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Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
1
Esercitazioni di Algebra e Geometria
Anno accademico 2009-2010
Dottssa Sara Ferrari
e-mail saraferrariingunibsit
Esercitazioni martedigrave 830-1030
venerdigrave 930-1130
Attenzione le lezioni del venerdigrave iniziano esattamente alle 930
Ricevimento studenti venerdigrave 830-925
presso il dipartimento di matematica (via Valotti)
Le tracce per le esercitazioni saranno reperibili alla
pagina
httpdmingunibsit~stefanopasottialgebrageometriaphp
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
2
Matrice Una matrice m x n a coefficienti in un campo KKKK egrave una
lsquotabellarsquo con
m righe
n colonne
i cui elementi detti entrate appartengono al campo KKKK
Esempi di campi sono
QQQQ il campo dei numeri razionali
RRRR il campo dei reali
CCCC il campo dei numeri complessi
Esempio
minus
22
403
π
Egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
3
La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip
Per rappresentare una generica matrice di m righe e n
colonne useremo la seguente
=
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
MOMM
Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola
dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera
minuscola
Notazione piugrave sintetica egrave
( )njmijiaA
11
===
dove aij egrave lrsquoelemento che si trova in posizione (ij)
cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
4
Nellrsquoesempio precedente
minus=
22
403
πB
b11=-3 b12=hellip b13=hellip
b21=hellip b22=hellip b23=hellip
con bijisin RRRR e gli indici i=12 e j= l 2 3
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni mxn sullo stesso
campo K egrave indicato con Kmn
Qmn
ha per oggetti le matrici mxn a entrate razionali
Rmn ha per oggetti le matrici mxn a entrate reali
Cmn
ha per oggetti le matrici mxn a entrate complesse
Casi particolari
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
5
a) m=1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1xn a
coefficienti in K
( )naaaA 12111 = isin K1n
b) n=1 si ottengono matrici colonna di dimensioni
mx1 a coefficienti in K
1
1
12
11
m
m
K
b
b
b
B isin
=M
c) n=m si ottengono matrici quadrate di dimensioni
nxn a coefficienti in K Il numero n egrave detto ordine
della matrice quadrata
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
6
=
nnnnn
n
n
n
cccc
cccc
ccac
cccc
C
321
3332313
2322212
1312111
MOMMM
appartiene a Knn ma di solito tale insieme si indica
Mn(K) Ovviamente n=m=1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata C=(c11)
Esempi
513
4 6 32
0 21
RA isin
minus=
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
15
03122
ReB isin
minus
minus
minus
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
7
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
)( isin
minusminusminus
minus
minusminus
minusminus= R
2055032
082313
3042331
26710254352000101
6
5
MC
π
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6times6=36 entrate
coefficienti reali
Operazioni con le matrici
La somma di matrici
Siano A B due matrici di K mn
Indichiamo A+B una matrice di K mn cosigrave definita
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
8
=
+
=+
nmmm
n
n
nmmm
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BA
21
22212
12111
21
22212
12111
MOMMMOMM
nm
nmnmmmmm
nn
nn
K
bababa
bababa
bababa
2211
2222221212
1121211111
isin
+++
+++
+++
=MOMM
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento
ottenuto sommando aij e bij in K
( ) ( ) ( )njmijiji
njmiji
njmiji babaBA
11
11
11
==
==
== +=+=+
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici
controllare sempre che abbiano lo stesso
numero di righe e lo stesso numero di colonne
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
9
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da
elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed
egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
=
=
=
=
3 50
121
3-0
D
2-22-
6432
001-
C 75403-0102
B 52
02-
3101-A
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A
B+(B+B) e (B+C)+C
a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
10
=
minus++minus+
++minus+
++minus+
=
+
=+
)2(725)2(4
604332
0
0100)1(2
2-22-
6432
001-
75403-0102
CB
+
=
5252
6132
101
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
==
+
=+
54
04-
6202-
52
02-
3101-
52
02-
3101-AA
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
=
+
+
=++
75403-0102
75403-0102
75403-0102
B)B(B
minus=
minus+
=
211512090306
14108060204
75403-0102
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
2
Matrice Una matrice m x n a coefficienti in un campo KKKK egrave una
lsquotabellarsquo con
m righe
n colonne
i cui elementi detti entrate appartengono al campo KKKK
Esempi di campi sono
QQQQ il campo dei numeri razionali
RRRR il campo dei reali
CCCC il campo dei numeri complessi
Esempio
minus
22
403
π
Egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
3
La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip
Per rappresentare una generica matrice di m righe e n
colonne useremo la seguente
=
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
MOMM
Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola
dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera
minuscola
Notazione piugrave sintetica egrave
( )njmijiaA
11
===
dove aij egrave lrsquoelemento che si trova in posizione (ij)
cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
4
Nellrsquoesempio precedente
minus=
22
403
πB
b11=-3 b12=hellip b13=hellip
b21=hellip b22=hellip b23=hellip
con bijisin RRRR e gli indici i=12 e j= l 2 3
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni mxn sullo stesso
campo K egrave indicato con Kmn
Qmn
ha per oggetti le matrici mxn a entrate razionali
Rmn ha per oggetti le matrici mxn a entrate reali
Cmn
ha per oggetti le matrici mxn a entrate complesse
Casi particolari
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
5
a) m=1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1xn a
coefficienti in K
( )naaaA 12111 = isin K1n
b) n=1 si ottengono matrici colonna di dimensioni
mx1 a coefficienti in K
1
1
12
11
m
m
K
b
b
b
B isin
=M
c) n=m si ottengono matrici quadrate di dimensioni
nxn a coefficienti in K Il numero n egrave detto ordine
della matrice quadrata
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
6
=
nnnnn
n
n
n
cccc
cccc
ccac
cccc
C
321
3332313
2322212
1312111
MOMMM
appartiene a Knn ma di solito tale insieme si indica
Mn(K) Ovviamente n=m=1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata C=(c11)
Esempi
513
4 6 32
0 21
RA isin
minus=
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
15
03122
ReB isin
minus
minus
minus
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
7
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
)( isin
minusminusminus
minus
minusminus
minusminus= R
2055032
082313
3042331
26710254352000101
6
5
MC
π
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6times6=36 entrate
coefficienti reali
Operazioni con le matrici
La somma di matrici
Siano A B due matrici di K mn
Indichiamo A+B una matrice di K mn cosigrave definita
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
8
=
+
=+
nmmm
n
n
nmmm
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BA
21
22212
12111
21
22212
12111
MOMMMOMM
nm
nmnmmmmm
nn
nn
K
bababa
bababa
bababa
2211
2222221212
1121211111
isin
+++
+++
+++
=MOMM
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento
ottenuto sommando aij e bij in K
( ) ( ) ( )njmijiji
njmiji
njmiji babaBA
11
11
11
==
==
== +=+=+
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici
controllare sempre che abbiano lo stesso
numero di righe e lo stesso numero di colonne
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
9
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da
elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed
egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
=
=
=
=
3 50
121
3-0
D
2-22-
6432
001-
C 75403-0102
B 52
02-
3101-A
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A
B+(B+B) e (B+C)+C
a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
10
=
minus++minus+
++minus+
++minus+
=
+
=+
)2(725)2(4
604332
0
0100)1(2
2-22-
6432
001-
75403-0102
CB
+
=
5252
6132
101
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
==
+
=+
54
04-
6202-
52
02-
3101-
52
02-
3101-AA
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
=
+
+
=++
75403-0102
75403-0102
75403-0102
B)B(B
minus=
minus+
=
211512090306
14108060204
75403-0102
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
3
La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip
Per rappresentare una generica matrice di m righe e n
colonne useremo la seguente
=
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
MOMM
Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola
dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera
minuscola
Notazione piugrave sintetica egrave
( )njmijiaA
11
===
dove aij egrave lrsquoelemento che si trova in posizione (ij)
cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
4
Nellrsquoesempio precedente
minus=
22
403
πB
b11=-3 b12=hellip b13=hellip
b21=hellip b22=hellip b23=hellip
con bijisin RRRR e gli indici i=12 e j= l 2 3
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni mxn sullo stesso
campo K egrave indicato con Kmn
Qmn
ha per oggetti le matrici mxn a entrate razionali
Rmn ha per oggetti le matrici mxn a entrate reali
Cmn
ha per oggetti le matrici mxn a entrate complesse
Casi particolari
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
5
a) m=1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1xn a
coefficienti in K
( )naaaA 12111 = isin K1n
b) n=1 si ottengono matrici colonna di dimensioni
mx1 a coefficienti in K
1
1
12
11
m
m
K
b
b
b
B isin
=M
c) n=m si ottengono matrici quadrate di dimensioni
nxn a coefficienti in K Il numero n egrave detto ordine
della matrice quadrata
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
6
=
nnnnn
n
n
n
cccc
cccc
ccac
cccc
C
321
3332313
2322212
1312111
MOMMM
appartiene a Knn ma di solito tale insieme si indica
Mn(K) Ovviamente n=m=1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata C=(c11)
Esempi
513
4 6 32
0 21
RA isin
minus=
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
15
03122
ReB isin
minus
minus
minus
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
7
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
)( isin
minusminusminus
minus
minusminus
minusminus= R
2055032
082313
3042331
26710254352000101
6
5
MC
π
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6times6=36 entrate
coefficienti reali
Operazioni con le matrici
La somma di matrici
Siano A B due matrici di K mn
Indichiamo A+B una matrice di K mn cosigrave definita
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
8
=
+
=+
nmmm
n
n
nmmm
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BA
21
22212
12111
21
22212
12111
MOMMMOMM
nm
nmnmmmmm
nn
nn
K
bababa
bababa
bababa
2211
2222221212
1121211111
isin
+++
+++
+++
=MOMM
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento
ottenuto sommando aij e bij in K
( ) ( ) ( )njmijiji
njmiji
njmiji babaBA
11
11
11
==
==
== +=+=+
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici
controllare sempre che abbiano lo stesso
numero di righe e lo stesso numero di colonne
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
9
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da
elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed
egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
=
=
=
=
3 50
121
3-0
D
2-22-
6432
001-
C 75403-0102
B 52
02-
3101-A
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A
B+(B+B) e (B+C)+C
a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
10
=
minus++minus+
++minus+
++minus+
=
+
=+
)2(725)2(4
604332
0
0100)1(2
2-22-
6432
001-
75403-0102
CB
+
=
5252
6132
101
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
==
+
=+
54
04-
6202-
52
02-
3101-
52
02-
3101-AA
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
=
+
+
=++
75403-0102
75403-0102
75403-0102
B)B(B
minus=
minus+
=
211512090306
14108060204
75403-0102
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
4
Nellrsquoesempio precedente
minus=
22
403
πB
b11=-3 b12=hellip b13=hellip
b21=hellip b22=hellip b23=hellip
con bijisin RRRR e gli indici i=12 e j= l 2 3
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni mxn sullo stesso
campo K egrave indicato con Kmn
Qmn
ha per oggetti le matrici mxn a entrate razionali
Rmn ha per oggetti le matrici mxn a entrate reali
Cmn
ha per oggetti le matrici mxn a entrate complesse
Casi particolari
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
5
a) m=1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1xn a
coefficienti in K
( )naaaA 12111 = isin K1n
b) n=1 si ottengono matrici colonna di dimensioni
mx1 a coefficienti in K
1
1
12
11
m
m
K
b
b
b
B isin
=M
c) n=m si ottengono matrici quadrate di dimensioni
nxn a coefficienti in K Il numero n egrave detto ordine
della matrice quadrata
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
6
=
nnnnn
n
n
n
cccc
cccc
ccac
cccc
C
321
3332313
2322212
1312111
MOMMM
appartiene a Knn ma di solito tale insieme si indica
Mn(K) Ovviamente n=m=1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata C=(c11)
Esempi
513
4 6 32
0 21
RA isin
minus=
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
15
03122
ReB isin
minus
minus
minus
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
7
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
)( isin
minusminusminus
minus
minusminus
minusminus= R
2055032
082313
3042331
26710254352000101
6
5
MC
π
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6times6=36 entrate
coefficienti reali
Operazioni con le matrici
La somma di matrici
Siano A B due matrici di K mn
Indichiamo A+B una matrice di K mn cosigrave definita
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
8
=
+
=+
nmmm
n
n
nmmm
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BA
21
22212
12111
21
22212
12111
MOMMMOMM
nm
nmnmmmmm
nn
nn
K
bababa
bababa
bababa
2211
2222221212
1121211111
isin
+++
+++
+++
=MOMM
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento
ottenuto sommando aij e bij in K
( ) ( ) ( )njmijiji
njmiji
njmiji babaBA
11
11
11
==
==
== +=+=+
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici
controllare sempre che abbiano lo stesso
numero di righe e lo stesso numero di colonne
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
9
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da
elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed
egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
=
=
=
=
3 50
121
3-0
D
2-22-
6432
001-
C 75403-0102
B 52
02-
3101-A
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A
B+(B+B) e (B+C)+C
a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
10
=
minus++minus+
++minus+
++minus+
=
+
=+
)2(725)2(4
604332
0
0100)1(2
2-22-
6432
001-
75403-0102
CB
+
=
5252
6132
101
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
==
+
=+
54
04-
6202-
52
02-
3101-
52
02-
3101-AA
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
=
+
+
=++
75403-0102
75403-0102
75403-0102
B)B(B
minus=
minus+
=
211512090306
14108060204
75403-0102
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
5
a) m=1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1xn a
coefficienti in K
( )naaaA 12111 = isin K1n
b) n=1 si ottengono matrici colonna di dimensioni
mx1 a coefficienti in K
1
1
12
11
m
m
K
b
b
b
B isin
=M
c) n=m si ottengono matrici quadrate di dimensioni
nxn a coefficienti in K Il numero n egrave detto ordine
della matrice quadrata
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
6
=
nnnnn
n
n
n
cccc
cccc
ccac
cccc
C
321
3332313
2322212
1312111
MOMMM
appartiene a Knn ma di solito tale insieme si indica
Mn(K) Ovviamente n=m=1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata C=(c11)
Esempi
513
4 6 32
0 21
RA isin
minus=
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
15
03122
ReB isin
minus
minus
minus
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
7
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
)( isin
minusminusminus
minus
minusminus
minusminus= R
2055032
082313
3042331
26710254352000101
6
5
MC
π
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6times6=36 entrate
coefficienti reali
Operazioni con le matrici
La somma di matrici
Siano A B due matrici di K mn
Indichiamo A+B una matrice di K mn cosigrave definita
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
8
=
+
=+
nmmm
n
n
nmmm
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BA
21
22212
12111
21
22212
12111
MOMMMOMM
nm
nmnmmmmm
nn
nn
K
bababa
bababa
bababa
2211
2222221212
1121211111
isin
+++
+++
+++
=MOMM
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento
ottenuto sommando aij e bij in K
( ) ( ) ( )njmijiji
njmiji
njmiji babaBA
11
11
11
==
==
== +=+=+
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici
controllare sempre che abbiano lo stesso
numero di righe e lo stesso numero di colonne
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
9
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da
elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed
egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
=
=
=
=
3 50
121
3-0
D
2-22-
6432
001-
C 75403-0102
B 52
02-
3101-A
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A
B+(B+B) e (B+C)+C
a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
10
=
minus++minus+
++minus+
++minus+
=
+
=+
)2(725)2(4
604332
0
0100)1(2
2-22-
6432
001-
75403-0102
CB
+
=
5252
6132
101
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
==
+
=+
54
04-
6202-
52
02-
3101-
52
02-
3101-AA
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
=
+
+
=++
75403-0102
75403-0102
75403-0102
B)B(B
minus=
minus+
=
211512090306
14108060204
75403-0102
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
6
=
nnnnn
n
n
n
cccc
cccc
ccac
cccc
C
321
3332313
2322212
1312111
MOMMM
appartiene a Knn ma di solito tale insieme si indica
Mn(K) Ovviamente n=m=1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata C=(c11)
Esempi
513
4 6 32
0 21
RA isin
minus=
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
15
03122
ReB isin
minus
minus
minus
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
7
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
)( isin
minusminusminus
minus
minusminus
minusminus= R
2055032
082313
3042331
26710254352000101
6
5
MC
π
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6times6=36 entrate
coefficienti reali
Operazioni con le matrici
La somma di matrici
Siano A B due matrici di K mn
Indichiamo A+B una matrice di K mn cosigrave definita
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
8
=
+
=+
nmmm
n
n
nmmm
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BA
21
22212
12111
21
22212
12111
MOMMMOMM
nm
nmnmmmmm
nn
nn
K
bababa
bababa
bababa
2211
2222221212
1121211111
isin
+++
+++
+++
=MOMM
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento
ottenuto sommando aij e bij in K
( ) ( ) ( )njmijiji
njmiji
njmiji babaBA
11
11
11
==
==
== +=+=+
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici
controllare sempre che abbiano lo stesso
numero di righe e lo stesso numero di colonne
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
9
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da
elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed
egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
=
=
=
=
3 50
121
3-0
D
2-22-
6432
001-
C 75403-0102
B 52
02-
3101-A
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A
B+(B+B) e (B+C)+C
a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
10
=
minus++minus+
++minus+
++minus+
=
+
=+
)2(725)2(4
604332
0
0100)1(2
2-22-
6432
001-
75403-0102
CB
+
=
5252
6132
101
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
==
+
=+
54
04-
6202-
52
02-
3101-
52
02-
3101-AA
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
=
+
+
=++
75403-0102
75403-0102
75403-0102
B)B(B
minus=
minus+
=
211512090306
14108060204
75403-0102
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
7
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
)( isin
minusminusminus
minus
minusminus
minusminus= R
2055032
082313
3042331
26710254352000101
6
5
MC
π
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6times6=36 entrate
coefficienti reali
Operazioni con le matrici
La somma di matrici
Siano A B due matrici di K mn
Indichiamo A+B una matrice di K mn cosigrave definita
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
8
=
+
=+
nmmm
n
n
nmmm
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BA
21
22212
12111
21
22212
12111
MOMMMOMM
nm
nmnmmmmm
nn
nn
K
bababa
bababa
bababa
2211
2222221212
1121211111
isin
+++
+++
+++
=MOMM
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento
ottenuto sommando aij e bij in K
( ) ( ) ( )njmijiji
njmiji
njmiji babaBA
11
11
11
==
==
== +=+=+
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici
controllare sempre che abbiano lo stesso
numero di righe e lo stesso numero di colonne
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
9
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da
elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed
egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
=
=
=
=
3 50
121
3-0
D
2-22-
6432
001-
C 75403-0102
B 52
02-
3101-A
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A
B+(B+B) e (B+C)+C
a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
10
=
minus++minus+
++minus+
++minus+
=
+
=+
)2(725)2(4
604332
0
0100)1(2
2-22-
6432
001-
75403-0102
CB
+
=
5252
6132
101
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
==
+
=+
54
04-
6202-
52
02-
3101-
52
02-
3101-AA
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
=
+
+
=++
75403-0102
75403-0102
75403-0102
B)B(B
minus=
minus+
=
211512090306
14108060204
75403-0102
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
8
=
+
=+
nmmm
n
n
nmmm
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BA
21
22212
12111
21
22212
12111
MOMMMOMM
nm
nmnmmmmm
nn
nn
K
bababa
bababa
bababa
2211
2222221212
1121211111
isin
+++
+++
+++
=MOMM
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento
ottenuto sommando aij e bij in K
( ) ( ) ( )njmijiji
njmiji
njmiji babaBA
11
11
11
==
==
== +=+=+
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici
controllare sempre che abbiano lo stesso
numero di righe e lo stesso numero di colonne
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
9
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da
elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed
egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
=
=
=
=
3 50
121
3-0
D
2-22-
6432
001-
C 75403-0102
B 52
02-
3101-A
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A
B+(B+B) e (B+C)+C
a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
10
=
minus++minus+
++minus+
++minus+
=
+
=+
)2(725)2(4
604332
0
0100)1(2
2-22-
6432
001-
75403-0102
CB
+
=
5252
6132
101
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
==
+
=+
54
04-
6202-
52
02-
3101-
52
02-
3101-AA
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
=
+
+
=++
75403-0102
75403-0102
75403-0102
B)B(B
minus=
minus+
=
211512090306
14108060204
75403-0102
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
9
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da
elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed
egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio
Date le seguenti matrici
=
=
=
=
3 50
121
3-0
D
2-22-
6432
001-
C 75403-0102
B 52
02-
3101-A
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A
B+(B+B) e (B+C)+C
a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
10
=
minus++minus+
++minus+
++minus+
=
+
=+
)2(725)2(4
604332
0
0100)1(2
2-22-
6432
001-
75403-0102
CB
+
=
5252
6132
101
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
==
+
=+
54
04-
6202-
52
02-
3101-
52
02-
3101-AA
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
=
+
+
=++
75403-0102
75403-0102
75403-0102
B)B(B
minus=
minus+
=
211512090306
14108060204
75403-0102
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
10
=
minus++minus+
++minus+
++minus+
=
+
=+
)2(725)2(4
604332
0
0100)1(2
2-22-
6432
001-
75403-0102
CB
+
=
5252
6132
101
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
==
+
=+
54
04-
6202-
52
02-
3101-
52
02-
3101-AA
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
=
+
+
=++
75403-0102
75403-0102
75403-0102
B)B(B
minus=
minus+
=
211512090306
14108060204
75403-0102
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
11
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
=
+
+
=++
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
75403-0102
CC)(B
+
=
minusminus
minus
+
+
=
32250
12534
100
222
6432
001
5252
6132
101
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una
matrice
( )njmijiaA
11
===
egrave possibile calcolare
( )njmijiaAA
11 2
===+ ( )
njmijiaAAA
11 3)(
===++
e cosigrave via
Possiamo generalizzare e definire
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
12
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
=
=
nmmm
n
n
nmmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
21
22212
12111
λλλ
λλλλλλ
λλMOMMMOMM
Esempio
minus
=
minus=minus
623618-12-2-003
2-22-
6432
001-
33C
=
=
3
33
3
3
33
100
2221
23-0
50
121
3-0
2D 2
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione
(ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
13
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni
con le matrici
A+B C+D A+C
A - B C ndash D B ndash C
-A 2B -3C -2D
A ndash 2B 2C + D 2A+3D
minus
minus=
=
minus
=
minus
minusminus=02
11
02
10
01-
23
100021102
022113201
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
14
Il prodotto tra matrici
Prima di tutto definiamo cosa si intende per
prodotto tra matrice riga e matrice colonna
Siano A matrice riga di K1n e B matrice colonna di
Kn1 indichiamo con AB un elemento di K cosigrave
definito
( ) 1112211111
1
12
11
12111 nn
n
n bababa
b
b
b
aaaBA +++=
=sdotM
Osservazione
il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A
egrave uguale al numero di righe di B
Esempio
( ) 2363052)4(123
3542
0213 minus=sdot+sdot+minus+minus=
minusminus
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
15
mentre
( )
minus
minus
132
2213
non egrave definito
Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima
colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaBA 2211
2
1
21 +++=
=sdotM
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero
delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di
righe di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
16
Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna
di B puograve essere cosigrave scritto
( ) ( )jh
nh
hinhjhnhhiji babaBA 1
11 sum=
==sdot==sdot
Esempio
Date
=
=
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-A
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave
sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga
di A e la 3-colonna di C egrave
54
)2(52
6002260
52
0232 minus=minussdot+sdot+sdotminus=
minus
minus=sdotCA
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna
di A non egrave definito
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
17
Definiamo ora il prodotto tra due matrici
date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmp il cui elemento in
posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima
riga di A per la j-esima colonna di B
( ) jnnijiji
jn
j
j
niiiji bababa
b
b
b
aaaAB 2211
2
1
21 )( +++=
=M
jh
nh
hi ba 1
sum=
sdot=
Osservazioni
1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle
colonne di A egrave uguale al numero delle righe di
B Se il prodotto AB egrave definito la matrice
risultante ha il numero delle righe di A e il
numero delle colonne di B
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
18
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per
esempio A matrice di R32 e B matrice di R21
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che
AB=BA esempio A matrice di R21 e B matrice
di R12
Esempi
=
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
C 52
02-
3101-HA
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
=
=
2-22-
6432
001-
52
02-
3101-AC
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
19
=
minussdot+sdot+sdotminus
minussdot+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
+sdot+sdotminus
minus+sdot+minussdotminus
minussdot+sdot+minussdotminus=
)2(52
600)2(
)2(36100)1(
252
040)2(
231040)1(
)2(52
32
0)1(2
)2(332
10)1()1(
minus
+=
54
252
2340
56
CA impossibile percheacutehellip
=
=
100001010
2-22-
6432
001-
CH
=
=
2-2-001-64
2-22-
6432
001-
100001010
HC
Osservazioni per le matrici quadrate
a) Data AisinMn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con risinN rgt2
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
20
b) Date A BisinMn(K) egrave sempre possibile calcolare
AB e BA (in genere matrici diverse)
c) Indicata con In =(ikj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita
ikj=0 se knej
ikj= 1 se k=j
allora A In = In A =A qualsiasi AisinMn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al
prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice identica
Esempio
C
2-22-
6432
001-
100010001
2-22-
6432
001-
CI 3 =
=
=
C
2-22-
6432
001-
2-22-
6432
001-
100010001
C I 3 =
=
=
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA
Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010
21
Esercizio da svolgere
Date le matrici
determinare quando possibile
AB BA CD DC
A2 BC BD
A2 ndash I3 A(A2-3B)
minus
minus
=
minus=
minus
minus=
minusminus
minus
=
011431
00
11-
32
110021110
102111211
DCBA