Espacio afín Euclídeo 2

5/14/2018 Espacio afín Euclídeo 2 - slidepdf.com

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Silosvectores ii y 11 tienen pcr coordenadas (XI 'YpZl) Y (X2 'Y2 ,Z2) respecto de la

base B del sistema de referencia, se pueden expresar dichos vectores como combinacion lineal

de los vectores de la base de la siguiente forma:

v= x ,i + y,] + z? k- - -

En consecuencia, el producto vectorial de los vectores nos quedara;

i;x v = (xJ + y) + .:;J) x (xJ + Y 2 1 + zJ:) =--+ --+ --+ --+ --+ -1 --+ --+ --+ --+

= x1.xZ(i x i) + X1. y 2 ( i x j) + X1.Z2 (i x k) + ) l l . X Z ( J x i) + Y l . y 2 ( J x j) +--+ ...... ...... - -1 --+

+ y1.zz(j x k) + ZI .X2(k x i) + ::1.Y2(k x j) + ZI.::2(k x k)

Teniendo en cuenta los productos vectoriales de los vectores de la base, nos queda:

= I Y 1 : l l · i + 1 : 1Y2':;:;2 ~2

Y 1 1 · k = I Y l)1 2 Y2

y, en consecuencia,-

Ie

UXV = Xl )1 1 ~1

X Y2 Z2

EJEMPLO.

• Calcular el producto vectorial de los vectores ii(2,-I,1) Y v(I,2,1)

u x v = 2

- -j k

-1

2

=(desarro llando) = -31 - . 7 + 51~

1

1 - - , . ,- : " - : 5 " - ( '" ' 1-)Portanto,e vector uXV=-_Jl-}+ - = - _ ', - , )

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL.

1. LINEALIDAD: vz , v E V1 {

(k.i;)X v = lc - (i;;x v )y Vk ER : _ _ __

u x (k . v) =k . (u xv)

2 . Vii ,11 E~: V x ii = -(u x v)

ESPACIO AFIN- EUCLiDEO TRIDIMENSIONAL 124



3. DISTRIBUTIVA: Vi;, V , W E V3 : ux (v + 1:V)= (u xv) + (i; x w)

INTERPRETACI6N GEOMETRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL

Para todo par de vectores no nulos i:i, v EV3

, elmodulo del producto vectorial ii x v

es igual al area del paralelogramo construldo sobre esos vectores.L 1 - - - - - -- - - -- - - - - -: h .

EI area del paralelcgramo nos viene dada por:

Area = Base x Altura-u

En nuestro caso, la base del paralelcgramo nos viene dada por el m6dulo del vector

i7 ( I l u l l ) y la altura por: h = I l v l l · sen < i:i, v >

En consecuencia,

Area =1 1 £ 7 1 1 · l l v l l ·sen < ii, v >= l l i i x v i i

APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL.

1. COORDENADAS DE UN VECTOR PERPENDICULAR A DOS RECTAS r Y s.

-Si d, es el vector de direcci6n de la recta r y d, es el vector de direccion de la recta . 5 " ,

- -el vector d , x d, sera. un vector perpendicular a d , y a ds. En consecuencia, el vector

d , x ds sent perpendicular a r y a s.

EJEMPLO:

• Six y-l :::+2 x+l

r=-=--=-- y s=--=y-2=x2 3 4 2- -

Entonces: d; (2,3,4) y d, (2,1,1) y, por tanto, un vector perpendicular a r y a s sera:

d,.xd,=23

2

4 = -i +6J -4 k

1

d, x d , = (-1,6,-4)

-i j k

COORDENADAS DE UN VECTOR PARALELO A UNA RECTA DADA COMO

INTERSECCION DE DOS PLANOS (ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA).

Consideremos una recta r dada pOl"sus ecuaciones cartesianas: las ecuaciones de dos

planes IT y IT '

ESPACIO AFIN-EUCLiDEO TRIDIMENSIONAL 125



{

Ax + By + Cz + D= °r = = A'x + B'y+ C'z +D'= °

Sabemos que J[l_n(A,B,C) y J['l_n'(A',B',C') _Portanto,como r estacontenida

tanto en rt como en rt', tambien sera perpendicular a dichos vectores:

rl_i1 y rLn '

Por otra parte, el producto vectorial ii x ii' es perpendicular a ambos vectores y, en

consecuencia, sera paralelo a r, con 10 que podremos utilizarlo como su vector direccion,

EJEMPLOS:

{

x-y+z-3=0• Encontrar el vector direccion de la recta r dada por r:

2x + z + 4 =°

Los vectores ortogonales a los planos que nos determinan la recta r son: n O , -1,1) y

n ' (2,0,1). El producto vectorial de estos vectores nos da un vector paralelo a la recta r:

j k

n x n '= 1 -1 1= -i + ] + 2 k

2 ° 1

n x n =(-1,1,2)

y podremos considerarlo como direccion de la recta 1'.

• Hallar las coordenadas de un vector perpendicular a las rectas

r :{ x - y + z -1 =° s : { 2 X + Y + 3 Z . + 1=°2x + Y - z + 3 = ° x +:: = °

Calculamos los vectores de direccion de las rectas igual que en el ejercicio anterior:

.. Direccion de larecta r: n(I,-1) y n'(2,1,-I)

- -i j k :

n x n '= 1 -1 =3]+3k: d .;:,;x n '= (0,3,3) ~ (0,1,1)

2 -1

.. Direccion de la recta s: n(2,1,3) y il'(I,O,I)

i j k

i1x n '= 2 3=t+]-k d ' ; : , ; n x n '= (1,1,-1)

o

En consecuencia, el vector perpendicular a dichas rectas sera

ESPACIO AFIN-EUCLIDEO TRlDIMENSIONAL 126



dxd'= 0

-1

-j k

= -21 + J -k d X d'= (-2,1,-1)

• Hallar las coordenadas de un vector paralelo a los planes de ecuaciones

x + z =0 Y 2x - y + z - 3 =0

Los dos planos detenninan una recta r cuyas ecuaciones cartesianas 0 implicitas son las

ecuaciones de los misrnos planos y, ademas, dicha recta esta contenida en ambos planes.

Calculando las coordenadas de un vector paralelo a la recta, tendremos las ccordenadas

del vector pedido. Por tanto:

J k

i1xfi'= I 0

2 -1

= i + J - k fix fi'= (1,1,-1)

AREA DEL TRIANGULO EN FUNCION DE LAS COORDENADAS DE SUS

VERTICES,

Sea el triangulo de vertices A(xl'Yl'zj)' B (X 2 ' Y 2 , Z 2 ) y C(x3 ' Y J , Z j ) ' Estos tres puntos

determinan dos vectores AB y AC,

A B

El area del triangulo nos vrene dada por:

Area(t:.ABC) =_ l _ . base- altura2

La base del triiingulo es e1 modulo del

vector AB, I I A B I I , y la altura nos viene dada pOI

h = I I A C I I · sen < AB,AC >

h"

Entonces:

Area(t:.ABC)= ± . base- altura = ± · I I A B I I · I I : 4 C I I · sen < A B , AC >= ± · I I A B x A c i lE.JE.MPLO.

~ Hallar el area del triangulo cuyos vertices son los puntos de corte del plano

2x + Y + 3= - 6 = ° con los ejes de coordenadas,

z

B y

I, Calculamos los puntos de interseccion

del plano con los ejes:

EJe ox: sus ecuaciones cartesianas son

{

Y=O

z=o

Sustituyendo estos valores en la

ecuacion del plano, nos queda:

2x - 6 =0 =? x =3

Y el punto de interseccion tiene pOI

coordenadas A(3,O,0),

C

A

x




{

X = °je OY: sus ecuaciones cartesianas son. y sustituyendo en la ecuacion del plano==0

nos queda y - 6 = ° => y = 6. Por tanto, las coordenadas de B son (0,6,0).

{X y = = ° 0,je OZ: sus ecuaciones cartesianas son De forma analoga a las

anteriores obtenernos: 32 - 6 =0 => z =2 Y el tercer venice del triangulo sera

C(0,O,2).

3. Teniendo ya los vertices del triangulo, podemos calcular su area:

AB =(0,6,0) - (3,0,0) =(-3,6,0)

AC = (0,0,2) - (3,0,0) =(-3,0,2)

ABxAC= -3 6

- 3 0

Por tanto,

-j k

° =121 + 6 J + 1 8 k

2

ABx AC =(12,6,18)

Area(MBC) =%·IIABXACII=~.J122 +62

+182

=%JC2.6)2 +62

+(3.6)2 =

=_!_.6.J22+1

2+3

2=3Ji4

2

Con el producto vectorial de dos vectores, podemos calcular de otra forma Ia

DISTANCIA DE UN PUNTa A UNA RECTA.

Consideremos la recta r determinada por el punto A y e1 vector d. Queremos calcular

la distancia del punto P a la recta r.

A

Con el vector d direccion de la recta y el

vector AP determinado por los puntos A y P,

podemos formar un paralelogramo cuya base es

l I a l l y BU altura h es la d(P,r).

Teniendo en cuenta que el area del

paralelogramo es igual a base pOl' altura y

tambien, teniendo en cuenta la interpretacion

geometrica del producto vectorial de vectores, es

vectorial de los dos vectores que 10 forman, obtenernos:

Area = l i d x APII = I l d l l · d(P, r) I i J xn l ld(P,r) = P I I

ESPACIO AFIN-EUCLlDEO TRlDWENSIONAL 128



EJEMPLO.

•

lx= 2-3,1

Calcular la distancia del punto P(2,3,-1) a la recta r = = ~ :

~ ; _ , l , lUnpunto de la rectaesA(2,5,-1) y su vector direccion es d(-3,l,-1).

E1vector determinado por los puntos A y P tiene por coordenadas

AP = (2,3,-1) - (2,5,-1) = (0,-2,0)

El producto vectorial de AP y d sera:

i j k

APxd = ° -2 0 =2i -6k ~e2,0,-6)

-3 -1

y su modulo IIAP x a l l =~22 +02 + (_6)2 =, 1 ' 4 + 3 6 " =14 0

Por otra parte: PII=Je-3/ +12+(_1)2=~9+1+1 =m

I I A P x a l l 14 0y , en consecuencia: d(P,r) = I l e l l l =Jil u.I.

PRODUCTO MIXTO DE VECTORES.

Sean tres vectores ii, i/,W E V3 no nulos, Se define el PRODUCTO MIXTO de tres

vectores no nulos como el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los

otros dos. Se representa por {i i , V, w } y el resultado es un numero real:

{ii,v , w } = ii .(i/ X l V )

Si alguno de los vectores es nulo, el producto mixto es igua1 a cero.

EXPRESION ANALiTICA DEL PRODUCTO MIXTO.

Sea B ={i,]J} una base ortogonal de V3 y consideremos que las coordenadas de los

vectores ii, v , 1:V respecto de dicha base sean (x,; Y t , 21) , ( X 2 ' Y 2 ' 22) Y (x,; Y 3 ' : : 3 )

respect.ivamente.

Aplicando las expresiones analiticas de los productos escalar y vectorial, obtendremosla siguiente expresion para el producto mixto:

ESPACIO AFrn- EUCLiDEO TRIDIMENSIONAL 129



X3

-i

a (V xiv) =(xJ + y 3 + ':,/~). x2

j k

=XI ' I ~ : ~ : : I =

XI YJ -'J

2 2 1 I X 2 2 2 1 _ I X 2

-YJ' +"'J ' X Y 2 2 223 X3 2 ] X3

X3 Y3 ~3

10 cualnos dice que "el produeto mixto de ires vectores nos viene dado por el determinanie

form ado por las coordenadas de los mism os If.

PROPIEDADES.

1. V ii, v , W E V] se verifica que:

{ii,v,lV} =-{i/,lV,V} = {lv,ii,v} =-{w,v,t.i} = {v,vv,u} =-{v,£i,w}

2 . {a. 1 1 .,b . v , c ' lV} = ab.c.iu ,v , w}

3 . {if + 1 1 . ' , v , w } = { £ I , V, w} + { 11 .' V , w}

4. {if, v, w}= 0 si, y solo si, U, v,w son coplanarios (lineal mente dependientes) 0 alguno

de los vectores es nulo.

INTERPRETACI6N GEOMETRICA DEL PRODUCTO MIXTO DE VECTORES.

Consideremos tres vectores ii, v , lV C V]' El valor absolute del producto mixto de ellos

sera:

I f £ I , v , w } 1 = I P I I · l l v x i V l · cos < ' £ I , v x lV >

I l v x i v i l es el area de la base del paralelepipedo

construido sobre los tres vectores y

I l i ; l l · cos « ii,17xW>= OH= h es la altura del

mismo.

Entonces:

I {ii, v , l v } 1 = (area de la base)x(altura)= Volumen del paralelepipedo

ESPACIO AFIN-EUCLIDEO TRIDIMENSIONAL 130



En consecuencia, et valor absoluto del producto mixto de ires vectores es igual al

volumen del paralelepipedo que tiene pOl' aristas los tres vectores.

APLICACIONES DEL PRODUCTO MIXTO.

VOLUMEN DE UN TETR..4.EDRO

Sea el tetraedro de vertices A, B, C Y D. Estes cuatro puntos determinan tres vectores

D

A

AB, AC Y AD sobre los cuaies podemos construir

un paralelepipedo y descomponerlo en dos prismas

triangulares iguales de vertices ABCDEP y

BCEHPG respectrvamente.

Carla uno de estos pnsmas se puede

considerar formado por tres tetraedros todos ellosde igual volumen.

Para el primero de los prismas, los tetraedros serian: ABCD, DCEP Y DCFB. En~_consecuencia, el paralelepipedo construido sobre los tres vectores AB, AC Y AD estaria

formado por seis tetraedros y teniendo en cuenta 1 3 0 interpretacion geometrica del producto mixto

nos quedara:

EJEMPLO.

6· VI"fJaedro = {AB,AC,AD} =?

1 _-_._

Vlelro"dro = 6' {AB,AC,AD}

• Calcular el volumen del tetraedro cuyos vertices son A(3 ,S ,7 ) , BO ,0,-1), C(7,-1,4) Y

D(II,4,-6).

Puesto que [as coordenadas de B SOil mas comodas de utilizar que las de Ios otros puntos,

consideramos B como origen y fonnamos los vectores:

En consecuencia,

2 5

1V =-·6-1tetraedro 6

10 4

BA =( 3 ,S ,7 ) - (1,0,-1) =( 2 ,S ,8 )

Be = (7,-1,4) -(1,0,-1) = (6,-1,S)

BD = (11,4,-6) -(1,0,-1) = (10,4,-S)

8

5 = 1O+2S0+192-(-80)-40-(-lS0) = 642 =107 u.l.

6 6

-5

ESPACIO AFIN·EUCLIDEO TRIDIMENSIONAL 1 3 1



PERPENDICULAR COMIJN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.

Se llama PERPENDICULAR COMUN ados rectas que se cruzan a la recta que cotta

perpendicularmente a cada una de ellas,

Consideremos las rectas r(A,d) y s(B,d'). Sabemos que eI vector d x d' es

perpendicular a d ya d ' y, por tanto, perpendicular a las rectas r y s.

En consecuencia, la perpendicular comun a ellas llevara la direccion del vector d x d' .

Como para tener determiuada la recta nos faltaria conocer un punto de la misrna, nos resulta

mas facil y comedo obtener la recta perpendicular comun mediante sus ecuaciones

cartesianas de la siguiente forma:

a. Calculamos el plano que contiene a la recta r y al vector d x d' ; es decir, calculnmos el

plano determinado por el punta A, eI vector d y el vector c 7 x ;], :

ff(A,d,dxd')

b. Calculamos un segundo plano que contiene a la recta s y al vector d x d' :- - -

J[ ' (B;d ' ,d X d ')

La interseccion de estos dos planes calculados rt y n' es una recta que tiene por direccion

la comun a ambos planes: d x d'

MINIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.

Se define la distancia entre dos rectas que se cruzan como la minima distancia entre los

puntos de las rectas, es decir, es la distancia de un punto de ellas al plano que contiene a la

otra y es paralelo a la primera. Tambien podemos definirla como Ia distancia entre los

puntos de interseccion de las rectas con la perpendicular comun,

Estas definiciones nos estan dando algunos procedimientos pm·a calcular la minima

distancia entre dos rectas que se cruzan, Sin embargo, la forma mas rapida de calcular la

minima distancia es Ia siguiente:

La altura del paralelepipedo construido con los dos vectores de direccion de las rectas y

un tercer vector que une dos puntos A y B de las rectas r y s, es precisamente la minima

distancia entre las dos rectas:

Volumen paralelepipedo = Areabase x altura

EJEMPLO.

• Hallar la perpendicular comun y la minima distancia entre las rectas:

r==x=y-1=:: s sa x = y = 3::-1

La recta r esta determinada por el punto A(O, 1,0) y su vector direccion d , (1,1,1).

Para detenuinar la recta s hacemos z = A call 10 que sus ecuacroues parametricas serian:

ESPACIO AFiN-EucLfDEO TRIDWENSIONAL 132



jx = -1+ 3 . . 1 }

s sa Y = -1+ 3 . . 1 =>

::;= ;l,

{

B C -1,-1,0)

d, (3 ,3 ,1 )

Obtenidos los elementos que determinan las dos rectas estudiamos la posicion relativa de

las mismas. Para ello, calculamos el detenninante formado por los vectores AB,dr>d,:

AB = (-1,-1,0) - (0,1,0) = (-1,-2,0)

-1 -2 0

1 = (-I) + (-6) + 0 - 0 - (-3) - (-2) = -2;1'00

3 3

En consecuencia, 3 0 1 ser el determinante distinto de cera, los tres vectores son linealmente

independientes y las dos rectas se cruzan,

Vamos a calcular la perpendicular comun a ambas rectas y para ella:

• Hallamos el producto vectorial d , x c i s :

i j

d r =« , = 1

3 3

k

= -it + 2J => d; X cl5

= (-2,2,0)

• Plano que contiene a la recta r y al vector d r x d s

x -2n(r,drxd,)== y-l 2 = 0 => - 2x - 2(y -1) +4z = 0 => x + y - 2::;-1 = 0

::: 0

• Plano que contiene a la recta s o y a l vector d r x d , :

x+1 3 -2

2 =0 => -2(x+1)-2(y+1)+12z=0 => x+y-6:::+2=0

o

Par tanto, la ecuacion de la recta perpendicular comun a las rectas dadas, en su forrna

cartesiana, nos viene dada por las ecuaciones de los pianos calculados:

{

X + y - 2z -1 = 0

x+ y-6:::+2 = 0

• Minima distancia entre las rectas:

Tenemos: r: {~(0,l,0)

dr ( 1 ) , 1 ) {

B C -1,-1,0)I' . => AB = (-1, -2,0) ~ (1,2,0)

"I , C3,3,1)

e l l " =«. = (-2,2,0)

y, en consecuencra:

ESPACIO AFIN-EUCLfDEO TRIDIl\I1ENSIONAL 13 3



2 2 J2=--=--=- u.I .f2A 2/2 2

EJERCICIOS RESUELTOS.

{

x+ y = 01. Hallar los pianos que contienen a la recta r = = y forman un angulo de 600

x+z=O

con el plano st = = x + y + z = O .

La ecuacion de todos los planos que contienen ala recta r nos viene dada por 1 3 0 ecuacion

del haz: (x + y) + k.ex + . : : ) = 0 =? (1 + k).x + y + kz = 0 y su vector ortogonal nos

vendra dado por n'(l+k,l,k).

El vector ortogonal al plano rt es n(1,1,1).

El lingula fonnado par los dos planes es igual que el lingula formado par sus vectoresortogonales. Entonces:

Como el angulo que tienen que formar los dos planes es de 60° tendremos:

2+2k

-h + 2k + 2k2. f 3 2

Resolviendo la ecuacion resultante, obtenemos:

2+2k =!..=? 4(1+k)=.h+2k+2eJ3 =?

J 2 + 2k+ 2k2

. J 3 2

=? 42(1+k)2 =(J2+2k+2k2. J 3 ) =? 16(1+2k+e)=3(2+2k+2k2) =?

=? 5k2 +13k+5 = =? k =13± Jl69 -100 =13 ± · . / 6 9 =?

10 10

=? l k ~ -131~ J 6 9 ~ -0.47

k= -13-.J69 ~-2.13

10

Sustituyendo estos val ores en la ecuacion del haz de planes, nos queda:

St k=-0.47 =? 0.53x+y-0.47z=0

Si k=-2.13 =? -1.l3x+y-2.13z=0

que son las ecuaciones de los planos pedidos.




2. Hallar la ecuacicn del plano paralelo a x + 2y - z + 1 =0 y que diste J6 del ortgen.

La ecuacion de cualquier plano paralelo al dado sera de la forma:

x+2y-:::+D=O

Como la distancia del origen a estes planes tiene que ser J 6 , nos quedara:

d(O rt ) = I n l => I n l = - J 6 => I n l = ( - J 6 y, ~A2+Bl+C2 .)1+4+1

=> I n l = 6 => n = { 6-6

=>

En consecuencia, los planes buscados tienen por ecuacion:

x+2y-z+ 6 = 0 x+2y-z-6 = 0

.., x-I y-2 7

_). Dada la recta r :-_ =-- =_-_ y el plano n; = x - 2y + z + 3 =O.1 -2 -2

Encontrar la proyeccion ortogonal de la recta r sobre el plano IT. Determinar el angulo queforman r y IT.

• La proyeccion ortogonal de la recta r sobre el plano n estara contenida en el plano n,

luego la ecuacion de este plano sera una ecuaciou cartesiana de la recta pedida.

La otra ecuacion cartesrana sera la ecuacion de un plano que contenga a la recta r y sea

perpendicular al plano rt, Este plano nos vendra detenninado pOl' el punto base de la recta

r, su vector direccion y eI vector ortogonaI al plano n.

Entonces:

1 {

A(l,2,O) I x-I

n ;'= ~: d(l,-2,-2) => Jr '= y - 2

11(1,-2,1) Z

- 2 - 2 = 0 => - 6(x -1) - 3(y - 2) = 0 =>- 2 1

=> 2(x -1) + (y - 2)= 0 => 2x + y - 4 = 0

Por tanto, las ecuaciones cartesianas de Ia recta proyeccion de r sobre el plano rt seran:

{

X - 2y + .:;+ 3 = 0

2x+ y -4 =0

• Angulo formado por la recta r y el plano n:

a . Ii (1,-2,-2)· (1,-2,1)

sen < r,T C >= - l l a - : I I - ' 1 1 1 - 1 ( ' . ) = 1 +=4=+=4~oJrl=+=4=+=11+4-2

J 9 - J 6

- 1 _ 240 -, 41"=> < f,1t >- arcsen - J 6 - : . .

ESPACIO AFIN-EUCLIDEO TRIDII\1ENSIONAL 135



4. a) l.Que relaclon debe existir entre a y ~ para que los vectores

iiI = (0 ; -3 1) u 2= (3 ~ 5) u 3= (1 -4 3)

sean Ilnealmente Independlenres?

b) Determlnar, si es posible, un vector no nulo v que sea perpendicular a uj Y 112 y,

ademas, sea paralelo a iJ 3 .

Consideremos la matriz A formada par los tres vectores dados U j, .U 2 , 'u l

[

a - 3 I ]A= 3 j3 5

1 - 4 3

Para que los tres vectores sean linealmente independientes, el rango de la matriz A debe

de ser tres. Por tanto, si queremos que el rango de A sea tres, su determinante debe ser

distinto de cera.

Vamos a calcular el determinante de A y hacerlo distinto de cero para que los vectores

sean linealmente independientes:

I A I =3aj3 -15 -12 - /1 + 20a + 27=3a/1- P + 20a =J(3a -1) + 20a

Hacemos el deterrninante de A distinto de cero y despejamos ~ en funcion de a,

obteniendo de esta forma la relaci6n pedida para que los vectores sean independientes:

20a 20ap(3a-l)+20a *0 => /J *--- *-.--

3a -1 1-3a

En ccnsecuencia, para que los tres vectores sean linealmente independientes, se tiene que

verificar que

/1 * 20a1-3a

b) Consideremos el vector v(x,y,z)

Si v l_£ij => v 'l1 =0 =>

Si v l _ u2 => v ,u

2 =0 =>

Si v I I it} => v = k , u3 =>

ax-3y+z=0

3x + ~y + 5 :: =0

~=}!_=!..=k143

Resolviendo el sistema resultante, obtenemos:

x = k ] . .k-3(-4k)+3k=0 a·k+1Sk=0y =-4k => => .z=Sk { 3 < + fJ(-4k)+5·3k~O I {18k-4kfJ~O

Como el vector v que buscamos es distinto de cera, obligatonamente k tiene que ser

tambien distinto de cero. Dividiendo ambas ecuaciones por k, obtenemos:

~ 8 1 : ; ~ O }=> [ ;: ~~: ~

4 2

ESPACIO AFIN-EUCLfDEO TRIDIMENSIONAL 136



En consecuencia, solo podremos encontrar el vector v en las condiciones que nos piden

para los valo res de a = -15 Y j3 = ~. Este vector v podria ser el mismo vector u3 a

cualqnier otro proporcional a el.

5. (1) Dados los planes de ecuaciones respectivas x = 0 e y = 0, hallar la ecuaclon del

plano 1t que contiene al punto P(1,2,3) y a la recta cormin a los planus dados,

(2) Deterrninar la recta que pasa por el punto P y corta perpendicularrnente a la recta

dada por las ecuaciones x =3 e y = 3.

Las ecuaciones de los planes dados seran las ecuaciones cartesianas de Ia recta comun a

ambos. La ecuacion de cualquier plano que contenga a dicha recta nos viene dada por la

ecuacion del haz:

x+/1.)I = 0

Como el plano que nos interesa es el que contiene al punto P(l,2,3), las coordenadas de este

1tendran que verificar la ecuacion del haz: 1+ 2/1.= 0 ::::;,A = --

2

Sustituyendo este valor en la ecuacion del haz y operando, obtendrernos el plano pedido:1

x - - )I =0 ::::;, 2x - )1= 02

(2) Deterrniuar la recta que pasa pOI'el punto P y corta perpeudicularrnente a la recta

dada por las ecuaciones x =3 e y =3.

Pl'irner rnetodo:

Ix= 3

Las ecuaciones parametricas de la recta dada seran y =3

Z=A

corte Q con la recta pedida tendra unas coordenadas de Ia 1'01111a(3,3,A). Los puntos P y Q

detertninan Ia recta pedida que tendra una direccion

y, por tanto el punta de

PQ = (3,3, A) - (1,2,3) = (2,1,A - 3)

que debe ser perpendicular a la direccion de la recta dada d(0,0,1) . Por tanto:

PQ· d= 0 ::::;, (2,1,A - 3) .(0,0,1)= 0 ::::;, A - 3 = 0 ::::;,A = 3

En consecuencia, el punta de corte de ambas rectas sen! el punta Q(3,3,3) y la recta

di I d . .. x-I Y - 2 z - 3pe 1( a ten ra par ecuaClOn -- =-- =-- .

210

Segundo rnetodo:

Calculamos un plano que contenga ala recta dada y pase por P. Par-a ella operarnos como

en el apartado (l) tomando Ia ecuacion del haz de planes que contiene a la recta dada:e x - 3) + A(Y - 3) =0

quedandonos Call el que pasa par P(l,2,3):

(1- 3) + Ae2 - 3) = 0 ::::;, - 2 - A = 0 ::::;, A = -2

ESPACIO AFIN-EUCLjDEO TRlDIMENSIONAL 137



y sustituyendo en la ecuacion del haz, obtenemos:

(x - 3) - 2(y - 3) =0 =? x - 2y + 3 = °Por otra parte, calculamos la ecuacion de un plano perpendicular a la recta dada que pase

pOI P:

Como el vector direccion de la recta es d (0,0,1), Ia ecuacion de cualquier plano

perpendicular a ella sera de Ia forma:

o . x + o . y + 1. z + k =° =? ~ + k =0

Como tiene que pasar por P C I ,2,3), este debe de verificar dicha ecuacion: 3 + k =0 =? k =

-3. La ecuacion del plano buscado sera z -3 = 0.

Por tanto, la recta pedida dada por sus ecuaciones cartesianas sera:

{

X-2Y+ 3 = 0

z-3=O

6, Dado un punto arbitrario P de R3, sea Q el punto del plano 2x - 2y - z = 0 que esta

mas cerca de P. Construye una matriz A tal que sl las coordenadas del punto

p ~ (o,b,c) se escriben en nn vector columna v ~ [ : J , entonces I., coordenadas de Q

son las componentes del vector' A· v.

El punta del plano dado mas cercano al punta P sera el pie de la perpendicular a dicho

plano que pase por P. Para calcular el pie de la perpendicular calcularemos la recta

perpendicular al plano que pasa por P y, despues, buscaremos la interseccion de la recta

calculada con el plano dado.

La recta perpendicular al plano dado tendra por direccion la misma que la del vector

ortogonal al plano; por tanto, como el vector ortogonal al plano tiene por coordenadas

(2,-2,-1), la ecuacion de la recta en su forma parametrica sera:

{

X = a + 2,1

r : Y = b - 2,1

z=c-,1

Para buscar las ccordenadas del punto Q , calculamos la interseccion de Ia recta y el plano

resolviendo el sistema fonnado por sus ecuaciones:

I {: : : : ~ ~

=? 2ea + 2 ,1) - 2(b - 2;t) - (c - ;t)= ° =?

z=c-;t

2x - 2y - z = 0

=? (2a-2b-c)+;t(4+4+1)=0 =?;t = _ 2(')- 2b -c

9

ESPA.cIO AFIN-EUCLiDEO TRIDIMENSIONAL 138



Sustituyendo en las ecuaciones de la recta obtenemos [as coordenadas del punto Q

x = a + 2( _ 2a- 2b- c) = 9a- 40 + 4b + 2c = Sa+ 4h + 2c

9 9 9

2a- 2b - c 9h + 4a - 4b - 2c 40 + Sb- 2cY=b+2·----

9 9 9

20 - 2h - c 9c + 20 - 2b - c 20 - 2b + 8cz=c+----

9 9 9

Teniendo las coordenadas de Q vamos a tratar de buscar [a matriz A que verifica que las

coordenadas de Q son las componentes de Av. Tendremos

[a J [ s a + 4b+ 2 C ]

A· h = ~ . 4a + Sh- 2c

c 2a-2b+8c

En consecuencia,

[ 54

: 2 :=~. ~5

-2

7. De un paralelogramo ABCD se conocen el centro .M(2,1,2) y <los vertices consecunvos

A(1,2,5) y B(O,1,4). Determina:

(1) Las coordenadas de los otros dos vertices C y D.

(2) El area del paralelograrno.

(3) La ecuaclon del plano II que 1 0 contiene.

(4) La ecuaclon del plano que es perpendicular a II y contiene a la diagonal AC.

(1) Si tenemos en cuenta que las diagonales de un paraielogramo se cortan en su puntomedio, tendremos que:

l > i J C Venice C: AC =2.AM

Venice D: BD= 2.BM

A B

AM = (2,1,2) - (1,2,5)= (1,-1,-3)

[

X, -1 ~ 2 _;, x, ~ 3

AC=(x1

-1,y,-2,21

-5)=2.(1,-1,-3) => YI-2=-2=> YI =0

21 - 5 = -6 => ZI = -1

ESPACIO AFIN-EUCLIDEO TRIDIJI.1ENSIONAL 139



Par otro lado,

BM = (2),2) - (0,1,4) = (2,0,-2)

j

x, ~, '* x, =4

BD = (X 2 'Y 2 -1'::2 - 4) = 2.(2,0,-2)::::} Yz -1= 0 ::::}Yz = 1

Z2 - 4 =-4::::} 22 =0

Par tanto, las coordenadas de C son (3,0,-1) y las de D(4,1,0).

(2) Teniendo en cuenta la interpretacion geometrica del producto vectorial, el rnodulo de este es

igual al area del paralelogramo construido con base los dos factores, vamos a calcular

primero los vectores AB y AD.

AB = (0,1,4) - (1,2,5) = (-1,-1,-1)

AD =(4,1,0) - (1,2,S)= (3,-1,-S)

EI producto vectorial de ellos sera

j k

ABxAD= -1 -1 -1=4i -8]+4k;::,;(4,-8,4)

3 -1 -5

y su modulo:

(3) Teniendo en cuenta que el vector producto vectorial es ortogonal al plano determinado par

los vectores, el vector (4,-8,4);::,; (1,-2,1) es un vector ortogonal al plano det.enninado par

los vectores AB y AD y, en consecuencia, la ecuacion del plano nos vendra dada par

x-2y+z+k=0

y como tiene que pasar par cualquiera de los cuatro puntas que determinan el

paralelogramo, las coordenadas de estes tendran que verificar su ecuacion:

AEOIT ::::} 1-2·2+S+k=0 ::::} 2+k=0 ::::} k=-2

Por tanto, la ecuacion del plano que contiene al paralelogramo sera:

x - 2y + 2 - 2 = 0

(4) EI plano perpendicular a IT que contiene a la diagonal AC nos vendra determinado par el

punta A y los vectores AC y ii, siendo n el vector ortogonal al plano. La ecuacion de este

plano nos vendra dada por:

x-I 1

IT'(A,AC,ii)=y-2 -2

2-5

1

-1 =0 ::::} 7.(x-I)+4.(y-2)+1.(z-S)=0 ::::}

-3

::::}7x+4y+z-20=0




8. l,Existe alguna recta cuyas proyecciones ortogonales sobre los pianos coordenados son,

respectlvamente,

4x =1 sobre XOY, 3x - = = I sobre X02, 3y - 5 = =2 sobre Y02?

Si existe, determlnarla, Si no existe, explica pOl'que.

Para calcular Ia proyeccion de una recta sobre un plano, el metodo mas facil es encontrar

sus ecuaciones cartesianas (recta dada como interseccion de dos planes): uno de ellos es el

plano sobre el que proyectamos y el segundo es un plano perpendicular al primero que

contiene a la recta que proyectamos.

En nuestro problema, las rectas proyeccion sobre cacla uno de los planos cartesianos nos

vienen dadas por sus ecuaciones cartesianas:

4x = I }==0

3y - 5 z = 2 }X=O

Podemos comprobar facilmente que los planes que determinan cada una de las rectas

proyeccion son ortogonales entre S 1 . Para comprobar si existe una recta cuyas proyecciones

sean las dadas, los planes perpendiculares a los planos cartesianos tendrian que tener una

recta en comun (la que estariamos proyectando).

Veamos si es cierto: para ello estudiamos la posicion relativa de los planes a vel' si tienen

una recta en comun, resolviendo el sistema fonnado por los tres planes

Tomamos las matrices de coeficientes y ampliada del sistema y estudiamos sus rangos:

M ~ [ :0

O ~ ] M' ~[:

0 0

: ]0 -1

3 -) 3 -5

Si tenemos en cuenta que IMI=12 => reM) = 3 Y r( M') = 3, entonces el

sistema es compatible y detenninado: los tres planes se cortan en un punto y no en una

recta.

Por tanto, no existe ninguna recta cuyas proyecciones sobre los ejes son las rectas dadas.

9, Hallar de forma razonada un punto P del plano determinado pOI' los puntos A(2,O,O),

B(O,4,O) Y C(O,O,6) que est€. a igual distancia de los tres (P se llama circuncentro del

trlangulo cuyos vertices son A, By C).

La ecuacion del plano detenninado por los tres puntos sera (en su forma segmentaria):

~ + l'.+ ~ = 1 => 6x + 3Y + 2z = 12246

ESPACIO AFIN-EUCLIDEO TRIDII\1ENSIONAL 141



El punto P que se nos pide equidista de los vertices del triangulo, I II ego se encontrara en

los planes mediadores de cada uno de los lados del triangulo.

• Pla.no mediador del segmento AB:

Punto medio del segmento: M= (1,2,0)

Vector detenninado por los puntos: AB = (0,4,0) - (2,0,0) = (-2,4,0) ~ (-1,2,0)Plano mediador:

-x+ 2y+D = °ComotienequepasarporM: -1+2.2+D=0 => D=-3

=> -x+2y-3=0

ESPACIO AFIN-EUCLjDEO TRIDIMENSIONAL 142



4. Hallar el punto simetrico del punto P(2,0,1) respecto de la recta r :x-I =Y =z + 1

5. Hallar el punto simetrico clelpunto P(2,3,1) respecto cle!plano 7[ = = x + y + z + 3 = o .

6. Hallar el area clel triangulo de verticesA(l,3,0), B(4,2,1) y C(0,-3,2).

{

x+ y-z+I=O7. Hallar la ecuacion del plano 11 : que contiene a la recta r de ecuaciones . y

x+2y+z =0

es ortogonal al plano a. ss 2x - Y + 3z + 1= o . Obtener tambien las eeuaeiones parametricas

de la recta detenninada por 11 : y a.

8. Encontrar Ia ecuacion del plano que es perpendicular al 5x + y + 4z = 0 y pasa por los

puntos A(3,1,2) y B(3,4,4).

9. Hallar Ia ecuacion clelp lano paralelo a x + 2y - z + 1 =° y que cliste./6 clelorigen.

10. Hallar el volumen del tetraedro que determina el plano de ecuacion x + 2y + 2z - 4 =0 con

los ejes eoordenados.

10. Hallar la distancia entre los planos:x+y+:::-3=0

3x + 3Y + 3z - 5 = 0

11. Hallar las ecuaciones

{

X = -z +1r :

y = 2y+3y

de la recta que pasa por el punto

. x+2 y-l z+1s.--=--=--.

312

P(l,I, 1) Y es perpendicular a

12. Estudiar la posicion relativa entre las rectas

{

X=2-31l.

r : y=4+1l.

z = 1- 21l. {- , . ,

x =) + .~J.i

s: y = 2p

:::= 1+ 2Ji

y, en el caso de que se crucen, calcular la perpendicular comun y la minima distancia entreellas,

ESPACID AFlN·EUCLIDEO TRIDIMENSIONAL 143

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