Embed Size (px)
Citation preview
Esercizi di Analisi Matematica 2
8 settembre 2009
Osservazioni
• Gli esercizi contrassegnati con un pallino sono dotati di figura.Le figure della terza funzione dell’esercizio 5 del foglio Ese 1/6 sichiama VI5-3.fow oppure VI5-C.fow All’interno di un eserciziole funzioni si numerano nel normale ordine di lettura.
• Questi esercizi sono stati preparati con in mente corsi dalla strut-tura che e’ variata nel tempo. Gli esercizi che NON riguardanol’attuale programma di Analisi Matematica 2 sono i seguenti:
– 1/D, esercizi 1-5
– 2/D, esercizi 1-13
– 3/D, esercizi 1-3
– 4/D, esercizi 1-3
Questi esercizi costituiscono un utile ripasso degli argomenti studiatinei corsi di geometria.
1
Esercizi 1/D
1. Disegnare sul piano cartesiano i domini delle funzioni seguenti:
f(x, y) =
√1− x2
4− y2
9, f(x, y) = y2 + log x2 , f(x, y) =
19− x2 − y2
,
f(x, y) =1√
x + y− 1√
y − x, f(x, y) = arcsin y−1
x+1 , f(x, y) =√
x−√y
f(x, y) = log(x sin y) , f(x, y) = log(1− x2
9 + y2
4
), f(x, y) = log x + log cos y ,
f(x, y) =ex sin y
x(y − 1), f(x, y) = e
√x
y , f(x, y) =√
4− x2 − y2
log(x2 + y2).
2. Per ciascuno dei domini precedenti, dire se e limitato, aperto, chiuso, con-nesso per archi.
3. Descrivere i domini delle seguenti funzioni di tre variabili:
• f(x, y, z) =z + 1
1− x2 − y2, • f(x, y, z) =
√x2 − y2 − z2 , f(x, y, z) = log(1− x2 − y2 − z2) ,
f(x, y, z) =z + x
1− x2 − y2, • f(x, y, z) = 1
z−x2+y2 , • f(x, y, z) =√
1− x2 − y2
√1− x2 − z2
.
4. Calcolare le derivate parziali prime delle seguenti funzioni:
f(x, y) = exy(x2 − y2) , f(x, y) = sin(x2 + y2)− ex , f(x, y) =√
x2y2
log y,
f(x, y) =√
x2y3
log y, f(x, y) = y
sin x , f(x, y) = ylog x .
5. Calcolare le derivate parziali seconde delle funzioni seguenti:
f(x, y) = sin x · y f(x, y) = sin(x2 + y2) f(x, y) = x2 · exp(x2 + y2)f(x, y) = x + x3 · y f(x, y) = x2 + x3y f(x, y) = x2 sin y2
6. Sia• f(t, x) = sin(x + t) .
Provare che tra le derivate parziali prime di f(t, x) intercorre la relazione
ft − fx = 0 .
2
Disegnare il grafico delle funzioni g(x) = sin(x + t), per vari valori del pa-rametro t, e delle funzioni h(t) = sin(x + t) per vari valori del parametrox.
7. Siaf(t, x) = sin(x− t) .
Provare che tra le derivate parziali prime di f(t, x) intercorre la relazione
ft + fx = 0 .
Disegnare il grafico delle funzioni g(x) = sin(x − t), per vari valori del pa-rametro t, e delle funzioni h(t) = sin(x − t) per vari valori del parametrox.
8. Siaf(t, x) = sin(x + t) + ex−t .
Provare che tra le derivate parziali seconde di f(t, x) intercorre la relazione
ftt − fxx = 0 .
9. Dire se, nei tre esercizi precedenti, i risultati dipendono dalla scelta fattaper le funzioni f(x, t), rispettivamente sin(x+ t), sin(x− t), sin(x+ t)+ex−t.
10. Siaf(x, y) = log(x2 + y2) .
Mostrare che tra le derivate parziali seconde della funzione f(x, y) intercorrela relazione
fxx + fyy = 0 (x, y) 6= (0, 0) .
11. Siaf(x, y) = log[(x− x0)2 + (y − y0)2] .
Mostrare che, per ogni scelta di (x0, y0), vale
fxx + fyy = 0 (x, y) 6= (x0, y0) .
12. Mostrare che la funzione
f(x, y) = log(x2 + y2) + 3 log[(x− 1)2 + (y − 3)2]
risolvefxx + fyy = 0 per (x, y) 6= (0, 0) (x, y) 6= (1, 3) .
3
13. Siaf(x, y, z) =
1√x2 + y2 + z2
.
Mostrare che tra le derivate parziali seconde della funzione f(x, y, z) inter-corre la relazione
fxx + fyy + fzz = 0 (x, y, z) 6= (0, 0, 0) .
14. Mostrare che la funzione
f(x, t) =1√texp
(−x2/4t
),
definita per t > 0 ed ogni valore di x, risolve l’equazione ft = fxx.
15. Studiare il grafico delle funzioni
g(x) =1√texp
(−x2/4t
)per vari valori di t > 0, e delle funzioni
h(t) =1√texp
(−x2/4t
)per vari valori di x.
16. Calcolare gli integrali seguenti, per ogni valore del parametro x:∫ y
0xs2 ds ,
∫ y
0sinxsds ,
∫ y
0tanx2sds ,∫ y
0sgn(xs) ds ,
∫ y
0sgn[(x− 1)s] ds ,
∫ y
0[(sgnx)− 1]s2 ds .
17. Calcolare gli integrali seguenti, per ogni valore del parametro x:∫ x
0es/x ds ,
∫ x
0log(s · sinx) ds ,
∫ x+1
xes arctan x2
ds ,∫ sgn x
0y dy ,
∫ sgn (x−1)+1
0y dy ,
∫ [x]
0y dy .
(nell’ultimo integrale, con la parentesi quadra si indica la parte intera. Ci silimiti al caso x ≥ 0).
4
18. Con f(x) si indica la funzione
f(x) =
x se 0 < x < π2π + x se π < x < 2π .
Si calcoli ∫ f(x)
0sin y dy .
19. Per ciascuna delle funzioni seguenti, se possibile, esprimere nella forma y =y(x) l’insieme di livello corrispondente alla generica quota z0.
• f(x, y) = x2 + y2 , • f(x, y) = sin xy , f(x, y) = x4 + y4 + 2x2y2 .
• Dare un esempio di funzione f(x, y) definita per ogni (x, y), cheammette derivata seconda fxy(0, 0), ma priva della derivata primafy(0, 0).
5
Esercizi 2/D
1. Facendo uso direttamente della definizione, calcolare le derivate secondo ungenerico vettore v, delle funzione f(x, y) = x2 + 2y2 nel generico punto(x0, y0).
2. Calcolare la derivata direzionale delle seguenti funzioni nel punto indicato enella direzione del generico versore v = (cos θ, sin θ):
f(x, y) =x2
x2 + y2in (1, 1) , f(x, y) = ex+1 − 1 in (0, 0) , f(x, y) = x log(x2 + y2) in (1, 0) .
3. Studiare la continuita la derivabilita secondo una generica direzione dellefunzioni
f(x, y) =
1 in (0, 0)x2+y2−(x−y)
x2+y2 altrimenti;f(x, y) =
0 in (0, 0)xy(x2−y2)
x2+y2 altrimenti;
f(x, y) =
0 in (0, 0)
x2y2
x2+y2+(x−y)2altrimenti;
f(x, y) =
0 se y = 0sin x·y
y altrimenti;
4. Usando direttamente la definizione, stabilire se le seguenti funzioni sonodifferenziabili nel punto indicato:
f(x, y) =x + y
x− y(2, 3) , f(x, y) = y
x2+1(0, 0) .
5. Calcolare il differenziale nel generico punto (x0, y0) del dominio, e l’equazio-ne del piano tangente al grafico nel punto (x0, y0, f(x0, y0)), delle funzioniseguenti:
• f(x, y) = x2 + y2 , • f(x, y) = x sin y , f(x, y) = arcsinx− y
x + y,
f(x, y) = log(x2y − xy2) , f(x, y) = e1/x−e1/y
x−y f(x, y) = x · arctan y .
6. Determinare l’equazione del piano tangente al grafico delle seguenti funzioni,nel punto indicato:
f(x, y) =√
xy2ex in (1, 1) , f(x, y) = x2exy in (0, 1) ,
f(x, y) = log(x2 + y2) in (−2, 2) , f(x, y) = log(x2 · y2) in (2, 2) ,
f(x, y) = ylog x in (e2, 2) , f(x, y) = e(sin x)·cos y in (0, 0) .
6
7. A lezione sono stati introdotti solamente i polinomi di Taylor del primo e delsecondo ordine. Naturalmente esistono anche i polinomi di Taylor di ordinepiu alto. Tenendo conto di cio, e usando gli sviluppi noti per le funzionidi una variabile, si scrivano i polinomi di McLaurin del terzo e del quartoordine ordine della funzione
f(x, y) = x2 + y2 + ex4−y4.
8. Per ciascuna delle funzioni seguenti, scrivere il polinomio di McLaurin delsecondo ordine. Si usino i polinomi noti per le corrispondenti funzioni diuna variabile.
f(x, y) = sin xy , f(x, y) = sin(x2 + y2) , f(x, y) = cos(x2 − y2) ,
f(x, y) = x + x3y , f(x, y) = x2 sin y2 , f(x, y) = x2e(x2+y2) .
9. Il punto (0, 0) e punto critico per ciascuna delle funzioni seguenti. Si scrivanoi polinomi di McLaurin e, se possibile, si stabilisca il carattere del puntocritico (0, 0).
• f(x, y) = sin(x2 + y2) , • f(x, y) = cos√
x2 + y2 , • f(x, y) = x2 + x3y ,
• f(x, y) = sin xy , • f(x, y) = x2 sin y2 , • f(x, y) = x2 · exp(x2 + y2) ,
• f(x, y) = x2 · exp(x2 + y2)− y4 .
10. Il punto (0, 0) e punto critico per ciascuno delle funzioni seguenti. Sepossibile, stabilirne il tipo mediante lo studio della matrice hessiana.
f(x, y) = x sin y − xy + x2 + y2 , f(x, y) = x2 − 3y3 + 2 cos y ,
f(x, y) = [(x + 1)ex]y , f(x, y) = (x2 + y2)3 .
11. Il punto (0, 0, 0) e punto critico per ciascuno delle funzioni seguenti. Sepossibile, stabilirne il tipo mediante lo studio della matrice hessiana.
f(x, y, z) = x2z2 , f(x, y, z) = x sinxy + z cos z , f(x, y, z) = tanx2 + z sin(z + y2) .
12. Calcolare il differenziale della funzione composta f(x(u, v), y(u, v)) nel ge-nerico punto (u0, v0), in ciascuno dei casi seguenti:
f(x, y) = x log y x = u · v y = u− v ,
f(x, y) = x log y x = u− v y = u · v ,
f(x, y) = xexy x = u sin v y = u · v ,
f(x, y) = x sin y x = cos u y = v sinu ,
f(x, y) = yex x = log u y = v .
7
13. Sia
f(x, y) =x2 − y2
x2 + y2, x(t) = cos t , y(t) = sin t .
Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di g(t) = f(x(t), y(t)) nelgenerico punto t0.
14. Per ciascuna delle due equazioni seguenti, trovare una soluzione della formay = y(x):
sin2 y + 2x sin y = 1/2 , log(xy) + log2(xy)− x = 0 .
15. Trovare un’equazione differenziale per y(x) sapendo che y(x) e una funzionederivabile, che risolve una delle equazioni seguenti:
x2 + y2 = 2 , 2x3 + y2 − 2x2y + 1 = 0 , y2 =x + y
x− y,
y log y = x yexy = x , y2 − 1 = 0 .
16. Calcolare un’equazione differenziale risolta da y, sapendo che y(x) risolveuna delle due equazioni seguenti:
x2 + y = y2 − x , y2 +x
2= y +
x2
4.
17. Si sa che la funzione z(x, y) risolve l’equazione z = xz + y. Trovare alcu-ne equazioni differenziali che devono soddisfare le derivate parziali prime eseconde di z(x).
• Dire se esiste una funzione che in un dato punto ammette derivatedirezionali in ogni direzione, tutte positive.
8
Esercizi 3/D
1. Sia • f(x, y) = 3x4 − 4x2y + y2.
a) Mostrare che (0, 0) e un punto stazionario.
b) Studiando i segni di f(x, y), mostrare che f(x, y) non e ne punto dimassimo ne punto di minimo.
c) sia g(t) = f(x0t, y0t) la restrizione di f(x, y) ad una qualunque rettaper l’origine. Mostrare che t = 0 e punto di minimo per g(t).
2. Calcolare il gradiente delle funzioni seguenti:
f(x, y) = sin[x · (y − 1)] , f(x, y) = y · ex f(x, y) = log xy ,
f(x, y, z) = x · y · z , f(x1, x2, x3, x4) = x1 · x4 , f(x1, x2, x3, x4) = ex1+x2+x3+x4 .
3. Si considerino le curve seguenti:
•
x(t) = t2
y(t) = t3 ,•
x(t) = sinh ty(t) = cosh t ,
•
x(t) = et
y(t) = e−t .
Per ciascuna di tali curve, calcolare i vettori velocita V(t).
Operare il cambiamento di parametro t = sinh ρτ con ρ parametro positivo.Calcolare i vettori velocita V(τ), nella nuova parametrizzazione. Se esistono,identificare valori di ρ per cui V(0) = V(t(0)) (si noti che t(0) = 0).
4. Calcolare le linee di forza dei campi vettoriali seguenti
•[
xy
], •
[−yx
], •
[1/x1/y
].
5. Si sa che y(x) verifica una delle equazioni seguenti:
− sin y + 2x− log(x + 1) = 0 , xey + 2(x− 1)y = 0 , x sin y + log(1 + y) + exy = 0 .
In ciascuno dei tre casi, si calcolino y(0) ed y′(0). Si specifichi in particolarese y(0) e univocamente determinato.
6. Per ciascuna delle funzioni seguenti, identificare i punti nell’intorno dei qualipuo applicarsi il teorema della funzione implicita.
f(x, y) = x2 + y2 − 1 , • f(x, y) = x2 + xy , f(x, y) = ex2+y2,
• f(x, y) = (y − x− 1)2 , f(x, y) = ex2−y2, f(x, y) = cos2(xy) + sin2(xy) .
9
7. Identificare i punti nell’intorno dei quali puo applicarsi il teorema dellafunzione implicita, per ciascuna delle funzioni seguenti:
f(x, y, z) =
[x2 + y2 + z2 − 1x2 + y2 − 1/4 ,
]f(x, y, z) =
[x2 + y2
exyz ,
]f(x, y, z) =
[ex2−y2+z
x + y − z
].
8. Per ogni valore del parametro reale ρ 6= 0, studiare la possibilita di applicareil teorema della funzione implicita alla funzione seguente, da R3 in R2:
f(x, y, z) =
[x2 + y2 + z2 − 1(x2/ρ2) + ρ2y2 + 4z2 − 1
]
9. Scrivere l’equazione parametrica della superficie luogo delle rette che con-giungono i punti (−1, t, 0) e (1, 0, t), t ∈ R. Esplicitare quindi l’equazionerispetto a x, rispetto ad y e quindi rispetto a z.
10. Si ruoti intorno all’asse z ciascuna delle seguenti curve del piano (x, z).
• z = e−x2, •
x = t2 − tz = cos πt ,
x = 2 + cos tz = 2 + sin t .
Scrivere l’equazione della superficie ottenuta e la corrispondente matricejacobiana.
11. Calcolare la lunghezza degli archi seguenti:
•
x = t− sin ty = 1− cos t ,
t ∈ [0, θ0] , •
x = t cos ty = t sin t ,
t ∈ [0, θ0] , •
x = t cos log ty = t sin log t ,
t ∈ [1, 4] ,
•
x = cos ty = sin tz = t ,
t ∈ [0, 2π] , •
x = sin t− t cos ty = t sin t + cos t ,
t ∈ [−π, π] , •
x = cos2 ty = cos t sin t ,
t ∈ [0, 1] ,
•
x = t3
y = t2 ,t ∈ [0, 1] , • y = log(1− x2) − 1
2 ≤ x ≤ 12 , • y = x3/2 0 ≤ x ≤ 1/4 .
12. Studiare la regolarita dei seguenti archi di curva. Con ρ e θ si indicano lecoordinate polari, ma la regolarita va studiata in coordinate cartesiane.
•
x = t2
y = t3t ∈ [−1, 1] , •
x = sin2 ty = π − t
t ∈ [−1, 1] , •
x = log(t− 1)y = t− t2
t ∈ [2, 3] ,
• ρ = θ2 θ ∈ [0, 3/2] •
ρ = tθ = tz = t
t ∈ [0, 2π] , •
ρ = θ2
z = sin2 θθ ∈ [−2π, 2π] .
10
13. Calcolare la curvatura delle curve seguenti:
x = t cos log ty = t sin log t ,
t ∈ [1, 4] ,
x = cos ty = sin tz = t ,
t ∈ [0, 2π] .
14. Si calcoli la distanza della retta 3x + 2y + 4 = 0 dall’origine. Si calcoli ladistanza prima sostituendo y = −1
2 [3x + 4] nella funzione x2 + y2 e quindiusando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
15. Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si calcolino i punti estremalidelle funzioni g(x, y) sul vincolo F (x, y) = 0. I dati sono, rispettivamente,
• g(x, y) = ex2+y2F (x, y) = xy − 1 ,
• g(x, y) = x2 − xy + y2 F (x, y) = x2 + y2 − 4 ,• g(x, y) = x− y2 F (x, y) = x2 + y2 − 9 ,• g(x, y) = xey F (x, y) = ey + x2 − 3 .
16. Sia γ la curvaγ x4 + y4 + 3xy = 2 .
Trovare il raggio del piu grande cerchio (di centro (0, 0)) racchiuso da γ equello del piu piccolo cerchio (centrato in (0, 0)) che la contiene.
17. Trovare gli estremi dif(x, y) = x4 + (y − 1)2
inE =
(x, y) | 0 ≤ y ≤ 4− x2
.
18. Si verifichi che l’insieme di livello
ex−y + x2 − y2 − e(x + 1) = −1
e, in un intorno di (0,−1), grafico di una funzione che ha punto di minimoin x = 0.
19. Si consideri la funzione
• f(x, y) = min
9− (x2 + y2),−3 +√
x2 + y2
e l’insieme di livello f(x, y) = 0. Si consideri l’insieme di livello in un intornodel suo punto P (3
2 , 3√
32 ).
11
(a) dire se il teorema della funzione implicita puo applicarsi;
(b) mostrare che l’insieme di livello e grafico di una funzione regolare escrivere l’equazione della tangente al grafico di questa funzione nelpunto P ;
(c) Disegnare il grafico della funzione.
20. Dire in quali punti l’equazione 3x2 + 2y2 − 4z2 = 0 definisce implicitamenteuna funzione z = z(x, y).
1. Scrivere cosa significa che una funzione e definita in modo impli-cito.
2. Scrivere cosa significa che una curva e regolare.
3. Mostrare, mediante opportuni contresempi, che l’affermazione se-guente e falsa:
• La proprieta di regolarita si conserva per cambiamento diparametro.
12
Esercizi 4/D
1. Calcolare la divergenza e rotore dei campi vettoriali seguenti:
• x2 i− y2 j , • x i− z j + y k , • x · y i +x
yj ,
• x√
1− y i + x j , • y√
z i + xk , • 2xy i + (x2 + 2y) j .
2. Calcolare la matrice jacobiana delle trasformazioni seguenti:
F(x, y) = x i + x · y j + (x2 − y2)k , F(x, y, z) = x · z i + x · y j ,
F(x, y) = ex i + ey j , F(x, y, z) = (sin x) i + z j + sin y k .
3. Usare la regola di derivazione della funzione composta per calcolare la ma-trice jacobiana di F (G(u, v)) nei casi seguenti:
F (x, y) =
[x2
y3
], G(u, v) =
[sinucos v
];
F (x, y, z) =
y−x
x · y · z
, G(u, v) =
u− vu + vu2
.
4. Si disegni il dominio D e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:
∫D
x · y dx dy D = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2x− x2 ;∫D
x
1 + ydx dy D = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1/2 , x2 ≤ y ≤ x ;
•∫
Dx cos y dx dy D = (x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1− x2 ;
5. Si calcolino gli integrali multipli seguenti
(a)∫D xy dx dy, ove D e il semicerchio di centro (1, 0), raggio 1 ed y > 0;
(b)∫D xdx dy ove D e il semicerchio di centro (0, 0), raggio 1 ed x > 0;
(c)∫D exp y2 dx dy ove D e il triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (2, 1);
(d)∫D
1x2+y2 dx dy ove D e il trapezio di vertici (1, 0), (1, 1), (3, 0), (3, 3);
(e)∫D x2·(1+x2y) dx dy ove D e la corona circolare di centro (0, 0) e raggi 1
e 2 (ci si limiti a ridurre l’integrale doppio ad un integrale semplice. Piuavanti vedremo un modo piu efficiente per calcolare quest’integrale);
13
(f)∫D(x2 + y2) dx dy dz, ove D e il cubo [0, 1]× [0, 1]× [0, 1];
(g)∫D xy(y + z) dx dy dz ove D e il tetraedro di vertici (0, 0, 0), (1, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0, 1);
(h)∫D x2 dx dy dz ove D e la sfera unitaria di centro (0, 0, 0).
(i) Si calcoli∫D xyz2 dx dy dz con D = (x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1 , −x ≤
z ≤ x , x + z ≤ y ≤ 4;(j)
∫D xyz dx dy dz con D = (x, y, z) | z2 ≤ x2 + y2 , z ≥ x2 + y2.
6. Passando a coordinate polari o sferiche, si calcolino gli integrali multipliseguenti:
(a)∫D x2 dx dy ove D e la corona circolare di centro (0, 0) e raggi 1 e 2;
(b)∫D
√x2 + y2 − 1 dx dy ove D e la corona circolare di centro (0, 0) e
raggi 1 e 3;
(c)∫D
√x2 + y2 dx dy ove D e il settore di cerchio di centro (0, 0), raggio
1 e contenuto nel primo quadrante;
(d)∫D(x2 + y2) dx dy ove D e il cerchio individuato da x2 + y2 = 2x;
(e)∫D(x− y) dx dy, D = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 4 , y ≥ 0;
(f)∫D x2 dx dy dz ove D e la sfera unitaria di centro (0, 0, 0).
7. Si calcoli∫D x2y dx dy dz con D = (x, y, z) ∈ R3 | x2+z2 ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1;
8. Sugli integrali iterati:
(a) Scrivere l’integrale iterato seguente come integrale doppio e scambiarel’ordine di integrazione:∫ 1
−1
[∫ √2−x2
|x|f(x, y) dy
]dx .
(b) Passando a coordinate polari, si calcolino i seguenti integrali iterati:
i.∫ 1
−1
[∫ √1−x2
0ex2+y2
dy
]dx;
ii.∫ 1
−1
[∫ √1−x2
√x−x2
(x2 + y2) dy
]dx.
9. Calcolare i volumi delle figure seguenti:
(a) • paraboloide x2 + y2 ≤ z ≤ 1;
14
(b) • delimitata dai due paraboloidi z = x2 + y2 e z = 1− x2 − y2;
(c) • ellissoide x2
a2 + y2
b2+ z2
c2= 1, con a, b, c parametri non nulli;
(d) • iperboloide x2
a2 + y2
b2− z2
c2= 1, −1 ≤ z ≤ 1;
(e) • il solido delimitato dalle superfici y =√
x, y = 2√
x, x + z = 4,z = 0, 0 ≤ x ≤ 4;
(f) • il solito intersezione dei cilindri di equazione x2+y2 = 1 e x2+z2 = 1;
(g) • il solido ottenuto ruotando intorno all’asse z l’insieme
A =(x, y, z) | x = 0 , 0 < z < sin y2 , 0 < y <
√π
;
10. Si calcolino i centri di massa delle figure seguenti (supposte omogenee):
(a) una piastra piana delimitata da y2 = x, x− y = 0, x ≥ 0;
(b) una piastra piana delimitata da y = x2, x + y = 2;
(c) una semisfera.
11. calcolare il centro di massa del disco x2 + y2 ≤ 4x la cui densita in ognipunto e uguale alla distanza del punto dall’origine.
12. Per il calcolo degli integrali seguenti, si usino i cambiamenti di coordinateindicati:
(a) x = aρ cos θ, y = bρ sin θ, per il calcolo dell’integrale∫D
√4− (x/a)2 − (y/b)2 dx dy,
essendo D l’ellisse (x/a)2 + (y/b)2 ≤ 1
(b) x = 2ρ cos θ, y = 4ρ sin θ, per il calcolo dell’integrale∫D xy dx dy,
essendo D l’ellisse (x/2)2 + (y/4)2 ≤ 1
(c) u = x+y, v = y/x per l’integrale∫D
1xy dx dy, D = (x, y) ∈ R2 | (1/a) ≤
x + y ≤ a , (1/b) ≤ (y/x) ≤ b, con a e b parametri positivi.
13. Si calcolino gli integrali seguenti:
(a)∫D
1
1+√
x2+y2+z2dx dy dz ove
D = (x, y, z) | x2 + y2 + z2 − z ≤ 0 , 0 ≤ y ≤√
3x/3 ;
(b)∫D
14−z dx dy dz,
D = (x, y, z) | 9z ≤ 1 + y2 + 9x2 , 0 ≤ z ≤√
9− (y2 + 9x2) ;
15
(c) •∫D xdx dy dz, ove D e l’insieme (x, y, z) | 2x ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 1;
(d)∫D cosh(2y−x) dx dy ove D e l’insieme (x, y) | |2y−x| ≤ 2 , |2y+x| ≤
2;(e)
∫D |x|y dx dy ove D e l’insieme (x, y) | x + y ≥ 0 , x2 + y2 ≤ 1;
(f)∫D f(x, y) dx dy ove
f(x, y) = min√
x2 + y2, 1
, D = (x, y) | x ≥ 0 , y ≥ 0 , x2+y2 ≤ 2 .
14. Scambiare l’ordine di integrazione negli integrali seguenti∫ 1
0
[∫ x
0f(x, y) dy
]dx
∫ 1
0
[∫ ex
−xf(x, y) dy
]dx
∫ 1
0
[∫ 1/x
e−xf(x, y) dy
]dx
15. Calcolare gli integrali seguenti∫D|x− 1|y dx dy D =
(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0 ,
√2y − y2 ≤ x ≤ 2− y
,∫
D|y − x|dx dy D =
(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ y ≤ 1
,∫
D|xy| sinx2 cos y2 dx dy D =
(x, y) ∈ R2 | −
√π
2≤ y ≤
√π
2− x , 0 ≤ x ≤
√π
2
.
1. Passando a coordinate polari, calcolare
Ir =∫
De−x2−y2
dx dy , D = (x, y) | x2 + y2 < r2 ;
2. Calcolare I = limr→+∞ Ir.
3. Notare che e−x2−y2= e−x2 · e−y2
ed usare i risultati precedenti permostrare che
∫+∞−∞ e−x2
dx =√
π/2 (questo integrale, noto come in-tegrale di Laplace, e importantissimo per molte applicazioni, peresempio a problemi di probabilita).
1. Mostrare che div(rotF) = 0, rot(gradφ) = 0 rispettivamente per ognicampo vettoriale F e per ogni campo scalare φ.
16
Esercizi 5/D
1. Calcolare i momenti di inerzia dei corpi seguenti, supposti omogenei, condensita 1. L’asse di rotazione (rispetto a cui i momenti di inerzia vannocalcolati) e ortogonale al piano della figura e passa per il punto P indicato.
(a) di un disco (P giace sulla circonferenza);
(b) di un’ellisse (P e il centro);
(c) di un quadrato di lato l (P e un vertice);
(d) di un rettangolo (P e il punto di intersezione delle diagonali);
(e) di un triangolo isoscelle (P e il vertice opposto alla base).
2. Calcolare i momenti di inerzia (rispetto all’asse di rotazione) dei corpi se-guenti, supposti omogenei, con densita 1 e ruotanti rispetto alla retta indi-cata.
(a) di un disco, ruotante intorno ad una sua tangente;
(b) di una sfera, ruotante intorno ad una retta ad essa tangente;
(c) dell’ellissoide x2
a2 + y2
b2+ z2
c2= 1, ruotante intorno all’asse delle ascisse.
(d) di un guscio sferico, di raggi interno r ed esterno R, ruotante intornoad un diametro.
3. Usare il teorema di Guldino per calcolare i volumi dei solidi di rivoluzioneseguenti:
(a) una sfera;
(b) • il solido ottenuto ruotando una circonferenza intorno ad una suatangente;
(c) • il solido ottenuto ruotando la curva y = 1/x, x0 < x < x1, intornoall’asse delle ordinate;
(d) • il volume di un toro (ottenuto facendo ruotare un disco del pianox, y intorno all’asse y. Il disco non interseca l’asse y).
4. Se f(x), x ∈ [a, b], e una funzione continua, il volume del solido ottenutoruotandone il grafico intorno all’asse delle ascisse e dato da
V = π
∫ b
af2(x) dx . (1)
Usare questa formula per calcolare i volumi seguenti:
17
(a) • il solido ottenuto ruotando la curva y = 1/x, x0 < x < x1, intornoall’asse delle ascisse.
(b) • il solido ottenuto ruotando l’asteroide y = (1−x2/3)3/2, −1 ≤ x ≤ 1,intorno all’asse delle ascisse;
(c) il solido ottenuto ruotando la curva y = x3, 0 < x < a, intorno all’assedelle ascisse;
(d) il solido ottenuto ruotando la curva y = ex, 0 < x < a, intorno all’assedelle ascisse;
(e) il solido ottenuto ruotando la curva y = coshx, 0 < x < a, intornoall’asse delle ascisse;
5. Usando sia la formula nota per il volume della piramide sia il calcolo median-te un integrale triplo, calcolare il volume della piramide delimitata dai pianicoordinati e dal piano x
2 + y2 + z
2 = 1, controllando che i risultati coincidano.
6. Calcolare i volumi dei solidi delimitati come segue
(a) • dal cilindro z = y2/2, dai piani x = 0 e z = 0 e dal piano 2x + 3y −12 = 0;
(b) • dal piano z = 0 e dai cilindri z = 4− y2 e y = x2/2;
(c) • dal cono z2 = xy, dai piani coordinati e dal cilindro√
x +√
y = 1;
(d) • dalla superficie z = (cos x)(cos y), dai piani coordinati e dal pianox + y = π/2;
(e) dalla sfera x2 + y2 + z2 = 1, dal piano x = 0 e dal piano x− y = 0;
(f) dal cono 4y2 = x(2− z), dal piano z = 0 e dal piano x + z = 2;
(g) dal paraboloide z = x2 + y2 e dai piani z = 0, x = 0, y = 1, y = 2x ey = 6− x.
7. Usare il teorema di Guldino per calcolare l’area delle seguenti superfici dirivoluzione:
(a) la superficie di una sfera;
(b) la superficie del toro.
8. Esprimere in forma parametrica le superfici seguenti, calcolare la normalealla superficie e scrivere l’integrale che da l’area della superficie stessa. Ilcalcolo esplicito dell’integrale non e richiesto.
18
(a) la superficie del paraboloide ottenuto ruotando z = ax2, 0 ≤ x ≤ 1intorno all’asse z;
(b) superficie ottenuta ruotando y = sinx, 0 ≤ x ≤ π, intorno all’asse x;
(c) la superficie ottenuta ruotando la curva y = x3, 0 ≤ x ≤ 1, rispettiva-mente intorno all’asse delle ascisse oppure a quello delle ordinate.
9. Calcolare l’area delle calotte seguenti:
(a) • la calotta in z ≥ 0 ottenuta tagliando la sfera x2 + y2 + z2 = r2 colcilindro x2 + y2 − rx = 0;
(b) • calotta del paraboloide a sella z = 2 + xy che si proietta ortogonal-mente nel disco x2 + y2 ≤ 1 del piano z = 0;
(c) • la parte del cilindro x2 + y2 = 1 delimitata dalle condizioni 0 ≤ z ≤9 + xy;
(d) la calotta del paraboloide z = x2 + y2 che si proietta ortogonalmentenella corona circolare 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 del piano (x, y).
10. Calcolare gli integrali di superficie seguenti:
(a)∫Σ xdΣ, Σ essendo la calotta dell sfera x2 + y2 + z2 = 1 nel primo
ottante;
(b)∫Σ
1x2+y2+z2 dΣ, Σ essendo la parte del cilindro x2 +y2 = R2 delimitata
da z = 0 e z = 2;
(c)∫Σ
1x2 dΣ, Σ essendo la calotta del paraboloide z = xy delimitata dai
cilindri r2 ≤ x2 + y2 ≤ R2 e dai piani y = ±x, con x ≥ 0;
(d)∫Σ |x|dΣ, essendo Σ identificata dalle condizioni x2 + y2 + z2 = 25,
y ≥ 1, x2 + z2 ≥ 1 (ci si limiti a scrivere l’integrale e a passare incoordinate polari);
(e)∫Σ z(y−2x) dΣ, Σ essendo la calotta della sfera x2 +y2 +z2 = 16 che si
proietta ortogonalmente sulla superficie x2 + 4y2 ≤ 4, x ≥ 0 ed y ≥ 0,z = 0.
(f)∫Σ
x2+y2
(1+e2z)1/2 dΣ, Σ essendo la porzione della superficie di equazione
z = −12
log(x2 + y2)
giacente tra i cilindri x2 + y2 = e−2 e x2 + y2 = 1.
19
11. Calcolare l’integrale curvilineo∫γ x ds, dove γ e l’ arco di curva y = x2 con
0 ≤ x ≤ a.
12. Calcolare l’integrale curvilineo∫γ
√1− y2 ds,
dove γ e l’ arco di curva
x = sin t
y = cos tt ∈ [0, π] .
13. Calcolare l’integrale curvilineo ∫γ
x
1 + y2ds,
dove γ e l’ arco di curva
x = cos ty = sin t
t ∈ [0, π/2] .
14. Calcolare l’integrale curvilineo∫γ y2 ds, dove γ e l’ arco di curva y = ex con
0 ≤ x ≤ log 2.
15. Determinare il centro di massa di un asta rettilinea di lunghezza l e nonomogenea di densita ρ(x) = ex.
16. Sia D il semidisco (x, y) | x2+y2 < R2 , y > 0. Supponiamo che la densitasia ρ(r, θ) = | sin θ|. Calcolarne il centro di massa.
17. Calcolare il lavoro del campo F (x, y) = x2i + xy2j lungo la frontiera delquadrato [0, 1]× [0, 1] percorsa in senso antiorario.
18. Calcolare il lavoro del campo F (x, y) = y2i− x2j
(a) lungo l’arco di circonferenza x2+y2 = 1 contenuto nel primo quadrantecon primo estremo (1, 0) e con secondo estremo (0, 1).
(b) lungo il segmento che va da (1, 0) a (0, 1).
20
19. Calcolare il lavoro del campo F (x, y, z) = (x− z)i + (1− xy)j + yk lungo lacurva γ
x = ty = t2
z = t3t ∈ [0, 1]
20. Calcolare il lavoro del campo F (x, y, z) = ezi + exj + eyk lungo la curva γx = 1y = tz = et
t ∈ [0, 1]
21. Calcolare il lavoro del campo F (x, y) = sin xi + cos yj lungo la frontiera deltriangolo di vertici (0, 0),(1, 0) e (0, 1) percorsa in senso antiorario.
22. Calcolare il lavoro del campo F (x, y) = (2ey − yex)i + (2xey − ex)j lungo lacurva γ
x = t(2− t2)y = sin(2πt)
t ∈ [0, 1]
1. Usando la definizione generale di volume, provare la validita dellaformula (1) dell’es. 4.
2. Provare che se una superficie e data in forma cartesiana, z = f(x, y),allora
|N(x, y)| =√
1 + f2x(x, y) + f2
y (x, y) .
21
Esercizi 6/D
1. Ricondurre il calcolo delle aree delle superfici seguenti al calcolo della cir-cuitazione di un campo vettoriale:
(a) • area dell’ellisse;
(b) • parte di piano delimitata dal segmento 0 ≤ ρ ≤ 2π, θ = 0 e dallaspira ρ = θ, 0 ≤ θ ≤ 2π;
(c) • l’area individuata da una spira della spirale logaritmica ρ = log θ.
(d) • regione interna alla curva semplice e chiusa parametrizzata da x =cos2 θ, y = θ sin θ, 0 ≤ θ ≤ π;
2. Usando il Teorema di Stokes, si calcolino:
(a) l’integrale ∫∂Ω
(y − sinx) dx + cos xdy
ove Ω e il triangolo di vertici (0, 0), (π/2, 0) e (π/2, 1);
(b) • la circuitazione del campo vettoriale
− y
x2 + y2i +
x
x2 + y2j
lungo una qualsiasi curva chiusa non passante per l’origine;
(c) • l’integrale della forma differenziale
(3x + 4y) dx + (2x− 3y) dy
sulla circonferenza di centro l’origine e raggio 2;
(d) • la circuitazione del campo vettoriale
(x2 + y2)i + 3xy2j
sulla circonferenza di centro l’origine e raggio 2;
(e) • l’integrale della forma differenziale
(x2 − 2xy) dx + (x2y + 3) dy
lungo la curva semplice e chiusa il cui sostegno e costituito dal segmentodella parabola y2 = 8x, 0 ≤ x ≤ 2, e dal segmento della retta x = 2che ne congiunge gli estremi;
22
(f) le circuitazioni dei campi vettoriali
V1(x, y, z) = (x + z)i + (z + x)j + (x + y)k ,
• V2 = i + j + (x + y + z)k
lungo il bordo della superficie
z =√
1− x2 − y2 , 0 ≤ y ≤√
1− x2 − 1 ≤ x ≤ 1 .
Specificare l’orientazione scelta per il bordo della superficie e per lanormale alla superficie.
3. Si usi la formula di Green per calcolare le aree delle regioni seguenti:
(a) • compresa tra l’asse delle ascisse e l’arco di cicloide, x = a(θ− sin θ),y = a(1− cos θ), 0 ≤ θ ≤ 2π;
(b) • regione delimitata da ρ2 = a2 cos 2θ, 0 ≤ θ ≤ π/4 e dall’asse delleascisse.
4. Calcolare i flussi seguenti:
(a) • flusso del campo vettoriale
4xzi− y2j + yzk .
uscente dalla superficie del cubo di centro l’origine e lati paralleli agliassi e di lunghezza 2;
(b) • flusso del campo vettoriale
4xi− 2y2j + z2k
uscente dalla superficie della regione delimitata dal cilindro x2+y2 = 4e dai piani z = 0 e z = 3.
5. Sia Σ una superficie regolare, frontiera di un aperto Ω. Sia V il volume diΩ e sia r = xi + yj + zk. Provare che valgono le uguaglianze seguenti:∫
Σr · dΣ = 3V ;∫
Σ(axi + byj + czk) · dΣ = (a + b + c)V ;∫
Σ
r|r|3
· dΣ =
0 se l’origine e esterna ad Ω4π se l’origine e interna ad Ω.
23
6. Negli esercizi seguenti, la normale alla superficie e orientata verso l’alto. Sela superficie si ottiene come giustapposizione di superfici regolari, e orientataverso l’alto la normale ad almeno una di esse. Calcolare:
(a) • il flusso del rotore di
(2x− y)i− yz2j− y2zk
attraverso l’emisfero superiore della sfera x2 + y2 + z2 = 1;
(b) • il flusso del rotore di
(y − z + 2)i + (yz + 4)j− xzk
attraverso la parte della superficie del cubo seguente, che sta sopra alpiano (x, y). Il cubo e delimitato dai piani x = 0, y = 0, z = 0, x = 2,y = 2, z = 2;
(c) • il flusso del rotore di
xzi− yj + x2yk
attraverso la superficie della regione delimitata dai piani x = 0, y = 0,z = 0, x + y + z = 4, e che non appartiene al piano y = 0;
(d) • il flusso del rotore di
(x2 + y − 4)i + 3xyj + (2xz + z2)k
attraverso l’emisfero inferiore della sfera x2 + y2 + z2 = 16;
(e) • il flusso del rotore di
(x2 + y − 4)i + 3xyj + (2xz + z2)k
attraverso la parte del paraboloide z = (x2 + y2) − 4 che sta sotto alpiano z = 0;
(f) • il flusso del rotore di
2yzi− (x + 3y − 2)j + (x2 + z)k
attraverso la superficie dell’intersezione dei due cilindri x2 + y2 = 1 ex2 + z2 = 1 che e contenuta nel primo ottante.
7. Sia Σ una superficie regolare chiusa e sia H = rotA. Supponiamo che H siaregolare nella regione delimitata da Σ e su Σ stessa. Provare che il flussoattraverso Σ e nullo.
24
8. Sia Σ una superficie regolare, frontiera di un aperto Ω. Sia n un campovettoriale regolare su Ω ∪ Σ che in ogni punto di Σ coincide col versorenormale. Sia S l’area di Σ. Provare che∫
Ω(div n) dx dy dz = S .
9. Si ricordi che un campo vettoriale si dice conservativo quando ammette unpotenziale; e il campo e conservativo se e solo se la corrispondente 1–formadifferenziale e esatta. In tal caso, le primitive della forma differenziale sononiente altro che i potenziali del campo vettoriale. Con questo in mente sirisolvano gli esercizi seguenti:
(a) • Dire se la forma differenziale
2xy2
(1 + x2y2)2dx +
2x2y
(1 + x2y2)2dy
e esatta;
(b) • Individuare in quali regioni sono esatte le seguenti forme differenzialie calcolarne le primitive:
(2xy − 1
x
)dx + x2 dy ,
12
√y
xdx +
2y +
12
√x
y
dy ;
(c) • Individuare le regioni in cui la forma differenziale seguente e chiusa;
2x + y
1 + x2 + xydx +
x
1 + x2 + xydy ;
(d) • dire per quali valori dei parametri a e b e conservativo il campovettoriale
ay2 i + bxy j
e calcolarne i potenziali;
(e) • provare che il campo vettoriale
− y
x2 + y2i +
x
x2 + y2j
non ammette potenziale su R2. Individuare regioni in cui i potenzialiesistono e calcolarli.
25
10. Individuare funzioni φ(x, y) in modo tale che le forma differenziali sianoesatte su R:
x2y dx + φ(x, y) dy , xy2 dx + yφ(x, y) dy , (sinx + sin y) dx + (cos y)φ(x, y) dx .
11. Calcolare le primitive delle forme differenziali seguenti:
yz dx + xz dy + xy dz ,1x
dx− 1y
dy +1z
dz ,
x
x2 + y2 + z2dx +
y
x2 + y2 + z2dx +
z
x2 + y2 + z2dz .
26
Esercizi 7/D
1. Provare che non convergono le serie seguenti:
+∞∑n=1
5n+∞∑n=1
(−1)n en
n
+∞∑n=2
1log n
.
2. Si sa chen!
√2πnnne−n .
Si usi questa formula per provare che non converge la serie seguente:
+∞∑n=1
4n
n!(4n)n .
3. Usando il criterio del confronto, si provi la convergenza delle serie seguenti:
+∞∑n=1
1n · 2n
,+∞∑n=2
1n2(n− 1)
,+∞∑n=1
13n
,
+∞∑n=1
(−1)n log n
1 + n2,
+∞∑n=2
1n2 log n
,+∞∑n=1
n2 sinn
n!.
4. Si studi la convergenza delle serie seguenti:
+∞∑n=1
(n1/n − 1
)n ∑+∞n=1
(n!)2
2n2
+∞∑n=1
nn+1/n
(n + 1/n)n
+∞∑n=1
(n
1 + n
)n2 ∑+∞n=1
n!n2
+∞∑n=1
(−1)n[π
2− arctan(log n)
].
5. Per ogni valore del parametro reale α (non zero) si studi la convergenza delleserie seguenti
+∞∑n=1
1αn
,+∞∑n=1
αn
n2,
+∞∑n=1
1√nαn
,
+∞∑n=1
αn
5n,∑+∞
n=11
n(2n−1)αn ,+∞∑n=1
nnαn .
27
6. Usando il criterio del rapporto o quello della radice, individuare valori delparametro reale x per i quali convergono le serie seguenti:
+∞∑n=1
xn
n!,
∑+∞n=1 nxn ,
+∞∑n=1
n2xn
+∞∑n=1
xn
n2,
∑+∞n=1
xn
3n−2 ,+∞∑n=1
nnxn ,
+∞∑n=1
(−1)nxn ,∑+∞
n=1(n!)xn ,+∞∑n=1
xn! ,
+∞∑n=1
sinnπ
n + 1xn ,
∑+∞n=1
n+13n−1
14n x2n ,
+∞∑n=1
sinn x
2n,
7. Studiare la convergenza delle serie seguenti:
+∞∑n=1
|x|nx ,∑+∞
n=1(−1)n
nx ,+∞∑n=1
1nx
,
+∞∑n=1
(−1)n−1 1nx
,∑+∞
n=1(−1)n−1 1nlog xx
,+∞∑n=1
5n sin(3nx) ,
+∞∑n=1
5−n sin(3nx) ,∑+∞
n=1x3n−2
n2+1,
+∞∑n=1
4n2x2n
+∞∑n=1
x√
n ,∑+∞
n=1 nxxn ,+∞∑n=1
(x− 1)n
1 + x2n
8. Si svolgano i tre esercizi seguenti:
• Mostrare che la serie+∞∑n=1
x
nα(1 + nx2), x > 0
converge per ogni α > 0 e converge uniformemente per α > 1/2.
• Studiare la convergenza delle successioni di funzioni (fn)(x)) con fn(x)definita, rispettivamente, da:
fn(x) =nx
1 + n2x2, fn(x) =
1 se x ≤ 0n2(x− 1/n)2 se 0 < x < 2/n1 se x ≥ 2/n .
28
• Si studi la convergenza delle serie di funzioni (fn(x)) seguenti, e delleserie numeriche (an), con
an =∫ 1
0fn(x) dx .
Le serie di funzioni sono:
fn(x) =
0 se 0 ≤ x ≤ 1/nn se (1/n) ≤ x ≤ 2/n0 se (2/n) ≤ x ≤ 1 ,
fn(x) =
√n se 0 ≤ x ≤ 1/n
1/√
x se (1/n) ≤ x ≤ 1 .
9. Calcolare i raggi di convergenza delle serie di potenze seguenti
+∞∑n=1
(−2)n (x− 3)n
n4n
∑+∞n=1 n2n(x− 1)3n ,
+∞∑n=1
(n!)xn!
+∞∑n=1
n!xn
nn,
∑+∞n=1
nnxn
2n ,+∞∑n=1
nnx2n ,
+∞∑n=1
12n
log(
1 +1
n√
n
)xn ,
∑+∞n=1 n log
(1 + 5√
n
)xn ,
+∞∑n=1
(1 +
4n
)n
xn ,
+∞∑n=0
2(−1)nnxn ,∑+∞
n=0 2n[2 + (−3)n]xn ,+∞∑n=0
2n + (−1)n3nxn ,
+∞∑n=0
12n
x2n ,∑+∞
n=01n!x
n! ,+∞∑n=0
nn
n!x3n .
10. Studiare la convergenza uniforme delle serie seguenti, sugli intervalli indicati:
+∞∑n=1
xn
n3x ∈ [−1, 1] ,
+∞∑n=1
2−n cos(nx) x ∈ R
+∞∑n=1
√nx−n
x ∈ (0, 1)x ∈ [1/2, 2/3]x ∈ (1, 2)x ∈ [4, 5]x ∈ [2,+∞) .
29
11. Calcolare la derivata e l’integrale termine a termine delle serie seguenti eindividuare le relazioni con la serie geometrica oppure la serie esponenziale:
+∞∑n=1
xn
n,∑+∞
n=1xn
n! ,+∞∑n=1
x2n
2n(2n− 1).
12. Scrivere il prodotto alla Cauchy delle serie seguenti:
+∞∑n=0
xn e+∞∑n=0
12n
xn
+∞∑n=1
xn
n!e
+∞∑n=0
2nxn
+∞∑n=0
(5x)n e+∞∑n=0
(x
n
)n
,
+∞∑n=0
2nxn e+∞∑n=0
4−nxn
+∞∑n=0
2nxn con se stessa.
13. Scrivere in termini di funzioni elementari e calcolare la somma della serieche si ottiene calcolando il prodotto alla Cauchy delle due serie seguenti:
+∞∑n=0
2nxn ,+∞∑n=0
12n
xn .
14. Scrivere gli sviluppi di Taylor di centro x0 = 0 delle funzioni seguenti,specificando il raggio di convergenza:
11− x
, 11−x2 ,
11 + x2
,
1(x− 1)(2− x)
, 1(x−1)(1−2x) ,
1(x2 − 3x + 2)
,
(1− x)e−x , e−x2log(1 + x) ,
log(1 + x)(1 + x)
,
ex ·√
1− x2 , (x− 2)2 + (x + 3)3 ,
∫ x
0
1(s− 1)(2− s)
ds ,∫ x
0s2e−s ds ,
∫ 2x0 s3 sin sds ,
∫ x
0s(1− s)−1 ds .
Gli integrali non vanno preventivamente calcolati.
30
15. Scrivere in termini di seni e coseni i polinomi trigonometrici seguenti:
−e−ix + 2− eix , (1 + 2i)e−2ix − e−ix + 2− eix + (1− 2i)e+2ix ,
16. Scrivere i polinomi trigonometrici seguenti mediante l’esponenziale comples-sa:
sin 2x + 5 cos 3x , − sin 3x + 5 + cos 4x , sin 2x + cos x + sin 4x .
17. Disegnare i grafici delle estensioni per periodicita delle funzioni seguenti. Ilperiodo e 2π.
f(x) = | tanx| , −π ≤ x ≤ π , f(x) = x2 , 0 ≤ x ≤ 2π ,
f(x) = |x− 1| , −π ≤ x ≤ π ,
sinx per 0 ≤ x ≤ π0 per −π ≤ x ≤ 0 .
18. Si verifichi che lo sviluppo in serie di Fourier di soli seni della funzione,definita per x ∈ [0, π], f(x) = π e
4+∞∑n=1
sin(2n− 1)x2n− 1
.
Si usi il risultato trovato per mostrare che
π
4= 1− 1
3+
15− 1
7+
19· · ·
19. La serie di Fourier della funzione f(x) = x, −π < x < π, e
2(
sinx
1− sin 2x
2+
sin 3x
3− · · ·
).
Usare quest’espressione e la formula di Parseval per provare che
π2
6=
+∞∑n=1
1n2
.
20. Sia
f(x) =+∞∑n=0
2(n2 + 8)
cos nx .
Usare la formula di Parseval per rappresentare in forma di serie numerica ilnumero ∫ π
0f2(x) dx
31
21. Sapendo che
f(x) =+∞∑n=0
34 + n
sinnx
si rappresenti ∫ π
0|f(x)|2 dx
in forma di serie numerica.
32
Esercizi 8/D
Come al solito, il segno • indica che l’esercizio e accompagnato da figure. Il segno(?) indica gli esercizi piu complessi.
1. Scrivere in forma di sistema le equazioni seguenti:
x(3) + x′x2 + sin x′′ = cos t
x(4) + x′ − 3x′′ = et
x(3) + xx′′ = 0 .
2. Si sa che x(t) ed y(t) risolvono i problemi di Cauchy seguenti, con istanteiniziale t0, e che v(t) = H(x(t), y(t)) (la funzione H(x, y) e specificata sotto).Calcolare v′(t0).
x′ = 3xy′ = −x2 x(t0) = 2 , y(t0) = 0 , H(x, y) = exy
x′ = 3x− y2
y′ = −x2 x(t0) = 0 , y(t0) = 1 , H(x, y) = x2 − y2
x′ = x− xyy′ = y
x(t0) = 0 , y(t0) = 1 , H(x, y) = y sin(x− y)
3. Siax′′ + 2tx′ + 3x = 0
e siay(t) = x(t− 1) .
Trovare l’equazione differenziale risolta da y(t) . Si ripeta quest’esercizio neicasi seguenti:
x′′ = 3t2x +√
1 + x2 y(t) = x(t− 1)x′′ = −3e−tx +
√1 + ex y(t) = x(t + 3)
x′′ = −3x +√
1 + ex y(t) = x(t− 3)
x′′ = x +√
1 + x2 y(t) = x(t + 4) .
4. Siax′ = 3x− y y′ = x + y
e siaξ(t) = x(2t) , η(t) = y(t) .
33
Trovare le equazioni differenziali risolte da ξ ed η.
Si ripeta nei seguenti casi
x′ = 3xy y′ = −x ξ(t) = x(3t) η(t) = y(2t)x′ = 3x− y y′ = x2 ξ(t) = x(3t) η(t) = y(3t)x′ = 3y − x t′ = tx2 ξ(t) = x(3t) η(t) = y(3t) .
5. Sia x(t) = r(t) cos(θ(t)), y(t) = r(t) sin(θ(t)). Si sa che x(t) ed y(t) risolvonoi sistemi seguenti. Trovare i sistemi risolti da r(t) e θ(t):
x′ = 2yy′ = x
x′ = 2y(x2 + y2)y′ = −x(x2 + y2) .
6. Sia y soluzione dit2y′′ − 4ty′ + 6y = 0
e siaη(t) = y(et) .
Trovare l’equazione differenziale risolta da η(t) e quindi trovare tutte lesoluzioni y(t), t > 0.
7. Sia y(t) soluzione di
y′ = y + ty2 , y(0) = 2 .
Trovare l’equazione differenziale risolta da
η(t) = 1/y(t)
e quindi determinare la funzione y(t).
8. Trovare le soluzioni in forma y = y(x) dei sistemi seguenti, individuando gliinsiemi del piano (x, y) ove la procedure e lecita.
x′ = yy′ = x
x′ = xy′ = x + y
x′ = xyy′ = x/y .
9. Risolvere il problemax′ = Ax , x(1) = x0
34
nei casi seguenti:
A =
[1 −1−1 1
]x0 =
[13
]
A =
[1 −11 3
]x0 =
[13
]
10. Dire in quali punti non puo applicarsi il teorema di Cauchy per l’esistenza eunicita di soluzione, per le seguenti equazioni scalari del primo ordine:
y′ =√|t| y′ =
√|y|
y′ = t|t| y′ = y|y|(?) y′ = [sgnx]
[ey√
x − 1]
(?) y′ = [sgny] [eyx − 1] .
11. Dire in quali punti non puo applicarsi il teorema di Cauchy per l’esistenza eunicita di soluzione, per i seguenti sistemi del primo ordine:
x′ = x|x|y′ = |y|y
x′ = y|x|y′ = |y|x
x′ = |x|2y′ = |y| .
12. • Disegnare i campi vettoriali delle equazioni differenziali seguenti e dedurneil comportamento qualitativo di alcune orbite:
x′ = 1 y′ = 2y + 1− 4ex/5
x′ = 1 y′ = 2y + 1− 4ex2/10
x′ = 110x(2− y) y′ =
110
y(x− 3)
13. • Disegnare campo il vettoriale F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j e le isoclinequando il sistema di equazioni differenziali e
x′ = f(x, y) y′ = g(x, y)
con
f(x, y) −y yx 3xy
g(x, y) 2x y 2xy
35
14. • Disegnare campo il vettoriale F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j e le isoclinequando il sistema di equazioni differenziali e quello ottenuto, introducendoy = x′, dalle equazioni del second’ordine seguenti:
x′′ = −x′ , x′′ = sinx , x′′ = sinx− x′ .
15. Nei casi dei due esercizi precedenti, scrivere il campo vettoriale ortogonalead F(x, y) e le equazioni differenziali delle orbite di tale campo.
16. • Verificare che esistono e calcolare gli integrali primi dei sistemi seguenti
x′ = y/5 y′ = x/5x′ = y/5 y′ = 4xx′ = x y′ = −y
x′ = −y cos(
x2+y2
2
)y′ = x cos
(x2 + y2
2
)
17. Individuare tra i seguenti i sistemi che sono hamiltoniani e per essi calcolareun integrale primo.
x′ = −x/y2
y′ = −1/y ,
x′ = xy′ = −x ,
x′ = −xe−y
y′ = −e−y ,x′ = sin yy′ = − cos x ,
,
x′ = cos xy′ = y sinx ,
,
x′ = y cos yy′ = x y sin y − cos y .
18. Calcolare potenziale ed energia totale dei sistemi seguenti
2x′′ = −x2 , 3x′′ = −x3 , x′′ = x log x ,
2x′′ = xe−x , 4x′′ = − sinx , 2x′′ = cos x .
19. • Usando il Teorema di Lagrange, si studi la stabilita della posizione diequilibrio (0, 0) dei sistemi seguenti:
x′ = y y′ = −x
x′ = y y′ = −x3
x′ = y y′ = − sinx
x′ = y y′ = −x3 + x4
x′ = y y′ = −12x +
13x2
36
20. Studiare la stabilita della posizione di equilibrio (0, 0) dei sistemi seguen-ti, eventualmente al variare del parametro α. Non e richiesto di trovareesplicitamente la soluzione dei sistemi.
x′ = −2x− 4yy′ = −x + y ,
x′ = 2x + yy′ = 3x + 4y ,
x′ = x− yy′ = y − 4x ,
x′ = x + 5yy′ = −x− 3y ,
x′ = x− 2yy′ = x− 4y ,
x′ = yy′ = −3x ,
x′ = αx + αyy′ = x + y ,
x′ = αx + 2yy′ = (α + 1)x + 3y ,
x′ = 2αx + 2αyy′ = −αx + 3y .
21. Se possibile, studiare la stabilita di (0, 0) nel caso dei sistemi seguenti, usandoil teorema relativo alla stabilita in prima approssimazione.
x′ = 2x + y2
y′ = 6x− y2 .
x′ = −4x− 2yy′ = −y + xy .
x′ = −x2 − y2
y′ = 2xy .x′ = x2 − y − xy′ = −y .
x′ = −yy′ = x + x2 .
x′ = yy′ = −x− y − (x2 + y2) ,
x′ = 2x + 1− cos yy′ = 6x− sin(x2 − y2) ,
x′ = −x2 − y2 − sinxy′ = − sin y ,
x′ = −y − tanxy′ = −y + (sinx)(cos y) .
22. • Mostrare che in un intorno dell’origine non esistono integrali primi per iseguenti sistemi (tracciare prima le orbite. . . ):
x′ = xy′ = y .
x′ = −yy′ = 5x− 2y .
x′ = −2x + 1
2yy′ = 2x− 2y .
23. Mostrare che in un intorno dell’origine non esistono integrali primi per iseguenti sistemi (usare il teorema di stabilita in prima approssimazione...):
x′ = x2 + 2xy + sinxy′ = −3y − 5xy .
x′ = −x + e−y − 1y′ = ex−y − 1 .
x′ = 1 + x− e−y
y′ = 1− ex−y .
24. Passando a coordinate polari, per ciascuno dei seguenti sistemi;-si traccino le orbite, indicando come sono percorse;-si dederminino le orbite periodiche e il loro periodo;- si dica quali condizioni iniziali danno luogo a soluzioni (massimali) definite
37
∀t ≥ 0, oppure ∀t ≤ 0, o ancora ∀t ∈ R;–si studi la stabilita della soluzione nulla e il suo bacino di attrazione.
x′ = −y + x(1−√
x2 + y2)y′ = x + y(1−
√x2 + y2) ,
x′ = y + x(4− x2 − y2)y′ = −x + y(4− x2 − y2) ,
x′ = x3 + xy2 − x− yy′ = y3 + x2y + x− y ,
x′ = x3 + xy2 − x + yy′ = y3 + x2y − x− y .
25. Si traccino le orbire dei sistemi che si ottengono linearizzando quelli datinell’esercizio precedente. Confrontare i risultati con quelli ottenuti sopra.
26. • Tracciare le orbite dei seguenti sistemi, indicando come vengono percorse(trovare precedentemente un integrale primo. . . ).
x′ = e−x
y′ = −ye−x .
x′ = y − x2y − y3
y′ = x2 + y2 − 1 .
x′ = 2x2yy′ = x(y2 + 1) .
27. • Le figure riportano le orbite dei seguenti sistemi. Precisare come vengonopercorse.
? Si verifichi la correttezza delle orbite proposte, calcolando per ciascunsistema un integrale primo.
x′ = −y(x2 − y2)y′ = 4(x− 1)(x2 − y2) .
x′ = x− xyy′ = −y + y2 ,
x′ = 2x− x3 − xy2
y′ = 2y − y3 − x2y ,x′ = xy + y2
y′ = −x2 + xy .
x′ = x + yy′ = 4x4 + 4x3y ,
x′ = 2x2 + xyy′ = x2 − 2xy .
28. Determinare le orbite periodiche dei seguenti sistemix′ = −y(1− xy)y′ = x(1− xy) .
x′ = −2y(x2 − y)y′ = 8x(x2 − y) .
x′ = 2x2 + xyy′ = x2 − 2xy .
x′ = ey(x− y)y′ = ey(x + y) .
29. (?) Dato il sistema
x′ = y(x− y + α) y′ = −x(x− y + α)
(a) determinare per quali valori del parametro reale α esiste almeno unasoluzione periodica non costante;
38
(b) posto α = −2, si consideri la soluzione (x(t), y(t)) tale che limt→+∞ x(t) =1. Calcolare limt→−∞(x(t), y(t)).
(c) posto α = 1, determinare le eventuali soluzioni che ammettono lo stessolimite (x0, y0) ∈ R2 sia per t → +∞, sia per t → −∞, e determinareil punto (x0, y0);
30. Per ciascuna delle seguenti proprieta, produrre un esempio di un sistemalineare omogeneo 2× 2 che la soddisfi:–la matrice dei coefficienti non e diagonalizzabile;–il sistema ammette la soluzione x(t) = e−t, y(t) = −e−t;–la matrice dei coefficienti ha l’autovalore λ = 3 + 2i;–tutte le soluzioni sono limitate sia in passato, sia in futuro e esistono solu-zioni non costanti;–il sistema ha una soluzione non costante con sostegno contenuto nell’ellissedi equazione x2 + 4y2 = 1;–il sistema ha infiniti punti critici sulla retta di equazione x + 2y = 0 ealmeno una soluzione non costante,–il sistema ha tre punti critici non allineati;–il sistema e equivalente ad un’equazione del secondo ordine;–il sistema non e equivalente ad un’equazione del secondo ordine;–il sistema ha esattamente una soluzione limitata in futuro;–esistono soluzioni non costanti che tendono a zero per t → +∞ e altre chesono illimitate per t → +∞;– (?) il sistema ammette una soluzione non costante con sostegno contenutonella parabola di equazione x− y2 = 2.
31. Si consideri la soluzione (x(t), y(t)) del sistemax′ = −e−y − 1y′ = −2x ,
soddisfacente x(0) = 1, y(0) = 0. Mostrare che il suo sostegno, in un intornodi (1, 0), coincide con il grafico di una funzione y = φ(x). Calcolare φ(1),φ′(1), (?) φ′′(1).
32. Si consideri la soluzione (x(t), y(t)) del sistemax′ = sinx− 2yex
y′ = y(yex − cos x) ,
soddisfacente x(0) = 0, y(0) = 2. Mostrare che il suo sostegno, in unintotorno di (0, 2), coincide con il grafico di una funzione x = φ(y). Calcolareφ(2), φ′(2), (?) φ′′(2).
39
33. (?) Dato il sistema x′ = (1 + y2) log(2 + cos(πx))y′ = x2 + y2 ,
(a) si determini la soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale (1, 1);
(b) mostrare che se (x(t), y(t)) e una soluzione del sistema, con t in unintervallo I ⊂ R, allora si ha |x(t)− x(t′)| < 2, ∀t, t′ ∈ R.
34. Dato il sistema x′ = yy′ = −xn ,
dederminare gli interi n ≥ 0 per cui tutte le soluzioni sono periodiche.
35. Dati i seguenti sistemi, si studi la stabilita della soluzione nulla (siccome ilteorema di stabilita in prima approssimazione non e applicabile (perche?)conviene trovare un integrale primo, e usare la definizione di stabilita)
x′ = − sin(2y)y′ = 2x ,
x′ = − sin(2y)y′ = 4x3 ,
36. calcolare tutte le soluzioni dei sistemi seguenti:x′ = x + 2y + et
y′ = 2x + y + 1 ,
x′ = x + 2y + e3t
y′ = 2x + y − e3t ,x′ = x + 2y + 2e3t
y′ = 2x + y + 4e3t ,
x′ = −x + 4y + e3t
y′ = −x + 3y − 1 ,
40
