ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA INFERENZIALE

Stefania Naddeo

2

INDICE

1. EVENTI E PROBABILITA 3

2. VARIABILI CASUALI 18

3. STATISTICHE CAMPIONARIE 34

4. INTERVALLI DI CONFIDENZA E TEST DI SIGNIFICATIVITA 49

APPENDICE Tavola A: Funzione di ripartizione della normale standardizzata 59 Tavola B: Quantili della normale standardizzata 60 Tavola C: Quantili della chi-quadrato con g gradi di libert 61 Tavola D: Quantili della t di Student con g gradi di libert 63

3

1. EVENTI E PROBABILITA (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 7 delle dispense)

Esercizio 1.1 Un esperimento consiste nel lancio di 3 monete equilibrate. Determinare tutti i possibili risultati associati a questo esperimento e calcolare le probabilit corrispondenti.

Soluzione I possibili risultati sono

C C C C C T C T C T C C C T T T C T T T C T T T

Tutti gli eventi sono equiprobabili, per cui a ciascuno di loro associata una probabilit pari a 1/8 = 0,125.

Esercizio 1.2 Dati due eventi indipendenti A e B a cui associata rispettivamente una probabilit P(A) = 0,6 e P(B) = 0,2, calcolare le probabilit associate agli eventi A|B, AB, AB.

Soluzione P(A|B) = P(A) = 0,6 per lindipendenza degli eventi P(AB) = P(A)P(B) = 0,60,2 = 0,12 per il teorema delle probabilit composte applicate ad eventi indipendenti P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) = 0,6+0,20,12 = 0,68 per il teorema delle probabilit totali applicato ad eventi compatibili.

Esercizio 1.3 Un esperimento consiste nel lanciare 3 volte una moneta equilibrata. Calcolare le probabilit associate agli eventi: A) nei primi due lanci si ottiene testa, B) nellultimo lancio si ottiene testa, C) in tutti e tre i lanci si ottiene sempre testa.

Soluzione P(A) = 0,50,5 = 0,25 per lindipendenza dei 2 eventi considerati e perch non interessa conoscere la faccia ottenuta nel terzo lancio P(B) = 0,5 perch non interessa sapere cosa si ottenuto nei primi due lanci P(C) = 0,50,50,5 = 0,125 per lindipendenza dei tre eventi considerati.

4

Esercizio 1.4 Un esperimento consiste nel lancio di due dadi equilibrati. Calcolare la probabilit che uno dei due dadi presenti la faccia 6 sapendo che il punteggio complessivo risultato pari a 10.

Soluzione I casi possibili, ossia le coppie che danno un risultato pari a 10, sono 3: 4 6 5 5 6 4 Di queste solo due sono i casi favorevoli, e cio le coppie con un dado con la faccia 6 per cui la probabilit cercata pari a 60,3/2 =

Esercizio 1.5 Una popolazione composta dall80% di individui di sesso maschile e dal 20% di individui di sesso femminile. Sapendo che la quota di disoccupati pari al 4% nel gruppo degli uomini e del 9% nel gruppo delle donne, determinare la probabilit che un individuo estratto in modo casuale dalla popolazione risulti disoccupato.

Soluzione Sia M levento maschio, F levento femmina e D levento disoccupato, dal testo si ottengono queste probabilit: P(M) = 0,8 P(F) = 0,2 P(D|M) = 0,04 P(D|F) = 0,09.

Sapendo che ( ) ( ) ( )FDPMDPDP +=

e che ( ) ( ) ( )MPM|DPMDP = ( ) ( )FF)P|P(DFDP =

risulta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,050,20,090,80,04FF)P|P(DMPM|DPFDPMDPDP =+=+=+=

Esercizio 1.6 Un esperimento consiste nellestrazione casuale di una carta da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilit che si ottenga: a) una carta di cuori o un asso, b) un re, sapendo che la carta estratta una figura (cio un re, una regina o un fante).

Soluzione Sia C levento carta di cuori, A levento asso, R levento re e F levento figura. Si ha

5

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,30775216

521

524

5213ACPAPCPACP =+=+= dove levento CA indica

levento asso di cuori.

b) ( ) ( )( ) 30,31

124

12/524/52

FPFRPF|RP =====

Esercizio 1.7 Una prima urna contiene 6 palline bianche, 6 nere e 8 rosse ed una seconda urna contiene 9 palline bianche, 3 nere e 3 rosse. Determinare la probabilit che estraendo casualmente una pallina da unurna scelta in modo casuale si ottenga una pallina bianca.

Soluzione Indicato con B levento pallina bianca, con U1 levento urna 1 e con U2 levento urna 2 la probabilit di selezionare la prima o la seconda urna

( ) ( ) 0,5UPUP 21 == . Levento B pu essere scomposto nella somma degli eventi composti pallina bianca estratta dalla prima urna e pallina bianca estratta dalla seconda urna, ossia

( ) ( ) ( )21 UBPUBPBP += per cui, applicando il teorema delle probabilit composte, risulta

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,450,51590,5

206U)PU|P(BUPU|BPUBPUBPBP 221121 =+=+=+=

Esercizio 1.8 Unurna contiene 10 palline, si cui 3 bianche e 7 nere. Calcolare la probabilit che che un campione casuale di 2 palline estratto con ripetizione sia composto da palline dello stesso colore.

Soluzione Occorre calcolare la somma delle probabilit associate agli eventi incompatibili entrambe le palline sono bianche e entrambe le palline sono nere. Indicato con Bi levento pallina bianca alla i-esima estrazione e con Ni levento pallina nera alla i-esima estrazione si ha

( ) ( ) ( ) ( ) 58,0107

107

103

103NPNPBPBP 2121 =+=+

data lindipendenza degli eventi considerati.

Esercizio 1.9 Un malato presenta un certo sintomo S che pu essere causato dalla malattia M1 che si manifesta con una probabilit pari a 0,6 o dalla malattia M2 che si manifesta con probabilit 0,4. Sapendo che se presente la malattia M1 il sintomo si presenta con probabilit 0,6 mentre se presente la malattia M2 il sintomo si presenta con probabilit 0,9, determinare quale malattia risulta pi probabile.

6

Soluzione Il problema si risolve calcolando le probabilit ( )S|MP 1 e ( )S|MP 2 che possono essere ottenute applicando la formula di Bayes. Dai dati del problema si ottiene P(M1)=0,6 P(M2) = 0,4 P(S|M1)=0,6 P(S|M2)=0,9 La probabilit di presentare il sintomo S risulta

( ) ( ) ( ) ( ) 0,720,4900,660M)PM|P(SMPM|SPSP 2211 =+=+= ,, per cui

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 0,500,72

0,4*0,9SP

M)PM|P(SS|MP

0,500,72

0,6*0,6SP

MPM|SPS|MP22

2

111

===

===

Le due malattie sono quindi equiprobabili.

Esercizio 1.10 Un esperimento consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati. Calcolare le probabilit associate agli eventi: A) il punteggio complessivo pari a 4, B) il punteggio complessivo minore o uguale a 4.

Soluzione Lanciando 3 dadi si possono ottenere 63=216 risultati diversi, tutti equiprobabili fra di loro. Di questi risultati solo le terne (1,1,2), (1,2,1) e (2,1,1) danno un punteggio pari a 4 per cui

( ) 8013,0216

3AP == .

Per la probabilit dellevento B basta aggiungere alle tre terne precedentemente considerate la terna (1,1,1) per cui

( ) 1850,0216

4AP == .

Esercizio 1.11 Unurna contiene palline numerate e colorate. Il 70% delle palline di colore bianco e il restante 30% di colore rosso. Sapendo che la probabilit che una pallina presenti un numero maggiore di 100 0,2 per le palline bianche ed 0,5 per le palline rosse, calcolare la probabilit che avendo estratto una pallina con un numero maggiore di 100 si ottenga: a) una pallina bianca, b) una pallina rossa.

Soluzione Indicato con B levento pallina bianca, con R levento pallina rossa e con M levento pallina con numero maggiore di 100 il problema si risolve calcolando le probabilit

( )M|BP e ( )M|RP che possono essere ottenute applicando la formula di Bayes. Dai dati del problema si ottiene P(B)=0,7 P(R) = 0,3

7

P(M|B)=0,2 P(M|R)=0,5 Risulta anche

( ) ( ) ( ) ( ) 0,290,5*3,00,2*7,0RR)P|P(MBPB|MPMP =+=+= per cui

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 0,51720,29

0,50,3MP

RR)P|P(MM|RP

0,48280,29

0,20,7MP

BPB|MPM|BP

==

==

Esercizio 1.12 Un esperimento consiste nel lancio di 4 monete equilibrate. Determinare la probabilit associata agli eventi: A) tutte e 4 le monete presentano la faccia testa, B) almeno una moneta presenta la faccia testa.

Soluzione P(A) = (0,5)4 = 0,0625 per il teorema delle probabilit composte applicato ad eventi indipendenti P(B) = 1 (0,5)4 = 0,9375 perch P(B) pu essere calcolata come 1 meno la probabilit dellevento tutte le monete presentano la faccia croce.

Esercizio 1.13 Un esperimento consiste nel lanciare 5 volte un dado equilibrato. Determinare la probabilit che in tre lanci si ottenga uno stesso punteggio.

Soluzione Conviene iniziare a determinare la probabilit associata ad una particolare successione di dadi e successivamente generalizzare lordine dei lanci. La probabilit che i primi 3 dadi presentino tutti un certo specifico punteggio, ad esempio la faccia 1, data da

23

65

61

La probabilit che i primi 3 dadi presentino tutti uno stesso punteggio, quale che esso sia, data dal prodotto della probabilit precedente per 6, dato che sono 6 i possibili punteggi che si possono ottenere lanciando un dado.

665

61 23

Infine la probabilit che 3 dadi qualsiasi presentino uno stesso punteggio data dal prodotto della probabilit precedente per tutte le combinazioni di 5 elementi di classe 3

1929,0665

61

35 23

.

8

Esercizio 1.14 In una popolazione il 30% degli individui presentano una certa caratteristica A che manca invece ai restanti individui. Sapendo che nel gruppo degli individui con la caratteristica A l80% presenta anche una caratteristica B, mentre nel gruppo di individui senza la caratteristica A solo il 20% possiede la caratteristica B, determinare la probabilit che un individuo estratto in modo casuale dalla popolazione presenti la caratteristica B

Soluzione I dati forniti dal testo sono: P(A) = 0,3 P(B)=0,7 P(B|A) = 0,8 0,2)A|P(B = Per determinare P(B) sufficiente ricordare che

0,380,70,20,30,8)A)P(AP(BA)P(A)P(B)AP(BA)P(BP(B) =+=+=+= ||

Esercizio 1.15 Unazienda ha tre stabilimenti (A, B e C) che producono un certo articolo. Nella tabella successiva riportato il numero di articoli prodotti da ogni stabilimento e le quote di articoli difettosi. Determinare la probabilit che estraendo in modo casuale un articolo se ne ottenga uno difettoso.

Stabilimento articoli prodotti quote difettosi A 100 0,03 B 200 0,02 C 200 0,04

Soluzione Dalla tabella si ottengono le seguenti probabilit: P(A)=100/500=0,2 e P(B)=P(C)=200/500=0,4. Indicato con D levento articolo difettoso si ha quindi P(D) = P(DA)+P(DB)+P(DC)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)= = 0,030,2 + 0,020,4 + 0,040,4 = 0,03.

Esercizio 1.16 In una classe di alunni i maschi sono il doppio delle femmine. Sapendo che il motorino posseduto dal 20% dei maschi e dal 10% delle femmine, determinare la probabilit che un alunno estratto a caso dalla classe abbia il motorino.

Soluzione Indicato con M levento maschio, con F levento femmina dalle due uguaglianze successive si possono determinare le probabilit dei due eventi P(M) = 2P(F) P(M) + P(F) = 1 da cui si ottiene P(M) = 2/3

9

P(F) = 1/3 Indicato con A levento motorino sulla base dei dati del problema sono note le probabilit P(A|M) = 0,2 P(A|F) = 0,1 Dato che P(A) = P(AM)+P(AF)=P(A|M)P(M)+P(A|F)P(F) risulta

610310,1

320,2P(A) ,=+= .

Esercizio 1.17 Data una prova che consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati, calcolare la probabilit che su uno dei tre dadi sia apparsa la faccia 6 sapendo che il punteggio complessivo risultato pari a 8

Soluzione Le possibili terne di risultati che forniscono un punteggio complessivo pari a 8 sono 1 1 6 (che pu presentarsi in 3 modi diversi) 1 2 5 (che pu presentarsi in 6 modi diversi) 1 3 4 (che pu presentarsi in 6 modi diversi) 2 2 4 (che pu presentarsi in 3 modi diversi) 2 3 3 (che pu presentarsi in 3 modi diversi) Di questi 21 risultati possibili solo le prime 3 terne (1,1,6), (1,6,1) e (6,1,1) sono i casi favorevoli allevento considerato, per cui la probabilit cercata

14290213

, .

Esercizio 1.18 Si considerino 3 urne U1, U2 e U3 delle quali U1 contiene 4 palline rosse e 6 nere, U2 5 palline rosse e 5 nere e U3 7 palline rosse e 3 nere. Una persona ha scelto in modo casuale una delle tre urne e ha estratto una pallina di colore nero. Calcolare la probabilit che la pallina nera provenga da: A) U1, B) U2, C) U3

Soluzione Indicato con N levento pallina nera si vogliono calcolare le probabilit P(U1|N), P(U2|N) e P(U3|N) in base alla formula di Bayes. Si ottiene P(U1) = P(U2) = P(U3) = 1/3 P(N) = P(NU1)+P(NU2)+P(NU3)=P(N|U1)P(U1)+P(N|U2)P(U2)+P(N|U3)P(U3)= = 0,6(1/3) + 0,5(1/3) + 0,3(1/3) = 64,0

0,428660,4

(1/3)0,6P(N)

))P(UU|P(NN)|P(U 111 ==

10

0,357160,4

(1/3)0,5P(N)

))P(UU|P(NN)|P(U 222 ==

0,214360,4

(1/3)0,3P(N)

))P(UU|P(NN)|P(U 333 ==

Esercizio 1.19 Dato un esperimento che consiste nel lancio di due monete equilibrate si verifichi se gli eventi E1 su entrambe le monete appare la faccia testa e E2 su almeno una moneta appare la faccia testa risultano indipendenti fra di loro.

Soluzione La condizione di indipendenza si verifica se P(E1E2) = P(E1)P(E2) Dato che i risultati possibili sono 4 si ottiene P(E1) =1/4 perch solo il risultato (T, T) risulta favorevole allevento P(E2) =3/4 perch i risultati (C, T), (T, C) e (T, T) risultano favorevoli allevento. La probabilit che entrambi gli eventi si verifichino data da P(E1E2) = 1/4 perch lintersezione dei due eventi d luogo allevento E1

I due eventi non sono quindi indipendenti fra di loro, dato che P(E1E2) = 1/4 P(E1)P(E2) = 3/16

Esercizio 1.20 Dato un esperimento che consiste nel lancio di due dadi equilibrati si verifichi se gli eventi E1 sul primo dado appare un punteggio minore o uguale a 3, E2 sul primo dado appare la faccia 3, 4 o 5 e E3 la somma del punteggio sui due dadi pari a 9 risultano tutti indipendenti fra di loro.

Soluzione La condizione di indipendenza si verifica se P(E1E2E3) = P(E1)P(E2)P(E3) e se gli eventi sono indipendenti a coppia.

Levento (E1E2E3) si verifica solo se compare la coppia di risultati (3, 6), per cui P(E1E2E3) = 1/36. Levento E3 si verifica solo se compaiono le coppie (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) per cui P(E3) = 4/36 Dato che P(E1) = P(E2) = 3/6 la condizione di indipendenza fra i 3 eventi

7020361

364

63

63))P(E)P(EP(E)EEP(E 321321 ,==== verificata.

11

Levento (E1E2) si verifica se esce il 3 sul primo dado, indipendentemente dal punteggio sul secondo per cui P(E1E2) = 1/6 e quindi la condizione di indipendenza fra gli eventi E1 e E2 non verificata:

250369

63

63))P(EP(E610

61)EP(E 2121 ,, =====

Si conclude che gli eventi E1, E2 ed E3 non sono quindi tutti indipendenti fra di loro.

Per quanto riguarda le altre coppie di eventi risulta che: levento (E1E3) si verifica se esce il 3 sul primo dado e 6 sul secondo per cui P(E1E3) = 1/36 e quindi la condizione di indipendenza fra fra gli eventi E1 e E3 non verificata:

500364

63))P(EP(E7020

361)EP(E 3131 ,, ==== .

Levento (E2E3) si verifica se escono le coppie (3, 6), (4, 5), (5, 4) per cui P(E2E3) = 3/36 e quindi neanche la condizione di indipendenza fra fra gli eventi E2 e E3 verificata:

500364

63))P(EP(E3080

363)EP(E 2232 ,, ==== .

Esercizio 1.21 Una moneta non equilibrata ha una probabilit pari a 0,2 di presentare la faccia testa. Determinare la probabilit che lanciando 5 volte la moneta la faccia testa compaia per la prima volta: A) al primo lancio, B) al terzo, C) al quinto.

Soluzione P(A) = 0,2 P(B) = 0,820,2 = 0,128 P(C) = 0,840,2 = 0,08192

Esercizio 1.22 In un dado non equilibrato la probabilit di ottenere una faccia pari il doppio della probabilit di una faccia dispari. Determinare la probabilit che lanciando il dado si ottenga un punteggio inferiore o uguale a 3.

Soluzione Indicato con A levento punteggio pari e con B levento punteggio dispari si ha P(A) = 2P(B) che, sostituito nelluguaglianza P(A) + P(B) =1

12

fornisce 3P(B) = 1. Per cui P(B) = 1/3 e P(A) = 2/3.

Indicato con Ei levento uscita del numero i (i=1,2,...,6) levento A un evento composto, costituito dalla somma dei seguenti eventi elementari equiprobabili A = (E2E4E6) per cui P(E2) = P(E4) = P(E6) = 2,09

233/2

==

Allo stesso modo, per B risulta B = (E1E3E5) per cui le probabilit degli eventi elementari equiprobabili che lo compongono sono

e P(E1) = P(E3) = P(E5) = 1,091

33/1

== .

Indicato con C levento punteggio inferiore o uguale a 3 si ha C = (E1E2E3) e quindi, data lincompatibilit degli eventi elementari, si ottiene infine

P(C) = P(E1E2E3) = P(E1)+P(E2)+P(E3) = 4,094

91

92

91

==++ .

Esercizio 1.23 In una moneta non equilibrata la probabilit di ottenere la faccia testa 0,25. Determinare la probabilit che lanciando 5 volte la moneta si ottengano i seguenti risultati: A) tutte croci, B) testa al primo lancio e croce nei 4 lanci successivi, C) una testa e 4 croci a prescindere dallordine.

Soluzione Per lindipendenza dei lanci risulta P(A) = (0,75)5 0,2373 P(B) = 0,25(0,75)4 0,0791 Infine, tenendo presente che i modi in cui possono presentarsi una testa e 4 croci dato dalle combinazioni di 5 elementi di classe 1 (o di classe 4), si ha

0,3955(0,75)0,2515P(C) 4

= .

Esercizio 1.24 Si considerino due urne: la prima contiene 6 palline bianche e 4 nere e la seconda 12 palline bianche e 8 nere. Considerato lesperimento che consiste nellestrazione di una pallina da ciascuna urna, determinare la probabilit che si ottengano gli eventi: A) due palline bianche, B) due palline nere, C) una pallina bianca e una nera.

13

Soluzione Indicato con Bi levento estrazione di una pallina bianca dallurna i e con Ni levento estrazione di una pallina nera dallurna i (i=1,2) per lindipendenza delle estrazioni risulta P(A) = P(B1B2) = 0,60,6 = 0,36 P(B) = P(N1N2) = 0,40,4 = 0,16 P(C) = P[(B1N2)(N1B2)] = P(B1N2) + P(B1N2) = 0,60,4 + 0,40,6 = 0,48.

Esercizio 1.25 Dati due eventi A e B determinare P(AB) e )BP(A sapendo che P(A)=0,6 e P(B|A)=0,7.

Soluzione P(AB) = P(B|A)P(A) = 0,70,6 = 0,42

)BP(A = P(A)P(AB) = 0,60,42 = 0,18.

Esercizio 1.26 Un esperimento consiste nel lancio di 3 dadi equilibrati. Calcolare le probabilit dei seguenti eventi: A) tutti e tre i dadi presentano la faccia 2; B) tutti e tre i dadi presentano una stessa faccia; C) i tre dadi presentano 3 facce diverse.

Soluzione Per lindipendenza degli eventi la probabilit di A risulta P(A) = (1/6)3 = 6290,004 e, di conseguenza, la probabilit di B P(B) = 6(1/6)3 = 70,02 . Per calcolare la probabilit dellevento C si osservi che sul primo dado pu presentarsi una faccia qualunque, sul secondo dado una delle 5 facce diverse dalla faccia apparsa sul primo dado e sul terzo dado una delle 4 facce diverse dalle facce apparse sul primo e secondo dado, per cui risulta P(C) = 1(5/6)(4/6) = 50,

Esercizio 1.27 Un esperimento consiste nel distribuire 4 palline (2 bianche e 2 nere) in 2 urne in modo che nessuna urna rimanga vuota. Successivamente si seleziona in modo casuale unurna e si estrae una pallina. Verificare quale distribuzione di palline rende massima la probabilit di estrarre una pallina bianca.

Soluzione Indicata con U1 la prima urna e con U2 la seconda, nella tabella successiva sono indicate le possibili configurazioni di palline (senza considerare le configurazioni ottenibili

14

scambiando U1 e U2) e le probabilit associate a ciascuna configurazione, dove la probabilit di selezionare la prima o la seconda urna sempre uguale a 0,5

U1 U2 probabilit B BNN (0,5)1 + (0,5)(1/3)=2/3= 60, N BBN (0,5)0 + (0,5)(2/3)=1/3= 30,

BN BN (0,5)(0,5) + (0,5)(0,5)= 0,5 NN BB (0,5)0 + (0,5)1= 0,5

In base ai risultati della tabella la configurazione che consente di massimizzare la probabilit di estrarre una pallina bianca quella di mettere una pallina bianca in una delle urne e le restanti palline nellaltra.

Esercizio 1.28 Dati due eventi indipendenti A e B determinare le loro probabilit sapendo che la probabilit che i due eventi si presentino contemporaneamente 1/6 mentre la probabilit che nessuno dei due si verifichi 1/3.

Soluzione La probabilit che i due eventi si presentino contemporaneamente 1/6 per cui P(AB) = P(A)P(B) = 1/6 (*) data lindipendenza fra A e B.

La probabilit che nessuno dei due si verifichi 1/3 per cui 1P(AB)=1[P(A)+P(B)P(AB)]=1[P(A)+P(B)1/6]=1/3 e quindi P(A)+P(B)=2/3+1/6=5/6 da cui si ottiene P(A)=5/6P(B).

Sostituendo questo risultato nella (*) si ottiene [5/6P(B)]P(B)=1/6 e infine

[ ] 061P(B)

65P(B) 2 =+ .

Da questa equazione di secondo grado si ottengono le due soluzioni 1/2 e 1/3 che corrispondono alle due probabilit richieste.

Esercizio 1.29 Un articolo viene ottenuto assemblando 3 diversi componenti: A, B e C. Sapendo che la probabilit che ciascuno dei componenti sia difettoso pari a 0,02 per A, a 0,08 per B ed a 0,05 per C, si determini la probabilit che larticolo non presenti parti difettose.

15

Soluzione Indicato con D levento il componente difettoso le probabilit che i 3 componenti siano difettosi sono rispettivamente P(D|A) = 0,02 P(D|B) = 0,08 P(D|C) = 0,05 e quindi le probabilit che non siano difettosi sono P(D |A) = 0,98 P(D |B) = 0,92 P(D |C) = 0,95 Dato che larticolo finale costituito dai 3 componenti, la probabilit che sia non difettoso, supposta lindipendenza fra gli eventi, data da P(D |A)P(D |B)P(D |C) = 0,980,920,95 = 0,85652

Esercizio 1.30 Una prova consiste nel lanciare un dado equilibrato e poi, sulla base del punteggio ottenuto, nellestrarre una pallina da unurna differente secondo lo schema seguente: - se si ottiene 1 si estrae dallurna U che contiene 9 palline bianche e 1 nera - se si ottiene 2, 3 o 4 si estrae dallurna V che contiene 1 pallina bianca e 9 nere - se si ottiene 5 o 6 si estrae dallurna W che contiene 5 palline bianche e 5 nere Sapendo che nella prova si ottenuta una pallina bianca, determinare se sia pi probabile che la pallina provenga dallurna U, V o W.

Soluzione Le probabilit associate alle 3 urne sono: P(U) = 1/6 P(V) = 3/6 P(W) = 2/6 Sapendo inoltre che in base ai dati del problema le probabilit di estrarre una pallina bianca condizionatamente alle diverse urne sono P(B|U) = 0,9 P(B|V) = 0,1 P(B|W) = 0,5 in base alla formula di Bayes si ottengono le probabilit

900,4060,3

(1/6)0,9P(B)U)P(U)|P(BB)|P(U ===

630,1360,3

(3/6)0,1P(B)V)P(V)|P(BB)|P(V ===

450,60,3

(2/6)0,5P(B)W)P(W)|P(BB)|P(W ===

dove P(B) = 0,9(1/6) + 0,1(3/6) + 0,5(2/6) = 630, .

16

Pertanto si pu concludere che levento pi probabile che la pallina bianca estratta provenga dallurna W.

Esercizio 1.31 Un dado truccato in modo che le probabilit dei punteggi riportati sulle facce assumono i valori indicati nella tabella seguente

punteggio probabilit 1 12/90 2 12/90 3 18/90 4 15/90 5 15/90 6 18/90

totale 1,00 Verificare che per tale dado levento A punteggio pari e levento B punteggio divisibile per 3 risultano indipendenti fra di loro. Verificare se lindipendenza esisterebbe anche nel caso in cui il dado fosse equilibrato.

Soluzione Le probabilit associate ai due eventi sono: P(A) = 12/90 + 15/90 + 18/90 = 45/90 = 0,5 P(B) = 18/90 + 18/90 = 36/90 = 0,4 Lintersezione dei due eventi corrisponde allevento uscita della faccia 6, per cui si ha P(AB) = 18/90 = 0,2. Dato che P(A)P(B) = 0,50,4 = 0,2, gli eventi A e B sono indipendenti.

Se il dado fosse equilibrato si avrebbe: P(AB) = 1/6 P(A)P(B) = 3/62/6 = 1/6 per cui anche in questo caso i due eventi risulterebbero indipendenti.

Esercizio 1.32 Un dado truccato in modo che le probabilit dei punteggi riportati sulle facce proporzionale al punteggio stesso (per cui, per esempio, la faccia 2 ha il doppio della probabilit della faccia 1 e cos via). Determinare la probabilit che lanciando il dado si ottengano gli eventi: A) punteggio pari, B) punteggio dispari.

Soluzione Indicata con p la probabilit P(1) associata alla faccia 1, la probabilit di ottenere un punteggio qualsiasi (ossia la probabilit dellevento certo)

17

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p =1 da cui si ottiene

211p =

Si ha quindi

0,57142112

216

214

212P(6)P(4)P(2)P(A) =++=++=

0,4286219

215

213

211P(5)P(3)P(1)P(B) =++=++=

18

2. VARIABILI CASUALI (Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 8 delle dispense)

Esercizio 2.1 Data la seguente serie di osservazioni relative ad una variabile casuale continua X rilevata su 8 individui: 4,5 0,3 8,5 6,4 2,8 2,1 4,6 3,9 determinare il valore del terzo decile, della mediana e del coefficiente di variazione.

Soluzione Una volta ordinata la serie si ottiene

x0,3 = 2,8 2,425,49,3

x0,5 =+

=

Si ha inoltre E(X) = 4,1375 E(X2) = 22,77125 V(X) 5,6523 e quindi s/m 0,5746.

Esercizio 2.2 Data la seguente serie di osservazioni relative ad una variabile casuale continua X rilevata su 12 individui: 4,3 2,5 3,0 6,4 5,8 2,9 9,2 9,7 6,4 7,2 4,0 2,2 sintetizzare i dati in una distribuzione di probabilit costituita dalle classi 2-|3, 3-|7, 7-|10. Sulla base della distribuzione cos ottenuta calcolare: a) la mediana, b) lottavo decile, c) la probabilit che un individuo presenti un valore della variabile superiore a 5.

Soluzione La distribuzione risulta

X probabilit densit 2 -| 3 30,33 30,3333 3 -| 7 60,41 60,1041 7 -| 10 0,250 30,0833 totale 1,000

Si ottiene quindi:

a) 6,460,10413,00,53x0,5 =

+=

b) 6730,087500,87x0,8 ,,

=

+=

c) 1 F(5) = 1 [ 30, +0,104(5-3)] = 60,458

19

Esercizio 2.3 Data la seguente distribuzione di probabilit relativa ad una variabile casuale continua,

X probabilit 2 -| 4 0,3 4 -| 8 0,4 8 -| 20 0,3 totale 1,0

disegnare listogramma, il grafico della funzione di ripartizione e calcolare il valore atteso.

Soluzione In base alle densit di probabilit riportate nella tabella seguente

X densit 2 -| 4 0,150 4 -| 8 0,100 8 -| 20 0,025

listogramma assume la forma

0

0,025

0,05

0,075

0,1

0,125

0,15

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Il grafico della funzione di ripartizione risulta

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

x

F(x)

La media della variabile E(X) = 30,3 + 60,4 + 140,3 = 7,5.

20

Esercizio 2.4 Data una variabile casuale X la cui distribuzione di probabilit approssimata dal modello

=

altrove0

1x0x2

1f(x)

si determini la funzione di ripartizione corrispondente e si calcoli la probabilit che la variabile X assuma un valore: a) inferiore a 0,25, b) superiore a 0,8. Si determini inoltre il valore dei primi due quartili della variabile.

Soluzione

[ ] x2t21dtt

21 x

01/2

x

0

1/2-==

per cui la funzione di ripartizione assume la forma

>

c) ( ) 904,0004,0908,075,0

4275,0

455X2P ==

=<

45

Esercizio 3.18 Data una popolazione in cui il 20% degli individui possiede una certa caratteristica A, calcolare la probabilit che un campione casuale di 10 individui estratto con ripetizione contenga: a) nessun elemento con la caratteristica A, b) almeno un elemento con la caratteristica A.

Soluzione Indicata con Y la variabile casuale numero di elementi campionari con la caratteristica A risulta:

a) ( ) 1074080200100YP 100 ,,,

==

b) ( ) ( ) 8926080200100YP11YP 100 ,,,

===

Esercizio 3.19 Data una variabile Z che in una popolazione di 100 individui assume il valore 0 con frequenza pari a 20 e il valore 1 con frequenza 80, determinare la distribuzione di probabilit della variabile casuale media campionaria per un campione di 3 elementi estratto senza ripetizione.

Soluzione Utilizzando il modello ipergeometrico si ottiene immediatamente la distribuzione di probabilit della quota campionaria Q che corrisponde esattamente alla distribuzione di probabilit della media campionaria X .

Posto N1=80, N2=20 e n=3, si ha

( ) 1,32

,

31

,0q

3100

q3320

q380

qQP =

==

per cui risulta X )xp( 0 0,0071

1/3 0,0940 2/3 0,3908 1 0,5081

totale 1,0000

Esercizio 3.20 Data una popolazione normale di varianza unitaria, calcolare la probabilit che la varianza campionaria corretta di un campione bernoulliano di 21 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore inferiore o uguale a 2.

46

Soluzione La soluzione si ottiene tenendo presente che sotto ipotesi di normalit, la variabile ( )

2

2S1n

si distribuisce come una chi-quadrato con n-1 gradi di libert. Pertanto

( ) ( ) ( ) ( )

=

= 2

21n22

22 21nP21nS1nP2SP

per cui risulta

=

401

220P 220

e dalle tavole risulta che la probabilit cercata pari a 0,995.

Esercizio 3.21 Data una popolazione normale di varianza pari a 100, calcolare la probabilit che la varianza campionaria corretta di un campione bernoulliano di 10 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore maggiore di 30.

Soluzione Analogamente allesercizio precedente, si ha

( ) ( ) ( ) ( )

>=

>

=> 2

21n22

22 301nP301nS1nP30SP

per cui risulta

=

> 72

100309P 29 ,

e dalle tavole risulta che la probabilit cercata pari a 0,975.

Esercizio 3.22 Data una popolazione normale di media pari a 10 e varianza 25, calcolare la probabilit che la media campionaria di un campione casuale di 100 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore: a) inferiore o uguale a 9, b) maggiore di 12, c) compreso fra 9 e 12.

Soluzione Dato che X N(10; 0,5) le probabilit richieste risultano

a) ( ) ( ) ( ) 023,02125,01099XP ===

=

b) ( ) ( ) ...0000,0415,01012112XP =

=>

c) ( ) 977,012X9P <

47

Esercizio 3.23 Data una variabile la cui distribuzione nella collettivit pu essere approssimata da una normale di media pari a 50 e varianza 25, calcolare la probabilit che la media campionaria di un campione casuale di 10 elementi estratto da questa popolazione assuma un valore: a) uguale a 48, b) minore di 48, c) maggiore di 48.

Soluzione Dato che X N(50; 105 ) le probabilit richieste risultano a) ( ) 048XP == dato che si tratta di una variabile casuale continua b) ( ) ( ) 1040261

105504848XP ,, ==

=<

c) ( ) ( ) 896,026,111055048148XP ==

=>

Esercizio 3.24 Data una variabile Z che nella collettivit si distribuisce approssimativamente in modo normale con media pari a 40 e scarto quadratico medio 4, determinare la distribuzione di probabilit della variabile casuale media campionaria per un campione casuale di 25 elementi estratto da questa popolazione. Calcolare il valore dei tre quartili di questa variabile casuale.

Soluzione Dalla distribuzione della variabile Z risulta che X N(40; 0,8) Pertanto i tre quartili risultano:

39,46080,674)(0,840x0,25 =+= 40x0,5 =

,5392040,6740,840x0,25 =+=

Esercizio 3.25 Determinare la probabilit che in un campione bernoulliano di 1.000 elementi la quota di elementi con una certa caratteristica A sia compresa fra 0,19 e 0,22 sapendo che la quota di elementi con tale caratteristica nella popolazione pari a 0,2.

Soluzione Sia p la quota di individui con la caratteristica A nella popolazione e P la variabile casuale quota di individui con la caratteristica A presenti nel campione. Dato che per campioni di numerosit elevata la distribuzione di tale variabile casuale pu essere approssimata dal modello normale

48

P

n

p)(1pp,N

la probabilit richiesta risulta

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 728017905817905810001

802020190

0001802020220220P190P ,,,,,

.

,,

,,

.

,,

,,,, =+==

=1,96 lipotesi nulla va rifiutata al livello di significativit =0,05.

Esercizio 4.18 Su un campione bernoulliano di 10 elementi estratto da una popolazione normale la varianza campionaria corretta risultata pari a 120. Verificare lipotesi che la varianza della popolazione sia pari a 100 al livello di significativit =0,05.

Soluzione La variabile

2S1)(n

21n

Pertanto, data lipotesi H0:2=100, il risultato della statistica ( ) 8,10

1001209s1n

20

2x

=

=

va confrontato con i due quantili di ordine /2 e 1/2 della chi-quadrato con n-1 gradi di libert. Dato che 10,8 risulta compreso fra i due quantili

( )( ) 02,19975,0

70,2025,029

29

==

non c motivo di rifiutare lipotesi nulla al livello di significativit =0,05.

56

Esercizio 4.19 Su un campione bernoulliano di 10 elementi estratto da una popolazione normale sono state rilevate le seguenti intensit della variabile oggetto di studio 1 2 2 2 3 3 3 4 5 5 Verificare lipotesi che la varianza della popolazione sia pari a 3 al livello di significativit =0,01.

Soluzione Si ottiene

7,16,19

10s6,1s

6,10)X(E3xE(X)2x

2x

2

===

===

I due quantili della chi-quadrato con 9 gradi di libert sono ( )( ) 59,23995,0

735,1005,029

29

==

e, dato che la statistica ( ) 3,5

37,19s1n

20

2x

=

=

risulta compresa fra questi due quantili non c motivo di rifiutare lipotesi nulla H0:2=3 al livello di significativit =0,01.

Esercizio 4.20 Verificare lipotesi H0: 2 = 5 al livello di significativit =0,01 per una variabile normale Z sapendo che su un campione bernoulliano di 5 elementi estratto da questa popolazione sono state rilevate le seguenti intensit 1,2 2,3 2,5 3,1 4,9

Soluzione 85,148,1

45

s48,1s8,2xE(X) 2x2x ===== La statistica ( ) 48,1

585,14s1n

20

2x

=

=

risulta compresa fra i due quantili ( )( ) 86,14995,0

207,0005,024

24

==

per cui non c motivo di rifiutare lipotesi nulla al livello di significativit =0,01.

57

Esercizio 4.21 Verificare lipotesi H0: 2 = 1.000 al livello di significativit =0,10 per una variabile normale Z sapendo che su un campione bernoulliano di 500 elementi estratto da questa popolazione si ottenuta una varianza campionaria corretta pari a 1.600.

Soluzione Data lelevata numerosit campionaria si utilizza la distribuzione asintotica

1)2/(nS

2

22

( )1 0,N

La statistica, considerata sotto ipotesi nulla,

1)2/(nS

20

20

2

va quindi confrontata con il quantile di ordine 1/2 della normale standardizzata. Dato che

645,1u4773,92/499000.1000.16001.

95,0 =>

si rifiuta lipotesi nulla al livello di significativit =0,01.

Esercizio 4.22 Date le seguenti informazioni ottenute su un campione di 200 elementi estratto da una popolazione normale

Classi Freq. ass.

80 -| 120 30 120 -| 180 100 180 -| 220 70 Totale 200

verificare lipotesi H0: 2 = 1200 al livello di significativit =0,05.

Soluzione Dai dati della tabella si ottiene

7789,155.1150.1199200

s150.1s160xE(X) 2x2x ==== La statistica

1)2/(nS

20

20

2

va confrontata con il quantile di ordine 1/2 della normale standardizzata. Dato che

96,1u3676,02/199200.1

200.17789,1551.975,0 =

58

non si ha motivo rifiutare lipotesi nulla al livello di significativit =0,01.

Esercizio 4.23 Sapendo che su un campione bernoulliano di numerosit pari a 1000 sono 840 gli elementi che presentano una certa caratteristica A, verificare lipotesi che nella popolazione la quota di elementi con tale caratteristica sia pari a 0,7 al livello di significativit =0,10.

Soluzione Per verificare lipotesi H0: p=0,7 si utilizza la statistica

( ) 66,91000

3,07,07,084,0

n

p1ppp

00

0

=

che va confrontata con il quantile di ordine 1/2 della normale standard. Dato che 9,66 risulta maggiore di u0,95=1,645 lipotesi nulla deve essere rifiutata al livello di significativit =0,10.

Esercizio 4.24 Da unurna sono state estratte 4.000 palline con ripetizione. Verificare al livello di significativit =0,05 lipotesi che la quota di palline bianche presenti nellurna sia pari al 50% sapendo che nel campione estratto 1.900 palline sono risultate di colore bianco.

Soluzione Per verificare lipotesi H0: p=0,5 si utilizza la statistica

( ) 16,34000

5,05,05,0475,0

n

p1ppp

00

0

=

che risulta maggiore di u0,975=1,96 per cui lipotesi deve essere rifiutata al livello di significativit =0,10.

59

Tavola A Funzione di ripartizione della variabile casuale normale standardizzata

u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,500 0,504 0,508 0,512 0,516 0,520 0,524 0,528 0,532 0,536 0,1 0,540 0,544 0,548 0,552 0,556 0,560 0,564 0,567 0,571 0,575 0,2 0,579 0,583 0,587 0,591 0,595 0,599 0,603 0,606 0,610 0,614 0,3 0,618 0,622 0,626 0,629 0,633 0,637 0,641 0,644 0,648 0,652 0,4 0,655 0,659 0,663 0,666 0,670 0,674 0,677 0,681 0,684 0,688 0,5 0,691 0,695 0,698 0,702 0,705 0,709 0,712 0,716 0,719 0,722 0,6 0,726 0,729 0,732 0,736 0,739 0,742 0,745 0,749 0,752 0,755 0,7 0,758 0,761 0,764 0,767 0,770 0,773 0,776 0,779 0,782 0,785 0,8 0,788 0,791 0,794 0,797 0,800 0,802 0,805 0,808 0,811 0,813 0,9 0,816 0,819 0,821 0,824 0,826 0,829 0,831 0,834 0,836 0,839 1,0 0,841 0,844 0,846 0,848 0,851 0,853 0,855 0,858 0,860 0,862 1,1 0,864 0,867 0,869 0,871 0,873 0,875 0,877 0,879 0,881 0,883 1,2 0,885 0,887 0,889 0,891 0,893 0,894 0,896 0,898 0,900 0,901 1,3 0,903 0,905 0,907 0,908 0,910 0,911 0,913 0,915 0,916 0,918 1,4 0,919 0,921 0,922 0,924 0,925 0,926 0,928 0,929 0,931 0,932 1,5

0,933 0,934 0,936 0,937 0,938 0,939 0,941 0,942 0,943 0,944 1,6 0,945 0,946 0,947 0,948 0,949 0,951 0,952 0,953 0,954 0,954 1,7 0,955 0,956 0,957 0,958 0,959 0,960 0,961 0,962 0,962 0,963 1,8 0,964 0,965 0,966 0,966 0,967 0,968 0,969 0,969 0,970 0,971 1,9 0,971 0,972 0,973 0,973 0,974 0,974 0,975 0,976 0,976 0,977 2,0 0,977 0,978 0,978 0,979 0,979 0,980 0,980 0,981 0,981 0,982 2,1 0,982 0,983 0,983 0,983 0,984 0,984 0,985 0,985 0,985 0,986 2,2 0,986 0,986 0,987 0,987 0,987 0,988 0,988 0,988 0,989 0,989 2,3 0,989 0,990 0,990 0,990 0,990 0,991 0,991 0,991 0,991 0,992 2,4 0,992 0,992 0,992 0,992 0,993 0,993 0,993 0,993 0,993 0,994 2,5 0,994 0,994 0,994 0,994 0,994 0,995 0,995 0,995 0,995 0,995 2,6 0,995 0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 2,7 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 2,8 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 2,9 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 3,0 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999

60

Tavola B Quantili della variabile casuale normale standardizzata

p up 0,001 -3,090 0,005 -2,576 0,010 -2,326 0,025 -1,960 0,050 -1,645 0,100 -1,282 0,150 -1,036 0,200 -0,842 0,250 -0,674 0,300 -0,524 0,350 -0,385 0,400 -0,253 0,450 -0,126 0,500 0,000 0,550 0,126 0,600 0,253 0,650 0,385 0,700 0,524 0,750 0,674 0,800 0,842 0,850 1,036 0,900 1,282 0,950 1,645 0,975 1,960 0,990 2,326 0,995 2,576 0,999 3,090

61

Tavola C Quantili della variabile casuale chi-quadrato con g gradi di libert

p g

0,005 0,010 0,025 0,050 0,950 0,975 0,990 0,995

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0,000 0,000 0,001 0,004 3,841 5,024 6,635 7,879 0,010 0,020 0,051 0,103 5,991 7,378 9,210 10,60 0,072 0,115 0,216 0,352 7,815 9,348 11,34 12,84 0,207 0,297 0,484 0,711 9,488 11,14 13,28 14,86 0,412 0,554 0,831 1,145 11,07 12,83 15,09 16,75 0,676 0,872 1,237 1,635 12,59 14,45 16,81 18,55 0,989 1,239 1,690 2,167 14,07 16,01 18,48 20,28 1,344 1,646 2,180 2,733 15,51 17,53 20,09 21,95 1,735 2,088 2,700 3,325 16,92 19,02 21,67 23,59 2,156 2,558 3,247 3,940 18,31 20,48 23,21 25,19 2,603 3,053 3,816 4,575 19,68 21,92 24,72 26,76 3,074 3,571 4,404 5,226 21,03 23,34 26,22 28,30 3,565 4,107 5,009 5,892 22,36 24,74 27,69 29,82 4,075 4,660 5,629 6,571 23,68 26,12 29,14 31,32 4,601 5,229 6,262 7,261 25,00 27,49 30,58 32,80 5,142 5,812 6,908 7,962 26,30 28,85 32,00 34,27 5,697 6,408 7,564 8,672 27,59 30,19 33,41 35,72 6,265 7,015 8,231 9,390 28,87 31,53 34,81 37,16 6,844 7,633 8,907 10,12 30,14 32,85 36,19 38,58 7,434 8,260 9,591 10,85 31,41 34,17 37,57 40,00 8,034 8,897 10,28 11,59 32,67 35,48 38,93 41,40 8,643 9,542 10,98 12,34 33,92 36,78 40,29 42,80 9,260 10,20 11,69 13,09 35,17 38,08 41,64 44,18 9,886 10,86 12,40 13,85 36,42 39,36 42,98 45,56 10,52 11,52 13,12 14,61 37,65 40,65 44,31 46,93 11,16 12,20 13,84 15,38 38,89 41,92 45,64 48,29 11,81 12,88 14,57 16,15 40,11 43,19 46,96 49,64 12,46 13,56 15,31 16,93 41,34 44,46 48,28 50,99 13,12 14,26 16,05 17,71 42,56 45,72 49,59 52,34 13,79 14,95 16,79 18,49 43,77 46,98 50,89 53,67

62

Tavola C Quantili della variabile casuale chi-quadrato con g gradi di libert (segue)

p g

0,005 0,010 0,025 0,050 0,950 0,975 0,990 0,995

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

14,46 15,66 17,54 19,28 44,99 48,23 52,19 55,00 15,13 16,36 18,29 20,07 46,19 49,48 53,49 56,33 15,82 17,07 19,05 20,87 47,40 50,73 54,78 57,65 16,50 17,79 19,81 21,66 48,60 51,97 56,06 58,96 17,19 18,51 20,57 22,47 49,80 53,20 57,34 60,27 17,89 19,23 21,34 23,27 51,00 54,44 58,62 61,58 18,59 19,96 22,11 24,07 52,19 55,67 59,89 62,88 19,29 20,69 22,88 24,88 53,38 56,90 61,16 64,18 20,00 21,43 23,65 25,70 54,57 58,12 62,43 65,48 20,71 22,16 24,43 26,51 55,76 59,34 63,69 66,77 21,42 22,91 25,21 27,33 56,94 60,56 64,95 68,05 22,14 23,65 26,00 28,14 58,12 61,78 66,21 69,34 22,86 24,40 26,79 28,96 59,30 62,99 67,46 70,62 23,58 25,15 27,57 29,79 60,48 64,20 68,71 71,89 24,31 25,90 28,37 30,61 61,66 65,41 69,96 73,17 25,04 26,66 29,16 31,44 62,83 66,62 71,20 74,44 25,77 27,42 29,96 32,27 64,00 67,82 72,44 75,70 26,51 28,18 30,75 33,10 65,17 69,02 73,68 76,97 27,25 28,94 31,55 33,93 66,34 70,22 74,92 78,23 27,99 29,71 32,36 34,76 67,50 71,42 76,15 79,49

63

Tavola D Quantili della variabile casuale t di Student con g gradi di libert

p g

0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750