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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
PROGRAMA DIGITAL PARA EL CALCULO MATRICIAL DE PARÁMETROS ELÉCTRICOS
EN LINEAS DE TRANSMISIÓN
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE INGENIERO ELÉCTRICO EN LA
ESPECIALIZACION DE POTENCIA
Quito, Diciembre de 1.979.
Certifico que el presente trabajo
fue realizado por el Sr. Wilson -
R. Chiluisa C. bajo mi dirección.
AGRADECIMIENTO
Al Sr. Ing. Patricio Orbe, Director de
Tesis, por su constante ayuda durante -
la elaboración del presente trabajo, a
todas las personas que conforman el Ins_
tituto de Informática y Computación; y,
a la Srta. Carmen Cabezas por sus traba_
jos Mecanografieos.
A MIS PADRES Y HERMANOS
ÍNDICE
LISTA DE SÍMBOLOS
CAPITULO I .- INTRODUCCIÓN
1.1 OBJETIVO 3
1.2 JUSTIFICACIÓN DE UN PROGRAMA DE CALCULO ÚNICO
1.3 ALCANCE Y RESTRICCIONES . ¿f.
CAPITULO II .- PARÁMETROS ELÉCTRICOS EN LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN
2.1 INTRODUCCIÓN
2.2 EFECTOS DE LA FRECUENCIA SOBRE LOS PARÁMETROS DE LA LINEA
2.3 EFECTOS DE LA RESISTIVIDAD DE LA TIERRA
2.4 EFECTOS DE LA ESTRATIFICACIÓN DE LA TIERRA
2.5 CÁLCULO DE LA MATRIZ DE IMPEDANCIA SERIE PARA TIERRA MÚLTI-
PLE
2.5.1 CALCULO DE LA IMPEDANCIA INTERNA DE UN CONDUCTOR 1 ¿f
2.5.2 EFECTOS DEL RETORNO POR TIERRA " 17
2.5.3 EFECTO DE LA FLECHA EN LOS PARÁMETROS DE LA LINEA 22
2.5. A HACES DE CONDUCTORES - 2¿f
2.6 REDUCCIÓN DE LA MATRIZ DE IMPEDANCIA SERIE 2?
2.6.1 ELIMINACIÓN DE LOS CABLES DE GUARDIA
2.6.2 REDUCCIÓN DE LINEAS TRIFÁSICAS EN DOBLE CIRCUITO A CIRCUITO 28
SIMPLE
2.7 TRANSPOSICIONES EN LINEAS TRIFÁSICAS 31
2.7-1 LINEAS TRIFÁSICAS EN CIRCUITO SIMPLE 32
2.7.2 LINEAS TRIFÁSICAS EN DOBLE CIRCUITO 35
2.8 CALCULO DE LA MATRIZ DE ADMITANCIA PARALELO 36
2.8.1 MATRIZ DE CAPACITANCIAS 38
2.8.2 EFECTO DE LA TIERRA SOBRE LA CAPACITANCIA DE LAS LINEAS ¿j.0
2.8.3 MATRIZ DE ADMITANCIA Y MATRIZ REDUCIDA ¿f2
2.9 MATRICES DE IMPEDANCIA Y ADMITANCIA EXPRESADAS EN TÉRMINOS 1+$
DE SECUENCIA
CAPITULO III .- DESARROLLO DEL PROGRAMAPAG.
3.1 DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA 0
3.2 EXPLICACIÓN DE LAS SUBRUTINAS
3.3 DIAGRAMAS DE FLUJO 5¿j.
CAPITULO IV .- EJEMPLOS DE APLICACIÓN
4.1 CASO MONOFÁSICO 72
4.2 CASO BIFÁSICO 75
4.3 CASO TRIFÁSICO, CIRCUITO SIMPLE / 77
4.4 CASO TRIFÁSICO, DOBLE CIRCUITO 79
4.5 CASO TRIFÁSICO, DOBLE CIRCUITO, CON CONDUCTORES EN HAZ 81
CAPITULO V .- CONCLUSIONES
""APÉNDICE "A
" "
90
APÉNDICE "B" 99
REFERENCIAS 112
£/LISTA DR SÍMBOLOS
B - matriz de distancias geométricas
C = matriz de capacitancias
Dij - distancia entre el conductor i y la imagen de j
dij = distancia entre los conductores i e j
DMG = distancia media geométrica
E = vector campo eléctrico
f = frecuencia (Hz)
flecha máxima
H = vector intensidad de campo magnético
I = matriz de corrientes
J = vector densidad de corriente
1 = longitud de la trayectoria superficial de un hilo exterior
M = punto de flecha máxima
m =« numero de cables de guardia'
n = numero de conductores de fase
numero de hilos de la ultima capa de un conductor cableado
numero de intervalos
orden de una matriz
P = matriz de coeficientes de potencial
Q <? matriz de carga
R =* matriz de resistencia serie por unidad de longitud
r = radio de un hilo exterior
RMG = radio medio geométrico
T = posición que ocupa el conductor en la torre
V = matriz de voltajes
AV - 'ma'triz de caídas de tensión
X = matriz de reactancia serie por unidad de longitud
(x,y) - sistema de coordenadas cartesianas
Y = matriz de admitancia
YF = nueva posición que ocupa el conductor a lo largo de"! la línea
por efecto de la flecha
Y ' ' — matriz de admitancia shunt en componentes de fase0 1 2 .
Y * * = matriz de admitancia shunt en componentes simétricas
2 = matriz de impedancia serie por unidad de longitud
'0,1,2
* '
Z * ' = matriz de impedancia serie en componentes de fase
matriz de impedancia serie en componentes simétricas
- 2 -
6 = permitividad
fi- = permeabilidad
f = resistividad
c = conductividad
w = frecuencia angular (rad/s)
^ ~ operador Laplaciano
06 = variable de integración
parámetro de transformación
s= límite superior de integración
(3 = parámetro de transformación
- 3 -
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN
1.1 OBJETIVO
El objetivo de la presente tesis es disponer de un programa -
digital capaz de calcular los parámetros de líneas de transmisión -
con cualquier configuración.
1.2 JUSTIFICACIÓN DE UN PROGRAMA DIGITAL DE CALCULO ÚNICO
Un programa de calculo único se justifica desde el punto de -
vista del tiempo de computo empleado y de la simplicidad con que se
proporcionan los datos.
El programa emplea un método de cálculo nuevo basado en opera-
ciones matriciales que evalúa las impedancias y admitancias tanto -
propias como mutuas.
_ ^_£ontribuyen a la formación de la matriz de impedancia serie -
las matrices de: impedancia interna, impedancia debida a la geome—
tría del circuito e impedancia de retorno por tierra. La impedan—
cia interna se calcula por un método experimental basado en la den-
sidad de corriente superficial; dicho en otras palabras se toma en
cuenta el efecto superficial o skin. La impedancia debida a la geo
metría del circuito se calcula en base a las coordenadas de la lí—
nea y. Para la impedancia de retorno por tierra se implementa un
nuevo método de cálculo que se basa en la transformada compleja de
Fourier adaptada a métodos numéricos.
cálculo considerados convencionales, a saber: empleo de curvas, em-
pleo de tablas9, empleo del concepto de la distancia media geométri-
ca con reducción a un equivalente por fase, empleo de factores para
tomar en cuenta elrretorno por tierra.- Además este método es más
avanzado que aquel presentado en la referencia (11) en la que se
emplean tablas promedio de resistencia y reactancia para el —
cálculo de la impedancia interna; y, las correcciones de Carson -
para el cálculo de la impedancia de retorno por tierra.
Los parámetros se calculan tanto en componentes de fase, como
en componentes simétricas.
1.3 . ALCANCE Y RESTRICCIONES
El campo de aplicaciones que encuentra el programa es muy am-
plio, abarca desde un simple circuito monofásico formado por un so
lo conductor, hasta un doble circuito trifásico con cuatro conduc-
tores por fase y cuatro cables de guardia. El programa opera para
cualquier configuración de circuito.
En la tabla 1 se resume todos los casos posibles. Se puede -
aumentar el alcance del programa cambiando únicamente el dimensio-
namiento e introducción pequeñas modificaciones- en el programa ya
que este es muy versátil.
En cuanto a restricciones debe tomarse en cuenta las siguien-
tes:
- El programa no opera con más de veinte y cuatro conductores -
de fase ni más de cuatro cables de guardia.
El programa no opera con conductores solidos.
- 5 -
T A B L A 1
T I P O D E C I R C U I T O
Can conductores s \ -mples
Con 1 conductores / fase
Con 3 conductores / Fase
Con 4 conductores / fase
Sín cables de guardia
Con i cable de guardia
Con 1 cables de guardia
Con 3 cqbles de guardia
Con 4 Cables de guardfa
Con TetoTTid par tierra
Sfn retorno bar tierra
S e t-Q-mcL en cuenta Z.c
Wo SQ temía en cuenta 2c
r f - • 'Ion transposición
5fn transposícfan
Con plecka
•Stn f ie cria
Simétrico
A sí-métrico
M O N O F Á S I C O
X
•
X
B I F Á S I C O
X
TOIFASICOS I M P L E
T R I F Á S I C O - D Q _B L E C I R C U I T O
No se consideran los circuitos marcados con X
- 6 -
CAPITULO II
PARÁMETROS ELÉCTRICOS EN LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN
2.1 INTRODUCCIÓN
Las matrices de impedancia serie y de admintancia shunt son com-
ponentes muy importantes de un sistema eléctrico de potencia, razón -
por la cual a lo largo de los años se han ido discutiendo teorías ca-
da vez más avanzadas con el afán de encontrar la solución que también
tome en cuenta el efecto de las corrientes de desplazamiento.
En 1.926 Carson presento la solución para las impedancias pro
pias y mutuas de un conductor en la presencia de una tierra homogénea
semi-infinita.- En su solución para el campo magnético los resulta—
dos fueron expresados en términos de una serie infinita convergente,
luego expresó estas series en términos de una integral rápidamente -
convergente.
Un poco más tarde Wise2extendió el análisis para tomar en cuenta
las corrientes de desplazamiento cuando" las permitividades relativas
de la tierra y el dieléctrico no son iguales.
2Recientemente Mullineux y Reed mostraron que la integral de Car-
son puede ser derivada haciendo uso de la Transformada doble de Fou—
rier y al mismo tiempo gereralizaron el método permitiendo que la pe;r_
meabilidad relativa sea la unidad; además, como un caso particular -
ellos han llegado a resultados similares a los dados por Carson en el
caso de que la tierra sea homogénea-.
ECUACIONES FUNDAMENTALES:
En un elemento de longitud de línea Ax, la corriente que fluye -
en cualquiera de los conductores de la linea produce una caída de ten
sion en ese conductor e induce voltajes en todos los otros conducto—
res permitiendo escribir que;
— "7 —
Ax = _ Z I : C 2.1
El signo negativo aparece porque el cambio de voltaje es negat_i ,
vo para aumento de x. Debido al potencial de los conductores se pro_
ducen corrientes shunt por unidad de longitud y se puede escribir:n
A i . / A x ^ Y ^ V , + ^ Y c j V j < 2 . 2 )
k - \ - ¿ } - • • , n
Alternativamente definiendo a Z como matriz de impedancia serie,
a Y como matriz de admitancia shunt, en el límite, donde Ax -*• O :
d v /dx =-ZI ; d i / d x = - Y V ( 2.3 , 2.4 )
tal que,
d'v/dx1 = ZYV [2.5]
donde Z, Y son matrices de orden (nxn) validas únicamente para una -
frecuencia escogida. Estas son las matrices que vamos a obtener en
la presente tesis.
Una línea de transmisión aerea consiste escencialmente de un -
grupo de conductores dispuestos paralelamente y montados sobre so—
portes, que sirven para transportar la energía eléctrica desde las
centrales generadoras hasta las subestaciones de distribución.
En el sistema de transmisión pueden existir otros conductores,
los hilos de guardia, que dan el blindaje o apantallamíento a la lí-
nea, por lo general estos conductores están conectadas a tierra en -
las torres.
De este modo se puede visualizar a la línea como un arreglo de
conductores, bastante complejo, donde existe acoplamiento entre los -
conductores sean estos de fase o de tierra.
Una línea eléctrica de transporte tiene cuatro parámetros que -
influyen en su aptitud para llenar su función como componente de un
sistema eléctrico de potencia.— Estos parámetros son: resistencia ,
inductancia, capacitancia y conductancia.
- 8 -
Dependiendo del material del que están hechos y sus dimensio-
nes, los conductores tienen una resistencia definida; por otra par-
te el campo magnético producido por la corriente alterna que circu-
la por un conductor se concatena con los otros lo que origina una -
inductancia asociada con cada conductor-- Ademas existe una capaci-
tancia entre cada par de conductores y entre cada conductor y tie-
rra ; y, por otra parte, dado que el aislamiento no es perfecto pu_e_
de existir una corriente de dispersión a tierra, efecto que puede -
ser representado con una resistencia entre el conductor-y tierra.
Dado que una linea de transmisión es el elemento más común en
las redes de potencia, los parámetros mencionados anteriormente se
deben conocer, ya que los modelos matemáticos usados para su repre
sentacion al igual que las constantes es el primer tópico que deben
estudiar las personas interesadas en la ingeniería de los sistemas
eléctricos de potencia.
El calculo se hará para las matrices de impedancia serie y ad-
mitancia paralelo. Se incluirá el efecto de la resistividad de tits
rra para incluir el efecto de la frecuencia en los parámetros de la
línea.
2.2 EFECTOS DE LA FRECUENCIA SOBRE LOS PARÁMETROS DE LA LINEA
Los parámetros de una línea de transmisión dependen de la fre-
cuencia a la cual es hecha la medida; estos varían continuamente -3
con ella. Para frecuencia menores que 10 rad/s las variaciones no
son muy significativas; mientras que para frecuencias mayores que3
10 rad/s las variaciones son de tipo exponencial, como se puede ver
en la Fig. 2.1
- 9 -
R t Jl/tn'í/a.1
0.4
O _*_ UJ
a )
Parámetros
(conductor d
2.1a) resi
10 lo1 la1 iff4 la1 10*
I b )
2.1
sistenci
2.3 EFECTOS DE -LA-RESISTIVIDAD DE LA TIERRA
transmisión
típicos do una línea de 275 KV
guardia eliminado)
ia, 2.1"b) inductancia.
Las lineas de
cuya estructura del suelo
mogéneo a aquel que no
medio. La resistividad
ría entre 7 ohm-m y 10.
vidad del suelo orgánico
resistividad del suelo
ficie del terreno y es
ricas: la lluvia, el sol
día; en otras palabras
medad y de la temperatura
generalmente atraviesan por terrenos -
no es homogéneo.- Se define como suelo no ho
:iene la misma resistividad en todo el conjunto
no es única si el suelo no es uniforme, ésta va_
000 ohm-m que corresponden a valores de resisti
húmedo y de mantos rocosos respectivamente.La
es una función de la profundidad bajo la super-
sumamente variable con las condiciones atmosfé-
, las estaciones del año e incluso la hora del
la resistividad es una función inversa de la hu
como se puede ver en la Fig. 2.2.
1.- La densidad de
por lo:tanto las líneas
material.
2.- El campo eléctrico
E_ P t : „ . __„— j j • •
ademas,
= _AV
Los estudios de resistividad se basan en dos principios fundamen-
tales:
corriente es mayor en el material mejor conductor,
de corriente tratarán de concentrarse en este
está dado por,
( 2.6 )
( 2.7 )
- 10
esto quiere decir que toda manifestación de corriente,
será reflejada en una diferencia do potencial.
Roaj iUvidod
- *£&?• :<s~~-~
3000
t'GcfQ-
800 -
fj.QQ-
£00
io:o
^QQOoo
lOOODQ
20 OC
ÍOOQ
400
zoo
10
-to 10 30 .50
FIG-. 2.2 Resistividad de la cangahua, !?.2a) en función
de ila humedad, 2.2b) en función de la tempera-
tura ( *C )
Debido a la diversidad de los valores de resistividad que se
pueden obtener en un*, mismo suelo, en muchos casos se obtiene re—
sultados aceptables escogiendo un valor promedio de la misma.
Puesto que Z depende de la contribución del camino de retor-
no por tierra, es necesario que consideremos este efecto.
2.4 EFECTOS DE LA ESTRATIFICACIÓN DE LA TIERRA
En lo que se refiere a la estratificación de la tierra se co_n
sideran dos capas: una
y , una segunda de profundidad infinita y resistividad f2 , Fig.Z.3
superior de profundidad d y resistividad
no es tan cierta porque un terreno general
, pero nos permite realizar un análisis
Esta consideración
mente posee varios
matemático no muy complicado.
Se asume que la propagación electromagnética de las corrientes
de desplazamiento tienen lugar solamente en la dirección de z. Esto
•puede mostrarse por la
Luego de hacer
borde y aplicar la
Maxwell en tres
ción:
relación de Maxwell,
-- [ 2 - 8 J
algunas consideraciones, insertar condiciones de
completa de Fourier a la relación de
, ver 2.5; se llega a la siguiente ecua
transformada
dimensiones
TTjHl ; eos [oc t*-sr) je~
(2.9)
en donde se ve claramente el efecto de la estratificación de la tie
rra.
Para el caso en que la tierra sea homogénea; es decir f¡ _ f3
la relación : jJLi^^i y la ecuación se reduce a:
-nm ir [2.10 J
Estudios experimentales realizados en líneas de 400 KV indican
que para estratos bien profundos (200 pies) el efecto es pequeño a
baja frecuencia., pero a| alta frecuencia un estrato solamente de 2
pies tiene un efecto preponderante sobre la inductancia de la línea.
La dependencia de; la profundidad de penetración y la frecuen—
cia angular está dada por la siguiente ecuación:
En el desarrollo del programa digital se considera que la tie-
rra es homogénea.
2.5 CALCULO DE LA MATRIZ DE IKPEDANCIA SERIE PARA TIERRA MÚLTIPLE
Los elementos de Z constan de las'"impedancias propias y mutuas
entre conductores.
La impedancia mutua entre los n y m conductores de los» puntos
N y M, Fig. 2.4 está dada por:
cos
9 (Sr.hr)
'•FIG. 2.3Diagrama ríe estratificación riel r.istema.
- 13-
FIG. 2.4Coordenadas de los conductores
La ímpedancia propia consta de db's partes: una impedancia in-
terna cuyo cálculo se muestra en el numeral 2 .5 .1 y una impedancia
externa derivada de la ecuación (2.11) con n=í=m tal q u e ,
-1-n (•T-n-rt
A exp (- ¿r
Si la tierra es perfectamente conductora ( o-= co )} ios se—
gundos términos de las ecuaciones (2.11) y (2.12) desaparecen dejají
do únicamente los términos logarítmicos.- Además, puesto que ce"1 es
imaginario , las impedancias son puramente inductivas. Las integra
les introducen los efectos de la conductividad finita de la tierra;
y, puesto que las integrales son complejas, éstas tendrán términos
reales (o resistivos) los cuales se tomarán en cuenta para perdidas
en la tierra. El camino seguido para llegar a esta integral se -
muestra en el numeral 2.5-2.
— M —
En la integral Yn, Ym son las alturas de los conductores -
respecto a tierra (tomamos como referencia un sistema de coordena-
das cartesianas en el cual el eje x coincide con la superficie de
la tierra y el eje y con el eje de simetría de la torre), así, la
rapidez de decaimiento exponencial depende del termino (-V l^n*^ } ) ;
la principal contribución a la integral está en un pequeño ínterva^
lo en la vecindad de ? = 0; es decir, O V -£ P
Sobre este rango el termino que contiene el coseno tiene me-
nor efecto siendo practica usual llevar la integración con respec-
to a v en el intervalo (O,?) con <?-0.2
2.5.1 CALCULO DE ;LA 1KPEDANCIA INTERNA JDE UN CONDUCTOR
En corriente continua la corriente se distribuye uniformemen
te en el conductor, mientras que en corriente alterna el campo mag
nético produce un efecto de oposición a la penetración de la co
rriente al centro del conductor, por lo que la densidad de corrien
te se incrementa en las capas superficiales del conductor y se re-
ducen hacia el centro del mismo.
El efecto superficial, pelicular o skín se incrementa con la
sección transversal y permeabilidad magnética del conductor, así co
mo con la frecuencia, a 60 ciclos este efecto es despreciable. Debi
do a la dependencia con la sección transversal el efecto es menor -
con conductores cableados que con conductores solidos.
Una sección del conductor se muestra en la Fig. 2.5
Si se considera una frecuencia suficientemente alta, la Ho es
tangencial en todas partes de la superficie del conductor y propor-
cional a la Jo en la superficie.- La densid¿id de corriente en cual-
quier lugar de r normal a la superficie del conductor es:
- 15 -
JMr
jo eJo/m
-mr (2.13)
(2.170
FIG. 2.5
Sección cié la superficie
del conductor.
La corriente total en el conductor se obtiene por integración
con un elemento de superficie di, primeramente normal a la superfi-
cie y luego alrededor de la superficie.- Debido a la pequenez de m ,
la primera, integración respecto a r puede ser tomada como infini-
to con un pequeño error y la corriente total es consecuentemente:
_ ,>»f .. iJ0 S di dr • L_
Tildi [ a. is )
Para calcular la impedancia interna es necesario conocer la -
- 16 -
caída de voltaje interna total, el cual puede ser evaluado en el -
extremo exterior puesto que la caída de voltaje en el aire (trayec_
toria) se calcula para este punto . En este punto la densidad de -
corriente superficial sera máxima, la caída de voltaje será:
V / - P I • _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - - - - - - z . i &V — i Jo -mcu . — •- '
la impedancia interna es:
j_ y _ -f Jo -m¿* - f-ml Jo™¿*. ----------- [Z. 17 ]
1 = 4 / Jo <U lj Jo e/i
puesto que H y J son proporcionales en todas partes,
7 _ P-ml H° ™¿* _____ _________ - --- [ a . 18 )[ JMo di
Por simetría del modelo, el campo en todo el exterior del hilo es
idéntico y,l . n r e _____ ____ •- - . ---- C 2 ' 1 9 )
De la F i . 2.5
por lo tanto j
JHo di puede ser obtenido usando un tanque electrlítico para la -
mitad de la superficie de un hilo. Ho es entonces obtenido por •
un trazo recto como una proyección de la pendiente inicial.
El factor:
HQ ™¿< L _ . f a.2.Or\ ¡ *- '
se determina en este caso para un numero de hilos exteriores comun-
mente usados, 6, 12, 18, 24 y se ha encontrado que este valor es a-
proximadamente 2 .25.
Entonces la formula para la impedancia interna del conductor -
es:2 - a .25 f m f 2.. 23 ]*- _ e u _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ - . ( _ j
c
R C = X C = 2-" .uJMf - - - - - - - - - - - - - - _ - - . [ a . 2.4)a n r tun)
, 1 ~1
Esto es ma's exacto cuando la profundidad de penetración es
pequeña comparada con el radío de un hilo. Para conductores de uso
común la ecuación (2,23) da resultados aceptables en el rango de ¿-
frecuencias de 2 •? .5 KHz,
Es sabido que los parámetros de las líneas de transmisión va-
rían con la frecuencia, por lo tanto los valores de impedancia, re-
sistencia y reactancia, que se encuentran en las tablas son valores
promedios aproximados encontrados solo para determinadas frecuen
cias. En contraposición este método nos permite calcular en forma
exacta el valor de la impedancia interna para cualquier frecuencia
tomando en cuenta ademas el efecto superficial o skin.
2.5.2 EFECTO DEL RETORNO POR TIERRA .
En el sistema de transmisión la tierra sobre la que va la lí
nea desempeña un papel muy importante, la cual debe ser considerada
como un conductor adicional donde también se producen perdidas. En
el caso, de suelos de altas perdidas, se"utiliza el "counterpoise
Wire" conductor desnudo enterrado en el suelo debajo de la línea y
conectado a las torres.
Para resolver la ecuación de campo planteada en el numeral
2.4 para la impedancia propia y mutua de un sistema multiconductor
en la presencia de una tierra finita no homogénea se aplica el meto
do de la transformada compleja de Fourier. La solución se expresa
como una integral, esta integral toma en cuenta el efecto de las co_
rrientes de desplazamiento, efecto del retorno por tierra, para tp_
mar en cuenta las perdidas en la tierra y puede ser evaluada por m£
todos numéricos.
Usualmente se hacen las siguientes consideraciones:
a) La corriente en el dieléctrico se concentra en un filamento in
finitamente delgado tal que,
- 18
J <= 1 </(.*) cTcy) -^-^—-. (2.25)
Cabe recordar que la función delta es el impulso unitario definido
como;r
t co M t * O
« eí cf(tl 4t - </(t) dt „ i ; e^a rJ J
b) En primera instancia las corrientes de desplazamiento pueden
ser despreciadas tal que, en la tierra:
E = f J
c) Las corrientes en la tierra y por lo tanto E están paralelos
a los conductores de fase; por lo tanto,
Ex - Es = O
Jx - Jy — O
consecuentemente,
E = Ei
d) 'Las corrientes en la tierra, y por lo tanto la E no cambian -
en la dirección de propagación, por lo tanto»
9 E- 3 ODa
Con estos antecedentes la ecuación (2.8) se reduce a las si-
guientes ecuaciones en las tres regiones:
Ei o Z I r t / U - S v ) <f í y - h r ) , y 7 Q -----
4-
O para ' X' T¿ Si
j co para * - St
- 19 -
DO
¿(X-Sr) dx = i
i para J(y- hr ) .
Estas son las llamadas funciones de üirac, funciones de impul
so unitario o funciones delta. Se entiende que las ecuaciones (2.27)
a (2,29) se refieren a las regiones de tierra, con y considerada co-.
mo una cantidad positiva por conveniencia. El signo negativo se u~
sará solo cuando las regiones B o C comparadas con la región A. Tam-
bién,
mí . juj/ti//, ------ — ---------------------- (2.32)
•mí - j^/ t i /A - ________ , ______________________ (2 33)
Para encontrar la solución de E en términos de las corrientes -
en los -conductores , se aplican las siguientes condiciones.de borde:
Para y = O , Et = E2 = E10
O £ 2
Para y « d ,
D* Ox
Nótese por ejemplo que Q£ij ae usa para denotar
Transformando las ecuaciones (2.27) a (2.29) por meylio de la tran_s_
formada compleja de Fourier con respecto a y confi'como parámetro de !»=-
transformación y luego con respecto a x con como parámetro de transfor-
mación se obtiene:
- 20 -
y T f exp f- j (<* Sr * 0f i*-H 2¿!5- _ í P üTo - f ¿. 34 ]*— J' r i. w ' -, , j L ji oy
[ 2 . 3 5 ]
j»d
donde por ejemplo.
Invertiendo las ecuaciones (2 .34) a (2 .36) con respecto a (3 y
evaluando las integrales resultantes da ,
EL* 3 _ nio ¿ ir ey-p (-J'oc5y) s^p í-0*- ^ hr +y^ - ^£ÍQ e"*y4 i¿_£ly_. [a. 37")i ~ ~~ (} y • 2i ot 2
(- ( J - V ) í^ + wí ) i ; i j 4_ili Q K p í - íi;i 4
2"•?)J
4.
Aplicando las condiciones de borde especificadas, estas ecuacio
nes pueden ser reducidas a,
_ mí I r e T e - - ( y - f h r ) -i-
smh iính
Tomando en cuenta las consideraciones hechas y las ecuaciones -
(2.41) y (2 .42) E z¿ se elimina de la ecuación (2 .41) en términos dei-
E to y aplicando las segundas condiciones de borde a las ecuaciones
(2 .40) y (2.41) se obtiene:
l V To i. Ir
- 21 -
E*o 3 - W Z Ir 9"" - . , ce ¡E O
donde:
- . i r j , i 1 1 i/iStTih i a (. ce 4.TT7! )
cosh f cí í o:1 -f TTI^ ) } JJL'¿ (
_At (cc»+Tní) l / l cosh fdO^
z t J 1/1 -
•mD^j- fc J. [ 2 . 4 5 ]
Seguidamente por sustitución de E^ en la ecuación (2.40) e in
vertiendo con respecto a oc la relación entre EI y la corriente en~"
el conductor es:
EL = -mí Í Ji í e x p f - c c ( h r ^ ) ) eyp f j oc ( y - S r J ] J ocI zn J ¿oí
t -n)cc 4 A
_
DE IMPEDANCIA SERIE JEN FORMA' GKNEKAL
Calculadas las impedancias interna y de retorno por tierra de
acuerdo a los numerales 2 . 5 . 1 y 2 . 5 . 2 , la impedancia serie expresada
en forma matricial será:
[Zc]
donde zg, Zc y Zt son matrices de impedancia que dependen de la geo-
metría del circuito, de las características del conductor y del cami
no de retorno por tierra respectivamente.
Z escrita en forma desarrollada será:
Zía . . , ZÁJ!.
- 22 -
TU t| 11
Z ... Z•
2 t, -mi
Z ¡ , -n^ rn
2 i > TJ -u
( 2.49 )
Donde los z¿-i son elemenCos cualquiera de Z
i > 3, = 13 2, ... , n+m
2.5.3 EFECTO DE LA FLECRA EN LOS PARÁMETROS DE LA LINEA
Por razones de diseño mecánico, temperatura u otros factores,
los conductores no mantienen la posición horizontal a lo largo de
la línea formando más bien una catenaria Fig. 2.6; y, puesto que -
las matrices de irapedancia serie y admintancia paralelo dependen -
déla posición de los conductores respecto al plano de tierra, es -
necesario corregir la posición de los mismos , para lo cual se
utiliza la siguiente relación:
YF =T -
{5+£-^l/1J-( 2.50)
FIG. 2.6
Disposición real de una línea de transmisión
23 -
CARACTERÍSTICAS DE LA S_ MATRICES
Las matrices Z, Zg, Zt, Zc son matrices cuadradas de orden
(n + m) x (n 4- m) . Estas son matrices no singulares; es decir, tija
nen inversa; son dominantes; es decir, el valor de cualquier elemeri
to de la diagonal es mayor que el valor de cualquier elemento fuera
de la diagonal principal.
Puesto que las líneas de transmisión son consideradas corno ele
mentos estacionarios y bilaterales, las matrices mencionadas son s_i
métricas. Zc es una matriz diagonal; es decir, que cualquier elemeri
to que este fuera de la diagonal principal es igual a cero, Zt es
una matriz llena.
ALGUNAS PÁRTICULARIZACIONES EN EL U_SC) DE LA ECUACIÓN (2.48)
Si no se quiere tomar en cuenta el efecto de retorno por tie-
rra, Zt se elimina y la ecuación (2.48) se reduce a:
Z - Zg -1- Zc
Con esta suposición se consideran despreciables las perdidas
en la tierra ; y, el método es similar a los métodos de cálculo con.
vencionales.
- En un sistema ideal sin perdidas se puede despreciar Zc y Zt,
tal que:
Z - Zg
la iinpedancia serie es puramente inductiva y el métddo es similar a
aquel explicado en la referencia ( 6 )
- Para una línea trifásica con disposición equilátera Fig. 2.7
se cumple que:
DH = DL3 = -DUy puesto que generalmente una línea de transmisión tiene todos sus r.
conductores idénticos, tanto en el material como en sus dimensiones,
las fases son balanceadas y,
Z,, — Zi
-ni
•x- ( 2,51 )
Seguidamente la Z será:
Zm Zp
Zp Zm
Zp . Zp
Zp
Zp
Zm
FIG. 2.7Sección transversal de una línea
trifásica con BUS conductores en
osición equilátera.
Este tipo de configuración no es muy usual encontrar .en la
tica, ya que para altos voltajes las estructuras se tornan muy costp_
sas; de ahí, que el tipo de configuración asimétrica con retorno por
tierra es el más abundante debido a ciertas ventajas es su diseño, -
construcción y economía.
2.5 .4 HACES DE CONDUCTORES
Cuando se requiere transportar energía a muy altos voltajes, re
sulta muchas veces ineficiente o no es posible hacerlo con conducto-
res simples ya sea por las limitaciones en cuanto a capacidad de con
duccion o por las pérdidas debidas al efecto corona.- En este caso -
se utilizan conductores en paralelo, denominados haces de conductores,
obteniéndose de esta manera una disminución de la magnitud de los -
parámetros de la línea y una reducción apreciable de la corona y radip_
interferencia. Generalmente los haces de conductores están constituí
dos por dos, tres o cuatro conductores por fase y estos pueden ser con
- 25 ~
siderados como hilos de un solo conductor compuesto que se mantie-
a igual espaciamíento a lo largo de la línea con la ayuda cleC-cspa
ciamiento a lo largo do la línen con la ayuda do)espaciadores me-
tálicos.
Cada uno de los subconductores componentes de un haz son de -
un diámetro menor de lo que sería un solo conductor, el radio de
este conductor que simulan se llama radio medio geométrico o distan
cia media geométrica propia (ÜMG).
Para haces de conductores el concepto de la distancia media -
geométrica produce resultados de suficiente precidion, reduciendo
grandemente el tiempo de computo requerido para la evaluación de
los parámetros de la línea.
DISTANCIA MEDIA GEOMÉTRICA
La distancia media geométrica es un concepto muy útil en el -
cálculo de los parámetros de impedancia y admitancia de una línea
de transmisión, por lo que es conveniente establecer claramente es
te concepto.
Por definición, la. distancia media geométrica de un punto a un
grupo formado por otros puntos, es la media geométrica de las dis-
tancias de ese punto cada uno de los otros puntos considerados, -
ver referencia ( 4 )
La impedancia interna del haz se obtiene solamente dividiendo
la impedancia interna de un conductor para el numero de subconduc
tores del haz ya que todos ellos están en paralelo.
Para el caso de un haz de dos subconductor-es,
>' !•'R MG = V f.S • . - [2.5l]
; 001874
- 26 -
SHG
para el caso de un haz de cuatro subconductores,
4-
•-O,
O
EMG
Haciendo uso del concepto de la distancia media geométrica -
el doble circuito trifásico de la ?ig. 2.8 puede ser representada
por el doble circuito trifásico de la fig. 2.9 donde los conducto
res sombreados simulan a los haces de conductores; y , las nuevas
coordenadas de estos conductores equivalentes son encontradas api i.
cando el concepto de la media aritmética en el dominio de x e y.
io*o
i f ' -»- to i0 0 ) 00 • ^
13 O O &
eoOM
i 3
0 015 O O21
16 O O "
5 U i
00 ¿17 O O «
fa U0 0 . >
La O O ^4 ©
4-
©5
6
®1
PIG. 2.8
Configuración cíe un doble cir-
cuito trifásico de cuatro con-
ductores por fase
. 2.9
Conf i^oiración equivalen-
te a la ciada en la
2.8.
- 27 ~
2 . 6 REDUCCIÓN DE LA HATRIZ DE IMPEDANCIA SERIE
Utilizando la relación ( 2.49;) la ecuación de caída de volt_a
je se puede escribir como:
l ' THÍ ' * ' 1 ' Ti-nn
-n-u,i»
-(2.55)
A Vi
A Vn
A Vn
.AVn-hn
donde los V, I son vecCores columna de dimensión (n-hn)xí
2.6.1 ELIMINACIÓN DE LOS CABLES DE GUARDIA
Las matrices anteriores pueden ser partidas; ys la ecuación de -
caída de tensión expresada en forma de submatrices se puede escribir
de la siguiente forma:
• (2.56)
donde el subíndice e se refiere a los voltajes o corrientes de los -t
cables de guardia y Q2 es la transpuesta de C^-
Considerando que los cables de guardia permanecen a un potencial
cero a lo largo de la línea,
AVe = O = Qt I + Q3 lfi --- ' ---------------- (2 .57)
tal que,
AV (nxl)
AV e (mxl )_
Q (nxn)
Q (mxn)
0 (nxm)
Q (mxm) .
f \ (nxl)
Ie(mxl )^ /
AV - Q I
AV - (Q3 -
AV = Zs í
de donde,
Q2
QÍ)
(2 -58)
o o —f-Q
Zs = (Q,- Q^c ----------------------------- ( 2. .59)
Zs es la matriz de impedancias que resulta luego de eliminar
los cables de guardia, Cieñe las mismas características que Z pero
es de orden (nxn) .
2.6-2 REDUCCIÓN DE LINEAS TRIFÁSICAS EN DOBLE CIRCUITO A CIERCUITO SIMPLE
La reducción se realiza aplicando la teoría de eliminación de
nodos en redes eléctricas .
Desarrollando la ecuación ( 2.58 ) se tiene,
, \X
A V 2
.
AV,,
AVn
—
'
du du . . . d ím-i
d¿( dix . . . d j ,-n-i
dfl.4 i l cl,.I|2 d,.,,.
dm dnt d n ,n- i\ln
d,-n
d,..,
dnn
I i
1-L
. (
•^n
2.60)
donde los dij son los elementos de la matriz Zs para,
i,j, = 1,2, .,. , n
Escribiendo ( 2.60 ) en forma 'de submatrices,
y '
AVr
A ex
Zr
zij
Zil
Zll/
Ir
11^ /
(2.61)
El procedimiento consiste en conectar en serie con el nodo una
fuente de tensión e¿ de 1 por unidad (1-p.u) tal que la corriente en
el nodo sea cero, entonces se mide las corrientes inducidas en los -
otros nodos, luego se cortocircuita la fuente o sea e^ = O, el proce
dimiento se ilustra en la "Fig. 2.10
- 29 -
R E D
A 6 VA
vi
FIG. 2.10
De ( 2.61 ) se tiene que,
Vr«ZrIr + Zil ll' .
e1-Zlj Ir + zil II « O
reemplazando ( 2.63 ) en (2 .62)
Zr
Zll
Ir
( 2 ,62 )
C 2.63 )
( 2 .64) "
En consecuencia la matriz resultante Zr después de eliminar elnodo es :
Zr (modificada) - Zr (original) - Z£L_£Ü v— ( 2.65 )Zll
Un elemento cualquiera de la matriz modificada es;
Zij (modificada) = Zij (original) - Zil 71 j —Zll
( 2.66 )
Zij (original) es el elemento de\la matr iz Zs antes de cada proceso
de absorción, Zij (modificada) es el elemento de la matriz.
Zs después de cada absorción.
1 - 6 , 5 , 4
i - 1,2 , . , , 1
3 - 1,2 , . v i
- 30 -
Para aclarar este método de reducción consideremos el doble
circuito trifásico de la Fig. 2.11.
o oo o
J
oC I R C U I T OI Z Q U I E R D O
oCIQCUITOD E S E C H O
FIG, 2.11Confip-uración trifásica en doble
circuito sin cables de guardia.
De acuerdo a la ecuación (2.58) se puede escribir,
A Vi
A V£.1 3
AV6
o bien,
AVf
AVg
I
da . . .
M
du . . .
f
Zs AA
Zs BA
d»
dU33
di3
•>
ZsAB
Zs BB
du
34
db4
í* • \f
ig t
. . . du
• u 36
d & 6
/
-^i
3
i.
^9 í^
(2.67)
R ^o;
Esta matriz Zs de orden (6x6) luego aplicar el primer proceso
de absorción se reducirá a una matriz (5x5), el proceso de reducción
se repite en forma sucesiva hasta que la matriz modificada sea de or_
den (3x3), esta nueva matriz reducida sera:
(2 .69 )
2 u
Z t í** ¿1
Z3t
2 U
Z ti" *-2
2«
2 13
Z i i£3
Z33
11oí
Puesto que las líneas trifásicas en doble circuito general-
mente son simétricas respecto al eje vertical, se cumple que:
ZsAA - ZsBB 1i _ --- . ( z . 7 0)
ZsAB = ZsBA í
con lo cual la matriz de impedancia equivalente se reduce a:
i £/fvLi ) I ¿- ~" — ——— — ——— ——— --- ••— ------ \¿- • i -1- )
ZAÁ, ZÁB , Zeq son matrices (3x3) y tienen las mismas caracte
rlsticas que Z.
2.7 TRANSPOSICIONES EN LINEAS TRIFÁSICAS
Si los conductores de una línea trifásica no se encuentran
localizados simétricamente, las impedancias también serán asime —
tricas y en este caso uno de los fenómenos que se presentan es -
que la caída de voltaje en las distintas fases son diferentes aun
cuando las corrientes son simétricas , (carga balanceada) .
Desde el punto de vista de operación esto resulLa indesea —
ble ya que produce alteraciones en las magnitudes eléctricas del
sistema aumentando las pérdidas de transmisión y en algunos casos
extremos causando problema en la sensibilidad de la protecciones
adicionalmente se presentan fenómenos de capacitancia en la línea
y fenómenos de radio interferencia en circuitos de comunicaciones
vecinos .
Por otra parte desde el punto de vista mecánico del diseño
de la línea se requiere que la localizacion de las fases sea asi-
métrica .
Los inconvenientes técnicos y económicos deben ser objeto -
de una cuidadosa evaluación si se desea justificar el no hacer -
transposiciones; o a su vez se debe tratar de controlar este des-
balanceamiento por medio de otros métodos.
— 32. ~
Casi como un compromiso entre estos requerimientos, las lí-
neas se diseñan asimétricas, pero se transponen. La transposición
de fases se realiza para reducir al mínimo el desequilibrio elec—
tromagnetico y electrostático entre las fases. Si la línea tiene
una longitud 1, cada transposición se hace a 1/3 de la longitud de
la línea.
Las líneas modernas corrientemente no se transpones, pero en
cambio las posiciones de los conductores se cambia en las subesta-
ciones para tratar de equilibrar las impedancias de las fases.
2.7.1 LINEAS TRIFÁSICAS EN CIRCUITO SIMPLE
La Pig. (2.12) representa un ciclo completo de transposición
donde se puede apreciar que cada fase ocupa las tre^posíciones po-
sibles y en tramos iguales •.
Sección Sección
• L / 3
FIG. 2.12
Ciclo de transposición de un
circuito trifásico sim -le.
-,, t,
33 -
Las ecuaciones de caída de tensi5n.para las tres secciones
serán:
SECCIÓN I:
'A Va"
AVb
A Ve
=
Zaa Zab
Zab Zbb
Zea Zcb
Zac
Zbc
Zcc
.
la
Ib
Ic
o en notación abreviada:
A
AV
^
AV'
SECCIÓN II ;
c,a,b,
SECCIÓN III;
> > c,a
Z I
Z I
c,a ,b
>,c ,a
Con el fin de poder sumar estos tres vectores de caída de
caída de tensión, es necesario que dichos vectores sean iguales, de
ahí que se debe definir una matriz de transposición T, matriz que
es ortogonal ya que cumple con las siguientes propiedades:
m"j_ _ T1
rn¿. rpL • ..
T -
Para la sección II:
0
10
0
0
1
10
0
(AVc'Qfb)
Para la sección III
(AV°'blC)
Utilizando las dos ultimas relaciones se puede escribir,
Por las propiedades de las matrices (T ) - T
Considerando el promedio de las caídas de tensión se tiene,
3
Donde la matriz de impedancia transpuesta es,
2TR1 = ( Z + T Z T 7 ---- C2'75
y efectuando las operaciones matriciales en forma desarrollada se
llega a,
ZRT1 =
Zm
Zn
Zn
Zn
Zn
Zm
donde,
Zm = (Zaa + Zbb + Zcc)/3
Zn = (Zab -t- Zbc + Zea) /3
- ( 2 . 7 6 )
OBSERVACIÓN: la relación (2 .76) se cumple gracias a que las matri-
ces de impedancia son simétricas.
- 35 -
2.7.2 LINEAS TRIFÁSICAS EN -DOBLE CIRCUITO
Consideremos la 'Fig. 2.13
ob
oo
c
o
oo
c
O
a
Oo
c
o
o
b
o
o oo
a
O
b1
oo
S eccion ISección u
C .
Sección
FIG. 2.13
Ciclo de transposición de un
doble circuito trifásico.
-* c
L/3~"~
L / 3 L/3
Utilizando las mismas ecuaciones (2.72), (2.73) y (2.74) para
los dos circuitos y de acuerdo a la ecuación (2.68) se tiene,
SECCIÓN I:
- 36 -
= IsAA
SECCIÓN II
«'°lb)u IF
SECCIÓN III
'SL Z s A A l F b i e i a +
) = ZsBA IF +
a, b,c
IG
(Z.77)
2.8
Tomando en cuenta la matriz T y sus relaciones se puede concluir
que la matriz de impedancia transpuesta resulta:
ZSTR2 ~
(ZSAA)
(ZSBA) TR
(ZSAB) TR
(ZSBB) TR
'(2.78)
y según la ecuación (2.7.4)
(ZSAA) 1TR = (ZSAA + Tü ZSAÁ T + T ZSAA Tt)/3 (2.79)
expresiones similares corresponden a las submatrices
(ZSAB)TR, (ZSBA)TR Y (ZsBB)
La relación (2.76) no se cumple para las submatrices
(ZSAB)TR , (ZSBA)-£R ya que estas no son simétricas.
CALCULO DE LA MATRIZ ADMITANCIA
La matriz de admitancia es función únicamente de la geometría
de los conductores respecto al plano de tierrayporque el conductor -
y la superficie de la tierra pueden ser considerados como superfi
- 37 -
cies equipotenciales. La matriz de admitancia no tiene parte real
porque la conductancia de la trayectoria del aire es despreciable.
Para el cálculo de Y se aplica el método de las imágenes que se -
describe en el numeral 2.8.2
La localízacion física de los conductores se define con res-
pecto a un sistema de coordenadas, con la tierra como eje horizon
tal y el eje de simetría de la torre como referencia vertical,
Fig, 2.14
Torre
*— Tierra
6'míagen de!conductorjbh
FIO. 2.14
Esquema de conductores
Los elementos de la matriz B están definidos por:
B = In (üi j /di j ) (2.80)
donde,
üij « distancia entre el conductor ith y la imagen del conductor -
j th ,
dij = radio del conductor ith, para i~j
dij = distancia entre el conductor ith y el conductor j t fc para i^j
La matr iz B tiene orden (n-hn) x (n+m) .
Si la matriz de carga se representa por Q y la matriz de vo^L
taje por V, entonces:
V = ( l / 2 t T t o ) (BQ)
seguidamente:
Q = 2 T T £ o s"1 V
---(2.81)
- (2 .82 )
60= 8.85xlO~12 (farád/m)
Pero V es una matriz columna, de la cual los últimos elementos n+1 ,
. . . , n-hn son cero (el voltaje de los cables de guardia) , tal que »
las ultimas columnas n+1 , . . . , n-hn de B"1 pueden ser despreciadas,
La matriz obtenida por eliminación de las filas y columnas n+1, ...
, n-hn de B~* es BA y tiene orden (.roen) .
La matriz de admitancia shunt esta definida por:
I = Y B
y puesto que,
1 = dQ/dt = j UJQ
I » J 2 . r T £ 0 B A r i V -s (2.84)
y,—i
V — - Í 9 T T C n A •*• __. ._„ f 9 ñ^\r — j c» V & o D/l _—-__-_-_— __^. —. _-,-» ^ . Q_J y
donde Y incluye.. el efecto de los cables de tierra.
La expresión (2.85) en forma desarrollada será:
Y u YLZ • • - Y ,
Y
Yr Y Ynn
" (2 .86)
- 39 -
o en forma de submatrices,
YBA YBB
(2.87)
Características; tiene las mismas características que la matriz Z,
es de orden (nxn) y carece de parte real.
2.8.1 MATRIZ DE CAPACITANCIAS
La capacitancia entre dos conductores puede considerarse for
mada por dos condensadores iguales entre conductor y neutro conec-
tados en serie, como se muestra en la Fig. 2.15
N—t- -ÍH
Fia, 2.15Representación de la capacidad
entre conductor y neutro.
Por esta razón la capacitancia entre dos conductores es menor
que la capacitancia entre conductor y neutro. Generalmente el neu-
tro está conectado a tierra.
Pero la capacitancia es:
c - f-(2.88)
C está en farad/m y O en coulumbs/m.
de donde;
Q - C V
y segCn la ecuación (2,85) se concluye que :
C — ¿ n c o BA v\ ——————— —————— —•———• {¿ , y y y
Características: C es una matriz real de orden (nxn) .—1
La matriz C' se conoce como matriz de coeficientes de poten_
cial P.
•1 (2,90)
2.8.2
Los elementos de la diagonal principal representan/la influe£
cia de la tierra sobre los conductores y los elementos fuera de la
diagonal principal la influencia entre conductores i e j.
EFECTO DE LA. TIERRA SÓBRENLA CAPACITANCIA DE LAS LINEAS
La tierra modifica Ifi capacitancia de una línea de transmisión
en virtud de que modifica el campo eléctrico de la línea.
Para determinar este efecto se "supone que la tierra es un con
ductor perfecto en la forma de un plano horizontal de longitud infi-
nita; en otras palabras se supone que su resistividad es igual a ce-
ro.
El campo eléctrico de los conductores cargados, no es el mismo
que el que habría si no existiera la superficie equipotencial de la
tierra.- Esta suposición de una superficie equipotencial implica que
cuando se induzcan tensiones en la tierra debido a los conductores,
en esta se producirá una corriente infinita, lo que impedirá el paso
del campo magnético a través de tierra; por lo tanto, las ultimas -
líneas equipotenciales serán tangentes al plano de tierra, Fig. 2.16.
— 41 -
PIG. 2.16Distribución del campo eléctrico en conduc-
tores cargados,- Líneas equipotenciales»
Esta suposición está desde luego limitada por la irregulari-
dad del terreno y el tipo de tierra; sin embargo nos permite enten
der el efecto de una tierra conductora en la capacitancia de la lí
nea.
Si se considera un circuito que consiste de un conductor ae-
reo con un paso de retorno a través de la tierra, durante el proce
so de carga del conductor, las cargas vienen de tierra al conduc—
tor y entonces existe una diferencia de potencial entre el conduc-
tor y tierra.
Esta tiene una carga igual en magnitud, pero de signo opues-
to a la del conductor.- Si se imagina un conductor ficticio de las
mismas características que el conductor aereo (Fig> 2.17), coloca-
do directamente debajo de el y a la misma distancia respecto al -
plano de tierra; y, suponemos además que el conductor ficticio
tiene igual carga pero opuesto sentido que el real y que la tierra
no existe , al plano equidistante de ambos conductores sería una -
superficie equipotencial. Entonces el flujo eléctrico entre el -
conductor eléctrico aéreo y aquella superficie equipotencial sería
el mismo que el que existe entre el conductor ficticio y tierra.El
conductor ficticio es de hecho una imagen del conductor aéreo y es_
te método para el calculo de la capacitancia se conoce con el nom-
bre de método de las imágenes.
7—7 "i
-QPIÓ. 2.17Conductor a y su imagen a
2.8.3 MATRIZ DE ADMITANCIA T- MATRIZ REDUCIDA
LINEAS 30 EN CIRCUITO SIMPLE-- Las capacitancias de cada. fase res-
pecto al neutro y por ende las admitancias son distintas sí la lí-
nea no tiene transposiciones. Efectuando las transposiciones se -
obtiene iguales capacitancias por fase. Si el sistema es balancea_
do se cumple que:
qa + qb + qc = O .(2.91)
Para una línea trifásica con disposición equilátera tal como
la indicada en la Fig. (2.7) las admitancias propias y mutuas son
diferentes entre sí ya que las capacitancias también lo" son y es—
tas dependen de la posición de los conductores respecto al plano -
de tierra.
Por lo tanto el análisis hecho para capacitancias o admitan-
cias es indiferente, así tendremos que;
Ca, 4Gil Í3 ya que yl 4 yt$y3 , siendo los yi la
altura de los conductores respecto a la tierra.
- 43 -
i = 1, 2, 3
Además CJZ 4- G¿3 # G31 ya que istas también son fun
cion de la
rra.
s JZ - ¿3 31 ya que stas t a m é n son un
posición de los conductores respecto al plano de Cie-
Si se considera una línea trifásica asimétrica pero con -
disposición horizontal tal como la indicada en la Fig . (2.18) en
la que:
y1 = = y
Entonces :
FIG. 2.18
Línea trifásica nimétrica
con disposición horizontal
y su imagen.
CU = C22
Cu = c*s
- ce
CA
CB
y de acuerdo a (2,89) se puede escribir la siguiente ecuación simé
trica:
C *
CA
ce
CB
CB
CC
CA
-( 2.92 )
Si a una línea trifásica asimétrica cualquiera se la transpo^
ne de acuerdo al análisis hecho para la matriz de impedancia trans^
puesta, se puede escribir que :
YTR1=
'Ym
VY-Iin
Yn
Yn
Y™luí
Yn
Yn
VTIlu,
Ym
(2.93)
donde:
Ym = 1/3 ( Y u + Yai H-" Y 33 )
Yn - 1/3 ( Yj.2 4- Y «a + Yj'i )
REDUCCIÓN DE LAS LINEAS 30 TSN DOBLE CIRCUITO A CIRCUITO SIMPLE:
Consideremos nuevamente la Fig, (2.16) de acuerdo a la ecuación
(2,81) la matriz de potenciales del doble circuito trifásico sera:
Viu
V6
o bien:
V » ? * Q
se sigue que,
(2.94)
y según la ecuación ( 2,30 )
Q - G * V
que en forma desarrollada quedará:
Cu Ci2
"31
r r rV-^z t-^j Oj
Gis
^zs
C35
C45
c
Ce6
C36
c
Vj
V2
V3
•^
---( 2.95 )
Esta matriz puede ser reducida a un circuito simple de tres -
conductores, aplicando el método de reducción descrito en el punto
2.6r consecuentemente la matriz Y reducida, según la ecuación -
( 2.65 ) quedará;
YR VY l tY
Y I Z
VY^^
Y«
YnvY 23
Y33.
( 2, 96 )
Si el doble circuito es transpuesto, el método a seguir es el
mismo que el desarrollado par la matriz Z transpuesta así recor-
dando la ecuación (2.78) la matriz Y transpuesta será :
YTU2
(YAA) TR
(YBA)TR
.(YÁB) TR
(YBB)TH
(2.87)
donde las submatrices (YAA) TR, (YAB) TR, (YBÁ) TR, (YBB) TR es-
tán dadas por la ecuación ( 2,75 ).
2•9 MATRICES ÜE IMPEPANCIA £ ADMITANCIA EXPRESADAS EN TERNINOS DE SEQUEN
CÍA
Sea TR una matriz compleja de transformación y considerando
las variables asociadas con la matriz de impedancia se tendrá :
a,b,c - h,k,lTR V
Volt, de fases respecto a tierra
í a'b>c TR I
( 2.98 )
donde a» b* c ~ variable de fases
h, k, 1 - variables de transformación
La potencia compleja en términos de componentes de fase es:
S¿ . P + JQ - [(í a'b'V 'Jv a'b'C
y utilizando relaciones ( 2.9.1 )
sx -[(í k'*»1)* 5rRv h'k>1 ------------ ( 2.99 )
La potencia compleja en términos de las variables h , k , l sera:
Si Sj = §z , entonces la tranf ormacion TP es invariante a
la potencia y comparando ( 2.9.2 ) y ( 2.9.3 )j se tiene;
(TR*) t TR - ü -
O sea TR. es una matriz unitaria,
además; (TR*') fc - TR ~1
Por otra parte:
ss y a , b , c Ia ,b , c
o bien3
de donde:^ z
a , b , c TR i j > * - ' -
n, k, 1 ^ mp*™1-*- ya s o > c ,_- _n , K , 1
o bien,
donde:
Vh lr
í > '
2h , k t l
(2.101)
(2.102)
que corresponde a la matriz de impedancia de fase a , b , c en términos
de las variables b ,k , l ,
2,9.1
En forma análoga la matriz de admitancia es:
u i., i • „ u o TPR — —— ( o i m ^"í^í-1- _- mrj-1 va)D)c «•"• ^ *. ¿-.lU^ ;Y
TIPOS DE TRANSFORMACIONES USUALES12
Existen dos tipos usuales de transformación:
a) Matriz de tranformacion a componentes simétricas: Ts.- En es-
te caso se transforma las variables de fase ( a,b,c ) a variables
de secuencia cero ( O ), positiva ( 1 ) y negativa ( 2 ) conocidas
como componentes simétricas,
b) Matriz de transformación a componentes de Clarke.- Esta matriz
Transforma las variables ( a,b,c ) en variables cero ( O ), alfa -
( oc ) y beta ( <3 ) conocidas como componentes de Clarke.
Las componentes de Clarke se adaptan mejor a. elementos rotati-
vos como motores, mientras que las componentes simétricas se adap—
tan a elementos estáticos tales como líneas de transmisión, por es-
ta razón utilizaremos en adelante solo las componentes simétricas.
La matriz de transformación Ts es:
Ts - 1/3
111
1a
a
1
a
a
a
a8
1 1.120'
1 I 240*
CARACTERÍSTICAS:
- Simétrica
-^ Unitaria : (Ts*)C Ts « U
(Ts*)fc. « Ts-1
Reemplazando en la ecuación ( 2.102 ) las variables h ,k , l por -
- 48 -
las variables 0,1,2 y la matriz TR por la matriz Ts con sus corres
pendientes relaciones, la matriz impedancia de fases (a,b,c) en ter
minos de (0,1,2) quedara;
0 , l , 2 a ,b ,c
En forma similar la ma.triz admitancia sera;
y0 * 1 » 2 - Y a ' b > c TS
i r\/,\ i UH )
( 2.105)
'La matriz Ts diagonaliza las matrices de impedancia o admi—
tancia de un elemento estático balanceado.
Para líneas trifásicas en doble circuito la ecuación de trans_
formación de impedancia será:
„ 0,1,1Ts"1
0*s.
b
Ts
ZsAAa'b 'C
ZsBAa ' b 'C
ZsABa 'b 'C
ZsBBa'b 'C
Ts
ü
0
Ts
Ts"1
5
0
^•\a,b,cYBA^'-"
Y A Ba,b,c Ts
0
6
Ts
(2.106)
(2.107)
De aquí se concluye que para transformar las impedancias o ad-
mitancias de fase de un doble circuito, basta transformar cada una
de las submatríces a componentes de secuencia.
- 49 -
Las componentes simétricas son de gran utilidad, toda vez -
que permiten descomponer un sistema trifásico desequilibrado, en
tres sistemas trifásicos equilibrados que combinados en forma a-
decuada (aplicando el Teorema de la Superposición) son equivalen-
tes aissistema original.
En sistemas eléctricamente cortos el desbalance puede ser ig_
norado, pero en sistemas eléctricamente largos, las secciones -
transpuestas pueden originar todavía desbalance en el sistema.-El
que a una línea se le considere larga no depende únicamente de su
longitud, física, sino de las frecuencias de interés. A frecuen-
cias industríales de 50 Hz o 60 Hz la mayoría de las líneas pueden
considerarse cortas y el desbalance producido puede ser ignorado.
Por esta razón las componentes simétricas se lian venido utji
lizando como una herramienta muy útil en el análisis de sistemas
eléctricos de potencia en condiciones normales y en condiciones -
anormales o de falla.
- 50
CAPITULO III
.,1 DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA
El programa digital consta de un programa principal y doce -
subrutinas complementarias,
Debido a la gran cantidad de casos diferentes que pueden pre- :
sentarse desde un simple circuito monfásico sin cable de guardia -
hasta un doble circuito trifásico con conductores en haz y con ca-
bles de guardia, el programa está diseñado para que llame o no a -
las subrutinas correspondientes según el caso.
Para circuitos trifásicos, las matrices Z y Y se calculan en
componentes de fase a,b,c y en componentes de secuencia 0,1,2.
El programa está escrito para el computador IBM 370/125 de la
Escuela Politécnica Nacional.
3.2 EXPLICACIÓN DE LAS SUBRUTINAS
1. SUBRUTINA LECTUR.- El objetivo de esta.subrutina es leer y es-
cribir todos los datos de entrada, así como también los indicado-
res . Lee la frecuencia, resistividades, permeabilidades, número -
de conductores, numero de hilos exteriores, numero de cables de -
guardia, numero de conductores de fase, numero de fases, número de
circuitos > coordenadas (x, yj, radios físicos, radios medios geométr^í
eos y flechas tanto de los conductores como de .los cables de guar_
día.
Si no existen cables de guardia;no se pondrá ninguna tarjeta
en los datos referentes a éste, excepto en el numero de cables de
guardia en la que ira un cero de acuerdo al formato indicado en el
Apéndice "B".
— 51-
2,-r SUBKUTINÁ CORFA.x Esta subrutina se usa solo para haces de
conductores y tiene por objeto calcular las nuevas coordenadas
que ocupará el conductor ficticio luego de aplicar el concepto de
la distancia media geométrica, 'Puesto que el conductor ficticio
es uno solo, esta subrutina permite colocarlo al mismo en el cen-
tro del haz.
Para este prop6sito se utiliza el concepto de la media a-
ritmética tanto en -x. como en . y ,
3-- SUBRUTINA RMG1 .- Esta subrutina al igual que la anterior,
se utiliza solo con haces de conductores y su objetivo es repre —
sentar un haz de conductores mediante un conductor ficticio equi-
valente haciendo uso del concepto de la distancia media geométri-
ca propia, dada por las ecuaciones ( 2.52) a (2. 5
4.- SUBRUTINA SAG. El proposito de la presente subrutina es co —
rregir las coordenadas de los conductores por efecto de la flecha,
ya que los conductores no mantienen siempre la misma altura, res-
pecto a tierra a lo largo de la línea por efectos de diseño mecá-
nico de temperatura u otros, La corrección se efectúa empleando
la ecuación ( 2.50 ).
5.- SUBRUTINA DISGEO-- El objetivo de esta subrutina es: en base
a las coordenadas de los conductores calcular una matriz de dis —
tancias B, la misma que queda almacenada para ser utilizada poste_
riormente en el cálculo de la matriz admitancia jy al mismo tiempo
calcula la matriz de impedancia debido a la geometría del circujL
to,
Para el calculó de esta matriz se utiliza el primer termino
de la ecuación ( 2.11 )
6.- SUBRUTINA INTEGRA Esta subrutina calcula la matriz de impedan_
cias propias y mutuas de retorno por tierra; es decir, evalúa el
termino integral de la ecuación ( 2.11 ) .' La. integración numéri
ca se lleva a cabo utilizando la regla de Simpson dada por:
~ 32 -
- Í! (fo 4 4fi t **í t • • • i 4 - f -n-A 4 - f n ) f 3 . 1 J
d
donde h *» b -c a
tin = numero de intervalos tomados en la integral.
7,"- SUBRUTINA SUMA! *•«• Esta subrutina tiene por objeto sumar -
las matrices parciales: de impedancia interna, de retorno por tie-
rra y la. matriz debido a la geometría del circuito, para formar -
la matriz Z.
El cálculo se hace con la ecuación ( 2 .48 )
8.V.- SUBRUTINA PARTIR.- En caso de que Z tenga cables de guardia, -
esta subrutina arregla dicha matriz en cuatro submatrices y luego
absorve los cables de guardia, de acuerdo a la ecuación" ( 2 .59 ) .
9 . v SUBRUTINA TRANS. *.- Si la línea tiene transposiciones, esta sub
rutina permite calcular las matrices de impedancia y admitancia -
transpuestas. Para este proposito se utiliza las ecuaciones -
( 2.75 ) y (2.78 ).
10,•• SUBRUTINA REDUC.- Cuando se quiere reducir un doble circuito
trifásico asimétrico a otro circuito trifásico simple, esta subru^
tina nos permite encontrar las matrices de impedancia y admitan-
cia equivalentes para lo cual se usa la ecuaci5n ( 2 .65 ) .
11.- SUBRUTINA SEC012 .•- Esta subrutina nos permite pasar las -
matrices de iiupedancia serie y admitancia paralelo de componentes
de fase ( a ,b ,c ) a componentes de secuencia ( 0 ,1 ,2 ).
Por definición estas transformaciones son válidas solo para
circuitos trifásicos. Para el efecto empleamos las ecuaciones -
( 2.104 ) y ( 2.105 ).
53
12,- SUBRUTINÁ INVER.. Esta subrutina sirve para invertir matri-
ces complejas requeridas tanto en la subrutina PARTIR para elimi—
nar los cables de guardia, como en el calculo de la matriz de capa
citancias.
Para la inversión se utiliza el-.método de SH1PLEY COLEMÁN .
3.3- DIAGRAMAS DE FLUJO
1._ PROGRAMA PRINCIPAL
Comience
mcialicevariables
Lea y escn badatos
Existe .error en ios
datos
Escriba men-sajede error
Es hazde conducto-
res
Calcule las 'nuevascoordenadas y elRMG de los haces
Corrija el valor delas coordenadas
Calcule B y Zg
- 55
Calcule Zc
t Tieneretorno por
t ierra
circuito estrifásico
Tienetransposicio
nes
56 -
Transponga
Pase a impedanciade secuencia
/Escribaresultados
Calcule BA,YSHUNT
- 57 -
Y A A l R n Y B B T R
C a l c u l eYAATR.YBBTR
YABTR1: Y B A Í R
Pase a a d m i t a n c i a sde secuenc i a
•^Escriba resul tados
( T e r m i n e j
58 -
Pase a impendanciasde secuencia
Pase a admitanciasde secuencia
FIG. 3.1
59
2._SUBRUTINA LECTUR
Comience
Leo y escribadatos
Escriba mensaje/de error /
í Retorne j
Fia 3.2
3._ SUBRUTINA CORPA
Comience
..NCPF
- 60 -
X=X/NCPF
Y=Y/NCPF
c Retorne
FIG. 3.3
4._ SUBRUTINA SAG
- 61
FIG. 3.A
5._ SUBRUTINA 'RMG1
Comience
1í
GO.TO(1,2,3/),NCPF
RMG =
Retorne
FJG. 3.5
6._ SUBRUTINA DISGEO
( Comience }
FIG. 3.6
- 63 -
_ SUBRUTINA INTEGR
Comience
\<K,L= 1 n
Írl , NMAX1
i= l ,NMAX,2 50T
zt ¿L * A sumín**1 TI 3
Reto rne
FIG.3.7
.- SUBRUTINA SUMA1
60 10(607,608,609,610) NCPF
Zij = Zij * Z c ( i j )
608 h-^ Zij=Zij
Zij = Zij * Z c ( i j ) / 3
Zij= Z i j * Z c ( i j }A
Retorne
FIG. 3.8
— 65 —
9._ SUBRUTINA P A R T I R
Zi j=ZQl¡ j - ZQ2¡j ZObíj ZQÍj
Re torne
FIG. 3.9
- 60
10._ SUBRUTINA TRANS
C Comience J
Forme T
= T
Z T ü = T: Z ü
TZij = T ¡ jZ ¡ j
Z T T i j ^ Z T i j T i j
TZTTij^TZijT1!]
67 -
H^^
A
Retorne
FIO. 3.10
11.-SUBRUTINA REDUC
FIG. 3.11
12.-SUBRUTINA SEC012
Comience
Forme Ts
4
TZi j=Ts( iJ)2¡ j
i , j .k = 1,2,3
R e t o r n e
FIG. 3.12
- 09 -
13._ SUBRUTINA TNVER
- 71 -
FIG.3.13
- 72
CAPITULO TV
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Se desea calcular las matrices de impedancia y admitan
cia de los circuitos mostrados en las figuras 4.1 a 4.5.
4.1 CASO MONOFÁSICO
fi.i
6.1
9-14
-y-r-r / / / / I i "i~i T- -r / } T~~?
FICr. 4-1
Disposición cíe los conductores.
Los hilos de la fase son los conductores 1 , 2 , 3 . y los hi
los de retorno son los conductores 4.5
DATOS:
Calibre de los hilos de fase: A W G
Calibre de los hilos de retorno: 2/0 A<A/G
Frecuencia = 60 (Hz)
Resistividad de la tierra = 100 (Ohms - m)
Coordenadas de los conductores de fase:
- 73 -
(X , Y ) = (O, 18,5)
(X , Y ) - (O, 12.4)
(X , Y ) - (O, 6.3)
Coordenadas de los conductores de tierra:
(X , Y ) - (9.14 , 18.5)
(X , Y ) - (9.14 , 12.4)
Flecha de los conductores - O
Datos de permeabilidades y resistividades de algunos materiales
empleados en líneas de transmisión se dan en la tabla 2. al final -
de este capítulo.
Datos del numero de hilos exteriores (hilos de la ultima capa)
de conductores ACS'R y conductores de cobre típicos se dan en la ta-
bla 3-
Los datos completos de entrada se indican en la pagina siguiente:
--+-H-r
- 74 -
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- 75 -
4.2 CASO BIFÁSICO
17.9
v
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y
L . I 5* .
— J.95 -J i
(
1
- X
.4-
5.¿
pía. 4.2Disposición de los conductores
Conductor; 7/5,2 mm Aluminio
Cable de guardia: 7 / 2 , 6 7 mm Acero
Frecuencia - 50 (Hz)
Resistividad de la tierra = 100 (ohms - m)
Los datos de coordenadas y todos los demás se indican en la
página siguiente:
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- 77 -
4,3 CIRCUITO TRIFÁSICO SIMPÜET
1 !1.15 i
1.95 -~j
1
1.4
14 i
PIG. 4.3Confif^uiración de los conductores
de la línea. .
Conductor : 336. MCM, ACSR, Oriole
Cable de guardia: 3/4 pulg. acero
Frecuencia = 60 1-lz
Resistividad de la tierra = 100 (ohras-m)
Los datos completos de entrada se exponen a continuación:
- 81 -
4.5 DOBLE CIRCUITO TRIFÁSICO CON CONDUCTORES EN HAZ
O
o -
4 3
04-0
6 5
olo
o-o-
9 10
o + o
o--o-
(pies)
32
30
44-
FIG. 4 .5
Características del doble circuito
con disposición vertical.
Conductor: 2032 MCM ACSR
Cable de guardia: 1/2 pulg. acero
Frecuencia - 60 (Hz)
Resistividad de la tierra = 100 (ohms-m)
Los datos de coordenadas en metros y todos los datos restantes
se exponen a continuación:
- 83 -
ANÁLISIS DE RESULTADOS
A continuación se comparan los datos obtenidos en el programa
con los datos dados en las referencias:
3 M P E D A N C I A
Secuencia cera Secuencia positura
A D M I T A N C I A
POR FASEf/L-LT/K-m.)
PR a G R A M A 0.3523 -fj i.62.65 0.0359 J 3.0.163
I W £ C £ L 0-059Q 4-
A D M i T A M C í A
Sec. cero Sec. pos'it.
P R O G R A M A 0.3088 4 - J Í . 4 6 L 3 ja,,73Gl
REFERENCIA (3) Q - 4 1-13 * j i . 4 1 0 5 O- Í90t -í- J Q-4068 J i-1415 j 2,
P R O G R A M A 0.00a^ +J O.Í.943
REFERENCIA (1) 0.2361 +JO.TBL4 - 0 - 0 lie - \ -JQ. i924
C A S O M D M Q F A S
I M P E D A N C I A
I C O
P R O G R A M A . £549
Si comparamos los resultados dados por las referen-
cias con los obtenidos en el programa, vemos que éstos son
muy similares. Las pequeñas diferencias que aparecen se de-
ben a que no se han tenido disponibles todos los datos de
entrada, entre otras causas.
Los resultados completos obtenidos en el programa
se muestran a continuación;
'C A
5C
Th
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- 90 -
CAPITULO V
CONCLUSIONES Y APÉNDICES
- El algoritmo descrito en el capítulo II permite pasar con -
gran facilidad las instrucciones a lenguaje FORTRAN, excepto el -
termino integral de la ecuación ( 2. U ) que necesita ma —
yor elaboración.
Para la evaluación de los elementos de la matriz de impedan-
cia de retorno por tierra, se probo con diez, veinte, cuarenta y
cincuenta intervalos en un rango de O a O'. 2 obteniéndose sufi—
cíente precisión para cuarenta intervalos, razón por la cual se d_e
jo en este numero.
Un programa de calculo trae consigo las siguientes ventajas;
a) Hhorro de memoria en la maquina ya que se utiliza dimensiona
miento común.
b) Ahorro de tiempo de computo ya que los datos ingresan en blo
ques para algunos o todos los casos expuestos en la tabla 1,
sin contar con los casos combinados o repetidos que se pue—
den dar en las distintas configuraciones. Así para los cin-
co ejemplos corridos en el capítulo IV el tiempo de computo
empleado es únicamente de M? segundos. Esto es muy valio_
so desde el punto de vista de la selección de alternativas -
de diseño.
c) El programa se hace accesible a cualquier persona, incluso -
a aquellas que no poseen ningún conocimiento de ingeniería ,
ya que la forma de proporcionar los datos es por demás sencjL
lia como se puede ver en el Apéndice "B".- Esto es muy im—
portante ya que evita las molestias de escoger un programa -
específico para cada caso.
- El calculo de los parámetros a cualquier frecuencia es muy -
útil para estudios de protecciones o radío interferencia; ya que ,
- 91 -
con frecuencias de "carrier" (50KHz a 500 KHz) el desbalance de
la línea es extremadamente importante para determinar la caracte-
rística de pérdidas, de manera que se requiere de una representa-
ción más detallada de la líneaj más aun teniendo en cuenta que la
línea puede ser larga.- En forma similar, a frecuencias de radio
interferencia (1 >EHz o mas) cualquier análisis para investigar -
las características de la línea debe tomar en cuenta todos los -
conductores de la línea y la longitud de la misma, esto también -
se aplica cuando se estudian los voltajes transitorios de energí
zacion o los voltajes de recuperación durante condiciones de fa-
llas donde se tiene interés en un amplio margen de frecuencias.
- El acoplamiento mutuo entre dos circuitos trifásicos debe -
ser considerado para estudios de fallas y diseño de sistemas de -
protección, siendo de particular interés la inducción de secuen—
cia negativa, ya que los relés direccionales de secuencia negati-
va responden únicamente a señales de corriente de esta secuencia,
evitando los problemas de inducción mutua del relé de tierra.
En líneas balanceadas no existe acople magnético en secuen^
cia cei-o, positiva o negativa; es decir, no se presentarán volta-
jes inducidos.
La impedancia de secuencia cero está acoplada exclusivamen-
te con el camino de retorno por tierra, por esta razón se le cono
ce comunmente como modo de tierra; mientras que las impedancias -
de secuencia positiva y negativa se caracterizan por su completa
independencia de tierra y se llaman modos aéreos.
Las transposiciones permiten controlar el desbalance elec—
tromagnetico de las líneas, en la práctica éstas no son perfecta-
mente transpuestas y las matrices de impedancia y admitancia que
se obtienen dependen de la configuración de la línea.
- 92
APÉNDICE "A"
TRANSFORMADAS DE FOURIER
Las transformadas de Fourier nos permite pasar funciones del
dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Mediante la trans -
formada de Fourier se puede representar una función f(t) no como u-
na serie sino como una integral.
Las series de Fourier y la transformada de Fourier constituyen
un poderoso instrumento en el tratamiento de diversos problemas
prácticos que involucran funciones periódicas y funciones no perió-
dicas.
F ( uJ ) se conoce como la integral de Fourier o como la trans-
formada de Fourier de f (t) .
rOTI — í U J f"
F ( w ) = I f ( t ) e J dt (dominio de la frecuencia) (c , l )-cp
La operación inversa de F ( & ) es f ( t ) y se denomina transfor-
mada inversa de la integral de Fourier.'-
f TOf ( t ) - I _ F ( u; ) ej du; (dominio del tiempo) ---- (c .2)
2ii J-co
Las ecuaciones ( C . l ) y (C. 2) se conocen a menudo como par de
transformadas de Fourier.
La condición escencial para que exista F ( ) está dada por:
Jíf (t)| dt¿.cD en otros términos la integral del valor absoluto de
f (t) debe ser f ini ta .
TRANSFORMADA BIDIMENSIONAL DE FOURIER
La transformada bidimensional de Fourier F (u ,v ) de una fun —
ciori bidimensional f (x ,y) se puede definir como una doble integral,
F(u,v) - / } f ( x , y ) e -J(ux+vy) dx dy -------------- (c.3)
- 93 —
Entonces f(x,y.) se puede hallar por la formula de inversión
f(x,y) = 1 I I F (u,v) ej(uX+vy) du dv (C.4)
LA TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
La transformada rápida de Fourier es un 'algoritmo que permi-
te realizar la síntesis y análisis de las series de Fourier con -
enormes ahorros en el tiempo de computo.
Para funciones periódicos de tiempo, una herramienta fami ---
liar para el análisis es la representación de las series de Fourier
por f (t) , ecuación (C. 2) .
Una representación similar para funciones no periódicas , fun-
ciones del tiempo x(t) se da por la integral:
x(t) = -L- Js (-oo, _co j. - -------------- (C.5)
x(t) = S (f) ejiuft df
El espectro de frecuencias complejas continuas de la función
no periódica S(f) se expresa por:
S(f) = x(t) e dt --------------------- ---- (C.6)-co
Las ecuaciones (C.5) y (C.6) son recíprocas y también son co-
nocidas como par de transformadas de Fourier.
Para funciones de tiempo que son cero para tiempos negativos
la transformada de Fourier está cercanamente relacionada con la
transformada de Laplace, la cual se define como:
S(p) = |x(t) e"pt dt ------------------ -— (C. 7)O
donde p es un complejo, p = a -I- jb
Así si la parte real de p es.-cero, las dos transformadas son
iguales, (C. 6) = (C. 7) .
- 94
Las Cransformadas de Fourier y de Laplace son útiles en un -
sin numero de aplicaciones. En particular la solución de las ecu_a_
cienes diferenciales se simplifican porque una de las transforma—
das de' convierCe en una ecuación algebraica con p o f como la va—
riable independienCe.
Las Cransf orinadas proporcionan un medio fácil para relacio—
nar la enerada y salida de variables de sistemas invariantes en el
tiempo encontrados en sistemas eléctricos, mecánicos y ópticos.
La transformada de Laplace es más útil para esCudios analíc_i
eos de sisCeraas, porque la transformación da una función analítica
definida en une espacio de dos dimensiones; la localizacion de las
raíces en dos dimensiones determina el comportamiento de], sistema.
La transformada inversa de Laplace involucra un concomo de
inCegracion en dos dimensiones, eso no es adapCable fácilmente a
mecodos numéricos. En cambio la transformada de "Fourier da una -
función compleja en una sola dimensión, esto es en el dominio de -
la frecuencia; consecuenCemenCe la tranformada inversa es f acumen
te adaptable a métodos numéricos.
Una transformada de Fourier tiene la propiedad de aplicación
en el análisis de sistemas lineales invariantes en el tiempo; es -
que, la transformada de la convolucíon de dos funciones es igual -
al producto de las Cransformadas de las funciones individuales. Pa
ra aclarar consideremos dos funciones del tiempo x¿(t) y xz £t), -
tomando las transformadas de Fourier S.t(f) y S^Cf) dadas por la -
ecuación (C.6), la convolucion x3(t) de xL(t) y xa(t) es:
r*x3(t) = Jx.Or) Xj(t-t) dt =xt(t)*i-Hi (C.8)-DO
La transformada de Fourier de x3(t) está dada por:
S (f) = S¿ (f ) S¿ (f ) (C.9)
Nótese que la multiplicación en el dominio del tiempo corres^
ponde a la convolucion en el dominio de la frecuencia.
- 95 -
LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER17
Ya que la transformada de Fourier es una herramienta poderosa
de análisis, no es sorprendente la búsqueda de técnicas para reso^L
Ver numéricamente la transformada de Fourier. Como consecuencia -
se desarrollo la transformada discreta de Fourier, pero :fue consi-
derada impráctica hasta el desarrollo de la transformada rápida de
Fourier,
Para comprender mejor la transformada de Fourier ilustraremos
con un ejemplo gráfico.
La relación entre la Transformada de Fourier y una función de
prueba continua en el tiempo puede ser establecida considerando
xt(t) y su transformada de Fourier S¿(f) ilustrada en la Fig. (C.l)
A y B. Se puede considerar una muestra x3(t) como la multiplica—
cion de x¿(t) por la función x2(t); (una secuencia infinita de fun
ciones impulso de la Fig. (C.l) C ) la transformada de Fourier de
xt(t) se da en la Fig. (C.l) D,~ Recordar que la multiplicación por
el proceso de convolucion forma un par de transformadas, por lo tan
to si Xj_(t) y Xj.(t) son multiplicadas Sj (f) y S2 (f) son convolucio-
nadas dando la función mostrada en la Fig. (C.2).- La transformada
de Fourier de la función del tiempo mostrada en la Fig. C.2 es en—
tonces una función periódica de período I/ At, donde cada período -
contiene información completa del espectro de frecuencia de x¿(t).
Cuando se desea computar la transformada discreta de Fourier -
con máquinas digitales, únicamente un numero finito de muestras dis_
cretas de las dos funciones del tiempo y el espectro de frecuencias
pueden ser considerados.
En el caso de las muestras dadas en la Fig. C.2 el par de —
transformadas de Fourier dadas por las ecuaciones (C.5) y (C.6) pa-
ra N muestras se convierten en:
- 96 -
PÍG. C , l . Pares cíe trannf ormadar, ríe Four Jo r .
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FIG. G . 2 . Transformacla-de Fourier de las
funciones d'e tierrmo mostradas .
— 97 -
formada discreta de Foui'ier, Convolucion y correlación (ambas —
secnicas matemáticas extremadamente útiles en el análisis de series
de tiempo) son usualmente computadas digitalmente para formar la
envolvente del producto, Usando técnicas convencionales este cálcu
lo requiere un tiempo considerable de computo, en cambio utilizan
do la transformada rápida de Fourier uno puede reducir el tiempo
de computo como sigue: primero usando la transformada rápida de -
Fourier x^(t) y x^(t) pasamos al dominio de la frecuencia dando -
SL(f) y Sz(f); los términos St(f) y S2(f) son entonces multiplica-
dos y la resultante es la transformada inversa de Fourier por uso
de la transformada rápida de Fourier.
DERIVADAS DE FOUKIER19
,CO - 03
Si f es continua a trozos, j l f l y J t f ( t ) dt con--O3 _CQ
vergen, entonces f tiene una derivada continua:f CO
f 1 ( uj ) = ~- t f ( t ) e"JUJt dt — (C.13)ico
Si f es continua y derivable a trozos ¡ f l y I í f 1 / con_
vergen, entonces la transformada de f es:
f ' ( t ) = j i u f ( u j ) —— ( C . U )
Cabe realzar las áreas en las cuales la transformada rápi-
da de Fourier encuentra éxito: aplicaciones en señales digitales ,
reconocimiento de imágenes, filtros, espaciales, análisis digital -
del tiempo real hablado, estimación de espectros de potencia y si-
mulación de sistemas.
En efecto la transformada rápida de Fourier ha abierto nu_e
vos caminos de investigación científica nunca antes considerados -
prácticos por el exorbitante tiempo de computo; en escencia este -
análisis en el dominio de la frecuencia ha abierto nuevas perspec-
tivas de investigación científica, técnicas consideradas en otros
tiempos ineficientes.
- 98
XUO
* Ai Z sc - f -n ) e
1- O í I , - • - , ±_íJz [ c . i o )
Sí hacemos t^ = k At y f n = n Af y notamos que t
las ecuaciones (C.10) se convierten en:
= T/N y f = 1/T
St-n) „ At Z_ J ¿ T i
N-Í
K.» O, l t . . . ,
t e . 1 1 )
donde n toma los valores 0,1; , . . , N-l o más bien O, + 1, . . . , -
+N/2. Esta sustitución se hace para simplificar el proceso de com
putacion y no altera en nada la expresión ( C . l l ) . El término -
n » N/2 corresponde a la frecuencia fundamenta l .
Para propósitos de computación la ecuación ( C . l l ) puede ser -
mas fácilmente representada en forma de matriz como:
[S(n)] « [wnk] [xo (k)] — (C.12)
donde,
[s(n)j y [XQ(k)] son matrices columna de orden Nxl y[W Jes una
matriz ISbcN con W= e
Resumiendo el valor de la transformada rápida de "Fourier está
en la reducción del tiempo de computo en la evaluación de la trans
- 99 -
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE POTENCIA
A P É N D I C E " B "
MANUAL DE USO DEL PROGRAMA: CALCULO MATRICIÁL DE PARAME
TROS ELÉCTRICOS EN LINEAS DE TRANSMISIÓN
I.- ALGORITMO UTILIZADO
La matriz de impedancia serie consta de las impedancias
propias y mutuas entre conductores; y, está dada por la sí—
guíente ecuación:
jü. eos { rZnm = Zc + cu • d.Lj
~ f R 1 1donde, L ' J
La matriz de admitancia shunt es función únicamente de
la geometría de los conductores respecto al plano de tierra;
y, está dada por la siguiente ecuación:
Y = j zneo BA" [B. 3)
II.- DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA
El algoritmo de solución consta'de-un'programa princi
pal y doce subrutinas complementarias, el proceso de opera^—
cion es el siguiente:
1.- La subrutina LECTUR lee todos los datos de la línea.
Se debe tener especial cuidado en el orden de entrada de los
datos; los cuales serán de acuerdo al orden de numeración de
los conductores primero se enumerará los conductores de fase
y luego los de tierra si los hay, para doble circuitos simé-
tricos el orden es muy importante ya que en los cálculos se
- 100
aprovecha la. simetría de los circuitos, siendo estos mas ra_
pidos y mas sencillos.
,'jj Q JJ, Si no se desea poner ningún nombre de id en
tificación de la línea cuyos parámetros van a ser calculados,
es indispensable colocar una targeta blanca como primer dato,
su omisión es causa de que aparezca un mensaje de error de -
datos y consecuentemente causa la suspensión del programa.
Puesto que los parámetros de la línea también dependen
de la localizacion física de los conductores, se define un -
sistema de coordenadas cartesianas,,con la tierra plana como
eje horizontal X y el eje de simetría de la torre como eje
vertical Y .
2,- La subrutina CORFA y RMG1 se usan solo cuando se tienen ha—
ees de conductores, para calcular la nueva posición de los -
haces y el radio medio geométrico respectivamente.
3.- Una vez que se tiene las nuevas coordenadas de los con-
ductores, la subrutina SAG corrige estas coordenadas para to
mar en cuenta el efecto de la flecha.
4.- En base a las coordenadas, la subrutina DISGEO calcula
las matrices ZPM y BAUMEN, la primera escribe inmediatamen-
te y la segunda queda almacenada para ser utilizada en el -
o Cálculo de la matriz YSHUNT.
5.- Luego el programa principal se calcula ZINT, sin utilizar
ninguna subrutina dada la simplicidad de su cálculo.
6.- Según el valor del indicador INDTIE (16 O ) se llama
o no a la subrutina INTEGR, la cual calcula la matriz ZTOT1N.
7-- Seguidamente la subrutina SUMA forma la matriz ZSUMA -
su-mando ZPM, ZINT y ZTOT1M.
— 101
8,- En caso de que la línea tenga conductores de tierra
(C.G), la subrutina PARTIR elimina estos conductores, llama
a la subrutina INVER para invertir uno submotriz compleja r
querida en el proceso de eliminación, caso contrario se con-
tinua con PARTIR, hasta formar la matriz ZSERIE.
9.- Según el valor del indicador INDIR ( 1 o 0) se llama o
no a la subrutina TRANS la cual toma en cuenta el efecto de
las transposiciones la matriz así ¡formada se llama ZTR.
10.- La subrutina KEDUC se utiliza para reducir dobles cir-—
cuitos 3 £ asimétricos a circuitos simples. 3 $ . De acuer
do al vqlor del indicador INDSIM ( 1 6 0 ) se continua con -
el programa principal o se llama REDUC, formándose de esta
manera la matriz equivalente ZREDUC.
11.- En seguida la subrutina SECOi¿ pasa las impedancias
de fase ( a,b,c ) a impedancias de secuencia ( 0,1,2 ) y fo_r
ma la matriz ZSECUE.
12.- Acontinuacion se pasa a calcular la matriz YSHUNT, para
10 cual se invierte la matriz B-AUMEN utilizando la subrutina
INVER la matriz invertida se llama BINV, seguidamente usando
BINV se calcula BA, YSHUNT, y, se repite los puntos 9, 10, -
11 en forma idéntica que con las impedancias.
Finalmente se pasa a leer nuevos bloques de datos si -
los hay, caso contrario el programa ha terminado.
- 102 -
DIAGRAMA DE FLUJO
Comience
ínicial ice var iables
/Lea y escr iba datos /
Existeerror en los
JatosTno
Eva lué la ecuac ( B . l )
/Escriba mensa,je de error /
Pase a ¡mpedancias de secuencia
Evalué la ecuac.(B.3)
Pase a a d m i t a n c i a s de secuencia
/Escriba resu l t ados /
Pare
V '
í Termi ne j
FIG. B.1
- 103 -
III.- NOMENCLATURA
1.» VARIABLES DE ENTRADA
SÍMBOLOS: DESCRIPCIÓN;
íf•Jfr$:
TIT ,Título de la línea de la cual se va a calcular -
los parámetros.
F ' Frecuencia (Hz)
RTIVT Resistividad de la tierra (Ohm-m)
N Numero total de conductores de fase
M Numero total de cables de guardia (CG)
NCPF Numero de conductores por fase
X,y Coordenadas de los conductores (m)
* XCG, YCG Coordenadas de los cables de guardia (m)
RCON Radio de los conductores (cm)
* RCG Radio de los cables de guardia (cm)
RMGC Radio medio geométrico de un conductor (cm)
*RMGCG Radio medio geométrico de un cable de guardia -
(cm) '••
NHEC Numero de hilos exteriores de un conductor (// de
hilos de la ultima capa)
*NHECG Numero de hilos exteriores cae un cable de guar-
dia.
RHCON Radio de un hilo exterior de un conductor (cm)
*RHCG Radio de un hilo exterior del cable de guardia -
(cm)
MIUCON Permeabilidad del material del conductor (Hen
rios /m).
*MIUCG Permeabilidad del material del CG (henrios/ra)
RTIVC Resistividad del material del conductor (ohmios -
« m ) .
*RTIVCG Resistividad del material del CG (ohmios - m)
NUMCIR Numero de circuitos trifásicos.
NUMFAS Numero de fases.
- 104
FLEC Flecha del conductor (m)
*FLECG Flecha del GG (ra)
INTIE Indicador para retorno por tierra
INDTR Indicador para transposición
INDSIM Indicador de simetría solo para dobles circuidos
trifásicos
NOTA 1) Todos los indicadores valen 1 en caso afirmativo y O en
caso contrario.
2.- VARIABLES DE SALIDA
Para la salida del programa que comprende todas las matrices
de ímpedancia y admitancia se ha utilizado las siguientes varia
bles:
ZSERIE _Matriz de Ímpedancia serie
ZTR Matriz de Ímpedancia serie de un circuito trifásico sim_
pie.
ZAATR Matriz de Ímpedancia serie, del circuito izquierdo.
ZBBTR Matriz de Ímpedancia serie del circuito derecho.
ZSECj_ Matriz de Ímpedancia serie del circuito izquierdo en -
componentes simétricas
ZSEC2 Matriz de Ímpedancia Z serie del« circuito derecho en
componentes simétricas.
ZREDUC Matriz de Ímpedancia serie equivalente
ZSECUE Matriz de Ímpedancia serie en componentes simétricas
YSHÜNT Matriz de admitancia shunt
YSHTR Matriz de admitancia shunt de un circuito trifásico sim
pie
YAATR Matriz de admitancia shunt del circuito izquierdo
- 100 -
VI.- RESTRICCIONES
El programa tiene las siguientes restricciones:
- El programa está diseñado solo para circuitos de corriente,
alterna monofásicos, bifásicos o trifásicos.
- El programa opera hasta con doblefcircuitos trifásicos con
haces de conductores de hasta cuatro conductores por fase -
y hasta con cuatro cables de guardia.
- El programa opera solo con conductores cableados.
NOTA 5.- En los datos de entrada, luego de INDTIE irá INDZ, indi-
cador para tomar o no en cuenta la impedancia interna de
los conductores.
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