Errores

Introduccion al Laboratorio de Optica: Manejo de

Datos y Errores Experimentales

Antonio Alfonso Rodrguez Rosales y Omar Rodrguez Nunez.

Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Ciudad Universitaria,Coyoacan, 04510, Mexico, D.F., 2015-2. [email protected] y

[email protected]

Resumen

Como parte introductoria al curso del Laboratoriode Optica de la facultad de Ciencias de la U.N.A.M.,se hace una revision del concepto de Metodo Cientfi-co y la Estadstica Descriptiva asociada al manejo dedatos y errores experimentales para su aplicacion enlas diferentes practicas consideradas en el semestre.

1. Objetivos

En esta sesion se revisaran los diferentes temas in-herentes al manejo de los datos que se tomen de losdiferentes experimentos, con el fin de cubrir los sigu-ientes temas:

Metodo cientfico

Errores experimentales e incertidumbre.

Calculo de errores.

Descripcion del manejo de errores estadsticos.

2. Introduccion

Para el curso del Laboratorio de Optica, se hacenecesario repasar temas como el del Metodo Cientfi-co y la Estadstica Descriptiva involucrados en elplanteamiento y desarrollo de las diferentes practicasexperimentales.

3. Metodo Cientfico

La Fsica es la ciencia universal de la explicaciony reunion del conocimiento de los fenomenos de lanaturaleza, estableciendo relaciones entre los hechosy enunciando leyes. Francis Bacon y Galileo Galileiestablecieron las bases del metodo cientfico que hoyen da se utiliza en las diferentes ramas de la Ciencia,este metodo consiste de lo siguiente:

Planteamiento del fenomeno: Este se basa enla inquietud del investigador al observar el fenomenode su interes, discerniendo con las experiencias y/olos conocimientos actualmente existentes del mismo.

Establecimiento de argumento: Con base a lainformacion recopilada del fenomeno, el investigadorla completa, ordena y sustenta con un trabajo de in-vestigacion bibliografico, con la secuencia siguiente:

Hipotesis sugerida: Con la informacion previaobtenida, se buscan respuestas a los planteamientoselaborados y, con la intuicion propia del investigadorinstrumenta conjeturas o suposiciones para la expli-cacion del fenomeno. A estas conjeturas es lo que seconoce como hipotesis y son importantes debido aque plantea el camino mas adecuado a seguir.

Verificacion de la hipotesis. Para poder veri-ficar la hipotesis usualmente se sigue lo siguiente:

Observacion del Fenomeno: Lo primero es ob-servar nuevamente el fenomeno y con ello plantear los

1

CCADETUNAM Semestre 2015-2 2

factores que influyen en este, a estos se les conoce co-mo variables.

Identificacion de las Variables: Una vez ob-servado el fenomeno, debe hacerse una identificaciony clasificacion de las variables presentes en la inves-tigacion o experimento considerado (longitud, masa,tiempo).

Criterio: La descripcion debera de ser sen-cilla y elegante, considerando solo las variables masimportantes, pues de lo contrario, la explicacion serasumamente complicada y difcil de entender por losdemas.

Elaboracion de un plan de trabajo: Es impor-tante contar con un plan de trabajo, que permita di-mensionar y cuantificar el tiempo y costo de recursosnuevos o existentes.

Desarrollo experimental: Para asociar la depen-dencia entre las diferentes variables involucradas esnecesario realizar mediciones, de ah que es necesarioplantear y realizar el montaje de los diferentes instru-mentos de medicion en el experimento que reproduz-ca el fenomeno observado.

Resultados obtenidos: Con las medicionesobtenidas se procesan estas mediante metodos es-tadsticos de datos y errores experimentales y, se haceun analisis o discusion de los resultados obtenidos.

Conclusiones: Con base a lo anteriormente pre-sentado, el investigador estara en condiciones depresentar sus conclusiones, mismas que estan rela-cionadas con la(s) hipotesis inicial(es) y, si es factible,establecer la ley que rige el fenomeno.

Lo bello de la Ciencia es que no tiene una estruc-tura rgida sino flexible a nuevos cambios e ideas, porlo que el metodo cientfico se puede amoldar a lasnecesidades de cada investigador.

4. Mediciones, errores experi-mentales e incertidumbre

El investigador debe trabajar con datos que seanconfiables, por lo que al realizar cualquier medicionpara obtener un valor en un experimento, se corre elriesgo de obtener datos erroneos (defectuosos) debidoa que en el proceso intervienen una serie de factoresque alteran o modifican este valor. Uno de esos fac-tores se atribuye a los instrumentos y metodos demedicion, . De ah que se tengan limitaciones en laexactitud de los datos que se obtengan y que derivande los diferentes tipos de errores que se cometan, talescomo [1]:

4.1. Mediciones directas.

Medida directa es aquella que se realiza utilizandoalgun instrumento para medir una magnitud, tal esel caso de las cintas metricas, multmetros, calormet-ros, etc. En el laboratorio usualmente al tomar medi-das, surge la pregunta, si al repetir varias medicionesy obtenemos siempre el mismo valor, significa que esuna buena medida?, la respuesta radica en la sensibil-idad del instrumento, pongamos el caso de que medi-mos una mesa de 100 cm de longitud y utilizamos unacinta cuya escala solo este graduada cm, diremos queel resultado es de 100 1cm. De ah que toda expre-sion de una medida siempre debe estar acompanadade su imprecision. Otra gran pregunta que surge en-tre los estudiantes de los laboratorios es cual debeser el numero de medidas que hay que realizar parareflejar una medida exacta?; si tomo una no me dicegran cosa, dos surge la duda de tomar la mayor o lamenor, sin embargo con tres ya puedo medir la me-dia aritmetica y determinar la dispersion de las me-didas. Como valor verdadero de la magnitud medidatomamos la media aritmetica de las tres y hallamosla dispersion (que para este pequeno ejercicio denom-inaremos D) de esas medidas.Para hallar la dispersion (D) de las medidas resta-

mos la menor de ellas de la mayor y obtenemos elvalor D(ver mas adelante). Hallamos el porcentajede dispersion, %D. Si en la medida de , tenemosuna dispersion D, el porcentaje de dispersion sera:


%D =100D

(1)

A partir de la relacion anterior se establecen loscriterios para determinar el numero de mediciones,es decir:

< 2% basta con las tres medidas.

[2% y 8%) se toman 6 medidas.

[8% y 15%) se toman 15 medidas.

15% se toman 50 medidas (mnimo), por lo generalen estos casos se repite el experimento cuidandoen gran medida las condiciones experimentales yla sensibilidad del equipo.

Los errores accidentales se compensan haciendovarias medidas.

4.2. Errores experimentales e incer-tidumbre

Errores debidos a la precision de los aparatos.Este error es inevitable pues se asocia a la lec-tura de la ultima cifra significativa que esta rela-cionada a la mnima division de la escala en queestan graduados.

Errores aleatorios. Este error tambien es in-evitable y, es debidos a causas desconocidas (cor-rientes de aire, temperatura, campos magneticos,etc.), sin embargo la toma de lecturas repetidasse dispersan alrededor del valor real.

Errores humanos. Estos usualmente se cometenpor descuido en una mala lectura en la escala, so-bre todo cuando fluctuan las lecturas en el apara-to. Las repeticiones en la toma de la lectura dela misma medicion a menudo lo revelan.

Errores sistematicos. Son inherentes al modo enque se ha realizado la calibracion de un aparatode medida. Un error de este tipo siempre afec-tara a la medida en el mismo sentido, dandosiempre un resultado demasiado pequeno (si elerror es por defecto) o bien demasiado grande

(si el error es por exceso). La repeticion de me-didas con el mismo aparato no elimina los er-rores sistematicos. Por esta razon, estos erroresson potencialmente mas peligrosos que los er-rores aleatorios.

Muestras no representativas: Sin importar locuidadoso que se sea en las mediciones, si lamuestra en el analisis no es representativa, seestaran desperdiciando esfuerzos.

Fluctuaciones estadsticas, aun cuando se hayanexcluido las desviaciones, la muestra en estu-dio esta aun sujeta a fluctuaciones estadsticasderivadas de la combinacion de desviaciones enlos errores (suma, resta , multiplicacion y di-vision) para diferentes variables

Perturbaciones debida a la interaccion del obser-vador con la muestra.

En el Laboratorio de Optica de la Facultad deCiencias, se cuenta con diferentes instrumentosde medicion, mismos que se utilizan a lo largo delas diferentes practicas. Por lo que es importantetener una perspectiva general de los diferenteselementos con que cuenta el laboratorio as comodel adecuado entendimiento de los parametrosde medicion de estos. El trabajo de medicion en ellaboratorio, emplea una serie de terminos tales como:

Instrumento Un instrumento se puede definir co-mo un dispositivo para determinar el valor o lamagnitud de una cantidad variable

Patrones Unidades estandar, utilizadas como ref-erencias de calibracion en los instrumentos, lasmismas se sustentan en acuerdos internacionales.

Exactitud Aproximacion con la cual la lectura deun instrumento se acerca al valor real de la vari-able medida (si se esta relativamente libre de er-rores sistematicos).


Precision Medida de la reproductibilidad de lasmediciones; esto es, dado el valor fijo de una vari-able, la precision es una medida del grado con elcual las mediciones sucesivas difieren una de otra(si el error aleatorio es pequeno).

Sensibilidad Relacion de la senal de salida o re-spuesta del instrumento respecto al cambio dela entrada o variable medida.

Resolucion Cambio mas pequeno en el valor medi-do al cual responde el instrumento.

Error Desviacion a partir del valor real de la vari-able medida.

4.3. Tratamiento estadstico de medi-das con errores.

En el proceso de realizar mediciones en los exper-imentos, se obtiene una serie de datos cuyos valoresque como ya se vio, dependen de una serie de erroresasociados al experimentador (aleatorios) y al instru-mento (s) (sistematicos) [2, 3, 4]. Al realizar nveceslas mediciones, se obtiene una grafica similar a la dela figura siguiente: La distribucion esta dada por una

Figura 1: Distribucion de datos experimentales

funcion probabilstica:

P (x, , ) =1

2

ex22 ;

Figura 2: Distribucion Normal

donde x es el valor, es el promedio y es ladesviacion estandar (nos da una medida del error).

4.4. Valor promedio (Media ar-itmetica o Media)

=1N

Ni=1

xi

donde xi es la iesima medida y N es el numerototal de medidas realizadas.

4.5. Mediana

Se refiere a un conjunto de datos ordenados enmagnitud, y corresponde al dato que queda al cen-tro. Si hay un numero impar de datos, la mediana sedetermina facilmente y, si es par, se promedia el delos dos centrales.

4.6. Precision

Dado que es necesario ponderar que tan significa-tivos son los errores aleatorios, necesitamos mediarloy para ello se utiliza la desviacion estandar, varianza,desviacion estandar relativa, coeficiente de variacion,etc.La desviacion estandar se define como:


=

1N

Ni=1

(xi )2

La varianza simplemente es (2) La desviacionestandar relativa (Relative Standard DeviationRSD) proporciona mas informacion que la desviacionestandar, pues permite comparar variaciones entregrupos de datos y se calcula al dividir la por lamediana de la misma, es decir:

DER =

Si a RSD se multiplica por el 100% se le conoce comocoeficiente de variacion (CV)

4.7. Dispersion de las medidas

(En las calculadores suele aparecer como N1)

j =

1N 1

Ni 6=j

(xi )2

Una estimacion de la desviacion estandar que nos vaa dar una estimacion de la variacion en cada una delas mediciones.Con lo anterior se obtienen las mediciones con sudesviacion estandar, esto es:

x1 1, x2 2, x3 3, . . . , xN N

4.8. Combinacion de errores

Cuando se trabaja en un proyecto de investigacion,es usual que para obtener una medicion de una va-riable fsica, recurramos a mas de un instrumento, detal forma que el valor asociado al calculo final, debeinvolucrar a cada una de las mediciones individualescon sus correspondientes errores; a esto es lo que se leconoce como propagacion de errores/incertidumbres.

Por ejemplo, supongamos que z es la cantidad obteni-da a partir de una variable x, a traves de una fun-cion de comportamiento f ; esto es z = f(x). Por loque la incertidumbre asociada se muestra en la figurasiguiente:

Figura 3: fig

x x = ((x x), (x+ x))z z = ((z z), (z + z+));

aplicando z = f(x)

z = f = f(x) f(x x+)z+ = f+ = f(x x) f(x)

Si se define a f como el mayor de f y f+,la incertidumbre asociada sera z = f = fx x.Si suponemos que f(= z) y x(= x) sonpequenos, aproximamos el cociente por el valor dela derivada, esto es: z = dfdx x

Para N mediciones se considera la siguiente aproxi-macion zi = zi z y xi = xi x , por lo quecon base a la relacion =

1

N1N

i=1 (xi )2,se obtiene:

2z =

1N 1

Ni=1

(zi z)2

=1

N 1

Ni=1

(xi x)2(dfdx

)2= 2x

(dfdx

)2


Esta funcion se puede generalizar a funciones devarias variables.

2z =

2x1

(f

x1

)2+ 2x2

(f

x2

)2+

+ 2x3

(f

x3

)2+ . . .+ 2xn

(f

xn

)2Ejemplos:

z z

x y(x)2 + (y)2

xyy2(x)2 + x2(y)2

xy

(x)2

y2 +x2(y)2

y4

5. Analisis estadstico de datos

En todo trabajo experimental, es necesario sabercuantas mediciones hay que realizar para que el datodel valor promedio corresponda con el real. La Es-tadstica Descriptiva nos dice que un numero infinitode mediciones lo proporciona, sin embargo y por ra-zones obvias de tiempo, no es posible realizar un grannumero de medidas, por ello se recurre a la Teora delmuestreo, en donde se estudia la relacion entre unapoblacion y las muestras tomadas de ella. El captulo8 de la referencia [5] nos dice que para mediciones deN mediciones (N 30) correspondera a Grandesmuestras y ello significa que el muestreo correspon-dera al tpico valor de y , mientras que paraN < 30 las muestras se consideran Pequenas y,cuyo tema se encuentra ampliamente explicado en elcaptulo 11 [5], Teora de las pequenas mues-tras.

5.1. Estimaciones de intervalos deconfianza

En analisis de datos es importante saber que tanconfiables son las muestras que se toman de un uni-verso, para ello se recurre a la teora del muestreo,dentro de la cual podemos utilizar la Distribucion tde Student, la Distribucion de 2 o la DistribucionF [5, 6]. Para efectos practicos solo analizaremos elcaso de la Distribucion t de Student. Lo anterior nospermite establecer la probabilidad de que el valor ver-dadero de la medicion se encuentra dentro de un in-tervalo de confianza, cuyo Limite de Confianza (LC)queda dado como:

LC = tN

donde t es la conocida t de Student (ver tabla dela Fig. 4

Figura 4: Valores de t para la distribucion de Student

5.2. Rechazo o aceptacion de medidas

Ahora bien, en el caso de pequenas muestras, enocasiones se observa que alguna de las medicionesesta o no en concordancia con el grupo de estas yes necesario saber si se acepta o se rechaza la mis-ma. Existen algunas reglas que nos permiten justi-ficar la decision de acepto o rechazo. Primero, la me-dida con duda se excluye del resto y se calcula nue-vamente el y . Se justifica el rechazo si la medi-cion con duda al diferenciarla respecto al promedio,es 4veces Cuando no se dispone de mas de 5 medi-das, es recomendable no rechazar el dato sospechoso


basandose con este criterio. Para este tipo de situa-ciones se utilizaran los Test Q. El cual consiste deordenar los datos en forma creciente y aplicar la sigu-iente relacion:

Qduda =|xduda xproximo|

W

donde W es el recorrido y se toma como la difer-encia entre el valor maximo y mnimo de la serie dedatos. Si el valor de Qduda > Qtabla (ver Fig. 5 en-tonces se debe de rechazar la medida en duda.

Figura 5: Valores de Q para diferentes porcentajes deconfianza

6. Cifras significativas en lasmediciones

Las cifras significativas, se refieren a la cantidad dedgitos relevantes en las mediciones, es importantenotar que en los experimentos, dependiendo del in-strumento que se utilice, se debera de tener ciertosentido comun para determinar, con base a la sensi-bilidad del mismo la cantidad de cifras significativas,es decir, si medimos m, cm, mm o m hasta cuantascifras es relevante la medicion que se tome.

7. Conclusiones

En esta primera parte de la Introduccion al Labo-ratorio de Optica, se ha presentado un resumen delmanejo y analisis estadstico de datos y errores ex-perimentales, resaltando el caso del tratamiento delos limites de aceptacion y rechazo de datos para elcaso de muestras pequenas. Al final de este trabajo,se muestra las referencias bibliograficas que ayudaran

a ampliar el estudio de este importante tema en laFsica experimental.

Referencias

[1] The Open University. El Manejo de Datos Exper-imentales. Mc Graw Hill, 1974.

[2] G. L. Squire. Fsica Practica. Mc Graw Hill, 1972.

[3] D. C. Baird. An Introduction to MeasurementTheory and Experiment Design. Prentice Hall,New Jersey, 1962.

[4] Neil Bruce. Practicas de Laboratorio de Optica.Facultad de Ciencias, UNAM.

[5] Murray R. Spiegel. Estadstica. Mc Graw Hill,1996.

[6] V.P. Spiridonov y A.A. Lopatkin. Tratamien-to Matematico de datos Fsico-Qumicos. MIR,1973.

http://www.ugr.es/ aquiran/docencia.htm

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