Esercitazione Di Tecnica Delle Costruzioni

PARTE PRIMA – INTRODUZIONE Descrizione dell’edificio Il presente esempio di calcolo attiene alle strutture dell’edificio multipiano del quale sono riportate rispettivamente la sezione trasversale e la pianta relativa ad un piano di impalcato tipo. L’edificio, da realizzarsi nel territorio del comune di Milano e destinato a civile abitazione, consta di 5 piani fuori terra e di un piano seminterrato, con un interpiano pari a 3,06 m al lordo dello spessore di solaio, ed ha pianta rettangolare di dimensioni 11,7 m x 24,4 m, per un’altezza complessiva al colmo di falda pari a 18 m.

L’impalcato tipo è realizzato con un solaio latero-cementizio costituito da nervature in calcestruzzo armato, con interposti blocchi forati di alleggerimento in laterizio non collaborante, e completato con una sovrastante soletta collaborante, anch’essa in calcestruzzo armato. Il solaio è ordito trasversalmente al lato maggiore dell’edificio ed è sostenuto da tre travate longitudinali, una di spina (per la quale verranno esaminate nei calcoli sia una soluzione fuori spessore sia una in spessore di solaio) e due di bordo realizzate in spessore di solaio, così come le travi perimetrali, parallele al solaio stesso e realizzate alle due estremità laterali al fine di sostenere il peso delle chiusure verticali ivi localizzate, nonché a presidio degli sforzi derivanti dai momenti trasversali nel solaio, non esplicitamente tenuti in conto nel calcolo. Sono altresì previste nervature rompitratta che collegano i vari travetti del solaio in modo da ripartire adeguatamente fra di essi gli effetti di eventuali carichi concentrati. Per la copertura, prevista non praticabile, si ipotizza una struttura di tavelle e muricci, direttamente posata sull’ultimo impalcato piano, a formare le due falde inclinate, e completata con un manto superiore in tegole. Le travi, sia quelle di bordo sia quella di spina, poggiano sulle corrispondenti file di pilastri, a formare con questi ultimi ossature portanti a telaio a sostegno dei carichi gravitazionali provenienti dai solai ovvero gravanti direttamente sulle travi. La trave di spina e la trave di bordo della facciata “interna” poggiano, oltre che sulle corrispondenti file di pilastri, anche sui muri del vano scale/ascensore, che le divide in due tronconi. Il progetto è stato sviluppato con riferimento a due soluzioni realizzative per la trave di spina, sia sporgente rispetto all’estradosso del solaio sia in spessore di solaio. I muri in calcestruzzo armato del vano scale/ascensore costituiscono una struttura scatolare di elevata rigidezza alla quale viene riservata la funzione di nucleo di controvento a sostegno delle azioni orizzontali previste sull’edificio.

Le fondazioni sono previste del tipo diretto e consistono in un muro di fondazione controterra lungo tutto il perimetro dell’edificio, una platea al di sotto del vano scale e plinti isolati al di sotto dei pilastri interni. Viene proposto, nello sviluppo del presente esempio, il calcolo di un elemento di fondazione isolato, con il precipuo ed unico scopo di fornire un’indicazione metodologica operativa, rinunciando ad una completezza di trattazione che avrebbe di necessità coinvolto tematiche quali il comportamento meccanico dei terreni, l’interazione terreno-struttura, la tecnica delle fondazioni etc., che pure costituiscono quotidiano banco di prova per il progettista strutturale.

Caratteristiche dei materiali • Calcestruzzo classe C25/30

Resistenza caratteristica a compressione su cubi: 2

30mm

NRck =

Resistenza caratteristica a compressione: ckck Rmm

Nf 83,025

2==

Resistenza di calcolo a compressione: 2

2,145,1

2585,0

mm

Nff

c

ckcccd ===

γα

Tensione ammissibile nel calcestruzzo sotto combinazione dei carichi rara: 2

156,0mm

Nf ckcadm ==σ

Tensione ammissibile nel calcestruzzo sotto combinazione dei carichi quasi permanente:

225,1145,0

mm

Nf ckcadm ==σ

Resistenza media a trazione: ( )2

3/2 6,23,0mm

Nff ckctm ==

Resistenza caratteristica a trazione: 2

8,17,0mm

Nff ctmctk ==

Resistenza a trazione di progetto: 22,15,18,1

0,1mm

Nff

c

ctkctctd ===

γα

Modulo elastico secante: 2

3,0

3100010

822

mm

NfE ck

c ≅

+=

• Acciaio tipo B450C

Tensione caratteristica di snervamento: 2450

mm

Nf yk ≥

Tensione di snervamento di progetto: 2391

15,1450

mm

Nff

s

ykyd ≅==

γ

Modulo elastico: 2200000

mm

NEs ≅

PARTE SECONDA – AZIONI SULLA STRUTTURA Combinazioni delle azioni Ai fini delle verifiche degli stati limite si definiscono le seguenti combinazioni delle azioni. Combinazione fondamentale, generalmente impiegata per gli stati limite ultimi (SLU):

...30332022112211 +⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ KQKQKQPGG QQQPGG ψγψγγγγγ

Combinazione caratteristica (rara), generalmente impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE) irreversibili, da utilizzarsi nelle verifiche alle tensioni ammissibili:

...303202121 +⋅+⋅++++ KKK QQQPGG ψψ

Combinazione frequente, generalmente impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE) reversibili:

...32322211121 +⋅+⋅+⋅+++ KKK QQQPGG ψψψ

Combinazione quasi permanente (SLE), generalmente impiegata per gli effetti a lungo termine:

...32322212121 +⋅+⋅+⋅+++ KKK QQQPGG ψψψ

Combinazione sismica, impiegata per gli stati limite ultimi e di esercizio connessi all’azione sismica E:

...22212121 +⋅+⋅++++ KK QQPGGE ψψ

Combinazione eccezionale, per gli stati limite ultimi connessi alle azioni eccezionali di progetto dA :

...22212121 +⋅+⋅++++ KKd QQAPGG ψψ

Nelle combinazioni per SLE, si intende che vengono omessi i carichi kjQ che danno un contributo favorevole

ai fini delle verifiche e, se del caso, i carichi 2G . Analisi dei carichi – Carichi permanenti Pesi propri degli elementi strutturali e non strutturali Si farà riferimento ai carichi per metro quadrato di impalcato di un piano tipo.

Chiusure verticali: si prevede una soluzione tradizionale in doppio tavolato

strato spessore peso

unitario peso

Intonaco esterno

0,03 m 203m

kN 0,6 2m

kN

Muratura esterna

0,12 m 163m

kN 1,92 2m

kN

Intonaco rustico

0,02 m 203m

kN 0,4 2m

kN

Strato isolante

0,03 m 13m

kN 0,03 2m

kN

Muratura esterna

0,06 m 113m

kN 0,66 2m

kN

Intonaco interno

0,02 m 203m

kN 0,4 2m

kN

4,01 2m

kN

DM 14 gennaio 2008

Per un interpiano netto pari a (3,06-0,24)m = 2,82 m (o,24 m = spessore del solaio) si ha:

m

kNm

m

kN31,1182,201,4

2=⋅

Ipotizzando, forfettariamente, una incidenza delle aperture pari al 20%:

m

kN

m

kN

m

kN05,926,231,11 =− , che è il peso totale per metro lineare di parete.

n.b. il peso delle chiusure esterne grava solo e direttamente sulle travi di bordo e sui cordoli perimetrali e non viene ripartito sui solai

Partizioni verticali interne: si prevede quale soluzione un tavolato semplice

strato spessore peso

unitario peso

Intonaco civile

0.02 m 203m

kN 0,4 2m

kN

Muratura in forati

0,08 m 113m

kN 0,88 2m

kN

Intonaco civile

0,02 m 203m

kN 0,4 2m

kN

1,68 2m

kN

Il peso per metro lineare delle partizioni verticali interne, considerata una altezza netta di interpiano pari a 2,82 m, risulta dunque pari a:

m

kN

m

kNm 74,468,182,2

2=⋅

Elementi divisori interni

Per gli orizzontamenti degli edifici per abitazioni e uffici, il peso proprio di elementi divisori interni potrà

essere ragguagliato ad un carico permanente portato uniformemente distribuito kg2 , purché vengano

adottate le misure costruttive atte ad assicurare una adeguata ripartizione del carico. Il carico uniformemente

distribuito kg2 ora definito dipende dal peso proprio per unità di lunghezza kG2 delle partizioni nel modo

seguente:

per elementi divisori con mkNG /00,12 ≤ : 22 /40,0 mkNg =

per elementi divisori con mkNG /00,200,1 2 ≤< : 22 /80,0 mkNg =




Elementi divisori interni con peso proprio maggiore devono essere considerati in fase di progettazione, tenendo conto del loro effettivo posizionamento sul solaio.

DM 14 gennaio 2008 È opportuno precisare come tale ”carico ragguagliato” venga considerato nella EN 1991-1-1 un carico

variabile con coefficienti parziali 5,1=Qγ (= 0 se a favore di sicurezza) nelle combinazioni dei carichi allo

stato limite ultimo e con coefficienti 0,1210 === ψψψ nelle combinazioni proprie degli stati limite di

esercizio. Secondo l’approccio delle NTC il peso degli elementi divisori interni è considerato un carico

permanente portato, al quale peraltro competono coefficienti parziali 5,12 =Gγ (= 0 se a favore di sicurezza)

uguali a quelli dati per i carichi variabili, rendendo l’applicazione della norma sostanzialmente coerente con gli Eurocodici.

Solaio piano tipo La struttura del solaio è costituita da nervature in calcestruzzo armato, dello spessore di 100 mm ed alte 200 mm, realizzate ad un interasse i pari a 500 mm e con interposti laterizi di alleggerimento (non collaboranti), il tutto completato da una soletta collaborante in calcestruzzo armato gettata in opera dello spessore di 40 mm. Si prevedono altresì le opere di finitura quali illustrate nello schema qui appresso riportato:

strato spessore interasse peso

unitario peso

soletta collaborante in c.a.

0,04 m = 253m

kN 2

00,1m

kN

nervature in c.a. 0,2 m 0,5 m 253m

kN 200,1

5,01,0

252,0m

kN=⋅⋅

laterizi di alleggerimento

0,2 m 0,5 m 113m

kN 276,1

5,04,0

112,0m

kN=⋅⋅

2

76,3m

kN

Per valutare l’incidenza dei cordoli si procede nel modo seguente:

peso solettone pieno in c.a. spessore 240 mm: 2300,62524,0

m

kN

m

kNm =⋅

da detrarre il peso del solaio latero-cementizio

276,3

m

kN: ( )

2224,276,300,6

m

kN

m

kN =− .

I cordoli incidono per una larghezza complessiva di 2,4 m (0,5 m ciascuna delle due travi di bordo, 1,2 m la trave di spina, 0,1 m ognuno dei due travetti rompitratta) sulla larghezza complessiva di 11,7 m

dell’impalcato. Pertanto 22 46,07,114,2

24,2m

kN

m

m

m

kN =⋅ .

strato spessore peso unitario peso

solaio latero-cementizio 0,24 m 3,76 2m

kN

incidenza cordoli 0,46 2m

kN

Peso proprio solaio piano tipo

(carico permanente strutturale 2G ) 4,22 2m

kN

A ciò si aggiungano i carichi permanenti portati dovuti alle opere di finitura: con riferimento alla tipica soluzione costruttiva ipotizzata essi possono considerarsi come compiutamente definiti e dunque, ai fini dell’analisi strutturale di cui ai capitoli successivi, equipararsi ai carichi permanenti strutturali:

strato spessore peso unitario peso

peso proprio strutturale solaio piano tipo 4,22 2m

kN

pavimento in piastrelle 0,02 m 203m

kN 0,40 2m

kN

sottofondo in cls magro 0,06 m 203m

kN 1,20 2m

kN

intonaco civile 0,02 m 203m

kN 0,40 2m

kN

carichi permanenti “strutturali” solaio piano tipo 6,22 2m

kN

Tabella 2.6.I – Coefficienti parziali per le azioni o per l’effetto delle azioni nelle verifiche SLU

Coefficiente Fγ EQU A1

STR A2

GEO

carichi permanenti favorevoli sfavorevoli 1Gγ 0,9

1,1 1,0 1,3

1,0 1,0

carichi permanenti non strutturali*

favorevoli sfavorevoli 2Gγ 0,0

1,5 0,0 1,5

0,0 1,3

carichi variabili favorevoli sfavorevoli 1Qγ 0,0

1,5 0,0 1,5

0,0 1,3

*Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es. carichi permanenti portati) siano compiutamente definiti si potranno adottare per essi gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti.

Solaio di copertura Il peso dovuto alla struttura in muricci e tavelle della copertura, potendo considerarsi compiutamente definito e sostanzialmente non soggetto a modifiche nel corso della vita utile della costruzione, verrà considerato alla stregua di un carico permanente, ciò essendo lecito secondo quanto specificato nella Appendice Nazionale alla EN 1990, conformemente ripreso nelle Norme Tecniche sulle Costruzioni. Si ipotizza una pendenza della copertura del 35%, corrispondente ad una inclinazione sull’orizzontale pari ad α=20°.

strato Spessore peso unitario peso

solaio latero-cementizio 0,24 m 4,22 2m

kN

intonaco 0,02 m 203m

kN 0,40 2m

kN

isolante 0,03 m 13m

kN 0,03 2m

kN

muricci ripartiti 1,23 2m

kN

tavelloni 1/cos 20° 0,40 2m

kN 0,43 2m

kN

cappa calcestruzzo 0,03 m/cos 20° 253m

kN 0,80 2m

kN

tegole marsigliesi 1/cos 20° 0,50 2m

kN 0,53 2m

kN

Totale carichi permanenti impalcato solaio copertura 7,64 2m

kN

Il peso dei muricci ripartiti è stato valutato nel modo seguente. I muricci sono realizzati in mattoni semipieni dello spessore di 12 cm con un indice di vuoti pari a 0,75; tenendo conto che la copertura è a due falde (ciascuna su luce, in pianta, pari a 5,7 m) e per una pendenza della falda del 35%, i muricci avranno

un’altezza media pari a: mmhm 00,12/7,535,0 ≅⋅= , cui corrisponde, sempre in media, un peso proprio

per metro lineare di muriccio pari a m

kN

m

kNmm 17,175,013112,0

3=⋅⋅⋅ .

Ipotizzando i muricci disposti ad un interasse pari a mm 95,020cos1 =°⋅ , per un metro quadrato di

impalcato il peso dei muricci ripartiti sarà dato da 223,1

95,017,1

m

kN=

.

Tabella 3.1.II – Valori dei carichi d’esercizio per le diverse categorie di edifici

Cat. Ambienti kq

2m

kN kQ [ ]kN kH

m

kN

A

Ambienti ad uso residenziale. Sono compresi in questa categoria i locali di abitazione e relativi servizi, gli alberghi (ad esclusione delle aree suscettibili di affollamento)

2,00 2,00 1,00

B Uffici. Cat. B1 Uffici non aperti al pubblico Cat. B2 Uffici aperti al pubblico

2,00 3,00

2,00 2,00

1,00 1,00

C

Ambienti suscettibili di affollamento. Cat. C1 Ospedali, ristoranti, caffè, banche, scuole Cat. C2 Balconi, ballatoi e scale comuni, sale convegni, cinema, teatri, chiese, tribune con posti fissi Cat. C3 Ambienti privi di ostacoli per il libero movimento delle persone, quali musei, sale per esposizioni, stazioni ferroviarie, sale da ballo, palestre, tribune libere, edifici per eventi pubblici, sale da concerto, palazzetti per lo sport e relative tribune

3,00 4,00

5,00

2,00 4,00

5,00

1,00 2,00

3,00

D

Ambienti ad uso commerciale. Cat. D1 Negozi Cat. D2 Centri commerciali, mercati, grandi magazzini, librerie…

4,00 5,00

4,00 5,00

2,00 2,00

Analisi dei carichi – Carichi variabili I valori dei carichi variabili sono stati determinati con riferimento ad una vita nominale della costruzione pari a 50 anni, conformemente a quanto indicato in Prospetto 2.1-EN1990 quale modificato dalla relativa Appendice Nazionale e nella Tabella 2.4.1-NTC.

Carichi variabili di esercizio

Sovraccarico su solai per edifici con destinazione residenziale: 200,2

m

kN.

Azione della neve

Si è fatto riferimento al NTC ed alle relative indicazioni contenute nella Circolare esplicativa. Il carico da neve sulla copertura risulta dato da:

tEskis CCqq ⋅⋅⋅= µ

iµ coefficiente di forma

skq valore caratteristico del carico di neve al suolo

EC coefficiente di esposizione

tC coefficiente termico

VALORE CARATTERISTICO DEL CARICO DI NEVE AL SUOLO

Zona I – Mediterranea Alessandria, Ancona, Asti, Bologna, Cremona, Forlì-Cesena, Lodi, Milano, Modena, Novara, Parma, Pavia, Pesaro e Urbino, Piacenza, Ravenna, Reggio Emilia, Rimini, Treviso, Varese:

mam

kNq ssk 20050,1

2≤=

mam

kNaq s

ssk 200

602135,1

2

2

>

+=

COEFFICIENTE DI ESPOSIZIONE

Tabella 3.4.I – Valori di EC per diverse classi di topografia

Topografia Descrizione EC

Battuta dai venti Aree pianeggianti non ostruite esposte su tutti i lati, senza costruzioni o alberi più alti. 0,9

Normale Aree in cui non è presente una significativa rimozione di neve sulla costruzione prodotta dal vento, a causa del terreno, altre costruzioni o alberi. 1,0

Riparata Aree in cui la costruzione considerata è sensibilmente più bassa del circostante terreno o circondata da costruzioni o alberi più alti. 1,1

COEFFICIENTE DI FORMA

Tabella 3.4.II – Valori del coefficiente di forma

Coefficiente di forma °≤≤° 300 α °<<° 6030 α °≥ 60α

1µ 8,0 ( )

3060

8,0α−

0,0

Riassumendo:

8,01 =µ per copertura piana o con inclinazione di falda inferiore a 30° sull’orizzontale

0,1=EC per topografia normale

tC funzione della termotrasmittanza della copertura, utilizzato per valutare la diminuzione del carico della

neve sulle coperture dotate di una elevata trasmittanza termica (> 1 KmW 2/ ). Si assume 0,1=tC , in

assenza di valutazioni specifiche.

25,1

m

kNqsk = è il valore caratteristico del carico di neve al suolo per la provincia di Milano e per altitudini sul

livello del mare inferiori a 200 m. la Appendice Nazionale, così come le NTC, precisa tale valore riferirsi ad un periodo di ritorno pari a 50 anni, e dunque in accordo con le assunzioni circa la vita utile di progetto della struttura.

222,15,18,0

m

kN

m

kNs =⋅=

In base alle prescrizioni della citata EN 1991-1-3 sono da prendere in considerazione le distribuzioni del carico di neve in copertura quali riportate nella figura 3.4.3. Nei capitoli che seguono si farà riferimento alla distribuzione indicata in figura come Caso I, per la valutazione delle azioni trasmesse dalla copertura ai pilastri, le altre due distribuzioni rimanendo comunque significative per le verifiche “locali” relative all’impalcato di copertura, ovvero per le verifiche relative ai casi di carico da neve con vento (non esplicitate in questo “macroesempio”).

Azione del vento Si è fatto riferimento al NTC ed alle relative indicazioni contenute nella Circolare esplicativa (si veda anche EN 1991-1-4 e relativa Appendice Nazionale). La valutazione della azione del vento viene esperita in base alla seguente procedura:

si valuta dapprima il valore di riferimento della velocità del vento, bv , definito come il valore caratteristico

della velocità del vento, mediata su un intervallo di 10 minuti, e misurata a 10 m dal suolo in aperta campagna su terreno di II categoria (terreno con vegetazione bassa, tipo erba, ed ostacoli isolati, con distanza

reciproca pari ad almeno 20 volte l’altezza dell’ostacolo stesso), indipendentemente dalla sua direzione e da fattori climatici stagionali. La determinazione di tale valore è ovviamente demandata al legislatore nazionale, al quale viene pure data facoltà di indicare una opportuna procedura per tener conto della variabilità della

velocità di riferimento del vento con l’altitudine sa del sito. L’Appendice Nazionale alla EN 1991-1-4 fornisce

in merito tali indicazioni:

0,bb vv = per 0aas ≤

( )00, aakvv sabb −+= per maa s 15000 ≤<

Per altitudini superiori a 1500 m sul livello del mare potendosi fare riferimento alle condizioni locali di clima e di esposizione, utilizzando comunque valori della velocità di riferimento non inferiori a quelli previsti alla quota di 1500 m.

I valori di 0,bv , ak e 0a sono dati in funzione della posizione geografica del sito, in base ad una suddivisione

del territorio nazionale (macrozonazione) in 9 zone. Per il territorio del comune di Milano, essendo

maas 10000 =< , è: smvv bb /250, == .

Tale valore, conformemente alle indicazioni della EN 1990 e della EN 1991-1-4, è riferito ad una probabilità annua di superamento del 2% e dunque ad un periodo di ritorno di 50 anni, in accordo con le assunzioni sulla vita di riferimento della struttura.

Si valuta quindi il valore della pressione cinetica di riferimento bq (in 2/ mN ):

2

21

bb vq ρ=

dove 3/25,1 mkg=ρ è il valore convenzionalmente assunto per la densità dell’aria. Si valuta quindi la pressione del vento attraverso la relazione:

dpeb cccqp =

dove:

ec è il coefficiente di esposizione

pc è il coefficiente di pressione, funzione della tipologia e della geometria della costruzione e del suo

orientamento rispetto alla direzione del vento

dc è il coefficiente dinamico con cui si tiene conto degli effetti riduttivi associati alla non contemporaneità

delle massime pressioni locali e degli effetti amplificativi dovuti alle vibrazioni strutturali. Esso verrà assunto pari ad 1, come consentito nelle NTC per edifici di forma regolare con altezza inferiore a 80 m. Il coefficiente di esposizione viene valutato mediante la seguente relazione:

( ) ( ) ( )[ ] min002 /ln7/ln zzperzzczzckzcc ttree ≥+==

( ) ( ) minmin zzperzczc ee <=

dove rk , 0z , minz sono definiti in Tabella 3.3.II NTC in funzione della categoria di esposizione del sito ove

sorge la costruzione e tc è il coefficiente di topografia assunto unitario conformemente alle prescrizioni

contenute nelle NTC.

Per una classe di rugosità del terreno A (aree urbane con almeno il 15% della superficie coperto da edifici con altezza media superiore a 15 m), in zona 1 ed a più di 30 km dalla costa, per un’altitudine inferiore a 500 m sul livello del mare, la categoria di esposizione del sito è la V, cui corrispondono i seguenti valori dei parametri sopra indicati:

mzmzkr 127,023,0 min0 ===

È pertanto:

( ) ( ) ( ) 76,148,148,1min === eee chczc

Per la valutazione del coefficiente di pressione, in assenza di valutazioni precise suffragate da opportuna documentazione ovvero da prove condotte in galleria del vento, si sono seguite le indicazioni contenute nella Circolare esplicativa alle NTC.

AZIONE DEL VENTO (UNIN1991-1-4_2005_EIT_1400_611) Per la verifica degli elementi verticali in cemento armato è stata valutata la forza cinetica del vento. L’azione del vento deve essere considerata, nella condizione più sfavorevole, agente in direzione orizzontale, alternativamente, secondo gli assi principali della struttura. Chiamando x e y gli assi principali locali di un edificio tipo a pianta rettangolare di lati b e d e altezza h, si considera ad esempio che il vento agisca secondo l’asse delle y.

La parete b dell’edificio in questione è investita dal vento e su questa il vento stesso è rallentato creando una sovrappressione; contemporaneamente viene deviato ed accelerato dalle pareti laterali e dal tetto, generando sacche di vuoto che esercitano sulle pareti sottovento delle depressioni. La sovrappressione sulle facciate tende ad essere massima nella zona centrale e a diminuire verso i margini; le depressioni invece sono maggiori in corrispondenza degli spigoli e lungo i bordi delle pareti. Per lo studio di questi fenomeni, seguiamo le prescrizioni dell’Eurocodice 1, che individua zone delle pareti di un edificio con diverso coefficiente aerodinamico. In questo studio l’edificio ha pianta rettangolare di dimensioni 24,4 m x 11,7 m e altezza pari a 18,30 m. Nel caso di strutture o elementi di grande estensione, si deve tener conto dell’azione tangenziale esercitata dal vento che dipende, in modo significativo, dalla scabrezza superficiale del rivestimento; per rivestimenti lisci la forza tangenziale è trascurabile perché di bassa intensità avendo il coefficiente di attrito pari a 0,01. L’azione del vento sul singolo elemento è determinata considerando la combinazione più gravosa della pressione agente sulla sua superficie.

Coefficienti di pressione esterna ecp

Nell’Eurocodice 1 i coefficienti di pressione esterna ecp per edifici e singole parti di edifici dipendono dalla

misura dell’aria caricata A, che è l’area della struttura che produce l’azione del vento nella sezione da calcolare.

Per 21mA = 1,ee cpcp =

Per 210mA = 10,ee cpcp =

Per 22 101 mAm << ( ) Acpcpcpcp eeee 1010,1,1, log−+=

Nel nostro caso, 210mA = . Valori del coefficiente di pressione esterna per pareti verticali di edifici a pianta rettangolare L’edificio in questione misura in pianta 24,4 m x 11,7 m; l’altezza totale è pari a 18,30 m. Il vento si considera agente in direzione orizzontale, di regola secondo uno degli assi principali della struttura. Si ipotizza dapprima che la direzione del vento risulti ortogonale al lato di 11,7 m. Successivamente sarà fatta l’ipotesi che la direzione del vento sia ortogonale al lato di 24,4 m. Nelle prescrizioni dell’Eurocodice 1, il lato ortogonale alla direzione del vento è indicato con la lettera b, quello parallelo con la lettera d. 1° CASO: b=11,7 m d=24,4 m h=18,3 m

Valutazione dell’altezza di riferimento ez :

l’altezza di riferimento dipende dal rapporto h/b; avremo i seguenti casi: Edifici la cui altezza h è minore di b, devono essere considerati come una sola parte Edifici la cui altezza h è maggiore di b ma minore di 2b, devono essere considerati suddivisi in due

parti comprendenti una parte bassa che si estende dal suolo verso l’alto fino ad un’altezza pari a b, ed una parte superiore

Edifici la cui altezza h è maggiore di 2b, che devono essere considerati suddivisi in più parti comprendenti una parte bassa che si estende verso l’alto dal suolo sino ad un’altezza pari a b e una parte superiore che si estende verso il basso dalla cima dell’edificio fino ad un’altezza pari a b, una

regione intermedia, compresa fra la parte bassa e la parte alta, divisa a piacere in più strisce orizzontali con un’altezza massima pari a b.

In questo caso l’altezza h pari a 18,30 m è minore di 2b (23,4 m).

Coefficienti della pressione esterna per muri verticali di edifici con pianta rettangolare. Zona A B C D E

h/d 10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp

5 -1,2 -1,4 -0,8 -1,1 -0,5 +0,8 +1,0 -0,7 1 -1,2 -1,4 -0,8 -1,1 -0,5 +0,8 +1,0 -0,5

≤0,25 -1,2 -1,4 -0,8 -1,1 -0,5 +0,7 +1,0 -0,3 In questo caso il rapporto h/d è pari a circa 0,74:

A B C D E

10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp h/d=0,74

-1,2 -1,4 -0,8 -1,1 -0,5 +0,8 +1,0 -0,43

Secondo la normativa: e=b o 2h a seconda di quale sia il più piccolo. Nel nostro caso e=b=11,7 m.

Vento in direzione x (parallelo al lato lungo dell’edificio) Trattandosi di una costruzione la cui altezza (18,3 m) è maggiore della dimensione in pianta in direzione ortogonale a quella del vento (11,7 m) ma inferiore al doppio di tale dimensione, si assume sulla parete sopravvento della costruzione un profilo di pressioni così definito: un primo tratto uniforme, con valore calcolato assumendo quale altezza di riferimento una quota pari alla dimensione in pianta in direzione

ortogonale al vento ( mbze 12== ); un secondo tratto, anch’esso uniforme, con valore calcolato assumendo

quale altezza di riferimento la massima altezza della costruzione stessa ( mhze 18== ). Per la parete

sottovento e per quelle parallele alla direzione del vento si assumerà un profilo di pressioni uniformi, il cui valore si calcola assumendo quale altezza di riferimento l’altezza massima della costruzione. Il dettaglio del calcolo della pressione cinetica sulla parete direttamente investita dal vento alle sopracitate quote è sintetizzato nella seguente tabella.

( )mz ( )zce ( )2/ mNqb ( )2/ mNp

12 1,48 390,625 462,5 18 1,76 390,625 550

Per quanto attiene ai coefficienti di pressione, si ha (Tabella 3.3.IV NTC e Prospetto 7.1 EN 1991-1-4):

per la parete sopravvento, ossia quella direttamente investita dal vento, è 8,0=ecp ;

per la parete sottovento è invece 43,0−≅ecp , come si ottiene dalle tabelle per un valore del

rapporto 74,04,24/18/ ≅=dh , dove d è la dimensione in pianta in direzione parallela al vento.

Si tralascia, per brevità, il dettaglio della valutazione dei coefficienti di pressione relativi alla copertura, le azioni del vento sulla stessa avendo significato ai fini delle sole verifiche locali, omesse in questo esempio. L’azione del vento sulla costruzione risulta dunque quale schematizzata nella seguente figura.

Le azioni orizzontali da applicarsi a livello dei singoli impalcati per la verifica della struttura di controvento, quali dovute alle pressioni sulle superfici verticali di chiusura dell’edificio, sono qui appresso calcolate:

impalcato di copertura: (550+295,6) (11,7·1,6/2+11,7·1,53) = 23,0 kN impalcato 4° piano: (550+295,6)·11,7·2,87+(462,5+295,6)·11,7·0,19 = 30,1 kN impalcato 3° piano: (462,5+295,6)·11,7·3,06 = 27,1 kN impalcato 2° e 1° piano: (462,5+295,6)·11,7·3,06 = 27,1 kN impalcato piano rialzato: (462,5+295,6)·11,7·(1,53+0,55) = 18,4 kN

2° CASO: b=24,4 m d=11,7 m h=18,3 m

Valutazione dell’altezza di riferimento ez :

l’altezza di riferimento dipende dal rapporto h/b; nel nostro caso l’altezza h pari a 18,3 m è inferiore a b che risulta essere pari a 24,4 m.

Coefficienti della pressione esterna per muri verticali di edifici con pianta rettangolare per il 2° caso, con rapporto h/d pari a 1,54:

A B D E

10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp 10,ecp 1,ecp h/d=1,54

-1,2 -1,4 -0,8 -1,1 +0,8 +1,0 -0,525

Vento in direzione y (parallelo al lato corto dell’edificio) Essendo in questo caso l’altezza della costruzione (18,3 m) inferiore alla dimensione in pianta in direzione ortogonale al vento (24,4 m), si applicherà tanto sulla parete sopravvento quanto su quella sottovento una distribuzione uniforme di pressioni il cui valore viene calcolato assumendo quale altezza di riferimento l’altezza massima della costruzione (trascurando, per quanto detto in precedenza, gli effetti locali di depressione sulle pareti parallele al vento e quelli di pressione e depressione sulla copertura). Per quanto attiene ai coefficienti di pressione, si ha (Tabella 3.3.IV NTC e Prospetto 7.1 EN 1991-1-4):

per la parete sopravvento, ossia quella direttamente investita dal vento, è 8,0=ecp ;

per la parete sottovento è invece 525,0−≅ecp , come si ottiene dalle tabelle per un valore del

rapporto 54,17,11/18/ ≅=dh , dove d è la dimensione in pianta in direzione parallela al vento. Le azioni del vento risultano dunque dalle pressioni e depressioni applicate sulla proiezione verticale della sagoma dell’edificio come indicato nella figura.

Le forze ai singoli piani di impalcato sono qui di seguito calcolate:

impalcato di copertura: (550+360,9)·24,4·(1,53+1,6) = 69,6 kN impalcato 4°, 3°, 2° e 1° piano: (550+360,9)·24,4·3,06 = 68,0 kN impalcato piano rialzato: (550+360,9)·24,4·(1,53+0,55) = 46,2 kN

PARTE TERZA – CALCOLO DEI SOLAI Il solaio è ordito parallelamente al lato minore dell’edificio, su due campate di eguale luce pari a

mll dxsx 7,5== ed è costituito da nervature in calcestruzzo armato gettato in opera, con interposti blocchi

di alleggerimento in laterizio non collaborante, completato da una soletta in calcestruzzo armato pure gettata in opera. Il calcolo verrà effettuato con riferimento al solaio di un piano tipo, considerando una striscia di solaio di lunghezza pari a 1 m; i carichi agenti su tale striscia di solaio risultano pertanto essere i seguenti:

Carichi permanenti strutturali (e ad essi equiparati): peso proprio del solaio e peso proprio delle

finiture mkNG /22,61 =

Carichi permanenti portati: partizioni interne mkNG /00,22 =

Carichi variabili: sovraccarico di esercizio mkNQk /00,21 =

Analisi delle sollecitazioni Viene condotta secondo il metodo dell’analisi lineare elastica con riferimento alle combinazioni delle azioni per gli stati limite ultimi, così definita:

112211 kQGG QGG γγγ ++

dove i coefficienti parziali delle azioni assumono i seguenti valori: per i carichi permanenti relativi al peso proprio strutturale

3.11 =Gγ se a sfavore di sicurezza

0.11 =Gγ se a favore di sicurezza

per i carichi permanenti portati

5.12 =Gγ se a sfavore di sicurezza

02 =Gγ se a favore di sicurezza

per i carichi variabili

5.11 =Qγ se a sfavore di sicurezza

01 =Qγ se a favore di sicurezza

Successivamente si considerano le seguenti combinazioni di carico.

Combinazione 1SLU (massimo momento all’appoggio di continuità):

carico permanente 1G a sfavore di sicurezza su entrambe le campate 3.11 =Gγ

carichi permanenti portati 2G a sfavore di sicurezza su entrambe le campate 5.12 =Gγ

carichi variabili 1kQ a sfavore di sicurezza su entrambe le campate 5.11 =Qγ

Si risolve la struttura con il metodo delle forze:

equazione di congruenza: 01011 =+ ϕϕ X

EJEJEJ

l

EJ

l dxsx 8,3

3

4,11

3311 ==+=ϕ (con mlll dxsx 7,5=== luce della campata)

[ ] [ ]EJ

QGG

EJ

llQGG QGGdxsx

QGG112211

33

11221110

43,15

24

γγγγγγϕ

++=

+++=

[ ] [ ] kNmQGGl

QGGX QGGQGG 2,5706,48 112211

2

11221111

10 −=++−≅++−=−= γγγγγγϕϕ

Le reazioni vincolari valgono:

[ ] [ ] kNQGGl

XlQGGRR QGGQGGCA 1,3014,2

2 112211112211 =++=−++== γγγγγγ

[ ] [ ] kNQGGl

XlQGGR QGGQGGB 3,10012,72 112211112211 =++=+++= γγγγγγ

Si ricavano le espressioni analitiche dei diagrammi del momento flettente e del taglio:

campata sinistra (x positivo verso destra a partire dall’estremo A)

( ) [ ] [ ] 22112211112211 0,71,305,014,2 xxxQGGxQGGxM QGGQGG −=++−++= γγγγγγ

( ) [ ] [ ] xxQGGQGGxV QGGQGG 1,141,3014,2 112211112211 −=++−++= γγγγγγ

campata destra (simmetrico rispetto alla precedente)

Si calcola la posizione della sezione di massimo momento in campata:

[ ] mQGG

Rx

QGG

AM 14,2

112211max =

++=

γγγ

e quindi il valore del massimo momento:

[ ] kNmxQGGxRM MQGGMA 2,325,0 2max112211maxmax =++−= γγγ

Combinazione 2SLU (massimo momento in campata sinistra):

carico permanente strutturale 1G a sfavore di sicurezza su entrambe le campate 3.11 =Gγ

conformemente alle prescrizioni in Nota 3 – Prospetto A1.2(B) EN1990, così come confermata dalle decisioni nella relativa Appendice Nazionale, si adotta, per il carico permanente strutturale, un unico

valore del coefficiente 1Gγ , tanto per la campata di sinistra quanto per la campata di destra, trattandosi

di azione originata dalla medesima fonte o risultando l’effetto complessivamente sfavorevole

carichi permanenti portati 2G a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra 5.12 =Gγ

a favore di sicurezza sulla campata destra 02 =Gγ

carichi variabili 1kQ a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra 5.11 =Qγ

a favore di sicurezza sulla campata destra 01 =Qγ

Analogamente al caso precedente si ricavano le espressioni analitiche dei diagrammi del momento flettente e del taglio:


( ) ( ) [ ] 22112211112211 0,72,325,049,214,2 xxxQGGxQGxGxM QGGQGG −=++−++= γγγγγγ

( ) ( ) [ ] xxQGGQGGxV QGGQGG 1,142,3249,214,2 112211112211 −=++−++= γγγγγγ

si calcolano la posizione della sezione di massimo momento in campata ed il valore di tale momento massimo:

mx M 28,2' max =

kNmM 8,36'max =

campata destra (x positivo verso sinistra a partire dall’estremo C)

( ) ( ) 2211112211 0,41,155,036,014,2 xxxGxQGxGxM GQGG −=−++= γγγγ

( ) ( ) ( ) xxGQGGGxV GQGG 1,81,1536,014,2 11112221 −=−+−+= γγγγ

si calcolano la posizione della sezione di massimo momento in campata ed il valore di tale momento massimo:

mx M 86,1'' max =

kNmM 2,14'' max =

Combinazione 3SLU (massimo momento in campata destra):


carichi permanenti portati 2G a sfavore di sicurezza sulla campata destra 5.12 =Gγ

a favore di sicurezza sulla campata sinistra 02 =Gγ

carichi variabili 1kQ a sfavore di sicurezza sulla campata destra 5.11 =Qγ

a favore di sicurezza sulla campata sinistra 01 =Qγ

simmetrica rispetto alla combinazione 2 Per valutare l’entità dei momenti flettenti “negativi” alle estremità dei solai, quali dovuti al parziale grado di incastro fornito dalle travi, ci si può riferire ad uno schema “parziale”, quale quello di figura (4.4)-4, ottenuto tenendo conto del reale andamento del momento flettente lungo i pilastri di un telaio multipiano per effetto dei carichi verticali. In tali schemi statici parziali l’effetto irrigidente dei pilastri viene “spalmato” sul loro

interasse, la rigidezza equivalente attribuita al ritto, pilastroI * , essendo dunque pari alla rigidezza del pilastro

divisa per l’interasse dei pilastri stessi. Con riferimento ad un pilastro di sezione quadrata di lato 300 mm e ad un interasse medio fra i pilastri pari a 3,5 m circa

484 1093,1)5,312/()300(* mmI pilastro ⋅=⋅=

Per il calcolo della rigidezza della sezione corrente del solaio (si trascura la maggior rigidezza dei tratti terminali di solaio a sezione piena) si calcola innanzitutto la posizione del baricentro della sezione di calcestruzzo. Con riferimento alla sezione schematizzata in figura, e calcolando la quota del baricentro rispetto all’estradosso della soletta, è:

mmyG 802001002401000

140200100220401000 =⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅=

Il momento di inerzia della sezione del solaio rispetto al suo asse baricentrico è:

[ ] [ ] 482222 1027,4)60(12/)200(2001002)60(12/)40(401000 mmIsolaio ⋅=+⋅⋅⋅++⋅⋅=

solaiopilastro II 45,0* =

Combinazione 4SLU (valore più sfavorevole del momento negativo in A):




carichi variabili 1kQ a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra 5.11 =Qγ


La struttura viene risolta con il metodo degli spostamenti adottando quali incognite iperstatiche le rotazioni

ai nodi A, B, C rispettivamente 1ϕ , 2ϕ , 3ϕ , come pure indicato nella figura.

Per il sistema di equilibrio quale scritto qui di seguito

=+++=+++=+++

0

0

0

30333232131

20323222121

10313212111

mmmm

mmmm

mmmm

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

( )[ ]

( )

=+

++

=+++

++

=++−+

+

012

3,12/

*32

42

012

5,12442

012

5,13,1*3

2/

32

4

2

132

2

12321

2

12121

dxpilastro

dx

solaio

sx

solaio

sx

dx

solaio

dx

solaio

sx

solaio

sx

solaio

sx

sx

solaiopilastro

sx

solaio

lG

h

EI

l

EI

l

EI

lQG

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

lQGG

l

EI

h

EI

l

EI

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

=++=+++=−+

089,2147,235,0

024,1635,040,135,0

014,3835,047,2

32

321

21

ϕϕϕϕϕ

ϕϕ

solaiosolaio

solaiosolaiosolaio

solaiosolaio

EIEI

EIEIEI

EIEI

la risoluzione risulta la seguente:

solaioEI

kNm2

1 46,17=ϕ solaioEI

kNm2

2 25,14−=ϕ solaioEI

kNm2

3 84,6−=ϕ

cui corrispondono i seguenti valori dei momenti flettenti agli estremi delle campate del solaio (negativi se tendono le fibre superiori):

( )[ ] kNml

EI

l

EIlQGGM

sx

solaio

sx

solaiosxA 9,30

2412

5,13,1 21

2

121 −=++++−= ϕϕ

( )[ ] kNml

EI

l

EIlQGGM

sx

solaio

sx

solaiosxBsx 3,34

4212

5,13,1 21

2

121 −=−−++−= ϕϕ

[ ] kNml

EI

l

EIlGM

dx

solaio

dx

solaiodxBdx 3,34

2412

3,1 32

2

1 −=++−= ϕϕ

[ ] kNml

EI

l

EIlGM

dx

solaio

dx

solaiodxC 1,12

4212

3,1 32

2

1 −=−−−= ϕϕ

Calcolate per equilibrio le reazioni vincolari in A e C (con la convenzione di segno dei momenti prima utilizzata):

( )[ ] kNl

MMlQGGVR

sx

BsxAsxAA 5,39

25,13,1 121 =−−++==

[ ] kNl

MMlGVR

dx

BdxCdxCC 1,19

23,1 1 =−−=−=

si hanno le espressioni analitiche del momento flettente e del taglio:


( ) ( )[ ] 22

121 0,75,399,302

5,13,1 xxx

QGGxRMxM AA −+−=++−+=

( ) ( )[ ] xxQGGRxV A 1,145,395,13,1 121 −=++−=


( ) [ ] 22

1 0,41,191,122

3,1 xxx

GxRMxM CC −+−=−+=

( ) [ ] xxGRxV C 1,81,193,1 1 −=−=

Combinazione 5SLU (valore più sfavorevole del momento negativo in C):


carichi permanenti portati 2G a favore di sicurezza sulla campata sinistra 02 =Gγ

a sfavore di sicurezza sulla campata destra 5.12 =Gγ

carichi variabili 1kQ a favore di sicurezza sulla campata sinistra 01 =Qγ

a sfavore di sicurezza sulla campata destra 5.11 =Qγ

simmetrica rispetto alla combinazione 4 Diagramma inviluppo dei momenti flettenti Dalla analisi delle sollecitazioni condotta precedentemente si ottengono i diagrammi dei momenti flettenti riportati in figura.

Per il dimensionamento delle armature e per le successive verifiche flessionali agli stati limite ultimi, conformemente alle prescrizioni dell’Eurocodice 2, il diagramma inviluppo deve essere traslato, comunque nella direzione più sfavorevole, di una quantità pari, per elementi sprovvisti di armature trasversali, all’altezza utile d=(h-c-φ /2), con h altezza della sezione, c copri ferro e φ diametro delle barre di armatura.

Si riporta in figura il diagramma inviluppo a traslazione eseguita, sul quale si individuano, per ciascuna campata, le seguenti sezioni significative ai fini del progetto delle armature e della successiva verifica:

sezione A (x = 0 – sezione piena) – da combinazione 4 – schema a telaio

kNmM ed 5,33−=

sezione A’ (x = 0,35 m – cambio di sezione da piena a doppio T) da combinazione 4 – schema a telaio

kNmM ed 7,27−=

sezione S (x = 2,28 m – sezione di massimo momento in campata) da combinazione 2 – schema a trave continua

kNmM ed 4,40=

sezione B’ (x = 5,1 m – cambiamento di sezione da doppio T a soletta piena) da combinazione 1 – schema a trave continua

kNmM ed 5,39−=

sezione B (x = 5,7 m – appoggio di continuità, sezione piena) da combinazione 1 – schema a trave continua

kNmM ed 8,58−=

COPRIFERRO PARI A 25 mm Tale valore risulta essere praticamente coincidente con quello raccomandato in Circ. NTC (Tabella C.4.1.IV) per elementi monodimensionali in strutture con vita nominale di 50 anni, condizioni ambientali ordinarie e classe di calcestruzzo C25/30 (c = 25 mm).

d = (h – c – φ /2) = 240-25-14/2 = 208 mm

PARTE QUARTA – CALCOLO DELLE TRAVI Si riporta qui di seguito il calcolo della trave di spina ordita fra il nucleo di controvento ed i pilastri P13 e P14. Il calcolo è stato eseguito con riferimento a due distinte tipologie costruttive: una prima soluzione prevede le trave fuori spessore, con piattabanda in spessore di solaio larga 1200 mm e nervatura d’anima larga 400 mm e sporgente di 300 mm all’intradosso del solaio; la tipologia alternativa considera invece la trave in spessore di solaio e di larghezza pari a 1200 mm. I valori dei carichi permanenti e variabili da considerarsi sulla trave si ottengono dall’analisi strutturale del sovrastante solaio quale valore della reazione vincolare in corrispondenza dell’appoggio di continuità del solaio, dovuta alla combinazione di carico 1. Carichi permanenti:

peso proprio strutturale ed opere di finitura mkNG /3,441 ≅ cui, nel caso di trave fuori spessore, va aggiunto il peso proprio della nervatura della trave sporgente all’intradosso del solaio: 0,3 m x 0,4 m x 25 kN/m³ = 3 kN/m

pertanto per la soluzione con trave fuori spessore di solaio mkNG trave /3,471 =

carichi permanenti portati (peso proprio partizioni interne) mkNG /3,142 ≅ Carichi variabili (ad assetto libero):

sovraccarico di esercizio mkNQ /3,141 ≅ L’analisi delle sollecitazioni verrà condotta con riferimento agli schemi statici delle seguenti figure e per le combinazioni dei carichi relative agli stati limite ultimi.

∑∑ >≥++

1 0111 i kiikQj kjGj QQG ψγγ (Espressione 6.10-EC0)

SOLUZIONE CON TRAVE FUORI SPESSORE Analisi delle sollecitazioni Combinazione 1SLU (massimo momento in continuità)


carichi permanenti portati 2G a sfavore di sicurezza su entrambe le campate 5.12 =Gγ

carichi variabili 1kQ a sfavore di sicurezza su entrambe le campate 5.11 =Qγ



momento di continuità: kNmmMM B 6,271)2,5( −==

momento massimo in campata: [ ] kNmQGGmM QGG 2,230205,2)1,2( 112211 =++= γγγ




momento massimo in campata: [ ] kNmQGGmM QGG 4,3332,0)8,0( 112211 =++= γγγ


Combinazione 2SLU (massimo momento in campata sinistra):




carichi variabili 1Q a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra 5.11 =Qγ




momento massimo in campata: kNmmM 2,239)14,2( =

( ) ( ) [ ] xxQGGQGGxV QGGQGG 4,1045,2232,21,2 112211112211 −=++−++= γγγγγγ


( ) ( ) 2211112211 7,303,215,065,08,0 xxxGxQGxGxM GQGG −=−++= γγγγ


( ) [ ] xxGxQGGxV GQGG 4,613,2165,08,0 11112211 −=−+−= γγγγ

Combinazione 3SLU (massimo momento in campata destra):




carichi variabili 1Q a favore di sicurezza sulla campata sinistra 01 =Qγ



( ) ( ) 2211112211 7,308,1245,01,01,2 xxxGxQGxGxM GQGG −=−+−= γγγγ


( ) ( ) xxGQGGxV GQGG 4,618,1241,01,2 11112211 −=−+−= γγγγ




( ) [ ] [ ] xxQGGxQGGxV QGGQGG 4,1044,11145,18,0 112211112211 −=++−++= γγγγγγ

Per la risoluzione dello schema a telaio di Figura (4.5)-1b è necessario innanzitutto valutare la rigidezza flessionale della trave e del pilastro di bordo P9. Per quest’ultimo, ipotizzando una sezione di larghezza 400 mm (pari alla larghezza della nervatura fuori spessore della trave) ed un’altezza di 300 mm, con riferimento alla sezione di solo calcestruzzo, è:

4843

10912

)300(400mmmmIP ⋅=⋅=

Per la trave, con riferimento alla sezione qui sotto schematizzata:

mmmmyG 2003004002401200

3903004001202401200 ≅⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅=

423

23

19030040012

300400802401200

122401200

mmI t

⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=

PPt IImmI 94,9106,84 48 ⇒≅⋅=

Combinazione 4SLU (momento negativo all’estremo sinistro):




carichi variabili 1Q a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra 5.11 =Qγ


La struttura viene risolta con il metodo degli spostamenti adottando quali incognite iperstatiche le rotazioni ai nodi B e C come indicato in figura. Per il sistema di equilibrio quale scritto qui di seguito:

=++=++

0

0

0

0

CCCCBCB

BCBCBBB

mmm

mmm

ϕϕϕϕ

[ ]

=+

++

=−++++

+

012

3,12/

32

42

012

3,112

5,15,13,1244

2

1

2

1

2

121

dxC

P

dx

tB

dx

t

dxsxC

dx

tB

dx

t

sx

t

lG

h

EI

l

EI

l

EI

lG

lQGG

l

EI

l

EI

l

EI

ϕϕ

ϕϕ

=++=++

047,52685,1625,0

075,182625,002.2

CtBt

CtBt

EIEI

EIEI

ϕϕϕϕ

la soluzione risulta la seguente:

tB EI

kNm232,91−=ϕ t

C EI

kNm273,2=ϕ

cui corrispondono i seguenti valori dei momenti flettenti agli estremi delle campate della trave (negativi se tendono le fibre superiori):

( )[ ] kNml

EIlQGGM B

sx

tsxA 3,270

212

5,13,12

121 −=+++−= ϕ

( )[ ] kNml

EIlQGGM B

sx

tsxBsx 165

412

5,13,12

121 −=−++−= ϕ

[ ] kNml

EI

l

EIlGM C

dx

tB

dx

tdxBdx 165

2412

3,12

1 −=++−= ϕϕ

[ ] kNml

EI

l

EIlGM C

dx

tB

dx

tdxC 2,1

4212

3,12

1 =−−−= ϕϕ

Calcolate per equilibrio le reazioni vincolari in A e in C, con la convenzione di segno dei momenti prima adottata:

( )[ ] kNl

MMlQGGVR

sx

BsxAsxAA 6,291

25,13,1 121 =−−++==

[ ] kNl

MMlGVR

dx

BdxCdxCC 5,46

23,1 1 =−−=−=

si hanno le seguenti espressioni analitiche del momento flettente e del taglio:


( ) ( )[ ] 22

121 2,526,2913,2702

5,13,1 xxx

QGGxRMxM AA −+−=++−+=

( ) ( )[ ] xxQGGRxV A 4,1046,2915,13,1 121 −=++−=


( ) [ ] 22

1 7,305,462,12

3,1 xxx

GxRMxM CC −+=−+=

( ) [ ] xxGRxV C 4,615,463,1 1 −=−=

Combinazione 5SLU (momento negativo all’estremo destro):




carichi variabili 1Q a favore di sicurezza sulla campata sinistra 01 =Qγ


Analogamente a quanto sviluppato in precedenza nel dettaglio con riferimento alla combinazione 4, per la combinazione 5 il sistema di equilibrio risulta modificato nei soli termini noti:

[ ]

[ ]

=+++

++

=++−++

+

012

5,15,13,12/

32

42

012

5,15,13,112

3,1244

2

121

2

121

2

1

dxC

P

dx

tB

dx

t

dxsxC

dx

tB

dx

t

sx

t

lQGG

h

EI

l

EI

l

EI

lQGG

lG

l

EI

l

EI

l

EI

ϕϕ

ϕϕ

=++=++

009,89685,1625,0

047,49625,002.2

CtBt

CtBt

EIEI

EIEI

ϕϕϕϕ

la soluzione risulta la seguente:

tB EI

kNm218,9−=ϕ t

C EI

kNm246,49−=ϕ

cui corrispondono i seguenti valori dei momenti flettenti agli estremi delle campate della trave (negativi se tendono le fibre superiori):

[ ] kNml

EIlGM B

sx

tsxA 1,142

212

3,12

1 −=+−= ϕ

[ ] kNml

EIlGM B

sx

tsxBsx 5,131

412

3,12

1 −=−−= ϕ

( )[ ] kNml

EI

l

EIlQGGM C

dx

tB

dx

tdxBdx 5,131

2412

5,13,12

121 −=++++−= ϕϕ

( )[ ] kNml

EI

l

EIlQGGM C

dx

tB

dx

tdxC 5,21

4212

5,13,12

121 −=−−++−= ϕϕ

Si osserva come tale valore sia, in valore assoluto, inferiore a 0,65 volte il momento di incastro perfetto, secondo quanto raccomandato nell’Eurocodice 2:

( )[ ] kNmkNml

QGG dx 9,571,8965,012

5,13,165,02

121 =⋅=++

Si assumerà pertanto kNmM C 9,57−= . Calcolate quindi per equilibrio le reazioni vincolari in A e in C, con

la convenzione di segno dei momenti prima adottata:

[ ] kNl

MMlGVR

sx

BsxAsxAA 9,161

23,1 1 =−−==

( )[ ] kNl

MMlQGGVR

dx

BdxCdxCC 144

25,13,1 121 =−−++=−=

si hanno le seguenti espressioni analitiche del momento flettente e del taglio:


( ) [ ] 22

1 7,309,1611,1422

3,1 xxx

GxRMxM AA −+−=−+=

( ) [ ] xxGRxV A 4,619,1613,1 1 −=−=


( ) ( )[ ] 22

121 2,521449,572

5,13,1 xxx

QGGxRMxM CC −+−=++−+=

( ) ( )[ ] xxQGGRxV C 4,1041445,13,1 121 −=++−=

Diagramma inviluppo dei momenti flettenti e predimensionamento delle armature Dall’analisi delle sollecitazioni sopra condotta risultano dunque i diagrammi dei momenti flettenti di Figura (4.5)-8. Si individuano sul diagramma inviluppo del momento flettente le sezioni significative ai fini delle verifiche:

Sezione posizione (m) edM (kNm)

A (incastro vano scale) x = 0 -270,3

S (maxM campata sinistra) x = 2,14 239,2

B (continuità) x = 5,2 -271,6

D (maxM campata destra) x = 7,33 59,4

C (innesto pilastro bordo) x = 8,4 -57,9

Il predimensionamento delle armature longitudinali tese della trave, nelle diverse sezioni significative quali individuate al precedente paragrafo, viene esperito utilizzando le medesime equazioni che si utilizzeranno nel seguito per la verifica, nella ipotesi di sezione inflessa con armatura semplice ed utilizzando le seguenti leggi costitutive di progetto:

per il calcestruzzo compresso il blocco uniforme di tensioni (Fig. 3.5-EC2), di valore ηfcd, esteso su una profondità λx, dove con x si è indicata la posizione dell’asse neutro. Per un calcestruzzo di classe C25/30 si assume η = 1,0 e λ = 0,8;

per l’acciaio teso il diagramma elastico-perfettamente plastico (diagramma B di Figura 3.8-EC2), che non richiede quindi il controllo del limite di deformazione dell’acciaio.

Si scrive l’equazione di equilibrio alla rotazione della sezione con il momento sollecitante di calcolo edM ,

assumendo quale polo il baricentro delle armature tese:

edcd Mxdbxf =− )4,0(8,0

dalla quale, noti b, d, fcd (= 14,2 N/mm²), ed edM si ricava la posizione dell’asse neutro x.

Per l’equilibrio alla traslazione, nell’ipotesi di armatura tesa snervata (fyd = 391 N/mm²):

ydscd fAbxf =8,0

da cui si ha yd

cdreqs f

bxfA

8,0, = , con x soluzione dell’equazione precedente.

Tale armatura deve risultare non inferiore alla armatura minima:

dbdbf

fA tt

yk

ctms 0013,026,0min, >=

Dove: tb è la larghezza della zona tesa alla incipiente fessurazione

2/6,2 mmNfctm = è la resistenza media a trazione del calcestruzzo

2/450 mmNf yk =

La valutazione dell’altezza utile d della sezione, da utilizzarsi sia per il predimensionamento delle armature sia per il calcolo dell’armatura minima, richiede, come già visto con riferimento al calcolo del solaio, la determinazione dello spessore del copriferro. Il valore nominale del copriferro viene calcolato in base alla relazione:

devnom ccc ∆+= min

( )mmcccccc adddurstdurdurb 10;;max ,,min,min,min ∆−∆−∆+= γ

per le armature trasversali (staffe)

mmc b 8min, == φ

mmc dur 10min, = [per una classe di esposizione X0 (nessun rischio di corrosione) e per una classe

strutturale S4, essendo previsto l’uso di calcestruzzo classe C25/30]

0=∆ γc

0,, =∆=∆ adddurstdur cc , non essendo previsto l’uso di armature di acciaio inossidabile né l’adozione

di specifiche misure di protezione.

È pertanto: ( ) mmmmmmmmc 1010;10;8maxmin ==

Assumendo inoltre mmcdev 10=∆ , si ha: mmc trasvnom 201010, =+=

per le armature longitudinali mmc b 16min, == φ

mmc dur 10min, = [per una classe di esposizione X0 (nessun rischio di corrosione) e per una classe

strutturale S4, essendo previsto l’uso di calcestruzzo classe C25/30]

0=∆ γc

0,, =∆=∆ adddurstdur cc , non essendo previsto l’uso di armature di acciaio inossidabile né l’adozione

di specifiche misure di protezione.

È pertanto: ( ) mmmmmmmmc 1610;10;16maxmin ==

Assumendo inoltre mmcdev 10=∆ , si ha: mmc longnom 261016, =+=

Tenendo presente che per le armature longitudinali il copriferro include anche il diametro delle staffe risulta essere dominante il valore di copriferro calcolato per le staffe (adottando infatti per le staffe mmc trasvnom 20, = , per le armature longitudinali è mmc longnom 26, = ).

Le indicazioni riportate in Circ.NTC Tabella C.4.1.IV non distinguono fra armature longitudinali e trasversali e prescrivono, per condizioni ambientali ordinarie (comprendenti la classe di esposizione X0) e per il calcestruzzo di classe C25/30, nel caso di elementi monodimensionali in strutture con vita nominale pari a 50 anni, un copriferro minimo pari a 25 mm. Il copriferro calcolato secondo la procedura EC2 sopra illustrata soddisfa tale limite per quanto riguarda le armature longitudinali ma non per le armature trasversali. Adottando dunque tale valore minimo del copriferro per le armature più esterne, ossia per le staffe, l’altezza utile della trave risulta:

mmmmchd longstrasvs 5004992/168255402/,, ≅=−−−=−−−= φφ

I risultati del predimensionamento così esperito sono sintetizzati nel prospetto seguente, dove pure si riportano le armature effettivamente disposte nelle varie sezioni significative:

Sezione edM

(KNm) x

(mm) b

(mm) reqsA ,

(mm²) tb

(mm) reqsA ,

(mm²) provsA ,

(mm²) n° φ

A (vano scale) -270,3 133 400 1547 1200 909 1633 7φ 16+2φ 12

S (maxM sx) 239,2 36 1200 1260 400 303 1432 6φ 16+2φ 12

B (continuità) -271,6 134 400 1556 1200 909 1633 7φ 16+2φ 12 D (

maxM dx) 59,4 9 1200 306 400 303 628 2φ 16+2φ 12 C (pil. bordo) -57,9 27 400 312 1200 909 1030 4φ 16+2φ 12

Verifica allo stato limite ultimo per flessione Con riferimento alle ipotesi di calcolo appena illustrate, le verifiche allo stato limite ultimo per flessione vengono esperite come segue. Nell’ipotesi di acciaio teso snervato, ed ipotizzando una distribuzione uniforme

di compressioni nel calcestruzzo di intensità pari ad cdf e su di un’altezza uguale a 0,8 volte la profondità

dell’asse neutro, l’equazione di equilibrio alla traslazione in tal caso si scrive:

ydscd fAbxf =8,0

Ricavata da tale equazione la posizione x dell’asse neutro, attraverso l’equazione di equilibrio alla rotazione, scritta scegliendo quale polo, in alternativa, il baricentro della distribuzione uniforme di tensioni sulla zona compressa di calcestruzzo ovvero il baricentro delle armature tese, si ottiene il valore di progetto del

momento resistente RdM , da confrontarsi con il valore di progetto del momento sollecitante EdM .

( ) ( ) EdcdydsRd MxdbxfxdfAM ≥−=−= 4,08,04,0

I risultati di tali verifiche sono sintetizzati nel seguente prospetto:

Sez. sA (mm²) b (mm) x (mm) ξ RdM (kNm)

EdM (kNm) EdRd MM /

A 1633 400 141 0,28 283,4 270,3 1,05

S 1432 1200 41 0,08 270,8 239,2 1,13

B 1633 400 141 0,28 283,4 271,6 1,04

D 628 1200 18 0,04 121,0 59,4 2,04

C 1030 400 89 0,18 187,1 57,9 3,23

Verifica allo stato limite ultimo per taglio Dall’analisi delle sollecitazioni si ottengono i diagrammi del taglio di figura:

Le NTC prescrivono che nelle travi si debba prevedere una armatura trasversale costituita da staffe con sezione non inferiore ad mmmbAst /5,1 2= , ove b è lo spessore minimo dell’anima in millimetri, con un

minimo di almeno tre staffe al metro e passo comunque non superiore a 0,8 volte l’altezza utile della sezione. Nel caso di specie, per b = 400 mm, deve prevedersi una area armatura trasversale con sezione almeno pari a 600 mm²/m e spaziatura longitudinale non superiore a 400 mm. Tale requisito può ottenersi con staffe a due bracci φ 8@150 mm per cui è:

mmmmm

mmAst /667

150502 2

2

=⋅=

cui corrisponde un valore del taglio resistente pari a:

kNctgfs

AdV ywd

swsRd 6,2342391

150100

5009,09,0, =⋅⋅⋅== θ

assumendo 2=θctg . Sovrapponendo il valore del taglio resistente così calcolato al diagramma inviluppo del taglio sollecitante di calcolo si osserva come rimangano “scoperti” tratti terminali di lunghezza pari a 0,55 m, in prossimità dell’incastro a sinistra sulla parete del vano scale (0,45 m dal filo della parete esterna del vano scale), e di lunghezza pari a 0,85 m a sinistra dell’appoggio di continuità (al netto della larghezza del pilastro rimane scoperto un tratto lungo 0,70 m, il tratto scoperto a destra dell’appoggio di continuità rientrando invece nella larghezza del pilastro). In tali zone l’armatura trasversale può essere dimensionata in base alla relazione

θρρ

ctgfbd

V

ywdw

Edrequiredswsw 9,0

=≥

Con l’armatura così dimensionata si esperiranno le verifiche come sopra. Il dettaglio di tali verifiche è sintetizzato nel prospetto seguente. È inoltre:

Edcdwrd VkNctg

ctgfbdV >=⋅⋅⋅⋅=

+= 2,511

5

22,145,04005009,0

1'9,0

2max, θθ

zona EdV (x)

x (m)

( )xVEd

(kN) rqdswρ

φ /passo

swρ sRdV ,

(kN)

estremo sx combinazione 4

291,6-104,4 x

x = 0,1 281,2 0,002

φ /125 mm

0,002 283,8

sx continuità combinazione 1

219,2-104,4 x

x = 5,2-0,15 = 5,05 308,2 0,00217

φ /100 mm

0,0025 354,7

Si osservi che la staffatura minima raccomandata dall’EC2 deve essere tale da garantire un rapporto geometrico pari a:

410908,0 −⋅=≥=yk

ck

w

swsw f

f

sb

Aρ (per calcestruzzo C25/30 e acciaio B450)

con spaziatura longitudinale non superiore a 0,75 d = 375 mm (per d = 500 mm). Tale requisito è soddisfatto

con staffe φ 8@250 mm ( 001,0250400

502 =⋅⋅=swρ ), cui corrisponde un taglio resistente di progetto pari a

140,8 kN, con conseguenti modifiche nella disposizione delle armature trasversali nei tratti terminali. Si fa altresì osservare che l’EC2 per la verifica allo schiacciamento dei puntoni compressi di calcestruzzo prescrive di usare una resistenza ridotta pari a vfcd, con v = 0,7 (1 - fck/250), diversamente da quanto riportato nelle NTC, in cui tale resistenza ridotta viene comunque fissata pari a f’cd = 0,5 fcd. Verifiche agli stati limite di esercizio: tensioni nei materiali Conformemente alle prescrizioni normative e secondo quanto già visto al precedente paragrafo, si determinano le sollecitazioni sotto le combinazioni dei carichi rara e quasi permanente e si calcolano le tensioni nei materiali prodotte da tali sollecitazioni, da confrontarsi con i valori ammissibili definiti in funzione delle diverse combinazioni di azioni. COMBINAZIONE CARATTERISTICA Si valutano quindi i momenti flettenti sotto combinazione dei carichi caratteristica o rara, che per la struttura in esame si scrive:

kkk QGG 121 ++

Con riferimento alle combinazioni di carico illustrate precedentemente, ove si pongano unitari i coefficienti parziali dei carichi, si ha: Combinazione C1

carico permanente 1G a sfavore di sicurezza su entrambe le campate

carichi permanenti portati 2G a sfavore di sicurezza su entrambe le campate

carichi variabili 1kQ a sfavore di sicurezza su entrambe le campate


( ) [ ] [ ] 22121121 0,384,1595,01,2 xxxQGGxQGGxM −=++−++=



( ) [ ] [ ] 22121121 0,387,605,08,0 xxxQGGxQGGxM −=++−++=

Combinazione C2


carichi permanenti portati 2G a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra

carichi variabili 1Q a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra


( ) ( ) [ ] 22121121 0,382,1625,02,21,2 xxxQGGxQGxGxM −=++−++=



( ) ( ) 221121 6,232,195,065,08,0 xxxGxQGxGxM −=−++=


Combinazione C3


carichi permanenti portati 2G a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra

carichi variabili 1Q a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra


( ) ( ) 221121 6,235,965,01,01,2 xxxGxQGxGxM −=−+−=



( ) ( ) [ ] 22121121 0,383,795,045,18,0 xxxQGGxQGxGxM −=++−++=

momento massimo in campata: kNmmM 4,41)04,1( = Combinazione C4 (“massimo” momento negativo all’estremo sinistro)





( ) 20,388,2123,197 xxxM −+−=


( ) 26,230,302,0 xxxM −+= Combinazione C5 (“massimo” momento negativo all’estremo destro)





( ) 26,232,1252,110 xxxM −+−=


( ) 20,381,1040,42 xxxM −+−= Per la valutazione delle tensioni nei materiali, come già visti in precedenza, nell’ipotesi di planarità delle sezioni e con riferimento ad un comportamento elastico lineare dei materiali trascurando il contributo del calcestruzzo teso (sezione parzializzata), si scrive dapprima l’equilibrio alla traslazione della sezione:

0''21 =−+ ssssc AAbx σσσ

Sfruttando l’ipotesi di comportamento elastico dei materiali (σ = E·ε) e la linearità del diagramma delle deformazioni (planarità della sezione) si ha che:

x

xdccs

−= σασ

x

dxccs

''

−= σασ

Dove il coefficiente csc EE /=α si assume pari a 15.

Sostituendo nella equazione precedente e riducendo a forma normale

( ) ( ) 0'''2

2

=+−++ dAdAxAAx

b sscssc αα

da cui si ricava la posizione dell’asse neutro x. Attraverso la scrittura dell’equazione di equilibrio alla rotazione, rispetto al baricentro delle armature tese,

può quindi calcolarsi il valore della massima tensione di compressione nel calcestruzzo cσ , da confrontarsi

con il valore ammissibile 2, /156,0 mmNfckadmc ==σ

Mx

dbxc =

−32

1σ

admcc xdbx

M,

3

2 σσ <

−=

lo sforzo nelle armature tese ottenendosi attraverso la relazione di proporzionalità prima scritta e dovendo

confrontarsi con il valore 2/3608,0 mmNf yk = per acciaio B450C. I risultati sono sintetizzati nel seguente

prospetto:

Sezione

EdM (kNm) sA

(mm²) b

(mm) x

(mm) cσ

(N/mm²)

<ckf6,0 ?

(15 N/mm²) sσ

(N/mm²)

<ykf8,0 ?

(360 N/mm²) A |-197,3| 1633 400 194 11,5 SI 275,1 SI

S |173,1| 1432 1200 184 3,5 SI 91,1 SI

B |-198,6| 1633 400 194 11,6 SI 277,0 SI

D |41,4| 628 1200 132 1,1 SI 47,8 SI

C |-42,0| 1030 400 162 2,9 SI 90,6 SI

COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE Si valutano quindi i momenti flettenti sotto combinazione dei carichi quasi permanente, che per la struttura in esame si scrive:

kkk QGG 12121 ψ++

con 3,021 =ψ . Con riferimento alle combinazioni di carico illustrate precedentemente, ove si pongano unitari i coefficienti parziali dei carichi, si ha: Combinazione QP1



carichi variabili 121 kQψ a sfavore di sicurezza su entrambe le campate


( ) [ ] [ ] 221212112121 9,324,1385,01,2 xxxQGGxQGGxM −=++−++= ψψ



( ) [ ] [ ] 221212112121 9,327,535,08,0 xxxQGGxQGGxM −=++−++= ψψ

momento massimo in campata: [ ] kNmQGGmM 1,2132,0)82,0( 12121 =++= ψ

Combinazione QP2



carichi variabili 121Qψ a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra


( ) ( ) [ ] 221212112121 9,322,1405,02,21,2 xxxQGGxQGxGxM −=++−++= ψψ



( ) ( ) 22112121 6,238,255,065,08,0 xxxGxQGxGxM −=−++= ψ

momento massimo in campata: kNmmM 0,7)55,0( = Combinazione QP3



carichi variabili 121Qψ a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra


( ) ( ) 22112121 6,235,975,01,01,2 xxxGxQGxGxM −=−+−= ψ




momento massimo in campata: kNmmM 9,31)98,0( = Combinazione QP4 (“massimo” momento negativo all’estremo sinistro)





( ) 29,328,1825,168 xxxM −+−=


( ) 26,235,421,2 xxxM −+−= Combinazione QP5 (“massimo” momento negativo all’estremo destro)





( ) 26,232,1252,110 xxxM −+−=


( ) 20,385,932,15 xxxM −+−=

Le tensioni nei materiali, valutate come sopra illustrato, sono riportate nel seguente prospetto: la massima

tensione di compressione nel calcestruzzo cσ va confrontata con il valore ammissibile pari a 2/25,1145,0 mmNfck = . Nessuna indicazione viene data circa la limitazione delle tensioni nell’armatura

sotto combinazione dei carichi quasi permanente, salvo quanto verrà innanzi specificato con riferimento alla verifica di fessurazione per via indiretta.

Sezione

EdM (kNm) sA

(mm²) b

(mm) x

(mm) cσ

(N/mm²)

<ckf45,0 ?

(11,25 N/mm²) sσ

(N/mm²) A |-168,5| 1633 400 194 10,0 SI 237,0

S |149,4| 1432 1200 184 3,1 SI 79,3

B |-170| 1633 400 194 10,1 SI 239,1

D |31,9| 628 1200 132 0,9 SI 37,1

C |-36,5| 1030 400 162 2,5 SI 79,4

Verifiche agli stati limite di esercizio: stato limite di fessurazione Per verificare lo stato limite di fessurazione senza il calcolo diretto dell’ampiezza di fessura è necessario confrontare la tensione nelle armature, quale sopra calcolata, con i valori della Tabella 4.4.II NTC, in funzione del diametro massimo delle barre e dell’ampiezza di fessura ammissibile.

Nel caso di specie, potendosi ipotizzare una condizione ambientale ordinaria (Tabella 4.4.III NTC, classe di esposizione X0 secondo EC2, in assenza di qualsiasi rischio di corrosione per le armatura), e per armature poco sensibili alla corrosione, viene richiesto di verificare che sotto combinazione frequente il valore di

calcolo dell’ampiezza di fessura non superi il valore 3w = 0,4 mm e che sotto combinazione quasi permanente

non venga ecceduto il valore limite 2w = 0,3 mm. Ciò, in base ai prospetti sopra riportati, corrisponde a

limitare la tensione nelle barre (φ 16) ai seguenti valori:

280 N/mm² sotto combinazione frequente; 240 N/mm² sotto combinazione quasi permanente.

Dai valori riportati nell’ultimo prospetto si osserva le tensioni nell’armatura sotto combinazione quasi permanente essere comunque inferiori ai limiti sopra indicati. Per quanto attiene alle verifiche sotto combinazione frequente si procede innanzitutto a calcolare i momenti

flettenti; la combinazione frequente delle azioni, in presenza di un unico carico variabile 1Q , si scrive:

kkk QGG 11121 ψ++

con 5,011 =ψ per il carico variabile mkNQ /3,141 = . Combinazione F1



carichi variabili 111 kQψ a sfavore di sicurezza su entrambe le campate


( ) [ ] [ ] 221112111121 4,344,1445,01,2 xxxQGGxQGGxM −=++−++= ψψ



( ) [ ] [ ] 221112111121 4,34555,08,0 xxxQGGxQGGxM −=++−++= ψψ

Combinazione F2



carichi variabili 111Qψ a sfavore di sicurezza sulla campata sinistra a favore di sicurezza sulla campata destra




( ) ( ) 22111121 6,239,235,065,08,0 xxxGxQGxGxM −=−++= ψ

momento massimo in campata: kNmmM 0,6)51,0( = Combinazione F3



carichi variabili 111Qψ a favore di sicurezza sulla campata sinistra a sfavore di sicurezza sulla campata destra


( ) ( ) 22111121 6,232,975,01,01,2 xxxGxQGxGxM −=−+−= ψ





Combinazione F4 (“massimo” momento negativo all’estremo sinistro)





( ) 24,341,1913,176 xxxM −+−=


( ) 26,231,413,1 xxxM −+−= Combinazione F5 (“massimo” momento negativo all’estremo destro)





( ) 26,239,1192,112 xxxM −+−=


( ) 20,381,911,38 xxxM −+−= Le tensioni nei materiali, calcolate come sopra illustrato, sono riportate nel prospetto seguente: la tensione nelle armature è ovunque inferiore a 280 N/mm², valore limite corrispondente ad una ampiezza di fessura pari a 0,4 mm, indicata in normativa per le esigenze funzionali e durabilistiche in questione.

Sezione

EdM (kNm) sA

(mm²) b

(mm) x

(mm) cσ

(N/mm²) sσ

(N/mm²) A |-176,3| 1633 400 194 10,5 248

S |156,0| 1432 1200 184 3,2 83

B |-179,3| 1633 400 194 10,6 252

D |34,5| 628 1200 132 1,0 40

C |-38,1| 1030 400 162 2,6 83

Viene riportata qui di seguito la procedura di verifica allo stato limite di fessurazione tramite calcolo diretto della ampiezza di fessura secondo EC2 § 7.3.4, essendo in NTC § 4.1.2.2.4.6 indicato di fare riferimento per tale calcolo a criteri consolidati riportati nella letteratura tecnica. L’ampiezza di fessura viene calcolata in base alla relazione:

( )cmsmk sw εε −= max

eff

kkcsρφ

21max 425,04,3 +=

8,01 =k per barre ad aderenza migliorata

5,02 =k per sollecitazione di flessione

efft

s

effs

seff hb

A

A

A ==,

ρ

[ ]2/,3/)(),(5,2min hxhdhheff −−=

tb larghezza della sezione nella zona tesa

( )s

s

s

effcm

s

eff

ctts

cmsm EE

E

Efk

σρ

ρσ

εε 6,0

1

≥

+−

=−

dove si assume 4,0=tk per carichi di lunga durata.

La sintesi di tali verifiche è riportata nei seguenti prospetti.

Sezione 2,5(h-d)

(mm) x

(mm) (h-x)/3 (mm)

h/2 (mm)

effh

(mm) tb

(mm) sA

(mm²) effρ

(%) A 90 195 115 270 90 1200 1633 1,51

S 90 185 118 270 90 400 1432 3,98

B 90 195 115 270 90 1200 1633 1,51

D 90 132 136 270 90 400 628 1,74

C 90 162 126 270 90 1200 1030 0,95

Combinazione frequente

Sezione effρ

(%) maxs

(mm) sσ

(N/mm²) ( )cmsm εε −

s

s

E

σ6,0 kw

(mm) <0,4 mm

A 1,51 316 248 0,000862 0,0007438 0,272 SI

S 3,98 204 82,8 0,00025 0,0002484 0,051 SI

B 1,51 316 252,2 0,000883 0,0007565 0,279 SI

D 1,74 292 40,1 -0,00013 0,0001204 0,035 SI

C 0,95 421 82,9 -0,00016 0,0002488 0,105 SI

Combinazione quasi permanente

Sezione effρ

(%) maxs

(mm) sσ

(N/mm²) ( )cmsm εε −

s

s

E

σ6,0 kw

(mm) <0,3 mm

A 1,51 316 237 0,000807 0,0007109 0,255 SI

S 3,98 204 79,3 0,000232 0,0002379 0,049 SI

B 1,51 316 239,1 0,000818 0,0007172 0,258 SI

D 1,74 292 37,1 -0,00015 0,0001114 0,033 SI

C 0,95 421 79,4 -0,00018 0,0002383 0,100 SI

I valori limite di apertura delle fessure, pari a 0,4 mm sotto combinazione frequente e a 0,3 mm sotto combinazione quasi permanente, sono indicati in NTC Tabella 4.1.IV. In EC2-§ 7.1.N così come recepito dall’Appendice Nazionale, viene semplicemente richiesto di limitare a 0,4 mm l’ampiezza di fessura sotto combinazione di carico quasi permanente per le condizioni ambientali in questione. Si segnala, onde chiarire il rigore della procedura seguita, che il valore di spaziatura delle fessure calcolato secondo EC2 è, come indicato nella simbologia stessa, un valore massimo che consente già di ottenere il valore di calcolo dell’ampiezza di fessura indicato in NTC per il confronto con i limiti ammissibili. Nelle NTC viene indicato un valore medio di ampiezza delle lesioni, calcolato con riferimento ad un valore medio della spaziatura delle fessure, il valore di calcolo ottenendosi applicando un coefficiente moltiplicativo pari a 1,7. Incidentalmente si osserva come il valore massimo della spaziatura di fessura dato in EC2 (Espressione 7.11) e sopra utilizzato sia ottenibile appunto come 1,7 volte un valore medio, quale calcolato ad esempio secondo l’Espressione riportata nella Circolare Min. LL.PP.25-VII-1996 §B6.6.3.

Verifiche allo stato limite di deformazione Secondo le NTC, il calcolo delle inflessioni può essere omesso, ritenendosi implicitamente soddisfatta la verifica allo SLE di deformazione, per solai e travi con luci non superiori a 10 m, qualora la struttura possieda una snellezza λ = l/d (luce/altezza utile della sezione) inferiore ad un valore limite così calcolato:

++≤

calcsyk

effsck

Af

AfK

,

,500

'0015,0

11ρρ

λ

dove ckf è la resistenza del cls in MPa, ρ e ρ’ sono i rapporti d’armatura tesa e compressa rispettivamente,

effsA , (= providedsA , secondo la notazione EC2) è l’armatura tesa effettivamente presente sulla sezione ed

calcsA , (= reqsA , ) è l’armatura di calcolo ivi necessaria. K è un coefficiente correttivo, che dipende dallo

schema strutturale, da assumersi pari a 1,3 per campate terminali di travi continue. Con riferimento alla campata sinistra della trave:

ckf = 25 N/mm² ed ykf = 450 N/mm²

0024,05001200

1432 =⋅

==bd

Asρ (con riferimento all’armatura in sezione di mezzeria)

0'=ρ (viene trascurata l’armatura compressa) 2

,, 1432mmAA provseffs ==

2,, 1260mmAA reqscalcs ==

6,4326,16,3412604501432500

0024,0250015,0

11 ≅⋅=

⋅⋅

⋅+= Kλ

Nel caso della trave in esame, considerando la campata sinistra, è l/d = 5,2/0,5 = 10,4 < 43,6 e la verifica di deformabilità può ritenersi implicitamente soddisfatta. Tracciato delle armature Conformemente alle prescrizioni dell’EC2 e di NTC, il tracciato delle armature deve essere determinato in maniera tale da garantire in ogni sezione la resistenza alla azione flettente sollecitante, quale determinabile attraverso una traslazione del diagramma inviluppo del momento flettente, nella direzione più sfavorevole, pari a:

( ) mmza 4505009,02/cotcot1 =⋅=−= αθ Si riporta nella seguente figura il diagramma inviluppo a traslazione eseguita.

Onde determinare la lunghezza delle varie barre di armatura è necessario computare la lunghezza di ancoraggio. Si valuta dapprima il valore teorico di tale lunghezza, attraverso la relazione:

bd

srqdb f

lσφ

4, =

sσ è la tensione nella barra da ancorare allo stato limite ultimo (= ydf nel caso in esame)

ctdbd ff η25,2= è il valore di calcolo della tensione tangenziale di aderenza

per η = 1,0 (per barre di diametro ≤φ 32 mm)

ctdf = 1,2 N/mm²

è bdf = 2,7 N/mm²

Si ottiene pertanto: mml rqdb 5802,36, ≅≅ φ per barre φ 16.

Verifiche al punzonamento I calcoli relativi alla trave si completano con le verifiche al punzonamento in corrispondenza sia del pilastro interno sia del pilastro di bordo. Ai fini delle verifiche al punzonamento si valutano:

il perimetro del pilastro 0u = 1400 mm

l’altezza utile efficace ai fini del punzonamento 2

zy ddd

+=

dove con yd si è indicata l’altezza utile con riferimento alle armature disposte nella direzione della

trave ( yd = 191 mm) e con zd si è indicata l’altezza utile con riferimento alle armature disposte

secondo la direzione di orditura del solaio ( zd = 208 mm). È d ≅ 200 mm. La sezione di verifica al punzonamento sarà posta ad una distanza dal filo del pilastro pari a 2d ≅ 400 mm.

Il perimetro di controllo 1u , secondo lo schema qui sotto riportato: in corrispondenza del pilastro centrale:

( )[ ] mmu 3912400240030021 =⋅++⋅= π

in corrispondenza del pilastro di bordo:

stante l’eccentricità della reazione trasmessa, per la presenza di un momento flettente in testa al pilastro, eccentricità che risulta nella sola direzione parallela all’asse della trave, il perimetro di verifica viene calcolato secondo lo schema qui sopra

[ ] mmu 195640040015021 =⋅++⋅= π .

Il valore di calcolo dell’azione di punzonamento sarà dato da:

in corrispondenza del pilastro centrale ( ) 221

,, 706,0

200391280,552

mm

N

mm

kN

du

Vv dE

dE =⋅

==

in corrispondenza del pilastro di bordo ( ) 221

,, 35,0

20019566,138

mm

N

mm

kN

du

Vv dE

dE =⋅

==

si valuta dapprima la tensione limite di punzonamento lungo il contorno del pilastro

( ) 220

97,12001400

80,552

mm

N

mm

kN

du

Vv Ed

Ed =⋅

==

da confrontarsi con il massimo valore della resistenza a taglio-punzonamento:

47,42,1463,05,05,02max, =⋅⋅=⋅⋅=

mm

Nfv cdRd υ

dove

63,025025

17,0250

17,0 =

−=

−= ckfυ

Risulta max,RdEd vv ≤ e pertanto la verifica lungo il contorno del pilastro è soddisfatta; si passa alla verifica

lungo il perimetro di verifica di base a distanza 2d. Si valuta dapprima la resistenza al punzonamento che la trave è in grado di offrire in assenza di specifiche armature, attraverso la relazione

( ) 3/11, 100

2001

18,0ck

ccRd f

dv ρ

γ

+=

dove zy ρρρ =1 con yρ rapporto geometrico d’armatura nella direzione della trave

zρ rapporto geometrico d’armatura nella direzione del pilastro in corrispondenza del pilastro centrale

2017φ=syA 023,01911200

5338 =⋅

=yρ

500/143φ=szA 0044,0208500

462 =⋅

=zρ

01,01 =ρ

( ) 706,0701,02501,0100200200

15,118,0

,3/1

, =<=⋅⋅

+= dEcRd vv

Dovendo prevedere una apposita armatura, la resistenza al punzonamento verrà il questo caso valutata attraverso la relazione seguente:

( ) αsin1

/5,175,01

,,

⋅+=

dufAsdvv efywdswrcRdRd

Scegliendo di disporre quali armature a punzonamento delle “ulteriori” staffe nella direzione trasversale alla

trave si assume 67,0/ =rsd . L’area dell’armatura apposita da inserire può essere pertanto predimensionata in base alla relazione

( )efywd

cRdEdsw f

duvvA

,

1,

sin67,05,1

75,0

⋅⋅−

=α

per 2, /30025,0250 mmNdf efywd ≅+= e per α = 90°, nel caso in esame è

( ) 24683000,167,05,1

2003912701,075,0706,0mmAsw ≅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=

Con 3φ 16 è 2603mmAsw = , per cui la verifica al punzonamento risulta soddisfatta.

in corrispondenza del pilastro di bordo

204φ=syA 0055,01911200

1256 =⋅

=yρ

500/143φ=szA 0044,0208500

462 =⋅

=zρ

0049,01 =ρ

( ) 35,055,0250049,0100200200

15,118,0

,3/1

, =>=⋅⋅

+= dEcRd vv

Non è pertanto necessario disporre alcuna armatura aggiuntiva.

PARTE QUINTA – CALCOLO DEI PILASTRI Si prenderanno in esame in questa sede un pilastro interno all’edificio, che risulta essere sollecitato prevalentemente in regime di carico assiale, ed un pilastro di bordo, per il quale, accanto al carico assiale, il regime delle sollecitazioni prevede anche una non trascurabile componente flettente. Ai fini della determinazione delle sollecitazioni assiali nei pilastri, necessaria per il predimensionamento, anche nel caso di pilastro pressoinflesso, si utilizzerà il metodo delle superfici di influenza.

Pilastro P13: predimensionamento per compressione centrata

area della superficie di influenza 22 94,237,52,4 mm =⋅

area di influenza corretta (coefficiente di iperstaticità 1,4) 22 5,3394,234,1 mm =⋅ carichi provenienti dalla copertura peso solaio copertura kNmmkN 94,2555,33/64,7 22 =⋅ peso anima fuori spessore della trave di spina

(sporgente di 300 mm dal solaio e larga 400 mm; si adotta un coefficiente di iperstaticità pari a 1,2 per la trave)

kNmkNmmm 12,15/252,44,03,02,1 3 =⋅⋅⋅⋅

Totale carichi permanenti strutturali 1G kN06,271

carico neve kNmmkN 2,405,33/2,1 22 =⋅ carichi provenienti da un impalcato tipo peso proprio solaio (incluse finiture) kNmmkN 37,2085,33/22,6 22 =⋅ peso anima fuori spessore della trave di spina kN12,15


carichi permanenti portati 2G kNmmkN 675,33/2 22 =⋅

carichi variabili 1Q kNmmkN 675,33/2 22 =⋅

Per il solo calcolo dei pilastri, per tutti i solai di impalcato corrente, può applicarsi al valore nominale del carico variabile un fattore di riduzione legato all’area della superficie di influenza del pilastro, e valutato in base alla relazione

( ) 1/7/5 00 ≤+= AAA ψα 110

5,0 ≤+=AAα

dove 7,00 =ψ , 2

0 10mA = ed A è l’area della superficie di influenza del pilastro considerato.

Per il pilastro P13 è 92,0≅Aα . Pertanto i carichi trasmessi al pilastro dai solai dei vari piani saranno: copertura + solaio di copertura permanenti kN06,271 variabili kN2,40 solaio 4° piano permanenti strutturali kN49,223 permanenti portati kN67 variabili ( ) kNkN 64,616792,0 =⋅ solaio 3° piano permanenti strutturali kN49,223

permanenti portati kN67 variabili ( ) kNkN 64,616792,0 =⋅ solaio 2° piano permanenti strutturali kN49,223 permanenti portati kN67 variabili ( ) kNkN 64,616792,0 =⋅ solaio 1° piano permanenti strutturali kN49,223

permanenti portati kN67 variabili ( ) kNkN 64,616792,0 =⋅ solaio piano rialzato permanenti strutturali kN49,223 permanenti portati kN67 variabili ( ) kNkN 64,616792,0 =⋅ Nella combinazione di carichi allo stato limite ultimo si farà per semplicità riferimento ad un unico valore del

coefficiente amplificativo delle azioni ∗Fγ , ottenuto quale media pesata dei valori 1Gγ = 1,3 e 2Gγ = 1,5,

rispettivamente competenti al coefficiente parziale lato azioni per i carichi permanenti e per i carichi accidentali.

37,164,616749,223

64,615,1675,149,2233,1

121

112211 ≅++

⋅+⋅+⋅=++

++=∗

kNkNkN

kNkNkN

QGG

QGG

kkk

kQkGkGF

γγγγ

Per il predimensionamento del pilastro, considerando una sollecitazione di compressione centrata, è possibile dunque impostare una tabella come qui appresso indicato:

Pilastro kF (kN) ∑= kjFN (kN) NN FEd∗= γ (kN) cdEdc fNA =0 (mm²) hb × (mm²)

4° piano 311,26 311,26 426,43 30030 400 x 300 3° piano 352,13 663,39 908,84 64003 400 x 300 2° piano 352,13 1015,52 1391,26 97976 400 x 300 1° piano 352,13 1367,65 1873,68 131949 400 x 400 Rialzato 352,13 1719,78 2356,10 165922 400 x 400 Interrato 352,13 2071,91 1838,52 199896 400 x 500

kF è il valore caratteristico del carico che da ciascun solaio di impalcato si trasmette al pilastro al piano

sottostante, progressivamente cumulandosi a dare il valore nominale dell’azione assiale agente, N.

Quest’ultimo, amplificato per il relativo coefficiente ∗Fγ , prima calcolato, fornisce quindi il valore di progetto

dell’azione assiale agente EdN . Dividendo il suddetto valore per il valore di progetto della resistenza

indefinita per compressione centrata, cdf , si ottiene il valore minimo dell’area di solo calcestruzzo necessaria

a sostenere il valore della prescritta azione assiale di progetto. Sulla base di tale valore si scelgono le dimensioni effettive della sezione del pilastro ( ba × ), in base alle quali calcolarne il peso proprio, da aggiungere al valore di azione assiale al piede

pilastro 4° piano kNmkNmmm 5,8/2582,24,03,0 3 =⋅⋅⋅




pilastro piano rialzato kNmkNmmm 3,11/2582,24,04,0 3 =⋅⋅⋅

pilastro piano interrato kNmkNmmm 1,14/2582,24,05,0 3 =⋅⋅⋅ Il prospetto ne risulta pertanto così modificato:


4° piano 319,72 319,72 438,02 30846 400 x 300 3° piano 360,59 680,31 932,02 65636 400 x 300 2° piano 360,59 1040,90 1426,03 100425 400 x 300 1° piano 363,41 1404,31 1923,90 135486 400 x 400 Rialzato 363,41 1767,72 2421,78 170548 400 x 400 Interrato 366,23 2133,95 2923,51 205881 400 x 500 È necessario a questo punto dimensionare l’armatura longitudinale. L’EC2, e coerentemente con esso le NTC, prescrivono:

un minimo tecnologico: almeno una barra per ogni spigolo, di diametro non inferiore a 12 mm;

un minimo geometrico: cs AA 003,0≥ ;

un minimo statico: ydEds fNA 1,0≥ .

Pilastro cA

(mm²)

min,sA (mm²)

sρ = 0,3%

min,sA (mm²) =

ydEd fN1,0

4φ 12 (mm²)

sA

(mm²) n° x φ

4° piano 120000 360 112 452 452 4φ 12

3° piano 120000 360 238 452 452 4φ 12

2° piano 120000 360 365 452 452 4φ 12

1° piano 160000 480 492 452 616 4φ 14

Rialzato 160000 480 619 452 924 6φ 14

Interrato 200000 600 748 452 1232 8φ 14

Si procede alle verifiche sia agli stati limite di esercizio sia agli stati limite ultimi. Scrivendo l’equazione di equilibrio alla traslazione per la sezione, si ha:

sscc AAN σσ +=

Per le ipotesi di planarità delle sezioni (Eulero-Bernoulli), perfetta aderenza fra calcestruzzo e acciaio

( sc εε = ) e comportamento elastico dei materiali, è ccs σασ = dove per il coefficiente di

omogeneizzazione Eα si assume un valore pari a 15.

( ) iccsccc AAAN σασ =+=

Dovrà ovviamente risultare ckadmcic

c fA

N6,0, =≤= σσ .

Pilastro cA

(mm²) sA

(mm²) icA

(mm²) N

(kN) cσ

(N/mm²) <15 N/mm²?

4° piano 120000 452 126780 319,72 2,52 SI 3° piano 120000 452 126780 360,59 2,84 SI 2° piano 120000 452 126780 360,59 2,84 SI 1° piano 160000 616 169240 363,41 2,15 SI Rialzato 160000 924 173860 363,41 2,09 SI Interrato 200000 1232 218480 366,23 1,68 SI

Per la verifica agli stati limite ultimi:

ydscdcRd fAfAN +=

Pilastro cA

(mm²) sA

(mm²) EdN

(kN) RdN

(kN) EdRd NN=γ

4° piano 120000 452 438,02 1880,73 4,29 3° piano 120000 452 932,02 1880,73 2,02 2° piano 120000 452 1426,03 1880,73 1,32 1° piano 160000 616 1923,90 2512,86 1,31 Rialzato 160000 924 2421,78 2633,28 1,09 Interrato 200000 1232 2923,51 3321,71 1,14

Si completa il discorso con le prescrizioni sull’armatura trasversale. L’EC2, quale recepito dall’Appendice Nazionale, prescrive che il diametro minimo delle staffe sia pari ad almeno ¼ del diametro delle barre longitudinali, ed in ogni caso non inferiore a 6 mm (analoghe prescrizioni si trovano nelle Norme Tecniche Nazionali). Per la spaziatura delle staffe nelle zone correnti, l’Appendice Nazionale prescrive la più piccola fra le seguenti quantità:

12 volte il diametro minimo delle barre longitudinali (= 144 mm nel caso di barre φ 12 e 168 mm nel

caso di barre φ 14)

il lato minore della sezione trasversale (= 300 mm in questo caso) 25 cm

Si prescriveranno pertanto staffe φ 8/125 per i tratti correnti, con opportuni infittimenti, e nei tratti in testa ed al piede, per una lunghezza pari a 500 mm per ciascun tratto.

Pilastro P14: predimensionamento per compressione centrata

area della superficie di influenza 22 52,97,56,1 mm =⋅

area di influenza corretta (coefficiente di iperstaticità 1,0) 252,9 m carichi provenienti dalla copertura peso solaio copertura kNmmkN 73,7252,9/64,7 22 =⋅ peso anima fuori spessore della trave di spina

(sporgente di 300 mm dal solaio e larga 400 mm; si adotta un coefficiente di iperstaticità pari a 0,9 per la trave)

kNmkNmmm 32,4/256,14,03,09,0 3 =⋅⋅⋅⋅


carico neve kNmmkN 42,1152,9/2,1 22 =⋅

carichi permanenti strutturali (ed equiparati) provenienti da un impalcato tipo peso proprio solaio kNmmkN 21,5952,9/22,6 22 =⋅ peso anima fuori spessore della trave di spina kN32,4 peso chiusura verticale esterna kNmkNm 3,63/3,117,5 =⋅ peso cordolo perimetrale (300 mm x 240 mm) kNmkNm 31,12/257,524,03,02,1 3 =⋅⋅⋅⋅


carichi permanenti portati 2G kNmmkN 1952,9/2 22 =⋅

carichi variabili 1Q kNmmkN 1952,9/2 22 =⋅ Per i fattori di riduzione dei carichi accidentali, valendo quanto detto in precedenza per il pilastro P13, è

0,1=Aα . Pertanto i carichi trasmessi ai pilastri dai solai dei vari piani saranno: copertura + solaio di copertura permanenti kN05,77

accidentali kN42,11 solaio 4° piano permanenti strutturali kN14,139

permanenti portati kN19 accidentali kN19 solaio 3° piano permanenti strutturali kN14,139

permanenti portati kN19 accidentali kN19 solaio 2° piano permanenti strutturali kN14,139 permanenti portati kN19 accidentali kN19 solaio 1° piano permanenti strutturali kN14,139 permanenti portati kN19 accidentali kN19 solaio piano rialzato permanenti strutturali kN14,139 permanenti portati kN19 accidentali kN19 Nella combinazione di carichi allo stato limite ultimo si farà per semplicità riferimento ad un unico valore del

coefficiente amplificativo delle azioni ∗Fγ , ottenuto quale media pesata dei valori 1Gγ = 1,3 e 2Gγ = Qγ =1,5,

rispettivamente competenti al coefficiente parziale lato azioni per i carichi permanenti e per i carichi accidentali.

35,1191914,139

195,1195,114,1393,1

121

112211 ≅++

⋅+⋅+⋅=++

++=∗

kNkNkN

kNkNkN

QGG

QGG

kkk

kQkGkGF

γγγγ

Per il predimensionamento e le prime verifiche si procede secondo quanto illustrato con riferimento al pilastro P13. I risultati sono sintetizzati nei prospetti seguenti (al piano interrato è previsto un muro perimetrale). Per l’armatura trasversale valgono le medesime prescrizioni che per il pilastro P13.

Predimensionamento per compressione centrata

Pilastro kF (kN) ∑= kjFN (kN) NNEd *38,1=

(kN) cdEdc fNA =0 (mm²) hb × (mm²)

4° piano 88,47 88,47 119,43 8411 400 x 300 3° piano 177,14 265,61 358,57 25252 400 x 300 2° piano 177,14 442,75 597,71 42092 400 x 300 1° piano 177,14 619,89 836,85 58933 400 x 300 Rialzato 177,14 797,03 1075,99 75774 400 x 300

Peso proprio pilastro kNmkNmmm 5,8/2582,23,04,0 3 =⋅⋅⋅ Predimensionamento per compressione centrata (influenza peso proprio)


4° piano 96,97 96,97 130,91 9219 400 x 300 3° piano 185,64 282,61 381,52 26868 400 x 300 2° piano 185,64 468,25 632,14 44517 400 x 300 1° piano 185,64 653,89 882,75 62166 400 x 300 Rialzato 185,64 839,53 1133,37 79814 400 x 300

Predimensionamento armature longitudinali

Pilastro cA

(mm²)

min,sA (mm²)

sρ = 0,3%

min,sA (mm²) =

ydEd fN1,0

4φ 12 (mm²)

sA

(mm²) n° x φ

4° piano 120000 360 25 452 452 4φ 12

3° piano 120000 360 72 452 452 4φ 12

2° piano 120000 360 120 452 452 4φ 12

1° piano 120000 360 167 452 452 4φ 12

Rialzato 120000 360 215 452 452 4φ 12

Verifiche s.l.e. per compressione diretta

Pilastro cA

(mm²) sA

(mm²) icA

(mm²) N

(kN) cσ

(N/mm²) <15 N/mm²?

4° piano 120000 452 126780 96,97 0,76 SI 3° piano 120000 452 126780 282,61 2,23 SI 2° piano 120000 452 126780 468,25 3,69 SI 1° piano 120000 452 126780 653,89 5,16 SI Rialzato 120000 452 126780 839,53 6,62 SI

Verifiche s.l.u. per compressione diretta

Pilastro cA

(mm²) sA

(mm²) EdN

(kN) RdN

(kN) EdRd NN=γ

4° piano 120000 452 130,91 1880,73 19,39 3° piano 120000 452 381,52 1880,73 6,65 2° piano 120000 452 632,14 1880,73 4,02 1° piano 120000 452 882,75 1880,73 2,88 Rialzato 120000 452 1133,37 1880,73 2,24

Si procede, onde determinare le sollecitazioni assiali e flettenti nei pilastri, all’analisi sulla base di uno schema parziale a telaio piano, estratto dal contesto strutturale dell’edificio. Conformemente alle prescrizioni dell’EC2 si verifica innanzitutto che gli effetti del secondo ordine possono essere trascurati. Occorre dapprima valutare il carico verticale complessivo che agisce sugli elementi strutturali verticali (controventati e controventanti) della struttura. Si procede quindi con tale valutazione:

per l’impalcato di copertura

peso proprio solaio di copertura 2/64,7 mkN

incidenza trave fuori spessore 2/25,0 mkN

carico neve 2/20,1 mkN

2/09,9 mkN

peso complessivo impalcato di copertura ( ) kNmmkN 25954,247,11/09,9 22 =⋅⋅ per un impalcato corrente

peso proprio solaio e opere portate (compresi divisori interni) 2/22,8 mkN

incidenza trave fuori spessore 2/25,0 mkN

incidenza pilastri interni 2/50,0 mkN

carichi variabili di esercizio 2/00,2 mkN

2/87,10 mkN per le zone a soletta piena (interne al nucleo scale)

peso proprio soletta (valore medio incluse scale) 23 /75,3/2515,0 mkNmkNm =⋅

intonaco 23 /40,0/2002,0 mkNmkNm =⋅

sottofondo 23 /20,1/2006,0 mkNmkNm =⋅

pavimento 2/40,0 mkN

incidenza parapetti e alzate 2/25,0 mkN

carico accidentale 2/00,4 mkN

2/00,10 mkN

Differenza con peso medio impalcato corrente 2/87,0 mkN− peso tamponamenti esterni peso proprio al netto delle aperture mkN /05,9

incidenza pilastri esterni (10%) ( ) mkNmmkN /00,182,2/45,71,0 2 ≅⋅−⋅

mkN /05,10 peso muri nucleo scale (compreso intonaco)

[ ] ( ) kNmmmkNmmkNm 35282,225,65,42/252,0/2002,02 33 =⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅ Valutazione dei pesi di un impalcato corrente

a (m) b (m) A = a·b (m²) Peso unitario p Peso totale P (kN) 24,4 11,7 285,5 10,87 3103,4 4,7 6,45 30,3 -0,87 -26,4

24,4 10,05 245,2 11,2 10,05 112,6 8,4 10,05 84,4

11,7 10,05 117,6 11,7 10,05 117,6

Vano scale 352 Totale 4106,4

Per il piano interrato si avranno unicamente il peso del vano scale, dei pilastri interni e del muro perimetrale contro terra, dello spessore di 300 mm:

peso elementi strutturali piano interrato

( )[ ] kNmkNmmmkNkN 2028/2582,23,04,247,1125,285/5,0358 3322 =⋅⋅⋅+⋅+⋅+ Il carico verticale complessivo sarà pertanto pari a:

kNF EdV 2515520284,410652595, =+⋅+=

Nel caso dell’edificio in esame sono verificate le seguenti condizioni:

l’instabilità torsionale non è significativa: la struttura di controventamento è in posizione ragionevolmente simmetrica secondo una direzione e comunque è dotata di elevata rigidezza torsionale;

la struttura di controventamento è costituita da un assieme scatolare di pareti con aperture non grandi;

la struttura di controventamento è rigidamente collegata alla base alle strutture di fondazione, con rotazioni alla base trascurabili;

la rigidezza della struttura di controventamento si mantiene costante lungo tutta l’altezza dell’edificio;

il carico verticale aumenta in maniera costante ai piani. Sotto tali condizioni si possono trascurare nell’analisi gli effetti del secondo ordine, e comunque gli effetti degli spostamenti trasversali sulle sollecitazioni flessionali nei pilastri, qualora sia verificata la seguente diseguaglianza:

( )2, 6,1

31,0L

IE

n

nF ccd

EdV∑

+≤

con n numero di piani = 6 L = 19,96 m altezza complessiva dell’edificio al di sopra dell’incastro in fondazione Ecd valore di progetto del modulo elastico del calcestruzzo; si assume

262

/1083,252,1

/31100mkN

mmNEE

CE

cmcd ⋅===

γ

Ic è il momento di inerzia, in stadio I non fessurato, della struttura di controventamento. Nel caso in esame tale struttura, unica, è costituita dal nucleo scale, che si presenta come un rettangolo cavo, i cui lati esterni misurano 6,45 e 4,7 m e le cui pareti hanno uno spessore di 200 mm. Il momento di inerzia, attorno all’asse di minore rigidezza, di tale struttura, vale:

( ) ( ) 433

72,1512

3,405,612

7,445,6m

mmmmIc =⋅−⋅=

Ipotizzando una incidenza delle aperture pari al 20% circa ed applicando forfettariamente tale incidenza anche al valore del momento di inerzia sopra calcolato, si adotterà:

44 58,1272,158,0 mmIc =⋅= .

È dunque:

( )( ) EdV

ccd FkNkNL

IE

n

n,2

6

225155199610

96,19

58,121083,256,16

631,0

6,131,0 =>>=⋅⋅

+=

+∑

Gli effetti del secondo ordine possono pertanto essere trascurati. Per l’analisi delle sollecitazioni nei pilastri, stante altresì l’elevata rigidezza della struttura di controvento, ci si potrà riferire ad una schematizzazione di telaio a nodi fissi.

PARTE SESTA – RESISTENZA ALLE AZIONI ORIZZONTALI

La resistenza della struttura alle azioni orizzontali è fornita dal corpo scale, costituito da un assieme scatolare di muri in calcestruzzo armato dello spessore di 200 mm. Oltre alla spinta del vento, quale valutata precedentemente, verrà considerato agente sulla struttura di controventamento un sistema di forze orizzontali, applicate al livello di ciascun piano di impalcato, a tenere forfettariamente conto di eccentricità non intenzionali. Conformemente a quanto prescritto dall’EC2 tale spinta convenzionale viene assunta pari allo 0,5% dei pesi, assumendo una tolleranza non intenzionale di verticalità θi = 1/200. Spinta convenzionale (0,5% dei pesi) Si richiamano i seguenti dati dall’analisi dei carichi: copertura peso proprio solaio di copertura 2/64,7 mkN incidenza trave fuori spessore 2/25,0 mkN

2/89,7 mkN

I carichi variabili di esercizio vengono considerati, al fine della valutazione della spinta convenzionale, con il

loro valore quasi permanente kQ2ψ .

Per il carico da neve è 02 =ψ per località ad altitudine inferiore a 1000 m s.l.m. impalcato corrente peso proprio solaio e opere portate (compresi divisori interni) 2/22,8 mkN incidenza trave fuori spessore 2/25,0 mkN incidenza pilastri interni 2/50,0 mkN una frazione dei carichi variabili di esercizio, pari al loro valore

quasi permanente ( kQ2ψ con 3,02 =ψ ) 22 /60,0/00,23,0 mkNmkN =⋅

2/57,9 mkN

per le zone a soletta piena (interne al nucleo scale) peso proprio soletta – valore medio incluse scale 23 /75,3/2515,0 mkNmkNm =⋅ intonaco 23 /40,0/2002,0 mkNmkNm =⋅ sottofondo 23 /20,1/2006,0 mkNmkNm =⋅ pavimento 2/40,0 mkN incidenza parapetti e alzate 2/25,0 mkN carico accidentale 22 /20,1/00,43,0 mkNmkN =⋅

2/20,7 mkN

Differenza con peso medio impalcato corrente 2/37,2 mkN−

peso tamponamenti esterni peso proprio al netto delle aperture mkN /05,9

incidenza pilastri interni (10%) ( ) mkNmmkN /00,182,2/0,45,71,0 2 =⋅−⋅

mkN /05,10

peso muri nucleo scale (compreso intonaco)

[ ] ( ) kNmmmkNmmkNm 35282,225,65,42/252,0/2002,02 33 ≅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅ Il calcolo complessivo dei pesi dell’impalcato è riassunto nella seguente tabella; sono altresì calcolati, con riferimento allo schema appresso riportato, anche i momenti statici delle singole masse considerate, al fine di determinare l’esatta posizione del baricentro delle masse ove la spinta convenzionale andrà ad essere applicata. Tale calcolo risulterà valido anche ai fini della determinazione del punto di applicazione della spinta del vento.

a (m)

b (m)

A (m²)

p P (kN)

x (m)

xm

(kNm)

y (m)

ym

(kNm) 24,4 11,7 285,5 9,57 kN/m² 2732 12,2 33330,4 5,85 15982,2 4,7 5,9 27,7 -2,37 kN/m² -65,6 13,6 -892,5 3 -196,8

24,4 10,05 kN/m 245,2 12,2 2991,4 11,55 2832,1 11,2 10,05 kN/m 112,6 5,6 630,6 0,15 16,7 8,4 10,05 kN/m 84,4 20,2 1704,9 0,15 12,7

11,7 10,05 kN/m 117,6 0,15 17,6 5,85 688 11,7 10,05 kN/m 117,6 24,25 2851,8 5,85 688

vano scale 352 13,6 4787,2 3 1054 totale 3695,8 45421,4 21096,9

Si ottengono immediatamente le coordinate del baricentro delle masse:

mPmX xG 3,12/ ==

mPmY yG 7,5/ ==

Il centro della risposta elastica dell’edificio può essere con buona approssimazione posizionato in corrispondenza del baricentro del nucleo di controvento, le cui coordinate possono leggersi in tabella

( mxvs 6,13= ; myvs 225,3= ); si hanno pertanto le seguenti eccentricità, rispettivamente per azioni

orizzontali agenti in direzione y ed x:

( ) mmex 3,13,126,13 =−=

( ) mmey 5,237,5 =−=

Pertanto la spinta convenzionale sarà pari: a livello dell’impalcato di copertura

( )[ ] kNmmkNRi 3,117,114,24/89,7005,0 22 =⋅⋅⋅=

a livello degli altri piani di impalcato

kNkNRi 5,188,3695005,0 =⋅=

Se considerata agente in direzione x, la spinta convenzionale sarà applicata con eccentricità ye rispetto al

baricentro delle rigidezze e darà luogo ad un momento torcente pari a:

kNmmkNTxi 3,285,23,11 =⋅= a livello dell’impalcato di copertura

kNmmkNTxi 3,465,25,18 =⋅= a livello degli altri piani di impalcato

Se considerata agente in direzione y, sarà applicata con eccentricità xe rispetto al baricentro delle rigidezze e

darà pertanto luogo ad un momento torcente pari a:

kNmmkNTyi 7,143,13,11 =⋅=

kNmmkNTyi 0,243,15,18 =⋅=

Azione del vento Per quanto riguarda l’azione del vento si fa riferimento a quanto detto nell’analisi dei carichi. Riepilogando, le azioni del vento, considerate con le loro eccentricità, daranno luogo ai seguenti valori di forza e momento torcente, applicati ai singoli piani

vento direzione x vento direzione y Impalcato

xF (kN) xT (kNm) yF (kN) yT (kNm)

Copertura 23,0 57,5 69,6 90,5 4° piano 30,1 75,2 68,0 88,4 3° piano 27,1 67,8 68,0 88,4 2° piano 27,1 67,8 68,0 88,4 1° piano 27,1 67,8 68,0 88,4 Rialzato 18,4 46,0 42,0 54,6

Analisi delle sollecitazioni Si procede dapprima al calcolo delle azioni assiali sulle pareti, dato dal peso del vano scale e dai carichi trasmessi dalle zone di impalcato di pertinenza del vano scale stesso.

peso proprio delle zone interne al vano scale (comprese scale) kNmkNmm 218/2,77,445,6 2 =⋅⋅ peso impalcato corrente di pertinenza del vano scale (escluse partizioni interne) area di influenza del vano scale ( ) ( )[ ] 255,27,485,285,55,275,1 m⋅++⋅+

kNmkNm 305/22,696,48 22 =⋅

peso tamponamenti esterni ( ) kNmkNm 40/05,96,285,1 =⋅+

kN563

Per il carico trasmesso dalla copertura ( ) kNmkNm 608/89,77,49,526,49 22 =⋅⋅+ A tali valori va aggiunto ad ogni piano il peso proprio delle pareti del vano scale, pari, come sopra calcolato, a 352 kN. Nei prospetti (4.7)-3/4 e (4.7)-5/6 sono sintetizzati i valori dei carichi e delle caratteristiche delle sollecitazioni, tanto per le verifiche agli stati limite di esercizio, in cui è presente solo l’azione del vento, quanto per le verifiche agli stati limite ultimi. Per quanto attiene ai coefficienti di combinazione:

per i carichi verticali variabili, che risultano essere a favore di sicurezza rispetto all’azione ribaltante delle azioni orizzontali, si assume 0=Qγ , tanto agli sle quanto agli slu;

per i carichi verticali permanenti strutturali, anch’essi a favore di sicurezza rispetto all’azione ribaltante delle forze orizzontali, si assume 11 =Gγ , laddove non si considererà il peso delle

partizioni interne (carico permanente portato), essendo a favore di sicurezza. Coerentemente con le prescrizioni dell’Appendice Nazionale e con NTC, è 02 =Gγ ;

per le azioni orizzontali si assume 5,1=Qγ per gli slu e 0,1=Qγ per gli sle.

Caratteristiche geometriche della sezione del nucleo

Si riportano qui di seguito le caratteristiche geometriche della sezione del nucleo (riferite alla sezione di solo calcestruzzo):

area lorda = 2·(4,5+6,25) ·0,2 = 4,30 m² aperture = 3·1,2·0,2+1·1,0·0,2 = 0,92 m² area netta = 3,38 m² (0,79 area lorda) momenti di inerzia (per i valori da usare nei calcoli agli stati limite di esercizio si è deciso di applicare

anche ai momenti di inerzia il fattore 0,79, quale calcolato per l’area della sezione delle pareti, per tenere forfettariamente conto dell’incidenza delle aperture)

4433

3,2075,2579,012

05,63,412

45,67,479,0 mmI x =⋅=

⋅−⋅=

4433

4,1272,1579,012

05,63,412

45,67,479,0 mmI y =⋅=

⋅−⋅=

rigidezza torsionale 225,5625,65,422 mAt =⋅⋅=

Nei calcoli di verifica seguenti si farà riferimento alle dimensioni della linea media della sezione del nucleo. Verifiche agli stati limite di esercizio Si valutano le tensioni principali di trazione e compressione nella sezione di incastro alla base, che risulta essere quella più sollecitata.

azione assiale 220 35,138,3

4552mm

N

m

kN

A

N ===σ

vento in direzione x

momento flettente 2413,0

25,4

4,125,1196

mm

Nm

m

kNm

W

M

y

±=⋅±=±=∆σ

tensione di compressione massima 2min 48,1mm

N=σ

tensione di compressione minima 2max 22,1mm

N=σ

azione tagliante ( ) 211,0

5,48,04,079,04,127

8,079,079,0 mm

N

mm

kN

hb

V

zb

VV =

⋅⋅⋅===τ

momento torcente 22 04,02,025,5679,0

5,318279,0 mm

N

mm

kNm

tA

T

tT ≅

⋅⋅==τ

tensione tangenziale massima 2max 15,0mm

NTV =+= τττ

tensioni principali ctI fmm

N −>=

++−= 2

2max

2minmin 02,042

τσσσ

admcII mm

N,2

2max

2maxmax 49,142

στσσσ <=

++=

vento in direzione y

momento flettente 24

48,02

25,6

3,20

7,3145

mm

Nm

m

kNm

W

M

x

±=⋅±=±=∆σ

tensione di compressione massima 2min 83,1mm

N=σ

tensione di compressione minima 2max 87,0mm

N=σ

azione tagliante ( ) 222,0

25,68,04,079,0

6,341

8,079,079,0 mm

N

mm

kN

hb

V

zb

VV =

⋅⋅⋅===τ

momento torcente 22 05,02,025,5679,0

1,444279,0 mm

N

mm

kNm

tA

T

tT =

⋅⋅==τ

tensione tangenziale massima 2max 27,0mm

NTV =+= τττ

tensioni principali ctI fmm

N −>=

++−= 2

2max

2minmin 08,042

τσσσ

admcII mm

N,2

2max

2maxmax 87,142

στσσσ <=

++=

Verifiche agli stati limite ultimi Per le verifiche a rottura nei riguardi delle azioni normali: innanzitutto si individua quale elemento più debole del vano scale lo spigolo inferiore destro, la cui azione assiale resistente vale

kNmmmmmmNAfN cdRdc 49701750200/2,14 2 =⋅⋅==

Si ripartisce l’azione assiale proporzionalmente all’area resistente:

( ) kNNN EdspigoloEd 47138,3/2,075,1 ≅⋅⋅=

Il momento si ripartisce in una coppia di forze (trazione e compressione) applicata sugli spigoli sottovento e sopravvento e pari a M/z; mentre il momento torcente dà su ciascuno spigolo resistente una forza di trazione pari a )/2/(25,0 uAT t

.

vento secondo x

kNmM Ed 7,1794=

mmz 6,35,48,0 =⋅=

forza su ciascuno spigolo: kNmkNmF MEd 3,2496,3/7,17945,0, ±=⋅±=

kNmTEd 8,477=

forza su ciascuno spigolo: ( ) kNmmkNmF TEd 6,455,21/25,56/8,47725,0 2, −=⋅−=

Compressione minima RdcEd NkNN <= 1,176

Compressione massima RdcEd NkNN <= 7,674

vento secondo y

kNmM Ed 5,4718=

mmz 525,68,0 =⋅=

forza su ciascuno spigolo: kNmkNmF MEd 8,4715/5,47185,0, ±=⋅±=

kNmTEd 1,666=

forza su ciascuno spigolo: ( ) kNmmkNmF TEd 1,635,21/25,56/1,66625,0 2, −=⋅−=

Trazione massima kNNEd 9,63−=

Onde assorbire tale sollecitazione assiale di trazione sarà necessario disporre all’interno delle pareti del nucleo un’armatura. Per quanto attiene all’armatura longitudinale l’EC2 prescrive che l’area complessiva di armatura longitudinale, da disporsi in corrispondenza di ciascuna faccia del muro, sia non inferiore a

cA002,0 , con cA area della sezione del muro stesso e che le barre d’armatura longitudinale non siano

disposte a distanza maggiore di tre volte lo spessore del muro e comunque a non più di 400 mm, laddove nessuna prescrizione viene data relativamente al diametro minimo delle barre da utilizzarsi. Si scelgono barre φ 12, anche per omogeneità con l’armatura longitudinale utilizzata per i pilastri, disposti ad intervalli di 300 mm in corrispondenza di ciascuna faccia. Il rapporto geometrico d’armatura che così si ottiene può essere valutato come

002,00038,0300200

1132 2

>=⋅

⋅=mmmm

mmsvρ

Nella porzione di nucleo esaminata si disporranno 6+6φ 12, cui corrisponde il seguente valore di resistenza alla sollecitazione di trazione

EdRdt NkNmm

NmmN >=⋅⋅= 2,53039111312

22

Compressione massima RdcEd NkNN <= 7,879

Per l’armatura orizzontale, parallela alle facce del muro, l’EC2 prescrive che la sua area debba essere almeno pari al 25% dell’area di armatura verticale e comunque non inferiore a

cA001,0 . Si prevedono barre φ 8/300

mm per cui è:

)25,0(001,00017,0300200

502 2

svsb mmmm

mm ρρ >>=⋅

⋅=

Con riferimento a tale armatura orizzontale minima si eseguono le verifiche di resistenza al taglio. L’azione tagliante più sfavorevole è data dalla somma della quota parte del taglio e del torcente che compete a ciascuna delle due pareti parallele all’azione orizzontale.

azione orizzontale in direzione x

Piano EdV (kN) EdT (kN) xtaATVV 2/2/* += (kN)

4 34,50 86,3 24,15 3 79,65 199,1 55,76 2 120,30 300,8 84,21 1 160,95 402,4 112,67

Rialzato 191,10 477,8 133,77 sollecitazioni tangenziali nelle pareti del nucleo per vento e spinta convenzionale in direzione x (lunghezza pareti nucleo parallele asse x: ax = 4,5 m) Si faccia riferimento alla parete orizzontale inferiore del nucleo in Figura (4.7)-1: l’azione tagliante complessiva può, in prima approssimazione, ripartirsi proporzionalmente alla rigidezza delle due porzioni di parete isolate dall’apertura, ovvero proporzionalmente alla dimensione in pianta delle stesse, considerando dominante la rigidezza al taglio χGA/h rispetto a quella flessionale 3EI/h³. Con riferimento alle dimensioni indicate in figura la parte destra della parete viene a sostenere il 70% della azione complessiva, la rimanente parte essendo demandata alla parte sinistra. Si valuti dunque la resistenza al taglio per ciascuna delle due porzioni di parete separate dall’apertura. Per 2cot =θ , si ha:

parte sinistra: dimensione 1050 mm · 200 mm mmz 84,005,18,0 =⋅=

( ) ( ) kNVkNfzsAV EdydssRds 5,423,02192391840300/100cot/ =>=⋅⋅⋅== θ( ) EdcdRdc VkNfzbV 3,05,5725,2/2,146,0840200tancot/ >=⋅⋅⋅=+= θθν

parte destra: dimensione 2450 mm · 200 mm mmz 96,145,28,0 =⋅=

( ) ( ) kNVkNfzsAV EdydssRds 2,997,051123911960300/100cot/ =>=⋅⋅⋅== θ( ) EdcdRdc VkNfzbV 7,06,13355,2/2,146,01960200tancot/ >=⋅⋅⋅=+= θθν

azione orizzontale in direzione y

Piano V (kN) T (kN) ytaATVV 2/2/* += (kN)

4 104,40 135,7 67,28 3 206,40 268,3 133,01 2 308,40 400,9 198,75 1 410,40 533,5 264,48

Rialzato 512,40 666,1 330,21 sollecitazioni tangenziali nelle pareti del nucleo per vento e spinta convenzionale in direzione y (lunghezza pareti nucleo parallele asse y: ay = 6,25 m) Operando come nel caso precedente l’azione tagliante complessiva si ripartisce per l’80% sulla porzione maggiore di parete e per il 20% sulla rimanente (si faccia riferimento alla parete verticale sinistra in Figura (4.7)-1)

parte inferiore: dimensione 900 mm · 200 mm mmz 72,09,08,0 =⋅=

( ) ( ) kNVkNfzsAV EdydssRds 0,662,07,1872391720300/100cot/ =>=⋅⋅⋅== θ( ) EdcdRdc VkNfzbV 2,07,4905,2/2,146,0720200tancot/ >=⋅⋅⋅=+= θθν

parte superiore: dimensione 4350 mm · 200 mm mmz 48,335,48,0 =⋅=

( ) ( ) kNVkNfzsAV EdydssRds 2,2648,03,90723913480300/100cot/ =>=⋅⋅⋅== θ( ) EdcdRdc VkNfzbV 8,04,23715,2/2,146,03480200tancot/ >=⋅⋅⋅=+= θθν

Si ricorda infine che devono essere disposte barre di collegamento trasversale fra i due ordini di armatura posizionati in prossimità delle due facce del muro in numero non inferiore a 4 collegamenti per metro quadrato di superficie. Verifica degli architravi Il discorso relativo alla valutazione della resistenza della struttura alle azioni orizzontali viene completato con le verifiche relative agli architravi, i quali, grazie al trasferimento degli sforzi di scorrimento correlati alle azioni taglianti e torcenti, garantiscono la reciproca solidarietà dei vari pannelli murari isolati dalle aperture presenti nel nucleo scale, in tal modo giustificando il comportamento scatolare a “nucleo chiuso” ipotizzato nei calcoli strutturali svolti fin qui. Nel seguito si farà riferimento agli architravi posti al di sopra della apertura nella parete del lato lungo del vano scale. Si farà riferimento all’azione del vento nella direzione parallela alla parete in questione (direzione y), per la quale, come è ovvio, le sollecitazioni nella parete stessa risultano essere le più gravose. Si inizia con la valutazione delle sollecitazioni per le quali gli architravi stessi dovranno essere dimensionati e verificati: tali sollecitazioni possono essere schematizzate in una forza di scorrimento Q applicata ad una distanza “e” dalla mezzeria dell’architrave, funzione dei rapporti di rigidezza relativi fra i due pannelli di muro collegati dall’architrave. La luce di calcolo “l” della trave di collegamento viene stimata pari alla luce netta

0l aumentata di 0,08h da ciascun lato, essendo h l’altezza dell’architrave stesso (pertanto

hll 16,00 += ). Per la situazione in esame, con riferimento alla posizione delle aperture, può assumersi

2/le ≅ . È dunque: ml 37,106,116,02,1 =⋅+=

mle 69,02/ ≅=

La forza

iQ che la trave di collegamento è chiamata a trasmettere al piano i-esimo viene dunque valutata

attraverso semplici considerazioni di equilibrio attraverso la relazione

z

hVQ ii

i =

con: iV azione tagliante all’i-esimo piano di impalcato

ih altezza di piano (= 3,06 m nel caso in esame)

z braccio resistente del muro in esame, stimato pari a 0,8 volte l’altezza in pianta del muro, al lordo dell’apertura (0,8 · 6,25 m = 5 m nel caso di specie). Per l’architrave oggetto della verifica si riportano nel prospetto seguente i valori di progetto ( 5,1=Fγ ) delle sollecitazioni così calcolate:

Piano EdV (kN) EdQ (kN)

4 69,6 42,6 3 137,6 84,2 2 205,6 125,8 1 273,6 167,4 R 341,6 209,1

La resistenza della trave di collegamento viene valutata in base ad uno schema che prevede l’attivazione di puntoni diagonali di calcestruzzo attraversanti l’architrave, le forze orizzontali necessarie a garantire l’equilibrio del meccanismo essendo fornite dalle armature longitudinali, secondo quanto qui appresso riportato.

Sia innanzitutto: ( ) 54,106,184,0/37,1/cot =⋅=== zlβλ con z braccio della coppia interna dell’architrave, assunto, in base a quanto prima detto, pari a 0,84h dai competenti equilibri alla traslazione verticale ed orizzontale ed alla rotazione attorno al baricentro della trave di collegamento.

Con riferimento al significato dei simboli esplicitato nello schema, si ha:

2, 1

sinλ

β+== Ed

EdEdc Q

QS

−=z

eQS EdEds 2

' ,

λ

+=z

eQS EdEds 2

'' ,

λ

che, nel caso di specie, per e = l/2, diventano:

0' , =EdsS

λEdEds QS =,''

tali valori delle sollecitazioni nel puntone inclinato di calcestruzzo e nei correnti longitudinali di armatura dovendo essere confrontati con i relativi valori resistenti, onde ottenersi la portanza della trave di collegamento. Per le armature longitudinali, detta

slA l’area dell’armatura longitudinale ivi disposta:

ydslEdEds fAQS ≤= λ,''

da cui si ottiene:

λydsl

sRd

fAQ =,

Per la valutazione della resistenza del puntone compresso può utilizzarsi la formula relativa al comportamento ad arco di travi staffate:

2, 14,0

λ+= cd

cRd

fdbcS

con il coefficiente c che, sulla base di risultanze sperimentali, può assumersi pari a 1,5. Per d = 0,92 h è dunque:

2, 155,0

λ+= cd

cRd

fhbQ .

Nel prospetto seguente si riportano in sintesi i risultati delle verifiche così esperite:

Lo schema resistente duale vede l’utilizzo di ferri diagonali, secondo lo schema qui sotto riportato. Nell’ipotesi di trascurare il contributo del ferro diagonale discendente, che risulta compresso e dunque suscettibile di instabilità, secondo lo schema di figura, le forze orizzontali necessarie a garantire l’equilibrio dello schema resistente ipotizzato sono in questo caso fornite da correnti longitudinali compressi di conglomerato (nonché dalle relative armature longitudinali, il cui contributo può comunque trascurarsi).

Dai competenti equilibri, con il significato dei simboli esplicitato in figura:

2, 1

sinλ

β+== Ed

EdEds Q

QS

+=z

eQS Edc 2

'λ

−=z

eQS Edc 2

''λ

che, nel caso di specie, per e = l/2, diventano:

λQS c ='

0'' =cS

da confrontarsi con i relativi valori di portanza, che sono dati da:

per i puntoni di calcestruzzo: cdcRd fhbS 16,0, =

λ/16,0, cdcRd fhbQ =

per l’armatura diagonale: ydsdiagsRd fAS =,

2,

1 λ+= ydsdiag

sRd

fAQ

Nel prospetto seguente sono sintetizzate le verifiche esperite secondo tale schema resistente:

L’utilizzo combinato dei due tipi di armatura, longitudinale (scegliendo ad esempio di dimensionare quest’ultima per sostenere almeno il 50% dell’azione globale) e diagonale, i cui contributi possono ritenersi additivi ai fini della portanza complessiva della trave di collegamento, consente altresì di frazionare lo sforzo nel calcestruzzo, ripartendolo fra il puntone d’anima ed i correnti longitudinali. Posto:

2,,,1

2

'''λλ +

+

+=+= ydsdiagydsl

sRdsRdsRd

fA

z

e

fAQQQ

l’azione adQ può essere ripartita fra i due meccanismi resistenti in misura proporzionale:

sRd

sRdEdEd Q

QQQ

,

,'' =

sRd

sRdEdEd Q

QQQ

,

,'''' =

la prima aliquota da confrontarsi con la portanza del puntone d’anima

2155,0'

λ+≤ cd

Ed

fhbQ

la seconda, depurata dell’effetto della trazione dovuto al primo meccanismo, da riferirsi alla portanza del corrente longitudinale di calcestruzzo:

ze

fhb

ze

zeQQ cd

EdEd /2/16,0

/2//2/

'''+

≤+−−

λλλ

.

Nel prospetto seguente sono sintetizzati i risultati di un dimensionamento esperito sfruttando la combinazione dei due schemi resistenti quale sopra ipotizzata. Non si riportano i risultati relativi alla portanza del puntone diagonale ovvero dei correnti longitudinali compressi di calcestruzzo, che, come visto in precedenza, sono, ciascuno per suo conto, in grado di sostenere l’intera azione di scorrimento nell’architrave.

Nel seguito si riportano gli schemi del tracciato delle armature della parete esaminata per le diverse schematizzazioni adottate per il calcolo degli architravi.

PARTE SETTIMA – ESEMPIO DI CALCOLO DI UN PLINTO DI FONDAZIONE

Per completezza della trattazione viene qui riportato un semplice esempio di verifica di un elemento strutturale di fondazione relativo al plinto posto sotto il pilastro interno P13. L’esempio qui riportato non entra nel merito della complessa tematica della interazione fra terreno e struttura né vengono prese in conto le problematiche relative alla deformabilità del terreno. Esso certamente non è esaustivo della tematica relativa al progetto degli elementi strutturali di fondazione ma intende unicamente fornire una proposta metodologica per la verifica di elementi di fondazione isolati. Verifica di resistenza del terreno L’azione assiale al piede del pilastro vale, sulla base di quanto detto in precedenza nella Parte Quinta

kNN 2,2037= Si ipotizza un plinto di dimensioni a·b·h = 3,4·3,2·0,8 m, il cui peso proprio vale dunque:

( ) kNmkNmGPLINTO 6,217/258,02,34,3 33 =⋅⋅⋅=

Si ipotizza un terreno ghiaioso compatto con angolo di attrito interno φ = 35° e peso per unità di volume γ = 18 kN/m³. Trascurando la coesione ed il contributo dovuto al ricarico del terreno circostante, la resistenza del terreno viene valutata attraverso la relazione seguente:

2/, bNs ggterrenoRd γσ =

con absg /4,01−=

φφπφπ tan124

tan2 2tan

+

+= eN g

dovendo risultare, ai fini della verifica, terrenoEdterrenoRd ,, σσ > , quest’ultimo essendo il valore della pressione

dovuta al carico trasmesso dal pilastro ed al peso proprio del plinto. Conformemente alle indicazioni dell’Eurocodice 7, e coerentemente con NTC, si fa riferimento ai seguenti valori dei coefficienti parziali da applicarsi alle azioni ( Fγ ), ai parametri geotecnici del terreno ( Mγ ) ed alla

resistenza del terreno stesso, a valle del calcolo ( Rγ ) (approccio 2).

3,11 == GF γγ per i carichi permanenti strutturali

5,12 == GF γγ per i carichi permanenti portati

5,1== QF γγ per i carichi variabili

(si può applicare al valore di azione assiale trasmesso dal pilastro un unico coefficiente globale 37,1=Fγ ottenuto come media ponderata dei due valori sopra indicati)

0,1== φγγ M per l’angolo di attrito interno del terreno da applicarsi alla tangente dell’angolo φ

0,1== γγγ M per il peso per unità di volume del terreno

3,2=Rγ Si ha pertanto:

( ) kNkNGNN PLINTOEd 8,30736,2173,12,203737,13,137,1 =⋅+⋅=+=

( ) 2, /28,032003400/8,3073/ mmNabNEdterrenoEd =⋅==σ

624,0=gs

70,00,1/35tantan =°=φ

9,47=gN

[ ] terrenoEdterrenoRd mmNmmmkN ,23

, /37,03,2/2/3200/189,47624,0 σσ >=⋅⋅⋅=

Verifica del plinto Con riferimento agli schemi delle figure seguenti vengono dimensionate le armature del plinto. I coefficienti parziali applicati alle azioni sono quelli dell’approccio 2 secondo NTC. in direzione “a”

mmda 750=

mmaca 1004/' ==

( ) ( ) mmcaal aa 8501004/40034004/' =+−=+−=

13,1750/850/ === aaa dlλ

( )[ ] ( )[ ] kNkNNaaaP EdsaEd 2,27128,30733400/4003400/', =⋅−=−=

2, 39192/ mmfPA ydaaEdsa => λ

con 13φ 20 ( φ≅ 20/250) è 24082mmAsa =

saEda

ydsasRd PkNfAP ,, 282513,1

139140822

12 >=⋅⋅⋅==

λ

in direzione “b”

mmdb 730=

mmbcb 1254/' ==

( ) ( ) mmcbbl bb 8001254/50032004/' =+−=+−=

10,1730/800/ === bbb dlλ

( )[ ] ( )[ ] kNkNNbbbP EdsbEd 5,25938,30733200/5003200/', =⋅−=−=

2, 36482/ mmfPA ydbbEdsb => λ

con 14φ 20 ( φ≅ 20/250) è 24396mmAsb =

sbEdb

ydsbsRd PkNfAP ,, 312510,1

139143962

12 >=⋅⋅⋅==

λ

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Esercitazione Di Tecnica Delle Costruzioni