ESERCIZIO 1.1 I dati che seguono si riferiscono al periodo ... · Esercizi di Statistica 1 ESERCIZIO 1.1 I dati che seguono si riferiscono al periodo di incubazione espresso in giorni

Esercizi di Statistica

1

ESERCIZIO 1.1 I dati che seguono si riferiscono al periodo di incubazione espresso in giorni di una certa malattia 5 2 4 5 6 7 4 7 5 2 3 6 7 5 5 4 1 6 6 5 8 4 2 6 5 8 7 4 4 6 9 5 3 5 5 6 6 3 4 5. a. Realizzare una distribuzione di frequenza (relativa,

percentuale, percentuale cumulata). b. Rappresentare graficamente la distribuzione delle

frequenze assolute mediante il grafico appropriato.


2

a. Distribuzioni di frequenza

Periodo di incubazione (giorni) n f p P

1 1 0,025 2,5 2,5 2 3 0,075 7,5 10,0 3 3 0,075 7,5 17,5 4 7 0,175 17,5 35,0 5 11 0,275 27,5 62,5 6 8 0,200 20,0 82,5 7 4 0,100 10,0 92,5 8 2 0,050 5,0 97,5 9 1 0,025 2,5 100,0 40 1,000 100,0

b. Diagramma a colonne separate

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Periodo di incubazione (giorni)

Fre

quenza


3

ESERCIZIO 1.2 L’intensità di una cutireazione alla tubercolina può essere misurata su scala ordinale ( -, +, ++, +++, ++++ ). La tabella riporta i risultati di 92 test tubercolinici eseguiti presso un ambulatorio pneumologico. a. Calcolare le distribuzioni di frequenza relativa,

percentuale, cumulata relativa e percentuale. b. Rappresentare le distribuzioni con gli opportuni

diagrammi.

CUTIREAZIONE n

- 12 + 18 ++ 24 +++ 32 ++++ 6

92


4

a. Distribuzioni di frequenza b. Diagrammi

Intensità della cutireazione

13%

20%

26%

34%

7%

-

+

++

+++

++++

Intensità della

cutireazione n f p F P

- 12 0,1304 13,0% 0,1304 13,0% + 18 0,1957 19,6% 0,3261 32,6% ++ 24 0,2609 26,1% 0,5870 58,7% +++ 32 0,3478 34,8% 0,9348 93,5% ++++ 6 0,0652 6,5% 1,0000 100,0%

92 1 100%


5

Cutireazione alla tubercolina

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

- + ++ +++ ++++

Intensità della reazione

Fre

quenza


6

ESERCIZIO 1.3 In una scuola elementare fu misurata l’altezza di un campione di 10 bambini di 10 anni, ottenendo i seguenti valori espressi in cm: 135 115 116 122 125 120 121 132 125 130 Calcolare le misure di posizione e di dispersione.


7

Media

cmn

xx

i1,124

10

1241

10

130....115135==

+++=

Σ=

Mediana

Posizione valore mediano: 5,52

11

2

1==

+n

115 116 120 121 122 125 125 130 132 135

Mediana = cm5,1232

125122=

+

Moda =125 cm


8

Range = max. – min. = 135 - 115 =20 cm Varianza

( )2

2

2 1,449

90,396

1cm

n

xxs

i

==−

−=∑

( )xxi − ( )2xxi −

115 -9.1 82.81 116 -8.1 65.61 120 -4.1 16.81 121 -3.1 9.61 122 -2.1 4.41 125 0.9 0.81 125 0.9 0.81 130 5.9 34.81 132 7.9 62.41 135 10.9 118.81

396.90 Deviazione standard

( )cm

n

xxs

i

6408,61

2

=−

−=∑

Coefficiente di variazione

%35.51000535,01001,124

6408,6100.. =⋅=⋅=⋅=

x

svc


9

ESERCIZIO 1.4 Ricavare dal seguente grafico la corrispondente distribuzione di frequenza assoluta e %. Determinare la frequenza % cumulata.

012345678

34 35 36 37 38 39 40 41 42

Età gestazionale (settimane)

Fre

quenza

Calcolare la media, la moda, la mediana. Calcolare il range, la deviazione standard e il coefficiente di variazione.


10

Età gestazionale (settimane)

Frequenza assoluta

Frequenza cumulata assoluta

Frequenza %

Frequenza % cumulativa

34 1 1 3,1% 3,1% 35 3 4 9,4% 12,5% 36 3 7 9,4% 21,9% 37 3 10 9,4% 31,3% 38 5 15 15,6% 46,9% 39 7 22 21,9% 68,8% 40 3 25 9,4% 78,1% 41 3 28 9,4% 87,5% 42 4 32 12,5% 100,0% 32 100,0%

Media

settimane 5.3832

1232

32

442341...336335134==

⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=x

Mediana La posizione mediana è data da

(32 + 1) / 2 = 16.5 La mediana è il valore che si trova pertanto tra la 16° ed la 17° osservazione. Osservando le frequenze cumulate tale valore è 39. Lo stesso valore è anche la moda poiché si presenta con maggior frequenza.


11

Range max-min=42-34=8 settimane Deviazione standard

( )

1

2

−

×−=∑

n

ifxx

si

Età

gestazionale (settimane)

Frequenza assoluta

(Fi)

34 1 -4,5 20,25 20,25 35 3 -3,5 12,25 36,75 36 3 -2,5 6,25 18,75 37 3 -1,5 2,25 6,75 38 5 -0,5 0,25 1,25 39 7 0,5 0,25 1,75 40 3 1,5 2,25 6,75 41 3 2,5 6,25 18,75 42 4 3,5 12,25 49

Totale 32 160

27.216.531

160===s

xxi− 2)( xxi − ii fxx ⋅− 2)(


12


%90.51005.38

.272.. ≅⋅=

settimane

settimanevc


13

ESERCIZIO 1.5 La seguente tabella riporta la distribuzione del peso in un campione di femmine normali:

Peso (kg)

Frequenza

Frequenza relativa

Frequenza relativa

cumulata [40-45) 6 [45-50) 11 [50-55) 32 [55-60) 31 [60-65) 15 [65-70) 4 [70-75) 1 Totale

1. Completare la tabella; 2. Rappresentare graficamente mediante istogramma; 3. Calcolare: a) la media aritmetica .............................................. b) la classe modale ................................................. c) la classe mediana ................................................ d) la varianza ........................................................... e) la deviazione standard ........................................ f) il coefficiente di variazione …………………………


14

1) Tabella

2) Istogramma

0

5

10

15

20

25

30

35

[40-45) [45-50) [50-55) [55-60) [60-65) [65-70) [70-75)

Peso (kg)

Fre

quenza

Peso (kg)

Frequenza

Frequenza relativa

Frequenza relativa

cumulata

[40-45) 6 0.06 0.06 [45-50) 11 0.11 0.17 [50-55) 32 0.32 0.49 [55-60) 31 0.31 0.80 [60-65) 15 0.15 0.95 [65-70) 4 0.04 0.99 [70-75) 1 0.01 1.00 Totale 100 1.00


15

3) a. Media

Kgx 2,55100

5520

100

5,7245,67155,62315,57325,52115,4765,42==

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

b. Classe modale )[ Kg5550 − c. Classe mediana

)[ Kg6055 −


16

d. Varianza

classi kx kf

( )xxk − ( )2xxk − ( ) kk fxx ⋅−

2

)[ 4540 − 42,5 6 -12,7 161,29 967,74

)[ 5045 − 47,5 11 -7,7 59,29 652,19

)[ 5550 − 52,5 32 -2,7 7,29 233,28

)[ 6055 − 57,5 31 2,3 5,29 163,99

)[ 6560 − 62,5 15 7,3 53,29 799,35

)[ 7065 − 67,5 4 12,3 151,29 605,16

)[ 7570 − 72,5 1 17,3 299,29 299,29

100 3721

22 58,3799

3721kgs ==

e. Deviazione standard

kgs 1307,65859,37 == f. Coefficiente di variazione

%1,11%1064,111002,55

1307,6.. ≅=⋅=

Kg

Kgvc .


17

ESERCIZIO 1.6 La seguente tabella riporta la distribuzione della variabile “peso” in un campione di studenti iscrittoti nello scorso anno accademico al C.d.L. per Fisioterapisti. Rappresentare graficamente e calcolare le misure di tendenza centrale e di dispersione.

Peso (Kg) Frequenza 40-45 2 45-50 4 50-55 6 55-60 7 60-65 4 65-70 6 70-75 4 75-80 4 80-85 3


18

Istogramma

01234567

40-45

45-50

50-55

55-60

60-65

65-70

70-75

75-80

80-85

Peso (kg)

Fre

quenza

Misure di tendenza centrale Media

kg

x

375.6240

2495

40

35.8245.7745.72......65.5245.4725.42

==

=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅

=

Classe mediana [60-65) kg Classe modale [55-60) kg


19

Misure di dispersione Varianza

classi kx kf ( )xxk − ( )2xxk −

( ) kk fxx ⋅−2

)[ 4540 − 42,5 2 -19.875 395.02 790.03

)[ 5045 − 47,5 4 -14.875 221.27 885.06

)[ 5550 − 52,5 6 -9.875 97.52 585.09

)[ 6055 − 57,5 7 -4.875 23.77 166.36

)[ 6560 − 62,5 4 0.125 0.02 0.06

)[ 7065 − 67,5 6 5.125 26.27 157.59

)[ 7570 − 72,5 4 10.125 102.52 410.06

)[ 8075 − 77.5 4 15.125 228.77 915.06

)[ 8580 − 82.5 3 20.125 405.02 1215.05 40 5124.38

( ) 2i

kg n

xxs 39.131

39

38.5124

1

2

2 ==−

−=∑

Deviazione standard

( )kg 46.1139.131

1

2

==−

−=∑n

xxs

i


%4.18100375.62

46.11.. ≅⋅=vc


20

ESERCIZIO 1.7

Costruire la distribuzione di frequenza relativa e percentuale del numero di leucociti per ogni µl di sangue in un soggetto adulto normale.

Leucociti N° di cellule/µl Neutrofili 3650 Eosinofili 150 Basofili 30 Linfociti 2500 Monociti 430

Rappresentare graficamente la frequenza %.


21

Leucociti N° di cellule/µl Frequenza relativa

Frequenza %

Neutrofili 3650 0,540 54,0%Eosinofili 150 0,022 2,2%Basofili 30 0,004 0,4%Linfociti 2500 0,370 37,0%Monociti 430 0,064 6,4% 6760 1 100,0%

0,4% 2,2%6,4%

37,0%

54,0%

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

Basofili Eosinofili Monociti Linfociti Neutrofili

Leucociti /µµµµl

Fre

quenza %


22

ESERCIZIO 2.1 E’ stato determinato il gruppo sanguigno di 24 soggetti di entrambi i sessi, con i seguenti risultati: A B 0 AB A 0 B 0 A 0 A B A A 0 0 A 0 0 AB 0 A A 0. Costruire una tabella di distribuzione di frequenza. Tracciare un diagramma di frequenza a colonne. Distribuzione di frequenza

Gruppo ematico Totale 0 41,7%A 37,5%AB 8,3%B 12,5%Totale complessivo 100,0%

Diagramma a colonne

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

0 A AB B

GRUPPO EMATICO

FR

EQ

UEN

ZA


23

ESERCIZIO 2.2 Un medico misura la frequenza del polso di un paziente per 10 minuti Nei primi 6 minuti la frequenza è 60 battiti/min; nei successivi 3 minuti è 66 battiti/min e nell’ultimo minuto è 64 battiti/min. Calcolare la frequenza media.

Battiti al minuto = x Minuti = if i

fix

60 6 60·6 =360 66 3 66·3 =198 64 1 64·1 = 64

10 622

mbattitin

fxx

ii/2,62

10

622===

∑


24

ESERCIZIO 2.3 Durante un’indagine avente lo scopo di accertare la presenza di gotta sono stati dosati i livelli di acido urico in 10 maschi e 8 femmine. Sono stati raccolti i dati seguenti: maschi 7,5 7,0 7,9 7,3 7,6 8,3 7,2 8,1 7,1 8,0 femmine 4,2 3,1 4,3 3,5 3,8 3,9 4,6 4,4

Calcolare la media aritmetica, la deviazione standard e il coefficiente di variazione dei due campioni. Discutere la variabilità campionaria nei due sessi. Calcolare le stesse statistiche su tutti i soggetti.


25

6,710

76

10

81,71,82,73,86,73,79,775,7==

+++++++++=maschix

975,38

8,31

8

4,46,49,38,35,33,41,32,4. ==

+++++++=femmx

xi ( )xxi − ( )2xxi −

7,0 -0,6 0,36 7,1 -0,5 0,25 7,2 -0,4 0,16 7,3 -0,3 0,09 7,5 -0,1 0,01 7,6 0.0 0.00 7,9 0.3 0,09 8,0 0,4 0,16 8,1 0,5 0,25 8,3 0,7 0,49

1,86

( )4546,0

9

86,1

1

2

==−

−=∑n

xxs

i

maschi


26

xi ( )xxi − ( )2xxi −

3,1 -0,875 0,765625 3,5 -0,475 0,225625 3,8 -0,175 0,030625 3,9 -0,075 0,005625 4,2 0,225 0,050625 4,3 0,325 0,105625 4,4 0,425 0,180625 4,6 0,625 0,390625

1,7550

( )5007,0

7

7550,1

1

2

. ==−

−=∑n

xxs

i

femm

%6%981.510005981,01006,7

4546,0100.. ==⋅=⋅=⋅=

x

svc maschi

%6,121001260,0100975,3

5007,0100.. . =⋅=⋅=⋅=

x

svc femm

9889,518

4,46,4...75,7=

++++=generalex

sgenerale=1,9100 c.v.generale=31,9%


27

ESERCIZIO 2.4 52 studenti sostengono l’esame di statistica e informatica. In un gruppo di 19 studenti la media dei voti è 27. in un secondo gruppo di 24 studenti la media dei voti è 25. gli studenti restanti hanno una media di 20. a. Determinare la media dei voti di tutti gli studenti. b. Calcolare il range e la deviazione standard.


28

Media

xi fi xi· fi

27 19 27·19 25 24 25·24 20 9 20·9 52

Range = 27-20 = 7

87,2452

1293

52

19272425920==

⋅+⋅+⋅=X


29

Deviazione standard

( )1

2

−

−=∑

n

fxxs

ii

51

5738.864348.00491.213

51

191346.2240181.096721.23

51

19)1346.2(24)1346.0(9)8654.4(

152

19)8654.2427(24)8654.2425(9)8654.2420(

222

222

++=

=×+×+×

=

=×+×+×−

=

=−

×−+×−+×−=s


30

Tutti i calcoli possono essere riassunti in modo più ordinato in una tabella xi fi (xi -x) (xi –x)

2 (xi – x)

2 · fi

20 9 -4,8654 23,6721 213,0491 25 24 0,1346 0,0181 0,4348 27 19 2,1346 4,5565 86,5738 52 300,0577

xi fi xxi − ( )2xxi −

( ) ii fxx ×−2

20 9 -4,8654 23,6721 213,0491 25 24 0,1346 0,0181 0,4348 27 19 2,1346 4,5565 86,5738 52 300,0577

( )4256,2

51

0577.300

1

2

==−

−=

∑n

xxs

ifi

DATI INIZIALI

DATI ELABORATI


31

ESERCIZIO 2.5 In 9 individui maschi in cui si sospetta una deficienza di G-6PDH, responsabile di crisi emolitiche, si determina l’attività dell’enzima. Si ottengono i seguenti valori (in µmol/l): 122 136 115 132 101 103 124 137 111 Calcolare la mediana. Ordino in senso crescente la serie di dati: 101 103 111 115 122 124 132 136 137 Individuo la posizione della mediana:

52

10

2

19

2

1==

+=

+n

101 103 111 115 122 124 132 136 137 Mediana = 122 µmol/l


32

ESERCIZIO 2.6 Qual è la moda del campione seguente formato dai valori di azotemia (mg/100 ml) di soggetti normali? 16 44 37 51 60 53 39 61 58 45 46 54. 16 44 37 51 60 53 39 61 58 45 46 54 Non è possibile determinare la moda di questo campione, perché …………..


33

ESERCIZIO 2.7 E’ stato misurato il peso in Kg di un campione di 100 individui:

Calcolare la media aritmetica, la classe mediana e la classe modale. Calcolare la distribuzione delle frequenze relative, percentuali e percentuali cumulate.

Peso (kg) Frequenza [50-60) 5 [60-70) 17 [70-80) 38 [80-90) 25 [90-100) 11 [100-110) 4

100


34

Media = kg2,78100

7820

100

41051195258538751765555==

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

Classe mediana (70-79) kg Classe modale (70-79) kg

Peso (kg) Frequenza 50-60 5 60-70 17 70-80 38 80-90 25 90-100 11 100-110 4

100

Peso (kg)

Frequenza f p P

50-60 5 0,05 5% 5% 60-70 17 0,17 17% 22% 70-80 38 0,38 38% 60% 80-90 25 0,25 25% 85% 90-100 11 0,11 11% 96% 100-110 4 0,04 4% 100% 100 1 100%


35

ESERCIZIO 2.8 La tabella seguente riporta la distribuzione dei casi di carcinoma del pancreas sottoposti ad intervento chirurgico negli ultimi cinque anni nella Clinica Chirurgica dell’Università di Pavia, per fasce d’età:

Età (anni) N° di casi [40-45) 1 [45-50) 11 [50-55) 35 [55-60) 49 [60-65) 25 [65-70) 12 Totale 133

Calcolare la classe mediana e la classe modale. Classe mediana = [55-60) Classe modale = [55-60)


36

Esercizio 3.1 I seguenti dati rappresentano le età di 48 pazienti che frequentano un centro di riabilitazione fisioterapica.

32 63 33 57 35 54 38 53 42 51 42 48 43 46 61 53 12 13 16 16 31 30 28 28 25 23 23 22 21 17 13 30 14 29 16 28 17 27 21 24 22 23 61 55 34 42 13 26

Calcolare le opportune misure descrittive


37

Media

anni x 3125.3248

1551

48

2613...57336332==

++++++=

Moda Non esiste un’unica moda, ma più valori che presentano frequenza massima (3): 13-16-23-28-42 anni distribuzione plurimodale Mediana Disposte le 48 osservazioni in ordine crescente, la posizione della mediana è individuabile con la seguente formula:

(n+1)/2=49/2=24.5 La mediana è data dalla media aritmetica delle osservazioni che occupano la 24a e la 25a posizione: 12 13 13 13 14 16 16 16 17 17 21 21 22 22 23 23 23 24 25 26 27 28 28 28 29 30 30 31 32 33 34 35 38 42 42 42 43 46 48 51 53 53 54 55 57 61 61 63 (28+29)/2=28.5 mediana


38

Varianza

2anni

s

113.221

47

1)3125.3263(...3)3125.3213(1)3125.3212(2

=

=⋅−++⋅−+⋅−

=

Deviazione standard

anni s 87.14113.221 == Coefficiente di variazione

%461003125.32

87.14.. =⋅=vc


39

Esercizio 3.2 La seguente tabella riporta il peso, l’altezza, lo sport praticato e il numero di ferite di 18 studenti di una scuola:

Soggetto Peso kg

Altezza cm

Sport N° di ferite

AA 63 170 BASKET 3 BB 75 180 Basket 2 CC 65 170 Basket 1 DD 75 175 Nuoto 0 EE 75 170 Atletica 0 FF 80 185 Basket 3 GG 70 170 Atletica 0 HH 65 165 Pallavolo 2 LL 79 180 Nuoto 2 MM 80 175 Basket 0 NN 73 173 Basket 0 PP 66 163 Nuoto 0 QQ 65 170 Pallavolo 3 RR 70 178 Pallavolo 2 SS 60 172 Atletica 1 TT 77 177 Basket 1 VV 74 169 Pallavolo 1 ZZ 75 181 Atletica 2

Determinare media, moda e mediana per le 4 variabili.


40

PESO Peso medio = 71.5 kg

kg x 5.7118

7574...657563=

+++++=

Moda 75kg valore più frequente (frequenza=4) Mediana Posizione mediana (n+1)/2=19/2=9.5 La mediana è data dalla media aritmetica della nona e decima osservazione- 60 63 65 65 65 66 70 70 73 74 75 75 75 75 77 79 80 80 (73+74)/2=73.5kg mediana


41

ALTEZZA Altezza media = 173.5 cm

cm x 5.17318

181169...170180170=

+++++=

Moda 170 kg valore più frequente (frequenza=5) Mediana Posizione mediana (n+1)/2=19/2=9.5 La mediana è data dalla media aritmetica della nona e decima osservazione- 163 165 169 170 170 170 170 170 172 173 175 175 177 178 180 180 181 185 (172+173)/2=172.5 cm mediana


42

Sport Moda sport = Basket N° di ferite N° medio di ferite

128.118

21...123≅=

+++++=x

Moda 0 valore più frequente (frequenza=6) Mediana Posizione mediana (n+1)/2=19/2=9.5 La mediana è data dalla media aritmetica della nona e decima osservazione. 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 (1+1)/2=1 mediana


43

Esercizio 3.3

Il campione 3 7 1 2 2:

ha media 3? ha mediana 7? ha moda 2? ha range 1? Media

35

15

5

22173==

++++=x

Mediana

Dati disposti in ordine crescente:

1 2 2 3 7

Posizione mediana (n+1)/2=6/2=3 La mediana è data dalla terza osservazione.

1 2 2 3 7 mediana=2 Moda

2 valore più frequente (frequenza=2) Range

range=max. – min.=7-1=6


44

ESERCIZIO pag.81 4.3.1

Supponiamo che in una certa popolazione il 52% dei nati sia maschio. Se estraiamo a caso cinque record da questa popolazione, qual è la probabilità che esattamente tre di questi siano maschi? P(X=3)=?

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=5 p=0.52 q= 0.48

3240.02304.01406.01048.052.0)!35(!3

!5)3( 23 =⋅⋅=⋅⋅

−==XP


45


Supponiamo che sia noto che il 30% di una certa popolazione è immune da una malattia. Se si estrae un campione casuale di dimensione 10 da questa popolazione, qual è la probabilità che esso contenga esattamente quattro persone immuni? P(X=4)=?

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=10 p=0.30 q= 0.70

2001.01176.00081.02107.03.0)!410(!4

!10)4( 64 =⋅⋅=⋅⋅

−==XP


46

ESERCIZIO pag.85 4.3.3 Supponiamo che il 10% di una certa popolazione sia daltonico. Estraiamo un campione casuale di 25 soggetti da questa popolazione. Qual è la probabilità che: a. Un numero di soggetti minore o uguale a 5 sia

daltonico. b. Un numero di soggetti maggiore o uguale a 6 sia

daltonico. c. Un numero di soggetti compreso tra 6 e 9, estremi

inclusi, sia daltonico.


47

a. Un numero di soggetti minore o uguale a 5 sia

daltonico.

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=25 p=0.10 q=0.90 P(X≤5)=P(X=0)+……+P(X=5)]

0718.09.01.0!25!0

!25)0( 250 =⋅⋅

⋅==XP

1994.09.01.0!24!1

!25)1( 241 =⋅⋅

⋅==XP

2659.09.01.0!23!2

!25)2( 232 =⋅⋅

⋅==XP

2265.09.01.0!22!3

!25)3( 223 =⋅⋅

⋅==XP

1384.09.01.0!21!4

!25)4( 214 =⋅⋅

⋅==XP

0646.09.01.0!20!5

!25)5( 205 =⋅⋅

⋅==XP

P(X≤5)= =0.0718+0.1994+…+0.1384+0.0646=0.9666


48

b. Un numero di soggetti maggiore o uguale a 6 sia daltonico.

P(X≥6) =1−P(X<6)=1-[P(X=0)+……+P(X=5)] P(X≥6) =1−0.9666=0.0334 c. Un numero di soggetti compreso tra 6 e 9,

estremi inclusi , sia daltonico. P(6≤X≤9) =P(X=6) +P(X=7)+P(X=8) +P(X=9)

0239.09.01.0!19!6

!25)6( 196 =⋅⋅

⋅==XP

0072.09.01.0!18!7

!25)7( 187 =⋅⋅

⋅==XP

0018.09.01.0!17!8

!25)8( 178 =⋅⋅

⋅==XP

0004.09.01.0!16!9

!25)9( 169 =⋅⋅

⋅==XP

P(6≤X≤9) =0.0239+……+0.0004=0.0333


49

ESERCIZIO pag.86 4.3.4 In una certa comunità e in una data sera vi è qualcuno a casa nell’ 85% delle famiglie. Un gruppo di ricerca ha condotto una indagine telefonica, estraendo un campione casuale di 12 famiglie. Trovare la probabilità che: a. Il gruppo trovi qualcuno a casa esattamente in 7

famiglie. b. Il gruppo trovi qualcuno a casa in un numero di

famiglie minore o uguale a 5. c. Il gruppo trovi qualcuno a casa in un numero di

famiglie maggiore o uguale a 8.


50

a. Qualcuno a casa esattamente in 7 famiglie;

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=12 p=0.85 q=0.15

0193.015.085.0!5!7

!12)7( 57 =⋅⋅

⋅==XP

b. Qualcuno a casa in un numero di famiglie

minore o uguale a 5;

P(X≤5)=P(X=0)+……+P(X=5)]

0000.015.085.0!12!0

!12)0( 120 =⋅⋅

⋅==XP

0000.015.085.0!11!1

!12)1( 111 =⋅⋅

⋅==XP

P(X=2)=0.0000 P(X=3)=0.0000

00006.015.085.0!8!4

!12)4( 84 =⋅⋅

⋅==XP

0006.015.085.0!7!5

!12)5( 75 =⋅⋅

⋅==XP

P(X≤5)==0.0000+…+0.0006=0.00066=0.0007


51

c. Qualcuno a casa in un numero di famiglie

maggiore o uguale a 8.

P(X≥8)=P(X=8)+….+ P(X=12)

oppure P(X≥8)=1-P(X<8) P(X≤5) già calcolata =0.0007 P(X=6) da calcolare

0040.015.085.0!6!6

!12)6( 66 =⋅⋅

⋅==XP

P(X=7) già calcolata =0.0193

P(X≥8)=1-P(X<8)=1-(0.0007+0.0040+0.0193)= =1-0.0240=0.9760


52

ESERCIZIO pag.89 4.3.1 Si riferisce che il 26% degli adulti degli Stati Uniti è in sovrappeso. Si consideri un campione casuale semplice di 20 adulti degli Stati Uniti. Si trovi la probabilità che il numero di soggetti in sovrappeso nel campione sia: a. Esattamente tre. b. Maggiore o uguale a tre. c. Minore di tre. d. Fra tre e sette, estremi inclusi.


53

a. Esattamente tre.

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=20 p=0.26 q=0.74

1199.074.026.0!17!3

!20)3( 173 =⋅⋅

⋅==XP

b. Maggiore o uguale a tre. P(X≥3) =1−P(X<3)=

=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]

0024.074.026.0!20!0

!20)0( 200 =⋅⋅

⋅==XP

0170.074.026.0!19!1

!20)1( 191 =⋅⋅

⋅==XP

05687.074.026.0!18!2

!20)2( 182 =⋅⋅

⋅===XP

P(X≥3) =1-(0.0024+0.0170+0.0569)=0.9237


54

c. Minore di tre. P(X<3) =1-0.9237=0.0763 d. Fra tre e sette, estremi inclusi. P(3≤X≤7) = =P(X=3) +P(X=4)+P(X=5) +P(X=6)+P(X=7)

1199.074.026.0!17!3

!20)3( 173 =⋅⋅

⋅==XP

1790.074.026.0!16!4

!20)4( 164 =⋅⋅

⋅==XP

2013.074.026.0!15!5

!20)5( 155 =⋅⋅

⋅==XP

1768.074.026.0!14!6

!20)6( 146 =⋅⋅

⋅==XP

1242.074.026.0!13!7

!20)7( 137 =⋅⋅

⋅==XP

P(3≤X≤7) =0.1199+……+0.1242=0.8012


55

ESERCIZIO pag.89 4.3.2 Riferendoti all’esercizio 4.3.1,

quanti adulti in sovrappeso ci si aspetta di trovare in un campione di 20? µ=n⋅p n=20 p=0.26 µ=n⋅p=20⋅0.26=5.2≈5 individui in sovrappeso

4.3.1 Si riferisce che il 26% degli adulti degli Stati Uniti è in sovrappeso


56

ESERCIZIO pag.89 4.3.3 Si riferisce che il 26% degli adulti degli Stati Uniti è in sovrappeso. Si consideri un campione casuale semplice di 5 adulti degli Stati Uniti. Si trovi la probabilità che il numero di soggetti in sovrappeso nel campione sia: a. Zero. b. Maggiore di uno. c. Fra uno e tre, estremi inclusi. d. Minore o uguale a due. e. Cinque.


57

a. Zero.

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=5 p=0.26 q=0.74

2219.074.026.0!5!0

!5)0( 50 =⋅⋅

⋅==XP

b. Maggiore di uno. P(X>1)=1-P(X≤1)

2219.074.026.0!5!0

!5)0( 50 =⋅⋅

⋅==XP

3898.074.026.0!4!1

!5)1( 41 =⋅⋅

⋅==XP

P(X>1)=1-(0.2219+0.3898)=0.3883


58

c. Fra uno e tre, estremi inclusi. P(1≤X≤3) =P(X=1) +P(X=2)+P(X=3)

3898.074.026.0!4!1

!5)1( 41 =⋅⋅

⋅==XP

2739.074.026.0!3!2

!5)2( 32 =⋅⋅

⋅==XP

0962.074.026.0!2!3

!5)3( 23 =⋅⋅

⋅==XP

P(1≤X≤3) =0.3898+0.2739+0.0962=0.7599 d. Minore o uguale a 2.

P(X≤2) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= =0.2219+0.3898+0.2739=0.8856

e. Cinque.

0012.074.026.0!0!5

!5)5( 05 =⋅⋅

⋅==XP


59

ESERCIZIO pag.89..4.3.4 Un rapporto del National Center for Health Statistics, basato su dati del 1985, afferma che il 30% degli adulti americani fuma. Dato un campione casuale semplice di 15 adulti trova la probabilità che il numero dei fumatori nel campione sia: a. Tre. b. Minore di cinque. c. Fra cinque e nove, estremi inclusi. d. Maggiore di cinque, ma minore di 10. e. Maggiore o uguale a sei.


60

a. Tre.

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=15 p=0.30 q=0.70

1700.070.030.0!12!3

!15)3( 123 =⋅⋅

⋅==XP

b. Minore di cinque. P(X<5) =P(X=0)+P(X=1)+……+P(X=4)

0047.070.030.0!15!0

!15)0( 150 =⋅⋅

⋅==XP

0305.070.030.0!14!1

!15)1( 141 =⋅⋅

⋅==XP

0916.070.030.0!13!2

!15)2( 132 =⋅⋅

⋅==XP

1700.070.030.0!12!3

!15)3( 123 =⋅⋅

⋅==XP

2186.070.030.0!11!4

!15)4( 114 =⋅⋅

⋅==XP

P(X<5) =0.0047+0.0305+0.0916+0.1700+0.2186=

=0.5154


61

c. Fra cinque e nove, estremi inclusi.

P(5≤X≤9) =P(X=5) +P(X=6)+….+P(X=9)

2061.070.030.0!10!5

!15)5( 105 =⋅⋅

⋅==XP

1472.070.030.0!9!6

!15)6( 96 =⋅⋅

⋅==XP

0811.070.030.0!8!7

!15)7( 87 =⋅⋅

⋅==XP

0348.070.030.0!7!8

!15)8( 78 =⋅⋅

⋅==XP

0116.070.030.0!6!9

!15)9( 69 =⋅⋅

⋅==XP

P(5≤X≤9) =0.4808

d. Maggiore di cinque, ma minore di 10.

P(6≤X≤9) =P(X=6) +P(X=7)+….+P(X=9)= =0.1472+0.0811+0.0348+0.0116=0.2747 e. Maggiore o uguale a sei.

P(X≥6)=1-P(X<6)=1-(P(X<5)+P(X=5))= =1-[P(X=0)+P(X=1)+…….+P(X=5)]= =1-(0.0047+0.0305+…..+0.2186+0.2061)= =1-(0.7215)=0.2785


62


Con riferimento all’esercizio precedente, trova la media e la varianza del numero di fumatori.

µ=np σ2=np(1-p) n=15 p=0.30 1-p=0.70 µ=np=15⋅0.30=4.5 σ2=np(1-p)=15⋅0.30⋅0.70=3.15

Un rapporto del National Center for Health Statistics, basato su dati del 1985, afferma che il 30% degli adulti americani fuma. Dato un campione casuale semplice di 15 adulti …….


63

ESERCIZIO pag.89 4.3.6 Con riferimento all’esercizio 4.3.4,

supponi che sia stato preso in campione d 25 adulti e sia risultato che due soggetti sono fumatori. Pensi che questi dati possano farti venire il sospetto che la percentuale di fumatori adulti sia diminuita dal 1985? Motiva la tua risposta.

4.34 Un rapporto del National Center for Health Statistics, basato su dati del 1985, afferma che il 30% degli adulti americani fuma. Dato un campione casuale semplice di 15 adulti …….


64

La percentuale di fumatori adulti è sicuramente diminuita dal 1985. Se, nel 1985, su un campione di 15 unità, troviamo una media di 4,5,

è impossibile che, con p invariata, in un campione più numeroso (25 unità) la media sia minore di 4.5. Questa osservazione è confermata dai seguenti calcoli: µ=np µ=2 n=25 p=? p= µ/n=2/25=0.08


65

ESERCIZIO pag.89 4.3.7 La probabilità che una persona che soffre di emicrania possa trovare sollievo con un particolare farmaco è uguale a 0.9. Il farmaco viene somministrato a tre soggetti scelti a caso, che soffrono di emicrania. Calcola la probabilità che il numero di soggetti che trova sollievo sia: a. Esattamente zero. b. Esattamente uno. c. Maggiore di uno. d. Minore o uguale a due. e. Due o tre. f. Esattamente tre.


66

a. Esattamente zero.

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=3 p=0.9 q=0.1

0010.01.09.0!3!0

!3)0( 30 =⋅⋅

⋅==XP

b. Esattamente uno.

0270.01.09.0!2!1

!3)1( 21 =⋅⋅

⋅==XP

c. Maggiore di uno. P(X>1)=1-P(X≤1)=1-[P(X=0)+P(X=1)]= =1-(0.0010+0.0270)=1-0.0280=0.9720


67

d. Minore o uguale a due. P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) P(X=0) già calcolata P(X=1) già calcolata

2430.01.09.0!1!2

!3)2( 12 =⋅⋅

⋅==XP

P(X≤2)=0.0010+0.0270+0.2430=0.2710 e. Due o tre. P(2≤X≤3)=1-[P(X=0)+P(X=1)]= =1-(0.0010+0.0270)=1-0.028=0.972 (vedi punto c.) f. Esattamente tre.

729.01.09.0!0!3

!3)3( 03 =⋅⋅

⋅==XP


68

ESERCIZIO pag.89 4.3.8 In una indagine condotta su studenti infermieri, che stavano per conseguire il diploma universitario, il 75% ha affermato di aspettarsi una promozione entro un mese dal conseguimento del diploma. Se la stessa percentuale è valida per tutta la popolazione, si trovi, per un campione di 15 soggetti, la probabilità che il numero di soggetti che si aspetta una promozione entro un mese dal conseguimento del titolo sia: a. Sei. b. Almeno sette. c. Non più di cinque. d. Fra sei e nove, estremi inclusi.


69

a. Sei.

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=15 p=0.75 q=0.25

0034.025.075.0!9!6

!15)6( 96 =⋅⋅

⋅==XP

b. Almeno sette.

P(X≥7) =1−P(X<7)=1-[P(X=0)+……+P(X=6)]

0000.025.075.0!15!0

!15)0( 150 =⋅⋅

⋅==XP

P(X=1)=0.0000 P(X=2)=0.0000

00001.025.075.0!12!3

!15)3( 123 =⋅⋅

⋅==XP

0001.025.075.0!11!4

!15)4( 114 =⋅⋅

⋅==XP

0007.025.075.0!10!5

!15)5( 105 =⋅⋅

⋅==XP

0034.025.075.0!9!6

!15)6( 96 =⋅⋅

⋅==XP

P(X≥7) =1-(0.0000+……+0.0034)=1-0.0042= =0.9958

c. Non più di cinque.


70

P(X≤5) =P(X=0)+P(X=1)+…….+P(X=5)]= =0.0000+……+0.0007=0.0008 d. Fra sei e nove, estremi inclusi. P(6≤X≤9)=P(X=6)+……+P(X=9)

0034.0)6( ==XP

0131.025.075.0!8!7

!15)7( 87 =⋅⋅

⋅==XP

0393.025.075.0!7!8

!15)8( 78 =⋅⋅

⋅==XP

0917.025.075.0!6!9

!15)9( 69 =⋅⋅

⋅==XP

P(6≤X≤9)=0.0034+0.0131+100393+0.0917=

=0.1475


71

ESERCIZIO pag.107 15 Il metodo usuale per insegnare a persone ritardate una particolare capacità nel prendersi cura di se stessi è efficace nel 50% dei casi. Un nuovo metodo è usato con 10 persone. Se il nuovo metodo non è migliore di quello standard, qual è la probabilità che un numero di persone maggiore o uguale a sette impari tale capacità?


72

P(X≥7)=P(X=7)+ P(X=8)+ P(X=9)+ P(X=10)

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=10 p=0.50 q=0.50

1172.05.05.0!3!7

!10)7( 37 =⋅⋅

⋅==XP

0439.05.05.0!2!8

!10)8( 28 =⋅⋅

⋅==XP

0098.05.05.0!1!9

!10)9( 19 =⋅⋅

⋅==XP

0010.05.05.0!0!10

!10)10( 010 =⋅⋅

⋅==XP

P(X≥7)=0.1172+0.0439+0.0098+0.0010=0.1719


73

ESERCIZIO pag.107 16 Le schede del personale di un grande ospedale mettono in evidenza che il 10% del personale dopo un anno dall’assunzione lascia il lavoro. Se ora sono stati assunti 10 nuovi impiegati: a. Qual è la probabilità che esattamente la metà di

essi lavori ancora dopo un anno? b. Qual è la probabilità che tutti lavorino ancora dopo

un anno? c. Qual è la probabilità che 3 di essi smettano di

lavorare prima che l’anno finisca?


74

a. Qual è la probabilità che esattamente la metà di essi lavori ancora dopo un anno?

P(X=5)=? Probabilità che 5 smettano di lavorare

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=10 p=0.10 q=0.90

0015.09.01.0!5!5

!10)5( 55 =⋅⋅

⋅==XP

b. Qual è la probabilità che tutti lavorino

ancora dopo un anno?


3487.09.01.0!10!0

!10)10( 100 =⋅⋅

⋅==XP

c. Qual è la probabilità che 3 di essi smettano di lavorare prima che l’anno finisca?


0574.09.01.0!7!3

!10)3( 73 =⋅⋅

⋅==XP


75

ESERCIZIO pag.107 17 In una certa popolazione in via di sviluppo, il 30% dei bambini è denutrito. Se prendiamo un campione casuale di 25 bambini da questa nazione, qual è la probabilità che il numero di denutriti sia: a. Esattamente 10? b. Meno di 5? c. Maggiore o uguale a 5? d. Fra 3 e 5, estremi inclusi? e. Minore di 7, ma maggiore di 4?


76

a. Esattamente 10?

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=25 p=0.30 q=0.70

0916.07.03.0!15!10

!25)10( 1510 =⋅⋅

⋅==XP

b. Meno di 5? P(X<5)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)

0001.07.03.0!25!0

!25)0( 250 =⋅⋅

⋅==XP

0014.07.03.0!24!1

!25)1( 241 =⋅⋅

⋅==XP

0074.07.03.0!23!2

!25)2( 232 =⋅⋅

⋅==XP

0243.07.03.0!22!3

!25)3( 223 =⋅⋅

⋅==XP

0572.07.03.0!21!4

!25)4( 214 =⋅⋅

⋅==XP

P(X<5)=0.0001+0.0014+0.0074+0.0243+0.0572= 0.0905


77

c. Maggiore o uguale a 5? P(X≥5)=1-P(X<5)=1-0.0905=0.9095 d. Fra 3 e 5, estremi inclusi? P(3≤X≤5)=P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5) P(X=3) e P(X=4) già calcolate

1030.07.03.0!20!5

!25)5( 205 =⋅⋅

⋅==XP

P(3≤X≤5)=0.0243+0.0572+0.1030=0.1845 e. Minore di 7, ma maggiore di 4? P(4<X<7)=P(X=5)+P(X=6) P(X=5) già calcolata

1472.07.03.0!19!6

!25)6( 196 =⋅⋅

⋅==XP

P(4<X<7)=0.1030+0.1472=0.2502


78

ESERCIZIO pag.108 24 Data una variabile binomiale con media 20 e varianza 16, trova n e p. µ=20 σ2=16 µ=np σ2=np(1-p) np=20 np=16/1-p 20=16/1-p 20(1-p)=16 20-20p=16 -20p=-4 p=4/20=1/5=0.20 p=0.20 np=20 n=20/0.20=100


79

ESERCIZIO 2.1 Da uno studio condotto sullo sviluppo di malattie periodontali in gravidanza è risultato che il 59% delle donne gravide presenta placca batterica. Si supponga di visitare 5 donne gravide. Calcolare la probabilità che: a. nessuna presenti placca batterica; b. due presentino placca batterica; c. almeno due presentino placca batterica.


80

a. nessuna presenti placca batterica; P(X=0)=?

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=5 p=0.59 q=1-p=0.41

0116.00116.01141.059.0)!05(!0

!5)0( 50 =⋅⋅=⋅⋅

−==XP

b. due presentino placca batterica; P(X=2)=?

2399.00689.03481.01041.059.0)!25(!2

!5)2( 32 =⋅⋅=⋅⋅

−==XP


81

c. almeno due presentino placca batterica. P(X≥2)=? P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

già calcolata

3452.01681.02054.01041.059.0)!35(!3

!5)3( 23 =⋅⋅=⋅⋅

−==XP

2484.041.01212.0541.059.0)!45(!4

!5)4( 14 =⋅⋅=⋅⋅

−==XP

0715.010715.0141.059.0)!55(!5

!5)5( 05 =⋅⋅=⋅⋅

−==XP

P(X≥2)=0.2399+0.3452+0.2484+0.0715=0.905=90.5%


82

ESERCIZIO 2.2 In un ampio campione di consumatori di tabacco non da fumo (da annusamento o da masticazione) è risultato che il 39% presenta leucoplachia orale. Supponendo di visitare 7 pazienti consumatori di tabacco non da fumo, si calcoli la probabilità che: a. tutti e 7 i pazienti abbiano leucoplachia b. meno di 2 pazienti abbiano leucoplachia c. più di 5 pazienti abbiano leucoplachia.


83

a. tutti e 7 i pazienti abbiano leucoplachia P(X=7)=?

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=7 p=0.39 q=1-p=0.61

0014.010014.0161.039.0)!77(!7

!7)7(

07 =⋅⋅=⋅⋅−

==XP

b. meno di 2 pazienti abbiano leucoplachia P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)

0314.00314.01161.039.0)!07(!0

!7)0(

70 =⋅⋅=⋅⋅−

==XP

1407.00515.039.0761.039.0)!17(!1

!7)1(

61 =⋅⋅=⋅⋅−

==XP

P(X≤1)=0.0314+0.1407=0.1721


84

c. più di 5 pazienti abbiano leucoplachia. P(X>5)=? P(X>5)=P(X=6)+P(X=7)

già calcolata

0150.0061.00035.0761.039.0)!67(!6

!7)6(

16 =⋅⋅=⋅⋅−

==XP

P(X>5)=0.0150+0.0014=0.0164


85

ESERCIZIO 2.3 Uno studio condotto su pazienti affetti da “obstructive sleep apnea syndrome”(OSAS) riferisce che il 22% di essi mostra all’indagine radiografica (ortopantomografia) formazioni ateromatose della carotide extracraniale. Supponendo di visitare 6 pazienti affetti da OSAS, qual è la probabilità che presentino ateroma della carotide extracraniale: a. tutti e 6 i pazienti b. uno solo dei pazienti c. più di 2 pazienti? d. Quanti soggetti affetti da ateroma ci si attende di avere su 150 pazienti?


86

a. tutti e 6 i pazienti P(X=6)=?

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=6 p=0.22 q= 0.78

0001.010001.0178.022.0)!66(!6

!6)6( 06 =⋅⋅=⋅⋅

−==XP

b. uno solo dei pazienti

3811.02887.022.0678.022.0)!16(!1

!6)1(

51 =⋅⋅=⋅⋅−

==XP


87

c. più di 2 pazienti? P(X≥2)=P(x=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)

già calcolata

2687.03702.00484.01578.022.0)!26(!2

!6)2( 42 =⋅⋅=⋅⋅

−==XP

1011.04746.00106.02078.022.0)!36(!3

!6)3(

33 =⋅⋅=⋅⋅−

==XP

0214.06084.00023.01578.022.0)!46(!4

!6)4(

24 =⋅⋅=⋅⋅−

==XP

0024.078.00005.0678.022.0)!56(!5

!6)5(

15 =⋅⋅=⋅⋅−

==XP

P(X≥2)=0.2687+0.1011+0.0214+0.0024+0.0001=0.3937 d. Quanti soggetti affetti da ateroma ci si attende

di avere su 150 pazienti? 22:100=x:150 x=(22·150)/100=33 Su 150 pazienti ci si attende di avere 33 soggetti affetti da ateroma.


88

ESERCIZIO 2.4 In una popolazione il 24% degli individui ha gruppo sanguigno B. Estratto un campione casuale di 20 individui, calcolare la probabilità che: a) esattamente 3 individui abbiano gruppo sanguigno B;

b) 3 o più individui abbiano gruppo B; c) meno di 3 individui abbiano gruppo B; d) esattamente 5 individui abbiano gruppo B.


89

a) esattamente 3 individui abbiano gruppo

sanguigno B P(X=3)=?

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=20 p=0.24 q= 0.76

1484.00094.00138.0114076.024.0)!320(!3

!20)3( 173 =⋅⋅=⋅⋅

−==XP


90

b) 3 o più individui abbiano gruppo B P(X≥3) =P(X=3) +P(X=4) +...+= P(X=20) È più conveniente considerare la probabilità complementare P(X≥3) =1−P(X<3)=1-[P(X=0)+……+P(X=2)]

0041.076.024.0)!020(!0

!20)0( 200 =⋅⋅

−==XP

0261.076.024.0)!120(!1

!20)1( 191 =⋅⋅

−==XP

0783.076.024.0)!220(!2

!20)2( 182 =⋅⋅

−==XP

P(X≥3) = 1−(0.0041+0.0261+0.0783)=

1-0.1085=0.8915=89.15%


91

c) meno di 3 individui abbiano gruppo B P(X<3) è già stata calcolata al punto precedente P(X<3)= P(X<0)+ P(X<1)+ P(X<2) P(X<3)=0.0041+0.0261+0.0783=0.1085=10.85% d) esattamente 5 individui abbiano gruppo B

2012.076.024.0)!520(!5

!20)5( 155 =⋅⋅

−==XP


92

ESERCIZIO 2.5 La percentuale di individui allergici alla penicillina nel 1995 è stata del 5%. Determinare la probabilità che su 8 assistiti di un medico di base (scelti a caso) si abbiano: a. esattamente 5 assistiti allergici; b. al massimo 2 assistiti allergici; c. almeno 3 assistiti allergici; d. fra 1 e 3 assistiti allergici (inclusi). Quanti soggetti allergici ti aspetti di trovare su 8 assistiti?


93

a. esattamente 5 assistiti allergici

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=8 p=0.05 q= 0.95

000015.095.005.0)!58(!5

!8)5( 35 =⋅⋅

−==XP

b. al massimo 2 assistiti allergici Pr(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

6634.095.005.0)!08(!0

!8)0( 80 =⋅⋅

−==XP

2793.095.005.0)!18(!1

!8)1( 71 =⋅⋅

−==XP

0515.095.005.0)!28(!2

!8)2( 62 =⋅⋅

−==XP

Pr(X≤2)=0.6634+0.2793+0.0515=0.9942


94

c. almeno 3 assistiti allergici

Pr(X≥3)=P(X=3)+…+P(X=8)=1–P(X≤2)= =1-0.9942=0.0058 d. fra 1 e 3 assistiti allergici (inclusi)

P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

0054.095.005.0)!38(!3

!8)3( 53 =⋅⋅

−==XP

P(1≤X≤3)=0.2793+0.0515+0.0054=0.3362 Quanti soggetti allergici ti aspetti di trovare su 8 assistiti? 5:100=x:8 x=5⋅8/100=0.4 µ=np=8⋅0.05=0.4 meno di un assistito

Già calcolata al punto

Già calcolate al punto


95

ESERCIZIO 2.6 Un produttore farmaceutico asserisce che un particolare farmaco dà miglioramenti dei sintomi di angina pectoris nell’80% dei pazienti.Un medico prescrive tale farmaco a 5 dei suoi pazienti affetti da angina. Determinare la probabilità che ottengano giovamento: a. nessun paziente; b. almeno 4 pazienti; c. al massimo 3 pazienti.


96

a. nessun paziente

xnx qpxnx

nxXP −⋅⋅

−==

)!(!

!)(

n=5 p=0.80 q= 0.20

00032.020.080.0)!05(!0

!5)0( 50 =⋅⋅

−==XP

b. almeno 4 pazienti P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)

4096.020.080.0)!45(!4

!5)4( 14 =⋅⋅

−==XP

3277.020.080.0)!55(!5

!5)5( 05 =⋅⋅

−==XP

P(X≥4)=0.4096+0.3277=0.7373


97

c. al massimo 3 pazienti P(X≤3)=0,2627 P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) oppure P(X≤3)=1-P(X≥4)=1-0.7373=0.2627


98

ESERCIZIO pagg.104/5 4.7.2/3

Supponiamo di conoscere che la statura di una certa popolazione di individui sia approssimativamente distribuita come una normale con media di 70 pollici e deviazione standard di 3 pollici. Trovare la probabilità che: a. una persona estratta a caso da questo gruppo sia alta fra 65 e 74 pollici;

b. una persona estratta a caso da questo gruppo sia alta fra 77 pollici o più.

c. In una popolazione di 10000 persone, quante ci si aspetta siano alte 77 pollici o più?


99

a. P(65<x<74) = ?

67,13

70651

1 −=−

=−

=σ

µxz

33,13

70742

2 =−

=−

=σ

µxz

P(65<x<70) = P(-1,67<z<1,33) =

= P(z<1,33) – P(z<-1,67) = = 0,9082-0,0475 =0,8607=86,07%

0

f (x)

x

Pr(65<x<74) = ?

Statura (pollici) 65 74

-1,67 +1,33 0

z

70


100

b. P(x>77) = ? P(x>77) = 1 - P(x<77)

33,23

7077=

−=

−=

σ

µxz

P(x>77)=1-P(x<77)=1–P(z<2,33) =1–0,9901=

=0,0099 c. 0,99 : 100 = x : 10 000 x = 99

0

f (x)

x

Pr(x>77) =1 –Pr(x<77) = ?

Statura (pollici) 77

+2,33 0

z

70


101

ESERCIZIO pagg.105 4.7.1 Supponiamo che le età dei pazienti, all’inizio di una certa malattia, siano approssimativamente distribuite come una normale con media di 11,5 anni e deviazione standard di 3 anni. Un ragazzo si è appena ammalato. Trovare la probabilità che il ragazzo abbia: a. una età compresa fra 8 anni e mezzo e 14 anni e mezzo;

b. più di 10 anni; c. sotto i 12 anni.


102

a. P(8,5<x<14,5) = ?

13

5,115,81

1 −=−

=−

=σ

µxz

13

5,115,142

2 =−

=−

=σ

µxz

P(8,5<x<14,5) =P(-1<z<1)=P(z<1)–P(z<-1)=

= 0,8413-0,1587 =0,6826=68,26%

0

f (x)

x

Pr(8,5<x<14,5) = ?

Età (anni) 8,5 14,5

-1 +1 0

z

11,5


103

b. P(x>10) = ? P(x>10) = 1 - P(x<10)

5,03

5,1110−=

−=

−=

σ

µxz

P(x>10)=1-P(x<10)=1–P(z<-0,5)=

=1–0,3085=0,6915=69,15%

0

f (x)

x

Pr(x>10) =1 –Pr(x<10) = ?

Età (anni) 10

-0,5 0

z

11,5


104

c. P(x<12) = ?

17,03

5,0

3

5,1112==

−=

−=

σ

µxz

P(x<12) = P(z<0,17) = 0,5675=56,75%

0

f (x)

x

Pr(x<12) = ?

Età (anni) 12

+0,17 0

z

11,5


105

ESERCIZIO pag.105 4.7.3 Se la distribuzione della capacità delle cavità craniche di una certa popolazione è pressoché normale con una media di 1400 cc e una deviazione standard di 125 cc. Trovare la probabilità che una persona scelta a caso da questa popolazione abbia una capacità cranica: a. maggiore di 1450 cc; b. minore di 1350 cc; c. tra 1300 cc e 1500 cc.


106

a. P(x>1450) = ? P(x>1450) = 1 - P(x<1450)

4,0125

14001450=

−=

−=

σ

µxz

P(x>1450)=1-P(x<1450)=1–P(z<0,4)=1–0,6554= =0,3446=34,46%

0

f (x)

x

Pr(x>1450) =1 –Pr(x<1450) = ?

Capacità cranica (cc) 1450

0,4 0

z

1400


107

b. P(x<1350) = ?

4,0125

50

125

14001350−=

−=

−=

−=

σ

µxz

P(x<1350) = P(z<-0,4) = 0,3446 = 34,46%

0

f (x)

x

Pr(x<1350) = ?

Capacità cranica (cc) 1350

-0,4 0

z

1400


108

c. P(1300<x<1500) = ?

8,0125

140013001

1 −=−

=−

=σ

µxz

8,0125

140015002

2 =−

=−

=σ

µxz

P(1300<x<1500)=P(-0,8<z<0,8)= =P(z<0,8)–P(z<-0,8)= =0,7881-0,2119=0,5762=57,6%

0

f (x)

x

Pr(1300<x<1500) = ?

Capacità cranica (cc) 1300 1500

-0,8 +0,8 0

z

1400


109


I pesi di femmine adulte giovani in una certa popolazione si distribuiscono pressoché normalmente con una media di 60 kg e una deviazione standard di 7 kg. Trovare la probabilità che un soggetto scelto a caso da questa popolazione abbia un peso: a. maggiore di 70 kg;

b. minore di 45 kg;

c. fra 48 e 66 kg.


110

a. P(x>70) = ? P(x>70) = 1 - P(x<70)

43,17

6070=

−=

−=

σ

µxz

P(x>70)=1-P(x<70) =1–P(z<1,43)=

=1–0,9236= =0,0764=7,64%

0

f (x)

x

Pr(x>70) =1 –Pr(x<70) = ?

Peso (kg) 70

1,43 0

z

60


111

b. P(x<45) = ?

14,27

15

7

6045−=

−=

−=

−=

σ

µxz

P(x<45) = P(z<-2,14) = 0,0162 = 1,62%

0

f (x)

x

Pr(x<45) = ?

Peso (kg) 60

-2,14 0

z

45


112

c. P(48<x<66) = ?

71,17

60481

1 −=−

=−

=σ

µxz

86,07

60662

2 =−

=−

=σ

µxz

P(48<x<66) = P(-1,71<z<0,86) =

= P(z<0,86) – P(z<-1,71) = = 0,8051-0,0436=0,7615=76,15%

0

f (x)

x

Pr(48<x<66) = ?

Peso (kg) 48 66

-1,71 +0,86 0

z

60


113

ESERCIZIO pag.108 21 I quozienti di intelligenza (QI) di individui affetti da un certo disturbo mentale si distribuiscono pressoché normalmente con una media di 60 e una deviazione standard di 10. a. Trovare la percentuale di individui con QI maggiore di 75.

b. Qual è la probabilità che un individuo scelto a caso abbia un QI compreso tra 55 e 75?

c. Trovare P (50 ≤ X ≤ 70).


114

a. P(x>75) = ? P(x>75) = 1 - P(x<75)

5,110

6075=

−=

−=

σ

µxz

P(x>75) =1-P(x<75)=1–P(z<1,5)=

=1–0,9332=0,0668=6,68%

0

f (x)

x

Pr(x>75) =1 –Pr(x<75) = ?

Q.I. 75

1,5 0

z

60


115

b. P(55<x<75) = ?

5,010

60551

1 −=−

=−

=σ

µxz

5,110

60752

2 =−

=−

=σ

µxz

P(55<x<75) =P(-0,5<z<1,5)=

=P(z<1,5)–P(z<-0,5)= =0,9332-0,3085=0,6247=62,47%

0

f (x)

x

Pr(55<x<75) = ?

Q.I. 55 75

-0,5 +1,5 0

z

60


116

c. P(50<x<70) = ?

110

60501

1 −=−

=−

=σ

µxz

110

60702

2 =−

=−

=σ

µxz

P(50<x<70) = P(-1<z<1) =

= P(z<1) – P(z<-1) = = 0,8413-0,1587 =0,6826=68,26%

0

f (x)

x

Pr(50<x<70) = ?

Q.I. 50 70

-1 +1 0

z

60


117

ESERCIZIO pag.108 23

Supponiamo che il punteggio ad un test attitudinale degli studenti del CdL per infermieri sia approssimativamente distribuito in modo normale con una media di 500 punti e una varianza di 10000. Uno studente sta per essere ammesso al test. Qual è la probabilità che egli ottenga un punteggio maggiore o uguale a 650? E un punteggio compreso fra 350 e 675?


118

a. P(x≥≥≥≥650) = ? P(x≥650) = 1 - P(x<650)

10010000 ==σ

5,1100

500650=

−=

−=

σ

µxz

P(x≥650) =1-P(x<650)=1–P(z<1,5)=1–0,9332= = 0,0668 = 6,7%

0

f (x)

x

Pr(x>650) =1 –Pr(x<650) = ?

Punteggio 650

1,5 0

z

500


119

b. P(350<x<675) = ?

5,1100

150

100

5003501

1 −=−=−

=−

=σ

µxz

75,1100

175

100

5006752

2 ==−

=−

=σ

µxz

P(350<x<675) =P(-1,5<z<1,75)=

=P(z<1,75)–P(z<-1,5)= =0,9599-0,0668=0,8931=89,3%

0

f (x)

x

Pr(350<x<675) = ?

Punteggio 350 675

-1,5 +1,75 0

z

500


120

ESERCIZIO 2.2

Il glaucoma è una malattia dell’occhio caratterizzata da un’elevata pressione intraoculare. La distribuzione della pressione intraoculare nella popolazione generale è approssimativamente normale con media di 16 mm Hg e deviazione standard di 3 mm Hg. a. Se il normale range della pressione intraoculare è considerato essere compreso tra 12 e 20 mm Hg, quale percentuale della popolazione generale dovrebbe cadere entro questo range?

b. Qual è la probabilità di trovare un valore di pressione maggiore di 22 mm Hg?

c. In una popolazione di 10000 individui quanti soggetti ci si attende abbiano una pressione intraoculare maggiore di 22 mm Hg?


121

a. P(12<x<20) = ?

33.13

16121

1 −=−

=−

=σ

µxz

33.13

16201

2 =−

=−

=σ

µxz

P(12<x<20) = P(-1.33<z<1.33) =

= P(z<1.33) – P(z<-1.33) = = 0,9082-0,0918 =0,8164=81.64%

Entro questo range dovrebbe cadere l’ 81.64% della popolazione generale. b. P(x>22) = ?

23

16221

1 =−

=−

=σ

µxz

P(x>22)=1-P(x<22)=1-P(z<2)=1-0.9772=0.0228=2.28% c. Pressione intraoculare > 22 mm Hg. Quanti individui su 10000? 2.28:100=x:10000 x=228 228 individui su 10000 dovrebbero avere una pressione intraoculare > 22 mm Hg.


122

ESERCIZIO 2.3 In un ampio gruppo di pazienti coronarici si trovò che i livelli di colesterolo serico presentavano approssimativamente una distribuzione normale. Inoltre il 10% del gruppo aveva livelli di colesterolo al di sotto di 182,3 mg/100ml, mentre il 5% aveva valori superiori a 359 mg/100ml. Quali sono la media e la deviazione standard della distribuzione?


123

Dati: P(X<182.3)=10%=0.1000 P(X>359)=5%=0.0500 Sulle tavole della distribuzione normale standardizzata ricaviamo i valori di z corrispondenti ai valori di probabilità noti. 1) Z1= ? P(X<182.3)=10%=0.1000 Z1=-1.28 2) Z2= ? P(X>359)=5%=0.0500 P(X>359)=1-P(X<359)=1-5%=0.9500 Z2=1.645

Nella formula σ

µ−=x

z sostituiamo i valori di z1 e di z2

σ

µ−=−

3.18228.1

σ

µ−=359

645.1


124

σ

µ−=−

3.18228.1

σ

µ−=359

645.1

Ricaviamo µ da entrambe le equazioni

-1.28σ = 182.3-µ 1.645σ = 359-µ µ = 182.3+1.28σ µ = 359-1.645σ Le uguagliamo e ricaviamo σ: 182.3 + 1.28σ = 359-1.645σ 1.28σ +1.645σ = 359-182.3 2.925σ = 176.7 σ σ σ σ =176.7/2.925 = 60.41 Possiamo ricavare µ: µµµµ =359-1.645σ =

=359-1.645*60.41= =359-99.375= =259.6255

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ESERCIZIO 1.1 I dati che seguono si riferiscono al periodo ... · Esercizi di Statistica 1 ESERCIZIO 1.1 I dati che seguono si riferiscono al periodo di incubazione espresso in giorni