Esercizi di Algebra Lineare e Geometria - … · Esercizi di Algebra Lineare e Geometria Prof. Ernesto Dedò Dipartimento di Matematica Politecnico di Milano [email protected]

Esercizi di Algebra Lineare eGeometria

Prof. Ernesto DedòDipartimento di Matematica

Politecnico di [email protected]

II edizione,28 febbraio 2013

Queste dispense sono state composte conLATEX.Sono coperte da licenza Creative Com-mons http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/legalcodein particolare non ne è permesso l’usocommerciale

Indice

Prefazione ix

I. Introduzione 1

1. Introduzione 31.1. Esercizi di ripasso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II. Algebra lineare 13

2. Matrici 152.1. Definizione di matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Operazioni sulle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici . . . . . . . . . . . . . 192.4. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Spazi vettoriali 233.1. Sottospazi e basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Determinante e rango di una matrice. Matrice inversa 354.1. Determinante e rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. Teoria dei sistemi 455.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.1. Vero o Falso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1.2. A risposta multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ii Indice

6. Applicazioni lineari, prodotti scalari 576.1. Applicazioni lineari e matrice rappresentativa . . . . . . . . . . . 576.2. Prodotti scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3. Basi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


7. Autovalori ed autovettori 717.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


8. Diagonalizzazione, matrici ortogonali 838.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


9. Teorema di Cayley–Hamilton. Polinomio minimo 959.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98


III. Geometria piana 101

10. La retta nel piano 10310.1. Coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10310.2. La retta, esercizi introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10410.3. Esercizi vari sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11. La circonferenza nel piano 113

12. Le coniche 12112.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

13. Fasci di coniche 12913.0.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

14. Luoghi geometrici 137

15. Proiettività ed involuzioni 145

Indice iii

16. Polarità piana 151

17. Centro 15917.1. centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15917.2. Triangoli autopolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

IV. Geometria dello spazio 169

18. Generalità sulllo spazio 171

19. Rette e piani nello spazio 17519.1. Piani e rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17519.2. Esercizi vari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18119.3. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18519.4. Vero o Falso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18519.5. A risposta multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

20. Sfera e circonferenza nello spazio 18720.1. Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18720.2. Circonferenza nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19020.3. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

21. Cilindri, coni e proiezioni 19521.1. Cilindro e cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19521.2. Proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20021.3. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

22. Superfici rigate e di rotazione 20522.1. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

23. Quadriche 213

24. Luoghi nello spazio 219

25. Esercizi di ricapitolazione 22325.1. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22325.2. Quesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Elenco delle figure

1.1. Esercizio 1.39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

10.1. Esercizio 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11.1. I triangoli simili dell’Esercizio 11.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11511.2. Esercizio 11.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12112.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12212.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12312.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

13.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13213.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13313.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

14.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13714.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13814.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13914.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14014.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14114.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14314.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

15.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

16.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15316.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

17.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16017.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16217.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16617.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

18.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

vi Elenco delle figure

19.1. Distanza di due rette sghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

20.1. Circonferenza nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

21.1. Proiezione sul piano xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

22.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20922.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Elenco delle tabelle

1. Lettere greche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii2. Simboli usati nell’eserciziario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Prefazione

If you can’t solve a problem, you canalways look up the answer. But please,try first to solve it by yourself; thenyou’ll learn more and you’ll learnfaster.1

Donald E. Knuth2

The TEXbook (1983)

Questa raccolta di esercizi è soprattutto rivolta agli studenti del corso diGeometria ed algebra lineare. Le notazioni sono quelle presenti nelle dispense delcorso.

Di molti esercizi è dato un esempio di risoluzione, a volte in più modi, cheè bene confrontare tra loro. Di qualcuno è dato solo un suggerimento per larisoluzione, di quasi tutti il risultato finale.

Gli esercizi contrassegnati con un ∗ presentano maggiori difficoltà oppurecontengono spunti particolari o costituiscono veri e propri complementi, peresempio sono contrassegnati tutti quelli svolti in più di un modo.

In ogni capitolo, dopo i primi esercizi introduttivi, vi sono esercizi di difficoltàparagonabile a quella dei temi d’esame, molti addirittura sono stati proposticome temi d’esame negli anni passati.

In alcuni capitoli sono anche presenti questiti a risposta chiusa.L’ultimo capitolo contiene una raccolta di esercizi vari, in ordine sparso, tratti

spesso da temi d’esame, che dovrebbero servire a misurare la preparazionedell’allievo. Di questi esercizi o quesiti non è data nè la risposta nè una traccia disoluzione, in modo che l’allievo possa allenarsi a verificare i risultati ottenuti.

Consigli per la risoluzione degli esercizi3

Come si risolve un esercizio di Matematica? Ecco una domanda che mi è statarivolta centinaia di volte. Questa domanda ha una sola risposta Non esiste un

2Se non sai risolvere un problema, puoi sempre andare a vedere la risposta. Ma per favore,tenta prima di risolverlo da solo: imparerai di più e più alla svelta.

2Matematico ed informatico americano nato nel 1938, autore, tra l’altro di The TEXbook.3Da leggere con attenzione e non saltare a pie’ pari

x Prefazione

metodo, una ricetta, una regola generale per risolvere un esercizio di Matematica.Quasi ogni quesito, esercizio, problema può essere affrontato da vari punti divista e svolto, di conseguenza, in molti modi, anche significativamente diversi.Tuttavia qualche consiglio di carattere generale si può sempre dare.

Per imparare a risolvere un esercizio di Matematica, soprattutto un problemadi tipo nuovo, mai visto, occorre abituarsi prima ancora di procedere materialmentealla risoluzione a:

1. leggere attentamente l’enunciato dell’esercizio, se necessario anche piùvolte: molto spesso si possono evitare gravi ma banali errori se si legge e simedita sulla formulazione dell’esercizio;

2. cercare di cogliere a quali argomenti della teoria l’esercizio si riferisce e, perciascuno di essi, identificare le condizioni necessarie e sufficienti a risolverel’esercizio;

3. richiamare le nozioni che servono allo svolgimento dell’esercizio da quantosi è imparato, oppure andando sui libri a ripassarle

e dopo, ma solo dopo questo lavoro impostare la risoluzione.Spesso molti studenti, soprattutto i migliori, si rendono conto che uno stesso

esercizio si può risolvere in più modi e chiedono quale si deve usare. Io credoche la cosa migliore sia di usare quello con cui ci si sente più a proprio agio. Perpoter fare ciò occorre quindi provare a risolvere gli esercizi in più modi, alcunidei quali saranno più lunghi, altri più rapidi, altri più eleganti (non sempre gliultimi due coincidono).

Siccome in Matematica è fin troppo facile sbagliare e l’errore è sempre in ag-guato, è importantissimo abituarsi fin dal principio a verificare i risultati ottenuti: èsempre necessaria (ed in molti casi sufficiente) una verifica “a buon senso” dellaragionevolezza dei risultati ottenuti: per esempio se si chiede “. . . l’equazionedell’ellisse che. . . ” e si ottiene l’equazione di una parabola, significa, ovviamente,che c’è qualcosa di sbagliato4. In tal caso si può verificare passaggio per passag-gio tutta la risoluzione dell’esercizio alla ricerca dell’errore, ma spesso è più utilerifare l’esercizio in un modo diverso perché, verificando passaggio per passaggio,è facile rifare lo stesso errore nello stesso punto. Altre volte si possono usare irisultati ottenuti per un controllo, ad esempio se si deve risolvere un sistemaarrivati alla soluzione si può controllare sostituendo i valori trovati nel sistemadato5.

4L’esempio scelto è volutamente provocatorio, ma non è assurdo: capita spesso di trovareerrori analoghi nella correzione dei temi di esami, errori che con un minimo di attenzione sipossono evitare.

5ATTENZIONE è ovviamente inutile sostituire in un sistema ottenuto con alcuni passaggi daquello dato.

xi

In ogni caso la cosa più importante è quella di abituarsi sempre a fare una,almeno sommaria, verifica.

Sarò grato a chi mi segnalerà eventuali errori od omissioni.La tabella 1 a pagina xii fornisce un elenco di tutte le lettere greche, maiuscole

e minuscole, con il loro nome in italiano; mentre la tabella 2 a pagina xiii elenca isimboli maggiormente usati nel testo

xii Prefazione

Tabella 1.: Lettere grecheLettere greche

minuscole maiuscole nomeα A alfaβ B betaγ Γ gammaδ ∆ delta

ε o ε E epsilonζ Z zetaη H eta

θ o ϑ Θ thetaι I iotaκ K kappaλ Λ lambdaµ M miν N niξ Ξ csio O omicronπ Π pi

ρ o $ R roσ o ς Σ sigma

τ T tauυ Υ ipsilon

φ o ϕ Φ fiχ X chiψ Ψ psiω Ω omega

xiii

Tabella 2.: Simboli usati nell’eserciziario

N insieme dei numeri naturaliZ insieme dei numeri interiQ insieme dei numeri razionaliR insieme dei numeri realiC insieme dei numeri complessi∀ per ogni∃ esiste∃! esiste un unico∈ appartiene ad un insieme∪ unione di insiemi∩ intersezione di insiemi∑ somma∏ prodotto⊥ perpendicolare〈·, ·〉 prodotto scalare

∞ infinito℘ insieme delle parti< minore> maggiore≤ minore o uguale≥ maggiore o uguale⊂ sottoinsieme proprio⊆ sottoinsieme⊕ somma diretta di insiemiØ insieme vuoto

< ~v1, . . . ,~vn > spazio vettoriale generato dai vettori ~v1, . . . ,~vnPn(x) Insieme dei polinomi di grado n nella variabile x

Mn Insieme delle matrici quadrate di ordine nMm,n Insieme delle matrici di tipo m× n

Parte I.

Introduzione

1. Introduzione

1.1. Esercizi di ripasso

Questi esercizi introduttivi costituiscono un utile ripasso di argomenti fondamentaliappartenenti al programma della Scuola Superiore: alcuni sono praticamente imme-diati, altri necessitano di qualche riflessione, comunque vanno svolti tutti con moltacura, soprattutto nell’intento di utilizzarli come un “test” della propria preparazione.Volutamente non sono nè in ordine di difficoltà nè in ordine di argomento.

1.1 Enunciare un teorema vero il cui inverso sia falso.

1.2 Si considerino nel piano 8 rette delle quali 4 parallele tra loro; quanti sono,al massimo, i loro punti di intersezione?

1.3 Dire quali delle seguenti terne di numeri possono rappresentare le lunghez-ze dei lati di un triangolo non degenere:

a 3; 4; 5 b 2; 8; 8 c 1; 5; 7 d 2; 10; 12 e 3; 10; 15

1.4 Perché la retta r sia perpendicolare al piano α, a quante rette di α occorre ebasta che sia perpendicolare? Tali rette possono essere in posizione genericao devono sottostare a qualche vincolo?

1.5 Per quanti valori del parametro a le equazioni

x3 + ax + 2 = 0 e x3 + x + 2a = 0

hanno almeno una radice in comune?

1.6 Enunciare un teorema falso il cui inverso sia vero.

1.7 Un quadrato di lato 20cm ha un vertice nel centro di un altro quadrato dilato 10cm; calcolare l’area della regione comune.

1.8 Enunciare un inverso del Teorema di Pitagora.

1.9 Quale delle seguenti proposizioni è la negazione della proposizione ”Ogninumero è pari”:

a Tutti i numeri sono dispari b esiste un numero dispari c esiste un numeromultiplo di 3

4 Introduzione

1.10 Si considerino nello spazio un piano α ed un punto P tale che P 6∈ α. Perciascuno dei seguenti quesiti scegliere una tra le risposte: nessuno, uno eduno solo, infiniti.

i) Quante sono le rette passanti per P e parallele ad α?

ii) Quante sono le rette passanti per P e perpendicolari ad α?

iii) Quanti sono i piani passanti per P e paralleli ad α?

iv) Quanti sono i piani passanti per P e perpendicolari ad α?

1.11 Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false e, perciascuna, dire quale delle rimanenti ne costituisce la negazione:

a Ogni quadrato è un parallelogrammo b Ogni parallelogrammo è un quadratoc Esiste un quadrato che è un parallelogrammo d Esiste un parallelogrammo che è

un quadrato e Nessun quadrato è un parallelogrammo f Nessun parallelogrammoè un quadrato g Esiste un parallelogrammo che non è un quadrato h Esiste unquadrato che non è un parallelogrammo

1.12 L’espressione 2−x(

2 + 2x2+ 2−3x

)è equivalente a:

a 2−x + 2−x3+ 23x2

b 2−x+1 + 2−x+x2+ 2−4x c 2

1x + 2x + 2−3 d 4−x + 4−x3

+

43x2

1.13 Se a e b sono numeri reali positivi tali che ab = ba e b = 9a, il valore di a è:a 9 b 1

9 c 9√

9 d 3√

9 e 4√

3

1.14 Siano a e b due numeri interi positivi tali che il loro prodotto sia multiplodi 10. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?

a a e b sono entrambi multipli di 10 b a è multiplo di 10 oppure b è multiplo di 10c a è un numero pari oppure b è un numero pari d a è pari e b è multiplo di 5 e a

e b sono entrambi pari

.

1.15 Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa AC; siano C1 e C2 i semicerchiaventi per diametri i cateti e sia C3 quello avente per diametro AC. Qualedelle seguenti affermazioni è sempre vera?

a L’area di C3 è minore della somma delle aree di C1 e C2 b L’area di C3 è ugualealla somma delle aree di C1 e C2 c L’area di C3 è maggiore della somma delle aree diC1 e C2

1.16 Sia x un numero reale; indichiamo con bxc il più grande intero relativominore o uguale a x. Quale delle seguenti affermazioni è vera qualunquesiano i numeri reali x e y?

a bxc = −bxc b bx2c = bxc2 c b2xc = 2 · bxc d bx + 1c = bxc+ 1 e sex < y; allora bxc < byc

1.1 Esercizi di ripasso 5

1.17 Si considerino i numeri interi multipli di 6.a quelli compresi tra 1 e 100 sono meno di quelli compresi tra 12001 e 12100 b

quelli compresi tra 1 e 100 sono tanti quanti quelli compresi tra 12001 e 12100 c quellicompresi tra 1 e 100 sono più di quelli compresi tra 12001 e 12100 d quelli compresi tra1 e 100 sono la metà di quelli compresi tra 12001 e 12100 e quelli compresi tra 1 e 100sono il doppio di quelli compresi tra 12001 e 12100

1.18 Siano m, n e p tre numeri interi positivi; se m > n > p si può dedurre che:a m− p ≥ 2 b p− m > 2 c m > 1 e n > 1 e p > 1 d m− n > n− p e

m + p > 4

1.19 Siano x ed y due numeri reali; se x > y si può dedurre che:a 2x > y b x > 2y c x + y > 0 d y− x < 0 e x > y + 1

1.20 Quante terne ordinate di numeri reali non nulli hanno la proprietà checiascuno di essi è il prodotto degli altri due?

a 1 b 2 c 3 d 4 e 5

1.21 Siano S la somma dei numeri interi da 1 a 100 e Σ la somma degli interipari da 2 a 200. Allora:

a S > Σ b Σ = 2100S c S = 2Σ d Σ = 2S e S = Σ

1.22 Affinché un poligono di n lati sia regolare. . .a è necessario che sia circoscrivibile ad una circonferenza b è sufficiente che sia

circoscrivibile ad una circonferenza c è necessario e sufficiente che sia circoscrivibilead una circonferenza d non è nè necessario nè sufficiente che sia circoscrivibile ad unacirconferenza

1.23 Un trapezio ABCD circoscritto ad una circonferenza di raggio 5cm ha l’areadi 150cm2. Allora la somma dei lati obliqui AD e BC è:

a 30cm solo se il trapezio è rettangolo b sempre 30cm c 30cm solo se il trapezioè isoscele d è sempre diversa da 30cm

1.24 Si considerino le seguenti affermazioni riguardanti due numeri reali a e b

α) Se ab = 0 allora a = 0 e b = 0

β) Se ab = 0 allora o a = 0 oppure b = 0

γ) Se ab = 1 allora o a = 1 oppure b = 1

δ) Se ab = 1 allora a = 1 e b = 1Dire quali sono vere:

a Solo la β b sia la α che la β c solo la γ d sia la γ che la δ e sia la α che la δ

1.25 Un esagono regolare ha lo stesso perimetro di un triangolo equilatero; qualè il rapporto tra l’area dell’esagono e quella del triangolo?

a 1 b 43 c 3

2 d√

3 e 2

6 Introduzione

1.26 Siano a, b e c tre numeri interi con massimo comun divisore uguale a 1.Allora:

a due di essi sono primi fra loro b il prodotto dei tre numeri è il loro minimocomune multiplo c fra i tre numeri non ce ne sono due pari d almeno uno dei trenumeri è multiplo di 3 e nessuna delle precedenti risposte è vera

1.27 P è un punto interno al triangolo acutangolo ABC tale che i tre triangoliAPB, APC e BPC hanno la stessa area. Questo accade sicuramente se Pcoincide con:

a il baricentro b l’ortocentro c l’incentro d il circocentro e nessuna delleprecedenti risposte è vera

1.28 Siano m ed n due numeri interi positivi qualsiasi, e p e q così definiti:p = MCD(m, n) e q = MCD(2m, 4n); quale delle seguenti affermazioni èvera?

a È sempre p = q b È sempre q = 2p c È sempre q = 4p d se m è disparie allora è q = 2p

1.29 Risolvere l’equazione x√

x =√

xx.

1.30 Determinare k in modo che l’equazione

3kx2 + (2k + 9)x + k− 1 = 0

ammetta come soluzioni due numeri che siano la tangente e la cotangentedi uno stesso angolo.

1.31 Costruire una circonferenza passante per due punti A e B e tangente aduna retta non passante per alcun punto interno al segmento AB.

1.32 Risolvere l’equazione xx =(√

x)x+2 .

1.33 Costruire un triangolo ABC conoscendo il lato AB e le due altezze hBH ehCK.

1.34 Le lunghezze delle diagonali d1 e d2 e di un lato a di un parallelogrammoABCD sono espressi rispettivamente dalle formule: d1 = 4uv, d2 = 2(u2 −v2) ed a = u2 + v2. Dimostrare che ABCD è un rombo.

1.35 Dimostrare che ogni numero naturale dispari è la somma di due naturaliconsecutivi.

1.36 Dimostrare che se si aumenta di 1 il prodotto di quattro numeri naturaliconsecutivi si ottiene un quadrato.

1.1 Esercizi di ripasso 7

1.37 Se in un triangolo denotiamo i lati con a, b e c e gli angoli ad essi relativa-mente opposti con α, β, γ, verificare che vale l’identità:

a(sin β− sin γ) + b(sin γ− sin α) + c(sin α− sin β) = 0

1.38 Se aggiungiamo 1 al numeratore ed al denominatore di una frazione positi-va minore di 1 otteniamo

a Una frazione equivalente alla precedente b Una frazione minore della precedentec Una frazione maggiore della precedente d Non si può dire in generale

Figura 1.1.: Esercizio 1.39

1.39 Dato il quadrato Q ≡ ABCD si consideri il quadrato che ha come lato unadiagonale di Q (v. figura 1.1). Qual è il rapporto delle aree?

1.40 Esistono due triangoli non congruenti aventi due lati ed un angolo rispetti-vamente congruenti? Se no dimostrarlo, se si esibire un esempio.

1.41 Se h e k sono due numeri interi positivi legati dalla relazione 3k = 2h, allorapossiamo affermare che:

a La loro somma è un multiplo di 5 b La loro somma è un numero dispari c Illoro prodotto è pari e non è mai multiplo di 4 d Uno dei due è dispari e Nessunodei precedenti asserti è necessariamente verificato

1.42 Mostrare che l’equazione

5√

x +√

x = 3√

x

non ammette soluzioni positive.

8 Introduzione

1.43 Se x e y sono due numeri reali che assumono tutti i valori nell’intervallo(−2, 3) escluso lo zero, dire quali sono i valori massimi e minimi chepossono assumere le espressioni x + y, x− y, x · y,

xy

.

1.44 Senza usare strumenti di calcolo automatico, confrontare i numeri 3√

81 e√27.

1.45 Discutere e risolvere l’equazione

x1− a2 −

xa− 1

+x

a + 1= 1.

1.46 Sapendo che è log10 7 = 0.845 . . . determinare il numero delle cifre di 7100

1.47 Quanti sono gli assi di simmetria di un triangolo equilatero?

1.2. Sistemi

In questo paragrafo vengono proposti alcuni sistemi da risolvere con metodi elementari,cioè quelli imparati nelle Scuole Superiori. È importante provare a risolverli con metodidiversi e verificare sempre i risultati trovati.

1.48 x = 7

3x + 5y = 1

x + y = 5x− y = 9

[ x = 7, y = −4; x = 7, y = −2]

1.49 x + y = 0x− y = 4

x− y = 1

x + 2y = 3

[ x = 2, y = −2; x =53

, y =23

]

1.50 4y− x = y− 4x

x + y− 1 = 1− x− y

[ non ha soluzioni]

1.2 Sistemi 9

1.51 x + y(x + 1) = (x− 1)(y− 1)

3x + 2y =13

[[−2

3,

76

]]

1.52 x + y

11+

y + 16

= 2

x2=

2y− 13

[[6, 5]]

1.53 12

x +23

y− 4 = 4x− 32

y + 1

(x− 1)2 + (y + 1)2 = (x + 1)2 + (y− 1)2

[[−15

4;−15

4

]]

Risolvere i seguenti sistemi letterali, verificare le soluzioni ed eventualmen-te discuterle1:

1.54 x + y = ax− y = b

ax + by = ac

x = by

[[

a + b2

;a− b

2

];[

aca + 1

;ac

b(a + 1)

]con b 6= 0 e a 6= −1. . . ]

1.55 ax + by = abbx + ay = ab

ax− by = b2 − 2a2

ax + 2by = a2 − 2b2

[[

aba + b

;ab

a + b

]con a 6= ±b. . . ;

[−a;

a2 − b2

b

]con a 6= 0 e b 6= 0. . . ]

1.56 nx

m2 − n2 +py

n2 −m2 =1

m + nnx + py = m + n

1Discutere un sistema lineare dipendente da uno o più parametri significa trovare per qualivalori del o dei parametri il sistema ammette soluzioni e per ciascuno di essi quante neammette.

10 Introduzione

[[

mn

;np

]]

Risolvere i seguenti sistemi di più di due equazioni in più di due incognite

1.57 x + y = 8y + z = 28z + x = 14

3x− 5y = 14x + 3z = 23y− 2z = 7

[[−3, 11, 17] ; [2, 1,−2]]

1.58 x− 1 = 3z1− z = y

2(1− 4x)− 3z = 9y + 3

x + y + z = 14

x + z = 6y3x− 4y− 4z = 0

[ [−2, 2,−1] [8, 2, 4]]

1.59* Determinare i valori di a in modo che risultino impossibili i sistemix + y = 1

2x + ay = 3

3ax− y = 3

x + 2y = 6

[a = 2; a = − 16 ]

1.60 Consideriamo gli stessi sistemi dell’esercizio precedente; determinare seesistono valori del parametro a per cui essi ammettono infinite soluzioni.

[ No, No]

1.61 Trovare due soluzioni distinte di ciascuno dei seguenti sistemi (che hannociascuno infinite soluzioni)

x + y + z = 1x + 2y + 3z = 4

12

x− y− 2z =23

x +12

y− 13

z = 1

[Ad esempio x = −1, y = 1, z = 1; x = −2, y = 3, z = 0 e x = 0, y =43 , z = −1; x = 16

15 , y = − 215 , z = 0 . . . ]

1.62 La seguente uguaglianza di rapporti dà luogo ad un certo numero diequazioni indipendenti, quante? quali?

3x− y3

=z + 2y

4=

3x− z

.

1.3 Calcolo combinatorio 11

1.63 Indicare quale o quali dei seguenti sistemi può ammettere soluzione nelcampo dei numeri reali. (Si richiede di escludere quelli impossibili senzarisolvere i sistemi)

a

x + y = 1

x2 + y2 = −2b

x + y = 2

3x− y = 2

c

2x + 2y = 5

x + y = 3d

x + y = 1x + y = 2

e

x + y = 5x− y = 5

1.3. Calcolo combinatorio

Alcuni semplici esercizi di calcolo combinatorio per risolvere i quali basta poco più delladefinizione delle nozioni viste

1.64 Scrivere tutte le possibili permutazioni dei seguenti insiemi:

A = 1; B = 5, 6; C = a, b, c

1.65 Calcolare

i) 5! + 6!

ii)52!50!

[ i) 5! = 2 · 3 · 4 · 5 = 120; 6! = 5! · 6 = 120 · 6 = 720 quindi 5! + 6! = 840

ii)52!50!

=52 · 51 · 50!

50!= 52 · 51 = 2652 ]

1.66 Trovare il numero delle disposizioni di 10 elementi a 4 a 4.

1.67 Trovare il numero delle disposizioni di n + 4 elementi presi a n− 2 allavolta.

[ Essendo Dnk = n(n− 1) · · · (n− k + 1) si ha:

(n + 4)(n + 3) · · · [n + 4− (n− 2) + 1] = (n− 4)(n− 3) · · · 8 · 7 ]

1.68 Risolvere l’equazione Dn,5 = 30Dn−2,4

12 Introduzione

[ Ricordando l’espressione di Dnk si ha:

n(n− 1)(n− 2)(n− 3)(n− 4) == 30(n− 2)(n− 3)(n− 4)(n− 5)

ed osservando che dev’essere n ≥ 6 si ha, dividendo ambo i membri per(n − 2)(n − 3)(n − 4) che è: n(n − 1) = 30(n − 5) da cui le due soluzionin1 = 6 e n2 = 25 ]

1.69 Calcolare C15,13 e C6,4 + C5,0 [ 105; 16]

1.70 Risolvere il sistema Cx,y = Cx,y+2

Cx,2 = 66

[ Risolviamo la seconda equazione: si ha x(x−1)2 = 66 da cui le due soluzioni

x1 = −11 e x2 = 12. La prima, essendo x > 2 è da scartare, sostituendola seconda nella prima equazione si ha C12,y = C12,y+2 ma dalle propriete. icoefficienti binomiali sappiamo anche che Cm,n = Cm,m−n qundi C12,y =

C12,12−y da cui 12− y = y + 2 e quindi y = 5. ]

1.71 Risolvere le seguenti equazioni:

Dn−2,3 = 4Dn−3,2 20Dn−2,3 = Dn,5 Dn,4 = 15Dn−2,3 [6; 5; 10; 6]

1.72 Verificare le seguenti uguaglianze:

i) Cn,6 =Dn,n−6

Pn−6C15,6 = C15,9 C10,5 + C10,6 = C11,6

1.73 Il numero delle combinazioni di n elementi a 3 a 3 è un quinto del numerodelle combinazioni di n + 2 elementi a 4 a 4. Trovare n.

[n = 14 oppure n = 3]

1.74 Qual è il massimo numero n di elementi di un insieme I tale che il numerodelle permutazioni di I sia inferiore a 100? e a 200?

1.75 Risolvere i seguenti sistemi di equazioni:

a)

Cn,m = Cn,m+2

Cn,2 = 153b)

Cm,n = Cm,n+1

Dm,2 = 20.

[a) m = 8, n = 18 b) m = 5 n = 2]

Parte II.

Algebra lineare

2. Matrici

2.1. Definizione di matrice

2.1 Data la matrice A =

1 3 22 3 13 1 22 1 3

, determinare gli elementi a31, a13

[a31 = 3, a13 = 2]

2.2 Scrivere la trasposta di ciascuna delle seguenti matrici:

A =

−103

; B =[3 0 −4

]; C =

[1 2 33 2 1

];

D =

1 23 45 60 0

; E =

1 0 10 1 22 3 1

; F =

1 2 32 5 73 7 2005

.

2.3 Calcolare la traccia delle matrici[1 30 −1

] 1 0 10 −1 33 2 1

a b cb a cc a b

[0, 1, 2a + b]

2.4 Quante sono le matrici del terzo ordine che posso formare usando solo itre elementi a, b, e c?

2.2. Operazioni sulle matrici

2.5 Se A e B sono, rispettivamente, le matrici sottoelencate, calcolare, quandoè posssibile, la matrice C = A + B

16 Matrici

i) A =

[1 23 4

]B =

[−2 13 5

][[−1 3

6 9

]]

ii) A =

[1 2 33 4 5

]B =

[3 2 00 1 3

][[

4 4 33 5 8

]]

iii) A =

[1 23 4

]B =

[3 2 00 1 3

][Non sono dello stesso tipo]

2.6 Se A e B sono, rispettivamente, le matrici sottoelencate, calcolare, quandoè posssibile, la matrice C = A · B

i) A =

[1 23 4

]B =

[−2 13 5

][[

4 116 23

]]

ii) A =

[1 2 33 4 5

]B =

[3 2 00 1 3

][A non è conformabile con B]

iii) A =

[1 23 4

]B =

[3 2 00 1 3

][[

3 4 69 10 12

]]

2.7 Sia A una matrice quadrata di ordine n; verificare che risulta A2 = −A see solo se è (I + A)2 = A.

2.8 Siano A una matrice quadrata di ordine m emisimmetrica e P una matricedi tipo (m, n). Verificare che la matrice B = PT AP è emisimmetrica.

2.9 Date le matrici A =[1 3 2

]e B =

01−3

, determinare AB e BA.

[[−3]

;

0 0 01 3 2−3 −9 −6

]

.

2.10 Si considerino le matrici A =

[h h− 1k k− 1

]e B =

[h− 1 h− 1

k k− 2

]determinare

i valori di k e h in modo che sia verificata la relazione A · B = 0.[h = k = 1]

2.11 Si consideri la matrice A =

[a bc 1− a

]. Determinare gli eventuali valori dei

parametri in modo che A sia idempotente (cioè sia A2 = A). [bc = a− a2]

2.12 Siano date le matrici

A =

[0 k 1k −2 0

]e B =

[k −1 0k 0 2

].

2.2 Operazioni sulle matrici 17

Verificare che non esiste alcun valore di k per cui sia BAT = I.

[ Se poniamo C = BAT l’elemento c21è:

c21 = b21a11 + b22a21 + b23a31 = k · 0 + 0 · k + 2 · 1 = 2 6= 0

e quindi C non può essere la matrice unità. ]


[k 02 k + 1

], determinare k in modo che la matrice

B = A2 + A− 2I sia simmetrica. [k = −1]

2.14 Verificare che per qualunque valore del parametro k la matrice A =

[2 04 3

]soddisfa la disuguaglianza

A2 + kA + I 6= 0

2.15 Determinare per quali valori di a, b, c e d sono non nulle e permutabili le

matrici A =

[a 0b a

]e B =

[c d0 c

]. [b · d = 0 e a 6= 0 oppure c 6= 0]

2.16 Verificare che ogni matrice simmetrica permutabile con la matrice A =[1 02 3

]è permutabile con qualunque matrice di ordine 2.

2.17 Determinare tutte le matrici quadrate di ordine 2 triangolari inferiori non

simmetriche per cui si abbia A2 + A = 0 [[

0 0b −2

],[−2 0

b 0

]con b 6= 0]

2.18 Determinare tutte le matrici permutabili con A =

[−1 1−1 2

].

[ Le matrici cercate devono, ovviamente, essere quadrate e di ordine 2: sia

X =

[a bc d

]si ha AX =

[c− a d− b

2c− a 2c− b

]e XA =

[−a− b a + 2b−c− d c + 2d

]ugua-

gliando gli elementi di ugual posto si ottiene il sistema

c− a = −a− bd− b = a + 2b

2c− a = −c− d2d− b = c + 2d

che ammette la soluzione c = −b e d = 3b + a da qui le matrici[

a b−b a + 3b

].

]

18 Matrici

2.19 Trovare tutte le matrici quadrate X di ordine 2 tali che

X2 = I =[

1 00 1

][[±1 0k ±1

] [±1 k0 ±1

] [±√

1− hk hk ±

√1− hk

]]

2.20 Si considerino le matrici A =

[1 10 h

]e B =

[−1 2

0 1

]. Verificare che le

relazioni (AB)2 = A2B2 e AB 6= BA sono incompatibili per qualsiasivalore di h.

2.21 Determinare due matrici non nulle A e B di ordine 2 tali che sia BA = 2AB.[Ad esempio A =

[0 x0 y

]e B =

[a b0 0

]con ax + by = 0.]

2.22 Sia A =

[1 02 1

]. Dimostrare, ad esempio per induzione, che An =

[1 0

2n 1

].

2.23 Dimostrare che non esiste nessuna matrice per cui valgano simultaneamen-te le relazioni X2 + 2X− 2I = 0 e X2 − X− 6I = 0 cioè che è impossibile ilsistema matriciale

X2 + 2X− 2I = 0

X2 − X− 6I = 0.

2.24 Siano A(2, 3), B(3, 4) C(4, 1), esiste la matrice D = A · B · C? se si di chetipo è? [ Si, di tipo (2, 1)]

2.25 Siano A(2, 3) B(3, 3) e C(3, 2). La matrice ABC è quadrata? se sì di cheordine? [Sì, di ordine 2]

2.26 Scrivere tre matrici A , B e C tali che non esista ABC ma esistano AB edAC.

2.27 Scrivere due matrici A e B di tipi rispettivamente (2, 3) e (3, 2) tali cheAB = 0 e BA 6= 0

2.28 Sia A =

1 0 10 1 01 1 1

; calcolare A3. [A3 =

4 3 40 1 04 3 4

]

2.29 Facendo riferimento alla matrice dell’esercizio 2.28 ed al risultato trovato,

calcolare A5 [A5 =

16 15 160 1 04 3 4

]

2.3 Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici 19

2.30 Date le matrici A =

[1 0a b

]e B =

[2 x3 y

], calcolare A2 · B2 e (AB)2 e

osservare i risultati.

2.31 Risolvere, quando è possibile, i seguenti sistemi matriciali:X− 2Y = IX + Y = 2Y

X2 + X− 2I = 0

X2 − 3X + 2I = 0X− 2I = XT

X + 2XT = 0

[X = 53 I, Y = 1

3 I; X = I; impossibile]

2.32 Determinare per quali valori di k il sistema matricialeX2 = kX

X−Y = 0(X− I)Y + YX = 0

ammette soluzioni non nulle. [k = 12 ]

2.33 Risolvere il sistema matriciale

X = −YT

2X + 2Y = 0[X = −Y con X ed Y emisimmetriche]

2.3. Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici

2.34 Ripartire le seguenti matrici in quattro blocchi conformabili ed eseguire ilprodotto a blocchi

A =

1 2 10 0 20 0 3

B =

0 a b0 c d1 e f


1 2 33 2 12 1 3

. Trovare una matrice equivalente

alla A che sia triangolare superiore. [

1 2 30 −4 −80 0 3

]

20 Matrici

2.36 Sia A la matrice dell’esercizio 2.35. Trovare una matrice equivalente ad A

che sia triangolare bassa. [

− 125 0 073

53 0

2 1 3

]

2.37 Se A è ancora la matrice dell’esercizio 2.35, esiste una matrice diagonaleequivalente ad A?

2.38 Trovare il rango delle seguenti matrici:

A =

1 2 02 1 13 3 1

B =

1 2 31 2 60 0 33 0 1

C =

0 0 0 11 1 1 01 1 1 1

[r(A) = 3, r(B) = 3, r(C) = 2]

2.39 Sia

A =

0 0 1 00 0 0 10 0 1 00 0 0 1

.

Se B è una matrice 4× 4 divisa in blocchi B =

[B1B2

]dove B1 e B2 sono

matrici 2× 4, mostrare che AB =

[B2B2

]con una opportuna partizione in

blocchi di A. Verificare il risultato con B =

2 3 −2 −31 −1 1 −1−2 1 2 −11 2 −1 −2

2.40 Ripartire le seguenti matrici in quattro blocchi conformabili ed eseguire il

prodotto a blocchi

A =

1 2 10 0 20 0 3

B =

0 a b0 c d1 e f

2.41* Se A è una matrice m× n e B è una matrice p× q chiamiamo somma diretta

di A e B la matrice a blocchi, di tipo (n + p)× (m + q) A⊕ B =

[A 00 B

]. In

2.4 Quesiti 21

generale A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ An =

A1 0 . . . 00 A2 . . . 0· · · · · · · · · · · ·0 0 . . . An

. Siano ora

A1 =

[1 2−1 1

]A2 =

[0 11 0

]

B1 =

[3 −11 −2

]B2 =

[1 23 4

]Mostrare che:

i) (A1 ⊕ A2) + (B1 ⊕ B2) = (A1 + B1)⊕ (A2 + B2)

ii) (A1 ⊕ A2) · (B1 ⊕ B2) = (A1B1)⊕ (A2B2)

2.42 Tenendo conto della definizione data nell’esercizio 2.41, se Ai e Bi sonomatrici quadrate di ordine ni (i = 1, . . . , m), mostrare che

(A1 ⊕ · · · ⊕ Am)(B1 ⊕ · · · ⊕ Bm) = (A1B1 ⊕ · · · ⊕ AmBm)

2.43 Se Ai è quadrata di ordine ni (i = 1, . . . , l) e se A = A1 ⊕ · · · ⊕ Al mostrareche

m

∑k=1

ck Ak =

(m

∑k=1

ck Ak1

)⊕ · · · ⊕

(m

∑k=1

ck Akl

)2.44* Sia z = a + ib un numero complesso. Definiamo la matrice reale

M(z) =[

a −bb a

].

Verificare che per ogni coppia di numeri complessi z e w si ha

M(z + w) = M(z) + M(w); M(zw) = M(z)M(w).

2.4. Quesiti

Q.2.1 AC = In, AB = 0n =⇒ B = 0. 2 vero 2 falso

Q.2.2 Sia A emisimmetrica, allora A2 è simmetrica. 2 vero 2 falso

Q.2.3 Siano A e B due matrici linearmente indipendenti, allora A, I ed A + Bsono linearmente indipendenti. 2 vero 2 falso

3. Spazi vettoriali

La scrittura < ~v1, . . . ,~vn > indica lo spazio vettoriale generato dai vettori ~v1, . . . ,~vncioè l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di questi vettori. Indicheremo daqui in avanti con Pn(x) lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado nonmaggiore di n nella variabile x, e con Mm,n(K) quello delle matrici di tipo n×m sulcampo K; dove non esplicitamente precisato si sottintende K ≡ R.

3.1. Sottospazi e basi

3.1 Fornire esempi di leggi di composizione in insiemi numerici che noncorrispondano ad operazioni dell’aritmetica elementare.

3.2 Fornire esempi di insiemi non chiusi rispetto ad opportune leggi di compo-sizione.

3.3 Scrivere due differenti combinazioni lineari dei vettori

~v =[1 0 −1

]~w =

[−1 0 2

]~u =

[0 2 1

]~z =

[0 0 3

]3.4 Scrivere 3 vettori di R4 linearmente indipendenti

3.5 Scrivere tre vettori di R4 linearmente dipendenti ma non proporzionali adue a due.

3.6 Riferendosi ai vettori dell’esercizio 3.3 dire:

i) se sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti[4 vettori in R3 sono sempre dipendenti]

ii) dire se ~v, ~w e ~u sono linearmente indipendenti [Si]

iii) dire se ~v, ~w e~z sono linearmente dipendenti o indipendenti.

[Da a[1, 0,−1] + b[−1, 0, 2] + c[0, 0, 3] = 0 si ottiene a = b = −3c e quindi~v, ~w e~z sono linearmente dipendenti perché esiste una loro combinazionelineare, ad esempio 3~v + 3~w−~z, che coincide con il vettore nullo senzache siano nulli tutti i coefficienti.]

24 Spazi vettoriali

3.7 Dati i seguenti 4 vettori di R3 : ~e1 = [1, 0, 0], ~e2 = [0, 1, 0], ~u = [3, 4, 2] e~v = [2, 5, 0], quale bisogna eliminare tra ~u e ~v in modo che i rimanenti 3formino una base. [~v = 2~e1 + 5~e2. . . ]

3.8 Trovare una base ~e1, ~e2 di R2 tale che

[1, 0] = ~e1 + ~e2

[0, 1] = ~e1 − ~e2.

[~e1 =[

12 , 1

2

], ~e2 =

[12 ,− 1

2

]]

3.9 Sia V = R2+ l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali strettamente

positivi. Definiamo in V le seguenti operazioni come somma e prodottoper uno scalare:

[a, b]⊕ [c, d] = [ac, bd] e α⊗ [a, b] = [aα, bα]

Verificare che:

i) Rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare Vnon è uno spazio vettoriale.

ii) Rispetto a queste operazioni, V è uno spazio vettoriale su R e deter-minare il vettore nullo e l’opposto del vettore [a, b].

[. . . 0 = [1, 1],−[a, b] =[

1a , 1

b

]; . . . ]

3.10 Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e rispettivamente~v e ~w due vettoridi V e λ e µ due scalari di K; dimostrare che

i) λ~v = λ~w, λ 6= 0 =⇒ ~v = ~w

ii) λ~v = µ~v,~v 6= 0 =⇒ λ = µ

3.11* Verificare che l’insieme

V ≡[

a 2b3b a

]: a, b ∈ R

è un sottospazio dello spazio vettoriale M2 delle matrici quadrate diordine 2.

[ Dobbiamo controllare che l’operazione di combinazione lineare sia interna

ad V . Consideriamo due matrici generiche di V , ad esempio A1 =

[a1 2b1

3b1 a1

]

3.1 Sottospazi e basi 25

ed A2 =

[a2 2b2

3b2 a2

]e due scalari λ1 e λ2; una loro combinazione lineare è:

λ1 A1 + λ2 A2 =

=

[λ1a1 + λ2a2 λ1 · 2b2 + λ2 · 2b2

λ1 · 3b1 + λ2 · 3b2 λ1a1 + λ2a

]=

=

[λ1a1 + λ2a2 2(λ1b1 + λ2b2)

3(λ1b1 + λ2b2) λ1a1 + λ2a2

]=

=

[α 2β

3β α

]∈ V

avendo posto λ1a1 + λ2a2 = α e λ1b1 + λ2b2 = β. ]

3.12 Stabilire se l’insieme R2 delle coppie ordinate di numeri reali è uno spaziovettoriale rispetto alle operazioni

i) [x, y] + [x′, y′] = [x + x′, y + y′] e α[x, y] = [1, αy]. [No]

ii) [x, y] + [x′, y′] = [xy′.yx′] e α[x, y] = [xα, yα] [Sì]

3.13 Stabilire se l’insieme R3 delle terne ordinate di numeri reali è uno spaziovettoriale rispetto alle operazioni

i) [x, y, z] + [x′, y′, z′] = [x′, y′, z + z′] e α[x, y, z] = [αx, αy, αz].

ii) [x, y, z] + [x′, y′, z′] = [x′ + y′, y′, z + z′] e α[x, y, z] = [αx, y, z]

3.14 Sia R il campo reale e V l’insieme di tutte le funzioni che assumonovalore positivo sull’intervallo [a, b]. Definiamo la somma di due funzio-ni e la moltiplicazione di una funzione per uno scalare con le seguentiuguaglianze:

f ⊕ g = f g; α f = f α f , g ∈ V α ∈ R.

Verificare se, con le operazioni indicate, V è uno spazio vettoriale su R.

3.15* Verificare che le progressioni aritmetiche reali, rispetto alla somma terminea termine ed al prodotto per uno scalare definiti in modo naturale, formanouno spazio vettoriale su R.

3.16* Verificare che l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo dip equazioni in q incognite, rispetto alle usuali operazioni forma uno spaziovettoriale sul campo a cui appartengono i coefficienti.

3.17 Sia W l’insieme ~v1,~v2,~v3,~v4 dove

~v1 = [1, 2, 1] ~v2 = [2, 1, 2]~v3 = [0, 0, 1] ~v4 = [1, 0, 0]

26 Spazi vettoriali

i) verificare che sono linearmente dipendenti e per ciascuno di essitrovare la combinazione lineare degli altri tre da cui è formato.

[ Ad esempio v1 = 2v2 − 3v3 − 3v4]

ii) elencare tutti i sottoinsiemi di W linearmente indipendenti.

3.18 Delle seguenti terne di vettori di R3, dire quali sono linearmente dipendentie quali linearmente indipendenti.

i) ~v1 = [2, 1, 0], ~v2 = [0,−1, 1] e ~v3 = [1, 1, 0]

ii) ~v1 = [1, 1, 1], ~v2 = [−2,−2,−2] e ~v3 = [0, 1, 1]

iii) ~v1 = [0, 1, 0], ~v2 = [1,−1, 2] e ~v3 = [2, 1, 3]

[ Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna ii).]

3.19 Trovare due sottoinsiemi di R2, uno dei quali sia chiuso rispetto alla sommama non rispetto al prodotto per uno scalare e l’altro, viceversa, sia chiusorispetto al prodotto per uno scalare ma non rispetto alla somma.

[Ad esempio [a, b] con a e b interi pari su R è chiuso rispetto alla somma manon rispetto al prodotto per uno scalare. . . ]

3.20 Verificare che l’insieme delle matrici quadrate di ordine fissato è uno spaziovettoriale rispetto alle usuali operazioni di somma tra matrici e di prodottodi una matrice per uno scalare.

3.21 Mostrare che l’intersezione insiemistica V = W ∩U di due spazi vettorialiè uno spazio vettoriale.

3.22 Verificare, su esempi, che invece l’unione V = W ∪U non è, in generale,uno spazio vettoriale.

3.23 Scrivere 3 basi per R3.

3.24 Trovare 2 basi per lo spazio vettoriale M2 delle matrici quadrate di ordine 2.

3.25 Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono unsottospazio di M2 e determinarne una base.

3.26 Dei seguenti sottoinsiemi di R3, stabilire quali sono sottospazi rispetto alleusuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare:

i) S1 = [x, y, z]|x + 2y + 2z = 0;ii) S2 = [x, y, z]|x = y, z = 2;


iii) S3 = [x, y, z]|x = 2y, z = 0;iv) S4 = [x, y, z]|x2 + y2 + z2 = 1;v) S5 = [x, y, z]|x2 + y = 0;

vi) S6 =

[x, y, z]|x

y= 1, y 6= 0

.

[i); iii); v) e vi).]

3.27 Per ciascuno dei seguenti insiemi di vettori stabilire se si tratta di unsottospazio di un appropriato spazio vettoriale.

i) Tutti i vettori di Rn le cui componenti sono numeri interi.

ii) Tutti i vettori del piano ciascuno dei quali giace su uno degli assicoordinati.

iii) Tutti i vettori del piano il cui secondo estremo giace su una data retta(considerando come primo estremo l’origine).

iv) Tutti i vettori del piano i cui estremi giacciono su una data retta.

v) Tutti i vettori dello spazio i cui secondi estremi non giacciono su unadata retta.

vi) Tutti i vettori del piano i cui secondi estremi giacciono nel primoquadrante.

vii) Tutti i vettori di Rn le cui componenti xi sono tali chen

∑1

xi = 0.

viii) Tutti i vettori di Rn le cui componenti xi sono tali chen

∑1

xi = 1.

ix) Tutti i vettori che si ottengono come combinazioni lineari dei vettoriv1, v2, . . . , vk in Rn.

3.28 In R3 sono dati i seguenti insiemi di vettori:

i) S1 = [1, 1, 1], [0, 1, 1], [1, 0, 0];ii) S2 = [2, 1, 0], [0, 1, 0], [−1, 0, 1];

iii) S3 = [1, 1, 2], [−1, 0,−1], [0, 1, 0], [0, 0, 1].Stabilire, per ciascuno di essi, se costituiscono un sistema di generatori e,in particolare, se sono delle basi per R3.

[ S1 ed S2 sono delle basi, S3 è un sistema di generatori.]

28 Spazi vettoriali

3.29 Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica

B = ~e1 = [1, 0, 0],~e2 = [0, 1, 0],~e3 = [0, 0, 1]

ed i seguenti sottospazi

i) W1 generato da ~e1 + 2~e3,~e3,~e1 +~e3,ii) W2 generato da ~e1,~e1 −~e2,~e1 +~e3,

iii) W3 generato da ~e2, 2~e2,~e1 − e3,~e1 + 2~e2 −~e3.Per ciascuno di essi determinare una base e la dimensione.

[W1 =< [1, 0, 2], [0, 0, 1], [1, 0, 1] > quindi dimW1 = 3;

W2 =< [1, 0, 0][1,−1, 0], [1, 0, 1] > quindi dimW2 = 3;

W3 =< [0, 1, 0], [1, 0,−1] > quindi dimW3 = 2.]

3.30* Determinare una base e la dimensione del sottospazio V di R4 formatodai vettori del tipo [a, a + b, b− a, b] e del sottospazio U di R3 costituito davettori del tipo [a + c, b− a, b + c].

[Sia ~v il generico vettore di V, si ha:

~v = [a, a + b, b− a, b] = a[1, 1,−1, 0] + b[0, 1, 1, 1]

questo significa che i vettori ~v1 = [1, 1,−1, 0] e ~v2 = [0, 1, 1, 1] sono un sistemadi generatori per V; non essendo proporzionali sono indipendenti, quindiformano una base per V, che ha dunque dimensione 2.

Analogamente sia ~u = [a + c, b− a, b + c] il generico vettore di U sarà:

~u = a[1,−1, 0] + b[0, 1, 1] + c[1, 0, 1]

cioè i tre vettori ~u1 = [1,−1, 0], ~u2 = [0, 1, 1] e ~u3 = [1, 0, 1] costituiscono unsistema di generatori. Si osserva però che non sono linearmente indipendentiperché ~u3 = ~u1 + ~u2 quindi non formano una base per U. Una qualsiasicoppia di questi tre vettori forma un insieme indipendente e quindi una base,da cui dimU = 2.]

OSSERVAZIONE 3.1. La traccia di soluzione della seconda parte di questoesercizio mette in luce come non sempre la dimensione di un sottospaziocoincide con il numero dei parametri presenti nell’espressione del genericovettore.


3.31* In V = P3(x) si considerino i sottoinsiemi

S ≡ p(x) ∈ V|p(0) = 1 e p(1) = 0

eT = p(x) ∈ V|p(0) = p(1) = 0.

Stabilire se rispetto alle usuali operazioni di somma e di prodotto per unoscalare nello spazio dei polinomi S e T sono sottospazi e, qualora lo siano,determinare una base per ciascuno di essi.

[S è l’insieme dei polinomi p(x) = ax3 + bx2 + cx + d per cui p(0) = 1e p(1) = 0, quindi, dato che p(0) = d e p(1) = a + b + c + d il genericopolinomio di S è del tipo ax3 + bx2 − (a + b + 1)x + 1; si vede subito che Snon è chiuso né rispetto alla somma né rispetto al prodotto per uno scalareinfatti, per esempio, x + 1 ∈ S ma il suo prodotto 2(x + 1) = 2x + 2 non viappartiene, in quanto il termine noto è diverso da 1.

Il generico vettore di T è il polinomio ax3 + bx2 − (a + b)x; valutiamo se T èchiuso rispetto alle operazioni definite in V: per la somma consideriamo duegenerici elementi di T , ax3 + bx2 − (a + b)x e a′x3 + b′x2 − (a′ + b′)x som-mandoli si ottiene (a + a′)x3 + (b + b′)x2 − [(a + a′) + (b + b′)]x che è ancoraun elemento di T , inoltre α[x3 + bx2 − (a + b)] = αax3 + αbx2 − (αa + αb)xche a sua volta è elemento di T , il quale, quindi è sottospazio di V. Osser-vando che ax3 + bx2 − (a + b)x = a(x3 − x) + b(x2 − x) possiamo affermareche i polinomi x3 − x e x2 − x generano T ; essendo poi essi linearmenteindipendenti, infatti sono di gradi diversi, formano una base per T quindipossiamo concludere che T ha dimensione 2.]

3.32 Sia Vc = p ∈P7(x)|p(1) = c. Determinare per quali valori di c ∈ R Vcè sottospazio di P7(x). [ c = 0]

3.33 Si considerino i polinomi p1(x) = 3, p2(x) = 2 + x3, p3(x) = x− x2 − 4x3,p4(x) = x2− x3 e p5(x) = x + 2x2. Dall’insieme p1, p2, p3, p4, p5 estrarre,se possibile, una base per P3(x).

[dim (P3(x)) = 4, basta estrarre quattro polinomi indipendenti, per esempiop1, p2, p3, p4]

3.34 Se ~e1,~e2,~e3 è una base di R3 si considerino gli insiemi B1 = ~e1,~e1 +~e2,~e1 +~e3 e B2 = ~e1 +~e2,~e1 + 2~e2 +~e3, 2~e1 + 3~e2 +~e3; dimostrare cheB1 è una base di R3, mentre B2 non lo è.

[ I vettori di B2 non sono indipendenti, infatti. . . ]

30 Spazi vettoriali

3.35 Trovare le componenti del vettore ~v = 2~e1 +~e2 + 7~e3 rispetto alla base B1dell’esercizio 3.34 [ [−5, 1, 7]]

3.36 Mostrare che l’insieme [a, c], [b, d] è una base di R2 se e solo se ad− bc 6=0.

3.37 Per quali valori del parametro t l’insieme B = [2, t], [t, 2] è una base diR2? [ ∀t 6= ±2]

3.38 Si considerino i polinomi p1 = t + 1, p2 = t2 + 2t + 1 e p3 = t2 − t.Dimostrare che p1, p2, p3 è una base di P2(t) e trovare le componenti diq1 = t2 − t− 2 e q2 = t2 + 3 rispetto a questa base.

[p1, p2, p3 sono linearmente indipendenti, infatti α(1 + t) + β(t2 + 2t + 1) +γ(t2 − t) = 0 ⇒ (β + γ)t2 + (α + 2β− γ)t + α + β = 0. . . si perviene ad unsistema lineare omogeneo che ha solo la soluzione banale. . . q1 = −3p1 + p2;q2 = 4p1 − p2 + 2p3]

3.39* Siano, in V = P2(t), p1(t) = t2 − 2t , p2(t) = 1 + 2t, p3(t) = 2 − t2,q1(t) = −1 + t, q2(t) = −1 + t − t2, q3(t) = 2t + 2t2. Dimostrare cheB = p1, p2, p3 e C = q1, q2, q3 sono due basi di V. Trovare la matricedi passaggio da B a C .

[

i) Scriviamo ciascun vettore di B come combinazione lineare dei vettori diC , in seguito costruiremo la matrice che ha per righe i coefficienti di talicombinazioni1. . .

p1 = 3q1 − 3q2 − q3

p2 = −4q1 + 3q2 +32

q3

p3 = −5q1 + 3q2 + q3

da cui la matrice richiesta

3 −3 −1

−4 332

−5 3 1

;

ii) Ricorrendo alle basi canoniche, moltiplichiamo la matrice H di passaggiodalla base B a quella canonica per la matrice che trasforma la basecanonica in C ovvero la matrice inversa (Si veda capitolo 6) della matriceK di passaggio dalla base C a quella canonica. Poiché le coordinate diun vettore rispetto alle basi canoniche coincidono proprio con le suecomponenti, è semplice costruire queste matrici:

H =

0 −2 11 2 02 0 −1

, K =

−1 1 0−1 1 −1

0 2 2

,


calcolando poi HK−1 si perviene al risultato precedente.

]

3.40 Siano ~v1 = [0, 2, 0], ~v2 = [1,−1, 0] e ~v3 = [3, 1, 5]. Dimostrare che B =~v1,~v2,~v3 è una base di R3 e trovare la matrice del cambiamento di basedalla base B alla base canonica.

[ ~v1,~v2 e ~v3 sono indipendenti. . .

0 2 01 −1 03 1 5

.]

3.41 Trovare la matrice di passaggio dalla base 1− α, x− α, (x− α)2, . . . , (x−α)n alla base 1, x, x2, . . . , xn nello spazio vettoriale dei polinomi di gradonon maggiore di n.

3.42 Come varia la matrice di passaggio da una base ad un’altra

i) se si scambiano due vettori della prima base

ii) se si scambiano due vettori della seconda base

iii) se in entrambe le basi i vettori sono dati in ordine inverso


[1 2−2 −4

]si consideri l’insieme

W = X ∈M2(R)|AX = 0.

Dimostrare che W è sottospazio di M2(R), calcolarne la dimensione edeterminarne una base. [ dimW = 2. . . ]

3.44 Sia V = Mn,m lo spazio vettoriale delle matrici di tipo (n, m). Indichiamocon Eij la matrice di V che ha l’elemento di posto i, j uguale a 1 e tutti glialtri elementi nulli. Dimostrare che E11 . . . Enm è una base di V e che ladimensione di V è m · n.

3.45 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e sia ~v1, . . . ,~vn un sistemadi n generatori di V. Dimostrare che esso è una base.

[ Occorre e basta mostrare che sono indipendenti...]

3.46* Siano V e W due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale; dimostrare che

i) V ∪W ⊆ V + W;

1Qualora non sia semplice trovare tale combinazione, basta risolvere il sistema di tre equazioninelle tre incognite a, b e c che si ottiene uguagliando, componente per componente, i vettori pe aq1 + bq2 + cq3.

32 Spazi vettoriali

ii) V + W è il più piccolo sottospazio contenente V ∪W.

[i) Sia ~u ∈ V ∪W, ciò significa che ~u ∈ V oppure ~u ∈W, in entrambi i casi ~u sipuò esprimere come elemento di V + W, come ~u = ~u + 0W se ~u ∈ V oppurecome ~u = ~u + 0V se u ∈W.

ii) Supponiamo che esista un sottospazio V′ contenente l’unione V ∪W, di-mostriamo che esso contiene necessariamente anche la somma, cioè cheV + W ⊆ V′: sia ~u ∈ V + W cioè ~u = ~v + ~w con ~v ∈ V e ~w ∈ W; ~v e ~wsono anche elementi di V ∪W e quindi di V′ dato che V ∪W ⊆ V′; poichéV′ è uno spazio vettoriale, contiene, oltre a ~v e ~w, anche la loro somma ~v + ~w,cioè ~u.]

3.47 Siano U e W due sottospazi dello spazio vettoriale V tali che V = U +W. Indichiamo con B e C , rispettivamente una base di U ed una di W.Mostrare che se la somma è diretta, cioè se U ∩W = 0 allora B ∪ C èuna base di V, e trovare un esempio per cui U ∩W 6= 0 e B ∪ C non èuna base di V.

3.48 Indichiamo con Sn e S ′n rispettivamente l’insieme delle matrici simme-

triche ed emisimmetriche di ordine n. Dimostrare che sono entrambisottospazi di Mn e calcolarne le rispettive dimensioni.

[Basta verificare la chiusura rispetto alle combinazioni lineari. . . le dimensioni

sono rispettivamenten(n + 1)

2e

n(n− 1)2

]

3.49 Dimostrare che Mn = Sn ⊕S ′n dove Mn, Sn, S ′

n sono quelli definitinell’esercizio 3.48.

3.50 Dimostra che se P(t) è l’insieme di tutti i polinomi in una variabile (quindise non si precisa il grado) non esiste un sistema di generatori finito.

3.2. Quesiti

Q.3.4 I vettori [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] e [10, 11, 12] sono linearmente indipendenti.2 vero 2 falso

Q.3.5 Se B = ~u,~v, ~w è una base per lo spazio vettoriale V, allora B′ =~u, 3~v, 3~v + ~w è un’altra base per V. 2 vero 2 falso

3.2 Quesiti 33

Q.3.6 Il sottospazio vettoriale generato da tre vettori linearmente indipendenti~u,~v, ~w è uguale al sottospazio generato da ~u−~v,~v− ~w, ~w− ~u.

2 vero 2 falso

Q.3.7 Il sottospazio vettoriale generato da tre vettori linearmente indipendenti~u,~v, ~w è uguale al sottospazio generato da ~u +~v,~v + ~w, ~w + ~u.

2 vero 2 falso

Q.3.8 Nello spazio vettoriale delle funzioni continue su R la dimensione delsottospazio generato da 1, cos2 x, sin2 x è: a 0; b 1; c 2; d 3.

Q.3.9 I vettori [1, 2, 1], [2, a, a + 1], [a, 0, 1] sono lineramente indipendenti pera infiniti valori di a ma non tutti b a 6= 1 e a 6= −4 c ogni valore di

a d a = 1.

Q.3.10 La dimensione dello spazio vettoriale intersezione tra quello delle matricitriangolari alte e quello delle matrici triangolari basse è: a 2n; b n2

c 0 d n.

Q.3.11 Dire quali delle seguenti implicazioni sono vere, dove V è uno spaziovettoriale e ~u,~v, ~w sono vettori di V.

a ~u,~v, ~w generano V⇒ ~u,~v generano V b ~u,~v, ~w sono linear-mente indipendenti⇒ ~u,~v sono linearmente indipendenti c ~u,~vgenerano V⇒ ~u,~v, ~w generano V d ~u,~v, ~w sono linearmente dipen-denti⇒ almeno due tra i vettori ~u,~v, ~w sono linearmente dipendenti.

Q.3.12 In uno spazio vettoriale V di dimensione n a n + 1 vettori sono semprelinearmente dipendenti; b n− 1 vettori sono sempre linearmente indi-pendenti; c se n vettori qualsiasi sono linearmente indipendenti, alloraessi formano una base; d esistono n− 1 vettori che generano V.

Q.3.13 Siano U e W due sottospazi di un medesimo spazio vettoriale V. Quale oquali dei seguenti non è , in generale, sottospazio di V? a U ∪W; bU ∩W; c U + W; d (U + W) ∪ (U ∩W).

Q.3.14 Siano U e V due sottospazi di Rn. Indicare le proprietere: a dim(U +

V) ≥ dimU + dimV b dim(U ∩V) < dimU; c se U ∩V = 0 alloradim(U + V) = dimU + dimV d se U + V = Rn allora U ∩V = 0.

Q.3.15 Sia W il sottospazio di R4 generato dai vettori

~w1 = [0, k, k, 1] e ~w2 = [1, k, k, 0].

34 Spazi vettoriali

Allora a dimW = 1 se k = 1; b dimW = 0 se e solo se k = 0; cdimW > 0 se e solo se k 6= 0; d dimW = 2 ∀k.

Q.3.16 Sia ~v1,~v2,~v3,~v4 una base dello spazio vettoriale V e si considerino ivettori:

~u1 = ~v1 −~v2

~u2 = ~v1 −~v3

~u1 = ~v1 +~v3.

Indicare le proprietà vere a ~u1,~u2,~u3 sono linearmente indipendenti;b ~u1,~u2,~u3 generano un sottospazio di dimensione 2; c ~u1,~u2,~u3 gene-

rano un sottospazio di dimensione 3 d ~u1,~u2,~u3 formano una baseper V.

4. Determinante e rango di unamatrice. Matrice inversa

4.1. Determinante e rango

4.1 Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A =

[1 −32 5

]B =

1 0 −12 3 −14 0 −2

C =

1 0 33 5 81 0 3

D =

1 0 02 6 03 4 5

.

[Rispettivamente 11, 6, 0, 30]

4.2 Date le matrici A =

[1 23 4

]e B =

[5 67 8

], calcolare det(AB), det(A2B),

det(3A). [4, 16, −18]

4.3 Calcolare il determinante

∣∣∣∣∣∣1 a b + c1 b a + c1 c a + b

∣∣∣∣∣∣ . [0]

4.4 Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A =

1 2 1 2 10 0 1 1 11 1 0 0 00 0 1 1 21 2 2 1 1

B

1 2 3 42 1 2 10 0 −1 13 4 1 2

. [det A = 2; det B = −32]

36 Determinante e rango di una matrice. Matrice inversa

4.5 Calcolare i seguenti determinanti:∣∣∣∣∣∣∣∣a b 0 00 a b 00 0 a bc 0 0 a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a 1 1 1b a 1 1c b a 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 0 a0 0 b 00 c 0 0d 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

[−b(a3 + b3); −a3 + 3a2 − 3a + 1; abcd]

4.6 Verificare che è nullo il seguente determinante di ordine n∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1− n 1 1 . . . 1

1 1− n 1 . . . 11 1 1− n . . . 1

. . . . . . . . . . . . . . .1 1 1 . . . 1− n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

[Ogni riga è la somma delle altre. . . ]

4.7 Per quali valori del parametro si annulla il determinante di ciascuna delleseguenti matrici:

A =

1 1 −h1 −h 1−h 1 1

, B =

1 k 11 −1 k + 1−k −1 0

,

C =

1 2 −5 h3 −1 h 02 3 −9 01 −1 2 0

, D =

1 2k 4 + k3 −2 −k1 k 1

.

[2, −1; 0, −1; 0, 45 ; −3, −1]

4.8 Date le matrici

A =

[1 1 2 22 2 −1 −1

]e B =

[−2 k −3 3

3 −3 2 2

]determinare gli eventuali valori del parametro k per i quali la matrice ABTè singolare. [2]

4.9 Trovare due matrici non singolari A e B per cui det(A+ B) = det A+det B

[Ad esempio A =

[0 1−1 1

]e B =

[2 −11 0

]]

4.1 Determinante e rango 37

4.10 È vero che det(AT) = (det A)T?

4.11 Verificare che ogni matrice emisimmetrica di ordine dispari è singolare.

4.12 Siano rispettivamente S e E una matrice simmetrica ed emisimmetrica,entrambe di ordine 2. Verificare che si ha det(S + E) = det S + det E.

4.13 Si può estendere il risultato precedente all’ordine 3?

4.14 Verificare, senza sviluppare il determinante, che l’equazione∣∣∣∣∣∣0 x− a x− b

x + a 0 x− cx + b x + c 0

∣∣∣∣∣∣ = 0

ammette una radice x = 0. [Per x = 0 la matrice è emisimmetrica di ordine 3]

4.15 Verificare che l’equazione∣∣∣∣∣∣x −a a− 1a 2x 0

1− a 0 3x

∣∣∣∣∣∣ = 0

ha una soluzione nulla qualunque sia a. [Come l’esercizio 4.14]

4.16 Verificare che l’equazione ∣∣∣∣∣∣1 2x x + 12 a −x1 x 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

ammette una radice nulla per ogni valore di a. Determinare poi a in modoche anche l’altra radice sia nulla.

[Per x = 0 la matrice ha due righe uguali. . . a = −2]

4.17* Risolvere la seguente equazione nella variabile x:∣∣∣∣∣∣∣∣2x −1 −1 −1−1 2x −1 −1−1 −1 2x −1−1 −1 −1 2x

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0


[ Sommando alla prima colonna tutte le altre si ha l’equazione equivalente∣∣∣∣∣∣∣∣2x− 3 −1 −1 −12x− 3 2x −1 −12x− 3 −1 2x −12x− 3 −1 −1 2x

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

che a sua volta equivale alla

(2x− 3)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 −1 −11 2x −1 −11 −1 2x −11 −1 −1 2x

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

A questo punto sommando la prima colonna a tutte le altre si ottiene:

(2x− 3)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 01 2x + 1 0 01 0 2x + 1 01 0 0 2x + 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

infine, tenendo conto che il determinante di una matrice triangolare è il prodot-to degli elementi principali, si perviene all’equazione (2x− 3)(2x + 1)3 = 0che ha la radice semplice x = 3

2 e la radice x = − 12 di molteplicità 3. ]

4.18 Date le matrici

A =

1 0 −2−2 1 1

3 −2 0

, B =

−2 −1 44 3 −2−6 1 0

,

C =

−2 −1 44 1 −2−6 5 0

verificare che si ha det C = det B− 8 det A senza calcolare esplicitamente ideterminanti.

[ Ponendo D = −2A si osserva che la matrice D ha la prima e la terza colonnauguali a quelle di B e che la seconda colonna di C è la somma di quelle diD e di B. Si ha quindi det C = det B + det D = det B + det(−2A) da cuiricordando che A è di ordine 3, si ha det C = det B + (−2)3 det A. . . ]

4.19 Determinare i valori del parametro per i quali si annullano i seguentideterminanti

4.1 Determinante e rango 39

∣∣∣∣∣∣1 a + 1 a2

3 2a + 4 4− a−1 a− 3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −5 h3 −1 h 02 3 −9 01 −1 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2k 10 1 −k1 2 1

∣∣∣∣∣∣ .

[a = 1,− 75 ; h = 0,−8; k = 0,−1]

4.20 Determinare tutte le matrici reali per cui si ha I = det A · A.

4.21 Determinare tutte le matrici reali per cui si ha A = det A · A.

4.22 Siano A e B due matrici non singolari di ordine n verificare che se

AB = kBA.

allora k è radice n–esima dell’unità.

4.23 Verificare che se A, B, C sono matrici di ordine dispari per cui vale larelazione ABC + BCA = 0 una di esse è singolare.

4.24 Determinare due matrici di ordine 2 linearmente indipendenti tali che ogniloro combinazione lineare sia singolare.

4.25 Determinare i valori di α e β in corrispondenza dei quali le matrici

a =

tan α√3

30

, B =

0tan β

1 + tan β

e C =

√

33

tan α0

sono linearmente indipendenti

[α = ±π6 + kπ oppure β = −π

4 + kπ con π ∈ Z]

4.26 È sempre vero che det(AB) = det(BA)?[Sì se A e B sono quadrate dello stesso ordine]

4.27* Si consideri la matrice

A =

2h− 2 8 0 4

1 0 3 2h + 1h + 2 h + 2 0 h

3 3h 0 2h− 1

Determinare i valori di h per cui la prima riga di A è combinazione linearedelle altre.


[ La matrice A dev’essere singolare, quindi, essendo

det A = −6(h− 2)(h− 1)(h + 1) = 0,

i possibili valori di h vanno cercati tra h = 2 e h = ±1.

Per h = 2 si ha la matrice

2 8 0 41 0 3 54 4 0 23 6 0 3

in cui la prima riga è il doppio della

quarta meno la terza e quindi, poiché il rango di A non cambia aggiungendola prima riga, essa è combinazione lineare delle altre. Considerazioni analogheci permettono di asserire che anche h = −1 va bene.

Se invece h = 1, si ha la matrice

0 8 0 41 0 3 33 3 1 13 3 1 1

; le ultime due righe sono

uguali, quindi la prima riga dovrebbe essere combinazione lineare delle primedue, ma si osserva subito che le prime tre righe sono indipendenti: è diversoda zero il determinante formato dalle prime tre righe e dalle prime tre colonne,quindi tale valore è da scartare. In conclusione la prima riga è combinazionelineare delle altre solo per h = −1 ed h = 2. ]

4.28* Se ω è una radice immaginaria di -1, mostrare che∣∣∣∣∣∣∣∣1 ω ω2 ω3

ω ω2 ω3 1ω2 ω3 1 ωω3 1 ω ω2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = ±3i√

3.

[Il determinante è (ω4 − 1)3. . . ]

4.29 Sia A =

2 1 21 1 1α 2 3

. Senza sviluppare il determinante, determinare α in

modo che det A = 0. [α = 3]

4.30 Trovare sotto quali condizioni l’equazione nell’incognita x

det[

a + x bb c + x

]= 0

ammette radici coincidenti. [(a + c)2 − 4ac + 4b2 = 0]

4.2 Matrice inversa 41

4.2. Matrice inversa

4.31 Sia A = A−1. Che valori può assumere il determinante di A?[det A = ±1]

4.32 Mostrare che se A è non singolare, allora anche A−1 è non singolare e che(A−1)−1 = A.

4.33 Sia A =

[1 24 −1

]. Verificare che A−1 =

19

A.

4.34 Sia A =

1 0 12 3 4−1 0 −2

. Verificare che si ha:

A−1 = −13(A2 − 2A− 4I).

4.35 Determinare tutte le matrici X quadrate, non singolari, del second’ordineche soddisfano la relazione X3 = X.

[ Dovendo X essere non singolare si ha X2 = I, da cui X =

[a 1−a2

cc −a

]oppure

X =

[±1 b0 ±1

]]

4.36 Siano date le matrici

A =

[−1 h

0 h

]e B =

[1 k0 2

].

Determinare i valori di h e k per cui sussiste la relazione

AB−1 + B = 0

[B2 = −A da cui h = −4, k = − 43 ]

4.37 Sia T una matrice triangolare superiore di ordine n. Verificare che

(I − T)n = I + T + T2 + · · ·+ Tn−1

[Si può procedere per induzione su n. . . ]

4.38 Mostrare che l’inversa di una matrice diagonale D non singolare è a suavolta diagonale. [Se D è non singolare, allora ∀i aii 6= 0. . . ]


4.39 Mostrare che:

i) Una matrice triangolare è non singolare se e solo se tutti i suoi elementiprincipali sono diversi da 0;

ii) l’inversa di una matrice triangolare non singolare è a sua volta trian-golare.

4.40 Mostrare che se A e B sono quadrate non singolari permutabili, alloraanche A−1 e B−1 sono permutabili.

4.41* Nel campo complesso si consideri la matrice

A =

[1 + i 2 + 2i

3 + 3i 7 + 7i

].

Verificare che A−1 =12

[7− 7i −2 + 2i−3 + 3i 1− i

]4.42* Nel campo complesso mostrare che se A = B + iB con B matrice ad

elementi reali, allora se esiste B−1 è A−1 = 12

(B−1 − iB−1).

4.43* Nel campo complesso sia A = B + iC dove B e C sono matrici reali eB 6= ±C è vero che A−1 = 1

2(B−1 − iC−1)? Giustificare la risposta.[solo nel caso in cui CB−1 = BC−1. . . ]

4.3. Quesiti

Q.4.17 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine. Se esistono A−1 eB−1 allora esiste (A + B)−1. 2 vero 2 falso

Q.4.18 Siano A e B come nel quesito 4.17. Se inoltre è A + B 6= 0 allora esiste(A + B)−1. 2 vero 2 falso

Q.4.19 Se A =

[B 00 C

]dove B e C sono non singolari, allora anche A è non

singolare. 2 vero 2 falso

Q.4.20 Sia A una matrice m × n di rango r. Allora ogni minore di A di tipo(r + 1)× (r + 1) è singolare. 2 vero 2 falso

Q.4.21 Se A è non singolare, allora det A = det A−1. 2 vero 2 falso

Q.4.22 Se A è quadrata con elementi interi allora det A è un numero intero.2 vero 2 falso

4.3 Quesiti 43

Q.4.23 Se Ax = 0, A è quadrata e x è un vetttore colonna tale che x 6= 0, alloraA = 0. 2 vero 2 falso

Q.4.24 Se esistono A−1 e B−1 allora si ha (2AB)−1 = 2B−1A−1.2 vero 2 falso

Q.4.25 Se A e B sono matrici singolari dello stesso ordine, allora i ha: r(AB) < r(A)oppure r(AB) < r(B). 2 vero 2 falso

Q.4.26 La matrice[

2 h−1 3

]non è invertibile per alcun valore di h.

2 vero 2 falso

Q.4.27 Se in una matrice quadrata A cambiamo segno a tutti gli elementi, ottenia-mo una matrice B tale che det A = −det B. 2 vero 2 falso

Q.4.28 Il determinante di una matrice non cambia se si cambia segno a due colon-ne. 2 vero 2 falso

Q.4.29 Si ha det A = det(−A). 2 vero 2 falso

Q.4.30 La matrice[

t 10 1− t

]ha rango 1 solo per t = 1. 2 vero 2 falso

Q.4.31 Se in una matrice A si cambiano i segni di tutti e soli gli elementi principali,allora il determinante di A cambia segno se e solo se l’ordine di A è dispari.

2 vero 2 falso

Q.4.32 Il rango di una matrice diagonale è uguale al numero degli elementi princi-pali non nulli. 2 vero 2 falso

Q.4.33 Siano A e B due matrici invertibili; allora sussiste la relazione

(2AB)−1 =12

A−1B−1.

2 vero 2 falso

Q.4.34 Il determinante di una matrice non cambia se si opera una permutazionedi classe dispari sulle colonne o sulle righe della matrice.

2 vero 2 falso

Q.4.35 Se A è quadrata non singolare, allora il rango di A è uguale a quello dellasua inversa. 2 vero 2 falso

Q.4.36 Sia A idempotente (cioè sia A2 = A) allora l’inversa di A, quando esiste, èa sua volta idempotente. 2 vero 2 falso

5. Teoria dei sistemi

Questo capitolo è dedicato ai sistemi lineari: si tratta di applicare il Teorema di Rouché-Capelli o quello di Cramer, oppurei loro corollari applicati ai sistemi omogenei. Spesso sitratterà di discutere un sistema dipendente da uno o più parametri: ciò significa stabilireper quali valori dei parametri il sistema è possibile ed in corrispondenza di essi trovarequante soluzioni ci sono.

5.1 Risolvere i sistemi:

x + y + z + t = 0−x− y− 2z + t = 1

x− y− z− t = −1x− y− 2z + t = 0

2x + 2y + 3z = −1

[[x = − 12 ; y = − 3

2 z; t = 12 (1 + z)]]

x + 3y + z + 2w = 13x + 2y + z + w = −1

4x + 3y + 2z− t + 4w = 25x + 4z + 3w = 1

,

[[y = − 97 x− 1; z = − 26

7 x− 2; w = 237 x + 3; t = 41

7 x + 3] ]2x + y = 1

3x + 2y + z = 0−x− 3y + z = 4

[[ 32 ;−2;− 1

2 ]]

5.2 Dire per quali valori dei parametri è possibile il seguente sistema.ax + y− z = 0x + ay− z = b

(a + 1)x + 3y− 2z = b

46 Teoria dei sistemi

[ [ Se b = 0 ∀a; se b 6= 0 per a 6= 1]

5.3 Dato il sistema 2x + y + hz + 3t = a

4x + 2y− 2z + 6t = b−2x + hy + z− 3t = c

determinare i valori di h in corrispondenza dei quali il sistema è risolubileper qualsiasi scelta del termine noto. [[h 6= −1] ]

5.4 Risolvere i seguenti sistemi2x2 − 4x3 + x4 = 1

x1 − 3x2 − x3 + x4 = 0x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = −1

2x1 − 2x2 − x3 + 2x4 = 0

x + y + z + t = 1

8x + 4y + 2z + t = 527x + 9y + 3z + t = 14

64x + 16y + 4z + t = 30

[− 1

18,

118

,−29

, 0

;

13

,16

,12

, 0

]

5.5 Sia

Ax =

[1 23 λ

] [x1x2

]i) Per quali valori del parametro λ il sistema Ax = 0 ammette un’unica

soluzione? Per quali più di una?

ii) Se b1 =

[13

], per quali valori di λ il sistema Ax = b1 non ammette

soluzioni? Per quali ne ammette una sola? Per quali ne ammette piùdi una?

iii) Se b2 =

[11

], per quali valori di λ il sistema Ax = b2 non ammette


[i) Ax è il sistema

x1 + 2x2 = 0

3x1 + λx2 = 0che è omogeneo, quindi ammette un’unica

soluzione (quella banale) se e solo se∣∣∣∣1 23 λ

∣∣∣∣ 6= 0 da cui λ 6= 6;. . . ]

5.6 Sia

Ax =

−1 2 13 −1 20 1 λ

xyz

.

47

i) Per quali valori del parametro λ il sistema Ax = 0 ammette un’unicasoluzione? Per quali più di una?

ii) Se b1 =

111

, per quali valori di λ il sistema Ax = b1 non ammette


iii) Se b2 =

110

, per quali valori di λ il sistema Ax = b2 non ammette


[i)per λ 6= 1 solo la soluzione banale. . . ]

5.7 Discutere e risolvere i seguenti sistemi lineari dipendenti da un parametrox− y + 2z = 1kx + y + z = k + 1

x + ky− kz = −2

2x + ky = 2kx + 2y = kkx + kz = k

3x + 2y + hz = 112x− 6y− 3z = 0hx + 4y + 2z = 7

x2 + x3 = λ

2x1 + 3x2 + 7x3 = 5x1 − 3x2 − x3 = −2

x + (k− 1)y + z = 12x + ky + kz = k

kx + 2y + (2k− 2)z = 4− k

[Il primo sistema, di tre equazioni in tre incognite, ammette una ed una sola

soluzione se e solo se det A =

∣∣∣∣∣∣1 −1 2k 1 11 k −k

∣∣∣∣∣∣ 6= 0. Si ha det A = (k + 1)(k− 3)

quindi si annulla per k = −1 e k = 3. Dunque ∀k 6= −1, 3 l’unica soluzione

è: x =

∣∣∣∣∣∣1 −1 2

k + 1 1 1−2 k −k

∣∣∣∣∣∣(k + 1)(k− 3)

y =

∣∣∣∣∣∣1 1 2k k + 1 11 −2 −k

∣∣∣∣∣∣(k + 1)(k− 3)

e z =

∣∣∣∣∣∣1 −1 1k 1 k + 11 k −2

∣∣∣∣∣∣(k + 1)(k− 3)

. Per

k = −1 la matrice dei coefficienti

1 −1 2−1 1 1

1 −1 1

ha rango r(A) = 2 ; la

matrice B completata con la colonna dei termini noti B =

1 −1 2 1−1 1 1 0

1 −1 1 2


ha anch’essa rango r(B) = 2, quindi il sistema è possibile ed ammette ∞3−2 =

∞1 soluzioni; analogamente per k = 3 si ha A =

1 −1 23 1 11 3 −3

e quindi

r(A) = 2 e B =

1 −1 2 13 1 1 41 3 −3 −2

e r(B) = 2 da cui ∞1 soluzioni.. . . ]

5.8 Discutere e risolvere i seguenti sistemi dipendenti da più parametri realix + 2y + az = 1

2x + ay + 8z = −14x + 7y + z = b

2x + y = a2x + z = b

4x + y + z = c3kx + 3y + (k + 2)z = h

x + 2y + 2z = k + 1x + ky + kz = 1

kx + y + z = 1x + ky + z = h

x + y + kz = h2

[La matrice dei coefficienti del secondo sistema è A =

2 1 02 0 14 1 1

, palesemen-

te singolare (la terza riga è la somma delle prime due). Poiché∣∣∣∣2 12 0

∣∣∣∣ 6= 0

si ha r(A) = 2 per qualsiasi valore dei parametri. La matrice completa

B =

2 1 0 a2 0 1 b4 1 1 c

ha rango 2 se e solo se c = a + b quindi in questo caso il

sistema è possibile ed ammette ∞1 soluzioni. ]

5.9 Al variare dei parametri che in essi compaiono, si discuta la risolubilità deiseguenti sistemi lineari

i) x− 2hy + z + t = h

y− hz = 0x + 2y + z− ht = 0

[h 6= −1 : ∞1 soluzioni; h = −1 impossibile]

ii) hx− y− 2z = 1

hx− (h + 1)y− 3z = 1hx− y− z = 2h + 1

[h 6= 0 : 1 soluzione; h = 0: impossibile]

49

iii) x + y = 2

x− y− z = 3 + hx + 2y + kz = 4

[k 6= 12 : 1 soluzione∀h; k = 1

2 , h = −5 : ∞1 soluzioni; k = 12 , h 6= −5 impossibile]

5.10* Discutere e risolvere al variare dei parametri complessi a e k il seguentesistema nel campo complesso, cioè con x, y, z ∈ C.

x + 2y + kz = 0ky− z = 1kx + z = a

5.11 Determinare il valore del parametro k per cui le matrici

A =

[k− 1 0

2 k + 1

], B =

[1 k− 10 k + 2

], C =

[0 −21 1

]sono linearmente dipendenti.

[Le matrici sono linearmente dipendenti se xA + yB + zC = 0 per qualcheterna x, y, z con almeno un elemento non nullo. Ma xA + yB + zC = 0 rap-presenta un sistema lineare omogeneo di quattro equazioni nelle tre incognitex, y e z, dunque le matrici sono dipendenti se e solo se il sistema ammettesoluzioni non banali e questo avviene solo se la matrice dei coefficienti harango minore di 3. . . k = −1.]

5.12 Sia A =

1 2 31 3 41 2 4

. Mostrare che il sistema Ax = b ha un unica soluzione

qualunque sia il vettore b. Mostrare poi che Ax = Ay se e solo se x = y.

[r(A) = 3; r([A|b]) non può essere maggiore di 3, perché [A|b] ha solo trerighe, non può essere minore di 3, perché det A è un minore di [A|b] di ordine3 non nullo per ipotesi, dunque il sistema ammette una ed una sola soluzione∀b. . . ]

Per gli esercizi dal 5.13 al 5.19 occorre discutere e, quando possibile, risolvere isistemi.


5.13 x + ky− z = 0

(k + 1)x + (k + 2)y = 0x + (k + 1)y + kz = 0

[k 6= ±1 solo la soluzione banale; k = ±1 ∞1 soluzioni]

5.14 hx + 2y = 1

x + (h + 1)y = 2h(2h− 1)x + (3− h)y = h + 2

[h = 0 1 soluzione; h 6= 0 impossibile]

5.15 (h− 1)x + 4y = 0

x + (h− 1)y = 0hx + (2− h)z− 4t = 0

hy− z + (2− h)t = 0

[h 6= 3, 0,−1, 4 solo soluzione banale; h = 3, 0,−1, 4 ∞1 soluzioni]

5.16 2x + (h− 1)y + z = 3

x + 2y = 4− hx + ((2h + 1)y− z = 4− h

x + (1 + h)y− z = 1

[h = 4 una soluzione; h 6= 4 non esistono soluzioni]

5.17 x + y = 1

2hx− y = −(1 + h)1(1− 4h)x + 2y = 3 + 2h

[h 6= − 13 impossibile; h = − 1

3 una soluzione]

5.18 (h + 1)x + y + z = 2 + h

(3 + h)x + z = 2h2

(5 + h) + y + (1ih)z = 6− h

[h 6= −4, 1 una soluzione; h = 1 ∞1 soluzioni; h = −4 impossibile]

51

5.19 x + (h2 + 1)y− z = 2− h

2x + (5− h2)y + 2h2z = 2h

[h = 1 ∞2 soluzioni; h 6= 1 impossibile]

5.20 Scrivere un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, dipendente daun parametro k, in modo che, se k 6= 0, il sistema ammetta la sola soluzione[1, 0, 1] e se k = 0 ammetta infinite soluzioni.

5.21 Dimostrare che un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognitecon m < n ammette sempre soluzioni non banali. [ r ≤ min(m, n)⇒ r < n]

5.22 Trovare per quali valori reali di k esiste una matrice X ∈M3,2(R) tale che2 1 −13 0 11 −1 2

X =

0 12 02 k

.

[Sia X =

x ty uz v

allora si ha

2x + y− z 2t + u− v3x + z 3t + v

x− y + 2z t− u + 2v

=

0 12 02 k

che rappresenta un sistema lineare di 6 equazioni in 6 incognite. . . ]

5.23 Determinare i parametri a, b e c in modo che il sistemax + y + az = a

2x− (1− b)z = 1− bx− y + cz = 0

ammetta ∞1 soluzioni. [b = 1− a; c = −2a]

5.24 Si consideri il sistema

ax + bz + t = 0

2x− by + 2z + at = 0bx− by + az− 3t = 0

. Determinare per quali

valori dei parametri a e b il sistema ammette la soluzione

x = −3y = −1z = −1t = −2

; in


questo caso verificare che ci sono altre soluzioni e determinarle.

[a = −2, b = 4;

x = 5β− 2α

y = α

z = β

t = 6β− 4α

.]

5.25 Discutere, al variare del parametro, il sistema h 0 0h2 − 1 h + 1 21− h2 1 1

xyz

=

h10

[h 6= 0, 1 una soluzione; h = 0 ∞1 soluzioni; h = 1 impossibile]

5.26 Stabilire per quali valori del parametro è possibile il sistemam 41 m1 2

[xy

]=

00m

[m = 0,−2]

5.27 Trovare le quaterne (h, x, y, z) per le quali sia verificata la seguente relazionematriciale: x y z

y z xz x y

11h

= (h + 2)

111

[h 6= 1, 2; (h, 1, 1, 1), (1, α, β, 3− α− β), (−2, γ, γ, γ)]

5.28 Si considerino le matrici

A1 =

xyz

, A2 =

yzx

, A3 =

zxy

e B =

11−2

Determinare le quaterne (h, x, y, z) in modo che sia verificata la relazione

A1 + hA2 + hA3 = B.

[h 6= 1,− 12 ;(

h,− 1h−1 ,− 1

h−1 ,− 2h−1

),(

12 , α, α, α

)]


A =

1 0 00 −h 10 1 10 0 h

, B =

1 1 −h−1 −h 1

h 0 0−1 1 1

e X =

xyz

5.1 Quesiti 53

Determinare i valori di h per cui esistono matrici non nulle X tali che siaverificata la relazione

2AX = BX

[h = 1]

5.30 Date le matrici

A =

2 1 −10 h 10 0 h− 1

e X =

xyz

Determinare i valori di h e le terne non nulle (x, y, z) per cui è verificatal’uguaglianza

AX = A−1X.

[h = −1 :

αβ−β

, (α, β) 6= (0, 0); h = 2:

γ00

, γ 6= 0]

5.1. Quesiti

5.1.1. Vero o Falso

Q.5.37 Un sistema di n equazioni in n + 1 incognite ammette sempre soluzioni.2 vero 2 falso

Q.5.38 Il sistema Ax = b dove A è una matrice di tipo m, n di rango m, ammettesempre almeno una soluzione. 2 vero 2 falso

Q.5.39 Se Ax = 0, A è una matrice quadrata di ordine n e x 6= 0 allora det A = 02 vero 2 falso

Q.5.40 Per k = 1 il sistema x + y + z− 3 = 0

kx− (k + 2)z + 1 = 0ky− y + 3x = 0

kx + y + z = k

è possibile 2 vero 2 falso


5.1.2. A risposta multipla

Q.5.41 Nel sistema lineare Ax = b il rango della matrice A è uguale al numerodelle righe di A, allora il sistema a ammette al più una soluzione bammette almeno una soluzione c non ammette soluzioni d ammetteesattamente una soluzione.

Q.5.42 Sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora l’equazione matriciale Ax =

0 ammette soluzioni non banali se e solo se a r(A) = n b r(A) < n cA 6= 0 d A = 0.

Q.5.43 Sia A una matrice 37× 38 ad elementi reali. Allora Ax = 0 a deve avereuna soluzione non nulla b non può avere soluzioni non nulle c puòo no avere soluzioni non nulle in dipendenza da A d non è un sistemalineare.

Q.5.44 Sia A una matrice 38× 37 ad elementi reali. Quale delle risposte dell’eser-cizio 5.43 è vera?

Q.5.45 Se il sistema lineare Ax = b di n equazioni in n incognite ammette almenodue soluzioni, allora a r(A) = n − 1 b r(A) < n c det A 6= 0d det A = 0.

Q.5.46 Si consideri il sistema3x + (2k− 3)y + 3(k− 1)z = 1

2x + (k− 3)y + 2(k− 1)z = k3x + (2k− 3)y + (4k− 5)z = 1

(5.1)

allora il sistema 5.1 ammette una ed una sola soluzione a per due valoridi k b per nessun valore di k c per infiniti valori di k ma non per tuttid per esattamente un valore di k.

Q.5.47 Nel sistema lineare Ax = b il rango della matrice A è uguale al numerodelle equazioni; allora si può dire che il sistema ammette a al più una solu-zione b almeno una soluzione c nessuna soluzione d esattamenteuna soluzione.

Q.5.48 Il sistema Ax = b di m equazioni in n incognite ammette ∞1 soluzioni.Allora: a m ≥ n− 1; b r(A) ≤ n− 1; c n = m e det A = 0; dn < m + 1.

5.1 Quesiti 55

Q.5.49 Se il sistema lineare Ax = b di m equazioni in n incognite ammette al piùuna soluzione, allora a r(A) < n; b r(A) = m; c r(A) = n; dr(A) = n− 1.

Q.5.50 Il sistema lineare Ax = b di m equazioni in n incognite ammetta ∞1 solu-zioni. Allora: a m ≥ n− 1; b r(A) ≤ n− 1; c n = M e det A = 0;d n < m + 1.

Q.5.51 Sia Ax = 0 un sistema lineare omogeneo di n equazioni in n incognite.Il sistema ammette: a almeno una soluzione se e solo se det A 6= 0;b solo la soluzione banale, se i vettori colonna di A sono linearmente

indipendenti; c infinite soluzioni se e solo se det A = 0; d infinitesoluzioni.

Q.5.52 Sia Ax = b un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Per ogni b ilsistema ha al più una soluzione se: a i vettori colonna di A sono linear-mente dipendenti; b i vettori riga di A sono linearmente indipendenti;c i vettori colonna di A sono linearmente indipendenti; d i vettori riga

di A sono linearmente dipendenti.

Q.5.53 Se la matrice A, di m righe e n colonne, ha rango massimo, le soluzioni delsistema lineare omogeneo Ax = 0 sono: a infinite se m ≤ n; b solola soluzione banale se m < n; c infinite se m < n; d solo la soluzionebanale se n ≤ m.

Q.5.54 Sia A una matrice di tipo (m, n) tale che il sistema Ax = b abbia almenouna soluzione per ogni vettore b. Allora: a m = n − 1; b m = n;c m ≤ n; d M ≥ n.

6. Applicazioni lineari, prodottiscalari

6.1. Applicazioni lineari e matrice rappresentativa

6.1 Sia f l’applicazione R 7→ R tale che f (x) = ax2 + bx + c. Determinare a, be c in modo che:

i) f sia iniettiva

ii) f sia suriettiva

6.2 Dimostrare che l’applicazione f : Dn 7→ Rn che associa ad ogni matricediagonale di ordine n il vettore di Rn costituito dalla n–pla ordinata deglielementi principali è un isomorfismo.

6.3* Sia f : C2 7→ C2 l’applicazione che associa ad ogni coppia di numericomplessi i loro coniugati. Verificare che f è R–lineare, cioè se si consideraC2 come spazio vettoriale su R, ma non è C–lineare, cioè non è lineare se siconsidera C2 come spazio vettoriale su C.

[ Per verificare che f è lineare su R consideriamo due qualsiansi elementi diC2, ad esmpio [z, w] e [z′, w′] ed una coppia (λ, µ) di numeri reali. Avremoallora, utilizzando la notazione algebrica dei numeri complessi,

f (λ[z, w] + µ[z′, w′]) =

= f (λ[x + iy, a + ib] + µ[x′ + iy′, a′ + ib′]) =

= f ([λx + µx′ + i(λy + µy′), λa + µa′ + i(λb + µb′)]) =

= [λx + µx′ − i(λy + µy′), λa + µa′ − i(λb + µb′)] =

= [λ(x− iy) + µ(x′ − iy′), λ(a− ib) + µ(a′ − ib′)] =

= λ[x− iy, a− ib] + µ[x′ − iy′, a′ − ib′] =

= λ[z, w] + µ[z′, w′] =

= λ f ([z, w]) + µ f ([z′, w′]).

Quindi f conservando le combinazioni lineari su R, è lineare.

58 Applicazioni lineari, prodotti scalari

Analogamente si ottiene:

f (i[z, w]) = f (iz, iw] =

= f (i[x + iy), i(a + ib)] == f ([−y + ix,−b + ia]) == [−y− ix,−b− ia].

Mentre invece

i f ([z, w] = i[z, w] = i[x− iy, a− ib] = [y + ix, b + ia].

]

6.4 Di ciascuna delle seguenti applicazioni dire se sono iniettive, suriettive,lineari o no.

i) f : N 7→ Z tale che f (n) = 5n

ii) f : R 7→ R tale che f (x) = x3

iii) f : Z×Z 7→ Z tale che f ([a, b]) = a + b

iv) f : N 7→ Z×Z tale che f (n) = [n2, n + 1]

[ i) iniettiva; ii) non lineare; iii) suriettiva ma non iniettiva; iv) non lineare ]

6.5 Sia V il sottospazio di R3 formato dai vettori che hanno la terza componentenulla, cioè V = [x1, x2, 0]|x1, x2 ∈ R. Siano f1, f2 e f3 tre applicazioniV 7→ V tali che, rispettivamente:

f1([x, y, 0]) = [2x− y, x, 0],

f2([x, y, 0]) = [x2, 2y, 0],f3([x, y, 0]) = [x + 1, y, 0].

Mostrare che, delle tre, solo f1 è lineare.

[Verifichiamo che f1 conserva le combinazioni lineari; siano v = [x, y, 0] ev′ = [x′, y′, 0] due generici elementi di V, si ha:

f1(αv + βv′) = [2(αx + βx′)− (αy + βy′), αx + βx′, 0] == [2αx− αy + 2βx′ − βy′, αx + βx′, 0] == [2αx− αy, αx, 0] + [2βx′ − βx′, βx′, 0] == α[2x− y, x, 0] + β[2x′ − y′, x′, 0] == α f1(V) + β f1(v′).

f2 non è nè additiva nè omogenea, infatti, per esempio,

2 f2([1, 0, 0]) = 2[1, 0, 0] = [2, 0, 0]

6.1 Applicazioni lineari e matrice rappresentativa 59

maf2(2[1, 0, 0]) = f2([2, 0, 0]) = [4, 0, 0].

]

6.6 Sia V = Mn lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n. Dimo-strare che se A ∈ V allora l’applicazione A 7→ tr(A) è lineare, dove tr(A)indica la traccia della matrice A.

6.7 Dimostrare che se f : V 7→W allora

i) Se dimV > dimW allora f non può essere iniettiva.

ii) Se dimV < dimW allora f non può essere suriettiva.

iii) Se dimV = dimW allora f è iniettiva se e solo se f è suriettiva.

[Ricordare la relazione dimV = dimKer f + dimIm f e che se f è lineareallora essa è iniettiva se e solo se Ker f = 0V]

6.8* Sia f : R3 7→ R3 l’applicazione lineare tale che:

f ([1, 0, 0]) = [3, 2, 1],f ([0, 1, 0]) = [−1, 2,−3],f ([0, 0, 1]) = [2, 4,−2],

e sia gα : R2 7→ R3 l’applicazione lineare tale che:

gα([1, 2]) = [6, 4, 2] e gα([2,−1]) = [α, 0, 4]

Determinare per quali valori del parametro reale α si ha Im( f ) = Im(gα).

[Lo spazio vettoriale Im( f ) è generato dai vettori f (e1) = [3, 2, 1], f (e2) =

[−1, 2,−3] e f (e3) = [2, 4,−2], dove e1, e2 ed e3 sono i vettori della basecanonica di R3; se essi fossero indipendenti l’immagine di f avrebbe di-mensione 3 e quindi non potrebbe coincidere con l’immagine di gα perchédimIm(gα) ≤ dimIm(R2) ∀α; ma f (e3) = f (e1) + f (e2) ed essendo f (e1) ef (e2) linearmente indipendenti, essi costituiscono una base per l’Im( f ). Anchel’immagine di gα ha dimensione 2, infatti i vettori g1 = [6, 4, 2] e g2 = [α, 0, 4]sono indipendenti per ogni valori di α, quindi per determinare per quali valoridi α i due spazi coincidono basta trovare per quali valori i vettori g1 e g2

sono generati da f (e1) e f (e2): g1 = [6, 4, 2] = 2[3, 2, 1] = 2 f (e1) mentre g2 è

combinazione lineare di f (e1) e f (e2) se e solo se il determinante

∣∣∣∣∣∣α 0 43 2 1−1 2 −3

∣∣∣∣∣∣è uguale a zero; da cui si ha α = 4. ]


6.9 Calcolare la dimensione di Im( f )∩ Im(gα) al variare di α, dove f e gα sonole applicazioni definite nell’esercizio 6.8

6.10* Sono date le applicazioni lineari fi : R3 7→ R2 tali che

f1([x1, x2, x3]) = [5x1 + 2x2 + 7x3, x1 + x2 − x3];

f2(([x1, x2, x3]) = [x1 + x2 + x3, x2 − x3];

f3([x1, x2, x3]) = [−x1 − x2 − x3, x3].

i) Trovare la matrice rappresentativa A di ciascuna di esse rispetto allebasi canoniche.

ii) Trovare la matrice rappresentativa A′ di ciascuna di esse rispetto allebasi B = v1 = [1, 1, 0], v2 = [0, 1, 1], v3 = [1, 0, 1] e B′ = f ′1 =[−1, 1], f ′2 = [1, 1] rispettivamente.

[Illustriamo la soluzione per l’applicazione f1 : i) Basta scrivere la matrice che

ha per righe i vettori immagine tramite f1 della base canonica: A =

5 12 17 −1

.

ii) I modo. Scriviamo le immagini dei vettori di B come combinazione linearedei vettori di B’: i coefficienti di tali combinazioni lineari saranno i vettoririga della matrice richiesta:

f1(v1) = [7, 2] = −52

v′1 +92

v′2

f1(v2) = [9, 0] = −92

v′1 +92

v′2

f1(v3) = [12, 2] = −6v′1 + 6v′2.

da cui la matrice A′ =

− 5

292

− 92

92

−6 6

;

II modo. Ricaviamo A′ come prodotto delle tre matrici HAK−1, dove H è lamatrice del cambiamento di base in R3 dalla base B a quella canonica, A èla matrice del punto i) e K è la matrice di passaggio in R2 dalla base B’ aquella canonica ( e quindi la sua inversa è quella che ci serve, cioè quella chetrasforma la base canonica in B’). . . ]

6.11 Siano:

f1([x1, x2, x3]) = [x1, x2, 0],

f2([x1, x2, x3]) = [x1 + x2, x1 − x2, 0],


f3([x1, x2, x3]) = [0, 0, x1 + x2 + x3],

e f4([x1, x2, x3]) = [x1 − x2, 0, x3 − x2] quattro applicazioni lineari da R3 aR3.

i) Trovare le matrici rappresentative di queste applicazioni rispetto allabase [1, 0, 1], [1, 1, 0], [0, 1, 1].

ii) Trovare le matrici rappresentative di queste applicazioni rispetto allabase B = [

√2,√

2, 0], [−√

2,√

2, 0], [0, 0, 1]

6.12 Sia f ([x1, x2, x3]) = [x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1, x1 + x2 + x3] un’applicazionelineare f : R3 7→ R4. Trovare la matrice rappresentativa rispetto alle basi:

[1, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 1]

[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1].

[

2 1 1 21 2 1 21 1 2 2

.]

6.13 Per ciascuna delle seguenti matrici e basi, trovare le applicazioni lineari adesse associate

i) A =

2 2 23 2 11 0 −1

[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1].

ii) B =

[2 1 −11 −1 −2

][1, 1], [−1,−2]

e [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1].

iii) C =

3 −1−3 1

1 0

[1, 1, 1], [1, 1, 0], [0, 1, 1]

e [1, 1], [−1,−2].

[B) H =

[1 1−1 −2

]−1è la matrice di passaggio dalla base canonica alla base

[1, 1], [−1,−2], quindi HB è la matrice di passaggio associata all’applicazio-ne lineare richiesta rispetto alle basi canoniche (la base dello spaio di arrivoè già quella canonica). Basta quindi moltiplicare il vettore riga [x, y] per HB:

[x, y][

5 1 −4−3 0 3

]= [5x− 3y, x,−4x + 3y].

C) f ([x, y, z]) = [3x− 7y + 8z, 4x− 9y + 10z]. ]


6.14 Sia f : R3 7→ R2 l’applicazione lineare rappresentata, rispetto alle basicanoniche, dalla matrice 1 1

1 20 1

.

Trovare la matrice che rappresenta la f rispetto alle basi

B1[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1] e B2[1, 0], [1, 1].

6.15 Sia f : R2 7→ R2 rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla ma-

trice[

1 33 5

]. Trovare la matrice che rappresenta la f rispetto alla base

B[1, 3], [3, 5].

6.16 Siano dati i vettori di R3

~v1 = [1, 0, 1], ~v2 = [0, 1,−1], ~v3 = [0, 0, 2]

~w1 = [3, 1, 0], ~w2 = [−1, 0, 2], ~w3 = [0, 2, 0].

Dimostrare:

i) che B = ~v1,~v2,~v3 è una base per R3;

ii) che esiste un’unica applicazione lineare f : R3 7→ R3 tale che f (~vi) =~wi ∀i = 1 . . . 3; [ f ([x, y, z]) = [3x− y, y + z, 2y]]

iii) trovare inoltre la matrice associata a f rispetto a B e rispetto alla base

canonica. [

3 1 0−1 0 20 2 0

]

6.17 Sia A la matrice[

1 22 4

], e sia f : M2(R) 7→M2(R) l’applicazione data da:

f (X) = AX− XA. Calcolare il rango di f e trovare la dimensione ed unabase di Ker f , Im f .

[Se X =

[a bc d

]allora f (X) =

[2c− 2b −2a− 3b + 2d

2a + 3c− 2d 2b− 2c

]; il Ker f è l’in-

sieme delle matrici X tali che f (X) sia la matrice nulla, per cui, uguagliando a

zero componente pr componente, si hanno le matrici del tipo

d− 32

b b

b d

:

Ker f ha dimensione 2 ed una sua base è la coppia di matrici[−3 22 0

]e[

1 00 1

];

dimIm f = dimM2,2(R)− dimKer f = 4− 2 = 2 ed una sua base è la coppia


[0 −22 0

]e[

2 03 −2

].Per quanto riguarda il rango r di f , cioè il rango della

matrice associata ad f rispetto ad una qualunque base, si può dimostrare cheesso coincide con la dimensione dell’immagine di f , quindi nel nostro casor = 2. ]

6.18 Sia A la matrice[

1 11 0

], e sia f : M2(R) 7→ M2(R) l’applicazione data

da: f (X) = AX − XA. Dimostrare che f è lineare, trovare Ker f , Im f emostrare che M2(R) = Ker f ⊕ Im f .

6.19 Mostrare che z 7→ αz è una trasformazione lineare di C in sè. Se z = x + iy,qual è la matrice rappresentativa di questa trasformazione rispetto allabase 1, i?

6.20 Trovare se esistono le applicazioni lineari specificate in ciascuno dei seguen-ti casi: se esistono fornire almeno un esempio, in caso contrario giustificarela risposta.

i) f1 : R4 7→ R3 tale che f1 sia suriettiva e che il nucleo di f1 sia generatodal vettore [1, 0, 1, 0].

ii) f2 : R2 7→ R2 tale che l’immagine di f2 sia generata dal vettore [1, 1].

iii) f3 : R3 7→ R3 tale che f3 sia iniettiva e che l’immagine di f3 siagenerata dai vettori [1, 1, 1] e [−1, 2, 0].

6.21* Esiste un’isomorfismo (cioè un’applicazione lineare biunivoca) tra lo spazioM3,4 delle matrici di tipo 3× 4 e quello M6,2 delle matrici 6× 2? Se esistetrovare un esempio, se non esiste giustificare la risposta1.

6.22 Sia faP2(t) 7→ R3 tale che ∀p ∈P2(t) si ha

fa(p) = [p(0), p(a), p(1)].

Trovare per quali valori di a l’applicazione fa è un isomorfismo.

6.23 Sia V come nell’esercizio 3.14 a pagina 25. Dimostrare che V è isomorfoa W, spazio vettoriale delle funzioni definite su [a, b] rispetto alle usualidefinizioni di somma di funzioni e di prodotto di una funzione per unoscalare.

1Più in generale si può dimostrare che spazi vettoriali definiti su uno stesso campo e finitamentegenerati sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.


6.2. Prodotti scalari

6.24 In R3, quali dei seguenti non sono prodotti scalari?

i) 〈x, y〉 = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3;

ii) 〈x, y〉 = x1y1 + 2x2y2 − 3x3y3;

iii) 〈x, y〉 = x1y2 + x2y3 + x3y1.

[Il secondo, perché 〈x, x〉 può essere negativo, ad esempio per x = [0, 0, 1];il terzo, in quanto per alcuni vettori si può avere 〈x, x〉 = 0 con x 6= 0, adesempio ancora con x = [0, 0, 1]. ]

6.25 Delle seguenti applicazioni 〈·, ·〉 : R3 ×R3 7→ R dire quali sono prodottiscalari in V = R3

i) 〈v, w〉 = v21 + w2

2 + v3w3;

ii) 〈v, w〉 = v1w1 − v1w2 − v2w1 + 3v2w2 + πv3w3;

iii) 〈v, w〉 = v1w2 + v2w1 + v3w2 + v3w1 + v1w3;

iv) 〈v, w〉 = 3v1w1 − v1w2 + v3w3;

v) 〈v, w〉 = −v1w1 + v1w2 + v2w1 − v2w2 − v3w3;

vi) 〈v, w〉 = v1w1 − v2w2;

vii) 〈v, w〉 = 400v1w1 + 3√

πv1w3 + 3√

πv3w1 + 227v3w3.

[ Solo ii); ad esempio i) non lo è perché non è bilineare. . . ]

6.26 Mostrare che (~x +~y)T(~x +~y) = ~xT~x +~yT~y se e solo se ~xT~y = 0.

6.27* Una matrice simmetrica reale A si dice definita positiva se e solo se xT Ax >0 ∀x ∈ Rn, si dice semidefinita positiva se e solo se xT Ax ≥ 0 ∀x ∈ Rn. Inmodo analogo si definiscono le matrici definite e semidefinite negative.Quali delle seguenti matrici appartengono ad una di queste categorie?

A =

[3 00 0

]B =

[1 33 2

]C =

[1 22 4

]D =

[−1 1

1 −1

].

[ A e C sono semidefinite positive, D è semidefinita negativa]

6.28 Tenendo conto della definizione data nell’esercizio precedente, mostrareche se A è una qualunque matrice reale, AT A e AAT sono semidefinitepositive; e che AAT è definita positiva se e solo se è non singolare.

6.2 Prodotti scalari 65

6.29 Dire per quali valori del parametro λ è definita positiva la matrice[

1 11 λ

].

[ [x, y]A[

xy

]= x2 + 2xy + λy2 da cui λ > 1]

6.30* Sia V = P3(t) lo spazio vettoriale dei polinomi ad una indeterminata acoefficienti reali e di grado non maggiore di 3. Sia B = 1, t, t2 una base

di V. Poniamo 〈p, q〉 =∫ 1

0p(t)q(t)dt. Mostrare che

i) 〈p, q〉 così definito è un prodotto scalare;

ii) la matrice che rappresenta questo prodotto scalare rispetto alla baseB è

M =

1 12

13

12

13

14

13

14

15

;

iii) verificare che M è definita positiva.

6.31* Quali dei seguenti sono prodotti scalari in V = C2?

i) 〈~x,~y〉 = ~x ·[

1 i−i 2

]·~y;

ii) 〈~x,~y〉 = ~x ·[

1 11 1

]·~y;

iii) 〈~x,~y〉 = ~x ·[

1 ii 2

]·~y;

iv) 〈~x,~y〉 = ~x ·[

0 11 0

]·~y;

v) 〈~x,~y〉 = ~x ·[−1 1− i

1 + i −1

]·~y;

vi) 〈~x,~y〉 = ~x ·[−1 1 + i

1 + i −1

]·~y.

6.32* Sia H(t) l’insieme dei polinomi a coefficienti complessi definiti sull’inter-vallo [a, b] dell’asse reale.

Mostrare che 〈 f , g〉 =∫ b

af (t)g(t)dt definisce un prodotto scalare in H(t).

6.33* Sia S ∈Mn(R) simmetrica e siano

〈·, ·〉 : Rn ×Rn 7→ R


e〈〈·, ·〉〉 : Mn(R)×Mn(R) : 7→ R

rispettivamente definite da:

〈x, y〉 = ytSx

e〈〈A, B〉〉 = tr(BTSA)

per ogni x, y ∈ Rn e per ogni A, B ∈Mn(R). Dimostrare che sono entrambiprodotti scalari e che 〈·, ·〉 è definito positivo se e solo se lo è 〈〈·, ·〉〉.

6.34 Sia V uno spazio vettoriale con norma ‖·‖. Verificare che

‖v + w‖2 + ‖v− w‖2 = 2(‖v‖2 + ‖w‖2).

6.3. Basi ortonormali

6.35* Ortonormalizzare i seguenti insiemi di vettori:

i) [1, 1, 1], [1, 2, 3], [0, 0, 1].

ii)[

i√3

,i√3

,i√3

], [0, i, 0], [0, 0,−i]

.

iii) [1, 0, 0, 0], [2, 1, 1,−1], [0, 1, 1, 2], [1, 1,−1, 0].

[Dobbiamo ottenere, a partire dai vettori dati~e1,~e2 ed~e3, tre vettori ~v1, ~v2 e ~v3

tali che 〈~v1,~v2〉 = 0,〈~v1,~v3〉 = 0 e 〈~v3,~v2〉 = 0. Sia ~v1 = ~e1 = [1, 1, 1]; poniamo~v2 = ~e2 + α~v1 Poiché~v1 e~v2 devono essere ortogonali, cioè 〈(~e2 + αv1),~v1〉 = 0

si ricava che α = − 〈~v1,~e2〉〈~v1,~v1〉

, dunque α = −2 e dunque ~v2 = [−1, 0, 1]. Ana-

logamente sia ~v3 = ~e3 + β~v1 + γ~v2; imponendo l’ortogonalità di ~v3 sia a ~v1

che a ~v2 si ottiene β = −13

e γ = −12

da cui ~v3 =

[16

,−13

,16

]. Natural-

mente occorre ora normalizzare i tre vettori ottenuti con questo procedimen-to2ottenendo infine ~u1 = ~v1√

3=[

1√3, 1√

3, 1√

3

], ~u2 = ~v2√

2=[− 1√

2, 0, 1√

2

]e

~u3 = ~v3√16

=[√

66 ,−

√6

3 ,√

66

]... ]

6.36 Mostrare che se X = ~x1, . . . ,~xr è una famiglia di vettori a due a dueortogonali nello spazio vettoriale V di dimensione n, X può essere com-pletato ad una base. [ Se sono ortogonali sono indipendenti, quindi. . . ]

2che prende il nome di procedimento di Grahm–Schmidt.

6.3 Basi ortonormali 67

6.37 Come l’esercizio precedente ma essendo X un insieme di vettori ortonor-mali.

6.38 In V = Rn mostrare che, se ~v1, . . . ,~vn è una base ortogonale, allora~v1

‖~v1‖, . . . ,

~vn

‖~vn‖

è una base ortonormale. [ Sono tutti a norma 1.]

6.39 Si determini una base di R3 ortonormale rispetto al prodotto scalare stan-dard, che sia costituita da autovettori della matrice0 2 2

2 0 22 2 0

.

[~u1 = 1√3

111

,~u2 = 1√2

10−1

,~u3 = 1√6

1−2−1

.]

6.40 Trovare una base ortonormale, rispetto al prodotto scalare standard, delsottospazio V di R4, generato dai vettori

~v1 = [1,−1, 1,−1], ~v2 = [5, 1, 1, 1] e ~v3 = [−3,−3, 1,−3].

6.41* Nello spazio vettoriale V = P3(τ) dei polinomi di grado non maggiore di3 nella variabile τ definiamo il prodotto scalare

〈p(τ), q(τ)〉 =∫ 1

0p(τ)q(τ)dτ.

Ortonormalizzare i vettori 1, τ, τ2 rispetto a questo prodotto scalare.

6.42 Trovare una base ortonormale rispetto a ciascuno dei prodotti scalari trovatinell’esercizio 6.25 a pagina 64

6.43* In V = P1(t) si consideri la trasformazione lineare f : V 7→ V tale chef (αt + β) = 2αt + 3β. Trovare una base ortogonale di V rispetto alla qualela matrice rappresentativa di f sia triangolare superiore.

6.44* In R3 sia definito un prodotto scalare 〈, 〉 rispetto al quale i vettori ~v1 =[1, 0, 0], ~v2 = [0, 2, 0] e ~v3 = [0, 0, 3] formano una base ortonormale. Dati~w1 = [2, 2, 0] e ~w2 = [0, 4, 9] calcolare 〈 ~w1, ~w2〉.


[ Essendo ~w1 = 2~v1 + ~v2 e ~w2 = 2~v2 + 3~v3, si ottiene, in forza della bilinearitàdel prodotto scalare e dell’ortonormalità della base,

〈 ~w1, ~w2〉 = 〈2~v1 + ~v2, 2~v2 + 3~v3〉 == 〈2~v1, 2~v2〉+ 〈2~v1, 3~v3〉+ 〈~v2,~v2〉+ 〈~v2, 3~v3〉 == 4 〈~v1,~v2〉+ 6 〈~v1,~v3〉+ 2 〈~v2,~v2〉+ 3 〈~v2,~v3〉 =

= 4× 0 + 6× 0 + 2× 1 + 3× 0 = 2

]

6.4. Quesiti

6.4.1. Vero o Falso

Q.6.55 Se f è un’applicazione di uno spazio vettoriale V in se stesso tale chef (x + y) = f (x) + f (y) allora, per ogni scalare α ∈ R ed ogni vettorex ∈ V accade che f (αx) = α f (x). 2 vero 2 falso

Q.6.56 Esiste una trasformazione lineare di V in V tale che se A e B sono duematrici ad essa associate (rispetto ad opportune basi) si ha det A 6= det B.

2 vero 2 falso

Q.6.57 Un’applicazione lineare R3 7→ R2 è sempre suriettiva.2 vero 2 falso

Q.6.58 Nello spazio vettoriale Mn delle matrici quadrate di ordine n la corri-spondenza f definita da f (A) = h(A + AT), con A ∈ Mn ed h ∈ R èun’applicazione lineare. 2 vero 2 falso

Q.6.59 Sia f : V 7→W un’applicazione lineare, allora dimKer f = dimV − dimW.2 vero 2 falso

Q.6.60 Nello spazio vettoriale Mn delle matrici quadrate reali di ordine n, la corri-spondenza f (A) = h(A + AT) dove A ∈ Mn e h ∈ R, è un’applicazionelineare. 2 vero 2 falso

Q.6.61 〈x, y〉 = xT

[1 11 1

]y è un prodotto scalare. 2 vero 2 falso

Q.6.62 Se ‖x‖ =√〈xT, x〉 allora ‖x + y‖ < ‖x‖+ ‖y‖. 2 vero 2 falso

Q.6.63 La matrice A =

[1 22 4

]è semidefinita positiva. 2 vero 2 falso

6.4 Quesiti 69

Q.6.64 Ogni insieme di vettori ortogonali è indipendente. 2 vero 2 falso

Q.6.65 Ogni insieme di vettori ortonormali è indipendente. 2 vero 2 falso


Q.6.66 Si consideri l’applicazione f : M2(R) 7→ M2(R) tale che f (A) =

[1 02 0

]A;

il nucleo dell’endomorfismo3 f ha dimensione a 0 b 1 c 2 d3.

Q.6.67 Sia L l’applicazione lineare a cui è associata, rispetto a certe basi, la matrice1 hh 00 h

. Allora a dimKerL = dimImL ∀h; b dimKerL = dimImL per

un solo valore di h; c dimKerL + dimImL = 3 per ogni valore di h; ddimKerL + dimImL = 3 per infiniti valori di h ma non per tutti.

Q.6.68 L’applicazione lineare F : R3 7→ R3 definita da

f ([x, y, z]) = [hx, x− hy, y + hz]

è a iniettiva per infiniti ma non tutti i valori di h; b suriettiva perinfiniti ma non tutti i valori di h; c iniettiva per ogni h; d suriettivaper ogni h.

Q.6.69 La matrice H =

[2 −ii 1

]è: a definita positiva; b definita negati-

va; c semidefinita positiva ma non definita; d nessuna delle risposteprecedenti.

Q.6.70 Definiamo il prodotto 〈x, y〉 = x∗Hy (dove x∗ indica il coniugato traspostodel vettore x ∈ C2). Quale delle seguenti matrici, sostituita ad H, for-

nisce un prodotto scalare? a[

1 i−i 2

]; b

[1 11 1

]; c

[1 ii 2

]; d[

0 11 0

].

Q.6.71 Quale dei seguenti insiemi di vettori è ortogonale?

a [i, i], [−i,−i]; b [1, 1], [−1, 0];c [i, i], [−i, i]; d [1, 0], [1, 0].

3Un endomorfismo è un’applicazione lineare per cui dominio e codominio coincidono.


Q.6.72 Se i vettori della famiglia [1, 1], [1,−1] vengono ortonormalizzati, siottengono i vettori:

a [√

2,√

2], [√

2,−√

2]; b [1, 0], [0, 1];

c [1, 1], [1,−1]; d[√

22 ,√

22

],[√

22 ,−

√2

2

].

7. Autovalori ed autovettori

La ricerca degli autovalori di una matrice quadrata deve ovviamente ritenersi ambientata,salvo esplicito avviso contrario, nel campo complesso C.

7.1* Si consideri la matrice

A =

h 1 01− h 0 2

1 1 h

Determinare h in modo che essa ammetta un autovalore uguale a 1: incorrispondenza di tale valore del parametro, trovare gli altri autovalori.

[ Il polinomio caratteristico di A è:

ϕ(λ) =

∣∣∣∣∣∣λ− h −1 0h− 1 λ −2−1 −1 λ− h

∣∣∣∣∣∣ = λ3 − 2hλ2 + (h2 + h− 3)λ− h2 + 3h− 2;

dovrà essere ϕ(1) = 0 quindi 1− 2h + h2 + h− 3− h2 + 3h− 2 = 0, da cuih = 2; sarà allora ϕA(λ) = λ3 − 4λ2 + 3λ = λ(λ2 − 4λ + 3) che si annulla,oltre che per λ1 = 1, anche per λ2 = 0 e λ3 = 3. ]

7.2 Sia A una qualsiasi matrice quadrata. Dimostrare che A e AT hanno glistessi autovalori ma non necessariamente gli stessi autovettori.

[A ed AT hanno lo stesso polinomio caratteristico, infatti det(λI − A) =

det(λI − A)T = det(λIT − AT) = det(λI − AT)]

72 Autovalori ed autovettori

7.3 Trovare autovalori ed autovettori delle seguenti matrici:

A =

[2 77 24

]; B =

1 1 10 1 01 1 1

; C =

0 −2 12 −5 2−1 2 −2

;

D =

1 −2 −40 0 −20 1 3

; E =

−11 −24 −188 17 12−2 −4 −2

; F =

1 0 00 1 10 0 1

;

G =

1 0 0 10 4 −2 00 3 −1 00 0 0 1

; H =

4 0 −2 00 2 0 53 0 −1 00 −1 0 −2

; K =

2 1 10 2 10 0 2

.

[Per la matrice B: la matrice λI − B è

λ− 1 −1 −10 λ− 1 0−1 −1 λ− 1

quindi il suo

polinomio caratteristico è ϕ(λ) = det(λI − B) = (λ − 1)∣∣∣∣λ− 1 −1−1 λ− 1

∣∣∣∣ =(λ− 1)(λ2− 2λ) = λ(λ− 1)(λ− 2) dunque gli autovalori sono 0, 1 e 2. Trovia-

mo gli autovettori associati ad essi: per λ = 0 si ha

1 1 10 1 01 1 1

xyz

= 0 da cui

il sistema omogeneo

x + y + z = 0

y = 0x + y + z = 0

che ammette come autosoluzione

x = k, y = 0, z = −k e quindi

k0−k

; per λ = 1

0 −1 −10 0 0−1 −1 0

xyz

= 0 e

quindi il sistema

−y− z = 0−x− y = 0

da cui l’autovettore

k−k

k

; infine per λ = 2 si

ha

1 −1 −10 1 0−1 −1 1

xyz

= 0 cioè

x− y− z = 0

y = 0−x− y + z = 0

e quindi

k0k

. . .

Per la matrice C si vede che gli autovalori sono: −5,−1,−1: per λ = −5 si

ha (5I − C)x = 0 da cuix = −k, y = −2k, z = k e quindi

−1−2

1

è l’autovettore

associato. Per quanto riguarda l’autovalore λ = −1 si ha l’unica equazionex − 2y + z = 0 da cui x = 2h− k, y = h, z = k e quindi si ottengono i due

autovettori indipendenti

210

−101

. Per quanto riguarda le altre matrici le

73

soluzioni sono:

A13±√

170

√170− 1171

−√170− 1171

; D1, 1, 2

100

0−2

1

−2−1

1

;

E1, 1, 2

−210

−

3201

6−4

1

; F1, 1, 1

100

010

;

G1, 1, 1, 2

1000

02310

0110

; H1, 2, i,−i

23010

1010

0−i− 2

01

0i− 2

01

;

K2, 2, 2

100

.

]

7.4 Per ciascuna delle seguenti matrici trovare gli autovalori, gli autovettoriassociati, ed una base per gli autospazi associati.

A =

1 1 00 1 00 0 2

; B =

1 0 00 1 00 0 2

;

C =

0 2 −10 2 −10 1 0

; D =

−1 3 03 −1 0−2 −2 6

;

E =

6 −4 −16 −4 −10 0 1

;

[Matrice A autovalori 1, 1, 2 per λ = 1

−y = 0−z = 0

da cui

k00

, per λ = 2

x− y = 0

y = 0da cui

00h

quindi si hanno due autovettori indipendenti [1, 0, 0]

e [0, 0, 1] e l’autospazio ha dimensione 2; matrice B autovalori 1, 1, 2 per

λ = 1 si ha il sistema

x = ky = hz = 0

e quindi due autovettori indipendenti: [1, 0, 0]


e [0, 1, 0]; per λ = 2 si ha

x = 0y = 0z = l

e quindi l’autovettore [0, 0, 1] dunque

l’autospazio ha dimensione 3. . . ]

7.5 Sia

A =

1 1 21 2 12 1 1

.

Mostrare che 4 è un autovalore di A, trovare gli altri autovalori e gliautovettori associati.

[Il polinomio caratteristico è λ3 − 4λ2 − λ + 4, autovalori 1,−1, 4, autovet-

tori rispettivamente

1−2

1

−101

111

.]

7.6 Mostrare che (λ − 2)2 è un divisore del polinomio caratteristico dellamatrice

A =

−8 −10 7 −9

0 2 0 0−9 −9 8 −9

1 1 −1 2

.

Trovare gli autovalori e gli autovettori associati di A.

[Il polinomio caratteristico è λ4− 4λ3 + 3λ2 + 4λ− 4 = (λ+ 1)(λ− 1)(λ− 2)2

autovalori −1, 1, 2, 2 autovettori

1010

−1

001

−1

100

−3

0−3

1

]

7.7* Se ATx = λx allora xT A = λxT; xT è chiamato autovettore riga di Aassociato a λ.

i) Trovare gli autovalori e gli autovettori riga e colonna della matrice

A =

[i 1 + i0 1− 1

].

ii) Se A è quadrata di ordine n, x è un autovettore colonna associato a λe yT è un autovettore riga associato a µ 6= λ, mostrare che1 yTx = 0.

1Questa relazione equivale a dire, come abbiamo visto, che x e y sono ortogonali.

75

7.8 Dare un esempio di una matrice 2× 2 ad elementi reali, i cui autovalori

non siano reali. [[

0 −34 2

].]

7.9 Gli elementi di una matrice quadrata A di ordine 2 sono interi naturali.Determinare A sapendo che det A = 3 e tr(A) = 5.

7.10 Sia A =

1 + i 2 1− i3− i −1 + i i

4 7 + i 2− 5i

. Calcolare λ1 + λ2 + λ3, λ1λ2 + λ1λ3 +

λ2λ3 e λ1λ2λ3 senza calcolare il polinomio caratteristico di A. Trovare poii tre autovalori e confrontare i risultati.

[Tenere conto delle relazioni tra gli autovalori di A, i coefficienti del polinomiocaratteristico ed i minori principali di A. . . ]

7.11 Mostrare che se A è una matrice quadrata reale di ordine n con n dispari,allora A ha almeno un autovalore reale.

[Ricordare il Teorema Fondamentale dell’Algebra e le sue conseguenze. . . ]

7.12 Come conseguenza di quanto mostrato nell’esercizio 7.11 fornire un esem-pio di una matrice quadrata reale di ordine 3 che abbia un solo autovalore

reale. [ Ad esempio la matrice

1 0 02 0 −33 4 2

]

7.13 Sia A ∈Mn(R) e sia ϕA(λ) il suo polinomio caratteristico. Mostrare chese A è emisimmetrica allora

ϕA(λ) = (−1)n ϕA(−λ)

e dedurre da ciò il noto risultato che se n è dispari, A è singolare.

[Basta ricordare che A è emisimmetrica se A = −AT quindi λI− A = λI + AT

e che det(−A) = (−1)n det A. . . ]

7.14 Sia f : P3(x) 7→P3(x) tale che f (p) = xp′(x) dove p′(x) è la derivata dip(x). Trovare autovalori ed autovettori della matrice associata ad f rispettoalla base canonica 1, x, x2, x3

7.15 Per quali valori del parametro h la matrice

A =

−1 2 −h−1 2 −1

0 0 1− h


ammette l’autovettore

211

?

[Dalla definizione si ha, nel caso in esame,

−2 + 2 · 1− h · 1 = 2λ

−2 + 2 · 1− 1 = λ

(1− h) · 1 = λ

. . . h = 2]

7.16* Si considerino la matrice A =

a 4 0b 0 b0 4 c

ed il polinomio

ϕ(λ) = λ3 − 3λ2 + 2λ + h. (7.1)

Determinare a, b, c ed h in modo che A abbia rango < 3 ed ammetta la (7.1)come polinomio caratteristico.

[Siccome A è singolare ed il determinante di una matrice coincide con iltermine noto del suo polinomio caratteristico, si ha det A = −4b(a + c) =

h = 0 ne segue che h = 0 oppure a + c = 0. Ricordando le relazioni tragli elementi di A ed i coefficienti del polinomio caratteristico, si ha tr(A) =

a + c = −(−3) = 3 e∣∣∣∣a 00 c

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a 4b 0

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 b4 c

∣∣∣∣ = 2. . .

a + c = 3

b = 0ac = 2

⇒ [a, b, c] =

[1, 0, 2] ∨ [2, 0, 1].]


1 0 10 0 21 0 k

. Determinare per quali valori reali

di k A ammette un autovalore λ = 0 di molteplicità algebrica 2. In corri-spondenza di questi valori determinare l’altro autovalore e gli autovettoridi A.

[Il polinomio caratteristico è λ[λ2 − (1 + k)λ + k− 1

]che ammette la radice

λ = 0 doppia se k = 1. . . ]

7.18 Sia A quadrata di ordine 2. Determinarne gli autovalori sapendo che èdet(I − A) = 4 e det(4I − A) = 1.

[ Il polinomio caratteristico è ϕ(λ) = det(λI − A) = λ2 + aλ + b; le relazionidate ci dicono che ϕ(1) = 4 e ϕ(4) = 1 di conseguenza. . . ]

77

7.19 Data la matrice

A =

0 1 ab c de f g

Determinare A in modo che sia emisimmetrica ed ammetta l’equazionecaratteristica

λ3 + 2aλ + d = 0

[c = g = 0, b=-1; d = f = 0, a = −e = 1]

7.20 Si considerino la matrice A =

a 4 0b 0 b0 4 c

e l’equazione λ3− 3λ2 + 2λ+ h =

0. Determinare i valori di a, b, c ed h in modo che A abbia rango minore di3 ed ammetta la precedente come equazione caratteristica.

[|A| = 0⇒ h = 0; λ = 0, 1, 2⇒ a = 1, b = 0, c = 2; a = 2, b = 0, c = 1.]

7.21 Sia A una matrice quadrata di ordine 2 non nulla e singolare tale cheA2 + A = 0; determinare gli autovalori di A. [ |A| = |I + A| = 0 : λ = 0, 1]

7.22 Verificare che non esistono matrici non nulle che siano contemporaneamen-te idempotenti ed emisimmetriche.

[ Se A è idempotente allora A2 − A = 0 quindi gli autovalori di A posssonoessere solo 0 o 1. Poiché la traccia di una matrice emisimmetrica è nulla nesegue che gli autovalori devono essere tutti nulli, ma da A(A− I) = 0 segueche o A = 0 oppure gli autovalori non sono uguali. ]

7.23 Si consideri la matrice B =

[2 1h h

]; determinare, al variare di h le matrici

A che hanno gli autovalori non nulli e soddisfano la relazione A = A2B.

[Dev’essere det A 6= 0 quindi h 6= 0: A = B−1 =

[1 − 1

h

−1 2h

]]

7.24 Trovare tutte le matrici quadrate del terz’ordine emisimmetriche che am-

mettono l’autovettore

−301

associato all’autovalore 0.

[α

0 1 0−1 0 −3

0 3 0

(con α 6= 0)]


7.25 Determinare gli autovettori della matrice[

2 k− 1k 1

]al variare del parame-

tro k. [λ = k + 1, 2− k; per k = 0 :[

αα

] [β0

]per k 6= 0 :

[ 1−kk ββ

]con α, β 6= 0]

7.26* Trovare tutte le matrici quadrate singolari che ammettono l’autovettore[11

].

[ Se indichiamo con A =

[a bc d

]la matrice e con λ l’autovalore a cui l’auto-

vettore è associato, la relazione

(λI − A)

[11

]= 0

ci dice che deve esistere un valore di λ per cui è risolubile il sistemaλ− a− b = 0−c + λ− d = 0

,

cioè dev’essere a + b = c + d. Ma poiché la matrice cercata dev’essere an-

che singolare, si ha inoltre ad = bc. Da qui otteniamo le matrici[

a ba b

]e[

−b bc −c

]. ]

7.27 Determinare gli autovettori della matrice A =

[2 k− 1k 1

]al variare del

parametro k ∈ R.

[λ = k + 1, 2− k; k = 0 :[

αα

] [β0

]; k 6= 0 :

[ 1−kk ββ

]con (α, β 6= 0)]

7.28 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine, ciascuna delle qualiammette l’autovettore x associato all’autovalore λ. Mostrare che la matriceA + B ammette l’autovalore 2λ. [Ax = λx, Bx = λx =⇒ (A + B)x . . . ]

7.29* Determinare tre autovettori linearmente indipendenti della matrice

A =

1 1 11 1 11 1 1

.

[ Il polinomio caratteristico di A è ϕ(λ) = −λ2(λ− 3) e quindi gli autovalorisono λ1 = λ2 = 0 e λ3 = 3. Per λ = 0 otteniamo gli autovettori dal sistema

7.1 Quesiti 79

−x− y− z = 0−x− y− z = 0−x− y− z = 0

che ammette l’autosoluzione

x = α

y = β

z = −α− β

con α2 + β2 6=

0. Da qui si ricava, ponendo rispettivamente α = 1, β = 0 e α = 0 β =

1, che due autovettori indipendenti sono, per esempio,

10−1

e

01−1

: In

corrispondenza dell’autovalore λ3 = 3 si ha il sistema

2x− y− z = 0−x + 2y− z = 0−x− y− 2z = 0

che

ammette l’autosoluzione

x = γ

y = γ

z = γ

e quindi un autovettore, indipendente dai

precedenti, può essere, per esempio

111

. ]

7.1. Quesiti

7.1.1. Vero o Falso

Q.7.73 Esiste una matrice che ammette come autovalori−1, 1, 0 e come autovettori

rispettivamente associati

−306

,

011

e

20−4

2 vero 2 falso

Q.7.74 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine, ciascuna delle qualiammette l’autovettore x associato all’autovalore λ. Allora la matrice A + Bammette l’autovalore 2λ 2 vero 2 falso

Q.7.75 Esistono matrici ad elementi reali che ammettono come polinomio caratte-ristico il polinomio ϕ(λ) = λ3 − λ 2 vero 2 falso

Q.7.76 Sia A una matrice invertibile, allora A e A−1 hanno gli stessi autovettori.2 vero 2 falso

Q.7.77 Se x è autovettore di A associato a λ e y è autovettore di A associato a µallora x + y è autovettore di A associato a λ + µ. 2 vero 2 falso

Q.7.78 Ogni matrice quadrata è individuata dai suoi autovalori e dai corrispon-denti autovettori. 2 vero 2 falso


Q.7.79 Siano A e B due matrici quadrate non singolari dello stesso ordine tali cheAB = 2A + B. Allora B non puøammettere l’autovalore λ = 2 ed A nonpuò ammettere l’autovalore λ = 1. 2 vero 2 falso

Q.7.80 Sia A quadrata singolare di ordine 2 con traccia non nulla. Allora Aammette due autovettori indipendenti. 2 vero 2 falso

Q.7.81 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine, ciascuna delle qualiammette l’autovettore x0 associato all’autovalore λo. Allora la matriceA + B ammette l’autovalore 2λ0. 2 vero 2 falso

Q.7.82 Se A è invertibile, allora A non ammette alcun autovalore nullo.2 vero 2 falso

Q.7.83 Se il polinomio caratteristico di A ha termine noto nullo, allora A è inverti-bile 2 vero 2 falso

Q.7.84 Se λ è un autovalore di A, allora la molteplicità algebrica di λ è uguale allasua molteplicità geometrica. 2 vero 2 falso

Q.7.85 Il vettore colonna v =

−101

è un autovettore della matrice

A =

1 −1 0−1 2 −1

0 −1 1

?

2 vero 2 falso

Q.7.86 Siano x1, x2, . . . , xp autovettori di una matrice A associati, rispettivamente,agli autovalori distinti λ1, λ2, . . . , λp allora l’insieme

x1, x2, . . . , xp

è un

insieme indipendente. 2 vero 2 falso

Q.7.87 Se A è quadrata di ordine 2, allora il polinomio caratteristico di A è ϕ(λ) =λ2 − tr(A)λ + det A. 2 vero 2 falso

Q.7.88 Il determinante di una matrice è zero se e solo se uno dei suoi autovalori ènullo. 2 vero 2 falso

Q.7.89 Se λ è autovalore di A allora la molteplicità geometrica di λ è uguale alrango della matrice λI − A. 2 vero 2 falso

Q.7.90 Sia f : R2 7→ R2 l’applicazione lineare definita da f (x, y) = [3x,−3y].Allora tutti gli autovalori della matrice associata ad f sono reali.

2 vero 2 falso

7.1 Quesiti 81

Q.7.91 La matrice[

h 11 h

](h ∈ R) ammette due autovettori indipendenti solo per

h 6= ±1. 2 vero 2 falso


Q.7.92 Siano A e B due matrici quadrate reali di ordine n. Allora è vero che: aA e B hanno gli stessi autovalori; b A e B hanno gli stessi autovetto-ri; c Valgono le due proprietà precedenti; d Non vale nessuna delleproprietà precedenti.

Q.7.93 Sia λ un autovalore di una matrice non singolare A. Allora: a r(λI −A) < r(A); b r(λI − A) = r(A); c r(λI − A) > r(A); d Nessunadelle risposte precedenti.

Q.7.94 Sia

A =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 1 00 0 0 1 00 0 0 0 2

Allora la molteplicità algebrica dell’autovalore 1 è: a 4; b 3; c 2;d 1.

Q.7.95 Sia A come nel quesito Q.7.7.94. Allora la molteplicità geometrica dell’au-tovalore 1 è: a 4; b 3; c 2 d 1.

Q.7.96 Sia A = [aij] e sia 1, 1, 2, 2, 0 l’insieme dei suoi autovalori, allora la sommaa11 + a22 + a33 + a44 + a55 è: a 3; b −3; c 6; d −6.

Q.7.97 Se l’insieme degli autovalori di A è 1,−2, 0 allora il suo polinomio caratte-ristico ϕ(λ) è: a λ3 + λ2− 2λ; b λ3− λ2− 2λ; c −λ3− λ2 + 2λ;d −λ3 − λ2 − 2λ.

Q.7.98 Se A è simile alla matrice diag(1, 2,−1), allora l’insieme degli autovalori diA è: a 1, 2,−1; b 1, 1

2 ,−1; c 1,−2,−1; d 1,−12 ,−1.

Q.7.99 Se A =

1 2 33 0 30 0 6

, quale dei seguenti non è un autovalore di A? a 6;

b 3; c −2; d 2.


Q.7.100 Sia A quadrata di ordine n ≥ 3 e rango 1, allora A a ha tutti gliautovalori distinti; b ha n autovalori uguali a 1; c ha solo l’autovalorenullo; d ha solo gli autovalori λ1 = 0 e λ2 = tr(A)

Q.7.101 Per quanti valori reali del parametro k il vettore[

1k

]è autovettore della

matrice[

0 k2 −1

]? a nessuno; b tutti; c almeno due; d esatta-

mente uno.

8. Diagonalizzazione, matriciortogonali

8.1 Determinare se la matrice A =

2 1 10 2 01 0 2

è o no diagonalizzabile, e, se lo

è, trovare una matrice P tale che P−1AP sia una matrice diagonale.

[Gli autovalori sono 1, 2, 3 quindi è diagonalizzabile. La matrice P è formatada tre autovettori indipendenti di A. . . ]

8.2 Sia M la matrice

1 2 02 −2 0−1 0 1

. Trovare, se esiste, una matrice non singola-

re P tale che P−1MP sia una matrice diagonale.

[ Ad esempio P =

0 2 40 1 −81 −2 1

.]


A =

−13 6 4−36 17 8−28 10 11

P =

1 1 12 1 21 3 2

e ∆ = diag(3, 5, 7).

Mostrare che ∆ = P−1AP. Quali sono gli autovalori e gli autovettori di A?e quelli di ∆?

[Autovalori di A e di ∆ 3, 5, 7, A è diagonalizzabile . . . gli autovettori di A

sono le colonne di P, gli autovettori di ∆ sono

100

,

010

e

001

.]

8.4 Sia data la matrice

A =

2 0 10 3 01 0 2

.

84 Diagonalizzazione, matrici ortogonali

Verificare che A è diagonalizzabile e determinare una matrice invertibile Pe una matrice diagonale ∆ tali che

AP = P∆.

[Gli autovalori 3, 3, 1 sono regolari: 1 perché semplice, 3 perché la suamolteplicità algebrica coincide con quella geometrica, cioè con n− r(λI − A);

P =

−1 0 10 1 01 0 1

∆ =

3 0 00 3 00 0 1

]

8.5 Determinare se sono diagonalizzabili in R o in C le matrici dell’esercizio 7.3a pagina 71. [ Sono tutte diagonalizzabili, tranne F, G e K.]

8.6 Per ciascuno dei valori trovati nell’esercizio 7.15 a pagina 75 dire se lamatrice A è o no diagonalizzabile. [ Sì]

8.7 Le matrici A =

[1 01 1

]e B =

3 0 0−2 1 0

1 2 2

sono diagonalizzabili?

[ A no, B si]

8.8 Determinare gli eventuali valori del parametro p per i quali è diagonalizza-bile la matrice

A =

1 1 p1 0 10 0 2

.

[Cominciamo a vedere se esistono valori del parametro p per cui gli autovalorisono tre distinti. Il polinomio caratteristico di A è (λ − 2)[λ(λ − 1) − 1] e

quindi gli autovalori sono

2,−1−

√5

2,−1 +

√5

2

; essendo distinti A è

diagonalizzabile qualunque sia p.]

8.9* Determinare per quali valori del parametro è diagonalizzabile la matrice

A =

1 0 0t 0 01 −2t 1

.

[Gli autovalori sono 1 con moltepicità 2 e 0 semplice, quindi regolare. Dob-biamo vedere per quali valori di t è regolare l’autovalore 1. Consideriamo la

85

matrice B = 1 · I − A =

0 0 0−t 1 0−1 2t 0

; l’autovalore 1 è regolare se r(B) = 1.

È facile osservare che l’unico minore del secondo ordine che potrebbe essere

diverso da 0 è∣∣∣∣−t 1−1 2t

∣∣∣∣ = −2t2 + 1 che si annulla per t = ± 1√2

. Quindi A è

diagonalizzabile solo per t = ± 1√2

.]

8.10 Determinare i valori dei parametri h e k per i quali è diagonalizzabile lamatrice

A =

1 0 k− 10 1 00 h 2

.

[Il polinomio caratteristico è (λ− 1)2(λ− 2) e dunque gli autovalori sono 1doppio e 2 semplice. Studiamo la regolarità dell’autovalore 1. B = I − A =0 0 1− k

0 0 00 −h −1

che ha rango 2 se e solo se∣∣∣∣ 0 1− k−h −1

∣∣∣∣ 6= 0 da cui si ricava

che la matrice è diagonalizzabile se e solo se h(1− k) = 0 cioè per h = 0oppure per k = 1.]

8.11 Stabilire per quali valori reali dei parametri h e k è diagonalizzabile lamatrice

A =

k h2 k0 k2 0k h k

.

[Il polinomio caratteristico è λ(λ− k2)(λ− 2k) dunque gli autovalori sono0, k2 e 2k che sono distinti se k 6= 0 o k 6= 2. Per questi valori la matrice è

diagonalizzabile ∀h. Ponendo k = 0 si ottiene A =

0 h2 00 0 00 h 0

; si hanno tre

autovalori coincidenti e la matrice è diagonalizzabile solo se h = 0. Per k = 2

si ha A =

2 h2 20 4 02 h 2

gli autovalori sono 0 semplice e 4 doppio. La matrice

4I − A ha rango 1 se h = 0 oppure se h = −1.]

8.12 Sia A =

[1 2α 1

]per quali valori di α A non è diagonalizzabile? [ α = 0]


8.13 Esiste un valore di β per cui non è diagonalizzabile la matrice B =

[3 3β 1

]?

[β = −13

]

8.14 Se P−1AP = ∆ e A2 = 0, dimostrare che A = 0.

8.15 Sia A una matrice diagonalizzabile non singolare e siano λ1, . . . , λn i suoiautovalori; calcolare gli autovalori di A−1 in funzione dei λi.

[A−1 è diagonalizzabile e simile a ∆−1. . . gli autovalori di A−1 sono quelli di∆−1 cioè 1

λ1, 1

λ2, . . . , 1

λn]

8.16 Sia A ∈M2(R). Dimostrare che se det A < 0 allora A è diagonalizzabile.Trovare una matrice reale quadrata di ordine due singolare –diversa dallamatrice nulla– e non diagonalizzabile.

[Ricordando che il polinomio caratteristico è λ2 − tr(A)λ + det A si vedesubito che se det A < 0 l’equazione caratteristicha ha due radici reali distinte;

ad esempio la matrice[

0 01 0

]]

8.17 Mostrare che ogni matrice nilpotente1 diversa dalla matrice nulla non èdiagonalizzabile.

8.18* Sia fα : P3(x) 7→ P3(x) tale che fα(p(x)) = xp′(x − α) dove p′(x) è laderivata di p(x). Determinare per quali valori di α ∈ R –se esistono– lamatrice associata a fα è diagonalizzabile.

[La matrice associata all’applicazione è

A =

0 0 0 00 1 0 00 −2α 2 00 3α2 −6α 3

i suoi autovalori sono 0, 1, 2, 3 quindi essa è certamente diagonalizzabile∀α.]

8.19 Siano A una matrice quadrata di ordine 2 singolare e b un opportunovettore colonna. Dimostrare che se Ab = b allora A è idempotente.

1Ricordiamo che una matrice A si dice nilpotente se esiste un numero k tale che Ak = 0.

87

[A è singolare, quindi ha un autovalore nullo, inoltre la relazione Ab = bimplica che l’altro autovalore è uguale a 1]

8.20 Mostrare che è ortogonale la matrice

A =

[cos ϑ − sin ϑsin ϑ cos ϑ

].

8.21 Mostrare che ogni matrice ortogonale di ordine 2 con determinante ugualead 1 è della forma della matrice A dell’esercizio 8.20 per un opportunovalore di ϑ.

8.22 Tra le seguenti matrici individuare quelle che sono ortogonali:

A =

1√2−√

22

1√2

√2

2

B =

35

425

45− 3

25

C =

35

45

45−3

5

;

D =

1√3

1√6

√2

21√3

1√6

√2

21√3− 2√

60

; E =

1√3

12

1

1√3

12−1

1√3−1 0

F =

1 1

12

1 −112

1 0 1

;

[ Basta verificare che le colonne siano a due a due ortogonali e normalizzate...]

8.23 La matrice:

G =

12

√3

61√6

√2

212

√3

61√6−√

22

12

√3

6− 2√

60

12−3

√3

60 0

è ortogonale?


8.24 Tra le seguenti matrici trovare, se esiste, una base ortonormale di R3 che lediagonalizzi

A =

1 2 −12 0 0−1 0 −1

; B =

1 0 −30 0 0−3 0 9

; C =

2 0 40 2 24 2 0

;

D =

2 2 −42 1 −3−2 1 1

; E =1

529

−110 −450 282−450 227 288282 288 941

;

F =

1 −1 1−1 0 1

1 1 1

; G =

1 0 −20 0 0−2 0 4

; H =

0 2 02 0 10 1 0

.

[Se la matrice è diagonalizzabile, basta ortonormalizzare gli autovettori indi-pendenti. . . ]

8.25 Trovare per quali valori del parametro, se esistono, ciascuna delle seguentimatrici è diagonalizzabile e se esistono valori per cui è ortogonalmentediagonalizzabile

A =

1 0 00 0 a0 b 0

; B =

1 1 01 h k0 −1 1

;

C =

λ 0 0µ 1 10 1 1

; D =

1 0 10 t 0s 0 1

;

E =

k + 1 2 k− 10 k 0k k −1

.

[Basta ricordare che una matrice reale è ortogonalmente diagonalizzabile se esolo se è simmetrica. . . l’unica che non è ortogonalmente diagonalizzabile pernessun valore del parametro è la E]


A =

0 h 0k 0 00 0 0

e B =

0 0 00 −1 00 0 1

.

Determinare h e k in modo che esista una matrice ortogonale U tale cheAU = UB. [ h = k = 1]

89

8.27 Mostrare che la matrice

U =

√

22

√2

20

√2

2−√

22

0

0 0 1

è unitaria (Si chiama unitaria una matrice complessa tale che U∗U = I,dove U∗ è la coniugata trasposta di U).

8.28* Trovare un vettore x =

x1x2x3

in modo che la matrice U =

35 −4

6 x145

36 x2

0√

116 x3

sia unitaria.

8.29* Data la matrice non singolare

A =

1 i 1− i1 i 01 0 0

trovare una matrice unitaria U tale che AU sia triangolare superiore.

8.30 Dimostrare che il prodotto di due matrici unitarie è una matrice unitaria.

8.31 Se D = diag(d1, . . . , dn) è una matrice diagonale, dimostrare che essa èunitaria se e solo se |dj| = 1 ∀j = 1 . . . n.

8.32* Sia V lo spazio vettoriale euclideo dei polinomi in una indeterminata digrado ≤ n. In V definiamo il seguente prodotto scalare:

〈p(x), q(x)〉 =∫ +1

−1p(x)q(x)dx

dimostrare che i seguenti polinomi2 formano una base ortogonale per V.

p0(x) = 1, pk(x) =1

2kk!· dk

dxk [(x2 − 1)k] (k = 1, 2, . . . , n).

8.33 Sono dati i vettori u = [α, 1, 0]T, v = [γ, 1, 1]T e w = [α, β, 0]T dipendentidai parametri reali α, β e γ. Determinare, se esistono, i valori dei parametriin modo che u, v e w siano autovettori di una matrice reale simmetricaassociati agli autovalori 1, 0, −1.

2chiamati polinomi di Legendre.



A =

1 0 02 1 −11 0 1

e B =

k 0 00 1 00 0 1

.

Verificare che per nessun valore del parametro k esiste una matrice nonsingolare X tale che XA = BX

[A non è diagonalizzabile, mentre B è diagonale . . . ]

8.35 Determinare se le seguenti coppie di matrici sono o no simili.1 0 00 2 00 0 3

,

1 0 00 3 00 0 2

;

1 2 32 3 13 1 2

,

1 2 32 3 43 5 7

[ La prima sì, la seconda no]

8.36 Le matrici

A =

−4 −7 −6−2 −1 −26 8 8

e B =

−2 −8 −12−8 −18 −26−4 −11 −17

sono simili? [ No, non hanno gli stessi autovalori]


A =

1 0 00 k −11 k −1

e B =

1 0 10 0 00 0 −1

.

Trovare k in modo che A e B siano simili.

[Gli autovalori di B sono 1, 0,−1, per k = 0 gli autovalori coincidono e lematrici sono entrambe diagonalizzabili. . . ]

8.38 Si considerino la matrice

A =

2 0 0h 1 1

h + 1 2h 1

91

ed una matrice B avente come polinomio caratteristico

pB(λ) = λ3 − 4λ2 + 5λ− 2.

Determinare gli eventuali valori del parametro h per i quali A e B possonoessere simili. [ I polinomi caratteristici coincidono solo per h = 0. . . ]

8.39 Mostrare che:

i) Se A è non singolare, A è simile a B se e solo se B−1 è simile a A−1.

ii) Se A è simile a B allora AT è simile a BT.

[ A−1PA = B⇐⇒ AP−1 A−1 = B−1 e A−1PA = B⇐⇒ AT PT(AT)−1 = BT]

8.40 Se A è simile a B, mostrare che tr(A) = tr(B).[ I polinomi caratteristici sono uguali, quindi. . . ]

8.41 Determinare due matrici A, B ∈ M2(R) che non siano simili, ma cheabbiano uguali determinante, traccia, autovalori e polinomio caratteristico.

[ Ad esempio[

0 10 0

]e[

0 01 0

]]


A =

1 0 00 1 01 0 5

e B =

5 0 00 1 01 k 1

.

i) Verificare che A è diagonalizzabile.

ii) Determinare tutti i valori del parametro k in corrispondenza dei qualiB è simile a A.

iii) Determinare una matrice non singolare P tale che P−1AP sia diagona-le.

[ k = 0; P =

0 0 −40 1 01 0 1

]

8.43 Sia A una matrice reale simmetrica del terz’ordine che ammette gli autova-

lori 1, 1 e 2 e sia B =

1 1 00 1 00 0 2

. Stabilire se A e B sono simili.

[A è diagonalizzabile perché reale simmetrica, gli autovalori di B sono glistessi di A; le matrici sono simili se e solo se B è diagonalizzabile. . . ]


8.44 Ridurre a forma canonica la forma quadratica

ϕ(x, y, z) = z2 + 2xz + 2yz

[ψ(x, y, z) = 2y2 − z2]

8.45 Dimostrare che ϕ(x, y, z) = 3x2 non può essere la forma canonica di

ψ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2xz

senza calcolare esplicitamente gli autovalori.

[La forma canonica di una forma quadratica è del tipo λ1x2 + λ2y2 + λ3z2

dove i λi sono gli autovalori della matrice simmetrica associata alla forma. Nel

caso della ψ la matrice è

1 0 −10 1 0−1 0 1

che ha rango 2, quindi l’autovalore

nullo è semplice, mentre nella ψ è doppio.]

8.1. Quesiti

8.1.1. Vero o Falso

Q.8.102 Ogni matrice è simile ad una matrice diagonale. 2 vero 2 falso

Q.8.103 Due matrici sono simili se e solo se hanno gli stessi autovalori con le stessemolteplicità. 2 vero 2 falso

Q.8.104 Ogni matrice quadrata di ordine 3 con i tre autovalori coincidenti non èmai diagonalizzabile 2 vero 2 falso

Q.8.105 Sia A una matrice quadrata singolare di ordine due con traccia non nulla.Allora A ammette due autovettori indipendenti. 2 vero 2 falso

Q.8.106 Sia S l’insieme delle matrici diagonalzzabili mediante la stessa matrice dipassaggio P. Allora le matrici di S sono tutte simili. 2 vero 2 falso

Q.8.107 Una matrice reale di ordine due tale che det A = 0 è sempre diagonalizza-bile. 2 vero 2 falso

Q.8.108 Una matrice diagonalizzabile con tutti gli autovalori uguali è sempre in-vertibile. 2 vero 2 falso

8.1 Quesiti 93

Q.8.109 Una matrice simile ad una matrice simmetrica è a sua volta simmetrica.2 vero 2 falso

Q.8.110 Se A è una matrice diagonalizzabile, allora anche A2 è diagonalizzabile2 vero 2 falso

Q.8.111 Se A è ortogonale, allora anche A ∗ I è ortogonale. 2 vero 2 falso

Q.8.112 Se A è ortogonale, allora anche A− 2I lo è. 2 vero 2 falso

Q.8.113 Se le matrici U e U ·V sono ortogonali allora V è ortogonale2 vero 2 falso

Q.8.114 Se A è diagonalizzabile, allora la molteplicità geometrica di ciascuno deisuoi autovalori distinti è 1. 2 vero 2 falso

Q.8.115 Due matrici sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico2 vero 2 falso

Q.8.116 Se A non è diagonalizzabile allora gli autovalori di A non sono tutti distinti.2 vero 2 falso

Q.8.117 Se A è diagonalizzabile per ogni autovalore λs di molteplicità k, allora lamatrice λs I − A ha rango n− k 2 vero 2 falso

Q.8.118 Le matrici A =

0 0 00 0 2h 1 2

e B =

1 0 10 2 01 0 1

sono simili

2 vero 2 falso

Q.8.119 Se A non è invertibile, allora A non è diagonalizzabile.2 vero 2 falso

Q.8.120 Se λ è autovalore di una matrice unitaria, allora |λ| ≤ 12 vero 2 falso

Q.8.121 Siano A e B due matrici simili. Se A è non singolare, allora B ha unautovalore nullo. 2 vero 2 falso

Q.8.122 Una matrice è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori distinti.2 vero 2 falso

Q.8.123 Le forme quadratiche ϕ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2yz e ψ(x, y, z) = x2 +2y2 + z2 − 2xz ammettono una stessa forma canonica.

2 vero 2 falso



Q.8.124 Se due matrici quadrate dello stesso ordine hanno gli stessi autovaloricon le stesse molteplicità, allora: b a hanno lo stesso rango; b sonosimili c hanno gli stessi autovettori; d hanno la stessa equazionecaratteristica.

Q.8.125 Quale o quali delle seguenti matrici è ortogonale?

a[

sin ϑ cos ϑ− cos ϑ sin ϑ

]b[

sin ϑ cos ϑcos ϑ sin ϑ

]c[

sin ϑ sin ϑcos ϑ cos ϑ

]d[− sin ϑ cos ϑ− cos ϑ sin ϑ

].

Q.8.126 Per quali valori reali del parametro k le matrici

A =

1 k 0k2 1 01 1 2

e B =

0 0 10 2 10 0 2

sono simili? a se k = 1 oppure k = −1; b solo se k = −1; c pernessun valore di k; d solo se k = 1.

9. Teorema di Cayley–Hamilton.Polinomio minimo

Alcuni esercizi proposti in questo capitolo sono uguali o molto simili ad esercizi pre-sentati nei capitoli precedenti: questo è stato fatto per mostrare un modo alternativodi risoluzione, che faccia uso del Teorema di Cayley–Hamilton, spesso più rapido edelegante.

9.1 Siano A una matrice quadrata di ordine 2 singolare e b un opportunovettore colonna. Dimostrare che se Ab = b, allora A è idempotente

[λ = 0, 1 . . . ]

9.2 Verificare che una matrice A singolare di ordine 2 per cui è tr A = 1 èidempotente. [Da λ2 − tr Aλ + |A| = 0 si ha A2 − A = 0.]

9.3 Se A è la matrice

1 2 10 1 01 2 −1

verificare che

A−1 = −12(A2 − A− 2I).

[Il polinomio caratteristico è −λ3 + λ2 + 2λ− 2. . . A è non singolare. . . ]

9.4 Determinare tutte le matrici che ammettono come equazione caratteristical’equazione λ2 − 3λ + 2 = 0.

[Sono matrici di ordine due che soddisfano l’equazione matriciale A2 − 3A +

I = 0. . . ]

9.5 Sia A la matrice

1 0 01 2 01 −1 0

; verificare che le matrici A, A2 e A3 sono

linearmente dipendenti.[Considerando il polinomio caratteristico di A, sussiste la relazione A3 − 3A2 + 2A = 0...]

9.6 Verificare che una matrice A quadrata di ordine 2 singolare con tr(A) = 1è idempotente. [Da λ2 − tr(A)λ + |A| = 0 si ottiene A2 − A = 0]

96 Teorema di Cayley–Hamilton. Polinomio minimo

9.7 Determinare le matrici di ordine due triangolari inferiori non simmetriche

per cui sia A2 + 2A = 0 [Sono del tipo[−2 0a 0

]o[

0 0b −2

]]

9.8 Verificare che non esistono matrici quadrate del second’ordine singolariche soddisfano la relazione A2 + A + I = 0.

[Da λ2 − tr(A)λ + |A| = 0 si ricava A2 − tr(A) = 0. . . ]

9.9 Sia A =

[2 04 3

]. Verificare che è A2 + kA + I 6= 0 per qualunque k ∈ R.

[ Gli autovalori di A sono 2 e 3 quindi A2 − 5A + 6I = 0...]

9.10 Determinare i valori che può assumere la traccia di una matrice quadrataA di ordine due tale che A2 − A + 2I = 0 senza determinare esplicitamente lamatrice.

[Indichiamo con α la traccia di A e con β il suo determinante. Si ha ϕ(λ) =λ2 − αλ + β da cui A2 − αA + β = 0. Quindi la matrice A deve esseresoluzione del sistema matriciale

A2 − A + 2I = 0

A2 − αA + βI = 0

. Sottraendo membro a membro, si ha la relazione

(−α + 1)A + (β− 2)I = 0.

Se α = 1 allora è β = 2 e la relazione data coincide con l’equazione caratte-ristica; gli autovalori sono λ = 1±i

√7

2 , quindi la traccia è 1. Matrici siffatte

esistono, ad esempio

[1+i√

72 00 1−i

√7

2

].

Se α 6= 1 si ha A = β−2α−1 I; quindi tale matrice avrà autovalori λ1 = λ2 = β−2

α−1 e

perciò α = tr(A) = λ1 + λ2 = 2 β−2α−1 e β = |A| = λ1λ2 =

(β−2α−1

)2.

Si ha dunque il sistema α = 2

β− 2α− 1

β =

(β− 2α− 1

)2

da cui si ottiene

β− 2 =

α(α− 1)2

α(α− 1)2

+ 2 =α2(α− 1)2

4· 1(α− 1)2

, che ha come solu-

zioni α = 1± i√

7 e β = ±i√

7−32 . In conclusione la traccia di A può assumere

solo i valori 1, 1 + i√

7 e 1− i√

7. ]

97

9.11 Sia A una matrice quadrata di ordine 2 tale che A2 + A = 0. Determinare

gli autovalori di A. [

A2 + A = 0

A2 + αA + β = 0. . . ]

9.12 Verificare che tutte le matrici quadrate di ordine due singolari con tracciadiversa da zero sono diagonalizzabili. [ϕ(λ) = λ2 + kλ con k 6= 0. . . ]

9.13 Sia A una matrice quadrata di ordine 3 avente rango 1 e traccia 3. Stabilirese A è diagonalizzabile e determinare una relazione tra A2 e An per n > 2.

[ϕ(λ) = λ3 − 3λ2. . . ]

9.14 Sia A quadrata tale che A2 = 0. Dimostrare che A ammette solo l’autovalo-re nullo. [[tr(A)]A− |A|A = 0. . . ]

9.15 Determinare tutte le matrici quadrate del second’ordine che non sonodiagonalizzabili e che soddisfano la relazione A2 = 0.

[λ1 = λ2 = 0. . .[

a − a2

bb −a

] [0 b0 0

]con b 6= 0]

9.16 Sia A quadrata di ordine 2 con A 6= 0; dimostrare che se per un interon > 2 si ha An = 0 allora anche A2 = 0. [A2 − tr(A)A = 0. . . ]

9.17 Sia A quadrata tale che An = 0 per un certo n ∈ N; dimostrare che lamatrice I + A ha tutti gli autovalori uguali a 1. [λA = 0 . . . ]

9.18 Sia A quadrata del second’ordine. Sia B una matrice diversa da A masimile ad essa tale che A2 = B2. Verificare che

A2 =

[−det A 0

0 −det A

].

[Sia ϕ(λ) = λ2 + αλ + β il polinomio caratteristico di A e quindi anche di

B. Dal teorema di Cayley-Hamilton si ottiene

A2+αA+βI=0B2+αB+βI=0

e sottraendo

membro a membro si ha α(A− B) = 0, che implica, essendo A 6= B, α = 0;quindi A2 − βI = 0, da cui A2 = −det AI.]

9.19* Determinare, al variare del parametro k, il polinomio minimo µ(λ) dellamatrice

A =

2 k k0 k k− 10 0 2

e discuterne la diagonalizzabilità.


[Le radici del polinomio minimo di una matrice A sono tutti e soli gli autova-lori di A con molteplicità non superiori a quelle che hanno come radici delpolinomio caratteristico, quindi, dal momento che ϕ(λ) = (λ− 2)2(λ− k) ipossibili polinomi candidati ad essere minimi sono (λ− 2)(λ− k) e ϕ(λ) stes-so (in realtà, per k = 2 ci potrebbe essere anche λ− 2 ma ciò si esclude, dato

che A 6= 2I). A questo punto, poiché si ha (A− 2I)(A− kI) =

0 0 k0 0 00 0 0

che coincide con la matrice nulla se e solo se k = 0, si conclude che A è radicedel polinomio (λ− 2)(λ− k) -che risulta dunque il suo polinomio minimo-solo per k = 0. Per ogni altro valore di k µ(λ) = ϕ(λ). Una matrice è diagona-lizzabile se e solo se le radici del suo polinomio minimo sono distinte, quindiin questo caso se e solo se k = 0. ]

9.20 Calcolare il polinomio minimo della matrice1 k 20 1 k− 20 0 1

e determinare per quali valori di k tale matrice è diagonalizzabile.

[Per k = 0, 2 µ(λ) = (λ− 1)2, per k 6= 0, 2 µ(λ) = ϕ(λ) = (λ− 1)3]

9.21 Sia A una matrice quadrata singolare di ordine n tale che A2 = 2A. Stabilirese Aè diagonalizzabile. [Il polinomio minimo ha radici semplici...]

9.1. Quesiti

9.1.1. Vero o Falso

Q.9.127 Non esiste nessuna matrice quadrata singolare del secondo ordine chesoddisfa la relazione A2 + A + I = 0 2 vero 2 falso

Q.9.128 Una matrice A quadrata di ordine due tale che A2 − 5I = 0 è diagonalizza-bile. 2 vero 2 falso

Q.9.129 Una matrice A quadrata di ordine due tale che A2 − A = 2I non è diago-nalizzabile. 2 vero 2 falso

9.1 Quesiti 99


Q.9.130 Per quali valori del parametro a il polinomio minimo della matrice1 a 0 00 2 1 00 0 a 00 0 0 1

ha tutte le radici distinte? a per infiniti valori ma non per tutti b perogni valore di a c per a = 1 d per a = 2.

Q.9.131 Sia A una matrice quadrata di ordine n che ammette l’autovalore λ = 1 conmolteplicità algebrica n. Allora: a Il polinomio minimo è µA = λ− 1;b A è diagonalizzabile; c A = I; d il polinomio caratteristico èϕA = (λ− 1)n.

Q.9.132 Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine. Se µ indica il polino-mio minimo e ϕ indica quello caratteristico, indicare le affermazioni vere:a ϕA = ϕB solo se A e B sono simili; b µA = ϕB se A e B sono simili;c µA = ϕB solo se A e B sono simili; d µA = µB se A e B sono simili.

Q.9.133 Sia µA il polinomio minimo della matrice A =

1 1 01 1 01 1 0

. Indicare le

proprietere: a il grado di µA è 2; b µA non ha radici multiple; c µA

coincide con il polinomio caratteristico; d il grado di µA è 3.

Q.9.134 Il polinomio minimo della matrice A =

2 1 10 −1 00 0 h

ha grado: a 1 per

qualche h; b > 3 per qualche h; c 3 per h = 2; d 2 solo per h = −1.

Q.9.135 Per quali valori di h il polinomio minimo della matrice A =

1 0 0h 0 11 h2 0

è

di secondo grado? a per nessun valore di h; b se h 6= 0 e h 6= 1; csolo se h = 1; d solo se h = −1.


Q.9.136 Indicare le proprietà vere in relazione al polinomio minimo della matrice:1 1 0 00 2 1 00 0 3 00 0 0 1

a coincide con il polinomio caratteristico; b ha una radice doppia;

c ha radici distinte; d è di quarto grado.

Parte III.

Geometria piana

10. La retta nel piano

In questo e nei successivi capitoli, salvo avviso contrario, i parametri ed i coefficientidelle equazioni che compaiono si intendono reali; il sistema di riferimento si intendecartesiano ortogonale e, se non altrementi specificato, lunghezze ed aree si intendono insenso elementare.

10.1. Coordinate cartesiane

10.1 Sia P(−2) trovare una nuova origine in modo che P abbia ascissa 3.[O′(−5)]

10.2 Dati A(a) e B(b) trovare una nuova origine in modo che l’ascissa di A siatripla di quella di B. [O′

(3b−a

2

)]

10.3 Dati i punti A(0, 3) e B(5, 0), determinare le coordinate del punto C chedivide il segmento AB in modo che sia AC = 2BC.


104 La retta nel piano

[ Indicate con H e K (vedi Figura 10.1 nella pagina precedente) rispettivamentele proiezioni di C sull’asse x e sull’asse y, il teorema di Talete garantisceche se è AC = 2BC si ha anche OH = 2HB e AC = 2OK. Visto che è0 < xC < 5 e 0 < yC < 3, le relazioni precedenti diventano rispettivamentexC − 0 = 2(5− xC) e 3− yC = 2(yC − 0); da cui C

(103 , 1

). ]

10.4 Trovare le coordinate dei vertici di un rombo che non abbia né i lati né lediagonali paralleli agli assi coordinati.

10.5 Determinare i punti aventi ascisssa ed ordinata opposte e tali che conA(1, 0) e B(−1, 0) formino un triangolo di perimetro 6.

[(±2√

37 ,∓2

√37

)]

10.6 Dati A(1, 1) e B(3, 5) trovare i punti C tali che il triangolo ABC sia rettan-golo ed isoscele. [C1(0, 4); C2(, 2)]

10.7* Scrivere l’equazione del cammino di un punto che si muove nel piano inmodo tale che il quadrato della sua distanza dal punto A(−3, 4) è ugualeal doppio del quadrato della sua distanza dall’asse x.

[(x + 3)2 + (y− 4)2 = 2y2. . . x2 − y2 + 6x− 8y + 25 = 0]

10.2. La retta, esercizi introduttivi

10.8 Verificare che le equazioni x = t

y =1 + t

2x = 2t− 1y = t

rappresentano la stessa retta.

10.9 Scrivere l’equazione dei punti del piano equidistanti da A(2, 4) e B(4, 6)..[ (x− 2)2 + (y− 42) = (x− 4)2 + (y− 6)2 . . . x + y− 8 = 0 è l’asse del segmento AB]

10.10 Scrivere l’equazione dei punti P del piano tali che il rapporto tra la distanza

tra P e A(1, 0) e tra P e la retta x = 9 sia λ =13

.

10.2 La retta, esercizi introduttivi 105

10.11 Sia r la retta di equazione 7x− 3y + 21 = 0. Dire quali dei seguenti puntiappartengono alla r : A(3, 14), B(4, 13), C(−3, 0) e D(0, 7).

[Sostituendo le coordinate dei punti nell’equazione della retta si osserva chel’unico ce non appartiene a r è B.]

10.12 Scrivere l’equazione della retta parallela all’asse x che passa per il puntoA(−2, 2). [ y = 2]

10.13 Scrivere l’equazione della retta parallela all’asse x che passa per il puntoA(3,−4). [ y + 4 = 0]

10.14 Scrivere l’equazione della retta parallela all’asse y passante per il puntoA(−6, 0) [ x + 6 = 0]

10.15 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto P(3,−5) perpendico-lare al vettore v = [4, 2]. [2x + y− 1 = 0]

10.16 Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto P(2, 3)[ 3x− 2y = 0]

10.17 Calcolare la lunghezza del segmento staccato sugli assi dalla retta 3x +4y− 24 = 0

[La retta si scrive in forma segmentaria comex8+

y6= 1 quindi interseca gli

assi nei punti A(8, 0) e B(0, 6) la cui distanza è√

64 + 36 = 10]

10.18 Sulla retta di equazione 2x + y− 6 = 0 trovare un punto M equidistantedai punti A(3, 5) e B(2, 6) [ M(1, 4) ]

10.19 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale un rettanglo ha i latilunghi 3 e 4. Scrivere le equazioni di tutti i suoi lati sapendo che è nel IIIquadrante, che i suoi lati stanno sugli assi coordinati e il lato più corto stasull’asse y. [ x = 0, y = 0, x + 4 = 0, y + 3 = 0]

10.20 Scrivere le equazioni dei lati di un quadrato situato nel I quadrante duevertici del quale hanno coordinate A(2, 0) e B(5, 0).

[ y = 0, y = 3, x = 2 e x = 5]

10.21 Scrivere in forma segmentaria l’equazione della retta

3x− 4y + 2 = 0

[x− 2

3+

y12= 1]


10.22 Scrivere l’equazione della retta che taglia l’asse x nel punto A(3, 0) e l’assey nel punto B(0, 5). [

x3+

y5= 1]

10.23 Calcolare l’angolo formato dalla retta 3x + 2y + 6 = 0 con l’asse x.[Risolvendo l’equazione rispetto a y si ottiene y = −3

2x− 3 da cui tan α = −3

2]

10.24 Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e formante un angolodi π

4 con l’asse x. [ x− y = 0]

10.25 Trovare le coordinate di un punto A sapendo che la pendenza della rettapassante per l’origine e per A è 3

4 e la distanza tra l’origine ed il punto A èpari a 10 unità.

[Se la pendenza è 34 significa che y

x = 34 . La distanza dall’origine è

√x2 + y2

da cui il sistema yx=

34√

x2 + y2 = 10

che ammette le soluzioni x1 = 6 y1 = 8 e x2 = −6 y2 = −8. Quindi ci sono ledue soluzioni A1(6, 8) ed A2(−6,−8) ]

10.26 Un punto P dista 5 unità dall’origine O(0, 0). La pendenza della retta OP è34 . Determinare le coordinate di P. [ P1 = (4, 3), P2(−4,−3)]

10.27 La diagonale di un rettangolo i cui lati giacciono sui semiassi positivi diun sistema di riferimento cartesiano ortogonale è 20 unità di lunghezza; lapendenza della diagonale è 4

3 . Trovare i vertici del rettangolo.[ (0, 0), (12, 0), (0, 16) e (12, 16)]

10.28 Date le rette ax + by + c = 0 e 3x− 8y + 6 = 0 determinare i coefficienti ae b in modo che esse siano:

i) parallele [a = 3k, b = −8k, ∀c, k 6= 0]

ii) perpendicolari [3a = 8b ∀c, a 6= 0 6= b]

iii) coincidenti [a = 3k, b = −8k, c = 6k, k 6= 0]

10.29 Scrivere l’equazione della retta parallela alla r : 5x− 4y + 1 = 0 e passanteper il punto comune a s1 : x + 2y + 3 = 0 e s2 : 2x− 3y + 2 = 0

[ La retta cercata è un elemento del fascio individuato da s1 ed s2 che haequazione:

F : k(x + 2y + 3) + 2x− 3y + 2 = 0

10.2 La retta, esercizi introduttivi 107

e che si può scrivere come (k + 2)x + (2k− 3)y + 3k + 2 = 0; basterà alloratrovare la retta di F che ha lo stesso coefficiente angolare di r cioè 5

4 . Dovràessere − k+2

2k+3 = 54 , cioè k = 1

2 ; sostituendo questo valore nell’equazione delfascio si ottiene 5x− 4y + 7 = 0.

Si poteva anche, considerando l’equazione generale della retta, scrivere (k−2)(−4) + (2k− 3)5 = 0 che, ovviamente, forniva lo stesso risultato.

Un terzo modo di procedere è quello di partire dal fascio improprio dellerette parallele ad r, che ha equazione 5x− 4y + k = 0; occorre, in questo caso,cercare l’equazione dell’ elemento del fascio la cui equazione, con quelle dis1 ed s2 costituisce un sistema lineare di 3 equazioni in 2 incognite aventeesattamente una soluzione. Il sistema in questione è:

5x− 4y = −kx + 2y = −3

2x− 3y− 2

la sua matrice dei coefficienti è A =

5 −41 22 −3

che ha rango 2. Per avere una

ed una sola soluzione occorre e basta che la matrice completa abbia rango due,

quindi dovrà essere

∣∣∣∣∣∣5 −4 −k1 2 −32 −3 −2

∣∣∣∣∣∣ = 0 e cioè k = 7. ]

10.30 Trovare il punto P di intersezione delle rette 3x− 4y+ 11 = 0 e 4x− y− 7 =

0. [Le coordinate di P sono soluzione del sistema

x− 4y + 11 = 04x− y− 7 = 0

da cui P(3, 5).]

10.31 I lati di un triangolo sono le rette rispettivamente di equazioni x + 3y− 3 =0, 3x− 11y− 29 = 0 e 3x− y + 11 = 0. Trovarne i vertici.

[Intersecando il ati a due a due si hanno tre sistemi lineari, risolvendo i qualisi ottiene A(6,−1), −5,−4) e −3, 2).]

10.32 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto di intersezione dellerette x + 11y − 27 = 04 e 6x − 7y − 16 = 0 e perpendicolare al vettore~v = [4,−3].

[ Il punto comune è P(5, 2) e dunque la retta cercata è: 4x− 3y− 14 = 0]

10.33 Determinare l’angolo acuto tra le rette y = 5x e y = 2x

[Ricordando che tan α =

∣∣∣∣ m2 −m1

1 + m1m2

∣∣∣∣ si ha tan α =

∣∣∣∣ 2− 51 + 2 · 5

∣∣∣∣ = 311

]

10.34 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto P(−2, 4) e parallelaalla retta di equazione 2x− 3y + 6 = 0.


[La retta cercata sarà del tipo 2x − 3y + q = 0. Il coefficiente q si puòdeterminare imponendo il passaggio per P, cioè deve valere la relazione(−2) · 2 + 4 · (−3) + q = 0 che diventa −12− 4 + q = 0 da cui q = 16 e quindil’equazione cercata è: 2x− 3y + 16.]

10.35 Stabilire quali tra le seguenti coppie di equazioni rappresentano retteparallele:

i) 2x− 3y + 4 = 0 e 10x− 15y + 7 = 0;

ii) 25x− 20y− 8 = 0 e 5x + 4y + 4 = 0;

iii) y = −2x + 8 e y = −2x + 1;

iv) y = 3x + 4 e y = −6x− 8.

[ i) e iii)]

10.36 Per quali valori del parametro a sono parallele le rette di equazioni

x− 12

=y + 4

5e

x + 64

=y + 2

a?

[ a = 10]

10.37 Scrivere l’equazione della retta passante per il punto M(2, 3) e perpendico-lare alla retta r di equazione 5x− 4y− 20 = 0.

[Ogni retta perpendicolare alla r ha equazione ax + by+ c = 0 con 5a− 4b = 0.Allora a = 4 b = 5, imponendo il passaggio per M si ottiene 4x + 5y− 23 = 0.]

10.38 Trovare la distanza del punto P(6, 8) dalla retta 4x + 3y + 2 = 0.

[ Si ha: d =|4 · 6 + 3 · 8 + 2|√

42 + 32= 10]

10.39 Trovare la distanza tra le rette parallele r : 4x + 3y− 8 = 0 ed s : 4x +3y− 33 = 0.

[Scegliamo un punto “comodo” su una delle due, per esempio r. Sia A(2, 0).La distanza delle due rette sarà allora la distanza di A da s. Dunque d =|4 · 2 + 3 · 0− 33|√

42 + 32= 10 ]

10.40 Stabilire quali delle seguenti coppie di rette sono perpendicolari:

i) 3x− 4y + 12 = 0 e 4x + 3y− 5 = 0;

10.3 Esercizi vari sulla retta 109

ii) 4x + 5y− 8 = 0 e 3x− 2y + 4;

iii)x + x1

2=

y− y1

3e

x− x2

3=

y− y2

−2;

iv)x + x1

5=

y− y1

−4e

x− x2

4=

y− y2

5.

[ i), iii) iv)]

10.41 Per quali valori del parametro k sono perpendicolari le rette: y = 5x− 4 ey = kx− 2? [ k = −1

5]

10.42 Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e perpendicolarealla retta che taglia l’asse x nel punto A(2, 0) e l’asse y nel punto (0,−6).

[ 2x + 6y = 0]

10.43* Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi A(1, 2) e B(−1, 0).

[Ci sono vari modi per svolgere questo esercizio, che tengono conto dellepossibili definizioni equivalenti di asse di un segmento:

i) L’asse del segmento è la perpendicolare alla retta AB, di equazionex − y + 1 = 0, nel punto medio M(0, 1)di AB, quindi ha equazionex + y− 1 = 0.

ii) L’asse di un segmento è anche il luogo dei punti equidistanti dagliestremi, quindi se P(x, y) è un punto generico dell’asse si dovrà avere(x− 1)2 +(y− 2)2 = (x+ 1)2 + y2 che diventa−2x+ 1− 4y+ 4 = 2x+ 1che è appunto l’equazione x + y− 1 = 0

e si perviene, ovviamente, allo stesso risultato ]

OSSERVAZIONE 10.1. Osserviamo esplicitamente che, quando un eserci-zio si può svolgere in più modi significativamente diversi, ciascuno di essifornisce un metodo di verifica dello svolgimento dell’altro.

10.3. Esercizi vari sulla retta

10.44 Per quale valore della pendenza m la retta y = mx + 9 passa per il punto Pdi intersezione delle rette x− y + 5 = 0 e x− 2y + 2 = 0.

[ P(−8,−3) m =32

]

10.45 Una retta r passa per il punto M(2, 5) e forma, con l’asse x, un angolo αtale che arctan α = 3. Trovare il punto P ∈ r di ascissa −2.

[ La retta ha equazione y = 3x− 1 il punto ha coordinate (−2,−7)]


10.46 Sulla retta r di equazione 2x+ 3y− 18 = 0, trovare il punto P la cui distanzadall’asse y è tre volte quella dall’asse x.

[Le coordinate del punto soddisfano il sistema

2x + 3y− 18 = 0

x = 3ye quindi

P(6, 2).]

10.47 Un triangolo ha vertici nei punti A(−5,−2), B(7, 6) C(5,−4). Trovare:

i) l’equazione del lato AB;

ii) l’equazione della mediana relativa al vertice A;

iii) l’equazione dell’altezza relativa al vertice C

iv) le coordinate dell’ortocentro Q.

[2x− 3y + 4 = 0, 3x− 11y− 7 = 0, 3x + 2y− 7 = 0, Q(10,−5)]

10.48 In un parallelogrammo le equazioni dei lati uscenti da un vertice A sonorispettivamente 5x− 3y + 28 = 0 e x− 3y− 4 = 0 mentre le coordinate delvertice opposto ad A sono (10, 6). Scrivere le equazioni degli altri due latie delle diagonali del parallelogrammo.

10.49 Discutere e, quando possibile, risolvere i seguenti sistemi, fornendo un’inter-pretazione geometrica dei risultati ottenuti

x + hy = 1x− 2y = h2(h + 1)x + hy = h + 2

2x + (k− 4) = 1kx− 6y = k + 1− 2x + (2k + 1)y = k− 2

[ Primo sistema:

h 6= 0 impossibile: le tre rette non hanno punti in comune.

h = 0 esiste una ed una sola soluzione: le rette hanno un punto in comune.

Secondo sistema:

h 6= 92 , 1 impossibile: le rette non passano per uno stesso punto;

h = 92 esiste una ed una sola soluzione: le tre rette sono distinte ma appar-

tengono allo stesso fascio.

h = 1 ∞1 soluzioni: le tre rette coincidono.

]

10.3 Esercizi vari sulla retta 111

10.50 Si considerino le rette:

r1 :x + (h− 2)y = 3 + 4hr2 :x = 1 + 2h

r3 :x + y = h− h2

Stabilire se esistono valori del parametro h in corrispondenza dei quali essiappartengono ad un medesimo fascio.

[Il sistema formato dalle tre equazioni deve ammettere una ed una solasoluzione. . . h = 2.]

11. La circonferenza nel piano

In questo capitolo, così come nei successivi, tra i punti di intersezione delle curve inquestione verranno considerati anche quelli a coordinate complesse, così come tra le curveriducibili verranno considerate anche quelle rappresentate da polinomi riducibili in C

ma non in R.

11.1 Scrivere l’equazione della circonferenza che ha centro nel punto A(5,−7) epassa per il punto P(2,−3). [(x− 5)2 + (y + 7)2 = 25]

11.2* Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i punti A(3, 1),B(−2, 6) e C(−5,−3)

[Ci sono vari metodi significativamente diversi per risolvere questo esercizio,ne esaminiamo alcuni:

• Il centro C della circonferenza cercata è il punto equidistante da A, B eC, quindi si ottiene come intersezione degli assi di due dei tre segmentiformati ai punti. Nel nostro caso l’asse del segmento AB è x− y + 3 = 0,l’asse di AC è 2x + y + 3 = 0 da cui le coordinate del centro C (−2, 1).Il raggio sarà allora la distanza di C da uno qualsiasi dei punti dati. Sivede subito che BC = 5 e quindi (x + 2)2 + (y− 1)2 = 25 che diventax2 + y2 + 4x− 2y− 20 = 0 e che dunque rappresenta l’equazione dellacirconferenza.

• La generica equazione della circonferenza è:

x2 + y2 + ax + by + c = 0; (11.1)

imponendo il passaggio per i tre punti si ottengono tre equazioni in a, be c:

3a + b + c + 10 = 0−2a + 6b + c + 40 = 0−5a− 3b + c + 34 = 0

; (11.2)

le soluzioni del sistema 11.2 sono i coefficienti della 11.1.

• Infine si può pensare la circonferenza cercata come appartenente al fascioF individuato da due di questi punti e poi imporre il passaggio per ilterzo.

Lo studente è invitato a confrontare e riflettere su questi modi per risolverel’esercizio proposto.]

114 La circonferenza nel piano

11.3 Scrivere l’equazione delle circonferenze che hanno raggio 2 e passano per ipunti A(−1, 2) e B(1, 0)

[ I centri si possono ottenere come intersezione delle circonferenze di rag-gio 2 aventi centri rispettivamente in A e B. . . quindi le circonferenze hannoequazioni (x + 1)2 + y2 = 4 e (x− 1)2 + (y− 2)2 = 4. ]

11.4* Fornire una rappresentazione parametrica razionale della circonferenza diequazione

x2 + y2 − 2x + 2y = 1 (11.3)

[ La circonferenza di equazione (11.3) si scrive anche come

(x− 1)2 + (y + 1)2 = 3, (11.4)

quindi ha centro in C(1,−1) e raggio r =√

3. A sua volta l’equazione (11.4)equivale al sistema

x− 1 =√

3 cos α

y + 1 =√

3 sin α

con 0 ≤ α ≤ 2π. A questo punto, facendo uso delle cosiddette formuleparametriche e ponendo t = tan α

2 ed α 6= π si ottienex = 1 +

√3

1− t2

1 + t2 =1 +√

3 + (1−√

3)t2

1 + t2

y = −1 +√

32t

1 + t2 =2√

3− 1− t2

1 + t2

.

Un generico punto della circonferenza data è dunque

P

(1 +√

3 + (1−√

3)t2

1 + t2 ,2√

3− 1− t2

1 + t2

)

dove, come detto t = tan α2 e α 6= π. Questo comporta però che il punto

P(1−√

3,−1), ottenuto per α = π, non è raggiunto dalla parametrizzazioneconsiderata; si ha però P→ P per α→ π qundi per t = tan α

2 → ∞.

La parametrizzazione cercata puà essere determinata anche in modo piùgenerale: il punto generico della circonferenza può essere parametrizzatotramite il coefficiente angolare di una retta che lo congiunge ad un puntofissato su di essa. Nel caso in esame, considerato il punto P, l’equazione dellagenerica retta non verticale passante per esso sarà y + 1 = m(x − 1 +

√3);

dall’intersezione di tale retta con la circonferenza, cioè dal sistema(x− 1)2 + (y + 1)2 = 3

y + 1 = m(x− 1 +√

3)

115

si ottengono come soluzioni le coordinate del generico punto

P

(1 +√

3 + (1−√

3)m2

1 + m2 ,2√

3− 1−m2

1 + m2

).

In effetti abbiamo ancora escluso la retta verticale che, in questo caso, essendotangente in P alla circonferenza, fornisce il punto P stesso, che comunque èottenibile come limite per m→ ∞. Osserviamo infine che abbiamo ottenutola stessa parametrizzazione perche si ha m = tan β = tan α

2 : considerandole corde per un diverso punto si otterrebbero parametrizzazioni razionalidiverse. ]

11.5 Siano γ la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1, A e B le intersezioni diγ con l’asse x e P un punto di γ; verificare, analiticamente e sinteticamente,che le rette AP e BP tagliano l’asse y in punti H e K tali che sia OK ·OH = kcon k costante da determinare.

[I triangoli BOH e KOA sono simili (v. fig. 11.1). . . k = 1]

Figura 11.1.: I triangoli simili dell’Esercizio 11.5

11.6 Rislovere l’esercizio 11.2 con lo strumento dei fasci di circonferenze.

11.7 Scrivere l’equazione di una circonferenza tangente all’asse x nel puntoA(3, 0) ed avente raggio r = 6.

[Il centro sarà C1(3, 6) oppure C2(3,−6) da cui...]

11.8 Scrivere le equazioni delle circonferenze passanti per l’origine e tangentialle rette r : x− 2y = 0 ed s : x + y− 1 = 0.

[Tangenza alla r in O. . . 9x2 + 9y2 − 2(1±√

10)(x− 2y) = 0]


11.9 Siano

γ la circonferenza di equazione x2 + y2 − 2y = 0,

T un punto della γ, A e B le intersezioni della tangente in T alla γrispettivamente con l’asse x e con l’asse y.

Determinare T in modo che i triangoli OAT ed OTB abbiamo la stessa area.(Vedi figura 11.2)

[T dev’essere il punto medio di AB (perché?). . . T1 =(√

32 , 3

2

)e T2 =

(−√

32 , 3

2

)]


11.10 Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i tre punti A(1, 1),

B(6, 1) e C(

145

,175

).

[Osservare che il triangolo ACB è rettangolo in C, dunque AB è un diame-tro. . .

(x− 7

2)2

+ (y− 1)2 = 254 ]

11.11 Scrivere le equazioni delle circonferenze che hanno raggio 2 e passano peri punti A(−1, 2) e B(1, 0).

[I centri si possono ottenere come intersezione delle circonferenze di centri Ae B e raggio 2. . . ]

117

11.12* Sia r la retta di equazione x + y− 2 = 0 e P il punto di coordinate (2, 0);scrivere l’equazione della circonferenza tangente in P alla retta r e passanteper l’origine.

[ Tra i tanti metodi per risolvere questo tipo di esercizi, da quello più ingenuo,consistente nell’imporre all’equazione generale della circonferenza le condi-zioni richieste, a quello più sintetico, consistente nel determinare il centrodella circonferenza richiesta come intersezione dell’asse del segmento OPcon la perpendicolare ad r passante per P, scegliamo di utilizzare la tecnicadei fasci. Possiamo procedere in due maniere diverse: cercando nel fascio dicirconferenze tangenti in P ad r quella passante per O oppure nel fascio dellecirconferenze passanti per O e P quella tangente ad r.

• L’equazione del fascio di circonferenze tangenti in P ad r è

(x− 2)2 + y2 + k(x + y− 2) = 0

ottenuta come combinazione lineare della circonferenza con centro inP e raggio nullo (x − 2)2 + y2 = 0) con l’asse radicale del fascio, cioèla retta r. Imponendo ora il passaggio per l’origine, cioè sostituendonell’equazione del fascio le coordinate di O(0, 0), si ottiene k = 2 e quindil’equazione della circonferenza cercata x2 + y2 − 2x + 2y = 0.

• Il fascio di circonferenze passanti per O e P si ottiene, per esempio,combinando linearmente l’asse radicale, cioè la retta OP y = 0 e lacirconferenza che ammette OP come diametro, cioè che ha centro nelpunto medio M di OP e raggio MO che ha equazione (x− 1)2 + y2 = 0.Quindi la generica circonferenza del fascio sarà (x− 1)2 + y2 + ky = 0;essa dovrà essere tangente alla retta r, quindi l’equazione risolvente delsistema

(x− 1)2 + y2 = 0x + y− 2 = 0

dovrà avere due radici reali coincidenti. Eliminando, per esempio la xotteniamo 2y2 + (k− 2)y = 0 che ammette la radice nulla contata duevolte se e solo se k = 2, da cui il risultato.

]

11.13 Scrivere le equazioni delle circonferenze passanti per l’origine e tangentialle rette r : x− 2y = 0 ed s : x + y− 1 = 0

[La tangenza ad r è in O. . . 9x2 + 9y2 − 2(1±√

10(x− 2y) = 0]

11.14 Determinare l’equazione della circonferenza tangente nell’origine alla rettar : 3x− 4y = 0 e tangente alle rette s : x = 8 e t : x = −2.

[ Il centro è l’intersezione della bisettrice della striscia formata dalle rette s et (che sono parallele) e della retta passante per O ortogonale alla tangente r. . . (x− 3)2 + (y + 4)2 = 25. ]


11.15 Trovare asse radicale e punti base del fascio di circonferenze

x2 + y2 − x− y + λ(x2 + y2 − 1) = 0.

[x + y− 1 = 0; A(1, 0), B(0, 1)]

11.16 Sia data la famiglia di curve

F : a(x2 + y2 − 1) + b(x2 − y) + c(x− y2) = 0

Verificare che le curve di F che passano per il punto P(0, 1) formano unfascio di circonferenze e trovare i punti base di tale fascio.

11.17 Sia F il fascio di circonferenze tangenti alla bisettrice del I e I I I quadrantenel punto A(1, 1); scrivere l’equazione della curva di F che interseca l’assex in due punti simmetrici rispetto al punto B(3, 0).

[Il centro deve essere sulla x = 3. . . (x− 3)2 + (y + 1)2 = 8]

11.18 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze individuatodalle due circonferenze

γ : x2 + y2 − y = 0

γ′ : x2 + y2 − 2x + y = 0

[È la congiungente dei centri di γ e γ′. . . 2x + 2y− 1 = 0]

11.19 Sia F il fascio di circonferenze tangenti alla bisettrice del I e I I I quadrantenel punto A(1, 1); denotate con B e C le ulteriori intersezioni della genericacirconferenza di F con le rette di equazioni rispettive x = 1 e y = 1,scrivere l’equazione del luogo dei punti medi dei segmenti BC.

[È il luogo dei centri delle circonferenze del fascio. . . x + y− 2 = 0]

11.20 Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per l’origine O(0, 0), peril punto C(−1, 0) e taglia gli assi coordinati in due punti aventi la stessaproiezione ortogonale sulla retta OC.

[Il centro è il punto medio di OC. . .(

x + 12

)2+ y2 = 1

4 ]

11.21 Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i punti A(2, 0) eB(0, 2) e rispetto alla quale l’origine ha potenza 4.

[x2 + y2 − 4x− 4y + 4 = 0]

.

119

11.22* Verificare che se γ e γ′ sono due circonferenze, ogni circonferenza del fascioda esse individuato è il luogo dei punti P tali che il rapporto tra la potenzadi P rispetto a γ e rispetto a γ′ è costante e dedurre da ciò che l’asse radicaledi un fascio F di circonferenze è il luogo dei punti che hanno la stessapotenza rispetto a tutte le coniche del fascio.

12. Le coniche

Salvo esplicito avviso contrario, in questo capitolo le coniche si intendono irriducibili e leiperboli non equilatere. Anche se non esplicitamente richiesto si sottintende che ogniconica di cui si parla vada riconosciuta. Si parlerà anche di luoghi geometrici, cioèinsiemi di punti che godono di certe proprietà; in questo caso il problema è quello ditradurre queste proprietà in manera analitica, cioè mediante equazioni e poi, di solito,eliminare uno o più parametri presenti nelle equazioni trovate per poter ottenere cosìl’equazione cartesiana del luogo.

12.1 Siano P la parabola di equazione y2 = 4x, A ∈ P B la proiezione orto-gonale di A sull’asse x, e C il simmetrico di B rispetto all’origine O(0, 0);verificare che la retta CA risulta tangente a P . (v. Fig. 12.1)

Figura 12.1.

12.2 Sia P la parabola di equazione y2 = 2x e P il punto di coordinate (2, 2).Determinare un punto Q ∈P tale che l’area del triangolo OPQ sia ugualea 4.

122 Le coniche

Figura 12.2.

[Ricordando che l’area di un triangolo di vertici A(a, b), B(c, d) C(e, f ) è

12

∣∣∣∣∣∣a b 1c d 1e f 1

∣∣∣∣∣∣ e ponendo Q(

t2

2 , t)

si ottiene t = . . . da cui i punti Q1(2,−2) e

Q2(8, 4). (v. Fig. 12.2) ]

12.3 Siano

P la parabola di equazione y = x2

r ed r′ due rette perpendicolari uscenti dall’origine,

R ed R′ Le ulteriori intersezioni di P con r ed r′ rispettivamente.

Verificare che al variare comunque della coppia (r, r′) le rette passanti perR ed R′ passano sempre per un medesimo punto A, di cui si chiedono lecoordinate. [A(0, 1)]

12.4 Verificare che l’equazione xy − 2x + y − 3 = 0 rappresenta un’iperboleequilatera.

[ Con un’opportuna rototraslazione di assi l’equazione diventa x2

2 −y2

2 = 2che è proprio la forma canonica dell’iperbole equilatera. ]

123

12.5 Sia P la parabola che ammette come fuoco il punto F(2, 2) e come vertice ilpunto V(1, 1); determinare la tangente a P parallela alla retta di equazioner : x− 2y + 3 = 0 ed il suo punto di contatto con P .

[Direttice y = −x. . . (x− y)2 − 8(x + y− 2) = 0. . . x− 2y = 8, P(16, 4) (v. Fig. 12.3)]

Figura 12.3.

12.6 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze tangenti allabisettrice del I I e IV quadrante e passanti per P(1, 0).

[È la parabola con direttrice x + y = 0 e fuoco P(1, 0). . . x− y)2 − 4x + 2 = 0]

12.7 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera γ che ammette come fuo-co il punto F(3, 0) e la retta r : x = 1 come direttrice coniugata ad F.Determinare inoltre il centro ed i vertici di γ.

[ Sia P(x, y) : allora d(PF)d(P,r) =

√2. . . x2 − y2 + 2x− 7 = 0. . . (x + 1)2 − y2 − 8 =

0. . . C(−1, 0), V1(−1− 2√

2, 0), V2(−1 + 2√

2, 0). ]

12.8 Siano

t una tangente all’iperbole di equazione xy− y = 1;

A e B le intersezioni di t con l’asse x e con l’altro asintoto, rispettivamente.

A′ l’intersezione dell’asse x con la retta per B parallela alla r : y = −2x

Trovare la relazione che intercorre tra le ascisse x di A e x′ di A′ al variaredi t. [x = 2

x′ + 1]

12.9 Si consideri l’ellisse γ di equazione x2 + xy + y2 = 1. Scrivere l’equazio-ne di una circonferenza che tagli l’ellisse in quattro punti vertici di unrettangolo.

124 Le coniche

Figura 12.4.

[ Gli assi dell’ellisse sono le bisettrici dei quadranti. . . la circonferenza deve

avere centro in O e raggio r con√

23 < r <

√2, vedi un esempio in Fig. 12.4 ]

12.10 Si considerino le parabole P e P ′ che hanno fuoco nel punto F(0, 1) ecome direttrici rispettivamente le rette r : x = 2 e s : y = 2. Trovare lecoordinate dei punti comuni a P e P ′. [P1(1, 1) P2(−3,−3)]

12.11 Scrivere l’equazione della parabola che ammette il punto F(1, 1) comefuoco e l’origine come vertice.

[La direttrice è x + y + 2 = 0 . . . (x− y)2 − 8(x + y) = 0]

12.12 Determinare fuoco e direttrice della parabola che ha il vertice in O, ammettecome asse la bisettrice del I e III quadrante e passa per il punto P(2, 1).

[ F(t, t) r : y = −x− 2t, ponendo PF = d(P, r). . . F(

124 , 1

24

), y = −x− 1

12 ]

12.13 Sia P la parabola di equazione y2 + 2x = 0. Scrivere l’equazione dellaparabola P ′ che ha fuoco nel punto F(1, 1) e come direttrice la tangente aP parallela alla retta OF.

[La retta OF ha coefficiente angolare 1. La tangente alla parabola è 2x− 2y = 1. . . ]

12.14 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera non degenere che passa perO(0, 0) ha un fuoco sull’asse x ed ammette come direttrice coniugata ad Fla retta di equazione x− y−

√5 = 0.

[F(t, 0) 6∈ r: OFd(O,r) =

√2. . . t = −

√5. . . xy + 2

√5x−

√5y = 0]

125

12.15 Calcolare l’eccentricità della conica

x2 − y2 + 2y− 5 = 0.

[Si tratta di un’iperbole equilatera, quindi e =√

2]

12.16 Si considerino Il punto F(2, 0) e la retta d : x− 2y = 0; scrivere l’equazionedel luogo dei punti del piano per i quali il rapporto delle distanze da F eda d è

√5 e riconoscerlo. [F 6∈ d. . .

√5 > 1: iperbole. . . 4xy− 3y2 − 4x + 4 = 0 ]

12.17 Si consideri la famiglia di coniche F

2ax2 + 2y2 + 4ax + 2y + 2a = 0 (a ∈ R)

Determinare le coniche degeneri di F .

[La matrice dei coefficienti della conica è A =

a 0 2a0 1 12a 1 a

. Essa è singolare

se e solo se a = 0 oppure a = −13

, da cui le coniche degeneri y2 + y = 0 e

x2 − 3y2 + 2x− 3y + 1 = 0]

12.18* Trovare una rototraslazione di assi che riduca la conica K

x2 − xy + y2 − 5x = 0

a forma canonica.

[La matrice dei coefficienti della conica è A =

1 −1

2−5

2

− 12

1 0

−52

0 0

; la na-

tura di K dipende dal segno del determinante I2 della sottomatrice B =1 −1

2

− 12

1

formata dalle prime due righe e dalle prime due colonne di A;

poiché I2 > 0 si tratta di un’ellisse. Per ridurla a forma canonica dobbiamo farsì che l’origine e gli assi del sistema di riferimento coincidano rispettivamentecon il suo centro ed i suoi assi. Per determinare il centro dobbiamo risolvere ilsistema

1 −12

− 12

1

[

xy

]+

− 52

0

=

[00

],

126 Le coniche

da cui C(

103

,53

); in seguito consideriamo la traslazione di vettore CO di

equazioni

x′ = x− 10

3

y′ = y− 53

. Sostituendo nell’equazione della conica i valori

di x e y ricavati in funzione di x′ ed y′ si ottiene l’equazione della conicacentrata nell’origine: x2 − xy + y2 = 25

3 . La direzione degli assi è individuata

dagli autovettori di B, che sono[

11

]e[

1−1

]; per ridurre a forma canonica

l’equazione della conica è sufficiente ruotare il sistema di riferimento attornoall’origine di un angolo di π

4 . Le e quazioni della rotazione sonox =

x′√2− y′√

2

y =x′√

2+

y′√2

;

sostituendo tali valori nell’equazione precedentemente trovata, si ottiene

l’equazione in forma canonica:350

x2 +950

y2 = 1.]

12.19 Riconoscere le seguenti coniche e poi ridurle a forma canonica:

3x2 − xy + 3y2 − 6x + y− 22 = 0,

[ ellisse, 7x2 + y2 = 50. . . ]

xy + x− 3y + 4 = 0,

[iperbole equilatera. . . ]

4x2 + 4xy + y2 − 4x + 2y + 1 = 0.

[parabola. . . ]

12.20 Scrivere l’equazione della conica passante per i punti A(2, 1), B(2,−1),C(0,−1), D(0, 1) e E(3, 0) e riconoscerla. [ x2 + 3y2 − 2x− 3 = 0 ellisse.]

12.1. Quesiti

Q.12.137 La conica di equazione (x− y)2 + 3x = 0 è una parabola non degenere.2 vero 2 falso

Q.12.138 Esistono coppie di coniche distinte che hanno infiniti punti in comune.2 vero 2 falso

12.1 Quesiti 127

Q.12.139 L’equazione della conica x2 − 2xy + y2 + x = 0 può essere ridotta, conun’opportuna rototraslazione, ad una forma canonica del tipo ax2 + by2 =k con a, b 6= 0 2 vero 2 falso

Q.12.140 L’equazione dell’iperbole equilatera che ha i fuochi nei punti F(0, 0) eF′(−2, 0) nel piano è: a 2x2− 2y2 + 4x− 1 = 0; b x2− 2y2 + 3 = 0;c x2 − y2 + 4y = 0; d x2 + y2 + 2x− 1 = 0.

Q.12.141 Nel piano, l’equazione 2x2 + 2xy + y2 + 2y = 0 rappresenta: a unaconica di eccentricità < 1; b un’iperbole; c un’iperbole equilatera;d un’ellisse.

Q.12.142 Si consideri la famiglia di coniche rappresentata dall’equazione

x2 + kxy + y2 + kx− 1 = 0 (12.1)

allora esiste almeno un valore di k per cui l’equazione 12.1 rappresenta: aun’iperbole equilatera: b una parabola non degenere; c una conicadegenere; d una circonferenza reale.

13. Fasci di coniche

Da qui in poi il piano si intende completato con gli elementi impropri e con i punti acoordinate complesse; quando è il caso si useranno le coordinate omogenee nella forma(x : y : u); inoltre indicheremo quasi sempre i fasci con un unico parametro conla convenzione che esso possa, quando non esplicitamente vietato, assumere anche ilvalore ∞. L’equazione di una generica conica sarà considerata della forma

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13xu + 2a23yu + a33u2 = 0 (13.1)

ed a questa forma faremo riferimento quando considereremo i coefficienti della (13.1)nelle soluzioni. Infine precisiamo che il parametro che useremo per scrivere l’equazionedi un fascio potrà essere una qualunque lettera minuscola dell’alfabeto latino (tranne,ovviamente la x e la y) o di quello greco.

13.1* Data la conicaγ : x2 + 2y2 + 2txy + 2y + t = 0, (13.2)

stabilire per quali valori del parametro t la γ è:

i) degenere;

ii) una circonferenza;

iii) un’iperbole equilatera;

iv) una parabola non degenere.

[ Per vedere quando una conica è degenere occorrre e basta vedere quando siannulla il determinante della matrice dei coefficienti, cioè, per quanto riguar-

da la (13.2), quando

∣∣∣∣∣∣1 t 0t 2 10 1 t

∣∣∣∣∣∣ = 0 quindi dev’essere −t3 + 2t− 1 = 0 le cui

soluzioni sono t = 1, −1±√

52 . Per ottenere una circonferenza, invece, occorre

e basta che sia risolubile il sistema

a11 = a22

a12 = 0; che nel caso della (13.2) non

ammette soluzioni, essendo a11 = 1 6= 2 = a22 quindi non esiste una circonfe-renza nel fascio assegnato. Anche per quanto riguarda l’iperbole equilatera,caratterizzata dal fatto che a11 + a22 = 0 osserviamo che non esiste alcunvalore del parametro per cui la conica (13.2) è un’iperbole equilatera. Infine

130 Fasci di coniche

abbiamo una parabola quando e solo quando l’invariante I2 =

∣∣∣∣a11 a12a12 a22

∣∣∣∣ è

nullo. Nel nostro caso si ha 2− t2 = 0 da cui t = ±√

2 che rappresentano idue valori per cui la (13.2) rappresenta una parabola non degenere (in quantodiversi da quelli trovati per le coniche degeneri). ]

13.2 Determinare, se esistono, le parabole nel fascio di equazione

λ(x2 + 1) + µ(2xy + 3y2 − 2x + 6y− 4) = 0

[x2 + 1 = 0 degenere e (x + 3y)2 − 6x + 18y− 11 = 0 non degenere]

13.3 Si consideri il fascio F di coniche passanti per l’origine e per i puntiA(0, 1), B(2, 0) e C(1, 1). Verificare che le intersezioni di tutte le conichenon degeneri di F con la retta x = 2 sono simmetriche rispetto ad unmedesimo punto M e determinare le coordinate di M. [M(0, 2)]

13.4 Si consideri il fascio di coniche passanti per il punto improprio della bi-settrice del I e III quadrante, per l’origine, per A(0, 2) e tangenti alla rettay = 2; trovare l’ascissa dell’ulteriore punto in cui la generica conica delfascio taglia l’asse x.

[ A appartiene alla tangente. . . il fascio è (x − y)(y − 2) + kx(x − y + 2) =

0. . . per k = 0 la conica passa per X∞, per k 6= 0 si ha xP = 2−2kk . ]

13.5 Nel fascio di coniche tangenti alla retta di equazione y = 2 e passanti perA(0, 1), B(2, 1) e C(1, 2), determinare quelle tangenti all’asse x e riconoscer-le. [(y− 2)(y− 1) = 0, parabola degenere; x2 + y2− 2x− 2y + 1 = 0 circonferenza.]

13.6 Determinare, se esistono, le circonferenze nel fascio di coniche che ha comepunti base i punti A(2, 1), B(2,−1), C(0,−1) e D(0, 1).

[x2 + y2 − 2x− 1 = 0]

13.7 Sia γ la circonferenza di raggio r =√

5 e centro a coordinate entrambepositive che stacca sugli assi x e y corde AB e CD di lunghezza 2. Deter-minare le parabole del fascio di coniche avente come punti base A, B, C, D.

[Fascio (x− 2)2 + (y− 2)2 − 5 + kxy = 0. . . k = ±2. . . (x± y)2 − 4x− 4y + 3 = 0]

13.8 Scrivere l’equazione della conica che passa per il punto improprio dell’assey, per l’origine e per i punti A(3, 0), B(2, 3) e C(4, 5).

[15x2 − 11xy− 45x + 32y = 0]

131

13.9 Scrivere l’equazione della conica che passa per i punti O(0, 0), B(1, 1),C(2, 1) ed è tangente alla retta di equazione 2x − y − 1 = 0 nel puntoD(0,−1) e riconoscerla.

[ È la conica di equazine (x− 2y)(2x− y− 1) = 0, degenere.]

13.10 Scrivere l’equazione della conica passante per i punti A(1, 0), B(1,−1),C(2, 2) e tangente alla retta di equazione 3x− y + 1 = 0 nel punto D(0, 1)e riconoscerla. [ 7x2 − 6xy− y2 − 3x + 5y− 4 = 0 iperbole.]

13.11 Determinare l’equazione della conica passante per P(2, 3) e tangente allacirconferenza1 x2 + y2 − 2x− 2y = 0 nei punti in cui essa interseca la rettay = x− 1 e riconoscerla. [16(x2 + y2 − 2x− 2y)− 3(x + y− 1)2 = 0.]

13.12 Determinare l’equazione dell’iperbole tangente nell’origine alla bisettricedel I e III quadrante, passante per A(1, 0) ed avente un asintoto paralleloalla bisettrice del II e IV quadrante. [2x2 + xy− y2 − 2xu + 2yu = 0]

13.13 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha gli stessi asintoti dell’iperbolex2 − xy− 2y2 + 1 = 0 e passa per il punto P(1, 1). [x2 − xy− 2y2 + 2 = 0]

13.14 Scrivere l’equazione della conica che passa per i punti A(1, 0), B(0, 2) eC(2, 2) ed è tangente alle rette r : x − 2y− 1 = 0 ed s : x + 2y− 4 = 0

[A ∈ r e B ∈ s. . . 20x2 + 12xy + 29y2 − 64x + 36y + 44 = 0]

13.15 Scrivere l’equazione dell’iperbole che passa per i punti A(1, 1), B(2, 0) eC(0, 3) ed ammette come asintoto la retta y = 2x

[L’iperbole è tangente al suo asintoto nel punto improprio. . . 68x2 + 16xy−25y2 − 142x + 71y + 12 = 0]

13.16 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha come asintoti le rette di equazionix + 2y− 5 = 0 e 2x− 3y + 4 = 0 e passa per l’origine.

[2x2 + xy− 6y2 − 6x + 23y = 0]

13.17 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera tangente nell’origine all’asse xed avente come asintoto la retta di equazione x + y + 1 = 0:

[x2 − y2 − 2y = 0]

13.18 Scrivere l’equazione della parabola non degenere tangente nell’origineall’asse x ed in P(0, 1) alla retta di equazione y = x + 1.

[(x− 2y)2 − 2y = 0]

13.19* Scrivere l’equazione della parabola che ha l’asse parallelo alla retta r : y =3x e passa per i punti A(1, 0), B(0, 1) e C(1, 1).

1Due coniche sono tangenti in un punto se ivi hanno una retta tangente comune.


Figura 13.1.

[ L’asse fornisce il punto improprio della parabola, punto in cui essa è tangentealla retta impropria, quindi i cinque punti sono A, B, C e P∞ contato due volte.Posso scergliere come punti base del fascio A, B e P∞, P∞ e quindi le conichedegeneri del fascio sono: la retta impropria con la retta AB, e le rette per A eB parallele alla r (Figura 13.1) ]

13.20 Scrivere l’equazione della conica che ha centro in C(1, 0), è tangente inA(0, 2) alla retta di equazione y = 2 e passa per il punto P(−1,−1).

[Il centro è centro di simmetria. . . 3x2 + 3xy + 7y2 − 6x− 3y− 22 = 0 ellisse]

13.21 Scrivere l’equazione della conica che passa per l’origine, ha come asse laretta di equazione 2x + 3y− 6 = 0 ed ammette come vertici i punti in cuiquesta retta taglia gli assi coordinati.

[Le tangenti nei vertici sono perpendicolari all’asse. . . x2 + y2 − 3x− 2y = 0circonferenza]

13.22 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha centro in C(1, 1), passaper l’origine ed è ivi tangente alla parabola y = x2 − x.

[ In O ha la stessa tangente della parabola, cioè y = −x. . . C è centro disimmetria. . . xy− x− y = 0]

133

Figura 13.2.

13.23* Risolvere l’equazione x4 − 4x3 + 8x− 2 = 0.

[ La tecnica dei fasci di coniche permette di risolvere equazioni di quartogrado non abbassabili di grado con il Teorema di Ruffini o algoritmi analoghi.

È facile, nel nostro caso, osservare che l’equazione proposta non ammetteradici razionali (esse possono essere solo ±1 o ±2). Se ora poniamo y = x2

nell’equazione data, si ottiene y2 − 4xy + 8x − 2 = 0, cioè le equazioni didue coniche: le soluzioni cercate sono allora le ascisse dei punti di interse-zione delle due coniche, cioè dei punti base del fascio da esse individuato(v. Fig. 13.2). I punti possono essere individuati facilmente considerando leconiche degeneri del fascio, che si possono ottenere dall’equazione del fascio

ponendo I3 = 0; nel nostro caso si ha

∣∣∣∣∣∣k −2 4−2 1 − k

24 − k

2 −2

∣∣∣∣∣∣, cioè k3 − 24k + 32 = 0,

che ammette la soluzione razionale k = 4 a cui corrisponde la conica di equa-zione (2x − y)2 + 4(2x − y)− 2 = 0. Da essa si ottiene 2x − y = −2±

√6,

cioè [(2x− y)− (−2 +

√6)] [

(2x + y)− (−2−√

6)]

.

Il sistema y = x2

y2 − 4xy + 8x− 2 = 0

risulta allora equivalente al sistemay = x2

(2x− y + 2−√

6)(2x− y + 2√

6) = 0


corrispondente ai due sistemi di secondo gradoy = x2

2x− y + 2−√

6y = x2

2x− y + 2 +√

6

A questo punto basta eliminare la y e si ottengono le quattro soluzioni cercate,che sono x = 1±

√3∓√

6 ]

13.24 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che passa per i punti comunialla circonferenza di equazione x2 + y2 = 1 ed alla parabola di equazioney2 = x. [x2 − y2 + 2x− 1 = 0]

13.25* Sia γ la circonferenza passante per l’origine ed avente centro nel puntoC(1, 1); siano A e B le ulteriori intersezioni di γ con gli assi coordinati.Scrivere l’equazione della conica passante per P(1, 2) e tangente alla γ in P.

Figura 13.3.

[ Due coniche sono tangenti in un punto se (e solo se) in quel punto hanno unaretta tangente in comune. Dunque abbiamo un fascio di coniche bitangenti, lacui equazione può essere determinata combinando linearmente l’equazionedella conica degenere formata dalla retta AB “contata due volte” e di quellaformata dalla coppia di tangenti in A e B; quest’ultima, (vedi Figura 13.3) inrealtà, non è necessario determinarla, in quanto la stessa circonferenza γ fàparte del fascio, la cui equazione sarà allora:

x2 + y2 − 1 + λ(x + y− 2)2 = 0

135

Imponendo poi il passaggio per P si ottiene λ = 1 da cui l’equazione dellaconica cercata x2 + xy + y2 − 3x− 3y + 2 = 0 che rappresenta un’ellisse. ]

13.26* Sono date le parabole

P : (ax + by)2 + c1x + d1y + e1 = 0

P1 : (bx− ay)2 + c2x + d2y + e2 = 0

Verificare che i quattro punti in cui esse si intersecano appartengono aduna medesima circonferenza.

[Basta verificare che nel fascio da esse individuato esiste ua circonferenza. . . ]

OSSERVAZIONE 13.1. Le parabole che compaiono nell’esercizio 13.26 sono duegeneriche parabole con gli assi perpendicolari. Pertanto la proprietà enunciata èdi carattere generale.

13.0.1. Quesiti

Q.13.143 Le coniche di equazione

(x2 + y) + (t2 + 1)(x2 − y2) = 0

costituiscono un fascio 2 vero 2 falso

Q.13.144 L’equazione a(x− 1)2 + b(x− y)2 + c(2x + 1)2 = 0 rappresenta, nel piano,un fascio di coniche 2 vero 2 falso

Q.13.145 Se un fascio di coniche contiene due circonferenze, allora tutte le conichedel fascio sono circonferenze. 2 vero 2 falso

14. Luoghi geometrici

Come già accennato all’inizio del capitolo 12 a pagina 121, un luogo geometrico èun insieme di punti o rette o piani o altri enti geometrici descritto mediante una o piùproprietà di cui questi enti godono. Per risolvere questo tipo di esercizi occorre tradurrein termini analitici queste proprietà: si perviene di solito ad un certo numero di equazionidipendenti da parametri, l’eliminazione dei quali fornisce un’equazione cartesiana che èquella del luogo richiesto se sono soddisfatte tutte le condizioni, esplicite od implicite.

14.1 Siano:

r la retta di equazione x− 2y = 0;

s la retta di equazione x + y + 1 = 0;

γ la generica iperbole, tangente nell’origine ad r ed avente s comeasintoto;

P e Q le ulteriori intersezioni di γ con gli asssi.

Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze che passanoper O, P e Q.

[Sono i punti medi dei segmenti PQ. . . 6xy + 2x + y = 0 iperbole equilatera.]

Figura 14.1.

14.2 Siano:

K la parabola di equazione x2 = 4y, F il suo fuoco e V il suo vertice;

r una generica retta per V;

138 Luoghi geometrici

A l’ulteriore intersezione di K con r;

B la proiezione ortogonale di A sull’asse x.

Scrivere l’equazione del luogo descritto dal punto P (v. Fig. 14.1 nellapagina precedente) intersezione delle rette r e BF e riconoscerlo.

[x2 + 2y2 − 4y = 0 ellisse]

14.3* Dati i punti A(−a, 0) e B(2a, 0) scrivere l’equazione del luogo dei punti Ptali che APO = OPB.

[ Indicato con P(x, y) il generico punto del piano, se denotiamo con mAP, mPOed mPB i coefficienti angolari delle rette AP, PO, e PB rispettivamente, dovràessere

mPO −mAP1 + mAP ·mPO

=mPO −mPB

1 + mPB ·mPOcioè

yx −

yx+a

1 + yx ·

yx+a

=

yx−2a −

yx

1 + yx ·

yx−2a

.

Con semplici passaggi e ponendo x 6= 0,−a, 2a si ottiene

ayx2 + ax + y2 =

2ayx2 − 2ax + y2

da cui, essendo a > 0 e y 6= 0 si ottiene x2 + y2 − 4ax = 0

Figura 14.2.

139

Per x = 0 si ha y = 0 non accettabile perché sull’asse x, per x = −a si ottieney = ±

√3 ed, infine, per x = 2a non si ottiene alcun punto. I punti (−a,±

√3)

vanno accettati, in quanto ottenibili nel caso in cui la retta PA è parallelaall’asse y.

Il luogo richiesto è dunque costituito dalla circonferenza con centro C(−2a, 0)e raggio r = 2a, privata dei punti O e P2(−4a, 0) (vedi Fig. 14.2 a fronte) ]

14.4* Siano:

γ l’iperbole di equazione xy = 1;

A il vertice di γ a coordinate positive;

B l’altro vertice;

T un punto di γ diverso da i vertici;

t la tangente in T a γ;

n la normale a t passante per A.

Scrivere l’equazione del luogo dei punti comuni ad n ed alla retta BT.

Figura 14.3.

[ Si ha A(1, 1), B(−1,−1) e T(

t, 1t

)(con t 6= 0,±1); la tangente in T ha

coefficiente angolare mt = − 1t2 , dunque quello di n è mn = t2. Quindi

avremo n : y− 1 = t2(x− 1) e BT : y + 1 =1t +1t+1 (x + 1) che diventa, con le

limitazioni di t, y + 1 = 1t (x + 1); un sistema che dà l’equazione cercata è:


y + 1 =1t(x + 1)

y− 1 = t2(x− 1). Ricavando t dalla prima equazione e sostituendolo nella

seconda, si perviene, dopo alcuni passaggi, all’equazione

(x− y)[(x + y)2 − (x− 1)(y− 1)] = 0.

Si verifica facilmente che la retta x = y si ottiene per t = a caso che abbiamoescluso; le altre condizioni impongono di eliminare anche i punti (±1,±1)ed(

13 , 1

3

). Il risultato è quindi costituito da tutti e soli i punti P(x, y) le cui

coordinate sono radici dell’equazione (x + y)2 − (x − 1)(y − 1) = 0, cherappresenta un’ellisse (v. fig. 14.3 nella pagina precedente). ]

Figura 14.4.

14.5 Siano:

γ la parabola di equazione y2 = x;

γ′ la circonferenza di equazione x2 + y2 − 2y = 0;

r la generica retta passante per l’origine O(0, 0);

A e B rispettivamente le intersezioni di r con γ e γ′;

a la retta per A parallela all’asse x;

141

b la retta per B parallela all’asse y.

Scrivere l’equazione del luogo descritto dal punto di intersezione dellerette a e b. [L’equazione del luogo è x(1 + y2)− 2y = 0. v. fig. 14.4 a fronte]

14.6 Si consideri la curva

γ :

x =

1− 3t2

t2 − 1

y =3− 2t− 3t2

t2 − 1

.

Dopo averne scritto l’equazione cartesiana ed averla riconosciuta, detti A eB i punti nei quali è tagliata dalla generica retta per l’origine, determinareil luogo dei punti medi dei segmenti AB.[x2 − y2 + 4x− 6y− 6 = 0, iperbole equilatera; x2 − y2 − 2x− 3y = 0 iperbole equilatera]

14.7 Sia γ la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1, t la generica tangente allaγ, A il punto comune a t ed all’asse y, d il diametro parallelo a t. Scriverel’equazione del luogo dei punti P proiezione ortogonale di A su d.

Figura 14.5.

[ Se indichiamo con T(cos α, sin α) il punto di tangenza la retta t ha equazionecos αx + sin αy = 1. . . x2(x2 + y2) − y2 = 0 che è la quartica illustrata inFigura 14.5 ]

14.8 Siano A(1, 0) e B(1, 1) due punti e F il fascio delle circonferenze tangentiin = all’asse x; sia H l’ulteriore intersezione della generica circonferenza


del fascio con l’asse y. Detta P la proiezione ortogonale di A sulla retta HB,scrivere l’equazione del luogo descritto dai punti P.

[x2 + y2 − 2x− y + 1 = 0]

14.9 Si considerino i punti A(1, 0) e B(1, 1) ed il fascio F delle circonferenzetangenti in O all’asse y. Siano:

P l’ulteriore intersezione della generica circonferenza di F con l’asse x;

Q Il punto simmetrico di A rispetto alla retta PB.

Scrivere l’equazione del luogo dei punti Q. [x2 + y2 − 2x− 2y + 1 = 0]

14.10 Siano F il fascio di circonferenze passanti per O e per A(0, 1), sia γ ∈ F esia B l’ulteriore intersezione di γ con l’asse x, siano inoltre t la tangente a γin B, C l’intersezione di t con l’asse y ed M il punto medio del segmentoBC. Scrivere l’equazione del luogo dei punti M. [y = −2x2]

14.11 Determinare il luogo dei punti medi delle corde della circonferenza diequazione x2 + y2 − 2y− 3 = 0 passanti per l’origine.

[ La generica retta (non verticale) per l’origine ha equazione y = mx, interse-candola con la circonferenza abbiamo l’equazione (m2 + 1)x2 − 2mx− 3 = 0.

Il punto medio cercato avrà coordinate soluzioni del sistema

y = mx

x =m

m2 + 1

da cui

m =

yx

x =yx

y2

x2 + 1

da cui, dopo semplici calcoli, si ottiene l’equazione della

circonferenza x2 + y2 − y = 0. ]

14.12 Siano:

γ una circonferenza tangente all’asse x nel punto A(2, 0);

r la tangente alla γ uscente dall’origine e distinta dall’asse x;

P Il punto di contatto della r con la γ.

Scrivere l’equazione del luogo dei punti P al variare di γ. [x2 + y2 = 4]

14.13 Siano:

γ la conica di equazione x2 − 2y = 0,

P il generico punto di γ,

t la tangente in t alla γ.

143

R la proiezione ortogonale dell’origine su t.

Scrivere l’equazione del luogo descritto da R al variare di P.[2x2y + 2y3 + x2 = 0 vedi Fig. 14.6]

Figura 14.6.

14.14 Si considerino le parabole:

γ : y2 = x

γ′ : x2 = y

Siano poi:

P un punto della γ,

t la tangente in P alla γ.

n la tangente a γ′ perpendicolare a t,

Q l’intersezione di t ed n.

Scrivere l’equazione del luogo descritto da Q al variare di P.[4(x2 + y2)(x + y) + (x− y)2(v. Fig. 14.7 nella pagina successiva)]


Figura 14.7.

15. Proiettività ed involuzioni

15.1 Nella proiettività di equazione

xx′ − 3x + 4x′ + 1 = 0

calcolare l’omologo di 1 e di ∞. [Rispettivamente x′ = 13 e x′ = 3

2 ]

15.2 Trovare i punti uniti delle proiettività:

i) xx′ − x + x′ − 2 = 0

ii) m + m′ = 0

[±√

2; 0, ∞ ]

15.3 Trovare, in funzione del parametro λ, i punti uniti della proiettività diequazione λxx′ − x− x′ − 2 = 0

[

λ > − 12 x1,2 = 1± i

√−1− 2λ 6∈ R

λ = − 12 x1,2 = 1

λ < − 12 x1,2 = 1±

√−1− 2λ ∈ R

]

15.4* Scrivere l’equazione della proiettività che manda i punti 0, 1 e ∞ rispettiva-mente nei punti 3, 2 e 5.

[ L’equazione di una generica proiettività π(x) si può scrivere nella formax′ = αx+β

γx+δ (con αδ − βγ 6= 0); nel nostro caso dovrà essere π(0) = 3 cioè

3 = βδ , π(1) = 2 cioè 2 = α+β

γ+δ e π(∞) = 5 cioè 5 = limx→∞

αx+βγx+δ = α

β . Otteniamo

dunque il sistema

β = 3δ

α + β− 2δ = 0α = 5γ

che ammette le soluzioni: α = 5γ, β =

−9γ, δ = −3γ quindi la proiettività è: x′ = 5x−9x−3 cioè xx′ − 5x + 3x′ − 9 = 0 ]

15.5 Scrivere l’equazione della proiettività che manda i punti 1, 2 e 5 rispettiva-mente nei punti 2, 3 e 6. [x′ = x + 1]

146 Proiettività ed involuzioni

15.6 Scrivere l’equazione della proiettività che ha come punti uniti 1 e ∞ emanda il punto 0 in 2. [x′x− 2 = 0]

15.7 Trovare due involuzioni tali che la loro composizione non sia un’involuzio-ne.

15.8* Si consideri il fascio F delle parabole passanti per i punti A(0, 1) e B(1, 1)e per il punto improprio della bisettrice del I e III quadrante; siano Pla generica parabola del fascio e P e P′ le intersezioni di P con l’assex. Verificare che che i punti P e P′ si corrispondono in una involuzionedella quale si chiedono l’equazione ed i punti uniti. Osservare che questainvoluzione è in realtà una simmetria rispetto ad un punto M; determinareinoltre l’equazione della parabola del fascio tangente all’asse x.

[ Essendo la parabola tangente alla retta impropria nel suo punto improprio,l’equazione del fascio è (x − y + 1)(x − y) + k(y − 1) = 0. Intersecando lagenerica parabola del fascio con la retta y = 0 si ottiene l’equazione x2 + x−k = 0 che, risolta, fornisce le ascisse di P e P′; la somma delle radici è −1 edunque l’involuzioen cercata è x + x′ = −1 cioè x′ = −1− x, che è propriola restrizione all’asse x della simmetria rispetto al punto M

(− 1

2 , 0)

. I punti

uniti di tale involuzione risultano x1 = − 12 ed x2 = ∞: ad essi corrispondono

le coniche del fascio che incontrano l’asse x in due punti coincidenti, cioè alleparabole del fasci tangenti all’asse x; per determinare quella non degenerebasta imporre il passaggio per M1: sia avrà allora − 1

4 − k = 0 e quindil’equazione 4(x− y)2 − 4x− 5y + 1 = 0 ]

15.9 Siano:

A il punto (0, 1);

r la generica retta per A;

s la perpendicolare ad r passante per A

R ed S i punti di intersezione della retta di equazione y = 1 con r ed srispettivamente

Verificare che R ed S si corrispondono in una involuzione di cui si chiedel’equazione. [xx′ + 4 = 0]

15.10 Siano:

γ la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1;

1imponendo il passaggio per X∞ si nota che, intersecando anche due volte la retta impropria inP∞ la conica contiene per intero la retta impropria, contata due volte ed è quindi degenere

147

A il punto (0, 1);

B il punto (0,−1);

r una generica retta per A;

C l’ulteriore intersezione di r con γ;

r′ la retta BC;

R ed R′ le intersezioni dell’asse x con le rette r ed r′ rispettivamente.

Verificare che R ed R′ si corrispondono in una involuzione di cui si chiedel’equazione. [xx′ + 1 = 0]

15.11 Siano:

r la retta di equazione x = 3;

A il punto (2, 0);

γ la circonferenza di diametro OA;

P Il generico punto di γ.

Verificare che le rette OP ed AP staccano su r coppie di punti che si corri-spondono in un’involuzione, di cui si chiede l’equazione. [yy′ + 3 = 0]

15.12 Siano:

t una generica tangente all’iperbole γ di equazione xy− y− 1 = 0

A e B le intersezioni di t con l’asse x e con l’altro asintoto della γ rispetti-vamente

A′ l’intersezione dell’asse x con la retta passante per B e parallela aquella di equazione y = 2x.

Verificare che i punti A e A′, al variare della tangente t si corrispondono inuna stessa involuzione. [xx′ − (x + x′) + 3 = 0]

15.13 Sia F il fascio di coniche che sono tangenti in O all’asse x ed in A(0, 2) allaretta di equazione y = 2. Verificare che le coppie di punti che le conichedi F tagliano sulla retta impropria si corrispondono in un’involuzione ωdeterminandone equazione e punti uniti.

[ Sia yx = m. . . mm′ + k = 0; per k > 0 m1,2 = ±i

√k 6∈ R, per k = 0 m1,2 = 0,

per k < 0 m1,2 = ±√−k ∈ R. ]

15.14 Si consideri sull’asse x l’involuzione ω avente uniti i punti M(−1, 0) eN(1, 0).

Siano:

148 Proiettività ed involuzioni

F il fascio di coniche tangenti nel punto A(0, 1) all’asse y e nel puntoB(1, 2) alla retta di equazione y = 2;

P un punto generico dell’asse x;

P′ il corrispondente di P nella ω.

Verificare che la conica di F che passa per P passa anche per P′.

15.15 Siano:

P il generico punto della circonferenza γ di equazione

x2 + y2 − 2x = 0

non appartenente all’asse x;

t la tangente in P alla γ;

A ed A′ le intersezioni della t rispettivamente con l’asse y e con la retta diequazione x = 2;

r ed r′ le rette che dal punto B(−1, 0) proiettano rispettivamente A e A′.

Verificare che, al variare di P su γ, r ed r′ sono coniugate in una stessainvoluzione.

Figura 15.1.

[ La circonferenza data ha centro in C(1, 0) e raggio r = 1; il punto Pavrà coordinate (1 + cos α, sin α) (con sin α 6= 0) e quindi la tangente t avràequazione

y− sin α = −cos α

sinα(x− 1− cos α)

149

da cui A(

0, 1+cos αsin α

)ed A′

(2, 1−cos α

sin α

). I coefficienti angolari di AB ed A′B

sono rispettivamente m = 1+cos αsin α e m′ = 1−cos α

sin α da cui mm′ = 1+cos αsin α ·

1−cos αsin α = 1−cos2 α

3 sinα = 13 ; dalla Figura 15.1 si desume inoltre facilmente che se P

appartiene all’asse x, t coincide o con l’asse y o con la retta x = 2 il che rendeindeterminata la posizione del pinto A o del punto A′. ]

15.16 Si considerino la parabola P di equazione y = x2 − 1 ed i punti A(−1, 0)e B(0,−1).

Siano:

P un generico punto di P diverso da A o B;

r la retta AP;

s la retta BP;

t la retta simmetrica di s rispetto all’asse x;

u la parallela a t passante per A.

Verificare che la corrispondenza fra le rette r ed u nel fascio di sostegno Ache così si ottiene è un’involuzione [m + m′ + 1 = 0]

15.17 Siano r ed r′ due rette nel fascio di sostegno A(0, 1) che si corrispondononell’involuzione di equazione mm′ − 2 = 0. Verificare che i punti di inter-sezione di r ed r′ con l’asse x si corrispondono in una involuzione e trovarel’equazione di questa involuzione. [xx′ = 1

2 ]

16. Polarità piana

La polarità si intende sempre definita rispetto a coniche irriducibili. Nelle risoluzioniproposte faremo uso di una delle tante forme dell’equazione della polare, nulla vieta, anziè auspicabile, che lo studente provi a risolvere in altro modo l’esercizio. In alcuni casi larisoluzione non si baserà su un procedimento solo analitico, ma farà uso di considerazionisintetiche legate alla legge di reciprocità: è un invito alla riflessione.

16.1 Sia F il fascio di coniche di equazione

y2 − xy + λ(2x2 − 3xy + y2 − 6x + 3y) = 0

Verificare che tutte le coniche del fascio sono tangenti nell’origine ad unastessa retta. [2x + y = 0]

16.2 Determinare la polare dell’origine rispetto alla conica di equazione

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

[dx + ey + f = 0]

16.3 Si consideri l’iperbole equilatera γ che ha come asintoto la retta di equa-zione y = 2x ed è tangente in P(3, 0) alla retta di equazione 4x + 3y = 12;scrivere l’equazione dell’altro asintoto.

[È la polare di (−2 : 1 : 0). . . x + 2y = 0]

16.4 Un’iperbole equilatera γ ammette come asintoto la retta di equazionex + 2y− 4 = 0; determinare l’altro asintoto sapendo che γ interseca l’assex nei punti P(1, 0) e Q(3, 0).

[. . . 2x2 + 3xy− 2y2 − 8x + 4y + 6 = 0. . . gli asintoti sono ortogonali . . . y− 2x = 0]

16.5 Determinare gli asintoti dell’iperbole equilatera non degenere che passaper l’origine e per A(1, 0), ha gli asintoti paralleli alle rette x − 5y = 0 ex− y = 0 e taglia l’asse x secondo un segmento lungo 5.

[. . . x2 − 6xy + 5y2 − x− 25y = 0. . . 2x− 10y− 15 = 0 e 2x− 2y + 13 = 0]

16.6 Considerate le coniche γ1 : x2 + y2 − 2 = 0 e γ2 : 4xy + 3 = 0, determinarei punti P tali che la polare di P rispetto a γ1 coincida con la polare di Prispetto a γ2 [(0, 0), (1 : ±1 : 0)]

152 Polarità piana

16.7 Date le coniche γ : x2 + y2 + 4x = 0 e γ′ : y2 − 6x = 0 determinare i puntiP ∈ γ′ tali che la tangente in P alla γ′ sia ortogonale alla polare di P rispettoa γ. [(2,±

√3)]

16.8 Nel fascio di coniche che passano per l’origine, per i punti A(0,−1) eB(−1,−1) e sono tangenti alla retta di equazione x+ y+ 2 = 0 determinarele coniche rispetto alle quali la polare del punto P(−1, 0) e del puntoimproprio della retta 2x− 2y− 5 = 0 sono tra loro perpendicolari.

[3x2 + 4xy− y2 + 7x− y = 0; x2 + 2xy− y2 + 3x− y = 0]

16.9* Siano:

γ la generica conica che ha fuoco nel punto F(0, 2) e come direttriceconiugata ad F la retta di equazione x + y + 1 = 0;

r la polare del punto P(1, 2) rispetto a γ;

Q ed R le intersezioni di r rispettivamente con la retta di equazione x = 1e con l’asse y

Verificare che Q ed R si corrispondono in una proiettività.

[ Si potrebbe scrivere l’equazione di γ ricorrendo alla definizione di conicatramite fuoco e direttrice, tuttavia la teoria della polarità ci permette unasoluzione più rapida ed elegante: la direttrice può essere infatti vista come lapolare del fuoco, e quindi la congiungente i punti di contatto delle tangentiuscenti dal fuoco che sono le rette isotrope1; γ appartiene allora al fascio gene-rato dalla direttrice “contata due volte” e dal complesso delle rette isotropepassanti per F, cioè la circonferenza di centro F e raggio nullo. In coordinateomogenee l’equazione di tale fascio è: x2 + (y− 2u)2 + k(x + y + u)2 = 0. Lapolare di P rispetto alla generica conica del fascio è:

1 · [2x + 2k(x + y + u)]++2[2(y− 2u) + 2k(x + y + u)]+

+1[−4(y− 2u) + 2k(x + y + u)] = 0.

che, semplificando, diventa x + 3k(x + y + u) = 0. Allora Q =(

1, −6k−13k

)ed

R =(−3k

3k+1 , 0)

(k 6= 0 in quanto la polarità riguarda solo coniche irriducibili),

per k = − 13 si ha R ≡ X∞(1 : 0 : 0)). Sarà dunque y = −6k−1

3k = −2− 13k ed

x′ = −3k3k+1 cioè 1

x′ =−3k−1

3k = −1− 13k ; da y + 2 =

(− 1

3k

)= 1

x′ + 1 si ottiene

l’equazione della proiettività yx′ + x′ − 1 = 0. ]

1Ricordiamo che le rette isotrope sono due rette immaginarie che passano per i punti ciclici delpiano e per l’origine e le cui equazioni sono x± iy = 0.

153

16.10 Un’iperbole equilatera ha un fuoco nel punto F(−1, 0) ed ammette comepolare di F la retta f di equazione 2x+ y+ 1 = 0; determinarne l’equazione.

[ f è la direttrice. . . 3x2 + 8xy− 3y2 − 2x + 4y− 3 = 0]

16.11 Una parabola P non degenere ha per direttrice la bisettrice del I e IIIquadrante e come polare del punto A(−1, 1) la retta di equazione 3x− y +1 = 0. Determinare il fuoco F e l’asse di simmetria r di P .

[F(− 3

2 , 12

), r : x + y + 1 = 0]

16.12 Scrivere l’equazione della conica che passa per il punto A(0, 1), è tangentenell’origine alla bisettrice del I I e IV quadrante ed ammette come polaredi X∞ la retta di equazione x = 2. [x2 + 4y2 − 4x− 4y = 0 ellisse]

16.13 Scrivere l’equazione dell’iperbole passante per i punti O e P(1,−1) perla quale la retta di equazione y = 1 è un asintoto e quella di equazione2y + 1 = 0 è la polare del punto Q(1, 1). [xy− 5y2 − x− 7y = 0]

16.14* Siano γ la circonferenza di equazione x2 + y2 = 4 ed A il punto (2, 4).Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera tangente a γ nei punti dicontatto delle tangenti ad essa uscenti da A.

[ Si tratta dell’iperbole equilatera del fascio generato dalla circonferenza datae dalla polare pA di A “contata due volte”, che è la congiungente i punti ditangenza. (v. Fig. 16.1)

Figura 16.1.

La polare di A è x + 2y− 2u = 0 e dunque il fascio suddetto ha equazionex2 + y2 − 4 + k(x − 2y − 2)2 = 0; avremo un’iperbole equilatera se e solo

154 Polarità piana

se I1 = a11 + a22 = 1 + 1 + k + 4k = 0 cioè per k = − 25 da cui l’iperbole

3x2 − 8xy− 3y2 + 8x + 16y− 28 = 0 ]

16.15 Siano γ la conica di equazione 2xy = 1 ed F il punto (1, 1); scrivere l’equa-zione dell’involuzione delle rette reciproche uscenti da F.

[F è uno dei fuochi. . . l’involuzione è quella circolare mm′ = −1]

16.16 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha gli stesssi asintoti della x2 − xy−2y2 − x + 2y + 1 = 0 ed ammette gli assi cartesiani come rette reciproche.

[Gli asintoti sono x− 2y = 0 e x + y− 1 = 0. . . (x− 2y)(x + y− 1) + 1 = 0]

16.17 Una conica γ passa per i punti impropri degli assi cartesiani, per il puntoA(1, 1), ed ammette come polare del punto P(0,−1) la retta di equazioney = 1; scrivere l’equazione dell’involuzione dei punti dell’asse y reciprocirispetto alla γ. [Y∞ è unito e P è coniugato con A. . . y + y′ = 0]

16.18 Sia γ l’iperbole equilatera che passa per i punti A(0, 1), B(2, 0) e C(1, 1)ed è tangente alla bisettrice del I e III quadrante; scrivere l’equazionedell’involuzione dei punti dell’asse x reciproci rispetto a γ

[2xx′ − 3(x + x′) + 4 = 0]

16.19* Si considerino il punto A(0,−1) e la conica γ di equazione

2x2 + 3xy + 3y2 − x− 6y− 1 = 0;

scrivere l’equazione dell’iperbole che passa per il punto B(2, 0) ed ha comeasintoti le tangenti alla γ passanti per A.

[ Le due tangenti AT1 e AT2 sono le rette che congiungono A con i punti incui la polare di A taglia la γ (v. Fig. 16.2 a fronte). Il fascio a cui appartienel’iperbole che cerchiamo sarà il fascio di iperboli avente queste due rette comeasintoti, cioè tangenti nei punti impropri.

Lavorando in coordinate omogenee, la polare pA di A ha equazione x +

3y− u = 0. La conica spezzata nelle due rette AT1 AT2 appartiene al fascio2x2 + 3xy + 3y2 − xu− 6yu− u2 + k(x + 3y− u) = 0 Ricercando le conichedegeneri, cioè imponendo I3 = 0 si ha k = ∞, a cui corrisponde la rettapA contata due volte e k = − 1

2 che è quella che fa a l caso nostro ed haequazione x2 − y2 − 2yu− u2 = 0. La conica richiesta sarà dunque tangentea quest’ultima nei suoi punti impropri, sarà quindi una conica del fasciox2 − y2 − 2yu − u2 + ku2 = 0. Imponendo il passaggio per B otteniamok = −4 da cui l’equazione, in coordinate non omogenee x2 − y2 − 2y− 4 = 0che è un’iperbole equilatera. ]

155

Figura 16.2.

16.20 Siano:

γ l’ellisse di equazione x2 − xy + y2 − 3x + 2 = 0;

P il punto di coordinate (0,−1)

Q il punto (0, 1).

Verificare che i punti P e Q ed i quattro punti di contatto di γ con le tangentiuscenti da P e da Q appartengono ad una medesima conica.

[Nel fascio di coniche generato da γ e dalle due polari, cercare quella chepassa per Q ed osservare che passa anche per P. ]

16.21 Siano:

P la parabola di equazione (x− y)2 − 4(x + y + 1) = 0;

P un punto del piano;

T1 e T2 i punti di contatto delle tangenti uscenti da P con la parabola.

Scrivere l’equazione del luogo dei punti P tali che T1 e T2 siano allineaticon l’origine. [È la polare dell’origine. . . x + y + 2 = 0]

16.22* Trovare il polo della retta impropria rispetto alla conica di equazione

x2 − 3y2 − 2x + 2 = 0.

156 Polarità piana

[ Per la legge di reciprocità basterà trovare le polari di due punti impropriqualsiansi: i più comodi sono X∞(1 : 0 : 0) e Y∞(0 : 1 : 0) le due polari sonorispettivamente la derivata rispetto ad x e quella rispetto ad y della conica: in

coordinate omogenee si ha il sistema

2x− 2u = 0−6y = 0

che ha come soluzione

x = u e y = 0 da cui il punto P(1, 0). ]

16.23 Trovare il polo della retta x + y + 3 = 0 rispetto alla conica

2x2 − 3xy + y2 + 3x = 0.

[(1, 2)]

16.24 Siano:

r una retta per l’origine;

P il polo della r rispetto alla circonferenza di equazione x2 + y2 − 2x = 0;

Q il polo della r rispetto all’iperbole di equazione x2 − xy− y + 1 = 0

Trovare le rette r per le quali i corrispondenti punti P e Q sono allineati conA(−2, 1). [y = 2

3 x, y = 3x]

16.25 Data la circonferenza di equazione x2 + y2 − 2x + 3y = 0 ed i punti A(1, 2)e B(2, 0), determinare un punto C che sia reciproco sia di A sia di B.

[È il polo della retta AB. . . C(

207 ,− 4

7

)]

16.26* Verificare che i punti impropri degli assi x e y sono reciproci rispetto a tuttele coniche che passano per i punti O(0, 0) ed A(2, 0) ed ammettono comepolare del punto P(1, 2) l’asse x. [(x− y)2 + 4x− 8 = 0]

[ La polare di P passa per O ed A che sono quindi i punti di contatto delletangenti uscenti da P. L’equazione del fascio, in coordinate omogenee, si puòscrivere come

ky2 + (2x− y)(2x + y− 4u) = 0.

La polare di X∞(1 : 0 : 0) rispetto alla generica conica del fascio ha equazione2(2x + y− 4u) + 2(2x− y) = 0 e cioè, semplificando, x− u = 0 che passa perY∞(0 : 1 : 0).]

16.27 Data la parabola y = x2, verificare che l’involuzione dei punti reciproci daessa subordinata sull’asse x è la simmetria rispetto all’origine.

[. . . i punti uniti sono le intersezioni con l’asse x: O e X∞. . . ]

157

16.28* Una conica taglia l’asse x nei punti A(2, 0) e B(4, 0) e l’asse y in C(0, 2) eD(0, 4). Determinare la polare dell’origine.

[ Considerare l’involuzione dei punti reciproci sugli assi. . . i corrispondenti diO sono rispettivamente A′(3, 0) e B′(0, 3). . . la retta AB è x + y− 3 = 0 ]

16.29* Si considerino i punti A(0, 1) e B(2, 0) e la retta r di equazione x + 2y = 4;sia γ la conica non degenere tangente in A all’asse y, tangente in B all’assex e tangente anche alla retta r.

Senza determinare l’equazione di γ, trovare le tangenti ad essa uscenti dalpunto P∞(2 : −1 : 0)

[ Una delle rette cercate è r che è tangente in T(2, 1), l’altra passa per l’al-tro punto unito dell’involuzione dei punti reciproci sulla retta OT, che tie-ne fisso T e manda il punto O nel punto P

(1, 1

2

). . . xx′ − 4(x + x′) + 4 =

0. . . T′(

23 , 1

3

). . . 3x + 6y− 4 = 0. ]

16.30* Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha come asintoto la rettar : x− y + 1 = 0 e subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciprocidi equazione xx′ − (x + x′) = 0.

[ La conica ha r come asintoto, passa per il punto improprio in direzioneortogonale ad r e per i punti dell’asse x uniti nell’involuzione data . . .

x2 − y2 − 2x + 4y = 0.

]

17. Centro e diametri di una conica

17.1. Centro, diametri ed assi

17.1* Sia γ l’iperbole equilatera che passa per i punti A(0,−1) e B(−2,−1) edha come asintoto la bisettrice del I e I I I quadrante; trovare l’equazione diγ e le coordinate del suo centro.

[ L’iperbole appartiene al fascio (x + 1)(x− y) + k(x− y− 1)(x− y+ 1) = 0; èequilatera se e solo se I1 = 1 + k + k = 0 cioè se k = − 1

2 , quindi ha equazionex2 − y2 + 2x− 2y + 1 = 0. Il centro è il polo della retta impropria, dunqueil punto di incontro delle polari di X∞ ed Y∞ cioè le sue coordinate sonosoluzione del sistema

∂ f∂x

= 0

∂ f∂y

= 0

Nel nostro caso

2x + 2 = 0−2y− 2 = 0

e qundi C(−1,−1). ]

17.2 Determinare le coordinate del centro delle coniche non degeneri che hannoequazione del tipo ax2 + by2 + cx + dy + f = 0. [

(− c

2a ,− d2a

)]

17.3 Si consideri l’iperbole γ di equazione xy = 1.

Siano:

A il punto (1, 1);

a la tangente In A a γ;

d il generico diametro di γ;

d′ il diametro coniugato a d rispetto a γ;

P l’intersezione di a con d;

P′ l’intersezione di A con d′.

Verificare che P e P′ si corrispondono in una involuzione ω di cui si chie-dono l’equazione ed i punti uniti.

[x = 21+m , x′ = 2

1−m . . . eliminando m si ha xx′ − (x + x′) = 0. . . (0, 2) e 2, 0)]

160 Centro

17.4 Siano:

γ l’ellisse di equazionex2

a2 +y2

b2 = 1;

V un vertice di γ;

t la tangente a γ in V;

p e q due diametri coniugati di γ distinti dagli assi.

verificare che p e q tagliano t in due punti P e Q tali che VP ·VQ è costantecomunque vari la coppia p q.

17.5* Trovare l’equazione della conica γ che ha centro nelll’origine, un verticesulla circonferenza di equazione x2 + y2 = 4 e quale polare del puntoA(0, 1) la retta r di equazione x + y− 2 = 0.

Figura 17.1.

[ Se uno dei vertici sta su γ sarà su di essa anche il suo simmetrico rispettoall’origine. Un asse sarà allora la retta y = mx (si vede subito che i vertici nonappartengono all’asse y). La polare di A passa per C quindi la polare di C passaper A e non può essere la retta y = 2. La generica conica che ha come asse y =mx, appartiene al fascio (in coordinate omogenee) x2 + y2− 4u2 + k(y−mx)2.Imponiamo che la polare pA di A rispetto alla generica conica sia r. pA haequazione 1 · [2y + 2k(y−mx)] + 1 · [−8u] = 0 che diventa kmx− (k + 1)y +4u = 0. I coefficienti di quest’ultima devono essere proporzionali a quelli

17.1 centro 161

dell’equazione di r: otteniamo il sistema

km1

=4−2

−(k + 1)1

=4−2

che ha come

soluzione k = 1 e m = −2, quindi la conica ha equazione

5x2 − 4xy + 2y2 − 4 = 0.

Vedi la Figura 17.1 nella pagina precedente ]

17.6 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha centro in C(1, 2), passa per ilpunto A(−1,−1) e subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciprocixx′ − x− x′ = 0

[ L’iperbole passa anche per il simmetrico di A rispetto a C e per i due puntiuniti dell’involuzione. . . 5x2 − 3y2 − 10x + 12 = 0. ]

17.7 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha centro in C(1, 1) e taleche la polare dell’origine sia l’asse x.

[ L’asse x è tangente. . . l’iperbole passa per A(2, 2) con tangente y = 2. . . x2 −2xy− y2 + 4y = 0. ]

17.8 Considerato il fascio F delle iperboli equilatere che passano per A(1,−2)ed ammettono la retta di equazione x− 2y = 1 come asintoto,

i) Scrivere l’equazione di F ;

ii) Scrivere l’equazione dell’iperbole appartenente ad F che ha centronel punto C(3, 1).

[(x− 2y− u)(2x + y) + k(x− 2y− 5u)u = 0; k = −7]

17.9 Determinare l’equazione dell’involuzione dei punti reciproci subordinatasulla retta x = y dalla conica di equazione x2 + 2y2 = 1.

[È la simmetria rispetto al centro, cioè O(0, 0). . . x + x′ = 0.]

17.10 Scrivere l’equazione della conica che passa per i punti O(0, 0), A(4, 0) eB(0, 2), è tangente alla retta r : 2x− y + 2 = 0 ed ammette la retta AB comediametro.

[ Le tangenti agli estremi di un diametro sono tra loro parallele. . . r contiene B. . . quindi la tangente in A è . . . x2 + y2 − 4x− 2y = 0. (Fig. 17.2 nella paginaseguente) ]

162 Centro

Figura 17.2.

17.11 Siano:

γ la conica di equazione y2 − x2 − 2y = 0;

C il centro di γ;

A e B rispettivamente i punti (−1, 0) e (0,−2);

D il punto della retta di equazione y = 2 reciproco di A rispetto a γ;

p la retta DB;

p′ la retta DC.

Verificare che le rette p e p′ sono reciproche rispetto a γ.

[ La polare di A è la retta x = y. . . D(2, 2) . . . il diametro coniugato a DC èparallelelo a DB. . . ]

17.12 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ammette l’asse y come po-lare del punto improprio della bisettrice del I I e IV quadrante e subordinasull’asse x l’involuzione dei punti reciproci di equazione xx′ − 1 = 0.

[ Sull’asse x, l’origine è il reciproco di X∞. . . O sta sul diametro x = 0 dunqueè il centro. . . gli asintoti sono le bisettrici di ogni coppia di diametri coniu-gati. . . la conica passa per (1, 0). . .

(y + (1 +

√2)x) (

y + (1−√

2)x)+ 1 = 0.

]

17.1 centro 163

17.13 Dimostrare che tutte le iperboli equilatere che hanno centro nell’originee tagliano la retta di equazione y = 1 in due punti simmetrici rispetto alpunto

(−4

3 , 1)

hanno gli stessi asintoti.

[ AO è coniugato all’ax. . . gli asintoti sono le bisettrici di ogno coppia didiametri coniugati. . . . ]

17.14* Sia γ l’iperbole equilatera che ha centro in C(2, 1), passa per l’origine edivi ammette come tangente la retta r di equazione y + 2x = 0; trovare laretta passante per il punto (−1, 1) che è reciproca dell’asse x rispetto a γ.

[ Basta trovare il polo dell’asse x: esso sarà l’intersezione della polare di O,che è r con quella di X∞ Per trovare quest’ultima consideriamo l’involuzionedei diametri coniugati: il diametro CO è coniugato a quello in direzione di rdunque ad m = −2 corrisponde m′ = 1

2 e quindi considerando l’equazionemm′ + α(m + m′) + β = 0 si ottiene la condizione −1 − 3

2 α + β = 0; ora,poiché si tratta di un’iperbole equilatera, gli asintoti, che sono le bistttrici diogni coppia di diametri coniugati, sono perpendicolari e sono le rette unitenell’involuzione dei diametri coniugati e si ottengono quindi dall’equazionem2 + 2αm + β = 0 dunque dalle due relazioni ora determinate abbiamoche l’involuzione dei diametri coniugati di γ è mm′ − 4(m + m′)− 3 = 0 lapolare di X∞ ha quindi coefficiente angolare che è soluzione dell’equazione3 · 0 · m′ − 4(0 + m′)− 3 = 0 da cui m′ = − 3

4 . Il polo dell’asse x ha allora

coordinate che sono soluzione del sistema

y + 2x = 0

y− 1 = −34(x− 2)

quindi è

P′(−2, 4); la retta richiesta, che è PP′, ha dunque equazione y = −3x− 2. ]

17.15* Sia γ una conica che ammette come polare dell’origine la retta r di equazio-ne x = 1, come involuzione dei punti reciproci su r la simmetria rispettoal punto S(1, 0) e la retta y = −1 come diametro. Determinare gli asintotidella γ.

[ Nell’involuzione dei punti reciproci su r i punti uniti sono S e R∞. . . letangenti uscenti da O sono quindi l’asse y (che è uno degi asintoti) e l’asse x. . . il centro è C(0,−1) e l’ax è coniugato a CS . . . l’altro asintoto è l’elementounito nell’involuzione dei diametri coniugati. . . Ha coefficiente angolare m =12 . . . . ]

164 Centro

17.16 Rispetto ad un’iperbole equilatera γ, l’involuzione delle rette reciprocheuscenti da O(0, 0) ha equazione mm′ + m + m′ + 3 = 0 e la polare di O è laretta di equazione x = 2; scrivere l’equazione della γ e quelle dei suoi assi.

[ Le tangenti uscenti da O sono le rette unite. . . x2 − 2xy− y2 − 16x + 16 = 0;±x + (

√2± 1)y + 4

√2 = 0. ]

17.17 Un’iperbole equilatera γ ammette come polare del punto P(1, 1) la rettap : x = 2 e taglia la p nei punti A(2, 1)3 B(2, 3); scrivere l’equazione dellaγ e dei suoi assi. [x2 + 2xy− y2 − 6x + 5 = 0; x− 3

2 = −1±√

2)(x− 3

2)]

17.18 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ammette i punti O edA(0, 1) come reciproci ed ha per asintoti gli assi dell’ellisse di equazione2x2 − 2xy + 5y2 − 4x + 2y = 0. [(x− 1)2 − 3(x− 1)y− y2 = 5

2 ]

17.19 Si consideri la conica γ : x2 − 2xy + 2y2 − x + 2y = 0; scrivere l’equazionedella parabola avente come asse la retta di equazione x + y + 2 = 0 e chesubordina sull’asse y la stessa involuzione dei punti reciproci subordinatada γ. [Le intersezioni con l’asse y sono le stesse di γ. . . (x + y)2 + 7x− y = 0]

17.20 Si consideri la parabola P di equazione x2 + 2xy+ y2− 4x+ 1 = 0; scriverel’equazione di una parabola che passa per l’origine ed ha lo stesso asse diP . [L’asse è x + y + 1 = 0. . . ]

17.21 Scrivere l’equazione della conica che passa per l’origine, per A(1, 0) e perB(0, 1), è tangente in B alla retta r : x− 2y + 2 = 0 ed ha un asse paralleloalla retta di equazione x− 3y = 0. [Lapolare di (3 : 1 : 0) deve passare per (1 : −3 : 0) . . . 2x2 + 3xy − 2y2 − 2x + 2y = 0]

17.22 Scrivere l’equazione della parabola che ha come asse la retta di equazionex + y + 1 = 0 e che subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciprociω : xx′ − 1 = 0

[ La parabola passa per i punti uniti di ω che sono A(−1, 0) e B(1, 0), quindiA è il vertice. Dunque appartiene al fascio (x + y + 1)2 + λ(x− y− 1) = 0. . . ]

17.23 Riconoscere le seguenti coniche e determinarne centro, assi e vertice:

3x2 − xy + 3y2 − 6x + y− 22 = 0,

4x2 − 10xy + 4y2 − 18 = 0.

17.2 Triangoli autopolari 165

[La prima conica è un’ellisse che ha centro nel punto (1, 0) e come assi le rettey = x − 1 e y = 1− x; intersecando tali assi con la conica si ottengono lecoordinate dei quattro vertici (1±

√5,±√

5). La seconda è un’iperbole di

centro(−16

9,−20

9

)]

17.24 Nel piano si considerino i punti A(2, 0) e B(−1, 1) e la retta r : x + y = 0.Scrivere l’equazione della parabola K che passa per A di vertce B ed asser e l’equazione della tangente in A a K

17.2. Triangoli autopolari

17.25 Si consideri la conica γ di equazione xy − y2 − x = 0; verificare che iltriangolo avente come vertici i punti A(1, 0), B(0, 1) e C(−1, 0) è autopolareper la γ.

17.26 Determinare i triangoli aventi un vertice nell’origine che sono autopolaririspetto alle coniche γ : x2 − xy + 2y− 1 = 0 e γ′ : y2 − 2xy− 2y + 1 = 0.

[ La polare dell’origine è, rispetto ad entrambe le coniche, la retta p : y− 1 =

0,. . . le polari di un punto di p rispetto alle due coniche coincidono solo per ipunti (±1, 1),. . . i terzi vertici dei triangoli così ottenuti sono (∓1, 1). ]

17.27 Si consideri il fascio F di coniche aventi come punti base A(1, 0), B(0, 1),C(−1, 0) e D(0,−1).

Verificare che il triangolo avente come lati le bisettrici dei quadranti e laretta impropria è autopolare per tutte le coniche di F .

[ Considerando l’involuzione dei punti reciproci sui due assi otteniamo cheil centro è O(0, 0). . . considerando la retta x− y + 1 = 0 si ha che la polare di(1 : 1 : 0) passa per

(12 , 1

2

). . . ]

17.28 Si consideri il fascio F delle circonferenze tangenti alla bisettrice del I e IIIquadrante nel punto A(1, 1); determinare la circonferenza di F rispettoalla quale è autopolare il triangolo avente per lati la retta y = 1 e gli assicoordinati.

[ Il centro sta sulla polare di X∞, cioè l’asse y . . . è C(0, 2) . . . x2 + (y− 2)2 = 2. . . verifica tutte le condizioni richieste. ]

166 Centro

17.29 Siano dati i punti C(1, 1), A(1, 0) e B(0, 1); scrivere l’equazione della conicache ha centro in C ed ammette come autopolare il triangolo OAB.

[2xy− 2x− 2y + 1 = 0. . . del resto gli asintoti sono x = 1 e . . . ]

17.30 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ammette come autopolare il triangolodi vertici O, A(8, 0) e B(0, 8) e come asintoto la retta di equazione

y = 3x− 16.

[15x2 − 2xy− y2 + 16x + 16y− 64 = 0]

17.31 Sia F la famiglia di circonferenze tangenti alla retta di equazione y− x−1 = 0; trovare la circonferenza di F rispetto alla quale è autopolare iltriangolo avente per lati le rette x = 1, x = 0 e y = 1.

[ Il centro della circonferenza sta sulla polare di Y∞, che è la retta y = 1.

Figura 17.3.

La tangenza avviene in A(1, 2), dal momento che il punto di tangenza devestare sulla polare di (0, 1) (V. Fig. 17.3) che appartiene alla tangente, cioè sullaretta x = 1. Il centro si ottiene dunque come intersezione della y = 1 e dellaperpendicolare in A alla y = x + 1, cioè la x + y− 3 = 0. Pertanto il centro èC(2, 1) ed il raggio r = CA =

√2 da cui x2 + y2 − 4x− 2y− 2 = 0. ]

17.32 Scrivere l’equazione della parabola non degenere che ammette come auto-polare il triangolo di vertici O(0, 0), A(2, 0) e B(0, 1) e che ha la tangente

17.2 Triangoli autopolari 167

Figura 17.4.

nel vertice parallela alla retta AB. (v. Fig. 17.4)[4x2 − 4xy + y2 + 4x + 8y− 4 = 0]

17.33 Scrivere l’equazione della parabola che ha come asse la retta di equazionex− y + 1 = 0 e rispetto alla qualle il triangolo di vertici O(0, 0), P(5 : 7 : 4)e Q(0 : −2 : 1) è autopolare dopo aver stabilito se le condizioni assegnatesono indipendenti.

[ Le condizioni sono 6, non indipendenti. . . ; la rete (5y + 7x)2 + αx2 + β(3x−y− 2)2 = 0 deve essere del tipo k(x− y)2 + · · · = 0. . . β = −5, α = 16. . . 2(x−y)2 + 6x− 2y− 2 = 0. ]

Parte IV.

Geometria dello spazio

18. Generalità sulllo spazio

18.1 Calcolare la distanza dell’origine dal punto P(1, 2,−1): [√

6]

18.2 Calcolare la distanza tra i punti A(1, 0,−1) e B(1,−1, 0). [√

2]

18.3 Determinare il punto appartenente al piano yz ed equidistante dai puntiA(3, 1, 0), B(1, 1, 1) ed O(0, 0, 0). [

(0, 5,− 7

2)]

18.4 Calcolare la distanza del punto P(1,−2, 0) dal piano xz. [2]

18.5* Calcolare la distanza di A(2, 4, 3) dall’asse x.

Figura 18.1.

[ Per calcolare la distanza di un punto A da una retta r occorre considerarela proiezione ortogonale di A su r. La situazione è quella illustrata nellaFigura 18.1. Considerata, ad esempio, la proiezione ortogonale Axy di A sul

172 Generalità sulllo spazio

piano xy si ha che Ax Axy è perpendicolare all’asse x e dunque, dal Teoremadi Pitagora e riferendoci sempre alla Figura 18.1,

d(A, x) = AAx =

√AAxy

2+ Ax Axy

2=√

9 + 16 =√

25 = 5

infatti AAxy e Ax Axy sono due dei segmenti che determinano le coordinate diA. ]

18.6 Determinare le coordinate dei punti dell’asse x che formano un triangoloisoscele con i punti A(1, 2, 3) e B(0,−1, 1). [(6, 0, 0), (±2

√3, 0, 0) (2, 0, 0), O]

18.7 Determinare le coordinate dei punti del piano xy che formano un triangolorettangolo in A con A(2, 1, 0) e B(−1, 0,−1) . [(2, k, 0) ∀k.]

18.8 Esiste una retta che ammette come coseni direttori i numeri 1,12

e13

?[No: la somma dei quadrati non è 1]

18.9 Siano 2, −4 e 5 i parametri direttori di una retta; determinarne i cosenidirettori. [ 2

±3√

5, −4±3√

5e ±

√5

3 ]

18.10 Trovare i coseni direttori della retta che congiunge l’origine con il puntoP(2, 1, 0). [ 2

±√

5, 1±√

5,0]

18.11 Trovare i coseni direttori della semiretta bisettrice del primo ottante.[ 1√

3, 1√

3, 1√

3.]

18.12 Determinare l’angolo fomato dalle rette che congiungono l’origine rispetti-vamente con i punti A(8, 5, 3) e B(6, 2,−3). [ π

4 ]

18.13 Siano dati i punti A(2, 4, 4), B(3, 2, 1), C(1, 2, 2) e D(−2,−4,−7); verificareche la retta AB è parallela alla retta CD.

[Hanno i parametri direttori proporzionali.]

18.14* Dati i punti A(2,−3, 1) e B(2, 1,−3), dimostrare che la retta AB è perpen-dicolare all’asse x e sghemba con esso.

[ AB sta sul piano x = 2 ortogonale all’asse x; l’intersezione dovrebbe esserequindi P(2, 0, 0) ma ciò non è possibile perché P non è allineato con A e B,infatti i parametri direttori delle rette AP e BP non sono proporzionali. ]

18.15 Trovare il simmetrico di A(−2, 1, 3)

i) rispetto all’origine, [(2,−1,−3)]

173

ii) rispetto al piano, xy [(−2, 1,−3)]

iii) rispetto all’asse x, [(−2,−1,−3)]

18.16* Generalizzare i risultati dell’esercizio 18.15 determinando le formule cheforniscono le coordinate del simmetrico di un generico punto P dello spaziorispetto all’origine, rispetto ad uno dei piani coordinati e rispetto ad unodegli asssi coordinati.

[ Se è P(x0, y0, z0) si ha (−x0,−y0,−z0) rispetto all’origine (−x0, y0, z0) rispet-to al piano yz e (x0,−y0,−z0) rispetto all’asse x. ]

18.17 Calcolare le coordinate del punto P(1, 0, 0) in un nuovo sistema di riferi-mento traslato rispetto al primo in cui l’origine è, rispetto al vecchio sistema(0,−1, 1). [P′(1, 1,−1)]

18.18 Dimostrare che, se è P(a, b, c) esiste sempre una traslazione del sistemadi riferimento tale che, nel nuovo sistema, P abbia coordinate (α, β, γ)qualunque siano a, b, c, α, β, γ. [La nuova origine è O′(a− α, b− β, c− γ)]

18.19 Trovare, se esiste, una rotazione di centro l’origine che mandi il puntoP(1, 0, 1) nel punto P′(0, 0, 1). [Non esiste: è PO =

√2 e P′O = 1]

19. Rette e piani nello spazio

19.1. Piani e rette

19.1 Determinare gli eventuali valori del parametro k per i quali i piani

x + (1− k)z = 1− kkx + y + 2z = 1

(1− k)x + y + 3z = 2(1 + k)x + 3y + 7z = 4

hanno in comune un solo punto.

[Il sistema formato dalle quattro equazioni deve ammettere una sola soluzio-ne. . . ]

19.2* Scrivere l’equazione del piano passante per i punti A(1, 1, 0), B(0, 1, 2) eC(3, 0, 4).

[Ci sono vari modi per risolvere un esercizio di questo tipo. Ne esaminiamodue:

i) Il piano cercato sarà parallelo sia al vettore ~v = AB = [−1, 0, 2] sia alvettore ~w = AC = [2,−1, 4]; ricordando che per un piano di equazioneax + by + cz + d = 0 le componenti del vettore [a, b, c] formano una ternadi parametri direttori di una retta ortogonale a tale piano, possiamoricavare a, b, c dal prodotto vettoriale~v× ~w = [2, 8, 1], quindi l’equazionedel piano sarà della forma 2x+ 8y+ z+ d = 0; per determinare il terminenoto d possiamo imporre il passaggio per uno dei tre punti, ad esempioA, ottenendo 2 + 8 + d = 0 da cui d = −10.

ii) La generica equazione del piano è ax + by + cz + d = 0 (con [a, b, c] 6=[0, 0, 0]); imponendo successivamente il passaggio per i tre punti si ottieneil sistema di tre equazioni nelle quattro incognite a, b, c e d

a + b + d = 0b + 2c + d = 0

3a + 4c + d = 0

le cui soluzioni sono definite a meno di un fattore di proporzionalità, cioèdel tipo (2c, 8c, c,−10c): ricordando che l’equazione del piano è definita

176 Rette e piani nello spazio

a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, si perviene al risultatodel punto precedente.

]

19.3 Calcolare il coseno dell’angolo ϕ fra i piani π1 ≡ x + y + z = 1 e π2 ≡x− y− z = 2.

[cos ϕ =〈v, w〉‖v‖ · ‖w‖ , con v = [1, 1, 1] e w = [1,−1,−1] parametri direttori delle

rette ortogonali rispettivamente a π1 e π2 e ϕ ∈[0,

π

2

]. . . cos ϕ =

13

.]

19.4 Calcolare i coseni direttori del piano che taglia sugli assi coordinati seg-menti OX, OY e OZ lunghi rispettivamente 1

2 , 13 e 3.

[2x + 3y− 13 z = 0. . .± 6

19 , ± 1819 , e ± 1

19 ]

19.5 Nello spazio, scrivere le equazioni cartesiane e parametriche della rettapassante per i punti A = (3, 0, 4) e B = (−1, 2,−2).

[La retta cercata è parallela al vettore AB = [xb − xa, yb − ya, zb − za] =

[−4, 2,−6] e quindi, mettendo in evidenza il punto A come punto di pas-

saggio, si ottengono le equazioni parametriche

x = 3− 4ty = 2tz = 4− 6t

. Per passare alla

forma cartesiana è sufficiente ricavare il parametro t da una delle tre equazioni,ad esempio in questo caso la seconda (t =

y2

) e sostituirlo nelle altre due: si

ottiene

x = 3− 2yz = 4− 3y

]

19.6 Determinare la posizione reciproca delle seguenti rette (cioè se sono paral-lele, incidenti, coincidenti o sghembe):

r :

x + y + z + 1 = 0

x− y + z = 3e s :

x = ty = 2t− 1z = 1− 2t

[Come sappiamo due rette sono parallele se e solo se hanno parametri di-rettori proporzionali. Una terna di parametri direttori di s è evidentemente1, 2,−2; per quanto riguarda la r una terna di parametri direttori è data dai

tre minor∣∣∣∣ 1 1−1 1

∣∣∣∣ = 2, −∣∣∣∣1 11 1

∣∣∣∣ = 0 e∣∣∣∣1 11 −1

∣∣∣∣ = −2. Le due terne non sono

19.1 Piani e rette 177

proporzionali, quindi le rette non sono parallele, nè tantomeno coincidenti.Per verificare l’incidenza consideriamo il sistema che si ottiene sostituendonelle equazioni di r le espressioni parametriche di x, y e z di s: otteniamo

t + 2t− 1 + 1− 2t + 1 = 0t− (2t− 1) + 1− 2t = 3

da cui

t = −1

−3t = 1. Le due equazioni sono in-

compatibili, quindi il sistema non ammette soluzioni e di conseguenza le rettesono sghembe. ]

19.7 Sia r la retta che passa per i punti A(3, 0, 4) e B(−1, 2,−2) ed s quellapassante per C(2, 2, 5) e D(0, 0,−3). Dimostrare che r ed s si incontrano etrovare le coordinate del loro punto comune.

[ r :

x = 3− 2yz = 4− 3y

, s :

x = yz = −3 + 4y

; punto comune (1, 1, 1)]

19.8 Scrivere le equazioni cartesiane del piano e delle rette passanti per il puntoP(0, 1, 0) ed ortogonali alla retta s dell’esercizio 19.7

[Il piano cercato ha equazione 1(x− 0) + 1(y− 1)− 3(z− 0) = 0, cioè x + y−3z− 1 = 0, essendo [1, 1, 3] il vettore direzione della retta s; la direzione v dellerette perpendicolari ad s si ricava annullando il prodotto scalare 〈[1, 1,−3], v〉

. . .

y = 1 + (3h− 1)xz = hx

]

19.9 Calcolare il coseno dell’angolo formato dalle rette

r =

2x + y− z = 0

x + y + z = 1ed s =

x− y = 1y− z = 0

.

[ cos ϕ = 0, quindi le rette sono ortogonali.]

19.10 Calcolare il seno dell’angolo ψ formato dalla retta r dell’esercizio 19.7 e dalpiano π1 dell’esercizio 19.3. [ sin ψ =

4√42

]

19.11 Determinare l’equazione del piano che contiene la retta r di equazionix = 1 + 2ky = 2− kz = k

(19.1)

e passa per il punto P(2, 1,−3).


[Il piano cercato sarà parallelo sia al vettore v[2,−1, 1], che individua la dire-zione di r, sia al vettore che ha per estremi P ed un punto qualsiasi di r, peresempio il punto che si ottiene ponendo k = 0 nelle equazioni parametriche(19.1) di r e cioè A(1, 2, 0), quindi al vettore w[1,−1,−3]. Il prodotto vettorialev× w = [4, 7,−1] sarà perciò ortogonale al piano in questione, che avrà quin-di equazione 4x + 7y− z + d = 0. Imponendo il passaggio per A si ottiened = −18 da cui l’equazione 4x + 7y− z− 18 = 0 ]

19.12* Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali, scrivere l’equazio-ne del piano contenente sia la retta r di equazioni1 x = 2y− 1 = z + 1 sia ilpunto P(1, 0,−1).

[Questo esercizio è analogo all’esercizio 19.11 ma ne proponiamo una solu-zione differente, che in questo caso conviene in quanto la retta r è definitacome intersezione di due piani. Tra gli infiniti piani che contengono r e quindiappartenenti al fascio di equazione

λ(x− 2y + 1) + µ(x− z− 1) = 0 (19.2)

(ottenuta come combinazione lineare delle equazioni dei due piani che defini-scono la r) cerchiamo quello che contiene il punto P. Imponendo il passaggioper P, sostituendo le coordinate di P nella (19.2), si ottiene λ(1 + 1) + µ(1 +

1− 1) = 0 da cui µ = −2λ e quindi, sostituendo, per esempio, λ = 1 e µ = −2ancora nella (19.2), si ottiene il piano cercato x + 2y− 2z− 3 = 0. ]

19.13 Nello spazio si considerino le due rette r e s, rispettivamente di equazionix + y = z− 1 = 0 e y = x− z + 1 = 0; verificare che sono complanari escrivere l’equazione del piano che le contiene.

[Le coordinate dell’eventuale punto di intersezione sono soluzioni del sistemax + y = 0z− 1 = 0

y = 0x− z + 1 = 0

, quindi le rette si incontrano nel punto P(0, 0, 1). A questo

punto il problema si riconduce a quello degli esercizi 19.11 e 19.12 pur diprendere un punto comodo2 su una delle due rette (ma diverso dal punto diintersezione) e considerare il piano che passa per questo punto e per l’altraretta.]

1Questa espressione è scritta in forma contratta e sta ad indicare la retta ottenuta comeintersezione di due qualsiansi piani tra i tre x = 2y− 1, x = z + 1 e 2y− 1 = z + 1.

2Nel senso di un punto le cui coordinate siano facilmente trattabili, in questo caso, per esempio,può esser comodo il punto S(−1, 0, 0) ∈ s.

19.1 Piani e rette 179

19.14 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali, si considerino lerette

r :

x = 2y + 1

y + z = 1e s :

x = 2ty = 1 + tz = 3− t

verificare che sono complanari e scrivere l’equazione del piano che lecontiene entrambe.

[Le due rette sono parallele3, quindi si procede come negli esercizi precedenticonsiderando una delle due rette ed un punto dell’altra. Si ottiene il pianox− y + z = 2. ]

19.15 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali, si considerino lerette

r : x = y = z e s :

x = 1 + kty = 2tz = 3− t

.

Trovare gli eventuali valori del parametro k in corrispondenza dei quali lerette sono complanari. Per ciascuno di tali valori scrivere l’equazione delpiano che contiene r e s.

[I vettori [1, 1, 1] e [k, 2, 1], che sono i vettori di direzione di r e s rispettivamente,non sono paralleli per alcun valore di k. Procedendo poi in maniera usuale,si ricava che le rette s’intersecano solo per k = 1 nel punto P(2, 2, 2) e che ilpiano che le contiene ha equazione 3x− y− z = 0.]

19.16 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali scrivere l’equazione

del piano passante per la retta r :

x− y = z

z = 1e parallelo alla retta s :

x = y + 2z = −y

.

3Per determinare il vettore direzione della retta r in questo caso, in cui mancano delle incognitenelle equazioni, vale la pena di passare alla forma parametrica fissando, ad esempio, ycome parametro ed esprimendo le altre due incognite in funzione di y ed ottenendo così in

modo rapido le equazioni parametriche di r che sono

x = 2t + 1y = yz = 1− t

e quindi il suo vettore di

direzione [2, 1,−1].


[Nel fascio di piani λ(x− y− z) + µ(z− 1) = 0 che ha per sostegno r si scegliequello parallelo alla retta s, si ottiene x− y− 1 = 0 ]

19.17 Scrivere le equazioni della retta r passante per P(1, 1, 1), perpendicolare ed

incidente alla retta s ≡

x− y− z = 12x− y + z = 1

[È facile trovare due piani a cui deve appartenere r: uno è, ovviamente, quelloortogonale ad s che contiene P e l’altro. . . ]

19.18 Scrivere le equazioni dei piani passanti per il punto P(0, 0, 2) e paralleli

alla retta r di equazioni

x− y + z = 1

2x + y + 2z = 0.

[Tra i piani passanti per P, cioè quelli di equazione ax + by + c(z− 2) = 0scegliamo quelli per cui il vettore [a, b, c] è ortogonale al vettore direzionedi r, cioè [1, 0,−1],. . . ax + by + a(z− 2) = 0 ovvero a(x + z− 2) + by = 0:osserviamo che tali piani altro non sono che gli infiniti piani del fascio che haper sostegno la retta passante per P e parallela a quella data.]

19.19 Nello spazio, si considerino le rette

r :

x = ty = tz = t

e s :

x + y + z = 1x− y− z = 0

.

Verificare che sono sghembe e scrivere le equazioni della retta r′ perpendi-colare e incidente ad entrambe.

[Consideriamo un generico punto P ∈ r, quindi di coordinate (t, t, t), eduno di s che possiamo ottenere passando alle equazioni parametriche di s

e che sarà(

12

,12− k, k

). A questo punto basta imporre che il vettore PQ,

che ha coordinate[

12− t,

12− k− t, k− t

], sia ortogonale ad entrambe le rette

il che avviene per t =13

e k =14

. Dunque la retta cercata sarà parallela al

vettore[

16

,− 112

,− 112

]cioè al vettore [2, 1, 1] e quindi, mettendo in evidenza

19.2 Esercizi vari 181

il punto P, avrà equazioni parametriche

x =

13+ 2h

y =13− h

z =13− h

ed equazioni cartesiane

x = 1− 2zy = z

. ]

19.2. Esercizi vari

19.20 Sia P(1, 0, 1). Calcolare la distanza di P dai piani dell’esercizio 19.3 a

pagina 176. [ d(Pπ1) =|1 + 0 + 1− 1|√

12 + 12 + 12=

1√3

, . . . ]

19.21 Determinare il piano assiale del segmento che ha per estremi i due puntiA(1,−2, 3) e B(−1, 0, 1).

[Basta uguagliare le distanze del punto generico P(x, y, z) del piano cercatodal punto A e dal punto B; si ha:

(x− 1)2 + (y + 2)2 + (z− 3)2 = (x + 1)2 + y2 + (z− 1)2 . . . x− y + z− 3 = 0

]

19.22 Scrivere le equazioni dei piani (o del piano) che distano2√6

dal punto

P(1, 1, 1) e contengono (o contiene) la retta di equazioni

x− y = 1y + z = 1

.

[ Ve n’è uno solo di equazione 2− 2y− z = 0]

19.23 Risolvere l’esercizio precedente considerando come distanza tra i piani ed

il punto il valore1√6

.

[I piani sono due, di equazioni rispettivamente 2x− y + z = 0 e x + y + 2z−3 = 0]

19.24 Scrivere le equazioni della retta s che passa per P(0,−1,−1) ed è perpendi-

colare ed incidente alla retta r :

x = 2y− 1x = z + 1

. Calcolare inoltre la distanza

di P da r.


[Il piano π che passa per P ed è perpendicolare ad r interseca r stessa in unpunto H che è la proiezione ortogonale di P su r. La retta cercata è quindi la

retta PH e la distanza PH è la distanza Pr. Si ha H(−1

3,

13

,−43

)quindi Pr =

PH =

√19+

(13+ 1)2

+

(−4

3+ 1)2

=√

2 ed infine s :

x = ty = −1− 4tz = −1 + 3t

. ]

19.25 Calcolare la distanza di P(1, 0, 1) dalle rette dell’esercizio 19.7 a pagina 177

19.26 Calcolare la distanza tra il piano π di equazione 2x + 2y− z− 2 = 0 e la

retta r di equazioni

x + 1 = 0

2y− z = 0.

[Piano e retta sono paralleli (verificarlo) quindi la distanza cercata sarà quellatra il piano stesso ed un punto qualsiasi della retta. Ad esempio scegliendo

P(−1, 0, 0) si ha d(P, π) =| − 2− 2|√4 + 4 + 1

=43

. ]

19.27 Siano r e s le due rette parallele dell’esercizio 19.14; calcolare la loro distan-za. [ Basta calcolare la distanza tra un punto qualsiasi di una retta e l’altra. . . ]

19.28 Calcolare la distanza fra le due rette dell’esercizio 19.7.[ Le rette sono incidenti, quindi. . . ]

19.29* Calcolare la distanza tra le due rette sghembe dell’esercizio 19.19

[Tra i vari modi per risolvere un esercizio di questo tipo indichiamo i dueseguenti:

i) Consideriamo il vettore AB che ha come estremi un punto qualsiasiA ∈ r ed uno B ∈ s e calcoliamo la sua proiezione ortogonale sulladirezione perpendicolare ad entrambe le rette, ovvero quella indivi-duata da v × w (v essendo il vettore direzione di r e w quello di s);tale proiezione si ottiene calcolando il prodotto scalare tra AB ed il

versore parallelo a v × w, ovvero| 〈AB, v× w〉 |‖v× w‖ . I vettori v e w sono

stati ricavati nella risoluzione dell’esercizio 19.19, quindi, consideran-

do per esempio i punti A(0, 0, 0) e B(

12

,12

, 0)

, si ha| 〈AB, v× w〉 |‖v× w‖ =⟨[

12

,12

, 0]

,[2,−1,−1]√

6

⟩=

12· 2√

6− 1

2√

6+ 0 =

12√

6.

ii) Consideriamo il fascio di piani F che ha per sostegno una delle due rette,ad esempio s (che è già scritta in forma cartesiana) e tra tutti questi pianiscegliamo quello (π) parallelo ad r. La distanza cercata sarà la distanza

19.2 Esercizi vari 183

Figura 19.1.: Distanza di due rette sghembe

tra r e π, quella tra un qualunque punto P di r ed il piano π v. Figura 19.1.Il fascio ha equazione λ(x + y + z− 1) + µ(x− y− z) = 0 quindi π haequazione 4x− 3y− 3z− 1 = 0; scegliendo P(0, 0, 0) come punto di r si

ha d(r, s) = d(r, π) = d(P, s) =| − 1|√

16 + 4 + 4=

1√24

=1

2√

6.

]

19.30 Si considerino le rette

r :

y = 0z = 1

ed s :

x− y + z = 0

3x + y + 2 = 0.

i) Verificare che r e s sono sghembe;

ii) determinare la retta incidente e perpendicolare ad entrambe;

iii) trovare la minima distanza tra r ed s.

19.31* Siano r e s due rette non parallele. Dimostrare che esiste un unica rettar′ ortogonale ed incidente ad entrambe, che la distanza d(r, s) è ugualealla distanza d(Hr, Hs) dove Hr e Hs sono, rispettivamente, i punti diintersezione di r′ con s e r.

19.32 Sono date le rette

r ≡

x = 2 + ty = −2tz = −1 + 3t

ed s ≡

x + y + 2z = 0x + y + z = 0

.


Calcolare la distanza tra la retta r e la retta r′ passante per il punto P(2, 1, 3)ortogonale ad r ed incidente a s.

19.33 Scrivere le equazioni del luogo dei punti del piano x = 2 per cui la distanza

dal piano π di equazione x = y coincide con quella dalla retta

x = 2 + ty = −tz = 2

.

[Sia P(2, y, z) il generico punto del piano x = 2,. . . d(P, π) =|2− y|√

2, mentre

d(P, r) =

√y2

2+ z2 − 4z + 4, da cui, uguagliando le distanze, si ottengono le

equazioni del luogo

x = 2

2z2 − 8z + 4y + 4 = 0]

19.34 Trovare tutti i valori del parametro reale h per cui i tre piani

x + hy− 1 = 0hx + y + 1 = 0x + y + hz = 0

appartengono ad un medesimo fascio e scrivere le equazioni della rettasostegno di questo fascio.

[Il fascio individuato dai primi due piani ha equazione

(1 + λh)x + (h + λ)y− 1 + λ = 0 (19.3)

affinchè il terzo piano appartenga al fascio (19.3) occorre e basta che sia λ = 1

e h = 0. In corrispondenza di questo valore la retta ha equazioni

x− 1 = 0y + 1 = 0

]

19.35 Verificare che le rettex + y = 0

z = 1e

x− z + 1 = 0

y = 0

sono complanari e determinare le equazioni delle bisettrici dell’angolo daesse formato.

19.3 Quesiti 185

19.3. Quesiti

19.4. Vero o Falso

Q.19.146 Nello spazio, la retta di equazioni

x− 2y + 3z = 0

3x− 2y− z + 1 = 0appartiene al

piano di equazione 4x + 2z + 1 = 0 2 vero 2 falso

Q.19.147 Dati comunque un fascio F dei piani ed una retta r esiste sempre un pianodi F che contiene la r 2 vero 2 falso

Q.19.148 Se la retta a è sghemba con la retta b e la retta b è sghemba con la retta callora a e c sono sghembe. 2 vero 2 falso

Q.19.149 I numeri sin t, cos t e t2 − 1 sono i coseni di una retta per al più due valoridel parametro t. 2 vero 2 falso

Q.19.150 La retta di equazioni

x = 0y = 1

è la proiezione ortogonale sul piano xy della

retta

y = 1y = z

. 2 vero 2 falso

Q.19.151 Date due rette sghembe, esiste sempre un piano parallelo ad entrambe.2 vero 2 falso

Q.19.152 Date due rette sghembe, esiste un unico piano parallelo ad entrambe.2 vero 2 falso

Q.19.153 Date due rette sghembe, esiste sempre un piano ortogonale ad entrambe.2 vero 2 falso

Q.19.154 Il piano di equazione x = y è il simmetrico di quello di equazione x− y− 2rispetto al punto P(0, 1, 2). 2 vero 2 falso

19.5. A risposta multipla

Q.19.155 Nello spazio, dati il punto P e la retta r che non si appartengono, quantesono le rette che passano per P e sono parallele ad r? a due bnessuna c infinite d una ed una sola.


Q.19.156 Le rette r : x = 2y = 3z e s :

x + y + z = 0

2x− y + z = 1sono a complanari

b sghembe c parallele d perpendicolari.

Q.19.157 Nello spazio, quanti sono i piani del fascio di equazione x + y + kz = 0 checontengono la retta di equazioni x− z = x + y = 0? a tutti; bnessuno c infiniti ma non tutti d esattamente uno.

Q.19.158 La retta di equazioni y− 2x = z− 3x + 1 = 0 è perpendicolare al pianoa 3x + z = 3; b x − 2y + 3z = 0; c 3y − 2z − 5 = 0; d

x + 2y + 3z = 1.

Q.19.159 La retta di equazioni y− 2x = z− 3x + 1 = 0 è parallela al piano a3x + z = 3; b x− 2y + 3z = 0; c 3y− 2z− 5 = 0; d x + 2y +3z = 1.

Q.19.160 Le rette r ed s di equazioni rispettivamente

x + 2z− 6 = 0

x− y = 0e

x = 3ty = 5 + tz = 1− t

sono a incidenti; b parallele; c sghembe; d perpendicolari.

Q.19.161 La distanza tra il piano α di equazione x − y + z = −1 ed il piano β diequazione −x + y− z + 2 = 0 è a

√2; b 3; c

√3 d 0.

Q.19.162 Nello spazio si considerino le rette di equazioni r : x = z = 0 ed s : x =

z− y− 1 = 0, allora a r ed s sono incidenti b r ed s sono parallelec r ed s sono sghembe d r ed s formano un angolo di π/4.

20. Sfera e circonferenza nellospazio

20.1. Sfera

20.1 Determinare centro e raggio della sfera di equazione

x2 + y2 + z2 − 2x + 2y− 6z− 14 = 0.

[ (1,−1, 3); 5]

20.2 Scrivere l’equazione della sfera che ha centro nell’origine e passa per ilpunto P(1,−1− 0). [ la sfera avrà raggio OP =

√2. . . ]

20.3 Scrivere l’equazione della sfera che ha centro in C(0, 1, 1) ed è tangente alpiano di equazione x + y + z + 1 = 0.

[Il raggio è la distanza di C dal piano dato, cioè√

3 da cui x2 + (y− 1)2 + (z−1)2 = 3. . . ]

20.4 Scrivere l’equazione dei piani tangenti alla sfera di equazione

x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 2z + 5 = 0

e paralleli al piano di equazione x + 2y + 2z = 2.

[Il centro della sfera è il punto C(−1,−2,−1), la lunghezza del suo raggio è1. . . tra i piani di equazione x + 2y + 2z + d = 0 (cioè quelli paralleli al pianodato) dobbiamo scegliere quelli a distanza 1 da C. . . si ottiene d = 4 e d = 10]

20.5 Trovare per quali valori del parametro reale k il piano di equazione

x− 2y + 3z− k = 0

è tangente alla sfera di equazione

x2 + y2 + z2 − 4y + 6z− 8 = 0.

[ k = ±7√

6− 13]

188 Sfera e circonferenza nello spazio

20.6 Sia π un piano che passa per il punto P(0, 0, 2), che è parallelo alla rettax− y + z− 1 = 0

2x + y + 2z = 0e tangente alla sfera x2 + y2 + z2 − 1 = 0. Scrivere

l’equazione di π. [ I piani sono due, di equazione x±√

2y + z = 2]

20.7* Scrivere l’equazione della sfera che passa per i punti A(1, 0, 0), B(1, 1, 0),C(1, 0,−2) e per l’origine O(0, 0, 0).

[È un classico esempio di esercizio che si può svolgere in diversi modi: adesempio, partendo dall’equazione della generica sfera nello spazio:

x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 (20.1)

ed imponendo il passaggio per i quattro punti, si ottiene un sistema linearedi quattro equazioni nelle quattro incognite a, b, c e d. Tale sistema, siccome ipunti non sono complanari, ammette una ed una sola soluzione (dimostrarloper esercizio): soluzione che costituisce l’opportuna quaterna che sostituitanella (20.1) dł’equazione della sfera cercata.

Oppure si può cercare il centro, che sarà l’intersezione dei piani assiali di AO,di BO e di CO: i tre piani, siccome i punti non sono complanari, si incontranoin un unico punto P (dimostrarlo per esercizio) che è proprio il centro dellasfera. Il raggio sarà la distanza di P da uno qualsiasi dei quattro punti (il piùcomodo in questo caso è ovviamente O).

Si può anche considerare il fascio di sfere che passa per tre dei quattro punti, adesempio O A e B, la cui equazione sarà la combinazione lineare dell’equazionedel piano OAB (z = 0) che rappresenta la sfera di raggio massimo, e di unaqualsiasi sfera passante per i tre punti, ad esempio quella che ha centro sulpiano xy è x2 + y2 + z2 − x − y = 0 e poi tra le sfere del fascio, sceglierequella che passa per il punto C: si ha quindi x2 + y2 + z2 − x− y + λz = 0.L’equazione dev’essere soddisfatta dalle coordinate di C e quindi si ottieneλ = 2 ]

20.8 Data la sfera Γ : x2 + y2 + z2 − 2x + 3y− z− 3 = 0, scrivere l’equazionedel piano tangente a Γ in A(1, 1, 1).

[Il centro è C(

1,− 32 , 1

2

). . . il piano sarà quello per A ortogonale alla retta

CA. . . 5(y− 1) + z− 1 = 0 . . . ]

20.9 Scrivere l’equazione della sfera tangente nell’origine O(0, 0, 0) al piano diequazione x + y + 2z = 0 che ha raggio r =

√6 e centro di coordinate

positive.

20.1 Sfera 189

[Il centro ha coordinate (t, t, 2t) e dista√

6 dal piano dato . . . quindi l’equazionedella sfera è x2 + y2 + z2 − 2x− 2y− 4z = 0.]

20.10 Scrivere le equazioni delle due sfere S1 e S2 di raggio 2 che hanno il centrosulla retta

x = 2t− 1y = −tz = t

e sono tangenti al piano x− 2y + 2z− 4 = 0.

[ I centri delle due sfere sono C1

(83

,−116

,116

)e C2

(−4

3,

16

,−16

)]

20.11 Scrivere l’equazione di una sfera che passa per il punto P di coordinate(1, 2, 2) è tangente al piano α di equazione z = 0 ed ha il centro sulla retta rdi equazioni

x = 1 + ty = 2 + tz = 1 + t

.

[Il centro sta su r, quindi ha coordinate C(1 + t, 2 + t, 1 + t). La distanza diC dal piano α, che è 1 + t, deve essere uguale alla distanza di C da P, cioè(1 + t)2 = (1 + t− 1)2 + (2 + t− 2)2 + (1 + t− 2)2 da cui t2 − 2t = 0 =⇒t1 = 0, t2 = 2. In conclusione una sfera ha centro in C1(1, 2, 1) e raggio 1 el’altra in C2 = (3, 4, 3) e raggio 3. ]

20.12 Scrivere l’equazione di una sfera avente il centro sulla rettax = −2ty = t + 1z = t

e tangente all’asse x ed al piano di equazione 2x + 2y− z− 8 = 0.

[Il centro C ha coordinate (−2t, t + 1, t) e deve essere equidistante dal pianodato e dall’asse x; la distanza dal piano è |t + 2|mentre per determinare la suadistanza dall’asse x basta calcolare quella tra C e la sua proiezione H(−2t, 0, 0)su tale asse. . . ; uguagliando le due distanze si perviene all’equazione t2 −2t− 3 = 0 e quindi a due sfere, l’una di centro C1(2, 0,−1) e l’altra di centroC2(−6, 4, 3) entrambe di raggio 5.]


20.13 Scrivere l’equazione delle sfere che hanno il centro sull’asse z e sonotangenti alle rette

r :

x = 1y = 2

e s :

x = ty = 2tz = −2t

.

[ x2 + y2 + (z± 2)2 = 5]

20.14* Verificare che esiste una sola sfera di raggio non nullo che ha il centro sullacurva

L :

x = t

y = t2

z = t3

ed è tangente nell’origine alla retta di equazionix + y + z = 0

x− z = 0.

20.2. Circonferenza nello spazio

20.15 Determinare il centro ed il raggio della circonferenza

γ :

x2 + y2 + z2 − 2y + z− 1 = 0

x− y + z = 0.

[Anche questo esercizio si può risolvere in molti modi. Osservando la figu-ra 20.1 a fronte il centro può essere visto come la proiezione ortogonale delcentro della sfera sul piano π dato, cioè l’intersezione di π con la perpendi-colare ad esso passante per il centro della sfera Σ data, (che è C′

(0, 1,− 1

2

)),

cioè con la retta

x = ty = 1− t

z = −12+ t

. Si ha dunque t = 12 da cui le coordinate

del centro C(

12 , 1

2 , 0)

. Il raggio si può determinare applicando il Teoremadi Pitagora al triangolo che ha come cateti la distanza dei centri ed il rag-gio della circonferenza e come ipotenusa il raggio della sfera. Si ottiener = 1

2

√6. È anche interessante osservare come si può applicare in questo caso

la teoria dei fasci di sfere: il fascio di sfere che passano per γ ha equazione

20.2 Circonferenza nello spazio 191

Figura 20.1.: Circonferenza nello spazio

x2 + y2 + z2− 2y + z− 1+ k(x− y + z) = 0. Cerchiamo, in tale fascio, la sferache ammette la circonferenza considerata come cerchio massimo, vale a direquella che ha centro sul piano radicale del fascio e che avrà gli stessi centro eraggio: dovrà essere: − k

2 + k+22 −

k+12 = 0, da cui k = −1 a cui corrisponde la

sfera x2 + y2 + z2 − x− y− 1 = 0.]

20.16 Scrivere le equazioni della circonferenza che passa per i punti O(0, 0, 0),P(2, 0, 0) ed R(0, 1, 0).

[La circonferenza cercata sarà intersezione tra il piano per i tre punti cioè ilpiano z = 0 ed una qualunque sfera passante per i tre punti, ad esempiox2 + y2 + z2 − 2x− y = 0.]

20.17 Scrivere le equazioni della circonferenza che ha centro nel punto C(1, 1, 1),giace su un piano parallelo ad α : 2x− 3y + z + 2 = 0 ed ha raggio 3.

[La circonferenza giace ovviamente sul piano parallelo ad α che passa per Ced è individuata, per esempio, dall’intersezione di questo piano con la sfera

che ha centro in C e raggio 3. . .

x2 + y2 + z2 − 2x− 2y− 2z− 6 = 0

2x− 3y + z = 0]


20.18 Si considerino i punti A(1,−2, 3) e B(−1, 0, 1) e la retta r di equazionix + y− z− 1 = 0

2y− z + 2 = 0.

Scrivere le equazioni della circonferenza che passa per A e B ed ha centrosulla r.

[Il centro, che si può ricavare intersecando r ed il piano assiale di AB, è

C(2,−1, 0), il piano è quello per A, B e C. . .

x + 2y + z = 0

(x− 2)2 + (y + 1)2 + z2 = 11]

20.19 Nello spazio sono dati i punti A(0, 1, 1) e B(−1, 1, 2). Scrivere le equazionidella circonferenza che ha centro nel punto C(2, 1, 3) e tangente alla rettaper A e per B.

[La circonferenza cercata è intersezione tra il piano per A, B e C e, ad esempio,la sfera che la ammette come cerchio massimo, quindi con centro in C e raggio

pari alla distanza tra C e la retta AB. . . si

(x− 2)2 + (y− 1)2 + (z− 3)2 = 8

y = 1]

20.20 Scrivere l’equazione di una sfera che ha centro sulla retta 2y = x = 2z, ètangente al piano xz ed interseca il piano α : 2y− x + 2 = 0 secondo unacirconferenza di raggio 1.

[Il raggio della sfera è uguale alla distanza di C(2t, t, t) dal piano xy ed èipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti la distanza di C dal pianoα ed il raggio della circonferenza. . . applicando il Teorema di Pitagora si ha|2t− 2t + 2|2

5+ 1 = t2 ⇐⇒ t = ± 3√

5]

20.21 Consideriamo le due sfere dell’esercizio 20.10 Determinare un piano chepassi per l’asse z e che le tagli secondo circonferenze aventi lo stesso raggio.

20.22 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle sfere che tagliano i pianicoordinati xy, xz e yz secondo circonferenze aventi raggi rispettivamente 1,2, e 3.

20.23 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze che passanoper i punti A(1, 0, 0), B(0, q, 0) e (0, 0, r) con la condizione che qr = 1

20.3 Quesiti 193

20.3. Quesiti

Q.20.163 Nello spazio il raggio della sfera che ha centro in C(1,−1, 1) ed è tangenteall’asse y vale 1. 2 vero 2 falso

Q.20.164 Il piano x + y− 2z = 0 è tangente alla sfera di equazione x2 + y2 + z2 −2x− y = 2. 2 vero 2 falso

Q.20.165 Esiste un solo piano passante per un punto P, parallelo ad una retta r etangente ad una sfera. 2 vero 2 falso

Q.20.166 Esiste uno ed un solo piano passante per un punto P, parallelo ad una rettar e tangente ad una sfera Σ. 2 vero 2 falso

Q.20.167 Il piano tangente nell’origine alla sfera di equazione x2 + y2 + z2 + ax +by = 0 ha equazione ax + by = 0 ∀a, b. 2 vero 2 falso

Q.20.168 Nello spazio, quante sono le sfere che hanno centro su una retta data epassano per due punti distinti, non allineati con il centro? a al più unab almeno due c una sola d infinite.

Q.20.169 Nello spazio, la circonferenza di equazionix2 + y2 + z2 − 2x = 0

2x + y = 0

ha raggio uguale a: a√

3 b1√2

c√

2 d1√5

.

Q.20.170 Il piano di equazione x + y + z + 1 = 0 rispetto alla sfera di equazionex2 + y2 + z2− 2x + 4z + 2 = 0 è a tangente b diametrale c esternod secante.

Q.20.171 L’intersezione tra la sfera di equazione x2 + y2 + z2 − 2x + 2y = 2 ed ilpiano x + y − z + 1 = 0 a è una circonferenza reale b è una unacirconferenza completamente immaginaria c è ridotta ad un unicopunto d non esiste nè reale nè immaginaria.

Q.20.172 Rispetto alla sfera di equazione x2 + y2 + z222x − 4y− 8 = 0 la retta diequazioni

x = 1z = 0

risulta: a tangente b diametrale c esterna d secante.

21. Cilindri, coni e proiezioni

21.1. Cilindro e cono

21.1 Scrivere l’equazione del cilindro con le generatrici parallele alla retta r :x = y = 2z che ha come direttrice la curva di equazioni

x2 + y2 + z2 = 1x = 0

.

[Per determinare l’equazione del cilindro, consideriamo le rette parallele ad

r, cioè di equazioni

x = x0 + 27y = y0 + 2tz = z0 + t

, passanti per i punti della direttrice: si

perviene al sistema

(y0 + 2t)2 + z0 + t)2 = 1

x0 + 2t = 0; eliminando il parametro t

dalle due equazioni si ottiene (y0 − x0)2 +

(z0 −

x0

2

)2= 1 da cui l’equazione

cartesiana 5x2 + 4y2 + 4z2 − 8xy− 4xz− 4 = 0.]

21.2* Verificare che la curva γ di equazioni parametrichex = 2t2 + t + 1

y = −t2 + tz = 3t− 1

è piana e scrivere le equazioni del cilindro che ha le generatrici paralleleall’asse z e ammette la γ come direttrice.

[Consideriamo l’equazione di un generico piano ax + by + cz + d = 0 e visostituiamo ordinatamente le coordinate del generico punto di γ ottenendocosì un’equazione in t: (2a− b)t2 + (a + b + c)t + a− c + d = 0; la curva èpiana se e solo se tale equazione è identicamente verificata, cioè è verificatada ogni valore del parametro t, ciò avviene se e solo se ogni suo coefficiente

(compreso il termine noto) è nullo. Si perviene al sistema

a = −cb = −2cd = 2c

, quindi

196 Cilindri, coni e proiezioni

γ giace sul piano di equazione x + 2y− z− 2 = 0;. . . dunque il cilindro haequazione (x + 2y− 1)2 − 3(x− y− 1) = 0.]

21.3 Verificare che nello spazio l’equazione x2 + y2 = 1 rappresenta un cilindrocon le generatrici parallele all’asse z.

21.4 Determinare tutti i valori del parametro h per i quali la curva L di equa-zioni

x = h + t

y = 1 + ht2

z = h− t2

è piana. Scelto uno di questi valori, scrivere l’equazione del piano che lacontiene. [È piana per ogni h. . . ]

21.5 Scrivere l’equazione del cilindro con le generatrici parallele alla retta diequazioni x = y = z che ha come direttrice sul piano x − y + z = 1 lacirconferenza di centro C(1, 1, 1) e raggio 1.

[(x− z)2 + (2y− x− z)2 + (y− x)2 = 1]

21.6 Scrivere l’equazione del cilindro che ha le generatrici parallele alla rettar di equazioni x = 2y = −z ed è tangente alla sfera Σ di equazionex2 + y2 + z2 − 4x = 0.

[Una direttrice può essere la circonferenza intersezione tra Σ ed il pianodiametrale ortogonale ad r.]

21.7 Scrivere l’equazione di un cilindro che tagli il piano xy secondo l’ellisse diequazioni

z = 0

x2 + 4y2 = 1

ed il piano xz secondo una circonferenza.

21.8 Sia C il cilindro con le generatrici parallele all’asse y che ammette comedirettrice la curva di equazioni parametriche

x = 2t2 + 2

y = t2 − 1z = 2t + 1

.

21.1 Cilindro e cono 197

Determinare l’equazione dei piani tangenti a C e passanti per la retta di

equazioni

x = 1z = 1

. [ x− 1 = ±√

2(z− 1)]

21.9 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle sfere che intersecano il pianoπ x − y − z = 0 secondo una circonferenza di raggio 1 e passante perl’origine. Riconoscere tale luogo.

Figura 21.1.: Esercizio 21.9, proiezione sul piano xy

[Nel piano π le circonferenze di raggio 1 e passanti per l’origine hanno comeluogo dei centri la circonferenza γ di centro l’origine e raggio 1 (vedi fig. 21.1),quindi, dal momento che i centri delle sfere considerate stanno sulle retteperpendicolari a π e passanti per i punti di γ, il luogo richiesto sarà allora ilcilindro avente direttrice γ e generatrici perpendicolari a π quindi quello di

equazione x2 + y2 + z2 + xy + xz− yz− 32= 0. ]

21.10 Si considerino la circonferenza H che passa per i punti A(1, 0, 0), B(0, 1, 0)e C(0, 0, 1) ed il piano α di equazione x = 0. Detta H′ la circonferenzasimmetrica di h rispetto ad α, scrivere l’equazione del cilindro circolareretto che ammette H′ come direttrice.


21.11* Scrivere l’equazione del cono di vertice V(1, 0, 2) che ammette come diret-trice la curva di equazioni

y2 − 4x− 4 = 0x + z = 0

.

[Consideriamo le rette passanti per V e per un generico punto P(x0, y0, z0)dello spazio; esse hanno equazione

x = 1 + (x0 − 1)ty = y0tz = 2 + (z0 − 2)t

,

poiché tali rette passano per i punti della direttrice, si ha il sistemay0t)2 − 4(1 + x0t− t)− 4 = 0

1 + (x0 − 1)t + 2 + (z0 − 2)t = 0

da cui, eliminando il parametro t si ottiene l’equazione del cono che è:

9y2 + 4(2x− z)(x + z− 3)− 4(x + z− 3)2 = 0]

21.12 Data la curva

γ :

x = t− 1

y = t2 − 1

z = t2 + t

,

scrivere l’equazione del cono con vertice nell’origine che l’ammette comedirettrice. [ La curva è una parabola; y2 − xy + 2xz− yz = 0]

21.13 Si considerino le circonferenze di equazioni rispettive:

γ :

x2 + y2 = 2

z = 1e γ′

x2 + z2 = 2

y = 1;

i) scrivere le equazioni dei coni C e C′ aventi entrambi il vertice nell’ori-gine e passanti rispettivamente per γ e γ′;

ii) trovare le intersezioni tra C e C′.

[C : x2 + y2 − 2z2 = 0; C′ : x2 + z2 − 2y2 = 0; le intersezioni sono le quattro

rette

x = ±zy = ±z

]

21.1 Cilindro e cono 199

21.14 Sono date le curve

γ :

x2 + 2y2 − 3x = 0

y = 1e γ′ :

2x2 + z2 + 3x = 0

y = 0.

i) Scrivere l’equazione del cono C avente vertice nell’origine e passanteper γ.

ii) Scrivere l’equazione del cilindro C′ avente parametri direttori dellegeneratrici uguali a 1 e passante per γ′.

iii) Stabilire se C e C′ hanno una generatrice in comune.

21.15 Siano:

γ la curva di equazionix = 2

y2 − z2 + x2 − 4x + 3 = 0;

π il piano di equazione x = 3;

γ′ la curva simmetrica di γ rispetto a π

Scrivere l’equazione del cono che dall’origine proietta1 la γ′.

21.16 Nello spazio si considerino il punto V(1, 0, 1) e la curva di equazioni

L :

x = t2

y = 1 + tz = t

i) Verificare che L è piana.

ii) Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale della curva L sulpiano xy.

iii) Scrivere l’equazione del cono che proietta la L da V.

21.17 Data la linea

γ ≡

x = t

y = t2 − 1z = t

i) stabilire se è o no una curva piana;

1Cioè il cono che ha vertice nell’origine ed ammette la γ′ come direttrice.


ii) scrivere le equazioni dei cilindri C e C′ che ammettono la γ come curvadirettrice ed hanno le generatrici parallele rispettivamente allasse xed all’asse z;

iii) rappresentare analiticamente e riconoscere la curva intersezione di Ce C′.

[È piana e giace sul piano x = z; le equazioni cartesiane di γ sonoy = x2 − 1x = z

; i cilindri hanno equazioni y = z2 − 1 e y = x2 − 1. . . ]

21.18 Verificare che esistono due cilindri C e C′ che ammettono entrambi comedirettrici le linee

γ :

y− z2 = 0

x = 0e γ′ :

y− 2x− 9x2 = 0

z = 0.

Determinare le direzioni2 delle generatrici di C e C′.

21.2. Proiezioni

21.19* Nello spazio si consideri la conica K di equazionix + ay + bz = 0

(x− 2)2 + (y− 2)2 = 1.

Determinare i parametri reali a e b in modo che la proiezione ortogonale diK sul piano yz sia una circonferenza.

[Per proiettare la curva K lungo la direzione dell’asse x, è sufficiente eliminaretale variabile dalle equazioni del sistema assegnato, ottenendo cosıun’equa-zione che non contiene la variabile x quindi che rappresenta il cilindro conle generatrici parallele all’asse omonimo che ha per direttrice la curva datae cioè (−ax − bz− 2)2 + (y− 2)2 = 0. Intersecando il cilindro con il piano

yz si arriva alle equazioni della proiezione

x = 0

(−ax− bz− 2)2 + (y− 2)2 = 0;

queste rappresentano una circonferenza se e solo se

2ab = 0

b2 = a2 + 1, ovvero se

e solo se a = 0 e b = ±1.]

2cioè una terna di parametri direttori

21.2 Proiezioni 201

21.20 Verificare che la curva di equazioni parametrichex = t− 1

y = t2 + 1

z = t2 − t

è piana e scrivere le equazioni della sua proiezione ortogonale sul piano

xy. [ Giace sul piano x− y + z + 2 = 0. . .

y = (x + 1)2 + 1z = 0

]

21.21 Sia γ la circonferenza di equazioni:x2 + y2 + z2 − 2x = 0

x + y + z = 0.

Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale di γ sul piano z = 3.

[La proiezione cercata può essere ottenuta scrivendo γ come interzezionedel piano su cui essa giace con il cilindro con generatrici parallele all’asse zche la ammette come direttrice (infatti il piano su cui è chiesto di proiettare èortogonale all’asse z). . . .]

21.22* Si consideri, nello spazio, la curva H di equazionix = t

y = t2 + 1z = t− 1

.

Riconoscere la H e scrivere le equazioni del cono che la proietta dall’origi-ne O(0, 0, 0).

[Poiché la natura di una conica non cambia per proiezione parallela, possiamo

proiettare la H , le cui equazioni cartesiane sono

y = x2 + 1z = x− 1

su uno dei

piani coordinati, ad esempio il piano x = 0, e quindi studiare la natura della

sua proiezione

y = (z− 1)2 + 1

x = 0,che è una parabola. ]

21.23 Riconoscere il luogo dei punti richiesto nell’esercizio 19.33 a pagina 184.[ Si tratta di una parabola]


21.24 Sia γ la curva di equazioni z2 − y2 = 1

x = 0

e P il punto di coordinate (2, 0, 1).

Riconoscere la curva γ′ simmetrica di γ rispetto a P e scriverne le equazioni.

21.25 Data la parabola di equazioni y2 = 2xz = 0

scrivere le equazioni della sua proiezione sul piano yz dalla direzione della

retta

x = zy = 0

.


L :

x = t2

y = −2tz = 4t + 1

e la retta r : x = y− z + 1 = 0. Detto P il generico punto di L, siano P′

la proiezione ortogonale di P su r e M il punto medio del segmento PP′.Scrivere le equazioni del luogo descritto da M al variare di P e riconoscerlo.

21.27 Data la curva L di equazionix = t3 − t2

y = t

z = t2

.

i) Verificare che L è una curva gobba3.

ii) Scrivere l’equazione del cono che proietta la L dall’origine.

iii) Determinare l’equazione di un piano che tagli il cono secondo unaparabola.

[. . . l’equazione del cono è xy + yz− z2 = 0. . . ]

21.28 Siano:3cioè non è piana.

21.3 Quesiti 203

α il piano di equazione y = h,

C il cono con vertice nell’origine che ammette come direttrice la conicadi equazioni

ax2 − 2y2 + bx + 8 = 0z = 1

.

Determinare per quali valori dei parametri a, b e h il piano α taglia Csecondo una parabola.

21.29 Siano date una retta r ed una parabola P di equazioni rispettivamente

r :

x = 0y = 1

e P :

y = 0

z = x2 . Trovare il punto V ∈ r tale che proiettando la

P da V sul piano xy, si ottenga un’iperbole equilatera. [V(0, 0, 1)]

21.3. Quesiti

Q.21.173 Il sistema di equazioni parametrichex = t + u

y = t2 + 2u

z = t2 − 3t + u

rappresenta un cilindro. 2 vero 2 falso

Q.21.174 Tutte le sezioni piane di un cilindro circolare sono ellissi con la stessaeccentricità. 2 vero 2 falso

Q.21.175 Nello spazio ogni equazione in due variabili rappresenta un cilindro2 vero 2 falso

Q.21.176 Se la proiezione ortogonale di una curva paiana γ sul piano xy è una conica,allora la stessa γ è una conica. 2 vero 2 falso

Q.21.177 Sia L la linea x = y + 1

z = x2 − 1.

La sua proiezione ortogonale sul piano yz è un’iperbole.2 vero 2 falso


Q.21.178 Il piano di equazione x + y = z taglia il cono x2 + y2 − z2 = 0 secondo unaa parabola non degenere b iperbole non degenere c conica degenere

in due rette reali d ellisse non degenere.

Q.21.179 Nello spazio, il sistema x = t2uy = 1 + tuz = 2 + (t + 1)u

rappresenta a una curva gobba b un cono c un cilindro d unasuperficie del second’ordine.

22. Superfici rigate e di rotazione

22.1* Siano date, nello spazio, le rette:

r ≡

x = 2 + t

y = 1− 2tz = 1− t

ed s ≡

x = 2 + 3u

y = 1− uz = 1 + u

.

Scrivere l’equazione della superficie che si ottiene facendo ruotare r attornoa s.

[Si vede subito che le rette passano entrambe per il punto (2, 1, 1) quindi sonoincidenti: la superficie cercata è dunque un cono rotondo. La sua equazionepuò essere ottenuta come quella del luogo delle circonferenze descritte daipunti di r nella rotazione attorno ad s. Il generico punto di r sarà: P(2 +t, 1− 2t, 1− t). Dovremo imporre che P, sul piano α, passante per esso edortogonale ad s, descriva una circonferenza per esempio intersezione di αstesso con una qualsiasi sfera con centro C ∈ s e raggio PC. α ha equazione3 · (x− 2− t)− 1 · (y− 1 + 2t) + 1 · (z− 1 + t) = 0; se scegliamo C(2, 1, 1), lasfera di centro C e raggio PC ha equazione (x− 2)2 + (y− 1)2 + (z− 1)2 =t2 + 4t2 + t2. L’equazione del cono si otterrà quindi eliminando il parametro t

dal sistema

(x− 2)2 + (y− 1)2 + (z− 1)2 = 6t2

3x− y + z = 6 + 4t. Con semplici ma laboriosi

calcoli, eliminando il parametro, si perviene all’equazione

19x2 − 5y2 − 5z2 − 18xy + 18xz− 6yz− 76x− 52y− 20z + 60 = 0

che può essere scritta nella forma omogenea in x − 2, y − 1 e z − 1 il chedimostra che la superficie è effettivamente un cono con vertice nel punto(2, 1, 1).]

22.2 Sia r la retta di equazioni x = 2z = 3y

.

Scrivere l’equazione della superficie ottenuta facendo ruotare r attornoall’asse z. [9x2 + 9y2 − z2 = 36]

206 Superfici rigate e di rotazione

22.3 Sia γ la curva di equazioni parametrichex = t3

y = t2

z = t

e sia r la retta di equazioni x = 1y = 3

.

Scrivere l’equazione della superficie ottenuta dalla rotazione di γ attornoad r. [(x− 1)2 + (y− 3)2 + z2 = (z3 − 1)2 + (z2 − 3)2 + z2 che si semplifica. . . ]

22.4 Scrivere l’equazione della superficie generata dalla rotazione della curvadi equazioni

x2 − 2x− 3z + 1 = 0y = 0

attorno alla retta di equazioni x = 1y = 0

.

[È opportuno notare che una terna di equazioni parametriche della curva è

data da

x = ty = 0

z =(t− 1)2

3

. . . con i soliti metodi si ottiene (x− 1)2 + y2 − 3z = 0]

22.5* Sia γ la curva del piano di equazione x = z avente come proiezioneortogonale sul piano xy la curva

γ′ ≡

2x2 + y2 = 1z = 0

.

Scrivere l’equazione della superficie ottenuta dalla rotazione di γ attornoalla retta

r ≡

y = 0z = x

[γ è una circonferenza con centro nell’origine. . . ruotando attorno ad un suodiametro descrive una sfera. . . x2 + y2 + z2 = 1]

207

22.6 Si consideri il cono C generato dalla rotazione della retta

r ≡

x = 0z = 2

attorno alla

s ≡

x = ty = tz = 2

;

trovare il centro della circonferenza intersezione di C con il piano x + y = 2.

[Il piano dato è ortogonale all’asse del cono, quindi si tratta effettivamente diuna circonferenza. . . r =

√2]

22.7 Determinare il vertice dei coni di rotazione che hanno come generatrice laretta r di equazioni parametriche

x = ty = 2tz = t

e tagliano il piano x + z = 0 secondo una circonferenza di raggio 1.

[La generatrice interseca il piano dato in O(0, 0, 0). . . la proiezione ortogonaledel vertice sul piano dato deve distare 1 da O . . . quindi i possibili vertici sono(±1

2,±1,±1

2

)]


r :

x = 2y = 1

e s :

x− y + z = 0

x + z = 0

i) Verificare che r e s sono sghembe.

ii) Scrivere l’equazione della superficie S ottenuta dalla rotazione di rattorno ad s.

iii) Riconoscere la curva intersezione di S con il piano π y = 2.


22.9 Scrivere l’equazione della superficie S ottenuta dalla rotazione della rettax = ty = tz = 1− t

attorno alla retta x = y = −z. Riconoscere l’intersezione di S con il pianoz = x

22.10* Considerato il cono C generato dalla rotazione della retta r :

x = 0z = 2

attor-

no alla retta s :

x = ty = tz = t

, trovare il raggio della circonferenza intersezione

di C con il piano di equazione x + y = 2.

[ L’intersezione richiesta è proprio ua circonferenza i quanto il piano dato èortogonale all’asse di rotazione. . . il raggio cercato è la distanza dei punti chele due rette hanno in comune con il piano, rispettivamente ad uno dei puntidel cono ed il centro della circonferenza in questione. . . r =

√2. ]

22.11* Si consideri la sfera S di equazione x2 + y2 + z2 = 900. Trovare i verticidei coni circoscritti alla sfera e tali che la circonferenza di contatto γ abbiaraggio 24.

[ Il cono in questione è certamente di rotazione in quanto tutte le sue gene-ratrici formano con la retta congiungente il vertice V del cono con il centroO della sfera angoli della medesima ampiezza (v. Figura 22.1 nella paginasuccessiva). Il raggio della circonferenza di contatto corrisponde alla lun-ghezza del segmento TH, mentre la lunghezza di OT è il raggio della sfera:si ha quindi TH = 24 e OT = 30 dunque, considerando il triangolo rettan-golo OHT otteniamo sin HOT = 24

30 ; considerando invece il triangolo OTVabbiamo VO = TO

cos VOT= TO

35

= 53 · 30 = 50. In conclusione i vertici cercati

dovranno distare 50 dall’origine e non è necessario imporre loro alcun’altracondizione: sono dunque tutti i punti della sfera di centro O e raggio 50, cioè ipunti della sfera di equazione x2 + y2 + z2 = 2500. ]

22.12 Sia C il cono avente vertice nell’origine che ammette come direttrice lacirconferenza di equazioni

x2 + z2 = 0y = 2

.

209

Figura 22.1.

Scrivere l’equazione dei piani che tagliano C secondo una circonferenza diraggio 1. [y = ± 2√

3]

22.13* Siano:

r la retta di equazioni

x = ty = 2tz = −t

,

A il punto (2, 2, 2)

C il cono che passa per A, ha come asse la retta r e come vertice l’origineO(0, 0, 0).

Scrivere l’equazione delle sfere tangenti a C aventi raggio√

7.

[ La semiapertura α del cono è tale che cos α =√

23 . . . il centro della sfera

deve appartenere all’asse del cono e la sua distanza dal vertice O del cono

è data da d =√

7sin α =

√7√7

3

= 3. . . i centri possibili sono(±√

32 ,±√

6,±√

32

)dunque. . .

(x∓

√32

)2+ (y∓

√6)2 +

(z±

√32

)2= 7. ]


22.14 Determinare il vertice del cono di rotazione che ammette come paralleli lecirconferenze di equazioni

x2 + y2 = 1z = 3

e

x2 + y2 = 4

z = 0

Figura 22.2.

[ Osservando la figura 22.2, si vede che i triangoli OAV e BCV, che si formanosu uno dei piani che contengono l’asse di rotazione, sono simili. . . V(0, 0, 6) ]

22.1. Quesiti

Q.22.180 Un cilindro che contiene una circonferenza è sempre di rotazione.2 vero 2 falso

Q.22.181 L’equazione (x2 + y2)2 − (x2 + y2)3 − 3 = z rappresenta una superficie dirotazione attorno all’asse z. 2 vero 2 falso

22.1 Quesiti 211

Q.22.182 La superficie che si ottiene facendo ruotare una retta r attorno ad una rettas è a un cono; b un cilindro; c dipende dalla posizione reciprocadi r e s; d può essere comunque solo un cilindro oppure un cono.

Q.22.183 Nello spazio la rotazione della retta r :

x− 2y + z = −1

x− 2y + kz = 1attorno alla

retta s :

x = 1 + ty = at− 2z = 1− 2t

rappresenta un cilindro per: a a = −12 k; b

ogni valore di a; c nessun valore di a; d a = 12

23. Quadriche

Coni e cilindri in questo capitolo saranno sempre intesi come coni e cilindri quadriciirriducibili. Lo studente è invitato a riconoscere tutte le quadriche di cui si parla.

23.1 Con un procedimento analogo a quello dell’esempio sul paraboloide iper-bolico, dimostrare che l’iperboloide ad una falda è una superficie rigata.

23.2 Si considerino la quadrica Q di equazione xy + z = 0 ed il cilindro C le cuigeneratrici sono parallele alla retta x = y = z e tangenti a Q. Scrivere unaterna di equazioni parametriche della proiezione ortogonale sul piano di

equazione y = z della curva intersezione di Q e C . [

x = t

y =t2 − 1

2

z =t2 − 1

2

]

23.3 Considerata la superficie S : x2 − y2 − 2xz = 0 e la linea γ :

y2 = xz = 0

,

i) riconoscere la S ;

ii) verificare che esiste una linea piana γ′ appartenente ad S ed aventeγ come proiezione ortogonale sul piano xy;

iii) riconoscere la γ′.

[Cono con vertice nell’origine;

x2 − y2 − 2xz = 0

z =12(x− 1)

; parabola]

23.4 Si considerino

la superficie S di equazione x2 + y2 − z2 − 2x− 2z = 1;

il punto P(2, 0,−1);

il piano α di equazione x− 2 = 0.

determinare l’equazione del piano che passa per P, è perpendicolare ad α etaglia la S secondo una circonferenza.

[S è un iperboloide di rotazione attorno all’asse z . . . z + 1 = 0]

214 Quadriche

23.5 Verificare che esiste un piano passante per la retta di equazioni x = y = zche interseca la superficie di equazione x2 + 2y2 − 2z = 0 secondo unaconica la cui proiezione ortogonale sul piano xy ammette come centro disimmetria il punto C(−1, 1, 0). [x− 2y + z = 0]

23.6 Siano:

Π il paraboloide di equazione x2 + y2 = 2z,

π un piano perpendicolare all’asse y,

P la parabola intersezione di Π con π,

γ la curva che si ottiene proiettando dall’origine la P sul piano di equa-zione z = 1.

Determinare π in modo che la γ abbia centro sul piano π. [y = ±1]

23.7 Sia P il paraboloide di equazione ax2 + y2 = 2pz; determinare a in modoche ogni conica ottenuta tagliando P con un piano non parallelelo all’assez abbia come proiezione sul piano xy una circonferenza.

[I piani cercati hanno equazione del tipo z = αx + βy + γ. . . a = 1]

23.8 Scrivere l’equazione del paraboloide di rotazione che ammette come paral-leli le circonferenze di equazioni

x2 + y2 = 1z = 2

e

x2 + y2 = 4

z = 3

[x2 + y2 = 3(z− 2

3)]

23.9 Verificare che ogni piano non parallelo all’asse z taglia il paraboloide gene-

rato dalla rotazione della parabola di equazioni

x2 = 2zy = 0

attorno all’asse

z secondo una conica la cui proiezione sul piano xy è una circonferenza.[Paraboloide x2 + y2 = 2z. . . piani del tipo z = ax + by + c. . . ]

23.10 Si consideri la parabola P che ha come fuoco l’origine e come direttrice la

retta di equazioni

x + y = 0

z = −2; trovare l’equazione del parboloide che si

ottiene facendo ruotare P intorno al suo asse.

[ P giace sul piano di equazione x + y = 0. . . P ha come asse di simmetria

l’asse z . . . P :

(x− y)2 − 8(z + 1) = 0

x + y = 0. . . da cui x2 + y2 = 4(z + 1). ]

215

23.11 Scrivere l’equazione della superficie ottenuta dalla rotazione della curva

γ :

x = ty = 2− t

z = (t− 1)2

attorno alla retta di equazioni y = x = 1 e verificare che si tratta di unparaboloide. [(x− 1)2 + (y− 1)2 = 2z; traslando il riferimento in (1, 1, 0). . . ]

23.12* Verificare che la quadrica di equazione xy + z(x + y) = 0 è un cono dirotazione e determinarne vertice ed asse.

[ L’equazione è omogenea di secondo grado in x, y e z, quindi se rappresentauna quadrica irriducibile si tratta di un cono con vertice nell’origine; in effetti,come risulta semplice verificare, è il cono ottenuto dalla rotazione di unoqualsiasi degli assi coordinati attorno alla retta r : x = y = z: le equazionidella circonferenza descritta dal generico punto P(α, 0, 0) dell’asse x nella

sua rotazione attorno ad r sono

x + y + z− α = 0

x2 + y2 + z2 = α2 ed, eliminando α si ha

proprio x2 + y2 + z2 = (x2 + y2 + x2)2, cioè xy + yz + xz = 0.

In un altro modo possiamo considerare la matrice rappresentativa della qua-

drica che è la A =

0 1

212 0

12 0 1

2 012

12 0 0

0 0 0 0

, singolare e di rango 3 dunque quadrica

specializzata irrducibile: cono o cilindro. La sottomatrice B =

0 12

12

12 0 1

212

12 0

ammette gli autovalori λ1 = λ2 = − 1

2 e λ3 = 1; non essendoci autovalorinulli B non è singolare, quindi non si tratta di un cilindro, quindi è un cono,reale perché gli autovalori non sono concordi, di rotazione, perché due di taliautovalori sono uguali. Il vertice, come già osservato è l’origine; l’asse di rota-zione ha la direzione di uno qualsiasi degli autovettori relativi all’autovaloresemplice: dunque da Bx = x abbiamo che [β, β, β] con β 6= 0 è il genericoautovettore, la cui direzione coincide con quella della retta r. ]

23.13 Determinare centro ed assi di simmetria della quadrica di equazione x2 +2y2 + 3z2 − 2x− 6z + 3 = 0.

[(x− 1)2 + 2y2 + 3(z− 1)2 = 1 . . . (1, 0, 1) . . .

x = 1y = 0

;

y = 0z = 1

;

x = 1z = 1

]

23.14 Individuare un sistema di riferimento in cui la quadrica avente equazione2x2 + 2y2− z2 + 4x− 2z = 0 è rappresentata in forma canonica; dire di chequadrica si tratta e, se di rotazione, determinare l’asse di rotazione.

216 Quadriche

[ Nel sistema di riferimento traslato in (−1, 0,−1) si ha 2X2 + 2Y2 − Z2 = 1che è l’equazione di un iperboloide iperbolico di rotazione intorno all’asse Z,

retta che nel vecchio sistema di riferimento ha equazioni

x = −1y = 0

. ]

23.15 Ridurre a forma canonica le equazioni delle seguenti quadriche e ricono-scerle:

x2 + xy + y2 − z = 0

25x2 + 9y2 − 16z2 − 24yz = 25

[x2 + 3y2 = z, paraboloide ellittico; 25x2 + 25y2 = 1 cilindro rotondo]

23.16 Data la quadrica Q: (x + y)2 − 2z2 = 1,

i) trovare una forma canonica per l’equazione di Q;

ii) riconoscere la Q;

iii) detta γ la curva intersezione di Q con il piano di equazione 2x− y−z = 1, rappresentare analiticamente la curva γ′ proiezione ortogonaledi γ sul piano xy e riconoscerla.

[2x2 − 2z2 = 1; cilindro iperbolico;

6x2 − 8xy + 4y + 3 = 0

z = 0, iperbole.]

23.17* Verificare che la quadrica Q: x2 + yz+ x = 0 è rigata; trovare quindi le rettepassanti per l’origine ed interamente contenute nella quadrica e riconoscerela conica intersezione di Q con il piano di equazione 2x− y− z = 0.

[ La matrice rappresentativa di Q è la A =

1 0 0 1

20 0 1

2 00 1

2 0 012 0 0 0

che è non singolare,

quindi la quadrica non è degenere (nè riducibile nè cono o cilindro) e quindisi tratta di una superficie che contiene al masssimo (nel caso in cui sia rigata)due rette per O; del resto risulta quasi immediato verificare che l’asse y e l’assez sono entrambi interamente contenuti in Q.

Il sistema x2 + yz + x = 02x− y− z = 0

è equivalente a x2 + (2x + z)z + x = 0

2x− y− z = 0

217

che rappresenta la conica γ come sezione di un cilindro con le generatriciparallele all’asse y: la sua proiezione ortogonale sul piano yz ha dunque

equazioni

(x + z)2 + x = 0

y = 0, che sono quelle di una parabola non degenere,

dunque anche γ è una parabola non degenere. ]

23.18 Considerata la quadrica Q : x2 + y2 = xz + 1

i) trovare tutte le rette interamente conenute nella Q;

ii) riconoscere la conica intersezione di Q con il piano di equazionez = 2x + 1;

iii) trovare, se esiste, un piano che taglia la Q secondo una circonferenzareale.

[

y∓ 1 = λx

y± 1 =1λ(z− x)

; iperbole; ne esistono. . . ]

23.19* Determinare l’equazione della generica quadrica che contiene gli assi x e y

e taglia sul piano x = 1 la conica di equazioni

x = 1

yz + y + 1 = 0. Stabilire

poi se esiste un paraboloide che soddisfa le condizioni date e, in casoaffermativo, scrinerne l’equazione.

[ Per determinare l’equazione di una quadrica occorre imporre nove condizio-ni lineari indipendenti.

Contiamo quelle che abbiamo:

• una retta interamente contenuta nella quadrica fornisce tre condizioniindipendenti, infatti occorre e basta che intersechi la superficie in tre (piùdi due) punti;

• una seconda retta, incidente alla prima, ne fornisce altre due, oltre aquella, già considerata, del punto di incidenza;

• una conica incidente alle due rette appena considerate vuol dire passag-gio per altri tre punti (che con i due distinti di incidenza sono cinque,più dei quattro ordinariamente soluzione del sistema del quart’ordineformato dall’equazione della conica e da quella della quadrica: sufficientia garantire che la conica giaccia interamente sulla superficie) in totaleabbiamo quindi otto condizioni, dunque un fascio di quadriche.

Per trovare l’equazione richiesta intersechiamo innanzittutto la generica qua-drica

ax2 + by2 + cz2 + dxy + eyx + f xz + gx + hy + iz + l = 0 (23.1)

218 Quadriche

con gli assi x e y rispettivamente; si ottengono le equazioni by2 + hy + l = 0 ecz2 + iz + l = 0 che sono identicamente verificate quando e soltanto quando èb = h = i = l = 0, quindi la (23.1) diventa

ax2 + dxy + eyz + f xz + gx = 0

che rappresenta una quadrica la cui intersezione con il piano x = 1 è la conica

di equazioni

a + g + dy + eyz + f xz = 0

x = 1che è quella data se e soltanto se è

f = 0 e d = a + g: si avrà allora ax2 + dxy + dyz + (d− a)x = 0 cioè a(x2 −x) + d(xy + yz + x) = 0. Le quadriche in questione sono irrriducibili, vistoche intersecano il piano secondo una conica irriducibile; possiamo allora porred 6= 0 e limitarci a considerare equazioni del tipo xy+ yz+ x+ k[x(x− 1)] = 0.Esse rappresentano un paraboloide se e solo se si ha:∣∣∣∣∣∣∣∣

k 12 0 1−k

212 0 1

2 00 1

2 0 01−k

2 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 =

∣∣∣∣∣∣k 1

2 012 0 1

20 1

2 0

∣∣∣∣∣∣il che accade quando e solo quando k = 0, quindi il paraboloide cercato esiste,è unico, ed ha equazione xy + yz + x = 0. ]

23.20 Scrivere l’equazione del paraboloide contenente l’asse x, la retta di equa-zioni x = z− 2 = 0 ed i punti A(1, 1, 1) e B(0, 0, 1). [xz + yz− 2y = 0]

23.21 Siano:

α un piano passante per l’asse x;

A l’intersezione di α con la retta

x = ty = tz = 1− t

;

β il piano per A parallelo al piano yz;

r la retta α ∩ β.

Scrivere l’equazione del luogo delle rette r. [xy + xz− y = 0]

23.22 Riconosere la quadrica di equazione x2 + xz− y2 + z2 + 2y = 0 e determi-

narne centro ed assi. [Iperboloide ellittico; C(0, 1, 0); x = z = 0,

x± z = 0

y = 1]

24. Luoghi nello spazio.Linee e superfici nello spazio

In questo capitolo vengono proposti esercizi sui luoghi geometrici nello spazio euclideotridimensionale ordinario.

Come nel caso del piano, nelle soluzioni sono indicate le equazioni in questione, sottin-tendendo eventualmente la necessità di eliminare una parte dei punti le cui coordinateverificano tali relazioni.

Lo studente è invitato a riconoscere tutte le curve e le superfici del secondo ordine,anche dove non espressamente richiesto.

24.1 Siano:

α un piano passante per l’asse x;

A l’intersezione di α con la retta di equazioni

x = ty = tz = 1− t

,

β il piano per A parallelo al piano yz,

r la retta α ∩ β.

Scrivere l’equazione del luogo delle rette r. [xy + xz− y = 0]

24.2 Siano:

r la retta di equazioni

x = yz = x

,

α un piano per l’asse z,

β il piano per r perpendicolare ad α,

t la retta comune ad α e β.

Scrivere l’equazione del luogo delle rette t. [x2 + y2 − xz− yz = 0]


r :

x + y− 2z = 0

x = 2, s : x− 1 = y = z e t :

x = 3ty = tz = t + 1

.

220 Luoghi nello spazio

Siano:

π un piano per r,

P π ∩ s,

π′ Il piano per P e per t,

u la retta π ∩ π′.

Scrivere l’equazione del luogo delle rette u.[x2 − 2y2 + 2z2 + xy− 5xz + 3yz + 3x + y− 4 = 0]

24.4 Siano date le rette:

a :

x− y + z = 0

y = z, b :

x− y = 0

y = 2

c :

5x + 3y + z = 23x− y + 2z = 0

Scrivere l’equazione del luogo delle rette che sono incidenti ad a e b eperpendicolari a c. [x2 − xy− 2xz + 4x− 4y + 4z = 0]

24.5* Scrivere l’equazione del luogo delle rette incidenti alle tre rette

a :

x− y = 0z + 1 = 0

, b :

y− z = 0x− 1 = 0

, c :

x + 1 = 0y + z = 0

[ Conviene procedere in questo modo: fissato un punto generico P sulla rettaa, intersechiamo il piano che contiene P e la retta b con quello per P e la retta csi ottiene così una retta incidente alle tre rette date (occorre però escludere ilcaso in cui la complanarità significa parallelismo e non incidenza).

Sia dunque P(t, t,−1) il fascio di piani di sostegno b ha equazione y − z +λ(x− 1) = 0 quindi il piano Pb si ottiene per il valore di λ per cui è t + 1 +λ(t− 1) = 0; quello di sostegno c ha equazione y + z + µ(x + 1) = 0 da cui,sostituendo ancora le coordinate di P, t− 1 + µ(t + 1) = 0. La generica rettaincidente le tre rette date avrà dunque equazioni

(t + 1)x + (1− t)y + (t− 1)z− (t + 1) = 0(t− 1)x− (t + 1)y− (t + 1)z + t− 1 = 0

; (24.1)

una terna di parametri direttori per essa sarà t2 − 1, t2 + 1 e −2t Quindi taleretta è parallela alla b quando t2 − 1 = 0 e t2 + 1 = −2t, cioè per t = −1 eparallela alla c quando è t2 − 1 = 0 e t2 + 1 = 2t, cioè per t = 1; quindi unaretta che fa al caso nostro si otterrà per t 6= ±1. Il sistema (24.1) è equivalentealle relazioni

x + y− z− 1−x + y− z + 1

= t =x + y + z + 1x− y− z + 1

221

e quindi il luogo richiesto avrà equazione

(x + y− z− 1)(x− y− z + 1) + (x + y + z + 1)(x− y + z− 1) = 0

con −x + y− z + 1 6= 0 6= x− y− z + 1. Il risultato è dunque il paraboloideiperbolico di equazione

x2 − y2 + z2 − 1 = 0

privato dei punti della retta di equazione

x− y = 0z− 1 = 0

. ]

25. Esercizi di ricapitolazione

Questi esercizi, per lo più tratti da vecchi temi d’esame, non sono volutamente in alcunordine, né per difficoltà né per argomento, per allenare l’alunno a passare da un argomentoad un altro con disinvoltura. Non sono dati né suggerimenti né risoluzioni: lo studenteè invitato, anche quando non esplicitamente richiesto, a riconoscere tutte le coniche ele quadriche risultanti negli esercizi proposti. Il capitolo è diviso in due parti, la primacomposta di esercizi veri e propri, la seconda di quesiti a risposta chiusa.

25.1. Esercizi

25.1 In S 3 Si considerino il punto V(1, 0, 1) e la curva di equazioni

L :

x = t2

y = 1 + tz = t

i) Verificare che L è piana

ii) Scrivere le equazioni della proiezione ortogonale della curva l sul pinoxy.

iii) Scrivere l’equazione del cono che proietta la L da V


L :

x = t2

y = −2tz = 4t + 1

e la retta r : x = y− z + 1 = 0. Detto P il generico punto di L, siano P′

la proiezione ortogonale di P su r e M il punto medio del segmento PP′.Scrivere le equazioni del luogo descritto da M al variare di P e riconoscerlo.

25.3 Determinare tutti i valori del parametro h per i quali la curva di equazionix = h + t

y = 1 + ht2

z = h− t2

224 Esercizi di ricapitolazione

è piana. Scelto uno di questi valori, scrivere l’equazione del piano che lacontiene.

25.4 Scrivere l’equazione di un cono rotondo che contenga i tre assi coordinati.

25.5 Si consideri l’applicazione

f : R3 7→ R3

tale che

f ([x, y, z]) = [x + hy, (h− 1)x2 + y, z + h− 1] con h ∈ R

i) Determinare gli eventuali valori di h in corrispondenza dei quali f èlineare.

ii) Per ciascuno di tali valori determinare ker f e = f

25.6 Sia W l’insieme W = [x, y, z] ∈ R3, x = z.i) Verificare che W è sottospazio di R3.

ii) Introdotto in W il prodotto scalare standard, trovare una base per W⊥

25.7 Nello spazio si considerino il punto P(1, 1, 1) e la retta r di equazionix− y− z + 2 = 0

y + 2z = 0.

i) Scrivere l’equazione del piano contenente sia P che r.

ii) Determinare la distanza di P da r.

25.8 Verificare che l’applicazione f : M2 7→M2 definiita da

f([

a bc d

])=

[a + 1 0

0 d− 1

]nonè un omomorfismo.

25.9 Si considerino i punti O(0, 0), A(2, 0) e B(2, 3). Scrivere l’equazione dellaparabola che ammette il triangolo OAB come autopolare ed ha un diametroparallelo alla retta x = y.

25.10 Siano ~u, ~v e ~w tre vettori indipendenti di uno spazio vettoriale E; siano Vil sottospazio di E generato dai vettori ~u, ~v e ~w e W quello generato daivettori ~u e ~v− ~w: Stabilire se sono vere o false le seguenti affermazioni:

i) V ⊆W

25.1 Esercizi 225

ii) V ⊇W

iii) V = W

25.11 Scrivere l’equazione della superficie ottenuta dalla rotazione della curva2x2 + y− 1 = 0

z = 0attorno alla retta di equazioni

y = 1z = 2

.

25.12 Si consideri la matrice

A =

2 0 30 5 00 k 5

.

Determinare A in modo che A sia diagonalizzabile.

25.13 Scrivere l’equazione di un piano che tagli il cono di equazione x2 + y2 −z2 = 0 secondo una parabola non degenere.

25.14 Sia B = ~v1,~v2,~v3,~v4 una base dello spazio vettoriale V e siano ~w1 =~v1 + ~v2, ~w2 = ~v3, ~w3 = ~v4 − ~v1 e ~w4 = ~v1 − ~v2; dimostrare che B′ =~w1, ~w2, ~w3, ~w4 è un’altra base per V e trovare la matrice di passaggio daB a B′.

25.15 Siano :

K la conica di equazione x2 − 2y = 0.

P il generico punto di K .

t la tangente in P alla K

R la proiezione ortogonale dell’origine O(0, 0) su t

Scrivere l’equazione del luogo dei punti R al variare di P su K .

25.16 Sia K una conica non degenere con centro in (0, 0) che ammette comepolare del punto P(2,−2) la retta x− y+ 4 = 0. Verificare che le rette x = ye x = −y sono gli assi di K .

25.17 Si consideri in M2 la matrice A =

[1 00 2

]; verificare che 〈X, Y〉 = tr(XAY)

non è un prodotto scalare.


25.18 Verificare che le rette

a :

x = 5t + 2y = tz = −3t− 1

b :

x = uy = uz = u + 1

c :

x = 3v− 1

2

y = 2v− 12

z = v +12

appartengono ad un medesimo fascio.

25.19 Trovare per quali valori del parametro h le matrici

A =

[1 2−1 0

], B =

[h 1

h− 1 0

]; C =

[−1 h−2h 0

]sono linearmente dipendenti.

25.20 Trovare le coniche degeneri ed i punti base del fascio di coniche

x2 + y2 − 2x− 2y + λ(xy− y2 + 2y) = 0.

25.21 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha il centro nel punto C(1, 0), am-mette come asintoto la retta x + y− 1 = 0 e come polo dell’asse y il puntoA(−1, 0).

25.22 Sia V = P2(x). Trovare il valore reale di k per il quale l’applicazionef : V 7→ V definita da

f (αx2 − βx + γ) = (α− k)x2 + kx + β

è un endomorfismo1 di V. Determinare poi la matrice ad esso associatarispetto alla base B = x2 + 1, x, x + 1.

25.23 Scrivere l’equazione di una sfera avente il centro sulla retta

x = −2ty = t + 1z = t

e

tangente all’asse x ed al piano 2x + 2y− z− 8 = 0.

25.24 Discutere il sistema

x− (h + 1)y− 2z = h(2h + 1)x + 2y + z = h2x + (h + 1)y− z = h

ove h è un parametro. Dare

una interpretazione geometrica dei risultati ottenuti.

1Un endomorfismo è un’applicazione lineare di uno spazio vettoriale in sè

25.1 Esercizi 227

25.25 Scrivere l’equazione della conica che ammette il triangolo O(0 : 0 : 1),A(2 : 0 : 1) e Y∞(0 : 1 : 0) come autopolare, passa per il punto B(0 : 1 : 1)ed ha un asse parallelo alla retta di equazione 2x− y + 3 = 0.

25.26 Si considerino un punto V variabile sulla circonferenza x2 + y2 = 1 e laretta r di equazione 2x + y = 0. Scrivere l’equazione del luogo dei fuochidelle parabole che hanno come direttrice la retta r e vertice nel punto V.

25.27 Verificare che le rette di equazionix + y = 0

z = 1e

x− z + 1 = 0

y = 0

sono complanari. Determinare poi le equazioni delle bisettrici di tali rette.

25.28 Determinare i valori dei parametri h e k per i quali è diagonalizzbile lamatrice 1 0 k− 1

0 1 00 h 2

25.29 Una conica irriducibile K è tangente alle rette x = 1 e y = −1 ed ammette

come autopolare il triangolo di vertici O(0, 0), A(1, 0) e B(0,−1). Scriverel’equazione dell’involuzione dei punti dell’asse y reciproci rispetto a K .

25.30 Si considerino nello spazio l’asse z e le rette r ed a aventi rispettivamenteequazioni:

R :

y = 1x = z

e a :

x = 1z = 0

.

Siano:

P il generico punto della r;s la retta passante per P ed incidente la retta a e l’asse z;A e B rispettivamente i punti di incidenza della s con la a e l’asse z;M il punto medio del segmento AB.

Trovare le equazioni del luogo descritto da M al variare di P sulla r ericonoscere tale luogo.

25.31 Nello spazio, si consideri la curva L di equazioni parametrichex = t + 1

y = t2 + 1z = −t


i) Scrivere l’equazione della superficie S generata dalla rotazione di L

attorno alla retta

x = 1z = 0

;

ii) trovare il piano che taglia la S secondo una circonferenza di raggio√2

25.32 Discutere il sistema linearex + 2y− 3z = h2x− y + 4z = −h

3hx + hy + h2z = h

ove h è un parametro reale.

25.2. Quesiti

Per ogni quesito la risposta esatta esiste, ma non sempre è una sola.

Q.25.184 La quadrica di equazione (y− 2x)2 = xa è spezzata b ha infiniti punti doppi c ha un solo punto doppio d ha

infiniti punti impropri reali

Q.25.185 Nel piano, indicare le proprietà vere relativamente alla conica di equazione(x + 1)(y− 1) = 1

a è spezzata b ha due punti impropri immaginari coniugati c ha un solo puntoimproprio ma contato due volte d ha due punti impropri reali e distinti

Q.25.186 Indicare le proprietà vere circa le matrici quadrate dello stesso ordine:a la somma di matrici diagonalizzabili è diagonalizzabile b se una matrice inverti-

bile è diagonalizzabile allora la sua inversa è diagonalizzabile c la trasposta di unamatrice diagonalizzabile è diagonalizzabile d il prodotto di matrici diagonalizzabili èdiagonalizzabile

Q.25.187 Se fa : R4 7→ R3 è l’applicazione lineare associata, rispetto alle basicanoniche alla matrice

A =

1 2 0 12 4 0 00 0 0 0

la dimensione del nucleo di fA è: a 3; b 2; c ∞; d 0.

25.2 Quesiti 229

Q.25.188 Nello spazio, le equazioni

x2 + y2 − z2 − 2x− 2 = 0

x− y + 1 = 0rappresentano:

a a una conica con centro in (1; 1;−1) b una parabola con asse parallelo all’asse zc una parabola con asse parallelo allasse y d una conica con centro in (0; 1; 0)

Q.25.189 Sia A = [aik] una matrice quadrata di ordine n e sia Aik il complementoalgebrico dell’elemento di posto i, k allora:

a ∑ni=1 aik Aki = det A b ∑n

j=1 aij Akj = δik c ∑nk=1 aik Akj = δij d ∑n

k=1 aik Aik =

det A

Q.25.190 In uno spazio euclideo reale, per quali vettori vale ‖~u‖+ ‖~v‖ = ‖~v + ~u‖?a se ~u e ~v sono perpendicolari b solo se ~u e ~v sono paralleli c solo se ~u e ~v sono

perpendicolari d se ~u e ~v sono paralleli

Q.25.191 Sia µA il polinomio minimo della matrice A =

1 1 01 1 01 1 0

. Indicare le

proprietà vere:a il grado di µA è = 2 b µA non ha radici multiple c µA coincide con il

polinomio caratteristico d il grado di µA è = 3

Q.25.192 Se A è una matrice quadrata di ordine n, che ammette l’autovalore λ = 0con molteplicità algebrica k, allora:

a r(A) < k b r(A) ≥ n− k c r(A) < n− k d r(A) ≥ k

Q.25.193 Sia Ax = 0 un sistema lineare omogeneo di n equazioni in n incognite. Se ivettori riga della matrice A sono linearmente dipendenti, allora il sistema:

a ammette al più una soluzione b ammette solo la soluzione banale; purché ivettori colonna siano linearmente indipendenti c non ammette soluzioni non banalid ammette infinite soluzioni

Q.25.194 Il sistema x = cos2 t− 2

y = sin2 t + 2z = 2t

a rappresenta una superficie b rappresenta una curva gobba c rappresenta unacurva piana d rappresenta una quadrica riducibile

Q.25.195 In R3 siano U e V i sottospazi definiti rispettivamente da x = y = z e z = 0;allora

a U ⊕V = R3 b U + V = U c U + V = V d U + V = R3


Q.25.196 Nel piano, la circonferenza passante per A(−1, 0) e tangente all’asse y inB(0, 1) ha equazione:

a y2 − 2x + 1 b x2 − y2 + 2x = 0 c x2 + y2 − 4x + 3 = 0 d x2 + y2 + 2x−2y + 1 = 0

Q.25.197 Nel piano l’iperbole equilatera che ha fuochi nei punti F1(0, 0) ed F2(−2, 0)ha equazione:

a 2x2 − 2y2 + 4x− 1 = 0 b x2 − 2y2 + 3 = 0 c x2 − y2 + 4y == d x2 + y2 +2x− 1 = 0

Q.25.198 Si consideri l’applicazione lineare f di M2 in sè definita da

f (A) =

[1 02 0

]A;

allora il nucleo di f ha dimensionea 0 b 1 c 2 d 3

Q.25.199 Le matrici

A =

2 1− t 00 −1 01 1− 3t −1

e B =

−1 0 00 1 2−1 1 0

a sono diagonalizzabili b hanno lo stesso polinomio minimo c hanno lo stesso

polinomio caratteristico d sono simili

Q.25.200 Quali delle seguenti proprietà sono vere, essendo A una matrice quadratadi ordine n ed I la matrice unità dello stesso ordine di A ed indicando contr(A) la traccia di A?

a tr(I − A) = 1− tr(A) b tr(AT) = tr(A) c tr(A + B) = tr(A) + tr(B) dtr(AB) = tr(A) · tr(B)

Q.25.201 Nel piano, assegnare un asintoto per una conica significa fornire un numerodi condizioni lineari pari a

a 1 b 2 c 3 d una; ma non lineare

Q.25.202 Nel piano, la conica che ha centro nel punto C(0, 1), è tangente all’asse xnel punto A(2, 0) e passa per il punto P(−1,−1) è:

a un’ellisse b una parabola c un’iperbole d degenere

Q.25.203 Date nel piano due rette ortogonali, le iperboli che le ammettono comeasintoti sono:

a almeno due b una ed una sola c un fascio d una rete

25.2 Quesiti 231

Q.25.204 Se il sistema lineare Ax = b di m equazioni in n incognite ammette almenodue soluzioni, allora:

a det A = 0 b ne ammette infinite c r(A) < m d r(A) < n

Q.25.205 Una matrice quadrata emisimmetrica ed idempotentea non esiste b è la matrice nulla c è la matrice unità d è simile alla matrice

unità

Q.25.206 Le matrici A =

[0 −10 2λ

], B =

[0 λ0 µ

]e C =

[0 λ + 10 µ

]sono linearmente

indipendentia per λ 6= 0 e ∀µ b per λ 6= 0 e µ 6= 0 c per λ = µ d mai

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Esercizi di Algebra Lineare e Geometria - … · Esercizi di Algebra Lineare e Geometria Prof. Ernesto Dedò Dipartimento di Matematica Politecnico di Milano [email protected]