1

ESERCIZIO 1

Una piastra di larghezza totale 100 mm e spessore 5 mm, con cricca centrale passante (fig. 1),

è soggetta ad una forza di trazione P=50 kN.

1) Determinare le condizioni di cedimento della piastra.

2) Determinare la lunghezza massima ammessa per la cricca, nel caso che si voglia

garantire un coefficiente di sicurezza pari a 3 sul carico.

Materiale: Alluminio 2014- T651 (KIC = 24 MPam; sn= 430 MPa).

2a

2W

P

P

aK I

Fig. 1

Non conoscendo la dimensione della cricca (e quindi non conoscendo ) dobbiamo risolvere il

problema in maniera iterativa.

Assumiamo che il rapporto a/W valga 0.3. In tal caso ≈ 1.12, da cui, imponendo che KI sia

uguale a KIC si può scrivere:

245100

5000012.1

aa .

Si ricava a = 0.0146 m = 14.6 mm

Ricalcolando per a/W= 14.6/50= 0.29, si ottiene ≈ 1.05. Procedendo, si ricava:

2

245100

5000005.1

aa

da cui a = 16.6 mm.

Per il nuovo valore a/W=0.33, dal diagramma di fig. 1 si ottiene un valore di di circa 1.07, e

quindi, nei limiti dell'approssimazione consentita dal grafico, molto vicino al valore precedente

di 1.05. Possiamo quindi scegliere un valore intermedio =1.06 e procedere con l'ultima

iterazione di calcolo

245100

5000006.1

aa ,

ottenendo una lunghezza a = 16.3 mm

Verifichiamo le condizioni di applicabilità della meccanica della frattura lineare elastica

(MFLE).

VERIFICATONONmm 7.8 mm 55.2

2

sn

ICKB

La condizione non è rispettata, in quanto lo spessore è minore di 7.8 mm.

Verifichiamo allora le diseguaglianze

mm 4 mm 7.334

mm 4 mm 3.614

2

2

sn

IC

f

sn

IC

f

KaW

Ka

che risultano tutte verificate. E’ pertanto possibile utilizzare la MFLE.

Verifichiamo anche la condizioni di plasticizzazione globale della piastra.

Il carico di collasso plastico della piastra è pari a

kN 144.953.162100430 nettasnplcoll AP

poichè risulta

kN 115.9 kN 50

plcollPP

il collasso della piastra avviene effettivamente per propagazione instabile della cricca, quando

la sua lunghezza totale raggiunge 2a = 2·16.3 = 32.6 mm.

3

Per determinare la lunghezza massima di cricca per un coefficiente di sicurezza pari a =2 sul

carico, scriviamo l’equazione che ci fornisce la lunghezza critica della cricca per un carico di

3·50 kN:

245100

500002

a

L’equazione può essere risolta in maniera iterativa, analogamente a quanto visto in precedenza.

Un calcolo più veloce può essere condotto assumendo che il valore di = 1 sia sufficientemene

accurato (la dimensione di cricca, e quindi anche il valore di , sarano sicuramente più piccoli

di quelli ottenuti per la condizione critica per un carico P = 50 kN, per la quale era pari a

circa 1.06).

In tal caso, si ottiene:

245100

5000021

a

da cui

a ≈ 3.5 mm (lunghezza totale della cricca = 7 mm)

(poiché a/W= 0.007, si può verificare sul diagramma di fig. 1 l’accettabilità dell’assunzione di

=1 per questo calcolo)

4

ESERCIZIO 2

Una piastra di larghezza W = 40 mm e con una cricca passante di bordo di lunghezza

a = 6 mm (fig. 1) è soggetta ad una forza di trazione P=55 kN.

1) Determinare lo spessore minimo della piastra nel caso che si richieda un coefficiente

si sicurezza pari a 3 sul carico

Materiale: Acciaio 300-M (KIC = 65 MPam; sn= 1740 MPa).

a

W

P

P

aK I

Fig. 1

Poiché conosciamo la dimensione della cricca a e la larghezza W della piastra, possiamo

ricavare immediatamente il valore del parametro dal diagramma di fig. 1.

Per a/W = 6/40 = 0.15, si ricava ≈ 1.3

La condizione di propagazione della cricca, per un coefficiente di sicurezza sul carico pari a

3, si scrive quindi come:

65006.040

5500033.1

BaK I

Da questa equazione si può ricavare lo spessore B (incognita del problema):

B = 11.3 mm

5

Verifichiamo le condizioni di applicabilità della MFLE.

mm 6.0 mm 343

4

mm 6.0 mm 63

4

mm 5.3 mm 3.115.2

2

2

2

sn

IC

f

sn

IC

f

sn

IC

KaW

Ka

KB

Le condizioni sono tutte verificate ed è pertanto possibile utilizzare la MFLE.

Verifichiamo anche le condizioni di plasticizzazione globale della piastra.

Il carico di collasso plastico della piastra, per la lunghezza di cricca pari a 6 mm, è pari a

kN6693.116401740 nettasnplcoll AP

poichè risulta

kN 535 kN 150

3

plcollPP

lo spessore B di 11.3 mm è effettivamente lo spessore che garantisce il coefficiente di sicurezza

richiesto ed il collasso della piastra avviene per propagazione instabile della cricca, quando il

carico raggiunge il valore di 150 kN.

6

ESERCIZIO 3

Una piastra d’acciaio di larghezza 150 mm, spessore 25 mm e con una cricca passante centrale

di lunghezza totale 2a = 5 mm, è soggetta ad uno sforzo alternato tra un valore massimo pari a

max = 83 MPa ad un valore minimo pari a max = 0. Noti i valori di KIC e dei coefficienti della

curva di Paris del materiale, calcolare il numero di cicli che porta la piastra al cedimento.

2a

2W

aK I

oppure, in forma analitica

W

a

2sec

N.B: la formula è valida per angoli espressi in radianti

I dati di partenza sono quindi:

Geometria Proprietà del materiale

Lunghezza cricca = 5mm (ai = 2.5 mm)

Larghezza 2W = 150 mm; (W = 75 mm)

Spessore B = 25 mm

KIc = 120 MPam

sn = 1600 MPa

Coefficienti della legge di Paris

C=7.5E-8; n=3.5

(da/dN in mm/ciclo e KI in MPam)

Carico

min= 0 MPa

max= 83 MPa

7

La lunghezza critica della cricca si ottiene imponendo che

1208315.0

sec

metriin esprimendo ossia,

2sec

aa

a

KaW

aaK ICI

L’equazione nell’incognita a, che si può risolvere per tentativi o per via numerica, fornisce il

valore della dimensione della cricca che corrisponde alla propagazione instabile:

af = 0.07 m = 70 mm

Verifichiamo l’applicabilità della meccanica della frattura lineare elastica.

La diseguaglianza 5.2

2

sn

ICKB

è verificata in quanto m0.01415.2

2

sn

ICK

Le diseguaglianze

2

3

4

sn

IC

f

Ka

e

2

3

4

sn

IC

f

KaW

risultano anche esse verificate, in

quanto mm 4.23

42

sn

ICK

e mm. 5 faW

Verifichiamo inoltre la condizione di collasso per plasticizzazione, controllando che il rapporto

tra il carico massimo applicato (Pmax) non porti alla plasticizzazione totale della sezione

(Pcoll pl). Nel caso in esame:

Pmax=83 (150·25)=311.25 kN

Pcoll pl=1600 (2W-2af)·B = 1600·(150-140) ·25= 400 kN

EssendoPmax / Pcoll pl = 0.78, il cedimento della piastra avviene per propagazione della cricca

quando questa raggiunge la dimensione critica af· = 70 mm

Possiamo quindi procedere al calcolo del numero di cicli che produce la propagazione della

cricca dal valore iniziale ai =2.5 mm a quello finale af = 70 mm (che corrisponde alla

propagazione instabile della cricca con cedimento finale del pannello).

Per effettuare una stima approssimata del numero di cicli a rottura, dividiamo l’intervallo tra

la lunghezza iniziale di cricca ai =2.5 mm e quella finale af = 70 mm in cinque passi di calcolo.

8

Suddivisione in 5 incrementi di cricca

Passo amin - amax a

1 2.5mm – 12.5mm 10 mm

2 12.5 mm – 25 mm 12.5 mm

3 25 mm – 37.5 mm 12.5mm

4 37.5 mm – 50mm 12.5 mm

5 50 mm – 70 mm 20 mm

Possiamo pertanto costruire la tabella 1, nella quale riportiamo la sequenza dei calcoli. Il fattore

è calcolato utilizzando la formula analitica sopra riportata.

Tabella 1

amin

amax a amedio

W

amedio

2sec

1000

medioaK n

KCdN

da

dN

da

aN

N

mm mm mm - MPam mm/ciclo cicli cicli

2.5

12.5 10 7.5 1.006 12.82 0.567E-3 17629

0

17629

12.5

25 12.5 18.75 1.040 20.96 3.169E-3 3944

21573

25

37.5 12.5 31.25 1.123 29.20 10.11E-3 1236

22809

37.5

50 12.5 43.75 1.282 39.43 28.97E-3 431

23240

50

70 20 60 1.799 64.82 164.9E-3 121

23361

Nota: l’unità di misura da utilizzare per K nella formula di Paris è MPam. E’ pertanto necessario introdurre il valore di

amedio in m (e non in mm) per calcolare K (ciò spiega la divisione di amedio per 1000 nella formula in colonna 5).

La crescita della cricca in funzione del numero di cicli è riportata in Fig. 1.

9

Fig. 1

Dal grafico si può notare come il numero di cicli più elevato sia speso per le lunghezze di cricca

più piccole. Ad esempio, per fare avanzare la cricca da 2.5 mm a 12.5 mm (incremento della

lunghezza a pari a 10 mm) sono necessari 17629 cicli, mentre per fare avanzare la cricca da 50

mm a 70 mm (incremento della lunghezza a pari a 20 mm) sono richiesti solo 121 cicli.

Questo indica che per migliorare la stima del numero di cicli totale è conveniente ridurre

l’incremento della cricca a utilizzato nei calcoli soprattutto nel campo iniziale (lunghezze di

cricca piccole).

Supponiamo ad esempio di scegliere di dividere l’intervallo tra la lunghezza iniziale di cricca

ai =2.5 mm e quella finale af = 70 mm in otto sotto-intervalli. Poiché conviene utilizzare sotto-

intervalli a ridotti soprattutto per valori di cricca vicini a quella iniziale, possiamo scegliere

la seguente suddivisione per i passi di calcolo:

Suddivisione in 8 incrementi di cricca

Passo amin - amax a

1 2.3 mm – 5.5 mm 3 mm

2 5.5 mm – 8.5 mm 3 mm

3 8.5 mm – 12.5 mm 4 mm

4 12.5 mm -17.5 mm 5 mm

5 17.5 mm – 25 mm 7.5 mm

6 25 mm – 37.5 mm 12.5 mm

7 37.5 mm – 50 mm 12.5 mm

8 50 mm – 70 mm 20 mm

La tabella 2 riporta la sequenza dei calcoli associata alla suddivisione per gli otto intervalli di

calcolo sopra definiti.

10

Tabella 2

amin

amax a amedio

W

amedio

2sec

1000

medioaK

nKC

dN

da

dN

da

aN

N

mm mm mm - MPam mm/ciclo cicli cicli 2.5

5.5 3 4 1.002 9.32 0.1860E-3 16138

0

16138

5.5

8.5 3 7 1.005 12.37 0.5014E-3 5984

22122

8.5

12.5 4 10.5 1.012 15.26 1.044E-3 3832

25954

12.5

17.5 5 15 1.025 18.48 2.038E-3 2453

28407

17.5

25 7.5 21.25 1.053 22.57 4.109E-3 1825

30232

25

37.5 12.5 31.25 1.123 29.20 10.11E-3 1236

31468

37.5

50 12.5 43.75 1.282 39.43 28.97E-3 431

31889

50

70 20 60 1.799 64.82 164.9E-3 121

32010

La fig. 2 riporta il confronto tra la stima del numero di cicli necessari per far crescere la

lunghezza di cricca a da 2.5 mm a 70 mm utilizzando le suddivisione a 5 ed 8 passi di

integrazione. Il grafico riporta anche la curva di crescita della cricca ottenuta effettuando

un’integrazione ciclo per ciclo, che fornisce una vita a rottura di 34840 cicli. L’errore relativo

è pertanto di circa il 30% per l’integrazione a 5 passi e di circa l’8% per l’integrazione ad 8

passi.

Fig. 2

11

ESERCIZIO 4

Una barra d’acciaio di diametro 40 mm presenta una cricca circonferenziale assial-simmetrica

di lunghezza radiale a = 4 mm; la barra è soggetta ad un carico di fatica di trazione con valore

massimo pari a Pmax = 120 kN e rapporto di fatica pari a R = 0.2. Noti i valori dei coefficienti

della curva di Walker del materiale, calcolare la lunghezza della cricca dopo 17000 cicli di

carico.

Geometria Proprietà del materiale (Al 2024 – T3)

Lunghezza cricca a = 4 mm

Raggio della sezione b = 20 mm

KIc = 34 MPam

sn = 353 MPa

Coefficienti della legge di Walker C=1.42E-11; m = 0.68; n = 3.59

(da/dN in m/ciclo e KI in MPam)

Pmax = 120 kN MPa5.9520 2

max

max

P

Per effettuare una stima approssimata della lunghezza raggiunta dalla cricca dopo 17000 cicli

di carico, scegliamo di dividere la durata in 6 intervalli; poiché la cricca avanza più

12

velocemente all’aumentare del numero di cicli, è conveniente scegliere ampiezze degli

intervalli N che si riducono progressivamente al crescere di N.

Suddivisione in 6 intervalli di cicli

Passo Cicli N

1 1

5000 5000

2 5001

10000 5000

3 10001 12000

2000

4 12001 14000

2000

5 14001 16000

2000

6 16001 17000

1000

Possiamo pertanto costruire la tabella 1, nella quale riportiamo la sequenza dei calcoli. Il fattore

F è calcolato utilizzando la formula analitica sopra riportata. Si noti che la lunghezza di cricca

utilizzata per i calcoli all’interno di ogni passo di carico (di ampiezza N) è necessariamente

quella iniziale ai, poiché la lunghezza finale af non è nota (sarà nota solo alla fine del calcolo

del passo in esame).

Tabella 1

N ai F minaFK

nm

RKCdN

da 11

NdN

daa af N

(cicli) (m) - (MPam) (m/ciclo) (m) (m) (cicli)

5000 4E-3 1.225 10.49 84.87E-9 0.4243E-3 4.4234E-3 1

5000

5000 4.4234E-3 1.247 11.23 108.35E-9 0.5418E-3 4.9663E-3 5001

10000

2000 4.9661E-3 1.279 12.20 145.90E-9 0.2918E-3 5.2579E-3 10001 12000

2000 5.2579E-3 1.298 12.74 170.44E-9 0.3409E-3 5.5988E-3 12001 14000

2000 5.5988E-3 1.322 13.39 203.78E-9 0.4076E-3 6.0064E-3 14001 16000

1000 6.0064E-3 1.353 14.20 251.60E-9 0.2516E-3 6.258E-3 16001 17000

Si ottiene dunque una lunghezza di cricca pari a circa 6.3 mm dopo 17000 cicli di carico.

13

Svolgendo i calcoli in maniera più accurata utilizzando un’integrazione ciclo per ciclo si ottiene

invece un valore di cricca finale pari a 6.9 mm. Il grafico di fig. 1 riporta le curve di crescita

della cricca ottenute con l’integrazione in sei passi sopra illustrata e con l’integrazione ciclo

per ciclo dell’equazione di Walker.

Fig. 1

Possiamo ora verificare le condizioni della barra dopo 17000 cicli. Utilizziamo la lunghezza

di cricca prevista mediante integrazione ciclo per ciclo (a = 6.9 mm).

mMPa1.200069.05.95431.1max aFK I < mMPa34IcK

Il coefficiente di sicurezza sul carico è pertanto pari a 69.11.20

34 secondo la MFLE.

Verifichiamo le condizioni di applicabilità della MFLE e la condizione di collasso plastico.

Poichè si tratta di una cricca di superficie (non passante), si può ritenere che il materiale in

prossimita dell’apice della cricca si trovi in stato di deformazione piana.

VERIFICATO0039.00069.0353

34

3

40069.0

3

422

sn

Ic

f

Ka

VERIFICATO0039.01.13353

34

3

49.620

3

422

sn

Ic

f

Kab

Carico di collasso plastico kN3.1909.62035322 abP snplcoll

63.03.190

120max plcollP

P

La MFLE è dunque applicabile e la barra può essere sottoposta a 17000 cicli di carico senza

che la cricca si propaghi.