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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIA NATURALES Y MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA LINEAL ● MATG1003

METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE ACTIVO

TRABAJO AUTÓNOMO 10

TÉRMINO I 2017 – 2018

Cura y edición: Isaac Mancero Mosquera, 2017. 1

Fecha: Paralelo:

Matrícula: 1 9 9 6 0 4 4 6 3

Lista:

Nombres: Apellidos:

0.- Cuando Mr. Sucre apruebe Álgebra Lineal, podrá dedicarse finalmente a la joyería. Le toma 1tΔ horas de trabajo hacer un anillo, 2tΔ horas un

brazalete, 3tΔ horas una cadena y 4tΔ horas un collar. Su pana Gisella quiere dos brazaletes con un teorema grabado en oro, Pierina desea tres anillos y un collar, Katherine quiere dos unidades de cada prenda, mientras Denisse desea un anillo y dos cadenas. A Mr. Sucre le toma cinco horas elaborar el pedido de Pierina, diez horas el de Katherine, tres horas el de Gisella y dos horas el de Denisse. ¿Cuánto es el tiempo de elaboración por unidad de cada prenda?

TRANSFORMACIONES LINEALES NÚCLEO & IMAGEN

OBJETIVOS: Tareas básicas que un alumno debe dominar: • Encontrar el núcleo y la imagen de una transformación. • Determinar el rango y la nulidad de una transformación. • Describir propiedades tales como inyectividad, sobreyectividad, biyectividad en una

transformación.

Si alguna de estas tareas se le dificulta, por favor recurra al profesor, técnico o ayudante más cercano.

1.- Encontrar Núcleo, Imagen, rango y nulidad de las siguientes transformaciones lineales: a) tal que b) tal que , .

c) T : R2 → R2 tal que T efectúa la proyección vectorial de un vector P=(x,y) en R2, sobre la recta

2.- Sea la siguiente transformación lineal , a) Hallar cuando a=0 y b=c=1. b) Hallar cuando a=b=1 y c=0.

NOTA: Requiere conocimientos de cálculo.

3.- Construya de ser posible: (Nota: el tutorial al final podría ser útil) a) Una transformación lineal inyectiva pero no sobreyectiva b) Una transformación lineal sobreyectiva pero no inyectiva c) Una transformación lineal ni inyectiva ni sobreyectiva d) Una transformación lineal inyectiva y sobreyectiva e) Un isomorfismo , donde: { }2 2( ), (2 ), ( ), (2 )V gen Sen x Sen x Cos x Cos x= f) Una transformación lineal tal que:

Nu(T ) = a, b, c, d( )∈R4 / a − b+ 2c + d = 0

b+ c − d = 0⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪ y

2 2

0Im( ) /

2 0x y x y z

T Mz w y z w×

⎧ + − = ⎫⎛ ⎞= ∈⎨ ⎬⎜ ⎟ − + =⎝ ⎠⎩ ⎭

2 3:T P P→ 2( ( )) '( )T p x x p x=

2 2 2 2: x xT M M→ ( )T = TA A -A 2 2M ×∀ ∈A

: y = 3x

[ ( )] ''( ) '( ) ( )T f x af x bf x cf x= + +( )Nu T( )Nu T

T :3 →V

T :4 → M 2 × 2





TÉRMINO I 2017 – 2018


MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN

OBJETIVOS: Tareas básicas que un alumno debe dominar: • Dada la regla de correspondencia, determinar la matriz de transformación. • Dada una matriz de transformación, determinar la regla de correspondencia. • Utilizar la matriz de transformación para el cálculo de la transformada de un vector.


4.- Sea el espacio V = gen e2x , xe2x , x2e2x{ } y sea T :V →V una transformación lineal tal que

T [ f ]= f '(x) . Encuentre una representación matricial de T.

5.- Sea 2 2 2:T S P× → , tal que

1 1 10 1 11 1 1

TA⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

representa a T con respecto a las bases:

β1= 1,1+ x,1+ x2{ } y 1 1 1 1 0 1

2 ,1 0 1 1 1 1

β⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭

.

a) Hallar la regla de correspondencia de T b) Hallar las matrices que representan a T y 1T − con respecto a las bases canónicas.

6.- Sea 2 2 2:T P M ×→ tal que

a) Determine la matriz que representa a T con respecto a las bases y

de y , respectivamente.

b) Si , hallar y .

7.- Sea el espacio V = gen e2x , xe2x , x2e2x{ } y sea T :V →V una transformación lineal tal que

T [ f ]= f '(x) . Encuentre una representación matricial de T.

8.- Sea 2 2 2:T S P× → , tal que

1 1 10 1 11 1 1

TA⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

representa a T con respecto a las bases:

β1= 1,1+ x,1+ x2{ } y 1 1 1 1 0 1

2 ,1 0 1 1 1 1

β⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭

.

c) Hallar la regla de correspondencia de T d) Hallar las matrices que representan a T y 1T − con respecto a las bases canónicas.

9.- Sean T1 :3 → P2

y dos transformaciones lineales tales que representa a T1

con respecto a las bases canónicas, mientras que . Hallar la matriz de la

composición , con respecto a las bases canónicas.

(0) '( 1)[ ( )]

2 (1) (0) (1)p p

T p xp p p

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

{ }21 1,1 ,1x x xβ = + + +

1 0 1 1 1 1 1 12 , , ,

0 0 0 0 1 0 1 1β

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭2P 2 2M ×

1[ ] (1,1, 1)p β = − ( )p x [ ( )]T p x

2 2 2 2:T P S ×→1 2 01 0 10 2 1

TA⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 0 122 2 1 0

1 2 0

[ ]a a a

T a x a x aa a a+⎛ ⎞

+ + = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

T2oT1C





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10.- Sea T : P3 →

2 una transformación lineal tal que representa a T con respecto a las

bases y , encuentre la matriz que representa a T con respecto a las

bases y . Hallar también la matriz que representa a T con

respecto a las bases canónicas.

COMPOSICIÓN E INVERSA

OBJETIVOS: Tareas básicas que un alumno debe aprender: • Determinar si una composición de transformaciones puede efectuarse. • Determinar si una transformación lineal es invertible. • Determinar la composición y/o inversa en los casos en que sea posible.


11.- Sean T1 : P2 → M2×2 y T2 : M2×2 → R3 dos transformaciones lineales tales que:

T1( p(x)) =6 p(x)dx

0

1

∫ p(1)

p(0) p(0)

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

, y 2

2 2

a b ca b

T a b cc d

a b c

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

. Hallar de ser posible 1 2T To y

2 1T To .

12.- Sean T1 : S2×2 → R3 y T2 : P2 → R3 tales que:

1 2 22

a b ca b

T a b cb c

a b c

+ +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

, y 2

(1)( ( )) (0)

( 1)

pT p x p

p

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

. Hallar de ser posible 11 2T T− o y 1

2 1T T −o .

13.- Sea H={v1, v2, v3, v4} una base de V y sea T :V →V una transformación lineal, tal que T(v1)=v2, T(v2)=v3, T(v3)=v4 y T(v4)=nv. Determine el Núcleo de T4. NOTA: T4(v) = (ToToToT)(v).

14.- Sea T:C2àC2 una transformación lineal tal

T

z1z2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

z1 + z2z2 + z1

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

donde C2 es el espacio vectorial de

pares ordenados complejos. Pruebe que ∀v∈C2 (ToT )(v) = 2T (v) . NOTA: z denota el complejo conjugado de z

TEMAS CONCEPTUALES

15.- Califique como verdadero o falso (justifique su respuesta). Si :T V W→ una transformación lineal:

a) Si v no es el neutro de V, entonces T(v) no es el neutro de W.

b) La transformación de 1 2v v− es 1 2( ) ( )T v T v− .

c) Si V y W son espacios isomorfos, T puede ser sobreyectiva pero no inyectiva. d) Si

T (v1),T (v2 ), ... T (vn ){ } es L.I. entonces v1,v2 ... vn{ } es L.I.

e) Si v1,v2 ... vn{ } genera a V, entonces

T (v1),T (v2 ), ... T (vn ){ } genera a W.

f) Si dim(V)>dim(W) y v1,v2 ... vn{ } generan a V, entonces

T (v1),T (v2 ), ... T (vn ){ } genera W.

16.- Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea T: V → W una transformación lineal. Sea v un vector de V, y w un vector de W tales que T(v)=w. Sea x otro vector de V, pruebe que T(x)=w si y solo si x=v+y,

1 2 1 11 1 2 1TA

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

{ }3 21 1 ,1 ,1 ,1x x xβ = − − −

1 22 ,

2 1β

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

{ }3 2 3 23 ,1 , ,1x x x x x xβ = + − − + 1 1

4 , ,1 1

β⎧ − − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭





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donde y pertenece al núcleo de T.

17.- Califique como verdadero o falso (justifique su respuesta). Sea T un operador lineal invertible en un espacio vectorial V. El escalar λ es un valor propio de T si y sólo si 1/ λ es un valor propio de T –1.

VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS:

OBJETIVOS: Tareas básicas que un alumno debe dominar: • Aprender a calcular los valores y vectores característicos de una transformación. • Aprender a calcular los valores y vectores característicos de una matriz de transformación.


NOTA: ESTE TEMA DEPENDE DEL ORDEN DE LA CLASE MAGISTRAL DE CADA PROFESOR.

18.- Sea T : P2 → P2 una transformación lineal con regla de correspondencia:

T a + bx + cx2( ) = (a − b+ 4c)+ (3a + 2b− c)x + (2a + b− c)x2

Hallar los valores y vectores propios de T. ¿Es posible formar una base de P2 con tales vectores?

19.- Sea T : M2×2 → M2×2 una transformación lineal tal que:

T a bc d

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2a + 2b −a + 5b

2a − c 4a − 8c + 3d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

De ser posible, hallar una base de M2×2 formada por vectores característicos de T.

20.- Sea el espacio vectorial funcional C[a, b]2 , y sea la transformación lineal

T :C[a, b]

2 → C[a, b]2 tal que

∀ f ∈C[a, b]

2 T [ f (x)]= f '(x)

a) Encuentre una familia de funciones que sean vectores característicos de T, explicando cuáles son los valores propios correspondientes.

b) Sea la transformación lineal T2 :V →V , tal que T2[ f (x)]= d 2 fdx2

. Hallar por lo menos 3 familias de

funciones que son vectores propios de T. Explique cuáles son los valores propios respectivos.

TUTORIAL: DETERMINACIÓN Y CONSTRUCCIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES

OBJETIVOS: Tareas básicas que un alumno debe dominar: • Determinar la regla de correspondencia de una transformación si se conoce las transformadas de

un conjunto base. • Dada una matriz de transformación, determinar la regla de correspondencia. • Aprender a construir transformaciones según las características dadas.


21.- Una transformación puede determinarse si se sabe como afecta a un conjunto base. Por ejemplo: Sea B={x2–1, x2+1, x –1} es una base de P2, determine la regla de correspondencia de la transformación T de P2 a R3, si se sabe que:

T(x2 –1) = (1, 2, 0) T(x2+1) = (0, 0, 0) T(x –1) = (0, –1 , –1)

La regla de correspondencia se encuentra cuando se conoce la transformación de un vector cualquiera





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del espacio de partida: T(ax2+bx+c) = ¿? Entonces, puesto que se sabe la transformación de una base del espacio de partida, hay que escribir el vector cualquiera como una combinación lineal de la base:

ax2 + bx + c = α1(x2 −1)+α2(x

2 +1)+α3(x −1) y resolver para obtener los coeficientes:

1 1 0 a0 0 1 b−1 1 −1 c

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ f 2↔ f 3→

1 1 0 a−1 1 −1 c0 0 1 b

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

f 2+ f1

→1 1 0 a0 2 −1 c + a0 0 1 b

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

f 2+ f 3

→1 1 0 a0 2 0 c + a0 0 1 b

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Se puede concluir que α3 = c , α2 = (c + a + b) / 2 , y α1 = a −α2 = a − (c + a + b) / 2 = (a − c − b) / 2 . Luego, transformando la combinación a ambos lados:

T [ax2 + bx + c]= T [ α1(x2 −1)+α2(x2 +1)+α3(x −1)] Aplicando linealidad en el lado derecho:

T [ax2 + bx + c]= α1T [ (x2 −1)]+α2T [(x2 +1)]+α3T [(x −1)] Podemos reemplazar los coeficientes que hallamos del sistema lineal y las transformaciones de los vectores que son datos del problema:

T [ax2 + bx + c]= a − c − b2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ T [ (x2 −1)]+ a + c + b

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ T [(x2 +1)]+ c( )T [(x −1)]

= a − c − b2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

120

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+ a + c + b

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+ c

0−1−1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

(a − c − b) / 2a − b − 2c

−c

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Siendo esta última expresión la regla de correspondencia:

T [ax2 + bx + c]=(a − c − b) / 2a − b − 2c

−c

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Esto fue posible porque se conocía como T afectaba a un conjunto base. Muchas veces no se tiene el conjunto base, o no está completo. En ese caso, hay libertad para construir una base según el caso. En otras ocasiones, se proporcionan datos distintos de modo que se construye una base siguiendo los requerimientos dados. A continuación se presenta una serie de ejercicios en este sentido.

a) Sea T :R2 → R3 una transformación lineal.

Si se conoce que T 11

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−131

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

y

T −12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

−8−65

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

calcule T −9

6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b) Sea T: 𝑃! → 𝑃! una transformación lineal tal que: • T(x – x3) = 1 +x2 • T(1–x2) = x + x3

Hallar la regla de correspondencia de T si se sabe además que Nu(T) = Im(T).

c) Construir de ser posible una transformación lineal de 𝑃! en 𝑆!!! tal que:

• x3 − x2 − x −1∈Nu(T ) • ρ(T ) < 3 • T x −1( ) = 1 11 −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

• 1 11 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∈Im(T )

d) Sea T : P2 → P2 una transformación lineal tal que

T (p(x))[ ]B1 =3 2 42 0 24 2 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟p(x)[ ]B1





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donde B1 = x2, x +1, x −1{ } . Hallar la regla de correspondencia de T

e) Construya un operador lineal T en P2 que cumpla con las siguientes condiciones: • El polinomio 1+x+x2 es un vector propio de T que está asociado al valor propio λ = 3 . • El polinomio 1+x–2x2 pertenece al Kernel de T. • T(x) = 1+x+x2

f) Encuentre la regla de correspondencia de una transformación lineal T: 𝑃! → 𝑃! que satisfaga las siguientes condiciones:

• v = 2 –7x es un vector propio de T asociado al valor propio λ = 3 . • T(1 + x) = –6+12x

El vector w = 2 –7x es también un vector propio de la transformación lineal T anterior. ¿A qué valor propio λ está asociado w? Justifique su respuesta.

.

OPCIONAL: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

22.- Una pelota de goma de radio 1 cae. Instantes antes del impacto, la pelota aun conserva su forma esférica. Instantes luego del impacto, la pelota se ha deformado según se muestra en el gráfico, contrayéndose en sus coordenadas “y”, pero expandiéndose en sus coordenadas “x”.

a) Encuentre la regla de correspondencia de una transformación T que efectúe este tipo de modificación, ayudándose con los puntos mostrados.





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23.- Sea T : R2 → R2 una transformación lineal definida por: 27 6

x x yTy y x

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Y considere el paralelogramo P con vértices A(0,0), B(1,2), C(2,5) y D(1,3). En el plano cartesiano, grafique el paralelogramo P y su imagen después de la transformación T, T(P). ¿Es T(P) también un paralelogramo?

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