ESFERAS · Chamamos de esfera de centro 𝑂 e raio 𝑅, com 𝑅∈ℝ+∗, o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro 𝑂 é igual ou menor que o raio 𝑅

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Ano: 2017

ESFERAS Aulas 01 e 02

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário ESFERA .................................................................................................................................................................... 1

SEÇÃO PERPENDICULAR A UM EIXO ....................................................................................................................... 1

VOLUME DE UMA ESFERA ....................................................................................................................................... 1

ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA ............................................................................................................................... 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 1

PARTES DE UMA ESFERA ......................................................................................................................................... 2

FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA ....................................................................................................................... 2

ÁREA DE FUSO ESFÉRICO ........................................................................................................................................ 2

ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME ÍCIE DE CUNHA ESFÉRICA ................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 3

CALOTA ESFÉRICA E SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE .................................................................................... 3

ÁREA DE CALOTA ESFÉRICA..................................................................................................................................... 3

ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE .......................................................... 4

SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES ................................................................................................................... 4

ÁREA DE ZONA ESFÉRICA ........................................................................................................................................ 4

ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES ....................................................... 4

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

AULA 01 ESFERA Chamamos de esfera de centro 𝑂 e raio 𝑅, com

𝑅 ∈ ℝ+∗ , o conjunto de pontos do espaço cuja distância

ao centro 𝑂 é igual ou menor que o raio 𝑅.

Observação 1.1: Considerando a rotação completa de

um semicírculo em torno de um eixo 𝒆, a esfera é o

sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada

por uma superfície esférica e formada por todos os

pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

SEÇÃO PERPENDICULAR A UM EIXO Uma esfera de centro 𝑂 e raio 𝑅, quando secionada por

um plano perpendicular a um eixo que contenha um de

seus diâmetros, tem como interseção da esfera com o

plano um círculo de centro 𝐶 e raio 𝑟, tal que 𝑟 ≤ 𝑅.

Note que:

𝑅2 = 𝑑2 + 𝑟2

Observação 1.2: Se 𝑟 < 𝑅, o círculo obtido será

denominado paralelo. E, se 𝑟 = 𝑅, casos em que a

interseção contém o centro da esfera, o círculo será

chamado equador ou círculo máximo.

Na figura anterior, temos:

𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜

𝑹: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

𝒅: 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟

VOLUME DE UMA ESFERA Pode-se mostrar que o volume 𝑉 de uma esfera de raio

𝑅 é igual ao volume do sólido obtido a partir de um

cilindro equilátero com bases de raio 𝑅 e altura

𝐻 = 2𝑅, do qual são retirados dois cones

congruentes, ambos com base de raio 𝑅 e altura

ℎ = 𝑅.

Desse modo, conclui-se que o volume 𝑉 de uma esfera

de raio 𝑅 é dada pela expressão

ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA É possível demonstrar que a área da superfície de uma

esfera de raio 𝑅 é dada pela expressão

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um

plano determina na esfera um círculo de raio 20

cm, sendo 21 cm a distância do plano ao centro

da esfera.

𝑉 =4

3𝜋𝑅³

𝐴𝑆𝑈𝑃. 𝐸𝑆𝐹. = 4𝜋𝑅²


1.2. O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que

secciona essa esfera determina nela um círculo de

raio 45 cm. Obtenha a distância do plano ao

centro da esfera.

1.3. Determine a área de uma esfera, sendo 2304𝜋

cm³ o seu volume.

AULA 02 PARTES DE UMA ESFERA Ao estudarmos esferas, além da área de sua superfície

e de seu volume, também é comum o estudo de suas

partes.

FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA Consideremos dois semiplanos distintos com origem

na reta suporte de um dos diâmetros de uma esfera.

http://conteudoonline.objetivo.br/Conteudo/Index/678?token=5%2f2Yd2%2bzzv%2f29umTApxi0Q%3d%3d

Observe que:

1. A superfície da esfera fica dividida em duas

regiões denominadas fusos esféricos; e

2. As regiões correspondentes da esfera são

denominadas cunhas esféricas.

Observação 2.1: O arco AB é denominado arco

equatorial e o ângulo central correspondente, 𝛼, é o

ângulo equatorial.

ÁREA DE FUSO ESFÉRICO

http://evejolu.blogspot.com.br/2012/10/esfera-esfera-ser-definida-como-um.html

A área de um fuso esférico está para a área da

superfície esférica assim como o ângulo central

correspondente está para 360°. Isto é,

ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME ÍCIE

DE CUNHA ESFÉRICA O estudo de uma cunha esférica é focado no cálculo da

área de sua superfície e no cálculo de seu volume.

𝐴𝐹𝑈𝑆𝑂. 𝐸𝑆𝐹. =𝛼

360°∙ 4𝜋𝑅²

TAREFA 1: P.S.A.: 1, 2, 3, 6, 7 e 8 .

TAL QUAL UMA LARANJA

Se compararmos uma cunha e um fuso de uma esfera

a uma laranja, perceberemos que a cunha seria uma

fatia da laranja e o fuso, a casca relativa à fatia.

Cunha esférica Fuso esférico




A área da superfície de uma cunha esférica é

dada pela soma das áreas de suas partes. Isto é,

O volume de uma cunha esférica está para o

volume de uma esfera assim como o ângulo central

correspondente está para 360°. Isto é,

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Determine a área total e o volume de uma cunha

esférica cujo ângulo é 30°.

2.2. Considere uma esfera de raio 𝑅 e centro 𝑂. Um

fuso dessa esfera possui área da superfície igual a

600𝜋 cm². Detemine o volume, em litros, dessa

esfera, sabendo que o ângulo associado ao fuso tem

medida 3𝜋

4 rad.

2.3. O volume de uma cunha esférica é igual a 12𝜋

m³. Sabendo que o raio da esfera associada a essa

cunha é 3 m, determine a medida, em radianos, do

ângulo dessa cunha.

2.4. A área de um círculo máximo de uma esfera é

igual a 64𝜋 cm². Determine a área, em cm², de um

fuso dessa esfera sendo a medida do ângulo desse

fuso igual a 22,5°.

CALOTA ESFÉRICA E

SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE Um plano secante a uma esfera a divide em dois

sólidos denominados segmentos esféricos.

Já a superfície da esfera fica dividida em duas

superfícies denominadas calotas esféricas.

ÁREA DE CALOTA ESFÉRICA Considere uma calota esférica obtida a partir de uma

esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹.

em que

𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎

𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜

𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎


𝐴𝐶𝑈𝑁𝐻𝐴 𝐸𝑆𝐹. = 𝐴𝐹𝑈𝑆𝑂 𝐸𝑆𝐹. + 2 ∙ 𝐴𝑆𝐸𝑀𝐼𝐶Í𝑅𝐶𝑈𝐿𝑂

𝑉𝐶𝑈𝑁𝐻𝐴 𝐸𝑆𝐹. =𝛼

360°∙

4

3𝜋𝑅³

𝐴𝐶𝐴𝐿𝑂𝑇𝐴 𝐸𝑆𝐹. = 2𝜋𝑅ℎ

CALOTA ESFÉRICA TEM BASE?

Uma calota esférica não tem “base”, ou seja, uma

calota esférica não é composta por duas partes (um

“pedaço” da esfera e um círculo), é composta apenas

por um pedaço da “casca” da esfera.

𝑶


ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO

SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE Considere um segmento esférico obtido a partir de

uma esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹.

A área da superfície de um segmento

esférico de uma base é dada pela soma das

áreas das superfícies de suas partes. Isto é,

Observação 2.2: Estamos definindo como “BASE” do

segmento esférico o círculo obtido na interseção da

esfera com o plano que a secciona.

Pode-se mostrar por meio do cálculo diferencial que o

volume de um segmento esférico é dado

pela expressão

em que

𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜

𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜

A expressão acima é equivalente à seguinte

em que



CONHECIMENTO A MAIS

SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES Considere um segmento esférico obtido a partir de

uma esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹, compreendida entre

dois planos distintos e secantes à esfera, conforme

ilustra a parte vermelha da imagem a seguir.

ÁREA DE ZONA ESFÉRICA Considere um segmento esférica obtido a partir de

uma esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹. Chamamos de ZONA

ESFÉRICA a parte da superfície esférica associada a

esse segmento.

em que

𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎


𝐴𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐸𝑆𝐹. = 𝐴𝐶𝐴𝐿𝑂𝑇𝐴 𝐸𝑆𝐹. + 𝐴"𝐵𝐴𝑆𝐸"

𝑉𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐸𝑆𝐹. =𝜋ℎ

6[3𝒓𝟐 + ℎ2]

𝑉𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐸𝑆𝐹. =𝜋ℎ²

3[3𝑅 − ℎ]

𝐴𝑍𝑂𝑁𝐴 𝐸𝑆𝐹. = 2𝜋𝑅ℎ

TAREFA 2: P.S.A.: 8 e 9 .

ZONA ESFÉRICA???

A ZONA ESFÉRICA pode ser entendida como a “lateral

do segmento esférico de duas bases”. Ou seja, uma

zona esférica não tem bases.


ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO

SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES Considere o segmento esférico de duas bases a seguir.

A área da superfície de um segmento

esférico de duas bases é dada pela soma das

áreas das superfícies de suas partes. Isto é,

em que


𝒓𝟏: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠

𝒓𝟐: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

Pode-se mostrar, por meio do cálculo diferencial, que

o volume de um segmento esférico de

duas bases é dado pela expressão

em que


𝒓𝟏: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠

𝒓𝟐: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

𝐴𝑆𝐸𝐺𝑀. 𝐸𝑆𝐹. = 𝐴𝑍𝑂𝑁𝐴 𝐸𝑆𝐹. + 𝜋𝒓𝟏² + 𝜋𝒓𝟐²

𝑉𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐸𝑆𝐹. =𝜋ℎ

6[3(𝒓𝟏)𝟐 + 3(𝒓𝟐)𝟐 + ℎ2]

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