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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matematica
Tesis de Licenciatura
Desigualdades para la Integral Fraccionaria yTeoremas de
Inmersion para Espacios Potenciales de
Funciones Radiales
Erika Porten
Director: Pablo De Napoli
Junio de 2014
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Indice general
1. Integral Fraccionaria 71.1. El Potencial de Riesz . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Acotaciones sin
pesos para la integral fraccionaria . . . . . . . . . . . . 91.3.
Acotaciones con pesos para la integral fraccionaria . . . . . . . .
. . . . 121.4. Relacion con las condiciones de Sawyer y Wheeden . .
. . . . . . . . . 25
2. Integral Fraccionaria 292.1. Acotaciones con pesos para
funciones radiales . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Espacios Potenciales 443.1. Introduccion . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2. Lemas de Ni y
Strauss para espacios potenciales . . . . . . . . . . . . . 50
4. Teoremas de inmersion 57
2
-
Introduccion
El punto de partida de esta tesis fue el estudio de las
acotaciones con pesos potenciapara la integral fraccionaria (o
potencial de Riesz)
Tf(x) =
Rn
f(y)
|x y| dy 0 < < n
en el caso en que f(x) = f0(|x|) es una funcion radial de Rn,
basandonos en el trabajorealizado por P. De Napoli, I. Drelichman y
R. Duran en [4].
El estudio de este operador se remonta al trabajo de Marcel
Riesz (ver [14]) de 1948,del cual recibe su nombre, y fue estudiado
por diversos autores a lo largo de la historia,como por ejemplo
Hardy y Littlewood, Stein y Weiss, Sawyer y Wheeden, por
nombraralgunos de ellos. Repasaremos algunos de sus resultados en
el primer captulo.
Stein y Weiss [18] consideran desigualdades con pesos potencia
de la forma
|x|TfLq(Rn) Cp,q |x|fLp(Rn) (1)y dan condiciones para su
validez. Posteriormente, B. Rubin [15], y tambien P. DeNapoli, I.
Drelichman y R. Duran [4], demostraron que restringiendo el
operador a fun-ciones radiales, el rango de pesos potencia
admisibles para que valga una desigualdadde este tipo es
estrictamente mayor del que se obtiene cuando se consideran
funcionescualesquiera de Lp(Rn, |x|p). Un teorema aun mas general
(con integrabilidad angular)fue probado por P. DAncona y R. Luca en
[2].
En el estudio de las acotaciones para pesos mas generales B.
Muckenhoupt y R. L.Wheeden [11], dieron condiciones necesarias y
suficientes para la validez de la desigual-dad
v(x)TfLq(Rn) Cp,q v(x)fLp(Rn)con el mismo peso en ambos lados.
Mas adelante, E. T. Sawyer y R. L. Wheeden en [16]obtuvieron una
caracterizacion para los pesos admisibles en una desigualdad de
tipo
w(x)TfLq(Rn) Cp,q v(x)fLp(Rn)
3
-
En este trabajo mostraremos que las potencias que cumplen la
condicion de Sawyer yWheeden son las de Stein y Weiss [18], de
donde puede deducirse que el resultado deStein y Weiss no puede ser
mejorado en general.
El hecho de poder obtener mejores desigualdades si nos
restringimos al subespaciode funciones radiales es bien conocido.
Podemos por ejemplo remontarnos a los trabajosde W. Strauss [19] y
W. M. Ni [12], quienes probaron los siguientes teoremas:
Teorema 0.0.1. [12, Ni] Sea B la bola unitaria de Rn, (n 3),
entonces toda funcionen H10,rad(B) es igual en casi todo punto a
una funcion en C(B {0}) tal que
|u(x)| Cn |x|(n2)/2 uL2(B)Teorema 0.0.2. [19, W. Strauss] Sea n
2. Entonces toda funcion en H1rad(Rn) esigual en casi todo punto a
una funcion en C(Rn {0}) tal que
|u(x)| Cn |x|(n1)/2 uH1(Rn)El objetivo principal en sus trabajos
era el de encontrar soluciones a ciertas ecua-
ciones diferenciales no lineales. Estas desigualdades les
permitieron obtener en particu-lar inmersiones compactas para el
espacio de Sobolev H1rad(R
n). Teoremas como estosdesempenan un papel importante cuando se
quiere aplicar metodos variacionales paraobtener soluciones de
ecuaciones diferenciales no lineales, ya que nos permiten
demos-trar teoremas de existencia.
Esta tesis esta organizada en 4 captulos, de los cuales daremos
una breve descrip-cion a continuacion.
En el captulo 1 haremos un breve repaso de los resultados
clasicos de la teora de lasacotaciones para la integral
fraccionaria, comenzando por la definicion del potencial deRiesz
(integral fraccionaria), continuando con las acotaciones sin pesos
para la integralfraccionaria de Hardy, Littlewood y Sobolev:
Teorema 0.0.3. Sean f Lp(Rn), 0 < < n y 1 < p < q
< , con 1q= 1
p+
n 1,
entonces existe una constante Cp,q independiente de f tal
que
TfLq(Rn) Cp,qfLp(Rn)Siguiendo con las acotaciones con pesos
potencias de Stein y Weiss:
Teorema 0.0.4. Sea n 1, 0 < < n, 1 < p q < , <
np, < n
q, + 0, y
1q= 1
p+ ++
n 1, entonces la desigualdad
|x|TfLq(Rn) C|x|fLp(Rn)vale para toda f Lp(Rn, |x|pdx), donde C
es una constante independiente f .
4
-
Y finalmente mostraremos que el teorema de Stein y Weiss es un
caso particular delteorema de Sawyer y Wheeden (que considera pesos
mas generales).
En el captulo 2 restringiremos nuestro analisis al espacio de
funciones con simetraradial. Aqu mostraremos el teorema de P. De
Napoli, I. Drelichman y R. Duran, al quele agregaremos el caso
lmite q =.Teorema 0.0.5. Sea n 1, 0 < < n. Si 1 < p < q
< , < n
p, < n
q,
+ (n 1)(1q 1
p) y 1
q= 1
p+ ++
n 1, entonces
|x|TfLq(Rn) C|x|fLp(Rn)para toda funcion radial f Lp (Rn,
|x|pdx)Si p = 1 o q = (pero no ambas condiciones simultaneamente),
vale la el mismoresultado si reemplazamos la condicion sobre + por
+ > (n 1)(1
q 1
p).
En el captulo 3 daremos la definicion de los espacios de Sobolev
fraccionarios ba-sados en Lp(Rn) (conocidos como espacios
potenciales), para los cuales mostraremosalgunas de sus propiedades
y la caracterizacion de los mismos cuando nos restringimosa las
funciones radiales. Ademas daremos una generalizacion para los
teoremas de W.M. Ni y de W. Strauss mencionados anteriormente.
Teorema 0.0.6. (Lema de Ni para Espacios Potenciales) Sean n
> 1, 1 < p < y1/p < s < n/p. Entonces
|f(x)| Cn|x|(nsp)/pfHs,p(Rn)para toda f Hs,prad(Rn) .Teorema
0.0.7. (Lema de Strauss para Espacios Potenciales) Sean 1 < p
< y1/p < s < n. Entonces
|f(x)| Cn|x|(n1)/pfHs,p(Rn)para toda f Hs,prad(Rn).
Estos teoremas seran de gran utilidad en la demostracion de los
teoremas de inmer-sion que veremos en el ultimo captulo.
En el captulo 4 centraremos nuestra atencion en los teoremas de
inmersion compactade los espacios potenciales de funciones radiales
en espacios Lp(Rn) y en espacios conpesos Lp(Rn, |x|c)
5
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Teorema 0.0.8. Sean 1/p < s < n/p y 1 < p < q < p
= npnsp
, entonces para todafuncion radial se tiene la inclusion
compacta
Hs,p(Rn) Lq(Rn)
Teorema 0.0.9. Sean 1/p < s < n/p y 1 < p < q < p
= p(n+c)nsp
, entonces para todafuncion radial se tiene la inclusion
compacta
Hs,p(Rn) Lq(Rn, |x|c dx)
donde ps < c < (n1)(qp)p
Si bien estos teoremas fueron demostrados por Lions (en [13]) en
el caso sin pesosy por P. De Napoli e I. Drelichman (en [3]) para
el caso con pesos, en este trabajodaremos una version mas debil, ya
que hemos agregado la condicion s > 1/p, que nospermitira dar
una demostracion mas elemental usando los resultados analizados en
loscaptulos anteriores.
Y finalmente cuenta con un apendice en donde realizamos la
demostracion de unresultado auxiliar utilizado en el primer
captulo.
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Captulo 1
La Integral Fraccionaria (Potencialde Riesz)
1.1. El Potencial de Riesz
El Potencial de Riesz recibe su nombre del matematico hungaro
Marcel Riesz quienlo introduce en el ano 1948 [14] dando una
generalizacion a varias variables para laintegral de
Riemann-Liouville
I(f) =1
()
xa
f(t)(x t)1 dt (Re() > 0)
Definicion 1.1.1. Sean 0 < < n y f localmente integrable
en Rn. Se define elPotencial de Riesz por
I(f) = C(, n)
Rn
f(y)|x y|n dy
donde
C(, n) = 2pin/2(n
2)
(2)
Este operador, tambien conocido como Integral Fraccionaria, es
de gran importanciapor sus aplicaciones, ya que nos permite dar una
representacion integral a las potenciasnegativas del Laplaciano.
Para poder ver cual es esa relacion vamos a realizar
algunasobservaciones. Partimos de la definicion de la funcion
Gama
() =
0
x1ex dx (Re() > 0)
7
-
y si hacemos la sutitucion x = at
() =
0
a1t1eata dt
= a 0
t1eat dt
de donde podemos obtener la relacion
a =1
()
0
t1eat dt
con la que podemos definir las potencias negativas de un
operador A no negativo quegenera un semigrupo
A =1
()
0
t1etA dt
y si tomamos A = tenemos una representacion integral para las
potencias negativasdel Laplaciano
() (f) = 1()
0
t1et(f) dt
tomando f S, tenemos
et(f) = et||2
f()
et(f) = f (et||
2)
= f Ktdonde Kt denota el nucleo del calor
Kt(x) =1
(4pit)n/2e|x|
2/4t
como se puede ver en [17]. Por lo tanto
() f(x) = 1()
0
t1(Rn
1
(4pit)n/2e|xy|
2/4tf(y) dy
)dt
=1
()
Rn
f(y)
( 0
t1e|xy|2/4t
(4pit)n/2dt
)dy
=1
()
Rn
f(y)I(x, y) dy
8
-
luego haciendo la sustitucion u = |xy|2
4ten I(x, y) tenemos
I(x, y) =
0
eu
(4pi)n/2
( |x y|24u
)1n/2 |x y|24u2
du
=|x y|2n22pin/2
0
u+1+n/2eu du
=|x y|2n22pin/2
(n 2
2
)Finalmente
() f(x) = 22pin/2
(n22
) ()
Rn
f(y)|x y|2n dy
con lo cual()/2 f(x) = I(f)(x) (f S)
luego como S es denso en Lp(Rn), se puede extender a f
Lp(Rn).
1.2. Acotaciones sin pesos para la integral fraccio-
naria
De aqu en adelante consideraremos al operador
(Tf) (x) =
Rn
f(y)
|x y| dy (0 < < n)
tomando en la definicion anteior = n y dejando de lado las
constantes.Teorema 1.2.1. Sean f Lp(Rn), 0 < < n y 1 < p
< q < , con 1
q= 1
p+
n 1,
entonces existe una constante Cp,q independiente de f tal
que
TfLq(Rn) Cp,q fLp(Rn)
Observacion. La condicion 1q= 1
p+
n 1 es necesaria. Para ver eso consideramos las
funciones dilatadas f(x)f := f(x)
9
-
Entonces aplicando la desigualdad a f tenemos
TfLq(Rn) CfLp(Rn) (1.1)ahora
Tf(x) =
Rn
f(y)
|x y| dy =Rn
f(y)
|x y| dy
=
Rn
f(u)
|||x u|du
||n = ||n
Rn
f(u)
|x u| du=||nTf(x)
TfqLq(Rn) =Rn
|Tf(x)|q dx
=
Rn
||(n)q|Tf(x)|q dx
=
Rn
||(n)q|Tf(u)|q du||n
=||(n)qnRn
|Tf(u)|q du
=||(n)qnTfqLq(Rn)Ademas
fpLp(Rn) =Rn
|f(x)|p dx =Rn
|f(x)|p dx
=
Rn
|f(u)|p du||n = ||n
Rn
|f(u)|p du=||nfpLp(Rn)
reemplazando estas identidades en (1.1) obtenemos
TfLq(Rn) CfLp(Rn)||nnq TfLq(Rn) C||
np fLp(Rn)
TfLq(Rn) C||+n+nqn
p fLp(Rn)pero si +n+ n
qn
p6= 0, podemos hacer tender a 0 o llegando a una
contradiccion,
por lo tanto
+ n+ nq np= 0
1
q=
1
p+
n 1
10
-
El problema de ver cuando un operador T es un operador acotado
de Lp en Lq
fue estudiado por varios autores a lo largo de la historia. Si
bien las demostraciones deHardy y Littelwood en el caso
unidemensional y de Sobolev en el caso n-dimensionalson anteriores,
nos parecio interesante mostrar una demostracion realizada por
Hedbergen [10], donde el teorema se ve como una consecuencia
sencilla del Teorema Maximalde Hardy-Littlewood-Wiener.
Recordemos la definicion de la funcion maximal de
Hardy-Littlewood
M(f)(x) = supr>0
rn|y| 1 (1.3)
Para la demostracion del teorema vamos a necesitar ademas el
siguiente lema.
Lema 1.2.1. Si 0 < < n entonces para todo x Rn y > 0 se
tiene|yx|
|f(y)||x y|dy CnM(f)(x)
Demostracion. Sea x Rn y > 0|yx|
|f(y)||x y|dy =i=0
2i1|yx|2i
|f(y)||x y|dy
i=0
(2i)|yx|2i
|f(y)|dy
i=0
2i(2i)nM(f)(x)
CnM(f)(x)i=0
2i(n)
CnM(f)(x)
Ahora podemos demostrar el Teorema 1.2.1
11
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Demostracion. (teorema) Sean p > 1, 0 < < n, 1q= 1
p+
n1 y > 0 y sean x Rn y
> 0 arbitrarios. Usando desigualdad de Holder en el caso p
> 1 obtenemos la siguientedesigualdad
|yx|
|f(y)||x y|dy CfLp(Rn) nn/p
Luego, teniendo en cuenta esa desigualdad y el lema anterior,
tenemos
|Tf(x)| =Rn
|f(y)||x y| dy
=
|yx|
|f(y)||x y| dy +|yx|
|f(y)||x y| dy
C(nM(f)(x) + nn/pfLp(Rn))Para minimizar esta expresion basta
elegir = (M(f)(x)/fLp(Rn))p/n y nos queda
Rn
|f(y)||x y| dy CM(f)(x)(n(n)p)/nf(n)p/nLp(Rn)Finalmente usando
el teorema maximal de Hardy-Littlewood-Wiener y la relacion1q=
1
p+
n 1
TfqLq(Rn) =Rn
|Tf(x)|q dx Rn
CM(f)(x)(n(n)p)q/nf(n)pq/nLp(Rn) dx
Cf((n)pq/n)Lp(Rn)Rn
M(f)(x)pdx Cf((n)pq/n)Lp(Rn) M(f)pLp(Rn)Cf((n)pq/n)Lp(Rn)
fpLp(Rn) CfqLp(Rn)
1.3. Acotaciones con pesos para la integral fraccio-
naria
La teora de las acotaciones con pesos potencias para este
operador se remonta altrabajo de G.H. Hardy y J. E. Littlewood [8]
en el caso unidimensional y su genera-lizacion a n 1 corresponde a
E.M. Stein y G. Weiss, quienes en [18] obtuvieron elsiguiente
teorema. En este trabajo reproduciremos su demostracion.
Teorema 1.3.1. Sea n 1, 0 < < n, 1 < p q < , <
np, < n
q, + 0, y
1q= 1
p+ ++
n 1, entonces la desigualdad
|x|TfLq(Rn) C|x|fLp(Rn)vale para toda f Lp(Rn, |x|pdx), donde C
es una constante independiente f .
12
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Observacion. La condicion 1q= 1
p+ ++
n 1 es necesaria. Tomando f := f(x)
sabemos queTf(x) = ||nTf(x)
entonces
|x|TfqLq(Rn) =Rn
||x|qTf(x)|q dx
=
Rn
|x|q||(n)q|Tf(x)|q dx
=
Rn
||q|u|q||(n)q|Tf(u)|q du||n
=||(+n)qnRn
|Tf(u)|q du
=||(+n)qnTfqLq(Rn)ademas
|x|fpLp(Rn) =Rn
|x|p|f(x)|p dx =Rn
|x|p|f(x)|p dx
=
Rn
||p|u|p|f(u)|p du||n = ||pn
Rn
|f(u)|p du=||pnfpLp(Rn)
finalmente aplicando el teorema a f tenemos que
|x|TfLq(Rn) C|x|fLp(Rn)||+nnq |x|TfLq(Rn) C||
np |x|fLp(Rn)
|x|TfLq(Rn) C||+n+nqn
p |x|fLp(Rn)pero si + n + n
q n
p6= 0, podemos hacer tender a 0 o llegando a una
contradiccion, por lo tanto
+ n+ nq np= 0
1
q=
1
p+ + +
n 1
Observacion. En general no se conoce la constante optima en esta
desigualdad, sinembargo Beckner la calcula si p = q en [1, teorema
2] obteniendo
C, = pin/2
((+
2)( n
2p
2)( n
2p
2)
(n2
)( n2p
+ 2)( n
2p+
2)
)
13
-
Una herramienta importante para la demostracion de este teorema
es la generali-zacion al caso n-dimensional de un teorema muy util
para operadores integrales cuyosnucleos son homogeneos de grado -1
(ver [9, teorema 319] ) realizada por Stein y Weissen [18] en el
siguiente lema.
Lema 1.3.1. Sea K(u, v) 0 una funcion definida en {(u, v) : u 0
y v 0}homogenea de grado -n, que cumple, para p 1
J =
0
K(1, t)tn/p1 dt 0( 0
|g(tR)|pRn1 dR)1/p
= tn/p(
0
|g(R)|pRn1 dR)1/p
(1.6)
14
-
Como
fLp(Rn) := suphp=1
Rn
f(x)h(x) dx
y este supremo se realiza, sabemos que existe h que
satisface0|h(R)|pRn1 dR = 1
tal que, ( 0
|(Tf)(R)|pRn1 dR)1/p
=
0
(Tf)(R)h(R)Rn1 dR (1.7)
Entonces usando (1.4) y (1.6), el teorema de Fubini y la
desigualdad de Holder tenemos( 0
|(Tf)(R)|pRn1 dR)1/p
=
0
(Tf)(R)h(R)Rn1 dR
=
0
( 0
K(1, t)f(tR)tn1 dt
)h(R)Rn1 dR
=
0
K(1, t)tn1(
0
f(tR)h(R)Rn1 dR
)dt
0
K(1, t)tn1(
0
|f(tR)|pRn1 dR)1/p
dt
=
0
K(1, t)tn1tn/p(
0
|f(R)|pRn1 dR)1/p
dt
=J
( 0
|f(R)|pRn1 dR)1/p
con lo cual ( 0
|Tf(R)|pRn1 dR)1/p
J(
0
|f(R)|pRn1 dR)1/p
(1.8)
aplicando la desigualdad de Jensen a (1.5) se obtiene
|Tf(R)|p p1Sn1
|Tf(R)|p d
luego usando la desigualdad (1.8) tenemos 0
|Tf(R)|pRn1 dR p1 0
(Sn1
|Tf(R)|p d)Rn1dR
=p1Sn1
( 0
|Tf(R)|pRn1 dR)d
Jpp1Sn1
( 0
|f(R)|pRn1 dR)d
=Jpp1Rn
|f(x)|p dx
15
-
por lo tanto Rn
|Tf(x)|p dx =Rn
|Tf(R)|p dx
=
Sn1
( 0
|(Tf)(R)|pRn1 dR)d
=
( 0
|(Tf)(R)|pRn1 dR)
Jp p1Rn
|f(x)|p dx
entonces (Rn
|Tf(x)|p dx)1/p
= J
(Rn
|f(x)|p dx)1/p
Ademas vamos a necesitar el siguiente lema.
Lema 1.3.2. Sea = (t, , ) = |12t cos(, )+ t2|1/2 donde 0 < m
t M
-
donde C depende solo de , n , m y M pero no de se tiene
|gt()|p C|1 t|p/npSn1
|g()|p
d (1.10)
luego integrando (1.10) respecto de a ambos miembros y aplicando
(1.9) nuevamente,obtenemos
Sn1|gt()|p d C|1 t|p/n
Sn1
|g()|p d
y queda probado el lema
Ahora pasamos a la demostracion del teorema 1.3.1
Demostracion. (del Teormea (1.3.1)) Primero veamos el caso p =
qSea g(x) = |x|f(x), consideramos
Sg(x) = S,,g(x) =
Rn
g(y)
|x||x y||y| dy
y lo reescribimos de la siguiente manera
Sg(x) =
Rn
K1(x, y)g(y)dy +
Rn
K2(x, y)g(y)dy+
Rn
K3(x, y)g(y)dy
=T1g(x) + T2g(x) + T3g(x)
donde
K1(x, y) =
{|x||x y||y| 0 |y|
|x| 1
2
0 en caso contrario
K2(x, y) =
{|x||x y||y| 2 |y|
|x|
0 en caso contrario
K3(x, y) =
{|x||x y||y| 1
2 |y|
|x| 2
0 en caso contrario
son homogeneas de grado n.Veremos que para cada i = 1, 2, 3(
Rn
|Tig|p dx)1/p
Ci(Rn
|g|p dx)1/p
donde las constantes Ci no dependen de g en Lp(Rn)
Si |y||x| 1
2entonces |x y| 1
2|x|, con lo cual
K1(x, y) 2|x||x||y| si |y|/|x| 1/2
17
-
entonces
J1 :=
0
K1(1, t)tn/p1 dt 2
1/20
ttn/p1 dt
-
nos queda
(T3g)(R) CSn1
( 212
g(tR)
|1 2t cos(, ) + t2|/2 dt)d
ahora consideramos, para 12< t < 2,
Gt(R) =
Sn1
|g(tR)|
d G(x) = G(R) =
212
Gt dt
y sea h(R) una funcion que satisface0|h(R)|pRn1 dR = 1 y(
0
|Gt(R)|pRn1 dR)1/p
=
0
h(R)Gt(R)Rn1 dR
=
0
h(R)
(Sn1
|g(tR)|
d
)Rn1 dR
=
Sn1
1
( 0
h(R)|g(tR)|Rn1 dR)d
Sn1
1
( 0
|g(tR)|pRn1 dR)1/p
d
2nSn1
1
( 0
|g(R)|pRn1 dR)1/p
d
donde la primera desigualdad se deduce a partir de la
desigualdad de Holder mientrasque la segunda sale del cambio de
variable u = tR, teniendo en cuenta que t 1
2.
Luego aplicando el lema 1.3.2 y la ultima cadena de
desigualdades, obtenemos(Sn1
( 0
|Gt(R)|pRn1 dR)d
)1/p C|1t|/n
(Sn1
( 0
|g(R)|pRn1 dR)d
)1/pPor lo tanto, usando la desigualdad de Minkowski para
integrales, y recordando que
19
-
0 < < n y tomando Q =( 2
12|Gt(R)|p dt
)1/ptenemos(
Rn
|G(x)|p dx)1/p
=
(Rn
2
12
Gt(R) dt
p
dx
)1/p
2
12
(Rn
|Gt(R)|p dx)1/p
dt
2
12
C|1 t|/n(Rn
|g(x)|p dx)1/p
dt
C(Rn
|g(x)|p dx)1/p
Con esto llegamos a mostrar que(Rn
|T3g|p dx)1/p
C(Rn
|g|p dx)1/p
Y por lo tanto (Rn
|Sg|p dx)1/p
C(Rn
|g(x)|p dx)1/p
y luego recordando las definiciones de g y Sg llegamos a la
desigualdad que queramosprobar
|x|TfLq(Rn) C|x|fLp(Rn)en el caso q = p.
Caso p < q < . Usando nuevamente g(x) = |x|f(x), veamos
que probar elteorema es equivalente a mostrar que para g Lp(Rn) y h
Lq(Rn) se tiene
Rn
Rn
g(y)h(x)
|x||x y||y| dy dx AfLp(Rn)hLq (Rn)
ya queRn
g(y)
|x||x y||y| dyLq(Rn)
= suphLq
{Rn
Rn
g(y)(h(x)/hq)|x||x y||y| dy dx
}ver [20, teorema 8.8 pagina 128] .Ahora consideramos en Rn Rn
las regiones R1, R2 y R3 dadas por
R1 =
{(x, y) :
1
2|y| < |x| < 2|y|
}R2 =
{(x, y) : |x| < 1
2|y|}
R3 =
{(x, y) : |y| < 1
2|x|}
20
-
y escribimos
I =
Rn
Rn
g(y)h(x)
|x||x y||y| dy dx = I1 + I2 + I3donde
Ii =
Ri
g(y)h(x)
|x||x y||y| dy dx i = 1, 2, 3
con lo cual es suficiente ver que
Ii CgLp(Rn)hLq (Rn) i = 1, 2, 3
Veamos primero I1como en R1,
12|y| < |x| < 2|y|, entonces |x y| < 3|x|. Ahora como +
0 por
hipotesis, se obtiene que
|x y|+ < 3+|x|+ < 3+2|||x||y|
y de esa forma R1
g(y)h(x)
|x||x y||y| dy dx C
R1
g(y)h(x)
|x y|++ dy dx
CRn
Rn
g(y)h(x)
|x y|++ dy dx.
Luego como 0 < , + 0, tenemos que ++ 0. Por otro lado 1q=
1
p+ ++
n1
implica 0 < + + < n, entonces usando la desigualdad de
Holder y el Teorema1.2.1
|I1| CRn
Rn
g(y)h(x)|x y|++ dy dx = C
Rn
|h(x)|Rn
g(y)|x y|++ dy dx
CRn
|g(y)||x y|++ dy
Lq(Rn)
hLq = C T++ (|g|)Lq(Rn) hLq
CgLp(Rn) hLq
Para acotar I2 y I3 vamos a necesitar el siguiente lema
Lema 1.3.3. Sea Vg(x) = |x|n+|y|
-
Demostracion. (lema (1.3.3))Notemos que Vg =
RnK(|x|, |y|)g(y) dy, donde
K(u, v) =
{ |u|n+|v| v < u0 en caso contrario
para todo u, v 0. Como K es homogeneo de grado n podemos aplicar
el Lema 1.3.1,ya que
10ttn/p
1 dt
-
Luego usando la desigualdad de Holder tenemos
I2 CgLp(Rn)|y|nVhLp(Rn). (1.11)
Ahora queremos estimar|y|nVhLp(Rn).
Para eso escribimosRn
(|y|nVh)p dy = Rn
(Vh)q (Vh)
pq (|y|n)p dycomo 1 < p < q
-
De manera analoga podemos probar la desigualdad para I3, ya que
en R3, |y| < 12 |x|con lo cual |x y| 2|x|. Entonces
I3 C
R3
g(y)h(x)
|x|+|y| dy dx = C
|y|
-
luego usando el lema (1.3.3) parte a)Rn
(Vg|x|n
)qdx C
(Rn
(Vg)p dx
)gqpp
Cgppgqpp CgqpY finalmente combinando la desigualdad anterior con
(1.12)
I3 CgLp(Rn)hLq(Rn)Lo que concluye la prueba.
1.4. Relacion con las condiciones de Sawyer yWhee-
den
Desigualdades con pesos mas generales fueron estudiadas por E.T.
Sawyer y R. L.Wheeden, quienes en [16] obtuvieron una
caracterizacion de tipo Ap,q para los pesosadmisibles.
(Ap,q) |B|/n(
B
w(x) dx
)1/q (B
v(x)1p
dx
)1/p C para toda bola B Rn
En su trabajo demostraron que para pesos w, v que cumplen la
condicion (Ap,q) se tienela siguiente desigualdad(
Rn
(Tf(x))qw(x) dx
)1/q C
(Rn
f(x)pv(x) dx
)1/p(1.13)
de donde se puede ver que el teorema de Stein y Weiss 1.3.1 es
un caso particular, yaque tenemos el siguiente lema.
Lema 1.4.1. Para n 1, 0 < < n, 1 < p q < , < np,
< n
q, + 0, con
1q= 1
p+ ++
n 1, tenemos que w(x) = |x|q y v(x) = |x|p cumplen la
condicion
(Ap,q)
Demostracion. Consideraremos los siguientes casos
1. B = B(x0, R) con |x0| 2R2. B = B(x0, R) con |x0| < 2R
25
-
Si x B(x0, R) entonces
|x0| R |x| |x0|+R1
2|x0| |x| 3
2|x0|
por lo tanto
|B|/n(
B
|x|q dx)1/q (
B
|x|p(1p) dx)1/p
CR(
B
|x0|q dx)1/q (
B
|x0|p(1p) dx)1/p
CR|x0|Rn/q|x0|Rn/p
CR+n/q+nn/p|x0|(+)
luego como + 0 tenemos que |x0|(+) (2R)(+) entonces
|B|/n(
B
|x|q dx)1/q (
B
|x|p(1p) dx)1/p
CR+n/q+nn/p|x0|(+)
CR+n/q+nn/p = CR0 = C
ya que + nq+ n n
p = 0 pues 1
q= 1
p+ ++
n 1
En el segundo caso, podemos tomar una bola centrada en el origen
que contenga aB(x0, R), ya que si x B(x0, R) tenemos que
|x| |x x0|+ |x0| 3R
Luego B(x0,R)
|x|q dx |x|3R
|x|q dx
3R0
Sn1
rqrn1 dr d
CRq+n
B(x0,R)
|x|p(1p) dx |x|3R
|x|p(1p) dx
3R0
Sn1
rp
rn1 dr d
CRp+n
26
-
Notemos que para que rq+n1 y rp+n1 sean integrables en el origen
necesitamos
de las condiciones < nqy < n
p.
Entonces
|B|/n(
B
|x|q dx)1/q (
B
|x|p(1p) dx)1/p
CRR+n/qR+n/p C
ya que + nq+ n
p= + n
q+ 1 n
p= 0.
Finalmente hemos probado que para toda bola B Rn se cumple
|B|/n(
B
|x|q dx)1/q (
B
|x|p(1p) dx)1/p
C
Si ademas w, v1pcumplen con la condicion doubling
(D)
2B
f(x) dx B
f(x) dx para toda bola B Rn
Sawyer y Wheeden probaron que la desigualdad (1.13) vale si y
solo si w y v cumplen lacondicion Ap,q. Por lo tanto a partir del
siguiente lema (que se puede encontrar en [7])podemos inferir que
las condiciones del teorema son optimas, ya que los pesos
admisiblesen 1.3.1 cumplen con ambas condiciones .
Lema 1.4.2. Si a > n , tenemos que |x|a cumple con la
condicion (D)2B
|x|a dx CB
|x|a dx para toda bola B Rn
Demostracion. 1. Consideremos primero las bolas B(x0, R) con
|x0| 3R.B(x0,2R)
|x|a dx
C(2R)n(|x0|+ 2R)a si a 0
C(2R)n(|x0| 2R)a si a < 0
B(x0,R)
|x|a dx
CRn(|x0| R)a si a 0
CRn(|x0|+R)a si a < 0
Como |x0| 3R, tenemos que
|x0|+ 2R = |x0|+ 6R 4R |x0|+ 2|x0| 4R 4(|x0| R)
27
-
|x0| 2R = |x0|+ 14R 9
4R |x0| 3
4|x0|+ 1
4R 1
4(|x0|+R)
con lo cual 2B
|x|a dx 2n4|a|B
|x|a dx
2. Si B(x0, R) con |x0| 3RB(x0,2R)
|x|a dx B(0,5R)
|x|a dx =Sn1
50
rarn1 dr d = C(5R)n+a
si n+ a > 0.Por otro lado podemos acotar la integral sobre
B(x0, R) haciendo las siguientestraslaciones
B(x0,R)
|x|a dx
B(0,R)
|x|a dx si a 0B(3R
x0|x0|
,R)|x|a dx si a < 0
C R0rarn1 dr si a 0
B(3Rx0|x0|
,R)(2R)a dx si a < 0
CRn+a
ya que si x B(3R x0|x0|, R), tenemos |x| 2R.
Y por lo tanto 2B
|x|a dx CB
|x|a dx
Observacion. Notemos que las condiciones < n/q y < n/p son
equivalentes aq > n y p(1p) > n y por lo tanto |x|q y
|x|p(1p) cumplen con la condicion(D).
28
-
Captulo 2
La Integral Fraccionaria parafunciones radiales
2.1. Acotaciones con pesos para funciones radiales
Como es bien conocido, cuando restringimos nuestro analisis al
subespacio de fun-ciones con simetra radial, el rango de exponentes
admisibles en los pesos suele mejorar.Como se puede ver en el
teorema 1.2 del trabajo de P. De Napoli, I. Drelichman yR. Duran
(ver [4]), ya que se consigue un rango mas amplio de exponentes
para loscuales se verifica la desigualdad de Stein y Weiss expuesta
en el captulo anterior. Acontinuacion enunciaremos dicho teorema e
incluiremos en el el caso q =.Teorema 2.1.1. Sea n 1, 0 < <
n. Si 1 < p < q < , < n
p, < n
q,
+ (n 1)(1q 1
p) y 1
q= 1
p+ ++
n 1, entonces
|x|TfLq(Rn) C|x|fLp(Rn)para toda funcion radial f Lp (Rn,
|x|pdx)Si p = 1 o q = (pero no ambas condiciones simultaneamente) ,
vale la el mismoresultado si reemplazamos la condicion sobre + por
+ > (n 1)(1
q 1
p).
Observacion. Notemos que si n = 1 o p = q (p 6= ) obtenemos el
mismo rango deexponentes que en el teorema de Stein y Weiss
1.3.1.
Observacion. Para funciones no radiales, la condicion + 0 no se
puede mejorar.Para verlo, consideramos
f(x) = f(x e1)suponiendo que la desigualdad vale para f
tenemos
|x|TfLq(Rn) C|x|fLp(Rn) (2.1)
29
-
luego
Tf(x) =
Rn
f(y)
|x y| dy =Rn
f(y e1)|x y| dy
=
Rn
f(u)
|x (u+ e1)| du =Rn
f(u)
|x e1 u| du=Tf(x e1)
|x|TfqLq(Rn) =Rn
|x|q|Tf(x)|q dx =Rn
|x|q|Tf(x e1)|q dx
=
Rn
|u+ e1|q|Tf(u)|q du = ||qRn
|u1 + e1|q|Tf(u)|q du
ademas
fpLp(Rn) =Rn
|x|p|f(x)|p dx =Rn
|x|p|f(x e1)|p dx
=
Rn
|u+ e1|p|f(u)|p du = ||pRn
|u1 + e1|p|f(u)|p du
entonces reemplazando en (2.1) obtenemos
|x1 + e1|TfLq(Rn) C||+|x1 + e1|fLp(Rn)de donde, haciendo (usando
lema de Fatou y Convergencia Mayorada),deducimosque + 0, ya que de
lo contrario se obtiene una contradiccion.
Para la demostracion de este teorema vamos a seguir la
demostracion realizada en[4] tanto para el caso q })Definicion
2.1.2. Para 0 < p < , el espacio debil Lp(X, ) se define como
elconjunto de funciones -medibles f tales que fLp, es finita,
donde
fLp, = nf{C > 0 : df() (C/)p > 0}El espacio debil L(X, )
es por defincion L(X, )El espacio debil Lp(X, ) se denota por
Lp,(X, )
30
-
Si G es un grupo localmente compacto, entonces G posee una
medida de Haar, estoes, una medida de Borel positiva tal que (At) =
(A) para todo t G y A Gmedible. En particular si G = R := R {0},
entonces = dx
|x|, y si G = R+, entonces
= dxx.
Definicion 2.1.3. La convolucion de dos funciones f, g L1(G) se
define como
(f g)(x) =G
f(y)g(y1x) d(y)
donde y1 es el inverso de y en el grupo G.
Con estas definiciones estamos en condiciones de enunciar la
version de la desigual-dad de Young que vamos a usar en esta
seccion.
Teorema 2.1.2. [7, Teorema 1.4.24] Sea G un grupo localmente
compacto con lamedida de Haar que cumple (A) = (A1), para todo
conjunto medible A G, y1 < p, q, r 0 tal que para toda f en
Lp(G) y g en Lq,(G)
tal quef gLq(G,) Bp,q,rfLp(G,)gLs,(G,)
Demostracion. (Teorema 2.1.1) Analicemos primero el caso n = 1
(caso unidimensional)Recordemos que queremos probar
|x|TfLq(R) C|x|fLp(R)La clave en esta demostracion es reescribir
a la integral fraccionaria como una convo-lucion en el grupo R con
su correspondiente medida de Haar = dx
|x|.
Si q
-
donde1
q=
1
p+
1
s 1.
Por lo tanto, basta ver que gLs,() < . Para ello consideramos
C(R), consoporte en [1
2, 32] y tal que 0 1 y 1 en (3
4, 54). Reescribimos a g como
g = g + (1 )g := g1 + g2Claramente g2 Ls(), ya que
g2Ls() =|1x| 1
2
|g2(x)|s dx|x| +|1x| 1
2
|g2(x)|s dx|x|
=
|1x| 1
2
|x|(+ 1q )s|1 x|s
dx
|x| +|1x| 1
2
|(1 )|s |x|(+ 1
q)s
|1 x|sdx
|x|
En |1 x| 12la funcion es continua y por lo tanto integrable.
En cambio en |1 x| 12, para ver si es integrable tenemos que
analizar que pasa en
el origen y cuando x , para eso separamos la integral en las
regiones |x| 12y
|12 x| 1, luego
|x| 12
|x|(+ 1q )s|1 x|s
dx
|x| C|x| 1
2
|x|(+ 1q )s1 dx C
bajo la condicion (+ 1q)s > 0 que es equivalente a pedir que
< 1
q, y cuando x
| 12x|1
|x|(+ 1q )s|1 x|s
dx
|x| | 12x|1
|x|(+ 1q)s1 dx
y resulta acotada si ( + 1q )s < 0, pero como por hipotesis
tenemos 1
q =
1p 1 + esa condicion equivalente a < 1
p.
Entonces
({g1 + g2 > }) ({
g1 >
2
})+
({g2 >
2
})
({g1 >
2
})+
(2g2Ls()
)s
({g1 >
2
})+C
s
32
-
pues,
g2Ls() ={g2>2}
|g2|s d+{g22}
|g2|s d
(
2
)s
({g2 >
2
})ademas,
({g1 >
2
})
({C
|1 x| > })
=
({C
1
> |1 x|})
C
1
Cs
siempre que s 1, esto es, 1 + 1q 1
p, que es equivalente a + 0.
Por lo tanto g Ls,().Si q = la desigualdad nos queda
|x|TfL() C|x|+1pfLp()
Ahora
|x|Tf(x) =
|x|f(y)|y|+ 1p|y|1++ 1p |1 x
y|dy
|y| = (h g)(x)
donde h(x) = f(x)|x|+ 1p , g(x) = |x||1x|
, y 1 + + 1p= , luego usando la
desigualdad de Young se obtiene
h gL() = |x|TfL() C|x|+1pfLp()gLp()
Luego basta ver que gLp() C
gpLp()
=
|x|p|1 x|p
dx
|x|
=
|x| 1
2
|x|p|1 x|p
dx
|x| +
12 3
2
|x|p|1 x|p
dx
|x|Luego
33
-
1. |x| 1
2
|x|p1|1 x|p dx C
|x| 1
2
|x|p1dx
pues si |x| 12tenemos que |1 x| 1
2, con lo cual |1 x|p (1
2
)p= C, ya
que p > 0 y ademas |x| 1
2
|x|p1dx C
pues la condicion de integrabilidad en el origen es p > 0 y
eso se cumple yaque < 0.
2. 12 M se verifica |1 x| C|x|, luego podemos tomar
|x|> 32
|x|p|1 x|p
dx
|x| =
32M
|x|p|1 x|p
dx
|x| C|x|>M
|x|p|x|p
dx
|x| = C|x|>M
|x|()p1 dx
y esta ultima resulta acotada si ( )p < 0, y esto se cumple
ya que como < 1
py = 1
p 1 + = 1
p, resulta < 0.
Por lo tanto g Lp().Con lo que concluimos la demostracion para
el caso n = 1.
De manera analoga se puede ver el caso p = 1, ya que del mismo
modo que en q = podemos tomar la desigualdad de Young clasica.
34
-
Para demostrar el teorema en el caso n > 1, la idea
principal, como en el caso unidimen-sional, es reescribir a la
integral fraccionaria de funciones radiales como una
convolucionsobre el grupo R con la medida de Haar = dx
x. Para ello, vamos a necesitar el siguiente
lema.
Lema 2.1.1. Sea x Sn1 = {x Rn : |x| = 1} y consideramos la
siguiente integral:
I(x) =
Sn1
f(x y) dy
donde f : [1, 1] R, f L1([1, 1], (1 t2)(n3)/2). Entonces, I(x)
es una constanteindependiente de x y ademas
I(x) = n2
11
f(t)(1 t2)n32 dt
donde n2 es el area de Sn2.
Demostracion. (lema 2.1.1)Observemos que I(x) es constante para
todo x Sn1. Dado x Sn1, existe una
rotacion R O(n) tal que x = Rx, entonces,
I(x) =
Sn1
f(x.y) dy =
Sn1
f(Rx.y) dy =
Sn1
f(x.R1y) dy = I(x)
Por lo tanto basta calcular I(x) para x = en. Para ello vamos a
separar la integral endos y vamos a considerar primero la integral
sobre (Sn1)
+= {x Sn1 : xn > 0}, y
como (Sn1)+es el grafico de una funcion g : {x Rn1 : |x| < 1}
(Sn1)+ definida
por g(x) = (x,1 |x|2), obtenemos,(Sn1)+
f(yn) dy =
{|x|
-
Con lo cual,
I(en) =
(Sn1)+
f(yn) dy +
(Sn1)
f(yn) dy
=n2
01
f(t)(1 t2)n32 dt+ n2 01
f(t)(1 t2)n32 dt
=n2
11
f(t)(1 t2)n32 dt = I(x)
Ahora volvamos a la demostracion del teorema.Usando coordenadas
polares,
y = ry r = |y| y Sn1
x = x = |x| x Sn1
y la identidad:|x y|2 = |x|2 2|x||y|x y + |y|2
podemos escribir la integral fraccionaria de una funcion radial
v(x) = v0(|x|) como
Tv(x) =
0
Sn1
v0(r)rn1 dr dy
(r2 2rx.y + 2)/2
Usando el lema (2.1.1), tenemos que
Tv(x) = n2
0
v0(r)rn1
{ 11
(1 t2)(n3)/2(2 2rt+ r2)/2 dt
}dr
donde
f(x.y) =1
(r2 2rx.y + 2) 2Ahora escribimos 1
1
(1 t2)(n3)/2(2 2rt+ r2)/2 dt =
11
(1 t2)(n3)/2
r[1 2 (
r
)t+
(r
)2]/2 dtEntonces
Tv(x) = n2
0
v0(r)rnI,k
(r
) drr
36
-
donde k = n32, y, para a 0
I,k(a) =
11
(1 t2)k(1 2at+ a2)/2 dt
Notar que el denominador de la integral se anula solamente si a
= 1 y t = 1. Entonces,I,k(a) esta bien definida y es continua para
a 6= 1.Si q
-
Afirmamos que g2 Ls(). De hecho, como I,k() es una funcion
continua para 6= 1,para analizar el comportamiento (en relacion a
la integrabilidad) de g2 es suficiente conconsiderar el
comportamiento de |nq |s|I,k()|s en = 0 y cuando .Como I,k() no
tiene una singularidad en = 0, la condicion para la integrabilidad
en = 0 es < n
q.
Cuando +, podemos observar que
I,k() =1
11
(1 t2)k(2 21t+ 1)/2 dt
y observemos que cuando +
I,k() Ck
(con Ck =
11
(1 t2)k dt)
se tiene que la condicion de integrabilidad en el infinito es nq
< 0, lo que resulta
equivalente a < np.
Ahora para analizar el comportamiento de g1 para = 1, es
necesario el siguiente lema.
Lema 2.1.2. Para a 1 y k N0 o k = m 12 con m N0, se tiene:
|I,k(a)|
Ck, si < n 1Ck, log
1|1a|
si = n 1Ck,|1 a|+2k+2 si n 1 < < n
Demostracion. (Lema 2.1.2) Consideremos primero el caso k N0 y
< 2k+2, entoncescomo a 1,
I,k(a) 11
(1 t2)k(2 2t)/2
dt C 11
(1 t)k(1 t)/2
dt
que resulta acotado ya que k 2+ 1 > 0, pues < 2k + 2.
Si = 2k + 2, entonces
I,k(a) 11
(1 t2)k dk
dtk
((1 2at + a2) 2+k) dt
integrando por partes k veces (y observando que los terminos de
borde se anulan),
I,k(a) 1
1
dk
dtk
((1 t2)k) (1 2at+ a2) 2+k dt
pero, dk
dtk
((1 t2)k
)es un polinomio de grado k y por lo tanto acotado en [1, 1]
(de
hecho, es el polinomio de Legendre multiplicado por una
constante), entonces,
I,k(a) C 11
(1 2at+ a2)1 dt = C
2alog
(1 + a
1 a)2
C log 1|1 a|
38
-
Si > 2k + 2, integrando por partes como en el caso
anterior,
I,k(a) C 11
(1 2at+ a2) 2+k dt
entonces,
I,k(a) C(1 2at+ a2) 2+k+1 |t=1t=1 C|1 a|+2k+2
Veamos ahora el caso k = m 12, con m N0, para ello analizaremos
por separado el
caso k = 12
Tomemos primero el caso k 6= 12, es decir, k = m+ 1
2con m N0. Para < 2k + 2 la
prueba es exactamente igual que en el caso k N0.Si > 2k + 2 (
> 2m+ 3), tomemos > 2k + 3 ( > 2m+ 4), entonces
I,k(a) =
11
(1 t2)k (1 2at+ a2) 2 dt
=
11
(1 t2) 12m (1 2at + a2) 4 (1 t2) 12 (m+1) (1 2at+ a2) 4 dt
aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz nos queda que
I,k(a) (I,m(a))1/2 (I,m+1(a))1/2
luego como m N0 podemos utilizar las cotas encontradas
anteriormentes para I,m(a)y I,m+1(a), y de esa forma nos queda,
I,k(a) (C|1 a|+2m+2)1/2 (C|1 a|+2m+4)1/2 = C|1 a|+2m+3
si, por el contrario, 2m + 3 < < 2m + 4, notemos que
podemos considerar siemprea < 1, pues I,k(a) = a
I,k(a1), entonces,
I ,k(a) =
11
(1 t2)k (t a)(1 2at+ a2)2+1
dt
1a
(1 t2)k (t a)(1 2at+ a2) 2+1
dt
(1 a) 1a
(1 t2)k
(1 2at+ a2) +22dt
(1 a) 11
(1 t2)k
(1 2at+ a2) +22dt
(1 a) I+2,k(a)
39
-
pero + 2 > 2k + 2, entonces I+2,k(a) C|1 a|(+2)+2k+2,
luego
I,k(a) a0
I ,k(s) ds C a0
(1 s)+2k+1 ds C|1 a|+2k+2
y cuando = 2k + 2, usando el resultado anterior (ya que tambien
se cumple + 2 >2k + 2), tenemos
I,k(a) a0
1
1 s ds = C log1
|1 a|Finalmente si k = 1
2
I, 12(a) =
01
(1 t2) 12(1 2at+ a2) 2
dt+
10
(1 t2) 12(1 2at + a2) 2
dt
=I + II
como > 0,
I 01
1
(1 + t)1/2dt = 2
II 10
(1 t) 12(1 2at + a2) 2
dt
= 2 10
ddt(1 t) 12
(1 2at+ a2) 2dt
2a 10
(1 t) 12(1 2at+ a2) 2+1
dt
2a 10
(1 t2) 12(1 2at+ a2) 2+1
dt
CI+2, 12(a)
y nuevamente usando las cotas halladas para k 6= 12concluimos la
prueba.
Continuando con el estudio de g1, consideramos los siguientes
casos.
1. Si 0 < < n 1 ( es decir, 0 < < 2k + 2 ), entonces
|I,k()| resulta acotadocuando 1 y por lo tanto g1 Ls()
2. Si = n 1 ( es decir, = 2k + 2 )
|I,k()| C log 1|1 |por lo que concluimos, como en el caso
anterior, que g1 Ls()
40
-
3. Si n 1 < < n
|I,k()| C|1 |+2k+2 = C|1 |+n1
entonces,
({g1 > /2}) ({
C
|1 |n+1 > })
=
({C
1
n+1
> |1 |})
C
1n+1
Cs
siempre y cuando s(n+1) 1, lo que es equivalente a + (n1)(1p
1
q
).
Entonces, g1Ls,() < +.Si q = , al igual que en el caso
anterior, haciendo abuso de notacion podemos escribir
Tv() =n2
0
v0(r)rn
rI,k
(r
) drr
=n2 (v0n) (I,k())
Luego usando la Desigualdad de Young tenemos
|x|TvL(Rn) =Tv()L()n2v0()nLp() I,k()Lp ()
Usando nuevamente coordenadas polares podemos ver que
1/pn1 v0()nLp() =1/pn1
( 0
|v0()|p(n)pnnd
)1/p=v0(|x|)|x|n
np Lp(Rn)
=|x| vLp(Rn)ya que la condicion
1 =1
p+ + +
n
implica que
n np=
41
-
Solo resta ver que I,k()Lp() 0 y esto se cumple ya que <
0
Para II vamos a usar el lema 2.1.2 ya que 1, y por lo tanto
vamos a considerarlos siguientes casos
1. Si 0 < < n 1II =
1+1
p|I,k()|p d
< C
ya que |I,k()| < Ck,2. Si = n 1
II =
1+1
p|I,k()|p d
1+1
p
Ck,
(log
1
|1 |)p
d
si usamos que:
log1
|1 | < C(
1
|1 |)
(para 1 < < 1 + y > 0)
obtenemos 1+1
p
Ck,
(log
1
|1 |)p
d
-
3. Si n 1 < < n
II =
1+1
p|I,k()|p d
1+1
|1 |(+n1)p d
y esta ultima resulta acotada si (+n 1)p+1 > 0, lo que
resulta equivalentea la condicion + > (n 1)
(1
p
)Nos resta ver que pasa con III
III =
1+
p|I,k()|p d
cuando + podemos observar que
I,k() =1
11
(1 t2)k(2 21 + 1)2
dt Ck
(con Ck =
11
(1 t2)k dt)
con lo cual 1+
p|I,k()|p d
Ck
1+
p1pd
y esta resulta acotada si pp < 0 y nuevamente si reemplazamos
por nnp
esta condicion se traduce en < np
Entonces I,k()Lp ()
-
Captulo 3
Espacios Potenciales
3.1. Introduccion
Los espacios de Sobolev de orden entero suelen definirse en
termino de sus derivadas,como es el caso de la clasica
definicion:
Definicion 3.1.1. Dado un dominio Rn, para k N se define
W k,p() = {f Lp() : Df Lp() con || k}
donde Nn0 un multindice.donde la derivada Df debe entenderse en
el sentido de las distribuciones. Se suele
notar al espacio W k,2 como Hk.En el caso de p = 2 se puede
definir el espacio de SobolevW k,2(Rn) (o Hk(Rn)) haciendouso de la
transformada de Fourier, como veremos en la siguiente
definicion.
Definicion 3.1.2. Sea k N
Hk(Rn) = {f L2(Rn) : (1 + ||2)k/2f() L2(Rn)}
Notemos que si p = 2 ambas definiciones son equivalentes, es
decir, W k,2 = Hk .Equivalencia que podemos encontrar en [7].A
partir de esta definicion podemos definir los espacios de Sobolev
de orden fraccionario(para cualquier s 0 real)Definicion 3.1.3. Sea
s 0 un numero real,
Hs(Rn) = {f L2(Rn) : (1 + ||2)s/2f() L2(Rn)}
44
-
En este captulo estudiaremos los espacios de Sobolev de orden
fraccionario basadosen Lp(Rn) para 1 < p < . Una forma de
definir estos espacios, conocidos comoespacios potenciales, es a
partir del operador (I )s/2 que podemos definir usandotransformada
de Fourier (para funciones en la clase de Schwarz ):
(I )s/2 g = F1 ((1 + ||2)s/2F(g)) = Gs gdonde
Gs() = F1((1 + ||2)s/2)
que es conocido como el potencial de Bessel. Luego usando un
argumento de densidadpodemos definirlo para funciones en Lp(Rn)
Definicion 3.1.4. Sean s 0 R y 1 < p =
(Gs g1)(x)(x) dx =
Gs(y x)g1(x)(x) dx dy =
g1(x)(Gs )(x) dx =< g1, Gs >
como Gs g1 = Gs g2 (g2 g1)(Gs )(x) dx = 0 S, para ver que
g2 g1 = 0 basta ver que Gs esta en S para toda en S,supongamos
que S y tomamos (x) = (1 + 4pi2|x|2)s/2 (x), como S, S ypor lo
tanto S,luego
= (1 + 4pi2|x|2)s/2
45
-
= Gs
(g1 g2)(Gs )(x) dx =
(g1 g2) dx S g1 = g2
Proposicion 3.1.2. Sea 0 < s < n. Entonces Gs es una
funcion suave en Rn r {0}
que satisface Gs(x) > 0 x Rn. Mas aun, existen C(s, n), c(s,
n), Cs,n constantespositivas tal que
Gs C(s, n)e|x|/2 si |x| 2y
1
c(s, n) Gs(x)Hs(x)
c(s, n) si |x| 2
donde
Hs(x) =
|x|sn + 1 +O(|x|sn+2) si 0 < s < nlog(
2|x|
)+ 1 +O(|x|2) s = n
1 +O(|x|sn) s > n
Demostracion. La demostracion es analoga al desarrollo realizado
para el potencial deRiesz. Para a, s > 0 tenemos la identidad de
la funcion Gamma
as/2 =1
(s/2)
0
etats/2dt
t
que usamos para obtener(1 + 4pi2||2)s/2 = 1
(s/2)
0
et(1+4pi2||2)ts/2
dt
t
antitransformando en y usando que epi||2es igual a su
transformada se obtiene
Gs(x) =(2pi)n
(s/2)
0
ete|x|2
4t tsn2dt
t(3.1)
entonces Gs(x) > 0 y suave en Rn {0}.
Ahora si suponemos |x| 2, entonces t+ |x|24t t+ 1
ty ademas t+ |x|
2
4t |x|, entonces
t |x|2
4t t
2 1
2t |x|
2
46
-
por lo tanto, cuando |x| 2 se tiene
|Gs(x)| (2pi)n
(s/2)
( 0
et2 e
t2t t
sn2dt
t
)e|x|2 = Cs,ne
|x|2 .
Cuando |x| 2, escribimos Gs(x) = G1s(x) +G2s(x) +G3s1(x),
donde
G1s(x) =(2pi)n
(s/2)
|x|20
eue|x|2
4u usn2du
u
=|x|sn (2pi)n
(s/2)
10
et|x|2
e14t t
sn2dt
t
G2s(x) =(2pi)n
(s/2)
4|x|2
ete|x|2
4t tsn2dt
t
G3s(x) =(2pi)n
(s/2)
4
ete|x|2
4t tsn2dt
t
como |x| 2, si t < 1 se tiene t|x|2 4 y por lo tanto
G1s(x) |x|sn(2pi)n
(s/2)
10
e14t t
sn2dt
t
c1s,n|x|sn
ademas como 0 |x|24t 1
4, si 0 t 4 se tiene e174 et |x|
2
4t 1, y por lo tanto
G2s(x) 4|x|2
tsn2dt
t=
2
ns|x|sn 2sn+1
nssi 0 < s < n
2 log(
2|x|
)s = n
1sn
2sn+1 2sn
|x|sn s > n
por ultimo, usando que e14 e |x|
2
4t 1, se tiene que
c1 G3s(x) c2y combinando las tres estimaciones se obtiene
que
1
c(s, n) Gs(x)Hs(x)
c(s, n)
Proposicion 3.1.3. Para s > 0, Gs L1(Rn)
47
-
Demostracion. Rn
|Gs(x)| dx ={|x|2}
|Gs(x)| dx+{|x|2}
|Gs(x)| dx
=I + II.
Luego usando la Proposicion 3.1.2 tenemos que,
II =
{|x|2}
|Gs(x)| {|x|2}
e|x|/2 dx C
y como para |x| 2 tenemos,
|Gs(x)|
C|x|sn si 0 < s < nC log
(2|x|
)s = n
C s > n
se sigue que,
I =
{|x|2}
|Gs(x)| dx C
por lo tanto Gs L1(Rn).
Corolario 3.1.1. Si s > 0, f Lp(Rn) y 1 p tenemos queGs
fLp(Rn) fLp(Rn).
Demostracion. Usando la desigualdad de Young
Gs fLp(Rn) GsL1(Rn)fLp(Rn) = CfLp(Rn)
Observacion. Es inmediato del corolario que H,p(Rn) H,p(Rn) y
quefH,p(Rn) fH,p(Rn) si >
ya que si f H,p(Rn) entonces existe g Lp(Rn) tal que f = G g y
como > puedo tomar h > 0 que cumpla = + h, de esa manera
f = G g = G+h gf = (G Gh) g = G (Gh g)
luegofH,p(Rn) = Gh gLp(Rn) CgLp(Rn) = CfH,p(Rn)
48
-
Proposicion 3.1.4. Sean 0 < s < n y 1 < p < q <
que cumplen 1p 1
q= s
n.
Entonces para toda f Lp(Rn) existe una constante Cp,q,n,s
-
luego = Gs
entonces,
g R, = g R,Gs = g, (Gs ) R1= g, (Gs R1) ( R1) = g,Gs ( R1)= Gs
g, R1 = f, R1 = f R,= f, = Gs g, = g,Gs = g,
por lo tantog R, = g, S
es decir,g R(x) = g(x) R SO(n)
3.2. Lemas de Ni y Strauss para espacios potencia-
les
En esta seccion mostraremos una generalizacion de los lemas de
Ni y W.Strauss(ver [19] y [12]) para espacios potenciales. Estos
teoremas seran de gran utilidad parademostrar los teoremas de
inmersion de espacios Hs,p(Rn) en espacios Lp(Rn) (o enLp(|x|c,Rn))
para funciones con simetra radial.Teorema 3.2.1. (Lema de Ni para
Espacios Potenciales) Sean n > 1, 1 < p < y1/p < s <
n/p. Entonces
|f(x)| Cn|x|(nsp)/pfHs,p(Rn)para toda f Hs,prad(Rn) .
Demostracion. Sea f Hs,p(Rn) una funcion radial, entonces existe
g Lp(Rn) radial,tal que f = Gs g, y sabemos que
|Gs(x)| C|x|sn
luego
f(x) = Gsg(x) |Gsg(x)| Rn
Gs(yx)|g(y)| dy Rn
C|yx|sn|g(y)| dy = CTns(|g|)
50
-
entonces
|x|(nsp)/p|f(x)| |x|(nsp)/pfL(Rn) |x|(nsp)/pGs gL(Rn)
C|x|(nsp)/pTns(|g|)L(Rn)
tomando = 0, = (n sp)/p, y = n s , se cumple 0 < < n, <
n/p, < 0,+ > (n 1)(1/p) y 1 = 1
p+ ++
n, por lo tanto estamos en condiciones de aplicar
el Teorema 2.1.1, obteniendo la siguiene desigualdad:
|x|(nsp)/p|f(x)| C|x|(nsp)/pTns(|g|)L(Rn) CgLp = CfHs,p(Rn)y
finalmente
|f(x)| C|x|(nsp)/pfHs,p(Rn)
Observacion. Si en el teorema anterior tomamos p = 2 y s = 1 y
notamos queH1,2 = H1 obtenemos la desigualdad de Ni para funciones
radiales de H1 (ver [12]).
|f(x)| C|x|(n2)/2fH1Teorema 3.2.2. (Lema de Strauss para
Espacios Potenciales) Sean 1 < p < y1/p < s < n.
Entonces
|f(x)| Cn|x|(n1)/pfHs,p(Rn)para toda f Hs,prad(Rn).Demostracion.
Sea f Hs,p(Rn) una funcion radial, entonces existe g Lp radialg =
g0(|x|), tal que
f = Gs g =Rn
g(x y)Gs(y) dyNotemos que Gs es decreciente, como puede verse
facilmente de (3.1).Fijamos a > 0 y partimos la integral en las
coronas 2k1a |y| < 2ka con k Z
Gs g(x) =kZ
{2k1a|y|2ka}
g(x y)Gs(y) dy
kZ
Gs(2k1a)
{|y|2ka}
g(x y) dy
=kZ
Gs(2k1a)
Rn
g(x y)B(0,2ka)(y) dy
=kZ
Gs(2k1a) g B(0,2ka)(x)
51
-
veamos como se comporta la convolucion entre una funcion radial
y la caracterstica deuna bola ( g B(0,R) )
g B(0,R)(x) =Rn
g(y)B(0,R)(x y) dy =Rn
g(y)B(x,R)(y) dy
observemos que si y B(x,R) entonces
|x| = |x y + y| |x y|+ |y| R + |y|
|y| = |y x+ x| |x y|+ |x| R + |x|con lo cual,
|x| R |y| R + |x|tomando coordenadas polares
y = ry r = |y| y Sn1
x = x = |x| x Sn1
obtenemos
g B(0,R)(x) = +RR
Sn1
g0(r)B(x,R)(ry)rn1 dy dr
=
+RR
g0(r)
(Sn1
B(x,R)(ry) dy
)rn1 dr.
Analicemos la integral Sn1
B(x,R)(ry) dy
para ello observemos que,
B(x,R)(ry) = [t0,1](x
.y) con t0 =r2 + 2 R2
2r
pues,
ry B(x,R) |x y| =r2 + 2 2rt R
r2 + 2 2rt R2
r2 + 2 R2
2r t donde t = x.y
52
-
veamos que t0 1,
t0 1 r2 + 2 R2
2r 1
r2 + 2 R2 2r r2 + 2 2r R2 (r )2 R2 |r | R R r R +
si ademas se cumple t0 1, estaramos en condiciones de aplicar el
Lema 2.1.1,
t0 1 r2 + 2 R2
2r 1
r2 + 2 R2 2r r2 + 2 + 2r R2 (r2 + 2)2 R2 r + = |r + | R
luego como r R r + 2 R, entonces si pedimos que R tenemos quet0
1 y por lo tanto aplicando el Lema 2.1.1 obtenemos,
Sn1B(x,R)(ry
) dy =
Sn1
[t0,1](xy) dy =
11
[t0,1](t)(1 t2)n32 dt
Luego si R tenemos,
g B(0,R)(x) = +RR
Sn1
g0(r)B(x,R)(ry)rn1 dy dr
=
+RR
g0(r)
(Sn1
B(x,R)(ry) dy
)rn1 dr
=
+RR
g0(r)
( 11
[t0,1](t)(1 t2)n32 dt) rn1 dr
=
+RR
1t0
g0(r)(1 t2)n32 rn1 dt dr
ahora utilizando la desigualdad de Holder
|g B(0,R)(x)| ( +R
R
|g0(r)|prn1 dr)1/p( +R
R
( 1t0
(1 t2)n32 dt)p rn1 dr)1/p
gLp(Rn)A()
53
-
donde,
A() =
( +RR
( 1t0
(1 t2)n32 dt)p rn1 dr)1/p
Buscamos acotar A(), para ello primero acotemos la integral
interior 1t0
(1 t2)n32 dt = 1
t0
(1 t)n32 (1 + t)n32 dt
2n32 1t0
(1 t)n32 dt
Cn (1 t0)n12
Sustituyendo,
A() Cn
+RR
(1 r
2 + 2 R22r
) (n1)p2
rn1 dr
1/p
Cn
+RR
(1
(1 + (r/)2 (R/)2
2(r/)
)) (n1)p2
rn1 dr
1/p
tomando u = r/, u [1R/, 1 +R/]
Cn
n 1+R/1R/
(1
(1 + (u)2 (R/)2
2u
)) (n1)p2
un1 du
1/p
=Cn
n 1+R/1R/
(2u 1 (u)2 + (R/)2
2u
) (n1)p2
un1 du
1/p
=Cn
n 1+R/1R/
((R/)2 (1 u)2
2u
) (n1)p2
un1 du
1/p
Cn
n 1+R/1R/
(2
u(R/)2
) (n1)p2
un1 du
1/p
CnRn1(n(n1)p
1+R/1R/
u(n1)(1p
2) du
)1/p
54
-
Notemos que el exponente (n1)(1 p2) no es mayor que 1 en
general, luego la integral
no va a ser integrable en el origen. Si pedimos que 2R,
estaremos integrando en elintervalo [1/2, 3/2], donde el integrando
es acotado, y por lo tanto nos queda,
A() CnRn1(n(n1)p
2R
)1/pCnRn1+1/p(n1)/p=CnR
n1/p(n1)/p
por lo tanto, para 2R tenemos que,
|g B(0,R)(x)| CnRn1/p(n1)/pgLp(Rn)Veamos que pasa si <
2R,
|g B(0,R)(x)| Rn
|g(y)|B(0,R)(x y) dy
gLp(Rn)(
B(0,R)
1p
dy
)1/pCngLp(Rn)Rn/p
y tendremos que
CnRn/p CnRn1/p(n1)/p (n1)/p CnRn1/pn/p = CnR(n1)/p
luego esta desigualdad se cumple con Cn = 2(n1)/p, pues
< 2R (n1)/p < (2R)(n1)/p
con lo cual tomando Cn = max{Cn, (2R)(n1)/p},
|g B(0,R)(x)| CnRn1/p(n1)/pgLp(Rn)finalmente hemos probado el
siguiente lema
Lema 3.2.1. Sea g Lp(Rn) radial, entonces
|g B(0,R)(x)| CnRn1/p(n1)/pgLp(Rn)Volviendo a la demostracion
del teorema, tenamos
|Gs g(x)| kZ
Gs(2k1a) |g B(0,2ka)(x)|
55
-
aplicando el lema anterior
|Gs g(x)| CgLp(Rn)|x|(n1)/pkZ
Gs(2k1a)(2ka)n1/p
ahora si consideramos rk = 2k1a vemos que,
rk = rk+1 rk = 2k1aluego podemos escribir la suma anterior
como
kZ
Gs(2k1a)(2k1a)n1/p2n1/p1 = C
kZ
Gs(rk)(rk)n1/prk
y esta es la suma de Riemann para la integral, 0
Gs(r)rn1/p1 dr
por lo tanto si hacemos a 0 obtenemos
|Gs g(x)| CgLp(Rn)|x|(n1)/p 0
Gs(r)rn1/p1 dr
=CgLp(Rn)|x|(n1)/pRn
Gs(x)|x|1/p dx
CgLp(Rn)|x|(n1)/p
ya que Rn
Gs(x)|x|1/p dx +pues,
Rn
Gs(x)|x|1/p dx = 0
Gs(r)rn1/p1 dr
=
20
Gs(r)rn1/p1 dr +
2
Gs(r)rn1/p1 dr
20
Crsnrn1/p1 dr +
2
Ce|x|/2rn1/p1 dr
Cnpara s 1/p 1 > 1, que es equivalente a pedir que s >
1/pfinalmente podemos concluir que
|f(x)| = |Gs g(x)| CgLp(Rn)|x|(n1)/p = CnfHs,p(Rn)|x|(n1)/p
que es lo que queramos probar.
56
-
Captulo 4
Teoremas de inmersion
En este captulo enunciaremos y demostraremos teoremas de
inmersion de espa-cios potenciales Hs,p(Rn) en espacios Lp(Rn) y en
espacios con pesos Lp(|x|c,Rn) parafunciones radiales. Estos
teoremas son de gran utilidad en la teora de ecuaciones
di-ferenciales en derivadas parciales, en particular, resulta de
fundamental importanciaconocer cuando las inmersiones en los
espacios Lp (o Lp(|x|c,Rn)) resultan compactas,ya que esto nos
permite demostrar teoremas de existencia para ecuaciones no
lineales,por medio de metodos variacionales.
El teorema de inmersion sin pesos fue demostrado por Lions (en
[13]), usando elmetodo de interpolacion compleja. Y recientemente
en un trabajo realizado por P. DeNapoli e I. Drelichman ( ver [3])
se puede encontrar la demostracion del teorema deinmersion con
pesos. En esta tesis daremos una version mas debil de estos
teoremas, yaque agregaremos la condicion s > 1/p, que nos
permitira dar una demostracion sencillaque utiliza los resultados
analizados en los captulos anteriores.
Teorema 4.0.3. Sean 0 < s < n/p, 1 < p q p = npnsp
. Entonces
fLq(Rn) CfHs,p(Rn)
Demostracion. Sea f Hs,p(Rn), entonces existe g Lp(Rn) tal que f
= Gs g, luego
fLp(Rn) = Gs gLp(Rn) GsL1(Rn)gLp(Rn) CgLp(Rn) = CfHs,p(Rn)Ademas
como |Gs(x)| C|x|sn tenemos que
|f | CRn
|g(y)||x y|ns dy = CTns(|g|)
57
-
y usando el teorema de Hardy-Litletwood-Sobolev 1.2.1, tomando q
= p y = n sobtenemos
fLp(Rn) CgLp(Rn) = CfHs,p(Rn)Ahora tomamos q = p+(1)p (0 <
< 1), y usando Holder obtenemos la siguientedesigualdad
Rn
|f |q dx =Rn
|f |p+(1)p dx (Rn
|f |p dx) (
Rn
|f |p dx)1
fpLp(Rn)fp(1)
Lp(Rn) CfpHs,p(Rn)fp
(1)Hs,p(Rn)
CfqHs,p(Rn)Por lo tanto
fLq(Rn) CfHs,p(Rn)que es lo que queramos probar.
Teorema 4.0.4. Sean 1/p < s < n/p y 1 < p < q < p
= npnsp
, entonces se tiene lainclusion compacta
Hs,prad(Rn) Lq(Rn)
Demostracion. Sea (fk)kN Hs,p(Rn) una sucesion de funciones
radiales acotada enHs,p(Rn), queremos ver que existe una
subsucesion
(fkj)convergente en Lq(Rn).
Aplicando el teorema de Kolmogorov basta ver
1. (fk) acotada en Lq(Rn)
2. (fk) equicontinua en Lq(Rn), es decir, si tomamos hf =
f(x+h)f(x) queremos
ver que dado > 0, existe > 0 tal que si |h| < ,
entonces hfkLq(Rn) < para todo k k0
3. para todo > 0, existe R > 0 tal que|x|>R
|fk|q dx <
Veamos 1)Usando el teorema 4.0.3 tenemos que
fkLq(Rn) fkHs,p(Rn)y como (fk) es acotada en H
s,p(Rn), entonces (fk) resulta acotada en Lq(Rn).
2)
58
-
Como fk Hs,p(Rn), entonces fk = Gs gk, con gk Lp(Rn), luego
tomando r tal que1p+ 1
r= 1
q+ 1, y usando la desigualdad de Young obtenemos
hfkLq(Rn) =h(Gs gk)Lq(Rn)= (hGs) gkLq(Rn)hGsLr(Rn) gkLp(Rn)
luego como gk Lp(Rn), gkLp(Rn) C, y si Gs Lr(Rn) se tiene que
dado > 0, exis-te > 0 tal que si |h| < , entonces
hGsLr(Rn) < /C y por lo tanto hfkLq(Rn) 0, pues 1r= 1
q+ 1 1
py q < p.
Por lo tanto Gs Lr(Rn).Por ultimo veamos el punto 3)En este caso
usaremos el teorema 3.2.2
|x|>R
|fk(x)|q dx =|x|>R
|fk(x)|qp|fk(x)|p dx
C|x|>R
|x|(n1) qpp fk(x)qpHs,p(Rn)|fk(x)|p dx
CR(n1) qpp fk(x)qpHs,p(Rn)fk(x)pLp(Rn)CR(n1) qpp
fk(x)qHs,p(Rn)CR(n1) qpp
tomando R suficientemente grande, ya que (n1) qpp< 0. Para
finalizar hemos visto
que dado > 0 existe R (independiente de k) tal
que|x|>R
|fk(x)|q dx < , para todok N
59
-
Antes de enunciar los teoremas de inmersion con pesos, vamos a
considerar el si-guiente lema.
Lema 4.0.2. Sean 0 < s < n/p, c > n tal que (1 sp)c (n
1)ps,y pc =
p(n+c)nsp
. Entonces
|x|c/pcfLpc (Rn) CfHs,p(Rn)para toda funcion radial en
Hs,p(Rn).
Demostracion. Sea f Hs,prad(Rn), entonces existe una funcion
radial g Lp(Rn) talque f = Gs g,ademas si observamos que Gs(x)
C|x|sn tenemos que
|Gs g| CTns(|g|)y por lo tanto
|x|c/pcfLpc (Rn) = |x|c/pcGs gLpc (Rn) C|x|c/p
cTns(|g|)Lpc (Rn)
Ahora si consideramos q = pc , = n s, = 0 y = cpc estamos en
condiciones deaplicar el teorema 2.1.1, ya quesi = n s como 0 <
s < n/p, se tiene 0 < < nclaramente si = 0 se cumple <
n/p
= cpc< n
pc< n
qpues c > n
+ (n 1)(1q 1
p
)pues c(1 sp) sp(n 1)
1q= 1
p+ ++
n 1 ya que pc = p(n+c)nsp
Entonces
|x|c/pcfLpc (Rn) C|x|c/pcTns(|g|)Lpc (Rn) CgLp(Rn) =
CfHs,p(Rn)
Teorema 4.0.5. Sean 0 < s < n/p, 1 < p q pc = p(n+c)nsp
. Entonces
|x|c/qfLq(Rn) CfHs,p(Rn)para toda funcion radial, donde ps <
c < (n1)(qp)
p
Observacion. Para describir mejor la region determinada por las
inecuaciones (4.1)y (4.2)
p q pc =p(n+ c)
n sp (4.1)
60
-
ps < c < (n 1)(q p)p
(4.2)
podemos observar que la condicion
c sp y p < q, obtenemos la siguiente region
62
-
qp
p
csp
Figura 4.2: R2, s = 1/p
3. Si sp > 1 la condicion L(c) < U(c) nos dice
p+ cp
n 1 sp, luego como sp > sp(n1)1sp
, solo tenemos una cota inferior parac y por lo tanto obtenemos
una region abierta comprendida entre las tres rectas,como podemos
observar en el siguiente grafico.
63
-
qp
p
csp
Figura 4.3: R3, s > 1/p
Demostracion. (del Teorema 4.0.5) Si consideramos el par (c, q)
R2 podemos observarque pertenece a las regiones R1R2 o R3 (ver las
figuras 4.1,4.2, 4.3) si s < 1/p s = 1/py s > 1/p
respectivamente
1. Si consideramos s < 1/p, (c, q) R1, y por lo tanto podemos
escribir
q = (1 )pc + p
donde (c, pc) son las coordenadas del punto de interseccion
entre la recta que une
los puntos (0, p) y (c, q) y la recta de ecuacion U(c) =
p(n+c)nsp
y 0 < < 1
64
-
qqmax
p
p
c csp
(c, pc)
(c, q)
(0, p)
Figura 4.4: R1, s < 1/p
ademas podemos observar que c = c1
ya que qpc
=pcp
c
entonces utilizando la desigualdad de Holder
|x|c/qfqLq(Rn) =Rn
|x|c|f |q dx =Rn
|x|c|f |(1)pc |f |p dx
(Rn
|x|c/(1)|f |pc dx)1 (
Rn
|f |p dx)
(Rn
|x|c|f |pc dx)1 (
Rn
|f |p dx)
= |x|c/pcf(1)pcLp
c (Rn)
fpLp(Rn)
65
-
luego como (c, pc) R1 se tiene 0 < s < n/p, c > n,
y
c < (n 1)pc pp
pc < (n 1)(p(n+ c)
n sp p)
pc < (n 1)p(n+ c) p(n sp)n sp
(n sp)pc < (n 1)(pc+ sp2)npc sp2c < npc+ nsp2 pc sp2pc
sp2c < sp2(n 1)(1 sp)pc < sp2(n 1)(1 sp)c < sp(n 1)
Estamos en condiciones de aplicar el lema 4.0.2 y por lo
tanto,
|x|c/qfqLq(Rn) Cf(1)pcHs,p(Rn)fpHs,p(Rn) = CfqHs,p(Rn)
Finalmente|x|c/qfLq(Rn) CfHs,p(Rn)
que es lo que queramos probar.
Observacion. Para s < 1/p podemos considerar c (n1)(qp)p
ya que si tomamos
un par (c, q) para el que se cumpla esta la igualdad podremos
hallar el punto deinterseccion (c, pc) R1 y como
c (n 1)pc pp
(1 sp)c sp(n 1)
se cumplen las hipotesis del lema 4.0.2 y la demostracion se
sigue de la mismamanera.
2. Si consideramos s = 1/p, (c, q) R2. Aqu la demostracion es
exactamente igualal caso anterior, ya que podemos tomar
nuevamente
q = (1 )pc + p
66
-
qp
p
csp
(c, pc)
(c, q)
(0, p)
Figura 4.5: R2, s = 1/p
3. Finalmente si consideramos s > 1/p, (c, q) R3, podemos
observar que si c, qcumplen ademas la condicion q > p
nspc + p, la demostracion sigue como en el
caso s < 1/p
67
-
qp
p
csp
(c, pc)
(c, q)
(0, p)
Figura 4.6: R3, s > 1/p
Ahora bien, si cumplen con q pnsp
c + p, tenemos que usar un argumentodiferente.Entonces para q
p
nspc+ p, tenemos
(n sp)q pp
c < (n 1)q pp
luego
|x|c/qfqLq(Rn) =Rn
|x|c|f |q dx
=
|x|1
|x|c|f |q dx+|x|1
|x|c|f |q dx
=(I) + (II)
en (I) usando la desigualdad de Ni (3.2.1) del captulo anterior
y c(nsp) qpp
68
-
0, obtenemos,
(I) =
|x|1
|x|c|f |q dx =|x|1
|x|c|f |qp|f |p dx
|x|1
|x|cC|x|(nsp) qpp fqpHs,p(Rn)|f |p dx
CfqpHs,p(Rn)|x|1
|x|c(nsp) qpp |f |p dx
CfqpHs,p(Rn)|x|1
|f |p dx
CfqpHs,p(Rn)Rn
|f |p
dxCfqpHs,p(Rn)fpLp(Rn)CfqpHs,p(Rn)fpHs,p(Rn)CfqHs,p(Rn)
en (II) usaremos la desigualdad de Strauss (3.2.2) y c (n 1)
qpp< 0
(II) =
|x|1
|x|c|f |q dx =|x|1
|x|c|f |qp|f |p dx
|x|1
|x|cC|x|(n1) qpp fqpHs,p(Rn)|f |p dx
CfqpHs,p(Rn)|x|1
|x|c(n1) qpp |f |p dx
CfqpHs,p(Rn)|x|1
|f |p dx
CfqpHs,p(Rn)Rn
|f |p
dxCfqpHs,p(Rn)fpLp(Rn)CfqpHs,p(Rn)fpHs,p(Rn)CfqHs,p(Rn)
Por lo tanto|x|c/qfqLq(Rn) (I) + (II) CfqHs,p(Rn)
entonces,|x|c/qfLq(Rn) CfHs,p(Rn)
69
-
Teorema 4.0.6. Sean 1/p < s < n/p y 1 < p < q < p
= p(n+c)nsp
, entonces se tiene lainclusion compacta
Hs,prad(Rn) Lq(Rn, |x|c dx)
donde ps < c < (n1)(qp)p
Demostracion. Sea (fk)kN una sucesion de funciones radiales
acotadas en Hs,p(Rn),
queremos ver que existe una subsucesion convergente en Lq(Rn,
|x|c dx).Si consideramos el par admisible (c, q) R2, como s >
1/p, podemos observar que seencuentra en la region abierta
q
p
p
csp
Figura 4.7: Region abierta (s > 1/p)
Y por lo tanto podemos tomar los puntos (0, q) y (c, q). Donde q
= p+ con > 0lo suficientemente pequeno para que se cumpla p <
q < q, y (c, q) el punto sobre larecta que une los puntos (0, q)
y (c, q) perteneciente a la region 4.7. Como se puedeobservar en la
siguiente figura
70
-
qp
p
csp
(c, q)
(c, qc)
(0, q)
Luego, como en la demostracion del teorema anterior, podemos
escribir
q =(1 )q + q con 0 < < 1c =
c
1 Por el teorema 4.0.4 (aqu es donde necesitamos la restriccion
s > 1/p) sabemos que
para q la sucesion (fk)kN tiene una subsucesion convergente en
Lq(Rn). Veamos que
esa subsucesion es tambien convergente en Lq(Rn, |x|c dx). Para
ello vamos a probarque si (fkj)jN es una sucesion de Cauchy en
L
q(Rn) tambien lo es para Lq(Rn, |x|c dx).
|x|c/q(fkj fki)qLq(Rn) =Rn
|x|c|fkj fki|q dx
=
Rn
|x|c|fkj fki|(1)q|fkj fki |q dx
(Rn
|x| c1 |fkj fki|q dx)1 (
Rn
|fkj fki|q dx)
(Rn
|x|c|fkj fki |q dx)1 (
Rn
|fkj fki |q dx)
Aplicando el teorema 4.0.5 al primer factor, tenemos que(Rn
|x|c|fkj fki|q dx)1
Cfkj fki1Hs,p(Rn) C
71
-
Y como ademas (fkj )jN es una sucesion de Cauchy en Lq(Rn), dado
> 0 existe j()
tal que si i, j > j() (Rn
|fkj fki |q dx)
<
Finalmente|x|c/q(fkj fki)Lq(Rn) <
que es lo que queramos probar.
72
-
Apendice
Lema 4.0.3. Sean t > 0, , Sn1, entoncesSn1
d
|t |n C|1 t|1
Demostracion. Si tomamos t < 1, t Sn1 y1 |t|2n1
Sn1
d
|t |n = 1
ya que, como podemos ver en [6], u(t) = 1 es solucion de{ u = 0
en Sn1u = 1 en Sn1
entonces Sn1
d
|t |n C|1 t2|1 C|1 t|1
Ahora para t > 1, tomamos t = 1t< 1, entonces
1 |t|2n1
Sn1
d
|t |n = 1
luego si obsevamos que
|t |n = |1 2t cos(, ) + t2|n/2
donde cos(, ) es el producto interno entre y ,tenemosSn1
d
|t |n =Sn1
d
|1 2t cos(, ) + t2|n/2
=
Sn1
d
| 1t2|n/2|1 2t cos(, ) + t2|n/2
=tnSn1
d
|1 2t cos(, ) + t2|n/2
=tnSn1
d
|t |n
73
-
entoncesSn1
d
|t |n = Ctnt2|1 t2|1 = Ctn+2|1 t|1|1 + t|1 C|1 t|1
Finalmente para todo t > 0 Sn1
d
|t |n C|1 t|1
Teorema 4.0.7. Sean t > 0, , Sn1, entoncesSn1
d
|t | C|1 t|/n
Demostracion. Usando la desigualdad de Jensen con (x) = xn/ y el
lema anteriortenemos (
Sn1
d
|t |)n/
CSn1
d
|t |n C|1 t|1
por lo tanto Sn1
d
|t | C|1 t|/n
74
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para la integral fraccionariaAcotaciones con pesos para la integral
fraccionariaRelacin con las condiciones de Sawyer y Wheeden
Integral FraccionariaAcotaciones con pesos para funciones
radiales
Espacios PotencialesIntroduccinLemas de Ni y Strauss para
espacios potenciales
Teoremas de inmersin
