Espacio de Hilbert idbetan/CursoMetodos2/... Espacio de Hilbert Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito E

15.AnalisisFuncional_Hilbert-TransparenciasConceptos - Espacio producto interno - Desigualdad de Schwartz - Norma - Ángulo y ortogonalidad
Espacio producto interno
Espacio producto interno
Es un espacio vectorial con producto internoV
Producto interno Es una regla que, dados especifica un número , con
x, y ∈ V (x, y)
- con , y
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
Espacio producto interno Es un espacio vectorial con producto internoV
Producto interno
x, y ∈ V (x, y)
- con , y
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
Ejemplos
- , con
Espacio producto interno Es un espacio vectorial con producto internoV
Producto interno
x, y ∈ V (x, y)
- con , y
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
Ejemplos
- , con
Espacio producto interno Es un espacio vectorial con producto internoV
Producto interno
x, y ∈ V (x, y)
- con , y
(x, y) = (y, x)
(ax, y) = a(x, y)
Ejemplos
- , con
a f(x)g(x)dx
| (x, y) |2 ≤ (x, x)(y, y)
| (x, y) |2 = (x, x)(y, y)
x, y
Espacio producto interno
| (x, y) | ≤ | |x | | | |y | |
Espacio producto interno
| (x, y) | ≤ | |x | | | |y | |
Espacio producto interno
Ejemplo En con las funciones
y son ortogonales para
0 f(x)g(x)dx
Pitágoras: si x ⊥ y
| |x + y | |2 = | |x | |2 + | |y | |2 | |x | | = (x, x) Recordar…
Actividad: verificar
Espacio de Hilbert
Conjunto ortogonal Un conjunto de vectores en un espacio producto interno es llamado un conjunto ortogonal si,
- siempre que
- Para cada
i, xi ≠ 0
Veamos su importancia…
- siempre que
- Para cada
i, xi ≠ 0
⇒ cj = 0 ⇒ l . i .
Porque… xj ≠ 0
Espacio de Hilbert
Conjunto ortogonal Un conjunto de vectores en un espacio producto interno es llamado un conjunto ortogonal si,
- siempre que
- Para cada
i, xi ≠ 0
Base ortogonal Una base ortogonal para un espacio producto interno es un conjunto ortogonal tal que para cualquier
existen escalares , tal que
Espacio de Hilbert
Espacio de Hilbert Es un espacio producto interno completo con una
base
Espacio de Hilbert
Espacio de Hilbert Es un espacio producto interno completo con una
base
Espacio completo Un espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente
Sucesión de Cauchy Una sucesión en un espacio normado es de Cauchy si
cuando
(xn)
| |x | | = (x, x)
- siempre que
- Para cada
i, xi ≠ 0
cnen
Espacio de Hilbert Es un espacio producto interno completo con una
base
V
Espacio completo Un espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente
Sucesión de Cauchy Una sucesión en un espacio normado es de Cauchy si
cuando
(xn)
Espacio de Hilbert
Espacio de Hilbert Es un espacio producto interno completo con una base
Ejemplos
espacio de Hilbert
0 f(x)g(x)dx sin nx
Espacio de Hilbert
Espacio de Hilbert Es un espacio producto interno completo con una base
Ejemplos
espacio de Hilbert
- con es completo.
C[0,π] ( f, g) = ∫ π
0 f(x)g(x)dx sin nx
0 f(x)g(x)dx sin
L2[a, b]
Espacio de Hilbert
Ortonormalización de Gram-Schmidt Dada cualquier sucesión de elementos de un espacio producto interno, existe una sucesión ortogonal , tal que cada combinación lineal finita de es una combinación lineal de , y viceversa
( fn) (gn)
fn gn
-
g2 = F2 + cg1 c (g2, g1) = 0 ⇒
0 = (g2, g1) = (F2, g1) + (cg1, g1) ⇒ c = − (F2, g1) (g1, g1)
Espacio de Hilbert
lineales de elementos precedentes
(Fn) ( fn) → (Fn)
g1
g3 = F3 + dg2 + eg1 d, e (g3, g2) = (g3, g1) = 0
0 = (g3, g2) = (F3, g2) + d(g2, g2) + e(g1, g2) ⇒ d = − (F3, g2) (g2, g2)
0 = (g3, g1) = (F3, g1) + d(g2, g1) + e(g1, g1) ⇒ e = − (F3, g1) (g1, g1)
Espacio de Hilbert
lineales de elementos precedentes
g1
g2 − (F3, g1) (g1, g1)
g1
Espacio de Hilbert
Teorema Sea una base ortogonal para un espacio producto interno. Para cualquier en el espacio, vale
(en) x
Espacio de Hilbert
Teorema Sea una base ortogonal para un espacio producto interno. Para cualquier en el espacio, vale
(en) x
= (x, en)
| |en | |2
Teorema sobre la mejor aproximación
Sea un conjunto ortonormal en un espacio producto interno. Para cualquier , los coeficientes que minimizan
, son lo coeficiente generalizados de Fourier
{e1, , eN} x
con | |en | |2 = 1
Espacio de Hilbert
Teorema: desigualdad de Bessel Si es un conjunto ortonormal, esto es , en un espacio producto interno, entonces para cualquier en el espacio se verifica
(en) | |en | |2 = 1 x
con cn = (x, en) ∞
Espacio de Hilbert
Teorema: desigualdad de Bessel Si es un conjunto ortonormal, esto es , en un espacio producto interno, entonces para cualquier en el espacio se verifica
(en) | |en | |2 = 1 x
con cn = (x, en) ∞
|cn |2 ≤ | |x | |2
Teorema: relación de Parseval Sea un conjunto ortonormal en un espacio producto interno,
es una base sí y sólo sí para cada en el espacio se verifica, (en)
(en) x ∞
Espacio de Hilbert
Teorema: Riesz-Fischer Sea una base ortonormal para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Si es una sucesión de números tal que
converge, entonces existe tal que
(en) H (en)∞
Espacio de Hilbert
Teorema: Riesz-Fischer Sea una base ortonormal para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Si es una sucesión de números tal que
converge, entonces existe tal que
(en) H (en)∞
∑ n
cnen
n
∑ i=1
|xi | 2
(x, y) = ∞
∑ i=1
xiyi Actividad: porqué y porqué no es cierto para espacios finitos?
Espacio de Hilbert
Complemento ortogonal Sea cualquier sub conjunto de un espacio de Hilbert . El complemento ortogonal de es el conjunto
X H X
Con espacio de HilbertX⊥
Espacio de Hilbert
Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito
E H x ∈ H
Con…
Espacio de Hilbert
Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito
E H x ∈ H
- siendo la proyección de sobre
- suma directa
Espacio de Hilbert
Proyección ortogonal Si es un subespacio de un espacio de Hilbert , entonces cada puede ser unívocamente escrito
E H x ∈ H
- siendo la proyección de sobre
- suma directa
y x E
H = E ⊕ E⊥
Sobre las bases Si es base de , y es base de , entonces
es base para (en) E ( fn) E⊥
(en) ∪ ( fn) H