Esercitazione 5

Corso di Elaborazione e Trasmissione delle Immagini

Pisa, 27 ottobre 2004

Argomenti proposti Legge di Weber Modifica del contrasto Equalizzazione dell’istogramma;Individuazione dei contorni Operatore gradiente

Legge di Weber

I+I

I

I

I/I

0.02

Modifica del contrasto],[ nma Sistema non lineare

Invariante alla traslazionePrivo di memoria

],[ nmu

a

uCaratteristica ingresso-uscita

Trasformazionipuntuali

Istogramma di una immagine

1

0

1

0

],[)(M

m

N

n

lnmalh

l

h(l)

0 191 255

128

128

81924096

4096

16384 pixel Istogramma normalizzato

1

0

1

0

],[1)(M

m

N

nN lnma

MNlh Massa di probabilità

Istogramma cumulato

l

k

khlH0

][)(

l0 191 255

128

81924096

16384

16384 pixel Istogramma cumulato normalizzato

l

kN

l

kN khkh

MNlH

00

][][1)(Distribuzione di probabilità

Contrasto

MINMAX IIC 1

MINMAX

MINMAX

IIIIC

2

I

IC

3

MAX

MIN

I

IiNI ihi )(

MAX

MIN

I

IiNII ihi )()( 2

Equalizzazione dell’istogramma

Teorema fondamentale (trasformazioni monotone)

)(

)()(

)()(

)()()(

1

)(

)(

1

1

aFFu

aFuF

dfdf

daafduufAgU

AU

ugaAU

uga

aA

u

uU

AU

MINMIN

fA(a)da

fU(u)du

Equalizzazione dell’istogramma

)()(1 aFaFFu AAU

Se vogliamo che U sia uniformemente distribuita nell’intervallo (0,1)

u

fU(u)

FU

u

u1

1

1

1FU(u)

1

1

la trasformazione è

Gradiente una funzione

jyfi

xfyxf ),(

Campo vettoriale: il modulo individua la massimapendenza nel punto P(x,y), la direzione è quella associata alla massima pendenza.Ortogonale alla direzione della tangente alla curvadi livello nel punto P.

Derivata direzionale

nfh

xfnhxfhnd

df

)()(0

lim

La derivata è massima nella direzione del gradiente

Derivate parziali: approssimazione con rapporto incrementale

yxfxyxf ,,

yxfyyxf ,,

nmnmnmfnmfnmfnmm ,,1,,,1,

Differenze finite

nmnmnmfnmfnmfnmn ,1,,,1,,

nmh ,122

21 ggg nmg ,1

nmf ,

Mappa dei contorni

01

t

nme ,

Approssimazione alle differenze finitedelle derivate parziali di f[m,n]

1

21tangg nm,

Estrazione di contorni tramite operatori gradiente

nmg ,2

La soglia t viene scelta attribuendo la qualifica di “contorno” ad una percentualefissata di punti ordinati per modulo del gradiente sulla base dell’istogramma cumulativo del modulo del gradiente.

La soglia t è applicata a ciascun elementodella matrice. Viene assegnato “1” ai punti

riconosciuti come contorno

nmg , nmh ,2

Estrazione di contorni tramite operatori gradiente(con modulo approssimato)

21 ggg nmg ,1

Mappa dei contorni

01

t

nme ,

Approssimazione alle differenze finitedelle derivate parziali di f[m,n]

nmg ,2

La soglia t è applicata a ciascun elementodella matrice. Viene assegnato “1” ai punti

riconosciuti come contorno

nmg ,

nmf , nmh ,1

nmh ,2

nmh ,1

Kkkgabsg

,...1))(max(

Mappa dei contorni

nmh ,201

t

nmhk ,

nmhK ,

::

::

Estrazione di contorni tramite compass operators

Approssimazione alle differenze finitedelle derivate direzionali

(compass operators) di f[m,n]

nmg ,1

nmg ,2

nmgk ,

nmgK ,

nmf , nme ,

01

10

101101101

101202101

101202

101

1001

111000111

121000121

121000121

nmh ,1

nmh ,2

Roberts Smoothed Sobel IsotropicOrigine assi

Esempi di maschere per il calcolo del gradiente

Scelta della soglia t (con l’istogramma cumulativo del modulo del gradiente)

Soglia t

Percentuale sul numerototale di pixel dell’immagine

Perc

g (modulo del gradiente) in ascissa

g (modulo del gradiente) in ascissa

Numero di campioni in ordinata

Soglia t

Scelta della soglia t (con l’istogramma del modulo del gradiente)

g(m,n)

f(m,n)

Esempio (estrazione dei contorni senza approssimazione del modulo del gradiente)

g1(m,n)

g2(m,n)

e(m,n)