Erhaltungsgrößen

Egon Berger

Didaktik der Physik

29.11.05

Voraussetzungen:

• Newtonschen Axiome

• Konzept des Schwerpunkts

• Gravitationsgesetz

• Vektorrechnung: Addition, Skalarprodukt und Kreuzprodukt

• Differenzieren von Vektoren

• Zur Vektorrechnung:

Das Kreuzprodukt ist bilinear.

vuvu

wvwuwvu

)(

)(Seien u, v ,w Vektoren und l ein Skalar. Dann gilt:

Analog für die zweite Komponente.

Im Besonderen benötigen wir davon im Folgendem:

• Zur Differenzialrechnung:

Seien v(t) und w(t) Vektoren, welche sich in der Zeit verändern.

v w bezeichne das Skalarprodukt, v x w das Kreuzprodukt. Dann gilt:

wvwvwvdt

d )(

vvvdt

d 2)( 2

wvwvwvdt

d )(

Frage: Was ergibt ?)( vvdt

d

0)( vv Was wir im Folgendem ebenfalls benötigen!

Erhaltungsgrößen:

Definition:

Eine Erhaltungsgröße E ist eine Kombination aus physikalischen Größen (Ort, Zeit, Masse,…) dessen numerischer Wert im Zeitablauf gleich bleibt.

Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies:

Zielgruppe des Vortrages:

Der Vortrag ist für Schulklassen gedacht, welche obige Voraussetzungen erfüllen.

0Edt

d

Ist der Wert einer Erhaltungsgröße für einen Zeitpunkt bekannt, dann ist er - weil sich dieser Wert nicht ändert – für den gesamten Zeitablauf bekannt.

Erhaltungsgrößen am Bsp. der Planetenbewegung Erde-Sonne:

Erstellen ein idealisiertes Modell bzw. Gedankenexperiment:• Erde und Sonne bewegen sich im freien Raum

SSS

EEE

Fxm

Fxm

Newtonsche Bewegungsgleichung:

Em

Sm

Ex

Sx

VO

SF

EF

Nach dem 3. Netwonschen Axiom gilt:

ES FF

Dies bedeutet, dass sich die Größe

Damit:

ESS

EEE

Fxm

Fxm

0 SSEE xmxm

0 SSEE xmxmdt

d

SSEE xmxm

Nach Addition der beiden Gleichungen erhält man:

Was gleichbedeutend ist mit:

im Zeitablauf nicht ändert.

Anstelle von zwei Planeten betrachten wir nun n Teilchen im freien Raum, ein

so genanntes n-Teilchensystem:

ij

ijii Fxm

bezeichnet die Kraft, die das j-te Teilchen auf das i-te ausübt

Bewegungsgleichung des i-ten Teilchens:

erster Index: herausgegriffene Teilchen

zweiter Index: Teilchen das die Kraft erzeugt

m j

m i

Fij Fij

i ij

iji

ii Fxm

ji

ijF

ij

jiji

ij FF

0i

ii

xmdt

d

1-nn,2,n1,n

n1,-n

2,31,3

n,24,23,21,2

n,14,13,12,1

FFF

F

FF

FFFF

FFFF

0

Addition aller Bewegungsgleichungen:

ij

ijF

Veranschaulichung der Summe:

Was gleichbedeutend ist mit

Dies bedeutet, dass sich die Größe

im Zeitablauf nicht ändert.

i

iixm

Ergebnis vorheriger Überlegungen ist, dass sich die Größen

SSEE xmxm i

iixmbzw.

im Zeitablauf nicht ändern.

Die Kenntnis dieser Tatsache verringert den mathematischen Aufwand bei der

Lösung eines Problems.

Aus diesem Grund hat das Produkt „Masse mal Geschwindigkeit“ eine besondere

Bedeutung in der Physik und erhält den Namen Impuls.

Definition:

Sei m die Masse und x die Geschwindigkeit eines Körpers.

Dann heißt xmP

sein Impuls.

Die Summe aller Impulse eines Systems wird mit Gesamtimpuls bezeichnet.

Impulserhaltung:

Der Sachverhalt, dass sich der Gesamtimpuls eines Systems in der Zeit nicht ändert,

also eine Erhaltungsgröße ist, wird mit Impulserhaltung bezeichnet.

Nun betrachten wir wiederum das n- Teilchensystem und eine weitere

trickreiche Umformung der Bewegungsgleichungen:

ij

ijii Fxmi-te Bewegungsgleichung :

Trick :Multiplizieren die i-te Bewegungsgleichung vektoriell mit dem i-ten Ortsvektor x

ij

ijiiii Fxxmx

Addieren alle Bewegungsgleichungen:

i ij

ijii

iii Fxxmx

ij

iji Fx

Veranschaulichen nun wieder die Summe:

1-nn,n2,nn1,nn

n1,-n1-n

2,331,33

n,224,223,221,22

n,114,113,112,11

x x x

x

x x

x x x x

x x x x

FFF

F

FF

FFFF

FFFF

ji

iji Fx

ij

jii Fx

ji

ijj Fx

ji

ijji )( Fxx

0

i ij

ijii

iii Fxxmx

ij

iji Fx

Ergebnis:

Aus diesem Grund hat das Vektorprodukt „Ortsvektor x Impuls“ eine besondere

Bedeutung in der Physik und erhält den Namen Drehimpuls.

Definition:

Sei x der Ortsvektor und p der Impuls eines Körpers.

Dann heißt pxL

sein Drehimpuls.

Die Summe aller Drehimpulse eines Systems wird mit Gesamtdrehimpuls bezeichnet.

Drehimpulserhaltung:

Der Sachverhalt, dass sich der Gesamtdrehimpuls eines Systems in der Zeit nicht

ändert, also eine Erhaltungsgröße ist, wird mit Drehimpulserhaltung bezeichnet.

0i

iii xmx 0

iiii

xmxdt

d

Dies bedeutet, dass sich die Größe

im Zeitablauf nicht ändert.

i

iii xmx

Für das Auffinden der dritten Erhaltungsgröße kehren wir zur Planetenbewegung

Erde-Sonne zurück:

VO

Em

Sm

Ex

Sx

SF

EF

)(

)(

3

3

ES

ES

SESSS

ES

ES

SEEEE

xxxx

mmGFxm

xxxx

mmGFxm

Die Bewegungsgleichungen lauten:

)(

)(

3

3

ES

ES

SESS

ES

ES

SEEE

xxxx

mmGxm

xxxx

mmGxm

Die Bewegungsgleichungen:

Trick:

Skalarmultiplikation der Bewegungsgleichungen mit der jeweiligen Geschwindigkeit.

EE xx

SS xx

)()(

3 SEES

ES

SE

SSSEEE

xxxxxx

mmG

xxmxxm

Addition beider Gleichungen ergibt:

Behauptung: bei obigen Termen handelt es sich um die Zeitableitung folgender

(jedem Physiker bekannter) Funktionen:

ES

SESSEE

xx

mmG

dt

dxm

dt

dxm

dt

d

2

2

22

Beweis:

EEEEE xxmxm

dt

d

2

2

1

2

2

Zweiter Term: analog

Erster Term:

ES xxdt

d

1

Dritte Term:

)()(

3 SEES

ES

SE

SSSEEE

xxxxxx

mmG

xxmxxm

Nochmals die ursprüngliche Gleichung zum Vergleichen:

)()(1

3 SEES

ES

xxxxxx

2

12)( ES xx

dt

d

)()(2)(2

12

32

ESESES xxxxxx

Definition:

Sei x der Ortsvektor, x die Geschwindigkeit und m die Masse eines Körpers.

Dann heißt

2kin

xmE

seine kinetische Energie.

Energieerhaltung:

Der Sachverhalt, dass sich die Gesamtenergie eines Systems in der Zeit nicht

ändert, also eine Erhaltungsgröße ist, wird mit Energieerhaltung bezeichnet.

im Zeitablauf nicht ändert. Sie erhält in der Physik den Namen Energie des Systems Erde-Sonne.

ES

SESSEE

xx

mmG

xmxm

22

22

Ergebnis vorheriger Überlegung ist, dass sich die Größe

Die beiden ersten Terme heißen kinetische Energie oder Bewegungsenergie der Erde

bzw. Sonne, da sie von der Geschwindigkeit der Körper abhängt. Der dritte Term heißt potentielle Energie des Systems Erde-Sonne.

Zusammenfassung:

Wir haben nun, ausgehend von den Newtonschen Axiomen 3 Erhaltungsgrößen abgeleitet. In der folgenden Zusammenfassung beschränke ich mich auf zwei Körper, also auf ein so genanntes Zweikörperproblem:

Zwei Körper befinden sich im ansonsten freien Raum. Dann kann man ihnen drei Größen zuordnen, welche im Zeitablauf konstant bleiben:

Impuls:2211gesamt xmxmP

Drehimpuls:222111gesamt xmxxmxL

Energie:

ES

SESSEE

xx

mmG

xmxmE

22

22

gesamt

Nun betrachten wir ein

Beispiel zur Energieerhaltung im freien Fall:

Der Klippenspringer

Modellierung des Klippenspringers:

Em

Km

Ex

Kx

VOze

R

h

Die Gravitationskraft der Erde auf den Klippenspringer beträgt:

z2K ehR

mmGF KE

Das realistische Maximum eines Klippensprungs liegt mit Sicherheit unter 50m. Der Erdradius beträgt 6370 km. Der Abstand R + h kann also mit R ersetzt werden.

z2EK

K eR

mmGF

g:

zK g em

Damit:

z2E

K eR

mGm

Jeder kennt aus den Schulbüchern folgende Formel:

bleibterhalten wobei, 2 gesamtK

2KK

gesamt Ehgmxm

E

Dies scheint im Widerspruch zu unserer Erhaltungsgröße zu stehen, welche lautet:

hgmxmxm

E 22 K

2EE

2KK

gesamt

Falls die Formel aus den Schulbüchern richtig ist, muss die kinetische Energie der Erde im Vergleich der übrigen Terme zumindest verschwindend klein sein.

Die Richtigkeit dieser Vermutung wird im Folgendem mittels der Impulserhaltung gezeigt. Danach gilt:

EKgesamt PPP

Die Geschwindigkeiten beider Körper sind am Beginn unserer Betrachtung gleich Null. Daher ist der Gesamtimpuls zu Beginn gleich Null. Da er seinen Wert behält, gilt zu jedem Zeitpunkt:

0gesamt P

KE PP

Quadrieren der Gleichung ergibt:2K

2K

2E

2E xmxm

Wird nun die Gleichung durch 2 dividiert, so erhält man:Em

22

2EK

E

K2EE xm

m

mxm

Die Erde hat eine Masse von 6*10^24kg. Angenommen der Klippenspringer wiegt 80 kg, so ergibt sich für den Faktor:

22

E

K 10

m

m

Und für obige Gleichung:

ingerKlippensprkin 22

Erdekin 10 EE Die kinetische Energie der Erde kann also in der Tat vernachlässigt werden. Damit erhält unser Energiesatz die endgültige Form:

hgmxm

E 2 K

2KK

gesamt

Abschließend diskutieren wir die

Energie und Impulserhaltung bei der Pendelkette:

„Eine Kugel fliegt rein, eine Kugel fliegt raus.“

Allg. Behauptung: Dies ist eine Folge von Energie-Impulserhaltung!

Im Folgenden werden wir diese Aussage überprüfen.

Wir beginnen mit zwei Kugeln:

Der Einfachheit halber reduzieren wir die Pendelkette auf einen eindimensionalen Stoß mit Kugeln gleicher Masse:

1v

2v

0

2m1m

1v 2v 0mm

gesuchtgegeben

Wir haben also:

1v 2v 0Vorher:

1n ? 2n ?Danach:

Energieerhaltung:

Impulserhaltung:

2222

22

21

22

21 mnmnmvmv

22

21

22

21 nnvv

2121 mnmnmvmv 2121 nnvv

Wir haben zwei Gleichungen und zwei Unbekannte. Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind also eindeutig bestimmt.

Ergebnis:

121 ,0 vnn Stimmt mit Aussage überein

gegeben gesucht

Nun betrachten wir drei Kugeln:

1v2v 0 3v 0

Energie- und Impulserhaltung:

321321

23

22

21

23

22

21

nnnvvv

nnnvvv

Wir haben nun zwei Gleichungen und drei Unbekannte. Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind nicht mehr eindeutig. Es gibt unendlich viele Lösungen.

Warum aber beobachten wir im Experiment immer nur die eine Lösung:

„Eine Kugel fliegt rein, eine Kugel fliegt raus.“

Fragen, die sich stellen:

• Ist unser Modell brauchbar, wenn es keine eindeutige Lösung gibt?

• Haben wir etwas übersehen, sodass unser Modell im allg. doch brauchbar ist?

Frage:

Was glaubt ihr, wie viel Platz ein Stoß von zwei Kugeln braucht?

Gibt es auch andere Lösungen, wenn die Kugeln keinen Abstand zueinander haben?