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COMPLEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA

prof.ssa Daniela Aprile - Liceo Linguistico “G.Verga” Modica

EQUAZIONE GENERALE DI UNA CONICA

Si chiamano coniche le curve ottenute come sezione di un cono con un piano. Un’altra caratteristica comune è che tutte queste curve possono anche essere definite come “luoghi geometrici”, cioè insiemi di punti del piano che godono di particolari proprietà, riguardanti la distanza dei loro punti da punti fissi, detti Fuochi. Ad es. l’ellisse è il luogo dei punti che hanno somma delle distanze da due punti fissi costante. Ancora più sorprendente è il fatto che le equazioni che descrivono queste curve in coordinate cartesiane sono sempre equazioni algebriche di 2°grado in x e y.

UN PO’ DI STORIA

Lo studio delle coniche ha origini antichissime. Sembra che il primo matematico ad occuparsi delle “sezioni coniche” sia stato Menecmo (375-325 a.C.), un matematico greco discepolo di Platone e maestro di Alessandro Magno. Menecmo si occupò solo dell’intersezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare alla generatrice (una delle rette che giacciono sul “lato“ del cono): in questo modo si ottiene una conica diversa a seconda dell’apertura del cono.

La sistemazione razionale della trattazione delle coniche avvenne circa 150 anni più tardi grazie ad Apollonio di Perga (c. 262-190 a.C.), conosciuto come il Grande Geometra, il quale approfondì i precedenti risultati nell’opera Le Coniche, la cui importanza è paragonabile a quella degli Elementi di Euclide per la geometria sintetica. Apollonio fu anche il primo ad attribuire i nomi di Ellisse, Parabola, ed Iperbole alle coniche. Tali nomi derivano dal confronto di due grandezze caratteristiche di ciascuna curva: ellisse vuol dire “mancanza”, iperbole significa "andare oltre", e parabola, "mettere accanto". Apollonio dimostrò che, sostituendo il cono a una falda con il cono a doppia falda, era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicemente variando l’inclinazione del piano di intersezione. Ciò rappresentava un notevole passo in avanti verso la visione unitaria dei tre tipi di curve.



Apollonio inoltre fornì un grande contributo all’astronomia greca, applicando modelli geometrici al moto dei pianeti. Per molti secoli successivi non si ebbe nessun particolare sviluppo nello studio di queste curve, forse a causa della completezza dell’opera di Apollonio. Ma l’arte si avvantaggiò degli studi geometrici: in epoca romana a pianta ellittica erano costruiti gli anfiteatri come il Colosseo o l’Arena di Verona. Durante il Rinascimento e il Barocco le coniche furono ispiratrici di nuovi motivi nell’arte e nell’architettura, ma anche il fondamento teorico degli studi sulla prospettiva, che ricevette una

prima sistemazione teorica ad opera di Gerard Desargues, nel Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres d'un cône avec un plan. L’arte barocca privilegiava l’uso di linee curve non semplici come gli archi di cerchio, ma più elaborate, come le ellissi.

Ne sono un esempio le piante ellittiche di molti edifici risalenti a questo periodo, ad es. piazza S. Pietro e la chiesa di S.Andrea al

Quirinale progettate da Bernini a Roma, il palazzo Carignano del Guarini a Torino, il Teatro Olimpico di Vicenza del Palladio…

Nel XV secolo lo studio delle Coniche di Apollonio sarà di guida a Keplero (1571- 1630) per la formulazione delle tre leggi sul moto dei pianeti che portano il suo nome. Un'altra importante applicazione è dovuta a Galileo (1564- 1642), il quale dimostrò che la traiettoria di un proiettile o di un qualunque corpo lanciato (projecto) è una parabola. I risultati relativi alle proprietà delle coniche ottenuti da Apollonio per via sintetica, verranno poi raggiunti, circa 1800 anni più tardi, grazie all'introduzione di nuovi metodi algebrici basati sulle coordinate cartesiane, ad opera di Cartesio e Fermat, che permisero di risolvere



problemi e verificare proprietà in modo più semplice, anche se forse meno affascinante. Cartesio specificò le condizioni cui dovevano soddisfare i coefficienti perché la conica fosse una parabola, un’ellisse, un’iperbole o una coppia di rette. In seguito si dimostrò un’altra proprietà: l’equazione di una conica generica è sempre un’equazione algebrica di secondo grado in x e y. Per tornare all’architettura, in tempi più recenti anche parabole e iperboli sono state utilizzate per realizzare elementi strutturali o decorativi.



EQUAZIONE GENERALE DI UNA CONICA

Si è già detto che l’equazione cartesiana di una conica è sempre un’equazione algebrica di 2° grado in x e y. Ma si può affermare una cosa ancora più straordinaria: qualunque equazione di 2°grado in x e y rappresenta una conica nel piano cartesiano. Alcune equazioni di questo tipo, per la loro forma particolarmente semplice, vengono dette equazioni canoniche e rappresentano coniche disposte in certe posizioni “semplici” nel riferimento cartesiano (ad esempio un’ellisse con il centro nell’origine e gli assi coincidenti con gli assi cartesiani, o una parabola con l’asse di simmetria parallelo all’asse y). Ma in generale una conica può essere disposta in qualunque posizione nel sistema di riferimento, e di conseguenza l’equazione che la rappresenta non avrà una forma così semplice, ma conterrà termini di 2° grado in x2, y2 e xy, di 1° grado in x e y e un termine noto. L’equazione generale di una conica assume quindi la forma:

022 feydxcybxyax (1)

che si usa scrivere anche, per semplificare i calcoli successivi, nella forma:

0222 332313

2

2212

2

11 ayaxayaxyaxa (2)

In questa equazione compaiono 6 parametri. Nella (2) gli indici 1,2 e 3 sono legati rispettivamente alle incognite x, y e al termine noto. L’equazione (1) o (2) rappresenta certamente una conica, ma non presentandosi nella forma canonica, non è immediato stabilire di che tipo di conica si tratta. Per risolvere il problema bisogna calcolare i determinanti di alcune matrici formate con i coefficienti dell’equazione generale. Si definisce Discriminante della conica il determinante della matrice formata da tutti i coefficienti:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A o, riferendosi all’eq. (1):

fed

ecb

dba

A

22

22

22

e Invariante quadratico il determinante della matrice ottenuta eliminando da A la 3a riga e la 3a

colonna:

2

122211

2221

1211

33 aaaaa

aaA oppure: )4(

4

1

4

1

2

2 22

33 acbbaccb

baA

In queste matrici i termini con gli indici scambiati sono uguali: 322331132112 ,, aaaaaa , quindi

le matrici sono simmetriche rispetto alla diagonale principale. Questo è anche il motivo per cui nell’eq. (2) i coefficienti dei termini misti hanno un fattore 2. Se si usa l’eq. (1) bisogna mettere nella matrice i coefficienti b, d ed e divisi per 2. Perché l’equazione generale rappresenti effettivamente una conica bisogna che 0A . Più avanti si esaminerà il caso in cui 0A . Verificata questa condizione, si calcola A33, che permette di individuare il tipo di conica, infatti se:

A33>0 la conica è un’ELLISSE;

A33=0 la conica è una PARABOLA;

A33<0 la conica è un’IPERBOLE



Utilizzando la forma (1) e confrontando il valore di A33, le tre condizioni si traducono in:

042 acb ELLISSE

042 acb PARABOLA

042 acb IPERBOLE

Nel caso in cui si sia riconosciuta un’ellisse o un’iperbole, è anche possibile calcolare le coordinate del centro di simmetria. A questo scopo bisogna considerare i determinanti di altre due matrici, ottenute, come A33, dalle prime due righe di A , sopprimendo però una volta la 1a e una volta la 2a colonna:

2

22

2322

1312

31 ec

db

aa

aaA ;

22

2

2321

1311

32 eb

da

aa

aaA

Gli indici di A31, A32, A33 indicano quale riga e quale colonna di A bisogna eliminare per ottenerli. Fare attenzione al fatto che se la somma degli indici è dispari, come in A32, il determinante va cambiato di segno.

Il centro di simmetria della conica è il punto 33

32

33

31 ;A

A

A

AC .

In accordo con quanto detto prima, nella parabola non esiste un centro, infatti A33=0. A questo punto, volendo, si può disegnare la conica per punti, assegnando valori a piacere a x (o y) e calcolando i corrispondenti valori di y (o x). Inoltre, conoscendo il centro di simmetria, trovato un punto P(x,y) che appartiene alla conica, si può ricavare la posizione del suo simmetrico P’ rispetto a C, ricordando che il centro di simmetria è il punto medio tra P e P’.

Da 2

;2

'' PPPP yyxxC si ricava che )2;2(' PCPC yyxxP .

Resta da esaminare il caso in cui 0A . Si dice in questo caso che la conica è degenere, cioè spezzata in due rette. Per convincersi del fatto che due rette possono ancora essere considerate una conica, seppur degenere, ritorniamo alle sezioni coniche ed osserviamo cosa succede se il piano secante passa per il vertice del cono: la sezione è formata da un punto, una retta o due rette incidenti!



ESEMPI

1. Studiare la conica di equazione: 08844 22 yxyx .

Costruiamo la matrice A con a11=1, a22=4, a13=-2, a23=-4, a33=-8

064161632

842

440

201

A quindi la conica non è degenere

0440

0133A la conica è un’ELLISSE. Si può calcolare anche 016042 acb (ELLISSE)

Per trovare il centro calcoliamo gli altri determinanti:

844

2031A ; 4)4(

40

2132A ; quindi )1;2(

4

4;

4

8C

Cerchiamo qualche punto dell’ellisse dando valori a x e ricavando y, o viceversa. Se x=2 si trovano y1=-1 e y2=3, quindi l’ellisse passa per (2,-1) e (2,3); se y=1 si trova x1=-2 e x2=6, quindi passa per (-2,1) e (6,1). Cercando le intersezioni con gli assi si ottengono altri punti e il grafico può essere tracciato. In questo caso, stabilito che si tratta di un’ellisse, si poteva scoprire che essa era ottenuta per traslazione di un’ellisse in posizione canonica, poiché l’equazione si può scrivere anche nella forma:

................84....4 22 yyxx

Che dopo facili calcoli diventa:

14

)1(.

16

)2( 22 yx , che rappresenta un’ellisse di

semiassi 4 e 2 con il centro traslato in (2,1).

2. Studiare la conica di equazione: 019214565 22 yxyxyx .

Qui è presente il termine misto, quindi non si tratta di una conica traslata come nell’es.1. Costruiamo la matrice A con a11=5, a12=-3, a22=5, a13=-7, a23=1, a33=-19

0438919554921212519

1917

153

735

A quindi la conica non è degenere

01692553

3533A la conica è un’ELLISSE.

Si può calcolare anche 01003642 acb (ELLISSE) Per trovare il centro calcoliamo gli altri determinanti:

3235315

7331A ;

16)215(13

7532A ;

quindi )1;2(16

16;

16

32C



Geogebra ci aiuta nel grafico, ma comunque si possono trovare le intersezioni con gli assi e i punti loro simmetrici rispetto al centro.

3. Studiare la conica di equazione: 0322 22 yxyxyx

04

931

4

1

2

1

2

13

312

11112

111

A non degenere

01111

1133A PARABOLA

4. Studiare la conica di equazione: 0284244 22 yxyx

016.....

28212

210

1204

A non degenere

0410

0433A IPERBOLE

Per trovare il centro calcoliamo gli altri determinanti:

1221

12031A ;

820

12432A ;

quindi )2;3(4

8;

4

12C

Anche in questo caso si può riconoscere l’effetto di una traslazione di vettore (3,2) dell’iperbole

14

22 y

x (vedere es.1).

5. Studiare la conica di equazione: 052 xxyx

0

002/5

002/1

2/52/11

A la conica è DEGENERE, cioè spezzata in due rette. Per individuarle,

basta scomporre in fattori l’equazione, raccogliendo la x: 0)5( yxx che corrisponde a

0x 5xy , che sono le equazioni delle due rette (l’asse delle y e una parallela alla bisettrice

del 1° e 3° quadrante)

6. Studiare la conica di equazione: 022 yx

Anche in questo caso si tratta di una conica spezzata nelle due bisettrici dei quadranti, infatti scomponendo si ottiene 00 yxyx

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