distintas maneras para empezar:
tan
Pero CD es la longitud en reposo, además de que AE=CD, ED=AC, y por supuesto CD=, EB=∆
∆ + +
∆
tan /
La más útil parece ser el segundo término de izquierda a derecha:∆ → ∆
Luego usando la métrica e invariancia.
∆ + ∆ ∆ + ∆
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 26/27
25
Como ∆ , ∆ , ∆ 0
∆
∆ Como < 1 entonces < .
II. Dilatación del tiempo.
Figura8.Dilatacióndeltiempo.
El reloj esta en reposo en ′ y mediremos desde un intervalo temporal ∆, como en ′ está en
reposo ∆ 0, luego tan /, de ella se sigue sen .
Del triángulo ABC en la figura 6:
sen ∆∆′ → ∆ ∆′ Reemplazando en la invariancia y métrica:
∆
+ ∆
∆
+ ∆
∆ + ∆ ∆ ∆ ∆1 + ∆ ∆ Eso implica que el intervalo temporal medido en ′ es menor que en .
7/23/2019 Espacio-tiempo de Minkowski, Seminario Fismatiii
http://slidepdf.com/reader/full/espacio-tiempo-de-minkowski-seminario-fismatiii 27/27
4.0 Bibliografía.
[1] Gabriel Hernández. (Enero 2015). Geometría Diferencial en el espacio de Minkowski
de dimensión tres. UNAM, 1, 84. 15 agosto 2015, De arxiv.org Base de datos.
[2] A.P. French, [Special Relativity, 1968] Relatividad Especial, Editorial Reverté,1991.
[3] Manuel Crespos. (Julio 2009). Ecuaciones del Campo de Einstein. UM, 2, 16. 20 sep2015, De webs.um.es/bussons Base de datos.
[4] H. Martini & K. J. Swanepoel. (2004). The Geometry of Minkowski Spaces - A Survey.
Elsevier, 1, 52. 23 oct 2015, De Arxiv.org Base de datos.
[5] Alonso Sepúlveda. (2011). Geometría de Minkowski. UDEA, 2, 38. 24 oct 2015, De
UDEA Base de datos.
[6] Manuel Gutiérrez. (2010). Tema 2. Sección 1. En Espacio Vectorial de Minkowski(6).
2010: UMA.
[7] George B. Arfken & Hans J. Weber . (2005). mathematical methods for physicists.
USA: ElSEVIER ACADEMIC PRESS.
